1. O documento apresenta um guia para um software educacional sobre geometria do táxi, que introduz uma nova noção de distância baseada em coordenadas cartesianas e módulo de números. 2. O software contém duas atividades que calculam e comparam as distâncias euclidiana e do táxi entre pontos em um mapa de ruas. 3. O guia explica como usar o software, definindo os conceitos matemáticos envolvidos e instruindo o passo a passo das atividades.

1. Software
Ministério da
Ciência e Tecnologia
Ministério
da Educação
Secretaria de
Educação a Distância
Guia do professor
Números
e funções
Geometria
e medidas
requisitos de software Navegador moderno (Internet Explorer 7.0+ ou Firefox 3.0+), Adobe Flash
Player 9.0+.
restrições de acessibilidade Este software não possui recurso nativo de alto contraste nem
possibilita navegação plena por teclado.
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Geometria do táxi – Distâncias
Objetivos da unidade
Consolidar o uso de coordenadas cartesianas no plano e introduzir1.
uma nova noção de distância, na qual a função módulo aparece de
forma natural;
Explorar a comparação entre as distâncias euclidiana e do táxi,2.
por meio de coordenadas.

2. Guia do professor
Sinopse
O nome “geometria do táxi”, como é conhecida a geometria aqui apresen-
tada, vem da associação com a ideia de “trafegar por ruas”. A distância
entre dois pontos no plano cartesiano é calculada assumindo-se que só
se possa fazer trajetos horizontais e verticais. Na sua definição a função
módulo aparece de modo natural. Nas atividades propostas o aluno esco-
lhe quais são seus pontos de referência no mapa (sua casa, a escola etc.)
e é solicitado a calcular e comparar as distâncias do táxi e euclidiana entre
estes pontos e outros.
Conteúdos
Números, valor absoluto de números reais;„„
Geometria, sistema de coordenadas;„„
Geometria, distâncias.„„
Objetivos
Consolidarousodecoordenadascartesianasnoplanoeintroduziruma nova1.
noção de distância, na qual a função módulo aparece de forma natural;
Explorar a comparação entre as distâncias euclidiana e do táxi, por meio2.
de coordenadas.
Duração
Uma aula dupla.
Recomendação de uso
Sugerimos que as atividades sejam realizadas em duplas.
Material relacionado
Vídeos: Vou de táxi;„„
Software: Geometria do táxi – Contagem, Geometria do táxi – Formas„„
Geométricas.
Geometria
do táxi –
Distâncias

3. Geometria do táxi – Distâncias Guia do professor 2 / 7
Introdução
Nesta unidade é apresentada uma abordagem diferente da noção de dis-
tância, que leva a explorar outra geometria que não a usual.
A distância euclidiana usual é apropriada para a descrição de muitos
fenômenos, mas existem algumas situações que demandam essa outra
abordagem. Por exemplo, a menor distância para irmos de casa até a es-
cola depende das ruas que possibilitam esse trajeto e dificilmente será
“a medida do segmento entre estes dois pontos”. O nome “geometria do
táxi”, como é conhecida a geometria aqui apresentada, vem justamente
da associação com a ideia de “trafegar por ruas”.
O ponto de partida é um sistema de coordenadas cartesianas no plano
com dois eixos ortogonais (horizontal e vertical). Como usualmente, a cada
ponto do plano fica associado de maneira única um par de números reais
(coordenadas). Dados dois pontos do plano, A = (xA,yA) B = (xB,yB) dtaxi(A,B) = |xA −xB|+|yA −yB|eA = (xA,yA) B = (xB,yB) dtaxi(A,B) = |xA −xB|+|yA −yB|,
a distância entre eles é calculada assumindo-se que só se possa fazer tra-
jetos horizontais e verticais. Formalmente essa distância pode ser definida
utilizando-se a função módulo de números reais:
xA,yA) B = (xB,yB) dtaxi(A,B) = |xA −xB|+|yA −yB|.
Neste software, o cenário é um mapa quadriculado onde as quadras
são as unidades de medida. O aluno escolhe as esquinas onde quer colo-
car seus pontos de referência (sua casa, a escola, a casa de um amigo e
a lanchonete). Estes terão portanto sempre coordenadas inteiras. As duas
atividades propostas exploram essencialmente a noção de distância como
comprimento mínimo de trajetos, sua associação com o módulo de núme-
ros e a comparação com a distância euclidiana (a do helicóptero).
Essa mesma geometria e cenário são explorados em dois outros softwa-
res com objetivos distintos: Geometria do TÁXi – CoNtaGem e Geometria
do TÁXi – Formas GeomÉtricas. Vale a pena ver os três!
O software
Estrutura do software
O software Geometria do TÁXi – DistÂNcias é composto por 2 atividades.
tela 1 Mapa do software.

4. Geometria do táxi – Distâncias Guia do professor 3 / 7
Na parte 2 é considerado um sistema ortogonal de coordenadas carte-
sianas e os objetivos são: determinar as coordenadas das localidades
marcadas no mapa e a extensão em quadras do menor caminho possível
entre uma localidade e outra, e representar no mapa esse caminho.
Na primeira atividade, é apresentada a definição da distância do táxi
entre dois pontos em um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas,
cuja fórmula envolve o conceito de valor absoluto de números reais.
Essa atividade é comum a todos os softwares que tratam da Geometria
do Táxi.
Na segunda atividade são comparadas a distância euclidiana e a distân-
cia do táxi entre dois pontos.
1 Distância do táxi
A atividade 1 é dividida em duaspartes. A primeira parte contém instruções
gerais para o desenvolvimento das duas atividades e, também, é apresen-
tado o mapa de ruas de uma cidade, representado por uma malha quadri-
culada. No início, o aluno escolhe posições para quatro localidades que
serão utilizadas como pontos de referência nas atividades. As localidades
devem estar necessariamente nas esquinas para simplificar a obtenção
das distâncias.
ATIVIDADE
tela 2

5. Geometria do táxi – Distâncias Guia do professor 4 / 7
a distância mínima de A B C deucli(A,B) =
√
32 +22 =
√
13atéA B C deucli(A,B) =
√
32 +22 =
√
13são 5 quadras a pé. A distância percorrida de
helicóptero será calculada utilizando-se o Teorema de Pitágoras: sabendo-
se que 3 quadras separam as localidades A B C deucli(A,B) =
√
32 +2eA B C deucli(A,B) =
√
32 +22 =
√
13, e 2 quadras separam
as localidadesA B C deucli(A,B) =
√
32 +22 =
√
13eA B C deucli(A,B) =
√
32 +22 =
√
13(ver figura), então a distância em quadras percorrida
por um helicóptero de A B C deucli(A,B) =
√
32 +22 =
√
13atéA B C deucli(A,B) =
√
32 +22 =
√
13é dada por:A B C deucli(A,B) =
√
32 +22 =
√
13
quadras, ou seja, aproximadamente 3,6 quadras.
As partes 2 e 3 são direcionadas a mostrar como calcular a distância
entre localidades na geometria do táxi, sem depender do mapa das ruas.
É esperado que os alunos notem que a distância entre duas localidades é
dada pela soma dovalor absoluto da diferença dascoordenadashorizontais
e do valor absoluto da diferença das coordenadas verticais das localidades,
ou seja, a distância na geometria do táxi entre os pontos A = (xA,yA) B = (xB,e
A = (xA,yA) B = (xB,yB) dtaxi(A,B) = |xA −xB|+|yA −yB|é dada por:
A = (xA,yA) B = (xB,yB) dtaxi(A,B) = |xA −xB|+|yA −yB|
2 Comparando distâncias
A atividade 2 é dividida em 5 partes. O objetivo é calcular distâncias míni-
mas entre localidades da cidade.
Na parte 1 é comparada a distância entre as localidades percorrida
por um helicóptero e a distância quando o trajeto é percorrido a pé. Essa
comparação é feita por meio de exemplos e visualização do mapa onde as
localidades estão marcadas.
A unidade de medida utilizada é a quadra. Por exemplo, considerando-
se as localidades representadas pelos pontos A B C deucli(A,B) =
√
32 +22 =
√
13eA B C deucli(A,B) =
√
32 +22 =
√
13, como na figura,
tela 3
ATIVIDADE
A
B
C
fig. 1

6. Geometria do táxi – Distâncias Guia do professor 5 / 7
distância euclidiana, se as distâncias a pé e de helicóptero são iguais,
temos

(xA −xB)2 +(yA −yB)2 = |xA −xB|+|yA −yB| (xA −xB)2 +(yA −.
Assim, elevando os dois membros ao quadrado,

(xA −xB)2 +(yA −yB)2 = |xA −xB|+|yA −yB| (xA −xB)2 +(yA −yB)2 = (|xA −xB|+|yA −yB|)2 (xA −xB)2 +(y

(xA −xB)2 +(yA −yB)2 = |xA −xB|+|yA −yB| (xA −xB)2 +(yA −yB)2 = (|xA −xB|+|yA −yB|)2 (xA −xB)2 +(yA −yB)2 = |xA −xB|2 +|yA −yB|2 +2·|xA −xB|·|yA −
B)2 = |xA −xB|+|yA −yB| (xA −xB)2 +(yA −yB)2 = (|xA −xB|+|yA −yB|)2 (xA −xB)2 +(yA −yB)2 = |xA −xB|2 +|yA −yB|2 +2·|xA −xB|·|yA −yB| 0 = 2·|xA −xB|
= (|xA −xB|+|yA −yB|)2 (xA −xB)2 +(yA −yB)2 = |xA −xB|2 +|yA −yB|2 +2·|xA −xB|·|yA −yB| 0 = 2·|xA −xB|·|yA −yB|
Logo, |xA −xB| = 0 |yA −yB| = 0 xA = xB yA = yB x you|xA −xB| = 0 |yA −yB| = 0 xA = xB yA = yB x y. Assim,|xA −xB| = 0 |yA −yB| = 0 xA = xB yA = yB x you|xA −xB| = 0 |yA −yB| = 0 xA = xB yA = yB x y.
Isto significa que os pontos A B C deucli(A,B) =
√
32 +22 =
√
13eA B C deucli(A,B) =
√
32 +22 =
√
13estão em reta paralela ao eixo dos|xA −xB| = 0 |yA −yB| = 0 xA = xB yA = yB x you
em reta paralela ao eixo dos|xA −xB| = 0 |yA −yB| = 0 xA = xB yA = yB x y. Reciprocamente, se os pontos A B C deucleA B C deucli(Aestão
em reta paralela ao eixo dos|xA −xB| = 0 |yA −yB| = 0 xA = xB yA = yB x you em reta paralela ao eixo dos|xA −xB| = 0 |yA −yB| = 0 xA = xB yA = yB x y, também
se conclui que a distância euclidiana e a distância do táxi são iguais.
Demonstre que a distância euclidiana é sempre menor ou igual à distância
do táxi.
Sejam os pontos A = (xA,yA) B = (xB,yB) 0  2|xA −xB|·|yA −yB|eA = (xA,yA) B = (xB,yB) 0  2|xA −xB|·|yA −yB| (xe consideremos a desi­
gualdadeA = (xA,yA) B = (xB,yB) 0  2|xA −xB|·|yA −yB| (xA −xB)2 +(yA −yB)2 (xA −xB)2 +.
SomandoA = (xA,yA) B = (xB,yB) 0  2|xA −xB|·|yA −yB| (xA −xB)2 +(yA −yB)2 (xA −xB)2 +(yA −yB)2  (xA −xB)2aos dois membros da desigual­
dade obtemos
A = (xA,yA) B = (xB,yB) 0  2|xA −xB|·|yA −yB| (xA −xB)2 +(yA −yB)2 (xA −xB)2 +(yA −yB)2  (xA −xB)2 +(yA −yB)2 +2|xA −xB|·|yA −
,yA) B = (xB,yB) 0  2|xA −xB|·|yA −yB| (xA −xB)2 +(yA −yB)2 (xA −xB)2 +(yA −yB)2  (xA −xB)2 +(yA −yB)2 +2|xA −xB|·|yA −yB| (xA −xB)2 +(yA
Logo,
(xA −xB)2 +(yA −yB)2 (xA −xB)2 +(yA −yB)2  (xA −xB)2 +(yA −yB)2 +2|xA −xB|·|yA −yB| (xA −xB)2 +(yA −yB)2  (|xA −xB|+|yA −yB|)2 .
Sabendo-se que a distância euclidiana dos pontos A B C deucli(A,B) =
√
32 +22 =
√
13eA B C deucli(A,B) =
√
32 +22 =
√
13é dada por
deucli(A,B) =

(xA −xB)2 +(yA −yB)2
as partes 4 e 5 têm como objetivo a comparação das distâncias euclidiana
e do táxi entre dois pontos.
No final da parte 4 há questões para serem respondidas no caderno,
por meio das quais o aluno poderá refletir sobre a atividade. Essas ques­
tões, que versam sobre a relação entre a distância euclidiana e a distância
do táxi, devem ser discutidas na aula seguinte ao uso do software, durante
o fechamento.
Fechamento
Na aula seguinte ao uso do software ou depois do término das atividades,
o professor deverá comentar as conclusões e os resultados obtidos pelos
alunos.
O objetivo principal é que os alunos entendam a definição da distância
na geometria do táxi e, também, concluam que a distância euclidiana é
sempre menor ou igual à distância do táxi.
A seguir vamos justificar as duas questões do final da atividade 2, suge­
ridas para serem respondidas no caderno.
Como dois locais devem estar posicionados para que a distância entre um e
outro seja a mesma a pé e de helicóptero?
Sejam os pontos A = (xA,yA) B = (xB,yB) dtaxi(A,B) = |xA −xB|+|yA −yB|eA = (xA,yA) B = (xB,yB) dtaxi(A,B) = |xA −xB|+|yA −yB|. Como a distância a pé
é dada pela distância do táxi e a distância do helicóptero é dada pela
Questão para o caderno: 1a
Questão para o caderno: 1B

7. Geometria do táxi – Distâncias Guia do professor 6 / 7
Bibliografia
Lima, Elon Lages; Carvalho, Paulo Cezar Pinto; Wagner, Eduardo;
Morgado, Augusto César. A Matemática do Ensino Médio, Vol 3, Coleção
do Professor de Matemática (3a Edição). Rio de Janeiro: sbm, 2000.
Krause, Eugene F. Taxicab Geometry. New York: Dover, 1986.
Veloso, Eduardo. Geometria: Temas Actuais. Materiais para professores.
Lisboa: Instituto de Inovação Educacional, 2000.
Como os dois membros da desigualdade são maiores ou iguais a zero,
podemos extrair a raiz quadrada dos dois membros e a desigualdade conti­
nuará válida. Assim

(xA −xB)2 +(yA −yB)2 

(|xA −xB|+|yA −yB|)2

(xA −xB)2 +(yA −yB)2  |xA −xB|+|yA −yB| deucli(A,B) =

(xA −xB)2 +(yA −yB)2 dtax.
Portanto,
B|+|yA −yB|)2

(xA −xB)2 +(yA −yB)2  |xA −xB|+|yA −yB| deucli(A,B) =

(xA −xB)2 +(yA −yB)2 dtaxi(A,B) = |xA −xB|+|yA −yB| deucli(A,B)  dtext(A,B.
Assim, mostramos que a distância euclidiana
|xA −xB|+|yA −yB| deucli(A,B) =

(xA −xB)2 +(yA −yB)2 dtaxi(A,B) = |xA −xB|+|yA −yB| deucli(A,B)  dtext(A,B)
entre os pontos A B C deucli(A,B) =
√
32 +22 =
√
13eA B C deucli(A,B) =
√
32 +22 =
√
13é menor ou igual à distância do táxi
xA −xB)2 +(yA −yB)2 dtaxi(A,B) = |xA −xB|+|yA −yB| deucli(A,B)  dtext(A,B),
ou seja,
(A,B) = |xA −xB|+|yA −yB| deucli(A,B)  dtaxi(A,B).
Apesar de tratarem de conteúdos diferentes, os outros dois softwares
sobre a Geometria do Táxi (Contagem e Formas Geométricas) são boas
alternativas para continuar o trabalho em torno deste tema, caso os alunos
tenham se interessado pela proposta.

8. Ficha técnica
Ministério da
Ciência e Tecnologia
Ministério
da Educação
Secretaria de
Educação a Distância
Matemática Multimídia
Coordenador Geral
Samuel Rocha de Oliveira
Coordenador de Software
Leonardo Barichello
Coordenador de Implementação
Matias Costa
Instituto de Matemática,
Estatística e Computação
Científica (imecc – unicamp)
Diretor
Jayme Vaz Jr.
Vice-Diretor
Edmundo Capelas de Oliveira
Universidade Estadual
de Campinas
Reitor
Fernando Ferreira Costa
Vice-Reitor
Edgar Salvadori de Decca
Pró-Reitor de Pós-Graduação
Euclides de Mesquita Neto
licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons
Autoras
Claudina Izepe Rodrigues
e Sueli I. Costa
Revisores
Língua Portuguesa
Ana Cecília Agua de Melo
Projeto gráfico
Preface Design
Ilustrador
Lucas Ogasawara