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Frete Médio por ton 3 1 58,75 Aeroviário 1 4 1,40 Dutoviário 2 5 0,73 Aquaviário 4 2 25,08 Rodoviário 5 3 2,50 Ferroviário Perigos e Dandos 1=menor Tempo Médio Entrega 1=mais rápido $/Ton-Milha Modal
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Representação Matricial ,[object Object],b3 b2 b1 Destino a2 C BIII X BIII C BII X BII C BI X BI B a1 C AIII X AIII C AII X AII C AI X AI A III II I Origens
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Critério de Distribuição de Cada Método
Regra do Noroeste ,[object Object],[object Object]
Exemplo Demonstrativo ,[object Object],144 14 52 63 15 Destinos  42 5 2 12 10 C 65 4 1 7 6 B 37 3 11 9 8 A Origens IV III II I
Distribuição pela Regra do Noroeste *Obs.: A casa ou célula que receba quantidades toma o nome de Casa Ocupada 14 (0) 52 (28) (0) 63 (41) (0) 15 (0) 42(14)(0) 14 28 C 65(24)(0) 24 41 B 37(22)(0) 22 15 A IV III II I
Porque Noroeste: As Casas ocupadas se distribuem segundo a diagonal (NW) 15 x 8 + 22 x 9 + 41 x 7 + 24 x 1 + 28 x 2 + 14 x 5 = 120 + 198 + 187 + 24 + 56 + 70 = 755
Método do Custo Mínimo ,[object Object],[object Object]
Exemplo Demonstrativo 144 144 14 (0) 52 (0) (0) 63 (42) (0) 15 (2) (0) Destinos  42(0) 5 2 12 (42) 10 C 65(13)(0) 4 1 (52) 7 6 (13) B 37(23)(21)(0) 3 (14) 11 9 (21) 8 (2) A Origens IV III II I
Exemplo Demonstrativo 8 x 2  =  16 9 x 21  = 198 3 x 14  =  42 6 x 13  =  78 1 x 52  =  52 12 x 42 = 504 881,00
Observações Importantes ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]
Observações Importantes ,[object Object],[object Object]
120 ------- 120 10 Destinos  0 C 0 B 0 A Origens * IV III II I
Observações Importantes ,[object Object],[object Object]
[object Object],[object Object],30+60=90 90 16 (0) 26 (9) (0) 33 (21) (0) 15 (0) Destinos  30(21)(9)(0) 0 0 (9) 0 (21) 0 C 17(0) 7 1 (17) 12 10 B 43(27)(12)(0) 4 (16) 9 8 (12) 6 (15) A Origens IV III II I
Modelo de Vogel ou das Penalidades ,[object Object],[object Object]
144 144 14 (0) 52 (0) 63 (40) (0) 15 (2) (0) 1 2 2 C 2 1 1 2 2 C 1 2 2 3 3 42(40)(0) 5 2 12 (40) 10 (2) C 2 (2) C 3 1 1 L 3 (3) 1 L 2 3 (5) L 1 65(13)(0) 37(23)(0) (3) 2 C 4 4 1 (52) 7 6 (13) B 1 3 (14) 11 09 08 A L 4 IV III II I
9 x 23  = 207 3 x 14  =  42 6 x 13  =  78 1 x 52  =  52 10 x 2  =  20 12 x 40 = 480 ____________ 879 Método Otimizante U – V (MODI) (UNIVERSAL)
[object Object],[object Object]
O Método U – V tem pois, duas etapas ,[object Object],[object Object]
Seja pelo exemplo anterior a solução pela Regra Noroeste 14 52 63 15 42 5 (14) 2 (28) 12 10 C 65 4 1 (24) 7 (41) 6 B 37 3 11 9 (22) 8 (15) A IV III II I
Matriz de Custos das Casas Ocupadas V 4 =6 V 3 =3 V 2 =9 V 1 =8 U 3 =-1 5 2 C U 2 =-2 1 7 B U 1 =0 9 8 A IV III II I
Equação Básica ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]
Como indicado: ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]
2ª Etapa REDISTRIBUIÇÃO MODI ,[object Object],[object Object]
Matriz de Casas Ocupadas (Quantidades) Sinal positivo na casa vazia alternando-se com o negativo (-) 14 (+) 28 C (-) 24 (+) 41 B (+) (-) 22 15 A IV III II I
Nova Matriz Quantidades Repete-se os passos anteriores até não existir indicador de casa vazia com sinal negativo, o que significa que a Solução Ótima foi encontrada Casa C IV =0 (vazia) 14 52 63 15 42 42 C 65 10 55 B 37 14 8 15 A IV III II I
Matriz de Custos das Casas Ocupadas V 4 =3 V 3 =3 V 2 =9 V 1 =8 U 3 =-1 2 C U 2 =-2 1 7 B U 1 =0 3 9 8 A IV III II I
Todos os valores positivos: “Solução Ótima foi encontrada” ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]
Valores Positivos: SOLUÇÃO ÓTIMA 8 x 15 = 120 9 x 8  =  72 3 x 15 =  42 7 x 55 = 385 1 x 10 =  10 2 x 42 =  84 --------------- = 713
Observações ,[object Object],[object Object],[object Object]
[object Object],[object Object],[object Object]
Observações ,[object Object],[object Object]
O Modelo das Atribuições (Designação) ,[object Object]
O Modelo das Atribuições (Designação) ,[object Object]
Posições MÁQUINAS O Critério é o do CUSTO MÍNIMO Cada “ORIGEM” só pode ser alocada a um “ÚNICO DESTINO”, sendo ambos automaticamente saturados 1 1 1 1 1 C DIV C DIII C DII C DI D 1 C CIV C CIII C CII C CI C 1 C BIV C BIII C BII C BI B 1 C AIV X AIV C AIII X AIII C AII X AII C AI X AI A IV III II I
Posições MÁQUINAS Solução: A  IV = 4 B  III= 3 C  I = 2 D  II = 5 8 11 5 10 D 6 5 4 2 C 9 3 8 10 B 4 6 7 5 A IV III II I
Como vemos a solução algébrica do sistema de equações lineares será:
ROTA AVIÕES O Problema passa a existir quando existe mais de uma origem para o mesmo destino ou vice-versa Exemplo Ilustrativo: 12 8 11 7 IV -7 -5 -4 -3 7 9 11 D 5 6 10 C 9 8 4 B 5 6 3 A III II I
Matriz Equivalente para Fins de Alocação: Fase I Linhas O nº. de zeros é insuficiente. O problema se torna indeterminado Para superar a carência de “zeros” o matemático húngaro  König, criou a “REGRA DE CORTES” para consecução de mais zeros. -3 -1 5 0 2 4 D 3 0 1 5 C 7 5 4 0 B 4 2 3 0 A IV III II I
Passos para aplicação das regras de corte: 1 – Cortar o maior nº. De zeros de Matriz, como menor nº. De linhas ortogonais – verticais ou horizontais – (não podem ser inclinadas). Todos os zeros tem de ser cortados mesmo por uma só linha. 2 - Selecionar o elemento de menor valor não cortado, subtraí-lo de si mesmo. E todos os não cortados, e os some aos cortados duas vezes (em cruz) 3 – Os cortados uma só vez permanecem como estão.
Fase II Coluna 2 0 1 4 D 0 0 0 5 C 4 5 3 0 B 1 2 2 0 A IV III II I
No exemplo anterior: Menor número – 1 Cortado duas vezes – 5 e 4 NOVA MATRIZ Solução: A    IV = 7 B    I = 4 C    II = 6 D    III = 7 Os Custos são obtidos na matriz original Custo total ótimo C  = 24 2 0 1 5 D 0 0 0 6 C 3 4 2 0 B 0 1 1 0 A IV III II I
Como no modelo de transportes, os modelos de designação podem ser “DESIQUILIBRADOS”. Para equilibra-lo adiciona-se uma linha ou coluna (custo zero) para “QUADRAR” a matriz. Da mesma forma podemos usar o modelo para maximizar usando o mesmo artifício permitido pelo Teorema da Dualidade M ax  Z = M in  (-Z)
Exemplo Ilustrativo: Seja uma empresa de distribuição de cargas fracionadas em área urbana com quatro caminhões para transporte de produtos para cinco localidades com rotas pré estabelecidas. Como atender os destinos para que os custos de distribuição sejam menores possíveis? DESTINOS VEÍCULOS 2 3 5 7 4 D 4 6 9 IV 2 6 8 10 C 2 7 5 9 B 2 8 11 12 A V III II I
MATRIZ EQUILIBRADA FASE I DAS LINHAS E* VIRTUAL 0 0 0 0 0 E* 2 2 2 2 V -2 -2 -2 -2 3 5 7 4 D 4 6 9 IV 6 8 10 C 7 5 9 B 8 11 12 A III II I 0 0 0 0 0 E* 0 0 0 0 V 1 3 5 2 D 2 4 3 IV 4 6 5 C 5 3 7 B 6 9 10 A III II I
Menor Cortado (2) Não tem Fase II (colunas) REGRA DE CORTES (1ª Iteração) 2ª Iteração 1 0 0 0 0 E* 0 0 0 0 V 0 2 4 1 D 2 3 2 IV 3 5 7 C 4 2 6 B 5 8 9 A III II I 3 0 0 0 0 E* 2 0 0 0 V 0 2 4 1 D 0 1 0 IV 1 3 5 C 4 0 4 B 3 6 7 A III II I
3ª Iteração A IV = 5 = X AII B II = 5 = X BII C V = 6 = X CV D I = 4 = X DI E III = 0 = X EIII -------------------- Valores na Matriz D. Inicial C TORIMO  = 18 4 1 0 0 0 E* 2 0 1 0 V 0 1 3 0 D 0 1 0 IV 0 2 4 C 4 0 4 B 2 5 6 A III II I
Logística de Distribuição ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]
Determinação do Fluxo Máximo ,[object Object],[object Object],[object Object],Arcos em 10 ton Capacidade de Fluxo i = origem j = destino FIGURA 1
Passos para seleção da rota de fluxo máximo ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]
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Métodos Quantitativos Aplicados à Logística

  • 1. Métodos Quantitativos Aplicados à Logística de Distribuição Prof. Adm. Roberto Ibrahim Uehbe
  • 2.
  • 3.
  • 4.
  • 5. Frete Médio por ton 3 1 58,75 Aeroviário 1 4 1,40 Dutoviário 2 5 0,73 Aquaviário 4 2 25,08 Rodoviário 5 3 2,50 Ferroviário Perigos e Dandos 1=menor Tempo Médio Entrega 1=mais rápido $/Ton-Milha Modal
  • 6.
  • 7.
  • 8.
  • 9.
  • 10.
  • 11.
  • 12.
  • 13.
  • 14.
  • 15. Critério de Distribuição de Cada Método
  • 16.
  • 17.
  • 18. Distribuição pela Regra do Noroeste *Obs.: A casa ou célula que receba quantidades toma o nome de Casa Ocupada 14 (0) 52 (28) (0) 63 (41) (0) 15 (0) 42(14)(0) 14 28 C 65(24)(0) 24 41 B 37(22)(0) 22 15 A IV III II I
  • 19. Porque Noroeste: As Casas ocupadas se distribuem segundo a diagonal (NW) 15 x 8 + 22 x 9 + 41 x 7 + 24 x 1 + 28 x 2 + 14 x 5 = 120 + 198 + 187 + 24 + 56 + 70 = 755
  • 20.
  • 21. Exemplo Demonstrativo 144 144 14 (0) 52 (0) (0) 63 (42) (0) 15 (2) (0) Destinos 42(0) 5 2 12 (42) 10 C 65(13)(0) 4 1 (52) 7 6 (13) B 37(23)(21)(0) 3 (14) 11 9 (21) 8 (2) A Origens IV III II I
  • 22. Exemplo Demonstrativo 8 x 2 = 16 9 x 21 = 198 3 x 14 = 42 6 x 13 = 78 1 x 52 = 52 12 x 42 = 504 881,00
  • 23.
  • 24.
  • 25. 120 ------- 120 10 Destinos 0 C 0 B 0 A Origens * IV III II I
  • 26.
  • 27.
  • 28.
  • 29. 144 144 14 (0) 52 (0) 63 (40) (0) 15 (2) (0) 1 2 2 C 2 1 1 2 2 C 1 2 2 3 3 42(40)(0) 5 2 12 (40) 10 (2) C 2 (2) C 3 1 1 L 3 (3) 1 L 2 3 (5) L 1 65(13)(0) 37(23)(0) (3) 2 C 4 4 1 (52) 7 6 (13) B 1 3 (14) 11 09 08 A L 4 IV III II I
  • 30. 9 x 23 = 207 3 x 14 = 42 6 x 13 = 78 1 x 52 = 52 10 x 2 = 20 12 x 40 = 480 ____________ 879 Método Otimizante U – V (MODI) (UNIVERSAL)
  • 31.
  • 32.
  • 33. Seja pelo exemplo anterior a solução pela Regra Noroeste 14 52 63 15 42 5 (14) 2 (28) 12 10 C 65 4 1 (24) 7 (41) 6 B 37 3 11 9 (22) 8 (15) A IV III II I
  • 34. Matriz de Custos das Casas Ocupadas V 4 =6 V 3 =3 V 2 =9 V 1 =8 U 3 =-1 5 2 C U 2 =-2 1 7 B U 1 =0 9 8 A IV III II I
  • 35.
  • 36.
  • 37.
  • 38. Matriz de Casas Ocupadas (Quantidades) Sinal positivo na casa vazia alternando-se com o negativo (-) 14 (+) 28 C (-) 24 (+) 41 B (+) (-) 22 15 A IV III II I
  • 39. Nova Matriz Quantidades Repete-se os passos anteriores até não existir indicador de casa vazia com sinal negativo, o que significa que a Solução Ótima foi encontrada Casa C IV =0 (vazia) 14 52 63 15 42 42 C 65 10 55 B 37 14 8 15 A IV III II I
  • 40. Matriz de Custos das Casas Ocupadas V 4 =3 V 3 =3 V 2 =9 V 1 =8 U 3 =-1 2 C U 2 =-2 1 7 B U 1 =0 3 9 8 A IV III II I
  • 41.
  • 42. Valores Positivos: SOLUÇÃO ÓTIMA 8 x 15 = 120 9 x 8 = 72 3 x 15 = 42 7 x 55 = 385 1 x 10 = 10 2 x 42 = 84 --------------- = 713
  • 43.
  • 44.
  • 45.
  • 46.
  • 47.
  • 48. Posições MÁQUINAS O Critério é o do CUSTO MÍNIMO Cada “ORIGEM” só pode ser alocada a um “ÚNICO DESTINO”, sendo ambos automaticamente saturados 1 1 1 1 1 C DIV C DIII C DII C DI D 1 C CIV C CIII C CII C CI C 1 C BIV C BIII C BII C BI B 1 C AIV X AIV C AIII X AIII C AII X AII C AI X AI A IV III II I
  • 49. Posições MÁQUINAS Solução: A  IV = 4 B  III= 3 C  I = 2 D  II = 5 8 11 5 10 D 6 5 4 2 C 9 3 8 10 B 4 6 7 5 A IV III II I
  • 50. Como vemos a solução algébrica do sistema de equações lineares será:
  • 51. ROTA AVIÕES O Problema passa a existir quando existe mais de uma origem para o mesmo destino ou vice-versa Exemplo Ilustrativo: 12 8 11 7 IV -7 -5 -4 -3 7 9 11 D 5 6 10 C 9 8 4 B 5 6 3 A III II I
  • 52. Matriz Equivalente para Fins de Alocação: Fase I Linhas O nº. de zeros é insuficiente. O problema se torna indeterminado Para superar a carência de “zeros” o matemático húngaro König, criou a “REGRA DE CORTES” para consecução de mais zeros. -3 -1 5 0 2 4 D 3 0 1 5 C 7 5 4 0 B 4 2 3 0 A IV III II I
  • 53. Passos para aplicação das regras de corte: 1 – Cortar o maior nº. De zeros de Matriz, como menor nº. De linhas ortogonais – verticais ou horizontais – (não podem ser inclinadas). Todos os zeros tem de ser cortados mesmo por uma só linha. 2 - Selecionar o elemento de menor valor não cortado, subtraí-lo de si mesmo. E todos os não cortados, e os some aos cortados duas vezes (em cruz) 3 – Os cortados uma só vez permanecem como estão.
  • 54. Fase II Coluna 2 0 1 4 D 0 0 0 5 C 4 5 3 0 B 1 2 2 0 A IV III II I
  • 55. No exemplo anterior: Menor número – 1 Cortado duas vezes – 5 e 4 NOVA MATRIZ Solução: A  IV = 7 B  I = 4 C  II = 6 D  III = 7 Os Custos são obtidos na matriz original Custo total ótimo C = 24 2 0 1 5 D 0 0 0 6 C 3 4 2 0 B 0 1 1 0 A IV III II I
  • 56. Como no modelo de transportes, os modelos de designação podem ser “DESIQUILIBRADOS”. Para equilibra-lo adiciona-se uma linha ou coluna (custo zero) para “QUADRAR” a matriz. Da mesma forma podemos usar o modelo para maximizar usando o mesmo artifício permitido pelo Teorema da Dualidade M ax Z = M in (-Z)
  • 57. Exemplo Ilustrativo: Seja uma empresa de distribuição de cargas fracionadas em área urbana com quatro caminhões para transporte de produtos para cinco localidades com rotas pré estabelecidas. Como atender os destinos para que os custos de distribuição sejam menores possíveis? DESTINOS VEÍCULOS 2 3 5 7 4 D 4 6 9 IV 2 6 8 10 C 2 7 5 9 B 2 8 11 12 A V III II I
  • 58. MATRIZ EQUILIBRADA FASE I DAS LINHAS E* VIRTUAL 0 0 0 0 0 E* 2 2 2 2 V -2 -2 -2 -2 3 5 7 4 D 4 6 9 IV 6 8 10 C 7 5 9 B 8 11 12 A III II I 0 0 0 0 0 E* 0 0 0 0 V 1 3 5 2 D 2 4 3 IV 4 6 5 C 5 3 7 B 6 9 10 A III II I
  • 59. Menor Cortado (2) Não tem Fase II (colunas) REGRA DE CORTES (1ª Iteração) 2ª Iteração 1 0 0 0 0 E* 0 0 0 0 V 0 2 4 1 D 2 3 2 IV 3 5 7 C 4 2 6 B 5 8 9 A III II I 3 0 0 0 0 E* 2 0 0 0 V 0 2 4 1 D 0 1 0 IV 1 3 5 C 4 0 4 B 3 6 7 A III II I
  • 60. 3ª Iteração A IV = 5 = X AII B II = 5 = X BII C V = 6 = X CV D I = 4 = X DI E III = 0 = X EIII -------------------- Valores na Matriz D. Inicial C TORIMO = 18 4 1 0 0 0 E* 2 0 1 0 V 0 1 3 0 D 0 1 0 IV 0 2 4 C 4 0 4 B 2 5 6 A III II I
  • 61.
  • 62.
  • 63.
  • 65. Nova Rede – 2ª Interação
  • 66.
  • 67.
  • 68.
  • 69.
  • 70.