O documento apresenta um resumo introdutório sobre matemática universitária, abordando tópicos como teoria dos conjuntos, análise combinatória, relações e funções, conjuntos numéricos fundamentais e interpretação geométrica. O texto está organizado em 4 capítulos principais e subseções para tratar cada tópico de forma aprofundada.

1. Introdu¸˜o ` Matem´tica
ca a a
Universit´ria
a
1
Jos´ St´lio Rodrigues dos Santos
e a Tarcisio Praciano-Pereira
Universidade Estadual Vale do Acara´
u
Sobral - Ce
16 de mar¸o de 2009
c
C=YX
Y
X
1
0
X
−Y Y
C=XY
1
Dep de Computa¸˜o - tarcisio@member.ams.org
ca 01

3. Rodrigues dos Santos, Jos´ St´lio
e a
MSc em Matem´tica
a
Praciano-Pereira, Tarcisio
PhD em Matem´tica
a
Introdu¸˜o
ca
` Matem´tica Universit´ria
a a a
Sobral, 2003
Textos para o Ensino
Publica¸˜es do
co
Laborat´rio de Matem´tica Computacional
o a
Universidade Estadual do Vale do Acara´
u

4. Copyleft Laborat´rio de Matem´tica Computacional
o a
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a
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o ca a
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Rodrigues dos Santos, Jos´ St´lio
e a
Praciano-Pereira, Tarcisio
P496c Introdu¸ao a Matem´tica Universit´ria
c˜ ` a a
Sobral: Laborat´rio de Matematica Computaciaonal - 2009
o
301p
Bibliografia
ISBN:
1 - An´lise Combinat´ria -
a o
2 - Rela¸oes e Fun¸oes
c˜ c˜
3 - N´ meros - 4 - Polinˆmios.
u o
I. T´
ıtulo
CDD 517....
Capa: Tarcisio Praciano-Pereira

5. Sum´rio
a
Introdu¸˜o ...................................
ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1 Teoria dos Conjuntos. 7
1.1 O conceito de conjunto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Conjunto e estrutura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 elemento, subconjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 opera¸˜es . . . . . . . . . . . . .
co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.1 uni˜o, interse¸˜o . . . . .
a ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.2 diferen¸ a . . . . . . . . .
c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5 Estrutura alg´brica nos conjuntos
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6 produto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 An´lise Combinat´ria Simples.
a o 31
2.1 An´ lise Combinat´ria . . . . . .
a o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 combina¸˜es . . . . . . . . . . . .
co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.1 Parti¸˜es de um conjunto.
co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3 O binˆmio de Newton. . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.4 arranjos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4.1 repeti¸˜o . . . . . . . . .
ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4.2 Arranjos simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4.3 Permuta¸˜es. . . . . . . .
co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.5 n(A ∪ B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.6 n(A x B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3 Rela¸˜es e Fun¸˜es.
co co 67
3.1 Rela¸˜es. . . . . . . . . . .
co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.1.1 Rela¸˜es de ordem. .
co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1.2 equivalˆ ncia . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2 fun¸˜o . . . . . . . . . . . .
ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.3 fun¸˜o . . . . . . . . . . . .
ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3.1 injetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3.2 sobrejetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.3.3 bijetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.4 Fun¸˜es polinomiais . . . .
co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.4.1 A fun¸˜o linear afim
ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3

6. 4 Conjuntos num´ricos fundamentais.
e 93
4.1 os naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.1.1 ´lgebra N . . . . . . . . . . .
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.1.2 ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2 Os n´meros inteiros. . . . . . . . . .
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.2.1 A defini¸˜o de Z. . . . . . . .
ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.2.2 adi¸˜o em Z . . . . . . . . . .
ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.2.3 produto em Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.2.4 ordem em Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.2.5 demonstra¸˜es . . . . . . . .
co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.3 racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.3.1 incompletitude, Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.3.2 ´ lgebra dos racionais . . . .
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.3.3 compatibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.3.4 demonstra¸˜es . . . . . . . .
co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.3.5 equivalˆncia . . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.3.6 m.m.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.4 interpreta¸˜o geom´trica . . . . . . .
ca e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.4.1 A reta e os racionais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.4.2 os irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.4.3 racionais na reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.5 programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5 Constru¸˜o geometrica de R.
ca 127
5.1 os reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.2 ´lgebra na reta . . . . . . . .
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.2.1 A adi¸˜o em R. . . . .
ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.2.2 A multiplica¸˜o em R.
ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.2.3 corpo ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6 Fun¸˜es Especiais
co 141
6.1 fun¸˜o linear . . . . . . . . . . . . . . . .
ca . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.2 Progress˜o aritm´tica . . . . . . . . . . .
a e . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.2.1 Nota¸˜o e exemplos . . . . . . . .
ca . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.2.2 Soma dos termos de uma P.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.3 Gr´ficos das fun¸˜es lineares . . . . . . . .
a co . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.3.1 Coeficiente angular de uma reta . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.3.2 Retas e suas equa¸˜es . . . . . . .
co . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.4 Equa¸˜o da reta que n˜o passa na origem
ca a . . . . . . . . . . . . . . . . 156
o
6.5 Equa¸˜o do 1 Grau . . . . . . . . . . . .
ca . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.6 Discuss˜o da equa¸˜o do 1o Grau . . . . .
a ca . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.6.1 Exerc´ ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.7 Sistema de Equa¸˜es do 1o Grau . . . . .
co . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.7.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.7.2 Exerc´ ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.8 Problemas do 1o Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.8.1 Exerc´ ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.8.2 Solu¸˜o de alguns exerc´
ca ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.9 Progress˜es geom´tricas . . . . . . . . . .
o e . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.10 Fun¸˜o quadr´tica . . . . . . . . . . . . .
ca a . . . . . . . . . . . . . . . . 175

7. 6.10.1 A fun¸˜o padr˜o y = f (x) = x2 . .
ca a . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.11 O gr´fico de uma fun¸˜o do segundo grau
a ca . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.11.1 A forma padr˜o x → (x − a)(x − b)
a . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.12 Equa¸˜o do 2o grau . . . . . . . . . . . . .
ca . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.12.1 Exerc´
ıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.12.2 Exerc´
ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.12.3 Exerc´
ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6.12.4 Exerc´
ıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6.12.5 Exerc´
ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
6.13 Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
6.13.1 A hist´ria . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . 208
6.13.2 Constru¸˜o de um logaritmo . . .
ca . . . . . . . . . . . . . . . . 210
6.13.3 Construindo outro logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
6.13.4 Os logaritmos decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
6.13.5 A base de um logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
6.14 Gr´fico de uma fun¸˜o logaritmica . . . .
a ca . . . . . . . . . . . . . . . . 226
6.15 Fun¸˜o inversa de uma fun¸˜o logaritmica
ca ca . . . . . . . . . . . . . . . . 227
6.15.1 Troca de base do logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
6.16 Fun¸˜o exponencial . . . . . . . . . . . . .
ca . . . . . . . . . . . . . . . . 229
7 N´meros Complexos
u 245
7.1 incompletitude, R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
7.1.1 n´ meros complexos . . . . . . . . . . . . .
u . . . . . . . . . . . 246
7.1.2 A representa¸˜o geom´trica dos complexos .
ca e . . . . . . . . . . . 248
7.2 N´meros complexos: extens˜o dos reais . . . . . .
u a . . . . . . . . . . . 251
7.3 M´dulo, argumento e conjugado . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . 256
7.4 Intepreta¸˜o geom´trica do produto . . . . . . . .
ca e . . . . . . . . . . . 256
7.5 Raizes de um n´mero complexo . . . . . . . . . . .
u . . . . . . . . . . . 260
8 O anel dos polinˆmios. o 267
8.1 n´meros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
u . . . . . . . 268
8.2 polinˆ mio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . 270
8.3 estrutura alg´ brica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . . 272
8.3.1 sobre os exerc´ cios . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ı . . . . . . . 274
8.4 estrutura dos polinˆmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . 280
8.5 divis˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a . . . . . . . 282
8.5.1 resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
Bibliografia ............................................................................... 287 ´Indice remis-
sivo alfab´tico.........287
e

9. Lista de Figuras
1.1 O conjunto universo e tres subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Um grafo com 6 n´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 13
1.3 A uni˜o de trˆs conjuntos. . . . . . .
a e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 A interse¸˜o de dois conjuntos . . . .
ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5 A interse¸˜o de duas retas . . . . . .
ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6 A diferen¸a entre os conjuntos A e B . .
c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1 ´
Arvore de possibilidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.2 A ∪ B∪C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.3 n(A ∪ B ∪ C ∪ D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.1 Diagrama de Hasse de P(A); A = {0, 1, 2, 3} . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2 Histograma dos enfermeiros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3 Evolu¸o do pre¸o do dolar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ c 76
3.4 gr´fico de f (x) = x dom´
a ınio A = {−10, −9, −8, ..., 10}. . . . . . . . . . . . 77
3.5 Gr´fico de f (x) = x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 78
3.6 gr´fico de f (x) = x + 1 dom´
a ınio A = {−5, −9, −8, ..., 5}. . . . . . . . . . . . 79
3.7 f (x) = x2 esta fun¸ao n˜o ´ sobrejetiva se dom´
c˜ a e ınio A = {−5, −4, −3, ..., 5};
contra-dom´ınio =
{−25, −24, . . . , 24, 24}.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.8 diferen¸ a, fun¸˜o linear afim . . . . . . . . . . . . . . .
c ca . . . . . . . . 85
3.9 a tangente do angulo α ´ a. . . . . . . . . . . . . . . . . .
ˆ e . . . . . . . . 86
3.10 Os pontos em que uma fun¸ao linear afim corta os eixos. . .
c˜ . . . . . . . . 87
3.11 A fun¸ao linear y = 2x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ . . . . . . . . 89
4.1 Fra¸oes equivalentes com denominadores diferentes 4 = 2 . .
c˜ 1
8
. . . . . . . . 105
4.2 Racionais e inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.3 entre dois racionais sempre h´ outro... . . . . . . . . . . . .
a . . . . . . . . 118
4.4 O intervalo [0, 1] colocado sob uma lente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.6 Raizes quadradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.1 A regra do paralelogramo para somar segmentos orientados . . . . . . . . . 130
5.2 Figuras semelhantes obtidas com um pant´grafo . . . . . . . .
o . . . . . . 131
5.3 Soma de segmentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.4 Adi¸ao e diferen¸a dos vetores a, b. . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ c . . . . . . 133
7

10. 5.5 Multiplica¸ao, m´dulo em R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ o 134
5.6 Adi¸ao, m´dulo, desigualdade em R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ o 135
5.7 A multiplica¸ao geom´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ e 137
5.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.1 A soma dos termos de uma P.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.2 ´
Area do trap´sio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e . 149
6.3 Coeficiente angular da reta e a raz˜o da P.A. . . . . . . . . . . . . . . .
a . 151
6.4 V´rias reta, seus angulos, sentido dos angulos . . . . . . . . . . . . . . .
a ˆ ˆ . 152
6.5 Um par de n´ meros representa um ponto no plano . . . . . . . . . . . .
u . 153
6.6 Equa¸ao de reta que passa na origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ . 154
6.7 duas retas paralelas, uma delas passa na origem . . . . . . . . . . . . . . 156
6.8 Discuss˜o geom´trica, sistema de equa¸oes . . . . . . . . . . . . . . . . .
a e c˜ . 163
6.9 O produto de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.10 Alguns pontos do gr´fico x → x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a . 238
6.11 Um gr´fico com mais densidade x → x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a . 239
6.12 Gr´fico de x → x2 com alta densidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a . 240
6.13 Uma par´bola e sua transla¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a c˜ . 240
6.14 duas transla¸oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ . 241
6.15 Homotetias da par´bola padr˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a a . 241
1 1
6.16 logaritmos base a; a ∈ { 5 , 2 , 2, e, 10} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
6.17 Primeira vers˜o do gr´fico do logaritmo - base maior do que 1 . . . . . .
a a . 242
6.18 Gr´fico do y = log2 (x) com os pontos de coordenadas inteiras salientados.
a . 243
7.1 Representa¸ao geom´trica dos complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ e 247
7.2 Produto de n´ meros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
u 248
7.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
7.4 Propriedades dos n´ meros complexos
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
7.5 Conjugado de um n´ mero complexo .
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
7.6 A proje¸ao de a + bi sobre S1 .
c˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
7.7 ızes da unidade . . . . . . . . .
As ra´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
7.8 ızes quartas da unidade . . . . . .
Ra´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
7.9 ızes terceiras de 2 . . . . . . .
As ra´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
7.10 ızes quintas de 7 . . . . . . . . .
Ra´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
7.11 ızes c´ bicas de 3 + 4i . . . . . . .
Ra´ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
8.1 R ⊂ R[x] ⊂ F([a, b]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

11. Introdu¸˜o.
ca
Como usar este livro.
Este livro tem oito cap´ ıtulos que devem ser lidos em sequˆncia porque todo cap´
e ı
tulo depende do anterior. Dentro dos cap´ ıtulos h´ se¸˜es em que eles s˜o divididos e n´s
a co a o
queremos chamar sua aten¸˜o que o texto ´ completado com coment´rios: observa¸˜es
ca e a co
e as notas de rodap´. e
Os coment´rios, o texto te´rico, s˜o de nossa considera¸˜o o material mais impor-
a o a ca
tante do livro, mas nem sempre o mais f´cil. Sugerimos que vocˆ inicialmente dˆ-lhes
a e e
menos importˆncia e se concentre nos exerc´
a ıcios.
Talvez vocˆ deva ler as observa¸˜es na ordem em que elas aparecerem, mas com
e co
baixa prioridade, numa primeira leitura. Para lhe permitir uma busca mais acurada
de informa¸˜es, o livro tem um ´
co ındice remissivo alfab´tico, ao final, em que todos
e
os conceitos que surgem nas observa¸˜es se encontram indexados para que facilmente
co
vocˆ retorne a eles quando achar necess´rio.
e a
Os exerc´ cios foram escritos para serem feitos com aux´ de uma teoria m´
ı ılio ınima.
A pr´pria teoria deve ser surgir dos exerc´
o ıcios.
Mas n˜o desprese totalmente a teoria, nela h´ dicas de como se aprofundar na
a a
solu¸˜o dos exerc´
ca ıcios. Em suma, quase todos os exerc´ ıcios podem ser resolvidos em
mais de um n´ vel, e vocˆ deve resolvˆ-los no n´
ı e e ıvel em que puder, e depois tentar
aprofundar a solu¸˜o.
ca
Usamos uma conven¸˜o tipogr´fica no livro, texto em it´lico representa material
ca a a
que vocˆ deve olhar com cuidado, possivelmente n˜o est´ definido ainda e estamos
e a a
usando a concep¸˜o intuitiva do termo. Quando usarmos texto tipogr´fico estare-
ca a
mos fazendo referˆncia a um termo t´cnico, j´ definido anteriormente ou considerado
e e a
bem conhecido como tal. Quando usarmos letra pequena estamos lhe querendo dizer
que o assunto ´ polˆmico e que h´ muito mais coisa para ser dito do que estamos con-
e e a
seguindo dizer naquele momento. Usamos texto sublinhado para chamar sua aten¸˜o ca
de um detalhe que poderia passar desapercebido, tem o mesmo sentido texto em
negrito.
Queremos agradecer ˚ acomunidade de programa¸˜o livre e aberta sem a qual este
ca
livro nunca teria sido escrito porque depende de programas de dom´ ınio p´blico para
u
sua edi¸˜o, de programas de dom´
ca ınio p´blico para confec¸˜o de gr´ficos e simula¸˜o
u ca a ca
computacional. Com o mesmo espirito este livro ´ colocado como copyleft uma
e
variante da GPL - Gnu Public Licence. Uma c´pia da GPL pode ser encontrado em
o
www.debian.org. Quer dizer que vocˆ pode copiar este livro para seu uso pessoal sem
e
pagar nada ao autor. Claro, se vocˆ, quiser comercializar o livro ent˜o um contrato
e a
com o autor, neste sentido, se torna obrigat´rio. o
Os leitores s˜o encorajados a entrar em contacto com o autores, por e-mail,
a
tarcisiomember.ams.org, para qualquer assunto ligado a este livro.

13. Cap´
ıtulo 1
Teoria dos Conjuntos.
Na d´cada de 60 se iniciou uma renova¸ao de linguagem em matem´tica colocando o conceito
e c˜ a
de conjunto como m´dulo central de toda a constru¸ao matem´tica.
o c˜ a
A raz˜o bem simples para isto se encontra nos seguintes fatos:
a
1. As opera¸oes fundamentais com conjuntos servem de modelo concreto para as
c˜
opera¸oes fundamentais da l´gica. Em suma, estudar Teoria dos Conjuntos equivale
c˜ o
a estudar uma realiza¸˜o do modelo da l´gica formal.
ca o
2. Todas as estruturas matem´ticas tem como objeto inicial uma fam´ de conjuntos a
a ılia `
qual se associam rela¸oes t´
c˜ ıpicas da estrutura. Existem algumas exce¸oes a esta regra,
c˜
teoria dos grafos por exemplo, mas se tratam de autˆnticas exce¸oes confirmando a
e c˜
regra geral . . .
Quer dizer que, estudando conjuntos estamos desenvolvendo a ferramenta b´sica para pro-
a
duzir matem´tica, a l´gica formal, e estamos tamb´m produzindo os blocos b´sicos desta
a o e a
constru¸ao.
c˜
1.1 O conceito de conjunto.
A grande dificuldade de se iniciar qualquer conversa¸˜o ou explana¸˜o te´rica reside
ca ca o
na defini¸˜o das id´ias b´sicas, nas conven¸˜es iniciais que v˜o servir de alicerce para
ca e a co a
o resto da constru¸˜o. No in´ do s´culo 20 este sentimento se concretizou vindo das
ca ıcio e
dificuldades sentidas pelos nossos predecessores no s´culo 19 e se criou o conceito de
e
no¸˜es b´sicas que, junto com os postulados formariam, o background da teoria e seria
co a
aceitas sem discuss˜o, a menos que outra teoria seja desejada.
a
Conjunto ´, para a Teoria dos Conjuntos, esta no¸˜o primeira. Os que nos prece-
e ca
deram no in´ ıcio do s´culo 20 e escreveram sobre esta teoria, ficaram circulando entre
e
palavras como agregado, lista ou conjunto, tentando com uma, justificar a outra. De-
pois de algum tempo a frase “conjunto ´ uma id´ia b´sica, que n˜o iremos definir”,
e e a a
come¸ou a prevalecer nos textos.
c
N˜o definiremos conjunto como ningu´m definiu para vocˆ as primeiras palavras
a e e
da lingua que vocˆ fala. Diziam-lhe, no come¸o, que um determinado objeto era
e c
uma cadeira e que outro era uma mesa sem lhe apresentar nenhuma l´gica porque
o
uma cadeira n˜o seria uma mesa, ou vice-versa. Somente depois, quando vocˆ j´ havia
a e a
adquirido algum vocabul´rio b´sico ´ que lhe foi dado o direito de fazer perguntas. Para
a a e
n˜o agir de forma t˜o autorit´ria, daremos alguns exemplos de conjuntos, escreveremos
a a a
algumas frases iniciais de forma semelhante ao modo como vocˆ aprendeu a falar...
e
11

14. Escrevemos:
{a, e, i, o, u} ´ um conjunto,
e
“a” ´ um elemento deste conjunto,
e
e, i, o, u tamb´m o s˜o.
e a
Temos uma simbologia para resumir a frase “a ´ um elemento do conjunto {a, e, i, o, u}”.
e
• Inicialmente damos um nome ao conjunto {a, e, i, o, u} escrevendo:
A = {a, e, i, o, u}.
• Depois diremos a ∈ A, em que o s´
ımbolo “∈” lˆ-se “pertence”.
e
• Ent˜o as frases a ∈ A, e ∈ A, i ∈ A s˜o senten¸as verdadeiras. Da mesma forma
a a c
as senten¸as:
c
b ∈ A, c ∈ A
s˜o falsas e a nega¸˜o delas ´
a ca e
b ∈ A, c ∈ A.
/ /
ımbolo ∈ lˆ-se ”n˜o pertence”.
em que o s´ / e a
Observa¸˜o 1 Sintaxe e linguagem
ca
N˜o fizemos nenhuma tentativa de definir os s´
a ımbolos
∈, ∈ .
/
Tudo que fizemos foi escrever frases para lhe mostrar qual era a sintaxe do uso destas
palavras.
Estamos construindo uma linguagem e o m´todo se assemelha `quele usado no
e a
aprendizado da lingua materna: em lugar de explicar como s˜o as coisas, damos exem-
a
plos mostrando como as coisas funcionam. As linguagens, sejam elas naturais ou
linguagens de computador tˆm uma semelhan¸a que ´ preciso salientar:
e c e
• nomes
H´ s´
a ımbolos chamados nomes, os substantivos, que guardam o significado de
objetos com os quais fazemos algumas ou que fazem algumas coisas. Alguns
destes s´
ımbolos s˜o chamados vari´veis;
a a
A ´ um nome que guarda o valor {a, e, i, o, u}. A ´ uma vari´vel.
e e a
Outros s´ımbolos tem um uso mais est´vel, o valor deles ´ imut´vel, e eles s˜o
a e a a
chamados identificadores.
cadeira ´ um exemplo de identificador da linguagem brasileira, coisa ´ um
e e
exemplo de vari´vel da linguagem brasileira;
a
• predicativos H´ palavras que representam a a¸ao ou a qualifica¸ao a ser
a c~ c~
exercida sobre as vari´veis, verbos ou conjuntos de palavras, chamados predica-
a
tivos;
∈, ∈
/
s˜o predicativos;
a
• controle do fluxo l´gico H´ palavras que representam a conex˜o l´gica ou o
o a a o
controle l´gico, enfim a decis˜o nas bifurca¸˜es,
o a co se, ent˜o,
a
controlam o fluxo l´gico da linguagem, s˜o pontos de decis˜o do discurso;
o a a

15. • operadores l´gicos A l´gica (e consequentemente a teoria dos conjuntos) tem
o o
operadores que transformam proposi¸˜es em outras proposi¸˜es,
co co
e, ou, ⇒, n˜o
a
s˜o operadores l´gicos.
a o
e, ou, ⇒
s˜o operadores bin´rios, quer dizer que recebem dois parˆmetros para modificar
a a a
criando um terceiro.
n˜o
a
´ um operador un´rio, quer dizer, recebe um unico parˆmetro para modificar.
e a ´ a
A Matem´tica, como as linguagens de computador, tem estas caracter´
a ısticas. O
que difere a Matem´tica ou uma linguagem de computador das linguagens naturais ´
a e
a ausˆncia de aspectos subjetivos, presentes nas linguagens naturais, que tornam os
e
substantivos multi-valuados. Se espera que a Matem´tca ou as linguagens de computa-
a
dor n˜o tenham semˆntica, portanto n˜o tenham ambigu¨
a a a ıdades... mas existe tamb´m
e
Inteligˆncia Artificial, que ´ computa¸˜o e admite ambigu¨
e e ca ıdades.
Agora vem a primeira defini¸˜o. Nela vamos tomar alguns elementos b´sicos e lhes
ca a
aplicar operadores l´gicos produzindo um novo elemento, ou conceito.
o
Defini¸˜o 1 Subconjunto
ca
Dado um conjunto A diremos que um outro conjunto B ´ um subconjunto do
e
primeiro, em s´
ımbolos
B⊂A
se a frase seguinte for verdadeira
x ∈ B ⇒ x ∈ A.
Para demonstrar que um determinado conjunto ´ subconjunto de outro, temos que
e
verificar, exaustivamente, a frase
x∈B⇒x∈A
para todos os elementos de B ou apresentar uma dedu¸˜o l´gica desta frase.
ca o
Por exemplo, o conjunto
V = {a, e, i, o, u}
´ um subconjunto de
e
A = {a, b, c, d, e, f, ..., z}
V = {a, e, i, o, u} ⊂ {a, b, c, d, ..., z} = A.
porque Dem :
V ´ um conjunto de vogais
e (1.1)
A ´ o conjunto de todas as letras
e (1.2)
x ∈ V ⇒ x ´ uma letra ⇒ x ∈ A
e (1.3)
x∈V ⇒x∈A≡V ⊂A (1.4)
q.e.d .

16. Na demonstra¸˜o acima fizemos uma dedu¸˜o l´gica da inclus˜o sem necessitar
ca ca o a
de fazer uma verifica¸˜o exaustiva, elemento por elemento, de que os elementos de V
ca
tamb´m eram elementos de A. Vamos apresentar outro demonstra¸˜o em que, exaus-
e ca
tivamente, iremos testar a verdade V ⊂ A. Dem :
a∈V ea∈A (1.5)
e∈V ee∈A (1.6)
i∈V ei∈A (1.7)
o∈V eo∈A (1.8)
u∈V eu∈A (1.9)
q.e.d . Observe que um pouco mais acima haviamos escrito
A = {a, e, i, o, u}
e agora usamos V = {a, e, i, o, u}. N˜o h´ nenhum erro nisto, mas obviamente devemos
a a
evitar de usar t˜o seguidamente “valores” diferentes1 para uma vari´vel.
a a
Exerc´
ıcios 1 Sintaxe e l´gica
o
1. nome, predicado, controle l´gico do fluxo, opera¸˜o
o ca
Identifique nas frases abaixo o que ´ nome, predicado, controle de fluxo
e
(a) x ∈ A
(b) A e B
(c) A ou B
(d) Se x ∈ A ent˜o x ∈ B
a
(e) Enquanto x ∈ A escreva x
(f ) x ∈ A ⇒ x ∈ B
2. Mostre que V = {0, 2, 4, 6, 8} ⊂ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} = A usando uma dedu¸˜o
ca
l´gica, (isto ´), sem verificar a veracidade de cada uma das poss´
o e ıveis rela¸˜es
co
x ∈ V ⇒ x ∈ A. Solu¸˜o: Como A ´ o conjunto de todos as n´meros menores que
ca e u
10, ent˜o para qualquer que seja x ∈ V , como x ´ n´mero par menor do que 10 ent˜o
a e u a
x ∈ A isto ´
e
x ∈ V ⇒ x ∈ A ⇐⇒ V ⊂ A
3. Apresente os elementos dos conjuntos definidos por
(a) {x ∈ N; x < 10}
(b) {x ∈ N; x > 10}
(c) {x ∈ N; 3 < x < 10}
(d) {x ∈ N; 3 ≤ x < 10}
(e) {x ∈ N; 3 ≤ x ≤ 10}
(f ) {x ∈ N; x < 0}
(g) {x ∈ N; x ´ par}
e
(h) {x ∈ N; x ´ impar}
e
1 isto ´ bem natural num programa de computador, mas deve ser evitado num texto para
e
leitura humana

17. 4. Propriedades, “desigualdade” e “contido”
(a) Se P = {x ∈ N; x ´ par} e I = {x ∈ N; x ´ impar} ent˜o ´ verdade que
e e a e
• P ⊂I ?
• I⊂P ?
(b) Dados dois n´meros naturais, x, y ∈ N ent˜o ´ verdade que (tricotomia)
u a e
a) x < y ou; b)x > y ou; c)x=y
(c) i. Descreva as propriedades que vocˆ conhece de ”<”em N.
e
ii. Descreva as propriedades que vocˆ conhece de ”⊂”entre conjuntos.
e
iii. Se vocˆ fosse aplicar o adjetivo “fraca” a uma das duas rela¸˜es <, ⊂,
e co
qual das duas receberia o adjetivo, a partir do resultado dos dois itens
anteriores.
5. Quais dos conjuntos seguintes, tomados dois a dois, s˜o diferentes:
a
, {}, {0}
Solu¸˜o: Todos s˜o diferentes:
ca a
• O conjunto {0} cont´m um elemento, o n´mero zero;
e u
• O conjunto {} cont´m um elemento, o conjnto v´zio;
e a
• O conjunto ´ o conjunto v´zio, n˜o tem elementos.
e a a
6. Construa um diagrama representando o conjunto U , universo, e mais os con-
juntos A, B, C tal que
A⊂B ; B⊂A ; C⊂A; C⊂B
Solu¸˜o: Observe na figura (fig. 1.1) p´gina 12, a representa¸˜o gr´fica da solu¸˜o.
ca a ca a ca
7. Considere A = {0, 1, 2, 3} e determine:
(a) O n´mero de subcojuntos de A.
u
(b) Quantos subconjuntos de A possuem 2 elementos.
(c) Quantos subconjuntos de A possuem 4 elementos.
1.2 Conjunto e estrutura.
Vocˆ viu um primeiro exemplo de estrutura em dos exerc´
e ıcios acima quando lhe pe-
dimos para descrever as propriedades de “<” em N ou as propriedades de “⊂” entre
conjuntos. Vamos discutir mais a fundo este conceito agora. Lembre-se do m´todoe
que adotamos, n˜o vamos dizer-lhe tudo, vocˆ ter´ que descobrir os fatos a partir dos
a e a
exemplos.
Exemplo 1 Figura plana.
• Um triˆngulo fica bem determinado pelos seus tres v´rtices.
a e
• Um quadril´tero pelos seus quatro v´ rtices.
a e
• Podemos falar do conjunto Pde todos os pol´
ıgonos do plano.

18. B
U A
F
C
E
Figura 1.1: O conjunto universo e tres subconjuntos
Outro conceito associado aos pol´ ıgonos ´ “´rea”. Podemos criar uma estrutura as-
e a
sociada aos poss´ıveis pol´
ıgonos determinados por conjuntos finitos de pontos do plano,
que v˜o constituir os v´rtices dos pol´
a e ıgonos. Se aplicarmos o m´todo “´rea” a este
e a
conjunto de pol´ıgonos, e se designarmos este m´todo com a letra A, estamos fazendo
e
referˆncia ˚
e aestrutura (P,A).
Exemplo 2 Grafos
Um conjunto finito de pontos do plano determina um pol´
ıgono mas podemos vˆ-lo
e
sobre outro enfoque.
A figura (fig. 1.2) p´gina 13, cont´m um exemplo de grafo com v´rios caminhos
a e a
tendo como oirgem O. Por exemplo
OABCD, OCD, OACD, OED.
Observe que as setas indicam o sentido do fluxo.
Um grafo ´ um m´todo associado a um pol´
e e ıgono. Agora, em vez de calcularmos
´reas, estamos definindo caminhos poss´ veis entre os “n´s”. O resultado ´ um grafo.
a ı o e
Se designarmos um grafo qualquer com a letra G agora estamos estudando (P,G).
Os grafos s˜o usados para modelar o fluxo do trˆnsito, ou as rotas de entregas
a a
de mercadorias, rotas de linhas ar´as, enfim tudo que envolver “caminhos” entre um
e
conjunto de n´s dados.
o
Agora os v´rtices se chamam n´s.
e o
Exemplo 3 Semelhan¸a
c

19. E
D
O
A C
B
Figura 1.2: Um grafo com 6 n´s
o
Se considerarmos ainda o conjunto de todos os pol´
ıgonos, podemos identificar, dois
´ um outro m´todo que podemos associar aos
a dois, aqueles que sejam semelhantes. E e
pol´
ıgonos.
Podemos designar a semelhan¸a com o s´
c ımbolo ≈ e neste caso estamos estudando
(P,≈).
Vejamos um exemplo bem diferente dos anteriores, mas sempre em torno do as-
sunto: conjunto, m´todo, estrutura.
e
Exemplo 4 Conjunto dos n´meros naturais
u
No conjunto N = {0, 1, 2, · · ·} podemos considerar o m´todo adi¸˜o. Neste caso
e ca
estamos estamos estudando (N,+).
Se, ao inv´s de associarmos aos n´meros naturais o m´todo adi¸˜o, lhe associarmos
e u e ca
o m´todo multiplica¸˜o, estaremos considerando a estrutura (N,·).
e ca
Vamos resumir as id´ias contidas nos exemplos acima.
e
• m´todos Associados ao conjunto dos pol´
e ıgonos identificamos acima tres m´todos:
e
grafo, ´rea, semelhan¸a.
a c
Associado ao conjunto dos n´meros naturais, identificamos dois m´todos:
u e
adi¸˜o, multiplica¸˜o.
ca ca
Observe que esta listagem n˜o ´ exaustiva.
a e
• estrutura Quando analisamos um conjunto e um m´todo que esteja definido
e
nele, estamos estudando uma estrutura. Se analisarmos mais de um m´todo,
e
estaremos estudando uma estrutura mais complexa. Fomos levados assim a
considerar as seguintes estruturas:

20. 1. (P,G), (P,≈), (P,A) ;
2. (N, +),(N, ·)
• estruturas mais complexas
– (P,A,≈)
– (N, +, · )
Observa¸˜o 2 Conjunto finito e conjunto limitado.
ca
Os dois conceitos, conjunto finito e conjunto limitado s˜o diferentes.
a
O conjunto dos pontos do plano limitado pelos lados de um triˆngulo, ´ um conjunto
a e
limitado e isto significa que este conjunto pode ser colocado dentro de um c´ırculo. Em
outras palavras, o padr˜o para limita¸˜o s˜o os c´
a ca a ırculos.
Tudo que puder ser colocado dentro de um c´ ırculo ´ limitado.
e
Conjunto finito ´ aquele que cujos elementos podem ser contados. Neste caso a
e
frase “o n´mero de elementos do conjunto A ´ n” tem um sentido artim´tico, e n ∈ N.
u e e
O conjunto N pode ser representado sobre uma reta, neste caso ele aparece como
um conjunto de pontos que se “espalham” ao longo da reta a iguais intervalos.
O conjunto N ´ um conjunto infinito: n´s n˜o podemos colocar o conjunto N, re-
e o a
presentado na reta num´rica, dentro de um c´
e ırculo. Assim, N ´ um conjunto ilimitado,
e
tamb´m.
e
A frase
“o n´mero de elementos do conjunto N ´ ∞”
u e
n˜o tem um sentido aritm´tico. O s´
a e ımbolo ∞ n˜o ´ aritm´tico nem ´ um n´mero,
a e e e u
embora se possam fazer algumas extens˜es dos m´todos da aritm´tica incluindo o seu
o e e
uso.
N´s n˜o podemos contar os pontos que se encontram dentro de um triˆngulo, ent˜o
o a a a
o conjunto dos pontos limitados pelos lados de um triˆngulo ´ infinito. ´ um conjunto
a e e
infinito e limitado.
Exerc´ ıcio 1 No ultimo par´grafo a palavra “limitado” foi usada duas vezes com sen-
´ a
tidos diferentes. Vocˆ conseguiria distinguir estes dois sentidos?
e
O simples exemplo de um triˆngulo j´ nos permitiu divagar por trˆ s teorias ma-
a a e
tem´ticas, isto mostra a riqueza do conceito “conjunto” que permite associar, (ou
a
dissociar), formas diferentes de analise dum objeto como um simples triˆngulo.
a
O m´todo que utilizamos est´ ligado ao conceito de elemento de um conjunto.
e a
Quando olhamos um triˆngulo como um conjunto finito, estamos nele identificando
a
tres elementos apenas, os tres v´rtices. Quando pensamos na ´rea, na medida, de
e a
um triˆngulo, estamos pensando no conjunto infinito formado por todos os pontos do
a
plano limitado pelos tres lados.
Observe, entretanto, que ´rea nada tem o que ver com a quantidade de pontos do
a
triˆngulo. A ´rea do triˆngulo ´ finita, ´ um n´mero, e um triˆngulo ´ um conjunto
a a a e e u a e
infinito de pontos.
Quando pudermos identificar propriedades associadas aos elementos do conjunto,
diremos que temos uma estrutura. H´ quem identifique conjunto como uma estrutura,
a
seria uma estrutura zero, inicial.
Exerc´
ıcios 2 Identifica¸˜o de estruturas
ca
1. triˆngulos, ´rea, semelhan¸a
a a c

21. (a) Especifique uma estrutura usando os conceitos de triˆngulo e ´rea. Liste
a a
as propriedades.
(b) Torne a estrutura anterior mais complexa agregando-lhe o conceito de se-
melhan¸a. Liste as propriedades, (monte alguns exemplos afim de descobrir
c
as propriedades que podem ser listadas).
2. Considere o conjunto
A = {0, 1, 2, . . . , 9}.
(a) Use o conjunto A para indexar objetos. Dˆ exemplos.
e
(b) Verifique que n˜o tem sentido a express˜o
a a
x, y ∈ A ⇒ x + y ∈ A.
Por que ?
(c) quest˜o semelhante ˚
a aanterior Use o conjunto
A = {0, 1, 2, . . . , 9}
para contar objetos. Dˆ exemplos.
e
(d) Verifique que agora a express˜o
a
x, y ∈ A ⇒ x + y ∈ A,
tem sentido, mas nem sempre ´ verdadeira. Dˆ exemplos.
e e
3. Vocˆ tem certeza de que sempre que vir um n´mero, ele de fato ´ um n´mero?
e u e u
4. Comente a seguinte frase: o problema detectado nos itens acima se deve a
nossa pobreza de linguagem, usamos o conjunto A duas vezes, com sentidos
diferentes. Vocˆ conhece outras situa¸˜es semelhantes a esta? Dˆ exemplos.
e co e
Haveria solu¸˜o para o problema que detectamos?
ca
5. conjunto, m´todo, estrutura
e
(a) Monte uma estrutura com os conceitos:
H = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
+
(b) Descreva as propriedades da estrutura (H, +).
(c) Torne a estrutura anterior mais complexa incluindo mais algum outro
m´todo que possa ser aplicado aos elementos do conjunto b´sico, por exem-
e a
plo < .
(d) Verifique se h´ alguma rela¸˜o entre os dois (ou mais) m´todos que vocˆ
a ca e e
definiu, se houver fa¸a uma especifica¸˜o detalhada da estrutura.
c ca
6. Repita o exerc´
ıcio anterior com o conjunto N dos dos n´meros naturais.
u
7. ´rea Qual ´ a defini¸˜o de ´rea?
a e ca a
8. Fa¸a uma frase com os conceitos “´rea”e “regi˜o”.
c a a
Exemplo 5 Dados estruturados.

22. 1. “trˆ s agregados diferentes”
e
Se olharmos para o “aglomerado” seguinte de n´meros:
u
1107991334
eles podem nos lembrar muitas coisas. Se perguntassemos a v´rias pessoas o que
a
eles significavam poderiamos obter muitas respostas.
Mas se mostrassemos `s pessoas os mesmos n´meros assim dispostos:
a u
11/07/99 : 13 : 34,
algumas pessoas, facilmente, identificariam a´ uma data, um dia do ano, seguido
ı
de uma hora.
Tamb´m poder´
e ıamos ter apresentado os algarismos assim:
01107991334
e, ainda com certa hesita¸˜o, algu´m poderia arriscar: “n˜o seria um n´mero
ca e a u
de telefone al´ de S˜o Paulo?”
ı a
Pois ´, o que mudou nos tres exemplos?
e
2. um agregado com regras alg´bricas. O que torna diferentes
e
11/07/99 : 13 : 34 e 01107991334 ?
Claro, um desses agregados representa um “ponto” no tempo em que vivemos.
“11/07/99 : 13 : 34” obedece a uma regra alg´brica “muito complicada” mas que
e
n´s dominamos. Se 1 representar “um minuto”, sabemos calcular:
o
11/07/99 : 13 : 34 + 1 = 11/07/99 : 13 : 35.
Se 59 representar “59 minutos, tamb´m sabemos calcular:
e
11/07/99 : 13 : 34 + 59 = 11/07/99 : 14 : 33,
apesar da regra complicada que tem a´ de passagem de uma casa para a outra.
ı
Se 2 : 3 : 10 representarem “dois dias, 3 horas e 10 minutos, sabemos calcular:
11/07/99 : 13 : 34 + 2 : 3 : 10 = 13/07/99 : 16 : 44.
Ent˜o, concluimos, existe uma opera¸˜o de adi¸˜o, munidas regras bem compli-
a ca ca
cadas, mas que todos conhecemos, de modo que podemos discutir qual ´ estrutura
e
aditiva do conjunto que vamos chamar de
T,
o tempo, junto com a opera¸˜o de soma de tempos:
ca
(T , +).
N˜o vamos entrar nestes detalhes agora, mas todos entendemos o que isto sig-
a
nifica.

23. 3. um agregado sem opera¸˜es alg´bricas. Se tentassemos somar
co e
(011)334575 + (021)223443
ningu´m duvidaria em desatar numa gargalhada: n˜o se soma n´mero de tele-
e a u
fone.
Mas se houvesse um cat´logo de telefones ordenado pelos n´ meros, seria util.
a u ´
Quantas vezes vocˆ tem um n´mero anotado num papel e n˜o sabe de quem ´?
e u a e
Ningu´m duvidaria que
e
(021)223443 < (021)332331
no sentido de que (021)223443 deveria vir antes de (021)332331 na listagem.
Embora n˜o possamos somar n´meros de telefones, eles tem propriedades alg´bricas,
a u e
pouco utilizadas, ´ verdade. Existe uma “ordem” definida no conjunto dos
e
n´meros dos telefones.
u
Exerc´
ıcios 3 Criando estruturas.
1. Defina a estrutura “calend´rio”, estabele¸a qual ´ o seu conjunto b´sico (ou
a c e a
conjuntos) seus m´todos, etc...
e
2. Defina a estrutura “cat´logo telefˆnico”, conjunto b´sico, m´todos, etc...
a o a e
3. Defina a estrutura “livro”, fa¸a uma especifica¸˜o o mais completa poss´
c ca ıvel.
4. Defina a estrutura “figuras planas”, conjunto b´sico, m´todos etc...
a e
5. Torne a estrutura “figuras planas” mais complexa adicionando um m´todo para
e
˜
para comparA¡-las e decidir quando as figuras s˜o semelhantes.
a
6. Torne a estrutura “figuras planas” ainda mais complexa, adicione um m´todo
e
que associe a cada figura um n´mero chamado ´rea. Especifique detalhadamente
u a
a estrutura, conjuntos, m´todos, propriedades.
e
7. dif´
ıcil... Acima falamos de uma ordem no cat´logo telefˆnico, o que subentende
a o
que existam v´rias ordens. Tente encontrar trˆs exemplos de estrutura de or-
a e
dem, diferente da habitual: a ordem nos conjuntos num´ricos. Vamos estudar
e
“ordem” no cap´ ıtulo 3, (de um salto ao cap´
ıtulo 3).
Os exemplos dados acima mostram que as informa¸˜es s˜o “agregados” de algaris-
co a
mos e letras dispostos segundo certas regras espec´ ıficas de uma determinada “estru-
tura”.
Algarismos e letras s˜o apenas dois tipos diferentes de “caracteres” que formam o
a
nosso “alfabeto escrito”. Existiria outro tipo de “alfabeto” que n˜o seja o escrito?
a
N˜o definimos estrutura, mas usamos a palavra em diversos contextos de formas a
a
passar-lhe o seu sentido intuitivo. Observe o livro de Leopoldo Nachbin, [5] se quiser
se iniciar agora nas estruturas alg´bricas, ou [3] que ´ um pouco mais avancado que o
e e
anterior.
Os exerc´ıcios destes cap´
ıtulo tratam das propriedades dos conjuntos, dos seus ele-
mentos, dos sub-conjuntos de um conjunto universo dado.

24. 1.3 Conjunto, elemento e subconjunto.
Neste momento nos encontramos ante dois tipos de objetos: conjuntos, elementos.
Entre os dois existe uma diferen¸a hier´rquica.
c a
x ∈ x ´ sempre falso
e x ⊂ x ´ sempre verdadeiro
e (1.10)
Na segunda equa¸˜o estamos dizendo que x ´ um conjunto, na primeira equa¸˜o
ca e ca
estamos dizendo que x ´ simultaneamente conjunto e elemento, isto ´ imposs´
e e ıvel. N˜o
a
iremos insistir numa discuss˜o direta sobre a diferen¸a entre elemento e conjunto.
a c
Esta diferen¸a ser´ salientada construtivamente.
c a
Exerc´
ıcios 4 Inclus˜o e pertinˆncia
a e
1. Considere N = {0, 1, 2, 3, . . .}. Liste os elementos dos conjuntos abaixo:
a) A = {x ; x ∈ N ; x < 10} b) B = {x ; x ∈ N ; 5 < x < 15}
c) C = {x ; x ∈ N ; x < 0} d) D = {x ; x ∈ N ; x < 10}
2
e) E = {x ; x ∈ N ; x < 10} f ) F = {x ∈ N ; x ´ primo; x < 30}
3
e
2. Qual das senten¸as seguintes ´ verdadeira:
c e
a) 3 ∈ A b) 0 ∈ A c) −3 ∈ A d) A ⊂ B
e) B ⊂ A f ) C ⊂ A g) D ⊂ A h) E ⊂ A
i) D ⊂ B j) E ∈ A k) E ⊂ A l) E ⊂ D
3. Use diagramas de Venn para representar as rela¸˜es que for poss´
co ıvel entre os
conjuntos A, B, C, D, E.
4. Escreva todos os subconjuntos do conjunto
A = {0, 1, 2, 3}.
O conjunto assim obtido se chama P(A), o conjunto2 das partes de A.
(a) Classifique os elementos de P(A), segundo a sua quantidade de elementos.
(b) Fa¸a um diagrama de Hasse com os elementos de P(A).
c
(c) Fa¸a uma tabela indicando a frequˆncia dos elementos de P(A) pelo n´mero
c e u
dos seus elementos. Por exemplo quantos sub-conjuntos tem A com 2
elementos.
5. estrutura de P(A).. Considere agora A = {0, 1, 2}.
(a) Classifique os elementos de P(A), segundo a sua quantidade de elementos.
(b) Fa¸a um diagrama de Hasse com os elementos de P(A).
c
(c) Fa¸a uma tabela indicando a frequˆncia dos elementos de P(A) pelo n´mero
c e u
dos seus elementos. Por exemplo quantos sub-conjuntos tem A com 2
elementos.
6. Repita a quest˜o anterior com A = {0, 1}.
a
7. Repita a quest˜o anterior com A = {0}.
a
8. Repita a quest˜o anterior com A = {}.
a
2O conjunto dos subconjuntos de A.

25. 9. Colecte as tabelas de freq¨ˆncia feitas nas quest˜es acima. O resultado deve
ue o
ser o triˆngulo de Pascal. Vamos chamar de linha de ordem n do triˆngulo de
a a
Pascal `quela que corresponder a um conjunto com n elementos. Quer dizer que
a
a primeira linha, contendo apenas 1 ´ a linha de ordem 0. Verifique que que os
e
n´ meros em cada linha s˜o os n´meros combinat´rios:
u a u o
p
Cn = (n ).
p
p
Vocˆ poder´ ler Cn como a quantidade de subconjuntos com p elementos que
e a
podemos encontrar num universo com n elementos.
10. Escreva o triˆngulo de Pascal at´ a linha de ordem 10 e compare com os con-
a e
juntos:
• A = {}.
• A = {0}.
• A = {0, 1}.
• A = {0, 1, 2}.
• ...
• A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
11. Seja A = {1, 2, {1, 2}, 3, {3}, 4}. Determine quais das afirma¸˜es abaixo ´ ver-
co e
dadeira, justificando seu entendimento.
a) {1, 2} ∈ A. b) {1, 2} ⊂ A. c) {1, 2, 3} ∈ A. d) {1, 2, 3} ⊂ A.
e) {3} ∈ A. f ) {3} ⊂ A. g) 3 ∈ A. h) A ⊂ A
12. Considere U = {1, 2, 3}. Se A, B forem sub-conjuntos arbitr´rios de U, encontre
a
o n´mero de rela¸˜es do tipo A ⊂ B que ´ poss´ escreverem-se.
u co e ıvel
As 15 primeiras linhas do Triˆngulo de Pascal
a
1
11
121
1331
14641
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1
1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1
1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1
1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1
Observa¸˜o 3 Cardinalidade.
ca
Nesta se¸˜o trabalhamos com os conceitos,
ca
1. Conjuntos;

26. 2. m´todos e estruturas;
e
3. pertinˆncia;
e
4. inclus˜o;
a
5. n´mero de elementos de um conjunto.
u
Mais a frente, o cap´
ıtulo 2, ser´ dedicado exclusivamente ao ultimo assunto.
a ´
Se um conjunto for finito, tem sentido falar do n´mero de seus elementos. Se
u
um conjunto n˜o for finito, exatamente, isto quer dizer que ele n˜o tem mais um
a a
determinado n´mero de elementos, mesmo porque n˜o h´ “n´mero infinito”.
u a a u
Uma extens˜o deste conceito ´ a cardinalidade. Quando n˜o pudermos falar do
a e a
“n´mero de elementos de A”, ent˜o falaremos do “cardinal de A.” Voltaremos no
u a
final do cap´
ıtulo 2 a este assunto.
1.4 Opera¸˜es com conjuntos
co
Uni˜o, interse¸˜o e diferen¸a
a ca c
Nesta se¸ao discutiremos tres opera¸oes (m´todos) entre conjuntos: uni˜o, interse¸ao e dife-
c˜ c˜ e a c˜
ren¸a. Faremos um paralelo entre estas opera¸oes e as opera¸oes da l´gica formal.
c c˜ c˜ o
1.4.1 Uni˜o e interse¸˜o de conjuntos.
a ca
Defini¸˜o 2 Uni˜o, A B.
ca a
Dados dois conjuntos A, B dizemos que
AU B = {x ; x ∈ A ou x ∈ B}
Diagramas de Venn facilitam a compreens˜o das opera¸˜es mas tamb´m podem
a co e
induz´ em erros l´gicos.
ı-lo o
A figura (fig. 1.3), p´gina 21 ilustra a uni˜o de conjuntos. Usamos a uni˜o quando
a a a
quisermos reunir, num s´ conjunto, os elementos de dois ou mais conjuntos.
o
Defini¸˜o 3 Interse¸˜o, A B.
ca ca
Dados dois conjuntos A, B dizemos que
A ∩ B = {x ; x ∈ A e x ∈ B}
isto ´, para que x ∈ A ∩ B, x tem que ser simultˆneamente elemento de cada um dos
e a
conjuntos.
A figura (fig. 1.4), p´gina 22 ilustra a interse¸˜o de dois conjuntos. Usamos a
a ca
interse¸˜o quando quisermos os elementos que forem comuns a dois outros conjuntos.
ca
Na figura (fig. 1.5) p´gina 22 vocˆ pode ver duas retas paralelas, que s˜o dois conjuntos
a e a
“sem nenhum ponto de interse¸˜o”. Neste caso o conjunto vazio resolve o problema
ca
criando uma solu¸˜o:
ca
r t = ∅.
Exerc´
ıcios 5 1. Calcule A ∩ B e A ∪ B se

27. Figura 1.3: A uni˜o de trˆs conjuntos.
a e
• A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
• B = {5, 6, 7, 8, 9}
2. Se V representar o conjunto de todas as vogais, e C o de todas as consoantes,
calcule V ∩ C, V ∪ C.
3. Represente com diagramas de Venn, (identifique as express˜es que estiverem
o
indefinidas):
a) A ∪ B; b) B ∪ A ; c) A ∩ B; d) A ∪ B ∪ C;
e) A ∩ B ∩ C; f ) (A ∪ B) ∩ C; g) A ∪ B ∩ C; h) (A ∩ B) ∪ C;
i) A ∩ B ∪ C; j) A ∪ (B ∩ C);
4. Verifique quais das senten¸as abaixo s˜o verdadeiras:
c a
(a) A ∪ B = B ∪ A;
(b) B ∩ A = A ∩ B;
(c) (A ∪ B) ∩ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C);
(d) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C);
(e) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C);
(f ) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C);
(g) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C);
(h) A ∪ B ∩ C = A ∪ (B ∩ C);
5. Qual das afirma¸˜es abaixo ´ a falsa:
co e
• A ∩ B ⊂ A;
• A ∪ B ⊂ A;

28. B
A
Figura 1.4: A interse¸˜o de dois conjuntos
ca
r
t
Figura 1.5: A interse¸˜o de duas retas
ca
• A ⊂ A ∪ B;
• A ∩ B ⊂ A ∪ B;
A unica afirma¸˜o falsa pode ser verdadeira em caso particular dos conjuntos
´ ca
A, B. Explicite tal caso.
Observa¸˜o 4 Indefini¸˜o de express˜es.
ca ca o
T´cnicamente falando, as express˜es:
e o
• A ∪ B ∪ C;
• A ∩ B ∩ C;
• A ∪ B ∩ C;
• A ∩ B ∪ C;
est˜o indefinidas, porque n˜o fica claro que opera¸˜o deve ser efetuada primeiro.
a a ca
Aqui que se vˆ a importˆncia da propriedade associativa que algumas vezes
e a
vale, outras vezes n˜o vale.
a

29. Por exemplo, se a, b, c ∈ N, a, b, c = 0, ent˜o
a
(a ÷ b) ÷ c = a ÷ (b ÷ c),
porque
a
(a ÷ b) ÷ c =
bc
enquanto que
b c ac
a ÷ (b ÷ c) = a ÷ =a· = ;
c b b
Concluimos que a “divis˜o n˜o ´ associativa.”
a a e
Como uni˜o ´ associativa, ent˜o A ∪ B ∪ C est´ bem definida. Da mesma forma
a e a a
como a interse¸˜o ´ associativa, ent˜o A ∩ B ∩ C est´ bem definida.
ca e a a
Como a interse¸˜o ´ distributiva relativamente ` uni˜o ent˜o
ca e a a a
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ C
o que deixa a express˜o “A∪B ∩C” indefinida. Veja que n´s sabemos realizar, apenas,
a o
duas opera¸˜es de cada vez, ent˜o temos que interpretar uma express˜o como A∪B ∩C
co a a
como uma das duas formas escritas acima com parentesis.
Fazendo um diagrama de Venn vocˆ vai se dar contas rapidamente de que as duas
e
express˜es
o
A ∪ (B ∩ C) ; (A ∪ B) ∩ C
s˜o diferentes. Ao mesmo tempo este diagrama de Venn ´ uma demonstra¸˜o desta
a e ca
desigualdade porque apresenta um exemplo em que n˜o vale a igualdade.
a
Enfim,
• quando a propriedade associativa valer, a repeti¸˜o de uma opera¸˜o fica bem
ca ca
definida sem necessidade de patentesis. Quando ela n˜o valer, somos for¸ados
a c
a indicar com parˆntesis o que queremos dizer;
e
• quando a propriedade distributiva valer entre duas opera¸˜es somos for¸ados a
co c
indicar qual a express˜o desejada com o uso de parentesis:
a
a ∗ b + a ∗ c = a ∗ (b + c) = (a ∗ b) + c
Nas linguagens de programa¸˜o este problema de interpreta¸˜o de texto ´ contor-
ca ca e
nado criando-se uma prioridade entre as opera¸˜es.
co
O produto tem prioridade sobre ` adi¸˜o e subtra¸˜o, com isto significando que
a ca ca
“a + b ∗ c” vai ser entendido pela m´quina como a + (b ∗ c).
a
Prioridade entre as opera¸˜es
co
• primeiro se executam as potencia¸˜es e radicia¸˜es,
co co
• depois as multiplica¸˜es e divis˜es,
co o
• finalmente as adi¸˜es e as subtra¸˜es.
co co
Velha regra operat´ria, que se ensinava antigamente, e da qual os computadores
o
ainda se lembram...
Experimente com uma m´quina de c´lcular:
a a
• 32 ∗ 7 = 7 ∗ 32 = 63
• 3 ∗ 2 + 7 = 7 + 3 ∗ 2 = 42
• 6÷2+3 =3+6÷2 =6

30. 1.4.2 Complementar e diferen¸a entre conjuntos.
c
O complementar de um conjunto A s˜o os elementos que n˜o pertencem ao conjunto
a a
A relativamente a um outro conjunto chamado universo.
Observe a figura (fig. 1.6) na p´gina 25. Nela est˜o representados tres conjuntos
a a
A, B, U. Os conjuntos A, B s˜o subconjuntos de U que se chama, por esta raz˜o, con-
a a
junto universo.Na figura se encontra hachuriado o complementar de B relativamente
ao universo.
O complementar ´ designado com o s´
e ımbolo B c ou alumas vezes com CU B. Nesta
ultima nota¸˜o se quer deixar claro que o complementar ´ um conceito relativo. Mu-
´ ca e
dando o conjunto universo, muda o complementar.
Se define a diferen¸ a entre dois conjuntos assim:
c
Defini¸˜o 4 Diferen¸a entre conjuntos.
ca c
Dados dois conjuntos A, B
A − B = {x ; x ∈ A e x ∈ B}
Se produz um novo conjunto a partir do conjunto A, formado de todos os ele-
mentos de A que n˜o perten¸am a interse¸˜o A ∩ B :
a c ca
A − B = A − (A ∩ B).
Na figura (fig. 1.6) p´gina 25, vocˆ pode ver a diferen¸a entre os conjuntos A,B
a e c
nesta ordem. Observe que
A − (A ∩ B) = A − B (1.11)
B − A = B − (A ∩ B) (1.12)
A−B =B−A (1.13)
estas equa¸˜es cont´m as id´ias da demonstra¸˜o do seguinte teorema:
co e e ca
Teorema 1 Diferen¸a n˜o ´ comutativa
c a e
A−B =B−A
Da defini¸˜o podemos concluir uma propriedade da diferen¸a de conjuntos:
ca c
Teorema 2 Diferen¸a e complementar
c
A−B =A Bc
Exerc´
ıcios 6 1. Calcule A − B para os conjuntos abaixo:
(a) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ; B = {5, 6, 7, 8, 9, 10}
(b) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ; B = {5, 6, 7, 8, 9, 10}
(c) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ; B = {7, 8, 9, 10}
(d) A = {5, 6, 7, 8, 9, 10} ; B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
(e) A = {5, 6, 7, 8, 9, 10} ; B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(f ) A = {7, 8, 9, 10} ; B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

31. U
A B
A − B
Figura 1.6: A diferen¸a entre os conjuntos A e B
c
2. Fa¸a os diagramas de Venn correspondentes a cada um dos itens na quest˜o
c a
anteior.
ıcio 1 se A − B = B − A ´ verdadeira ou falsa.
3. Deduza do exerc´ e
4. Prove que A − B = A − (A ∩ B).
5. Prove que se A ∩ B = A ∩ C ent˜o A − B = A − C.
a
Observa¸˜o 5 Provar, verificar, . . . se convencer.
ca
Um trauma comum entre as pessoas que estudam Matem´tica se encontra associado
a
ao conceito de provar. A palavra verificar ´ aceita com menor carga de preconceitos
e
do que provar.
´
E preciso perder e combater este preconceito. H´ muitas coisas dif´
a ıceis em Ma-
tem´tica, como as h´ em Biologia, Qu´ mica, F´
a a ı ısica ou Hist´ria. O conhecimento ´
o e
formado de fatos ´bvios para uns, (um mesmo teorema pode ser uma trivialidade para
o
algu´m) e uma barreira te´rica para outros.
e o
Mas, dif´
ıcil, ´ apenas aquilo que vai tomar mais tempo para ser compreendido, n˜o
e a
´ imposs´
e ıvel, ´ apenas dif´
e ıcil.
N˜o h´ outro meio de fazer Matem´tica, sem fazer demonstra¸˜es, esta ´ a essˆncia
a a a co e e
de nossa disciplina. Mas h´ passos para conduzir-nos a compreens˜o de um teorema
a a
e consequentemente ` sua demonstra¸˜o,
a ca
• um gr´fico,
a
• algumas constru¸˜es geom´tricas,
co e
• alguns modelos concretos com papel, ou sucata,
• um programa de computador.