O documento descreve o método simplex para resolver problemas de transporte na forma matricial. Apresenta um exemplo com dois centros de produção e três mercados consumidores, formulando o problema matematicamente e definindo a matriz de restrições A.
Este documento apresenta um resumo da Aula 1 do Programa de Computação Numérica sobre cálculo numérico. É introduzido o conteúdo programático da aula, que inclui operações com vetores, matrizes e funções. São também apresentados exemplos de aplicação dos conceitos, como multiplicação e adição de vetores, e propriedades de funções como crescente e decrescente.
Aula 7 - Funções Logarítmicas, Exponenciais e TrigonometricasTurma1NC
O documento apresenta definições e propriedades de funções elementares como exponenciais, logaritmos e funções trigonométricas. Inclui regras de exponenciação, propriedades dos logaritmos, identidades trigonométricas e fórmulas para conversão de ângulos.
Equações do 2ºgrau, Função Polinomial do 1º e 2º grau, Semelhanças, Segmentos...Zaqueu Oliveira
O documento apresenta um resumo sobre equações de segundo grau. Define o que é uma equação de segundo grau e explica os conceitos de coeficientes, raízes, equações completas e incompletas. Apresenta exemplos e atividades sobre identificação de coeficientes e resolução de equações.
Este documento fornece uma introdução às funções polinomiais de 2o grau. Discute como Galileu Galilei usou funções quadráticas para descrever o movimento de objetos sob a gravidade. Também define funções quadráticas como qualquer função na forma y = ax2 + bx + c, e discute como calcular e interpretar os vértices, zeros, máximos e mínimos dessas funções.
O documento descreve funções do primeiro grau, onde a temperatura de uma substância varia linearmente com o tempo de duas maneiras: aumentando ou diminuindo 10°C por minuto. As equações para calcular a temperatura T após t minutos são apresentadas como T = 30 + 10t para aumento e T = 30 - 10t para diminuição. Gráficos ilustram as duas funções lineares.
O documento descreve métodos iterativos para resolver sistemas de equações lineares, incluindo o método de Jacobi. Vários tipos de matrizes são discutidos, como matrizes densas, diagonais, triangulares e esparsas. O método de Jacobi é explicado como um processo iterativo para atualizar as variáveis até convergência para a solução.
Apostila de matemática aplicada vol i 2004aldobrasilro
Este documento é uma apostila de matemática aplicada dividida em capítulos. O capítulo 1 é uma revisão dos principais tópicos já estudados, incluindo cálculo numérico, percentuais, álgebra e equações do 1o e 2o grau.
Este documento apresenta um resumo da Aula 1 do Programa de Computação Numérica sobre cálculo numérico. É introduzido o conteúdo programático da aula, que inclui operações com vetores, matrizes e funções. São também apresentados exemplos de aplicação dos conceitos, como multiplicação e adição de vetores, e propriedades de funções como crescente e decrescente.
Aula 7 - Funções Logarítmicas, Exponenciais e TrigonometricasTurma1NC
O documento apresenta definições e propriedades de funções elementares como exponenciais, logaritmos e funções trigonométricas. Inclui regras de exponenciação, propriedades dos logaritmos, identidades trigonométricas e fórmulas para conversão de ângulos.
Equações do 2ºgrau, Função Polinomial do 1º e 2º grau, Semelhanças, Segmentos...Zaqueu Oliveira
O documento apresenta um resumo sobre equações de segundo grau. Define o que é uma equação de segundo grau e explica os conceitos de coeficientes, raízes, equações completas e incompletas. Apresenta exemplos e atividades sobre identificação de coeficientes e resolução de equações.
Este documento fornece uma introdução às funções polinomiais de 2o grau. Discute como Galileu Galilei usou funções quadráticas para descrever o movimento de objetos sob a gravidade. Também define funções quadráticas como qualquer função na forma y = ax2 + bx + c, e discute como calcular e interpretar os vértices, zeros, máximos e mínimos dessas funções.
O documento descreve funções do primeiro grau, onde a temperatura de uma substância varia linearmente com o tempo de duas maneiras: aumentando ou diminuindo 10°C por minuto. As equações para calcular a temperatura T após t minutos são apresentadas como T = 30 + 10t para aumento e T = 30 - 10t para diminuição. Gráficos ilustram as duas funções lineares.
O documento descreve métodos iterativos para resolver sistemas de equações lineares, incluindo o método de Jacobi. Vários tipos de matrizes são discutidos, como matrizes densas, diagonais, triangulares e esparsas. O método de Jacobi é explicado como um processo iterativo para atualizar as variáveis até convergência para a solução.
Apostila de matemática aplicada vol i 2004aldobrasilro
Este documento é uma apostila de matemática aplicada dividida em capítulos. O capítulo 1 é uma revisão dos principais tópicos já estudados, incluindo cálculo numérico, percentuais, álgebra e equações do 1o e 2o grau.
Este documento discute simplificação de expressões booleanas e circuitos lógicos. Revisa álgebra booleana, portas lógicas e circuitos lógicos representados por soma de produtos e produto de somas. Apresenta métodos de simplificação por postulados da álgebra booleana e mapa de Karnaugh, ilustrando como identificar termos adjacentes para obter expressões simplificadas.
O documento descreve as principais características das funções do 1o e 2o grau. No 1o grau, destaca-se a definição, gráfico, coeficientes angular e linear, raiz e estudo do sinal. No 2o grau, explica-se a definição, gráfico em forma de parábola, raiz, vértice, imagem e estudo do sinal. Por fim, aborda-se a função modular, equações e inequações modulares.
Este documento apresenta conceitos fundamentais de álgebra e funções matemáticas do 9o ano, incluindo equações de 2o grau, sistemas de equações, funções de proporcionalidade direta e inversa e funções afins. Fornece exemplos destes conceitos e suas representações gráficas.
O documento descreve as principais características das funções do 1o e 2o grau, incluindo definições, gráficos, raízes, vértice e estudo do sinal. É apresentada a noção de módulo e como resolvver equações e inequações modulares.
O documento apresenta um guia sobre módulos, equações e inequações modulares. É dividido em seções que apresentam a definição de módulo, propriedades, interpretação geométrica, exercícios resolvidos e propostos sobre módulos. As próximas seções abordam equações e inequações modulares, apresentando propriedades e exercícios resolvidos e propostos sobre esses tópicos. O objetivo é ensinar esses conceitos de forma prática através de exemplos e exercícios.
O documento apresenta uma lista de exercícios de matemática do 8o ano sobre equações produto. A lista inclui 28 exercícios que envolvem resolução de equações do primeiro e segundo grau utilizando fatoração, conjunto solução, números racionais e inteiros.
Investigação Operacional - Problema de TransporteAntonio Humbula
Este documento descreve o modelo de transporte, um problema de programação linear que busca minimizar o custo total do transporte de mercadorias entre origens e destinos. O modelo é representado por uma tabela com os custos de transporte entre cada par origem-destino e restrições de oferta e demanda. O texto explica como aplicar os métodos do canto noroeste e de Vogel para encontrar uma solução inicial ótima e depois refiná-la ainda mais.
O documento apresenta informações sobre funções lineares, sistemas lineares e exercícios de maximização e minimização de funções. Contém definições, exemplos resolvidos e gráficos de funções e sistemas lineares.
1. O documento apresenta um capítulo sobre revisão de tópicos de matemática aplicada como cálculo numérico, percentuais, álgebra e equações de 1o e 2o grau.
2. Inclui exemplos e exercícios resolvidos sobre frações, potenciação, radiciação, conversão entre números reais e percentuais e resolução de equações e sistemas.
3. Fornece as definições e propriedades necessárias para a resolução dos exercícios propostos.
Apostila de matemática aplicada vol i 2004Lúcio Costa
1. O documento apresenta um capítulo sobre revisão de tópicos de matemática aplicada como cálculo numérico, percentuais, álgebra e equações de 1o e 2o grau.
2. Inclui exemplos e exercícios resolvidos sobre frações, potenciação, radiciação, números percentuais e equações.
3. Fornece definições e propriedades sobre esses tópicos para revisar conceitos matemáticos básicos necessários em matemática aplicada.
As equações do segundo grau são abordadas na história da matemática desde a é...leosilveira
O documento aborda a história das equações do segundo grau desde a antiguidade, destacando que os babilônios foram os primeiros a registrar tais equações e resolvê-las por métodos geométricos semelhantes aos atuais. Posteriormente, gregos, hindus e chineses também estudaram e resolveram equações polinomiais do segundo grau.
O documento discute funções quadráticas. Explica que uma função quadrática relaciona uma variável independente x com uma variável dependente y através de uma equação do tipo y = ax2 + bx + c, onde a, b e c são constantes. Também mostra como interpretar os gráficos de funções quadráticas e identificar suas propriedades como vértice, raízes e concavidade.
O documento discute os pressupostos e estimadores da regressão linear simples. Resume os principais pontos da regressão linear, incluindo: (1) os pressupostos do modelo, (2) os estimadores de mínimos quadrados ordinários, e (3) as condições para a ausência de viés destes estimadores. O documento também apresenta respostas a uma questão de exame sobre regressão linear.
O documento apresenta uma introdução sobre a importância do estudo da matemática no dia a dia e resume os principais tópicos abordados: funções do 1o grau, equações de 2o grau, resolução de equações fracionárias e explicações sobre raízes, coeficientes angulares e progressões.
O documento apresenta uma introdução sobre a importância do estudo da matemática no dia a dia e resume os principais tópicos abordados: funções do 1o grau, equações de 2o grau, trigonometria, logaritmos e progressões. Exercícios são fornecidos para praticar cada tema.
O documento apresenta uma introdução sobre a importância do estudo da matemática no dia a dia e resume os principais tópicos abordados: funções do 1o grau, equações de 2o grau, trigonometria, logaritmos e progressões.
O documento apresenta uma introdução ao software MATLAB, abordando conceitos básicos, operações com matrizes, polinômios, cálculo diferencial e integral e equações diferenciais. É descrito o ambiente de trabalho do MATLAB, com explicações sobre variáveis, operadores matemáticos, funções trigonométricas, exponenciais e funções para resolução de sistemas lineares e cálculo de determinantes, raízes de polinômios e limites, derivadas, integrais e equações diferenciais.
1) O documento fornece uma lista de cábulas (algoritmos pré-programados) em Pascal para resolver problemas comuns em programação II, como ordenar vetores, inverter números, verificar se um número é primo, somar elementos de vetores e matrizes, entre outros.
2) Explica como usar essas cábulas para resolver rapidamente os exercícios e exames típicos do professor Chambel, evitando ter que programar tudo do zero.
3) Apresenta três exemplos de resolução de exercícios usando essas cábulas de forma
O documento descreve três grandes categorias de estruturas matemáticas usadas para modelar fenômenos da natureza: estruturas de ordem, estruturas algébricas e estruturas topológicas. As estruturas algébricas são definidas como conjuntos abstratos de objetos com operações e relações entre esses objetos que obedecem certas regras. Álgebras são estruturas algébricas com um conjunto de operações definidas sobre um conjunto. A álgebra de Boole é um exemplo importante de estrutura algébrica usada
Matemática Discreta - Parte VII estruturas algébricasUlrich Schiel
O documento descreve três grandes categorias de estruturas matemáticas usadas para modelar fenômenos da natureza: estruturas de ordem, estruturas algébricas e estruturas topológicas. As estruturas algébricas são definidas como conjuntos abstratos de objetos com operações e relações entre esses objetos que obedecem certas regras. Álgebras são estruturas algébricas com um conjunto de operações definidas sobre um conjunto. A álgebra de Boole é um exemplo importante de estrutura algébrica usada
Em um mundo cada vez mais digital, a segurança da informação tornou-se essencial para proteger dados pessoais e empresariais contra ameaças cibernéticas. Nesta apresentação, abordaremos os principais conceitos e práticas de segurança digital, incluindo o reconhecimento de ameaças comuns, como malware e phishing, e a implementação de medidas de proteção e mitigação para vazamento de senhas.
Este documento discute simplificação de expressões booleanas e circuitos lógicos. Revisa álgebra booleana, portas lógicas e circuitos lógicos representados por soma de produtos e produto de somas. Apresenta métodos de simplificação por postulados da álgebra booleana e mapa de Karnaugh, ilustrando como identificar termos adjacentes para obter expressões simplificadas.
O documento descreve as principais características das funções do 1o e 2o grau. No 1o grau, destaca-se a definição, gráfico, coeficientes angular e linear, raiz e estudo do sinal. No 2o grau, explica-se a definição, gráfico em forma de parábola, raiz, vértice, imagem e estudo do sinal. Por fim, aborda-se a função modular, equações e inequações modulares.
Este documento apresenta conceitos fundamentais de álgebra e funções matemáticas do 9o ano, incluindo equações de 2o grau, sistemas de equações, funções de proporcionalidade direta e inversa e funções afins. Fornece exemplos destes conceitos e suas representações gráficas.
O documento descreve as principais características das funções do 1o e 2o grau, incluindo definições, gráficos, raízes, vértice e estudo do sinal. É apresentada a noção de módulo e como resolvver equações e inequações modulares.
O documento apresenta um guia sobre módulos, equações e inequações modulares. É dividido em seções que apresentam a definição de módulo, propriedades, interpretação geométrica, exercícios resolvidos e propostos sobre módulos. As próximas seções abordam equações e inequações modulares, apresentando propriedades e exercícios resolvidos e propostos sobre esses tópicos. O objetivo é ensinar esses conceitos de forma prática através de exemplos e exercícios.
O documento apresenta uma lista de exercícios de matemática do 8o ano sobre equações produto. A lista inclui 28 exercícios que envolvem resolução de equações do primeiro e segundo grau utilizando fatoração, conjunto solução, números racionais e inteiros.
Investigação Operacional - Problema de TransporteAntonio Humbula
Este documento descreve o modelo de transporte, um problema de programação linear que busca minimizar o custo total do transporte de mercadorias entre origens e destinos. O modelo é representado por uma tabela com os custos de transporte entre cada par origem-destino e restrições de oferta e demanda. O texto explica como aplicar os métodos do canto noroeste e de Vogel para encontrar uma solução inicial ótima e depois refiná-la ainda mais.
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1. O documento apresenta um capítulo sobre revisão de tópicos de matemática aplicada como cálculo numérico, percentuais, álgebra e equações de 1o e 2o grau.
2. Inclui exemplos e exercícios resolvidos sobre frações, potenciação, radiciação, conversão entre números reais e percentuais e resolução de equações e sistemas.
3. Fornece as definições e propriedades necessárias para a resolução dos exercícios propostos.
Apostila de matemática aplicada vol i 2004Lúcio Costa
1. O documento apresenta um capítulo sobre revisão de tópicos de matemática aplicada como cálculo numérico, percentuais, álgebra e equações de 1o e 2o grau.
2. Inclui exemplos e exercícios resolvidos sobre frações, potenciação, radiciação, números percentuais e equações.
3. Fornece definições e propriedades sobre esses tópicos para revisar conceitos matemáticos básicos necessários em matemática aplicada.
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O documento aborda a história das equações do segundo grau desde a antiguidade, destacando que os babilônios foram os primeiros a registrar tais equações e resolvê-las por métodos geométricos semelhantes aos atuais. Posteriormente, gregos, hindus e chineses também estudaram e resolveram equações polinomiais do segundo grau.
O documento discute funções quadráticas. Explica que uma função quadrática relaciona uma variável independente x com uma variável dependente y através de uma equação do tipo y = ax2 + bx + c, onde a, b e c são constantes. Também mostra como interpretar os gráficos de funções quadráticas e identificar suas propriedades como vértice, raízes e concavidade.
O documento discute os pressupostos e estimadores da regressão linear simples. Resume os principais pontos da regressão linear, incluindo: (1) os pressupostos do modelo, (2) os estimadores de mínimos quadrados ordinários, e (3) as condições para a ausência de viés destes estimadores. O documento também apresenta respostas a uma questão de exame sobre regressão linear.
O documento apresenta uma introdução sobre a importância do estudo da matemática no dia a dia e resume os principais tópicos abordados: funções do 1o grau, equações de 2o grau, resolução de equações fracionárias e explicações sobre raízes, coeficientes angulares e progressões.
O documento apresenta uma introdução sobre a importância do estudo da matemática no dia a dia e resume os principais tópicos abordados: funções do 1o grau, equações de 2o grau, trigonometria, logaritmos e progressões. Exercícios são fornecidos para praticar cada tema.
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1) O documento fornece uma lista de cábulas (algoritmos pré-programados) em Pascal para resolver problemas comuns em programação II, como ordenar vetores, inverter números, verificar se um número é primo, somar elementos de vetores e matrizes, entre outros.
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O documento descreve três grandes categorias de estruturas matemáticas usadas para modelar fenômenos da natureza: estruturas de ordem, estruturas algébricas e estruturas topológicas. As estruturas algébricas são definidas como conjuntos abstratos de objetos com operações e relações entre esses objetos que obedecem certas regras. Álgebras são estruturas algébricas com um conjunto de operações definidas sobre um conjunto. A álgebra de Boole é um exemplo importante de estrutura algébrica usada
Matemática Discreta - Parte VII estruturas algébricasUlrich Schiel
O documento descreve três grandes categorias de estruturas matemáticas usadas para modelar fenômenos da natureza: estruturas de ordem, estruturas algébricas e estruturas topológicas. As estruturas algébricas são definidas como conjuntos abstratos de objetos com operações e relações entre esses objetos que obedecem certas regras. Álgebras são estruturas algébricas com um conjunto de operações definidas sobre um conjunto. A álgebra de Boole é um exemplo importante de estrutura algébrica usada
Semelhante a Aula de Fluxos em Redes - Problema do Transporte SIMPLEX (20)
Em um mundo cada vez mais digital, a segurança da informação tornou-se essencial para proteger dados pessoais e empresariais contra ameaças cibernéticas. Nesta apresentação, abordaremos os principais conceitos e práticas de segurança digital, incluindo o reconhecimento de ameaças comuns, como malware e phishing, e a implementação de medidas de proteção e mitigação para vazamento de senhas.
A linguagem C# aproveita conceitos de muitas outras linguagens,
mas especialmente de C++ e Java. Sua sintaxe é relativamente fácil, o que
diminui o tempo de aprendizado. Todos os programas desenvolvidos devem
ser compilados, gerando um arquivo com a extensão DLL ou EXE. Isso torna a
execução dos programas mais rápida se comparados com as linguagens de
script (VBScript , JavaScript) que atualmente utilizamos na internet
PRODUÇÃO E CONSUMO DE ENERGIA DA PRÉ-HISTÓRIA À ERA CONTEMPORÂNEA E SUA EVOLU...Faga1939
Este artigo tem por objetivo apresentar como ocorreu a evolução do consumo e da produção de energia desde a pré-história até os tempos atuais, bem como propor o futuro da energia requerido para o mundo. Da pré-história até o século XVIII predominou o uso de fontes renováveis de energia como a madeira, o vento e a energia hidráulica. Do século XVIII até a era contemporânea, os combustíveis fósseis predominaram com o carvão e o petróleo, mas seu uso chegará ao fim provavelmente a partir do século XXI para evitar a mudança climática catastrófica global resultante de sua utilização ao emitir gases do efeito estufa responsáveis pelo aquecimento global. Com o fim da era dos combustíveis fósseis virá a era das fontes renováveis de energia quando prevalecerá a utilização da energia hidrelétrica, energia solar, energia eólica, energia das marés, energia das ondas, energia geotérmica, energia da biomassa e energia do hidrogênio. Não existem dúvidas de que as atividades humanas sobre a Terra provocam alterações no meio ambiente em que vivemos. Muitos destes impactos ambientais são provenientes da geração, manuseio e uso da energia com o uso de combustíveis fósseis. A principal razão para a existência desses impactos ambientais reside no fato de que o consumo mundial de energia primária proveniente de fontes não renováveis (petróleo, carvão, gás natural e nuclear) corresponde a aproximadamente 88% do total, cabendo apenas 12% às fontes renováveis. Independentemente das várias soluções que venham a ser adotadas para eliminar ou mitigar as causas do efeito estufa, a mais importante ação é, sem dúvidas, a adoção de medidas que contribuam para a eliminação ou redução do consumo de combustíveis fósseis na produção de energia, bem como para seu uso mais eficiente nos transportes, na indústria, na agropecuária e nas cidades (residências e comércio), haja vista que o uso e a produção de energia são responsáveis por 57% dos gases de estufa emitidos pela atividade humana. Neste sentido, é imprescindível a implantação de um sistema de energia sustentável no mundo. Em um sistema de energia sustentável, a matriz energética mundial só deveria contar com fontes de energia limpa e renováveis (hidroelétrica, solar, eólica, hidrogênio, geotérmica, das marés, das ondas e biomassa), não devendo contar, portanto, com o uso dos combustíveis fósseis (petróleo, carvão e gás natural).
As classes de modelagem podem ser comparadas a moldes ou
formas que definem as características e os comportamentos dos
objetos criados a partir delas. Vale traçar um paralelo com o projeto de
um automóvel. Os engenheiros definem as medidas, a quantidade de
portas, a potência do motor, a localização do estepe, dentre outras
descrições necessárias para a fabricação de um veículo
3. SIMPLEX NA FORMA MATRICIAL
• Tablô Inicial:
• Base x1 x2 x3 x4 x5 b Base x1 x2 x3 x4 x5 b
• x3 1 0 1 0 0 3
• x4 0 1 0 1 0 4 xB A b
• x5 1 2 0 0 1 9
• ----------------------------------------------- -----------------------------------------------
• -5 -2 0 0 0 Z c Z
•
• Base x1 x2 x3 x4 x5 b
• b = (bB1, bB2, bB3);
• xB N B b cN = (c1, c2); cB = (c3, c4, c5);
•
• -----------------------------------------------
• cN cB Z
4. SIMPLEX NA FORMA MATRICIAL
•
• Dado uma problema de programação linear temos:
• Tablô inicial
• A b B N b O problema está na forma padrão mas não
• --------------- = ------------------- corresponde a uma solução no Simplex,
• c z cN cB Z porque o tablô não está na forma canônica.
•
•
• Pré-multiplicando a matriz referente às restrições por B-1 temos:
•
• I B-1 N B-1 b
• --------------------------------
• cB cN Z
5. SIMPLEX NA FORMA MATRICIAL
•
• Pré-multiplicando por ( – cB ) e somando com a linha da função objetivo temos:
•
• I B-1 N B-1 b
• ------------------------------------------------------------------- valor da solução atual
• 0 ത
𝒄N = cN - cB B-1 N Z - cBB-1 b
• custos relativos das valor atual da função objetivo
• variáveis não-básicas
• Escrevendo a expressão vetorial dos custos relativos individualmente para cada variável não-básica:
• ҧ
𝑐j = cj - cB B-1 aj para todo j Є NB onde NB é conjunto das variáveis não-básicas atuais.
• onde aj é a coluna da variável xj na matriz A.
7. MÉTODO U - V
Dado uma solução viável básica devemos determinar se a solução é ótima ou selecionar uma
variável para entrar na base.
Cálculo do custo relativo ഥ
𝑐ij para cada variável não-básica:
8. POSTO DA MATRIZ A
Sabemos que Posto (A) = m + n – 1. Ou seja, a matriz A não possui posto completo. Logo, temos
(m+n–1) restrições linearmente independente, para o qual uma base existe.
Para aplicarmos o método Simplex devemos completar o posto de A. Isso é feito pela adição
de uma variável artificial em uma das restrições.
Selecionamos a última restrição e aumentamos a matriz A com uma nova variável artificial ou
arco raiz xa tendo uma coluna em+n. Daqui em diante, A0 = (A, em+n).
Esse arco raiz sempre vai estar na base.
9. PROBLEMA DE TRANSPORTE
• Origens Destinos
• (centros de produção) (centros consumidores)
•
•
• . .
• . .
• . .
• ]]
• . .
• . .
• . .
• arco
• raiz
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
n
1
1
1
1
m
1
1
1
1
i
1
1
1
1
i
1
1
10. BASE PARA O PROBLEMA DE TRANSPORTE
Portanto, uma base para o problema de transporte será formada por (m+n) variáveis básicas,
sendo que a variável artificial xa associada ao arco raiz em+n sempre vai estar na base com
fluxo zero (xa = 0). Devido xa = 0 sempre então podemos atribuir qualquer valor para o seu
custo. Atribuímos ca = 0 para facilitar os cálculos.
Seja cB o vetor de custos das variáveis básicas, então
cB = (cB1 , cB2 , ..., cB(m+n)), portanto, com (m+n) elementos.
11. APLICAÇÃO 1:
• Considere uma companhia distribuidora de bebidas que tem 2 centros de produção – Araraquara e São
José dos Campos e 3 mercados consumidores principais – São Paulo, Belo Horizonte e Rio de Janeiro. O
custo unitário cij de se transportar uma unidade do produto de cada centro de suprimento a cada
mercado consumidor é dado na tabela abaixo. Nessa tabela, também são apresentadas as demandas
bj de cada mercado e a quantidade máxima disponível do produto em cada centro de produção ai no
próximo período.
Centro de
suprimento/Mercado
São Paulo (1) Belo Horizonte (2) Rio de Janeiro (3) Suprimento
disponível (ai )
Araraquara (1) 4 2 5 800
S. J. Campos (2) 11 7 4 1000
Demanda dos
mercados (bj )
500 400 900
12. FORMULAÇÃO DO PROBLEMA
• Definindo a variável xij como a quantidade do produto a ser enviada do centro de produção i, i = 1
(Araraquara), 2 (São José dos Campos), ao mercado j, j = 1 (São Paulo), 2 (Belo Horizonte, 3 (Rio de
Janeiro), o modelo que representa o problema é dado por:
• Minimizar z = 4x11 + 2x12 + 5x13 + 11x21 + 7x22 + 4x23
• Sujeito a: x11 + x12 + x13 = 800 (1)
• x21 + x22 + x23 = 1000 (2)
• x11 + x21 = 500 (3)
• x12 + x22 = 400 (4)
• x13 + x23 = 900 (5)
x11 ≥ 0, x12 ≥ 0, x13 ≥ 0, x21 ≥ 0, x22 ≥ 0, x23 ≥ 0 (6)
13. FORMULAÇÃO DO PROBLEMA
• Na matriz de restrição cada coluna está associada a uma variável xij. Dessa forma, reescrevendo a
matriz de restrição A do problema temos:
• Minimizar z = 4x11 + 2x12 + 5x13 + 11x21 + 7x22 + 4x23
• Suj a: x11 + x12 + x13 = 800
• x21 + x22 + x23 = 1000
• x11 + x21 = 500
• x12 + x22 = 400
• x13 + x23 = 900
x11 ≥ 0, x12 ≥ 0, x13 ≥ 0, x21 ≥ 0, x22 ≥ 0, x23 ≥ 0
Observe que as colunas da matriz de restrições A tem dois 1´s e o restante dos elementos são zero. Ou seja,
a coluna de A associada a variável xij tem 1 na i-ésima e j-ésima posições.
Onde i está associado as origens e j associado aos destinos.
15. FORMULAÇÃO DO PROBLEMA
• Adicionando na matriz A uma variável artificial (arco raiz) xa tendo como coluna em+n = e5.
• Minimizar z = 4x11 + 2x12 + 5x13 + 11x21 + 7x22 + 4x23
• Suj a: x11 + x12 + x13 = 800
• x21 + x22 + x23 = 1000
• x11 + x21 = 500
• x12 + x22 = 400
• x13 + x23 + xa = 900
• x11 ≥ 0, x12 ≥ 0, x13 ≥ 0, x21 ≥ 0, x22 ≥ 0, x23 ≥ 0, xa ≥ 0.
16. MATRIZ A DO PROBLEMA
• Cada coluna associada a uma variável xij. Temos a coluna da variável xa associada ao arco raiz e5.
• x11 x12 x13 x21 x22 x23 xa
• 1 1 1 0 0 0 0 i = 1, 2
• 0 0 0 1 1 1 0
• A = 1 0 0 1 0 0 0
• 0 1 0 0 1 0 0 j = 1, 2, 3
• 0 0 1 0 0 1 1
Observe que as colunas da matriz A tem dois 1´s e o restante dos elementos são zero. Ou seja, a coluna de
A associada a variável xij tem 1 na i-ésima e j-ésima posições.
Onde i está associado as origens e j associado aos destinos.
17. CALCULO DOS CUSTOS RELATIVOS ҧ
𝑐ij
• Escrevendo a expressão vetorial dos custos relativos individualmente para cada variável não-básica:
• ҧ
𝑐j = cj - cB B-1 aj para todo j Є NB onde NB é conjunto das variáveis não-básicas
atuais.
• onde aj é a coluna da variável xj na matriz A.
• Entretanto, as variáveis no problema de transporte tem dois índices. Logo, reescrevendo a expressão
acima, temos:
• ҧ
𝑐ij = cij - cB B-1 aij para todo (i, j) Є NB onde NB é conjunto das variáveis não-básicas
atuais.
• onde aij é a coluna da variável xij na matriz A.
18. CALCULO DOS CUSTOS RELATIVOS cij
• ҧ
𝑐ij = cij - cB B-1 aij para todo (i, j) Є NB onde NB é conjunto das variáveis não-básicas
atuais.
• onde aij é a coluna da variável xij na matriz A.
• Fazendo w = cB B-1 onde w = (u1, u2 ,... , um, v1, v2 ,..., vn)
• ҧ
𝑐ij = cij - waij
• Temos, para toda variável (i, j) não-básica ҧ
𝑐ij = cij - ( ui + vj ) (1)
19. CALCULO dos ui´s e vj´s
Para toda variável básica xij, ҧ
𝑐ij = 0. logo,
•
• ҧ
𝑐ij = cij - ( ui + vj ) → cij - ( ui + vj ) = 0
• Ou seja, ui + vj = cij ∀ (i , j) básico. (2)
• Devemos resolver o sistema linear (2), o qual é de ordem (m+n), para encontrar os
valores de ui´s e vj´s.
• Obtido os valores de ui´s e vj´s aplica-se na fórmula (1) para calcular os custos
relativos das variáveis não-básicas.
A resolução do sistema linear (2) é fácil e imediata porque a matriz associada é
formada por 1´s e 0´s e está na forma triangular.
20. MÉTODO U - V
Exemplo 1:
Considere três armazéns que devem abastecer quatro mercados. A capacidade dos
armazéns são a1 = 3, a2 = 7, a3 = 5. A demanda nos mercados são b1 = 4, b2 = 3, b3 = 4, b4 = 4.
Os custos de transporte são:
σ𝑖=1
3
𝑎𝑖 = σ𝑗=1
4
𝑏𝑗 = 15
M1 M2 M3 M4
A1 2 2 2 1
A2 10 8 5 4
A3 7 6 6 8
30. • A variável x31 entra na base.
•
• u1 = -1
•
• u2 = 7
•
• u3 = 8
•
•
• v1 = 3 v2 = 1 v3 = -2 v4 = 0
• Precisamos fazer o Teste da Razão para saber que variável deve sair da base.
Armazéns/Mercados M1 M2 M3 M4 Oferta
A1
x11 = 3 x12 x13 x14
3
A2
x21 =1 x22 = 3 x23 = 3 x24
7
A3
x31 x32 x33 = 1 x34 = 4
5
Demanda 4 3 4 4
2 2 2
10 8 5
7 6 6
1
4
8
31. 𝜃 é aumentado o máximo possível de modo que a solução permaneça não-negativa.
O máximo valor de 𝜃 é limitado pelas variáveis básicas que decrescerão de 𝜃.
A variável básica que se tornará zero primeiro, é removida da base.
•
•
•
•
•
•
•
•
• 𝜃 = min {1, 1} = 1 ; Neste caso o valor máximo de 𝜃 é 1, e a variável básica x21 sai da base,
enquanto a variável x31 entra na base.
• Devido ter dado empate no Teste da Razão, temos duas variáveis candidatas a deixar a
base. A escolha é arbitrária. Neste caso a variável x33 permanece na base com valor zero.
Armazéns/Mercado
s
M1 M2 M3 M4 Oferta
A1
x11 = 3 x12 x13 x14
3
A2
x21 =1
1- 𝜽
x22 = 3 x23 = 3
3+ 𝜽
x24
7
A3
x31
+ 𝜽
x32 x33 = 1
1- 𝜽
x34 = 4
5
Demanda 4 3 4 4
32. PIVOTEAMENTO.
• Consiste em somente ajustar os valores das variáveis básicas.
• 𝜃 = min {1, 1} = 1; a variável básica x21 sai da base, enquanto a variável x31 entra na base.
•
•
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•
•
•
•
• Observação: Temos uma solução viável básica degenerada. Isso acontece frequentemente
em problemas de Fluxo em Redes.
Armazéns/Mercados M1 M2 M3 M4 Oferta
A1
x11 = 3 x12 x13 x14
3
A2
x21 x22 = 3 x23 = 4 x24
7
A3
x31 =1 x32 x33 = 0 x34 = 4
5
Demanda 4 3 4 4