Exercicios resolvidos red matematica

¸˜
Redacao

´
em Matematica

Leandro Augusto Ferreira
Coord. Profa. Dra Edna Maura Zuffi

Centro de Divulga¸õ Cient´
ca ıfica e Cultural
Universidade de Sõ Paulo - CDCC
a

Agosto - 2008

Sum´rio
a

1 Formaliza¸õ do texto
ca 7
1.1 Disserta¸õ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca 7
1.2 Disserta¸õ em matem´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca a 7
1.3 Simbologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Estrutura dissertativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.1 Introdu¸õ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca 9
1.4.2 Desenvolvimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.3 Conclusõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 12
1.5 Modelos de disserta¸õ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca 13
1.5.1 A disserta¸õ escolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca 13
1.5.2 “Receita” para um texto dissertativo . . . . . . . . . . . . 13
1.5.3 Exemplos de textos dissertativos - Exerc´ ıcios de vestibular 14
1.6 Exerc´ıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 L´gica matem´tica
o a 20
2.1 Defini¸˜es gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
co . . . . . 20
2.2 Princ´ıpios da l´gica matem´tica . . . . . . . . . . . . . .
o a . . . . . 21
2.2.1 Nõ contradi¸õ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a ca . . . . . 21
2.2.2 Terceiro exclu´ ıdo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Proposi¸˜es do tipo “se A, entõ B” . . . . . . . . . . .
co a . . . . . 21
2.4 A rec´ıproca de uma proposi¸õ . . . . . . . . . . . . . .
ca . . . . . 22
2.5 Proposi¸˜es do tipo “A se, e somente se B” . . . . . . .
co . . . . . 22
2.6 Nega¸õ de uma Proposi¸õ . . . . . . . . . . . . . . . .
ca ca . . . . . 23
2.6.1 Nega¸õ de conectivos . . . . . . . . . . . . . . .
ca . . . . . 23
2.7 Exerc´ ıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.8 Tipos de Demonstra¸˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . .
co . . . . . 24
2.8.1 Demonstra¸õ direta . . . . . . . . . . . . . . . .
ca . . . . . 24
2.8.2 Demonstra¸õ por meio de argumentos l´gicos .
ca o . . . . . 25
2.8.3 Demonstra¸õ por contradi¸õ (ou por absurdo)
ca ca . . . . . 26
2.9 Nomenclatura para proposi¸˜es . . . . . . . . . . . . . .
co . . . . . 27
2.10 Exerc´ıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.11 Exerc´ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Sugest˜es e Respostas
o 32

Apˆndice
e 33

3

´
SUMARIO 4

A C´lculo de inversa de matrizes
a 34
A.1 Via sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
A.2 Via matriz dos cofatores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

B M´todo para resolu¸˜o de sistemas lineares
e ca 37

C Equa¸˜es alg´bricas
co e 39

Referˆncias Bibliogr´ﬁcas
e a 40
´
Indice Remissivo 41

´
SUMARIO 5

“Nõ se preocupem com as dificuldades em matem´tica, as minhas sõ muito maiores”
a a a
Albert Einstein

Prefćio
a

Esta apostila foi elabora para a utiliza¸õ no curso ”Reda¸õ em matem´tica”,
ca ca a
ministrado no CDCC (Centro de Divulga¸õ Cient´
ca ıfica e Cultural) da USP em
Sõ Carlos. Pode servir como material de apoio para alunos do Ensino M´dio, e
a e
tem como principal objetivo auxiliar no aprendizado da escrita em matem´tica. a
A apostila est´ dividida de acordo com a ordem do curso: no Cap´
a ıtulo 1,
tratamos da formaliza¸õ do texto, caracterizando a disserta¸õ em matem´tica
ca ca a
de forma simplificada e pr´tica, trabalhando com exemplos de exerc´
a ıcios de
vestibulares de forma progressiva, conforme a ordem: introdu¸õ, desenvolvi-
ca
mento e conclusõ. Demos ainda algumas orienta¸˜es de como redigir um bom
a co
texto, mostrando algumas coisas que devemos evitar numa reda¸õ. No Cap´
ca ıtulo
2, trabalhamos com a l´gica matem´tica, assunto absolutamente importante no
o a
ensino de matem´tica, mas alertamos, que este assunto foi tratado com bas-
a
tante simplicidade, deixando um pouco de lado o rigor dos bons livros de l´gica,
o
tentando passar apenas algumas idías elementares. Ainda nesses cap´
e ıtulo, trou-
xemos alguns exerc´ ıcios resolvidos e propostos. Deixamos algumas sugest˜es de
o
como resolvˆ-los no final desta apostila.
e
Alguns assuntos, talvez pouco explorados no Ensimo M´dio, foram acrescen-
e
tados como apˆndice, pois acreditamos que serõ de grande valia ao leitor em
e a
sua base Matem´tica para empliar a compreensõ e a reda¸õ de textos da ´rea.
a a ca a
Gostaria de agradecer ao apoio dado pela Profa. Dra. Edna Maura Zuffi na
coordena¸õ deste projeto, ao apoio de Jonas Eduardo Carraschi pela colabora-
ca
¸õ na ministra¸õ do minicurso e a todos os participantes do mesmo.
ca ca

Leandro Augusto Ferreira
Sõ Carlos, 28 de Julho de 2008.
a

6

Cap´
ıtulo 1

Formaliza¸õ do texto
ca

Para redigir um bom texto, ´ necess´rio estimular o racioc´
e a ınio, a capacidade
de an´lise e s´
a ´
ıntese. E preciso desenvolver um pensamento ordenado, revestido
por um vocabul´rio expressivo, revelando assim, um repert´rio preciso e comu-
a o
nicativo.
Em matem´tica nõ ´ diferente: temos as mesmas necessidades quando de-
a a e
sejamos redigir um bom texto, seja ele na resolu¸õ de um exerc´ ou na de-
ca ıcio
monstra¸õ de uma proposi¸õ.
ca ca
Daremos aqui alguns conceitos necess´rios para uma boa escrita. Nossos tex-
a
tos serõ todos dissertativos, por isso estudaremos como fazer uma disserta¸õ.
a ca

1.1 Disserta¸õ
ca
Dissertar ´ desenvolver uma idía, uma opiniõ, um conceito ou tese sobre
e e a
um determinado assunto. Como outras formas de reda¸õ, a disserta¸õ se apía
ca ca o
em alguns elementos: introdu¸õ, desenvolvimento e conlusõ.
ca a
A introdu¸õ deve apresentar, de maneira clara, o assunto que ser´ tratado
ca a
e delimitar as quest˜es referentes a ele que serõ abordadas. Neste momento
o a
pode-se formular uma tese, que dever´ ser discutida e provada no texto, propor
a
uma pergunta, cuja resposta dever´ constar no desenvolvimento e explicitada na
a
conclusõ.
a
O desenvolvimento ´ a parte do texto em que as idías, pontos de vista, con-
e e
ceitos, informa¸˜es de que se disp˜e serõ desenvolvidas, desenroladas e avaliadas
co o a
progressivamente.
A conclusõ ´ o momento final do texto, e dever´ apresentar um resumo forte
a e a
de tudo o que j´ foi dito, expondo uma avalia¸õ final do assunto discutido.
a ca

1.2 Disserta¸õ em matem´tica
ca a
Quando resolvemos um exerc´ ıcio ou um problema de matem´tica, por e-
a
xemplo, estamos tamb´m dissertando; estamos convencedo o leitor de que nosso
e
racioc´
ınio est´ correto. De forma an´loga, vamos estabelecer os conceitos de
a a
introdu¸õ, desenvolvimento e conclusõ, vistos na se¸õ anterior.
ca a ca
A introdu¸õ deve apresentar as vari´veis utilizadas no texto, bem como a
ca a
´
que conjuntos pertencem e o que representam no problema. E claro que exis-

7

CAP´ ¸˜
ITULO 1. FORMALIZACAO DO TEXTO 8

tem v´rias formas de fazer uma introdu¸õ: veremos basicamente duas formas,
a ca
posteriormente.
O desenvolvimento ´ a parte do texto em que as idías devem ser trabalhadas
e e
atrav´s da l´gica, dos dados do problema e da simbologia matem´tica. Esta ´
e o a e
a parte mais complexa do texto matem´tico, por isso nõ exibiremos aqui um
a a
m´todo e, sim, resolveremos alguns problemas e comentaremos alguns t´picos
e o
mais relevantes.
A conclusõ ´ parte mais simples, finalizamos o texto explicitando a resposta
a e
do problema, ou o que quer´
ıamos provar numa demonstra¸õ de uma proposi¸õ.
ca ca
Daqui por diante, quando mencionarmos a palavra disserta¸õ, estamos na
ca
verdade nos referindo a disserta¸õ em matem´tica.
ca a

1.3 Simbologia
Muita gente se pergunta: ”Por que devemos utilizar os s´ ımbolos quando
redigimos um texto matem´tico?”. A resposta para esta pergunta ´ bastante
a e
simples, utilizamos s´
ımbolos para escrever um texto de uma forma mais compacta
e concentramos nossos esfor¸os nos racioc´
c ınios, mais do que nas palavras em si.
Tome cuidado com o exagero em sua utiliza¸õ, pois os textos em geral ficam
ca
carregados com o uso excessivo da simbologia, e nesse caso ficarõ cansativos de
a
serem lidos.
Vejamos agora alguns dos principais s´ ımbolos matem´ticos:
a

• N: N´meros naturais.
u

• Z: N´meros inteiros.
u

• Q: N´meros racionais.
u

• I ou R-Q: N´meros irracionais.
u

• R: N´meros reais.
u

• C: N´meros Complexos.
u

• ∈ : Pertence

• ⊂: Contido

• ⊃: Cont´m
e

• ⇒: Implica

• ∴ : Portanto

• ∃ : Existe

• ∀ : Para todo, ou ”para qualquer”.

Caso vocˆ nõ conhe¸a o emprego correto destes s´
e a c ımbolos, nõ tente sim-
a
plesmente memoriz´-los, eles aparecem natulmente no estudo da matem´tica do
a a
ensino fundamental e m´dio, e alguns deles serõ comentados no cap´
e a ıtulo 2:
L´gica matem´tica.
o a

CAP´ ¸˜

1.4 Estrutura dissertativa
Assim como existem muitas maneiras de escrever um texto, uma introdu¸õ,
ca
o mesmo ocorre para o desenvolvimento e a conclusõ. Na verdade mostraremos
a
as maneiras mais comuns, na matem´tica, para tratar da resolu¸õ de exerc´
a ca ıcios
e problemas.

1.4.1 Introdu¸õ
ca
Como foi dito anteriormente, devemos exibir as vari´veis do problema: para
a
isto, uma maneira batante simples ´ nomear as vari´veis colocando dois pontos
e a
(:) na frente delas e explicando o que representam. Esta forma nõ ´ nada rigo-
a e
rosa, pois nõ dizemos, necessariamente, a que conjunto pertencem as vari´veis,
a a
por exemplo, mas para exerc´ ıcios de sistemas lineares, ´ uma forma bastante
e
pr´tica, pois j´ sabemos, pelo contexto do problema, a que conjunto as vari´veis
a a a
pertencem.
Vejamos o exemplo abaixo, que mostra a utiliza¸õ deste formato de in-
ca
trodu¸õ.
ca
˜
Exemplo 1.4.1 Joao entrou na lanchonete BOG e pediu 3 hambur- ´
gueres, 1 suco de laranja e 2 cocadas, gastando R$21,50. Na mesa ao
´
lado,algumas pessoas pediram 8 hamburgueres, 3 sucos de laranja
e 5 cocadas, gastando R$ 57,00. Sabendo-se que o preco de um
¸
´
hamburguer, mais o de um suco de laranja, mais o de uma cocada
totaliza R$ 10,00, calcule o preco de cada um desses itens.
¸

A introdu¸õ ser´ feita da seguinte maneira:
ca a

x: quantitade de hamburgueres

y: quantitade de sucos de laranja

z: quantitade de cocadas

No texto fica bem claro que x,y,z ∈ N, (x, y e z sõ n´meros naturais), por
a u
isso foi omitido na introdu¸õ, mas em textos mais rigorosos, existe a necessidade
ca
desta informa¸õ, por isso adotaremos, sempre, uma maneira mais rigorosa para
ca
fazer uma introdu¸õ.
ca
Uma outra forma de fazer a introdu¸õ, seria utilizando a palavra ”seja”,
ca
para dizer quem sõ as vari´veis do problema, logo em seguida a que conjuntos
a a
elas pertencem e o que representam no problema. Veja o exemplo abaixo:

Exemplo 1.4.2 Ainda no problema do exemplo 1.4.1, a introdu¸õ poder´ ser
ca a
feita da seguinte maneira:

Sejam x, y, z ∈ N, que representam respectivamente, quantidade de hambur-
gueres, de sucos de laranja e cocadas.

CAP´ ¸˜

Este formato ´ muito mais formal e completo, como j´ foi dito, mas caso o
e a
leitor nõ se sentiu muito ` vontade em utiliz´-lo, daremos a seguir mais um
a a a
exemplo de sua utiliza¸õ.
ca

Exemplo 1.4.3 Como resultado de uma pesquisa sobre a relacao en-¸˜
tre o comprimento do pe de uma pessoa, em cent´
´ ´
ımetros, e o numero
´
(tamanho) do calcado brasileiro, Carla obteve uma formula que
¸
´ ´ ´
da, em media, o numero inteiro n (tamanho do calcado) em funcao
¸ ¸˜
´ ´
do comprimento c, do pe, em cm. Pela formula, tem-se n = [x], onde
5
x = 4 c + 7 e [x] indica o menor inteiro maior ou igual a x. Por exem-
˜
plo, se c = 9 cm, entao x = 18, 25 e n = [18, 25] = 19. Com base nessa
´
formula,

´ ´
a) determine o numero do calcado correspondente a um pe cujo
¸
´
comprimento e 22 cm.
´ ´ ˜
b) se o comprimento do pe de uma pessoa e c = 24 cm, entao ela
calca 37. Se c > 24 cm, essa pessoa calca 38 ou mais. Determine
¸ ¸
o maior comprimento poss´ ´
ıvel, em cm, que pode ter o pe de uma
pessoa que calca 38.
¸

Sejam x ∈ R∗ e n ∈ N, como no enunciado.
+

Desta vez, de uma forma mais resumida, dizemos simplesmente que as vari´veis
a
sõ da mesma forma como no enunciado, j´ que no problema estava bem explicito
a a
o que x e c representavam.

1.4.2 Desenvolvimento
Chegamos, agora, na parte mais trabalhosa da disserta¸õ e o mais impor-
ca
tante ´ tentar escrever seu texto numa forma l´gica sequencial, caso contr´rio,
e o a
tornaremos a leitura do exerc´ uma verdadeira ca¸a ao tesouro.
ıcio c

Prosseguiremos na resolu¸õ dos exemplos vistos no t´pido introdu¸õ.
ca o ca

Exemplo 1.4.4 Pelo exemplo 1.4.1, t´
ınhamos conclu´ que:
ıdo

x: quantitade de hamburgueres

y: quantitade de sucos de laranja

z: quantitade de cocadas

Entõ,
a do enunciado, temos o seguinte sistema linear:

 3x + y + 2z = 21, 50
8x + 3y + 5z = 57

x + y + z = 10

CAP´ ¸˜

Pela regra de Crammer, temos:

21, 5 1 2
57 3 5
10 1 1 4
x= = = 4,
3 1 2 1
8 3 5
1 1 1
3 21, 5 2 3 1 21, 5
8 57 5 8 3 57
1 10 1 2, 5 1 1 10 3, 5
y= = = 2, 5 e z = = = 3, 5
3 1 2 1 3 1 2 1
8 3 5 8 3 5
1 1 1 1 1 1

Faremos algumas observa¸˜es sobre o texto acima:
co

1. Utilizamos poucos s´
ımbolos na resolu¸õ.
ca

2. Escrevemos o texto de forma objetiva, omitimos alguns c´lculos.
a
Ex: Nõ escrevemos passo a passo os c´lculos dos determinantes.
a a

3. Citamos a Regra de Crammer, pois a utilizamos na resolu¸õ.
ca

Faremos a resolu¸õ de outro exemplo iniciado no t´pico introdu¸õ.
ca o ca

Exemplo 1.4.5 Pelo exemplo 1.4.3, temos:

a) Pela f´rmula dada, temos:
o
5
x= · 22 + 7 ⇒ x = 34, 5
4
∴ n = 35

b) Podemos escrever a desigualdade:
5
37 ≤ · c + 7 ≤ 38
4
Resolvendo, temos:
5
30 ≤
· c ≤ 31
4
4 4
24 = 30 · ≤ c ≤ 31 · = 24, 8
5 5
Portanto, c = 24, 8.

Faremos algumas observa¸˜es sobre o texto acima:
co

1. Utilizamos alguns s´
ımbolos na resolu¸õ.
ca

CAP´ ¸˜

2. Escrevemos o texto de forma objetiva e omitimos alguns c´lculos.
a
Ex: Nõ escrevemos passo a passo os c´lculos nas desigualdades.
a a

3. Em x = 5 ·22+7 ⇒ x = 34, 5 , poder´
4 ıamos ter escrito x = 5 ·22+7 = 34, 5,
4
sem a utiliza¸õ do s´
ca ımbolo de implica¸õ (⇒). Note que os s´
ca ımbolos “⇒”
e “=” nõ sõ usados com as mesmos significados, em geral. Pense por
a a
quˆ.
e

1.4.3 Conclusõ
a
Como j´ dissemos anteriormente, esta ´ parte mais simples do texto, uma
a e
vez que a resolu¸õ esteja feita, de forma clara, devemos destacar, no caso de
ca
um exerc´ ou problemas a sua resposta, ou, no caso de uma demonstra¸õ, o
ıcio ca
que quer´
ıamos demonstrar.
´
E importante sempre indicar as unidades de medida da vari´vel utilizada.
a
Vejamos, agora, alguns exemplos mostrando como devemos proceder.

Logo o pre¸o do hamburguer ´ R$ 4,00, o do suco de laranja ´ R$ 2,50 e o
c e e
da cocaca ´ R$ 3,50.
e


a) Portanto o n´mero do cal¸ado ser´ 35.
u c a

b) Portanto, o maior tamanho de p´ ser´ 24, 8 cm.
e a

Nas provas de vestibular, em geral, devemos ainda explicitar, no final da
resolu¸õ, todas as respostas de cada item de forma resumida. Vejamos como
ca
ficariam os exemplos anteriores com este formato.

Logo o pre¸o do hamburguer ´ R$ 4,00, o do suco de laranja ´ R$ 2,50 e o da
c e e
cocaca ´ R$ 3,50.
e

Respostas: R$4,00, R$2,50 e R$3, 50


a) Portanto o n´mero do cal¸ado ser´ 35.
u c a

b) Portanto o maior tamanho de p´ ser´ 24, 8 cm.
e a

Respostas:

a) 35

b) 24,8 cm

CAP´ ¸˜

1.5 Modelos de disserta¸õ
ca
Trataremos, aqui, do tipo de disserta¸õ que interessa ao aluno do Ensino
ca
M´dio. Em especial, daremos nesta se¸õ uma contextualiza¸õ para a formali-
e ca ca
za¸õ do texto.
ca

1.5.1 A disserta¸õ escolar
ca
O aluno de Ensino M´dio, principalmente o vestibulando, depara-se com uma
e
grande dificuldade de elaborar textos matem´ticos. A expressõ das idías ´ algo
a a e e
a ser conquistado, e em geral, o aluno precisa adquirir uma certa maturidade para
expressar suas idías de forma tõ precisa.
e a

Apesar de tratarmos aqui de alguns aspectos da cria¸õ de textos, sabemos
ca
o esfor¸o que o aluno ter´ para aprender a escrever uma disserta¸õ, ao longo de
c a ca
toda a sua forma¸õ escolar
ca

1.5.2 “Receita” para um texto dissertativo
Considerando toda a formaliza¸õ apresentada at´ aqui, observe a s´
ca e ıntese das
principais idías de como elaborar um texto dissertativo.
e

• Como come¸ar?
c
Leia atentamente e interprete o enunciado.

• Como elaborar?
Comece dizendo quais sõ as vari´veis do problema, bem como a qual
a a
conjunto elas pertencem.

• Como argumentar?
Seja claro e siga uma sequencia l´gica no desenvolvimento, utilizando de
o
forma moderada a simbologia matem´tica.
a

• Como concluir?
Para concluir, interprete o rac´
ıocinio desenvolvido e escreva a resposta.

Etapas para elaborar uma disserta¸õ
ca
1. Ler atentamente o tema e refletir sobre o assunto.

2. Fazer um esbo¸o do encadeamento das idías.
c e

3. Ler o texto, submetendo-o a uma avalia¸õ cr´
ca ıtica.

4. Pass´-lo a limpo.
a

Orienta¸õ para elaborar uma disserta¸õ
ca ca
• Seu texto deve apresentar introdu¸õ, desenvolvimento e conclusõ.
ca a

• Redija na 3o pessoa do singular ou do plural, ou ainda na 1o pessoa do
plural. Por exemplo:

CAP´ ¸˜

◦ Sejam a, b, c vari´veis . . .
a
◦ Sabemos que a2 = b2 + c2 . . .
◦ Tome f (x) = x2 . . .
◦ Desta forma obtemos o polinˆmio p(x) = x2 − 1 . . .
o

• Se nõ souber resolver o exerc´
a ıcio, nõ tente inventar teorias matem´ticas
a a
para aparentar resolvˆ-lo.
e

• Nõ construa frases embromat´rias. Verifique se as palavras e s´
a o ımbolos
empregados sõ fundamentais e informativos.
a

• Nõ utilize s´
a ımbolos em demasia; isso pode tornar seu texto enfadonho.

• Observe se h´ repeti¸õ de idías, falta de clareza e constru¸˜es sem nexo.
a ca e co

• Verifique se os argumentos utilizados sõ convincentes.
a

• Tente citar os nomes dos principais teoremas e resultados da teoria que
est´ utilizando, isso enriquece o texto, mas cuidado para nõ utiliz´-los
a a a
erroneamente.

• Nõ utilize abrevia¸˜es das palavras usuais sa L´
a co ıngua Portuguesa: vocˆ
e
corre o risco do leitor nõ enterder o que quer dizer.
a

1.5.3 Exemplos de textos dissertativos - Exerc´
ıcios de vestibular
Exerc´ ıcio 1.5.1 Em uma determinada residˆncia, o consumo mensal de ´gua
e a
com descarga de banheiro corresponde a 33% do consumo total e com higiene
pessoal, 25% do total. No mˆs de novembro foram consumidos 25 000 litros de
e
´gua no total e, da quantidade usada pela residˆncia nesse mˆs para descarga de
a e e
banheiro e higiene pessoal, uma adolescente, residente na casa, consumiu 40%.
Determine a quantidade de ´gua, em litros, consumida pela adolescente no mˆs
a e
de novembro com esses dois itens: descarga de banheiro e higiene pessoal.

Resolu¸õ: Sejam Qd , Qh e Qa , respectivamente, as quantidades de descarga
ca
de banheiro, higiene pessoal e total de ´gua consumida, por essa adolescente.
a
Temos:

Qd = 25% · 25000 = 6250
Qh = 33% · 25000 = 8250
Logo, Qa = (40% · Qd ) + (40% · Qh ) = (40% · 6250) + (40% · 8250) =

= 2500 + 3300 = 5800

Portanto a adolescente gastou 2500 litros com descarga, 3300 litros com
higiene pessoal, somando no total 5800 litros.

Resposta: 2500 litros, 3300 litros e 5800 litros

CAP´ ¸˜

Exerc´ ıcio 1.5.2 Uma empresa pretende, no ano de 2006, reduzir em 5% a
produ¸õ de CO2 com a queima de combust´ de sua frota de carros, diminuindo
ca ıvel
a quantidade de quilˆmetros a serem rodados no ano. O total de quilˆmetros ro-
o o
dados pelos carros dessa empresa em 2005 foi de 199 200 km. Cada carro faz
em m´dia 12 km por litro de gasolina, e a queima de cada 415 litros desse com-
e
bust´ pelos carros da empresa produz aproximadamente uma tonelada de CO2 .
ıvel
Mantidas as mesmas condi¸˜es para os carros, em termos de consumo e queima
co
de combust´ ıvel, determine quantas toneladas a menos de CO2 os carros da em-
presa deixariam de emitir em 2006, relativamente ao ano de 2005.

Resolu¸õ: Sejam Ql e Qt , respectivamente, a quantidade de combust´
ca ıvel,
em litros, em 2005, e a quantidade, em toneladas, de CO2 produzida pela queima
desse combust´ ıvel, entõ:
a
199200
Ql = = 16600
12
16600
Qt = = 40
415
Portanto os carros deixariam de emitir 5% de 40t, que ´ igual a 2t.
e

Resposta: 2t (ou 2 toneladas)

Exerc´ ıcio 1.5.3 Seja x o n´mero de anos decorridos a partir de 1960 (x = 0).
u
A fun¸õ y = f (x) = x+320 fornece, aproximadamente, a m´dia de concentra¸õ
ca e ca
de CO2 na atmosfera em ppm (partes por milhõ) em fun¸õ de x. A m´dia de
a ca e
varia¸õ do n´
ca ıvel do mar, em cm, em fun¸ao de x, ´ dada aproximadamente
c˜ e
pela fun¸õ g(x) = x . Seja h a fun¸õ que fornece a m´dia de varia¸õ do
ca 5 ca e ca
n´ do mar em fun¸õ da concentra¸õ de CO2 . No diagrama seguinte estõ
ıvel ca ca a
representadas as fun¸˜es f , g e h.
co
g
T / MV
<
h zzzz
f
zz
zz
C

T : tempo (anos)
M V : M´dia da varia¸õ do n´ do mar(cm)
e ca ıvel
C: Concentra¸õ de CO2 (ppm)
ca

Determine a expressõ de h em fun¸õ de y e calcule quantos cent´
a ca ımetros o
n´ do mar ter´ aumentado quando a concentra¸õ de CO2 na atmosfera for
ıvel a ca
de 400 ppm.

Resolu¸õ: Sejam f , g e h, como no enunciado,
ca
e seja ainda p : R −→ R, tal que, y → p(y).
Sabemos que:
y = f (x) = x + 320, entõ x = y − 320. Tome p(y) = y − 320, logo
a
1
h(y) = g ◦ p(y) =⇒ h(y) = · (y − 320)
5

CAP´ ¸˜

400 − 320
Entõ: h(400) =
a
5
O n´ do mar ter´ subido 16cm.
ıvel a

1
Resposta: h(y) = 5 · (y − 320) e 16 cm

Exerc´
ıcio 1.5.4 Considere a matriz
 
x 1 x
A= 0 x 1− x
2

2 0 x

O determinante de A ´ um polinˆmio p(x).
e o

a) Verifique se 2 ´ uma raiz de p(x).
e

b) Determine todas as ra´
ızes de p(x).

Resolu¸ao:
c˜

a) Seja A como no enunciado, como o determinante de A ´ p(x), entõ
e a
p(x) = x3 − 2x2 − x + 2.
Logo
p(2) = 8 − 8 − 2 + 2 = 0
Portanto 2 ´ raiz de p(x).
e

b) Pelo item a, 2 ´ raiz de p(x)
e
Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini, temos:

2 1 -2 -1 2
1 0 -1 0

Desta forma obtemos o polinˆmio p(x) = x2 − 1, cujo as ra´
o ızes sõ: ±1.
a

Entõ S = {−1, 1, 2}
a

Respostas:

a) 2 ´ raiz de p(x)
e

b) -1,1 e 2.

Exerc´ ıcio 1.5.5 Um polinˆmio de grau 3 possui trˆs ra´
o e ızes reais que, colocadas
em ordem crescente, formam uma progressõ aritm´tica em que a soma dos
a e
termos ´ igual a 9 . A diferen¸a entre o quadrado da maior raiz e o quadrado
e 5 c
da menor raiz ´ 24 . Sabendo-se que o coeficiente do termo de maior grau do
e 5
polinˆmio ´ 5, determine
o e

a) a progressõ aritm´tica.
a e

b) o coeficiente do termo de grau 1 desse polinˆmio.
o

CAP´ ¸˜

Resolu¸ao:
c˜

a) Sejam a − r, a e a + r as trˆs ra´
e ızes em progressõ aritm´tica com r 0,
a e
temos, pelo enunciado:

9
 a = 3

a−r + a + a+r = 5 5
24 =⇒
(a + r)2 − (a − r)2 = 5 

r = 2
Logo a progressõ aritm´tica ser´:
a e a
7 3 13
− , e
5 5 5

b) Pelo enunciado, temos P (x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + 5. Pelas rela¸oes de
c˜
Girard, temos:

a2 7 3 7 13 3 13 73
= − · + − · + · =−
5 5 5 5 5 5 5 5

Respostas:

a) − 7 , 3 e
5 5
13
5

b) − 73
5

Exerc´ıcio 1.5.6 Em uma progressõ aritm´tica a1 , a2 , . . . , an . . . a soma dos n
a e
primeiros termos ´ dada por Sn = bn
e 2 + n sendo b um n´mero real. Sabendo-se
u
que a3 = 7 , determine

a) o valor de b e a razõ da progressõ aritm´tica.
a a e

b) o 20o termo da progressõ.
a

c) a soma dos 20 primeiros termos da progressõ.
a

Resolu¸ao:
c˜

a) Admitindo que Sn = bn2 + n ´ v´lida, entõ:
e a a
6
7 = a3 = S3 − S2 = b22 + 2 − b32 − 3 = 5b + 1 =⇒ b =
5
6 23
a2 = S2 − S1 = 3b + 1 = 3 · +1=
5 5
Portanto a razõ ser´:
a a
23 12
r = a3 − a2 = 7 − =
5 5

b) Temos que
6 239
a20 = S20 − S19 = b202 + 20 − b192 − 19 = 39b + 1 = 39 · =
5 5

CAP´ ¸˜

c) Utilizando a express˜o fornecida pelo enunciado, temos:
a

S20 = b202 + 20 = 500

Respostas:
6 12
a) b = er=
5 5
239
b) a20 =
5
c) S20 = 500

CAP´ ¸˜

1.6 Exerc´
ıcios propostos
1. Sejam a e b n´meros inteiros e seja N(a, b) a soma do quadrado da diferen¸a
u c
entre a e b com o dobro do produto de a por b.

a) Calcule N(3, 9).
b) Calcule N(a, 3a) e diga qual ´ o algarismo final de N(a, 3a) para
e
qualquer a ∈ Z.

2. Em Matem´tica, um n´mero natural a ´ chamado pal´
a u e ındromo se seus al-
garismos, escritos em ordem inversa, produzem o mesmo n´mero. Por
u
exemplo, 8, 22 e 373 sõ pal´
a ındromos. Pergunta-se:

a) Quantos n´meros naturais pal´
u ındromos existem entre 1 e 9 999?
b) Escolhendo-se ao acaso um n´mero natural entre 1 e 9 999, qual ´ a
u e
probabilidade de que esse n´mero seja pal´
u ındromo? Tal probabilidade
´ maior ou menor que 2%? Justifique sua resposta.
e

3. Se Am´lia der R$ 3,00 a Lćia, entõ ambas ficarõ com a mesma quantia.
e u a a
Se Maria der um ter¸o do que tem a Lćia, entõ esta ficar´ com R$ 6,00
c u a a
a mais do que Am´lia. Se Am´lia perder a metade do que tem, ficar´ com
e e a
uma quantia igual a um ter¸o do que possui Maria. Quanto possui cada
c
uma das meninas Am´lia, Lćia e Maria?
e u

4. Sejam a e b dois n´meros inteiros positivos tais que mdc(a, b) = 5 e o
u
mmc(a, b) = 105.

a) Qual ´ o valor de b se a = 35?
e
b) Encontre todos os valores poss´
ıveis para (a, b).

5. Dada a equa¸õ polinomial com coeficientes reais
ca

x3 − 5x2 + 9x − a = 0

a) Encontre o valor num´rico de a de modo que o n´mero complexo 2 + i
e u
seja uma das ra´
ızes da referida equa¸ao.
c˜
b) Para o valor de a, encontrado no item anterior, determine as outras
duas ra´
ızes da mesma equa¸õ.
ca

Cap´
ıtulo 2

L´gica matem´tica
o a

O objetivo deste cap´
ıtulo ´ mostrar a importˆncia da l´gica matem´tica tanto
e a o a
na demonstra¸õ de teoremas quanto na leitura de enunciados e produ¸˜es de
ca co
textos.

2.1 Defini¸oes gerais
c˜
Defini¸õ 2.1.1 Uma proposi¸õ ´ todo o conjunto de palavras ou s´
ca ca e ımbolos
que exprimem um pensamento de sentido completo.

Exemplo 2.1.1 Vejamos agora alguns exemplos de proposi¸˜es.
co

a) A Lua ´ um Sat´lite da Terra.
e e

b) Recife ´ a Capital de Pernambuco.
e

c) 5 ´ a raiz quadrada de 25.
e

d) 9 = 2 · 4 + 1

Defini¸õ 2.1.2 Chamam-se conectivos palavras que se usam para formar no-
ca
vas proposi¸˜es a partir de outras.
co

Estudaremos apenas os conectivos:

a) e

b) ou

c) Nõ
a

d) Se, entõ
a

e) Se, e somente se

Pois sõ os mais utilizados em l´gica matem´tica.
a o a

Exemplo 2.1.2 Vejamos alguns exemplos de proposi¸˜es formadas por outra
co
proposi¸˜es utilizando os conectivos listados acima.
co

20

CAP´ ´ ´
ITULO 2. LOGICA MATEMATICA 21

a) O n´mero 6 ´ par e o n´mero 8 ´ cubo perfeito.
u e u e

b) O triˆngulo ABC ´ retˆngulo ou ´ is´sceles.
a e a e o

c) Nõ est´ chovendo.
a a

d) Se Jorge ´ Policial, entõ ele tem arma.
e a

e) O triˆngulo ABC ´ eqïl´tero se, e somente se ´ eqïˆngulo.
a e u a e ua

2.2 Princ´
ıpios da l´gica matem´tica
o a
Enunciaremos aqui os dois prnc´
ıpios da l´gica matem´tica.
o a

2.2.1 Nõ contradi¸õ
a ca
Uma proposi¸õ nõ pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
ca a

2.2.2 Terceiro exclu´
ıdo
Toda proposi¸õ ou ´ verdadeira ou ´ falsa, isto ´, verifica-se sempre um
ca e e e
destes casos e nunca um terceiro.

2.3 Proposi¸oes do tipo “se A, entõ B”
c˜ a
Encontra-se com freq¨ˆncia um tipo de proposi¸õ importante em Matem´tica:
ue ca a
as proposi¸˜es da forma se A, entõ B, onde, A e B sõ proposi¸˜es. Note que
co a a co
formamos esta proposi¸õ utilizando o conectivo Se, entõ, mostrado anterior-
ca a
mente. Esta comumente chamada de “implica¸õ l´gica”.
ca o

Exemplo 2.3.1 Os exemplos a seguir serõ utilizados em todo cap´
a ıtulo.
¸˜
Proposicao 2.3.1 Se m e n sõ inteiros pares, entõ o produto ´ um inteiro
a a e
par.

¸˜ ımpar, entõ m = 2k 2 + 1 , para algum
Proposicao 2.3.2 Se m ´ inteiro ´
e a
n´mero inteiro k.
u

Na proposi¸õ 2.3.1, A ´ a proposi¸õ ”m e n sõ inteiros pares”, e B ´ a
ca e ca a e
proposi¸õ ”produto m · n ´ um inteiro par”.
ca e

Na proposi¸õ 2.3.2, A ´ a senten¸a ”m ´ inteiro ´
ca e c e ımpar”, e B ´ a senten¸a
e c
”m = 2k 2 + 1, para algum n´ mero inteiro k.”
u

A partir de agora, chamaremos A de hip´tese e B de Tese.
o

Analisando as proposi¸˜es acima, o leitor pode se perguntar: ”As proposi¸˜es
co co
acima sempre sõ verdadeiras?”, ou ainda: ”Proposi¸˜es do tipo se A, entõ B sõ
a co a a
sempre verdadeiras?”. A resposta para essas perguntas ´ nõ, vejamos quando
e a
uma proposi¸õ deste tipo ´ verdadeira.
ca e

CAP´ ´ ´

Uma proposi¸õ ”Se A, entõ B”´ verdadeira quando em todas
ca a e
as situa¸˜es nas quais a hip´tese seja verdadeira
co o
a tese tamb´m seja verdadeira.
e

Entõ podemos concluir que uma proposi¸õ ”Se A, entõ B”´ falsa quando
a ca a e
em pelo menos uma situa¸õ a hip´tese seja verdadeira a tese seja falsa. Neste
ca o
caso, dizemos que a proposi¸õ possui um contra-exemplo, ou seja, um exemplo
ca
que mostra que a proposi¸õ ´ falsa.
ca e
Vejamos, abaixo, um contra-exemplo para a proposi¸õ 2.
ca

e ımpar e 5 = 2k 2 +1,
Exemplo 2.3.2 Tome o inteiro 5, sabemos que o mesmo ´ ´
para qualquer que seja k. (Experimente!)

Cuidado: Enquanto um s´ contra-exemplo permite concluir
o
que uma proposi¸õ ´ falsa,
ca e
nõ basta exibir exemplos para
a
mostrar que uma proposi¸õ seja verdadeira.
ca

Mais adiante veremos como mostrar quando uma proposi¸õ ´ verdadeira,
ca e
mas vejamos primeiro como podemos reformular uma proposi¸õ deste tipo.
ca
• A implica B.

• A =⇒ B.

• Se A for verdadeira, entõ B ser´ verdadeira.
a a

• A ´ uma condi¸õ suficiente para B
e ca

• B ´ uma condi¸õ necess´ria para A.
e ca a

2.4 A rec´
ıproca de uma proposi¸õ
ca
Considere uma proposi¸õ do tipo “Se A‘, entõ B”, a proposi¸õ “Se B,
ca a ca
entõ A” ´ dita ser a rec´
a e ıproca da proposi¸õ inicial.
ca

Exemplo 2.4.1

Se a proposi¸õ ´ verdadeira nõ significa que a rec´
ca e a ıproca seja verdadeira e
vice-versa, por isso estudaremos o caso quando ambas sõ verdadeiras.
a

2.5 Proposi¸oes do tipo “A se, e somente se B”
c˜
Como foi dito anteriormente, se tivermos que uma proposi¸õ e sua rec´
ca ıproca
sejam ambas verdadeiras, entõ teremos uma proposi¸õ “A se, e somente se B”.
a ca
De forma an´loga, mostraremos as formas equivalentes de enunciar este tipo
a
de proposi¸õ.
ca

• A implica B e reciprocamente

CAP´ ´ ´

• A ⇐⇒ B

• A ´ verdadeira se, e somente se, B for verdadeira
e

• A ´ uma condi¸õ necess´ria e suficiente para B
e ca a

• A e B sõ equivalentes.
a

Uma proposi¸õ “A se, e somente se B” ´ verdadeira
ca e
quando “Se A, entõ B” e “Se B, entõ A” sõ verdadeiras..
a a a

Observa¸õ: Se tivermos, por exemplo, duas defini¸˜es equivalentes, entõ
ca co a
deveremos mostrar que a primeira implica na segunda e a segunda na primeira.

2.6 Nega¸õ de uma Proposi¸õ
ca ca
Ser´ de extrema importˆncia o conceito de nega¸õ de uma proposi¸õ, nõ
a a ca ca a
que isso ir´ de fato mudar sua vida, mas geralmente muitos alunos cometem erros
a
quando tentam negar proposi¸˜es. Denotaremos a nega¸õ de uma proposi¸õ
co ca ca
P por nõ P , ou simplesmente por ∼ P .
a

Exemplo 2.6.1 ”Rodrigo nõ ´ cantor.” ´ a nega¸õ da proposi¸õ ”Rodrigo ´
a e e ca ca e
cantor.”

2.6.1 Nega¸õ de conectivos
ca
Quando negamos uma proposi¸õ nossa intui¸õ falha quando tentamos negar
ca ca
conectivos. Vejamos como fazer isso.

1. Nõ “e” = “ou”
a

2. Nõ “ou” = “e”
a

3. Nõ “Para todo” = “Existe”
a

4. “Nõ Existe” = “Para todo”
a

Vejamos alguns exemplo de nega¸˜es de proposi¸˜es
co co

Exemplo 2.6.2 Vamos negar as proposi¸˜es abaixo:
co
a) Eu tenho um carro.

b) Renato ´ aluno e mecˆnico.
e a

c) Para toda tampa existe uma panela.
Entõ a nega¸õ ser´:
a ca a
a) Eu nõ tenho um carro.
a

b) Renato nõ ´ aluno ou mecˆnico.
a e a

c) Existe uma panela que Nõ tem tampa.
a

CAP´ ´ ´

2.7 Exerc´
ıcios resolvidos
Exerc´ ıcio 2.7.1 Se algu´m te dissesse: “Se fizer Sol entõ eu vou ` praia”, e
e a a
dias depois vocˆ visse essa pessoa na praia o que vocˆ concluiria?
e e

Resolu¸õ:
ca

Nada podemos concluir, pois se trata de uma proposi¸õ do tipo “Se A, entõ
ca a
B”, logo, se B, ´ verdadeira nõ, podemos concluir que A ´ verdadeira. (Pode
e a e
estar chovendo e ele estar na praia, pois a afirma¸õ nõ diz nada sobre quando
ca a
estiver chovendo).

2.8 Tipos de Demonstra¸oes
c˜
Vejamos como podemos responder a questõ deixada na se¸õ anterior, ou
a ca
seja, como podemos demonstrar (mostrar, provar,..) que uma proposi¸õ ´ ver-
ca e
dadeira. Infelizmente nõ existe um m´todo pr´tico para fazer isso em qualquer
a e a
situa¸õ, ali´s existem problemas abertos na matem´tica que ainda nõ se sabe
ca a a a
como demonstrar e prˆmios que valem US$ 1.000.000. Mas podemos respon-
e
der outra pergunta: “Quais sõ as maneiras de se provar uma proposi¸õ?” ,
a ca
vejamos abaixo, como classific´-las:
a

1. Demonstra¸õ direta
ca

2. Demonstra¸õ por meio de argumentos l´gicos
ca o

3. Demonstra¸õ por contradi¸õ (ou por absurdo)
ca ca

Ao final de cada demonstra¸õ, devemos indicar ao leitor o seu t´rmino. Isso
ca e
pode ser feito de duas formas: utilizando o s´
ımbolo ou a sigla c.q.d .

2.8.1 Demonstra¸õ direta
ca
Neste tipo de demonstra¸õ, verificamos todos os casos em que a proposi¸õ
ca ca
´
seja verdadeira. E bom lembrar que isto s´ acontece quando temos um n´mero
o u
finito de casos para verificar.

Exemplo 2.8.1 Considere a proposi¸õ ”Se n ∈ {3, 5, 17, 31}, entõ n ´ um
ca a e
n´mero primo”
u
verificaremos os casos em que a proposi¸õ seja verdadeira.
ca
Como podemos ver, todos os n´meros deste conjunto sõ primos, logo a proposi¸õ
u a ca
´ verdadeira.
e

Exemplo 2.8.2 Prove que o conjunto P = {6, 28, 496}, possui pelo menos 2
n´meros perfeitos .
u
Prova:
Vejamos, os divisores pr´prios de 6 sõ 3, 2 e 1 e 6 = 3 + 2 + 1
o a
e analogamente temos que 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28, logo 6 e 28 sõ n´meros
a u
perfeitos.
Portanto P possui pelo menos 2 n´meros perfeitos.
u

CAP´ ´ ´

2.8.2 Demonstra¸õ por meio de argumentos l´gicos
ca o
Esse tipo ´ a mais utilizada, talvez a idía mais intuitiva quando tentamos
e e
fazer uma demonstra¸õ. O objetivo ´ concluir a veracidade da tese com ar-
ca e
gurmentos l´gicos e sempre utilizando as hip´teses. Embora pare¸a fćil, nõ
o o c a a
existe um m´todo pr´tico para este tipo de demonstra¸õ; ali´s, essa ´ a maior
e a ca a e
dificuldade de se provar proposi¸˜es.
co

Veremos agora alguns exemplos de demonstra¸˜es.
co

Exemplo 2.8.3 Prove que o quadrado de um n´mero par ´ sempre par e o
u e
quadrado de um n´mero ´
u ımpar ´ sempre ´
e ımpar.

Prova:
Seja x um n´mero par, entõ x = 2n, para algum n ∈ Z, elevando x ao quadrado,
u a
temos x2 = (2n)2 , entõ x2 = 22 n2 = 2(2n2 ). Logo x2 ´ par.
a e

Analogamente, seja x um n´mero ´
u ımpar, entõ x = 2n+1, para algum n ∈ Z,
a
elevando x ao quadrado, temos x2 = (2n + 1)2 , entõ x2 = (2n)2 + 2(2n) + 1 =
a
2(2n 2 + 2n) + 1. Logo x2 ´ ´
e ımpar.

Exemplo 2.8.4 Prove que p(x) = x2 − 5x + 6 e q(x) = x2 − 1, nõ possuem
a
ra´
ızes em comum.

Prova: Achando as ra´
ızes de p(x)

x2 − 5x + 6 = 0,
entõ por B´skara x = 2 ou x = 3
a a
Portanto
S1 = {2, 3}
Achando as ra´
ızes de q(x)

x2 − 1 = 0
x2 = 1
x = ±1,
Portanto
S2 = {−1, 1}
Como S1 ∩ S2 = ∅, entõ p(x) e q(x) nõ possuem ra´
a a ızes em comum.

CAP´ ´ ´

2.8.3 Demonstra¸õ por contradi¸õ (ou por absurdo)
ca ca
Este tipo de demonstra¸õ ´ muito comum em matem´tica, apesar de nõ
ca e a a
ser natural aos iniciantes.
Para provamos uma proposi¸õ por absurdo, procedemos da seguinte maneira:
ca
Negamos a tese e chegamos na nega¸õ da hip´tese. Veremos agora alguns e-
ca o
xemplos.
Exemplo 2.8.5 Prove que p(x) = x2 − 5x + 6 e q(x) = x2 − 1, nõ possuem
a
ra´
ızes em comum.

Prova: Vamos supor por absurdo que p(x) e q(x) possuam pelo menos uma
raiz em comum. Entõ existe um n´mero a tal que p(a) = q(a)
a u
a2 − 5a + 6 = a2 − 1
Entõ
a
5a − 6 = 1,
7
Logo a = 5
Como p( 7 )
5 = 0, entõ chegamos num absurdo.
a

Portanto p(x) e q(x) nõ possuem ra´
a ızes em comum.

√
Exemplo 2.8.6 Prove que 2 nõ ´ um n´mero racional .
a e u
√
Prova: Vamos supor por absurdo que 2 ∈ Q, entõ existem p ∈ Z e q ∈ Z∗ ,
√ a
tais que p = 2, seja uma fra¸õ irredut´
q ca ıvel. Elevando ao quadrado, temos:
2
p
=2
q
p2
=2
q2
p2 = 2q 2 ,
Entõ p2 ´ par.
a e
Afirma¸õ: p2 ´ par, entõ p tamb´m ´ par.
ca e a e e
Vamos supor por absurdo que p fosse ´ ımpar, entõ p = 2k + 1, para algum
a
k ∈ Z =⇒ p2 = (2k)2 + 2(2k) + 1 = 2(2k 2 + 2k) + 1, logo p2 ´ ´
e ımpar.
Mas isso ´ um absurdo, pois p2 ´ par.
e e
Entõ p ´ par.
a e
Como p ´ par, entõ p = 2a. Logo
e a

(2a)2 = 2q 2
2a2 = q 2 ,
Analogamente q 2 ´ par e portanto q ´ par.
e e
p
Portanto q ´ uma fra¸õ redut´
e ca ıvel, pois p e q sõ ambos pares.
a

CAP´ ´ ´

o que ´ um absurdo, pois p ´ uma fra¸õ irredut´
e q e ca ıvel.
√
Logo 2 nõ ´ um n´mero racional.
a e u

2.9 Nomenclatura para proposi¸oes
c˜
Estudamos at´ agora um tipo especial de proposi¸˜es, mas veremos que exis-
e co
tem contextos em que nomeamos estes tipos de proposi¸˜es. Vejamos agora esta
co
nomenclatura.

• Axioma: Proposi¸õ aceita como verdadeira.
ca

• Teorema: Proposi¸õ que pode ser demonstrada.
ca

• Lema: Teorema usado na demonstra¸˜es de outros teoremas principais.
co

• Corol´rio: Consequˆncia imediata de um teorema.
a e

CAP´ ´ ´

2.10 Exerc´
ıcios Resolvidos
Exerc´ ıcio 2.10.1 Sejam A e B duas matrizes de ordem n × n, tal que n ´
e
inteiro. Sabendo que det(A · B) = det(A) · det(B):
a) Mostre o resultado para o caso particular n = 2.

b) Mostre que det(A) · det(A−1 ) = 1, onde A−1 ´ a inversa de A.
e
Resolu¸ao:
c˜
a11 a12 b11 b12
a) Tome A = e B = , entõ fazendo a multi-
a
a21 a22 b21 b22
plica¸õ de matrizes temos:
ca

a11 a12 b11 b12 a11 · b11 + a12 · b21 a11 · b12 + a12 · b22
· =
a21 a22 b21 b22 a21 · b11 + a22 · b21 a21 · b12 + a22 · b22

Calculando det(A · B), temos:

det(A · B) =

(a11 ·b11 +a12 ·b21 )(a21 ·b12 +a22 ·b22 )−(a21 ·b11 +a22 ·b21 )(a11 ·b12 +a12 ·b22 )

=
(a11 · b11 · a21 · b12 + a12 · b21 · a21 · b12 + a11 · b11 · a22 · b22 + a12 · b21 · a22 · b22 )−
(a21 · b11 · a11 · b12 + a22 · b21 · a11 · b12 + a21 · b11 · a12 · b22 + a22 · b21 · a12 · b22 )
=
(a11 · a22 · b11 · b22 + a12 · a21 · b12 · b21 ) − (a11 · a22 · b12 · b21 + a12 · a21 · b11 · b22 )
=
a11 · a22 · b11 · b22 − a11 · a22 · b12 · b21 − a12 · a21 · b11 · b22 + a12 · a21 · b12 · b21
=
(a11 · a22 − a12 · a21 )(b11 · b22 − b12 · b21 ) = det(A) · det(B).

b) Sabemos que A · A−1 = In , entõ det(A) · det(A−1 ) = det(A · A−1 ) =
a
det(In ) = 1

Exerc´
ıcio 2.10.2 Sejam α, β e γ os ˆngulos internos de um triˆngulo.
a a
a) Mostre que as tangentes desses trˆs ˆngulos nõ podem ser, todas elas,
e a a
maiores ou iguais a 2.

b) Supondo que as tangentes dos trˆs ˆngulos sejam n´meros inteiros posi-
e a u
tivos, calcule essas tangentes.

CAP´ ´ ´

Resolu¸õ:
ca

a) Suponha por absurdo que as trˆs tangentes sejam maiores ou iguais a 2,
e
ou seja,
 
 tg(α) 2  α 60o
tg(β) 2 =⇒ β 60o
 
tg(γ) 2 γ 60o

Entõ chegamos num absurdo, que α + β + γ 180o .
a

b) Sabemos que α + β = 180o − γ, entõ:
a

tg(α + β) = tg(−γ) = −tg(γ), entõ
a

tg(α) + tg(β)
= −tg(γ)
1 − tg(α) · tg(β)

tg(α) + tg(β) = −tg(γ) + tg(α) · tg(β) · tg(γ)

tg(α) + tg(β) + tg(γ) = tg(α) · tg(β) · tg(γ).

Pelo item a, sabemos que as tangentes nõ podem ser todas elas maiores
a
que 2, entõ sabemos que pelo menos uma das tangentes ´ igual a 1, pois
a e
sõ n´meros inteiros, supondo digamos que tg(α) = 1, entõ
a u a

1 + tg(β) + tg(γ) = tg(β) · tg(γ).

Como todas as tangentes sõ n´meros inteiros positivos, entõ basta
a u a
testar um n´mero pequeno que casos e concluir que tg(α) = 1, tg(β) = 2 e
u
tg(γ) = 3.

Respostas:

a) Demosntra¸õ
ca

b) 1, 2 e 3

Exerc´
ıcio 2.10.3 Sejam x = 1 e y = 0, 999 . . . (d´
ızima per´
ıodica). Quais das
afirma¸˜es sõ verdadeiras?
co a

a) x y

b) x = y

c) x y

Justifique rigorosamente sua resposta.

Resolu¸õ: Exibiremos duas maneiras para resolver esse exerc´
ca ıcio.

CAP´ ´ ´

1o Modo Sabemos que y = 0, 999 . . ., entõ 10y = 9, 999 . . ..
a
Subtraindo a segunda equa¸õ pela primeira, temos:
ca
10y − y = 9, 999 . . . − 0, 999 . . . =⇒ 9y = 9 =⇒ y = 1,
e portanto x = y.

2o Modo Sabemos que y = 0, 999 . . ., entõ escrevendo y uma forma diferente,
a
temos:
y = 0, 999 . . . = 0, 9 + 0, 09 + 0, 009 + 0, 0009 + . . .
que ´ nada mais do que uma soma infinita de uma
e
P.G. (0, 9; 0, 09; 0, 009; 0, 0009; . . .)r=10−1 , logo
0, 9 0, 9
y = 0, 999 . . . = 0, 9+0, 09+0, 009+0, 0009+. . . = −1
= = 1 = x,
1 − 10 0, 9
logo x = y.

Alternativa b
1
Exerc´ıcio 2.10.4 Considere as fun¸˜es f (x) = log3 (9x2 ) e g(x) = log3 ( x ),
co
definidas para todo x 0.
a) Resolva as equa¸oes f (x) = 1 e g(x) = −3
c˜
b) Mostre que 1 + f (x) + g(x) = 3 + log3 x
Resolu¸ao:
c˜
√
1 3
a) log3 (9x2 ) = 1=⇒9x2 = 3=⇒x2 = =⇒x = ± , mas como tinhamos a
3 3
condi¸õ x 0.
ca

√
3
Entõ S = {
a }
3
1 1 1
log3 ( x ) = −3 =⇒ = =⇒ x = 27.
x 27
Entõ S = {27}
a

b) Temos que:
1
1 + f (x) + g(x) = 1 + log3 (9x2 ) + log3 ( ) =
x
1 1
log3 (3) + log3 (9x2 ) + log3 ( ) = log3 (3 · 9x2 · ) =
x x
log3 (33 x) = log3 (33 ) + log3 (x) = 3 + log3

CAP´ ´ ´

2.11 Exerc´
ıcios Propostos
1. Sejam a e b n´meros naturais, mostre que:
u

a) Se a e b sõ pares, entõ a + b ´ par.
a a e
b) Se a e b sõ pares, entõ a · b ´ par.
a a e
c) Se a e b sõ ´
a ımpares, entõ a + b ´ par.
a e
d) Se a e b sõ ´
a ımpares, entõ a · b ´ ´
a e ımpar.

2. Prove as seguintes igualdades trigonom´tricas:
e
1 1
a) cos(a2 ) = 2 + 2 cos2a
1 1
b) sen(a2 ) = 2 − 2 cos2a
c) sen(a + b) · sen(a − b) = cos2 a − cos2 b

3. Prove que:

a) A fun¸õ f : X −→ Y ´ injetora se, e somente se, existe uma fun¸õ
ca e ca
g : Y −→ X tal que g(f (x)) = x, para todo x ∈ X.
b) A fun¸õ f : X −→ Y ´ sobrejetora se, e somente se, existe uma
ca e
fun¸õ h : Y −→ X tal que f (h(y)) = y, para todo y ∈ Y .
ca

4. Mostre que se a 0, b 0 e c 0, c = 1 entõ:
a
a
logc ( ) = logc (a) − logc (b)
b

5. Demonstre que a mediana relativa ` base de um triˆngulo is´sceles ´
a a o e
tamb´m bissetriz.
e

6. Demonstre que a bissetriz relativa ` base de um triˆngulo is´sceles ´ tamb´m
a a o e e
mediana.

7. Demonstre que as medianas relativas aos lados congruentes de um triˆngulo
a
is´sceles sõ congruentes.
o a

8. Enuncie e prove o teorema de Pit´goras.
a

Sugest˜es e Respostas
o

Cap. 1
1. a) Primeiro calcule a expressõ geral N (a, b) = (a − b)2 + 2ab = a2 + b2 , para
a
entõ concluir que N (3, 9) = 90.
a
b) Com a expressõ geral encontrada conclua que N (a, 3a) ´ um n´mero m´ltiplo
a e u u
de 10, logo possui final 0.
2. a) 198 n´meros pal´
u ındromos.
198 22 2 2
b) Calculando a probabilidade, temos = = = 2%
9999 1111 101 100
3. Am´lia possui 24 reais, Lćia possui 18 reais e Maria possui 36 reais.
e u
4. a) Utilize a rela¸õ mdc(a, b) · mmc(a, b) = a · b, entõ conclua que b = 15
ca a
b) Decomponha 105 em n´meros primos e veja que o unico fator comum entre
u ´
105 e 35 ´ 5, entõ as unicas possibilidades sõ (5; 105), (15; 35), (35; 15)
e a ´ a
ou (105; 5).
5. a) Substitua 2 + i na equa¸õ e iguale a zero, obtendo a = 5.
ca
b) Utilize o teorema das ra´ complexas e conclua que 2 − i ´ uma outra raiz
ızes e
da equa¸õ, utilize uma das rela¸˜es de Girard e conclua que 1 ´ a terceira
ca co e
raiz.
Cap. 2
1. a) Tome a = 2k e b = 2n, entõ a + b = 2(k + n). Logo a + b ´ par.
a e
b) Tome a = 2k e b = 2n, entõ a · b = 2(k · n). Logo a · b ´ par.
a e
c) Tome a = 2k + 1 e b = 2n + 1, entõ a + b = 2(k + n + 1).Logo a + b ´ par.
a e
d) Tome a = 2k + 1 e b = 2n + 1, entõ a · b = 2[2(k · n) + (k · n)] + 1 =. Logo
a
a·b ´´
e ımpar.
2. a) Na f´rmula da soma de cossenos, cos(a + b) = cos(a) · cos(b) − sen(a) · sen(b),
o
tome a = b. Entõ cos(2a) = cos2 (a)−sen2 (a) = cos(2a) = 2cos2 (a)−1 =⇒
a
cos(a2 ) = 1 + 1 cos2a
2 2
b) An´logo ao ”item a”.
a
c) Na f´rmula da soma e diferen¸a de senos, temos sen(a+b) = sen(a)·cos(b)+
o c
sen(b) · cos(a) e sen(a − b) = sen(a) · cos(b) − sen(b) · cos(a). Entõ fa¸a
a c
sen(a + b) · sen(a − b) e conclua a igualdade.
3. a) Sabemos que f ´ injetora, logo se f (x1 ) = f (x2 ), entõ x1 = x2 , portanto
e a
tomamos g(x) = x, pois x1 = g(f (x1 )) = g(f (x2 )) = x2 . Reciprocamente, se
existe uma g : Y −→ X tal que g(f (x)) = x, entõ em particular, g(f (x1 )) =
a
x1 e g(f (x2 )) = x2 , logo se f (x1 ) = f (x2 ), entõ x1 = x2 , o que implica que
a
f ´ injetora.
e

32

CAP´ ´ ´

4. Tome x = log( a )c , y = log(a)c e z = log(b)c . Pelas propriedades de logaritmo
b
cy
e potencia¸õ, temos: cx = a , cy = a e cz = b =⇒ cx = z = cy−z =⇒ x =
ca b c
y − z=⇒log( a )c = log(a)c − log(b)c .
b

5. Tome um triˆngulo ABC is´sceles de base BC, seja M um ponto em BC, tal que
a o
AM seja a mediana. Por constru¸õ AB ≡ AC e BM ≡ M C e B ≡ C, logo
ca
pelo caso LAL (lado ˆngulo lado), os triˆngulo ABM e ACM sõ congruentes e
a a a
portanto os ˆngulos B AM e C AM sõ congruentes e por isso AM tamb´m ´ a
a a e e
bissetriz do triˆngulo.
a
6. An´logo ao anterior.
a
7. Tome um triˆngulo ABC is´sceles de base BC, sejam M, N, pontos em AC e
a o
AB,respectivamente, tais que BM e CN sejam as medianas destes triˆngulos rela-
a
tivas aos lados AC e AB. Constru´
ımos, desta forma, dois triˆngulos ACN e ABM
a
congruentes pelo caso LAL, entõ conclu´
a ımos que BM e CN sõ congruentes.
a

Apˆndice A
e

C´lculo de inversa de matrizes
a

A.1 Via sistemas lineares
Defini¸õ A.1.1 Seja A uma matriz quadrada de ordem n, se exister uma ma-
ca
triz quadrada A−1 de ordem n tal que A · A−1 = In e A−1 · A = In , onde In ´ a
e
matriz identidade de ordem n, entõ A−1 ´ dita ser a matriz inversa de A.
a e

Veremos agora atrav´s de um exemplo como podemos encontrar a matriz inversa
e
pela defini¸õ.
ca
2 1 x11 x12
Exemplo A.1.1 Seja A = , entõ tomamos A−1 =
a ,
1 2 x21 x22
usando a defini¸õ, temos:
ca

2 1 x11 x12 0 1
A · A−1 = I =⇒ · =
1 2 x21 x22 1 0
Fazendo a multiplica¸õ das matrizes e igualdando matriz resultante com a ma-
ca
triz identidade, temos o seguinte sistema:


 x11 = 2

 
 3
 2x11 + x21 = 1 


 


 



 2x12 +  12 = − 1
 x

 x22 = 0  3
=⇒

 x11 
 1

 + 2x21 = 1  x
 21 = −

 


 
 3
 

x12 + 2x22 = 0 


 x 2
22 =
3
 2 1 
−
 3 3 
Logo, A−1 = 



1 2
−
3 3

34

ˆ ´
APENDICE A. CALCULO DE INVERSA DE MATRIZES 35

A.2 Via matriz dos cofatores
Com o uso deste m´todo ´ poss´
e e ıvel calcular inversas de matrizes de ordem
maiores que 2 e 3, cujo os c´lculos pela defini¸õ costumam ser longos.
a ca

Defini¸õ A.2.1 Sejam M uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2 e aij um
ca
elemento de M , definimos menor complementar do elemento aij , o deter-
minante da matriz que se obt´m suprimindo a linha i e a coluna j de M e o
e
indicaremos por Dij .

Defini¸õ A.2.2 Sejam M uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2 e aij um
ca
elemento de M , o cofator do elemento aij ´ dito ser, o n´mero (−1)i+j · aij · Dij
e u
e o indicaremos por Aij
 
4 3 4
Exemplo A.2.1 Seja A =  2 1 5 , calculando os cofatores de a11 = 4 e
3 3 2
a23 = 5

1 5 4 4
A11 = (−1)1+1 · = −6 e A23 = (−1)2+3 · = −6
3 2 3 2

Defini¸õ A.2.3 Seja M uma matriz quadrada, a matriz formada pelos cofa-
ca
tores dos elemnetos de M ´ dita ser a matriz dos cofatores de M e ´ repre-
e e
sentada por M , ou seja,

   
a11 a12 . . . a1n A11 A12 . . . A1n
 a21 a22 . . . a2n   A21 A22 . . . A2n 
   
 a31 a32 . . . a3n   A31 A32 . . . A3n 
M =  =⇒ M =  
 .
. .
. .. .
.   .
. .
. .. .
. 
 . . . .   . . . . 
an1 an2 . . . ann An1 An2 . . . Ann

2 1
Exemplo A.2.2 Seja M = , calculando os cofatores da matriz M ,
1 2
temos

A11 = 2, A12 = −1, A21 = −1 e A22 = −2

2 −1
M =
−1 2
 
1 0 2
Exemplo A.2.3 Seja M =  2 1 3 , calculando os cofatores da matriz
3 1 0
M , temos

A11 = −3, A12 = 9, A13 = −1,
A21 = 2, A22 = −6, A23 = −1
A31 = −2, A32 = 1, A33 = 1

ˆ ´
APENDICE A. CALCULO DE INVERSA DE MATRIZES 36

 
−3 9 −1
M =  2 −6 −1 
−2 1 1

Defini¸õ A.2.4 Seja M como na defini¸õ anterior, a transposta da matriz
ca ca
dos cofatores ´ dita ser a matriz adjunta, e ´ denotada por
e e

M = (M )t .

Teorema A.2.1 Seja M ´ uma matriz quadrada de ordem n e det(M ) = 0
e
entõ a matriz inversa ´ dada por:
a e

M
M −1 = .
det(M )
 
1 0 2
Exemplo A.2.4 Seja M =  2 1 3 , Vemos facilmente que
3 1 0

det(M ) = −5,

Entõ
a    
−3 9 −1 −3 2 −2
M =  2 −6 −1  =⇒ M =  9 −6 1 
−2 1 1 −1 −1 1
Pelo teorema,  
3 2 2
−
 5 5 5 
 
 
 9 6 1 
M −1 = −
 5 − 
 5 5 

 
 1 1 3 
−
5 5 5

Apˆndice B
e

M´todo para resolu¸õ de
e ca
sistemas lineares

Sejam A, X e B matrizes, tais que A seja invert´ e
ıvel

A·X =B

Como A ´ invert´
e ıvel entõ existe uma matriz A−1 tal que A · A−1 = In , onde
a
In ´ a matriz identidade de ordem n. Se multiplicarmos A · X = B, por A−1 ,
e
teremos:
A−1 · A · X = A−1 · B,
Entõ
a
X = A−1 · B.
E como vimos, conseguimos expressar a matrix X em fun¸õ de A e B.
ca
Agora considere o sistema linear abaixo:


 a11 x1 + a12 x2 + . . . a1n xn = b1


 a21 x1 + a22 x2 + . . . a2n xn = b2
.
. .
. .
. .
.

 . . ... . .


an1 x1 + an2 x2 + . . . ann xn = bn
 
a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n 
 
 
Sejam A, X e B matrizes, entõ Tome A =  a31 a32 . . . a3n
a ,
 . . .. . 
 . . .
. . .
. 
an1 an2 . . . ann
   
x1 b1
 x2   b2 
   
 x3   
X=  e B =  b3 
 .   . 
 . 
.  . 
.
xn bn
E desta forma, encontramos a matriz X formada pela inc´gnitas x1 , x2 , . . . , xn
o
e entõ resolvemos o sistema linear.
a

37

ˆ ´ ¸˜
APENDICE B. METODO PARA RESOLUCAO DE SISTEMAS LINEARES38

Observe que ao fazermos a multiplica¸õ de matrizes, obtemos exatamente o
ca
sistema linear exibido. Entõ, como visto anteriormente podemos escrever
a
   −1  
x1 a11 a12 . . . a1n b1
 x2   a21 a22 . . . a2n   b2 
     
 x3   a31 a32 . . . a3n   
 =  ·  b3 
 .   . . .. .   . 
 .   .
. . .
. . . 
.  . 
.
xn an1 an2 . . . ann bn

Exemplo B.0.5 Vamos resolver o sistema linear abaixo:

 −x + y − z = 5
x + y + z = 4

3x + y + 2z = −3

Escrevendo na forma de matriz, temos:
     
−1 1 −1 x 5
 1 2 4 · y = 4 
3 1 −2 z −3

Agora precisamos achar a matriz inversa de
 
−1 1 −1
 1 2 4 
3 1 −2
Aplicando o m´todo via matriz dos cofatores, obtemos a matriz
e
 8 1 6 
− 27 27 27
 
 14 
 5 3 
 27 27 27 
 
5 4 3
− 27 27 − 27
Fazendo a multiplica¸õ de matriz, temos:
ca
   8 1 6     
x − 27 27 27 5 2
       
   14     
 y = 5 3 · 4 = 3 
   27 27 27     
       
5 4 3
z − 27 27 − 27 −3 0

Logo a solu¸õ do sistema linear ´: S = {(2, 3, 0)}.
ca e

Apˆndice C
e

Equa¸oes alg´bricas
c˜ e

Exibiremos aqui alguns teoremas sobre a teoria das equa¸˜es alg´bricas. Es-
co e
peramos que o leitor esteja familiarizado com polinˆmios e n´meros complexos.
o u

Teorema C.0.2 Seja P (x) um polinˆmio cujos coeficientes sõ todos reais, ad-
o a
mitindo z = a + bi ∈ C como raiz, entõ P (x) tamb´m admite z = a − bi como
a e
raiz.
Prova:
Se z = a + bi ´ uma raiz de P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 ,
e
entõ P (z) = 0. Logo,
a
an z n + an−1 z n−1 + . . . + a2 z 2 + a1 z + a0 = 0,
Ora, mas entõ o conjugado deste n´mero tamb´m ´ zero.
a u e e
an z n + an−1 z n−1 + . . . + a2 z 2 + a1 z + a0 = 0
utilizando as propriedades de n´meros complexos, temos
u
an z n + an−1 z n−1 + . . . + a2 z 2 + a1 z + a0 = 0
an z n + an−1 z n−1 + . . . + a2 z 2 + a1 z 1 + a0 = 0
P (z) = 0.
Portanto z tamb´m ´ raiz de P (x).
e e

Exemplo C.0.6

´
Corolario C.0.1 Seja P (x) um polinˆmio cujos coeficientes sõ todos reais,
o a
admitindo z = a + bi ∈ C como raiz de multiplicidade p, entõ P (x) tamb´m
a e
admite z = a − bi como raiz de multiplicidade p.

Exemplo C.0.7

Teorema C.0.3 Todo polinˆmio P (x) = an xn +an−1 xn−1 +. . .+a2 x2 +a1 x+a0 ,
o
talque ∂(P (x)) = n 1, pode ser decomposto em n fatores do primeiro grau, ou
seja,
P (x) = an (x − r1 )(x − r2 )(x − r3 ) . . . (x − rn )
onde r1 , r2 ,. . . ,rn sõ as ra´
a ızes de P (x).
Esta decomposi¸õ ´ unica.
ca e ´

39

ˆ ¸˜ ´
APENDICE C. EQUACOES ALGEBRICAS 40

Exemplo C.0.8 Seja P (x) = 2x2 − 10x + 12 pode ser decomposto como P (x) =
2(x − 2)(x − 3), onde 2 e 3 sõ as ra´
a ızes de P (x).

Teorema C.0.4 (Teorema das ra´ ızes racionais) Se um polinˆmio
o
P (x) = an x n +a n−1 + . . . + a x2 + a x + a , possui todos os coeficientes
n−1 x 2 1 0
inteiros, admite uma raiz racional p , onde p ∈ Z e p ∈ Z+ , entõ p/a0 e q/an (p
q a
divide a0 e q divide an .

Exemplo C.0.9 Ache as ra´
ızes da equa¸õ
ca

x3 + 3x2 − 3x − 9 = 0

pelo teorema das ra´ ızes racionais, temos p ∈ {−1, 1, −3, 3, −9, 9} (divisores in-
teiros de (-9)) e q ∈ {1}(divisores positivos de 1),
entõ p ∈ {−1, 1, −3, 3, −9, 9}
a q
agora basta testar as candidatas a raiz de P (x)

P (−1) = −4, P (1) = −8, P (−3) = 0, P (3) = 36, P (−9) = −468 e
P (9) = −522

Logo, -3 ´ raiz da equa¸õ.
e ca
Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini, temos:
-3 1 3 -3 -9
1 0 -3 0
√
Desta forma, achamos a equa¸õ x2 − 3 = 0, cuja a solu¸õ ´ x = √ 3
ca ca e ± √
Portanto a solu¸ao da equa¸õ x3 + 3x2 − 3x − 9 = 0, ser´ S = {− 3, 3, −3}.
c˜ ca a

Referˆncias Bibliogr´ficas
e a

[1] Iezzi, G., Hazzan, S.(1998) - Fundamentos de Matem´tica Elementar, vol.4
a

[2] Iezzi, G.(1996) - Fundamentos de Matem´tica Elementar, vol.6
a

[3] Filho, E. A. (2000) - Inicia¸õ a L´gica Matem´tica
ca o a

[4] S.B.M (1998) - Revista do Professor de Matem´tica, 37
a

[5] Massaranduba, E. M., Chinellatto, T. M. (2003) - Cole¸õ Objetivo -
ca
Reda¸õ
ca

41

´
Indice Remissivo

axioma, 27 simbologia, 8, 13
sistemas lineares, 34
bissetriz, 31
Briot-Ruffini, 40 tangente, 28
teorema, 27
cofator, 35 tese, 21
conclusõ, 8
a triˆngulo, 31
a
condi¸õ necess´ria, 22
ca a
condi¸õ suficiente, 22
ca
conectivos, 23
contra-exemplo, 22
corol´rio, 27
a
Crammer, 11

d´
ızima, 29
demonstra¸õ, 24–26
ca
desenvolvimento, 8
disserta¸õ, 7, 10, 13
ca

fun¸õ, 31
ca

hip´tese, 21
o

introdu¸õ, 7
ca

l´gica, 8, 10, 13, 20, 21
o
lema, 27

matriz, 38
matrizes, 28
mdc, 19
mmc, 19

nega¸õ, 23
ca

pal´
ındromos, 19, 32
perfeitos, 24
polinˆmio, 16, 39
o
proposi¸õ, 20–22
ca

racional, 26
raiz, 19
rec´
ıproca, 22

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