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Na prática o que faremos será igualarmos o resto 3, dessa divisão por 4, ao expoente 3 de nossa tabelaoriginal, com isso f...
Exercícios PropostosI - Determine na tabela abaixo os restos que os números deixam respectivamente por :            367   ...
26) Determine o menor valor de A na expressão 7 321 X 158 286 + A que torna o resultado respectivamentedivisível por3, 5, ...
43) ( Colégio Naval - 1990 ) Considere as Afirmativas :(I)      O número 1147 não é primo(II)     Todo número da forma abb...
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Mat restos numericos

  1. 1. RESTOSPara calcularmos o resto da divisão de um número N por um número p de critério de divisibilidade conhecidoaplicamos essecritério e subtraímos do valor encontrado o menor múltiplo de p imediatamente inferior a esse número. Restos por 2Se o número for ímpar ele deixará por 2 o resto 1, se for par ele será divisível por 2 e deixará, ao ser divididopor 2, o resto 0Exemplo 01 : 123 deixa por 2 o resto 1, 1 065 deixa por 2 o resto 1, pois ambos terminam em números ímpares.348 é divisível por 2 edeixa portanto o resto 0 pois termina num algarismo par. Restos por 3Apliquemos o critério de divisibilidade e do número obtido diminuímos o múltiplo de 3 imediatamente inferior.Exemplo 02 : 125 deixa por 3 o resto 2, já que pelo critério de divisibilidade por 3 ==> 1 + 2 + 5 = 8, o múltiplode 3 imediatamenteinferior a 8 é 6. Com isso o resto da divisão de 125 por 3 será : 8 - 6 = 2Exemplo 03 : 574 deixa por 3 o resto 1, já que pelo critério de divisibilidade por 3 ==> 5 + 7 + 4 = 16, o múltiplode 3 imediatamenteinferior a 16 é 15. Com isso o resto da divisão de 574 por 3 será : 16 - 15 = 1 Restos por 4Apliquemos o critério de divisibilidade e do número obtido diminuímos o múltiplo de 4 imediatamente inferior.Exemplo 04 : 295 deixa por 4 o resto 3, já que pelo critério de divisibilidade por 4, os dois últimos algarismosde 295 formam o número95, o múltiplo de 4 imediatamente inferior a 95 é 92. Com isso o resto da divisão de 295 por 4 será : 95 - 92 = 3Exemplo 05 : 374 deixa por 4 o resto 2, já que pelo critério de divisibilidade por 4, os dois últimos algarismosde 374 formam o número74, o múltiplo de 4 imediatamente inferior a 74 é 72. Com isso o resto da divisão de 374 por 4 será : 74 - 72 = 2 Restos por 5Apliquemos o critério de divisibilidade e do número obtido diminuímos o múltiplo de 5 imediatamente inferior.Exemplo 06 : 398 deixa por 5 o resto 3, já que pelo critério de divisibilidade por 5, o último algarismo de 398 é8, o múltiplo de 5imediatamente inferior a 8 é 5.Com isso o resto da divisão de 398 por 5 será : 8 - 5 = 3
  2. 2. Exemplo 07 : 874 deixa por 5 o resto 4, já que pelo critério de divisibilidade por 5, o último algarismo de 874 é4, o múltiplo de 5 imediatamente inferior a 4 é 0.Com isso o resto da divisão de 874 por 5 será : 4 - 0 = 4 Restos por 6Apliquemos o critério de divisibilidade e do número obtido diminuímos o múltiplo de 6 imediatamente inferior.Exemplo 08 : 193 deixa por 6 o resto 4, já que pelo critério de divisibilidade por 6, a soma do sextuplo doalgarismo das unidadescom o quádruplo da soma dos demais algarismos nos dá o número 6 X 3 + (1 + 9) X 4 = 58, o múltiplo de 6imediatamente inferior a 58é 54. Com isso o resto da divisão de 193 por 6 será : 58 - 54 = 4Exemplo 09 : 384 deixa por 6 o resto 2, já que pelo critério de divisibilidade por 6, a soma do sextuplo doalgarismo das unidadescom o quádruplo da soma dos demais algarismos nos dá o número : 6 X 4 + (3 + 8) X 4 = 68, o múltiplo de 6imediatamente inferior a 68é 66. Com isso o resto da divisão de 384 por 6 será : 68 - 66 = 2 Restos por 8Apliquemos o critério de divisibilidade e do número obtido diminuímos o múltiplo de 8 imediatamente inferior.Exemplo 10 : 1 357 deixa por 8 o resto 5 já que pelo critério de divisibilidade por 8, a soma do quádruplo doalgarismo das centenasadicionado ao dobro do algarismo das dezenas e adicionado ao algarismo das unidades nos dá o número: (4X 3) + (2 X 5) + 7 = 29,o múltiplo de 8 imediatamente inferior a 29 é 24. Com isso o resto da divisão de 1 357 por 8 será : 29 - 24 = 5Exemplo 11 : 2 564 deixa por 8 o resto 4 já que pelo critério de divisibilidade por 8, a soma do quádruplo doalgarismo das centenasadicionado ao dobro do algarismo das dezenas e adicionado ao algarismo das unidades nos dá o número: (4X 5) + (2 X 6) + 4 = 36,o múltiplo de 8 imediatamente inferior a 36 é 32. Com isso o resto da divisão de 2 564 por 8 será : 36 - 32 = 4 Restos por 9Apliquemos o critério de divisibilidade e do número obtido diminuímos o múltiplo de 9 imediatamente inferior.Exemplo 12 : 321 deixa por 9 o resto 6, já que pelo critério de divisibilidade por 93 + 2 + 1 = 6, o múltiplo de 9 imediatamente inferior a 6 é 0. Com isso o resto da divisão de 321por 9 será : 6 - 0 = 6Exemplo 13 : 6 584 deixa por 9 o resto 5, já que pelo critério de divisibilidade por 96 + 5 + 8 + 4 = 23, o múltiplo de 9 imediatamente inferior a 23 é 18. Com isso o resto dadivisão de 6 584 por 9 será : 23 - 18 = 5 Restos por 10
  3. 3. Nesse caso não nos será necessário aplicarmos o critério de divisibilidade já que o resto da divisão de umnúmero por 10 será sempreo algarismo das unidades.Exemplo 14 : 321 deixa por 10 o resto 1, 423 deixa por 10 o resto 3, 846 deixa por 10 o resto 6. Restos por 11Apliquemos o critério de divisibilidade e do número obtido diminuímos o múltiplo de 11 imediatamenteinferior.Exemplo 15 : 3 429 deixa por 11 o resto 8, já que pelo critério de divisibilidade por 11, um número é divisívelpor 11 quando a soma dosalgarismos de ordem ímpar Si diminuída da soma dos algarismos de ordem par Sp for um número inteirodivisível por 11.Assim teremos : Si -> ( 9 + 4 ) = 13 e Sp -> ( 2 + 3 ) = 5 e Si - Sp = 8. Como o múltiplo de 11 imediatamenteinferior a 8 é 0,concluímos que o resto da divisão de 3 429 por 11 será : 8 - 0 = 8Exemplo 16 : 538 146 deixa por 11 o resto 4, já que Si = 6 + 1 + 3 e Sp = 4 + 8 + 5 E a diferença Si - Sp = 10 -17 = - 7 . Quando oresultado obtido for um número inteiro negativo devemos acrescentar tantos "onzes" quantos foremnecessários até que o tornemosum número inteiro positivo compreendido entre 0 e 10 ( os restos possíveis numa divisão por 11 ) .Assim teremos : - 7 + 11 = 4 e dessa forma concluímos que o resto da divisão de 538 146 por 11 será igual a 4.Se, por exemplo, encontrássemos pelo critério por 11 o número - 25 somaríamos - 25 + 11 + 11 + 11 = 8 e esseseria o resto procurado.Restos de ExpressõesPara calcularmos o resto da divisão de uma expressão aritmética N por um número p, de critério dedivisibilidade conhecido,aplicamos esse critério para cada um dos termos dessa expressão e calculamos com esses novos valores ovalor dessa expressão.A diferença entre esse número e o múltiplo imediatamente inferior de p nos dará o resto que o resultado Ndessa expressão deixariapor p.Exemplo 17 : Que resto o resultado da expressão N = 32 875 + 7 238 x 148 304 deixa respectivamente por 3, 4,5 e 11 ?Por 3 => Aplicando o critério para cada um dos termos teremos :32 875 => 3 + 2 + 8 + 7 + 5 = 25 - 24 = 1 ; 7 231 => 7 + 2 + 3 + 8 = 20 - 18 = 2 e 1 + 4 + 8 + 3 + 0 + 4 = 20 - 18 = 2.Com isso teremos : 1 + 2 X 2 = 1 + 4 = 5 e 5 - 3 = 2 e N deixa por 3 o resto 2Por 4 => Aplicando o critério para cada um dos termos teremos :32 875 => 75 - 72 = 3 ; 7 231 => 31 - 28 = 3 e 148 304 => 04 - 04 = 0.Com isso teremos : 3 + 3 X 0 = 3 + 0 = 3 e 3 - 0 = 3 e N deixa por 4 o resto 3Por 5 => Aplicando o critério para cada um dos termos teremos :32 875 => 5 - 5 = 0 ; 7 231 => 1 - 0 = 1 e 148 304 => 4 - 0 = 4Com isso teremos : 0 + 1 X 4 = 0 + 4 = 4 e 4 - 0 = 4 e N deixa por 5 o resto 4Por 11 => Aplicando o critério para cada um dos termos teremos :32 875 => (5 + 8 + 3) - (7 + 2) = 16 - 9 = 7 ;
  4. 4. 7 231 => (1 + 2) - (3 + 7) = 3 - 10 = - 7. tornando-o positivo temos - 7 + 11 = 4148 304 => (4 + 3 + 4) - (0 + 8 + 1) = 11 - 9 = 2 ;Com isso teremos : 7 + 4 X 2 = 7 + 8 = 15 e 15 - 11 = 4 e N deixa por 11 o resto 4Exemplo 18 : Que resto o resultado da expressão P = 42 7933 x 73 2084 deixa por 9 ?Aplicando o critério de 9 para cada um dos termos teremos :42 793 => 4 + 2 + 7 + 9 + 3 = 25 - 18 = 773 208 => 7 + 3 + 2 + 0 + 8 = 20 - 18 = 2Com isso teremos : 73 24 = 143 x 16 e reaplicando o critério por 9 teremos :143 => 1 + 4 + 3 = 8 - 0 = 8 e 16 => 16 - 9 = 7 e finalizando :8 x 7 = 56 que deixa por 9 o resto 56 - 54 = 2, então P deixa por 9 o resto 2Restos de Potências "Exageradas"Para calcularmos o resto da divisão de uma potência Ns, onde s é um número "exagerado", por um número p,de critério dedivisibilidade conhecido, aplicamos esse critério para a base N dessa potência e analisamos ocomportamento que as potênciasdesse resto possuem ao serem divididas por p.Exemplo 19 : Que resto a potência 23 983367 deixa por 5 ?Calculemos, inicialmente, o resto da base 23 983 por 5 => 3 - 0 = 3E agora analisemos como as potências de 3 se comportam numa divisão por 5 Que deixa, quando dividida por 5, o 31 = 3 resto 3 Que deixa, quando dividida por 5, o 32 = 9 resto 4 Que deixa, quando dividida por 5, o 33 = 27 resto 2 Que deixa, quando dividida por 5, o 34 = 81 resto 1 Que deixa, quando dividida por 5, o 35 = 243 resto 3 Que deixa, quando dividida por 5, o 36 = 729 resto 4 Que deixa, quando dividida por 5, o 37 = 2 187 resto 2 Que deixa, quando dividida por 5, o 38 = 6 561 resto 1Pela tabela percebemos que as potências de 3 quando divididas por 5 geram sucessiva e repetidamente 4restos, respectivamente,3, 4, 2 e 1. Com isso podemos concluir que o expoente 367 conterá 367 : 4 grupos completos dessassucessões de restos e o restodessa divisão nos dará o resto que procuramos.367 : 4 quociente 91 e resto 3 Dessa forma compreendemos que até chegarmos ao expoente 367teremos formado 91 gruposcompletos e mais 3 "sobrando"
  5. 5. Na prática o que faremos será igualarmos o resto 3, dessa divisão por 4, ao expoente 3 de nossa tabelaoriginal, com isso finalmentepodemos concluir que : 33 = 27 Que deixa quando dividido por 5 o resto 2 36723 983 deixa por 5 o resto 2 1345Exemplo 20 : Que resto a potência 275 396 deixa por 9 ?Calculemos, inicialmente, o resto da base 275 396 por 9275 396 por 9 2 + 7 + 5 + 3 + 9 + 6 = 32 e o resto será : 32 - 27 = 5E agora analisemos como as potências de 5 se comportam numa divisão por 9 Que deixa, quando dividida por 9, o 51 = 5 resto 5 Que deixa, quando dividida por 9, o 52 = 25 resto 7 Que deixa, quando dividida por 9, o 53 = 125 resto 8 Que deixa, quando dividida por 9, o 54 = 40 * resto 4 Que deixa, quando dividida por 9, o 55 = 20 * resto 2 Que deixa, quando dividida por 9, o 56 = 10 * resto 1*** Quando o cálculo das potências se torna muito trabalhoso aplicamos um "macete" bastante adequado multiplicamos o último resto encontrado pelo primeiro resto. 4Assim 5 último resto 8 X primeiro resto 5 = 40 que dá o resto 40 - 36 = 4 5Assim 5 último resto 4 X primeiro resto 5 = 20 que dá o resto 20 - 18 = 2 6Assim 5 último resto 2 X primeiro resto 5 = 10 que dá o resto 10 - 9 = 1** Sempre que encontramos o resto 1 compreendemos que a partir daí a tabela se repetirá .Pela tabela percebemos que as potências de 5 quando divididas por 9 geram sucessiva e repetidamente 6restos, respectivamente,5, 7, 8, 4, 2 e 1. Com isso podemos concluir que o expoente 1 345 conterá 1 345 : 6 grupos completos dessassucessões de restos eo resto dessa divisão nos dará o resto que procuramos.1 345 : 6 quociente 227 e resto 3 Dessa forma compreendemos que até chegarmos ao expoente 1 345teremos formado 227 gruposcompletos e mais 3 "sobrando"Na prática o que faremos será igualarmos o resto 3 dessa divisão por 6 ao expoente 3 de nossa tabelaoriginal, com isso finalmentepodemos concluir que : 35 = 125 Que deixa quando dividido por 9 o resto 8275 3961345 deixa por 9 o resto 8
  6. 6. Exercícios PropostosI - Determine na tabela abaixo os restos que os números deixam respectivamente por : 367 549 933 1 071 5 482 12 576 21 375 48 638 105 378 337 89201) 2 . . . . . . . . . .02) 3 . . . . . . . . . .03) 4 . . . . . . . . . .04) 5 . . . . . . . . . .05) 8 . . . . . . . . . .06) 9 . . . . . . . . . .07) 10 . . . . . . . . . .08) 11 . . . . . . . . . .II - Qual o menor número que se deve adicionar ao número dado para que resulte um número divisível por : 127 328 439 777 903 1 203 3 456 7 843 10 131 47 86709) 2 . . . . . . . . . .10) 3 . . . . . . . . . .11) 4 . . . . . . . . . .12) 5 . . . . . . . . . .13) 9 . . . . . . . . . .14) 10 . . . . . . . . . .15) 11 . . . . . . . . . .III - Qual o menor número que se deve subtrair do número dado para que resulte um número divisível por : 231 345 507 659 908 1 231 3 785 7 333 17 994 67 56216) 2 . . . . . . . . . .17) 3 . . . . . . . . . .18) 4 . . . . . . . . . .19) 5 . . . . . . . . . .20) 8 . . . . . . . . . .21) 9 . . . . . . . . . .22) 10 . . . . . . . . . .23) 11 . . . . . . . . . .24) Determine o resto que o resultado da expressão 12 450 + 45 876 X 23 887 deixa respectivamente por 2, 3, 4,5, 9 e 11:25) Determine o resto que o resultado da expressão 27 4962 X 5 6263 + 123 507 deixa respectivamente por 2,3, 4, 5, 9 e 11:
  7. 7. 26) Determine o menor valor de A na expressão 7 321 X 158 286 + A que torna o resultado respectivamentedivisível por3, 5, 9 e 10 :27) Determine o menor valor de A na expressão 14 8754 + 8 2863 X A que torna o resultado respectivamentedivisível por3, 5, 8 e 11 :28) Que resto a soma S de 5 números naturais e consecutivos deixa por 8, sabendo que o menor deles deixapor 8 o resto 529) Que resto a soma S de 7 números naturais e consecutivos deixa por 11, sabendo que o menor deles deixapor 11 o resto 9.30) Que resto o produto P de 5 números naturais e consecutivos deixa por 7, sabendo que o maior deles deixapor 7 o resto 631) Que resto o produto P de 8 números naturais e consecutivos deixa por 10, sabendo que o maior delesdeixa por 11 o resto 8.32) A potência 578127 quando dividida por 3, 5 e 11 deixa, respectivamente, os restos : 44933) A potência 1 672 , quando dividida por 4, 6 e 9 deixa, respectivamente, os restos : 342 361 76934) Determine o resto da expressão 73 191 X 5 476 + 23 507 deixa respectivamente por 2, 3, 5 e 11: 562 34535) Determine o menor valor de A na expressão 16 045 + 7 106 X A que torna o resultadorespectivamente divisível por 3, 5 e 10 :36) Se A e B deixam, quando divididos por 7, respectivamente, os restos 2 e 5. Que resto a expressão A11 X 12B deixaráquando dividida por 7 ? 2137) Se A, B e C deixam, quando divididos por 9, respectivamente, os restos 3, 4 e 7. Que resto a expressão A 35 17X B X C deixaráquando dividida por 9 ? n 43921738) Determine o menor valor do expoente n, na expressão : 125 + 2 para que o resultado seja divisívelpor 11.39) Sabendo que n é um número ímpar de dois algarismos, determine o menor valor do expoente n, naexpressão : n 6734 675 + 6 134 para que o resultado seja divisível por 9. n 2p40) Determine na expressão 723 + 2 739 , o menor valor de n + p, para que o resultado seja um númerodivisível por 5.Questões de Concurso41) ( EPCAR 2000 ) Seja um número m = 488a9b, onde "b" é o algarismo das unidades e "a" é o algarismo dascentenas.Sabe-se que m é divisível por 55, então o menor valor de a + b é igual a :a) 2 b) 7 c) 10 d) 1342) ( Colégio Naval - 1990 ) O número 583ab é divisível por 9. O valor máximo da soma dos algarismos a e b, é:a) indeterminado b) 20 c) 18 d) 11 d) 2
  8. 8. 43) ( Colégio Naval - 1990 ) Considere as Afirmativas :(I) O número 1147 não é primo(II) Todo número da forma abba, onde a e b são algarismos, é divisível por 11.(III) Todo o número múltiplo de 5 e 15 é múltiplo de 75(IV) O número de divisores naturais de 576 é divisor de 63O número de afirmativas verdadeiras é :a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 d) 4 1/2 2/3 3/444) ( CEFET 1972 ) O menor número real que se subtrair da expressão : 121 + 512 + 10.000 para queseja divisível por 9 é :a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 d) 6 1,333...45) ( CEFET 1973 ) Quantos divisores tem o número 216 :a) 25 b) 20 c) 15 d) 16 d) N.R.A46) ( CEFET 1975 ) A interseção do conjuntos de divisores de um número natural com o conjunto dosmúltiplos do mesmo númeroé um conjunto :a) Vazio b) Unitário c) de números primosd) com números ilimitado de d) N.R.Aelementos 13 1747) ( UFMG-99 ) Sabe-se que o número 2 - 1 é primo. Seja n = 2 - 16. No conjunto dos números naturais, onúmero dedivisores de n é:a) 5 b) 8 c) 6 d) 10 248) ( CEFET 1999 - 2ª fase ) Se N = 2 x 30 , qual o número de divisores de N que são também múltiplos de 15?49) ( CEFET - 2000 ) O número de inteiros compreendidos entre 200 e 500 que são divisíveis por 5 e nãodivisíveis por 15, é:a) 100 b) 39 c) 41 d) 59 d) 80

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