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VETORES<br />-2341245174625<br />1)A figura abaixo é constituída de nove quadrados congruentes (de mesmo tamanho). Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:<br />                 <br />RESP:  a)V      b)V        c)F          d)V       e)V          f)V         g)F      h)V       i)F        j)V<br />        k)V        l)V        m)F         n)V        o)V        p)V         q)V       r)F      s)V        t)V<br />2) A figura a baixo representa um paralelepípedo retângulo. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo:<br />             <br />                                          <br />                                          <br />                                         <br />                                      <br />            RESP:  a)V          b)F          c) V            d)V            e)V            f)V         g)F         h)F         i)V           j)V           k)V             l)F             m)V           n)V        o)V        p)V<br />-23360086970723) A figura abaixo representa um losango EFGH inscrito no retângulo ABCD, sendo O, o ponto de interseção das diagonais desse losango. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:<br />                                  <br />                                                       <br />                 RESP:  a)V          b)F            c)V           d)V            e)F         f)F          g)V       h)V<br />                      i)V         j)F               k)V          l)V             m)V         n)F         o)V<br />4)Com base na figura do exercício1, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A:<br />                                                                                 <br />                 <br />RESP:   a)        b)           c)        d)           e)        f)<br />              g)        h)               i)         j)            k)        l)<br />5)Com base na figura do exercício 2, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A:<br />-2360295147955                                                                                <br />RESP:                                    <br />6) Com base na figura do exercício 3, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A: <br />                                                    <br />             RESP:       c)                       <br />7)Determine as somas que se pedem:<br />                 RESP: .<br />-23568606036248)A figura abaixo representa um paralelepípedo retângulo de arestas paralelas aos eixos coordenados e de medidas 2,1 e 3. Determinar as coordenadas dos vértices deste sólido, sabendo que A (2, –1,2).<br />                        <br />RESP: B(2, –3,2), C(3, –3,2) , D(3, –1,2), E(3, –1,5), F(2, –1,5), G(2, –3,5) e H(3, –3,5)<br />9) Determine x para que se tenha , sendo A (x,1), B(4,x+3), C(x,x+2) e D(2x,x+6)<br />RESP: x=2<br />10) Escreva o vetor (7,–1), como a soma de dois vetores, um paralelo ao vetor (1,–1) e outro paralelo ao vetor (1,1).                                                               RESP: x = 3 e y = 4<br />11) Dados A(–1,–1) e B(3,5), determinar C, tal que <br />     a)             b).               RESP:  a) x = 1 e y = 2        b)  e y =3<br />12) Dados os vetores =( 2,–1 ) e =( 1,3) , determinar um vetor , tal que:<br />     a)                                        b) <br />RESP: a) =      b)<br />13) Dados os vetores =(–1,1,2) e  =( 2,0,4), determine o vetor  , tal que:    <br />-2286303385113                                          <br />RESP:                  <br />14)Sendo A(1, –1,3) e B(3,1,5), até que ponto se deve prolongar o segmento AB, no sentido de A para B, para que seu comprimento quadruplique de valor? <br />RESP: (9,7,11)<br />15) Sendo A(–2,1,3) e B(6, –7,1) extremidades de um segmento, determinar:<br />    a)os pontos C , D e E, nesta ordem, que dividem o segmento AB em quatro partes de mesmo comprimento;<br />    <br /> b) os pontos F e G, nesta ordem que dividem o segmento AB em três partes de mesmo comprimento. <br />RESP: ,  e  ;           b)  e .<br />16)Dadas as coordenadas, x=4, y=–12, de um vetor  do 3, calcular sua terceira coordenada z, de maneira que = 13.                                                 RESP: z= 3<br />17)Sejam os pontos M(1,2,2) e P(0,1,2), determine um vetor  colinear à  e tal que                                                                       RESP:  <br />18)Achar um vetor  de módulo igual a 4 e de mesmo sentido que o vetor =6–2–3.<br />RESP: <br />19) No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B(–2,3) e C(0,5): <br />     a) determinar a natureza do triângulo;<br />-2265681137795     b) calcular o comprimento da mediana AM. Sendo M o ponto médio do lado BC.<br />RESP: a) isósceles       b) = <br />20) Sejam . Determine um versor dos vetores abaixo:<br />     a)+                             B) 2–3                 c) 5+4<br />                     RESP: a) (3,3,–5)        b)       c) (13,14,–23)<br />21) Determine um vetor da mesma direção de =2–+2 e que:<br />        a) tenha norma (módulo) igual a 9;<br />        b) seja o versor de ;<br />        c) tenha módulo igual a metade de . <br />RESP:   a)=(6,–3,6)     b)(2,–1,2)     c)(2,1,2)<br />22) Num paralelogramo ABCD sabe-se que A (1,3,–2) e que as diagonais são     =(4,2,–3) e =(–2,0,1).Calcule as coordenadas dos outros três vértices.<br />RESP: C(5,5,–5) ,B( 4,4,–4)  e D( 2,4,–3)<br />23)Sabendo que A (1,1), B(5,1) e C(6,4) são vértices de um paralelogramo,determinar o quarto vértices de cada um dos três paralelogramos possíveis de serem formados.<br />RESP: (2,2), (0,−4),   e (10,6)<br />24) Dados os vetores =(3,2), =(2,4)  e =(1,3), exprimir como a combinação linear de  e  .                                                                                      RESP: <br />25) Dados os vetores =(3,–2,1),=(–1,1,–2) e =(2,1,–3), determinar as coordenadas do vetor    =(11,–6,5) na base .                                   RESP: <br />26)Escreva o vetor =(4,1,0) , na base ,sendo =(1,0,0) ,=(3,2,1) e =(1,1,1).                                                                    RESP: <br />-27686002730527)Dois vetores =(2,–3,6) e =(–1,2,–2), tem uma mesma origem. Calcular as coordenadas do vetor  sobre a bissetriz do ângulo formado pelos vetores e,sabendo que = .                                         RESP: =(  3, 15,  12)<br />28) Dados os vetores =(1,–1,0), =(3,–1,1), =(2,2,1) e =(4,–3,1). Determinar o vetor =(x,y,z), tal que : (+)   e (+) .                                    RESP: =( –10,4,–3)<br />PRODUTO DE VETORES<br />PRODUTO ESCALAR<br />29)  Sendo = ( 2,3,1) e  = ( 1,4, 5) . Calcular:<br />      a)          b) (–)         c)( + )2         d) (3– 2)2           e) (23)(+2) <br />                                              RESP:  a) 19        b)18           c)94       d)66   e) –205   f)–28<br />30)Sendo =(2,–1,1), =(1,–2,–2) e =(1,1,–1). Calcular um vetor =(x,y,z), tal que     = 4,  = –9 e  = 5.                                                            RESP: =(3,4,2)<br />31)Sejam os vetores =(1,–m,–3),=(m+3,4–m,1)e =(m,–2,7).Determinar m para que =(+).                                                                                            RESP: m=2<br />32) Determinar a, de modo que o ângulo  do triângulo ABC, seja 600. Dados: A(1,0,2), B(3,1,3) e C(a+1,–2,3).                                                                         RESP: –1 ou <br />33) Dados os pontos A (4,0,1), B(5,1,3) C(3,2,5) e D(2,1,3). Determine: <br />-2446655238125se eles foram alguma figura. Em caso afirmativo, qual? <br />O ângulo entre as retas paralelas aos vetores .<br />                                               RESP: a) Paralelogramo b) .<br />34) Os vetores  e  formam um ângulo de 600. Sabe-se que =8 e =5, calcule:<br />      a)+                b) –             c)  2+3                 d) 4– 5<br />                                                                              RESP:  a)  b)7   c)     d)<br />35) Os vetores  e  formam um ângulo de 1500, sabe-se que = e que =, Calcule:<br />      a) +                b) –                   c) 3+2           d) 5– 4<br />                   RESP:  a)      b)      c)              d)<br />36)Determinar o valor de x para que os vetores = x–2+3 e =2–+2, sejam ortogonais.                                                                                                  RESP: x=–4<br />37)Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores =(2,6,–1) e =(0,–2,1).<br />                                                                                                        RESP:  <br />38)Dados =(2,1,–3) e =(1,–2,1), determinar o vetor ,e =5.<br />                                                                                                          RESP: <br />39)Dados dois vetores  =(3,–1,5) e =(1,2,–3), achar um vetor , sabendo-se que ele é perpendicular ao eixo OZ , e que verifica as seguintes relações: =9, e =–4. <br />                                                                                                                   RESP: =(2,–3,0)<br />40)Seja o cubo de aresta a representado na figura abaixo. Determinar: <br />-2519463120868<br />             RESP: a)0            b)0             c)0                d)          e)a2 f) <br />                           g)             h)<br />41)Calcule o ângulo formado pelas medianas traçadas pelos vértices dos ângulos agudos de um triângulo retângulo isósceles.                      RESP: =arc cos , 360 52'11,6''<br />42)Um vetor  forma ângulos agudos congruentes com os semi-eixos coordenados positivos. Calcule suas coordenadas sabendo que = 3.       RESP: .<br />43)Um vetor unitário  forma com o eixo coordenado OX um ângulo de 600 e com os outros dois eixos OY e OZ ângulos congruentes. Calcule as coordenadas de .<br />                                                                        RESP:   ou   <br />44) O vetor  forma um ângulo de 600 com o vetor , onde A (0,3,4) e    B(m, 1,2). Calcular o valor de m.                                                RESP: m=–34 ou m=2<br />45)Os vetores  e  formam um ângulo = , calcular o ângulo entre os vetores =+ e = – , sabendo que =  e = 1.  RESP: cos=,40053'36,2''<br />-2964815211455<br />46) Dados =(2,–3,–6) e =3–4–4, determine: <br />      a) a projeção algébrica de  sobre  ( norma do vetor projeção de  sobre );<br />      b) 0 vetor projeção de  sobre .                                        RESP:  a)6    b)<br />47)Decomponha o vetor =(–1,2,–3) em dois vetores e , tais que   e  , com =(2,1,–1).                                                      RESP:  e   <br />48)São dados os vetores  = (1,1,1), =(–1,2,3) e  =(26,6,8). Decompor o vetor  em dois vetores  e  ortogonais entre si, sendo  simultaneamente ortogonal a        e a .                                                                     RESP: =(1,–4,3) e =(25,10,5)<br />49)São dados =(3,2,2) e  =(18,–22,–5), determine um vetor  , que seja ortogonal à    e a , tal que forme com o eixo OY um ângulo obtuso e  que =28.      <br />                                                                                                             RESP: =(–8,–12,24)<br />50)Os vértices de um triângulo são M(1,1,2) ,N(5,1,3) e Q(–3,9,3). Calcule as coordenadas do vetor , onde H é o pé da altura relativa ao lado NQ. <br />                                                                                                                RESP: =(2,2,1)<br />PRODUTO VETORIAL<br />51) Dados os vetores =( –1,3,2),=(1,5,–2) e =(-7,3,1). Calcule as coordenadas dos vetores:<br />       a)                                      b)                                         c) ()  <br />      d) ()                              e)(+)(+)                          f) (–) <br />  RESP:  a)(–16,0,8)         b)(11,13,38)       c)(64,–12,2)          d)(24,72,48)     e)(24,0,64) <br />                f)(–3,–13,18)<br />-301117050292052)Determinar o vetor , paralelo ao vetor ao vetor =(2,–3,0) e tal que  =, onde =(1,–1,0) e =(0,0,2).                                                                      RESP: =(4.–6,0)<br />53) Determinar o vetor , sabendo que ele é ortogonal ao vetor  =(2,3,1) e ao vetor  =(1,2,3) e que satisfaz a seguinte condição; .    RESP: <br />54)Determinar , tal que  seja ortogonal ao eixo dos y e que ,sendo e .                                                                      RESP:  =(1,0,1)<br />55) Dados os vetores =(0,1,1), =(2,0,0) e =(0,2,3).Determine um vetor , tal que //  e  =.                                                                   RESP: =(0,4,6)<br />56)Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores =(–1,–1,0) e=(0,–1–1).    <br />                                                                                                                 RESP: <br />57) Ache  tal que =e  é ortogonal a =(2,3,1) e a =(2,4,6). Dos  encontrados, qual forma ângulo agudo com o vetor (1,0,0).            RESP: <br />58)São dados os vetores  = (1,1,1), =(–1,2,3) e  =(26,6,8). Decompor o vetor  em dois vetores  e  ortogonais entre si, sendo  simultaneamente ortogonal a        e a .                                                                     RESP: =(1,–4,3) e =(25,10,5)<br />59) Dado o vetor =(3,0,1).Determine o vetor =(x,y,z), sabendo-se que  é ortogonal ao eixo OX, que   = , e que =4. RESP: <br />60) São dados =(3,2,2) e  =(18,–22,–5), determine um vetor  , que seja ortogonal à    e a , tal que forme com o eixo OY um ângulo obtuso e  que =28.    <br />  RESP: =(–8,–12,24)<br />61)Sendo =(–2,1,–1) e =(0,y,z), calcule y e z de modo que = 4 e que o  vetor = faça ângulos congruentes com os eixos OX e OY.    RESP: (0,2,2)<br />-3086100120015<br />62) Resolva os sistemas abaixo: <br />  a)                <br />      RESP:  a)(4,6,-2)         b)(2,4,–2)         c)(1,3,–1)<br />63) Dados os vetores =(1,1,1) e =(2,3,4), calcular:<br />     a) A área do paralelogramo de determinado por  e ;<br />     b)a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor  .<br />RESP:  a)A=    b)<br />64)Dados os vetores =(2,1,1) e  =(1,1,), calcular o valor de  para que a área do paralelogramo determinado por  e   seja igual a  u.a.(unidades de área).<br />RESP: =3<br />65) A área de um triângulo ABC é igual a  . Sabe-se que A(2,1,0), B(–1,2,1) e que o vértice C pertence ao eixo OY. Calcule as coordenadas de C.<br />                                                                                                      RESP: (0,3,0) ou <br />66)Os vértices de um triângulo ABC são os pontos A (0,1,1), B(2,0,1) e C(1,2,0). Determine a altura relativa ao lado BC.                                          RESP: <br />67) Determine a área do triângulo ABD, obtido pela projeção do vetor  sobre o vetor , onde A (5,1,3), B(3,9,3) e C(1,1,2).                                     RESP: <br />68) Calcule a distância do ponto  P(–2,1,2) à reta determinada pelos pontos    M(1,2,1) e      N(0,–1,3).                                                                                        RESP: d=u.c.<br />PRODUTO MISTO<br />69)Qual é o valor de x para que os vetores =(3,–x,–2), =(3,2,x) e =(1,–3,1) sejam coplanares.                                                                                     RESP: x=14 ou x=–2<br />70)Determinar o valor de k para que os pontos A(0,0,3),B(1,2,0), C(5,–1,–1) e D(2,2,k) sejam vértices de uma mesma face de um poliedro.                               RESP:    k=– 1<br />71)Determinar o valor de x de modo que o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores = 2–+ e =– e =x+–3, seja unitário.    RESP: x=–5 ou x= –3<br />-41962398493272)Sejam os vetores =(1,1,0), =(2,0,1) e ,  e . Determinar o volume do paralelepípedo definido por ,  e .     RESP: V=44 u.v.<br />73)Dado um tetraedro de volume 5 e de vértices A (2,1,–1), B(3,0,1) e C(2,–1,3). Calcular as coordenadas do quarto vértice D, sabendo-se que se acha sobre o eixo OY.<br />                                                                                                 RESP: D (0,–7,0) ou D(0,8,0)<br />74)São dados os pontos A(1, –2,3), B(2, –1, –4), C(0,2,0) e D(–1,m,1), calcular o valor de m para que seja de 20 unidades o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores  e .                                                                    RESP: m=6 ou m=2<br />75)Determine sobre o eixo OX um ponto P, tal que, o volume do tetraedro PABC seja o dobro  do volume do tetraedro POBC. Dados: O (0,0,0) ,A(1,0,0) , B(0,1,0) e C(0,0,1).<br />                                                                                                     RESP: (–1,0,0) ou <br />76)Sendo =(1,1,0), =(2,1,3) e =(0,2,–1). Calcular a área do triângulo ABC e o volume do tetraedro ABCD, onde B=A+. C=A+ e  D=A+ .  <br />    RESP: S=,V=<br />77)Determine a altura do tetraedro ABCD, onde A(1,3,1), B(0,2,4) ,C(2,1,3) e D(0,6,0).<br />                                                                                                                 RESP: <br />78)Determine a distância do ponto D(2,3,3) ao plano determinado pelos pontos A(3,3,1) , B(1,1,–3) e C(–1,–3,0).                                                                       RESP: u.c.<br />79)Os vértices de um tetraedro são M (0,3,4), N(1,2,2) e Q(2,–1,2) e P é um ponto pertencente ao eixo coordenado OZ. Calcule:<br />      a)as coordenadas do ponto P de modo que o tetraedro MNPQ tenha volume igual a 1 uv;<br />      b)a área e o perímetro da face NMQ;<br />      c)os ângulos internos da face MNQ;<br />-349186538735      d)calcule a altura do tetraedro MNPQ, relativa à face MNQ.<br />-23202902943860RESP:  a)P(0,0,0) ou P(0,0,2)                                  b)S=u.a.,  2p=u.c.<br />           c)=300, =900, =600                                                   d)u.c.<br />80)A figura abaixo representa uma pirâmide de base quadrada OABC em que as coordenadas são O(0,0,0), B(4,2,4) e C(0,6,6), e o vértice V é eqüidistante dos demais, determine:<br />a) as coordenadas do vértice D;<br />b) as coordenadas cartesianas do ponto V, considerando que o volume da pirâmide é igual a 72 u.v.                                                       RESP:    a)D(–4,4,2)      b) V(–2, –1,7) <br />81)São dados no espaço os pontos A(2,–1,0), B(1,–2,1) e C(1,0,2), determine o ponto D, tal que , e  sejam coplanares, = –28 e que o volume do tetraedro OABD seja igual a 14.                                    RESP: D(0,0,–28) ou D(12,24,8)<br />RETA NO ℝ3<br />82) Estabelecer as equações vetoriais, paramétricas, simétricas e reduzidas das retas nos seguintes casos:<br /> a)determinada pelo ponto A(1,–2,1) e pelo vetor =(3,1,4);<br />    b)determinada pelos pontos A(2,1,3) e B(3,0,–2) ;<br />    c)possui o ponto A(1,–2,3) e é paralela à reta definida pelo ponto B(2,0,1) e pelo vetor diretor =(2,–2,3);<br />-3663315347345    d)possui  o  ponto M (1,5,–2)  e  é  paralela  à  reta  determinada  pelos  pontos        A(5,–2,3)  e B(–1,–4,3); <br /> e)possui o ponto A(2,1,0) e é paralela à reta de equação ; <br />     f)possui o ponto A(–6,7,9) e é paralela ao vetor  = (–2,0,–2);<br />     g)possui o ponto A(0,0,4) e é paralela ao vetor =(8,3,0); <br />     h)possui o ponto A(2, –2,1) e é paralela ao eixo OX ;<br />  i)possui o ponto A(8,0,–11) e é paralela ao eixo OZ.<br />RESP: a) P=(1,–2,1) +m(3,1,4) ,      ,            ,    <br />b) P=(2,–1,3)  +m(1,2,–5) ,      ,                  ,     ;<br />c) P=(1,–2,3) +m(2,–2,3) ,       ,       ,         ;<br />d) P=(1,5,–2) +m(3,1,0)  ,         ,          ;<br />e) P=(2,1,0) =m(–5,3,2)  ,          ,          ,           ;<br />f) P=(–6,7,9) =m(1,0,1)   ,           , ;<br />-24155403476625g) P=(0,0,4) +m(8,3,0)   ,                 ,        ;<br />h) P=(2,–2,1) = m(1,0,0)   ,     ;        <br /> i ) P=(8,0,–11) =m(0,0,1)     ,   .<br /> <br />-3199411-726583) Determine as equações simétricas da reta que passa pelo baricentro do triângulo de vértices A(3,4,–1), B(1,1,0) e c(2,4,4) e é paralela à reta suporte do lado AB do triângulo.                                                                              RESP: .<br />84) Os vértices de um triângulo são O (0,0,0) , A(3,4,0) e B(1,2,2). Forme as equações reduzidas da bissetriz interna do ângulo AB e determine sua interseção com o lado AB.<br />                                                                                  RESP:        e      .<br />85) Os pontos de trisseção do segmento A(4,3,0) e B(–2,–3,3) são M e N. Unindo-os ao ponto P(0,–1,0), obtêm-se as retas PM e PN . Calcule o ângulo formado pelas mesmas.<br />  RESP:  = arc cos    ,  700 31'43,6''<br />86) A reta , forma um ângulo de 300 com a reta determinada pelos pontos A(0,5,2) e B(1,n5,0). Calcular o valor de n.                          RESP: n=7 ou 1<br />87) Determine as equações da reta r definida pelos pontos A (2,–1,4) e B= , com .                                       RESP:  <br />88) Determinar as equações paramétricas da reta t, que é perpendicular a cada uma das retas: <br />       a) , e que passa pelo ponto P(2,3,5);<br />       b) , e que passa pelo ponto P(2,–3,1); <br />       c)   e , e que passa pelo ponto P(3,3,4). <br />-3130976482174                RESP: a)t:                           c) <br />80)Estabeleça as equações, em função de x, da reta traçada pela interseção de r:P=(6,1,0)+m(1,–1,1), com a reta , e que forma ângulos agudos congruentes com os eixos coordenados.                                        RESP: <br />90) São dadas as retas   e    e  o ponto A(3,–2,1).  Calcule as coordenadas dos pontos P e Q pertencentes, respectivamente a r e a s, de modo que A seja o ponto médio do segmento PQ.                              RESP: P(1, –1,0) e Q(5,3,2)<br />91) Determine o ponto O', simétrico de da origem O dos eixos coordenados, em relação ã reta .                                                              RESP:  <br />92) Determine as coordenadas de A' simétrico de A (4,0,3), em relação a reta .                                                            RESP: <br />93) Estabeleça as equações paramétricas da reta traçada pelo ponto A(–1, 4,5) e que é perpendicular à reta r; P=(–2,1,1) + m(1,–1,2).                            RESP: <br />94)Determine uma equação da reta r que passa pelo ponto A(2,–1,3), e é perpendicular à reta .                                          RESP: P= (2,1,3)+m(13,3,33)<br />95)Estabeleça as equações da reta s, traçada pelo ponto P(1,3,1), que seja concorrente com a reta  e seja ortogonal ao vetor .<br />RESP:   <br />-3912235171450PLANO<br />96) Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos:<br />  <br />a) passa pelo ponto D(1,–1,2) e é ortogonal ao vetor =(2,–3,1);<br />b)possui o ponto A(1,2,1) e é paralelo aos vetores  e ;<br />c) passa pelos pontos A(–2,1,0) , B(–1,4,2) e C( 0,–2,2);<br />d) passa pelos pontos P(2,1,0),Q(1,4,2) e R(0,2,2); <br />e)passa pelos pontos A(2,1,5), B(3,1,3) e C(4,2,3);<br />f) passa pelo ponto  E( 1,2,2) e contém os vetores =(2,–1,1)  e  =( –3,1,2); <br />g) possui o ponto P(2,1,3) e é paralelo ao plano XOZ; <br /> h) contém as retas    e  ;<br /> i) contém as retas     e  ; <br />j) que contém as retas ; <br />k)contém as retas ;<br /> l) passa  pela reta  e é paralelo à reta   <br />RESP: a):2x3y+z7=0                 b):xyz=0                           c):12x+2y9z+22=0<br />           d) :12x+2y9z+22=0           e):6x14yz+7=0                   f):x+yz5=0 <br />           g):y+1=0                            h) :2x16y13z+31= 0            i):yz2=0 <br />           j):4x+4y+3z=0                   k):11x+2y5z11=0                 l):3x2y2z1=0<br />97) Determine a equação da reta interseção dos planos, nos seguintes casos:<br />         a)                                               b) <br />-4965700361315          c)                                           d) <br />        RESP:   a)r:P=(3,2,0)+m(1,1,1)                          b)  <br />                    c)                            d) <br />98)Forme a equação do plano que possui um ponto M(2,1,3) e que é perpendicular à reta .                                                                       RESP: :2x+ 3yz +4=0<br />99)Dado o ponto P(5,2,3)e o plano :2x+y+z3=0,determinar:<br />      a) a equação paramétrica da reta que passa por P e é perpendicular a ; <br />      b) a projeção ortogonal de P sobre ;<br />      c) o ponto P’ simétrico de P em relação a ;<br />      d) a distância de P ao plano .<br />RESP: a)   b) I(1,0,1)   c)P’(3, 2, 1)     d)  <br />100)Forme a equação do plano mediador do segmento A(1,2,3) e B(3,2,5)<br /> RESP: :x+4z6=0<br />101)Determinar a equação do plano que contém os pontos A (1,2,2) e B(3,1,2) e é perpendicular ao plano  : 2x+yz+8-0.                                     RESP: :x12y10z5=0<br />102) Um plano , traçado por P(3,3,1) intercepta os semi-eixos coordenados positivos OX,OY e OZ, respectivamente nos pontos A,B, e C, tais que e .Estabeleça a equação geral de .                RESP: ;x+2y+3z6=0<br />103)Determine a  equação  do  plano  que   contém  a reta  interseção  dos planos          1: 3x–2y–z1=0   e  2: x +2yz7=0 e que passa pelo ponto M(2,0,1). <br />   RESP: :9x+2y5z13=0<br />104)Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A(-1,0,0) e é paralela a cada uma dos planos  1: 2x–y–z+1=0 e 2:x+3y+z+5=0.<br />-4757420403225               RESP: <br />105)Determinar equação geral  do plano ,que passa  ponto A(4, 1, 0) e é perpendicular aos planos 1: 2x –y –4z– 6  = 0 e 2: x + y + 2z 3 = 0.               RESP: :2x8y+ 3z=0<br />106)Determinar a equação do plano que contém o ponto A(3,2,1) e a reta .                                                                        RESP: :2x+3y+x+1=0<br />107) Determinar a equação do plano  , que passa pelo ponto P(2,5,3) e é perpendicular à reta r, interseção dos planos 1: x2y+z1=0 e 2:3x+2y3z+5=0. <br />RESP:  : 2x+3y+4z31=0<br />108)Determinar a equação do plano que passa pela reta , é paralelo à reta .                                        RESP: :3x+2y+5z+6=0 <br />109)Dados os planos 1:2x+y3z+1=0, 2:x+y+z+1=0 e 3:x2y+z+5=0, ache uma equação do plano que contém 12 e é perpendicular a  3.    RESP: :x + y + z +1=0<br />110)Calcule o volume do tetraedro, cujas faces são os planos coordenados e o plano       <br />       :5x+4y10z20=0.                                                                           RESP: VT= u.v.<br />111)Determine o ponto A', simétrico de A (1,4,2) em relação ao plano : xy+z2 =0. <br />               RESP: R: A'(3,2,4)<br />112) Determine uma equação da reta t, simétrica de , em relação ao plano :2x+yz+2=0.                                                         RESP:  <br />113) Dado o plano 1:2x+5y+3z+3=0 e a reta AB, sendo A (1,1,1) e B(2,2,2), determina a equação do plano que passa pelo ponto onde a reta AB fura o plano 1 e é paralelo ao plano 2:x3=0.                                                                                 RESP: :<br />-4697095868045114) Considere as retas r:P=(1,1,0)+t(0,1,1) e . Seja A o ponto onde s fura o plano  :xy+z=2, e B e C ,respectivamente, os pontos onde r fura os planos XOZ e XOY,respectivamente. Calcule a área de triângulo ABC.                       RESP: S=<br />115)Determinar a equação simétrica da reta r, que passa pelo ponto M(2,4,1), e pelo meio do segmento de reta ,compreendido entre os planos 1:5x+3y4z+11=0 e 2: 5x+3y4z41=0.                          RESP:  <br />116) Dados o ponto P(1,31), o plano :x+z=2 e a reta s:P=(2,0,0)+m(1,0,1), obtenha  uma equação da reta r que passa por P, é paralela a  e dista 3 da reta s. <br />RESP: r:P=(1,3,1)+m(1,0,1)<br />COORDENADAS POLARES E<br /> TRANSFORMAÇÕES LINEARES<br />117)Dois dos vértices de um triângulo eqüilátero são os pontos A(0 , 75 0 ) e B( 3, 180 0 ). Ache as coordenadas polares do terceiro vértice. <br />  RESP: C e  C’( 3, -2400) ou  C’(3,-1200)<br />118)Lado de um hexágono mede 4 u.c. Determine as coordenadas polares dos vértices deste hexágono quando seu centro coincidir com o pólo do sistema e um de seus vértices pertencerem ao eixo polar.<br />  RESP: A (4,) , B( 4,600) , C( 4,1200),  D( 4,1800) ,E( 4,2400) e        F( 4,3000)<br />119)Determine as coordenadas polares dos vértices de um quadrado ABCD, sabendo-se que o pólo é o ponto O'(1,2), que o eixo polar é paralelo ao eixo OX e que tem o mesmo sentido deste. Sendo dados as coordenadas cartesianas dos vértices: A (4,2), B(7,5), C(4.8) e D(1,5).     RESP: A (3,00) ,  B,   C(,63,50 ),    D(3,900) <br />-4677410835025120)Num sistema de coordenadas polares são dados os dois vértices e  do paralelogramo ABCD e o ponto de interseção das diagonais coincide com o pólo. Achar as coordenadas polares dos outros dois vértices.  <br />  RESP: <br />121)Determinar as coordenadas polares dos vértices do quadrado ABCD, sabendo-se que o eixo polar é a reta paralela a diagonal AC, com o mesmo sentido desta, que o pólo é o ponto médio de BC e que o lado do quadrado mede 6 cm.<br />      RESP: A (3,161030') , B(3,–1350), C(3,450) e <br />122)Transformar as seguintes equações cartesianas em equações polares:<br />a) x2 + y 2 = 25         b) x2 – y2 = 4          c) ( x2  + y 2  )2 = 4 ( x2  - y 2 )     d) x - 3y = 0      e) y 2 + 5x = 0        f) xy =4        g) x2  + y 2 + 4x - 2y = 5        h) ( x2 + y 2 ) 2 - 18 xy = 0          i) 4y2-20x – 25=0      j)  12x2 –4y2 –24x+ 9 = 0  k) x2+ y2 –2y = 0<br />Obs.: Somente considere a resposta em que   0. <br />  RESP: a)  = 5       b) 2cos2=4      c) 2 = 4 cos 2       d)  = arctg 1 / 3                   e) sen2 + 5 cos = 0     f) 2sen2=8     g) 2 + 2 (2 cos  - sen  ) = 5                      h) 2 = 9 sen 2             i)=       j)  =   k) =2sen<br />123)Transformar as seguintes equações polares em equações cartesianas:<br /> = 4              b)  = 1/ 4                       c)  = 8 cos              d)  = 6 sen  + 3 cos                       <br />e)  = 15 sec                     f)  (sen  + 3 cos  ) = 3                  g)   (2  cos  ) = 4<br />2 = 2 + cos 2            i)   2 = 4 cos 2                                  j)  = 4 ( 1 + cos  )<br />    RESP: a) x2 + y2 = 16     b) x = y      c) x2 + y2  8x = 0        d)  x2 + y2  3x  6y = 0        e) x = 15        f)3xy3=0     g) 3x2 + 4y2 - 8x 16 = 0       h) 4 (x2 + y 2)3 = ( 3x2 + y2 )2                                         i) ( x2 + y2 )2 = 4x2 – 4y2                                 j) 16( x2 + y2) = ( x2 + y2 4x ) 2<br />124) Transforme, em relação a um novo sistema de coordenadas de eixos paralelos aos primeiros e origem conveniente para que na nova equação não figure os termos do 1o grau, as equações:<br />x2 + y 2  - 6x + 2y - 6 = 0                                            b) xy –x + 2y – 10 = 0  <br />c) x2 - 4y2 - 2x + 8y - 7 =0                                              d) x2 + 4 y 2 - 2x - 16 y + 1 = 0 <br />-4855845924560e) 30xy +24x-25y-80=0                                         f)3x2+ 3y2 –10xy –2x+ 14y+27=0    RESP: a) x’’2 + y’’2  = 16, O'(3,1)  b)  x’y’=8, O'(2,1) c)  x’’2 - 4y’2 - 4 = 0, O'(1,1)         d) x’2 +4 y’2 - 16 = 0, O'(1,2)  e)x’y’=2 ,O’                            f) O’ ( 2,1) 3x’2+3y’2 10x’y’+32=0              g)  , <br />125)Transforme as equações abaixo, mediante uma rotação de eixos :<br />     a) x2 + 2 xy + y 2 32 = 0        b) xy 8 = 0           c) 31 x2 + 10xy + 21 y 2 - 144 = 0                     d) 6x2 + 26y2 + 20xy - 324 = 0                             e)4x2+ 4xy +y2+x =1        <br />    g) 2xy +6x –8y=0                                                       h) 7x2 – 6xy + 13y2 – 16 =0 <br />RESP: a) x’ =   4  =450                                         b) x’2  - y’2 = 16  =450     <br />            c) 9x’2 + 4y’2 - 36 = 0  =300                    d) 9x’2 – y’2 – 81= 0  =600     <br />                  e)5x’2+2x’y’=1,=26,20                          g) =450, x'2–y'2 – x’7y’=0         <br />                h)  = 300, x’2+4y’2– 4=0 <br />CÔNICAS<br />ELIPSE<br />126)Achar a equação de uma elipse cujos focos se encontram sobre o eixo das abscissas, e sabendo-se que:<br />      a) a distância focal é igual a 6 e a excentricidade é ;<br />      b) seu menor eixo é 10 e a excentricidade  e ;<br />      c) C(0,0), eixo menor igual 6, passa pelo ponto ;<br />      <br />      d) focos F1(3,2) e F2(3,8),comprimento do eixo maior 8.<br />      e) C(0,0), , , ponto da cônica; <br />      f) seus vértices são A1 (2,2), A2(4,2), B1(1,0), B2(1,4); <br />      g) vértices (7,2) e (1,2), eixo menor=2;<br />      h) C(0,0),  ponto da cônica, distância focal 8;<br />RESP: a) 16x2 +25y2 −400=0                                       b) 25x2 +169y2 − 4225=0; <br />-4919980264795           c)                                           d)<br />            e)                                    f)  <br />          g)                         h) <br />127)A órbita da Terra é uma elipse, com o Sol em um dos focos. Sabendo-se que o eixo maior da elipse mede 2.999.338.000 km e que a excentricidade mede . Determine a maior e a menor distância da Terra em relação a Sol.     <br />    RESP: MAD =152.083.016 km; med =147.254.984 km. <br />128)O centro de uma elipse coincide com a origem. O eixo maior é vertical e seu comprimento é o dobro do comprimento do eixo menor, sabendo-se que essa elipse passa pelo ponto , achar sua equação.                         RESP:  4x2 +y2 −16=0 <br />129)Uma elipse é tangente ao eixo das abscissas no ponto A(3,0) e ao eixo das ordenadas no ponto B(0,−4). Formar a equação dessa elipse, sabendo-se que seus eixos de simetria são paralelos aos eixos de coordenadas.   <br />                                                   RESP: 9x2 +16y2 −54x+128y+193=0<br />130)Achar a equação da cônica com centro C(3,1), um dos vértices A(3,2) e excentricidade .                                                 RESP: <br />131)Determine a equação da elipse de centro C(−2,1), excentricidade 3/5 e eixo maior horizontal de comprimento 20.                           RESP: 16x2 +25y2 +64x−50y−1511=0 <br />132)Determine a equação da cônica de C(4,1), um foco (1,1) e excentricidade .<br />RESP: <br />133)Determine a equação da cônica de vértices A1(1,8) e A2(1,4) e excentricidade . <br />                                                                 RESP:  <br />134)Determine a equação da cônica de focos (–1, –3) e (–1,5), e excentricidade .<br />                 RESP: <br />135)Determine a equação da elipse de excentricidade , cujos focos são pontos da  reta y 1=0 e sendo B(2, 9) um dos extremos do seu eixo menor. <br />-490982059055   RESP: <br />136)A uma elipse de excentricidade , circunscreve-se um retângulo de lados paralelos aos eixos coordenados da elipse. Calcular a área do retângulo, sabendo-se que seu perímetro vale .                                                           RESP: <br />137)Em cada uma das equações abaixo, determinar as coordenadas dos vértices, focos, centro, excentricidade, corda focal, parâmetro e as equações das diretrizes:<br />      a)                          b)                c)                                               <br />     d) 25x2 +16y2 +50x+64y– 311=0                      e) 16x2 +25y2 +32x–100y–284=0<br />     f)                       g)                                     <br />RESP:  a)C(0,0), A (±10,0), B(0,±6), F(±8,0), e= 4/5, eixo maior horizontal;<br />            b)C(0,0),A(0,±3),B(±,0),F(0,±2),e =2/3, eixo maior vertical;<br />           c)C(0,0),A(0,±1),,B(±1/2,0),e=/2, eixo maior vertical;<br />           d) C(−1,−2),A1 (−1,2),A2 (−1,−7), F1(4,0), F2(−1,−5), B1(3,−2), B2 (−5,−2), e =3/5, eixo maior horizontal;<br />          e) C(−1,2), A1(−6,2), A2 (4,2), F1(3,2), F2(−4,2), B1(−1,−2),B2(−1,6) e =1/2, eixo maior horizontal;<br />         f)C(4,4), A1(4,0), A2(4,8), F1(4,2), F2(4,6), ,, eixo maior vertical;<br />          g)C(6,4), A1(12,4), A2(0,4), , , eixo maior horizontal;<br />HIPÉRBOLE<br />138)Determine a equação da hipérbole, nos seguintes casos:<br />-5144135146685      a)de focos F(0,5) e vértices A (0, 3); <br />      b)que tem focos no eixo das abscissas e eixos real e imaginário 10 e 8 , respectivamente;<br />      c) de focos F(3,4) e (3,2) e excentricidade e=2;<br />      d)de focos F (1,5) e (5,5) , eqüilátera<br />      e)eixo real horizontal, eqüilátera, de vértices (3,4) e ( 3,4);<br />      f) de C0,0),que passa pelo ponto (−5,3), é eqüilátera e de eixo real horizontal;<br />      g)que tem eixo real vertical de comprimento 8 e passa pelo ponto (6,5);<br />      h)eixo real sobre o eixo das abscissas ,distância focal é igual a 10 e eixo imaginário 8;<br />       i)eixo real sobre o eixo das ordenadas, as equações das assíntota s    e distância focal 52.<br />       j) eixo real horizontal, distância focal é igual a 6 e a excentricidade ;<br />      k) eixo real paralelo ao eixo OX, centro no ponto C(1,3), comprimento do eixo imaginário é  e excentricidade ;<br />     l) C(2, – 3), eixo real vertical, passando pelos pontos (3, –1) e (–1,0)( trabalhosa);<br />     m)centro é o ponto C(0,4), um dos focos é (0,1) e um de seus pontos .                               <br />RESP: a)                                    b)<br />            c)                   d) <br />            e)                                     f)     <br />             g)                                           h) <br />           i)                              j)  <br />          k)                     l) <br />         m) <br />-3488055381635139)O centro de uma cônica está na origem, seu eixo real encontra-se ao longo do eixo OY e cujas assíntotas são as retas . Determinar a equação da cônica, se seus vértices são os pontos A(0,2).                                    RESP: <br />140)Determine a equação da hipérbole que tem como uma assíntota, a reta eixo horizontal e passa pelo ponto (3,1).         RESP:  289560595630<br />141)Determine a equação da hipérbole que tem como assíntotas, as retas 2x+y−3=0 e 2x−y−1=0, eixo horizontal e passa pelo ponto (4,6).  RESP: <br />142)Determine a equação da hipérbole que tem como assíntotas, as retas 3x4y+16=0 e 3x+4y16=0, eixo vertical e que passa pelo ponto .          <br />              RESP: <br />143)Determinar a equação reduzida da hipérbole, cujo eixo real tem por extremos os focos da elipse 16x2 +25y2 −625=0 e cuja excentricidade é o inverso da excentricidade da elipse dada.                                           RESP: <br />144)Os focos de uma hipérbole coincidem com os da elipse  Forme a equação da hipérbole, considerando-se que sua excentricidade é e= 2.<br />RESP: <br />145)Determine a equação da elipse de centro na origem, cujos vrtices coincidem com os focos da hipérbole e cujos focos sãoé os vértices da hipérbole. <br /> RESP: <br />146)Em cada uma das equações de hipérbole abaixo, determine as coordenadas dos vértices, focos, centro a excentricidade, corda focal, parâmetro, equação das diretrizes e das assíntotas. <br />        a)                                                        b) 9x2 −16y2 =144        <br />        c)4x2 −5y2 +20=0                                                     d) x2 −y2 =1                                                                <br />        e)x2 −4y2 +6x+24y−31=0                                         f)16x2 −9y2 −64x−18y+199=0<br />        g)9x2 −4y2 −54x+8y+113=0                                     h)<br />RESP: a) C(0,0),A(10,0), ,,eixo real horizontal, , <br />-366458573025b)C(0,0), A(4,0), F(5,0), , eixo real horizontal, ;<br />c)C(0,0), A(0,2), F(0,3), , eixo real vertical, ,  ;<br />d)C(0,0), A(1,0), , , eixo real horizontal, ass: y=x;<br />e)C(3,3),A1(1,3), A2(5,3), , eixo real horizontal, ass1:x2y9=0,ass2:x + 2y3=0,;<br />f)C(2,1),A1(2,3), A2(2,3), F1(2,4), F2(2,6), eixo real vertical ,ass1:4x3y5=0,ass2:4x3y5=0;<br />      g)C(3,1), A1(3,4), A2(3,2), , ass1:3x2y1=0, ass2:3x2y5=0;<br />       h)C(1,3), A1(1,3),A2(3,3), , ass1:3x2y3=0 e ass2:2x+2y-9=0,<br />PARÁBOLA <br />147)Determinar a equação da parábola:<br />    a)  de vértice V(6,−2) , cujo eixo é y +2=0 e que passa pelo ponto (8,2);<br />    b) de foco F(3,3) e diretriz y−1=0;<br />    c) de vértice V(0,3) e diretriz x + 5=0;<br />    e) de foco F(3,3) e diretriz y−5=0;<br />    g)V(3,6),eixo de simetriaparalelo ao OY, e que passa pelo ponto (3,10);<br />    i) F(4,3), diretriz ;<br />    k) Eixo // OY, passa pelo ponto M(1,1);<br />    l) V(4, 1), eixo: y+1=0 e passa pelo ponto (3, 3)<br />    n) F(3,1) e diretriz  ;<br />    o) V(4,3) e F(4,1)<br />    p) V(1,3), eixo de simetria paralelo ao eixo dos x, passa pelo ponto P(1,1)<br />     q) V(3,2) , eixo de simetria y+2=0, passa pelo ponto P(2,2)<br />    s) de foco F(–7,3) e diretriz x+3=0;<br />    v) F(5,2), diretriz ;<br />-3797300219710RESP:   a)                                   b)   <br />              c)                                    e)                                    <br />            g)                                       i)                                        <br />            k)                                    l)  <br />         n)                                      o)  <br />        p)                                             q)                                     <br />        s)                                           v)  <br />148)Determine a equação da parábola que tem eixo de simetria horizontal que passa pelos pontos A(5,5), B(3,3) e C(3,1).         RESP: ; V(4,-1), p=-2<br />149)Determine os pontos de interseção da hipérbole  com a parábola .                                                                        RESP:   e  <br />150)Achar a equação da parábola, cuja corda focal liga os pontos (3,5) e (3,3).<br />  RESP:  ou <br />151)Encontre na parábola um ponto tal que sua distância à diretriz seja igual a 4.                                                                                              RESP: P(2,4) ou P(2,4)<br />152)Determine a equação da parábola que tem eixo de simetria vertical e passa pelos pontos A(0,0), B(2,2,) e C(-4,20).                    RESP: ; ; <br />153)Dada uma elipse de centro na origem, distância focal 8 e comprimento do eixo maior 12 e eixo maior paralelo ao eixo OX. Considere uma parábola que tem por diretriz, a reta suporte do eixo menor da elipse e por foco, o foco à direita do cento da elipse. Determine a equação da parábola.                                            RESP: <br />154)Determinar as coordenadas do vértice, foco, a equação da diretriz e o parâmetro das seguintes parábolas:<br />      a) y2 −6x=0               b) x2 −5y=0                   c)y2 +4x=0               d) y2 −4x+8=0 <br />      e)x2 −6y−2=0                                                  f)x2 −6x+9y+63=0     <br />      j) y2 −8y−8x+40=0                                         k)y2 −8x−6y−7=0<br />RESP:  a)V(0,0), , d:2x+3=0, eixo de simetria horizontal,CVD;<br />-3592195462915  b) V(0,0). , d: 4y+5=0, eixo de simetria vertical, CVC;<br />c)V(0,0), F(1,0). d: x = 1,eixo de simetria horizontal, CVE ;<br />d)V(2,0), F(3,0), d:x1=0,eixo de simetria horizontal, CVD ;<br />e) ,  d: 6y +11=0, eixo de simetria vertical, CVC;<br />f)V(3,6), , d:4y +15=0, eixo de simetria vertical, CVB; <br />i)V(4,1), F(3,1), d:x 5=0,eixo de simetria horizontal, CVE ;<br /> <br />k)V(2,3), F(0,3), d:x +4=0,eixo de simetria horizontal, CVD;<br />                                     <br />WINTERLE, PAULO. VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA. MAKRON BOOKS ,2000.BOULOS, PAULO; CAMARGO IVAN. INTRODUÇÃO À GEOMETRIA ANALÍTICA NO ESPAÇO. MAKRON BOOKS ,1997.FEITOSA, MIGUEL O.. CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA - EXERCÍCIOS PROPOSTOS E RESOLVIDOS. EDITORA ATLAS S.A., 1989.FRANCISCO, BLASI. EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA -.PAPIRUS LIVRARIA EDITORA,1984.KINDLE, JOSEPH H.. PROBLEMAS E EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA NO PLANO (COLEÇÃO SCHAUM). AO LIVRO TÉCNICO S.A.,1965 .KLÉTÉNIC. PROBLEMAS DE GEOMETRIA ANALÍTICA. LIVRARIA CULTURA BRASILEIRA EDITORA, 1980.LEHMANN, CHARLES H., GEOMETRIA ANALÍTICA. EDITORA GLOBO, 1974.MACHADO, ANTONIO DOS SANTOS. ALGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA. ATUAL EDITORA, 1998.MENEZES, DARCY LEAL DE, NOÇÕES E FORMULÁRIO DE GEOMETRIA ANALÍTICA NO PLANO E NO ESPAÇO.J.B. LEANDRO-EDIROE E DISTRIBUIDOR,1977.MENNA, ZÓZIMO GONÇALVES. CURSO DE GEOMETRIA ANALÍTICA NO ESPAÇO - TRATAMENTO VETORIAL. LIVROS TÉCNICOS E CIENTÍFICOS S.A., 1978.<br />
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  • 1. VETORES<br />-2341245174625<br />1)A figura abaixo é constituída de nove quadrados congruentes (de mesmo tamanho). Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:<br /> <br />RESP: a)V b)V c)F d)V e)V f)V g)F h)V i)F j)V<br /> k)V l)V m)F n)V o)V p)V q)V r)F s)V t)V<br />2) A figura a baixo representa um paralelepípedo retângulo. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo:<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> RESP: a)V b)F c) V d)V e)V f)V g)F h)F i)V j)V k)V l)F m)V n)V o)V p)V<br />-23360086970723) A figura abaixo representa um losango EFGH inscrito no retângulo ABCD, sendo O, o ponto de interseção das diagonais desse losango. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:<br /> <br /> <br /> RESP: a)V b)F c)V d)V e)F f)F g)V h)V<br /> i)V j)F k)V l)V m)V n)F o)V<br />4)Com base na figura do exercício1, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A:<br /> <br /> <br />RESP: a) b) c) d) e) f)<br /> g) h) i) j) k) l)<br />5)Com base na figura do exercício 2, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A:<br />-2360295147955 <br />RESP: <br />6) Com base na figura do exercício 3, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A: <br /> <br /> RESP: c) <br />7)Determine as somas que se pedem:<br /> RESP: .<br />-23568606036248)A figura abaixo representa um paralelepípedo retângulo de arestas paralelas aos eixos coordenados e de medidas 2,1 e 3. Determinar as coordenadas dos vértices deste sólido, sabendo que A (2, –1,2).<br /> <br />RESP: B(2, –3,2), C(3, –3,2) , D(3, –1,2), E(3, –1,5), F(2, –1,5), G(2, –3,5) e H(3, –3,5)<br />9) Determine x para que se tenha , sendo A (x,1), B(4,x+3), C(x,x+2) e D(2x,x+6)<br />RESP: x=2<br />10) Escreva o vetor (7,–1), como a soma de dois vetores, um paralelo ao vetor (1,–1) e outro paralelo ao vetor (1,1). RESP: x = 3 e y = 4<br />11) Dados A(–1,–1) e B(3,5), determinar C, tal que <br /> a) b). RESP: a) x = 1 e y = 2 b) e y =3<br />12) Dados os vetores =( 2,–1 ) e =( 1,3) , determinar um vetor , tal que:<br /> a) b) <br />RESP: a) = b)<br />13) Dados os vetores =(–1,1,2) e =( 2,0,4), determine o vetor , tal que: <br />-2286303385113 <br />RESP: <br />14)Sendo A(1, –1,3) e B(3,1,5), até que ponto se deve prolongar o segmento AB, no sentido de A para B, para que seu comprimento quadruplique de valor? <br />RESP: (9,7,11)<br />15) Sendo A(–2,1,3) e B(6, –7,1) extremidades de um segmento, determinar:<br /> a)os pontos C , D e E, nesta ordem, que dividem o segmento AB em quatro partes de mesmo comprimento;<br /> <br /> b) os pontos F e G, nesta ordem que dividem o segmento AB em três partes de mesmo comprimento. <br />RESP: , e ; b) e .<br />16)Dadas as coordenadas, x=4, y=–12, de um vetor do 3, calcular sua terceira coordenada z, de maneira que = 13. RESP: z= 3<br />17)Sejam os pontos M(1,2,2) e P(0,1,2), determine um vetor colinear à e tal que RESP: <br />18)Achar um vetor de módulo igual a 4 e de mesmo sentido que o vetor =6–2–3.<br />RESP: <br />19) No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B(–2,3) e C(0,5): <br /> a) determinar a natureza do triângulo;<br />-2265681137795 b) calcular o comprimento da mediana AM. Sendo M o ponto médio do lado BC.<br />RESP: a) isósceles b) = <br />20) Sejam . Determine um versor dos vetores abaixo:<br /> a)+ B) 2–3 c) 5+4<br /> RESP: a) (3,3,–5) b) c) (13,14,–23)<br />21) Determine um vetor da mesma direção de =2–+2 e que:<br /> a) tenha norma (módulo) igual a 9;<br /> b) seja o versor de ;<br /> c) tenha módulo igual a metade de . <br />RESP: a)=(6,–3,6) b)(2,–1,2) c)(2,1,2)<br />22) Num paralelogramo ABCD sabe-se que A (1,3,–2) e que as diagonais são =(4,2,–3) e =(–2,0,1).Calcule as coordenadas dos outros três vértices.<br />RESP: C(5,5,–5) ,B( 4,4,–4) e D( 2,4,–3)<br />23)Sabendo que A (1,1), B(5,1) e C(6,4) são vértices de um paralelogramo,determinar o quarto vértices de cada um dos três paralelogramos possíveis de serem formados.<br />RESP: (2,2), (0,−4), e (10,6)<br />24) Dados os vetores =(3,2), =(2,4) e =(1,3), exprimir como a combinação linear de e . RESP: <br />25) Dados os vetores =(3,–2,1),=(–1,1,–2) e =(2,1,–3), determinar as coordenadas do vetor =(11,–6,5) na base . RESP: <br />26)Escreva o vetor =(4,1,0) , na base ,sendo =(1,0,0) ,=(3,2,1) e =(1,1,1). RESP: <br />-27686002730527)Dois vetores =(2,–3,6) e =(–1,2,–2), tem uma mesma origem. Calcular as coordenadas do vetor sobre a bissetriz do ângulo formado pelos vetores e,sabendo que = . RESP: =( 3, 15, 12)<br />28) Dados os vetores =(1,–1,0), =(3,–1,1), =(2,2,1) e =(4,–3,1). Determinar o vetor =(x,y,z), tal que : (+) e (+) . RESP: =( –10,4,–3)<br />PRODUTO DE VETORES<br />PRODUTO ESCALAR<br />29) Sendo = ( 2,3,1) e = ( 1,4, 5) . Calcular:<br /> a) b) (–) c)( + )2 d) (3– 2)2 e) (23)(+2) <br /> RESP: a) 19 b)18 c)94 d)66 e) –205 f)–28<br />30)Sendo =(2,–1,1), =(1,–2,–2) e =(1,1,–1). Calcular um vetor =(x,y,z), tal que = 4, = –9 e = 5. RESP: =(3,4,2)<br />31)Sejam os vetores =(1,–m,–3),=(m+3,4–m,1)e =(m,–2,7).Determinar m para que =(+). RESP: m=2<br />32) Determinar a, de modo que o ângulo  do triângulo ABC, seja 600. Dados: A(1,0,2), B(3,1,3) e C(a+1,–2,3). RESP: –1 ou <br />33) Dados os pontos A (4,0,1), B(5,1,3) C(3,2,5) e D(2,1,3). Determine: <br />-2446655238125se eles foram alguma figura. Em caso afirmativo, qual? <br />O ângulo entre as retas paralelas aos vetores .<br /> RESP: a) Paralelogramo b) .<br />34) Os vetores e formam um ângulo de 600. Sabe-se que =8 e =5, calcule:<br /> a)+ b) – c) 2+3 d) 4– 5<br /> RESP: a) b)7 c) d)<br />35) Os vetores e formam um ângulo de 1500, sabe-se que = e que =, Calcule:<br /> a) + b) – c) 3+2 d) 5– 4<br /> RESP: a) b) c) d)<br />36)Determinar o valor de x para que os vetores = x–2+3 e =2–+2, sejam ortogonais. RESP: x=–4<br />37)Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores =(2,6,–1) e =(0,–2,1).<br /> RESP: <br />38)Dados =(2,1,–3) e =(1,–2,1), determinar o vetor ,e =5.<br /> RESP: <br />39)Dados dois vetores =(3,–1,5) e =(1,2,–3), achar um vetor , sabendo-se que ele é perpendicular ao eixo OZ , e que verifica as seguintes relações: =9, e =–4. <br /> RESP: =(2,–3,0)<br />40)Seja o cubo de aresta a representado na figura abaixo. Determinar: <br />-2519463120868<br /> RESP: a)0 b)0 c)0 d) e)a2 f) <br /> g) h)<br />41)Calcule o ângulo formado pelas medianas traçadas pelos vértices dos ângulos agudos de um triângulo retângulo isósceles. RESP: =arc cos , 360 52'11,6''<br />42)Um vetor forma ângulos agudos congruentes com os semi-eixos coordenados positivos. Calcule suas coordenadas sabendo que = 3. RESP: .<br />43)Um vetor unitário forma com o eixo coordenado OX um ângulo de 600 e com os outros dois eixos OY e OZ ângulos congruentes. Calcule as coordenadas de .<br /> RESP: ou <br />44) O vetor forma um ângulo de 600 com o vetor , onde A (0,3,4) e B(m, 1,2). Calcular o valor de m. RESP: m=–34 ou m=2<br />45)Os vetores e formam um ângulo = , calcular o ângulo entre os vetores =+ e = – , sabendo que = e = 1. RESP: cos=,40053'36,2''<br />-2964815211455<br />46) Dados =(2,–3,–6) e =3–4–4, determine: <br /> a) a projeção algébrica de sobre ( norma do vetor projeção de sobre );<br /> b) 0 vetor projeção de sobre . RESP: a)6 b)<br />47)Decomponha o vetor =(–1,2,–3) em dois vetores e , tais que e , com =(2,1,–1). RESP: e <br />48)São dados os vetores = (1,1,1), =(–1,2,3) e =(26,6,8). Decompor o vetor em dois vetores e ortogonais entre si, sendo simultaneamente ortogonal a e a . RESP: =(1,–4,3) e =(25,10,5)<br />49)São dados =(3,2,2) e =(18,–22,–5), determine um vetor , que seja ortogonal à e a , tal que forme com o eixo OY um ângulo obtuso e que =28. <br /> RESP: =(–8,–12,24)<br />50)Os vértices de um triângulo são M(1,1,2) ,N(5,1,3) e Q(–3,9,3). Calcule as coordenadas do vetor , onde H é o pé da altura relativa ao lado NQ. <br /> RESP: =(2,2,1)<br />PRODUTO VETORIAL<br />51) Dados os vetores =( –1,3,2),=(1,5,–2) e =(-7,3,1). Calcule as coordenadas dos vetores:<br /> a) b) c) () <br /> d) () e)(+)(+) f) (–) <br /> RESP: a)(–16,0,8) b)(11,13,38) c)(64,–12,2) d)(24,72,48) e)(24,0,64) <br /> f)(–3,–13,18)<br />-301117050292052)Determinar o vetor , paralelo ao vetor ao vetor =(2,–3,0) e tal que =, onde =(1,–1,0) e =(0,0,2). RESP: =(4.–6,0)<br />53) Determinar o vetor , sabendo que ele é ortogonal ao vetor =(2,3,1) e ao vetor =(1,2,3) e que satisfaz a seguinte condição; . RESP: <br />54)Determinar , tal que seja ortogonal ao eixo dos y e que ,sendo e . RESP: =(1,0,1)<br />55) Dados os vetores =(0,1,1), =(2,0,0) e =(0,2,3).Determine um vetor , tal que // e =. RESP: =(0,4,6)<br />56)Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores =(–1,–1,0) e=(0,–1–1). <br /> RESP: <br />57) Ache tal que =e é ortogonal a =(2,3,1) e a =(2,4,6). Dos encontrados, qual forma ângulo agudo com o vetor (1,0,0). RESP: <br />58)São dados os vetores = (1,1,1), =(–1,2,3) e =(26,6,8). Decompor o vetor em dois vetores e ortogonais entre si, sendo simultaneamente ortogonal a e a . RESP: =(1,–4,3) e =(25,10,5)<br />59) Dado o vetor =(3,0,1).Determine o vetor =(x,y,z), sabendo-se que é ortogonal ao eixo OX, que = , e que =4. RESP: <br />60) São dados =(3,2,2) e =(18,–22,–5), determine um vetor , que seja ortogonal à e a , tal que forme com o eixo OY um ângulo obtuso e que =28. <br /> RESP: =(–8,–12,24)<br />61)Sendo =(–2,1,–1) e =(0,y,z), calcule y e z de modo que = 4 e que o vetor = faça ângulos congruentes com os eixos OX e OY. RESP: (0,2,2)<br />-3086100120015<br />62) Resolva os sistemas abaixo: <br /> a) <br /> RESP: a)(4,6,-2) b)(2,4,–2) c)(1,3,–1)<br />63) Dados os vetores =(1,1,1) e =(2,3,4), calcular:<br /> a) A área do paralelogramo de determinado por e ;<br /> b)a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor .<br />RESP: a)A= b)<br />64)Dados os vetores =(2,1,1) e =(1,1,), calcular o valor de para que a área do paralelogramo determinado por e seja igual a u.a.(unidades de área).<br />RESP: =3<br />65) A área de um triângulo ABC é igual a . Sabe-se que A(2,1,0), B(–1,2,1) e que o vértice C pertence ao eixo OY. Calcule as coordenadas de C.<br /> RESP: (0,3,0) ou <br />66)Os vértices de um triângulo ABC são os pontos A (0,1,1), B(2,0,1) e C(1,2,0). Determine a altura relativa ao lado BC. RESP: <br />67) Determine a área do triângulo ABD, obtido pela projeção do vetor sobre o vetor , onde A (5,1,3), B(3,9,3) e C(1,1,2). RESP: <br />68) Calcule a distância do ponto P(–2,1,2) à reta determinada pelos pontos M(1,2,1) e N(0,–1,3). RESP: d=u.c.<br />PRODUTO MISTO<br />69)Qual é o valor de x para que os vetores =(3,–x,–2), =(3,2,x) e =(1,–3,1) sejam coplanares. RESP: x=14 ou x=–2<br />70)Determinar o valor de k para que os pontos A(0,0,3),B(1,2,0), C(5,–1,–1) e D(2,2,k) sejam vértices de uma mesma face de um poliedro. RESP: k=– 1<br />71)Determinar o valor de x de modo que o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores = 2–+ e =– e =x+–3, seja unitário. RESP: x=–5 ou x= –3<br />-41962398493272)Sejam os vetores =(1,1,0), =(2,0,1) e , e . Determinar o volume do paralelepípedo definido por , e . RESP: V=44 u.v.<br />73)Dado um tetraedro de volume 5 e de vértices A (2,1,–1), B(3,0,1) e C(2,–1,3). Calcular as coordenadas do quarto vértice D, sabendo-se que se acha sobre o eixo OY.<br /> RESP: D (0,–7,0) ou D(0,8,0)<br />74)São dados os pontos A(1, –2,3), B(2, –1, –4), C(0,2,0) e D(–1,m,1), calcular o valor de m para que seja de 20 unidades o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores e . RESP: m=6 ou m=2<br />75)Determine sobre o eixo OX um ponto P, tal que, o volume do tetraedro PABC seja o dobro do volume do tetraedro POBC. Dados: O (0,0,0) ,A(1,0,0) , B(0,1,0) e C(0,0,1).<br /> RESP: (–1,0,0) ou <br />76)Sendo =(1,1,0), =(2,1,3) e =(0,2,–1). Calcular a área do triângulo ABC e o volume do tetraedro ABCD, onde B=A+. C=A+ e D=A+ . <br /> RESP: S=,V=<br />77)Determine a altura do tetraedro ABCD, onde A(1,3,1), B(0,2,4) ,C(2,1,3) e D(0,6,0).<br /> RESP: <br />78)Determine a distância do ponto D(2,3,3) ao plano determinado pelos pontos A(3,3,1) , B(1,1,–3) e C(–1,–3,0). RESP: u.c.<br />79)Os vértices de um tetraedro são M (0,3,4), N(1,2,2) e Q(2,–1,2) e P é um ponto pertencente ao eixo coordenado OZ. Calcule:<br /> a)as coordenadas do ponto P de modo que o tetraedro MNPQ tenha volume igual a 1 uv;<br /> b)a área e o perímetro da face NMQ;<br /> c)os ângulos internos da face MNQ;<br />-349186538735 d)calcule a altura do tetraedro MNPQ, relativa à face MNQ.<br />-23202902943860RESP: a)P(0,0,0) ou P(0,0,2) b)S=u.a., 2p=u.c.<br /> c)=300, =900, =600 d)u.c.<br />80)A figura abaixo representa uma pirâmide de base quadrada OABC em que as coordenadas são O(0,0,0), B(4,2,4) e C(0,6,6), e o vértice V é eqüidistante dos demais, determine:<br />a) as coordenadas do vértice D;<br />b) as coordenadas cartesianas do ponto V, considerando que o volume da pirâmide é igual a 72 u.v. RESP: a)D(–4,4,2) b) V(–2, –1,7) <br />81)São dados no espaço os pontos A(2,–1,0), B(1,–2,1) e C(1,0,2), determine o ponto D, tal que , e sejam coplanares, = –28 e que o volume do tetraedro OABD seja igual a 14. RESP: D(0,0,–28) ou D(12,24,8)<br />RETA NO ℝ3<br />82) Estabelecer as equações vetoriais, paramétricas, simétricas e reduzidas das retas nos seguintes casos:<br /> a)determinada pelo ponto A(1,–2,1) e pelo vetor =(3,1,4);<br /> b)determinada pelos pontos A(2,1,3) e B(3,0,–2) ;<br /> c)possui o ponto A(1,–2,3) e é paralela à reta definida pelo ponto B(2,0,1) e pelo vetor diretor =(2,–2,3);<br />-3663315347345 d)possui o ponto M (1,5,–2) e é paralela à reta determinada pelos pontos A(5,–2,3) e B(–1,–4,3); <br /> e)possui o ponto A(2,1,0) e é paralela à reta de equação ; <br /> f)possui o ponto A(–6,7,9) e é paralela ao vetor = (–2,0,–2);<br /> g)possui o ponto A(0,0,4) e é paralela ao vetor =(8,3,0); <br /> h)possui o ponto A(2, –2,1) e é paralela ao eixo OX ;<br /> i)possui o ponto A(8,0,–11) e é paralela ao eixo OZ.<br />RESP: a) P=(1,–2,1) +m(3,1,4) , , , <br />b) P=(2,–1,3) +m(1,2,–5) , , , ;<br />c) P=(1,–2,3) +m(2,–2,3) , , , ;<br />d) P=(1,5,–2) +m(3,1,0) , , ;<br />e) P=(2,1,0) =m(–5,3,2) , , , ;<br />f) P=(–6,7,9) =m(1,0,1) , , ;<br />-24155403476625g) P=(0,0,4) +m(8,3,0) , , ;<br />h) P=(2,–2,1) = m(1,0,0) , ; <br /> i ) P=(8,0,–11) =m(0,0,1) , .<br /> <br />-3199411-726583) Determine as equações simétricas da reta que passa pelo baricentro do triângulo de vértices A(3,4,–1), B(1,1,0) e c(2,4,4) e é paralela à reta suporte do lado AB do triângulo. RESP: .<br />84) Os vértices de um triângulo são O (0,0,0) , A(3,4,0) e B(1,2,2). Forme as equações reduzidas da bissetriz interna do ângulo AB e determine sua interseção com o lado AB.<br /> RESP: e .<br />85) Os pontos de trisseção do segmento A(4,3,0) e B(–2,–3,3) são M e N. Unindo-os ao ponto P(0,–1,0), obtêm-se as retas PM e PN . Calcule o ângulo formado pelas mesmas.<br /> RESP: = arc cos , 700 31'43,6''<br />86) A reta , forma um ângulo de 300 com a reta determinada pelos pontos A(0,5,2) e B(1,n5,0). Calcular o valor de n. RESP: n=7 ou 1<br />87) Determine as equações da reta r definida pelos pontos A (2,–1,4) e B= , com . RESP: <br />88) Determinar as equações paramétricas da reta t, que é perpendicular a cada uma das retas: <br /> a) , e que passa pelo ponto P(2,3,5);<br /> b) , e que passa pelo ponto P(2,–3,1); <br /> c) e , e que passa pelo ponto P(3,3,4). <br />-3130976482174 RESP: a)t: c) <br />80)Estabeleça as equações, em função de x, da reta traçada pela interseção de r:P=(6,1,0)+m(1,–1,1), com a reta , e que forma ângulos agudos congruentes com os eixos coordenados. RESP: <br />90) São dadas as retas e e o ponto A(3,–2,1). Calcule as coordenadas dos pontos P e Q pertencentes, respectivamente a r e a s, de modo que A seja o ponto médio do segmento PQ. RESP: P(1, –1,0) e Q(5,3,2)<br />91) Determine o ponto O', simétrico de da origem O dos eixos coordenados, em relação ã reta . RESP: <br />92) Determine as coordenadas de A' simétrico de A (4,0,3), em relação a reta . RESP: <br />93) Estabeleça as equações paramétricas da reta traçada pelo ponto A(–1, 4,5) e que é perpendicular à reta r; P=(–2,1,1) + m(1,–1,2). RESP: <br />94)Determine uma equação da reta r que passa pelo ponto A(2,–1,3), e é perpendicular à reta . RESP: P= (2,1,3)+m(13,3,33)<br />95)Estabeleça as equações da reta s, traçada pelo ponto P(1,3,1), que seja concorrente com a reta e seja ortogonal ao vetor .<br />RESP: <br />-3912235171450PLANO<br />96) Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos:<br /> <br />a) passa pelo ponto D(1,–1,2) e é ortogonal ao vetor =(2,–3,1);<br />b)possui o ponto A(1,2,1) e é paralelo aos vetores e ;<br />c) passa pelos pontos A(–2,1,0) , B(–1,4,2) e C( 0,–2,2);<br />d) passa pelos pontos P(2,1,0),Q(1,4,2) e R(0,2,2); <br />e)passa pelos pontos A(2,1,5), B(3,1,3) e C(4,2,3);<br />f) passa pelo ponto E( 1,2,2) e contém os vetores =(2,–1,1) e =( –3,1,2); <br />g) possui o ponto P(2,1,3) e é paralelo ao plano XOZ; <br /> h) contém as retas e ;<br /> i) contém as retas e ; <br />j) que contém as retas ; <br />k)contém as retas ;<br /> l) passa pela reta e é paralelo à reta <br />RESP: a):2x3y+z7=0 b):xyz=0 c):12x+2y9z+22=0<br /> d) :12x+2y9z+22=0 e):6x14yz+7=0 f):x+yz5=0 <br /> g):y+1=0 h) :2x16y13z+31= 0 i):yz2=0 <br /> j):4x+4y+3z=0 k):11x+2y5z11=0 l):3x2y2z1=0<br />97) Determine a equação da reta interseção dos planos, nos seguintes casos:<br /> a) b) <br />-4965700361315 c) d) <br /> RESP: a)r:P=(3,2,0)+m(1,1,1) b) <br /> c) d) <br />98)Forme a equação do plano que possui um ponto M(2,1,3) e que é perpendicular à reta . RESP: :2x+ 3yz +4=0<br />99)Dado o ponto P(5,2,3)e o plano :2x+y+z3=0,determinar:<br /> a) a equação paramétrica da reta que passa por P e é perpendicular a ; <br /> b) a projeção ortogonal de P sobre ;<br /> c) o ponto P’ simétrico de P em relação a ;<br /> d) a distância de P ao plano .<br />RESP: a) b) I(1,0,1) c)P’(3, 2, 1) d) <br />100)Forme a equação do plano mediador do segmento A(1,2,3) e B(3,2,5)<br /> RESP: :x+4z6=0<br />101)Determinar a equação do plano que contém os pontos A (1,2,2) e B(3,1,2) e é perpendicular ao plano : 2x+yz+8-0. RESP: :x12y10z5=0<br />102) Um plano , traçado por P(3,3,1) intercepta os semi-eixos coordenados positivos OX,OY e OZ, respectivamente nos pontos A,B, e C, tais que e .Estabeleça a equação geral de . RESP: ;x+2y+3z6=0<br />103)Determine a equação do plano que contém a reta interseção dos planos 1: 3x–2y–z1=0 e 2: x +2yz7=0 e que passa pelo ponto M(2,0,1). <br /> RESP: :9x+2y5z13=0<br />104)Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A(-1,0,0) e é paralela a cada uma dos planos 1: 2x–y–z+1=0 e 2:x+3y+z+5=0.<br />-4757420403225 RESP: <br />105)Determinar equação geral do plano ,que passa ponto A(4, 1, 0) e é perpendicular aos planos 1: 2x –y –4z– 6 = 0 e 2: x + y + 2z 3 = 0. RESP: :2x8y+ 3z=0<br />106)Determinar a equação do plano que contém o ponto A(3,2,1) e a reta . RESP: :2x+3y+x+1=0<br />107) Determinar a equação do plano , que passa pelo ponto P(2,5,3) e é perpendicular à reta r, interseção dos planos 1: x2y+z1=0 e 2:3x+2y3z+5=0. <br />RESP: : 2x+3y+4z31=0<br />108)Determinar a equação do plano que passa pela reta , é paralelo à reta . RESP: :3x+2y+5z+6=0 <br />109)Dados os planos 1:2x+y3z+1=0, 2:x+y+z+1=0 e 3:x2y+z+5=0, ache uma equação do plano que contém 12 e é perpendicular a 3. RESP: :x + y + z +1=0<br />110)Calcule o volume do tetraedro, cujas faces são os planos coordenados e o plano <br /> :5x+4y10z20=0. RESP: VT= u.v.<br />111)Determine o ponto A', simétrico de A (1,4,2) em relação ao plano : xy+z2 =0. <br /> RESP: R: A'(3,2,4)<br />112) Determine uma equação da reta t, simétrica de , em relação ao plano :2x+yz+2=0. RESP: <br />113) Dado o plano 1:2x+5y+3z+3=0 e a reta AB, sendo A (1,1,1) e B(2,2,2), determina a equação do plano que passa pelo ponto onde a reta AB fura o plano 1 e é paralelo ao plano 2:x3=0. RESP: :<br />-4697095868045114) Considere as retas r:P=(1,1,0)+t(0,1,1) e . Seja A o ponto onde s fura o plano :xy+z=2, e B e C ,respectivamente, os pontos onde r fura os planos XOZ e XOY,respectivamente. Calcule a área de triângulo ABC. RESP: S=<br />115)Determinar a equação simétrica da reta r, que passa pelo ponto M(2,4,1), e pelo meio do segmento de reta ,compreendido entre os planos 1:5x+3y4z+11=0 e 2: 5x+3y4z41=0. RESP: <br />116) Dados o ponto P(1,31), o plano :x+z=2 e a reta s:P=(2,0,0)+m(1,0,1), obtenha uma equação da reta r que passa por P, é paralela a e dista 3 da reta s. <br />RESP: r:P=(1,3,1)+m(1,0,1)<br />COORDENADAS POLARES E<br /> TRANSFORMAÇÕES LINEARES<br />117)Dois dos vértices de um triângulo eqüilátero são os pontos A(0 , 75 0 ) e B( 3, 180 0 ). Ache as coordenadas polares do terceiro vértice. <br /> RESP: C e C’( 3, -2400) ou C’(3,-1200)<br />118)Lado de um hexágono mede 4 u.c. Determine as coordenadas polares dos vértices deste hexágono quando seu centro coincidir com o pólo do sistema e um de seus vértices pertencerem ao eixo polar.<br /> RESP: A (4,) , B( 4,600) , C( 4,1200), D( 4,1800) ,E( 4,2400) e F( 4,3000)<br />119)Determine as coordenadas polares dos vértices de um quadrado ABCD, sabendo-se que o pólo é o ponto O'(1,2), que o eixo polar é paralelo ao eixo OX e que tem o mesmo sentido deste. Sendo dados as coordenadas cartesianas dos vértices: A (4,2), B(7,5), C(4.8) e D(1,5). RESP: A (3,00) , B, C(,63,50 ), D(3,900) <br />-4677410835025120)Num sistema de coordenadas polares são dados os dois vértices e do paralelogramo ABCD e o ponto de interseção das diagonais coincide com o pólo. Achar as coordenadas polares dos outros dois vértices. <br /> RESP: <br />121)Determinar as coordenadas polares dos vértices do quadrado ABCD, sabendo-se que o eixo polar é a reta paralela a diagonal AC, com o mesmo sentido desta, que o pólo é o ponto médio de BC e que o lado do quadrado mede 6 cm.<br /> RESP: A (3,161030') , B(3,–1350), C(3,450) e <br />122)Transformar as seguintes equações cartesianas em equações polares:<br />a) x2 + y 2 = 25 b) x2 – y2 = 4 c) ( x2 + y 2 )2 = 4 ( x2 - y 2 ) d) x - 3y = 0 e) y 2 + 5x = 0 f) xy =4 g) x2 + y 2 + 4x - 2y = 5 h) ( x2 + y 2 ) 2 - 18 xy = 0 i) 4y2-20x – 25=0 j) 12x2 –4y2 –24x+ 9 = 0 k) x2+ y2 –2y = 0<br />Obs.: Somente considere a resposta em que 0. <br /> RESP: a) = 5 b) 2cos2=4 c) 2 = 4 cos 2 d) = arctg 1 / 3 e) sen2 + 5 cos = 0 f) 2sen2=8 g) 2 + 2 (2 cos - sen ) = 5 h) 2 = 9 sen 2 i)= j) = k) =2sen<br />123)Transformar as seguintes equações polares em equações cartesianas:<br /> = 4 b) = 1/ 4 c) = 8 cos d) = 6 sen + 3 cos <br />e) = 15 sec f) (sen + 3 cos ) = 3 g) (2 cos ) = 4<br />2 = 2 + cos 2 i) 2 = 4 cos 2 j) = 4 ( 1 + cos )<br /> RESP: a) x2 + y2 = 16 b) x = y c) x2 + y2 8x = 0 d) x2 + y2 3x 6y = 0 e) x = 15 f)3xy3=0 g) 3x2 + 4y2 - 8x 16 = 0 h) 4 (x2 + y 2)3 = ( 3x2 + y2 )2 i) ( x2 + y2 )2 = 4x2 – 4y2 j) 16( x2 + y2) = ( x2 + y2 4x ) 2<br />124) Transforme, em relação a um novo sistema de coordenadas de eixos paralelos aos primeiros e origem conveniente para que na nova equação não figure os termos do 1o grau, as equações:<br />x2 + y 2 - 6x + 2y - 6 = 0 b) xy –x + 2y – 10 = 0 <br />c) x2 - 4y2 - 2x + 8y - 7 =0 d) x2 + 4 y 2 - 2x - 16 y + 1 = 0 <br />-4855845924560e) 30xy +24x-25y-80=0 f)3x2+ 3y2 –10xy –2x+ 14y+27=0 RESP: a) x’’2 + y’’2 = 16, O'(3,1) b) x’y’=8, O'(2,1) c) x’’2 - 4y’2 - 4 = 0, O'(1,1) d) x’2 +4 y’2 - 16 = 0, O'(1,2) e)x’y’=2 ,O’ f) O’ ( 2,1) 3x’2+3y’2 10x’y’+32=0 g) , <br />125)Transforme as equações abaixo, mediante uma rotação de eixos :<br /> a) x2 + 2 xy + y 2 32 = 0 b) xy 8 = 0 c) 31 x2 + 10xy + 21 y 2 - 144 = 0 d) 6x2 + 26y2 + 20xy - 324 = 0 e)4x2+ 4xy +y2+x =1 <br /> g) 2xy +6x –8y=0 h) 7x2 – 6xy + 13y2 – 16 =0 <br />RESP: a) x’ = 4 =450 b) x’2 - y’2 = 16 =450 <br /> c) 9x’2 + 4y’2 - 36 = 0 =300 d) 9x’2 – y’2 – 81= 0 =600 <br /> e)5x’2+2x’y’=1,=26,20 g) =450, x'2–y'2 – x’7y’=0 <br /> h) = 300, x’2+4y’2– 4=0 <br />CÔNICAS<br />ELIPSE<br />126)Achar a equação de uma elipse cujos focos se encontram sobre o eixo das abscissas, e sabendo-se que:<br /> a) a distância focal é igual a 6 e a excentricidade é ;<br /> b) seu menor eixo é 10 e a excentricidade e ;<br /> c) C(0,0), eixo menor igual 6, passa pelo ponto ;<br /> <br /> d) focos F1(3,2) e F2(3,8),comprimento do eixo maior 8.<br /> e) C(0,0), , , ponto da cônica; <br /> f) seus vértices são A1 (2,2), A2(4,2), B1(1,0), B2(1,4); <br /> g) vértices (7,2) e (1,2), eixo menor=2;<br /> h) C(0,0), ponto da cônica, distância focal 8;<br />RESP: a) 16x2 +25y2 −400=0 b) 25x2 +169y2 − 4225=0; <br />-4919980264795 c) d)<br /> e) f) <br /> g) h) <br />127)A órbita da Terra é uma elipse, com o Sol em um dos focos. Sabendo-se que o eixo maior da elipse mede 2.999.338.000 km e que a excentricidade mede . Determine a maior e a menor distância da Terra em relação a Sol. <br /> RESP: MAD =152.083.016 km; med =147.254.984 km. <br />128)O centro de uma elipse coincide com a origem. O eixo maior é vertical e seu comprimento é o dobro do comprimento do eixo menor, sabendo-se que essa elipse passa pelo ponto , achar sua equação. RESP: 4x2 +y2 −16=0 <br />129)Uma elipse é tangente ao eixo das abscissas no ponto A(3,0) e ao eixo das ordenadas no ponto B(0,−4). Formar a equação dessa elipse, sabendo-se que seus eixos de simetria são paralelos aos eixos de coordenadas. <br /> RESP: 9x2 +16y2 −54x+128y+193=0<br />130)Achar a equação da cônica com centro C(3,1), um dos vértices A(3,2) e excentricidade . RESP: <br />131)Determine a equação da elipse de centro C(−2,1), excentricidade 3/5 e eixo maior horizontal de comprimento 20. RESP: 16x2 +25y2 +64x−50y−1511=0 <br />132)Determine a equação da cônica de C(4,1), um foco (1,1) e excentricidade .<br />RESP: <br />133)Determine a equação da cônica de vértices A1(1,8) e A2(1,4) e excentricidade . <br /> RESP: <br />134)Determine a equação da cônica de focos (–1, –3) e (–1,5), e excentricidade .<br /> RESP: <br />135)Determine a equação da elipse de excentricidade , cujos focos são pontos da reta y 1=0 e sendo B(2, 9) um dos extremos do seu eixo menor. <br />-490982059055 RESP: <br />136)A uma elipse de excentricidade , circunscreve-se um retângulo de lados paralelos aos eixos coordenados da elipse. Calcular a área do retângulo, sabendo-se que seu perímetro vale . RESP: <br />137)Em cada uma das equações abaixo, determinar as coordenadas dos vértices, focos, centro, excentricidade, corda focal, parâmetro e as equações das diretrizes:<br /> a) b) c) <br /> d) 25x2 +16y2 +50x+64y– 311=0 e) 16x2 +25y2 +32x–100y–284=0<br /> f) g) <br />RESP: a)C(0,0), A (±10,0), B(0,±6), F(±8,0), e= 4/5, eixo maior horizontal;<br /> b)C(0,0),A(0,±3),B(±,0),F(0,±2),e =2/3, eixo maior vertical;<br /> c)C(0,0),A(0,±1),,B(±1/2,0),e=/2, eixo maior vertical;<br /> d) C(−1,−2),A1 (−1,2),A2 (−1,−7), F1(4,0), F2(−1,−5), B1(3,−2), B2 (−5,−2), e =3/5, eixo maior horizontal;<br /> e) C(−1,2), A1(−6,2), A2 (4,2), F1(3,2), F2(−4,2), B1(−1,−2),B2(−1,6) e =1/2, eixo maior horizontal;<br /> f)C(4,4), A1(4,0), A2(4,8), F1(4,2), F2(4,6), ,, eixo maior vertical;<br /> g)C(6,4), A1(12,4), A2(0,4), , , eixo maior horizontal;<br />HIPÉRBOLE<br />138)Determine a equação da hipérbole, nos seguintes casos:<br />-5144135146685 a)de focos F(0,5) e vértices A (0, 3); <br /> b)que tem focos no eixo das abscissas e eixos real e imaginário 10 e 8 , respectivamente;<br /> c) de focos F(3,4) e (3,2) e excentricidade e=2;<br /> d)de focos F (1,5) e (5,5) , eqüilátera<br /> e)eixo real horizontal, eqüilátera, de vértices (3,4) e ( 3,4);<br /> f) de C0,0),que passa pelo ponto (−5,3), é eqüilátera e de eixo real horizontal;<br /> g)que tem eixo real vertical de comprimento 8 e passa pelo ponto (6,5);<br /> h)eixo real sobre o eixo das abscissas ,distância focal é igual a 10 e eixo imaginário 8;<br /> i)eixo real sobre o eixo das ordenadas, as equações das assíntota s e distância focal 52.<br /> j) eixo real horizontal, distância focal é igual a 6 e a excentricidade ;<br /> k) eixo real paralelo ao eixo OX, centro no ponto C(1,3), comprimento do eixo imaginário é e excentricidade ;<br /> l) C(2, – 3), eixo real vertical, passando pelos pontos (3, –1) e (–1,0)( trabalhosa);<br /> m)centro é o ponto C(0,4), um dos focos é (0,1) e um de seus pontos . <br />RESP: a) b)<br /> c) d) <br /> e) f) <br /> g) h) <br /> i) j) <br /> k) l) <br /> m) <br />-3488055381635139)O centro de uma cônica está na origem, seu eixo real encontra-se ao longo do eixo OY e cujas assíntotas são as retas . Determinar a equação da cônica, se seus vértices são os pontos A(0,2). RESP: <br />140)Determine a equação da hipérbole que tem como uma assíntota, a reta eixo horizontal e passa pelo ponto (3,1). RESP: 289560595630<br />141)Determine a equação da hipérbole que tem como assíntotas, as retas 2x+y−3=0 e 2x−y−1=0, eixo horizontal e passa pelo ponto (4,6). RESP: <br />142)Determine a equação da hipérbole que tem como assíntotas, as retas 3x4y+16=0 e 3x+4y16=0, eixo vertical e que passa pelo ponto . <br /> RESP: <br />143)Determinar a equação reduzida da hipérbole, cujo eixo real tem por extremos os focos da elipse 16x2 +25y2 −625=0 e cuja excentricidade é o inverso da excentricidade da elipse dada. RESP: <br />144)Os focos de uma hipérbole coincidem com os da elipse Forme a equação da hipérbole, considerando-se que sua excentricidade é e= 2.<br />RESP: <br />145)Determine a equação da elipse de centro na origem, cujos vrtices coincidem com os focos da hipérbole e cujos focos sãoé os vértices da hipérbole. <br /> RESP: <br />146)Em cada uma das equações de hipérbole abaixo, determine as coordenadas dos vértices, focos, centro a excentricidade, corda focal, parâmetro, equação das diretrizes e das assíntotas. <br /> a) b) 9x2 −16y2 =144 <br /> c)4x2 −5y2 +20=0 d) x2 −y2 =1 <br /> e)x2 −4y2 +6x+24y−31=0 f)16x2 −9y2 −64x−18y+199=0<br /> g)9x2 −4y2 −54x+8y+113=0 h)<br />RESP: a) C(0,0),A(10,0), ,,eixo real horizontal, , <br />-366458573025b)C(0,0), A(4,0), F(5,0), , eixo real horizontal, ;<br />c)C(0,0), A(0,2), F(0,3), , eixo real vertical, , ;<br />d)C(0,0), A(1,0), , , eixo real horizontal, ass: y=x;<br />e)C(3,3),A1(1,3), A2(5,3), , eixo real horizontal, ass1:x2y9=0,ass2:x + 2y3=0,;<br />f)C(2,1),A1(2,3), A2(2,3), F1(2,4), F2(2,6), eixo real vertical ,ass1:4x3y5=0,ass2:4x3y5=0;<br /> g)C(3,1), A1(3,4), A2(3,2), , ass1:3x2y1=0, ass2:3x2y5=0;<br /> h)C(1,3), A1(1,3),A2(3,3), , ass1:3x2y3=0 e ass2:2x+2y-9=0,<br />PARÁBOLA <br />147)Determinar a equação da parábola:<br /> a) de vértice V(6,−2) , cujo eixo é y +2=0 e que passa pelo ponto (8,2);<br /> b) de foco F(3,3) e diretriz y−1=0;<br /> c) de vértice V(0,3) e diretriz x + 5=0;<br /> e) de foco F(3,3) e diretriz y−5=0;<br /> g)V(3,6),eixo de simetriaparalelo ao OY, e que passa pelo ponto (3,10);<br /> i) F(4,3), diretriz ;<br /> k) Eixo // OY, passa pelo ponto M(1,1);<br /> l) V(4, 1), eixo: y+1=0 e passa pelo ponto (3, 3)<br /> n) F(3,1) e diretriz ;<br /> o) V(4,3) e F(4,1)<br /> p) V(1,3), eixo de simetria paralelo ao eixo dos x, passa pelo ponto P(1,1)<br /> q) V(3,2) , eixo de simetria y+2=0, passa pelo ponto P(2,2)<br /> s) de foco F(–7,3) e diretriz x+3=0;<br /> v) F(5,2), diretriz ;<br />-3797300219710RESP: a) b) <br /> c) e) <br /> g) i) <br /> k) l) <br /> n) o) <br /> p) q) <br /> s) v) <br />148)Determine a equação da parábola que tem eixo de simetria horizontal que passa pelos pontos A(5,5), B(3,3) e C(3,1). RESP: ; V(4,-1), p=-2<br />149)Determine os pontos de interseção da hipérbole com a parábola . RESP: e <br />150)Achar a equação da parábola, cuja corda focal liga os pontos (3,5) e (3,3).<br /> RESP: ou <br />151)Encontre na parábola um ponto tal que sua distância à diretriz seja igual a 4. RESP: P(2,4) ou P(2,4)<br />152)Determine a equação da parábola que tem eixo de simetria vertical e passa pelos pontos A(0,0), B(2,2,) e C(-4,20). RESP: ; ; <br />153)Dada uma elipse de centro na origem, distância focal 8 e comprimento do eixo maior 12 e eixo maior paralelo ao eixo OX. Considere uma parábola que tem por diretriz, a reta suporte do eixo menor da elipse e por foco, o foco à direita do cento da elipse. Determine a equação da parábola. RESP: <br />154)Determinar as coordenadas do vértice, foco, a equação da diretriz e o parâmetro das seguintes parábolas:<br /> a) y2 −6x=0 b) x2 −5y=0 c)y2 +4x=0 d) y2 −4x+8=0 <br /> e)x2 −6y−2=0 f)x2 −6x+9y+63=0 <br /> j) y2 −8y−8x+40=0 k)y2 −8x−6y−7=0<br />RESP: a)V(0,0), , d:2x+3=0, eixo de simetria horizontal,CVD;<br />-3592195462915 b) V(0,0). , d: 4y+5=0, eixo de simetria vertical, CVC;<br />c)V(0,0), F(1,0). d: x = 1,eixo de simetria horizontal, CVE ;<br />d)V(2,0), F(3,0), d:x1=0,eixo de simetria horizontal, CVD ;<br />e) , d: 6y +11=0, eixo de simetria vertical, CVC;<br />f)V(3,6), , d:4y +15=0, eixo de simetria vertical, CVB; <br />i)V(4,1), F(3,1), d:x 5=0,eixo de simetria horizontal, CVE ;<br /> <br />k)V(2,3), F(0,3), d:x +4=0,eixo de simetria horizontal, CVD;<br /> <br />WINTERLE, PAULO. VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA. MAKRON BOOKS ,2000.BOULOS, PAULO; CAMARGO IVAN. INTRODUÇÃO À GEOMETRIA ANALÍTICA NO ESPAÇO. MAKRON BOOKS ,1997.FEITOSA, MIGUEL O.. CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA - EXERCÍCIOS PROPOSTOS E RESOLVIDOS. EDITORA ATLAS S.A., 1989.FRANCISCO, BLASI. EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA -.PAPIRUS LIVRARIA EDITORA,1984.KINDLE, JOSEPH H.. PROBLEMAS E EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA NO PLANO (COLEÇÃO SCHAUM). AO LIVRO TÉCNICO S.A.,1965 .KLÉTÉNIC. PROBLEMAS DE GEOMETRIA ANALÍTICA. LIVRARIA CULTURA BRASILEIRA EDITORA, 1980.LEHMANN, CHARLES H., GEOMETRIA ANALÍTICA. EDITORA GLOBO, 1974.MACHADO, ANTONIO DOS SANTOS. ALGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA. ATUAL EDITORA, 1998.MENEZES, DARCY LEAL DE, NOÇÕES E FORMULÁRIO DE GEOMETRIA ANALÍTICA NO PLANO E NO ESPAÇO.J.B. LEANDRO-EDIROE E DISTRIBUIDOR,1977.MENNA, ZÓZIMO GONÇALVES. CURSO DE GEOMETRIA ANALÍTICA NO ESPAÇO - TRATAMENTO VETORIAL. LIVROS TÉCNICOS E CIENTÍFICOS S.A., 1978.<br />