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Métodos Quantitativos Aplicados à Logística de Distribuição  Prof. Adm. Roberto Ibrahim Uehbe
Por que quantificar? Em um País emergente a distribuição física através dos diversos modais representam, em média, de 15 a 25% do PNB, sendo: Transportes 47% Armazenagem 28% Manutenção de Estoques 18% Administração 7%
Em geral para uma empresa privada, os custos logísticos situam-se entre 19 e 22% das venda líquidas. Cerca de 1/3 dos suprimentos de alimentos perecíveis são perdidos durante a sua distribuição, devido a própria manipulação, armazenagem e deteriorização. Segundo Leendes, a redução de 1% nos custos de aquisição e distribuição representará incremento de 12% nos lucros. Os fretes consomem de 1/3 a 2/3 dos custos logísticos totais.
Council of Logistics Management - CLM É o processo de planejamento, implementação e controle do fluxo eficiente e economicamente eficaz de matérias-primas, estoque em processo, produtos acabados e informações relativas desde o ponto de origem até o ponto de consumo com o propósito de atender às exigências dos clientes. É dispor a mercadoria ou serviço certo, no tempo certo e nas condições desejadas, ao menor custo que, forneçam, a maior contribuição às empresas.
Frete Médio por ton 3 1 58,75 Aeroviário 1 4 1,40 Dutoviário 2 5 0,73 Aquaviário 4 2 25,08 Rodoviário 5 3 2,50 Ferroviário Perigos e Dandos 1=menor Tempo Médio Entrega 1=mais rápido $/Ton-Milha Modal
Dados “Eno Transportation Foundation” Um exemplo da importância das tarifas de transportes na distribuição O máximo que A pode pagar pelo frete é 0,15/Kg, sem o lucro
Os Métodos Quantitativos em Logística de Distribuição   Modelo Analógico de Distribuição:
Constantes Conhecidas a1; a2 Capacidades b1; b2; b3 Demandas Cij Custos de Frete da Origem “i”; Destino “j” O que se deseja determinar: Xij Quantidades a serem transportadas da Origem “i” ao Destino “j” Equação Fundamental Somatório das Origens (capacidade) = Somatório dos Destinos (Demanda)
Os Métodos Quantitativos em Logística de Distribuição   Modelo Equilibrado Teoricamente: A Representação Matemática Medidas de Desempenho: minimizar custos totais de distribuição maximizar lucros (eficiência/resultados/volumes/transportes) Seja o caso demonstrado no esquema: Custo Parcial = Custos Unitários (fretes) Cij x Quantidades Xij
Os Métodos Quantitativos em Logística de Distribuição   Restrições de Origens (Capacidades): Tudo que é distribuído (transportado para os destinos) é exatamente igual as capacidades das origens Restrições de Destinos (Demandas): Tudo o que chega em cada destino, transportado de cada origem é exatamente igual a demanda de cada destino.
Os Métodos Quantitativos em Logística de Distribuição   Modelo Genérico: ___ CNN Xij ≥ 0
Representação Matricial Matriz de Transportes b3 b2 b1 Destino a2 C BIII X BIII C BII X BII C BI X BI B a1 C AIII X AIII C AII X AII C AI X AI A III II I Origens
Representação Matricial Matriz de Custos Os quadrículos receberam o nome de Casa ou Célula b3 b2 b1 a2 C BIII C BII C BI B a1 C AIII C AII C AI A III II I
Os métodos para obtenção de solução através da Programação Linear e seus critérios de Distribuição 1 MÉTODOS APROXIMATIVOS 1.1 Regra do Noroeste (cato esquerdo superior) 1.2 Método do Custo Mínimo 1.3 Método de VOGEL ou das Penalidades 2 MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO 1.1 Método de Indicadores U – V (MODI) (UNIVERSAL) 1.2 Outros Métodos Específicos Experimentais (uso restrito)
Critério de Distribuição de Cada Método
Regra do Noroeste Critério de Distribuição Alocar as quantidades das origens saturando uma de cada vez de acordo com os destinos começando pela casa do canto esquerdo superior (origem “A”)
Exemplo Demonstrativo Seja a Matriz de Transportes Abaixo: 144 14 52 63 15 Destinos  42 5 2 12 10 C 65 4 1 7 6 B 37 3 11 9 8 A Origens IV III II I
Distribuição pela Regra do Noroeste *Obs.: A casa ou célula que receba quantidades toma o nome de Casa Ocupada 14 (0) 52 (28) (0) 63 (41) (0) 15 (0) 42(14)(0) 14 28 C 65(24)(0) 24 41 B 37(22)(0) 22 15 A IV III II I
Porque Noroeste: As Casas ocupadas se distribuem segundo a diagonal (NW) 15 x 8 + 22 x 9 + 41 x 7 + 24 x 1 + 28 x 2 + 14 x 5 = 120 + 198 + 187 + 24 + 56 + 70 = 755
Método do Custo Mínimo Critério de Distribuição Alocar a maior quantidade possível nas casas de menor custo, uma de cada vez.
Exemplo Demonstrativo 144 144 14 (0) 52 (0) (0) 63 (42) (0) 15 (2) (0) Destinos  42(0) 5 2 12 (42) 10 C 65(13)(0) 4 1 (52) 7 6 (13) B 37(23)(21)(0) 3 (14) 11 9 (21) 8 (2) A Origens IV III II I
Exemplo Demonstrativo 8 x 2  =  16 9 x 21  = 198 3 x 14  =  42 6 x 13  =  78 1 x 52  =  52 12 x 42 = 504 881,00
Observações Importantes 1. Uma solução por qualquer método é dita “NORMAL” quando: nº de casas ocupadas = nº de linhas + nº de colunas – 1 NCO = m + n – 1 Se NCO < m + n – 1, a solução é  DEGENERADA Ocorrerá sempre, ao alocar-se uma quantidade em uma casa, saturando a linha e a coluna ao mesmo tempo.
Observações Importantes 2. Um modelo será “DESEQUILIBRADO” se: Qualquer método pode ser aplicado se o modelo for “EQUILIBRADO”. O que se consegue acrescentando-se uma “ORIGEM” ou “DESTINO VIRTUAL” com Produção ou Demanda igual à diferença entre ambas e com custos iguais a “ZERO”.
120 ------- 120 10 Destinos  0 C 0 B 0 A Origens * IV III II I
Observações Importantes Caso particular do Método do Custo Mínimo – Modelo “DESEQUILIBRADO”, só na aplicação do método co Custo Mínimo existe a particularidade: Como superá-la: Após equilibrar a matriz com uma origem ou destino virtual com custos “zeros” procede-se a alocação das quantidades nas casas de menor custo, não considerando os “zeros” de equilíbrio como de menor custo; ficando a quantidade residual não alocada para ser posicionada na casa de custo zero correspondente.
Inicia-se com Casa BIII < custo Quantidades residuais 21 e 9 nas casa CII e CIII 30+60=90 90 16 (0) 26 (9) (0) 33 (21) (0) 15 (0) Destinos  30(21)(9)(0) 0 0 (9) 0 (21) 0 C 17(0) 7 1 (17) 12 10 B 43(27)(12)(0) 4 (16) 9 8 (12) 6 (15) A Origens IV III II I
Modelo de Vogel ou das Penalidades “ PENALIDADE” é a diferença entre os dois menores custos de uma linha (Penalidade de Linha) ou de uma coluna ( Penalidade de Coluna) desde que não sejam “iguais” pois não existe “PENALIDADE ZERO” Calculam-se todas as penalidades quer de linhas quer de colunas; seleciona-se dentre todas a de MAIOR valor. Esta, indica a linha ou a coluna da Matriz que recebe a 1ª alocação na casa de menor custo. A linha ou coluna saturada é eliminada do cálculo de novas penalidades. Repete-se o mesmo procedimento até a completa distribuição de origens e destinos.
144 144 14 (0) 52 (0) 63 (40) (0) 15 (2) (0) 1 2 2 C 2 1 1 2 2 C 1 2 2 3 3 42(40)(0) 5 2 12 (40) 10 (2) C 2 (2) C 3 1 1 L 3 (3) 1 L 2 3 (5) L 1 65(13)(0) 37(23)(0) (3) 2 C 4 4 1 (52) 7 6 (13) B 1 3 (14) 11 09 08 A L 4 IV III II I
9 x 23  = 207 3 x 14  =  42 6 x 13  =  78 1 x 52  =  52 10 x 2  =  20 12 x 40 = 480 ____________ 879 Método Otimizante U – V (MODI) (UNIVERSAL)
O Método MODI melhora uma solução por qualquer método aproximativo, que será então a “SOLUÇÃO INICIAL”. Caso esta solução não possa ser melhorada (o MODI indicará) ela já será “ÓTIMA”. Não sendo, o método vai em busca da “SOLUÇÃO ÓTIMA”. OBS: O método não pode ser aplicado se a Solução Inicial for “DEGENERADA” (n° de casas insuficientes).
O Método U – V tem pois, duas etapas 1ª Etapa: Teste de Otimicidade 2ª Etapa: Redistribuição pelo critério MODI caso a “Inicial não seja ótima”
Seja pelo exemplo anterior a solução pela Regra Noroeste 14 52 63 15 42 5 (14) 2 (28) 12 10 C 65 4 1 (24) 7 (41) 6 B 37 3 11 9 (22) 8 (15) A IV III II I
Matriz de Custos das Casas Ocupadas V 4 =6 V 3 =3 V 2 =9 V 1 =8 U 3 =-1 5 2 C U 2 =-2 1 7 B U 1 =0 9 8 A IV III II I
Equação Básica C ij =U i +V j Passos para o Teste de Otimicidade: 1º Aplica-se valor “zero” a qualquer índice e pela “fórmula” calculamos os outros 2º Cálculo dos “Índices de Casas Vazias” – ICV Equação Básica I cvij =C ij -(U i +V j ) Índice negativo indica que a distribuição não é ótima e pode ser melhorada
Como indicado: I AIII =11-(0+3)=8 I AIV =3-(0+6)=-3 (único valor negativo) I BI =6-(-2+8)=0 I BII =4-(-2+6)=0 I CI =10-(-1+8)=3 I CII =12-(-1+9)=4 Solução pode ser melhorada
2ª Etapa REDISTRIBUIÇÃO MODI Critério de Redistribuição: Circuito de Avaliação Tendo como vértice a casa vazia com indicador negativo, percorre-se um circuito fechado (sai e volta para a mesma casa) onde as outras casas só podem ser ocupadas (não pode existir duas casas vazias no circuito). O circuito é poligonal “quebrado” em cada vértice (casa ocupada).
Matriz de Casas Ocupadas (Quantidades) Sinal positivo na casa vazia alternando-se com o negativo (-) 14 (+) 28 C (-) 24 (+) 41 B (+) (-) 22 15 A IV III II I
Nova Matriz Quantidades Repete-se os passos anteriores até não existir indicador de casa vazia com sinal negativo, o que significa que a Solução Ótima foi encontrada Casa C IV =0 (vazia) 14 52 63 15 42 42 C 65 10 55 B 37 14 8 15 A IV III II I
Matriz de Custos das Casas Ocupadas V 4 =3 V 3 =3 V 2 =9 V 1 =8 U 3 =-1 2 C U 2 =-2 1 7 B U 1 =0 3 9 8 A IV III II I
Todos os valores positivos: “Solução Ótima foi encontrada” I AIII =11-(0+3)=8 I BI =0-(-2+8)=0 I BIV =4-(-2+3)=3 I CI =10-(-2+8)=3 I CII =12-(-1+9)=4
Valores Positivos: SOLUÇÃO ÓTIMA 8 x 15 = 120 9 x 8  =  72 3 x 15 =  42 7 x 55 = 385 1 x 10 =  10 2 x 42 =  84 --------------- = 713
Observações 1. Em todos os critérios de distribuição pelos métodos já vistos as casas “ALOCADAS” nada mais são do que as “RAIZES DO SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES” representadas matricialmente. 2. Os métodos apresentados, originalmente visam a obtenção de solução de “CUSTO TOTAL MÍNIMO”. Contudo os modelos matriciais, podem ser usados para obtenção de solução de “MAXIMIZAÇÃO”.
Para tanto usamos o conceito de “DUALIDADE” que nos indica que maximizar uma função é também “MINIMIZAR” o seu simétrico. Assim MA XZ  = M IN  (-Z) O artifício aplicado consiste em multiplicarmos os “LUCROS UNITÁRIOS” ou o que se deseja “MAXIMIZAR” por (-1) selecionar o maior elemento com sinal negativo e somá-lo a si mesmo e todos os outros. Deste modo
Observações Devemos ter o cuidado de ao extraímos a solução final após as alocações das quantidades, de transferirmos para a matriz original (de lucros) para o cálculo do Lucro No caso de modelo desequilibrado é indiferente equilibra-lo antes ou depois de transformamos a matriz de ganhos em matriz de custos.
O Modelo das Atribuições (Designação) Este modelo de Programação Linear, para resolução de problemas de alocações (layout), tem grande utilidade em logística de distribuição, principalmente na resolução de problemas de layout e localização de centros de distribuição – CD, e até mesmo de pontos de vendas, e micro logística na área interna de produção e armazenamento em organizações industriais.
O Modelo das Atribuições (Designação) O modelo de Designação é um modelo degenerado do problema de transporte onde as origens e os destinos são unitários e mutuamente exclusivos. A Matriz de designação recebe o nome de “MATRIZ DE EFICIÊNCIA” e originalmente tem de ser “EQUILIBRADA” (MATRIZ QUADRADA). Exemplo:
Posições MÁQUINAS O Critério é o do CUSTO MÍNIMO Cada “ORIGEM” só pode ser alocada a um “ÚNICO DESTINO”, sendo ambos automaticamente saturados 1 1 1 1 1 C DIV C DIII C DII C DI D 1 C CIV C CIII C CII C CI C 1 C BIV C BIII C BII C BI B 1 C AIV X AIV C AIII X AIII C AII X AII C AI X AI A IV III II I
Posições MÁQUINAS Solução: A  IV = 4 B  III= 3 C  I = 2 D  II = 5 8 11 5 10 D 6 5 4 2 C 9 3 8 10 B 4 6 7 5 A IV III II I
Como vemos a solução algébrica do sistema de equações lineares será:
ROTA AVIÕES O Problema passa a existir quando existe mais de uma origem para o mesmo destino ou vice-versa Exemplo Ilustrativo: 12 8 11 7 IV -7 -5 -4 -3 7 9 11 D 5 6 10 C 9 8 4 B 5 6 3 A III II I
Matriz Equivalente para Fins de Alocação: Fase I Linhas O nº. de zeros é insuficiente. O problema se torna indeterminado Para superar a carência de “zeros” o matemático húngaro  König, criou a “REGRA DE CORTES” para consecução de mais zeros. -3 -1 5 0 2 4 D 3 0 1 5 C 7 5 4 0 B 4 2 3 0 A IV III II I
Passos para aplicação das regras de corte: 1 – Cortar o maior nº. De zeros de Matriz, como menor nº. De linhas ortogonais – verticais ou horizontais – (não podem ser inclinadas). Todos os zeros tem de ser cortados mesmo por uma só linha. 2 - Selecionar o elemento de menor valor não cortado, subtraí-lo de si mesmo. E todos os não cortados, e os some aos cortados duas vezes (em cruz) 3 – Os cortados uma só vez permanecem como estão.
Fase II Coluna 2 0 1 4 D 0 0 0 5 C 4 5 3 0 B 1 2 2 0 A IV III II I
No exemplo anterior: Menor número – 1 Cortado duas vezes – 5 e 4 NOVA MATRIZ Solução: A    IV = 7 B    I = 4 C    II = 6 D    III = 7 Os Custos são obtidos na matriz original Custo total ótimo C  = 24 2 0 1 5 D 0 0 0 6 C 3 4 2 0 B 0 1 1 0 A IV III II I
Como no modelo de transportes, os modelos de designação podem ser “DESIQUILIBRADOS”. Para equilibra-lo adiciona-se uma linha ou coluna (custo zero) para “QUADRAR” a matriz. Da mesma forma podemos usar o modelo para maximizar usando o mesmo artifício permitido pelo Teorema da Dualidade M ax  Z = M in  (-Z)
Exemplo Ilustrativo: Seja uma empresa de distribuição de cargas fracionadas em área urbana com quatro caminhões para transporte de produtos para cinco localidades com rotas pré estabelecidas. Como atender os destinos para que os custos de distribuição sejam menores possíveis? DESTINOS VEÍCULOS 2 3 5 7 4 D 4 6 9 IV 2 6 8 10 C 2 7 5 9 B 2 8 11 12 A V III II I
MATRIZ EQUILIBRADA FASE I DAS LINHAS E* VIRTUAL 0 0 0 0 0 E* 2 2 2 2 V -2 -2 -2 -2 3 5 7 4 D 4 6 9 IV 6 8 10 C 7 5 9 B 8 11 12 A III II I 0 0 0 0 0 E* 0 0 0 0 V 1 3 5 2 D 2 4 3 IV 4 6 5 C 5 3 7 B 6 9 10 A III II I
Menor Cortado (2) Não tem Fase II (colunas) REGRA DE CORTES (1ª Iteração) 2ª Iteração 1 0 0 0 0 E* 0 0 0 0 V 0 2 4 1 D 2 3 2 IV 3 5 7 C 4 2 6 B 5 8 9 A III II I 3 0 0 0 0 E* 2 0 0 0 V 0 2 4 1 D 0 1 0 IV 1 3 5 C 4 0 4 B 3 6 7 A III II I
3ª Iteração A IV = 5 = X AII B II = 5 = X BII C V = 6 = X CV D I = 4 = X DI E III = 0 = X EIII -------------------- Valores na Matriz D. Inicial C TORIMO  = 18 4 1 0 0 0 E* 2 0 1 0 V 0 1 3 0 D 0 1 0 IV 0 2 4 C 4 0 4 B 2 5 6 A III II I
Logística de Distribuição METODOS DE ROTEIRIZAÇÃO: Solução por meio da teoria dos GRAFOS – REDES – Representação gráfica de programas de distribuição. NÓS – início ou fim de uma atividade / operação ou tarefas. Arcos ou Arestas (linhas) representam as operações ou outra unidade qualquer. GRAFOS – orientados (um único sentido) REDES – dois sentidos Capacidade de um ARCO xij  i = origem (i  j) j = destino
Determinação do Fluxo Máximo Método aplicado: algoritmo de FORD-FULKERSON Os arcos representam: distâncias / tempo / custos / cargas / ton a transportar, etc. Exemplo ilustrativo: Deposito 1 ; Destino 9 Arcos em 10 ton Capacidade de Fluxo i = origem j = destino FIGURA 1
Passos para seleção da rota de fluxo máximo Determinação das rotas: Caminho 1 2 4 7 9 Menor capacidade do caminho: menor valor de “i” No caso (3)_4 6(3)4  menor valor 3 Diminui-se este valor de cada origem “i” soma-se a cada “j”, logo: Novos “i” = 1 3 0 1 Novos “j” = 6 6 8 10
Nova Rede
Nova Rede – 2ª Interação
Novo Caminho 1-3-5-7-9 Menor i=1 Novos i=0 3 3 0 Novos j=9 8 4 11  FIGURA 2
Rede de Fluxo Máximo (capacidade 10 t) As capacidades finais de cada arco são obtidas pelas diferenças entre as capacidades finais da fig.2 e as iniciais da fig. 1
Algoritmo de Dijkstra Seja a rede onde se deseja ir de 1 à 9 percorrendo o caminho mais curto Começamos com o Nó 1 rotulando de [0;0] porque não tem outros antes dele. A partir dele podemos ir para 2 ou 3 [1;3], saindo do Nó 1 e dura 4, idem para [1;4] e assim por diante. Caminho mais curso: 1 3 6 8 9 com distância de 12 und [8;12]
Algoritmo de Prim Observe que a Rede não é orientada Ligação Mínima B A C F E D G I H Total = 23 (tempo de ligação mínima)
OBRIGADO!!! Prof. Adm. Roberto Ibrahim Uehbe [email_address]

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Métodos Quantitativos Aplicados à Logística

  • 1. Métodos Quantitativos Aplicados à Logística de Distribuição Prof. Adm. Roberto Ibrahim Uehbe
  • 2. Por que quantificar? Em um País emergente a distribuição física através dos diversos modais representam, em média, de 15 a 25% do PNB, sendo: Transportes 47% Armazenagem 28% Manutenção de Estoques 18% Administração 7%
  • 3. Em geral para uma empresa privada, os custos logísticos situam-se entre 19 e 22% das venda líquidas. Cerca de 1/3 dos suprimentos de alimentos perecíveis são perdidos durante a sua distribuição, devido a própria manipulação, armazenagem e deteriorização. Segundo Leendes, a redução de 1% nos custos de aquisição e distribuição representará incremento de 12% nos lucros. Os fretes consomem de 1/3 a 2/3 dos custos logísticos totais.
  • 4. Council of Logistics Management - CLM É o processo de planejamento, implementação e controle do fluxo eficiente e economicamente eficaz de matérias-primas, estoque em processo, produtos acabados e informações relativas desde o ponto de origem até o ponto de consumo com o propósito de atender às exigências dos clientes. É dispor a mercadoria ou serviço certo, no tempo certo e nas condições desejadas, ao menor custo que, forneçam, a maior contribuição às empresas.
  • 5. Frete Médio por ton 3 1 58,75 Aeroviário 1 4 1,40 Dutoviário 2 5 0,73 Aquaviário 4 2 25,08 Rodoviário 5 3 2,50 Ferroviário Perigos e Dandos 1=menor Tempo Médio Entrega 1=mais rápido $/Ton-Milha Modal
  • 6. Dados “Eno Transportation Foundation” Um exemplo da importância das tarifas de transportes na distribuição O máximo que A pode pagar pelo frete é 0,15/Kg, sem o lucro
  • 7. Os Métodos Quantitativos em Logística de Distribuição Modelo Analógico de Distribuição:
  • 8. Constantes Conhecidas a1; a2 Capacidades b1; b2; b3 Demandas Cij Custos de Frete da Origem “i”; Destino “j” O que se deseja determinar: Xij Quantidades a serem transportadas da Origem “i” ao Destino “j” Equação Fundamental Somatório das Origens (capacidade) = Somatório dos Destinos (Demanda)
  • 9. Os Métodos Quantitativos em Logística de Distribuição Modelo Equilibrado Teoricamente: A Representação Matemática Medidas de Desempenho: minimizar custos totais de distribuição maximizar lucros (eficiência/resultados/volumes/transportes) Seja o caso demonstrado no esquema: Custo Parcial = Custos Unitários (fretes) Cij x Quantidades Xij
  • 10. Os Métodos Quantitativos em Logística de Distribuição Restrições de Origens (Capacidades): Tudo que é distribuído (transportado para os destinos) é exatamente igual as capacidades das origens Restrições de Destinos (Demandas): Tudo o que chega em cada destino, transportado de cada origem é exatamente igual a demanda de cada destino.
  • 11. Os Métodos Quantitativos em Logística de Distribuição Modelo Genérico: ___ CNN Xij ≥ 0
  • 12. Representação Matricial Matriz de Transportes b3 b2 b1 Destino a2 C BIII X BIII C BII X BII C BI X BI B a1 C AIII X AIII C AII X AII C AI X AI A III II I Origens
  • 13. Representação Matricial Matriz de Custos Os quadrículos receberam o nome de Casa ou Célula b3 b2 b1 a2 C BIII C BII C BI B a1 C AIII C AII C AI A III II I
  • 14. Os métodos para obtenção de solução através da Programação Linear e seus critérios de Distribuição 1 MÉTODOS APROXIMATIVOS 1.1 Regra do Noroeste (cato esquerdo superior) 1.2 Método do Custo Mínimo 1.3 Método de VOGEL ou das Penalidades 2 MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO 1.1 Método de Indicadores U – V (MODI) (UNIVERSAL) 1.2 Outros Métodos Específicos Experimentais (uso restrito)
  • 15. Critério de Distribuição de Cada Método
  • 16. Regra do Noroeste Critério de Distribuição Alocar as quantidades das origens saturando uma de cada vez de acordo com os destinos começando pela casa do canto esquerdo superior (origem “A”)
  • 17. Exemplo Demonstrativo Seja a Matriz de Transportes Abaixo: 144 14 52 63 15 Destinos 42 5 2 12 10 C 65 4 1 7 6 B 37 3 11 9 8 A Origens IV III II I
  • 18. Distribuição pela Regra do Noroeste *Obs.: A casa ou célula que receba quantidades toma o nome de Casa Ocupada 14 (0) 52 (28) (0) 63 (41) (0) 15 (0) 42(14)(0) 14 28 C 65(24)(0) 24 41 B 37(22)(0) 22 15 A IV III II I
  • 19. Porque Noroeste: As Casas ocupadas se distribuem segundo a diagonal (NW) 15 x 8 + 22 x 9 + 41 x 7 + 24 x 1 + 28 x 2 + 14 x 5 = 120 + 198 + 187 + 24 + 56 + 70 = 755
  • 20. Método do Custo Mínimo Critério de Distribuição Alocar a maior quantidade possível nas casas de menor custo, uma de cada vez.
  • 21. Exemplo Demonstrativo 144 144 14 (0) 52 (0) (0) 63 (42) (0) 15 (2) (0) Destinos 42(0) 5 2 12 (42) 10 C 65(13)(0) 4 1 (52) 7 6 (13) B 37(23)(21)(0) 3 (14) 11 9 (21) 8 (2) A Origens IV III II I
  • 22. Exemplo Demonstrativo 8 x 2 = 16 9 x 21 = 198 3 x 14 = 42 6 x 13 = 78 1 x 52 = 52 12 x 42 = 504 881,00
  • 23. Observações Importantes 1. Uma solução por qualquer método é dita “NORMAL” quando: nº de casas ocupadas = nº de linhas + nº de colunas – 1 NCO = m + n – 1 Se NCO < m + n – 1, a solução é DEGENERADA Ocorrerá sempre, ao alocar-se uma quantidade em uma casa, saturando a linha e a coluna ao mesmo tempo.
  • 24. Observações Importantes 2. Um modelo será “DESEQUILIBRADO” se: Qualquer método pode ser aplicado se o modelo for “EQUILIBRADO”. O que se consegue acrescentando-se uma “ORIGEM” ou “DESTINO VIRTUAL” com Produção ou Demanda igual à diferença entre ambas e com custos iguais a “ZERO”.
  • 25. 120 ------- 120 10 Destinos 0 C 0 B 0 A Origens * IV III II I
  • 26. Observações Importantes Caso particular do Método do Custo Mínimo – Modelo “DESEQUILIBRADO”, só na aplicação do método co Custo Mínimo existe a particularidade: Como superá-la: Após equilibrar a matriz com uma origem ou destino virtual com custos “zeros” procede-se a alocação das quantidades nas casas de menor custo, não considerando os “zeros” de equilíbrio como de menor custo; ficando a quantidade residual não alocada para ser posicionada na casa de custo zero correspondente.
  • 27. Inicia-se com Casa BIII < custo Quantidades residuais 21 e 9 nas casa CII e CIII 30+60=90 90 16 (0) 26 (9) (0) 33 (21) (0) 15 (0) Destinos 30(21)(9)(0) 0 0 (9) 0 (21) 0 C 17(0) 7 1 (17) 12 10 B 43(27)(12)(0) 4 (16) 9 8 (12) 6 (15) A Origens IV III II I
  • 28. Modelo de Vogel ou das Penalidades “ PENALIDADE” é a diferença entre os dois menores custos de uma linha (Penalidade de Linha) ou de uma coluna ( Penalidade de Coluna) desde que não sejam “iguais” pois não existe “PENALIDADE ZERO” Calculam-se todas as penalidades quer de linhas quer de colunas; seleciona-se dentre todas a de MAIOR valor. Esta, indica a linha ou a coluna da Matriz que recebe a 1ª alocação na casa de menor custo. A linha ou coluna saturada é eliminada do cálculo de novas penalidades. Repete-se o mesmo procedimento até a completa distribuição de origens e destinos.
  • 29. 144 144 14 (0) 52 (0) 63 (40) (0) 15 (2) (0) 1 2 2 C 2 1 1 2 2 C 1 2 2 3 3 42(40)(0) 5 2 12 (40) 10 (2) C 2 (2) C 3 1 1 L 3 (3) 1 L 2 3 (5) L 1 65(13)(0) 37(23)(0) (3) 2 C 4 4 1 (52) 7 6 (13) B 1 3 (14) 11 09 08 A L 4 IV III II I
  • 30. 9 x 23 = 207 3 x 14 = 42 6 x 13 = 78 1 x 52 = 52 10 x 2 = 20 12 x 40 = 480 ____________ 879 Método Otimizante U – V (MODI) (UNIVERSAL)
  • 31. O Método MODI melhora uma solução por qualquer método aproximativo, que será então a “SOLUÇÃO INICIAL”. Caso esta solução não possa ser melhorada (o MODI indicará) ela já será “ÓTIMA”. Não sendo, o método vai em busca da “SOLUÇÃO ÓTIMA”. OBS: O método não pode ser aplicado se a Solução Inicial for “DEGENERADA” (n° de casas insuficientes).
  • 32. O Método U – V tem pois, duas etapas 1ª Etapa: Teste de Otimicidade 2ª Etapa: Redistribuição pelo critério MODI caso a “Inicial não seja ótima”
  • 33. Seja pelo exemplo anterior a solução pela Regra Noroeste 14 52 63 15 42 5 (14) 2 (28) 12 10 C 65 4 1 (24) 7 (41) 6 B 37 3 11 9 (22) 8 (15) A IV III II I
  • 34. Matriz de Custos das Casas Ocupadas V 4 =6 V 3 =3 V 2 =9 V 1 =8 U 3 =-1 5 2 C U 2 =-2 1 7 B U 1 =0 9 8 A IV III II I
  • 35. Equação Básica C ij =U i +V j Passos para o Teste de Otimicidade: 1º Aplica-se valor “zero” a qualquer índice e pela “fórmula” calculamos os outros 2º Cálculo dos “Índices de Casas Vazias” – ICV Equação Básica I cvij =C ij -(U i +V j ) Índice negativo indica que a distribuição não é ótima e pode ser melhorada
  • 36. Como indicado: I AIII =11-(0+3)=8 I AIV =3-(0+6)=-3 (único valor negativo) I BI =6-(-2+8)=0 I BII =4-(-2+6)=0 I CI =10-(-1+8)=3 I CII =12-(-1+9)=4 Solução pode ser melhorada
  • 37. 2ª Etapa REDISTRIBUIÇÃO MODI Critério de Redistribuição: Circuito de Avaliação Tendo como vértice a casa vazia com indicador negativo, percorre-se um circuito fechado (sai e volta para a mesma casa) onde as outras casas só podem ser ocupadas (não pode existir duas casas vazias no circuito). O circuito é poligonal “quebrado” em cada vértice (casa ocupada).
  • 38. Matriz de Casas Ocupadas (Quantidades) Sinal positivo na casa vazia alternando-se com o negativo (-) 14 (+) 28 C (-) 24 (+) 41 B (+) (-) 22 15 A IV III II I
  • 39. Nova Matriz Quantidades Repete-se os passos anteriores até não existir indicador de casa vazia com sinal negativo, o que significa que a Solução Ótima foi encontrada Casa C IV =0 (vazia) 14 52 63 15 42 42 C 65 10 55 B 37 14 8 15 A IV III II I
  • 40. Matriz de Custos das Casas Ocupadas V 4 =3 V 3 =3 V 2 =9 V 1 =8 U 3 =-1 2 C U 2 =-2 1 7 B U 1 =0 3 9 8 A IV III II I
  • 41. Todos os valores positivos: “Solução Ótima foi encontrada” I AIII =11-(0+3)=8 I BI =0-(-2+8)=0 I BIV =4-(-2+3)=3 I CI =10-(-2+8)=3 I CII =12-(-1+9)=4
  • 42. Valores Positivos: SOLUÇÃO ÓTIMA 8 x 15 = 120 9 x 8 = 72 3 x 15 = 42 7 x 55 = 385 1 x 10 = 10 2 x 42 = 84 --------------- = 713
  • 43. Observações 1. Em todos os critérios de distribuição pelos métodos já vistos as casas “ALOCADAS” nada mais são do que as “RAIZES DO SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES” representadas matricialmente. 2. Os métodos apresentados, originalmente visam a obtenção de solução de “CUSTO TOTAL MÍNIMO”. Contudo os modelos matriciais, podem ser usados para obtenção de solução de “MAXIMIZAÇÃO”.
  • 44. Para tanto usamos o conceito de “DUALIDADE” que nos indica que maximizar uma função é também “MINIMIZAR” o seu simétrico. Assim MA XZ = M IN (-Z) O artifício aplicado consiste em multiplicarmos os “LUCROS UNITÁRIOS” ou o que se deseja “MAXIMIZAR” por (-1) selecionar o maior elemento com sinal negativo e somá-lo a si mesmo e todos os outros. Deste modo
  • 45. Observações Devemos ter o cuidado de ao extraímos a solução final após as alocações das quantidades, de transferirmos para a matriz original (de lucros) para o cálculo do Lucro No caso de modelo desequilibrado é indiferente equilibra-lo antes ou depois de transformamos a matriz de ganhos em matriz de custos.
  • 46. O Modelo das Atribuições (Designação) Este modelo de Programação Linear, para resolução de problemas de alocações (layout), tem grande utilidade em logística de distribuição, principalmente na resolução de problemas de layout e localização de centros de distribuição – CD, e até mesmo de pontos de vendas, e micro logística na área interna de produção e armazenamento em organizações industriais.
  • 47. O Modelo das Atribuições (Designação) O modelo de Designação é um modelo degenerado do problema de transporte onde as origens e os destinos são unitários e mutuamente exclusivos. A Matriz de designação recebe o nome de “MATRIZ DE EFICIÊNCIA” e originalmente tem de ser “EQUILIBRADA” (MATRIZ QUADRADA). Exemplo:
  • 48. Posições MÁQUINAS O Critério é o do CUSTO MÍNIMO Cada “ORIGEM” só pode ser alocada a um “ÚNICO DESTINO”, sendo ambos automaticamente saturados 1 1 1 1 1 C DIV C DIII C DII C DI D 1 C CIV C CIII C CII C CI C 1 C BIV C BIII C BII C BI B 1 C AIV X AIV C AIII X AIII C AII X AII C AI X AI A IV III II I
  • 49. Posições MÁQUINAS Solução: A  IV = 4 B  III= 3 C  I = 2 D  II = 5 8 11 5 10 D 6 5 4 2 C 9 3 8 10 B 4 6 7 5 A IV III II I
  • 50. Como vemos a solução algébrica do sistema de equações lineares será:
  • 51. ROTA AVIÕES O Problema passa a existir quando existe mais de uma origem para o mesmo destino ou vice-versa Exemplo Ilustrativo: 12 8 11 7 IV -7 -5 -4 -3 7 9 11 D 5 6 10 C 9 8 4 B 5 6 3 A III II I
  • 52. Matriz Equivalente para Fins de Alocação: Fase I Linhas O nº. de zeros é insuficiente. O problema se torna indeterminado Para superar a carência de “zeros” o matemático húngaro König, criou a “REGRA DE CORTES” para consecução de mais zeros. -3 -1 5 0 2 4 D 3 0 1 5 C 7 5 4 0 B 4 2 3 0 A IV III II I
  • 53. Passos para aplicação das regras de corte: 1 – Cortar o maior nº. De zeros de Matriz, como menor nº. De linhas ortogonais – verticais ou horizontais – (não podem ser inclinadas). Todos os zeros tem de ser cortados mesmo por uma só linha. 2 - Selecionar o elemento de menor valor não cortado, subtraí-lo de si mesmo. E todos os não cortados, e os some aos cortados duas vezes (em cruz) 3 – Os cortados uma só vez permanecem como estão.
  • 54. Fase II Coluna 2 0 1 4 D 0 0 0 5 C 4 5 3 0 B 1 2 2 0 A IV III II I
  • 55. No exemplo anterior: Menor número – 1 Cortado duas vezes – 5 e 4 NOVA MATRIZ Solução: A  IV = 7 B  I = 4 C  II = 6 D  III = 7 Os Custos são obtidos na matriz original Custo total ótimo C = 24 2 0 1 5 D 0 0 0 6 C 3 4 2 0 B 0 1 1 0 A IV III II I
  • 56. Como no modelo de transportes, os modelos de designação podem ser “DESIQUILIBRADOS”. Para equilibra-lo adiciona-se uma linha ou coluna (custo zero) para “QUADRAR” a matriz. Da mesma forma podemos usar o modelo para maximizar usando o mesmo artifício permitido pelo Teorema da Dualidade M ax Z = M in (-Z)
  • 57. Exemplo Ilustrativo: Seja uma empresa de distribuição de cargas fracionadas em área urbana com quatro caminhões para transporte de produtos para cinco localidades com rotas pré estabelecidas. Como atender os destinos para que os custos de distribuição sejam menores possíveis? DESTINOS VEÍCULOS 2 3 5 7 4 D 4 6 9 IV 2 6 8 10 C 2 7 5 9 B 2 8 11 12 A V III II I
  • 58. MATRIZ EQUILIBRADA FASE I DAS LINHAS E* VIRTUAL 0 0 0 0 0 E* 2 2 2 2 V -2 -2 -2 -2 3 5 7 4 D 4 6 9 IV 6 8 10 C 7 5 9 B 8 11 12 A III II I 0 0 0 0 0 E* 0 0 0 0 V 1 3 5 2 D 2 4 3 IV 4 6 5 C 5 3 7 B 6 9 10 A III II I
  • 59. Menor Cortado (2) Não tem Fase II (colunas) REGRA DE CORTES (1ª Iteração) 2ª Iteração 1 0 0 0 0 E* 0 0 0 0 V 0 2 4 1 D 2 3 2 IV 3 5 7 C 4 2 6 B 5 8 9 A III II I 3 0 0 0 0 E* 2 0 0 0 V 0 2 4 1 D 0 1 0 IV 1 3 5 C 4 0 4 B 3 6 7 A III II I
  • 60. 3ª Iteração A IV = 5 = X AII B II = 5 = X BII C V = 6 = X CV D I = 4 = X DI E III = 0 = X EIII -------------------- Valores na Matriz D. Inicial C TORIMO = 18 4 1 0 0 0 E* 2 0 1 0 V 0 1 3 0 D 0 1 0 IV 0 2 4 C 4 0 4 B 2 5 6 A III II I
  • 61. Logística de Distribuição METODOS DE ROTEIRIZAÇÃO: Solução por meio da teoria dos GRAFOS – REDES – Representação gráfica de programas de distribuição. NÓS – início ou fim de uma atividade / operação ou tarefas. Arcos ou Arestas (linhas) representam as operações ou outra unidade qualquer. GRAFOS – orientados (um único sentido) REDES – dois sentidos Capacidade de um ARCO xij i = origem (i j) j = destino
  • 62. Determinação do Fluxo Máximo Método aplicado: algoritmo de FORD-FULKERSON Os arcos representam: distâncias / tempo / custos / cargas / ton a transportar, etc. Exemplo ilustrativo: Deposito 1 ; Destino 9 Arcos em 10 ton Capacidade de Fluxo i = origem j = destino FIGURA 1
  • 63. Passos para seleção da rota de fluxo máximo Determinação das rotas: Caminho 1 2 4 7 9 Menor capacidade do caminho: menor valor de “i” No caso (3)_4 6(3)4 menor valor 3 Diminui-se este valor de cada origem “i” soma-se a cada “j”, logo: Novos “i” = 1 3 0 1 Novos “j” = 6 6 8 10
  • 65. Nova Rede – 2ª Interação
  • 66. Novo Caminho 1-3-5-7-9 Menor i=1 Novos i=0 3 3 0 Novos j=9 8 4 11 FIGURA 2
  • 67. Rede de Fluxo Máximo (capacidade 10 t) As capacidades finais de cada arco são obtidas pelas diferenças entre as capacidades finais da fig.2 e as iniciais da fig. 1
  • 68. Algoritmo de Dijkstra Seja a rede onde se deseja ir de 1 à 9 percorrendo o caminho mais curto Começamos com o Nó 1 rotulando de [0;0] porque não tem outros antes dele. A partir dele podemos ir para 2 ou 3 [1;3], saindo do Nó 1 e dura 4, idem para [1;4] e assim por diante. Caminho mais curso: 1 3 6 8 9 com distância de 12 und [8;12]
  • 69. Algoritmo de Prim Observe que a Rede não é orientada Ligação Mínima B A C F E D G I H Total = 23 (tempo de ligação mínima)
  • 70. OBRIGADO!!! Prof. Adm. Roberto Ibrahim Uehbe [email_address]