Propriedades dos fluidos e equações fundamentais

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE SÃO PAULO – CEFET-SP
ÁREA INDUSTRIAL
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Data:
28/03/08
Disciplina: Mecânica dos Fluidos
Professor:
Caruso
Sumário
1 PROPRIEDADES FÍSICAS DOS FLUIDOS 3
1.1 FLUIDO IDEAL E REAL 3
1.2 PROPRIEDADES 4
1.2.1 MOBILIDADE 4
1.2.2 COMPRESSIBILIDADE 4
1.2.3 PESO ESPECÍFICO () 5
1.2.4 MASSA 5
1.3 VOLUME (V) 7
1.3.1 VOLUME ESPECÍFICO (V) 7
1.4 PRESSÃO (P) 7
1.4.1 PRESSÃO ABSOLUTA E PRESSÃO RELATIVA 9
1.4.2 PRESSÃO ATMOSFÉRICA 9
1.5 TEMPERATURA (T) 9
1.5.1 VARIAÇÃO DAS PROPRIEDADES DOS FLUIDOS COM A TEMPERATURA 10
1.6 EQUAÇÕES DE ESTADO TÉRMICAS 11
1.6.1 CONSTANTE DOS GASES 12
1.7 OUTRAS PROPRIEDADES DOS FLUIDOS 13
1.7.1 COESÃO 13
1.7.2 ADESÃO 13
1.7.3 TENSÃO SUPERFICIAL 13
2 ESTÁTICA DOS FLUIDOS 14
2.1 TEOREMA DA VARIAÇÃO DA PRESSÃO 14
2.2 PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES 15
2.3 PRINCÍPIO DE PASCAL 16
3 FLUIDODINÂMICA 17
3.1 DEFINIÇÕES 17
3.1.1 ESCOAMENTO 17
3.1.2 CORRENTE FLUIDA 17
3.1.3 MÉTODO DE EULER PARA O ESTUDO DOS FLUIDOS 17
3.2 CLASSIFICAÇÃO DO ESCOAMENTO 18
3.2.1 ESCOAMENTO LAMINAR E TURBULENTO 18
3.2.2 ESCOAMENTO UNIFORME 19
3.2.3 ESCOAMENTO VARIÁVEL 19
3.2.4 ESCOAMENTO PERMANENTE 20
3.2.5 ESCOAMENTO NÃO PERMANENTE 20
3.2.6 ESCOAMENTO ROTACIONAL 20
3.2.7 ESCOAMENTO IRROTACIONAL 20
3.2.8 LINHA DE CORRENTE 20
3.2.9 TUBO DE CORRENTE 21
3.3 VISCOSIDADE 21
3.3.1 COEFICIENTE DE VISCOSIDADE DINÂMICA () 22
3.3.2 VISCOSIDADE CINEMÁTICA () 23
3.3.3 VISCOSIDADE TÉCNICA 24
3.3.4 SISTEMA PRÁTICO SAE 24
3.4 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE 25
3.5 VAZÃO (Q) 27

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3.6 EQUAÇÃO DE BERNOULLI 28
3.7 EQUAÇÃO DE BERNOULLI NA PRESENÇA DE MÁQUINA 30
3.8 POTÊNCIA NA CORRENTE FLUIDA 30
3.9 EQUAÇÃO DE BERNOULLI PARA FLUIDO REAL 31
3.9.1 PERDA DE CARGA 32
3.9.2 PERDAS DE CARGA – FÓRMULAS RACIONAIS 34
4 INFORMAÇÕES COMPLEMENTARES 36
APÊNDICE 54
5 ÍNDICES 63
5.1 ÍNDICE DE TABELAS 63
5.2 ÍNDICE DE FIGURAS 64
6 REFERÊNCIAS 65

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1 Propriedades Físicas dos Fluidos
A matéria apresenta-se no estado sólido ou no estado fluido, este compreendendo os esta-
dos líquido e gasoso. O espaçamento e a atividade intermoleculares são maiores nos gases,
menores nos líquidos e muito reduzidas nos sólidos. Enquanto um fluido é uma substância
que muda continuamente de forma enquanto existir uma tensão de cisalhamento, ainda que
esta seja muito pequena, um corpo elástico quando submetido a uma tensão de cisalhamen-
to, deforma-se e eventualmente inicia um deslocamento ou se rompe.
O que diferencia os fluidos líquidos dos fluidos gasosos é que certa porção de líquido tem
volume próprio enquanto a mesma porção de gás sempre tende a ocupar totalmente o reci-
piente que o contém ou expandir-se infinitamente (caso não esteja contido em recipiente).
O bloco mostrado na figura 1 (a), muda de forma de maneira conveniente caracterizada pelo
ângulo , quando submetido à tensão . Se fosse um elemento fluido, como o mostrado na
figura 1 (b), não haveria  quando submetido a uma tensão de cisalhamento; ao contrário,
persistirá uma deformação contínua enquanto for aplicada uma tensão de cisalhamento .
Admite-se então que os fluidos são aquelas substâncias que se deformam continuamente
quando submetidos a uma tensão de cisalhamento (não apresentando ruptura).
  
(a) (b)

Figura 1 – Definição de sólido e fluido.
Os fluidos são compostos de moléculas em movimento constante, onde ocorrem colisões
freqüentes. Para melhor análise, deve-se considerar a ação de cada molécula ou grupo de
moléculas, em um escoamento. Tais considerações são pouco práticas na maioria dos pro-
blemas que corriqueiramente são encontrados. Interessam as manifestações médias mensu-
ráveis de várias moléculas (por exemplo: densidade1
, pressão2
e temperatura3
). Pode-se
considerar que essas manifestações surjam de uma distribuição conveniente da matéria,
que se denomina de contínuo, ao invés de um aglomerado de moléculas discretas. Ou seja,
no estudo dos fluidos, desprezam-se o espaçamento e a atividade intermoleculares, consi-
derando-o como um meio contínuo, que pode ser dividido infinitas vezes, em partículas flui-
das, entre as quais se supõe não haver vazios4
.
1.1 Fluido Ideal e Real
No estudo dos fluidos, considera-se como fluido ideal:
a) A pressão e a velocidade de um ponto qualquer da corrente fluida não variam com o
tempo;
1
Ver definição nos itens 1.2.4.1 (página 6) e 1.2.4.2 (página 6)
2
Ver definição no item 1.4, página 7
3
Ver definição no item 1.5, página 9
4
Ver também o item 3.1.3, página 17

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b) A viscosidade5
é nula;
c) A pressão atua na direção normal à superfície;
d) Nenhum trabalho é requerido para modificar a forma do fluido.
Por outro lado, o fluido real:
a) Geralmente as partículas fluidas deslocam-se segundo trajetórias curvilíneas e irregula-
res;
b) A viscosidade não é nula, influenciando o comportamento do fluido;
c) A distribuição das pressões não é uniformemente distribuída, não seguindo as leis da
fluidostática6
.
1.2 Propriedades
1.2.1 Mobilidade
Os fluidos (líquidos e gases), em estado de repouso, não resistem a tensões transversais,
de modo que somente transmitem pressões normais às superfícies dos corpos que os con-
têm. Em outras palavras, os líquidos e gases se adaptam à forma dos corpos que os con-
têm, sem oferecer resistência.
1.2.2 Compressibilidade
Podemos variar o volume dos gases de uma maneira qualquer, ocupando todo o volume dos
corpos em que estão contidos. Já os líquidos são praticamente incompressíveis.
Mesmo um gás, que é altamente compressível contudo, poderá sofrer variações desprezí-
veis em sua massa específica7
. O seu escoamento será assim, praticamente incompressível.
Por exemplo, no vôo de aeronaves, em velocidades muito abaixo da velocidade do som, o
movimento do ar, relativamente às asas, é aproximadamente incompressível.
Nos estudos relativos a grandes pressões, há de se levar em consideração a compressibili-
dade dos fluidos líquidos. São os casos de jatos de água para corte de materiais altamente
resistentes, construção de estruturas submersas a grandes profundidades, entre outros e-
xemplos.
A compressibilidade dos líquidos é expressa pelo seu módulo de elasticidade volumétrica
"E". Sob a ação de uma força F

, seja V o volume de um fluido à pressão unitária p. Ao a-
crescentar-se F

 à força, a pressão aumentará de p e o volume diminuirá de V. A varia-
ção relativa de volume será V/V e o módulo de elasticidade volumétrico será:
V
ΔV
Δp
E 
em que o sinal negativo indica que ao aumento de pressão, corresponde uma diminuição de
volume. Usualmente, por se tratar de "módulo", eliminamos o sinal negativo. Outra grandeza
também definida é o coeficiente de compressibilidade "C", que é o inverso do módulo de e-
lasticidade volumétrico; assim,
E
1
C 
O módulo de elasticidade volumétrico da água, por exemplo, é de E = 21800 kgf.cm–2
. O co-
eficiente de compressibilidade vale C = 4,5872 x 10–5
cm2
.kgf–1
 0,00005 cm2
.kgf–1
, o que
mostra que a água é praticamente incompressível.
5
Ver definição no item 3.3, página 21.
6
Ver item 2, página 14
7
1.2.4.1, página 6

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Tabela 1 – Módulo de Elasticidade volumétrico.
FLUIDO
MÓDULO DE ELASTICIDADE
VOLUMÉTRICA E, [kgf.cm–2
]
Água, 0o
C 19900
Água, 10o
C 20900
Água, 20o
C 21800
Água, 30o
C 22000
Água, 40o
C 22100
Água, 50o
C 22100
Água, 60o
C 22200
Água salgada, 20o
C 23980
Álcool 12250
Azeite de oliva 16100
Benzeno 10500
Éter, 14o
C 79000
Gasolina 13300
Glicerina, 20o
C 44100
Mercúrio, 20o
C 266000
Óleo 13300
Petróleo 12000
Querosene 13000
1.2.3 Peso Específico ()
É o peso do fluido por unidade de volume. É a força que a Terra exerce sobre a unidade de
volume do fluido.
V
G
γ 
onde: G  peso, [N]
V  volume, [m3
]
  peso específico, [N.m–3
]
Tabela 2 – Unidades de medida de peso específico.
[N.m
–3
] [kgf.m
–3
] [dyn.cm
–3
] [lbf.in
–3
]
1N.m
–3
1 0,10197162 0,1 3,6840x10
–6
1kgf.m
–3
9,80665 1 0,980665 3,6128x10
–5
1dyn.cm
–3
10 1,01971621298 1 3,6840x10
–5
1lbf.in
–3
271447,1375 27679,90471 27144,7137 1
1.2.4 Massa
É a quantidade de matéria contida num corpo sólido ou fluido. A unidade de massa no SI é o
quilograma ([kg]), que é a massa de um cilindro especial de liga irídio-platina conservado
sob vácuo à temperatura de 0o
C, no Bureau International des Poids et Mesures em Sèvres,
França (chamado Protótipo Internacional do Quilograma)8
.
8
Ver também a Tabela 26 – Unidades do Sistema Internacional de Unidades.

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Figura 2 – Protótipo Internacional do quilograma.
Tabela 3 – Unidades de medida de massa.
[kg] [g] [kgf.s
2
.m
–1
]
9
[lbm]
10
[slug]
1kg 1 1000 0,1020 2,2046 6,8522x10
–2
1g 0,001 1 9806,65 2,2046x10
–3
6,8522x10
–5
1kgf.s
2
.m
–1
9,8066 9806,65 1 21,6170 0,6720
1lbm 0,4536 453,5924 21,6170 1 3,1081x10
–2
1slug 14,5939 14593,9029 1,4882 32,1740 1
1.2.4.1 Massa Específica ou Densidade Absoluta ()
É a massa de fluido contida na unidade de volume.
V
m
ρ 
onde: m  massa, [kg]
  massa específica, [kg.m–3
]
Tabela 4 – Unidades de medida de massa específica.
[kg.m
–3
] [kgf.s
2
.m
–4
] [g.cm
–3
] [lbm.ft
–3
]
1kg.m
–3
1 0,1020 0,001 6,2428x10
–2
1kgf.s
2
.m
–4
9,8066 1 9,8066x10
–3
0,6122
1g.cm
–3
1000 101,9716 1 62,4278
1lbm.ft
–3
16,0185 1,6334 0,0160 1
1.2.4.2 Densidade Relativa
11
()
É a relação entre a massa (ou peso) de determinado volume de um corpo considerado e a
massa (ou o peso) de igual volume de um fluido padrão, convencionado internacionalmente
como sendo a água à temperatura de 4ºC. A densidade é uma grandeza adimensional, co-
mo a própria definição nos indica:
1
2
m
m
 ou
1
2
w
w
 ou
1
2



onde as grandezas com índice "2" são as do fluido considerado e as de índice "1", as de á-
gua.
Convenientemente, o fluido padrão poderá ser qualquer fluido que se deseja. Na indústria do
petróleo, por exemplo, adota-se como fluido padrão, por exemplo, óleo cru, convencionado
entre as companhias petrolíferas; para a indústria do álcool, o álcool desidratado (100%).
9
Também conhecida como "Unidade Técnica de Massa" [utm].
10
É comum a notação "lb", porém é preferível, a notação utilizada (para não ser confundida com a unidade de
força, "lbf")
11
O termo mais utilizado é o de "densidade". Somente quando não é óbvio, utiliza-se "densidade relativa".

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A densidade pode ser determinada, para os líquidos, quando necessária uma contínua ava-
liação da densidade (como nos processos químicos), por aparelhos denominados aerôme-
tros. São constituídos por flutuadores em que o nível de submersão mede a densidade do
líquido no qual estão submersos. Alguns tipos conhecidos são o Alcoômetro, Barkômetro,
Aerômetro Baumè, Sacarômetro, Salinômetro, etc.
1.3 Volume (V)
O volume é o espaço ocupado pela massa de um fluido. Sob condições físicas constantes, o
volume é função de sua massa.
1.3.1 Volume Específico (v)
É o volume do fluido referido à sua massa:
m
V
v 
onde: v  volume esapecífico, [m3
.kg–1
]
Tabela 5 – Unidades de medida de volume.
[m
3
] [cm
3
] [l] [yd
3
]
12
[ft
3
]
13
[in
3
]
14
[gal]
15
1m
3
1 10
6
1000 1,3080 35,3147 61023,7441 264,1720
1cm
3
10
–6
1 0,001 1,3080x10
–6
3,531x10
–5
6,1024x10
–2
2,642x10
–4
1l 0,001 1000 1 1,3080x10
–6
3,531x10
–2
61,0237 0,2642
1yd
3
0,7646 764554,8580 764,5549 1 27 46656,0000 201,9740
1ft
3
0,0283 28316,8466 28,3168 0,0370 1 1728,0000 7.4805
1in
3
1,6387x10
–5
16,3871 0,0164 2,1433x10
–5
5,7870x10
–4
1 0,00433
1gal 0,003785 3785,4118 3,7854 0,0050 0,1337 231,0000 1
1.4 Pressão (p)
À grandeza escalar que relaciona uma força normal aplicada sobre uma superfície denomi-
namos de pressão:
A
F
p 
onde: F  força, [N]
A  área, [m2
]
p  pressão, [Pa]
1Pa = 1 [N.m–2
]
Tabela 6 – Unidades de medida de pressão.
[Pa] [atm] [bar] [PSI]
16
[torr] [inHg] [inH2O]
1Pa 1 9,8692x10
–6
10
–5
1,4504x10
–4
7,5006x10
–3
2,9530x10
–4
4,0186x10
–3
1atm 101325 1 1,0132 14,6959 760 29,9213 407,1894
1bar 10
5
0,9869 1 14,5038 750,0617 29,5300 401,8647
1PSI 6894,7573 6,8046x10
–2
6,8948x10
–2
1 51,7149 2,0360 27,7076
1torr 133,3224 1,3158x10
–3
1,3332x10
–3
1,9337x10
–2
1 3,9370x10
–2
0,5358
1inHg 3386,3882 3,3421x10
–2
3,3864x10
–2
0,4912 25,4 1 13,6087
1inH2O 248,84 2,4559x10
–3
0,002488 3,6091x10
–2
1,8665 0,07348 1
12
Abreviatura de jarda ("yard")
13
Abreviatura de pé ("foot")
14
Abreviatura de polegada ("inch")
15
Abreviatura de galão ("gallon")
16
Abreviatura de libra-força por polegada quadrada ("pound per square inch")

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Nos fluidos, a pressão atua sobre as superfícies limítrofes e sobre a parte interna do siste-
ma. A força 'F' pode ser produzida pelo peso próprio do meio, carga externa ou ambos.
A pressão produzida pelo peso próprio "G" da coluna líquida ou gasosa sobre a superfície de
fundo "A" de um recipiente [figura 3 (a)], é dada por:
h1
h2
Fluido gasoso
Fluido
líquido
A
a) pressão produzida
pelo peso próprio
b) pressão produzida
por carga externa
F

Figura 3 – Pressão nos líquidos e gases
Da figura:
A
gm
A
G
p


mas,
A
ghA
A
gV
p




e, portanto:
p =   g  h
mas como:
 =   g
temos finalmente:
hp 
Vê-se que a pressão devida ao peso próprio é função da altura "h" da coluna líquida (ou ga-
sosa). A equação acima é válida quando  e  forem independentes da altura "h". Em recipi-
entes de formato qualquer, esta equação também é aplicada, pois a pressão se propaga
uniformemente em todas as direções (figura 4). O instrumento que mede pressão é o ma-
nômetro.
h
h1h2h3
Figura 4 – Pressão produzida pelo peso próprio em um recipiente qualquer

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1.4.1 Pressão Absoluta e Pressão Relativa
A pressão ambiente denomina-se pressão de referência (pref) e geralmente (mas nem sem-
pre) corresponde à pressão atmosférica (figura 5).
Sendo a pressão absoluta dentro de um recipiente maior que a pressão de referência, um
manômetro mede uma diferença de pressão positiva (sobrepressão); sendo menor, mede
uma diferença de pressão negativa (subpressão ou vácuo).
pressão
absoluta
0
Sobrepressão
a
Sobrepressão
b
Vácuo
Pref.
c
Pref.a
Pref.bFigura 5 – Definições de pressão
Para caracterizar o estado de uma substância qualquer, usa-se sempre a pressão absoluta.
A maioria dos aparelhos de medir pressão, não mede a pressão absoluta, mas sim a dife-
rença de pressão em relação a uma pressão de referência, que também precisa ser deter-
minada. É o que ocorre com o manômetro de tubo "U". Para a mesma pressão absoluta do
sistema, variações de pressão de referência conduzem a diferentes valores da sobrepressão
ou do vácuo.
1.4.2 Pressão Atmosférica
A camada mais externa da Terra é gasosa e recebe o nome de atmosfera. Os gases da at-
mosfera são mais densos nas altitudes menores e mais rarefeitos à medida que a altura au-
menta, atingindo cerca de 100km de altitude. O peso dessa coluna produz a pressão at-
mosférica.
A pressão atmosférica varia com a altitude de acordo com a seguinte relação:












z
p
g
epp 0
0
0
onde: p0  pressão atmosférica = 101325 Pa, a 20o
C
ar  1,20 kg.m–3
, a 20o
C
g  9,80665 m.s–2
z  diferença de altitude, [m]
e  base dos logarítmos neperianos17
. 2,71728...
A pressão atmosférica é medida com o barômetro, instrumento inventado por Torricelli18
.
1.5 Temperatura (T)
A temperatura é talvez a grandeza mais freqüentemente avaliada no meio industrial. No en-
tanto, a temperatura não pode ser definida em termos simples e é conhecida através da ex-
periência que associamos ao conceito de "quente" e "frio", sendo uma das poucas grande-
zas físicas que não pode ser derivada de outra. É muito importante fazer-se uma distinção
17
John Napier (1550-1617) – matemático britânico
18
Evangelista Torricelli (1608 – 1647) – Físico Italiano

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entre temperatura e calor. Uma substância possui energia interna devido à movimentação de
suas moléculas, e essa energia é manifestada através da temperatura deste corpo. Conside-
rando dois corpos colocados em contato entre si; se estes dois corpos estão a temperaturas
diferentes, uma transferência de energia interna ocorre do corpo que estiver a uma tempera-
tura maior para o corpo que estiver com a temperatura menor. A transferência de energia é
denominada calor.
A quantidade de calor que o corpo contém depende da sua temperatura, massa e da nature-
za do material do corpo. O calor flui do corpo de maior temperatura para o de menor tempe-
ratura, mesmo que o corpo que estiver a uma temperatura maior possuir mais calor. Assim
sendo o corpo que estiver mais frio torna-se mais quente e vice-versa, atingindo-se uma
temperatura comum aos dois corpos. Este estado de repouso denomina-se equilíbrio térmi-
co. Desse fato resulta a seguinte conseqüência:
"Dois corpos que possuam a mesma temperatura encontram-se em
equilíbrio térmico."
Este enunciado recebeu o nome de Princípio Zero da Termodinâmica.
Uma definição de temperatura pode ser:
"Temperatura é a medida que dá uma idéia da agitação de átomos
ou molécula que constituem o corpo, ou seja, quanto maior o estado
de agitação das partículas tanto maior será a temperatura."
A temperatura é medida em termômetros e em pirômetros, que em verdade medem grande-
zas físicas simples de serem determinadas e que variam com a temperatura, como por e-
xemplo, a dilatação de um fluido líquido, a deformação de um metal, a pressão de vapor de
um gás, a resistência elétrica de um condutor, a radiação emitida pelo corpo.
As temperaturas consideradas são sempre as temperaturas medidas na escala absoluta (em
kelvin19
[K] ou rankine20
[R]), embora a maioria dos termômetros estejam graduados na es-
cala centígrada (em graus celsius21
) ou na escala fahrenheit22
.
A relação entre cada escala de temperatura é:
T[K] = t[o
C] + 273,15
T[K] = 9/5  T[R]
T[R] = 5/9  T[K]
T[R] = to
[F] + 459,67
t[o
C] = 5/9  (t[o
F] – 32)
t[o
F] = 9/5  t[o
C] + 32
1.5.1 Variação das Propriedades dos Fluidos com a Temperatura
Supondo constante a massa de um fluido, seu volume aumenta quando há acréscimo na
temperatura, sendo válida a afirmação de que  diminui quando a temperatura aumenta e
19
William Thomson, Lorde Kelvin (1824 – 1907) – matemático e físico britânico.
20
William John Macquorn Rankine (1820 – 1872) – engenheiro britânico.
21
Anders Celsius (1701 – 174) – astrônomo suíço.
22
Gabriel Daniel Fahrenheit (1686 – 1736) – fabricante holandês de instrumentos de medida e previsão do
tempo.

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vice-versa23
.
A viscosidade diminui, na maioria dos fluidos, quando a temperatura aumenta, e vice-versa.
1.6 Equações de Estado Térmicas
Entre as grandezas de estado térmicas [pressão (p), volume específico (v) e temperatura(T)]
de qualquer substância, existe uma interdependência que pode ser expressa pelas relações:
p = (v, T) v = (p, T) T = (p, v).
Portanto, por meio de quaisquer duas grandezas de estado térmicas, podemos determinar a
terceira. A relação matemática dessas três grandezas denominamos de "equação de estado
térmica".
A equação de estado térmica para sistemas em que ocorrem mudanças de estado físico é
complicada e não existe, até o presente, uma equação que forneça resultados suficiente-
mente exatos para todos os estados físicos. Verificou-se entretanto, por meio de medidas
experimentais, que em um gás sob pressão muito baixa, a expressão
T
vp
assume sempre,
para valores diferentes de "p", "v" e "T" , um valor constante, denominado constante especí-
fica do gás, representada por "R".
T
vp 
R , para p  0
O valor de "R" é diferente para cada gás, mas para determinado gás é independente do seu
estado.
1
½
1/3
1
0
20 30 40
Compressão do
fluido
Pressão
Volume
100 200 300 400
¼
1
¾
½
¼
Aumento da
temperatura do
fluido
Volume
Temperatura
Figura 6 – Leis dos gases perfeitos
Um gás que obedeça a esta lei é denominado de gás perfeito. (ou gás ideal). Este gás não
existe, porém quando a pressão não é muito elevada, alguns gases podem ser tratados co-
23
Para o caso particular da água, esta afirmação é correta para temperaturas acima de 4
o
C.; quando a tempe-
ratura da água cresce de 0
o
para 4
o
C, o volume desta diminui, sendo entretanto esta variação muito pequena.
Ver a figura 28

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mo tal.
Para a massa gasosa "m", a equação de estado térmica dos gases perfeitos assume a for-
ma:
pV = mRT
A equação de estado térmica dos gases perfeitos também representa duas leis físicas:
1) Lei de Boyle24
Para uma temperatura constante, o produto da pressão pelo volume é constante
p  V = constante
2) Lei de Gay-Lussac25
Para uma pressão constante, a relação entre o volume e a temperatura é constante.
T
V
= constante
Note-se que estas equações são válidas somente para os gases perfeitos.
1.6.1 Constante dos gases
Uma outra maneira de se exprimir a quantidade de massa contida em um corpo é pela quan-
tidade de moléculas que o mesmo possui. A quantidade de moléculas de um corpo, apesar
de ser conhecido com exatidão é um número muito grande, sendo um tanto inconveniente.
Assim, uma nova grandeza foi definida: o "mol".
O número de moléculas contidas em 1mol é dado pela constante de Avogadro26
:
NA = 6,02252x1023
mol–1
Segundo a Lei de Avogadro, todos os gases perfeitos contêm, sob as mesmas condições de
volume, pressão e temperatura, a mesma quantidade de moléculas. Isto significa que 1kmol
de qualquer gás perfeito, nas mesmas condições físicas, ocupa o mesmo volume, denomi-
nado volume molar.
Nas condições normais de temperatura e pressão (0o
C, 1atm) o volume normal denomina-se
volume normal de gás perfeito.
V0 = 2,24136x10–2
m3
mol–1
ou
V0 = 22,4136m3
kmol–1
Nos gases reais, V0 é diferente desse número (tabela 7, página 13).
O valor numérico da constante dos gases perfeitos R pode ser calculado:
kmolK
J
molK
J
Kkmol
m
m
N
T
V










83143143,8
15,273
1024136,2101325 32
3
0
R
R
A partir da constante dos gases R, calcula-se a constante específica de determinado gás
pela equação:
M
R
R

onde: R  constante específica do gás. [Jkg–1
K–1
]
M  massa molar, [kgkmol–1
]
24
Robert Boyle (1627 – 1691) – físico e químico inglês.
25
Joseph Louis Gay-Lussac (1778 – 1850) – cientista francês.
26
Amedeo Avogadro (1776 – 1856) – físico e químico italiano.

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Tabela 7 – Características de gases
CALOR ESPECÍFICO
GÁS
FÓRMULA
QUÍMICA
V0
[m
3
kmol
–1
]
M
[kgkmol
–1
]
R
[Jkg
–1
K
–1
]

[kgm
–3
]
PRESSÃO
CONSTANTE, cp
VOLUME
CONSTANTE cv
CONSTANTE
ADIABÁTICA
k = cp/cv
Hélio He 22,42 4,003 2078 0,1785 5,236 3,160 1,660
Argônio Ar 22,39 39,944 208,2 1,7834 0,523 0,318 1,660
Hidrogênio H2 22,43 28,016 296,8 0,08987 14,38 10,26 1,402
Nitrogênio N2 22,40 28,016 296,8 1,2505 1,039 0,743 1,400
Oxigênio O2 22,39 32,000 259,8 1,42895 0,908 0,649 1,399
Ar - 22,40 28,964 287,0 1,2928 1,004 0,716 1,402
Monóxido de
carbono
CO 22,40 28,01 296,8 1,2500 1,039 0,743 1,400
Dióxido de
carbono
CO2 22,26 44,01 188,9 1,9768 0,821 0,632 1,299
Dióxido de
enxofre
SO2 21,89 64,06 129,8 2,9265 0,607 0,477 1,272
Amônia NH3 22,08 17,032 488,3 0,7713 2,055 1,565 1,313
Acetileno C2H2 22,22 26,036 319,6 1,1709 1,512 1,216 1,255
Metano CH4 22,36 16,042 518,8 0,7168 2,156 1,162 1,219
Etileno C2H4 22,24 28,052 296,6 1,2604 1,611 1,289 1,249
Etano C2H6 22,16 30,068 276,7 1,3560 1,729 1,444 1,200
Notas para a tabela 7:
1) V0 é dado nas condições normais de temperatura e pressão
2) M  massa molar
3) R  constante específica do gás
4) Os calores específicos são dados em [kJkg–1
o
C–1
]
1.7 Outras Propriedades dos Fluidos
Todos os corpos (sólidos ou fluidos) estão submetidos à força devida à gravitação, proposta
por Newton27
: Existem, entretanto forças internas de origem eletroquímica, que dão origem a
outras propriedades.
1.7.1 Coesão
É a propriedade com que as partículas fluidas resistem a reduzidos esforços de tensão. As-
sim, é a coesão que permite a formação de gotas e de jatos de água. Mas, em geral, as for-
ças de coesão são tão pequenas que o fluido ainda apresenta mobilidade (fluidez). Os es-
forços de coesão são forças de atração entre moléculas de cada substância, variando de um
líquido para outro, sendo maiores no mercúrio do que na água.
1.7.2 Adesão
É a propriedade que permite a um líquido "molhar" uma superfície. Suponhamos um líquido
em contato com um sólido. Entre as moléculas do líquido existe uma atração (coesão). Por
outro lado, entre as moléculas do líquido e as do sólido com o qual está em contato, existe
outra atração. Quanto maior for a atração entre as moléculas do próprio líquido, ocorrerá a
propriedade da adesão. Por exemplo, a água adere ou "molha" o vidro porque a adesão en-
tre ambos é maior que a coesão. Ao contrário, o mercúrio não "molha" o vidro pois a coesão
molecular no mercúrio é maior que a atração entre o vidro e o mercúrio.
1.7.3 Tensão Superficial
Suponhamos um líquido em repouso. Qualquer molécula no interior desse líquido está sujei-
ta aos esforços que as moléculas vizinhas exercem sobre ela, em todas as direções. Estes
esforços variam com o movimento (ou com a agitação) das moléculas. Porém, devido à si-
27
Sir Isaac Newton (1642 – 1727) – cientista e matemático inglês.

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metria nas moléculas vizinhas (de mesma natureza), a resultante é nula em um intervalo de
tempo determinado. Isto não ocorre quando estão em contato dois fluidos não miscíveis, de
densidades diferentes. Nesta situação as moléculas da superfície que separa os dois meios
fluidos não estão submetidos à ação de forças simétricas (figura 7).
Líquido
AR
Figura 7 – Tensão superficial
Agora, as moléculas da superfície líquida são solicitadas para o interior da massa líquida,
devido à coesão. Assim a resultante dos esforços moleculares não é nula, o que dá origem à
tensão superficial. Na superfície de separação, devido a essa tensão, aparece uma curva,
denominada menisco.
Quando o líquido está no interior de um tubo de pequeno diâmetro (capilar), a tensão super-
ficial poderá provocar a depressão [figura 8 (a)] ou ascensão capilar [figura 8 (b)].
(a) (b)
Figura 8 – Capilaridade
2 Estática dos Fluidos
Também conhecida como Hidrostática ou Fluidostática, é a parte da física que estuda o
comportamento dos fluidos e as leis que regem este comportamento, quando o fluido encon-
tra-se em repouso.
2.1 Teorema da Variação da Pressão
O Teorema de Stevin28
(ou Lei de Stevin ou ainda Teorema Fundamental da Fluidostática),
pode ser assim enunciado:
28
Simon Stevin (1548 – 1620), matemático flamengo

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"A diferença de pressão entre dois pontos de um fluido em
repouso é igual ao produto do peso específico do fluido
em questão e a diferença de cotas dos dois pontos."
Isto é: a pressão varia linearmente com a altura da coluna de fluido (figura 9).
y0
y1
y2
P3
P0
P1P2
Figura 9 – Teorema de Stevin
Segundo esse teorema, temos que:
P1 – P0 =   (y0 – y1)
P2 – P0 =   (y0 – y2)
P2 – P1 =   (y1 – y2)
P3 = P0 + (y0 – y3) (pressão absoluta)
P3 = (y0 – y3) (pressão relativa)
Em outras palavras, a pressão absoluta é o valor da pressão manométrica acrescida da
pressão atmosférica ou de referência.
2.2 Princípio de Arquimedes
Arquimedes29
descobriu que todo o corpo, total ou parcialmente imerso em um fluido, recebe
deste forças de compressão cuja resultante é não nula que chamou empuxo, e enunciou a
seguinte lei:
"Um fluido em equilíbrio age sobre um corpo total ou parcial-
mente nele imerso com uma força vertical, orientada de baixo
para cima, chamada empuxo. Ela é a resultante das forças devi-
das à pressão que o fluido exerce sobre o corpo. A intensidade
do empuxo é igual ao peso do fluido que o corpo desloca."
29
Arquimedes de Siracusa (287 a.C. – 212 a.C.), filósofo, matemático e "engenheiro" grego.

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G
P

E

Figura 10 – Princípio de Arquimedes
Vemos pela figura 10 que:
E = líquido  Vlíquido  g
porém,
P = corpo  Vcorpo  g
Como há equilíbrio, P = E. Portanto temos:
líquido
corpo
corpo
líquido
V
V



2.3 Princípio de Pascal
Em meados do século XVII, Pascal30
enunciou o seguinte princípio:
"Quando se produz uma variação de pressão num ponto de um
líquido em equilíbrio, essa variação se transmite integralmente
para todos os pontos do líquido."
Este princípio é amplamente utilizado atualmente em diversas aplicações importantes como
prensas hidráulicas, freios de automóveis e elevadores hidráulicos, entre outros.
30
Blaise Pascal (1623 – 1662), matemático e físico francês.

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A1
A2
F1
F2
Figura 11 – Lei de Pascal
Observando a máquina hidrostática da figura 11, temos que, conforme o princípio de Pascal:
p1 = p2
mas, p1 = F1  A1 e p2 = F2  A2
portanto, F1  A1 = F2  A2
E, finalmente:
1
2
12
A
A
FF 
3 Fluidodinâmica
A cinemática dos fluidos estuda o escoamento dos fluidos líquidos ou gasosos, sem consi-
derar as suas causas. A dinâmica preocupa-se com as causas e conseqüências do escoa-
mento.
3.1 Definições
3.1.1 Escoamento
O cisalhamento deforma permanentemente o fluido dando a este a propriedade de escoar,
isto é, de mudar de forma, facilmente. É portanto a mudança de forma do fluido sob a ação
de um esforço tangencial.
3.1.2 Corrente Fluida
É o escoamento orientado do fluido, com direção e sentido bem determinados.
3.1.3 Método de Euler31
para o Estudo dos Fluidos
Diversos métodos são utilizados para o estudo cinemático dos fluidos; dentre eles, podemos
citar o método de Lagrange32
e o método de Euler.
O método de Lagrange descreve o movimento de cada partícula, acompanhando-a na sua
trajetória. O observador desloca-se simultaneamente com a partícula. Este método é muito
31
Leonhard Euler (1705 – 1783) – Matemático e engenheiro suíço.
32
Joseph Louis de Lagrange (1736-1813) – matemático e físico francês.

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simples no que diz respeito à descrição do movimento da partícula, porém grandes dificul-
dades nas aplicações práticas.
Já no método de Euler, adota-se um certo intervalo de tempo, escolhendo-se um ponto no
espaço e considerando todas as partículas que passam por esse ponto, sendo o observador
fixo e de um modo geral, a pressão e a velocidade de cada partícula serão função do tempo
e das coordenadas do ponto considerado.
3.2 Classificação do Escoamento
O escoamento dos fluidos pode ser classificado quanto à:
a) Direção da trajetória
 Laminar
 Turbulento
b) Variação na trajetória
 Uniforme
 Variado
c) Variação com o tempo
 Permanente
 Não permanente
d) Movimento de rotação
 Rotacional
 Irrotacional
3.2.1 Escoamento Laminar e Turbulento
Diz-se que o escoamento é laminar quando as partículas descrevem trajetórias paralelas. O
escoamento é turbulento quando as trajetórias são irregulares.
Esta diferenciação foi primeiramente equacionada por Reynolds33
, com o experimento des-
crito a seguir (figura 12):
V
R
T
t
Figura 12 – Experimento de Reynolds
A água do reservatório "R" passa por um tubo "T" de vidro. A válvula "t" regula a saída do
líquido, ao mesmo tempo em que se injeta um tênue filete de líquido colorido, proveniente do
reservatório "V". Para o escoamento com pequenas velocidades, o filete colorido apresenta-
se retilíneo, no eixo longitudinal do tubo. Abrindo "t", a velocidade da água aumenta e o filete
torna-se irregular, difundindo-se na água. Fechando a válvula, diminui-se a velocidade, e o
filete volta à forma retilínea.
Reynolds concluiu que variando-se a velocidade do líquido, dentro de certos limites, as
partículas do líquido descrevem trajetórias retilíneas, paralelas.
O escoamento caracteristicamente retilíneo, foi denominado "escoamento laminar". Ocorre
33
Osborne Reynolds (1842-1912) – físico inglês.

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poucas vezes na prática. Um exemplo é o da fumaça que uma vela exala. Inicialmente a
fumaça é retilínea mas, ao misturar-se com o ar, o escoamento torna-se turbulento.
Ao escoamento irregular, deu-se o nome de "escoamento turbulento". Neste tipo de
escoamento, as trajetórias são curvelíneas e irregulares, cujo traçado não é possível prever.
Elas se entrecruzam, formando uma série de redemoinhos. As trajetórias emaranham-se de
tal modo que é impossível identificá-las na prática. Em cada ponto da corrente fluida, a
velocidade varia em módulo, direção e sentido.
Ainda experimentalmente, Reynolds desenvolveu diversas equações empíricas para a
determinação do tipo de escoamento (laminar ou turbulento) em que se apresenta o fluido.
Figura 13 – Escoamento turbulento num vulcão em erupção
3.2.2 Escoamento Uniforme
Neste tipo de escoamento, todos os pontos da mesma trajetória têm a mesma velocidade,
podendo variar de uma trajetória para outra. Este tipo ocorre no escoamento de líquidos sob
pressão constante em tubulações longas, de diâmetro constante.
3.2.3 Escoamento Variável
Neste caso, os diversos pontos da mesma trajetória não apresentam velocidade constante
num intervalo de tempo considerado. Este tipo de escoamento ocorre:
a) Nas correntes convergentes (originárias de orifícios) e nas divergentes (provocadas por
alargamento da seção) – figura 14.
b) No golpe de aríete, que se verifica ao fechar-se rapidamente uma válvula por onde passa
o líquido.
(a) Corrente divergente
(b) Corrente convergente
Fluxo
Figura 14 – Escoamento variado

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3.2.4 Escoamento Permanente
Neste caso, a velocidade e a pressão em determinado ponto não variam com o tempo. A
velocidade e a pressão podem variar de um ponto para outro, mas são constantes em cada
ponto.
O escoamento permanente ocorre:
a) Num líquido em um recipiente em que se mantém constante a superfície livre
b) No tubo que interliga dois reservatórios.
Aos consumidores
Do provedor
Figura 15 – Escoamento permanente típico
3.2.5 Escoamento Não Permanente
Neste caso, a velocidade e a pressão variam, em determinado ponto, com o tempo. Variam
também de um ponto a outro. Ocorre quando se esvazia um recipiente através de um orifí-
cio: à medida que a superfície livre vai baixando, a pressão e a velocidade diminuem.
3.2.6 Escoamento Rotacional
É aquele em que cada partícula fluida está sujeita à velocidade angular , em relação ao
seu centro de massa. O escoamento rotacional é bem caracterizado no fenômeno do equilí-
brio relativo em um recipiente cilíndrico aberto, que contém um líquido e que gira em torno
de seu eixo vertical (em uma centrífuga, por exemplo). Em virtude da viscosidade, o escoa-
mento dos fluidos é sempre rotacional.
3.2.7 Escoamento Irrotacional
Este tipo de escoamento é utilizado teoricamente para fins de simplificação, pois aqui as par-
tículas não se deformam e se faz a consideração matemática de que todos os escoamentos
serem irrotacionais.
3.2.8 Linha de Corrente
No método de Euler, tomemos os vetores 1v

, 2v

, 3v

, etc., que representam as diversas velo-
cidades da partícula nos instantes considerados, no interior da massa fluida. Tracemos a
curva que seja tangente, em cada ponto, ao respectivo vetor velocidade. A curva resultante
é denominada de "linha de corrente" ou "linha de fluxo". São nulas as componentes da velo-
cidade perpendiculares à trajetória considerada (figura 16).

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1v

2v

3v

4v

5v

Figura 16 – Linha de Corrente
A linha de corrente é uma linha imaginária tomada através do fluido, para indicar a direção e
a velocidade em diversos pontos.
As linhas de corrente não podem cortar-se pois cada ponto poderá somente ter uma única
velocidade. Em cada instante e em cada ponto passa uma e somente uma linha de corrente.
3.2.9 Tubo de Corrente
Suponhamos duas curvas fechadas "A1" e "A2", que não sejam linhas de corrente (figura 17).
Ao se considerar todas as linhas de corrente que toquem nestas duas superfícies fechadas
em um instante dado, forma-se o "tubo de corrente", que não pode ser atravessado pelo flui-
do nesse instante pois não há componente normal à velocidade, apenas a componente tan-
gencial.
Linha de
Corrent e
Tubode
Corrente
A1
A2
P2
P1
Figura 17 – Tubo de Corrente
3.3 Viscosidade
Devido à fluidez, ocorre a fácil alteração na forma do fluido, sob a ação de uma força de ci-
salhamento. Em virtude da coesão molecular, no entanto, o fluido real apresenta certa resis-
tência ao escoamento. Esta resistência ao escoamento é denominada de viscosidade. Os
fluidos mais viscosos (óleo não refinado, glicerina, tinta de impressão), apresentam menor
fluidez, e vice-versa. Ambas as propriedades (viscosidade e fluidez) são características de
cada fluido, manifestando-se no seu interior, independente do material sólido em que estiver
em contato.

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3.3.1 Viscosidade nos Gases
Em um gás, as moléculas estão em média longe umas das outras de modo que as forças de
coesão não são efetivas. A viscosidade do gás não vem do atrito interno, mas da transferên-
cia de momentum (quantidade de movimento) entre camadas adjacentes que se movem
com velocidade relativa não nula. As moléculas que cruzam a fronteira entre as camadas
partindo da camada que se move mais rapidamente transferem uma quantidade de movi-
mento maior à camada que se move menos rapidamente do que a quantidade de movimento
que as moléculas desta camada transferem àquela ao cruzarem, por sua vez, a fronteira
entre as camadas. Assim, a velocidade da camada mais rápida tende a diminuir e a veloci-
dade da camada mais lenta, a aumentar, de modo que a velocidade relativa tende a diminu-
ir.
3.3.2 Coeficiente de Viscosidade Dinâmica ()
Suponhamos duas placas planas, paralelas, ambas com área "A" e distantes de "y". Admi-
tamos que a placa inferior seja fixa e a superior se mova com velocidade constante "v

", sob
a ação de uma força "F

" (figura 18). Suponhamos ainda que o espaço entre as duas placas
seja ocupado por um fluido, cuja variação de velocidade na seção "B-C" é o observado na-
quela figura.
y
U

A
A

y
vv


B
C
D
Placa
Placa
móvel
F

v

Figura 18 – Definição de viscosidade
As partículas do fluido estarão aderidas às respectivas placas. Na parte inferior, a velocidade
do fluido é nula (a placa é fixa) e na parte superior, a velocidade do fluido é U

.
Admitindo que a variação da velocidade do fluido seja linear34
(representado pela reta "C-D")
e que o escoamento seja laminar, desde que a distância "y" não seja grande, experimental-
mente verifica-se que a força F

, aplicada à placa móvel, é diretamente proporcional à área A
da placa e à sua velocidade U

. Verifica-se também que F

é inversamente proporcional à
distância y que separa as duas placas; então, F

é proporcional a AU/y.
Agora, no interior do fluido, separemos duas lâminas paralelas (ideais) de fluido, ambas com
a mesma área "A" e separadas y, as quais têm velocidade v

e vv

 (parte hachurada da
figura 18).
Por semelhança de triângulos, podemos escrever:
y
v
y
U



34
Na realidade, o perfil de velocidade é parabólico.

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Mas F

é proporcional a (A  U  y) e, então, podemos afirmar que F

também é proporcional
a (A  v  y) uma vez que o escoamento foi suposto laminar.
O módulo da força, então, pode ser escrita da forma:
y
v
AF



em que  é o coeficiente de proporcionalidade.
Sendo que a tensão de cisalhamento vale:
A
F

ficamos com:
y
v



ou de outra forma,
y
v




onde:   tensão de cisalhamento, [N.m–2
]
y
v


 gradiente de velocidade, [s–1
]
  coeficiente de viscosidade dinâmica, [N.s.m–2
]
Esta expressão foi desenvolvida por Newton e expressa o coeficiente de viscosidade dinâ-
mica. Os fluidos que não obedecem a essa lei são chamados de não-newtonianos (piche,
pasta dental, vidro, etc.).
Tabela 8 – Unidades de medida de viscosidade dinâmica.
[N.s.m
–2
] [kgf.s.m
–2
] [Poise]
35, 36
[lbf.s.ft
–2
]
37
1Nsm
–2
1 0,1019716 10 2,0885x10
–2
1kgfsm
–2
9,80665 1 98,0665 0,2048
1Poise 0,1 1,0197 1 2,0885x10
–3
1lbfsft
–2
47,8803 4,8824 478,8026 1
3.3.3 Viscosidade Cinemática ()
Já que a massa de um corpo é a quantidade de matéria contida nesse corpo, tratando-se de
uma característica da inércia que esse corpo se opõe ao movimento, os efeitos da viscosi-
dade serão tanto maiores quanto menor a inércia desse corpo, ou seja, quanto menor sua
massa específica.
Define-se então o coeficiente de viscosidade cinemática  como:



onde:   coeficiente de viscosidade cinemática, [m2
.s–1
]
35
1 Poise = 1dyn.s.cm
–2
.
36
Louis Poiseuille – físico francês
37
Esta unidade é denominada de reyn (derivado do nome do pesquisador Osrborne Reynolds)

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Tabela 9 – Unidades de medida de viscosidade cinemática.
[m
2
s
–1
] [m
2
h
–1
] [St]
38, 39
[cSt] [ft
2
s
–1
] [ft
2
h
–1
]
1m
2
s
–1
1 3600 10
4
10
6
10,7639 38750,0775
1m
2
h
–1
2,7778x10
–4
1 2.7778 2,7778x10
2
2,98997x10
3
10,7639
1St 10
–4
0,36 1 100 3,8750
1cSt 10
–6
0,0036 0,01 1 1,0764x10
–5
3,8750x10
–2
1ft
2
s
–1
0,0929 334,4509 929,0304 92903,04 1 3600
1ft
2
h
–1
2,5806x10
–5
0,0929 0,258064 25,8064 2,7778x10
–4
1
3.3.4 Viscosidade Técnica
As unidades de medida fisicamente definidas são aplicáveis, em princípio, para o estudo
teórico dos fluidos. Na prática, outras unidades de medida são utilizadas, com conceituação
semelhante à teórica. Os métodos utilizados pelas indústrias de petróleo, ramo muito difun-
dido e tecnicamente bastante significativo, são definidos a partir do conceito inicial de visco-
sidade, que é o inverso da fluidez, ou seja, a maior ou menor dificuldade que um fluido tem
para escoar.
Popularmente a viscosidade é o "corpo" de um lubrificante. Um óleo viscoso ou de grande
viscosidade é "grosso" e flui com dificuldade; um óleo de pouca viscosidade é "fino". Esta no
entanto, é uma prática muito grosseira.
Tecnicamente a viscosidade de um fluido é medida avaliando-se o tempo, em segundos,
que uma determinada quantidade deste fluido leva para escoar.
Diversos métodos foram propostos e os mais conhecidos são os viscosímetros Saybolt (utili-
zado nos Estados Unidos), Engler (utilizado na Alemanha) e Redwood (utilizado no Reino
Unido). Todos os três compõem-se, basicamente, de um tubo cilíndrico com um estreitamen-
to calibrado na parte inferior. Uma determinada quantidade de fluido é colocada no tubo, que
fica mergulhado em um banho com temperatura controlada. Na temperatura escolhida, dei-
xa-se escoar o fluido através do orifício, medindo-se o tempo de escoamento.
Tabela 10 – Parâmetros utilizados em alguns viscosímetros.
VISCOSÍMETRO UNIDADE SÍMBOLO VOLUME TEMPERATURA [
O
F]
Universal SUS ou SSU
40
70, 100, 130,210
Saybolt
Furol SFS ou SSF
41 60ml
77, 100, 122, 210
I Redwood 70, 100, 140, 200
Redwood
II Redwood II
50ml
77, 86
Segundos -
Engler
Graus
o
E
200ml 20
o
C, 50
o
C, 100
3.3.5 Sistema Prático SAE42
A SAE criou uma classificação para óleos lubrificantes, baseada exclusivamente na viscosi-
dade. Um extrato da tabela da recomendação SAE pode ser observada na figura 19:
38
1St = 1Stoke.
39
Sir George Gabriel Stokes (1819 – 1903) – matemático e físico inglês
40
SSU: Saybolt Seconds Universal – Segundos Universais Saybolt (SUS).
41
SSF: Saybolt Seconds Furol – Segundos Saybolt Furol (SSF)
42
Society of Automotive Engineers – Sociedade (americana) de engenheiros (de veículos) automotores.

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Figura 19 – Fac símile da Tabela 1 da SAE J30043
Observe-se que o número SAE não é um índice de viscosidade, mas sim uma faixa de vis-
cosidade a uma dada temperatura.
Figura 20 – Fac-símile da Tabela 1 da SAE J30643
43
Ver também a norma SAE J183 – Engine Oil Performance and Engine Service Classification

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3.4 Lei de Poiseuille
Quando a velocidade de um fluido, em qualquer ponto, é constante no tempo, o escoamento
é dito estacionário ou permanente. Então, cada partícula que passa por um determinado
ponto o faz sempre com a mesma velocidade. Em um outro ponto, as partículas podem pas-
sar com outra velocidade, mas aí, também, a velocidade é sempre a mesma. Essas condi-
ções podem ser conseguidas em fluidos com baixa velocidade de escoamento.
Consideremos, agora, o escoamento de um fluido viscoso através de um tubo cilíndrico, com
uma velocidade não muito grande, de modo que o escoamento é lamelar e estacionário. A
camada mais externa, chamada camada limite, adere à parede e tem velocidade nula. A pa-
rede exerce sobre esta camada uma força de sentido contrário ao movimento do fluido e ela,
por sua vez, exerce uma força de mesmo sentido sobre a camada seguinte, e assim por di-
ante. A camada central tem a velocidade máxima. O escoamento do fluido é como o movi-
mento de vários tubos encaixados, cada qual deslizando com velocidade maior que o vizinho
externo.
Xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Vamos ver como varia a velocidade das camadas de fluido com o afastamento do centro de
um tubo cilíndrico de raio R.
Consideremos um elemento cilíndrico de fluido, de raio r e comprimento L, coaxial com o
tubo (Fig.6), que se escoa por efeito de uma diferença de pressão. A força que impulsiona o
fluido tem módulo . Esta força deve estar em equilíbrio com a força de viscosidade que atua
na superfície do elemento cilíndrico considerado, com área , de modo que:
ou
Integrando esta expressão desde um r genérico, para o qual a correspondente camada de
fluido tem uma velocidade v, até r = R, para o qual a correspondente camada de fluido tem v
= 0, obtemos:
Assim, a velocidade de uma dada camada cilíndrica do fluido é diretamente proporcional ao
gradiente de pressão e inversamente proporcional ao coeficiente de viscosidade. Ainda, a
velocidade das partículas do fluido é máxima em (no centro do tubo), diminuindo até zero
em r = R (junto às paredes).
Considerando agora uma camada cilíndrica de fluido, com raio interno r e raio externo r + dr,
que se move com velocidade de módulo v. No intervalo de tempo dt, o volume de fluido que
atravessa uma seção reta do tubo é , onde . Portanto, levando em conta a expressão aci-
ma, temos:
O volume de fluido que escoa através de toda seção reta do tubo de raio R durante o inter-
valo de tempo dt é obtido pela integração em r, desde até :
A vazão, ou seja, o volume de fluido que passa através de uma seção reta do tubo
por unidade de tempo, , é dada por:

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Esta equação é conhecida como equação de Poiseuille. Note que a vazão é diretamente
proporcional ao gradiente de pressão sobre o fluido e inversamente proporcional à viscosi-
dade, como era esperado. Escrevendo estas expressão como:
podemos interpretar a constante entre parênteses como uma espécie de resistência ao es-
coamento. Assim, esta equação guarda certa analogia com a equação , que representa a
queda de potencial elétrico através de um resistor.
4 Equação da Continuidade
Na figura 17 (página 21), consideremos ter um tubo de corrente delgado. A velocidade do
fluido no interior do tubo, embora paralela ao mesmo em cada ponto, pode ter intensidade
diferente em pontos diferentes. Seja v1 o módulo da velocidade da partícula em P1 e v2 em
P2. Sejam A1 e A2 as áreas das seções retas do tubo, perpendiculares às linhas de corrente
em P1 e P2 respectivamente. No intervalo de tempo t, um elemento do fluido percorre apro-
ximadamente a distância (v  t). Assim, a massa m do fluido que atravessa A1 no tempo t
é aproximadamente:
m = 1  A1  v1  t
ou, a massa que escoa na unidade de tempo será, aproximadamente,
111
1
vA
t
m



Equação 1
Quando t é suficientemente pequeno de modo que "v" e "A" não variem muito ao longo da
distância percorrida, teremos que, no limite ( 0t ), a equação 1 é correta e rigorosa.
Analogamente,
222
2
vA
t
m



Equação 2
Igualando a equação 1 à equação 2, e tendo em vista que o fluido não pode passar através
das paredes do tubo e não havendo fontes ou consumidores onde o fluido possa ser forne-
cido ou consumido no interior do tubo, a massa que atravessa cada seção transversal, na
unidade de tempo, deve ser constante, daí:
1  A1  v1 = 2  A2  v2
ou
  A  v = constante
que é denominada equação da continuidade.
Quando o fluido é incompressível, a equação da continuidade pode ser simplificada (pois
não há variação da massa específica), ficando de uma forma mais simples:
A  v = constante
4.1 Vazão (Q)
Denomina-se vazão ao volume de fluido que atravessa determinada seção transversal na
unidade de tempo, ou seja:
t
V
Q 
onde: t  tempo, [s]
Q  vazão, [m3
s–1
]
Muitas vezes a vazão é dada em função da massa, isto é, a massa do fluido que atravessa
uma seção transversal na unidade de tempo. Denomina-se, então, vazão mássica:

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t
m
Qm 
onde: Qm  vazão de massa, [kgs–1
]
Em outras ocasiões, é conveniente exprimir a vazão em termos do peso do fluido; temos a
vazão em peso:
t
G
QG 
onde: QG  vazão em peso, [Ns–1
]
A relação entre estas grandezas é:
QG = Qmg = Qg
4.2 Equação de Bernoulli44
A equação de Bernoulli (para fluidos ideais) é fundamental no estudo da dinâmica dos flui-
dos e consiste essencialmente na aplicação do teorema da transformação energia em traba-
lho no escoamento dos fluidos.
Considere-se um fluido não viscoso, incompressível, escoando-se em regime permanente
pelo tubo representado na figura 21.
O trecho à esquerda tem seção reta uniforme de área A1. Este trecho é horizontal e está a
uma altura z1 de um plano horizontal de referência.
l1
l2
1v

2v

11 Ap 
22 Ap 
z1
z2
Plano deReferência
Figura 21 – Escoamento de um elemento fluido
O tubo se alarga gradualmente elevando-se e à direita, tem seção reta uniforme de área A2,
tornando-se horizontal, situando-se na cota z2 do plano de referência.
Em todos os pontos da parte estreita do tubo a pressão será p1 e a velocidade v1. Na parte
larga, p2 e v2. O trabalho realizado para a seção A1 avançar l1 é igual à força (p1  A1) multi-
plicado pelo deslocamento (l1), isto é, (p1  A1  l1). Concomitantemente, a parte direita do
sistema avança uma distância l2, contra uma força oposta (p1  A1), sendo (p2  A2  l2) o
trabalho realizado pelo sistema. Assim sendo, para movimentar todo o sistema, as pressões
devem realizar o trabalho:
p1  A1  l1 – p2  A2 l2
Ora, (A. l) é o volume (de cada uma das seções), sendo constante pois o fluido foi suposto
incompressível. Sendo "m" a massa de cada uma das porções e  a massa específica do
fluido, tem-se que:


m
lAlA 2211
44
Daniel Bernoulli (1700 – 1782) – matemático suíço.

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e  


m
pp 21 o trabalho realizado sobre o sistema.
As variações das energias cinética e potencial das seções consideradas têm valor, respecti-
vamente de:
2
1
2
2
2
1
2
1
vmvm 
e
m  g  z2 = m  g  z1
Daí vem que:
   12
2
1
2
221
2
1
2
1
zgmzgmvmvm
m
pp 








que reagrupando e entendendo que uma vez que as seções '1' e '2' referem-se a quaisquer
pares de pontos, escreve-se:


pv
zgH
2
2
Equação 3
que é a Equação de Bernoulli para escoamento permanente de um fluido ideal e "H" é de-
nominada constante de Bernoulli.
Observando a equação 3, poderemos rescreve-la:




p
g
v
zH
2
2
em cada uma das parcelas representa:
 z  energia de posição (potencial);

g
v
2
2
 energia de velocidade (cinética);


p
 energia de pressão;
 H  energia total
Que significa dizer que a energia total em regime permanente, num ponto qualquer de um
fluido é constante.
Em condições especiais, as hipóteses fundamentais – escoamento uniforme, permanente,
irrotacional e fluido ideal – que regem a equação de Bernoulli podem ser abandonadas:
1. Quando todas as linhas de corrente têm origem num reservatório, no qual a energia é a
mesma em todos os pontos, não haverá variação entre as linhas de corrente;
2. No escoamento de um gás, como em um sistema de ventilação, onde a variação da
pressão é apenas uma pequena fração da pressão absoluta, o gás pode ser considerado
incompressível. A equação de Bernoulli pode ser aplicada adotando-se o peso específico
() como o valor médio entre os pesos específicos da fluido na entrada e na saída;
3. Para um escoamento variado, cujas condições variam gradualmente, como no esvazia-
mento de um reservatório, a equação de Bernoulli pode ser aplicada sem erro apreciável;
4. A equação de Bernoulli pode ser aplicada na análise de casos de fluidos reais, despre-
zando-se em primeira aproximação as tensões viscosas para a obtenção de resultados
teóricos. Em seguida, pode-se alterar a equação, considerando-se a viscosidade do flui-
do no escoamento em estudo.

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4.3 Equação de Bernoulli na Presença de Máquina45
Se determinada máquina é inserida num escoamento, teremos os seguintes casos a consi-
derar:
a) Se H2 > H1, a máquina é uma bomba, retirando energia do fluido, e portanto, H1 + HB =
H2, para se restabelecer o equilíbrio;
b) Se H1 > H2, a máquina é uma turbina, fornecendo energia ao fluido; tem-se, para o resta-
belecimento do equilíbrio: H1 – HT = H2.
onde:HB  carga manométrica de bomba, [m]
HT  carga manométrica de turbina, [m]
z2
z1
SL M
Plano dereferência
Figura 22 – Presença de máquina no escoamento de um fluido
Genericamente teremos:
H1 + HM = H2
onde: HM  carga manométrica da máquina.
2
2
22
1
2
11
22
z
g
vp
Hz
g
vp
M 







ou ainda:
 
   
g
vvpp
zzHM






2
2
1
2
212
12
que escrita de uma forma às vezes mais conveniente, fica:
 
g
vvp
zHM






2
2
1
2
2
4.4 Potência na Corrente Fluida
Numa seção qualquer do tubo de corrente, a potência da corrente fluida é:










g
vp
zQN
2
2
ou, substituindo o termo entre parênteses:
HQN 
em que "N" é a potência efetivamente fornecida ao fluido ou retirada pela máquina.
45
Para o presente caso, máquina é qualquer elemento introduzido no escoamento, apto a fornecer (bomba) ou
retirar energia do fluido, sob a forma de energia mecânica.

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Denominamos de rendimento à relação entre o trabalho (ou potência) útil e o trabalho (ou
potência) fornecido (figura 23).
Máquina
Nf N

Figura 23 – Definição de rendimento
1
f
u
f
u
N
N
W
W
onde: Wu  trabalho útil, [J]
Wf  trabalho fornecido, [J]
Nu  potência útil, [kW] ou [CV]
Nf  potência fornecida, [kW] ou [CV]
4.5 Equação de Bernoulli para Fluido Real
A experiência demonstra que, no escoamento dos fluidos reais, uma parte de sua energia se
dissipa sob a forma de calor e nos turbilhões que se formam na corrente fluida. Essa parte
de energia é consumida pelo fluido real ao vencer as diversas resistências, tais como a vis-
cosidade do fluido e o atrito entre o fluido e as paredes do conduto.
Numa tubulação, diversas resistências ao fluxo são causadas por peças acessórias para
adaptação do duto do provedor ao consumidor do fluido (conexões como curvas, tes, redu-
ções, etc.) ou para controle do fluxo (válvulas, registros, válvulas de controle, etc.). Assim, a
carga no fluido real não pode ser aquela considerada na equação de Bernoulli para fluidos
ideais pois uma parte da carga (ou energia) do fluido é dissipada. Esta dissipação de energia
é denominada "perda de carga".
Perda deCarga
SL
M1
R
B C D
M2
Figura 24 – Perda de carga num conduto
Na figura 24, supondo que o reservatório "R" seja alimentado de maneira constante (regime
permanente), as diferenças entre a superfície livre (SL) e os níveis do fluido nos tubos "B",
"C" e "D", representadas pela linha M1-M2 (linha de carga), é a perda de carga.
A equação de Bernoulli para um fluido real é rescrita como:
ph
g
vp
z
g
vp
z 








22
2
22
1
2
11
1
em que hp é a perda de carga e que representa a diferença de energia total entre os pontos
quaisquer considerados.

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Esta equação pode ser representada graficamente como mostrado na figura 25.
H=constante

1p
g
v
2
2
1
g
v
2
2
2
hp
Linha de carga
Plano de referência
Linha
piezométrica
.z2
.z1

2p
Figura 25 – Representação geométrica da Equação de Bernoulli para um fluido real
4.5.1 Perda de Carga
As perdas de carga podem ser divididas em dois grupos:
1) Perda de carga distribuída
É quando, a perda de carga se distribui ao longo de um conduto. É calculada por:
g
v
D
L
fh
H
d


2
2
onde:f  coeficiente de perda de carga
L  comprimento do conduto, [m]
DH  diâmetro hidráulico, [m]
O número de Reynolds é uma constante adimensional que é calculada pela expressão:





 HH
e
DvDv
R Equação 4
Observe-se que com o número de Reynolds, consegue-se classificar facilmente o tipo de
escoamento (ver o Ábaco de Moody - figura 27):
Re  2320, o escoamento é laminar46
;
2320 < Re < 4000, o escoamento é de transição
Re  4000, o regime é turbulento.
 A determinação do diâmetro hidráulico (DH), é feita conforme a expressão:
DH = 4RH
em que:

A
RH 
onde: RH  raio hidráulico, [m]
A  área transversal ao escoamento do fluido, [m2
]
  perímetro do conduto "molhado" pelo fluido, [m]
46
Na literatura técnica, encontramos outros valores: Re  2000; Re  2300; Re  2500. O valor mais aceito é o
indicado (Re  2320).

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Tabela 11 – Diâmetros hidráulicos de seções selecionadas
SEÇÃO ÁREA  RH DH
d
4
2
d
  d
4
d
d
a
a
a2
4  a
4
a
a
b
a
a  b 2  (a  b)
 ba
ba


2  ba
ba

2
b
a
a  b 2  a + b
ba
ba


2 ba
ba


2
4
a
a
a
4
32
a
3  a
12
3a
3
3a
2) Perdas de carga singulares ou localizadas
São as perdas de carga nas conexões (válvulas, reduções, curvas, etc.)
g
v
kh ss


2
2
onde: ks  coeficiente de perda de carga singular
Alguns exemplos de valores de "ks":
Tabela 12 – Valores selecionados do coeficiente de perda de carga singular "ks".
SINGULARIDADE ks
Alargamento abrupto, borda aguda
A1 A2
2
2
1
2
2
1 






A
A
Estreitamento abrupto, borda aguda
A1 A2
(A2/A1)
Ver tabela
13

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Tabela 12 – Valores selecionados do coeficiente de perda de carga singular "ks".
SINGULARIDADE ks
Cotovelo 90o
0,90
Cotovelo 90o
raio longo (r = d) 0,60
Cotovelo 90o
raio médio (r > 2  d) 0,75
Curva de raio curto (r > 6  d) 2,20
Te 1,80
Válvula angular (100% aberta) 5,00
Válvula de retenção (100% aberta) 2,50
Válvula gaveta (100% aberta) 0,20
Válvula globo (100% aberta) 10,0
Tabela 13 – Valores de ks para estreitamentos abruptos e bordas agudas.
A2/A1 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
ks 0,489 0,446 0,404 0,361 0,319 0,276 0,234 0,191 0,150
4.5.2 Perdas de Carga – Fórmulas Racionais
A teoria e os experimentos mostraram que a resistência ao escoamento de um fluido em um
conduto depende principalmente de:
a) Forma geométrica do conduto, definida pelo diâmetro hidráulico;
b) Propriedades físicas dos fluidos [em particular da massa específica () e da viscosidade
dinâmica ()];
c) Aspereza da parede interna do conduto;
d) Velocidade média do escoamento.
Diversos pesquisadores, ao estudarem os fenômenos do fluxo de fluidos em condutos, de-
duziram experimentalmente diversas "fórmulas" aplicáveis aos vários tipos de escoamento.
4.5.2.1 Fórmula Universal da Perda de Carga (Equação de Darcy)
h p
..f
L
D
v
2
.2 g
onde: L  distância entre duas seções transversais, [m]
f  fator de atrito, dependente de diversos parâmetros
Muitas vezes, é conveniente escrever esta fórmula de maneira a representar a queda de
pressão entre dois trechos de tubulação. Neste caso, teremos:
 p ...f
L
D

v
2
.2 g
que é válida par uma tubulação reta de diâmetro "d" e comprimento "L".
A determinação do fator de atrito "f" é realizada conforme abaixo:
1. Regime laminar (Re  2320)
No escoamento laminar, o fator de atrito independe da rugosidade do conduto, sendo
função exclusivamente do número de Reynolds
f
64
Re
ou, de acordo com a equação 4 (página 32),

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f
.64 
.v D H
2. Para os escoamento turbulento e de transição, valem as fórmulas:
Tabela 14 – Fórmulas diversas para o cálculo do fator de atrito
FÓRMULAS PARA CONDUTOS LISOS NO REGIME TURBULENTO
Validade Fórmula
3000  Re  105
f
0.314
Re
1
4
104
 Re  3,4  106
e 800Re  f f .2 log
2.51
.Re f
105
 Re  108 f 0.0032
0.221
Re
0.237
Turbulência plena (Re > 4000) f = [1,8log(Re)–1,5)–2
FÓRMULAS PARA CONDUTOS RUGOSOS NO REGIME TURBULENTO E DE TRANSIÇÃO
-
1
f
1.74 .2 log
.2 k
d
18.7
.Re f
200Re14 






k
d
f 1
f
.2 log
k
d
3.71
18.7
.Re f
4000 < Re < 107
f .0.0055 1 .20000
k
d
10
6
Re
1
3
FÓRMULAS PARA CONDUTOS RUGOSOS NO REGIME DE TURBULÊNCIA PLENA
200Re 






k
d
f
1
f
1.74 .2 log
.2 k
d
onde:k  altura média das irregularidades existentes no conduto (rugosidade), [m]
k/d  rugosidade relativa
Os valores das alturas médias das irregularidades são dados na tabela 15.
Tabela 15 – Valores das alturas médias das irregularidades "k" para tubos.
Material do conduto Valores de "k", [mm] Valor usual de "k, [mm]
CONDUTOS NOVOS
Aço carbono
– preto, soldado 0,0305 a 0,0915 0,0610
– polido, soldado 0,0050 a 0,1000 0,0150
– revestido com asfalto – 0,0400

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Caruso
Tabela 15 – Valores das alturas médias das irregularidades "k" para tubos.
Material do conduto Valores de "k", [mm] Valor usual de "k, [mm]
CONDUTOS NOVOS
– qualidade comercial – 0,0460
– galvanizado 0,0610 a 0,2440 0,1520
Cimento amianto – 0,0250
Cobre – 0,0015
Concreto
– alisado – 0,1700
– centrifugado 0,305 a 3,050 1.2200
Ferro fundido
– centrifugado 0,062 a 0,300 0,0260
– centrifugado revestido de cimento – 0,0240
– centrifugado revestido de piche 0,061 a 0,260 0,1220
Latão 0,010 a 0,020 0,0152
PVC 0,009 a 0,050 0,0152
Vidro – 0,0152
CONDUTOS USADOS
Aço carbono muito corroído – 2,0
Ferro fundido
– corroído 1,0 a 1,5 1,25
– incrustado 1,5 a 3,0 2,35
Muitos dados relativos a fluidos (densidade, peso específico, viscosidade, etc.) e perdas de
carga singulares ou não, são extraídos de manuais e catálogos de fabricantes de equipa-
mentos, tubos, peças e acessórios para a movimentação de fluidos.
5 Informações Complementares
Tabela 16 – Dimensões de tubos padronizados
DIÂMETRO
NOMINAL, [in]
DIÂMETRO
EXTERNO, [mm]
DESIGNAÇÃO DA
ESPESSURA
(SCHEDULE)
ESPESSURA DA
PAREDE, [mm]
DIÂMETRO
INTERNO, [mm]
 17,1
10S
Std, 40,40S
XS, 80, 80S
1,65
2,31
3,20
13,8
12,5
10,7
½ 21
Std, 40,40S
XS, 80, 80S
160
XXS
2,77
3,73
4,75
7,47
15,8
13,8
11,8
6,4
¾ 27
Std, 40,40S
XS, 80, 80S
160
XXS
2,87
3,91
5,54
7,82
20,9
18,8
15,6
11,0
1 33
Std, 40,40S
XS, 80, 80S
160
XXS
2,87
4,55
6,35
9,09
26,6
24,3
20,7
15,2
1 ¼ 42
Std, 40,40S
XS, 80, 80S
160
XXS
3,56
4,85
6,35
9,70
35,0
32,5
29,4
22,7
1 ½ 48
Std, 40,40S
XS, 80, 80S
160
XXS
3,68
5,08
7,14
10,16
40,8
38,1
33,9
27,9

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Tabela 16 – Dimensões de tubos padronizados
DIÂMETRO
NOMINAL, [in]
DIÂMETRO
EXTERNO, [mm]
DESIGNAÇÃO DA
ESPESSURA
(SCHEDULE)
ESPESSURA DA
PAREDE, [mm]
DIÂMETRO
INTERNO, [mm]
2 60
Std, 40,40S
XS, 80, 80S
160
XXS
3,91
5,54
8,71
11,07
52,5
49,2
42,9
28,2
2 ½ 73
Std, 40,40S
XS, 80, 80S
160
XXS
5,16
7,01
9,52
14,00
62,7
59,0
54,0
44,9
3 89
10S
Std, 40,40S
XS, 80, 80S
160
XXS
3,05
5,48
7,62
11,10
15,20
82,8
77,9
73,6
66,7
58,4
4 114
10S
Std, 40,40S
XS, 80, 80S
160
XXS
3,05
6,02
8,56
13,50
17,10
108,2
102,3
97,2
87,3
80,1
6 168
10S
Std, 40,40S
XS, 80, 80S
120
160
XXS
3,40
7,11
10,97
14,.3
18,20
21,9
161,4
154,0
146,3
139,7
131,8
124,4
8 219
10S
Std, 40,40S
60
XS, 80, 80S
120
XXS
160
3,76
8,18
10,30
12,70
18,20
22,20
23,00
211,5
202,7
198,4
193,7
182,6
174,6
173,1
10 273
5S
10S
Std, 40,40S
XS, 80, 80S
80
120
160
3,40
4,19
9,27
12,70
15,10
21,40
28,60
266,2
264,7
254,5
247,6
242,9
230,2
215,9
12 324
5S
10S
20
Std, 40S
40
XS, 80S
60
80
120
4,19
4,57
6,35
9,52
10,30
12,70
14,30
17,40
25,40
315,5
314,7
311,1
304,8
303,2
298,4
295,3
289,9
273,0
Notas sobre a tabela 16:
1. Os valores estão de acordo com as normas ANSI B.36.10 e 36.19
2. As designações "Std", "XS" e "XXS" correspondem às denominações "padrão", "extra
forte" (extra strong) e "super extra forte" (super extra strong) da norma ANSI B.36.10. As
designações 10, 20, 30, 40, 60, 80, 100, 120 e 160 são os "números de série" (schedule
number) da mesma norma. As designações 5S, 10S, 20S, 40S e 80S são da norma ANSI
36.19.
3. A tabela 16 é parcial. Para a tabela completa das características geométricas, vejam-se
as normas. É usual a designação de diâmetros nominais de tubos em polegadas.

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Tabela 17 – Velocidades recomendadas para condução de fluidos.
FLUIDO MATERIAL DO CONDUTO VELOCIDADE, [m/s]
redes de cidades 1 a 2
redes em instalações industriais 2 a 3
alimentação de caldeiras 5 a 8
Doce
sucção de bombas
Aço carbono
1 a 1,5
Aço com revestimento 1,5 a 2,5
Latão 1,5 (máximo)
Água
Salgada
Monel 3,0 (máximo)
Amônia (gás) 25 a 25
Amônia (líquido)
Aço carbono
2,0 (máximo)
Ar comprimido Aço carbono 15 a 20
Acetileno Aço carbono 20 a 25
Ácido sulfúrico diluído Chumbo 1 a 1,2
Ácido sulfúrico concentrado Aço carbono 1,5
Cloro (líquido) 1.,5 a 2
Cloro (gás)
Aço carbono
15 a 20
Cloreto de cálcio Aço carbono 1,5 a 2,0
Hidrocarbonetos (líquidos) 1 a 2
Hidrocarbonetos (gasosos)
Aço carbono/inoxidável
25 a 30
Hidrogênio Aço carbono/inoxidável 20 (máximo)
Vapor até 2kgf/cm
2
(saturado) 20 a 40
Vapor até 2 a 10kgf/cm
2
40 a 80
Vapor, mais de 10kgf/cm
2
Aço carbono/inoxidável
60 a 100
Nota: Os valores de velocidades da tabela 17 são sugeridos.
Tabela 18 – Comprimentos equivalentes em relação ao diâmetro da tubula-
ção (L/D) de válvulas e conexões
PRODUTO TIPO CONDIÇÃO L/D
Sem obstruções – 100% aberta 340
Convencional
Com disco de guia – 100% aberta 450
60o
– 100% aberta 175
"Y"
45o
– 100% aberta 145
Sem obstruções – 100% aberta 145
Válvula de globo
Angular
Com disco de guia – 100% aberta 200
100% aberta 13
75% aberta 35
50% aberta 160
Válvula de gaveta Convencional
25% aberta 900
De levantamento 100% aberta 135
Portinhola 100% aberta 50Válvula de retenção
De esfera 100% aberta 150
Válvula de pé Convencional 100% aberta 75 a 420
Válvula borboleta Convencional  8" – 100% aberta 40
90o
30
45o
16Cotovelo
90o
raio longo 20
Fluxo direto 20
Conexões
Te
Fluxo desviado 60

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Tabela 19 – Viscosidade cinemática da água.
TEMPERATURA, [O
C] VISCOSIDADE,  [cSt]
0 1,794
4 1,568
5 1,519
10 1,310
15 1,146
20 1,011
30 0,803
40 0,659
50 0,556
60 0,478
70 0,416
80 0,367
90 0,328
100 0,296
Tabela 20 – Coeficiente de viscosidade dinâmica de alguns fluidos
gasosos
FLUIDO
TEMPERATURA,
[O
C]
COEFICIENTE DE VISCOSIDADE
DINÂMICA , [cP]  10-3
0 17,1
20 18,1Ar
100 21,8
Água 100 13,2
CO2 15 14,5
Tabela 21 – Coeficiente de viscosidade dinâmica de alguns fluidos
líquidos
FLUIDO
TEMPERATURA,
[O
C]
COEFICIENTE DE VISCOSIDADE
DINÂMICA , [cP]
Água destilada 20 1,01
Álcool etílico 20 1,20
Benzeno 20 0,66
15,6 0,31
Gasolina
20 0,29
Hidrogênio (líquido) –257 0,02
15,6 1,56
Mercúrio
20 1,54
Óleo cru 20 7,18
Querosene 27 1,90

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Tabela 22 – Densidades de substâncias selecionadas
SUBSTÂNCIA DENSIDADE, 
Carbono 7,85
Inoxidável 7,93Aço
Rápido 8,10 a 9,00
Destilada a 0
o
C 0,99987
Destilada a 4
o
C 1,0000Água
do mar a 15
o
C 1,025
Álcool etílico 0,79
Eletrolítico 2,70
Alumínio
Fundido 2,56
Amianto 2,10 a 2,80
Asfalto 1,10 a 2,80
Baquelite 1,33
de alumínio 7,75 a 8,35
Bronze
de estanho 8,70 a 8,90
Cádmio 8,64
Cal 3,30
Carburundum 3,12 a 3,20
Carvão vegetal 0,40
Chumbo fundido 11,34
Chumbo laminado 11,4
eletrolítico 8,88 a 8,95
fundido 8,30 a 8,92Cobre
laminado 8,90 a 9,00
Coque 1,60 a 1,90
fundido 7,20
Estanho
laminado 7,40
fundido 7,80
Ferro
puro (eletrolítico) 7,85
Gelo a 0
o
C 0,9167
Glicerina 1,26
Grafite 2,30 a 3,10
Graxa 0,92 a 0,94
Latão 8,10 a 8,60
Leite de bovino, desnatado 1,032
Leite de bovino, natural 1,028
Mercúrio 13,5951
Metal duro 14,75
Níquel fundido 8,30
de corte 0,89 a 0,94
Óleo
mineral 0,77 a 0,98
Ouro 19,36
Papel 0,70 a 1,20
Platina trefilada 21,30 a 21,60
Porcelana 2,30 a 2,50
Prata fundida 10,42 a 10,53
Vidro 2,28
Zinco fundido 6,86
Tabela 23 – Alfabeto Grego.
MAIÚSCULA MINÚSCULA EQUIVALENTE A NOME
  A Alfa
  B Beta

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Tabela 23 – Alfabeto Grego.
MAIÚSCULA MINÚSCULA EQUIVALENTE A NOME
  G Gama
  D Delta
  E Epsilon
  Z Zeta
  H Eta
  - Teta
  I Iota
  K Kappa
  L Lambda
  M Mu (mi)
  N Nu (ni)
  X Xi
  O Ômicron
  P Pi
  R Rô
  S Sigma
  T Tau
  U Upsilon
  F Phi
  Ch Chi (qui)
  Ps Psi
  O Ômega
Tabela 24 – Conversão de Unidades
PARA CONVERTER DE PARA
MULTIPLICAR
POR
ACELERAÇÃO
pés por segundo ao quadrado
centímetros por segundo ao quadrado
metros por segundo ao quadrado
30,48
0,3048
metros por segundo ao quadrado
pés por segundo ao quadrado
centímetros por segundo ao quadrado
3,2808
100
ÂNGULO
graus
grado
radianos
1,111
0,017453
graus por segundo
radianos por segundo
revoluções por minuto
revoluções por segundo
0,017453
0,16667
0,0027778
minutos radianos 0,002909
radianos graus 57,296
graus por segundo
57,296
9,549
graus por segundo
6
0,01472
ÁREA
acres
pés quadrados
metros quadrados
hectares
43560
4046,9
0,40469
circular mils polegadas quadradas 0,000007854

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Caruso
MULTIPLICAR
POR
hectares
acres
pés quadrados
metros quadrados
2,4710
107639
10000
centímetros quadrados polegadas quadradas 0,1550
pés quadrados
acres
metros quadrados
0,000022956
0,092903
polegadas quadradas centímetros quadrados 6,4516
quilômetros quadrados
acres
milhas quadradas
247,10
0,38610
metros quadrados
acres
pés quadrados
0,00024710
10,764
milhas quadradas
acres
quilômetros quadrados
640
2,590
jardas quadrados
acres
metros quadrados
0,00020661
0,83613
COMPRIMENTO
centímetros polegadas 0,3937
fathoms
pés
metros
6
1,8288
pés
centímetros
polegadas
metros
jardas
30,480
12
0,30480
0,3333
polegadas
centímetros
metros
milímetros
micrometros
2,540
0,02540
25,40
25400
quilômetros
pés
milhas
3280,8
0,62137
metros
pés
polegadas
jardas
3,2808
39,370
1,0936
micrometros metros 0,000001
milímetros polegadas 0,039370
mills milímetros 0,0254
milhas
pés
quilômetros
metros
jardas
5280
1,6093
1609,3
1760
milha quilômetros 1,609
jardas metros 0,91440
ENERGIA E POTÊNCIA
Unidade térmica britânica (British Ther-
mal Unit – BTU)
47
joules 1055,056
BTU por segundo watts 1055,056
BTU por minuto
HP
watts
0,02358
17,584
BTU por hora
HP
watts
0,000393
0,2931
47
Há várias definições do Btu, e os valores de e/ou fatores equivalentes aplicáveis, podem variar e podem de-
pender ligeiramente da definição usual, por isto, três ou quatro algarismos significativos são mostrados nesta
tabela, e na maioria dos casos utilizar um valor próximo da maioria das definições do Btu; porém, para cálculos
de alta precisão, deve-se referenciar às listas apropriadas de manuais e de padrões.

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MULTIPLICAR
POR
calorias
BTU
libras-pé
joules
quilogramas-força metro
watt-hora
0,0039683
3,088
4,1868
0,4269
0,001163
ergs joules 0,0000001
pé-libras-força
BTU
calorias
HP hora
joules
quilocalorias
quiilowatt hora
0,001285
0,3238
0,0000005050
1,3558
0,0003238
0,13825
0,0000003766
HP
BTU por minuto
pé-libras-força por minuto
pé-libras-força por segundo
quilocalorias por minuto
quilowatts
CV
watts
42,43
33000
550
10,69
0,7457
1,0139
745,7
HP hora
(BTU)
pé-libras-força
joules
quilocalorias
quilogramas-força metros
quilowatt horas
2,545
1980000
2684500
641,5
273200
0,7457
joules
BTU
calorias
pés-libras-força
watt-hora
0,0009484
0,2390
0,73756
0,00027778
quilowatts
BTU por minuto
pé-libras-força por segundo
HP
56,92
44254
737,6
1,3410
14,34
quilowatt hora
BTU
pé-libras-força
HP hora
joules
quilocalorias
3413
2655000
1,3410
3600000
860
367100
libras-força
quilogramas-força
newtons
0,45359
4,4482
tonelada de refrigeração
BTU
BTU por 24 horas
12000
288000
watts
BTU por minuto
pés-libras-força por segundo
HP
joules por segundo
0,05691
0,73756
44,254
0,0013410
1,0
0,014340
watt-hora
BTU
pé-libras-força
HP hora
joules
quilocalorias
3,413
2665
0,0013410
3600
0,8604
367,10

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MULTIPLICAR
POR
BTU/(pés quadrado segundo) watts por metro quadrado 11356,5267
BTU/(pés quadrado hora) watts por metro quadrado 3,1546
FORÇA
dinas newtons 0,00001
gramas-força newtons 0,0098066
quilogramas-força
newtons
libras-força
9,8066
2,2046
quilogramas-força
newtons
libras-força
poundals
quilolibras-força
9,807
2,2046
70,932
0,0022046
quilolibras-força
newtons
quilogramas-força
libras-força
poundals
4448
453,6
1000
32174
gramas-força por centímetro
newtons por metro
libras-força por polegada
0,9807
0,005600
quilogramas-força por metro
newtons
libras-força por pé
9,8066
0,6721
newtons
dynes
quilogramas-força
poundals
libras-força
100000
0,10197
7,2330
0,2248
poundals newtons 0,13826
libras-força newtons 4,448
INTENSIDADE LUMINOSA
candela lumens por metro quadrado 10,764
MASSA
drams (avoir)
grãos
gramas
onças
27,344
1,7718
0,0625
grãos
gramas
onças (avoir)
0,0648
0,0022857
gramas
grãos
onças (avoir)
libras (avoir)
15,432
0,035274
0,0022046
quilogramas
libras
toneladas (curta)
2,2046
0,0011023
toneladas
quilogramas
libras
1000
2204,6
onças (avoir)
drams (avoir)
grãos
gramas
quilogramas
libras (avoir)
toneladas (longa)
toneladas
16
437,5
28,3495
0,028350
0,06250
0,00002790
0,000028350
libras (avoir)
drams (avoir)
grãos
gramas
quilogramas
onças (avoir)
toneladas
toneladas (longa)
toneladas (curta)
256
7000
453,59
0,45359
16
0,00045359
0,00044643
0,0005

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MULTIPLICAR
POR
tonelada (longa)
quilogramas
toneladas
libras (avoir)
tonelada (curta)
1016,0
1,0160
2240
1,120
tonelada (curta)
quilogramas
libras (avoir)
toneladas (longa)
tonelada
907,18
2000
0,89286
0,9072
MASSA ESPECÍFICA
gramas por centímetros cúbicos
quilogramas por metro cúbico
libras por polegada cúbica
libras por pé cúbico
0,001
0,03613
62,427
libra por pé cúbico quilogramas por metros cúbicos 16,018
libras por pé cúbico
gramas por centímetro cúbico
quilogramas por metro cúbicos
libras por polegada cúbicas
0,016018
16,018
0,0005787
libras-força por polegadas cúbicas
gramas-força por centímetro cúbico
quilogramas-força por metro cúbico
newtons por metro cúbico
27,68
27,680
1728
PRESSÃO E TENSÃO
atmosferas
bar
centímetros de mercúrio a 32
o
F
pés de água a 68
o
F
polegadas de mercúrio a 32
o
F
quilogramas-força por centímetro quadrado
quilogramas-força por metro quadrado
quilopascal
libras-força por polegada quadrada
toneladas-força (curta) por pé quadrado
torricelli
1,01325
76,0
33,93
29,921
1,03322
10332,2745
101325
14,696
1,0581
760
bar quilopascal 100
centímetros de mercúrio
atmosferas
bar
pés de água a 68
o
F
polegadas de água a 68
o
F
torricelli
0,013158
0,01333
0,4468
5,362
0,19337
27,85
10
pés de água (a 68
o
F)
atmosferas
bar
polegadas de mercúrio (a 0
o
C)
quilopascal
libras-força por pé quadrado
0,02947
0,02986
0,88179
0,03045
2,986
0,43309
62,37
o
C
atmosferas (padrão)
bar
pés de água a 68
o
F
o
F
quilopascal
milímetros de mercúrio
0,00342
0,033864
1,135
13,62
0,034532
345,32
3,3864
25,40
70,73
0,4912

ÁREA INDUSTRIAL
Página:
46 de 65
Professor:
Caruso
MULTIPLICAR
POR
o
F
atmosferas
bar
polegadas de mercúrio
quilopascal
0,002454
0,002487
0,07342
0,002535
0,2487
5,193
0,03606
quilogramas-força por centímetro qua-
drado
atmosferas
bar
pés de água a 68
o
F
o
C
quilopascal
0,9678
0,98066
32,87
28,96
98,066
2048
14,223
quilogramas-força por milímetro qua-
drado
megapascal
1000000
9,8066
quilogramas-força por metro quadrado pascal 9,807
quilopascal
dinas por centímetro quadrado
pés de água a 68
o
F
o
F
o
F
pascal
10000
0,3351
0,2953
4,021
0,010197
1000
0,1450
quilolibras-força por polegada quadrada
quilopascal
bar
6894,8
70,307
68,94
1000
megapascal
quilogramas-força por milímetro quadrado
quilopascal
pascal
0,10197
10,197
1000
1000000
145,0
millibars pascal 100
milímetros de mercúrio a 0
o
C
bar
pé de água a 68
o
F
polegadas de mercúrio
o
F
quilogramas por centímetro quadrado
pascal
libras por polegada quadrada
0,0013332
0,004680
0,03937
0,53616
0,0013595
133,32
0,0193368
onças-força por polegada quadrada
gramas-força por centímetro quadrado
pascal
4,395
43,1
0,06250
pascal
bar
dinas por centímetro quadrado
gramas-força por quadrados centímetro
quilopascal
newtons por metro quadrado
0,00001
10,0
0,010197
0,000010197
0,001
1,0
0,0001450
libras-força por quadrados pé
pés de água a 68
o
F
quilopascal
pascal
0,01605
0,0004882
0,0047880
47,880
0,0069444

ÁREA INDUSTRIAL
Página:
47 de 65
Professor:
Caruso
MULTIPLICAR
POR
libras-força por quadrados polegada
atmosferas
pés de água a 68
o
F
o
F
o
F
quilogramas força por centímetro quadrado
quilopascal
0,06805
2,311
27,73
2,036
0,07031
6,8948
libras por quadrados pé quilogramas por metro quadrado 4,8824
libras por quadrados polegada
pascal
quilopascal
megapascal
6895
6,895
0,006895
POTÊNCIA
BTU/hora watt 0,29307
BTU/segundo watt 1055,056
HP quilowatt 0,746
TORQUE E MOMENTO DE TORÇÃO
libras-força pé newtons metro 1,356
quilogramas-força metro newtons metro 9,807
VAZÃO
libras por minuto quilogramas por minuto 0,4536
pés cúbicos por minuto
centímetros cúbicos por segundo
metros cúbicos por segundo
metros cúbicos por hora
litros por segundo
galões (USA) por segundo
libras de água por minuto (a 68
o
F)
471,9
0,0004719
1,699
0,4719
0,2247
62,32
pés cúbicos por segundo
metros cúbicos por minuto
galões (USA) por minuto
galões (imperial) por hora
litros por segundo
0,028317
1,699
101,9
448,8
646315
28,32
litros por segundo
0,016667
0,00027778
4,4033
0,27778
3600
15850
pés cúbicos por hora
litros por segundo
0,000063090
0,0037854
0,2771
0,002228
8,021
0,06309
litros por minuto
litros por segundo
galões (USA) por segundo
galões (impa) por minuto
0,0005885
0,01667
0,004403
0,26418
0,003666
litros por segundo
litros por minuto
galões (imperial) por minuto
0,001
0,06
3,600
60
15,85
13,20

ÁREA INDUSTRIAL
Página:
48 de 65
Professor:
Caruso
MULTIPLICAR
POR
libras de água por minuto a 60
o
F
centímetros cúbicos por segundo
quilogramas por segundo
7,5667
0,0002675
0,00045398
0,0075599
normal pés cúbicos por minuto
metros cúbicos por hora em CNTP
litros por segundo em CNTP
1,6957
0,47103
polegadas cúbicas por rotação
litros por revolução
mililitros por revolução
0,01639
16,39
VELOCIDADE
centímetros por segundo
pés por segundo
pés por minuto
milhas por hora
quilômetros por hora
metros por minuto
0,03281
1,9685
0,02237
0,03600
0,60000
pés por minuto
metros por minuto
metros por segundo
milhas por hora
0,5080
0,01829
0,30480
0,00508
0,01136
pés por segundo
metros por minuto
metros por segundo
milhas por hora
30,480
1,097
18,29
0,30480
0,6818
nós internacionais
metros por segundo
milhas por hora
0,5144
1,1516
pés por segundo
pés por minuto
nós internacionais
metros por minuto
metros por segundo
milhas por hora
27,778
0,9113
54,68
0,53996
16,667
0,27778
0,6214
quilômetros por segundo milhas por minuto 37,28
metros por minuto
pés por minuto
pés por segundo
milhas por hora
1,6667
3,2808
0,05468
0,0600
0,03728
metros por segundo
pés por minuto
pés por segundo
quilômetros por minuto
milhas por hora
milhas por minuto
196,8
3,281
3,600
0,0600
2,237
0,03728
milhas por hora
pés por minuto
pés por segundo
nós internacionais
metros por minuto
44,70
88
1,4667
0,8690
1,6093
26,82
VISCOSIDADE
poises
centipoises
pascal-segundo
libra-força-segundo por pé quadrado
libras por pé-segundo
100
0,1000
0,0020885
0,0672

ÁREA INDUSTRIAL
Página:
49 de 65
Professor:
Caruso
MULTIPLICAR
POR
stokes
pés quadrados por segundo
metros quadrados por segundo
quilogramas por metro segundo
0,001076
0,0001
0,1
VOLUME
acre-pés
pés cúbicos
galões (USA)
metros cúbicos
43,560
325851
1233,5
barris (USA liquido) galões (USA) 31,5
centímetros cúbicos
polegadas cúbicas
pés cúbicos
jardas cúbicas
galões (USA)
galões (imperial)
litros
0,06102
0,000035315
0,000001308
0,0002642
0,00022
0,001
pés cúbicos
metros cúbicos
polegadas cúbicas
jardas cúbicas
galões (USA)
galões (imperial)
litros
28317
0,028317
1728
0,03704
7,4805
6,229
28,32
polegadas cúbicas
pés cúbicos
metros cúbicos
jardas cúbicas
galões (USA)
galões (imperial)
litros
16,387
0,0005787
0,000016387
0,00002143
0,004329
0,03605
0,016387
metros cúbicos
polegadas cúbicas
pés cúbicos
jardas cúbicas
galões (USA)
galões (imperial)
litros
61024
35,315
1,3080
264,17
219,97
1000
jardas cúbicas
pés cúbicos
polegadas cúbicas
metros cúbicos
galões (USA)
galões (imperial)
litros
764550
27
46,656
0,76455
201,97
168,17
764,55
onças fluidas (USA)
polegadas cúbicas
litros
1,8046
0,02957
galões (imperial)
metros cúbicos
pés cúbicos
jardas cúbicas
galões (USA)
litros
4546,092
0,0045461
0,16054
0,005946
1,20095
4,5461

ÁREA INDUSTRIAL
Página:
50 de 65
Professor:
Caruso
MULTIPLICAR
POR
galões (USA)
metros cúbicos
polegadas cúbicas
pés cúbicos
jardas cúbicas
pintas (líquido)
quartos (líquido)
galões (imperial)
litros
3785,4
0,0037854
231
0,13368
0,0049515
8
4
0,8327
3,7854
litros
pés cúbicos
polegadas cúbicas
metros cúbicos
jardas cúbicas
galões (USA)
galões (imperial)
1000
0,035315
61,024
0,001
0,001308
0,26418
0,2200
quartos (seco)
polegadas cúbicas
metros cúbicos
1101,2
67,20
0,0011012
quartos (liquido)
polegadas cúbicas
litros
946,35
57,75
0,94635

ÁREA INDUSTRIAL
Página:
51 de 65
Disciplina: Máquinas Hidráulicas
Professor:
Caruso
Tubos de mate-
riais lisos: plásti-
cos, vidros, etc.
Aços carbono
Fº Fº com revesti-
mento asfáltico
Aço galvanizado
Ferro Fundido
Concreto
Diâmetro do tubo, [in]
Rugosidaderelativa,k/d
1 10 100
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
Figura 26 – Rugosidade relativa de tubos

ÁREA INDUSTRIAL
Página:
52 de 65
Professor:
Caruso
Figura 27 – Ábaco de Moody para coeficiente de atrito

ÁREA INDUSTRIAL
Página:
53 de 65
Professor:
Caruso
Figura 28 – Variação da viscosidade com a temperatura

ÁREA INDUSTRIAL
Página:
54 de 65
Professor:
Caruso
Apêndice
Unidades de Medida Oficiais – Sistema Internacional de Unidades
Conselho Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial CON-
METRO
Resolução n.º 12, de 12 de outubro de 1988
O Conselho Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial – CONMETRO, usando das atribui-
ções que lhe confere o artigo 3
o
da Lei n.º 5966, de 11 de dezembro de 1973, através de sua 20
o
Sessão Ordi-
nária realizada em Brasília, em 23/08/1988,
Considerando que, as unidades de medida legais no País são aquelas do Sistema Internacional de Unidades –
SI, adotado pela Conferência Geral de Pesos e Medidas, cuja adesão pelo Brasil foi formalizada através do
Decreto Legislativo n.º 57, de 27 de junho de 1953,
Considerando que, a fim de assegurar em todo o território nacional a indispensável uniformidade na expressão
quantitativa e metrológica das grandezas, cabe privativamente à União, conforme estabelecido na Constituição
Federal, dispor sobre as unidades de medida, o seu emprego e, de modo geral, o aspecto metrológico de
quaisquer atividades comerciais, agropecuárias, industriais, técnicas ou científicas, resolve:
1. Adotar o Quadro Geral de Unidades de Medida, em anexo, no qual constarão os nomes, as definições,
os símbolos das unidades e os prefixos SI.
2. Admitir o emprego de certas unidades fora do SI, de grandeza e coeficientes sem dimensões físicas que
sejam julgados indispensáveis para determinadas medições.
3. Estabelecer que o Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial – INMETRO,
seja encarregado de propor as modificações que se tornarem necessárias ao Quadro anexo, de modo a
resolver casos omissos, mantê-lo atualizado e dirimir dúvidas que possam surgir na interpretação e na
aplicação das unidades legais.
4. Esta Resolução entrará em vigor na data de sua publicação.
Índice
1. Sistema Internacional de Unidades
2. Outras Unidades
3. Prescrições Gerais
Tabela 25 – Prefixos do SI
Tabela 26 – Unidades do Sistema Internacional de Unidades
Tabela 27 – Outras Unidades Aceitas para Uso com o SI, sem Restrição de Prazo
Tabela 28 – Outras Unidades fora do SI Admitidas Temporariamente
Quadro Geral de Unidades de Medida:
Este Quadro Geral de Unidades (QGU) contém:
1. Prescrições sobre o Sistema Internacional de Unidades
2. Prescrições sobre outras unidades
3. Prescrições gerais
Tabela 25 Prefixos SI.
Tabela 26 Unidades do Sistema Internacional de Unidades.
Tabela 27 Outras Unidades aceitas para uso com o Sistema Internacional de Unidades.
Tabela 28 Outras Unidades, fora do Sistema Internacional de Unidades, admitidas temporariamente.
Nota: São empregadas as seguintes siglas e abreviaturas:
CGPM Conferência Geral de Pesos e Medidas (precedida pelo número de ordem e seguida pelo ano de
sua realização)
QGU Quadro Geral de Unidades
SI Sistema Internacional de Unidades
Unidade SI Unidade compreendida no Sistema Internacional de Unidades
1. Prescrições sobre o Sistema Internacional de Unidades
O Sistema Internacional de Unidades, ratificado pela 11
a
CGPM/1960 e atualizado até a 18
a
CGPM/1987, compreende:
a) Sete unidades de base:
Unidade Símbolo Grandeza

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