1) O documento discute o conceito e propriedades do máximo divisor comum (mdc) de dois inteiros;
2) Apresenta o algoritmo de Euclides para calcular o mdc através de divisões sucessivas;
3) Mostra que o mdc pode ser caracterizado como a menor combinação linear positiva dos inteiros com coeficientes inteiros.
Prova do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADAthieresaulas
Prova de Matemática do Colégio Militar do Rio de Janeiro 2011, comentada.
Para DOWNLOAD acesse em
http://www.calculobasico.com.br/colegio-militar-do-rio-de-janeiro-prova-comentada/
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Formula luderiana racional para extracao de raiz quadrada (completo)ludenir
Fórmula para calcular, algebricamente (sem trigonometria), a raiz quadrada de um número complexo. Descoberta por Ludenir Santos, Rio Grande, RS (Brazil).
Resolução da lista 4 de Geometria Analítica, da Professora Cecília Chirenti, da UFABC.
Em caso de dúvidas/sugestões e relato de erros, enviar e-mail para rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br
Sistema de Bibliotecas UCS - Chronica do emperador Clarimundo, donde os reis ...Biblioteca UCS
A biblioteca abriga, em seu acervo de coleções especiais o terceiro volume da obra editada em Lisboa, em 1843. Sua exibe
detalhes dourados e vermelhos. A obra narra um romance de cavalaria, relatando a
vida e façanhas do cavaleiro Clarimundo,
que se torna Rei da Hungria e Imperador
de Constantinopla.
proposta curricular para educação de jovens e adultos- Língua portuguesa- anos finais do ensino fundamental (6º ao 9º ano). Planejamento de unidades letivas para professores da EJA da disciplina língua portuguesa- pode ser trabalhado nos dois segmentos - proposta para trabalhar com alunos da EJA com a disciplina língua portuguesa.Sugestão de proposta curricular da disciplina português para turmas de educação de jovens e adultos - ensino fundamental. A proposta curricular da EJa lingua portuguesa traz sugestões para professores dos anos finais (6º ao 9º ano), sabendo que essa modalidade deve ser trabalhada com metodologias diversificadas para que o aluno não desista de estudar.
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Intro teoria dos numerros cap6
1. 6
M¶aximo divisor comum
6.1 Conceitua»c~ao e propriedades elementares
Se x e a s~ao inteiros, com a 6= 0, e x j a (lembre-se de que x j a" signi¯ca x divide
a") ent~ao jxj · jaj. De fato, como a = xc, para algum inteiro c, e c 6= 0 (pois a 6= 0),
temos jcj ¸ 1, e portanto
jxj · jxjjcj = jxcj = jaj
Como jxj · jaj , ¡jaj · x · jaj, se a 6= 0, o conjunto D(a), dos inteiros
divisores de a, ¶e limitado superiormente por jaj (e inferiormente por ¡jaj).
Se a = 0, ent~ao D(a) = D(0) = Z, pois cada inteiro ¶e divisor de zero.
Agora, dados dois inteiros a e b, com a 6= 0 ou b 6= 0, existe pelo menos um divisor
comum de a e b, a saber, 1, j¶a que 1 j a e 1 j b. Al¶em disso, se x 2 Z ¶e um divisor
comum de ambos a e b ent~ao, pela observa»c~ao acima, jxj · jaj (se a 6= 0) ou jxj · jbj
(se b 6= 0).
Assim sendo, o conjunto dos divisores comuns de a e b, D(a) D(b), ¶e limitado
superiormente pelo maior dos inteiros jaj e jbj, e portanto possui um m¶aximo d, sendo
d ¸ 1, j¶a que 1 j a e 1 j b. A este inteiro d chamamos m¶aximo divisor comum de a e b.
De¯ni»c~ao 6.1 Dados dois inteiros a e b, com a 6= 0, ou b 6= 0, chama-se m¶aximo
divisor comum de a e b, ao inteiro d, denotado por mdc(a; b), elemento m¶aximo do
conjunto D(a; b) = D(a) D(b). Se a = b = 0, de¯nimos mdc(a; b) = mdc(0; 0) = 0
(muito embora n~ao exista o maior inteiro positivo divisor de 0).
Equivalentemente, mdc(a; b) ¶e o inteiro d ¸ 0 satisfazendo:
1. d = 0, se a = b = 0;
2. se a 6= 0 ou b 6= 0, d ¶e caracterizado pelas seguintes duas propriedades:
(i) d j a e d j b;
46
2. M¶aximo divisor comum 47
(ii) Para cada x 2 Z, se x j a e x j b ent~ao x · d.
Exemplo 6.1 mdc(12; 28) = 4, pois
D(12) = f¡12; ¡6; ¡4; ¡3; ¡2; ¡1; 1; 2; 3; 4; 6; 12g, e
D(28) = f¡28; ¡14; ¡7; ¡4; ¡2; ¡1; 1; 2; 4; 7; 14; 28g
Assim, D(12; 28) = D(12) D(28) = f¡4; ¡3; ¡2; ¡1; 1; 2; 3; 4g, que tem m¶aximo
igual a 4, que ¶e o m¶aximo divisor comum de 12 e 28.
Os divisores comuns de 28 e 84 s~ao §1; §2; §3; §4; §6; e §12. Portanto,
mdc(24; 84) = 12. Analogamente, olhando os conjuntos de divisores comuns, con-
clu¶³mos que mdc(35; 45) = 5, mdc(17; 25) = 1, mdc(0; ¡8) = 8 e mdc(¡9; ¡15) = 3.
Proposi»c~ao 6.1 Sendo a e b inteiros quaisquer,
1. mdc(a; 0) = jaj;
2. mdc(a; b) = mdc(jaj; jbj);
3. mdc(a; b) = mdc(b; a).
Demonstra»c~ao. A demonstra»c~ao dos itens 2 e 3 ¶e imediata, j¶a que, para todo x 2 Z,
x j a e x j b , x j b e x j a , x j jaj e x j jbj
e assim
D(a; b) = D(b; a) = D(jaj; jbj)
Demonstra»c~ao do item 1.
Se a = 0, mdc(a; 0) = mdc(0; 0) = 0 = jaj.
Se a 6= 0, jaj divide a. Tamb¶em jaj divide 0.
Agora, para cada x 2 Z, se x j a e x j 0, ent~ao x divide jaj, logo x · jaj.
Logo, pela de¯ni»c~ao de mdc, jaj = d = mdc(a; 0).
6.2 O algoritmo euclidiano para o c¶alculo do mdc
Estabeleceremos agora um algoritmo para o c¶alculo de mdc(a; b), no caso em que a e
b s~ao inteiros ambos n~ao nulos, realizado atrav¶es de uma seqÄu^encia ¯nita de divis~oes
euclidianas. Antes de enunci¶a-lo ilustr¶a-lo-emos atrav¶es de um exemplo.
Considere o problema de calcular mdc(91; 35).
Come»camos fazendo
3. M¶aximo divisor comum 48
91 35
21 2
Consideramos ent~ao o divisor 35 e o resto 21 dessa primeira divis~ao e efetuamos
a divis~ao Euclidiana de 35 por 21.
35 21
14 1
Agora repetimos o processo iniciado acima, isto ¶e, tomamos, na pr¶oxima divis~ao,
21 como dividendo e 14 como divisor:
21 14
7 1
Finalmente, chegamos µa divis~ao exata
14 7
0 2
Tendo chegado a um resto igual a zero, o algoritmo termina. O ¶ultimo resto n~ao
nulo, das divis~oes sucessivas realizadas, ¶e o mdc procurado, ou seja, mdc(91; 35) = 7.
Estaremos justi¯cando este algoritmo no teorema 6.1.
Lema 6.1 Sejam a e b dois inteiros, com b 6= 0, e seja r o resto da divis~ao Euclidiana
de a por b. Ent~ao mdc(a; b) = mdc(b; r).
Demonstra»c~ao. Para demonstrar o resultado enunciado no lema, ¶e su¯ciente provar que
todo divisor de a e b ¶e tamb¶em divisor de b e r, e reciprocamente. Assim sendo, o maior
divisor de a e b coincidir¶a com o maior divisor de b e r. Note que esse maior divisor"
existe, j¶a que b 6= 0.
Temos, por hip¶otese, a = bq + r, logo r = a ¡ bq.
Seja x um inteiro divisor de a e b. Ent~ao
x j a e x j b ) x j (a ¡ qb) ) x j r
Logo, x j b e x j r. Logo, D(a; b) ½ D(b; r).
Agora, seja x um inteiro divisor de b e r. Ent~ao
x j b e x j r ) x j (qb + r) ) x j a
Logo, x j b e x j a. Logo, D(b; r) ½ D(a; b).
Portanto, D(a; b) = D(b; r), e assim sendo, mdc(a; b) = max D(a; b) = max D(b; r)
= mdc(b; r).
4. M¶aximo divisor comum 49
Lema 6.2 Sejam a e b inteiros ambos positivos com a ¸ b e de¯namos uma seqÄu^encia
de inteiros n~ao negativos da seguinte forma:
² r1 = a;
² r2 = b;
² Para cada ¶³ndice k, com k ¸ 2, se rk 6= 0, rk+1 ¶e o resto da divis~ao Euclidiana de
rk¡1 por rk:
rk¡1 rk
rk+1 ¤
e se rk = 0, a seqÄu^encia termina em rk. Ent~ao a seqÄu^encia r1; r2; : : : ¶e ¯nita e termina
em um zero, ou seja, existe um indice n tal que r1 ¸ r2 > : : : > rn > 0 e rn+1 = 0.
Demonstra»c~ao. Por hip¶otese, r1 ¸ r2 e, pela de¯ni»c~ao de rk+1, para k ¸ 2 temos
rk+1 < rk.
Considere o conjunto de n¶umeros naturais S = fr1; r2; : : : g.
Como S ½ N e S 6= ¿, pelo princ¶³pio da boa ordena»c~ao dos n¶umeros naturais, S
possui um m¶³nimo, o qual denotaremos por rn+1.
Pelo que foi observado acima, teremos r1 ¸ r2 > ¢ ¢ ¢ > rn > rn+1.
A¯rmamos que rn+1 = 0. Para justi¯car isto, basta observar que se rn+1 6= 0
ent~ao podemos de¯nir rn+2 2 S como sendo o resto da divis~ao de rn por rn+1. Teremos
ent~ao 0 · rn+2 < rn+1, contrariando o fato de rn+1 ser m¶³nimo de S.
Teorema 6.1 (Algoritmo euclidiano para o c¶alculo do mdc) Sejam a e b inteiros
ambos positivos, com a ¸ b, e seja
r1; r2; : : : ; rn; rn+1
a seqÄu^encia de¯nida pelo lema 6.2, sendo
r1 ¸ r2 > : : : > rn > rn+1 = 0
Ent~ao rn = mdc(a; b).
Demonstra»c~ao. Para cada k ¸ 3, rk ¶e o resto da divis~ao de rk¡2 por rk¡1. Pelo lema
6.1,
mdc(rk; rk¡1) = mdc(rk¡1; rk¡2)
5. M¶aximo divisor comum 50
Logo
rn = mdc(0; rn)
= mdc(rn+1; rn) (pois rn+1 = 0)
= mdc(rn; rn¡1) (pelo lema 1)
= : : :
= mdc(r3; r2)
= mdc(r2; r1)
= mdc(a; b)
6.3 O mdc(a; b) caracterizado como combina»c~ao linear
dos inteiros a e b
O seguinte teorema, um teorema n~ao intuitivo de nossa introdu»c~ao µa aritm¶etica dos
inteiros, nos d¶a uma segunda e importante caracteriza»c~ao do m¶aximo divisor comum.
Teorema 6.2 O m¶aximo divisor comum de dois inteiros a e b, a 6= 0 ou b 6= 0, ¶e a
menor combina»c~ao linear positiva de a e b, com coe¯cientes inteiros, ou melhor, ¶e o
menor inteiro positivo da forma ma + nb com m e n inteiros.
Em outras palavras, se a 6= 0 ou b 6= 0, ent~ao
mdc(a; b) = minfx 2 Z j x > 0 e x = ma + nb; com m; n 2 Zg
Demonstra»c~ao. Seja d = ma + nb o menor inteiro positivo que ¶e combina»c~ao linear de
a e b, com coe¯cientes inteiros.
A exist^encia de d ¶e garantida pelo principio da boa ordena»c~ao dos inteiros positivos
(existe uma combina»c~ao linear de a e b que ¶e positiva: basta considerar jaj + jbj =
(§1)a + (§1)b).
Vamos mostrar que d j a e d j b. Pelo algoritmo da divis~ao podemos escrever
a = dq + r, para certos inteiros q e r, com 0 · r < d.
Logo r = a ¡ dq = a ¡ q(ma + nb) = (1 ¡ qm)a ¡ (qn)b, e portanto r ¶e uma
combina»c~ao linear de a e b.
Como 0 · r < d e d ¶e o menor inteiro positivo que ¶e uma combina»c~ao linear de
a e b, conclu¶³mos que r = 0 e que portanto d j a.
Analogamente, podemos demonstrar que d j b.
Para mostrar que d ¶e o m¶aximo divisor comum de a e b precisamos mostrar que
qualquer divisor comum c de a e b ¶e menor que ou igual a d.
6. M¶aximo divisor comum 51
Como d = ma + nb, se c j a e c j b, tem-se imediatamente que c j d, e portanto,
c · d.
Corol¶ario 6.1 Se a e b s~ao inteiros e d = mdc(a; b), ent~ao existem inteiros r e s tais
que d = ra + sb.
De¯ni»c~ao 6.2 Dois inteiros a e b s~ao primos entre si ou relativamente primos se
mdc(a; b) = 1.
Corol¶ario 6.2 Sendo a e b dois inteiros, a e b s~ao primos entre si se e somente se
existem inteiros r e s satisfazendo ra + sb = 1.
Demonstra»c~ao.
()): Se mdc(a; b) = 1 ent~ao, pelo corol¶ario 6.1, existem inteiros r e s tais que
ra + sb = 1.
((): Reciprocamente, se ra+sb = 1, ent~ao a 6= 0 ou b 6= 0 e, al¶em disso, 1 ¶e a menor
combina»c~ao linear positiva de a e b, com coe¯cientes inteiros. Pelo teorema 6.2,
mdc(a; b) = 1.
Alternativamente, temos tamb¶em a seguinte demonstra»c~ao. Sendo ra + sb = 1,
se x j a e x j b ent~ao x j (ra + sb), e assim x j 1. Logo, x · 1. Portanto
1 = mdc(a; b).
Corol¶ario 6.3 Sejam a, b e c inteiros, com a 6= 0 ou b 6= 0, e mdc(a; b) = d. Ent~ao
a=d e b=d s~ao inteiros primos entre si, ou seja, mdc
¡a
d
; b
d
¢
= 1.
Demonstra»c~ao. Sendo mdc(a; b) = d, temos que d j a, d j b e existem inteiros r e s
tais que ra + sb = d. Logo, r(a=d) + s(b=d) = 1, e portanto os inteiros a=d e b=d s~ao
primos entre si.
A propriedade rec¶³proca ¶e tamb¶em facilmente deduzida, e ser¶a deixada para o
leitor.
Corol¶ario 6.4 Sejam a; b 2 Z e d = mdc(a; b). Sejam
A = fx 2 Z j x = ma + nb; com m; n 2 Zg; e
M = fy 2 Z j y = ¸d; com ¸ 2 Zg:
Ent~ao A = M, isto ¶e, as combina»c~oes lineares ma + nb, com m e n inteiros, coincidem
com os inteiros m¶ultiplos de mdc(a; b).
7. M¶aximo divisor comum 52
Demonstra»c~ao. Se a = b = 0, temos d = 0 e A = M = f0g. Suponhamos ent~ao a 6= 0
ou b 6= 0. Para provar que A = M, provaremos que A ½ M e M ½ A.
(i) A ½ M:
Seja x um elemento de A.
x 2 A ) x = ma + nb, para certos inteiros m e n.
Sendo d = mdc(a; b), temos que
d j a e d j b ) d j (ma + nb) ) d j x ) x = ¸d, para algum inteiro ¸.
Portanto, x 2 M.
(ii) M ½ A:
Seja y um elemento de M.
y 2 M ) y = ¸d, para algum inteiro ¸.
Pelo teorema 6.2, d = ra + sb, para certos inteiros r; s.
Logo, y = ¸d = ¸(ra + sb) = (¸r)a + (¸s)b.
Portanto, y 2 A.
Por (i) e (ii), temos A = M.
Corol¶ario 6.5 (Caracteriza»c~ao alternativa do mdc) Sendo a e b dois inteiros dados,
temos:
d = mdc(a; b) ,
8
<
:
(1) d ¸ 0
(2) d j a e d j b
(3) para todo x 2 Z; se x j a e x j b ent~ao x j d
Demonstra»c~ao.
()): Note que (1) e (2) j¶a s~ao propriedades estabelecidas do mdc. Assim s¶o nos resta
demonstrar que d = mdc(a; b) satisfaz µa condi»c~ao (3).
Pelo teorema 6.2, d = ra + sb para certos inteiros r e s. Logo, para cada x 2 Z,
se x j a e x j b ent~ao x j (ra + sb), logo x j d.
((): Suponhamos que a = b = 0, e que d ¶e um inteiro satisfazendo as condi»c~oes (1),
(2) e (3).
Por (3), todo inteiro x que divide a e b deve tamb¶em dividir d. Agora, x = 0
divide a e b, logo divide d.
Mas 0 j d , d = 0. Logo, pela de¯ni»c~ao 6.1, d = 0 = mdc(a; b).
Suponhamos agora a 6= 0 ou b 6= 0, e que d ¶e um inteiro satisfazendo as condi»c~oes
(1), (2) e (3). Por (2), d j a e d j b. Por (1) e (2), d > 0.
8. M¶aximo divisor comum 53
Por (3), se x ¶e um inteiro tal que x j a e x j b, ent~ao, x j d. Logo, como d > 0,
x · d.
Portanto, conforme a de¯ni»c~ao 6.1, d = mdc(a; b).
Podemos ter inteiros a, b e c tais que a j bc, mas a 6j b e a 6j c. Por exemplo,
6 j (4 ¢ 15), mas 66j 4 e 66j 15.
No entanto, h¶a uma circunst^ancia particular em que podemos garantir que se a
divide bc ent~ao a divide um dos fatores b e c.
Proposi»c~ao 6.2 Dados inteiros a, b e c, se a j bc, e a e b s~ao primos entre si, ent~ao
a j c.
Demonstra»c~ao. Como a e b s~ao primos entre si, ra + sb = 1 para certos inteiros r e s.
Logo, rac + sbc = c.
Agora, a j (rac) e a j (sbc) (pois a j bc). Logo a j (rac + sbc), e portanto a j c.
Proposi»c~ao 6.3 Sejam a e p inteiros, sendo p um n¶umero primo positivo. Ent~ao a n~ao
¶e divis¶³vel por p se e somente se a e p s~ao primos entre si.
Demonstra»c~ao.
()) Sejam a e p como no enunciado da proposi»c~ao, suponhamos que p6j a, e seja d
= mdc(a; p). Ent~ao d > 0, d j a e d j p. Como p ¶e primo, temos que d = 1 ou
d = p. Mas p6j a e d j a, logo d = 1, e portanto a e b s~ao primos entre si.
(() Suponhamos agora que a e p s~ao primos entre si, ou seja mdc(a; p) = 1. Como
p j p, se tamb¶em p j a, ent~ao mdc(a; b) ¸ p ¸ 2, e temos uma contradi»c~ao.
Portanto p6j a.
Proposi»c~ao 6.4 Sejam a, b e p inteiros, com p primo. Se p j ab ent~ao p j a ou
p j b (podendo ser fator de ambos, a e b).
Demonstra»c~ao. Temos que p j a ou p6j a.
Se p 6j a, ent~ao, pela proposi»c~ao anterior, p e a s~ao relativamente primos. Como
p j ab, pela proposi»c~ao 6.2, temos que p j b.
6.4 Calculando inteiros r e s tais que
mdc(a; b) = ra + sb.
Veremos agora como o algoritmo euclidiano, do c¶alculo do mdc de dois inteiros, pode
ser usado para obtermos o mdc como uma combina»c~ao linear desses inteiros.
9. M¶aximo divisor comum 54
Vimos acima que mdc(91; 35) = 7. Para expressar 7 como combina»c~ao linear de
91 e 35, consideramos as divis~oes euclidianas usadas no c¶alculo de mdc(91; 35),
91 35
21 2
35 21
14 1
21 14
7 1
14 7
0 2
Lembremo-nos de que ¶ultimo resto n~ao nulo, das divis~oes sucessivas realizadas, ¶e o mdc
procurado.
As tr^es primeiras divis~oes estabelecem
91 = 35 ¢ 2 + 21
35 = 21 + 14
21 = 14 ¢ 1 + 7
E ent~ao, isolando os restos, temos
21 = 91 ¡ 35 ¢ 2
14 = 35 ¡ 21 ¢ 1
7 = 21 ¡ 14 ¢ 1
de onde ent~ao obtemos, passo a passo, cada um dos tr^es restos como combina»c~ao linear
de 91 e 35:
21 = 91 ¡ 35 ¢ 2, conforme j¶a estabelecido.
14 = 35 ¡ 21 ¢ 1
= 35 ¡ (91 ¡ 35 ¢ 2)
= (¡1) ¢ 91 + 3 ¢ 35
e ¯nalmente
7 = 21 ¡ 14 ¢ 1
= (91 ¡ 35 ¢ 2) ¡ [(¡1) ¢ 91 + 3 ¢ 35] ¢ 1
= 2 ¢ 91 + (¡5) ¢ 35
ou seja,
7 = 2 ¢ 91 + (¡5) ¢ 35
obtendo-se assim 7 = mdc(91; 35) como combina»c~ao linear r ¢ 91 + s ¢ 35, com r e s
inteiros.
Teorema 6.3 Sejam a e b inteiros ambos positivos com a ¸ b, e considere a seqÄu^encia
de¯nida no lema 6.2, r1; r2; : : : ; rn; rn+1, em que r1 = a, r2 = b, rn = d = mdc(a; b) e
rn+1 = 0. Ent~ao cada rk, para 1 · k · n, pode ser escrito como combina»c~ao linear de
a e b.
10. M¶aximo divisor comum 55
Demonstra»c~ao. Pelo modo como a seqÄu^encia ¶e formada,
r1 = r2q2 + r3
r2 = r3q3 + r4
...
rn¡2 = rn¡1qn¡1 + rn
rn¡1 = rnqn:
Da¶³,
r3 = r1 ¡ r2q2
r4 = r2 ¡ r3q3
...
rn = rn¡2 ¡ rn¡1qn¡1
Temos que r1 = a e r2 = b s~ao combina»c~oes lineares de a e b. Logo, r3 =
r1 ¡ r2q2 = a ¡ bq2 tamb¶em ¶e combina»c~ao linear de a e b.
E supondo que rk¡1 e rk, k ¸ 2, sejam combina»c~oes lineares de a e b, deduzimos
que
rk+1 = rk¡1 ¡ rkqk
ser¶a tamb¶em combina»c~ao linear de a e b. Assim, cada rk (1 · k · n) ¶e combina»c~ao
linear de a e b.
6.5 O mdc de tr^es ou mais inteiros
De¯ni»c~ao 6.3 Seja a1; a2; : : : ; an uma cole»c~ao ¯nita de inteiros, n~ao todos nulos. O
m¶aximo divisor comum dessa cole»c~ao ¶e o maior inteiro d que divide simultaneamente
todos os inteiros da cole»c~ao, e ser¶a denotado por mdc(a1; a2; : : : ; an).
Se a1; a2; : : : ; an s~ao todos zeros, de¯nimos mdc(a1; a2; : : : ; an) = 0.
Por exemplo, mdc(12; 18; ¡30) = 6 e mdc(10; ¡15; 25) = 5.
Proposi»c~ao 6.5 Se a1; a2; : : : ; an ¶e uma cole»c~ao ¯nita de inteiros, n~ao todos nulos,
ent~ao
mdc(a1; a2; : : : ; an¡1; an) = mdc(a1; a2; : : : ; an¡2; mdc(an¡1; an)
Demonstra»c~ao. Qualquer divisor comum dos inteiros a1; a2; : : : ; an ¶e, em particular,
um divisor de an¡1 e an, e portanto um divisor comum dos inteiros a1; a2; : : : ; an¡2,
mdc(an¡1; an).
11. M¶aximo divisor comum 56
Reciprocamente, todo divisor comum de a1, a2, : : : , an¡2, e mdc(an¡1; an), ¶e um
divisor comum dos inteiros a1; a2; : : : ; an, pois para dividir mdc(an¡1; an) ter¶a neces-
sariamente que dividir an¡1 e an. Como as duas cole»c~oes possuem o mesmo conjunto
de divisores comuns, conclui-se a proposi»c~ao.
Por exemplo,
mdc(405; 225; 75) = mdc(405; mdc(225; 75)) = mdc(405; 25) = 5:
De¯ni»c~ao 6.4 Dizemos que os inteiros a1; a2; : : : ; an s~ao primos entre si se
mdc(a1; a2; : : : ; an) = 1. Dizemos que os inteiros a1; a2; : : : ; an s~ao dois a dois primos
entre si, quando ai e aj s~ao primos entre si para cada par de inteiros ai e aj.
Exemplo 6.2 Considere os inteiros 10, 12 e 15. Como
mdc(10; 12; 15) = mdc(10; mdc(12; 15)) = mdc(10; 3) = 1
vemos que esses inteiros s~ao primos entre si. Contudo, os tr^es inteiros n~ao s~ao dois a
dois primos entre si, pois mdc(10; 12) = 2, mdc(12; 15) = 3 e mdc(10; 15) = 5.
6.6 Exerc¶³cios
1. Encontre o m¶aximo divisor comum de cada par de inteiros dados.
(a) 15, 35; (b) 0, 111; (c) -12, 18; (d) -25, -100.
2. Sejam a e n inteiros positivos. Determine o m¶aximo divisor comum de
(a) a e na (b) a e an
(c) a e a + n.
3. Mostre que se a, b e c s~ao inteiros positivos, ent~ao mdc(ac; bc) = c ¢ mdc(a; b).
Sugest~ao. Chame d = mdc(a; b). Lembre-se de que existem inteiros r e s tais que
d = ra + sb. Ent~ao cd = r(ac) + s(bc). Da¶³, se x j ac e x j bc (x 2 Z), tem-se
ent~ao que x j cd. O resto ¶e por sua conta.
4. Mostre que se a e b s~ao inteiros primos entre si, ent~ao mdc(a + b; a ¡ b) = 1 ou
2. Sugest~ao. Mostre que se d j (a + b) e d j (a ¡ b) ent~ao d j 2a e d j 2b. Agora,
estude o caso em que d ¶e par, e depois o caso em que d ¶e ¶³mpar.
5. Mostre que se a e b s~ao primos entre si, ent~ao tamb¶em s~ao primos entre si os
seguintes pares de inteiros:
(a) a e b2
(b) a e bn
(n 2 N) (c) an
e bm
(m; n 2 N)
Sugest~ao. Sendo a e b primos entre si, ra + sb = 1 para certos inteiros r e s.
Fa»ca sb = 1 ¡ ra e eleve ambos os membros ao mesmo expoente.
6. Mostre que se a e b s~ao inteiros primos entre si, ent~ao mdc(a2
+ b2
; a + b) = 1
ou 2.
Sugest~ao. Se d divide a2
+b2
e tamb¶em a+b, ent~ao d divide (a¡b)(a+b)+a2
+b2
.
Agora, h¶a duas possibilidades: (i) d ¶e par; (ii) d ¶e ¶³mpar.
12. M¶aximo divisor comum 57
7. Mostre que se a e b s~ao ambos inteiros pares, n~ao ambos nulos, ent~ao mdc(a; b) =
2 mdc(a=2; b=2).
8. Demonstre que se a, b e c s~ao inteiros tais que a j c e b j c, com a e b primos
entre si, ent~ao ab j c.
Sugest~ao. Temos ra + sb = 1, para certos inteiros r e s. Logo, rac + sbc = c.
Al¶em disso, como a j c e b j c, existem x; y 2 Z tais que c = ax e c = by. Na
combina»c~ao linear rac + sbc, troque o primeiro c por by, e o segundo por ax.
9. Demonstre que se a, b e c s~ao inteiros tais que mdc(a; b) = mdc(a; c) = 1, ent~ao
mdc(a; bc) = 1. Sugest~ao. Existem inteiros r; s; m e n tais que ra + sb = 1, e
ma + nc = 1. Multiplique as igualdades, membro a membro.
10. Encontre o m¶aximo divisor comum de cada um dos seguintes conjuntos de inteiros
dados.
(a) 6, 15, 21 (b) -7, 28, -35 (c) 0, 0, 1001
11. Mostre que se k ¶e um inteiro, ent~ao os inteiros 6k ¡ 1, 6k + 1, 6k + 2, 6k + 3, e
6k + 5 s~ao 2 a 2 primos entre si.
12. Mostre que se k ¶e um inteiro positivo, ent~ao 3k + 2 e 5k + 3 s~ao primos entre si.
13. Use o algoritmo euclidiano para encontrar
(a) mdc(45; 75) (b) mdc(666; 1414)
(c) mdc(102; 222) (d) mdc(20785; 44350)
14. Para cada par de inteiros do problema anterior, expresse o m¶aximo divisor comum
do par de inteiros como combina»c~ao linear desses inteiros.
15. Para cada cole»c~ao de inteiros dada abaixo, expresse o m¶aximo divisor comum como
uma combina»c~ao linear dos inteiros da cole»c~ao.
(a) 6; 10; 15 (b) 70; 98; 105
16. Seja a0; a1; a2; a3; : : : , uma seqÄu^encia in¯nita de inteiros, com a0 = 0, satisfazendo
a seguinte propriedade:
mdc(am; an) = mdc(an; ar) sempre que n 6= 0 e a divis~ao euclidiana de m por n
deixa resto r.
Mostre que, para quaisquer dois ¶³ndices m e n, sendo d = mdc(m; n), temos
mdc(am; an) = ad = amdc(m;n).
Sugest~ao. Considere o algoritmo euclidiano para o c¶alculo de mdc(m; n) e imite o
procedimento usado na demonstra»c~ao do teorema 6.1.
17. Sejam m e n dois inteiros positivos e seja a um inteiro maior que um. Mostre
que, sendo d = mdc(m; n), tem-se mdc(am
¡ 1; an
¡ 1) = ad
¡ 1.
Sugest~ao. Mostre que se a divis~ao de m por n deixa resto r, ent~ao todo divisor de
am
¡ 1 e an
¡ 1 ¶e tamb¶em divisor de an
¡ 1 e ar
¡ 1, e vice-versa. Use ent~ao o
resultado do exerc¶³cio 16.
13. M¶aximo divisor comum 58
18. Mostre que se a e b s~ao inteiros tais que ma + nb = ¡26 para certos inteiros m
e n ent~ao mdc(a; b) 2 f1; 2; 13; 26g.
19. Descreva, como m¶ultiplos de um ¶unico inteiro, os elementos do conjunto
(a) A = f12m + 18n j m; n 2 Zg
(b) B = f24m + 18n + 30p j m; n; p 2 Zg
20. Mostre que existem in¯nitos pares de inteiros (r; s) satisfazendo
r ¢ 2 + s ¢ 3 = mdc(2; 3) = 1
Sugest~ao. Mostre que a equa»c~ao
x ¢ 2 + y ¢ 3 = 0 (6.1)
tem um n¶umero in¯nito de solu»c~oes. Determine uma solu»c~ao da equa»c~ao
r ¢ 2 + s ¢ 3 = 1 (6.2)
Mostre ent~ao que os pares de inteiros da forma (x + r; y + s), sendo (x; y) uma
solu»c~ao de 6.1, e (r; s) a solu»c~ao encontrada de 6.2, s~ao tamb¶em solu»c~oes de 6.2.
21. Mostre que se m e n s~ao inteiros primos entre si, ent~ao existem inteiros x e y tais
que
1
mn
=
x
m
+
y
n
A partir deste fato, justi¯que o seguinte argumento:
Sendo m e n inteiros positivos primos entre si, se uma circunfer^encia pode ser
dividida, com o uso de r¶egua e compasso, em m arcos congruentes, e tamb¶em em
n arcos congruentes, ent~ao ela tamb¶em pode ser dividida, com r¶egua e compasso,
em mn arcos congruentes.