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![Lista de Figuras
1.1 O conjunto universo e tres subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Um grafo com 6 n´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 13
1.3 A uni˜o de trˆs conjuntos. . . . . . .
a e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 A interse¸˜o de dois conjuntos . . . .
ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5 A interse¸˜o de duas retas . . . . . .
ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6 A diferen¸a entre os conjuntos A e B . .
c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1 ´
Arvore de possibilidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.2 A ∪ B∪C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.3 n(A ∪ B ∪ C ∪ D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.1 Diagrama de Hasse de P(A); A = {0, 1, 2, 3} . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2 Histograma dos enfermeiros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3 Evolu¸o do pre¸o do dolar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ c 76
3.4 gr´fico de f (x) = x dom´
a ınio A = {−10, −9, −8, ..., 10}. . . . . . . . . . . . 77
3.5 Gr´fico de f (x) = x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 78
3.6 gr´fico de f (x) = x + 1 dom´
a ınio A = {−5, −9, −8, ..., 5}. . . . . . . . . . . . 79
3.7 f (x) = x2 esta fun¸ao n˜o ´ sobrejetiva se dom´
c˜ a e ınio A = {−5, −4, −3, ..., 5};
contra-dom´ınio =
{−25, −24, . . . , 24, 24}.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.8 diferen¸ a, fun¸˜o linear afim . . . . . . . . . . . . . . .
c ca . . . . . . . . 85
3.9 a tangente do angulo α ´ a. . . . . . . . . . . . . . . . . .
ˆ e . . . . . . . . 86
3.10 Os pontos em que uma fun¸ao linear afim corta os eixos. . .
c˜ . . . . . . . . 87
3.11 A fun¸ao linear y = 2x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ . . . . . . . . 89
4.1 Fra¸oes equivalentes com denominadores diferentes 4 = 2 . .
c˜ 1
8
. . . . . . . . 105
4.2 Racionais e inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.3 entre dois racionais sempre h´ outro... . . . . . . . . . . . .
a . . . . . . . . 118
4.4 O intervalo [0, 1] colocado sob uma lente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.6 Raizes quadradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.1 A regra do paralelogramo para somar segmentos orientados . . . . . . . . . 130
5.2 Figuras semelhantes obtidas com um pant´grafo . . . . . . . .
o . . . . . . 131
5.3 Soma de segmentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.4 Adi¸ao e diferen¸a dos vetores a, b. . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ c . . . . . . 133
7](https://image.slidesharecdn.com/apmatuniversitaria-111209123006-phpapp01/85/Ap-mat-universitaria-9-320.jpg)
![5.5 Multiplica¸ao, m´dulo em R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ o 134
5.6 Adi¸ao, m´dulo, desigualdade em R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ o 135
5.7 A multiplica¸ao geom´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ e 137
5.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.1 A soma dos termos de uma P.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.2 ´
Area do trap´sio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e . 149
6.3 Coeficiente angular da reta e a raz˜o da P.A. . . . . . . . . . . . . . . .
a . 151
6.4 V´rias reta, seus angulos, sentido dos angulos . . . . . . . . . . . . . . .
a ˆ ˆ . 152
6.5 Um par de n´ meros representa um ponto no plano . . . . . . . . . . . .
u . 153
6.6 Equa¸ao de reta que passa na origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ . 154
6.7 duas retas paralelas, uma delas passa na origem . . . . . . . . . . . . . . 156
6.8 Discuss˜o geom´trica, sistema de equa¸oes . . . . . . . . . . . . . . . . .
a e c˜ . 163
6.9 O produto de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.10 Alguns pontos do gr´fico x → x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a . 238
6.11 Um gr´fico com mais densidade x → x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a . 239
6.12 Gr´fico de x → x2 com alta densidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a . 240
6.13 Uma par´bola e sua transla¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a c˜ . 240
6.14 duas transla¸oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ . 241
6.15 Homotetias da par´bola padr˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a a . 241
1 1
6.16 logaritmos base a; a ∈ { 5 , 2 , 2, e, 10} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
6.17 Primeira vers˜o do gr´fico do logaritmo - base maior do que 1 . . . . . .
a a . 242
6.18 Gr´fico do y = log2 (x) com os pontos de coordenadas inteiras salientados.
a . 243
7.1 Representa¸ao geom´trica dos complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ e 247
7.2 Produto de n´ meros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
u 248
7.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
7.4 Propriedades dos n´ meros complexos
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
7.5 Conjugado de um n´ mero complexo .
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
7.6 A proje¸ao de a + bi sobre S1 .
c˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
7.7 ızes da unidade . . . . . . . . .
As ra´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
7.8 ızes quartas da unidade . . . . . .
Ra´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
7.9 ızes terceiras de 2 . . . . . . .
As ra´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
7.10 ızes quintas de 7 . . . . . . . . .
Ra´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
7.11 ızes c´ bicas de 3 + 4i . . . . . . .
Ra´ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
8.1 R ⊂ R[x] ⊂ F([a, b]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280](https://image.slidesharecdn.com/apmatuniversitaria-111209123006-phpapp01/85/Ap-mat-universitaria-10-320.jpg)
![3. um agregado sem opera¸˜es alg´bricas. Se tentassemos somar
co e
(011)334575 + (021)223443
ningu´m duvidaria em desatar numa gargalhada: n˜o se soma n´mero de tele-
e a u
fone.
Mas se houvesse um cat´logo de telefones ordenado pelos n´ meros, seria util.
a u ´
Quantas vezes vocˆ tem um n´mero anotado num papel e n˜o sabe de quem ´?
e u a e
Ningu´m duvidaria que
e
(021)223443 < (021)332331
no sentido de que (021)223443 deveria vir antes de (021)332331 na listagem.
Embora n˜o possamos somar n´meros de telefones, eles tem propriedades alg´bricas,
a u e
pouco utilizadas, ´ verdade. Existe uma “ordem” definida no conjunto dos
e
n´meros dos telefones.
u
Exerc´
ıcios 3 Criando estruturas.
1. Defina a estrutura “calend´rio”, estabele¸a qual ´ o seu conjunto b´sico (ou
a c e a
conjuntos) seus m´todos, etc...
e
2. Defina a estrutura “cat´logo telefˆnico”, conjunto b´sico, m´todos, etc...
a o a e
3. Defina a estrutura “livro”, fa¸a uma especifica¸˜o o mais completa poss´
c ca ıvel.
4. Defina a estrutura “figuras planas”, conjunto b´sico, m´todos etc...
a e
5. Torne a estrutura “figuras planas” mais complexa adicionando um m´todo para
e
˜
para comparA¡-las e decidir quando as figuras s˜o semelhantes.
a
6. Torne a estrutura “figuras planas” ainda mais complexa, adicione um m´todo
e
que associe a cada figura um n´mero chamado ´rea. Especifique detalhadamente
u a
a estrutura, conjuntos, m´todos, propriedades.
e
7. dif´
ıcil... Acima falamos de uma ordem no cat´logo telefˆnico, o que subentende
a o
que existam v´rias ordens. Tente encontrar trˆs exemplos de estrutura de or-
a e
dem, diferente da habitual: a ordem nos conjuntos num´ricos. Vamos estudar
e
“ordem” no cap´ ıtulo 3, (de um salto ao cap´
ıtulo 3).
Os exemplos dados acima mostram que as informa¸˜es s˜o “agregados” de algaris-
co a
mos e letras dispostos segundo certas regras espec´ ıficas de uma determinada “estru-
tura”.
Algarismos e letras s˜o apenas dois tipos diferentes de “caracteres” que formam o
a
nosso “alfabeto escrito”. Existiria outro tipo de “alfabeto” que n˜o seja o escrito?
a
N˜o definimos estrutura, mas usamos a palavra em diversos contextos de formas a
a
passar-lhe o seu sentido intuitivo. Observe o livro de Leopoldo Nachbin, [5] se quiser
se iniciar agora nas estruturas alg´bricas, ou [3] que ´ um pouco mais avancado que o
e e
anterior.
Os exerc´ıcios destes cap´
ıtulo tratam das propriedades dos conjuntos, dos seus ele-
mentos, dos sub-conjuntos de um conjunto universo dado.](https://image.slidesharecdn.com/apmatuniversitaria-111209123006-phpapp01/85/Ap-mat-universitaria-23-320.jpg)
![Indu¸˜o finita.
ca
Vamos usar uma t´cnica chamada2 indu¸ao finita
e c~
A indu¸˜o finita consiste numa compara¸˜o com os n´meros naturais
ca ca u
N = {0, 1, 2, · · ·}
que sabemos ser um conjunto infinito de tal forma que, se
x∈N ⇒ x+1∈N
´ verdadeiro. x + 1 ´ chamado no conjunto dos axiomas de Peano de sucessor de x. O
e e
conjunto N cont´m todos os sucessores de todos os seus elementos.
e
Exemplo 10 V´lidade de uma f´rmula
a o
A soma dos n primeiros n´meros naturais ´
u e
n+1
1 + 2 + ··· + n = n
2
e n´s podemos prov´-lo usndo indu¸ao finita.
o a c~
Vamos chamar esta identidade de P (n), isto ´, uma proposi¸˜o que de depende de
e ca
n.
• Primeiro passo
Vamos verificar que a f´rmula vale para um valor inicial de n, por exemplo para
o
n = 2.
2+1
1+2 = 2=3
2
´ verdadeiro!
e
• Hip´tese de indu¸˜o
o ca
Vamos supor que a f´rmula seja ent˜o verdeira para um valor arbitr´rio de
o a a
n; n > 2 :
n+1
1 + 2 + ··· + n = n
2
´ verdade.
e
• O passo final
Vamos usar a hip´tese de indu¸˜o e assim mostrar que a mesma f´rmula vale
o ca o
para n+1. Se conseguirmos fazer esta demonstra¸˜o, ent˜o teremos demonstrado
ca a
a f´rmula para qualquer n > 2.
o
Quer dizer, vamos calcular:
1 + 2 + ··· + n + n + 1
usando a hip´tese de indu¸˜o, ent˜o:
o ca a
1 + 2 + ··· + n + n + 1 =
= (1 + 2 + · · · + n) + n + 1 =
n+1
= 2
n +n+1=
= (n + 1)( n + 1) =
2
= (n + 1) n+2 =
2
n+1+1
= 2
(n + 1) = P (n + 1)
2 Deveriamos demonstrar que esta t´ cnica ´ verdadeira n˜o vamos fazˆ-lo aqui, entretanto.
e e a e
´
Observe num livro de Algebra, por exemplo [5].](https://image.slidesharecdn.com/apmatuniversitaria-111209123006-phpapp01/85/Ap-mat-universitaria-41-320.jpg)
![(2n + 2)a1 + [n((n − 1)) + 2(n − 1) + 2]r
= =
2
2(n + 1)a1 + [n(n − 1) + 2n]r
= =
2
(n + 1)a1 + (n + 1)a1 + n(n + 1)r
= =
2
(n + 1)(a1 + a1 + nr)
= =
2
(n + 1)(a1 + an+1 )
= =
2
= Sn+1
e confirmamos a f´rmula Sn+1 como consequˆncia da hip´tese, logo mostramos que
o e o
P (n) ⇒ P (n + 1) ´ verdadeiro!
e
portanto P (n) ´ verdadeira para qualquer n.
e
Este encadeamento sucessivo existe em muitas rela¸˜es. Se pudermos provar que ele
co
existe na rela¸˜o P (n), teremos provado, usando indu¸ao finita, que esta rela¸˜o P
ca c~ ca
vale para todo n ∈ N.
Exerc´
ıcios 9 Indu¸˜o finita
ca
1. Prove, para a soma dos quadrados, que
n(n + 1)(2n + 1)
1 + 4 + · · · n2 = .
6
2. Prove que 1 + 3 + · · · + (2n − 1) = n2 .
n
3. Prove que k 3 = (1 + 2 + · · · + n)2 .
k=1
4. Prove que
n−1
6n5 − 15n4 + 10n3 − n
k4 =
k=0
30
5. Prove que
n−1
2n6 − 6n5 + 5n4 − n2
k5 =
12
k=0
Ver algumas solu¸˜es no fim deste cap´
co ıtulo.
Vamos usar o m´todo da Indu¸˜o finita, para mostrar que, para todo n, a linha
e ca
de ordem n do tri^ngulo de Pascal3 descreve a distribui¸˜o, por elementos, dos
a ca
subconjuntos de A = {1, 2, · · · , n}.
Para prosseguir precisamos encontrar uma express˜o formal para representar a
a
hip´tese de indu¸˜o. Vamos come¸ar criando uma nota¸˜o para os elementos da linha
o ca c ca
n do tri^ngulo de Pascal. Como eles representam a quantidade de conjuntos com p,
a
( p a p ), tirados de um universo que tem n elementos, vamos chamar esta quantidade
p
Cn .
3 Certas denomina¸oes s˜o injustas, h´ historiadores que encontraram o chamado triˆngulo
c˜ a a a
de Pascal entre documentos da Matem´tica chinesa milˆnios antes dos gregos.
a e](https://image.slidesharecdn.com/apmatuniversitaria-111209123006-phpapp01/85/Ap-mat-universitaria-43-320.jpg)
![• n ´ o n´mero de elementos do universo;
e u
• p − 1 ´ o n´mero de elementos de B que n˜o podem ser reutilizados;
e u a
• sobram n − (p − 1) que podemos acrescentar ao conjunto B para fazer um novo
conjunto p a p.
Em outras palavras, a partir de B podemos construir n−(p−1) conjuntos diferentes
cada um com p elementos.
Logo, em princ´
ıpio, (e erradamente), teriamos
p p−1
Cn = (n − (p − 1))Cn
p−1
novos conjuntos construidos a partir dos Cn anteriores.
Erradamente porque h´ repeti¸˜es de conjuntos como observamos no c´lculo de
a co a
2
Cn .
Depois que fizermos todos os conjuntos desta maneira, muitos estar˜o repetidos.
a
Para entender o n´mero de repeti¸˜es, vamos ver quantas vezes, um mesmo con-
u co
junto, pode ser construido desta forma. Suponhamos que o conjunto seja
B = {a1 , a2 , . . . , ap−1 }
′
B = {a1 , a2 , . . . , ap−1 } ← ap
e o elemento ap esteja sendo acrescentado ao conjunto B produzindo o conjunto B ′ .
O resultado seria o mesmo que se tivessemos o conjunto
B ′′ = {a1 , a2 , . . . , ap−2 , ap }
B ′ = {a1 , a2 , . . . , ap−2 , ap } ← ap−1
e tivessemos acrescentando ao conjunto B ′′ o elemento ap−1 obtendo o mesmo conjunto
B′.
Poderiamos repetir este processo para ap−2 , . . . , a1 , cada um ficando na posi¸˜o
ca
← ai no sistema de equa¸˜es acima. Assim o conjunto
co
B ′ = {a1 , a2 , . . . , ap−1 , ap }
vai aparecer p vezes.
Vemos que
p−1
p (n − (p − 1))Cn
Cn =
p
isto ´, para cada conjunto (p − 1) a (p − 1) podemos fazer n − (p − 1) novos conjuntos,
e
mas cada um desses conjuntos aparecer´ repetido p vezes portanto temos que
a
p−1
dividir (n − (p − 1))Cn por p
para eliminar as repeti¸˜es.
co
p p−1
Estes c´lculos mostram que podemos obter Cn do valor de Cn .
a
p
Vamos agora explicitar o valor de Cn em termos de n, p, determinando uma f´rmula.
o
Na sucess˜o de equa¸˜es abaixo estamos fazendo isto, completando produtos no
a co
p−1
numerador e no denominador. Para isto iremos sucessivamente substituir Cn por
p−2 0
Cn at´ chegar em Cn = 1 :
e
p−1
p (n−(p−1))Cn
Cn = p
=
p−2
(n−(p−1))[(n−(p−2))Cn ]
= p[p−1]](https://image.slidesharecdn.com/apmatuniversitaria-111209123006-phpapp01/85/Ap-mat-universitaria-47-320.jpg)
![p−3
(n−(p−1))[(n−(p−2))(n−(p−3))Cn ]
= p[(p−1)(p−2)]
···
p−p
(n−(p−1))[...(n−(p−p))Cn ]
= p[(p−1)...1]
0
(n−(p−1))[(n−(p−2))...(n−0)Cn ]
= p!
(n−(p−1))...(n−0)·1
= p!
(n−(p−1))...n
= p!
k k−1
A cada passagem de linha, substituimos Cn por Cn usando a f´rmula obtida acima:
o
k−1
k n − (k − 1)Cn
Cn =
k
e consequentemente aparece um fator maior no numerador e um menor no denominador
a cada nova substitui¸˜o
ca
Seguindo com este m´todo chegamos
e
• ao produto p(p − 1) . . . 1 = p! no denominador, e
• ao produto (n − (p − 1)) . . . n no numerador.
Observe agora que o produto (n−(p−1)) . . . n pode ser completado para transformar-
se em n! se acrescentarmos os fatores
n(n − 1) · · · (n − p) ; p < n
e que uma fra¸˜o n˜o se altera se lhe acrescentarmos os mesmos fatores tanto no
ca a
numerador quanto no denominador.
Observe as transforma¸˜es aritm´ticas:
co e
p (n−(p−1))...n
Cn = p!
=
[1...(n−(p+1))(n−p)](n−(p−1))...n
= [1...(n−(p+1))(n−p)]p!
=
n!
= (n−p)!p!
Surgiu, finalmente, uma express˜o envolvendo n, p :
a
p n!
Cn =
p!(n − p)!
que vamos considerar verdadeira como hip´tese de indu¸˜o. Vamos calcular o valor de
o ca
p+1
Cn .
Preste aten¸˜o: n˜o consideramos todo o trabalho feito acima uma demontra¸˜o,
ca a ca
foram apenas experimentos para descobrimos uma hip´tese, a hip´tese de indu¸˜o.
o o ca
Como
p−1
p n − (p − 1)Cn
Cn =
p](https://image.slidesharecdn.com/apmatuniversitaria-111209123006-phpapp01/85/Ap-mat-universitaria-48-320.jpg)
![Como o tri^ngulo de Pascal ´ sim´trico a partir das extremidades, podemos
a e e
escrever todas as linhas revertidas como fizemos com linha de ordem 4. A linha de
ordem 4 nos oferece uma hip´tese de indu¸˜o que vamos redigir assim:
o ca
Hip´tese 1 do binˆmio.
o o
n
(x + 1)n = k
Cn xk
k=0
Usando a hip´tese de indu¸˜o no c´lculo de (x + 1)n+1 :
o ca a
(x + 1)n+1 = (x + 1)n (x + 1) = x(x + 1)n + (x + 1)n = (2.5)
n n
=x k
Cn xk + k
Cn xk = (2.6)
k=0 k=0
n n
k
Cn xk+1 + k
Cn xk = (2.7)
k=0 k=0
n n
= k
Cn xk + k
Cn xk+1 = (2.8)
k=0 k=0
n n−1
0
= Cn + k
Cn xk + k
Cn xk+1 + Cn xn+1 =
n
(2.9)
k=1 k=0
n−1
0 n+1
Cn+1 + k+1 k
[Cn + Cn ]xk+1 + Cn+1 xn+1 (2.10)
k=0
(2.11)
Podemos agora “sincronizar” os ´
ındices das somas na pen´ltima equa¸˜o quebrando o
u ca
somat´rio em dois:
o
n n
0
Cn + k
Cn xk + k−1
Cn xk + Cn xn+1
n
k=1 k=1
fazendo com que a ultima equa¸˜o agora fique assim:
´ ca
n
0
Cn+1 + k k−1
[Cn + Cn ]xk + Cn+1 xn+1
n+1
k=1
Nesta ultima equa¸˜o usamos os teoremas que garantem que valores extremos de
´ ca
0
qualquer linha do tri^ngulo de Pascal valem sempre 1 e subsituimos assim Cn por
a
0 n n+1
Cn+1 e Cn por Cn+1 .
Calculando
k k−1 n! n! (n − k + 1)n! + kn!
[Cn + Cn ] = + = =
k!(n − k)! (k − 1)!(n − k + 1)! k!(n − k + 1)!
(n + 1)! (n + 1)! k
= = = Cn+1
k!(n − k + 1)! k!(n + 1 − k)!
Assim temos
n n+1
n+1 0
(x + 1) = Cn+1 + k
Cn+1 xk + Cn+1 xn+1
n+1
= k
Cn+1 xk
k=1 k=0
que confirma a hip´tese de indu¸˜o para n + 1. Mostramos assim que:
o ca](https://image.slidesharecdn.com/apmatuniversitaria-111209123006-phpapp01/85/Ap-mat-universitaria-56-320.jpg)
![Teorema 16 do binˆmio de Newton-caso particular.
o
Para todo n ∈ N
n
n
(x + 1) = k
Cn xk
k=0
Observe uma outra demonstra¸˜o, menos formal:
ca
Dem :
Suponha que (hip´tese de indu¸ ao) que (x + 1)k tenha os coeficientes
o c
0 1 k−1 k
Ck , Ck . . . , Ck , Ck
Quando multiplicarmos (x + 1)k (x + 1), pela propriedade distributiva, temos
(x + 1)k x (2.12)
(x + 1)k 1 = (x + 1)k (2.13)
Na primeira linha teremos uma express˜o parecida com (x + 1)k por´m com todas as
a e
potˆncias aumentadas de uma unidade. Na outra linha teremos exatamente (x + 1)k . Para
e
somar o que deveremos fazer ´
e
• colocar os coeficientes em duas linhas
• deslocar para a direita os coeficientes de (x + 1)k x
• somar coluna por coluna
p p+1
Portanto iremos somar Ck + Ck que ´ a rela¸ao que gera os elementos da linha seguinte
e c˜
do Triˆngulo de Pascal portanto os coeficientes de (x + 1)k+1 ser˜o
a a
0 1 k k+1
Ck+1 , Ck+1 . . . , Ck+1 , Ck+1
q.e.d .
Para deduzir desta forma particular a express˜o geral do teorema,
a
(a + b)n ,
podemos fazer as seguintes transforma¸˜es alg´bricas:
co e
a a
(a + b)n = [b(+ 1)]n = bn ( + 1)n
b b
a
e agora identificar b
= x. Podemos agora aplicar o que obtivemos anteriormente:
n
(a + b)n = bn ( Cn ( a )k ) =
k
b
(2.14)
k=0
n k
bn k
Cn ak =
b
(2.15)
k=0
n k n
k
Cn a bk =
b
(2.16)
k=0
n
k
Cn ak bn−k (2.17)
k=0
Teorema 17 do binˆmio de Newton.
o
n
n
(a + b) = k
Cn ak bn−k .
k=0](https://image.slidesharecdn.com/apmatuniversitaria-111209123006-phpapp01/85/Ap-mat-universitaria-57-320.jpg)
![como F − B e F ∩ B s˜o disjuntos e al´m do mais (F − B) ∪ (F ∩ B) = F ent˜o
a e a
n(F − B) + n(F ∩ B) = n(F ) e assim:
n(F ∪ B) = n(F ) + n(B − F ) (2.29)
Mas n(B − F ) = n(B) − n(F ∩ B) e a´ a f´rmula acima fica:
ı o
Teorema 21 do n´mero de elementos da uni˜o.
u a
n(F ∪ B) = n(F ) + n(B) − n(F ∩ B)
porque n(F ∩ B) entra duas vezes na contagem quando somarmos n(F ) + n(B).
Na figura ?? temos a representa¸˜o de tres conjuntos A, B, C que se interceptam
ca
dois a dois e cuja interce¸˜o total ´ tamb´m n˜o vazia. Um racioc´
ca e e a ınio semelhante
ao que fizemos no exemplo do bar pode ser feito aqui para uma obter uma f´rmula
o
para n(A ∪ B ∪ C). Mas vamos usar um outro caminho que nos vai permitir uma
generaliza¸˜o dos resultados usando indu¸ao finita.
ca c~
Queremos encontrar uma f´rmula para
o
n(A ∪ [B ∪ C]) = n(A ∪ [D]) (2.30)
e n´ s j´ encontramos uma f´rmula para a uni˜o de dois conjuntos que vamos usar:
o a o a
n[D] = n[B ∪ C] = n(B) + n(C) − n(B ∩ C). (2.31)
Se juntarmos as f´rmulas temos:
o
n(A ∪ D) = n(A) + n(D) − n(A ∩ D) = (2.32)
= n(A) + n(B) + n(C) − n(B ∩ C) − n(A ∩ D) = (2.33)
= n(A) + n(B) + n(C) − n(B ∩ C) − n(A ∩ (B ∪ C)) = (2.34)
= n(A) + n(B) + n(C) − n(B ∩ C) − n((A ∩ B) ∪ (A ∩ C)) = (2.35)
(2.36)
em que apenas expandimos a express˜o da primeira equa¸˜o sucessivamente, sendo
a ca
que da pen´ltima equa¸˜o para a ultima usamos a distribuitividade da “interse¸˜o”
u ca ´ ca
relativamente a “uni˜o”. Escrevendo separado o valor de
a
n((A ∩ B) ∪ (A ∩ C)) =
n((A ∩ B) + n(A ∩ C)) − n((A ∩ B) ∩ (A ∩ C))
usando a f´rmula 21 aplicada a A ∩ B A ∩ C. As propriedades associativa e comutativa
o
da interse¸˜o nos permite simplificar a ultima express˜o de 2.37:
ca ´ a
(A ∩ B) ∩ (A ∩ C) = A ∩ B ∩ C
de modo a equa¸˜o (eq. ,2.37) agora fica
ca
n((A ∩ B) ∪ (A ∩ C)) =
n((A ∩ B) + n(A ∩ C)) − n(A ∩ B ∩ C)](https://image.slidesharecdn.com/apmatuniversitaria-111209123006-phpapp01/85/Ap-mat-universitaria-67-320.jpg)
![que substituida na equa¸˜o 2.36 nos d´:
ca a
n(A ∪ B ∪ C) =
= n(A) + n(B) + n(C) − n(B ∩ C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) +
+(A ∩ B ∩ C)
Aa figura (fig. 2.2) p´gina 62, mostra a uni˜o dos tres conjuntos A, B, C.
a a
A
B
C
A U B U C
Figura 2.2: A ∪ B∪C
Com esta ultima f´ rmula se esbo¸a uma hip´tese de indu¸˜o. Vemos que primeiso
´ o c o ca
somamos os n´meros de elementos dos conjuntos 1 a 1, depois subtraimos o n´mero das
u u
interse¸˜es consideradas 2 a 2, depois somamos o n´mero de elementos da interse¸˜o
co u ca
3 a 3 dos conjuntos.
Exerc´ ıcio 4 N´mero de elementos da uni˜o de quatro conjuntos.
u a
Tome uma folha de papel, e se prepare para escrever no sentido do comprimento,
em vez da largura... Calcule n(A ∪ [B ∪ (C ∪ D)]), que vocˆ deve desenvolver de dentro
e
para fora usando as f´rmulas j´ estabelecidas acima.
o a
hip´tese de indu¸˜o nos diz que q
o ca
n(A1 ∪ · · · ∪ An )
vai ser dada pelas somas e diferen¸as se alternando dos n´meros de elementos das
c u
interse¸˜es i aı em que i ∈ {1, 2, · · · , n}. Observe que aqui uma generaliza¸˜o da
co ca
linguagem em que estamos chamando de Aj uma interse¸˜o 1 a 1, depois Ai ∩ Aj ´
ca e
uma interse¸˜o 2 a 2, etc. . .
ca](https://image.slidesharecdn.com/apmatuniversitaria-111209123006-phpapp01/85/Ap-mat-universitaria-68-320.jpg)
![funcao nao sobrejetiva
40
’data’
35
30
25
20
15
10
5
0
-6 -4 -2 0 2 4 6
Figura 3.5: Gr´fico de f (x) = x2 .
a
1. f (∅) = ∅; f (X) ⊆ Y ;
2. Se A ⊂ B ent˜o f (A) ⊂ f (B);
a
3. f ( i Ai ) = i f (Ai );
4. f ( i Ai ) ⊆ i f (Ai ).
Verifique tamb´m que, para imagem inversa valem
e
1. f −1 (∅) = ∅; f −1 (Y ) = X;
2. Se A ⊂ B ent˜o f −1 (A) ⊂ f −1 (B);
a
3. f −1 ( i Ai ) = i f −1 (Ai );
4. f −1 ( i Ai ) = i f −1 (Ai ).
5. f −1 (Ac ) = [f −1 (A)]c
em que A, B ⊆ Y.](https://image.slidesharecdn.com/apmatuniversitaria-111209123006-phpapp01/85/Ap-mat-universitaria-84-320.jpg)
![Cap´
ıtulo 4
Conjuntos num´ricos
e
fundamentais.
Neste cap´ ıtulo vamos seguir o conselho de Kroneker e considerar o conjunto dos n´ meros
u
naturais absolutamente bem conhecido. A partir dele construiremos o conjunto dos n´ meros
u
inteiros e depois com este ultimo construiremos o conjunto dos n´ meros racionais. Final-
´ u
mente, faremos a constru¸ao geom´trica do conjunto dos n´ meros reais, a reta real, seguindo
c˜ e u
uma receita de David Hilbert, contida no seu famoso livro “fundamentos da geometria” e
depois mostraremos que esta constru¸ao geom´trica e algebricamente compat´
c˜ e ıvel com a es-
trutura do conjuntos dos n´ meros racionais que ser´ ent˜o visto como um subconjunto da
u a a
reta real.
4.1 ˜
O conjunto dos nAo meros naturais.
N˜o, n˜o vamos construir o conjunto N. Vamos apenas falar um pouco dele
a a
e construir alguns exemplos para estabelecer uma linguagem adequada para
o resto do cap´ıtulo.
Vamos deixar claro o que j´ sabemos sobre N, estabelecer as regras do jogo.
a
Como dissemos em nossos primeiros exemplos sobre estrutura, um conjunto
pode ser pode ser um agregado amorfo de objetos. Quando observamos que
algumas propriedades ou m´todos se encontram presentes, o conjunto passa a
e
ser uma estrutura. H´ v´rios tipos de estrutura em Matem´tica: estruturas
a a a
alg´bricas, ver [3] ou [5], estruturas topol´gicas, estruturas geom´tricas, etc...
e o e
Cada uma destas estruturas define um campo de atividade em Matem´tica e a
a intera¸ao entre elas ´ fazer Matem´tica.
c˜ e a
Vamos “descobrir” qual ´ estrutura alg´brica de N.
e e
4.1.1 A estrutura alg´brica de N.
e
Temos dois m´todo em N para construir mais um elemento do conjunto a partir de
e
dois conhecidos:
• a adi¸˜o ´ um desses m´todos simbolizada por c = a + b em que c ´ o novo
ca e e e
elemento obtido a partir de dois outros a, b ∈ N.
• a multiplica¸˜o ´ o outro m´todo simbolizada por c = a x b em que c ´ o
ca e e e
˜ o vida
novo elemento obtido a partir de dois outros a, b ∈ N. Quando n˜o h´ dA
a a
97](https://image.slidesharecdn.com/apmatuniversitaria-111209123006-phpapp01/85/Ap-mat-universitaria-99-320.jpg)
![4.3.4 Algumas demonstra¸˜es
co
Como j´ observamos no caso dos inteiros, deveriamos fazer demonstra¸˜es cuidados
a co
de todas as propriedades dos racionais. Novamente vale a mesma observa¸˜o. Estas
ca
demonstra¸˜es existem feitas em diversos locais e seria um desperd´
co ıcio de tempo e de
inteligˆncia simplesmente repet´
e ı-las. Vamos, entretanto, fazer algumas delas com o
int´ito de apoiar sua iniciativa para que vocˆ tente fazer as demais como exerc´
u e ıcio.
Escolhemos para fazer a demonstra¸˜o algumas que v˜o conduzir a algumas topa-
ca a
a a ´
das l´gicas cujos coment´rios completar˜o a teoria. E uma forma did´tica de construir
o a
a a ´
uma teoria, mostrando quando e onde s˜o necess´rios os teoremas. E tamb´ m umae
10
forma muito longa
Teorema 37 A adi¸˜o ´ associativa.
ca e
Dem :
a p n
Queremos provar que, dados tres n´meros racionais,
u , ,
b q m
´ verdade que
e
a p n a p n
+( + )= ( + )+
b q m b q m
A soma dos termos no primeiro membro ´:
e
a pm + qn b(pm + qn) + aqm amq + bmp + bnq
+ = =
b qm bqm bmq
que ´ exatamente o que se obt´m somando os termos do segundo membro. q.e.d .
e e
Teorema 38 Existˆncia do elemento neutro relativamente ` soma
e a
Dem :
n p
Buscamos uma fra¸˜o
ca m
que somada a qualquer outra q
reproduza esta ultima:
´
p
q
+n
m
= p
q
p
q
+ m = qm = p
n pm+qn
q
p n pm+qn pm
q
+ m
= qm = qm ⇒
⇒ pm + nq = pm ⇒ nq = 0 ⇒ n=0
Analisando as contas e suas transforma¸˜es l´gicas, da primeira para segunda linha acrescen-
co o
tamos a express˜o da soma das duas fra¸˜es impondo que fosse igual ` fra¸˜o que esperamos
a co a ca
encontrar.
Da segunda para terceira linha alteramos a express˜o da fra¸˜o p incluindo nela o n´mero
a ca q u
inteiro m multiplicando e dividindo, quer dizer, sem alter´-la. Observe observa¸˜o anterior
a ca
a respeito, procure numerador, denominador no ´ ındice remissivo. Na ultima linha conluimos
´
o que era possivel da igualdade entre dois pares ordenados: as coordenadas do mesmo tipo
dos pares tem que ser iguais: numeradores e denominadores iguais entre si. A conclus˜o ´ a e
que qn = 0 e como q n˜o pode ser zero, porque ´ um denominador, tem que ser n = 0.
a e
A conclus˜o desagrad´vel ´ de que n˜o existe um unico elemento neutro relativamente `
a a e a ´ a
0
soma. Qualquer fra¸˜o da forma m somada a outra fra¸˜o, reproduz a outra. q.e.d .
ca ca
Conclus˜o desagrad´vel na demonstra¸˜o anterior porque esperamos unicidade do
a a ca
elemento neutro. Vamos voltar a discutir esta quest˜o ao final.
a
10 ´
ea acusa¸ao principal que se faz a Gauss, ele publicou todos os seus trabalhos na forma
c˜
final, como ele mesmo disse, “todo construtor cuidadosamente retira os andaimes quando a
constru¸ao termina...”,ver [1].
c˜](https://image.slidesharecdn.com/apmatuniversitaria-111209123006-phpapp01/85/Ap-mat-universitaria-118-320.jpg)
![Exemplo 32 Entre dois racionais h´ outro racional.
a
• Entre 0 e 1: 0.5
• Entre 0 e 0.5: 0.25
• Entre 0 e 0.25: 0.125
• Entre 0 e 0.125: 0.0625
• Entre 0 e 0.0625: 0.03125
• Entre 0 e 0.03125: 0.015625
Observe na figura (fig. 4.5) p´gina 119, o intervalo [0, 1] colocado sob lente de
a
aumento.
1/2
0 1
0 1
0 1
1/4 3/4
1/2
Figura 4.4: O intervalo [0, 1] colocado sob uma lente.
Figura 4.5:
Em suma, do exemplo acima tiramos uma vis˜o geom´trica do conjunto dos n´meros
a e u
racionais:
Propriedades comparativas da reta e de Q.
1. Ponto privilegiado
• Numa reta existe um ponto privilegiado que a divide em duas
semi-retas](https://image.slidesharecdn.com/apmatuniversitaria-111209123006-phpapp01/85/Ap-mat-universitaria-125-320.jpg)
![y
c
x
c=xy
0
1 y
−y
retas paralelas
A multiplicacao e comutativa
c
y
x
1x
y c
Figura 5.7: A multiplica¸ao geom´trica
c˜ e
5.2.2 A multiplica¸˜o em R.
ca
Vamos agora definir a multiplica¸˜o geom´trica. Acompanhe o texto da defini¸˜o com
ca e ca
figura (fig. 5.7) p´gina 137. A defini¸˜o da multiplica¸˜o, acompanha o texto [2].
a ca ca
Defini¸˜o 44 De multiplica¸˜o geom´trica. A defini¸˜o da multiplica¸˜o, se faz de
ca ca e ca ca
acordo com o seguinte algoritmo:
• Dados x, y ∈ R.
• Considere duas c´pias da reta n´merica, concorrentes na origem.
o u
• Considere x em uma das c´pias e y na outra.
o
• Trace o segmento de reta x1 ligando x a unidade representada na reta em que y
est´ marcado.
a
• Passe uma parela ao segmento x1 passando por y.
• O ponto c determinado por esta paralela na reta em que x est´ marcado ´ o
a e
produto de x por y; c = xy.
A multiplica¸˜o est´ baseada em triˆngulos semelhantes.
ca a a
A unica propriedade trabalhosa ´ a associatividade que vai implicar num desenho
´ e
complicado. Apenas trabalhosa, porisso vamos deix´-la generosamente para o leitor
a
interessado.
Vamos mostrar as demais propriedades.](https://image.slidesharecdn.com/apmatuniversitaria-111209123006-phpapp01/85/Ap-mat-universitaria-143-320.jpg)
![cultura matem´tica j´ foi de absoluta importˆncia saber manipular com maestria as
a a a
express˜es alg´bricas.
o e
O leitor curioso deveria pelo menos consultar uma das rel´ıquias de nossa cultura
a ´
matem´tica, o Abecedario da Algebra, [4],para ter uma id´ia da habilidade que tinham
e
alguns dos que nos antecederam no tempo.
Estas t´cnicas hoje est˜o incorporadas em programas de computador que s˜o ca-
e a a
pazes de desenvolver, para n´s, humanos, express˜es incrivelmente complicadas, um
o o
trabalho mecˆnico, pr´prio para m´quinas, que outros tinham capacidade de fazer
a o a
mentalmente ou com ajuda de papel e l´pis. Observe o seguinte exemplo obtido com
a
o programa Maxima
(C1) (a + b)^5 ;
5 4 2 3 3 2 4 5
(D2) b + 5 a b + 10 a b + 10 a b + 5 a b + a
Escolhemos a potˆncia 5 apenas para que o resultado coubesse na linha, mas qual-
e
quer potˆncia inteira poderia ter sido escolhida e o resultado surgiria na tela quase
e
instantaneamente.
Outro exemplo ´ o triˆngulo de Pascal, veja 10 19 calculado com um programa em
e a
Python que pode gerar o triˆngulo com um n´mero arbitr´rio de linhas em fra¸˜es de
a u a co
segundos (desde que vocˆ n˜o exagere...)
e a
Maxima ´ um programa de dom´
e ınio p´blico, distribuido sob a licensa GPL, per-
u
tence a uma classe de programas ditos “de computa¸˜o alg´brica” e que podem fazer
ca e
muitas opera¸˜es alg´bricas que para n´s humanos s˜o muito custosas, como o binˆmio
co e o a o
de Newton.
O binˆmio de Newton, que estudamos no cap´
o ıtulo 2, ´ uma dessas descobertas
e
t´
ıpicas de quem domina a manipula¸˜o das express˜es alg´bricas.
ca o e
Aqui vamos estudar as fun¸˜es definidas por binˆmios da forma
co o
ax + b (6.1)
um polinˆmio do primeiro grau.
o
Defini¸˜o 46 Fun¸˜o linear afim
ca ca
Uma fun¸˜o definida por um polinˆmio do primeiro grau se chama linear afim.
ca o
f : N → R; (6.2)
f (x) = ax + b; (6.3)
x → y = f (x) = ax + b; (6.4)
em que s˜o dados os n´meros a, b.
a u
Exemplo 33 Fun¸˜es lineares afim
co
• P.A. f (x) = 3x + 4
Observe que se x ∈ N os valores de f se encontram em progress˜o aritm´tica:
a e
f (N) = {4, 7, 10, · · ·} (6.5)](https://image.slidesharecdn.com/apmatuniversitaria-111209123006-phpapp01/85/Ap-mat-universitaria-148-320.jpg)
![e assim o valor da soma ser´
a
s1 + s2 + · · · + s1 (6.48)
n n(s1 + sn )
(s1 + sn ) = (6.49)
2 2
Podemos enunciar dois resultados intermedi´rios:
a
Teorema 59 Termos equidistantes numa P.A. A soma de termos equidistantes numa
P.A. ´ constante.
e
Teorema 60 A soma dos n primeiros n´meros naturais ´
u e
n(n + 1)
1 + 2 + ···n = (6.50)
2
e o teorema principal
Teorema 61 Soma de termos de uma P.A. Se sk ´ o termo geral de uma P.A.
e
ent˜o a soma dos n primeiros termos desta P.A. ´
a e
(s1 + sn )n
Sn = s1 + s2 + · · · + sn =
2
Exerc´
ıcios 23 Progress˜es aritm´ticas
o e
1. um teorema rec´ıproco Mostramos que as progress˜es aritm´ticas eram descritas
o e
por um polinˆmio do primeiro grau. Verifique que, se P for um polinˆmio do
o o
primeiro grau ent˜o a sucess˜o (P (n))n∈N ´ uma P.A.
a a e
2. diferen¸as Verifique que, se P for um polinˆmio do segundo grau ent˜o a su-
c o a
cess˜o (P (n))n∈N n˜o pode ser uma P.A. mas que as diferen¸as de segunda
a a c
ordem
∆Pn+1 − ∆Pn = P (n + 1) − P (n) − (P (n) − P (n − 1))
ser´ uma progress˜o5 aritm´tica.
a a e
6.3 Gr´ficos das fun¸˜es lineares
a co
Os gr´ficos s˜o um instrumento visual importante para transmitir o conte´do
a a u
de uma fun¸˜o. A figura (fig. 6.1) j´ nos mostra isto, visualizamos com
ca a
um conjunto de blocos crescentes a o significado de uma P.A. Os degraus
traduziram a diferen¸a constante entre os termos.
c
Numa P.A. temos interesse em usar vari´veis inteiras. Mas em outros tipos
a
de fun¸˜o n˜o conv´m considerar vari´veis inteiras e sim vari´veis que assu-
ca a e a a
mam todos os valores entre dois n´meros dados. Chamaremos isto de uma
u
ınua]b . Vamos usar este adjetivo com o seus sentido intuitivo,
[varia¸˜o cont´
ca
nos pr´ximos cap´
o ıtulos este assunto ser´ retomado.
a
a poderiam ser decrescentes, afinal subimos mas descemos escadas...
ba continuidade ´ um assunto da disciplina C´lculo Diferencial e Integral
e a
5O s´
ımbolo ∆ ´ sempre associado com diferen¸as
e c](https://image.slidesharecdn.com/apmatuniversitaria-111209123006-phpapp01/85/Ap-mat-universitaria-156-320.jpg)
![O conjunto das id´ias que acabamos de expor conduzem a afirma¸˜o de que existe
e ca
uma reta associada com uma fun¸˜o linear afim, e queremos explorar esta afirma¸˜o
ca ca
de forma mais aprofundada.
6.3.1 Coeficiente angular de uma reta
Na figura (fig. 6.4) vocˆ pode ver seis segmentos de reta partindo da origem dos eixos
e
XOY. O que torna estes segmentos de reta diferentes ´e
OY
γ
o
itiv
pos
tido
sen
β
π/2
α
OX
δ
ν
−π/2 sen
tido
neg
µ ativ
o
δ,ν,µ 0
Figura 6.4: V´rias reta, seus angulos, sentido dos angulos
a ˆ ˆ
• Os ˆngulos que eles formam com o eixo OX
a
• os seus coeficientes angulares
e queremos insistir que s˜o dois aspectos da mesma coisa:
a
• a cada ˆngulo corresponde um coeficiente angular e,
a
• vice-versa, a cada coeficiente angular corresponde um ˆngulo no intervalo [− π , π ].
a 2 2](https://image.slidesharecdn.com/apmatuniversitaria-111209123006-phpapp01/85/Ap-mat-universitaria-158-320.jpg)
![Pedimos, no programa, que o computador calculasse
(x, f (x)) ; x ∈ {−10, −9, −8, · · · 8, 9, 10} ; ∆x = 1 (6.108)
usando todos os valores inteiros da vari´vel no intervalo [−10, 10].
a
Mas, com um programa de computador, podemos fazer tabelas mais densas e
portanto gr´ficos mais precisos, veja o resultado, na figura (fig. 6.11), p´gina 239,
a a
quando pedimos que o programa fizesse o gr´fico agora usando os valores de x com
a
saltos ∆x = 0.5
x ∈ {−10, −9.5, −9, · · · 9, 9.5, 10} ; ∆x = 0.5 (6.109)
No primeiro gr´fico o computador marcou 11 pontos e no segundo marcou 21
a
pontos. Gr´ficos com um computador com saltos de ∆x = 0.5 ou muito menores faz
a
pouca importˆncia, veja o agora o gr´fico feito com saltos ∆x = 0.01 na figura (fig.
a a
6.12), p´gina 240, com 2001 pontos.
a
Observa¸˜o 29 A taxa de varia¸˜o das fun¸˜es
ca ca co
Na disciplina C´lculo Diferencial e Integral vocˆ ir´ estudar estes gr´ficos com mais
a e a a
teoria e vai compreender melhor porque o gr´fico da par´bola tem apenas uma curvatura.
a a
Neste momento tudo que podemos fazer ´ chamar sua aten¸˜o para a velocidade relativa
e ca
entre as duas sequˆncias de pontos, os valores da vari´vel x e os valores de f (x). Analise o
e a
que acontece com a tabela de valores que se encontra impressa acima.
Enquanto a vari´vel x assume valores equidistribuidos, com a mesma cadˆncia, os valores
a e
de f (x) tˆm uma distribui¸˜o n˜o uniforme, uma velocidade vari´vel, ´ isto que responde
e ca a a e
pelo fato de que o gr´fico n˜o seja uma reta.
a a
N˜o ´ assim com as fun˜es do primeiro grau. Se f for do primeiro grau, tanto x como
a e o
f (x) se encontram em P.A. como j´ vimos, no exerc´
a ıcio (ex. 4), p´gina 146, que a imagem
a
de uma P.A. por uma fun¸ao linear afim ´ ainda uma P.A. (demonstre isto agora se n˜o tiver
c˜ e a
feito o exerc´
ıcio) .
Podemos tornar a frase acima mais precisa, no que diz respeito `s fun¸˜es do segundo
a co
grau. Vamos repetir os c´lculos que fizemos no exerc´
a ıcio (ex. 4).
f (x) = Ax2 + Bx + C (6.110)
∆f = f (a + ∆) − f (a) = A(a + ∆)2 + B(a + ∆) + C − f (a) (6.111)
∆f = A(a2 + 2a∆ + ∆2 ) + Ba + B∆ + C − f (a) (6.112)
∆f = 2aA∆ + A∆2 + B∆ (6.113)
Comparando agora com os mesmos c´lculos que fizemos com as fun¸˜es do primeiro
a co
grau, exerc´
ıcio (ex. 4), podemos tirar uma conclus˜o importante, considere g uma fun¸˜o do
a ca
primeiro grau:
g(x) = Ax + B (6.114)
g(a + ∆) − g(a) (6.115)
g(a + ∆) − g(a) = A(a + ∆) + B − (Aa + B) (6.116)
g(a + ∆) − g(a) = Aa + A∆ + B − Aa − B (6.117)
g(a + ∆) − g(a) = A∆ (6.118)
∆f = 2aA∆ + A∆2 + B∆ (6.119)
∆g = A∆ (6.120)
Vamos agora definir a varia¸˜o e a taxa de varia¸˜o de uma fun¸˜o h :
ca ca ca](https://image.slidesharecdn.com/apmatuniversitaria-111209123006-phpapp01/85/Ap-mat-universitaria-182-320.jpg)
![4. Se ∆ 0, ent˜o n˜o existe ra´
a a ızes reais;
5. A soma das ra´
ızes ´
e
b
x1 + x2 = − = −S
a
6. O produto das raizes ´
e
c
x1 x2 = =P
a
Observa¸˜o 30 Ra´
ca ızes complexas
Quando ∆ 0, dizemos que a equa¸˜o n˜o possui ra´
ca a ızes reais, no entanto tem
ra´
ızes no conjunto dos n´meros complexos denotado por C, que ´ uma extens˜o do
u e a
conjunto dos n´meros reais, como veremos no pr´ximo cap´
u o ıtulo.
Exerc´
ıcio 17 Justificando a f´rmula de B´scara
o a
1. Justifique como, quando e porque podemos “colocar a em evidˆncia” na equa¸˜o
e ca
(eq. 150).
2. Justifique a obten¸˜o da equa¸˜o (eq. 151).
ca ca
3. Justifique a equa¸˜o (eq. 152) e a equa¸˜o (eq. 153) usando o “inverso” apro-
ca ca
priado (aditivo ou multiplicativo).
Vamos ver qual ´ o significado (alg´brico e geom´trico) da positividade do n´mero
e e e u
∆ = b2 − 4ac.
Observe, inicialmente, a seq¨ˆncia de equa¸˜es
ue co
2
b 2 −4ac
(x + 2a
) = b 4a2 (6.167)
(x + 2a )2 = 4a2
b ∆
(6.168)
(6.169)
conduz a ∆ ≥ 0.
Observa¸˜o 31 Os n´meros complexos
ca u
Depois veremos, no pr´ximo cap´
o ıtulo, como nossos antigos resolveram esta quest˜o
a
expandindo os n´meros reais criando os n´meros complexos.
u u
Vamos agora voltar para a sequˆncia de equa¸˜es que culminaram com a f´rmula
e co o
de B´scara para recuperar a express˜o original da fun¸˜o f.
a a ca
f (x) = ax2 + bx + c
y = ax2 + bx + c = a(x2 + a x + a )
b c
(6.170)
2
y = a(x + 2b
2a
x + ( 2a )2 − ( 2a )2 + a )
b b c
(6.171)
b 2
y = a[(x + 2a
) + a − ( 2a )2 ]
c b
(6.172)
2
b 2 −4ac
y = a[(x + 2a
) − b 4a2 ] (6.173)
y= a(x + 2a )2 − 4a
b ∆
(6.174)
y+ ∆
4a
= a(x + 2a )2
b
y − α = a(x − β)2 (6.175)
que nos mostra que toda fun¸˜o polinomial pode ser re-escrita caindo na f´rmula
ca o
(agora geral)](https://image.slidesharecdn.com/apmatuniversitaria-111209123006-phpapp01/85/Ap-mat-universitaria-187-320.jpg)
![6.12.2 Exerc´
ıcios Propostos
1. Determine o quadrado do maior inteiro n tal que as ra´ da equa¸˜o x2 +x+n =
ızes ca
0 s˜o reais e maiores do que n.
a
2. Ache todos os valores de x ∈ Z tal que x2 − 5x − 1 seja um quadrado perfeito.
3. Dada a equa¸˜o x2 + (p − 15) x + p = 0, determine p para que as duas ra´
ca ızes
sejam n´meros inteiros.
u
4. Dada a equa¸˜o x2 − (a + c) x + ac − b2 = 0.
ca
(a) Mostre que ela tem solu¸˜o real quaisquer que sejam os n´meros a, b e c.
ca u
(b) Supondo-se b = 0 e que a equa¸˜o tem uma s´ solu¸˜o, que rel¸˜o existe
ca o ca ca
entre a e c?
5. Determine b para que as equa¸˜es 1988x2 +bx−8891 = 0 e 8891x2 +bx+1988 = 0
co
tenham uma raiz comum.
6. Se ax2 + bx + c ≤ 1 para todo x ∈ [0, 1] . Mostre que |a| + |b| + |c| ≤ 17.
7. Determine a para que as equa¸˜es x2 + ax + 1 = 0 e x2 + x + a = 0 tenham pelo
co
menos uma raiz comum.
8. Considere a equa¸˜o x2 + bx + c = 0 onde b, c ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} . Quantas destas
ca
equa¸˜es tem ra´
co ızes reais?
9. Se x2 + x + 1 = 0, calcule o valor num´rico de
e
2 2 2
1 2 1 27 1
x+ + x + 2 + ··· + x + 27
x x x
10. Determine as constantes A, B, C, D, p e q tais que
A (x − p)2 + B (x − q)2 = 5x2 + 8x + 14
e
C (x − p)2 + D (x − q)2 = x2 + 10x + 7
11. Ache todas as solu¸˜es da equa¸˜o
co ca
4x2
x2 + = 12
(x − 2)2
12. Achar todos os n´meros x, y tais que (1 − x)2 + (x − y)2 + y2 = 3 .
u 1
ımpares, a equa¸˜o ax2 + bx + c = 0 n˜o
13. Mostre que se a, b e c forem inteiros ´ ca a
tem raiz racional.
14. Seja α maior raiz de x2 + x − 1 = 0. Determine α5 − 5α.
15. Rela¸˜es de Girard Mostre que, para as ra´
co ızes de uma equa¸˜o do segundo grau
ca
2
ax + bx + c vale:
(a) soma das ra´
ızes
b
x1 + x2 = −
a
(b) produto das ra´
ızes
c
x1 · x2 =
a
(c) diferen¸a das ra´
c ızes
√
∆
|x1 − x2 | = | |
a
16. Ache uma equa¸˜o do 2o grau cujas ra´
ca ızes s˜o: 2 e 3.
a](https://image.slidesharecdn.com/apmatuniversitaria-111209123006-phpapp01/85/Ap-mat-universitaria-191-320.jpg)
![6.12.3 Exerc´
ıcios Propostos
1. Determine o n´mero p tal que as ra´
u ızes x1 e x2 da equa¸˜o x2 − px + 6 = 0,
ca
2 3 2 3
satisfa¸a a rela¸˜o 9x1 x2 + 3x1 + 9x2 x1 + 3x2 = 1029.
c ca
√
2. Seja b um n´mero real n˜o nulo de modo que a equa¸˜o do 2o grau x2 +b2 x+ π =
u a ca
√ √
0 tenha ra´ızes reais x1 e x2 . Se x1 π = x2 (bx2 − π), prove que o n´mero b ´
u e
negativo.
ızes da equa¸˜o x2 + bx + c = 0 s˜o ambas reais e maiores do que 1. Mostre
3. As ra´ ca a
que s = b + c + 1 ´ positivo.
e
4. Determine a soma dos valores inteiros de p, para os quais a equa¸˜o (p − 3) x2 −
ca
2px + 6p = 0 tem ra´
ızes reais e positivas.
5. Determine o n´mero p tal que as ra´
u ızes x1 e x2 da equa¸˜o x2 + x + p = 0,
ca
satisfa¸a a rela¸˜o x3 + x1 x2 (2x1 + x2 ) + 2x2 = 1.
c ca 1
ızes distintas de ax2 + bx + c = 0, a = 0, tal que
6. Se x1 e x2 forem duas ra´
x2 + px1 + q + x2 + px2 + q = 0.
1 2
Mostre que a equa¸˜o x2 + px + q = 0 tem duas ra´
ca ızes reais e distintas.
7. a, b, c, d s˜o n´meros reais distintos tais que a e b s˜o ra´
a u a ızes da equa¸˜o
ca
x2 − 3cx − 8d = 0,
a ızes da equa¸˜o x2 − 3ax − 8b = 0. Calcule a soma a + b + c + d.
e c e d s˜o ra´ ca
8. Sejam a e b ra´ızes da equa¸˜o x2 + px − 2p2 = 0, onde p ´ um n´mero real.
ca 1
e u
Mostre que √
a4 + b 4 ≥ 2 + 2
√
9. Seja α um n´mero real tal que α 2 1 + 2 e considere a equa¸˜o x2 − αx +
u ca
α + 1 = 0. Sabendo que as ra´ızes dessa equa¸˜o s˜o as cotangentes de dois dos
ca a
ˆngulos internos de um triˆngulo. Determine o terceiro ˆngulo interno desse
a a a
triˆngulo.
a
ızes x1 e x2 da equa¸˜o 2x2 − px − 1 = 0.
10. Determine o valor de p para que as ra´ ca
Satisfa¸a a rela¸˜o
c ca
x2 + x2 = 1
1 2
11. Seja x1 uma raiz da equa¸˜o x2 + 2x + c2 = 0, em que c ´ um n´mero real
ca e u
positivo. Se o discriminante dessa equa¸˜o ´ menor que zero. Determine |x1 | .
ca e
12. Defin¸˜o. O s´
ca ımbolo [x] ´ usado para denotar o maior inteiro, menor ou igual a
e
x, isto ´,
e
[x] = nsen ≤ x n + 1
onde n ∈ Z. Por exemplo [2, 3] = 2, [0, 34] = 0.
Resolva a equa¸˜o 3x2 − 4[x] − 4 = 0.
ca
13. Resolva a equa¸˜o 2 a3 + b3 x2 − 3x + (a + b) = 0, sabendo que a e b s˜o ra´
ca a ızes
p2 −1
da equa¸˜o x2 − px +
ca 2
= 0.
14. Prove que se x1 for uma raiz da equa¸˜o ax2 + bx + c = 0, x2 for uma raiz da
ca
equa¸˜o −ax + bx + c = 0, ent˜o existe uma raiz x3 da equa¸˜o a x2 + c = 0
ca 2
a ca 2
tal que x1 ≤ x3 ≤ x2 ou x2 ≤ x3 ≤ x1 .](https://image.slidesharecdn.com/apmatuniversitaria-111209123006-phpapp01/85/Ap-mat-universitaria-192-320.jpg)
![4. Solu¸˜o. J´ sabemos que para existirem duas ra´
ca a ızes reais ´ necess´rio que
e a
∆ ≥ 0. Como as ra´
ızes s˜o positivas ent˜o devemos ter:
a a
x1 + x2 0
e
x1 · x2 0
Por hip´tese temos ∆ ≥ 0 e da´ 5p2 − 18p ≤ 0 e da´ 0 ≤ p ≤ 0, 6. (1) Mas
o ı, ı,
2p
x1 + x2 = 0
p−3
segue-se da´ 0 p 3. (2) Agora, fazendo (1) ∩ (2) encontramos 0 p ≤ 3, 6.
ı,
Portanto, n˜o existe nenhum valor p ∈ Z, tal que as ra´
a ızes sejam positivas. No
entanto, para p = 3, a equa¸˜o ´ do 1o grau e a raiz ´ x = 3, um n´mero real
ca e e u
positivo.
5. Solu¸˜o. Pelas rela¸˜es de Girard temos
ca co
x1 + x2 = −1
e
x1 · x2 = p
3 2
Agora, dividindo x por x + x + p encontramos
x3 = x2 + x + p (x − 1) + (1 − p) x + p
e da´ substituindo x por x1 vem:
ı,
x3
1 = x2 + x1 + p (x1 − 1) + (1 − p) x1 + p
1 (6.252)
= 0. (x1 − 1) + (1 − p) x1 + p (6.253)
= (1 − p) x1 + p. (6.254)
Por outro lado,
x1 x2 (2x1 + x2 ) = x1 x2 [x1 + (x1 + x2 )] (6.255)
= p (x1 − 1) (6.256)
Assim,
x3 + x1 x2 (2x1 + x2 ) + 2x2
1 = (1 − p) x1 + p + p (x1 − 1) + 2x2 (6.257)
= x1 + 2x2 (6.258)
logo,
x1 + 2x2 = 1
e da´ facilmente encontramos p = −6.
ı,
6. Solu¸˜o. Pelas rela¸˜es de Girard vem:
ca co
b
x1 + x2 = −
a
e
c
x1 · x2 =
a](https://image.slidesharecdn.com/apmatuniversitaria-111209123006-phpapp01/85/Ap-mat-universitaria-204-320.jpg)
![10. Solu¸˜o.
ca
11. Solu¸˜o. Como ∆ 0 temos que x1 = a + ib, a, b ∈ R ´ uma raiz da equa¸˜o
ca e ca
x2 + 2x + c2 = 0, ent˜o a outra ra´ ´ x1 = a − ib. Assim,
a ız e
x2 + 2x + c2 = (x − x1 ) · (x − x1 ) (6.282)
= [(x − a) − ib] · [(x − a) + ib] (6.283)
2 2 2
= x − 2ax + a + b (6.284)
e da´ −2a = 2 e c2 = a2 + b2 . Por outro lado,
ı,
√
|x1 | = a2 + b2 (6.285)
√
= c2 (6.286)
= |c| (6.287)
=c (6.288)
pois, c ∈ R, c 0.
12. Solu¸˜o. Por hip´tese, temos 3x2 − 4 [x] − 4 = 0 ou ainda
ca o
3x2 = 4 ([x] + 1) .
Note que 3x2 ≥ 0 e da´ [x] ≥ −1. Para [x] = −1, temos 3x2 = 0, logo, x = 0
ı,
que n˜o ´ solu¸˜o da equa¸˜o 3x2 − 4 [x] − 4 = 0. Temos ent˜o [x] ≥ 0 e x ≥ 0.
a e ca ca a
Assim, podemos escrever 3x2 = 4n, n ∈ N ou ainda
4n
x= .
3
Vamos agora analisar as possibilidades para n :
i) Se n = 0 ent˜o, x = 0 que n˜o solu¸˜o;
a a ca
4
ii) Se n = 1 ent˜o, x =
a 3
que ´ solu¸˜o;
e ca
8
iii) Se n = 2 ent˜o, x =
a 3
que n˜o ´ solu¸˜o;
a e ca
iv) Se n = 3 ent˜o, x = 2 que ´ solu¸˜o;
a e ca
v) Se 4 ≤ n ≤ 6 ent˜o, [x] = 2 e x 0. Neste caso, temos
a
3x2 − 4 [x] − 4 3 [x]2 − 4 [x] − 4 = 0,
logo, para 4 ≤ n ≤ 6 a equa¸˜o 3x2 − 4 [x] − 4 = 0 n˜o possui solu¸˜o.
ca a ca
Finalmente, para n ≥ 7 temos [x] ≥ 3 e
3x2 − 4 [x] − 4 ≥ 3 [x]2 − 4 [x] − 4 0
logo, para n ≥ 7 a equa¸˜o 3x2 − 4 [x] − 4 = 0 n˜o possui solu¸˜o. Portanto, S =
ca a ca
4
3
,2 .
13. Solu¸˜o. Pelas rela¸˜es de Girard, temos
ca co
a+b=p](https://image.slidesharecdn.com/apmatuniversitaria-111209123006-phpapp01/85/Ap-mat-universitaria-207-320.jpg)
![Vocˆ n˜o encontrou os n´meros citados acima (com exce¸ao de dois casos) porque
e a u c˜
a tabela tem uma amplid˜o reduzida:
a
x ∈ [1, 98.570940] ; log(x) ∈ [0, 1.99375]
Quando um n´mero apenas tiver o “ponto flutuante” deslocado de uma casa, relati-
u
vamente a outro, o seu logaritmo decimal difere de uma unidade, relativamente ao do
outro.
Ou ainda:
log(x) = y ⇒ log(10x) = y + 1 ; log(100x) = y + 2 . . .
Com isto, uma tabela de logaritmos bem refinada, com x variando entre os n´ meros
u
1 e 100 ser´ util para fazer muitas opera¸˜es, como ´ o caso da tabela (tab. 6.16),
a ´ co e
p´gina 234
a
Observe, tamb´m que o n´mero x = 10 n˜o aparece na tabela, quem aparece ´
e u a e
9.9999872. Isto se deve a erros de arrendondamento, mas 9.9999872 ´ praticamente
e
10. Poderiamos ter editado a tabela de modo que aparecesse 10 em lugar de 9.9999872
mas a´ vocˆ, leitor, estaria sendo enganado.
ı, e
Quer dizer que (tab. 6.16), p´gina 234 ´ uma tabela de logaritmos ”quase deci-
a e
mais”... Use o programa log tabela.py para construir sua tabela de logaritmos com
precis˜o arbitr´ria, (escolhida por vocˆ), e com alcance que vocˆ mesmo ir´ determi-
a a e e a
nar, seria certamente um bom artigo para feiras de artesanato, talvez ningu´m queira
e
comprar, mas ir´, certamente, chamar aten¸˜o.
a ca
6.13.5 A base de um logaritmo
Por diversas vezes fizemos referˆncia ao fato de que ao encontramos, (se encontrarmos),
e
a linha:
x log x
a 1.0
ent˜o diremos que se trata da tabela do logaritmo na base a.
a
A tabela (tab.6.16 ), p´gina 234, ´ uma tabela de logaritmos decimais, ou logarit-
a e
mos de base 10.](https://image.slidesharecdn.com/apmatuniversitaria-111209123006-phpapp01/85/Ap-mat-universitaria-230-320.jpg)
![8.3 A estrutura alg´brica dos polinˆmios
e o
Vamos come¸ar respondendo as duas ultimas quest˜es.
c ´ o
O conjunto de todos os polinˆmios com coeficientes reais ´ designado com s´
o e ımbolo
R[x] ´ formado de todas as sucess˜es finitas de n´meros reais. Quer dizer que
e o u
(a0 , a1 , · · · , an ) ∈ Rn ⊂ R[x] (8.6)
n+1
(a0 , a1 , · · · , an+1 ) ∈ R ⊂ R[x] (8.7)
n+100
(a0 , a1 , · · · , an+100 ) ∈ R ⊂ R[x] (8.8)
a0 ∈ R ⊂ R[x] (8.9)
N´s precisamos que os n´meros tamb´m sejam polinˆmios, veja a ultima linha acima,
o u e o ´
poderiamos ter escrito (a0 ), mas isto seria uma nota¸˜o nada comum. Assim os
ca
n´meros, simplesmente, s˜o polinˆmios. Vem ent˜o a pergunta: qual seria o grau
u a o a
dos n´meros ? A resposta ´ que vocˆ j´ espera, os n´meros s˜o polinˆmios de grau
u e e a u a o
zero. O grau ´ um conceito hier´rquico dentro do conjunto dos polinˆmios3 . N´s
e a o o
vamos dizer que os n´meros s˜o polinˆmios de grau zero, eles tem exatamente um
u a o
coeficiente. O polinˆmio
o
(a0 , a1 , · · · , an ) ≡ a0 + a1 x + · · · + an xn
´ um polinˆmio de grau n, ele tem n + 1 coeficientes. Observe que polinˆmio
e o o
1 + x3 + x5 ≡ (1, 0, 0, 1, 0, 1)
tem seis coeficientes. Quando escrevemos usando “express˜o” alg´brica podemos omi-
a e
tir os coeficientes nulos porque a “express˜o alg´brica” garante a informa¸˜o correta.
a e ca
Mas 1 + x3 + x5 tem seis coeficientes e n˜o trˆs. Enfim o grau corresponde ˚
a e amaior
potˆncia do polinˆmio escrito como express˜o alg´brica ou n´mero de coeficientes me-
e o a e u
nos 1, considerando os coeficientes nulos.
Quer dizer que o R[x] deve ser entendido como um conjunto infinito de folhas, ou
hiperplanos, de graus sucessivamente maiores:
R[x] = R ∪ R2 ∪ R3 · · · ∪ Rn · · ·
Se ficassemos apenas com os polinˆmios de um certo grau teriamos uma estrutura
o
alg´brica deficiente. Por exemplo se nos fixassemos no conjunto dos polinˆmios do
e o
segundo grau. Nenhum deles poderia ter inverso aditivo porque
1 + x − x2 + (−1 − x + x2 )
n˜o seria um polinˆmio do segundo grau. Precisamos de ter polinˆmios de grau zero
a o o
para que a opera¸˜o acima possa ser efetuada. Se em vez de somar, multiplicarmos:
ca
(1 + x − x2 )(1 − x + x2 ) = 1 + x2 + 2x3 − x4 ≡ (1, 0, 1, 2, −1)
vemos que o grau aumenta. Quer dizer que podemos discutir a estrutura de
(R[x], +, ·)
a chamada “´lgebra dos polinˆmios”. Esta estrutura ´ muito semelhante a estrutura
a o e
(Z, +, ·). A primeira semelhan¸a consiste na deficiˆncia da multiplica¸˜o. Como em
c e ca
Z, em R[x] n˜o tem inversos multiplicativos, de modo que (R[x], +, ·) ´ um anel.
a e
3O grau tem o que ver com dimens˜o ... mas n˜o ´ exatamente a mesma coisa.
a a e](https://image.slidesharecdn.com/apmatuniversitaria-111209123006-phpapp01/85/Ap-mat-universitaria-278-320.jpg)
![Exerc´
ıcios 37 Propriedades do anel dos polinˆmios Dado um polinˆ mio
o o
n
P (x) = ak x k
k=0
podemos associar-lhe dois objetos diferentes:
• a fun¸˜o [a, b] ∋ x → P (x)
ca
• a sucess˜o (a0 , · · · , an ) dos coeficientes.
a
Esta lista de exerc´
ıcios ´ um laborat´rio em que estes dois tipos de objetos ser˜o
e o a
testados em diversas circunstˆncias gerando novas estruturas.
a
1. Defina a soma de dois polinˆmios, isto ´ erspecifique o algoritmo para somar
o e
P (x), Q(x), como se vocˆ fosse executar a soma automaticamente com um pro-
e
grama.
2. Mostre que a soma de polinˆmios ´ comutativa e associativa.
o e
3. Mostre que no conjunto R[x] existe um elemento neutro para adi¸˜o e um ele-
ca
mento neutro para a multiplica¸˜o.
ca
4. Mostre que (R[x], +) ´ um grupo comutativo.
e
5. Mostre que todo polinˆmio tem um inverso aditivo.
o
6. Escreva a f´rmula que associa o grau do multiplicando, do multiplicador e do
o
produto em R[x].
7. Mostre com um exemplo que em R[x] n˜o h´ inversos multiplicativos.
a a
8. Considere os polinˆmios P, Q, R e identifique P (x), Q(x), R(x) com os valores
o
assumidos pelas fun¸˜es definidas por cada um destes polinˆmios quando x ∈
co o
[a, b] ⊂ R. Use esta representa¸˜o para demonstrar que o produto de polinˆmios
ca o
´ comutativo, associativo e distributivo relativamente ˚ c˜o.
e aadi¸a
9. Mostre que a multiplica¸˜o em R[x] ´ comutativa e associativa. Mostre que
ca e
a multiplica¸˜o ´ distributiva relativamente ˚ cao. Sugest˜o: use a repre-
ca e aadi¸˜ a
senta¸˜p funcional.
ca
10. Fa¸a uma listagem ordenada e estruturada das propriedades de (R[x], +, ·), agrupando-
c
as por opera¸˜o.
ca
11. Resolva as equa¸˜es abaixo indicando a propriedade utilizada em cada passagem:
co
a)P + 1 + x = x3 b) 4P + x3 = x − 1 c) P 4 = x + 1
2 +2
12. Tente uma solu¸˜o para as equa¸˜es abaixo indicando a propriedade utilizada
ca co
em cada passagem:
(a) (x2 + 1)(P + 1 + x2 ) = 1 + x + 2x2 + x3 + x4
(b) xP = x2 − x3 − x5
13. A convolu¸˜o de sucess˜es
ca o
(a) Calcule o produto dos polinˆmios definidos abaixo com seus coeficientes na
o
ordem crescente (das potˆncias):
e
i. (1, 2, 3, 4, 5), (1, 0, 1, 0, 1, 0)
ii. (1, 1, 1, 1, 1, 1) , (1, 1, 1, 1, 1, 1)
iii. (a0 , a1 , a2 , a3 , a4 ) , (a0 , a1 , a2 , a3 , a4 )](https://image.slidesharecdn.com/apmatuniversitaria-111209123006-phpapp01/85/Ap-mat-universitaria-279-320.jpg)
![iv. (a0 , a1 , a2 , a3 , a4 ) , (b0 , b1 , b2 , b3 , b4 )
(b) Deduza da da ultima multiplica¸˜o feita acima, uma f´rmula para o termo
´ ca o
geral ck do produto PQ de dois polinˆmios como uma soma envolvendo os
o
termos de P e de Q.
(c) Chame a sucess˜o finita (a0 , a1 , a2 , a3 , a4 ) dos coeficientes do polinˆ-mio
a o
P de a e chame de b a sucess˜o finita dos coeficientes de Q :
a
a = (a0 , a1 , a2 , a3 , a4 ), b = (b0 , b1 , b2 , b3 , b4 ),
Expresse a f´rmula do produto dos dois polinˆmios P, Q como uma fun¸˜o
o o ca
c = a ∗ b de modo que a ∗ b(k) = ck ´ o coeficiente de ordem k do polinˆmio
e o
P Q, (use um somat´rio para isto).
o
(d) Mostre que a sucess˜o finita a = (1, 0, · · · , 0) que tem todas as coordenadas
a
nulas, exceto a primeira, ´ a unidade relativamente ˚
e aconvolu¸˜o.
ca
8.3.1 Coment´rios sobre alguns dos exerc´
a ıcios
Fun¸˜es polinomiais
co
Nos primeiros exerc´ıcios estabelecemos uma representa¸˜o entre o conjunto dos po-
ca
linˆmios e um subconjunto do conjunto das fun¸˜es definidas no intervalo [a, b].
o co
Vamos ver aqui o poder da generaliza¸˜o e at´ mesmo a raz˜o pela qual fazemos
ca e a
generaliza¸˜es ou representa¸˜es.
co co
Queremos demonstrar que o produto de dois polinˆmios ´ comutativo. Sejam P, Q
o e
os dois polinˆmios.
o
Vamos criar algumas nota¸˜es, palavras novas desta linguagem chamada Ma-
co
tem´tica que falamos.
a
Vamos dar um nome a este conjunto de fun¸˜es: F ([a, b]).
co
Observe que R[x]x∈[a,b] ⊂ F ([a, b]). Como se costuma dizer ainda, R[x]x∈[a,b] ´ um
e
subconjunto pr´ prio de F ([a, b]).
o
R[x]x∈[a,b] ∋ P → p ∈ F ([a, b]) (8.10)
quer dizer: P ´ o polinˆmio, p ´ a fun¸˜o polinomial definida por P . (8.11)
e o e ca
R[x]x∈[a,b] ∋ P, Q → p, q ∈ F ([a, b]) (8.12)
R[x]x∈[a,b] ∋ P Q → pq ∈ F ([a, b]) (8.13)
pq(x) → p(x)q(x) o produto de dois n´meros reais
u (8.14)
pq(x) = p(x)q(x) = q(x)p(x) = qp(x) (8.15)
pq → P Q ; qp → QP (8.16)
se a fun¸˜o, representa¸˜o, R[x]x∈[a,b] → F ([a, b])
ca ca (8.17)
for bijetiva, ent˜o podemos concluir que
a (8.18)
pq = qp ⇒ P Q = QP (8.19)
Fizemos uma demonstra¸˜o incompleta, porque usamos uma hip´tese que n˜o foi
ca o a
ainda testada ou comprovada: a representa¸˜o do conjunto dos polinˆmios no conjunto
ca o
das fun¸˜es ´ “bijetiva”. Teremos que demonstrar esta afirma¸˜o para legalizar a
co e ca
demonstra¸˜o que fizemos acima. Antes de prosseguir discutindo o pr´ximo teorema,
ca o](https://image.slidesharecdn.com/apmatuniversitaria-111209123006-phpapp01/85/Ap-mat-universitaria-280-320.jpg)
![vamos discutir a nota¸˜o que estamos usando. R[x] representa o conjunto de todos os
ca
polinˆ mios, e n´s podemos escrever um polinˆmio usando uma express˜o alg´brica:
o o o a e
P (x) = a0 + a2 x2 + a5 x5 ≡ (a0 , a1 , a2 , a3 , a4 , a5 )
ou mais concretamente
P (x) = 3 + 4x2 + 7x5 ≡ (3, 0, 4, 0, 0, 7).
Se escrevermos P (x)x=2 = 3 + 16 + 224 = 243 que dizer que substituimos na express˜oa
alg´brica P (x) a letra x pelo n´mero 2. Uma outra forma de escrer isto ´ simplesmente
e u e
P (2) = 3 + 16 + 224 = 243.
Mas se quisermos indicar que x pode assumir qualquer valor no intervalo [a, b], a
unica maneira de indic´-lo ´ esta que usamos acima: R[x]x∈[a,b] . Neste momento,
´ a e
P ∈ R[x] ; P (x)x∈[a,b] n˜o ´ mais um polinˆmio, ´ uma fun¸˜o polinomial porque x
a e o e ca
agora representa um n´mero.
u
Vamos ao teorema agora.
Teorema 77 Representa¸˜o dos polinˆmios
ca o
φ
Seja R[x]x∈[a,b] → F ([a, b]) que associa um polinˆmio P ∈ R[x] a fun¸˜o polino-
o ca
mial p ; p(x) := P (x)x∈[a,b] ; p ∈ F ([a, b]).
φ ´ uma fun¸˜o injetiva.
e ca
Dem :
Considere dois polinˆmios diferentes, P = Q e as correspondentes fun¸oes polinomiais que
o c˜
eles induzem em F([a, b]) ; p, q.
Mas dizer que dois polinˆmios s˜o diferentes, quer dizer que existe pelo menos um dos
o a
coeficientes de um que n˜o ´ igual ao correspondente coeficiente do outro, ak = bk , supondo
a e
que os coeficientes de P s˜o a0 . . . e os de Q s˜o b0 . . . Temos que mostrar que as duas fun¸oes
a a c˜
induzidas por P, Q s˜o diferentes.
a
Se fizermos a diferen¸a, p(x) − q(x), como estas fun¸oes est˜o definidas por polinˆmios, e
c c˜ a o
estes s˜o diferentes, ent˜o o polinˆmio que define esta diferen¸ao ´ P −Q que n˜o ´ o polinˆmio
a a o c˜ e a e o
zero, porque o coeficiente correspondente a diferen¸a ak − bk = 0, logo a fun¸ao p(x) − q(x) ´
c c˜ e
diferente de zero para algum x. Logo p = q. q.e.d .
Mas, infelizmente, n˜o poderemos demonstrar, como nos propunhamos, que φ ´
a e
bijetiva, pois em F ([a, b]) existem fun¸˜es que n˜o s˜o polinomiais. Isto ´ φ(R[x]) ´ um
co a a e e
subconjunto pr´prio de F ([a, b]). Observe a (fig. ??), na p´gina ??. A representa¸˜o φ
o a ca
cria uma imagem em F ([a, b]) que ´ idˆntica a R[x] mas esta imagem n˜o cobre todo o
e e a
contra-dom´ ınio, ent˜o φ n˜o ´ uma fun¸˜o sobrejetiva. Mas se reduzirmos a imagem
a a e ca
ao que nos interessa, ao conjunto
R[x] = P([a, b]) o conjunto das fun¸˜es polinomiais
co
ent˜o temos uma fun¸˜o bijetiva.
a ca
Isto chega para estabelecer uma idenfica¸˜o no sentido de que podemos considerar
ca
o subconjunto P([a, b]) de F ([a, b]) formado por todas as fun¸˜es polinomiais, que ´ a
co e
imagem de φ. Quer dizer, podemos ir e voltar entre P([a, b]) e R[x] logo, fica validada a
demonstra¸˜o do teorema. Podemos usar o mesmo m´todo para provar que o produto
ca e
de polinˆmios ´ associativo, e que o produto ´ distributivo relativamente a adi¸˜o.
o e e ca
N´s usamos o conceito de igualdade entre polinˆmios sem defin´ mas agora vamos
o o ı-lo
fechar este buraco l´gico:
o](https://image.slidesharecdn.com/apmatuniversitaria-111209123006-phpapp01/85/Ap-mat-universitaria-281-320.jpg)
![Experimente agora vocˆ mesmo, considere as “linhas” desta tabela em que a soma dos
e
´
ındices ´ constante e verifique que s˜o os coeficientes da mesma potˆncia de “x” no produto.
e a e
Por exemplo, quando a soma for 3 vocˆ ter´
e a
(a0 , b3 ), (a1 , b2 ), (a2 , b1 )
que somados:
(a0 b3 + a1 b2 + a2 b1 )x3
s˜o os coeficientes de x3 no produto dos dois polinˆmios. Podemos assim identificar todos as
a o
somas que correspondem a uma determinada potˆncia no produto cartesiano dos conjuntos
e
dos coeficientes.
Quando comutarmos os polinˆmios, na multplica¸ao, isto significa que vamos passar a
o c˜
olhar o produto cartesiano B x A que s˜o diferentes, ´ verdade, mas que tem alguma iden-
a e
tidade:
(x, y) ∈ A x B ⇒ (y, x) ∈ B x A
e como a multiplica¸ao de n´ meros ´ comutativa, ent˜o as duas linhas cuja soma de ´
c˜ u e a ındices
vale k produzem o mesmo coeficiente no produto, para o coeficiente de grau k.
Quer dizer, o produto de polinˆmios ´ comutativo. q.e.d .
o e
Observa¸˜o 38 Representa¸˜o.
ca ca
Obviamente “arroz com feij˜o” e “bai˜o de dois” s˜o duas coisas diferentes, como
a a a
1 + x2 + x3 = (1, 0, 1, 1).
S˜o diferentes, mas para muitos efeitos representam a mesma coisa, ´ esta id´ia sob
a e e
o conceito de representa¸˜o. Temos conjuntos diferentes mas identificados atrav´s de uma
ca e
bije¸˜o.
ca
Em ambos os casos usamos representa¸˜es. Num caso representamos o conjunto dos
co
polinˆmios no conjunto das fun¸˜es definidas no intervalo [a, b], identificando
o co
R[x]x∈[a,b] com P([a, b]) ⊂ F([a, b]).
´
E rigorosamente a mesma que fazemos quando identicamos os inteiros com as fra¸˜es de
co
denominador 1. S˜o dois objetos diferentes. Tamb´m estamos fazendo representa¸˜o quando
a e ca
identificamos os n´meros racionais com pontos da reta.
u
Talvez para alguns dos leitores, uma das demonstra¸˜es que fizemos da comutatividade
co
a ´
do produto ´ a mais f´cil. E esta a raz˜o porque fazemos representa¸˜es, para buscar uma
e a co
maneira mais f´cil de entender o que est´ acontencendo num conjunto complicado. Esta
a a
´ uma das principais atividades da Matem´tica, fazer representa¸˜es para explicar os fatos
e a co
dentro de outra estrutura.
Exerc´
ıcios 38 Associatividade do produto
1. Prove que o produto de tres polinˆmios, P, Q, R ´ associativo, use a repre-
o e
senta¸˜o
ca
R[x]x∈[a,b] → F ([a, b])
2. Prove que o produto de tres polinˆmios, P, Q, R ´ associativo, use a repre-
o e
senta¸˜o dos polinˆmios no conjunto das sucess˜es finitas e veja como fica o
ca o o
produto cartesiano onde vocˆ vai representar os coeficientes do produto.
e
Convolu¸˜o de sucess˜es
ca o
Na se¸˜o anterior discutimos o produto de polinˆmios e fomos levados a fazer uma
ca o
representa¸˜o de R[x] num conjunto de fun¸˜es para ver melhor o que significava a
ca co
comutatividade.](https://image.slidesharecdn.com/apmatuniversitaria-111209123006-phpapp01/85/Ap-mat-universitaria-283-320.jpg)
![Representamos tamb´m os polinˆmios no conjunto das sucess˜es finitas. Podemos
e o o
ent˜o observar que
a
R[x] ∋ P, Q ; P Q ≡ p ∗ q ; p, q sucess˜es finitas.
o
A opera¸˜o p ∗ q com as sucess˜es finitas, se chama convolu¸˜o.
ca o ca
Vamos dar um nome ao conjunto das sucess˜es finitas: R∞ . Observe que tem
o
sentido o “expoente” ∞, n˜o num sentido operat´rio. R3 ´ o conjunto de todas as
a o e
sucess˜es que tem “exatamente” tres elementos. Rn ´ o conjunto de todas as sucess˜es
o e o
∞ n
que tˆm “exatamente” n elementos. R ´ a reuni˜o de todos os R para qualquer
e e a
que seja n. Depois vocˆ vai encontrar este conjunto em Matem´tica mais avan¸ada
e a c
com outro nome. No momento usaremos este. Temos ent˜o dois conjuntos diferentes,
a
R[x], R∞ . Mas podemos mostrar que
• A todo polinˆmio P ∈ R[x] corresponde exatamente uma sucess˜o finita p ∈
o a
∞
R .
• Reciprocamente, a toda sucess˜o finita p ∈ R∞ corresponde exatamente um
a
polinˆmio P ∈ R[x].
o
• Se chamarmos φ a representa¸˜o que acabamos de mencionar,
ca
φ
R[x] ∋ P → p ∈ R∞
podemos afirmar que
φ(P Q) = φ(P ) ∗ φ(Q)
em outras palavras, d´ no mesmo fazer o produto de polinˆmios e depois passar
a o
φ ou primeiro, passar φ e fazer a convolu¸˜o.
ca
Tamb´m podemos afirmar que
e
φ(P + Q) = φ(P ) + φ(Q)
em outras palavras, d´ no mesmo fazer a soma de polinˆmios e depois passar φ
a o
ou primeiro, passar φ e fazer a soma de sucess˜es.
o
Isto significa que as duas estruturas (R[x], +, ·) e (R∞ , +, ∗) s˜o “idˆnticas”. Como
a e
de fato elas n˜o “idˆnticas”, temos uma palavra em Matem´tica para dizer isto: dize-
a e a
mos que
(R[x], +, ·) e (R∞ , +, ∗) s˜o isomorfas.
a
φ
Dizemos ainda que R[x] → R∞ ´ um isomorfismo.
e
Defini¸˜o 60 Isomorfismo
ca
Uma representa¸˜o entre duas estruturas que seja bijetiva e preserve as duas es-
ca
truturas se chama um isomorfismo.
Nos discutiremos com mais detalhes a estrutura de R[x] na pr´xima se¸˜o.
o ca
Exerc´
ıcios 39 1. Calcule separadamente os coeficientes de todos os graus de x no
produto de polinˆmios
o
3 4x 4 −x x2
( + + x )( + + x5 )
4 3 3 3](https://image.slidesharecdn.com/apmatuniversitaria-111209123006-phpapp01/85/Ap-mat-universitaria-284-320.jpg)
![2. Considere os polinˆmios
o
P (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn , Q(x) = b0 + b1 x + · · · + bm xm .
Escreva os quatro primeiros coeficientes do produto P Q.
3. Calcule a convolu¸˜o
ca
(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) ∗ (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1).
4. Calcule a convolu¸˜o
ca
(1) ∗ (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
5. Calcule a convolu¸˜o
ca
(1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∗ (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
6. Considere os polinˆmios
o
P (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn , (8.20)
m
Q(x) = b0 + b1 x + · · · + bm x , (8.21)
l
R(x) = c0 + c1 x + · · · + cl x . (8.22)
Calcule os quatro primeiros coeficientes do produto P (QR). Calcule tamb´m e
os quatro primeiros coeficientes do produto (P Q)R. Que conclus˜o o resultado
a
sugere? Prove esta sugest˜o.
a
7. Representando R[x] em F ([a, b]), prove usando a associatividade do produto de
n´meros reais, que o produto de polinˆmios ´ associativo. Escreva cuidadosa-
u o e
mente todas as passagens, (idas e voltas).
8. Prove que o produto de polinˆmios ´ distributivo relativamente ˚ c˜o de po-
o e aadi¸a
linˆmios.
o
9. Calcule 2P, P 2 , P 2 − 1 se
−3 4x
P (x) = + + 2x2 + x3 + x4 .
4 3
10. Calcule (x + a1 )(x + a2 ).Escreva separadamente todos os coeficientes deste pro-
duto. Identifique a estrutura destes coeficientes com uma rela¸˜o entre os n´meros
ca u
a1 , a2 .
11. Calcule (x + a1 )(x + a2 )(x + a3 ). Escreva separadamente todos os coeficientes
deste produto. Identifique a estrutura destes coeficientes com uma rela¸˜o entre
ca
os n´meros a1 , a2 , a3 .
u
12. Calcule (x + a1 )(x + a2 )(x + a3 )(x + a4 ). Escreva separadamente todos os coefici-
entes deste produto. Identifique a estrutura destes coeficientes com uma rela¸˜o ca
entre os n´meros a1 , a2 , a3 , a4 .
u
13. Considere o produto
(x + a1 )(x + a2 ) · · · (x + an ) ; n 2.
Escreva separadamente todos os coeficientes deste produto. Vocˆ poderia iden-
e
tificar no resultado algo ligado a An´lise Combinat´ria? Identifique a estrutura
a o
destes coeficientes entre uma rela¸˜o com os n´meros a1 , a2 , · · · , an .
ca u](https://image.slidesharecdn.com/apmatuniversitaria-111209123006-phpapp01/85/Ap-mat-universitaria-285-320.jpg)
![14. Considere o polinˆmio 6 + 5x + x2 . Ele pode ser o produto (x + a1 )(x + a2 ).
o
Verifique se isto ´ poss´ e ent˜o fatore 6 + 5x + x2 .
e ıvel a
15. Observe se ´ poss´ fatorar os polinˆmios abaixo:
e ıvel o
2 2
−6 + x + x −6 − x + x 12 + 7x + x2
−12 − 7x + x2 −12 − x + x2 4 − 2x + x2 Quando for poss´
ıvel, resolva
8 + 6x + x2 −8 − 2x + x2 12 − 7x + x2
a equa¸˜o P (x) = 0.
ca
16. Observe se ´ poss´ fatorar os polinˆmios abaixo:
e ıvel o
2 3
3 + 6x + 6x + x −8 + 2x + 5x2 + x3
2 3
−8 + −9x + x + x 10 + 2x + 5x2 + x3
Quando for poss´ıvel, resolva a equa¸˜o P (x) = 0.
ca
8.4 Estrutura do conjunto dos polinˆmios a co-
o
eficientes reais.
F([a,b])
R[x]
R
R[x]
Figura 8.1: R ⊂ R[x] ⊂ F([a, b])
Vamos descrever a estrutura do conjunto dos polinˆmios a coeficientes reais
o
com base nas experiˆncias que desenvolvemos na se¸ao anterior.
e c˜
Fizemos diversas experiˆncias e exerc´
e ıcios nas se¸˜es anteriores que agora devem
co
nos permitir a discuss˜o da estrutura do conjunto dos polinˆmios R[x] na presen¸a
a o c
das opera¸˜es de adi¸˜o e multiplica¸˜o de polinˆmios.
co ca ca o](https://image.slidesharecdn.com/apmatuniversitaria-111209123006-phpapp01/85/Ap-mat-universitaria-286-320.jpg)
![J´ verificamos que o produto de polinˆmios ´ comutativo. Num dos exerc´
a o e ıcios se
pediu que vocˆ provasse que este produto ´ associativo, vamos resolver o tal exerc´
e e ıcio.
Considere tres polinˆmios:
o
φ
P (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn → p ∈ P([a, b]) (8.23)
m φ
Q(x) = b0 + b1 x + · · · + bm x → q ∈ P([a, b]) (8.24)
φ
R(x) = c0 + c1 x + · · · + cl xl → r ∈ P([a, b]). (8.25)
Primeiro vamos mostrar que esta representa¸˜o φ ´ um isomorfismo: ´ bijetiva,
ca e e
preserva as opera¸˜es. A bijetividade j´ foi discutida anteriormente.
co a
• preserva a multiplica¸˜o Porque tanto P Q como pq s˜o identificados pelo pro-
ca a
duto dos coeficientes, logo φ(P Q) = φ(P )φ(Q).
• preserva o elemento neutro da multiplica¸˜o Porque φ(1) = 1 a fun¸˜o cons-
ca ca
tante x → 1 se encontra ˚
adireita enquanto que ˚
aesquerda, temos o polinˆmio de
o
grau zero de coeficiente 1.
• preserva a adi¸˜o Porque tanto P + Q como p + q s˜o identificados pelo soma
ca a
dos coeficientes, logo φ(P + Q) = φ(P ) + φ(Q).
• preserva o elemento neutro da adi¸˜o Porque φ(0) = 0 a fun¸˜o constante x → 0
ca ca
se encontra ˚
adireita enquanto que ˚
aesquerda, temos o polinˆmio de grau zero de
o
coeficiente 0. O polinˆmio nulo.
o
Sabemos que φ preserva as estruturas de R[x] e de P([a, b]), mas ainda n˜o dis-
a
cutimos que estrutura ´ esta. Quando soubermos qual ´ a estrutura de R[x], auto-
e e
maticamente teremos demonstrado, via isomorfismo, que a mesma estrutura vale em
´
P([a, b]). E esta outra vantagem dos isomorfismos.
• estrutura de (R[x], +). Como a soma ´ comutativa, associativa e tem um ele-
e
mento neutro, e todo polinˆmio tem um inverso aditivo (que se obtem trocando
o
os sinais de todos os coeficientes), ent˜o (R[x], +) ´ um grupo comutativo.
a e
• estrutura de (R[x], ·). A unica propriedade para que tenhamos um grupo, que
´
n˜o vale ´ a existˆncia de um inverso multiplicativo. Chamamos esta estrutura
a e e
de monoide. O produto ´ associativo, comutativo, e existe um elemento neutro
e
para a multiplica¸˜o que ´ o polinˆmio de grau zero 1.
ca e o
• O produto ´ distributivo relativamente ˚ c˜o, que se prova facilmente usando
e aadi¸a
a representa¸˜o de R[x] em F ([a, b]).
ca
• O produto do polinˆmio nulo por qualquer outro, produz o polinˆmio nulo.
o o
Estas propriedades s˜o idˆnticas `spropriedades de (Z, +, ·). Vemos assim que
a e a
(R[x], +, ·) ´ um anel comutativo como os inteiros.
e
Consequentemente (P([a, b]), +, ·) ´ tamb´m um anel comutativo. Observe que
e e
aqui tivemos o cuidado de usar P porque o isomorfismo ´
e
φ
R[x] → P([a, b]).
Os objetos isomorfos s˜o R[x], P([a, b]). Como um ´ um anel, ent˜o o outro tamb´m
a e a e
o ´.
e
Demonstramos assim:
Teorema 78 Anel dos polinˆmios (R[x], +, ·) ´ um anel comutativo.
o e](https://image.slidesharecdn.com/apmatuniversitaria-111209123006-phpapp01/85/Ap-mat-universitaria-287-320.jpg)
![e como corol´rio:
a
Teorema 79 Anel das fun¸˜es polinomiais
co
(P([a, b]), +, ·) ´ um anel comutativo.
e
8.5 A divis˜o de polinˆmios
a o
Como nos inteiros, a divis˜o no anel dos polinˆmios cria estruturas riqu´
a o ıssimas, exa-
tamente porque n˜o ´ “exata”.
a e
Vamos come¸ar comparando com a divis˜o de n´meros inteiros, porque foi assim
c a u
que os nossos antepassados construiram a divis˜o de polinˆmios. No anel dos inteiros
a o
encontramos o “conjunto” dos restos na divis˜o por um determinado inteiro, por 5,
a
digamos:
Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}
e a soma de restos se comporta algebricamente bem, veja a tabela operat´ria abaixo:
o
Tabuada com restos na divis˜o por 5.
a
+ 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3
N´s escrevemos 1 em vez de escrever 1 porque o resto 1 n˜o ´ a mesma coisa que
o a e
o n´mero 1, inclusive a adi¸˜o com restos n˜o tem a mesma “tabuada” que a adi¸˜o
u ca a ca
com n´meros. Mas as propriedades s˜o as mesmas:
u a
1. A adi¸˜o ´ comutativa.
ca e
2. A adi¸˜o ´ associativa.
ca e
3. Existe um elemento neutro para a adi¸˜o.
ca
4. Todo resto tem um inverso aditivo.
Destas propriedades, a unica que ´ trabalhosa ´ a associatividade uma vez que
´ e e
teriamos que analisar todos ternos (a + b) + c = a + (b + c).
Mas se usarmos o algoritmo da divis˜o euclidiana esta demonstra¸˜o fica simples,
a ca
veja.
Vamos antes demonstrar um teorema que torna tudo simples, ´ a regra que permite
e
passar do resto da soma para a soma dos restos.
Considere dois n´meros inteiros x, y.
u
Chame r1 = resto5 [x] ; r2 = resto5 [y].
Podemos ent˜o escrever sucessivamente:
a
y = 5q + r2 (8.26)
′
x = 5q + r1 (8.27)
x + y = 5q ′′ + r2 + r1 = 5q ′′′ + r ; r = resto5 [r1 + r2 ] (8.28)
resto5 [x + y] = resto5 [x] + resto5 [y] (8.29)](https://image.slidesharecdn.com/apmatuniversitaria-111209123006-phpapp01/85/Ap-mat-universitaria-288-320.jpg)
![A seq¨ˆncia de equa¸˜es acima mostra que resto preserva a adi¸˜o dos inteiros, n˜o
ue co ca a
´ um isomorfismo porque n˜o ´ identifica¸˜o entre os dois conjuntos Z e o conjunto
e a e ca
dos restos na divis˜o por 5 Z5 . Temos ent˜o uma palavra menos forte para este caso,
a a
morfismo:
Defini¸˜o 61 Morfismo
ca
Um morfismo entre duas estruturas ´ uma representa¸˜o que preserva a(as) opera¸˜o(˜es)
e ca ca o
entre as duas estruturas.
Como o resto preserva a adi¸˜o na passagem de Z para Z5 ent˜o ´ um morfismo4
ca a e
de grupos.
Defini¸˜o 62 Morfismo de grupos
ca
f
Dados dois grupos (G1 , o1 ), (G2 , o2 ) uma fun¸˜o G1 → G2 tal que
ca
• f (ao1 b) = f (a)o2 f (b)
• f (e1 ) = e2 em que e1 ´ o elemento neutro de (G1 , o1 ) e e2 ´ elemento neutro de
e e
(G2 , o2 ) se chama um morfismo de grupos.
E demonstramos assim o teorema:
Teorema 80 Morfismo dos grupos (Z, +), (Z5 , +). A fun¸˜o resto5 ´ um morfismo
ca e
de grupos.
resto5 [x] + (resto5 [y] + resto5 [z]) = (8.30)
como resto ´ morfismo de grupos:
e (8.31)
resto5 [x + (y + z)] = resto5 [(x + y) + z] (8.32)
porque a soma em Z ´ associativa
e (8.33)
x + (y + z) = (x + y) + z (8.34)
porque resto5 ´ um morfismo de grupos.
e (8.35)
Portanto (Z5 , +) ´ um grupo comutativo, como os inteiros, relativamente ˚
e asoma:
Teorema 81 (Z5 , +) ´ um grupo comutativo
e
Podemos ver que semelhan¸as deste tipo ocorrem na divis˜o com polinˆmios. Vamos
c a o
estudar uma delas, construir um exemplo que mostrar´ como construir as congruˆncias,
a e
inclusive no caso dos inteiros.
8.5.1 Os restos na divis˜o por 1 + x2 .
a
Dados dois polinˆmios, definimos a divis˜o usando um algoritmo que ´ semelhante ao
o a e
divis˜o de inteiros:
a
Defini¸˜o 63 Algoritmo da divis˜o euclidiana. Seja P, D dois polinˆ mios. Dizemos
ca a o
que o polinˆmio Q e o polinˆmio R s˜o respectivamente o quocieente e o resto na
o o a
divis˜o de P por D se e somente se
a
P = DQ + R
4 H´
a autores que insistem numa denomina¸ao antiga, homomorfismo
c˜](https://image.slidesharecdn.com/apmatuniversitaria-111209123006-phpapp01/85/Ap-mat-universitaria-289-320.jpg)
![Podemos fazer as mesmas contas sem usar a vari´vel5 Quando usamos apenas os
a
coeficientes se costuma escrever os polinˆmios em potˆncias crescentes, assim
o e
P ≡ (1, 1, 1, 3, 1) ≡ 1 + x + x2 + 3x3 + x4
(1, 1, 1, 3, 1) ÷ (1, 0, 1)
(1, 1, 1, 3, 1) = (1, 0, 1)Q + R
(1, 1, 1, 3, 1) = (1, 0, 1)Q + (b, a)
(1, 1, 1, 3, 1) = (1, 0, 1)(d0 , d1 , d2 ) + (b, a)
(1, 1, 1, 3, 1) = (d0 , d1 , d0 + d2 , d1 , d2 ) + (b, a)
(1, 1, 1, 3, 1) = (d0 + b, d1 + a, d0 + d2 , d1 , d2 )
d2 = 1 ; d1 = 3 ; d0 + d2 = 1 ; d1 + a = 1 ; d0 + b = 1
d2 = 1 ; d1 = 3 ; d0 = 0 ; a = −2 ; b = 1
(1, 1, 1, 3, 1) = (1, 0, 1)(0, 3, 1) + (1, −2)
o resto da divis˜o ´ (1, −2)
a e
Quer dizer que o resto na divis˜o por (x2 + 1) ´ o conjunto de todos os polinˆmios
a e o
do primeiro, R1 [x], ou todos os pares de n´meros (a, b) ∈ R2 . Observe as compara¸˜es
u co
que estamos fazendo, (mais representa¸˜es...
co
Vamos explorar um pouco mais este exemplo, veremos alguns fatos excitantes.
Vamos fazer algumas contas:
Exerc´
ıcios 40 C´lculo com restos
a
1. Use o algoritmo da divis˜o euclidiana para calcular o resto de
a
(a + bx)(c + dx)
na divis˜o por 1 + x2
a
2. congruˆncia Tente estabelecer uma regra para as opera¸˜es de soma e multiplicar
e co
com os restos:
a + bx + c + dx ; (a + bx)(c + dx)
A resposta do ultimo exerc´ ´:
´ ıcio e
• Como os restos s˜o polinˆmios do primeiro, ent˜o a soma dos restos ´ a soma
a o a e
dos dois polinˆmios do primeiro grau: a + bx + c + dx = (a + c) + (b + d)x
o
• No caso do produto, multiplicando os dois restos temos:
bdx2 + (ad + bc)x + ac
que dividido por x2 − 1 ´:
e
bd (ad + bc) ac 1 0 1
−bd 0 −bd bd A regra que procuravamos ´: o resto
e
0 ad + bc ac − bd
ser´: (ad+bc)x+(ac−bd). Compare com a multiplica¸˜o de n´meros complexos...
a ca u
5 Usar ou n˜o a vari´vel ´ uma quest˜o de gosto.
a a e a](https://image.slidesharecdn.com/apmatuniversitaria-111209123006-phpapp01/85/Ap-mat-universitaria-291-320.jpg)
![Este conjunto, o dos restos de um polinˆmio qualquer na divis˜o por 1 + x2 vai
o a
ser denominado R[x]/(1 + x2 ). Como os restos s˜o classes de equivalˆncia, a nota¸˜o
a e ca
acompanha a id´ia, temos um conjunto quociente. Ele ´ formado de todos os polinˆmios
e e o
do primeiro grau e nele valem as regras operat´rias que terminamos de descobrir.
o
Exerc´
ıcios 41 Congruˆncias
e
1. Calcule as duas taboadas, de adi¸˜o e de multiplica¸˜o para os restos na divis˜o
ca ca a
por 5.
2. Verifique que (Z5 , +, ·) tem as mesmas propriedades que (Q, +, ·) e portanto ´
e
um corpo.
3. classes de equivalˆncia Observe que os restos s˜o etiquetas, eles representam to-
e a
dos os n´meros inteiros que deixam aqule resto na divis˜o. Apresente as classes
u a
de cada resto na divis˜o por 5, (estas classes se chamam “classes m´dulo 5”).
a o
4. classes de equivalˆncia Apresente todas as classes m´dulo 4, m´ dulo 3, m´dulo
e o o o
2.
5. Resolva a equa¸˜o 3x + 4 = 2 em (Z5 , +, ·).
ca
6. Calcule as duas taboadas, de adi¸˜o e de multiplica¸˜o para os restos na divis˜o
ca ca a
por 4.
7. Verifique que (Z4 , +, ·) n˜o tem as mesmas propriedades que (Z5 , +, ·), verifique
a
qual a propriedade que falha. Verifique que em Z4 ´ poss´
e ıvel encontrar x =
0, y = 0 tal que xy = 0. Chamam-se divisores de zero.
8. Verifique que (Z6 , +, ·) n˜o tem as mesmas propriedades que (Z5 , +, ·), verifique
a
qual a propriedade que falha. Verifique que em Z6 ´ poss´
e ıvel encontrar x =
0, y = 0 tal que xy = 0. Chamam-se divisores de zero.
9. Verifique que (Z7 , +, ·) tem as mesmas propriedades que (Q, +, ·) e portanto ´
e
um corpo.
10. Resolva a equa¸˜o 5x + 4 = 3 em (Z7 , +, ·).
ca
11. Defina um isomorfismo entre os restos na divis˜o por x2 + 1 do conjunto de
a
todos os polinˆmios e o conjunto R2 . Naturalmente agora vocˆ sabe somar e
o e
2
multiplicar em R . Calcule
(1, 2) + (3, 4) (1, 2)(3, 4) (1, 0)(1, 0) (0, 1)(0, 1)
Compare com as opera¸˜es dos n´meros complexos.
co u
12. Prove6 que em R[x]/(x2 + 1) existe um elemento neutro para multiplica¸˜o e ca
que para todo resto a + bx existe outro resto c + dx tal que (a + bx)(c + dx) = 1.
13. Prove que R[x]/(x2 + 1) ´ um corpo, quer dizer, que (R2 , +, ·) em que a adi¸˜o
e ca
´ aquela definida pelo isomorfismo, assim como o produto, ´ um corpo.
e e
Este corpo, definido com o conjunto R2 tem uma representa¸˜o geom´trica, ´
ca e e
o plano, ´ o conjunto dos n´meros complexos.
e u
6 se voce usar apenas os coeficientes e a regra operat´ria j´ descoberta, fica tudo mais f´cil.
o a a](https://image.slidesharecdn.com/apmatuniversitaria-111209123006-phpapp01/85/Ap-mat-universitaria-292-320.jpg)
![Referˆncias Bibliogr´ficas
e a
[1] Courant, Richard Gauss and the present situation of the exact sciences in The
Spirit and the uses of the Mathematical Sciences - McGraw-Hill - paperbacks - 1969
[2] Hilbert, David Grundlager der geometri
[3] Lang, Serge Estruturas Alg´bricas
e
´
[4] Menezes, Darcy Lear de Abeced´rio da Algebra - Nobel - 1969 (apenas para ser
a
consultado)
ca a ´
[5] Nachbin, Leopoldo - Introdu¸˜o ` Algebra
291](https://image.slidesharecdn.com/apmatuniversitaria-111209123006-phpapp01/85/Ap-mat-universitaria-293-320.jpg)
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Ap mat universitaria
O documento apresenta um resumo introdutório sobre matemática universitária, abordando tópicos como teoria dos conjuntos, análise combinatória, relações e funções, conjuntos numéricos fundamentais e interpretação geométrica. O texto está organizado em 4 capítulos principais e subseções para tratar cada tópico de forma aprofundada.
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- 5. Sum´rio a Introdu¸˜o ................................... ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1 Teoria dos Conjuntos. 7 1.1 O conceito de conjunto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Conjunto e estrutura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 elemento, subconjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4 opera¸˜es . . . . . . . . . . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.1 uni˜o, interse¸˜o . . . . . a ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.2 diferen¸ a . . . . . . . . . c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.5 Estrutura alg´brica nos conjuntos e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.6 produto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 An´lise Combinat´ria Simples. a o 31 2.1 An´ lise Combinat´ria . . . . . . a o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2 combina¸˜es . . . . . . . . . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.1 Parti¸˜es de um conjunto. co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3 O binˆmio de Newton. . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.4 arranjos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.4.1 repeti¸˜o . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.4.2 Arranjos simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.4.3 Permuta¸˜es. . . . . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.5 n(A ∪ B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.6 n(A x B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3 Rela¸˜es e Fun¸˜es. co co 67 3.1 Rela¸˜es. . . . . . . . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.1.1 Rela¸˜es de ordem. . co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.1.2 equivalˆ ncia . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.2 fun¸˜o . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.3 fun¸˜o . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.3.1 injetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.3.2 sobrejetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.3.3 bijetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.4 Fun¸˜es polinomiais . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.4.1 A fun¸˜o linear afim ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3
- 6. 4 Conjuntos num´ricosfundamentais. e 93 4.1 os naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.1.1 ´lgebra N . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.1.2 ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.2 Os n´meros inteiros. . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.2.1 A defini¸˜o de Z. . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.2.2 adi¸˜o em Z . . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.2.3 produto em Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.2.4 ordem em Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.2.5 demonstra¸˜es . . . . . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.3 racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.3.1 incompletitude, Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.3.2 ´ lgebra dos racionais . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.3.3 compatibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.3.4 demonstra¸˜es . . . . . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.3.5 equivalˆncia . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.3.6 m.m.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.4 interpreta¸˜o geom´trica . . . . . . . ca e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.4.1 A reta e os racionais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.4.2 os irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.4.3 racionais na reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.5 programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5 Constru¸˜o geometrica de R. ca 127 5.1 os reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.2 ´lgebra na reta . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.2.1 A adi¸˜o em R. . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.2.2 A multiplica¸˜o em R. ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.2.3 corpo ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6 Fun¸˜es Especiais co 141 6.1 fun¸˜o linear . . . . . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.2 Progress˜o aritm´tica . . . . . . . . . . . a e . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.2.1 Nota¸˜o e exemplos . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.2.2 Soma dos termos de uma P.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.3 Gr´ficos das fun¸˜es lineares . . . . . . . . a co . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.3.1 Coeficiente angular de uma reta . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 6.3.2 Retas e suas equa¸˜es . . . . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.4 Equa¸˜o da reta que n˜o passa na origem ca a . . . . . . . . . . . . . . . . 156 o 6.5 Equa¸˜o do 1 Grau . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.6 Discuss˜o da equa¸˜o do 1o Grau . . . . . a ca . . . . . . . . . . . . . . . . 161 6.6.1 Exerc´ ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 6.7 Sistema de Equa¸˜es do 1o Grau . . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . 162 6.7.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.7.2 Exerc´ ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 6.8 Problemas do 1o Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 6.8.1 Exerc´ ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 6.8.2 Solu¸˜o de alguns exerc´ ca ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 6.9 Progress˜es geom´tricas . . . . . . . . . . o e . . . . . . . . . . . . . . . . 170 6.10 Fun¸˜o quadr´tica . . . . . . . . . . . . . ca a . . . . . . . . . . . . . . . . 175
- 7. 6.10.1 A fun¸˜opadr˜o y = f (x) = x2 . . ca a . . . . . . . . . . . . . . . . 175 6.11 O gr´fico de uma fun¸˜o do segundo grau a ca . . . . . . . . . . . . . . . . 177 6.11.1 A forma padr˜o x → (x − a)(x − b) a . . . . . . . . . . . . . . . . 179 6.12 Equa¸˜o do 2o grau . . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . 183 6.12.1 Exerc´ ıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 6.12.2 Exerc´ ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 6.12.3 Exerc´ ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 6.12.4 Exerc´ ıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 6.12.5 Exerc´ ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 6.13 Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 6.13.1 A hist´ria . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . 208 6.13.2 Constru¸˜o de um logaritmo . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . 210 6.13.3 Construindo outro logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 6.13.4 Os logaritmos decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 6.13.5 A base de um logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 6.14 Gr´fico de uma fun¸˜o logaritmica . . . . a ca . . . . . . . . . . . . . . . . 226 6.15 Fun¸˜o inversa de uma fun¸˜o logaritmica ca ca . . . . . . . . . . . . . . . . 227 6.15.1 Troca de base do logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 6.16 Fun¸˜o exponencial . . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . 229 7 N´meros Complexos u 245 7.1 incompletitude, R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 7.1.1 n´ meros complexos . . . . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . 246 7.1.2 A representa¸˜o geom´trica dos complexos . ca e . . . . . . . . . . . 248 7.2 N´meros complexos: extens˜o dos reais . . . . . . u a . . . . . . . . . . . 251 7.3 M´dulo, argumento e conjugado . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . 256 7.4 Intepreta¸˜o geom´trica do produto . . . . . . . . ca e . . . . . . . . . . . 256 7.5 Raizes de um n´mero complexo . . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . 260 8 O anel dos polinˆmios. o 267 8.1 n´meros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u . . . . . . . 268 8.2 polinˆ mio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . 270 8.3 estrutura alg´ brica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . 272 8.3.1 sobre os exerc´ cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . ı . . . . . . . 274 8.4 estrutura dos polinˆmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . 280 8.5 divis˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . 282 8.5.1 resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Bibliografia ............................................................................... 287 ´Indice remis- sivo alfab´tico.........287 e
- 9. Lista de Figuras 1.1 O conjunto universo e tres subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 Um grafo com 6 n´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 13 1.3 A uni˜o de trˆs conjuntos. . . . . . . a e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4 A interse¸˜o de dois conjuntos . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5 A interse¸˜o de duas retas . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.6 A diferen¸a entre os conjuntos A e B . . c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1 ´ Arvore de possibilidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.2 A ∪ B∪C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.3 n(A ∪ B ∪ C ∪ D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.1 Diagrama de Hasse de P(A); A = {0, 1, 2, 3} . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.2 Histograma dos enfermeiros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.3 Evolu¸o do pre¸o do dolar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ c 76 3.4 gr´fico de f (x) = x dom´ a ınio A = {−10, −9, −8, ..., 10}. . . . . . . . . . . . 77 3.5 Gr´fico de f (x) = x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 78 3.6 gr´fico de f (x) = x + 1 dom´ a ınio A = {−5, −9, −8, ..., 5}. . . . . . . . . . . . 79 3.7 f (x) = x2 esta fun¸ao n˜o ´ sobrejetiva se dom´ c˜ a e ınio A = {−5, −4, −3, ..., 5}; contra-dom´ınio = {−25, −24, . . . , 24, 24}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.8 diferen¸ a, fun¸˜o linear afim . . . . . . . . . . . . . . . c ca . . . . . . . . 85 3.9 a tangente do angulo α ´ a. . . . . . . . . . . . . . . . . . ˆ e . . . . . . . . 86 3.10 Os pontos em que uma fun¸ao linear afim corta os eixos. . . c˜ . . . . . . . . 87 3.11 A fun¸ao linear y = 2x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ . . . . . . . . 89 4.1 Fra¸oes equivalentes com denominadores diferentes 4 = 2 . . c˜ 1 8 . . . . . . . . 105 4.2 Racionais e inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.3 entre dois racionais sempre h´ outro... . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . 118 4.4 O intervalo [0, 1] colocado sob uma lente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.6 Raizes quadradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.1 A regra do paralelogramo para somar segmentos orientados . . . . . . . . . 130 5.2 Figuras semelhantes obtidas com um pant´grafo . . . . . . . . o . . . . . . 131 5.3 Soma de segmentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.4 Adi¸ao e diferen¸a dos vetores a, b. . . . . . . . . . . . . . . . c˜ c . . . . . . 133 7
- 10. 5.5 Multiplica¸ao, m´dulo em R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ o 134 5.6 Adi¸ao, m´dulo, desigualdade em R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ o 135 5.7 A multiplica¸ao geom´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ e 137 5.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.1 A soma dos termos de uma P.A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 6.2 ´ Area do trap´sio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . 149 6.3 Coeficiente angular da reta e a raz˜o da P.A. . . . . . . . . . . . . . . . a . 151 6.4 V´rias reta, seus angulos, sentido dos angulos . . . . . . . . . . . . . . . a ˆ ˆ . 152 6.5 Um par de n´ meros representa um ponto no plano . . . . . . . . . . . . u . 153 6.6 Equa¸ao de reta que passa na origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ . 154 6.7 duas retas paralelas, uma delas passa na origem . . . . . . . . . . . . . . 156 6.8 Discuss˜o geom´trica, sistema de equa¸oes . . . . . . . . . . . . . . . . . a e c˜ . 163 6.9 O produto de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 6.10 Alguns pontos do gr´fico x → x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . 238 6.11 Um gr´fico com mais densidade x → x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . 239 6.12 Gr´fico de x → x2 com alta densidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . 240 6.13 Uma par´bola e sua transla¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a c˜ . 240 6.14 duas transla¸oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ . 241 6.15 Homotetias da par´bola padr˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a a . 241 1 1 6.16 logaritmos base a; a ∈ { 5 , 2 , 2, e, 10} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 6.17 Primeira vers˜o do gr´fico do logaritmo - base maior do que 1 . . . . . . a a . 242 6.18 Gr´fico do y = log2 (x) com os pontos de coordenadas inteiras salientados. a . 243 7.1 Representa¸ao geom´trica dos complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ e 247 7.2 Produto de n´ meros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 248 7.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 7.4 Propriedades dos n´ meros complexos u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 7.5 Conjugado de um n´ mero complexo . u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 7.6 A proje¸ao de a + bi sobre S1 . c˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 7.7 ızes da unidade . . . . . . . . . As ra´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 7.8 ızes quartas da unidade . . . . . . Ra´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 7.9 ızes terceiras de 2 . . . . . . . As ra´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 7.10 ızes quintas de 7 . . . . . . . . . Ra´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 7.11 ızes c´ bicas de 3 + 4i . . . . . . . Ra´ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 8.1 R ⊂ R[x] ⊂ F([a, b]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
- 11. Introdu¸˜o. ca Como usar este livro. Este livro tem oito cap´ ıtulos que devem ser lidos em sequˆncia porque todo cap´ e ı tulo depende do anterior. Dentro dos cap´ ıtulos h´ se¸˜es em que eles s˜o divididos e n´s a co a o queremos chamar sua aten¸˜o que o texto ´ completado com coment´rios: observa¸˜es ca e a co e as notas de rodap´. e Os coment´rios, o texto te´rico, s˜o de nossa considera¸˜o o material mais impor- a o a ca tante do livro, mas nem sempre o mais f´cil. Sugerimos que vocˆ inicialmente dˆ-lhes a e e menos importˆncia e se concentre nos exerc´ a ıcios. Talvez vocˆ deva ler as observa¸˜es na ordem em que elas aparecerem, mas com e co baixa prioridade, numa primeira leitura. Para lhe permitir uma busca mais acurada de informa¸˜es, o livro tem um ´ co ındice remissivo alfab´tico, ao final, em que todos e os conceitos que surgem nas observa¸˜es se encontram indexados para que facilmente co vocˆ retorne a eles quando achar necess´rio. e a Os exerc´ cios foram escritos para serem feitos com aux´ de uma teoria m´ ı ılio ınima. A pr´pria teoria deve ser surgir dos exerc´ o ıcios. Mas n˜o desprese totalmente a teoria, nela h´ dicas de como se aprofundar na a a solu¸˜o dos exerc´ ca ıcios. Em suma, quase todos os exerc´ ıcios podem ser resolvidos em mais de um n´ vel, e vocˆ deve resolvˆ-los no n´ ı e e ıvel em que puder, e depois tentar aprofundar a solu¸˜o. ca Usamos uma conven¸˜o tipogr´fica no livro, texto em it´lico representa material ca a a que vocˆ deve olhar com cuidado, possivelmente n˜o est´ definido ainda e estamos e a a usando a concep¸˜o intuitiva do termo. Quando usarmos texto tipogr´fico estare- ca a mos fazendo referˆncia a um termo t´cnico, j´ definido anteriormente ou considerado e e a bem conhecido como tal. Quando usarmos letra pequena estamos lhe querendo dizer que o assunto ´ polˆmico e que h´ muito mais coisa para ser dito do que estamos con- e e a seguindo dizer naquele momento. Usamos texto sublinhado para chamar sua aten¸˜o ca de um detalhe que poderia passar desapercebido, tem o mesmo sentido texto em negrito. Queremos agradecer ˚ acomunidade de programa¸˜o livre e aberta sem a qual este ca livro nunca teria sido escrito porque depende de programas de dom´ ınio p´blico para u sua edi¸˜o, de programas de dom´ ca ınio p´blico para confec¸˜o de gr´ficos e simula¸˜o u ca a ca computacional. Com o mesmo espirito este livro ´ colocado como copyleft uma e variante da GPL - Gnu Public Licence. Uma c´pia da GPL pode ser encontrado em o www.debian.org. Quer dizer que vocˆ pode copiar este livro para seu uso pessoal sem e pagar nada ao autor. Claro, se vocˆ, quiser comercializar o livro ent˜o um contrato e a com o autor, neste sentido, se torna obrigat´rio. o Os leitores s˜o encorajados a entrar em contacto com o autores, por e-mail, a tarcisiomember.ams.org, para qualquer assunto ligado a este livro.
- 13. Cap´ ıtulo 1 Teoria dos Conjuntos. Na d´cada de 60 se iniciou uma renova¸ao de linguagem em matem´tica colocando o conceito e c˜ a de conjunto como m´dulo central de toda a constru¸ao matem´tica. o c˜ a A raz˜o bem simples para isto se encontra nos seguintes fatos: a 1. As opera¸oes fundamentais com conjuntos servem de modelo concreto para as c˜ opera¸oes fundamentais da l´gica. Em suma, estudar Teoria dos Conjuntos equivale c˜ o a estudar uma realiza¸˜o do modelo da l´gica formal. ca o 2. Todas as estruturas matem´ticas tem como objeto inicial uma fam´ de conjuntos a a ılia ` qual se associam rela¸oes t´ c˜ ıpicas da estrutura. Existem algumas exce¸oes a esta regra, c˜ teoria dos grafos por exemplo, mas se tratam de autˆnticas exce¸oes confirmando a e c˜ regra geral . . . Quer dizer que, estudando conjuntos estamos desenvolvendo a ferramenta b´sica para pro- a duzir matem´tica, a l´gica formal, e estamos tamb´m produzindo os blocos b´sicos desta a o e a constru¸ao. c˜ 1.1 O conceito de conjunto. A grande dificuldade de se iniciar qualquer conversa¸˜o ou explana¸˜o te´rica reside ca ca o na defini¸˜o das id´ias b´sicas, nas conven¸˜es iniciais que v˜o servir de alicerce para ca e a co a o resto da constru¸˜o. No in´ do s´culo 20 este sentimento se concretizou vindo das ca ıcio e dificuldades sentidas pelos nossos predecessores no s´culo 19 e se criou o conceito de e no¸˜es b´sicas que, junto com os postulados formariam, o background da teoria e seria co a aceitas sem discuss˜o, a menos que outra teoria seja desejada. a Conjunto ´, para a Teoria dos Conjuntos, esta no¸˜o primeira. Os que nos prece- e ca deram no in´ ıcio do s´culo 20 e escreveram sobre esta teoria, ficaram circulando entre e palavras como agregado, lista ou conjunto, tentando com uma, justificar a outra. De- pois de algum tempo a frase “conjunto ´ uma id´ia b´sica, que n˜o iremos definir”, e e a a come¸ou a prevalecer nos textos. c N˜o definiremos conjunto como ningu´m definiu para vocˆ as primeiras palavras a e e da lingua que vocˆ fala. Diziam-lhe, no come¸o, que um determinado objeto era e c uma cadeira e que outro era uma mesa sem lhe apresentar nenhuma l´gica porque o uma cadeira n˜o seria uma mesa, ou vice-versa. Somente depois, quando vocˆ j´ havia a e a adquirido algum vocabul´rio b´sico ´ que lhe foi dado o direito de fazer perguntas. Para a a e n˜o agir de forma t˜o autorit´ria, daremos alguns exemplos de conjuntos, escreveremos a a a algumas frases iniciais de forma semelhante ao modo como vocˆ aprendeu a falar... e 11
- 14. Escrevemos: {a, e, i, o, u} ´ um conjunto, e “a” ´ um elemento deste conjunto, e e, i, o, u tamb´m o s˜o. e a Temos uma simbologia para resumir a frase “a ´ um elemento do conjunto {a, e, i, o, u}”. e • Inicialmente damos um nome ao conjunto {a, e, i, o, u} escrevendo: A = {a, e, i, o, u}. • Depois diremos a ∈ A, em que o s´ ımbolo “∈” lˆ-se “pertence”. e • Ent˜o as frases a ∈ A, e ∈ A, i ∈ A s˜o senten¸as verdadeiras. Da mesma forma a a c as senten¸as: c b ∈ A, c ∈ A s˜o falsas e a nega¸˜o delas ´ a ca e b ∈ A, c ∈ A. / / ımbolo ∈ lˆ-se ”n˜o pertence”. em que o s´ / e a Observa¸˜o 1 Sintaxe e linguagem ca N˜o fizemos nenhuma tentativa de definir os s´ a ımbolos ∈, ∈ . / Tudo que fizemos foi escrever frases para lhe mostrar qual era a sintaxe do uso destas palavras. Estamos construindo uma linguagem e o m´todo se assemelha `quele usado no e a aprendizado da lingua materna: em lugar de explicar como s˜o as coisas, damos exem- a plos mostrando como as coisas funcionam. As linguagens, sejam elas naturais ou linguagens de computador tˆm uma semelhan¸a que ´ preciso salientar: e c e • nomes H´ s´ a ımbolos chamados nomes, os substantivos, que guardam o significado de objetos com os quais fazemos algumas ou que fazem algumas coisas. Alguns destes s´ ımbolos s˜o chamados vari´veis; a a A ´ um nome que guarda o valor {a, e, i, o, u}. A ´ uma vari´vel. e e a Outros s´ımbolos tem um uso mais est´vel, o valor deles ´ imut´vel, e eles s˜o a e a a chamados identificadores. cadeira ´ um exemplo de identificador da linguagem brasileira, coisa ´ um e e exemplo de vari´vel da linguagem brasileira; a • predicativos H´ palavras que representam a a¸ao ou a qualifica¸ao a ser a c~ c~ exercida sobre as vari´veis, verbos ou conjuntos de palavras, chamados predica- a tivos; ∈, ∈ / s˜o predicativos; a • controle do fluxo l´gico H´ palavras que representam a conex˜o l´gica ou o o a a o controle l´gico, enfim a decis˜o nas bifurca¸˜es, o a co se, ent˜o, a controlam o fluxo l´gico da linguagem, s˜o pontos de decis˜o do discurso; o a a
- 15. • operadores l´gicosA l´gica (e consequentemente a teoria dos conjuntos) tem o o operadores que transformam proposi¸˜es em outras proposi¸˜es, co co e, ou, ⇒, n˜o a s˜o operadores l´gicos. a o e, ou, ⇒ s˜o operadores bin´rios, quer dizer que recebem dois parˆmetros para modificar a a a criando um terceiro. n˜o a ´ um operador un´rio, quer dizer, recebe um unico parˆmetro para modificar. e a ´ a A Matem´tica, como as linguagens de computador, tem estas caracter´ a ısticas. O que difere a Matem´tica ou uma linguagem de computador das linguagens naturais ´ a e a ausˆncia de aspectos subjetivos, presentes nas linguagens naturais, que tornam os e substantivos multi-valuados. Se espera que a Matem´tca ou as linguagens de computa- a dor n˜o tenham semˆntica, portanto n˜o tenham ambigu¨ a a a ıdades... mas existe tamb´m e Inteligˆncia Artificial, que ´ computa¸˜o e admite ambigu¨ e e ca ıdades. Agora vem a primeira defini¸˜o. Nela vamos tomar alguns elementos b´sicos e lhes ca a aplicar operadores l´gicos produzindo um novo elemento, ou conceito. o Defini¸˜o 1 Subconjunto ca Dado um conjunto A diremos que um outro conjunto B ´ um subconjunto do e primeiro, em s´ ımbolos B⊂A se a frase seguinte for verdadeira x ∈ B ⇒ x ∈ A. Para demonstrar que um determinado conjunto ´ subconjunto de outro, temos que e verificar, exaustivamente, a frase x∈B⇒x∈A para todos os elementos de B ou apresentar uma dedu¸˜o l´gica desta frase. ca o Por exemplo, o conjunto V = {a, e, i, o, u} ´ um subconjunto de e A = {a, b, c, d, e, f, ..., z} V = {a, e, i, o, u} ⊂ {a, b, c, d, ..., z} = A. porque Dem : V ´ um conjunto de vogais e (1.1) A ´ o conjunto de todas as letras e (1.2) x ∈ V ⇒ x ´ uma letra ⇒ x ∈ A e (1.3) x∈V ⇒x∈A≡V ⊂A (1.4) q.e.d .
- 16. Na demonstra¸˜o acimafizemos uma dedu¸˜o l´gica da inclus˜o sem necessitar ca ca o a de fazer uma verifica¸˜o exaustiva, elemento por elemento, de que os elementos de V ca tamb´m eram elementos de A. Vamos apresentar outro demonstra¸˜o em que, exaus- e ca tivamente, iremos testar a verdade V ⊂ A. Dem : a∈V ea∈A (1.5) e∈V ee∈A (1.6) i∈V ei∈A (1.7) o∈V eo∈A (1.8) u∈V eu∈A (1.9) q.e.d . Observe que um pouco mais acima haviamos escrito A = {a, e, i, o, u} e agora usamos V = {a, e, i, o, u}. N˜o h´ nenhum erro nisto, mas obviamente devemos a a evitar de usar t˜o seguidamente “valores” diferentes1 para uma vari´vel. a a Exerc´ ıcios 1 Sintaxe e l´gica o 1. nome, predicado, controle l´gico do fluxo, opera¸˜o o ca Identifique nas frases abaixo o que ´ nome, predicado, controle de fluxo e (a) x ∈ A (b) A e B (c) A ou B (d) Se x ∈ A ent˜o x ∈ B a (e) Enquanto x ∈ A escreva x (f ) x ∈ A ⇒ x ∈ B 2. Mostre que V = {0, 2, 4, 6, 8} ⊂ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} = A usando uma dedu¸˜o ca l´gica, (isto ´), sem verificar a veracidade de cada uma das poss´ o e ıveis rela¸˜es co x ∈ V ⇒ x ∈ A. Solu¸˜o: Como A ´ o conjunto de todos as n´meros menores que ca e u 10, ent˜o para qualquer que seja x ∈ V , como x ´ n´mero par menor do que 10 ent˜o a e u a x ∈ A isto ´ e x ∈ V ⇒ x ∈ A ⇐⇒ V ⊂ A 3. Apresente os elementos dos conjuntos definidos por (a) {x ∈ N; x < 10} (b) {x ∈ N; x > 10} (c) {x ∈ N; 3 < x < 10} (d) {x ∈ N; 3 ≤ x < 10} (e) {x ∈ N; 3 ≤ x ≤ 10} (f ) {x ∈ N; x < 0} (g) {x ∈ N; x ´ par} e (h) {x ∈ N; x ´ impar} e 1 isto ´ bem natural num programa de computador, mas deve ser evitado num texto para e leitura humana
- 17. 4. Propriedades, “desigualdade”e “contido” (a) Se P = {x ∈ N; x ´ par} e I = {x ∈ N; x ´ impar} ent˜o ´ verdade que e e a e • P ⊂I ? • I⊂P ? (b) Dados dois n´meros naturais, x, y ∈ N ent˜o ´ verdade que (tricotomia) u a e a) x < y ou; b)x > y ou; c)x=y (c) i. Descreva as propriedades que vocˆ conhece de ”<”em N. e ii. Descreva as propriedades que vocˆ conhece de ”⊂”entre conjuntos. e iii. Se vocˆ fosse aplicar o adjetivo “fraca” a uma das duas rela¸˜es <, ⊂, e co qual das duas receberia o adjetivo, a partir do resultado dos dois itens anteriores. 5. Quais dos conjuntos seguintes, tomados dois a dois, s˜o diferentes: a , {}, {0} Solu¸˜o: Todos s˜o diferentes: ca a • O conjunto {0} cont´m um elemento, o n´mero zero; e u • O conjunto {} cont´m um elemento, o conjnto v´zio; e a • O conjunto ´ o conjunto v´zio, n˜o tem elementos. e a a 6. Construa um diagrama representando o conjunto U , universo, e mais os con- juntos A, B, C tal que A⊂B ; B⊂A ; C⊂A; C⊂B Solu¸˜o: Observe na figura (fig. 1.1) p´gina 12, a representa¸˜o gr´fica da solu¸˜o. ca a ca a ca 7. Considere A = {0, 1, 2, 3} e determine: (a) O n´mero de subcojuntos de A. u (b) Quantos subconjuntos de A possuem 2 elementos. (c) Quantos subconjuntos de A possuem 4 elementos. 1.2 Conjunto e estrutura. Vocˆ viu um primeiro exemplo de estrutura em dos exerc´ e ıcios acima quando lhe pe- dimos para descrever as propriedades de “<” em N ou as propriedades de “⊂” entre conjuntos. Vamos discutir mais a fundo este conceito agora. Lembre-se do m´todoe que adotamos, n˜o vamos dizer-lhe tudo, vocˆ ter´ que descobrir os fatos a partir dos a e a exemplos. Exemplo 1 Figura plana. • Um triˆngulo fica bem determinado pelos seus tres v´rtices. a e • Um quadril´tero pelos seus quatro v´ rtices. a e • Podemos falar do conjunto Pde todos os pol´ ıgonos do plano.
- 18. B U A F C E Figura 1.1: O conjunto universo e tres subconjuntos Outro conceito associado aos pol´ ıgonos ´ “´rea”. Podemos criar uma estrutura as- e a sociada aos poss´ıveis pol´ ıgonos determinados por conjuntos finitos de pontos do plano, que v˜o constituir os v´rtices dos pol´ a e ıgonos. Se aplicarmos o m´todo “´rea” a este e a conjunto de pol´ıgonos, e se designarmos este m´todo com a letra A, estamos fazendo e referˆncia ˚ e aestrutura (P,A). Exemplo 2 Grafos Um conjunto finito de pontos do plano determina um pol´ ıgono mas podemos vˆ-lo e sobre outro enfoque. A figura (fig. 1.2) p´gina 13, cont´m um exemplo de grafo com v´rios caminhos a e a tendo como oirgem O. Por exemplo OABCD, OCD, OACD, OED. Observe que as setas indicam o sentido do fluxo. Um grafo ´ um m´todo associado a um pol´ e e ıgono. Agora, em vez de calcularmos ´reas, estamos definindo caminhos poss´ veis entre os “n´s”. O resultado ´ um grafo. a ı o e Se designarmos um grafo qualquer com a letra G agora estamos estudando (P,G). Os grafos s˜o usados para modelar o fluxo do trˆnsito, ou as rotas de entregas a a de mercadorias, rotas de linhas ar´as, enfim tudo que envolver “caminhos” entre um e conjunto de n´s dados. o Agora os v´rtices se chamam n´s. e o Exemplo 3 Semelhan¸a c
- 19. E D O A C B Figura 1.2: Um grafo com 6 n´s o Se considerarmos ainda o conjunto de todos os pol´ ıgonos, podemos identificar, dois ´ um outro m´todo que podemos associar aos a dois, aqueles que sejam semelhantes. E e pol´ ıgonos. Podemos designar a semelhan¸a com o s´ c ımbolo ≈ e neste caso estamos estudando (P,≈). Vejamos um exemplo bem diferente dos anteriores, mas sempre em torno do as- sunto: conjunto, m´todo, estrutura. e Exemplo 4 Conjunto dos n´meros naturais u No conjunto N = {0, 1, 2, · · ·} podemos considerar o m´todo adi¸˜o. Neste caso e ca estamos estamos estudando (N,+). Se, ao inv´s de associarmos aos n´meros naturais o m´todo adi¸˜o, lhe associarmos e u e ca o m´todo multiplica¸˜o, estaremos considerando a estrutura (N,·). e ca Vamos resumir as id´ias contidas nos exemplos acima. e • m´todos Associados ao conjunto dos pol´ e ıgonos identificamos acima tres m´todos: e grafo, ´rea, semelhan¸a. a c Associado ao conjunto dos n´meros naturais, identificamos dois m´todos: u e adi¸˜o, multiplica¸˜o. ca ca Observe que esta listagem n˜o ´ exaustiva. a e • estrutura Quando analisamos um conjunto e um m´todo que esteja definido e nele, estamos estudando uma estrutura. Se analisarmos mais de um m´todo, e estaremos estudando uma estrutura mais complexa. Fomos levados assim a considerar as seguintes estruturas:
- 20. 1. (P,G), (P,≈),(P,A) ; 2. (N, +),(N, ·) • estruturas mais complexas – (P,A,≈) – (N, +, · ) Observa¸˜o 2 Conjunto finito e conjunto limitado. ca Os dois conceitos, conjunto finito e conjunto limitado s˜o diferentes. a O conjunto dos pontos do plano limitado pelos lados de um triˆngulo, ´ um conjunto a e limitado e isto significa que este conjunto pode ser colocado dentro de um c´ırculo. Em outras palavras, o padr˜o para limita¸˜o s˜o os c´ a ca a ırculos. Tudo que puder ser colocado dentro de um c´ ırculo ´ limitado. e Conjunto finito ´ aquele que cujos elementos podem ser contados. Neste caso a e frase “o n´mero de elementos do conjunto A ´ n” tem um sentido artim´tico, e n ∈ N. u e e O conjunto N pode ser representado sobre uma reta, neste caso ele aparece como um conjunto de pontos que se “espalham” ao longo da reta a iguais intervalos. O conjunto N ´ um conjunto infinito: n´s n˜o podemos colocar o conjunto N, re- e o a presentado na reta num´rica, dentro de um c´ e ırculo. Assim, N ´ um conjunto ilimitado, e tamb´m. e A frase “o n´mero de elementos do conjunto N ´ ∞” u e n˜o tem um sentido aritm´tico. O s´ a e ımbolo ∞ n˜o ´ aritm´tico nem ´ um n´mero, a e e e u embora se possam fazer algumas extens˜es dos m´todos da aritm´tica incluindo o seu o e e uso. N´s n˜o podemos contar os pontos que se encontram dentro de um triˆngulo, ent˜o o a a a o conjunto dos pontos limitados pelos lados de um triˆngulo ´ infinito. ´ um conjunto a e e infinito e limitado. Exerc´ ıcio 1 No ultimo par´grafo a palavra “limitado” foi usada duas vezes com sen- ´ a tidos diferentes. Vocˆ conseguiria distinguir estes dois sentidos? e O simples exemplo de um triˆngulo j´ nos permitiu divagar por trˆ s teorias ma- a a e tem´ticas, isto mostra a riqueza do conceito “conjunto” que permite associar, (ou a dissociar), formas diferentes de analise dum objeto como um simples triˆngulo. a O m´todo que utilizamos est´ ligado ao conceito de elemento de um conjunto. e a Quando olhamos um triˆngulo como um conjunto finito, estamos nele identificando a tres elementos apenas, os tres v´rtices. Quando pensamos na ´rea, na medida, de e a um triˆngulo, estamos pensando no conjunto infinito formado por todos os pontos do a plano limitado pelos tres lados. Observe, entretanto, que ´rea nada tem o que ver com a quantidade de pontos do a triˆngulo. A ´rea do triˆngulo ´ finita, ´ um n´mero, e um triˆngulo ´ um conjunto a a a e e u a e infinito de pontos. Quando pudermos identificar propriedades associadas aos elementos do conjunto, diremos que temos uma estrutura. H´ quem identifique conjunto como uma estrutura, a seria uma estrutura zero, inicial. Exerc´ ıcios 2 Identifica¸˜o de estruturas ca 1. triˆngulos, ´rea, semelhan¸a a a c
- 21. (a) Especifique umaestrutura usando os conceitos de triˆngulo e ´rea. Liste a a as propriedades. (b) Torne a estrutura anterior mais complexa agregando-lhe o conceito de se- melhan¸a. Liste as propriedades, (monte alguns exemplos afim de descobrir c as propriedades que podem ser listadas). 2. Considere o conjunto A = {0, 1, 2, . . . , 9}. (a) Use o conjunto A para indexar objetos. Dˆ exemplos. e (b) Verifique que n˜o tem sentido a express˜o a a x, y ∈ A ⇒ x + y ∈ A. Por que ? (c) quest˜o semelhante ˚ a aanterior Use o conjunto A = {0, 1, 2, . . . , 9} para contar objetos. Dˆ exemplos. e (d) Verifique que agora a express˜o a x, y ∈ A ⇒ x + y ∈ A, tem sentido, mas nem sempre ´ verdadeira. Dˆ exemplos. e e 3. Vocˆ tem certeza de que sempre que vir um n´mero, ele de fato ´ um n´mero? e u e u 4. Comente a seguinte frase: o problema detectado nos itens acima se deve a nossa pobreza de linguagem, usamos o conjunto A duas vezes, com sentidos diferentes. Vocˆ conhece outras situa¸˜es semelhantes a esta? Dˆ exemplos. e co e Haveria solu¸˜o para o problema que detectamos? ca 5. conjunto, m´todo, estrutura e (a) Monte uma estrutura com os conceitos: H = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} + (b) Descreva as propriedades da estrutura (H, +). (c) Torne a estrutura anterior mais complexa incluindo mais algum outro m´todo que possa ser aplicado aos elementos do conjunto b´sico, por exem- e a plo < . (d) Verifique se h´ alguma rela¸˜o entre os dois (ou mais) m´todos que vocˆ a ca e e definiu, se houver fa¸a uma especifica¸˜o detalhada da estrutura. c ca 6. Repita o exerc´ ıcio anterior com o conjunto N dos dos n´meros naturais. u 7. ´rea Qual ´ a defini¸˜o de ´rea? a e ca a 8. Fa¸a uma frase com os conceitos “´rea”e “regi˜o”. c a a Exemplo 5 Dados estruturados.
- 22. 1. “trˆ sagregados diferentes” e Se olharmos para o “aglomerado” seguinte de n´meros: u 1107991334 eles podem nos lembrar muitas coisas. Se perguntassemos a v´rias pessoas o que a eles significavam poderiamos obter muitas respostas. Mas se mostrassemos `s pessoas os mesmos n´meros assim dispostos: a u 11/07/99 : 13 : 34, algumas pessoas, facilmente, identificariam a´ uma data, um dia do ano, seguido ı de uma hora. Tamb´m poder´ e ıamos ter apresentado os algarismos assim: 01107991334 e, ainda com certa hesita¸˜o, algu´m poderia arriscar: “n˜o seria um n´mero ca e a u de telefone al´ de S˜o Paulo?” ı a Pois ´, o que mudou nos tres exemplos? e 2. um agregado com regras alg´bricas. O que torna diferentes e 11/07/99 : 13 : 34 e 01107991334 ? Claro, um desses agregados representa um “ponto” no tempo em que vivemos. “11/07/99 : 13 : 34” obedece a uma regra alg´brica “muito complicada” mas que e n´s dominamos. Se 1 representar “um minuto”, sabemos calcular: o 11/07/99 : 13 : 34 + 1 = 11/07/99 : 13 : 35. Se 59 representar “59 minutos, tamb´m sabemos calcular: e 11/07/99 : 13 : 34 + 59 = 11/07/99 : 14 : 33, apesar da regra complicada que tem a´ de passagem de uma casa para a outra. ı Se 2 : 3 : 10 representarem “dois dias, 3 horas e 10 minutos, sabemos calcular: 11/07/99 : 13 : 34 + 2 : 3 : 10 = 13/07/99 : 16 : 44. Ent˜o, concluimos, existe uma opera¸˜o de adi¸˜o, munidas regras bem compli- a ca ca cadas, mas que todos conhecemos, de modo que podemos discutir qual ´ estrutura e aditiva do conjunto que vamos chamar de T, o tempo, junto com a opera¸˜o de soma de tempos: ca (T , +). N˜o vamos entrar nestes detalhes agora, mas todos entendemos o que isto sig- a nifica.
- 23. 3. um agregadosem opera¸˜es alg´bricas. Se tentassemos somar co e (011)334575 + (021)223443 ningu´m duvidaria em desatar numa gargalhada: n˜o se soma n´mero de tele- e a u fone. Mas se houvesse um cat´logo de telefones ordenado pelos n´ meros, seria util. a u ´ Quantas vezes vocˆ tem um n´mero anotado num papel e n˜o sabe de quem ´? e u a e Ningu´m duvidaria que e (021)223443 < (021)332331 no sentido de que (021)223443 deveria vir antes de (021)332331 na listagem. Embora n˜o possamos somar n´meros de telefones, eles tem propriedades alg´bricas, a u e pouco utilizadas, ´ verdade. Existe uma “ordem” definida no conjunto dos e n´meros dos telefones. u Exerc´ ıcios 3 Criando estruturas. 1. Defina a estrutura “calend´rio”, estabele¸a qual ´ o seu conjunto b´sico (ou a c e a conjuntos) seus m´todos, etc... e 2. Defina a estrutura “cat´logo telefˆnico”, conjunto b´sico, m´todos, etc... a o a e 3. Defina a estrutura “livro”, fa¸a uma especifica¸˜o o mais completa poss´ c ca ıvel. 4. Defina a estrutura “figuras planas”, conjunto b´sico, m´todos etc... a e 5. Torne a estrutura “figuras planas” mais complexa adicionando um m´todo para e ˜ para comparA¡-las e decidir quando as figuras s˜o semelhantes. a 6. Torne a estrutura “figuras planas” ainda mais complexa, adicione um m´todo e que associe a cada figura um n´mero chamado ´rea. Especifique detalhadamente u a a estrutura, conjuntos, m´todos, propriedades. e 7. dif´ ıcil... Acima falamos de uma ordem no cat´logo telefˆnico, o que subentende a o que existam v´rias ordens. Tente encontrar trˆs exemplos de estrutura de or- a e dem, diferente da habitual: a ordem nos conjuntos num´ricos. Vamos estudar e “ordem” no cap´ ıtulo 3, (de um salto ao cap´ ıtulo 3). Os exemplos dados acima mostram que as informa¸˜es s˜o “agregados” de algaris- co a mos e letras dispostos segundo certas regras espec´ ıficas de uma determinada “estru- tura”. Algarismos e letras s˜o apenas dois tipos diferentes de “caracteres” que formam o a nosso “alfabeto escrito”. Existiria outro tipo de “alfabeto” que n˜o seja o escrito? a N˜o definimos estrutura, mas usamos a palavra em diversos contextos de formas a a passar-lhe o seu sentido intuitivo. Observe o livro de Leopoldo Nachbin, [5] se quiser se iniciar agora nas estruturas alg´bricas, ou [3] que ´ um pouco mais avancado que o e e anterior. Os exerc´ıcios destes cap´ ıtulo tratam das propriedades dos conjuntos, dos seus ele- mentos, dos sub-conjuntos de um conjunto universo dado.
- 24. 1.3 Conjunto, elemento e subconjunto. Neste momento nos encontramos ante dois tipos de objetos: conjuntos, elementos. Entre os dois existe uma diferen¸a hier´rquica. c a x ∈ x ´ sempre falso e x ⊂ x ´ sempre verdadeiro e (1.10) Na segunda equa¸˜o estamos dizendo que x ´ um conjunto, na primeira equa¸˜o ca e ca estamos dizendo que x ´ simultaneamente conjunto e elemento, isto ´ imposs´ e e ıvel. N˜o a iremos insistir numa discuss˜o direta sobre a diferen¸a entre elemento e conjunto. a c Esta diferen¸a ser´ salientada construtivamente. c a Exerc´ ıcios 4 Inclus˜o e pertinˆncia a e 1. Considere N = {0, 1, 2, 3, . . .}. Liste os elementos dos conjuntos abaixo: a) A = {x ; x ∈ N ; x < 10} b) B = {x ; x ∈ N ; 5 < x < 15} c) C = {x ; x ∈ N ; x < 0} d) D = {x ; x ∈ N ; x < 10} 2 e) E = {x ; x ∈ N ; x < 10} f ) F = {x ∈ N ; x ´ primo; x < 30} 3 e 2. Qual das senten¸as seguintes ´ verdadeira: c e a) 3 ∈ A b) 0 ∈ A c) −3 ∈ A d) A ⊂ B e) B ⊂ A f ) C ⊂ A g) D ⊂ A h) E ⊂ A i) D ⊂ B j) E ∈ A k) E ⊂ A l) E ⊂ D 3. Use diagramas de Venn para representar as rela¸˜es que for poss´ co ıvel entre os conjuntos A, B, C, D, E. 4. Escreva todos os subconjuntos do conjunto A = {0, 1, 2, 3}. O conjunto assim obtido se chama P(A), o conjunto2 das partes de A. (a) Classifique os elementos de P(A), segundo a sua quantidade de elementos. (b) Fa¸a um diagrama de Hasse com os elementos de P(A). c (c) Fa¸a uma tabela indicando a frequˆncia dos elementos de P(A) pelo n´mero c e u dos seus elementos. Por exemplo quantos sub-conjuntos tem A com 2 elementos. 5. estrutura de P(A).. Considere agora A = {0, 1, 2}. (a) Classifique os elementos de P(A), segundo a sua quantidade de elementos. (b) Fa¸a um diagrama de Hasse com os elementos de P(A). c (c) Fa¸a uma tabela indicando a frequˆncia dos elementos de P(A) pelo n´mero c e u dos seus elementos. Por exemplo quantos sub-conjuntos tem A com 2 elementos. 6. Repita a quest˜o anterior com A = {0, 1}. a 7. Repita a quest˜o anterior com A = {0}. a 8. Repita a quest˜o anterior com A = {}. a 2O conjunto dos subconjuntos de A.
- 25. 9. Colecte astabelas de freq¨ˆncia feitas nas quest˜es acima. O resultado deve ue o ser o triˆngulo de Pascal. Vamos chamar de linha de ordem n do triˆngulo de a a Pascal `quela que corresponder a um conjunto com n elementos. Quer dizer que a a primeira linha, contendo apenas 1 ´ a linha de ordem 0. Verifique que que os e n´ meros em cada linha s˜o os n´meros combinat´rios: u a u o p Cn = (n ). p p Vocˆ poder´ ler Cn como a quantidade de subconjuntos com p elementos que e a podemos encontrar num universo com n elementos. 10. Escreva o triˆngulo de Pascal at´ a linha de ordem 10 e compare com os con- a e juntos: • A = {}. • A = {0}. • A = {0, 1}. • A = {0, 1, 2}. • ... • A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. 11. Seja A = {1, 2, {1, 2}, 3, {3}, 4}. Determine quais das afirma¸˜es abaixo ´ ver- co e dadeira, justificando seu entendimento. a) {1, 2} ∈ A. b) {1, 2} ⊂ A. c) {1, 2, 3} ∈ A. d) {1, 2, 3} ⊂ A. e) {3} ∈ A. f ) {3} ⊂ A. g) 3 ∈ A. h) A ⊂ A 12. Considere U = {1, 2, 3}. Se A, B forem sub-conjuntos arbitr´rios de U, encontre a o n´mero de rela¸˜es do tipo A ⊂ B que ´ poss´ escreverem-se. u co e ıvel As 15 primeiras linhas do Triˆngulo de Pascal a 1 11 121 1331 14641 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1 1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1 1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1 Observa¸˜o 3 Cardinalidade. ca Nesta se¸˜o trabalhamos com os conceitos, ca 1. Conjuntos;
- 26. 2. m´todos eestruturas; e 3. pertinˆncia; e 4. inclus˜o; a 5. n´mero de elementos de um conjunto. u Mais a frente, o cap´ ıtulo 2, ser´ dedicado exclusivamente ao ultimo assunto. a ´ Se um conjunto for finito, tem sentido falar do n´mero de seus elementos. Se u um conjunto n˜o for finito, exatamente, isto quer dizer que ele n˜o tem mais um a a determinado n´mero de elementos, mesmo porque n˜o h´ “n´mero infinito”. u a a u Uma extens˜o deste conceito ´ a cardinalidade. Quando n˜o pudermos falar do a e a “n´mero de elementos de A”, ent˜o falaremos do “cardinal de A.” Voltaremos no u a final do cap´ ıtulo 2 a este assunto. 1.4 Opera¸˜es com conjuntos co Uni˜o, interse¸˜o e diferen¸a a ca c Nesta se¸ao discutiremos tres opera¸oes (m´todos) entre conjuntos: uni˜o, interse¸ao e dife- c˜ c˜ e a c˜ ren¸a. Faremos um paralelo entre estas opera¸oes e as opera¸oes da l´gica formal. c c˜ c˜ o 1.4.1 Uni˜o e interse¸˜o de conjuntos. a ca Defini¸˜o 2 Uni˜o, A B. ca a Dados dois conjuntos A, B dizemos que AU B = {x ; x ∈ A ou x ∈ B} Diagramas de Venn facilitam a compreens˜o das opera¸˜es mas tamb´m podem a co e induz´ em erros l´gicos. ı-lo o A figura (fig. 1.3), p´gina 21 ilustra a uni˜o de conjuntos. Usamos a uni˜o quando a a a quisermos reunir, num s´ conjunto, os elementos de dois ou mais conjuntos. o Defini¸˜o 3 Interse¸˜o, A B. ca ca Dados dois conjuntos A, B dizemos que A ∩ B = {x ; x ∈ A e x ∈ B} isto ´, para que x ∈ A ∩ B, x tem que ser simultˆneamente elemento de cada um dos e a conjuntos. A figura (fig. 1.4), p´gina 22 ilustra a interse¸˜o de dois conjuntos. Usamos a a ca interse¸˜o quando quisermos os elementos que forem comuns a dois outros conjuntos. ca Na figura (fig. 1.5) p´gina 22 vocˆ pode ver duas retas paralelas, que s˜o dois conjuntos a e a “sem nenhum ponto de interse¸˜o”. Neste caso o conjunto vazio resolve o problema ca criando uma solu¸˜o: ca r t = ∅. Exerc´ ıcios 5 1. Calcule A ∩ B e A ∪ B se
- 27. Figura 1.3: Auni˜o de trˆs conjuntos. a e • A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} • B = {5, 6, 7, 8, 9} 2. Se V representar o conjunto de todas as vogais, e C o de todas as consoantes, calcule V ∩ C, V ∪ C. 3. Represente com diagramas de Venn, (identifique as express˜es que estiverem o indefinidas): a) A ∪ B; b) B ∪ A ; c) A ∩ B; d) A ∪ B ∪ C; e) A ∩ B ∩ C; f ) (A ∪ B) ∩ C; g) A ∪ B ∩ C; h) (A ∩ B) ∪ C; i) A ∩ B ∪ C; j) A ∪ (B ∩ C); 4. Verifique quais das senten¸as abaixo s˜o verdadeiras: c a (a) A ∪ B = B ∪ A; (b) B ∩ A = A ∩ B; (c) (A ∪ B) ∩ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C); (d) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C); (e) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C); (f ) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C); (g) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C); (h) A ∪ B ∩ C = A ∪ (B ∩ C); 5. Qual das afirma¸˜es abaixo ´ a falsa: co e • A ∩ B ⊂ A; • A ∪ B ⊂ A;
- 28. B A Figura 1.4: A interse¸˜o de dois conjuntos ca r t Figura 1.5: A interse¸˜o de duas retas ca • A ⊂ A ∪ B; • A ∩ B ⊂ A ∪ B; A unica afirma¸˜o falsa pode ser verdadeira em caso particular dos conjuntos ´ ca A, B. Explicite tal caso. Observa¸˜o 4 Indefini¸˜o de express˜es. ca ca o T´cnicamente falando, as express˜es: e o • A ∪ B ∪ C; • A ∩ B ∩ C; • A ∪ B ∩ C; • A ∩ B ∪ C; est˜o indefinidas, porque n˜o fica claro que opera¸˜o deve ser efetuada primeiro. a a ca Aqui que se vˆ a importˆncia da propriedade associativa que algumas vezes e a vale, outras vezes n˜o vale. a
- 29. Por exemplo, sea, b, c ∈ N, a, b, c = 0, ent˜o a (a ÷ b) ÷ c = a ÷ (b ÷ c), porque a (a ÷ b) ÷ c = bc enquanto que b c ac a ÷ (b ÷ c) = a ÷ =a· = ; c b b Concluimos que a “divis˜o n˜o ´ associativa.” a a e Como uni˜o ´ associativa, ent˜o A ∪ B ∪ C est´ bem definida. Da mesma forma a e a a como a interse¸˜o ´ associativa, ent˜o A ∩ B ∩ C est´ bem definida. ca e a a Como a interse¸˜o ´ distributiva relativamente ` uni˜o ent˜o ca e a a a A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ C o que deixa a express˜o “A∪B ∩C” indefinida. Veja que n´s sabemos realizar, apenas, a o duas opera¸˜es de cada vez, ent˜o temos que interpretar uma express˜o como A∪B ∩C co a a como uma das duas formas escritas acima com parentesis. Fazendo um diagrama de Venn vocˆ vai se dar contas rapidamente de que as duas e express˜es o A ∪ (B ∩ C) ; (A ∪ B) ∩ C s˜o diferentes. Ao mesmo tempo este diagrama de Venn ´ uma demonstra¸˜o desta a e ca desigualdade porque apresenta um exemplo em que n˜o vale a igualdade. a Enfim, • quando a propriedade associativa valer, a repeti¸˜o de uma opera¸˜o fica bem ca ca definida sem necessidade de patentesis. Quando ela n˜o valer, somos for¸ados a c a indicar com parˆntesis o que queremos dizer; e • quando a propriedade distributiva valer entre duas opera¸˜es somos for¸ados a co c indicar qual a express˜o desejada com o uso de parentesis: a a ∗ b + a ∗ c = a ∗ (b + c) = (a ∗ b) + c Nas linguagens de programa¸˜o este problema de interpreta¸˜o de texto ´ contor- ca ca e nado criando-se uma prioridade entre as opera¸˜es. co O produto tem prioridade sobre ` adi¸˜o e subtra¸˜o, com isto significando que a ca ca “a + b ∗ c” vai ser entendido pela m´quina como a + (b ∗ c). a Prioridade entre as opera¸˜es co • primeiro se executam as potencia¸˜es e radicia¸˜es, co co • depois as multiplica¸˜es e divis˜es, co o • finalmente as adi¸˜es e as subtra¸˜es. co co Velha regra operat´ria, que se ensinava antigamente, e da qual os computadores o ainda se lembram... Experimente com uma m´quina de c´lcular: a a • 32 ∗ 7 = 7 ∗ 32 = 63 • 3 ∗ 2 + 7 = 7 + 3 ∗ 2 = 42 • 6÷2+3 =3+6÷2 =6
- 30. 1.4.2 Complementar e diferen¸a entre conjuntos. c O complementar de um conjunto A s˜o os elementos que n˜o pertencem ao conjunto a a A relativamente a um outro conjunto chamado universo. Observe a figura (fig. 1.6) na p´gina 25. Nela est˜o representados tres conjuntos a a A, B, U. Os conjuntos A, B s˜o subconjuntos de U que se chama, por esta raz˜o, con- a a junto universo.Na figura se encontra hachuriado o complementar de B relativamente ao universo. O complementar ´ designado com o s´ e ımbolo B c ou alumas vezes com CU B. Nesta ultima nota¸˜o se quer deixar claro que o complementar ´ um conceito relativo. Mu- ´ ca e dando o conjunto universo, muda o complementar. Se define a diferen¸ a entre dois conjuntos assim: c Defini¸˜o 4 Diferen¸a entre conjuntos. ca c Dados dois conjuntos A, B A − B = {x ; x ∈ A e x ∈ B} Se produz um novo conjunto a partir do conjunto A, formado de todos os ele- mentos de A que n˜o perten¸am a interse¸˜o A ∩ B : a c ca A − B = A − (A ∩ B). Na figura (fig. 1.6) p´gina 25, vocˆ pode ver a diferen¸a entre os conjuntos A,B a e c nesta ordem. Observe que A − (A ∩ B) = A − B (1.11) B − A = B − (A ∩ B) (1.12) A−B =B−A (1.13) estas equa¸˜es cont´m as id´ias da demonstra¸˜o do seguinte teorema: co e e ca Teorema 1 Diferen¸a n˜o ´ comutativa c a e A−B =B−A Da defini¸˜o podemos concluir uma propriedade da diferen¸a de conjuntos: ca c Teorema 2 Diferen¸a e complementar c A−B =A Bc Exerc´ ıcios 6 1. Calcule A − B para os conjuntos abaixo: (a) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ; B = {5, 6, 7, 8, 9, 10} (b) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ; B = {5, 6, 7, 8, 9, 10} (c) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ; B = {7, 8, 9, 10} (d) A = {5, 6, 7, 8, 9, 10} ; B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (e) A = {5, 6, 7, 8, 9, 10} ; B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} (f ) A = {7, 8, 9, 10} ; B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
- 31. U A B A − B Figura 1.6: A diferen¸a entre os conjuntos A e B c 2. Fa¸a os diagramas de Venn correspondentes a cada um dos itens na quest˜o c a anteior. ıcio 1 se A − B = B − A ´ verdadeira ou falsa. 3. Deduza do exerc´ e 4. Prove que A − B = A − (A ∩ B). 5. Prove que se A ∩ B = A ∩ C ent˜o A − B = A − C. a Observa¸˜o 5 Provar, verificar, . . . se convencer. ca Um trauma comum entre as pessoas que estudam Matem´tica se encontra associado a ao conceito de provar. A palavra verificar ´ aceita com menor carga de preconceitos e do que provar. ´ E preciso perder e combater este preconceito. H´ muitas coisas dif´ a ıceis em Ma- tem´tica, como as h´ em Biologia, Qu´ mica, F´ a a ı ısica ou Hist´ria. O conhecimento ´ o e formado de fatos ´bvios para uns, (um mesmo teorema pode ser uma trivialidade para o algu´m) e uma barreira te´rica para outros. e o Mas, dif´ ıcil, ´ apenas aquilo que vai tomar mais tempo para ser compreendido, n˜o e a ´ imposs´ e ıvel, ´ apenas dif´ e ıcil. N˜o h´ outro meio de fazer Matem´tica, sem fazer demonstra¸˜es, esta ´ a essˆncia a a a co e e de nossa disciplina. Mas h´ passos para conduzir-nos a compreens˜o de um teorema a a e consequentemente ` sua demonstra¸˜o, a ca • um gr´fico, a • algumas constru¸˜es geom´tricas, co e • alguns modelos concretos com papel, ou sucata, • um programa de computador.
- 32. Todos s˜o meiosjustos para ampliar nossa intui¸˜o e criar uma generaliza¸˜o que a ca ca conduza ` constru¸˜o de uma demonstra¸˜o. Esta tem que ser o objetivo final. a ca ca Sem traumas. 1.5 Estrutura alg´brica nos conjuntos e Vimos que as opera¸˜es de uni˜o e interse¸˜o tem propriedades semelhantes `s que os co a ca a n´meros tem no conjunto N. Por exemplo, a uni˜o e a interse¸˜o s˜o comutativas. A u a ca a diferen¸a entre conjuntos n˜o ´ comutativa, da mesma forma como a diferen¸a entre c a e c os n´meros que tamb´m n˜o ´ comutativa. u e a e Podemos nos perguntar que estrutura podemos descobrir no conjunto P(X), o con- junto das partes de X e as opera¸˜es definidas em P(X). co Uma pergunta mais direta: quais s˜o as propriedades de (P(X), ∪) em que P(X) a ´ o conjunto das partes de X e ∪ ´ a opera¸˜o de uni˜o entre os subconjuntos de X. e e ca a Vimos que • A uni˜o ´ associativa; a e • A uni˜o ´ comutativa; a e • Tem um conjunto que unido com qualquer outro conjunto reproduz o outro: ∅∪A = A ;A ⊂ X quer dizer que o “conjunto vazio est´ para a uni˜o como o zero est´ para a a a a adi¸˜o”. ca Observe que estamos dizendo que (N, +) ´ parecido com e (P(X), ∪) porque tˆm as mesmas propriedades. E esta semelhan¸a que chamamos de estrutura. e c Quer dizer que (N, +) e (P(X), ∪) tˆm a mesma estrutura. e Exerc´ ıcios 7 Estrutura nos conjuntos 1. Uni˜o e Interse˜o Prove que (P(X), ∩) tem as mesmas propriedades que (P(X), ∪). a ¸a Qual ´ o elemento neutro em (P(X), ∩) ? e 2. Diferen¸a de conjuntos Verifique quais s˜o as propriedades que valem para (P(X), −) c a em que “−” ´ a diferen¸a entre conjuntos. e c 3. Diferen¸a sim´trica c e Defini¸˜o 5 Diferen¸a sim´trica ca c e Definimos A△B = (A ∪ B) − (A ∩ B) Prove que A△B = (A − B) ∪ (B − A) 4. Verifique quais s˜o as propriedades de a • E1 = (P(X), △) ; E2 = (N, −) • E3 = (P(X), ∪) ; E4 = (N, +) • E5 = (P(X), ∩) ; E6 = (N, ·)
- 33. • E7 =(N, +, ·) ; E8 = (P(X), △, ∩) • E9 = (P(X), △, ∪) ; E10 = (P(X), ∪, ∩) 5. Quais das estruturas estudadas acima s˜o semelhantes? (fa¸a listagens daquelas a c que forem semelhantes entre si). 6. Uma pessoa pode receber sangue de um doador se tiver todos os ant´ ıgenos do doador. Traduza esta frase usando conjuntos e subconjuntos. Fa¸a uma tabela c de dupla entrada que mostre quais s˜o as possiblidades de que X possa receber a sangue de Y. 7. Se A, B forem conjuntos com um n´mero finito de elementos, ent˜o u a card(A) + card(B) = card(A ∪ B) − card(A ∩ B) Se A for o conjunto dos n´meros pares positivos menores que 200 e B for o u conjunto dos m´ltiplos de 3 menores que 250, calcule a quantidade elmentos da u interse¸˜o destes dois conjuntos. ca 8. Uma pesquisa de opni˜o, encomendada por um programa de televis˜o, tabulou a a da seguinte forma os resultados de sua pesquisa: n´ ıvel homens mulheres rapazes mo¸as c meninos meninas p´ssimo e 1 2 25 23 14 16 suport´vel a 2 3 30 30 16 15 bom 27 30 3 3 16 17 excelente 30 25 2 2 14 12 Total de entrevistados: 360. (a) Transforme esta tabela em percentuais relativos ao total de 360 entrevista- dos. (b) Decida quais das afirma¸˜es seguintes ´ verdadeira e apresente uma justi- co e ficativa: • O programa agradou aos homens. • O programa agradou `s mulheres. a • O programa agradou aos rapazes e `s mo¸as. a c • O programa agradou aos adolescentes. • O programa agradou `s crian¸as. a c 9. Considere a tabula¸˜o do exerc´ ca ıcio 8 27. Verifique que todos os entrevistados podem ser classificados em termos de uma das categorias: A adulto, M masculino, G gostou vocˆ, possivelmente, precisa definir o que ´ adulto... e e ˜ • Quantos pertencem ` classe A = Ac a • Quantos pertencem ` classe A ∪ M a • Quantos pertencem ` classe A ∪ G a ˜ • Quantos pertencem ` classe A ∪ G a ˜ ˜ • Quantos pertencem ` classe A ∩ G a
- 34. 10. Uma pesquisada divis˜o municipal de assistˆncia social verificou que sobre 250 a e fam´ılias entrevistadas, se contavam 150 que tinham carro, 100 que possuiam geladeira, 59 que tinham telefone, 31 que tinham carro e geladeira, 22 que tinham carro e telefone, 7 que possuiam geladeira e telefone e 4 possuiam carro, geladeira e telefone. • Quantas fam´ ılias possuem apenas um dos itens considerados ? • Quantas fam´ ılias n˜o possuem nenhum dos itens considerados ? a 1.6 O produto cartesiano Por defini¸˜o temos: ca Defini¸˜o 6 Produto cartesiano A x B. ca A x B = {(x, y) ; x ∈ A e y ∈ B} diremos que A x B ´ o conjunto dos pares ordenados formados dos elementos de A e e de B, nesta ordem. Quer dizer que Teorema 3 A x B = B x A. Observa¸˜o 6 Um novo tipo de conjunto A x B. H´ uma “semelhan¸a” aparente ca a c com a interse¸˜o. A semelhan¸a se encontra na simultaneidade da conjun¸˜o “e”, ca c ca entretanto as duas senten¸as se referem a “vari´veis” distintas. Na verdade ´ uma c a e opera¸˜o muito especial porque produz um tipo de conjunto totalmente diferente dos ca conjuntos iniciais3 A, B. Quando estudarmos os conjuntos num´ricos veremos que este m´todo, da cons- e e tru¸˜o de pares ordenados, ´ o n´ da quest˜o para produzir o conjunto Q a partir dos ca e o a inteiros. Um n´mero racional vai ser um novo objeto constru´ a partir dos n´meros u ıdo u inteiros j´ existentes, vai ser um par ordenado. Observe que a a b (a, b) = = = (b, a). b a Este exemplo, com o os n´meros racionais, demonstra o teorema 3. u Exemplo 6 Uma tabela de dupla entrada ´ um produto cartesiano. Abaixo vocˆ tem e e um exemplo t´ıpico de produto cartesiano tirado do “dia a dia”, uma tabela de dupla entrada. Por exemplo a “matriz”de uma planilha eletrˆnica. A unica diferen¸a est´ o ´ c a em que colocamos em cada c´lula a express˜o (x, y) correspondente: e a y x 1 2 3 4 5 6 a (1,a) (2,a) (3,a) (4,a) (5,a) (6,a) b (1,b) (2,b) (3,b) (4,b) (5,b) (6,b) c (1,c) (2,c) (3,c) (4,c) (5,c) (6,c) d (1,d) (2,d) (3,d) (4,d) (5,d) (6,d) e (1,e) (2,e) (3,e) (4,e) (5,e) (6,e) f (1,f ) (2,f ) (3,f ) (4,f ) (5,f ) (6,f ) 3 apesar disto, veremos, depois, que ´ poss´ identificar tanto A como B dentro de A x B e ıvel ...
- 35. Quando vocˆ usauma planilha eletrˆnica, vai colocando os valores que interessa e o “contabilizar”nas c´lulas da planilha. Aqui escrevemos em cada c´lula o seu “en- e e dere¸o”. (1, a) ´ o “endere¸ o”da primeira c´lula da planilha. Todas as c´lulas na c e c e e primeira linha tem a coordenada y = a. Todas as c´lulas na primeira coluna tem a e coordenada x = 1. Os programas de planilha eletrˆnica usam uma nota¸˜o que parece ser diferente do o ca que expusemos acima. Por exemplo designam as c´luas por A1, A2 enquanto que n´s e o estamos usando a nota¸˜o (1, a), (2, a). A diferen¸a ´ aparente. Vocˆ tamb´m pode ver ca c e e e aqui um exemplo de indexa¸˜o. ca Exerc´ ıcios 8 Produto cartesiano de conjuntos 1. Fa¸a os produtos cartesianos, dois a dois, dos conjuntos abaixo: c A = {1, 2, 3} ; B = {a, e, i, o, u} ; C = {1, 2, 3, 4, 5} 2. Verifique, com os exemplos construidos no exerc´ ıcio anterior, que vocˆ pode e identificar os elementos de A dentro do produto A x B, na verdade vocˆ pode e identificar cinco “c´pias”de A dentro de A x B. Quantas c´pias de B vocˆ o o e conseguiria identificar em A x B ? 3. Generalize o exerc´ ıcio anterior Mostre que no conjunto E x F podemos iden- tificar uma c´pia do conjunto E. Se o conjunto F tiver 10 elementos, quantas o c´pias de E poderiamos identificar ? o 4. Uma garota tem 12 blusas e 5 cal¸as jeans. Durante quantos dias seguidos ela c pode sair com roupa diferente ? Mostre a esta garota um algoritmo para que ela, facilmente, monte o seu plano estrat´gico de uso das roupas. e 5. Prove que a) (A ∪ B) x C = A ∪ C x B ∪ C b) (A ∩ B) x C = A ∩ C x B ∩ C c) (A − B) x C = A − C x B − C d) (A x B) x C = A x (B x C) e) A x ∅ = ∅ f) A ⊂ B ⇒ A x C ⊂ B x C g) A ⊂ B ⇒ A ∩ B = A h) A ⊂ B ⇒ A ∪ B = B i) A△B = B△A j) (A△B)△C = A△(B△C) k) A ∩ (B△C) = (A ∩ B)△(A ∩ C) l) A△∅ = ∅ ; A△A = ∅ 6. Defina Ao = A x {0}. Mostre que A0 ⊂ A x {0, 1, 2, 3}.
- 37. Cap´ ıtulo 2 An´lise Combinat´ria a o Simples. An´lise combinat´ria ´ parte antiga, e digamos, hoje, elementar, de uma teoria Matem´tica a o e a chamada combinat´ria. A combinat´ria se preocupa com os poss´ o o ıveis agrupamentos que um conjunto de objetos possa ter e com as estruturas Matem´ticas que se possam descobrir para a tais agrupamentos. Discutir poliedros e suas deforma¸oes ´ um assunto da combinat´ria, c˜ e o discutir “quantas” diagonais pode ter um determinado pol´ ıgono, tamb´m ´ da combinat´ria e e o por´m faz parte de sua parte elementar que ´ an´lise combinat´ria simples. O assunto e e a o deste cap´ıtulo ´ este ultimo. e ´ 2.1 Que ´ An´lise Combinat´ria e a o A analise combinat´ria ´ a parte elementar da combinat´ria onde contamos o o e o n´mero de formas diferentes que um agrupamento de objetos pode assumir. Exemplos u falam mais do que mil palavras: Exemplo 7 Arranjo das letras {a, e, i, o, u}. A palavra arranjo ´ uma palavra t´cnica da teoria e logo vamos voltar a falar e e dela. De imediato vamos tratar do assunto informalmente, sem nos preocuparmos com o detalhamento t´cnico. e O que queremos exemplificar ´: “de quantas maneiras diferentes podemos retirar e trˆs letras do conjunto das vogais”. Se vocˆ estiver lendo atentamente, reagir´ dizendo: e e a depende, com repeti¸˜o ou sem repeti¸˜o. Claro, muda tudo se for de uma forma ou ca ca da outra. Nas placas dos carros os arranjos de trˆs letras admitem repeti¸˜o e n´s e ca o podemos nos perguntar quantas placas diferentes os arranjos de trˆs letras permitem e produzir. Vamos deixar o c´lculo para depois. a Exemplo 8 Outro arranjo das letras {a, e, i, o, u}. Mas, agora, suponha que as vogais representem, sob forma de c´digo, os nomes o de cinco candidatos. N´s queremos determinar quantas chapas diferentes, compostas o de trˆs candidatos, poderemos compor. Observe que n˜o tem mais sentido pensar em e a aae, pois o candidato a, n˜o pode aparecer duas vezes na mesma chapa. Quer dizer, a estamos procurando os arranjos sem repeti¸˜o. ca 35
- 38. Exemplo 9 Arranjosem que a ordem importa. A complica¸˜o1 deste exemplo ainda pode ser maior! Para compor a chapa, preci- ca samos de • um presidente, • um vice-presidente e • um tesoureiro, e digamos que seja esta a ordem hier´rquica. Isto quer dizer que a chapa aei ´ diferente a e da chapa aie porque de uma para outra trocamos vice e tesoureiro. Poderiamos seguir dando exemplos que mostrem como criar tipos diferentes de arranjos, mas assim passariamos do escopo de uma introdu¸˜o. ca Observa¸˜o 7 Informalmente: que s´ arranjos ? ca ıo Vamos apresentar uma defini¸˜o formal de arranjos mais a frente. ca • Quando importa a repeti¸˜o Como no caso das placas de um carro, em que po- ca demos ter AAH, temos arranjos com repeti¸˜o de n elementos. Neste caso ca n = 3. S´ ımbolo A326 porque existem 26 letras no alfabeto e estamos considerando 3 de cada vez. Mais genericamente: Ap n quando estivermos arranjando os n elementos de um conjunto em “pacotes” de p elementos. • Quando a repeti¸˜o n˜o ´ poss´ Como no caso dos c´digos representando os ca a e ıvel o canditados, ent˜o AAH n˜o ´ permitido, temos arranjos sem repeti¸˜o de n a a e ca elementos. Neste caso n = 3. Dizemos ainda arranjos simples de n elementos. S´ ımbolo A326 porque existem 26 letras no alfabeto e estamos considerando 3 de cada vez. Mais genericamente: Ap n quando estivermos arranjando os n elementos de um conjunto em “pacotes” de p elementos. • Logo falaremos de subconjuntos com p elementos tirados de um universo com n elementos. Neste caso usaremos o s´ ımbolo p Cn para representar o n´mero de subconjuntos com p elementos que podemos extrair u do universo. 1 Discutiremos muitas coisas complicadas em Matem´tica, complicadas sim, mas n˜o im- a a poss´ ıveis de se as entender. Dizer que a Matem´ tica ´ f´cil ´ uma mentira grosseira. a e a e
- 39. Para terminar aintrodu¸˜o, deixe-nos dizer que vamos apresentar a teoria de modo ca pouco habitual, vamos usar a teoria dos conjuntos que desenvolvemos no primeiro cap´ ıtulo. De qualquer forma ´ este o assunto deste cap´ e ıtulo, queremos contar de quantas maneiras diferentes podemos agrupar elementos de um dado conjunto universo, ou contar quantos subconjuntos tem o conjunto universo de uma determinada natureza. A palavra chave, neste cap´ ıtulo, ´ contar. e 2.2 Conjunto das partes. No primeiro cap´ ıtulo estudamos o conjunto P(A) cujos elementos eram os subconjuntos de A. Um dos instrumentos que surgiram foi o tri^ngulo de Pascal que faz uma descri¸ao a c˜ detalhada de todos os elementos de P(A). Vamos relembrar estes fatos com os olhos voltados para os nossos interesses combinat´rios. o Inicialmente vamos estudar subconjuntos de um conjunto universo. Vamos usar as duas nota¸oes c˜ p Cn = (n ) p para indicar quantos subconjuntos com p elementos podemos tirar de um conjunto A que n tem n elementos. Observe que em (p ) a posi¸ao dos n´ meros p, n ´ invertida, relativamente c˜ u e a outra nota¸ao. c˜ Depois vamos estudar as parti¸˜es de um conjunto que ´ uma cole¸ao de subconjuntos de co e c˜ A selecionando todos os elementos de A. Uma pergunta: Para que servem as combina¸oes e as parti¸˜es? Uma resposta r´pida c˜ co a para esta pergunta seria: s˜o essenciais para qualquer estudo estat´ a ıstico de uma popula¸ao. c˜ Ao estudar uma grande popula¸ao de indiv´ duos, ´ imposs´ perguntar a todos os indiv´ c˜ ı e ıvel ıduos qual ´ sua opini˜o ou sua classe social. Mas se classificados adequadamente, ´ poss´ e a e ıvel fazer uma inferˆncia bastante precisa do ponto de vista quantitativo e percentual de alguma quest˜o e a envolvendo os indiv´ duos da popula¸ao. Neste cap´ ı c˜ ıtulo n˜o discutiremos m´todos estat´ a e ısticos, mas os assuntos aqui tratados s˜o b´sicos para estudos de estat´ a a ıstica. Relembrando, e resolvendo o exercicio (ex., 10) na p´gina 19, para construir o a tri^ngulo de Pascal, consideramos uma sucess˜o de conjuntos com n´mero crescente a a u de elementos, A ∈ {{}, {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}}. Quer dizer que A pode ser o vazio, {} ou A pode ser um conjunto unit´rio A = {1}, e a assim por diante. Analisamos ent˜o qual era a estrutura de P(A) em cada caso. a • Se A = {} = ∅. Ent˜o a P(A) = {A}. 1 Observe o que j´ discutimos anteriormente, a quest˜o da hierarquia. O operador a a P cria um novo conjunto diferente de A de tal forma que A ∈ P(A). Neste primeiro caso, P(A) = {A}. Se o conjunto A = ∅, for vazio, ent˜o P(A) = {∅} vai ser unit´rio. a a
- 40. • Se A= {1}. Ent˜o a P(A) = {A, ∅}; 11 O conjunto das partes tem dois elementos, o conjunto vazio e um conjunto unit´rio. Observe novamente a quest˜o da hierarquia: a a A ∈ P(A) = {A, ∅}. Agora como A tem um elemento, P(A) tem dois elementos, um deles ´ o pr´prio e o conjunto A. • Se A = {1, 2}. Ent˜o a P(A) = {A, {1}, {2}, ∅}; 121 Novamente A ∈ P(A). • Se A = {1, 2, 3}. Ent˜o a P(A) = {A, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, {2}, {3}, ∅}; 1331 Agora come¸a a se delinear a estrutura de P(A). O vazio e A est˜o sempre c a presentes, (no primeiro caso se confundiram...). Depois tem todos os conjunto unit´rios, (vamos usar uma nova linguagem), vamos dizer “1 a 1”. Depois vem a todos os conjuntos “2 a 2”. Os n´meros nas linhas do tri^ngulo de Pascal u a descrevem isto. – H´ 1 conjunto “0 a 0” que ´ o vazio. a e – H´ 3 conjuntos “1 a 1”, s˜o os subconjuntos unit´rios de A. a a a – H´ 3 conjuntos “2 a 2”, s˜o os subconjuntos com dois elementos de A. a a – H´ 1 conjunto “3 a 3” que ´ pr´prio A. a e o As experiˆncias feitas com o exerc´ 10, p´gina 19, mostraram a matriz e ıcio a As 7 primeiras linhas do Triˆngulo de Pascal a 1 11 121 1331 14641 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 Assim nos poderiamos prosseguir indefinidamente, mas desta forma o processo ´ e lento. Vamos dar um salto: vamos provar que a linha de ordem n do tri^ngulo de a Pascal de fato representa a distribui¸˜o dos subconjuntos de A = {1, 2, · · · , n} sendo ca A um conjunto com n elementos. Para prov´-lo, primeiro que tudo observemos o resultado ´ independente do tipo de a e dados do conjunto A. Interessa apenas o fato de o conjunto A tenha n elementos para que os seus subconjuntos fiquem descritos pela linha ordem n do tri^ngulo. Quer a ınio sobre A = {1, 2, · · · , n} serve para todos os casos. dizer que o racioc´
- 41. Indu¸˜o finita. ca Vamos usar uma t´cnica chamada2 indu¸ao finita e c~ A indu¸˜o finita consiste numa compara¸˜o com os n´meros naturais ca ca u N = {0, 1, 2, · · ·} que sabemos ser um conjunto infinito de tal forma que, se x∈N ⇒ x+1∈N ´ verdadeiro. x + 1 ´ chamado no conjunto dos axiomas de Peano de sucessor de x. O e e conjunto N cont´m todos os sucessores de todos os seus elementos. e Exemplo 10 V´lidade de uma f´rmula a o A soma dos n primeiros n´meros naturais ´ u e n+1 1 + 2 + ··· + n = n 2 e n´s podemos prov´-lo usndo indu¸ao finita. o a c~ Vamos chamar esta identidade de P (n), isto ´, uma proposi¸˜o que de depende de e ca n. • Primeiro passo Vamos verificar que a f´rmula vale para um valor inicial de n, por exemplo para o n = 2. 2+1 1+2 = 2=3 2 ´ verdadeiro! e • Hip´tese de indu¸˜o o ca Vamos supor que a f´rmula seja ent˜o verdeira para um valor arbitr´rio de o a a n; n > 2 : n+1 1 + 2 + ··· + n = n 2 ´ verdade. e • O passo final Vamos usar a hip´tese de indu¸˜o e assim mostrar que a mesma f´rmula vale o ca o para n+1. Se conseguirmos fazer esta demonstra¸˜o, ent˜o teremos demonstrado ca a a f´rmula para qualquer n > 2. o Quer dizer, vamos calcular: 1 + 2 + ··· + n + n + 1 usando a hip´tese de indu¸˜o, ent˜o: o ca a 1 + 2 + ··· + n + n + 1 = = (1 + 2 + · · · + n) + n + 1 = n+1 = 2 n +n+1= = (n + 1)( n + 1) = 2 = (n + 1) n+2 = 2 n+1+1 = 2 (n + 1) = P (n + 1) 2 Deveriamos demonstrar que esta t´ cnica ´ verdadeira n˜o vamos fazˆ-lo aqui, entretanto. e e a e ´ Observe num livro de Algebra, por exemplo [5].
- 42. Portanto P (n)⇒ P (n + 1) ´ verdadeiro! e Confirmamos a f´rmula, pois obtivemos novamente “o primeiro mais o u ltimo, o ´ dividido por 2, veze o n´mero de termos”. u Fica assim demonstrada a f´rmula o n+1 1 + 2 + ··· + n = n ; para todo n > 2. 2 O que fizemos pode ser sintetizado no teorema: Teorema 4 da indu¸˜o finita ca • Verifica-se que P (n0 ) ´ verdadeiro, para um valor inicial n0 do ´ e ındice. • Suposemos, hip´tese de indu¸˜o que, para um valor arbitr´rio de n > n0 a o ca a f´rmula fosse verdadeira. o • Tentamos obter a f´ rmula, P (n+1), usando a hip´tese de indu¸˜o, com sucesso, o o ca ent˜o provamos que a P (n) ⇒ P (n + 1) ´ verdadeiro! e Logo, P (n) ´ verdadeira para todo n > n0 . e Exemplo 11 Soma dos termos de uma p.a. Queremos mostrar que se dada uma p.a. a1 , a2 , . . . , a n ent˜o a a1 +an a 1 + a 2 + . . . + a n = Sn = 2 n Devemos ent˜o verificar se a f´rmula vale para os dois primeiros termos: a o 2a1 + 2a2 a1 + a2 a1 + a2 = = 2 2 2 P (2) ´ verdadeiro! e Agora vamos supor v´lida a f´rmula para um valor gen´rico n de termos e verificar a o e se a f´rmula se mant´m no passo seguinte: o e a1 + a2 + . . . + an + an+1 = = Sn + an+1 = a1 + an = n + an+1 = 2 a1 + an = n + an+1 = 2 a1 + an = n + an + r = 2 a1 + an = n + 2an2+2r = 2 na1 + nan + 2an + 2r = = 2 na1 + n(a1 + (n − 1)r) + 2(a1 + (n − 1)r) + 2r = = 2
- 43. (2n + 2)a1+ [n((n − 1)) + 2(n − 1) + 2]r = = 2 2(n + 1)a1 + [n(n − 1) + 2n]r = = 2 (n + 1)a1 + (n + 1)a1 + n(n + 1)r = = 2 (n + 1)(a1 + a1 + nr) = = 2 (n + 1)(a1 + an+1 ) = = 2 = Sn+1 e confirmamos a f´rmula Sn+1 como consequˆncia da hip´tese, logo mostramos que o e o P (n) ⇒ P (n + 1) ´ verdadeiro! e portanto P (n) ´ verdadeira para qualquer n. e Este encadeamento sucessivo existe em muitas rela¸˜es. Se pudermos provar que ele co existe na rela¸˜o P (n), teremos provado, usando indu¸ao finita, que esta rela¸˜o P ca c~ ca vale para todo n ∈ N. Exerc´ ıcios 9 Indu¸˜o finita ca 1. Prove, para a soma dos quadrados, que n(n + 1)(2n + 1) 1 + 4 + · · · n2 = . 6 2. Prove que 1 + 3 + · · · + (2n − 1) = n2 . n 3. Prove que k 3 = (1 + 2 + · · · + n)2 . k=1 4. Prove que n−1 6n5 − 15n4 + 10n3 − n k4 = k=0 30 5. Prove que n−1 2n6 − 6n5 + 5n4 − n2 k5 = 12 k=0 Ver algumas solu¸˜es no fim deste cap´ co ıtulo. Vamos usar o m´todo da Indu¸˜o finita, para mostrar que, para todo n, a linha e ca de ordem n do tri^ngulo de Pascal3 descreve a distribui¸˜o, por elementos, dos a ca subconjuntos de A = {1, 2, · · · , n}. Para prosseguir precisamos encontrar uma express˜o formal para representar a a hip´tese de indu¸˜o. Vamos come¸ar criando uma nota¸˜o para os elementos da linha o ca c ca n do tri^ngulo de Pascal. Como eles representam a quantidade de conjuntos com p, a ( p a p ), tirados de um universo que tem n elementos, vamos chamar esta quantidade p Cn . 3 Certas denomina¸oes s˜o injustas, h´ historiadores que encontraram o chamado triˆngulo c˜ a a a de Pascal entre documentos da Matem´tica chinesa milˆnios antes dos gregos. a e
- 44. Esta nota¸˜o ´tradicional e o C que aparece ´ a primeira letra da palavra combina¸ao, ca e e c~ mas vocˆ pode ler “conjunto” como fizemos at´ agora. e e N´s estamos construindo as combina¸˜es via conjuntos. o co • Na linha de ordem 3 Correspondente ao conjunto A = {1, 2, 3}, ou a qualquer outro conjunto com 3 elementos, temos: 0 1 2 3 C3 C3 C3 C3 (2.1) 1 3 3 1 • Na linha de ordem 2 Correspondente ao conjunto A = {1, 2}, ou a qualquer outro conjunto com 2 elementos, temos: 0 1 2 C2 C2 C2 (2.2) 1 2 1 • Na linha de ordem 1 Correspondente ao conjunto A = {1}, ou a qualquer outro conjunto com 1 elemento, temos: 0 1 C1 C1 (2.3) 1 1 • Na linha de ordem 0 Correspondente ao conjunto A = {} temos: 0 C0 (2.4) 1 Algumas propriedades se podem imediatamente enunciar e que n˜o precisar˜o de a a ser demonstradas por indu¸˜o. Usaremos dedu¸ao l´gica para demonstr´-las. ca c~ o a Observa¸˜o 8 Dedu¸˜o l´gica. ca ca o Dedu¸ao l´gica ´ m´todo de demonstra¸˜o que consiste em aplicar as regras da c~ o e e ca l´gica formal a um conjunto de teoremas ou postulados para assim deduzir um novo o teorema. p Teorema 5 Na f´rmula Cn sempre p ≤ n. o Dem : Porque n˜o ser´ poss´ a a ıvel extrair de um conjunto com n elementos um subconjunto p a p com p > n, pela pr´pria natureza do conceito de “subconjunto”. o q.e.d . n 0 Teorema 6 Cn = 1, Cn = 1. Dem : n Cn = 1 porque em um conjunto A com n elementos s´ h´ um subconjunto com n ele- o a e o 0 mentos que ´ o pr´prio conjunto A. Cn = 1 porque o conjunto vazio ´ unico. e´ q.e.d . 1 Teorema 7 Cn = n. Dem : Porque no conjunto A = {1, · · · , n} existem n conjuntos 1 a 1. q.e.d .
- 45. n−1 Teorema 8 Cn= n. Dem : Porque para construir um cojunto (n − 1) a (n − 1) temos que tirar um elemento de A = {1, · · · , n} e isto pode ser feito de n maneiras diferentes, s˜o as diferen¸as A − {i} para a c cada i ∈ A. q.e.d . Estes teoremas refor¸am a a sim´tria que podemos observar no tri^ngulo de c e a Pascal. Veja, no ´ındice remissivo alfab´tico, onde se encontra o “triˆngulo”, no livro, e a e verifique a simetria de que estamos falando: os n´meros equidistantes dos extremos u s˜o iguais. Portanto, a p n−p Teorema 9 Cn = Cn 2 Vamos analisar agora o n´mero Cn dos conjuntos 2 a 2 que podemos encontrar u em A = {1, · · · , n}. Para isto poderiamos considerar os n conjuntos unit´rios e ver de a quantas maneiras poderiamos complet´-los para obter os conjuntos 2 a 2. a Consideremos o conjunto {i} formado pelo elemento i ∈ A. Podemos acrescentar todos os outros elementos, exceto o pr´prio i, logo com {i} poderemos fazer n − 1 o novos conjuntos. Isto ´, com cada um dos n conjuntos unit´rios podemos construir e a outros n − 1 conjuntos, por exemplo {i, 1}, {i, 2}, {i, 3}, · · · {i, n − 1} no caso em que i = n. Como h´ n elementos, parece que podemos construir a n(n − 1) novos conjuntos a partir dos n conjuntos unit´rios e assim (erradamente) a 2 Cn = n(n − 1). Entretanto cada conjunto estaria aparecendo duas vezes, porque • ao acrescentarmos j ao conjunto {i} teremos o conjunto {i, j} • mas depois iremos acrescentar i ao conjunto {j} para obter o conjunto {j, i} = {i, j}. • Portanto n(n − 1) 2 ´ o n´mero de conjuntos 2 a 2 que podemos obter. e u 2 n(n−1) n−2 Teorema 10 Cn = 2 = Cn . p n−p O ultimo racioc´ ´ ınio feito se aplica imediatamente aos n´meros Cn e Cn u que ficam equidistantes das extremidades da linha de ordem n do tri^ngulo de Pascal. a A quantidade de subconjuntos p a p ´ mesma quantidade de subconjuntos (n − e p) a (n − p), porque, para obter um conjunto (n − p) a(n − p) temos que tirar de A p um subconjunto com p elementos e isto pode ser feito de Cn maneiras diferentes: p n−p Teorema 11 Cn = Cn .
- 46. p Claro, apenas n˜o sabemos ainda calcular Cn . a Exerc´ ıcios 10 F´rmulas arredondadas... o 1. Verifique que n(n − 1) n! n! = = 2 2(n − 2)! 2!(n − 2)! 2. Verifique que n(n − 1)(n − 2) n! n! = = 6 6(n − 3)! 3!(n − 3)! Observa¸˜o 9 Fatorial. ca O s´ ımbolo n! representa os produtos de todos os n´meros naturais positivos desde 1 at´ n. u e n! = 1 · 2 · 3 · · · · · n, leitura: n! “fatorial de n”. Por conven¸˜o, e esta conven¸˜o ´ muito natural, como veremos logo em seguida, ca ca e se acrescenta 0! = 1, o fatorial de 0 ´ 1. e N˜o duvide, aquilo que erroneamente se chama de “genialidade”, ´, com grande a e frequˆncia, obra do acaso. Observe aqui um destes exemplos: 2 = 2! Esta casualidade e 2 n! nos permite escreve a f´mula Cn = 2!(n−2)! de maneira mais “elegante” mas na verdade o sugerindo a f´rmula gen´rica que logo vamos obter. o e 2 n(n−1) n! n−2 Teorema 12 Cn = 2! = 2!(n−2)! = Cn . J´ poderiamos observar que a 0 n! 1 n! 2 n! Cn = ; Cn = ; Cn = 0!(n − 0)! 1!(n − 1)! 2!(n − 2)! que nos deixa antever a f´rmula geral o Teorema 13 p n! Cn = p!(n − p)! p n−p p ´ Sabemos que Cn = Cn , mas n˜o sabemos ainda calcular Cn . E o que veremos a agora. Queremos saber de quantas maneiras diferentes podemos tirar um conjunto p a p de A = {1, · · · , n}. O m´todo que vamos usar se assemelha ao que usamos para obter os e conjuntos 2 a 2, vimos de quantas maneiras podiamos completar um conjunto unit´rio a para obter conjuntos 2 a 2 e depois discutimos as repeti¸˜es assim introduzidas. co p−1 Vamos supor que j´ saibamos quanto vale Cn , a quantidade de conjuntos p − a 1 a p − 1. Para obter um conjunto com p elementos a partir de um conjunto B com p − 1 elementos basta acrescentar ao conjunto B um elemento x; x ∈ B. / Isto pode ser feito de n − (p − 1) maneiras diferentes, porque:
- 47. • n ´o n´mero de elementos do universo; e u • p − 1 ´ o n´mero de elementos de B que n˜o podem ser reutilizados; e u a • sobram n − (p − 1) que podemos acrescentar ao conjunto B para fazer um novo conjunto p a p. Em outras palavras, a partir de B podemos construir n−(p−1) conjuntos diferentes cada um com p elementos. Logo, em princ´ ıpio, (e erradamente), teriamos p p−1 Cn = (n − (p − 1))Cn p−1 novos conjuntos construidos a partir dos Cn anteriores. Erradamente porque h´ repeti¸˜es de conjuntos como observamos no c´lculo de a co a 2 Cn . Depois que fizermos todos os conjuntos desta maneira, muitos estar˜o repetidos. a Para entender o n´mero de repeti¸˜es, vamos ver quantas vezes, um mesmo con- u co junto, pode ser construido desta forma. Suponhamos que o conjunto seja B = {a1 , a2 , . . . , ap−1 } ′ B = {a1 , a2 , . . . , ap−1 } ← ap e o elemento ap esteja sendo acrescentado ao conjunto B produzindo o conjunto B ′ . O resultado seria o mesmo que se tivessemos o conjunto B ′′ = {a1 , a2 , . . . , ap−2 , ap } B ′ = {a1 , a2 , . . . , ap−2 , ap } ← ap−1 e tivessemos acrescentando ao conjunto B ′′ o elemento ap−1 obtendo o mesmo conjunto B′. Poderiamos repetir este processo para ap−2 , . . . , a1 , cada um ficando na posi¸˜o ca ← ai no sistema de equa¸˜es acima. Assim o conjunto co B ′ = {a1 , a2 , . . . , ap−1 , ap } vai aparecer p vezes. Vemos que p−1 p (n − (p − 1))Cn Cn = p isto ´, para cada conjunto (p − 1) a (p − 1) podemos fazer n − (p − 1) novos conjuntos, e mas cada um desses conjuntos aparecer´ repetido p vezes portanto temos que a p−1 dividir (n − (p − 1))Cn por p para eliminar as repeti¸˜es. co p p−1 Estes c´lculos mostram que podemos obter Cn do valor de Cn . a p Vamos agora explicitar o valor de Cn em termos de n, p, determinando uma f´rmula. o Na sucess˜o de equa¸˜es abaixo estamos fazendo isto, completando produtos no a co p−1 numerador e no denominador. Para isto iremos sucessivamente substituir Cn por p−2 0 Cn at´ chegar em Cn = 1 : e p−1 p (n−(p−1))Cn Cn = p = p−2 (n−(p−1))[(n−(p−2))Cn ] = p[p−1]
- 48. p−3 (n−(p−1))[(n−(p−2))(n−(p−3))Cn ] = p[(p−1)(p−2)] ··· p−p (n−(p−1))[...(n−(p−p))Cn ] = p[(p−1)...1] 0 (n−(p−1))[(n−(p−2))...(n−0)Cn ] = p! (n−(p−1))...(n−0)·1 = p! (n−(p−1))...n = p! k k−1 A cada passagem de linha, substituimos Cn por Cn usando a f´rmula obtida acima: o k−1 k n − (k − 1)Cn Cn = k e consequentemente aparece um fator maior no numerador e um menor no denominador a cada nova substitui¸˜o ca Seguindo com este m´todo chegamos e • ao produto p(p − 1) . . . 1 = p! no denominador, e • ao produto (n − (p − 1)) . . . n no numerador. Observe agora que o produto (n−(p−1)) . . . n pode ser completado para transformar- se em n! se acrescentarmos os fatores n(n − 1) · · · (n − p) ; p < n e que uma fra¸˜o n˜o se altera se lhe acrescentarmos os mesmos fatores tanto no ca a numerador quanto no denominador. Observe as transforma¸˜es aritm´ticas: co e p (n−(p−1))...n Cn = p! = [1...(n−(p+1))(n−p)](n−(p−1))...n = [1...(n−(p+1))(n−p)]p! = n! = (n−p)!p! Surgiu, finalmente, uma express˜o envolvendo n, p : a p n! Cn = p!(n − p)! que vamos considerar verdadeira como hip´tese de indu¸˜o. Vamos calcular o valor de o ca p+1 Cn . Preste aten¸˜o: n˜o consideramos todo o trabalho feito acima uma demontra¸˜o, ca a ca foram apenas experimentos para descobrimos uma hip´tese, a hip´tese de indu¸˜o. o o ca Como p−1 p n − (p − 1)Cn Cn = p
- 49. ent˜o a p+1 n−(p+1−1) p Cn = p+1 Cn = (n−p) p = p+1 Cn = (n−p) n! = (p+1) p!(n−p)! = (n−p) n! = (p+1) p! (n−p)! = n! (p+1)!(n−(p+1))! Conseguimos assim: p • confirmar a f´rmula que haviamos achado para Cn ; o • obtivemos a nova f´rmula como consequˆncia da anterior. o e Estes s˜o as etapas de uma demonstra¸˜o por indu¸˜o, logo concluimos que a ca ca Teorema 14 F´rmula do n´mero de conjuntos p a p. o u p n! (∀ p) (Cn = ). p!(n − p)! Os n´meros Cn , que ainda se escrevem (n ), se chamam n´meros combinat´rios. u p p u o Como descrevemos cada linha do tri^ngulo de Pascal formada pelos n´meros a u p Cn , e estes descrevem a quantidade de conjuntos p a p de um conjunto universo com n elementos, ent˜o temos como subproduto o teorema: a Teorema 15 N´mero de elementos de P(A). u Se A for um conjunto com n elementos, ent˜o a n p n(P(A)) = Cn k=0 Vamos ver que a soma expressa no teorema 15 ´ uma potˆncia de dois. e e Por raz˜es hist´ ricas, porque a teoria dos conjuntos s´ deixou de ser uma brin- o o o cadeira da mente de Cantor no in´ ıcio deste s´culo, primeiro surgiu o problema de e determina¸˜o dos conjuntos p a p. E ainda assim n˜o se usava esta linguagem, mas se ca a dizia “determina¸˜o das combina¸˜es de n elementos tomados p a p.” ca co Resta-nos aqui apenas escrever oficialmente uma defini¸˜o: ca Defini¸˜o 7 Combina¸˜o p a p de n elementos. ca ca Uma combina¸˜o “p a p” de “n” elementos ´ conjunto com p elementos dentre os ca e n elementos considerados. Como uma combina¸ao ´ um conjunto, n˜o h´ repeti¸˜o de elementos. T˜o pouco c~ e a a ca a tem sentido considerar como diferentes duas combina¸˜es em que apenas os elementos co se encontrem permutados, porque, como conjuntos, s˜o iguais. a Exemplo 12 Combina¸˜es co
- 50. 1. Repeti¸˜o proibida,ordem irrelevante Quantas saladas contendo exatamente 3 ca frutas podemos formar se dispusermos de 8 frutas diferentes? Solu¸˜o: ca Uma salada ´ um “arranjo” da forma e {f1 , f2 , f3 } em que fi ´ uma das oito frutas. Observe entretanto que as duas saladas e {f1 , f2 , f3 }, {f3 , f2 , f1 } s˜o iguais porque n˜o interessa, na salada, se estou comendo “um peda¸o de a a c banana mais um peda¸o de laranja”, ou “um peda¸o de laranja mais um peda¸o c c c de banana”. ´ E o conjunto de frutas que estou comendo que interessa, ent˜o estamos pro- a curando os subconjuntos com 3 elementos das oito frutas que tenho a minha disposi¸˜o: ca 3 8! C8 = = 56 (8 − 5)!3! 2. Produto de escolhas independentes Uma comiss˜o, formada por 3 homes e 3 mu- a lheres, deve escolhida de um grupo de 8 homes e 5 mulheres. Quantas comiss˜eso podem ser formadas ? Solu¸˜o: Aqui temos um problema misto em que a escolha de homens e mu- ca lheres para a comiss˜o ´ independente, quer dizer, a cada escolha do “arranjo” a e de homens se “combina” com qualquer um dos “arranjos” de mulheres, para formar uma nova comiss˜o, portanto o n´mero total de arranjos ´ o produto do a u e n´mero dos poss´ u ıveis arranjos de homens vezes o n´mero dos poss´ u ıveis arranjos de mulheres. A escolha dos homens ou das mulheres ´ feita de forma semelhante ao exemplo e anterior, n˜o interessa a ordem, e sim o conjunto de indiv´ a ıduos escolhidos, e a repeti¸˜o ´ “proibida”. Assim o n´mero total ´ o produto ca e u e 3 3 8! 5! C8 · C5 = (8 − 5)!3! (5 − 3)!3! 2.2.1 Parti¸˜es de um conjunto. co Uma outra forma de selecionar subconjuntos de um conjunto A consiste em fazer uma parti¸˜o de A ca Uma parti¸˜o de A ´ uma divis˜o deste conjunto em subconjuntos cuja uni˜o ca e a a recomponham A. Observe a defini¸˜o escrita formalmente: ca Defini¸˜o 8 Parti¸˜o de um conjunto. ca ca Uma parti¸˜o de um conjunto A ´ um sub-conjunto de P(A) formado de conjuntos ca e disjuntos e cuja uni˜o ´ A. a e nota¸˜o ca Π(A) = {A1 , A2 , A3 , . . . , An } tal que se i = j ent˜o Ai ∩ Aj = {} e a A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ . . . ∪ An = A.
- 51. Particionar significa classificaros elementos de um conjunto porque • Todos os elementos s˜o utilizados; a uni˜o das partes reproduz o universo. a a • N˜o h´ elemento que perten¸a simultaneamente a dois dos subconjuntos esco- a a c lhidos. Exemplo 13 Parti¸˜o da cidade em bairros ca Este exemplo na pr´tica funciona mal porque sempre acontece de haver pessoas a que tem casas distintas em bairros diferentes...um homem casado com duas ou tres mulheres ou vice-versa. Mas estes casos s˜o isolados a ponto de n˜o destruir o exemplo, a a vamos ignor´-los. a Os bairros de uma cidade formam uma parti¸˜o da mesma. S˜o conjuntos disjuntos ca a cuja reuni˜o recomp˜e a cidade. a o H´ outro problema que deixa este exemplo complicado, nem sempre sabemos exa- a tamente onde come¸a um bairro e onde termina o outro. Limites difusos dizemos. c H´ v´rias situa¸˜es deste tipo que colocam a Matem´tica sob press˜o... a a co a a Mas os estat´ısticos consideram os bairros uma parti¸˜o legal da cidade para fazer ca os seus levantamentos e quando eles n˜o funcionam, absolutamente n˜o ´ por causa a a e dos limites difusos, s˜o outras raz˜es muito menos difusas que atrapalham a veracidade a o estat´ ıstica. Voltaremos no cap´ ıtulo 3 a discutir este assunto quando tratarmos de rela¸˜es. co Aqui a maneira de ver ´ da combinat´ria. Mas vamos logo introduzir a palavra classe: e o Defini¸˜o 9 Classes de uma parti¸˜o. ca ca Dada uma parti¸˜o Π(A) do conjunto A, os elementos de Π(A) se chamam classes ca de A. As parti¸˜es de um conjunto podem ser classificadas e ordenadas. Vejamos alguns co exemplos para adquirir alguma intui¸˜o a respeito do assunto. ca Exemplo 14 A parti¸˜o mais fina e mais grossa de A. ca Considere o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Dentre todas as parti¸˜es Π(A) co existe uma que ´ a mais fina: e Π1 (A) = {{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {9}} que ´ formada de todos os subconjuntos unit´rios de A. e a Oposta ` parti¸˜o mais fina est´ a mais grossa que ´ a ca a e Π2 (A) = {{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}} = {A} Observe que ´ verdade: toda classe de Π1 est´ contida em alguma classe de Π2 . e a Observe agora a defini¸˜o de “fino” e “grosso”, as duas defini¸˜es se assemelham ca co aos nomes que os pedreiros d˜o as peneiras com que filtram a ´reia para constru¸˜o: a a ca Defini¸˜o 10 Parti¸˜o mais fina. ca ca Dadas duas parti¸˜es Π1 (A), Π2 (A) dizemos que Π1 << Π2 , leia-se “<< = mais co fina que”, se toda classe de Π1 estiver contida em alguma classe de Π2 .
- 52. Quer dizer queos “buracos” de Π1 s˜o menores. a A defini¸˜o de “mais grossa” se obtem invertendo as desigualdades, escreva-a vocˆ ca e mesmo. Podemos fazer opera¸˜es com duas parti¸˜es para obter uma terceira, (eventual- co co mente idˆntica a uma das existentes...). e Defini¸˜o 11 Cruzamento de parti¸˜es. Considere duas parti¸˜es ca co co Π1 (A), Π2 (A) de A. O conjunto de todas as interse¸˜es de uma classe de Π1 (A) com uma classe de co Π2 (A) ´ uma nova parti¸˜o de A chamada Π1 ∧ Π2 (A). e ca A palavra cruzar ´ muito usada nos meios de comunica¸˜o, com o mesmo sentido e ca usado acima. Quando se cruzam informa¸˜es o que se est´ fazendo ´ calculando as co a e interse¸˜es das classes que cada um tipo de informa¸˜o produz. co ca Exerc´ ıcios 11 Parti¸˜es co 1. Verifique que Π1 ∧ Π2 (A) = Π1 (A) ∩ Π2 (A) em que ` direita se encontra o a conjunto das partes comuns a Π1 (A) e Π2 (A). 2. Verifique que Π1 ∧ Π2 (A) << Π1 (A) 3. Verifique que Π1 ∧ Π2 (A) << Π2 (A) 4. ordem parcial Mostre, com um exemplo, que dadas duas parti¸˜es de A elas co podem ser incompar´veis com a rela¸˜o mais fino (ou mais grossa). Dizemos a ca que estas rela¸˜es s˜o uma ordem parcial no conjunto das parti¸˜es. co a co 5. dif´ ? O conceito de parti¸˜o pode ser usado em esta´ ıcil ca ıstica para caracterizar uma classifica¸˜o dos elementos de um certo universo. Explique isto e dˆ um ca e exemplo de duas parti¸˜es que n˜o sejam compar´veis (nenhuma das duas ´ co a a e mais fina que a outra). 6. dif´ ? Retome a quest˜o anterior, qual o significado de Π1 ∧ Π2 (A) naquele ıcil a contexto. O cruzamento de duas parti¸˜es produz uma parti¸˜o “mais fina” que as duas co ca iniciais. A rela¸˜o “mais fina” ´ uma rela¸˜o larga no sentido que ca e ca Π(A) << Π(A). Toda parti¸˜o ´ mais fina que do que ela pr´pria. Se n˜o fosse assim o cruzamento ca e o a das parti¸˜es do exemplo 14 n˜o funcionaria porque o resultado do cruzamento ´ a co a e pr´pria parti¸˜o Π1 . o ca Exemplo 15 Aplica¸˜o.ca Uma aplica¸˜o de parti¸˜o de um conjunto se encontra em pesquisas estat´ ca ca ısticas, por exemplo, pesquisa de opini˜o. As pesquisas de opini˜o s˜o particularmente dif´ a a a ıceis porque envolvem a psicologia dos indiv´ ıduos, (de quem pesquisa e de quem ´ pesqui- e sado). Uma consequˆncia disto ´ que as respostas tem que ser filtradas para limpar e e as influˆncias perturbadoras. Se quisermos fazer uma pesquisa envolvendo assuntos e “quentes” como fumo, por exemplo, onde vamos encontrar “fumantes” e “n˜o fuman- a tes” apaixonados, ´ preciso criar duas ou mais parti¸˜es para serem posteriormente e co
- 53. cruzadas afim dediminuir os efeitos subjetivos. A palavra chave aqui ´ cruzamento de e informa¸˜es. co Quando isto ´ feito na “pr´tica” n˜o aparecem subconjuntos escritos entre cha- e a a ves...mas sim perguntas que classificam as pessoas inquiridas sob dintintos aspectos. Vejamos o caso do “fumo”. Montam-se question´rios contendo perguntas de assuntos a diferentes do que basicamente interessa: • Vocˆ gosta de fumar “depois”, em alguns momentos especiais? e • Apesar de ser fumante, o fumo de outras pessoas o aborrece? • Vocˆ prefere fumar ao ar livre ou em ambientes fechados? e • Estabele¸a liga¸˜es entre fumar e outras atividades, marcando com “x” no espa¸o c co c adequado: – ( ) estudar. – ( ) dirigir. – ( ) conversar. – ( ) discutir. – ( ) jogar xadrez. . . – . – ( ) ter rela¸˜es sexuais. co Este question´rio feito por um “n˜o fumante apaixonado” e teria que ser criti- a a cado, (particionado), com aux´ de um “fumante apaixonado” para se tornar efetivo. ılio Mesmo tendo sido feito por algu´m marcado por uma tendˆncia, observe que o ques- e e tion´rio classifica as pessoas inquiridas entre: a 1. jogadores de xadrez e 2. n˜o jogadores de xadrez; a 3. guiadores de ve´ ıculos e 4. n˜o motoristas; a 5. estudantes; 6. pol´ ıticos; 7. fumantes que gostem de fumar ao livre, em baixo de ´rvores, no jardim, ou a 8. aqueles que adoram aquele ambiente cheio de fuma¸a de um bar a portas fecha- c das, (observe o matiz apaixonado da frase...). Como vocˆ vˆ, na pr´tica n˜o aparecem explicitamente os subconjuntos de A at´ e e a a e mesmo porque o conjunto A ´ “difuso”, ´ o conjunto das pessoas a quem vai ser e e aplicado o question´rio que muitas vezes fica sigiloso. a Observa¸˜o 10 Teoria e pr´tica. ca a Sirva este exemplo para refor¸ar outra observa¸˜o: o fosso que existe entre a teoria c ca e a pr´tica. N˜o existe uma liga¸˜o imediata e ´bvia entre estas duas atividades a a ca o ´ intelectuais, pr´tica e teoria. E preciso entender bem os conceitos e depois criar a a ponte para construir o modelo pr´tico. a As parti¸˜es voltar˜o a ser discutidas com mais detalhes no cap´ co a ıtulo 3, tamb´m e com outro enfoque.
- 54. Exerc´ ıcio 2 Conjunto das partes e n´meros combinat´rios. u o 1. Considere as parti¸˜es seguintes de A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}: co Π1 (A) = {{1, 2}, {3, 4, 5}, {6, 7, 8, 9}} ; Π2 (A) = {{1, 2, 3}, {4, 5}, {6}, {7, 8, 9}} Calcule o cruzamento destas parti¸˜es. Verifique que a substitui¸˜o de “in- co ca terse¸˜o por “uni˜o” na defini¸˜o de cruzamento de parti¸˜es n˜o produz uma ca a ca co a parti¸˜o. ca 2. Qual ´ parti¸˜o mais fina: (1) da popula¸˜o particionada por estados; (2) da e ca ca popula¸˜o particionada por munic´ ca ıpios. O cruzamento destas parti¸˜es produz co uma parti¸˜o nova? ca 3. Vocˆ tem nove objetos, oito dos quais tem exatamente o mesmo peso e um mais e pesado do que os demais. Determine o n´mero m´ u ınimo de pesagens, com uma balan¸a de dois pratos que possam determinar qual ´ o mais pesado. c e 4. Vocˆ tem treze objetos, doze dos quais tem exatamente o mesmo peso e um mais e pesado do que os demais. Determine o n´mero m´ u ınimo de pesagens, com uma balan¸a de dois pratos que possam determinar qual ´ o mais pesado. c e 5. Um partido tem 35 membros aprovados na conven¸˜o para se candidatarem `s ca a elei¸˜es e resolve fazer uma simula¸˜o para analisar as chances melhores de co ca vit´ria nas urnas. Quantas chapas pode o partido criar com os 35 candidatos, se o quiser apresentar tres candidatos a cada cargo parlamentar: vereador, deputado estadual, deputado federal e senador, um titular e um vice aos cargos de prefeito, governador e presidente. 6. Quantas diagonais tem um pol´ ıgono de 5 lados. 7. Analise, para estabelecer uma f´rmula, o n´mero de diagonais de um pol´ o u ıgono com 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 lados. Vocˆ poderia estabelecer o n´mero de diagonais de e u um pol´ıgono com n lados? 8. (a) A cˆmara de Vereadores de uma cidade tem 13 membros e quer distribu´ a ı- los em comiss˜es de 4 vereadores para estudar os diversos projetos que a o cˆmara recebe para considera¸˜o. Quantas comiss˜es poder˜o ser forma- a ca o a das, se o presidente fica excluido de todas as comiss˜es e nenhum vereador o pode participar de mais de uma comiss˜o?a (b) Considere que o Prefeito da cidade envia a cˆmara de vereado-res, em m´ a e dia, 1 projeto por dia e que al´m disto os pr´prios vereadores apresentam e o 4 projetos por semana. Os vereadores se reunem apenas ter¸as, quartas e c quintas, mas o executivo funciona cinco dias por semana. Calcule quan- tos dias pode ficar um projeto, para receber parecer em uma comiss˜o, no a m´ximo, para que a cˆmara esgote a pauta semanalmente. a a 9. parti¸˜o de um conjunto ca (a) Constr´a duas parti¸˜es de A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} cujos membros n˜o u co a possum mais de 3 elementos. (b) Constr´a duas parti¸˜es de A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} cujos membros n˜o u co a possum menos de 3 elementos.
- 55. 10. A cˆmarade Vereadores de uma cidade tem 11 membros e quer distribu´ a ı-los em comiss˜es de at´ 3 vereadores para estudar os diversos projetos que a cˆmara o e a recebe para considera¸˜o. Quantas comiss˜es poder˜o ser formadas, se a mesa ca o a diretora decidiu que nenhum vereador pode participar de mais de uma comiss˜oa nem pode haver comiss˜es com um unico vereador? Tem mais de uma solu¸˜o o ´ ca o problema? 2.3 O binˆmio de Newton. o Existe uma f´rmula interessante para obter potˆncias de express˜es alg´bricas, cha- o e o e mada de bin^mio de Newton. Vamos chegar at´ esta f´rmula a partir de um exemplo o e o bem particular. A constru¸˜o que faremos ligar´ diretamente esta f´rmula ao tri^ngulo de Pascal. ca a o a Calcule as potˆncias sucessivas de 11 e compare com as linhas do tri^ngulo de e a Pascal. • 110 = 1. • 111 = 1 1. • 112 = 1 2 1. • 113 = 1 3 3 1. • 114 = 1 4 6 4 1. • 115 = 1 5 10 10 5 1. A conclus˜o ´ que os n´meros que aparecem na linha de ordem n do triˆngulo de a e u a Pascal, concatenados, produzem a n − esima potˆncia de 11. e Isto vale mesmo para a ultima linha acima se fizermos uma adequada interpreta¸˜o. ´ ca Nela aparece 10 que n˜o ´ um algarismo, logo temos que lhe aplicar a regra de “passar a e para a pr´xima casa”. o Deixamos o zero e levamos o 1 para a aproxima casa: 115 = 1 5 11 0 5 1 Agora temos o “algarismo” 11 ao qual novamente temos que aplicar a mesma regra para obtermos finalmente: 1 6 1 0 5 1 → 161051 = 115 N˜o se trata de nenhuma casualidade, apenas escolhemos o exemplo certo: 11 = a 10 + 1. Se calcularmos as potˆncias de (x + 1) vamos ver uma repeti¸˜o do que se e ca passou acima. • (x + 1)0 = 1. • (x + 1)1 = x + 1. • (x + 1)2 = x2 + 2x + 1. • (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1. • (x + 1)4 = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1. • (x + 1)4 = 1 + 4x + 6x2 + 4x3 + x4 . • (x + 1)4 = C4 + C4 x + C4 x2 + C4 x3 + C4 x4 . 0 1 2 3 4
- 56. Como o tri^ngulode Pascal ´ sim´trico a partir das extremidades, podemos a e e escrever todas as linhas revertidas como fizemos com linha de ordem 4. A linha de ordem 4 nos oferece uma hip´tese de indu¸˜o que vamos redigir assim: o ca Hip´tese 1 do binˆmio. o o n (x + 1)n = k Cn xk k=0 Usando a hip´tese de indu¸˜o no c´lculo de (x + 1)n+1 : o ca a (x + 1)n+1 = (x + 1)n (x + 1) = x(x + 1)n + (x + 1)n = (2.5) n n =x k Cn xk + k Cn xk = (2.6) k=0 k=0 n n k Cn xk+1 + k Cn xk = (2.7) k=0 k=0 n n = k Cn xk + k Cn xk+1 = (2.8) k=0 k=0 n n−1 0 = Cn + k Cn xk + k Cn xk+1 + Cn xn+1 = n (2.9) k=1 k=0 n−1 0 n+1 Cn+1 + k+1 k [Cn + Cn ]xk+1 + Cn+1 xn+1 (2.10) k=0 (2.11) Podemos agora “sincronizar” os ´ ındices das somas na pen´ltima equa¸˜o quebrando o u ca somat´rio em dois: o n n 0 Cn + k Cn xk + k−1 Cn xk + Cn xn+1 n k=1 k=1 fazendo com que a ultima equa¸˜o agora fique assim: ´ ca n 0 Cn+1 + k k−1 [Cn + Cn ]xk + Cn+1 xn+1 n+1 k=1 Nesta ultima equa¸˜o usamos os teoremas que garantem que valores extremos de ´ ca 0 qualquer linha do tri^ngulo de Pascal valem sempre 1 e subsituimos assim Cn por a 0 n n+1 Cn+1 e Cn por Cn+1 . Calculando k k−1 n! n! (n − k + 1)n! + kn! [Cn + Cn ] = + = = k!(n − k)! (k − 1)!(n − k + 1)! k!(n − k + 1)! (n + 1)! (n + 1)! k = = = Cn+1 k!(n − k + 1)! k!(n + 1 − k)! Assim temos n n+1 n+1 0 (x + 1) = Cn+1 + k Cn+1 xk + Cn+1 xn+1 n+1 = k Cn+1 xk k=1 k=0 que confirma a hip´tese de indu¸˜o para n + 1. Mostramos assim que: o ca
- 57. Teorema 16 dobinˆmio de Newton-caso particular. o Para todo n ∈ N n n (x + 1) = k Cn xk k=0 Observe uma outra demonstra¸˜o, menos formal: ca Dem : Suponha que (hip´tese de indu¸ ao) que (x + 1)k tenha os coeficientes o c 0 1 k−1 k Ck , Ck . . . , Ck , Ck Quando multiplicarmos (x + 1)k (x + 1), pela propriedade distributiva, temos (x + 1)k x (2.12) (x + 1)k 1 = (x + 1)k (2.13) Na primeira linha teremos uma express˜o parecida com (x + 1)k por´m com todas as a e potˆncias aumentadas de uma unidade. Na outra linha teremos exatamente (x + 1)k . Para e somar o que deveremos fazer ´ e • colocar os coeficientes em duas linhas • deslocar para a direita os coeficientes de (x + 1)k x • somar coluna por coluna p p+1 Portanto iremos somar Ck + Ck que ´ a rela¸ao que gera os elementos da linha seguinte e c˜ do Triˆngulo de Pascal portanto os coeficientes de (x + 1)k+1 ser˜o a a 0 1 k k+1 Ck+1 , Ck+1 . . . , Ck+1 , Ck+1 q.e.d . Para deduzir desta forma particular a express˜o geral do teorema, a (a + b)n , podemos fazer as seguintes transforma¸˜es alg´bricas: co e a a (a + b)n = [b(+ 1)]n = bn ( + 1)n b b a e agora identificar b = x. Podemos agora aplicar o que obtivemos anteriormente: n (a + b)n = bn ( Cn ( a )k ) = k b (2.14) k=0 n k bn k Cn ak = b (2.15) k=0 n k n k Cn a bk = b (2.16) k=0 n k Cn ak bn−k (2.17) k=0 Teorema 17 do binˆmio de Newton. o n n (a + b) = k Cn ak bn−k . k=0
- 58. Exemplo 16 N´merode elementos de um conjuntos u Vamos aplicar a f´rmula do binˆmio num caso particular: o o n (1 + 1)n = Cn ak bn−k k (2.18) k=0 a=1 ; b=1 (2.19) n (1 + 1)n = 2n = k Cn (2.20) k=0 (2.21) ´ a soma dos n´meros combinat´rios ou ainda a soma da linha de ordem n do triˆngulo e u o a de Pascal. Vamos salientar estas duas conclus˜es: o • A soma dos elementos da linha de ordem n do triˆngulo de Pascal ´ a e n k Cn = 2n k=0 • O n´mero de subconjuntos de um conjunto u A = {1, 2, . . . , n} com n elementos, ´ 2n . e Exerc´ ıcios 12 Opera¸˜es com express˜es alg´bricas co o e 1. Calcule (a + b)(c + d) justificando todas as passagens. 2. Calcule o valor de x nas equa¸˜es seguintes justificando todas as passagens: co a) x − 2 = 1 2 5 b) 3x + 4 = 1 c) x+3 = 7 2 d) 3x − 4 = x − 3 e)2x − 7 = 5 − x f )x + 4 = 2x=1 3 3. Calcule a)(1 + x)(1 + x) b)(x + y)(1 + x) c)(x + y)(x − y) d)(x + y)(x + y)e)(1 + x)(1 + x) f )(1 + x)(1 − x) 4. Calcule (a) (a + b)2 ; (1 + x)2 (b) (a − b)2 ; (1 − x)2 (c) (a + b)3 ; (1 − x)3 (d) (1 + 0.1)3 ; (3.1)3 (e) (5.3)4 ; (12.11)4 5. Se a infla¸˜o for 1% ao mez, como insinua o governo, quanto haver´ de infla¸˜o ca a ca acumulada ao final de 12 mezes. 6. Calcule, usando binˆmio de Newton, a soma dos n primeiros n´meros naturais. o u
- 59. Observa¸˜o 11 C´lculode juros sem calculadora ca a Vocˆ n˜o precisa mais de uma calculadora para fazer c´lculo de juros compostos. e a a Se tiver tomado emprestado um capital C a uma taxa de juros j isto significa que mez a mez vocˆ deve pagar j por cento ao sacado o que d´: e a C + jC = C(1 + j) ao fim do primeiro mez e sucessivamente: C + jC = C(1 + j) ; C(1 + j)2 ; . . . ; C(1 + j)n−1 Use a linha de ordem n−1 do triˆngulo para calcular (1+j)n−1 e depois multiplique a por C, para descobrir sua d´ ıvida ap´s n mezes. Por exemplo, o Brasil “devia” cerca o de 300 bilh˜es de d´lares no in´ o o ıcio do ano 2000. Para calcular a taxa de reajuste da d´ ıvida (o chamado “servi¸o”), temos que usar a linha de ordem 11 do triangulo de c Pascal, 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 p que s˜o os n´meros combinat´rios C11 corespondentes `s potˆncia 11 em (a + b)11 . a u o a e p Tabulados acima vocˆ vˆ na primeira linha os n´meros combinat´rios Cn , os elementos e e u o da linha de ordem 11 do triˆngulo de Pascal, e na segunda linha as correspondentes a potˆncias de a em (a + b)11 . e Mesmo que a taxa de juros internacionais fosse “uns suaves” 1%, ao fim de um ano a d´ıvida seria reajustada com a taxa (1.01)11 = 1 + 11 ∗ j 1 + 55 ∗ j 2 + 165 ∗ j 3 + 330 ∗ j 4 + 462 ∗ j 5 + (2.22) +462 ∗ j 6 + 330 ∗ j 7 + 165 ∗ j 8 + 55 ∗ j 9 + 11 ∗ j 10 + 1 ∗ j 11 = (2.23) = 1 + 0.11 + 0.0055 + 0.000165 + 0.000003300000000 + 0.0000000462 + (2.24) 0.000000000462 + 0.0000000000033 + 0.0000000000000165 + (2.25) 0.000000000000000055 + 0.00000000000000000011 + 0.0000000000000000000001 = (2.26) 1.11567296653165551001 ≈(2.27) 1.116 Portanto a d´ ıvida, submetida a juros “suaves” de 1%a.m. sofreria um reajuste de 1.11566834666531656511 ao final de um ano, quer dizer, passaria de 300 bi para 300bi ∗ 1.11566834666531656511 = 334.70050399959496653303bi. isto ´ sofrendo um e ”leve”reajuste de 34.70050399959496653303 bi em um ano, ou melhor de 34.700.503.999, 59 d´lares. o S´ para efeito de compara¸˜o, o or¸amento do Minist´rio da Educa¸˜o fica por o ca c e ca volta de 10 bi de reais, logo o reajuste da d´ ıvida equivale a 9 anos e meio do or¸amento c brasileiro para Educa¸˜o. ca Infelizmente os juros dos agiotas internacionais n˜o ´ t˜o suave... Voce pode pro- a e a curar nos jornais o valor exato dos juros que nos cobram e corrigir os c´lculos acima e a deduzir quanto tempo ficaremos com a Educa¸˜o, a Sa´de prejudicadas para satisfazer ca u a ganˆncia dos que j´ s˜o muito ricos. a a a
- 60. 2.4 Arranjos simples e com repeti¸˜o.. ca 2.4.1 Arranjos com repeti¸˜o. ca Um exemplo de arranjo com repeti¸˜o ´ o “agregado” de trˆs letras que se usa nas ca e e placas dos carros: “IIL 4331”. Outro exemplo ´ o “agregado” de quatro algarismos que e completa a placa. S˜o dois exemplos diferentes e tem que ser tratados separadamente. a A defini¸˜o de “arranjo” ´: ca e Defini¸˜o 12 Arranjos dos elementos de A. ca Seja A um conjunto com n elementos. O produto cartesiano A x · · · x A de p c´pias do conjunto A ´ o conjunto dos arranjos com repeti¸˜o p a p dos elementos o e ca de A. Na maioria dos textos sobre an´lise combinat´ria o conjunto dos arranjos ´ despre- a o e sado se passando direto ` quantidade dos arranjos com n elementos dados. Preferimos a come¸ar apresentando o conjunto dos arranjos, depois vamos calcular quantos eles s˜o. c a Exemplo 17 Arranjos 4 a 4 dos algarismos. ´ E este o arranjo que se encontra presente nas placas dos carros, a parte “num´rica”. e Pela defini¸˜o estamos nos referindo ao conjunto ca A x A x A x A = A4 = {(x, y, z, w) ; x, y, z, w ∈ {0, 1, · · · , 9}} Habitualmente n˜o se escrevem “v´ a ırgulas” se nenhum tipo de confus˜o se pode a estabelecer. Nas placas de carro aparecem “coisas” como 1334 que corresponde na nota¸˜o da defini¸˜o a (1,3,3,4). ca ca Vamos a quantidade dos arranjos com repeti¸˜o Ap em que o conjunto A tem n ca elementos. Queremos saber quantos objetos do tipo (x1 , · · · , xp ) podemos construir. Um instrumento muito util na constru¸˜o de arranjos s˜o as ´rvores de possibilidades, ´ ca a a veja a (fig. 2.1) na p´gina 55. Uma ´rvore de possibilidades consiste dum gr´fico a a a formado de feixe de segmentos de reta saindo de um ponto dado, (uma das possibili- dades) ligando-o a diversos outros pontos, (as outras possibilidades). Na figura (fig. 2.1) vocˆ pode ver exemplificada a constru¸˜o dos arranjos 121,122,120 e ca Como estamos construindo arranjos com repeti¸˜es, para cada coordenada que se co oferece em 10 possibilidades, existem outras 10 possibilidades de escolha das outras coordenadas. O resultado ´ que podemos construir 10 x 10 x · · · x 10 = 10p . e Quer dizer que no caso das placas de carro, em que p = 4 podemos ter 104 = 10.000 possilidades diferentes na parte “num´rica” da placa, para cada escolha feita na parte e “literal”. E quantas possibilidades existem na parte literal? Aqui temos novamente um arranjo com repeti¸˜o das 25 letras do alfabeto, logo ca temos 25 x 25 x 25 = 253 = 15625 Quer dizer que o n´mero total de placas diferen- u tes que podemos ter para carros no Brasil ´: 15625 x 10000 = 156.250.000 que neste e momento ´ do tamanho da pr´pria popula¸˜o brasileira, e como, ox al´, nunca chega- e o ca a remos a que cada indiv´ ıduo venha a sair de casa no seu pr´prio carro, este n´mero de o u placas chega para identificar todos os carros rodando nas estradas e cidades do pa´ ıs. Teorema 18 do n´mero de arranjos. u O n´mero de arranjos com repeti¸˜o de n elementos tomados p a p ´ u ca e Ap = np . n
- 61. 1 1 121 3 3 4 4 3 33 4 4 3 33 4 @ 4 33 @@@@@@ 2 2 122 4 33 @@ 4 3 @@ @ 4 rr r – 4 4 r – 4 rr – 4 – r 4 4 r – 4 r 1 4 – r ˆˆ r 9 r ˆˆˆ r r r ˆˆ 129 r ˆˆ r ˆˆ r ˆˆ r ˆˆ 9 0 120 rr ˆˆ r r r r r 0 r rr Figura 2.1: ´ Arvore de possibilidades. Exerc´ıcios 13 1. Um produtor de TV deseja fazer um show composto de clips de teatro, m´sica e jornalismo. A dura¸˜o do show ´ de 2 horas. Mostre as com- u ca e bina¸˜es poss´ co ıveis de composi¸˜o do show com cada se¸˜o durando 15 minutos ca ca admitindo-se que no m´ximo duas se¸˜es durem meia hora. a co 2. Componha o hor´rio de uma turma vespertina que tem 4 disciplinas A,B,C,D a de modo que todas as disciplinas tenham uma carga igual de 4 horas semanais, exceto a disciplina D que tem 5 horas semanais, com a restri¸˜o de que no ca m´ximo duas horas seguidas sejam admitidas por dia de aula. a 2.4.2 Arranjos simples. Os arranjos simples diferem dos anteriores pela proibi¸˜o de que seus elementos se ca repitam. Usamos arranjos simiples sempre que os objetos tiverem individualidade e n˜oa puderem aparecer mais de uma vez em conjunto. Exemplo 18 uso de arranjos simples. 1. Ao inciarmos o cap´ ıtulo usamos como exemplo de combina¸˜es uma chapa elei- co toral com tres membros. Combina¸˜es s˜o conjuntos e os dois conjuntos co a {a, e, i}, {a, i, e} s˜o iguais. Mas os dois arranjos representados acima s˜o diferentes. Podemos a a resolver melhor a quest˜o que exemplificamos anteriormente, no caso de chapa a eleitoral, com arranjos, porque as duas chapas “aei” e “aie” s˜o diferentes se a considerarmos que a ordem dos elementos na chapa indica o cargo de cada ele- mento: presidente, vice-presidente, tesoureiro.
- 62. Todos os arranjosdos tres elementos {a, e, i} correponderiam a todas as pos- sibilidades de chapas e seriam uma proposta melhor na conven¸˜o do partido ca onde ´ bem conhecida a propriedade ser ladr˜o do elemento “i”, mas que, no- e a toriamente ativo e dinˆmico, poderia ser aceito para a primeira posi¸˜o, de a ca presidente, conquanto que o elemento “a”, notariamente austero ficando com a tesouraria garantiria, aos olhos da comunidade do partido, uma melhor sa´ ıda. Se considerados conjuntos, em que a comunidade partidaria n˜o pudesse decidir a que cargo ficaria em que m˜os, dificultaria a ´tica partidaria de agir, uma vez a e que {a, e, i} = {i, e, a}. 2. Suponha que cinco pessoas devam assumir a organiza¸˜o de um escrit´rio, mas ca o que se revesem para que o servi¸o fique aberto 24 horas. Duas pessoas ´ o c e suficiente para executar as fun¸˜es do escrit´rio, e para que a atividade fique co o mais agrad´vel elas se revezam nos dois tipos de of´ a ıcios: atendimento interno e atendimento externo. Vamos chamar estas pessoas de a, e, i, o, u. A tabela de escalas seria ent˜o: a ae, ai, ao, au, ea, ei, eo, eu, . . . , ua, ue, ui, uo Observe que a pessoa a ir´ trabalhar externamente 4 escalas e 4 escalas no a servi¸o interno, ficando de folga nas escalas restantes. Quantas s˜o todas as c a escalas? O m´todo de c´lculo agora vai considerar um possibilidade a menos para cada e a escolha inicial feita: 5 x 4 Podemos escolher 5 pessoas diferentes para colocar no atendimento externo, e para cada uma dessas escolhas podemos escolher 4 pessoas para o atendimento interno. Isto quer dizer que a trabalha em oito escalas e folga 12 escalas. 3. Podiamos alterar o exemplo anterior considerando um servi¸o mais complexo c que possuisse 4 classes diferentes de tarefas e portanto que fosse necess´rio ter a 4 pessoas presentes em cada escala. Alguns exemplos de escala seriam aeio, eioa, ioae, oaei, ueio, eiou, ioue, ouei em que a trabalha em 4 escalas em of´ıcios diferentes. Mas quantas seriam todas as escalas: Para a primeira posi¸ao temos 5 escolhas c˜ diferentes dispon´ ıveis, mas para a segunda j´ s´ teremos 4, para a terceira 3, a o para a quarta 2. Portanto o n´mero de escalas ser´: u a A4 = 5 x 4 x 3 x 2 = 120. 5 Se precisassemos das 5 pessoas presentes, mudariam as escalas, mas n˜o a quan- a tidade delas: A5 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 = 5! 5 Seria poss´ ter 6 pessoas presentes ao servi¸o? a resposta ´ n˜o, porque pes- ıvel c e a soas n˜o podem aparecer repetidas, quer dizer que chegamos no exemplo de cinco a pessoas presentes ao limite de c´lculo. No caso das placas de carros podemos a trocar a quantidade de algarismos presentes de 4 para 6 ou 10 ou 20, porque eles podem ser repetidos. Com estas observa¸˜es estamos preparados para obter a f´rmula para o c´lculo da co o a quantidade dos arranjos.
- 63. p Primeiro uma nota¸˜o: An para representar a quantidade de arranjos sem repeti¸˜o ca ca de n elementos tomados p a p. Como as possibilidades v˜o diminuindo ` medida que aumentamos o n´mero de a a u coordenadas presentes, vemos que este n´mero tem como primeiro fator n pois a u escolha da primeira coordenada ´ feita com liberdade completa, sem restri¸˜es. Mas e co para escolher a segunda coordenada, temos a restri¸˜o de que primeira j´ n˜o poder´ ca a a a ser selecionada, logo temos apenas n − 1 possibilidades de escolha. Assim por diante v˜o diminuindo as possibilidades de um em um: a Teorema 19 do n´mero de arranjos simples de n, p a p. u n! Ap = n(n − 1) · · · (n − p + 1) = n (n − p)! p fatores Os arranjos simples ou com repeti¸˜o s˜o muito usados: n´mero de telefone, placa ca a u de carro, a grande maioria dos c´digos, por exemplo o CPF, CNPJ. o Os problemas envolvendo o c´lculo da quantidade de arranjos pode ficar mais a complicado pelo envolvimento de restri¸˜es diversas. O exemplo da placa de carros ´ co e t´ ıpico, se tratam de dois tipos de arranjos combinados em paralelo, quer dizer que um n˜o restringe a quantidade de elementos do outro e a quantidade de arranjos resultante a ´ o produto das quantidades de um e do outro, como vimos. Estas considera¸˜es nos e co levam a enunciar um princ´ ıpio de contagem que nada tem de extraordin´rio mas a guarda a id´ia intuitiva que com frequˆncia temos que ter para resolver problema de e e contagem. Vamos enunci´-lo sob a forma de teorema, sem demonstr´-lo: a a Teorema 20 Princ´ ıpio de contagem. Se tivermos 1, 2, . . . , p situa¸˜es independentes co e cada uma dessas situa¸˜es puder se realizar de s1 , s2 . . . , sp modos diferentes, o co n´mero de modos diferentes de realizar todas estas situa¸˜es ser´ o produto dos p u co a fatores s1 x s2 x . . . x sp . A observa¸˜o sobre independ^ncia das situa¸˜es ´ crucial. ca e co e Exemplo 19 Arranjos e Princ´ ıpio da contagem 1. Quantos n´meros de 4 algarismos distintos podem ser formados com os elemen- u tos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6} Solu¸˜o: Note que escolhendo 4 dos 6 algaris- ca mos, por exemplo, 1234 ´ diferente de escolher 1342. Trata-se de um problema e de arranjos, em que a ordem dos elementos importa. Assim pelo teorema 19, temos: 6! 6! 6 · 5 · 45 · 35 · 25 · 1 A4 = 6 = = = 360 (6 − 4)! 2! 25 · 1 2. Doze estudantes, 4 cearenses, 4 pernambucanos 4 baianos, disputam uma olim- piada de Matem´tica. Ser˜o premiados, conforme o regulamento das olimpiadas a a os cinco primeiros colocados. Qual ´ o n´mero de maneiras de fazer a premia¸˜o e u ca sendo o unico cearense classificado o primeiro lugar ? Solu¸˜o: Temos 4 pos- ´ ca sibilidades de escolher o primeiro colocado. Restam, portanto, 8 competidores para concorrer aos demais coloca¸˜es. J´ que n˜o h´ outro cearense classificado, co a a a temos: 8! 4A4 = 4 · 8 = 6720 (8 − 4)!
- 64. 3. Princ´ıpio dacontagem Doze estudantes, 4 cearenses, 4 pernambucanos 4 baianos, disputam uma olimpi- ada de Matem´tica. Ser˜o premiados, conforme o regulamento das olimpiadas os a a cinco primeiros colocados. Qual ´ o n´mero de maneiras de fazer a premia¸˜o. e u ca Solu¸˜o: ca Tudo que temos que fazer ´ selecionar cinco vencedores dentre os 12 competido- e res: A5 = 12! = 95040 12 7! 4. Quantas palavras contendo 3 letras diferentes podem ser formadas com um al- fabeto de 26 letras. Solu¸˜o: ca Pelo teorema do Princ´ ıpio da Contagem, 20, temos 26 · 25 · 24 = 15600 5. Quantos s˜o os gabaritos poss´ a ıveis de um teste de 10 quest˜es de m´ltipla- o u escolha, com cinco alternativas por quest˜o sem nenhuma escolha qualificada a das alternativas ? Solu¸˜o: ca Um gabarito ´ um arranjo com repeti¸˜o das alternativas e ca a,b,c,d,e quer dizer que um gabarito pode ser aa aaaaa aaa Ent˜o, pelo teorema do Princ´ a ıpio da Contagem, 20, calA10 5 2.4.3 Permuta¸˜es. co Um tipo particular de arranjo ´ aquele em que todos os objetos do grupo s˜o utilizados e a ao mesmo tempo, veja o exemplo 3 p´gina 56, em usamos as 5 pessoas dispon´ a ıveis ao mesmo tempo. Quando isto acontece a f´rmula An = n! se reduz ao fatorial do n´mero de elemen- o n u tos do conjunto de onde se v˜o tirar os arranjos. Este caso particular recebe o nome a de permuta¸ao. Uma nota¸˜o particular ´ tamb´m usada para este tipo de arranjo: c~ ca e e n nota¸˜o: An = Pn = n! ca Se formos usar a f´rmula dos arranjos 19 neste caso, seremos levados a escrever: o n! An = P n = n 0! e a´ vemos que a conven¸˜o de que j´ falamos anteriormente ´ importante: 0! = 1. ı ca a e Exerc´ ıcio 3 Arranjos, permuta¸˜es, combina¸˜es co co 1. Um CPF inteligente. Em um determinado pa´ s, os seis primeiros “d´ ı ıgitos” do CPF dos habitantes se comp˜e da data de nascimento no formato ano-mes-dia, e o mais 4 d´ ıgitos escolhidos por ordem de nascimento do cidad˜o que est´ entrando a a no sistema. Quantas pessoas se estima nascer por dia naquele pais?
- 65. 2. No sistematelefˆnico de uma cidade, existem 10 centrais numeradas de 00 a 09 o e h´ uma previs˜o de 10.000 linhas telefˆnicas a serem atendidas por cada uma a a o destas centrais. Qual ´ o formato m´ e ınimo, (com menor n´mero de d´ u ıgitos) dos n´meros de telefone da cidade. u 3. O sistema de cadastro de produtos industriais classificou os produtos produzidos ou comercializados no pa´ em 87 classes distintas reservando para cada classe ıs uma sub-classifica¸˜o que comporte 1000 produtos. Qual ´ o formato m´ ca e ınimo que o c´digo dos produtos industriais deve ter, deixando inclusive uma margem o para expans˜o da classe de produtos. a 4. Um grande “shopping” tem nas v´rias entradas uma caixa de sugest˜es e os a o consumidores s˜o convidados a nela informarem dados sobre os produtos que a esperam encontrar ou que compram com frquˆncia nas diversas lojas. Os consu- e midores tamb´m s˜o convidados a indicar seu n´ de renda e local de residˆncia. e a ıvel e Com base nestes dados os t´cnicos do “shopping” periodicamente fazem an´lises e a do comportamento de compras dos fregueses classificando-os segundo: • bairros onde residem; • itens frequentes nas listas de compra; • marcas preferidas para determinados itens; • faixas de pre¸os dos itens mais procurados; c Desta forma se obt´m as seguintes parti¸˜es do conjunto dos consumidores iden- e co tificados de alguma forma: • B = {B1 , . . . , Bn } • I = {I1 , . . . , Im } • M = {M1 , . . . , Mp } • P = {P1 , . . . , Pq } Que informa¸˜o se pode tirar do cruzamento das parti¸˜es ca co (a) B e I ? (b) B e P ? (c) P e M ? (d) P e I ? 5. seguran¸a no trˆnsito c a (a) A guarda de tr´nsito, em seu af˜ de cuidadosamente pesquisar o comporta- a a mento do motorista no trˆnsito para descobirir as falhas do sistema, definiu a 6 locais l1 , . . . , l6 em que deveria fazer “batidas de trˆnsito”. Mas a guarda a tem apenas 3 equipes devidamente preparadas para fazer tais inspe¸˜es si- co multaneamente. Quantos dias levar´ guarda de trˆnsito para cobrir todos a a os pontos da cidade fazendo 4 fiscaliza¸˜es por dia? co (b) O coronel comandante da guarda de trˆnsito, para evitar que os moto- a ristas descubram um forma de saber onde vai haver fiscaliza¸˜o nas ime- ca dia¸˜es por onde passam, tem o cuidado de alterar o quadro de “batidas co de trˆnsito” construido na quest˜o anterior. De quantas maneiras pode a a fazˆ-lo? e
- 66. 6. Temos 10pessoas e uma mesa rigorosamente circular com 10 cadeiras. De quantas formas diferentes podem as 10 pessoas sentar-se a mesa? 7. Um vendedor vai telefonar para 9 fregueses, mas chama 5 no primeiro dia e 4 no segundo dia. De quantas maneiras pode fazˆ-lo? e 8. Um vendedor tem quatro produtos de uma empresa e 5 de outra empresa que ele deve apresentar aos clientes de uma cidade. De quantas formas ele pode arranjar suas apresenta¸˜es. Como fica este n´mero se os produtos de uma empresa n˜o co u a devem ser apresentados junto com os da outra? 9. Tendo que se acomodar as pessoas A, B, C, D, E, F em torno de uma mesa cir- cular, de quantas maneiras isto pode ser feito se • sempre C, D devem sentar juntos. • nunca C, D devem sentar juntos. • h´ trˆs casais que sempre v˜o querer estar lado a lado. a e a 10. As pessoas se classificam, quanto a tipo sangu´ ıneo como Rh+ , Rh− , conforme haja presen¸a ou ausˆncia do Rh e A, B, AB, dependendo da presen¸a destes c e c ant´ıgenos no sangue, no caso do O, ausˆncia destes. Fa¸a um diagrama de Venn e c ilustrando todas estas possibilidades. 2.5 N´mero de elementos da uni˜o de conjun- u a tos. Nas se¸oes anteriores nos dedicamos a calcular o n´ mero de elementos de c˜ u conjuntos, mas n˜o claramento com este objetivo. a Come¸aremos com uma f´rmula para calcular o n´ mero de elementos de c o u A ∪ B ∪ C. Entre os problemas de contagem um dos mais interessantes consiste de determinar quantos elementos existem em um determinado universo, consideradas restri¸˜es sobre co os elementos. As restri¸˜es podem ser interpretadas como as interse¸˜es entre estes conjuntos. co co Por exemplo Exemplo 20 Fumantes e jogadores de baralho. Nem todo jogador de baralho ´ fumante, mas h´ os que s˜o, e uma sala de jogos e a a de um bar tem que levar isto em considera¸˜o para evitar atritos. Claro, tem gente ca que fuma e n˜o joga baralho. a Vamos designar por F e B os dois conjuntos. Ent˜o temos tres grupos de pessoas a a quem o dono do bar deve servir: F − B ; B − F ; F ∩ B. Se ele quiser num determinado momento contar o n´mero de pessoas que se en- u contram no bar, basta contar o n´mero de elementos de cada um dos conjuntos acima, u porque eles s˜o disjuntos: a n(F ∪ B) = n(F − B) + n(B − F ) + n(F ∩ B) (2.28)
- 67. como F −B e F ∩ B s˜o disjuntos e al´m do mais (F − B) ∪ (F ∩ B) = F ent˜o a e a n(F − B) + n(F ∩ B) = n(F ) e assim: n(F ∪ B) = n(F ) + n(B − F ) (2.29) Mas n(B − F ) = n(B) − n(F ∩ B) e a´ a f´rmula acima fica: ı o Teorema 21 do n´mero de elementos da uni˜o. u a n(F ∪ B) = n(F ) + n(B) − n(F ∩ B) porque n(F ∩ B) entra duas vezes na contagem quando somarmos n(F ) + n(B). Na figura ?? temos a representa¸˜o de tres conjuntos A, B, C que se interceptam ca dois a dois e cuja interce¸˜o total ´ tamb´m n˜o vazia. Um racioc´ ca e e a ınio semelhante ao que fizemos no exemplo do bar pode ser feito aqui para uma obter uma f´rmula o para n(A ∪ B ∪ C). Mas vamos usar um outro caminho que nos vai permitir uma generaliza¸˜o dos resultados usando indu¸ao finita. ca c~ Queremos encontrar uma f´rmula para o n(A ∪ [B ∪ C]) = n(A ∪ [D]) (2.30) e n´ s j´ encontramos uma f´rmula para a uni˜o de dois conjuntos que vamos usar: o a o a n[D] = n[B ∪ C] = n(B) + n(C) − n(B ∩ C). (2.31) Se juntarmos as f´rmulas temos: o n(A ∪ D) = n(A) + n(D) − n(A ∩ D) = (2.32) = n(A) + n(B) + n(C) − n(B ∩ C) − n(A ∩ D) = (2.33) = n(A) + n(B) + n(C) − n(B ∩ C) − n(A ∩ (B ∪ C)) = (2.34) = n(A) + n(B) + n(C) − n(B ∩ C) − n((A ∩ B) ∪ (A ∩ C)) = (2.35) (2.36) em que apenas expandimos a express˜o da primeira equa¸˜o sucessivamente, sendo a ca que da pen´ltima equa¸˜o para a ultima usamos a distribuitividade da “interse¸˜o” u ca ´ ca relativamente a “uni˜o”. Escrevendo separado o valor de a n((A ∩ B) ∪ (A ∩ C)) = n((A ∩ B) + n(A ∩ C)) − n((A ∩ B) ∩ (A ∩ C)) usando a f´rmula 21 aplicada a A ∩ B A ∩ C. As propriedades associativa e comutativa o da interse¸˜o nos permite simplificar a ultima express˜o de 2.37: ca ´ a (A ∩ B) ∩ (A ∩ C) = A ∩ B ∩ C de modo a equa¸˜o (eq. ,2.37) agora fica ca n((A ∩ B) ∪ (A ∩ C)) = n((A ∩ B) + n(A ∩ C)) − n(A ∩ B ∩ C)
- 68. que substituida naequa¸˜o 2.36 nos d´: ca a n(A ∪ B ∪ C) = = n(A) + n(B) + n(C) − n(B ∩ C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) + +(A ∩ B ∩ C) Aa figura (fig. 2.2) p´gina 62, mostra a uni˜o dos tres conjuntos A, B, C. a a A B C A U B U C Figura 2.2: A ∪ B∪C Com esta ultima f´ rmula se esbo¸a uma hip´tese de indu¸˜o. Vemos que primeiso ´ o c o ca somamos os n´meros de elementos dos conjuntos 1 a 1, depois subtraimos o n´mero das u u interse¸˜es consideradas 2 a 2, depois somamos o n´mero de elementos da interse¸˜o co u ca 3 a 3 dos conjuntos. Exerc´ ıcio 4 N´mero de elementos da uni˜o de quatro conjuntos. u a Tome uma folha de papel, e se prepare para escrever no sentido do comprimento, em vez da largura... Calcule n(A ∪ [B ∪ (C ∪ D)]), que vocˆ deve desenvolver de dentro e para fora usando as f´rmulas j´ estabelecidas acima. o a hip´tese de indu¸˜o nos diz que q o ca n(A1 ∪ · · · ∪ An ) vai ser dada pelas somas e diferen¸as se alternando dos n´meros de elementos das c u interse¸˜es i aı em que i ∈ {1, 2, · · · , n}. Observe que aqui uma generaliza¸˜o da co ca linguagem em que estamos chamando de Aj uma interse¸˜o 1 a 1, depois Ai ∩ Aj ´ ca e uma interse¸˜o 2 a 2, etc. . . ca
- 69. ´ Emais f´cil expressar o resultado com palavras como fizemos acima, do que escrever a uma f´rmula para sua express˜o...mas se vocˆ quiser tentar: o a e Exerc´ ıcio 5 N´mero de elementos da uni˜o de conjuntos. u a 1. ** Expresse n(A1 ∪ · · · ∪ An ) em termos dos n´meros de elementos dos con- u juntos A1 , · · · , An e dos n´meros de elementos das interse¸˜es destes conjuntos u co entre si. Na figura (fig. 2.3) p´gina 63, vocˆ representados os conjuntos A, B, C, D. a e B A D C Figura 2.3: n(A ∪ B ∪ C ∪ D) 2. Numa pesquisa de geol´ gica sobre produ¸˜o de petr´leo se consideraram tres o ca o amostras todas com o mesmo n´mero de po¸ os, 100, se verificando: u c • Dos po¸os perfurados sem informa¸˜es sobre dados sismol´gicos da regi˜o, c co o a 30% produz ´leo. o • A metade dos po¸os em que os testes sismol´gicos revelaram uma estru- c o trutura geol´gica subterˆnea favor´vel, s˜o secos. o a a a • 5/6 daqueles que os testes revelaram ausˆncia de estrutura geol´cia sub- e o terrˆnea favor´vel, s˜o secos. a a a Encontre (a) Qual ´ o percentual de po¸os em que os testes reveleram estrutura geol´gica e c o subterrˆnea favor´vel e que produzem ´leo a a o (b) Qual ´ o percentual de po¸os em que os testes reveleram ausˆncia de es- e c e trutura geol´gica subterrˆnea favor´vel mas que produzem ´leo o a a o
- 70. (c) Quantos po¸oss˜o produtivos? c a 3. Uma livaria que mant´m um clube de leitura por correspondˆncia, fez um le- e e vantamento preliminar sobre a participa¸˜o no clube em cima do seu cadastro de ca clientes tendo como resposta que 35% dos entrevistados participariam do clube no ano seguinte. Revendo os resultados posteriormente, a livraria observou que • 80% dos que estavam participando haviam dito preliminarmente que fica- riam ativos no clube; • 20% dos que n˜o participaram se encontravam entre os que disseram que a iam participar. (a) Qual foi o percentual dos clientes cadastrados que participou do cluble? (b) Qual foi o percentual que n˜o correspondeu a sua pr´pria expectativa? a o 4. Num vˆo internacional se encontram 10 rapazes, 5 crian¸as brasileiras, 10 ho- o c mens, 7 rapazes americanos, 15 brasileiros, 7 adultos brasileiros, 9 mulheres americanas. Quantos passageiros havia neste vˆo? Resp 34 o 2.6 N´mero de elementos no produto cartesi- u ano. Quando estudamos os arranjos com repeti¸ao vimos que o conjunto destes c~ arranjos era o produto cartesiano Ap em que A ´ o conjunto de onde s˜o e a tirados os objetos que se quer arranjar, e p ´ quantidade que se toma para e cada arranjo. Em algumas ocasi˜es interessa discutir o n´ mero de elementos de A x B, o o u produto cartesianos de conjuntos distintos, ´ o caso das placas dos carros. e Um exemplo mostra o m´todo de trabalho. e Exemplo 21 Os pares para dan¸a. c Numa dan¸ a de quadrilha existem 15 rapazes e 11 mo¸as inscritos, e se fez uma c c acerto que a cada m´sica todos os rapazes dan¸ ariam com todas as mo¸ as. Como cada u c c dan¸a demora 3 minutos, quanto tempo durou a festa se todas as mo¸ as dan¸aram c c c com todos os rapazes. Do n´mero de elementos do produto cartesiano, 15 x 11 deduzimos quanto tempo u duraria a dan¸a, porque em cada momento haveria 11 pares dan¸ando: 15 11 11 = c c x 15 x 3 minutos. Para que ningu´ m reclamasse que deixou de dan¸ar com algu´m, o organizador e c e da festa, que era um professor de matematica, colocou as 11 mo¸as em fileira e na c perpendicular a esta colocou os 15 rapazes pedindo depois que as mo¸as ocupassem c a diagonal do retˆngulo 11 x 11 e cada uma se dirigissem ao rapaz que estivesse a a sua frente. Termninada a dan¸a, com todos de volta aos seus lugares, ele pedia aos c rapazes que se permutassem circularmente, quer dizer o primeiro da fila passava para o ultimo lugar e os demais davam um passa para o lado fechando o lugar do primeiro, ´ e novamente se repetia o processo de escolha, na diagonal, do rapaz, at´que o primeiro e retornasse ao seu lugar. Mas o n´meros de pares feitos foram 15 x 11 e em cada momento dan¸avam 11, u c portanto foram precisos 15 momentos de 3 minutos logo 45 minutos para cada m´sica. u A festa durou 5 x (45 minutos).
- 71. A li¸˜o quese tira deste exemplo ´ que usamos o produto cartesiano como um ca e modelo para determinar como seria resolvido o problema. Teorema 22 N´mero elementos do produto cartesiano u O n´mero de elementos de A x B ´ n(A) x n(B), o produto dos n´meros de u e u elementos de cada conjunto: Exerc´ ıcios 14 N´mero de elementos de um conjunto u 1. Se A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {3, 4, 5}, C = {a, e, i, o, u} (a) represente graficamente (A − B) x C e calcule o n´mero de elementos u deste conjunto. (b) represente graficamente A x C−B x C e calculo o n´mero de ele- u mentos deste conjunto. (c) Um elemento-diagonal de um produto cartesiano ´ todo elemento que ti- e ver pelo menos duas coordenadas iguais. Calcule o n´mero de elementos u diagonais de A x A x A. 2. Na classifica¸˜o do sangue, as pessoas s˜o analisadas quanto ˚ ca a apresen¸a dos c + − ant´ ıgenos A, B, Rh em que se usa a terminologia Rh ou Rh conforme este ıgeno esteja presente e O se nenhum dos ant´ ant´ ıgenos A, B esteja presente. Represente, com um produto cartesiano, todas as classes de doadores. 3. Se A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, represente graficamente o conjunto A x A 4. Numa pesquisa envolvendo 1000 fam´ ılias, encomendada pelos editores das revis- tas A,B,C teve a seguinte resposta: A B C A e B A e C B e C todas 28% 30% 42% 8 10 5 3 • Quantos dos entrevistados n˜o lˆ nenhuma das revistas? a e • Quantas liam apenas a revista A? • Podemos concluir que A leitura de B implica na leitura de C para alguns dos entrevistados?
- 73. Cap´ ıtulo 3 Rela¸˜es e Fun¸˜es. co co Neste cap´ıtulo vamos estudar rela¸oes que ´ o modelo dentro do qual se encontram as c~ e fun¸oes como um caso particular. Claro, as fun¸ao s˜o de longe o exemplo mais importante c˜ c˜ a de rela¸oes. c˜ Vamos repetir o estudo de certos modelos que apareceram nos cap´ ıtulos anteriores sob uma nova vis˜o. a 3.1 Rela¸˜es. co O padr˜o intuitivo de rela¸˜o envolve dois elementos X, Y e uma lei para definir se ´ a ca e verdade que X est´ relacionado com Y, ou se, reciprocamente, Y est´ relacionado com a a X. Por exemplo, se X ⊂ Y for verdadeira, Y ⊂ X pode ser verdadeira ou n˜o, (se for, a os conjuntos s˜o iguais). Vamos usar o s´ a ımbolo R(X, Y ) para representar a frase “X est´ relacionado com Y. a Vemos desta discuss˜o que estamos fazendo referˆncia aos pares (X, Y ) de objetos a e que pertencem a determinados conjuntos. Isto nos conduz ` seguinte defini¸˜o: a ca Defini¸˜o 13 Rela¸˜o R entre os conjuntos A e B. ca ca Diremos que temos uma rela¸˜o R entre os conjuntos A, B se R identificar um ca subconjunto de A x B. Usaremos a mesma letra R para identificar este subconjunto de A x B, quer dizer que R ⊂ A x B, e mais usaremos como equivalentes: R(x, y) ´ verdadeiro ≡ (x, y) ∈ R e Quando A = B diremos: R ´ uma rela¸˜o em A. e ca Exemplo 22 Rela¸˜es aritm´ticas. co e 1. A desigualdade1 em N. Em N existe uma rela¸˜o designada pelo s´ ca ımbolo “”. Ela est´ intimamente a ligada com o princ´ ıpio da tricotomia que dizemos existir em N : 1 Neste cap´ ıtulo olhamos para N como Kronecker dizia, “Deus nos deu os n´ meros naturais, u o resto n´s fizemos.” Kronecker sabia que era muito dif´ construir o conjunto dos n´ meros o ıcil u naturais... 71
- 74. Princ´ ıpio datricotomia: Dados dois n´meros naturais m, n apenas uma das u rela¸˜es seguintes ´ verdadeira: co e • m = n; • m n; • n m; A palavra tricotomia ´ composta de duas palavras gregas, uma delas significa e “trˆs” e a outra “corte”. e Observe o significado geom´trico da tricotomia. N x N ´ o primeiro qua- e e drante consideradas apenas as coordenadas inteiras. A primeira propriedade se refere aos pares (m, m) em que as duas coordenadas s˜o iguais, quer dizer a diagonal do primeiro quadrante. a A segunda propriedade R(m, n) = “m n” isto significa que o par (m, n) se encontra acima da diagonal e portanto R ´ o e subconjunto do primeiro quadrante formado de todos os pontos que se encontram acima da diagonal. A terceira propriedade R(m, n) = “m n”representa o complemento das duas outras o que nos levaria a representar R pelo outro subconjunto que fica abaixo da diagonal, mas sem incluir a pr´pria. o 2. Uma outra rela¸˜o, menos geom´ trica ´ ⊂ . Considere os conjuntos ca e e A = {0, 1, 2, 3} ; P(A); Pelo binˆmio de Newton, card(P(A)) = 24 = 16. o A figura (fig. 3.1) mostra o diagrama de Hasse de P(A). Este tipo de diagrama ´ especial para mostrar as rela¸˜es de ordem2 , (a inclus˜o ´ uma rela¸˜o de e co a e ca ordem). Observe que no diagrama de Hasse, cada vez que um conjunto tiver menos ele- mentos, ´ maior o n´mero de linhas que o tˆm como ponto de chegada, porque e u e eles s˜o subconjuntos de quantidade maior de conjuntos. a Quando n˜o houver linha ascendente, se tem um par de conjuntos que n˜o s˜o a a a compar´veis, nenhum dos dois ´ “maior” ou “menor” do que o outro. Eles est˜o a e a no mesmo n´ ıvel. H´ v´rios tipos de rela¸˜es, vamos estudar trˆs tipos aqui: a a co e • Rela¸˜es de ordem. co • Rela¸˜o de equivalˆncia. ca e • As fun¸˜es. co Este ultimo tipo ser´ estudado em separado na pr´xima se¸˜o. Os dois primeiros ser˜o ´ a o ca a vistos logo a seguir. 2 logo a seguir discutiremos as rela¸oes de ordem c˜
- 75. {0,1,2,3} ¤ § ˆ ¥ ¦ ˆˆ $$$ ˆˆ $ $$ ˆˆ $$ ˆˆ {0,1,2} $$$ § $$ {0,1,3} {0,2,3}ˆˆˆ § §€ ¤ ˆˆ {1,2,3} ¦ €¥ € $$¨¨™ ¥ $$ ¤ § ¤ ¤ ¦ ¡ —— ¦ ˆˆ¥ 3r ˆ € € ’ — 33 r ˆˆ $$$ ¨ ¥ ¦ ¡ ’ —— 3 r ˆ €€ ™ 3 3 —— ˆˆ $ r ˆ$$$ ¨ r ¨ € €€ ™ ¡ 33 ’ —— $$ r ˆˆˆ¨ €€ ™ ¡ 33 ’ —$$$$ r — ¤ § ¤ ¨¨ ˆˆˆ ¤ r ¨ § ˆ €€§ ¤ ™ {0,1} 3 §¡ ¤ 3 § § ’ ¥ {1,2} ˜ ¥ {1,3} ¨r ¤ r ¥ {0,3} ¦ ¥2 ™ € ¦t—¥ {0,2} ˆˆˆ —— ¦£ ¦ 222 ƒ ¦ {2,3}D ¥ —— ( ( ¦ ˆˆ £ ˜ r 22 D t ˆˆ ˜ 2 22 rr ƒ t (—— £ ˆˆ ˜˜ 2 22 r D —— 2222 ˆˆ 2ˆ ˜ ˆ r r ƒ § ¤ D t ( —— £ 222 § ¤ ˆ ˆ¤ ˜ § r ƒD D t 2222 ( §¤ 2 —£ ˜ rƒ ¥ r¨ ¦ r ¦¥ ¦¥ {2} ¦¥ {3} ¨ r „ ¨ r ¨ {0} rr {1} „ ¨ ¨ ¨ r „ ¨ r ¨ r „ r r „ ¨¨ r r „ £ ¨¨ r„¨ r ¢¡ {} Figura 3.1: Diagrama de Hasse de P(A); A = {0, 1, 2, 3} 3.1.1 Rela¸˜es de ordem. co Escrevemos o t´ ıtulo desta se¸˜o no plural, e existem v´rias de rela¸˜es de ordem? ca a co Vejamos um exemplo: Exemplo 23 A ordem dos n´meros de telefone u Quando nos referimos as estruturas, no cap´ıtulo 1, ver ´ ındice remissivo, falamos de estrutura de ordem que podia ser encontrada no conjunto dos n´meros de telefones. u Para colocar em ordem o conjunto dos n´meros dos telefones precisamos primeiro u descobrir a estrutura interna que estes “n´meros” tˆem. Os n´meros u e u (021)223443, (021)332331 n˜o podem ser vistos como a 021223443, 021332331 ou, como zero n˜o vale nada, a 21223443, 21332331. Um “n´mero”3 de telefone ´ formado de se¸˜es distintas, uma delas ´ o c´digo de u e co e o ´rea. Se formos colocar em ordem: a (021)332345, (011)123345, (021)232234, (011)343321 3 estamos escrevendo com aspas a palavra “n´ mero” de telefone, porque eles n˜o s˜o u a a n´ meros de verdade, n˜o podemos fazer opera¸oes aritm´ticas com eles. u a c˜ e
- 76. primeiro ordenariamos pelosc´digos de ´rea, depois pelo corpo do n´mero do telefone: o a u (011)123345, (011)343321, (021)232234, (021)332345; de modo que todos que tenham o mesmo c´digo ´rea fiquem juntos. Portanto na o a defini¸˜o desta rela¸˜o de ordem primeiro verificariamos a ordem entre os c´digos de ca ca o ´rea, depois a ordem entre o corpo dos n´meros de telefones. a u N˜o fariamos nada disto se estivessemos colocando em ordem os n´meros inteiros a u 11123345, 11343321, 21232234, 21332345; que simplesmente comparariamos como n´meros sem olhar peda¸os dentro de cada u c um deles. Isto responde a nossa pergunta inicial: tem v´rios tipos de ordem? cuja a resposta ´“sim”. e Uma rela¸˜o de ordem menos habitual, que ´ a primeira que vamos estudar, ´ ca e e rela¸˜o de ordem entre os subconjuntos de um conjunto universo A. ca Ordem em P(A). Olhe o diagrama contido na figura (fig. 3.1), p´gina 69. As linhas que ligam os n´s a o representativos de cada conjunto est˜o indicando X ⊂ Y. Se n˜o houver nenhuma a a linha entre X, Y isto significa que nem X ⊂ Y nem Y ⊂ X. Se um conjunto X for subconjunto de outro Y ´ razo´vel dizermos que X ´ menor que do Y, pelo menos e a e porque X tem menos elementos do que Y. Ent˜o, nesta rela¸˜o de ordem h´ elementos que n˜o s˜o compar´veis. Observe os a ca a a a a conjuntos 3 a 3, eles se encontram no mesmo n´ ıvel hier´rquico relativamente a esta a rela¸˜o de ordem. As rela¸˜es seguintes s˜o falsas: ca co a {0, 1, 2} ⊂ {0, 1, 3} ; {0, 1, 3} ⊂ {0, 1, 2} Vejamos quais s˜o as propriedades de uma ordem: a Defini¸˜o 14 de ordem. ca 1. transitividade Se X ⊂ Y e Y ⊂ Z ent˜o X ⊂ Z, ´ sempre verdadeiro. a e 2. reflexividade Sempre ´ verdadeiro que X ⊂ X. e 3. anti-sim´tria Se X ⊂ Y e Y ⊂ X ent˜o X = Y. Isto ´, s´ pode acontecer e a e o desigualdades sim´tricas quando for com o mesmo elemento. Se usarmos a e nota¸˜o R acima, diriamos: R(X, Y ) e R(Y, X) se, e somente se, X = Y. ca 4. A totalidade n˜o vale N˜o ´ verdade que para qualquer par (X, Y ) valha X ⊂ Y a a e ou Y ⊂ X. Observe o que dissemos acima a respeito das linhas no diagrama de Hasse. Quer dizer que a rela¸˜o de ordem ⊂ n˜o ´ total. Quando uma ca a e ordem n˜o for total, dizemos que ela ´ parcial Dizemos ainda que P(A) n˜o a e a ´ totalmente ordenado pela inclus˜o, (veja o exemplo acima com os conjuntos e a {0, 1, 2}, {0, 1, 3}). Uma outra forma de falar: “(P(A), ⊂) ´ uma estrutura de ordem parcial”, (por e a causa da 4 propriedade que n˜o vale). a Verifique vocˆ mesmo que (N, ≤) ´ uma estrutura de ordem total, (porque vale a e e a 4 propriedade).
- 77. Exerc´ ıcio 6 Rela¸˜es de ordem co 1. Defina formalmente a ordem que existe entre as palavras da lingua portuguesa. Vamos chamar este conjunto de L. Decida (L, ≤) ´ uma ordem total? Existe um e menor elemento em L ? qual? Depende de como vocˆ definiu x ≤ y. Tem um e maior elemento? Quer dizer, L tem um m´ximo, L tem um m´ a ınimo? Observe que esta pergunta pode ser feita de outra forma: todo dicion´rio tem um come¸o? a c tem um fim? 2. Considere A = {0, 1, 2, 3} e P(A). Verifique quantas rela¸˜es do tipo X ⊂ Y ´ co e poss´ construir com X, Y ∈ P(A). ıvel 3. Vamos afrouxar um pouco a defini¸˜o de “palavra” estabelecendo que quem qui- ca ser pode definir uma nova palavra. Verifique se ´ verdade ou falso em L que, e dadas duas palavras x, y tem sempre uma palavra z; x ≤ z ≤ y. 4. Se n˜o tivessemos adotado a conven¸˜o do afrouxamento na quest˜o anterior, a ca a qual seria resposta? 5. Na estrutura de ordem (N, ≤) vale a propriedade dados dois n´ meros x, y tem u sempre um n´mero z; x ≤ z ≤ y? u Existe mais um conceito importante que vamos induzir com exemplos e ao qual voltaremos mais a frente no cap´ ıtulo 4, quando estudarmos os n´meros. u Considere P(A). H´ a´ dois “elementos” peculiares: A, {}. O primeiro, A cont´m a ı e todos os outros, e n´s diremos que ´ o m´ximo de P(A). O segundo, {} est´ contido o e a a em todos os outros, e n´s o chamaremos de m´nimo de P(A). o ı Podemos definir um conjunto chamado “das partes estritas de A. Neste conjunto n˜o entram nem A nem {}. Mas duas afirma¸˜es feitas acima continuam verdadeiras: a co A cont´m todos os outros, {} est´ contido em todos os outros. e a Mas, agora, A e {}. se encontram fora do universo dos elementos submetidos ˚ acompara¸˜o, vamos dizer que A ´ supremo do conjunto das partes estritas de A, e da ca e mesma forma {} ´ o ´ nfimo. e ı Mais dois conceitos s˜o importantes. Volte a considerar o conjunto das partes a estritas de A. Os conjuntos 3 a 3 agora s˜o os m´ ximos para uma cole¸˜o de subcon- a a ca juntos, veja quais. Como eles m˜o s˜o compar´veis, eles s˜o chamados de maximais. a a a a . Podemos dizer algo semelhantes relativamente aos conjuntos unit´ rios, agora in- a vertendo a desigualdade. Os conjuntos unit´rios s˜o os m´ a a ınimos para uma cole¸˜o de ca conjuntos, (veja quais). Mas eles n˜o s˜o m´ a a ınimos... e porisso eles s˜o chamados de a minimais. A palavra extremal faz referˆncia tanto a minimal como a maximal. e Os extremais s˜o t´ a ıpicos das rela¸˜es de ordem parcicial, mas observe que um co m´ximo ´ um maximal, e que um m´ a e ınimo ´ um minimal. e As defini¸˜es de supremo, m´ximo, m´ co a ınimo e infimo, geram confus˜o entre os que a est˜o aprendendo o assunto. a Um outro conceito ´ importante nos conjuntos ordenados parcialmente. Vamos e continuar usando P(A) como exemplo. Olhe o gr´ fico (fig. 3.1), na p´gina 69. a a Observe que alguns conjuntos est˜o ligados por linhas ascendentes desde {} at´ A. a e Eles formam o que chamamos uma cadeia, um subconjunto totalmente ordenado. Defini¸˜o 15 Cadeia ca E´ um conjunto totalmente ordenado de uma estrutura de ordem.
- 78. Um outro tipode rela¸˜o de equivalˆncia. A igualdade entre n´meros ´ um exem- ca e u e plo. 3.1.2 Rela¸˜o de equivalˆncia. ca e Uma rela¸˜o de equivalˆncia serve para classificar os objetos de um conjunto. S˜o elas ca e a que produzem as parti¸˜es de um conjunto de que j´ falamos. co a Se R for uma rela¸˜o de equivalˆncia em A ent˜o R produz uma parti¸˜o de A. ca e a ca Cada uma das partes de A assim produzidas se chama uma classe de equivalˆncia. e Vamos escrever a defini¸˜o de rela¸ao de equival^ncia: ca c~ e Defini¸˜o 16 Rela¸˜o de equivalˆncia R. Diremos que R ´ um rela¸˜o de equi- ca ca e e ca valˆncia definida em A se, e somente se, e • reflexividade R(x, x) for verdadeira para todo x ∈ A. • simetria R(x, y) ⇒ R(y, x), isto ´, se R(x, y) for verdadeira, tamb´m R(y, x) e e ser´. a • transitividade R(x, y) e R(y, z) ⇒ R(x, z), isto ´, se R(x, y) e R(y, z)forem e verdadeiras, tamb´m R(x, z) ser´. e a O conjunto de todos os elementos Y tal que R(x, y) ´ verdadeiro, se chama x a classe e de equivalˆncia de x. e Exemplo 24 Um exemplo de rela¸˜o de equivalˆncia. ca e Considere a seguinte parti¸˜o de A ca {0, 1}, {2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8}, {9}. Para obter A basta calcular a uni˜o de todas as partes, porque, por defini¸˜o, quando a ca se tem uma parti¸˜o a uni˜o dos subconjuntos recomp˜e o universo. Tamb´m, por ca a o e defini¸˜o as partes s˜o disjuntas. ca a Vamos testar as propriedades. Cada uma das partes de A listada acima ´ uma e classe de equivalˆncia. Ent˜o tomando dois elementos,x, y, em qualquer classe e a R(x, y) ⇒ R(y, x) o unico caso cr´ ´ ıtico ´ a classe {9} em que os dois elementos ser˜o iguais. Vale a e a transitividade, e novamente a classe {9} ´ a mais cr´ e ıtica para analisar, entretanto tudo que se passa ´ que os trˆs elementos para os quais a propriedade vai valer, tem e e que ser iguais, mas vale... A propriedade reflexiva ´ sempre a mais trivial de verificar, porque se n˜o valesse e a tinha um elemento x ∈ A que n˜o pertenceria a nenhuma classe, mas neste caso a a uni˜o n˜o reproduziria A. Contradi¸˜o. Assim a rela¸˜o de equivalˆncia associada a a a ca ca e parti¸˜o ca {0, 1}, {2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8}, {9}. de A serve para classificar os elementos de A que por uma raz˜o qualquer devem ficar a numa mesma classe. Exemplo 25 Classifica¸˜o de gr˜os. ca a Uma fazenda usa dois tipos de peneiras, cujos buracos tem uma diferen¸a de 1 c milimetro, para classificar feij˜o. Portanto a sua produ¸˜o de feij˜o vai ficar toda a ca a classificada em
- 79. • A1 oconjunto dos gr˜os de feij˜o pequenos, que passam em todas as peneiras. a a • A2 o conjunto dos gr˜os m´dios, que passam em uma das peneiras. a e • A3 o conjunto dos gr˜os grandes, que n˜o passam em nenhuma das peneiras. a a Verifique que valem as trˆs propriedades. e Exemplo 26 A rela¸˜o de igualdade. A rela¸˜o de igualdade ´ um tipo de rela¸˜o ca ca e ca de equivalˆncia que produz a parti¸˜o mais fina. Nela todas as classes de equivalˆncia e ca e s˜o conjuntos unit´rios. a a Exerc´ ıcio 7 Rela¸˜es co 1. Mostre que a rela¸˜o “a divide b” ´ uma rela¸˜o de ordem parcial em N. Exiba ca e ca alguns pares n˜o orden´veis. a a 2. Considere a rela¸˜o de ordem parcial “a divide b”. Tome “a=3” e encontre a ca cadeia a que “a=3” pertence. Esta correto usar o artigo definido: “a cadeia a que “a=3” pertence”? 3. Quais s˜o os minimais da rela¸˜o “a divide b” em N? H´ maximais? Verifique a ca a se todo minimal ´ ponto de partida de uma cadeia. e 4. Verifique que o teste “div´ ısivel por dois” particiona o conjunto N em duas classes de equivalˆncia. O que significa dizer que X ´ equivalente a Y nesta rela¸˜o de e e ca equivalˆncia? e 5. Verifique que o teste “div´ ısivel por trˆs” particiona o conjunto N em trˆs classes e e de equivalˆncia. O que significa dizer que X ´ equivalente a Y nesta rela¸˜o de e e ca equivalˆncia? e 6. Duas fra¸˜es s˜o ditas equivalentes se formarem uma propor¸˜o. Verifique se co a ca valem as trˆs propriedades. Dˆ exemplos de trˆs fra¸˜es equivalentes. e e e co 3.2 A defini¸˜o de fun¸˜o. ca ca As fun¸oes s˜o um tipo de rela¸ao mais simples, os gr´ficos das fun¸oes “mais c˜ a c˜ a c˜ comuns” s˜o curvas, segmentos de retas. Com muita frequˆncia vemos gr´ficos a e a de curvas nos jornais indicando como mudam ou evoluem alguns fenˆmenos. o Observe a diferen¸a entre as duas tabelas abaixo: c lista dos enfermeiros de plant˜o a enfdia seg ter qua qui sex sab dom a Eva Elias Elias Maria Elias Elson Elias b Dayse Elson Jos´e - Jo˜o a Jo˜o a Eva c Jo˜o a Eva Denise - Maria Maria Dayse d Jos´ e Maria - - Eva - - e Maria - - - Jos´e - - f - - - - Elson - - Obs.Na coluna ` esquerda se encontra a indica¸˜o das enfermarias onde os enfermeiros a ca podem ser encontrados.
- 80. enfdia seg ter qua qui sex sab dom Qtde 5 4 3 1 6 3 3 Na primeira tabela e na segunda se tem dois aspectos da mesma informa¸˜o. ca A primeira ´ descritiva, indica quais s˜o os enfermeiros que est˜o de plant˜o e em e a a a que enfermaria eles se encontram. A segunda tabela ´ quantitativa, ele registra apenas a quantidade de enfermeiros e que se encontram de plant˜o. a A segunda tabela ´ mais simples e d´ uma ideia imediata da for¸a de trabalho e a c dispon´ vel, ou do n´ ı ıvel de emergˆncia necess´rio em cada um dos dias da semana. e a Dela se pode deduzir, numa r´ pida olhadela, que h´ dois dias cr´ a a ıticos, sexta e segunda porque h´ necessidade de mais enfermeiros de plant˜o, e a quinta-feira ´ um dia de a a e paz no hospital, pelo menos habitualmente. Claro, as duas tabelas tem fun¸˜es espec´ co ıficas e n˜o podemos dizer que uma ´ mais a e importante que a outra, mas queremos salientar que a segunda tem a informa¸˜o mais ca concentrada e mais f´cil de ser percebida. Nesta se pode dizer que: a • para x ∈ {seg, ter, qua, qui, sex, sab, dom}; • existe um unico y ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}; ´ • y est´ relacionado com x. a As duas tabelas representam rela¸˜es. A primeira entre os conjuntos co S = {seg, ter, qua, qui, sex, sab, dom} e E = {Jos´, Maria, Elias, Elson, Dayse, Eva, Jo˜o} e a A segunda tabela estabelece uma fun¸˜o entre os conjuntos ca S = {seg, ter, qua, qui, sex, sab, dom} e Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Como j´ definimos, uma rela¸˜o ´ um subconjunto de um produto cartesiano. No a ca e primeiro caso temos R⊂S x E e no segundo caso temos f ⊂ S x Q. No produto cartesiano S x Q, o primeiro conjunto, S, ´ chamado dom´nio da e ı rela¸˜o e o segundo conjunto, Q, se chama de contra-dom´nio da rela¸˜o. ca ı ca Quando uma rela¸˜o R goza da propriedade: ca ∀x ∈ dom´ ınio ∃ um unico y ∈ contra-dom´ ´ ınio ; R(x, y) ela se chama fun¸ao. A segunda tabela representa uma fun¸˜o, porque para cada x do c~ ca conjunto dos dias da semana temos exatamente uma informa¸˜o associada x, chamada ca f (x) e neste caso: f (x) = quantidade de enfermeiros de plant˜o no dia x. a Observe na (fig. 3.2) um gr´fico da fun¸˜o y = f (x). a ca
- 81. Figura 3.2: Histograma dos enfermeiros. No pr´ximo gr´fico vocˆ encontra algo parecido com o que j´ deve ter visto num o a e a jornal, digamos a “evolu¸˜o do pre¸o do dolar” ao longo da semana. O gr´fico “nos ca c a diz”: inicialmente, de segunda para ter¸ a, o dolar subiu de pre¸o, passando depois c c a cair at´ sexta quando voltou a subir de novo mostrando uma tendˆncia a e e super o pre¸o mais alto obtido na segunda. Observe a (fig. 3.3) na p´gina c a 76. Este tipo de rela¸˜o, as “fun¸˜es” podem representar de modo muito simples e ca co efetivo os fatos, como descrevemos acima com a fict´ ıcia evolu¸˜o do dolar. O fato de ca que para cada x haver apenas um valor de y permite se descreva o comportamento de fenˆmenos usando as fun¸˜es. o co H´ mais uma propriedade das fun¸˜es que ainda n˜o salientamos: o conjunto que a co a chamamos dom´nio deve ser todo utilizado. Nestas condi¸˜es aqui est´ defini¸˜o de ı co a ca fun¸˜o: ca Defini¸˜o 17 de fun¸˜o definida em A e tomando valores em B. ca ca Dizemos que a fun¸˜o f est´ definida em A e toma seus valores em B : ca a f : A → B ; A ∋ x → f (x) ∈ B
- 82. ¡ 7 7 7 7 7 7 7 7l 7 7 l 7 l 7 7 l 7 7 l 7 7 l 7 l 7 l 7 l l 7 l 7 l 7 l l7 rr 55 seg ter qua qui sex sab dom seg ter ..... Figura 3.3: Evolu¸o do pre¸o do dolar. c˜ c se para todo x ∈ A houver um e somente um y ∈ B tal que o ponto (x, y) ∈ graf (f ). Leitura A express˜o f : A → B ´ lida ”f de A em B”. a e O conjunto dos pontos (x, f (x)) formam um sub-conjunto de A x B que chama- mos graf (f ), o gr´fico de f. a Nas figuras (fig. 3.2) e (fig. 3.3) vocˆ tem o gr´ fico de duas fun¸˜es. Nos gr´ficos e a co a dos exemplos que seguem, (fig. 3.4),(fig. 3.5), (fig. 3.6), vocˆ vai encontrar gr´ficos e a feitos automaticamente por um programa de C´lculo Num´rico representando fun¸˜es a e co definidas por uma express˜o alg´brica. a e Exemplo 27 1. Tomemos f (x) = x, quer dizer que os pontos que estar˜o no a gr´fico de f ser˜o apenas aqueles em que as duas coordenadas forem iguais: a a {(−10, −10), (−9, −9), (−8, −8), . . . , (10, 10)}. O dom´ ınio escolhido foi o conjunto A = {−10, −9, −8, −7, . . . , 7, 8, 9, 10}. Al´ m de aparecerem no desenho os pontos de graf (f ) tamb´m est˜o desenhados e e a os eixos de referˆncia, eixo OX e o eixo OY. Ver o gr´fico (fig. 3.4) e a
- 83. f(x) = x 10 ’data’ 5 0 -5 -10 -10 -5 0 5 10 Figura 3.4: gr´fico de f (x) = x dom´ a ınio A = {−10, −9, −8, ..., 10}. 2. Tomemos f (x) = x2 , quer dizer que os pontos que estar˜o no gr´fico de f ser˜o a a a apenas aqueles em que a coordenada y ´ o quadrado da coordenada x: e {(−5, 25), (−4, 16), (−3, 9), . . . , (3, 9), (4, 16), (5, 25)}. O dom´ ınio escolhido foi o conjunto A = {−5, −4, −3, −1, . . . , 3, 4, 5}. Al´ m de e aparecerem no desenho os pontos de graf (f ) tamb´m est˜o desenhados os eixos e a de referˆncia, eixo OX e o eixo OY. Ver o gr´fico (fig. 3.5) e a 3. Tomemos f (x) = x + 1, quer dizer que os pontos que estar˜o no gr´fico de a a f ser˜o apenas aqueles em que a coordenada y for uma unidade maior que a a coordenada x: {(−5, −4), (−4, −3), (−3, −2), . . . , (3, 4), (4, 5), (5, 6)}. O dom´ ınio escolhido foi o conjunto A = {−5, −4, −3, −1, . . . , 3, 4, 5}. Fizemos aparecer no desenho tamb´m os eixos. Ver o gr´fico (fig. 3.6) e a Defini¸˜o 18 Imagem de uma fun¸˜o ca ca Se f : X → Y for uma fun¸˜o e A ⊂ X, chama-se imagem de A por f ao conjunto ca f (A) = {y ∈ Y ; y = f (x) ; x ∈ A} f Exerc´ıcio 8 Propriedades da imagem de uma fun¸˜o Se X −→ Y for uma fun¸˜o ca ca qualquer, e A, B ⊆ X verifique que
- 84. funcao nao sobrejetiva 40 ’data’ 35 30 25 20 15 10 5 0 -6 -4 -2 0 2 4 6 Figura 3.5: Gr´fico de f (x) = x2 . a 1. f (∅) = ∅; f (X) ⊆ Y ; 2. Se A ⊂ B ent˜o f (A) ⊂ f (B); a 3. f ( i Ai ) = i f (Ai ); 4. f ( i Ai ) ⊆ i f (Ai ). Verifique tamb´m que, para imagem inversa valem e 1. f −1 (∅) = ∅; f −1 (Y ) = X; 2. Se A ⊂ B ent˜o f −1 (A) ⊂ f −1 (B); a 3. f −1 ( i Ai ) = i f −1 (Ai ); 4. f −1 ( i Ai ) = i f −1 (Ai ). 5. f −1 (Ac ) = [f −1 (A)]c em que A, B ⊆ Y.
- 85. f(x) = x+1 6 ’data’ 4 2 0 -2 -4 -6 -4 -2 0 2 4 6 Figura 3.6: gr´fico de f (x) = x + 1 dom´ a ınio A = {−5, −9, −8, ..., 5}. 3.3 Tipos de fun¸˜o. ca Uma utilidade das fun¸oes ´ transformar um conjunto n’outro de um modo c˜ e que esperamos conseguir utilizar melhor a informa¸ao contida no primeiro. c˜ Por exemplo, quando falamos emitimos “ondas sonoras” que tem intensidade, frequˆncia, e dura¸˜o que as caracterizam. Estes dados podem ser captados e ca por um microfone e gravados numa fita. Mas se quisermos transmitir a voz a uma distˆncia grande, por telefone, ent˜o temos que transform´-las em sinal a a a digital porque eles ocupam menos espa¸o, ´ uma raz˜o, e assim podem ser c e a transmitidos com maior eficiˆncia: rapidez, confiabilidade, etc... e Mas, . . . , e do outro lado? l´ est´ um humano cujo ouvido n˜o entende a a a de sinais digitais, e espera intensidade, frequˆncia e dura¸˜o para entender e ca a mensagem. Ent˜o ´ preciso transformar de volta o sinal digital em sinal a e sonoro. N˜o vamos fazer aqui digitaliza¸ao de sinais... mas vamos dar os primeiros a c˜ passos no sentido de entender como ´ que tais coisas ocorrem: quando pode- e mos transformar a e depois transformar de volta sem perder informa¸aob . c˜ aa palavra certa ´ codificar e depois decodificar. e b naverdade se perde informa¸oes sempre, mas o que se deseja ´ perder c˜ e pouco. 3.3.1 Fun¸˜o injetiva. ca O exemplo seguinte mostra como podemos, e porque raz˜o fazemos, uma trans- a ca ca ´ forma¸˜o em um conjunto de dados e sua recupera¸˜o posterior. E um exemplo simples.
- 86. Exemplo 28 Umacodifica¸˜o e sua decodifica¸˜o. Considere o seguinte conjunto de ca ca dados. A = {−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} e suponha que, no teclado o “-” est´ estragado, n˜o funciona. Ent˜o avisamos a quem a a a vai receber esta “mensagem A” que somaremos a todos os n´meros o n´mero 5 (co- u u difica¸˜o), portanto do outro lado dever´ ser feito o trabalho inverso, (decodifica¸˜o). ca a ca Ent˜o a B = T (A) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = {y ; y = x + 5}. Quem recebeu a mensagem do outro lado, conhecedor do “c´digo” vai agora subtrair o de todos os elementos do conjunto B 5 unidades para recuperar os valores primitivos: A = T −1 (T (A)) = {−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}. Isto s´ foi poss´ porque a fun¸˜o T usada para codificar tem a seguinteo propri- o ıvel ca edade: x1 = x2 ⇒ T (x1 ) = T (x2 ) quer dizer que T “separa” as imagens de pontos diferentes. Vamos ver o exemplo contr´rio, uma fun¸˜o que n˜o “separa”, ou “confunde” imagens: S(x) = x2 . Se a ca a aplicarmos S ` informa¸˜o inicial: a ca S({−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}) = {25, 16, 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9, 16, 25}. Claro, ainda aqui seria poss´ recuperar os dados sabendo de informa¸˜es adicionais, ıvel co mas seria complicado. Mas a fun¸˜o T faz o trabalho de forma mais simples e imediata, ca porque “separa” as imagens de pontos diferentes. As fun¸˜es que fazem isto, “separam” as imagens de pontos diferentes se chamam co injetivas Defini¸˜o 19 Fun¸˜o injetiva. ca ca Uma fun¸˜o f se diz injetiva se ca x1 = x2 ⇒ f (x1 ) = f (x2 ) Alguns autores preferem a palavra injetora. Observa¸˜o 12 Valores subjetivos. ca ´ E preciso salientar aqui que as fun¸˜es “injetivas” n˜o s˜o melhores que as outras. co a a N˜o usamos adjetivos em ciˆncia. O virus do HIV n˜o ´ ruim, ´ apenas um virus, e a e a e e claro, eu n˜o estou interessado em ser infectado por ele, mas ele n˜o ´ nem ruim nem a a e bom. Quem ´ ruim ou bom para um determinado indiv´ e ıduo, s˜o as consequˆncias dos a e fatos. Isto ´ subjetivo. Em suma, n˜o estamos classificando as fun¸˜es como boas ou e a co ruins. Estamos apenas classficando-as para que as possamos utilizar da forma mais adequada. A fun¸˜o S(x) = x2 pode servir para esconder informa¸˜es, tem gente que ca co gosta disto, e at´ precisa disto. e Exerc´ ıcio 9 Fun¸˜es injetivas, (ou n˜o). co a 1. Identifique quais das rela¸˜es abaixo n˜o ´ fun¸˜o injetiva, ou nem ´ fun¸ao co a e ca e c~
- 87. f (a) U : −→ W ; U = {1, 2, 3}; W = {0, 2, 4, 5} ; x → y = 2x − 2 f (b) U : −→ W ; U = {1, 2, 3, 4}; W = {0, 2, 4, 5} ; x → y = 2x − 2 f (c) U : −→ W ; U = {1, 2, 3}; W = {0, 2, 4, 5} ; x → 0 f (d) U : −→ W ; U = {2, 3, 4}; W = {0, 2, 4, 5} ; 0 se x for par f (x) = 1 se x for impar f (e) U : −→ W ; U = {1, 2, 3}; W = {0, 2, 4, 5} yx⇒x→y 2. Crie uma express˜o gr´fica adequada para cada uma das rela¸˜es do item ante- a a co rior. 3.3.2 Fun¸˜o sobrejetiva. ca Dos exemplos contidos no exerc´ 1, vamos considerar o seguinte: ıcio f U : −→ W ; U = {1, 2, 3}; W = {0, 2, 4, 5} ; x → y = 2x − 2. f U : −→ W ´ uma fun¸˜o, mas n˜o faz uso de todos os elementos do contra-dom´ e ca a ınio W. Observe que 5 ∈ W n˜o ´ imagem de nenhum x ∈ U. a e Diremos que esta fun¸˜o n˜o ´ sobrejetiva, porque ela n˜o utiliza todos os pontos ca a e a do contradom´ınio. Exemplo 29 Tornando sobrejetiva uma fun¸˜o. O gr´fico na figura (fig. 3.7) tamb´m ca a e cont´ m uma fun¸˜o que n˜o ´ sobrejetiva se dom´ e ca a e ınio for A = {−5, −4, −3, ..., 5} e o contra-dom´ ınio for {−25, −24, . . . , 24, 24}. Deixe-nos salientar o condicional que empregamos: “A fun¸˜o n˜o ´ sobrejetiva se ca a e ınio for A = {−5, −4, −3, ..., 4, 55} e o contra-dom´ dom´ ınio for {−25, −24, . . . , 24, 24}′′ . Porque podemos mudar o contra-dom´ ınio da fun¸˜o, e consequentemente redefin´ ca ı- la, estabelecendo: f : A → {0, 1, 4, 9, 16, 25} e agora estaria usando todos os elementos do contra-dom´ ınio, claro, porque descartamos aqueles que n˜o estavam sendo usados a antes. Defini¸˜o 20 Fun¸˜o sobrejetiva. ca ca f Diremos que uma fun¸˜o U : −→ W ´ sobrejetiva, se para todo y ∈ W existir ca e x ∈ U tal que y = f (x). Alguns autores preferem a palavra sobrejetora. Exerc´ ıcio 10 Fun¸˜es sobrejetivas. co 1. Identifique quais das fun¸˜es abaixo n˜o ´ sobrejetiva e, sendo o caso, a redefina co a e para que se torne sobrejetiva.
- 88. funcao nao sobrejetiva 40 ’data’ 35 30 25 20 15 10 5 0 -6 -4 -2 0 2 4 6 Figura 3.7: f (x) = x2 esta fun¸ao n˜o ´ sobrejetiva se dom´ c˜ a e ınio A = {−5, −4, −3, ..., 5}; contra-dom´ ınio = {−25, −24, . . . , 24, 24}. f (a) U : −→ W ; U = {1, 2, 3}; W = {0, 2, 4} ; x → y = 2x − 2 f (b) U : −→ W ; U = {1, 2, 3, 4}; W = {0, 2, 4, 8, 10, 12} ; x → y = 2x − 2 f (c) U : −→ W ; U = {1, 2, 3}; W = {0, 2, 4, 5} ; x → 0 f (d) U : −→ W ; U = {2, 3, 4}; W = {0, 1, 2, 3} ; x → 0 ⇐ x par ; x → 1 ⇐ x impar f (e) U : −→ W ; U = {1, 2, 3}; W = {0, 2, 4, 5} ; x → y ⇐ y x 2. Crie uma express˜o gr´fica adequada para cada uma das rela¸˜es do item ante- a a co rior depois das mofica¸˜es feitas. co 3.3.3 Fun¸˜o bijetiva. ca A defini¸˜o de uma fun¸˜o bijetiva ´: ca ca e Defini¸˜o 21 Fun¸˜o bijetiva. ca ca f Diremos que uma fun¸˜o U : −→ W ´ bijetiva, se for sobrejetiva e injetiva. Alguns ca e autores preferem a palavra bijetora. N´s vimos nos exemplos sobre fun¸˜es n˜o sobrejetivas que isto pode ser “corrigido” o co a retirando-se pontos do contra-dom´ ınio que n˜o estejam sendo utilizados. De forma a
- 89. an´loga podemos tirarpontos do dom´ a ınio que tenham valores comuns com outros pontos de modo que a fun¸˜o se “torne” injetiva4 . ca S˜o as fun¸˜es bijetivas as ideais para se fazerem as codifica¸˜es ou decodifica¸˜es a co co co das quais falavamos, uma vez que elas identificam os dois conjuntos, o dom´ ınio e o contra-dom´ ınio. Cada ponto de um destes conjuntos corresponde a um e a somente um ponto do outro conjunto. Desta forma se pode transformar um conjunto no ou- tro e depois desfazer a transforma¸˜o sem perda de informa¸˜o. As palavras-chave ca ca aqui s˜o codifica¸ao e decodifica¸ao. E a c~ c~ ´ isto que fazemos a todo momento com as telecomunica¸˜es transformando certos fatos f´ co ısicos da realidade em sinais digita- lizados, enviando estes dinais digitalizados e depois transformando de volta os tais fatos f´ısicos5 ao seu estado anterior. Como j´ dissemos, perdemos informa¸˜es nestas a co transforma¸˜es mas o que se perde n˜o ´ vis´ vel ou aud´ de forma que do ponto de co a e ı ıvel vista de nossas comunica¸˜es fica tudo perfeito. co Exerc´ ıcio 11 Fun¸˜es bijetivas. co 1. Identifique quais das fun¸˜es abaixo n˜o ´ fun¸˜o bijetiva, e sendo o caso mo- co a e ca difique o dom´ınio, ou contra-dom´ınio, fazendo a modifica¸˜o mais econˆmica, ca o para obter uma fun¸˜o bijetiva. ca f (a) U : −→ W ; U = {1, 2, 3}; W = {0, 2, 4, 6} ; x → y = 2x − 2 f (b) U : −→ W ; U = {1, 2, 3, 4}; W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} ; x → y = 2x − 2 f (c) U : −→ W ; U = {1, 2, 3}; W = {0, 2, 4, 5} ; x → 0 f (d) U : −→ W ; U = {2, 3, 4}; W = {0, 2, 4, 5} ; x → 0 ⇐ x par ; x → 1 ⇐ x impar f (e) U : −→ W ; U = {1, 2, 3}; W = {0, 2, 4, 5} ; x → y ⇐ y x 2. Crie uma express˜o gr´fica adequada para cada uma das rela¸˜es do item ante- a a co rior, depois feitas as modifica¸˜es necess´rias. co a 3.4 Fun¸˜es polinomiais co Vamos estudar polinˆmios a parte no ultimo cap´ o ´ ıtulo. Agora vamos estudar dois tipos de polinˆmios, do primeiro e do segundo grau. o Parte do nosso objetivo s˜o as equa¸oes polinomiais de grau menor ou igual a c˜ a dois e um estudo gr´fico das fun¸oes que podemos definir com estes po- a c˜ linˆmios. o 3.4.1 A fun¸˜o linear afim ca Resumo. As fun¸oes lineares afins s˜o definidas por meio dos polinˆmios do primeiro grau: c˜ a o f (x) = ax + b ´ uma fun¸ao linear afim se a = 0. e c˜ Os gr´ficos destas fun¸oes s˜o retas, as progress˜es aritm´ticas s˜o fun¸oes deste tipo. Vere- a c˜ a o e a c˜ mos isto aqui. 4a express˜o “se torne” ´ incorreta, mas bastante usada, na verdade ao fazerem tais modi- a e fica¸oes, se redefine a fun¸ao, se tem uma nova fun¸ao. c˜ c˜ c˜ 5 como se um sinal digitalizado n˜o fosse um “fato f´ a ısico”...
- 90. Um polinˆmio doprimeiro grau ´ uma express˜o do tipo o e a ax + b em que a, b s˜o dois n´meros dados e x ´ uma vari´vel. Costumamos escrever a u e a P (x) = ax + b para indicar que x pode assumir valores. Quer dizer que P pode ser entendido como um fun¸˜o e n´s podemos ent˜o calcular seu valor em um n´mero: ca o a u P (3) = 3a + b; P (0) = b; P (−1) = b − a; P (1) = a + b. Propriedades das fun¸˜es do primeiro grau co Uma propriedade fundamental das fun¸˜es do primeiro grau diz respeito ˚ co adiferen¸a. c Vejamos o que significa isto. Seja f (x) = ax + b, uma fun¸˜o cuja equa¸˜o ´ um polinˆmio do primeiro grau. ca ca e o Acompanhe as contas que faremos agora, em seguida logo vamos analisar o que fizemos, se vocˆ sozinho n˜o chegar `s suas pr´prias conclus˜es. e a a o o Ent˜o: a f (x + ∆x) − f (x) = a(x + ∆x) + b − (ax + b) = ax + a∆x + b − ax − b = a∆x Vamos analisar o que fizemos. Primeiro usamos o s´ımbolo ∆x para representar um acr´ scimo. Assim calculamos e o valor da varia¸˜o de f relativamente ao acr´scimo ∆x. ca e O resultado foi que a varia¸˜o de f ´ proporcional ao acr´scimo. Vamos repetir as ca e e contas com uma pequena modifica¸˜o e em seguida analisaremos o resultado: ca ∆f = f (x + ∆x) − f (x) = a(x + ∆x) + b − (ax + b) = ax + a∆x + b − ax − b = a∆x. Logo, ∆f = a∆x O acr´ scimo de f , e o acr´scimo da vari´ vel, se encontram na propor¸˜o: e e a ca ∆f = a∆x. Observe que a vari´vel x desapareceu nas contas. Quer dizer que esta propor¸˜o entre a ca ∆f e ∆x n˜o depende de x. Esta ´ uma propriedade fundamental das fun¸˜es do a e co primeiro grau que vamos explorar muito. Observe na figura (fig. 3.8) p´gina 85, a O s´ ımbolo ∆ com frequˆncia representa diferen¸as ou acr´scimos, como no presente e c e texto. A figura (fig. 3.8) p´gina 85, traz o gr´ fico de uma reta e sugere que este gr´fico a a a corresponde ˚ c˜o f (x) = ax + b. Vamos ver que isto ´ verdade, que os gr´ficos de afun¸a e a fun¸˜es lineares afins s˜o retas. co a As contas que fizemos acima, associando ∆f, ∆x nos dizem que
- 91. f(x) = ax+ b 1 0 1 0 1 0 ∆ f = a ∆x 1 0 ∆f 11 111111 00 000000 1 0 1 0 1 0 1 0 ∆x 1 0 1 0 1 0 1111 0000 ∆f 1 0 ∆x 111111111111111 111111 000000000000000 000000 p 1 0 q q+ ∆ x p+ ∆ x triangulos semelhantes Figura 3.8: Diferen¸a: propor¸ao constante na fun¸ao do linear afim. c c˜ c˜ • quando nos afastamos de um ponto x = p com um acr´scimo ∆x se produz um e acr´scimo ∆f = a∆x no valor de y = f (p). e • a figura (fig. 3.8) nos diz que ´ irrelevante o ponto em que isto ´ feito: no ponto e e x = q podemos ver outro triˆngulo semelhante ao primeiro feito quando x = p. a • Como os triˆngulos s˜o semelhantes, porque os lados s˜o proporcionais, ent˜o a a a a as hip´tenusas dos mesmos v˜o ficar sobre uma mesma dire¸˜o. o a ca • A conclus˜o a que podemos chegar com estes dados ´ que a fun¸˜o y = f (x) = a e ca ax + b tem como gr´fico uma reta. a Demonstramos assim o teorema: Teorema 23 Gr´fico das fun¸˜es lineares afins O gr´fico das fun¸˜es lineares afins a co a co s˜o retas. a Como uma reta fica determinada por dois pontos, basta que calculemos dois pontos do gr´fico: a (x1 , f (x1 )), (x2 , f (x2 )) e tra¸ar a reta que passa por estes dois pontos. c Exerc´ıcios 15 Diferen¸as, gr´ficos Para cada um dos itens abaixo, fa¸a o gr´fico da c a c a fun¸˜o e da diferen¸a solicitada. ca c 1. Considere f (x) = 3x + 2. Calcule ∆f para o acr´scimo ∆x = 1 quando p ∈ e {−3, −1, 0, 1, 2}.
- 92. 2. Considere f(x) = −3x + 2. Calcule ∆f para o acr´scimo ∆x = 1 quando p ∈ e {−3, −1, 0, 1, 2}. 3. Considere f (x) = 3x − 2. Calcule ∆f para o acr´scimo ∆x = 1 quando p ∈ e {−3, −1, 0, 1, 2}. 4. Considere f (x) = −3x − 2. Calcule ∆f para o acr´scimo ∆x = 1 quando p ∈ e {−3, −1, 0, 1, 2}. 5. Considere f (x) = 3x + 2. Calcule ∆f para o acr´scimo ∆x = 2 quando p ∈ e {−3, −1, 0, 1, 2}. 6. Considere f (x) = 3x + 2. Calcule ∆f para o acr´scimo ∆x = 3 quando p ∈ e {−3, −1, 0, 1, 2}. O coeficiente angular e coeficiente linear O n´mero a na equa¸˜o da fun¸˜o linear afim f (x) = ax + b ´ o quocientes entre os u ca ca e comprimentos dos catetos de qualquer triˆngulo obtido, como na figura (fig. 3.8). Isto a quer dizer que a = tg(α) em que α ´ o angulo que a reta faz com o eixo OX. e Observe na figura (fig. 3.9) p´gina 86, o ˆngulo α e o quociente ∆f representados a a ∆x em dois pontos diferentes do gr´fico. a f(x) = ax + b 1 0 1 0 1 0 ∆ f = a ∆x 1 0 ∆f 11 111111 00 000000 1 0 1 0 α 1 0 1 0 ∆x 1 0 1 0 1 0 1111 0000 α ∆f 1 0 ∆x 111111111111111 111111 000000000000000 000000 p 1 0 q ∆f tg( α)= −−−−−− ∆x Figura 3.9: a tangente do angulo α ´ a. ˆ e O outro coeficiente na express˜o polinomial que define f (x) = ax + b, o n´mero b a u se chama coeficiente linear. Ele ´ o valor de f no ponto x = 0 portanto corresponde e ˚ asegunda coordenada do ponto em que a reta y = ax + b corta o eixo OX. Na figura (fig. 3.10) p´gina 87, vocˆ pode ver o gr´fico da reta y = 2x + 1 a e a observando os pontos em que o gr´fico corta os eixos. a
- 93. O gr´fico cortao eixo OY no ponto (0, 1), sendo 1 = f (0). O ponto em que o a gr´fico corta o eixo OX ´ quando y = 0. Se substituirmos na equa¸˜o y = 2x + 1 a e ca teremos: 1 y = 0 = 2x + 1 ⇒ 2x + 1 = 0 ⇒ 2x = −1 ⇒ x = − . 2 Como este ponto foi obtido como solu¸˜o de uma equa¸˜o associada ˚ c˜o y = f (x) ca ca afun¸a dizemos que ´uma raiz da fun¸˜o. e ca Como as fun¸˜es do primeiro grau tem por gr´fico uma reta, elas s´ podem cortar co a o os eixos uma vez (a n˜o se que se confundam com os mesmos). Isto representa um a teorema importante: as equa¸˜es do primeiro grau tem uma unica solu¸˜o: co ´ ca Teorema 24 Solu¸˜es das equa¸˜es do primeiro grau As equa¸˜es do primeiro grau co co co ax + b = 0 tem uma unica solu¸˜o: ´ ca b x=− . a y = 2x + 1 =f(x) (0,1) ∆ y ∆y ________ = 2 x=0 ∆ x ∆x −1 ( ____ ,0 ) 2 y=0 f(x) =0 Figura 3.10: Os pontos em que uma fun¸ao linear afim corta os eixos. c˜ Exerc´ ıcios 16 Coeficiente angular da reta 1. Trace as retas cujas equa¸˜o s˜o ca a y = −1x + 3 2 y= x+3 2 y= 3−x 3 y = −2x + 1 2. Para cada uma das retas do item anterior, marque os pontos em que elas cortam os eixos. Resolva as equa¸˜es do primeiro grau associadas a cada uma das retas. co
- 94. 3. Para cadauma das retas do primeiro item, calcule os valores de y = f (x) quando: a) x = −1 b) x = 0 c) x = 1 d) x = 2 ∆y 4. Para cada equa¸˜o y = ax + b no primeiro item, calcule ∆x . Observe que que ca o quociente ´ o coeficiente angular de cada reta. Desenhe em cada reta um e triˆngulo retˆngulo dando um valor espec´ a a ıfico para ∆x e escolhendo um ponto x = p. Observe o gr´fico (fig. 3.8), na p´gina 85. a a 5. Uma reta de coeficiente angular −2 passa no ponto (−3, 1). Encontre a equa¸˜o ca desta reta. 6. Encontre a equa¸˜o da reta que passa no pontos ca (−3, 0), (2, 5). Fun¸˜o linear ca Quando o coeficiente linear, na fun¸˜o linear afim ´ zero, n´s chamamos a fun¸˜o ca e o ca polinomial correspondente de linear. Defini¸˜o 22 Fun¸˜o linear ca ca Se em f (x) = ax + b o coeficiente linear, b = 0, for zero, a fun¸˜o f (x) = ax ´ ca e chamada de linear. Como o coeficiente linear ´ zero, as fun¸˜es lineares passam na origem: f (0) = 0. e co Nos gr´ficos das fun¸˜es lineares, sempre podemos escolher um dos triˆngulos que a co a tem a hipotenusa sobre o gr´fico com um dos v´rtices na origem. Ver na figura (fig. a e 3.11) p´gina 89, a Nas fun¸˜es lineares y = f (x) = ax o coeficiente de proporcionalidade se aplica co diretamente ˚ avari´vel para obter o valor da fun¸˜o sem mais outro c´lculo. a ca a Exerc´ ıcios 17 Fun¸˜es lineares co 1. O trabalho de um pedreiro ´ pago de acordo com f (t) = at em que t representa e o tempo em dias e a representa o valor da di´ria. Quanto vai ganhar o pedreiro a em 30 dias de trabalho se a di´ria vale R$15,00. a 2. Um bombeiro hidr´ulico cobra R$2,00 por hora (ou fra¸˜o de hora) de trabalho a ca mais uma taxa de R$10,00 por visita. Escreva a fun¸˜o do primeiro grau que ca descreve o pre¸o do seu trabalho num dia, junto a um cliente, e decida se ´ uma c e fun¸˜o linear. ca 3. Um bombeiro hidr´ulico cobra R$2,00 por hora (ou fra¸˜o de hora) de trabalho a ca mais uma taxa de R$10,00 por visita. Como o bombeiro fez tres visitas, tendo na primeira trabalhado durante 2 horas, na segunda 2 horas e meia e na terceira 5 horas, fa¸a o gr´fico que descreve o c a seu rendimento neste dia de trabalho. Defini¸˜o 23 Progress˜o Aritm´tica ca a e Uma sucess˜o {a0 , a1 , . . . an } se diz uma progress˜o aritm´tica, “p.a.” se a a a e diferen¸a entre quais quer dois termos sucessivos for constante: c ak+1 = ak = ∆
- 95. OY y = 2x =f(x) (0,0) ∆ y ________ = 2 2 ∆ x ∆y −1 ∆x 1 OX (−1,−2) −2 f(−1)=−2 Figura 3.11: A fun¸ao linear y = 2x. c˜ Esta diferen¸a constante ´ chamada de raz˜o da progress˜o aritm´tica. c e a a e A express˜o ak ´ chamada termo geral da p.a. a e 4. Construindo p.a. (a) Construa uma p.a. com 10 termos tal que a0 = 1 e a raz˜o ∆ = 2 a (b) Construa uma p.a. com 10 termos tal que a9 = 18 e a raz˜o ∆ = 2 a (c) Construa uma p.a. com 10 termos tal que a0 = 1 e a raz˜o ∆ = −2 a (d) Construa uma p.a. com 10 termos tal que a4 = 1 e a3 = 2 5. Termo geral de uma p.a. Verifique que se a raz˜o de uma p.a. ´ ∆ ent˜o o seu a e a termo geral pode ser escrito em fun¸˜o do primeiro termo, a0 como ca ak = a0 + (k − 1)∆. Escreva a express˜o do ultimo termo, an−1 . a ´ 6. Numa p.a. com 10 termos o ultimo termo ´ a9 = 26. Determine o termo geral ´ e sabendo que a0 = −1. 7. Mostre que os ganhos do bombeiro hidr´ulico (exerc´ a ıcio acima) tem seus ganhos definidos por uma p.a. ao longo de um dia de trabalho, em que k ´ o tempo e em horas inteiras, (descontando o tempo que ele leva para se translatar de um cliente a outro) 8. Um t´cnico de TV e v´ e ıdeocassete cobra 40 reais pela visita e 4 reais pela hora de trabalho (ou fra¸˜o). Quanto lhe vai render um servi¸o que tiver durado 2 horas ca c e vinte minutos.
- 96. 9. Em duascidades A,B, as tabelas de corrida de taxi s˜o definidas assim: a (a) Em A R$2,00 custa o quil´metro rodado (ou fra¸˜o) e a bandeirada vale o ca R$1,50; (b) em B R$1,50 custa o quil´metro rodado (ou fra¸˜o), e a bandeirada vale o ca R$2,00 Fa¸a os gr´ficos das curvas de pre¸o dos taxis nas duas cidades e conclua se o c a c taxi ´ mais barato em alguma das cidades. e 10. Mostre que o termo geral de uma p.a. pode ser escrito como uma fun¸˜o do ca primeiro grau: f (x) = a + (x − 1)b e identifique usando as express˜es ak , ∆ a o raz˜o, o primeiro termo, e o termo geral desta progress˜o aritm´tica. a a e 11. Mostre que numa p.a. a m´dia aritm´tica de tres termos consecutivos ak , ak+1 , ak+2 e e ak +ak+3 ´ ak+2 = e 2 . 12. Encontre x sabendo que 3, x, 10 s˜o os termos consecutivos de uma p.a. a 13. Decida se ´ verdade: “os mandatos dos presidentes da rep´blica do Brasil, ocor- e u rem segundo uma p.a.”. 14. Decida se ´ verdade, e se for escreva a p.a. correspondente: “as datas em que o e cometa Haley se torna vis´ em nosso horizonte formam uma p.a.” ıvel 15. Quantos s˜o os m´ltiplos de 7 entre 1000 e 2000 ? a u 16. Calcule o valor de x, y, z na p.a. 5, x, 13, y, 21, z, 29 17. termos equidistantes Por defini¸˜o, dizemos que os termos ak , an−k s˜o termos ca a equidistantes dos extremos numa p.a. Prove que a soma de todos os termos equidistantes ´ constante, e calcule este valor relativamente a p.a. e a0 , a1 , . . . , a n . 18. F´rmula da soma dos termos Deduza do teorema anterior que o n (a0 + an )n ak = a0 + a1 + . . . + an = 2 k=0 19. Considere uma p.a. a0 , a1 , . . . , a n . com raz˜o ∆. Uma outra sucess˜o ´ obtida, desta, mantendo-se o primeiro e o a a e ultimo termo, mas considerando-se como raz˜o ∆ . Calcule a soma dos termos ´ a 2 da nova progress˜o em termos da soma dos termos da primitiva. a 20. Numa sucess˜o o termo geral ´ sk = ak + b em que a, b s˜o dois n´meros dados. a e a u Mostre que esta sucess˜o ´ uma p.a. a e 21. Calcule a soma dos n primeiros n´meros naturais. Existe alguma diferen¸a no u c resultado, considerada a polˆmica sobre se o zero ´ ou n˜o um n´mero natural? e e a u 22. Escreva o termo geral da p.a. formada pelos n primeiros n´meros naturais u ´ ımpares. 23. Numa p.a. de termo geral an o primeiro termo ´ a0 = 5 e a raz˜o ´ 2. Escreva e a e a express˜o do termo geral e calcule a20 . a
- 97. 24. Numa p.a.tem-se a10 = 17, a0 = 13. Calcule a3 , a5 . 25. Numa p.a a10 = 17, a6 = 13. Calcule a5 − a3 . 26. Calcule a soma dos n primeiros n´meros naturais ´ u ımpares. 27. Um grupo de pessoas almo¸ou num restaurante decidindo ao final ratear o custo c de $R 240,00 da refei¸˜o, quando, quatro pessoas do grupo disseram-se impos- ca sibilitadas de participar dos gastos o que aumentou em $R 5,00 o que cada uma das outras teve que pagar. Quantos eram os membros do grupo ? Solu¸˜o: Vamos designar por x o n´mero total de pessoas do grupo e portanto ca u o pre¸o, por pessoa do rateio seria 240 ficando este pre¸o acrescido de $R 5,00 c x c 240 quando quatro pessoas n˜o puderam pagar: x + 5. Este ´ o valor que cada um a e dos x − 4 restantes do grupo tiveram que pagar individualemnte, portanto igual 240 a x−4 . Isto nos conduz ` equa¸˜o a ca 240 240 x−4 = x +5 240x = 240(x − 4) + 5(x − 4)x −48.4 + x2 − 4x = 0 −192 − 4x + x2 = 0 A raiz positiva desta equa¸˜o ´ 16, a outra ´ −12 sendo, portanto, a resposta “eram ca e e 16 os membros do grupo”. Defini¸˜o 24 Progress˜o Geom´trica ca a e Uma sucess˜o {a0 , a1 , . . . an } se diz uma progress˜o geom´trica, “p.g.” se a a a e quociente entre quais quer dois termos sucessivos for constante: ak+1 =r ak Este quociente constante ´ chamado de raz˜o da progress˜o geom´trica. e a a e 28. Mostre que numa p.g. a m´dia geom´trica de tres termos consecutivos sk , sk+1 , sk+2 e e √ ´ sk+2 = ak ak+3 . e 29. Encontre x sabendo que 9, x, 81 s˜o os termos consecutivos de uma p.g. a 30. F´rmula da soma dos termos de uma p.g. Deduza do teorema anterior que o n (a0 + an )n ak = a0 + a1 + . . . + an = 2 k=0
- 99. Cap´ ıtulo 4 Conjuntos num´ricos e fundamentais. Neste cap´ ıtulo vamos seguir o conselho de Kroneker e considerar o conjunto dos n´ meros u naturais absolutamente bem conhecido. A partir dele construiremos o conjunto dos n´ meros u inteiros e depois com este ultimo construiremos o conjunto dos n´ meros racionais. Final- ´ u mente, faremos a constru¸ao geom´trica do conjunto dos n´ meros reais, a reta real, seguindo c˜ e u uma receita de David Hilbert, contida no seu famoso livro “fundamentos da geometria” e depois mostraremos que esta constru¸ao geom´trica e algebricamente compat´ c˜ e ıvel com a es- trutura do conjuntos dos n´ meros racionais que ser´ ent˜o visto como um subconjunto da u a a reta real. 4.1 ˜ O conjunto dos nAo meros naturais. N˜o, n˜o vamos construir o conjunto N. Vamos apenas falar um pouco dele a a e construir alguns exemplos para estabelecer uma linguagem adequada para o resto do cap´ıtulo. Vamos deixar claro o que j´ sabemos sobre N, estabelecer as regras do jogo. a Como dissemos em nossos primeiros exemplos sobre estrutura, um conjunto pode ser pode ser um agregado amorfo de objetos. Quando observamos que algumas propriedades ou m´todos se encontram presentes, o conjunto passa a e ser uma estrutura. H´ v´rios tipos de estrutura em Matem´tica: estruturas a a a alg´bricas, ver [3] ou [5], estruturas topol´gicas, estruturas geom´tricas, etc... e o e Cada uma destas estruturas define um campo de atividade em Matem´tica e a a intera¸ao entre elas ´ fazer Matem´tica. c˜ e a Vamos “descobrir” qual ´ estrutura alg´brica de N. e e 4.1.1 A estrutura alg´brica de N. e Temos dois m´todo em N para construir mais um elemento do conjunto a partir de e dois conhecidos: • a adi¸˜o ´ um desses m´todos simbolizada por c = a + b em que c ´ o novo ca e e e elemento obtido a partir de dois outros a, b ∈ N. • a multiplica¸˜o ´ o outro m´todo simbolizada por c = a x b em que c ´ o ca e e e ˜ o vida novo elemento obtido a partir de dois outros a, b ∈ N. Quando n˜o h´ dA a a 97
- 100. a multiplica¸˜o ´simbolizada por justaposi¸˜o: 3a = 3 x a. Entretanto, em ca e ca N, a multiplica¸˜o ´ soma repetida, 3a = a + a + a. ca e • N tem um primeiro elemento N´s adotaremos o zero como este primeiro o elemento. H´ autores que preferem que seja 1. O essencial ´ verdade que N tem a e um primeiro elemento. Todos os outros s˜o obtidos como soma repetida deste a primeiro elemento com o 1. • sucessor Em particular diremos que a + 1 ´ o sucessor de a. Isto quer dizer que e ˜ entre a e a + 1 n˜o h´ nenhum nAo mero natural. a a • Consequentemente podemos construir o conjunto N – Com o primeiro elemento; – Com o “m´todo” de determina¸˜o do sucessor. e ca ˜ Foram estes tres Ao ltimos axiomas que Peano descobriu. Infelizmente os axiomas de Peano se aplicam com perfei¸˜o ao conjunto ca {−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} em que −5 ´ o primeiro elemento, logo tamb´m, segundo Peano, e e N = {−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} o que naturalmente n˜o ´ verdade. Isto apenas mostra a fraqueza dos axiomas de a e u ´ Peano para definir “n´mero natural”. E melhor, portanto, evitar a defini¸˜o e aderir ca ` frase de Dedekind, ”Deus criou os n´meros naturais, e resto n´s criamos.” a u o co o a ˜ Usando todas estas informa¸˜es podemos provar, (mas n´s n˜o vamos fazAa -lo): Teorema 25 Propriedades de (N, +, ·). 1. A adi¸˜o ´ comutativa. ca e 2. A adi¸˜o ´ associativa. ca e 3. Existe o elemento neutro para a adi¸˜o, se considerarmos 0 como primeiro ele- ca mento de N. 4. A multiplica¸˜o ´ comutativa. ca e 5. A multiplica¸˜o ´ associativa. ca e 6. Existe o elemento neutro para a multiplica¸˜o. ca 7. A multiplica¸˜o ´ distributiva relativamente ` adi¸˜o. ca e a ca 8. (∀ a ∈ N) (0 x a = 0), e se a x b = 0 ent˜o a = 0 ou b = 0. a Usaremos este conjunto para construir todos os demais conjuntos num´ricos que e se usa em Mamtem´tica. Os exerc´ a ıcios seguintes s˜o um exemplo de constru¸˜o t´ a ca ıpica do in´ do s´culo 20 quando houve uma intensa atividade objetivando uma rigorosa ıcio e linguagem matem´tica. Hoje sabemos que este rigor todo ´ invi´vel sem criar con- a e a tradi¸˜es. N˜o sabemos porque, mas ´ assim. Se vocˆ n˜o se sentir motivado para co a e e a fazer os exerc´ ıcios, deixe-o de lado, e talvez volte aos mesmos n’outra ocasi˜o. a Exerc´ ıcio 12 Uma pequena amostra do “Principia”. 1. Quantos elementos tˆm os conjuntos seguintes: e
- 101. a) {a} b) {{a}} c){{{a}}} d) {{a}, {a}} a) {} b) {{}} c){{{}}} d) {{}, {}} 2. Verifique que {} ∪ {} = {}. Verifique que {{}} ∪ {} = {{}}. 3. Verifique que a uni˜o dos conjuntos {a}, {{a}} ´ um conjunto com dois elemen- a e tos. 4. Verifique que a uni˜o dos conjuntos {{}}, {{{}}} ´ um conjunto com dois ele- a e mentos. 5. Defina um m´todo que consista em criar um novo conjunto unit´rio a partir de e a {} inserindo o elemento {}. Verifique que este m´todo ´ equivalente a opera¸˜o e e ca de sucessor de Peano no sentido de que com a uni˜o produz um novo conjunto a cujo cardinal ´ maior do que dos conjuntos existentes. e Observa¸˜o 13 Unidade ´ um conceito realativo ca e Em algum momento na hist´ria, algum rei decidiu que a unidade era o seu bra¸o. o c Em 1979, com a Revolu¸˜o Francesa, se passou a pensar em unidades universais ca e os revolucion´rios franceses, para se oporem aos aristocratas ingleses, criaram o a sistema m´trico que foi adotado no mundo inteiro, exceto na Inglaterra e nos Estados e Unidos. Mas mesmo nestes pa´ ıses, veladamente, ´ feito o uso do sistema m´trico. e e Mas h´ momentos em que vocˆ n˜o consegue encontrar nenhum padr˜o de unidade a e a a ` sua volta, mas precisa de estabelecer o que ´ a unidade. a e Escolha algo que esteja a sua volta e que possa servir para comparar com outras coisas, esta ser´ a sua unidade, naquele momento. a Suponha que vocˆ queira construir um quadrado de lado (a + b). Serviria para e ilustrar o produto not´vel (a + b)2 . Se vocˆ tiver ` m˜o uma folha de isopor e quiser a e a a construir pequenos retˆngulos, a unidade mais pr´tica poder´ ser a expessura desta a a a folha. ´ E vocˆ quem determina o que unidade, apenas mantenha a sua unidade o tempo e todo. Observa¸˜o 14 A constru¸˜o feita por N de Russel ca ca ˜ Foi este m´todo ardiloso que levou Russel e Whitaker a constuirem os nAo meros e naturais tendo zero como primeiro elemento. Para quem for curioso, havia um exem- ˜ plar do Principia Matem´tica na biblioteca da Univ. Federal do CearA¡. a Ent˜o, “uni˜o do vazio com o vazio, resulta no vazio” e “reuni˜o do vazio com um a a a conjunto unit´rio, resulta num conjunto unit´rio”. a a ˜ N˜o estamos sugerindo que vocAa siquer deva ler o Principia, mas se alguma a e o ˜ vez vocˆ se decidir por se aprofundar em L´gica, sem dAo vida que este poder´ ser um a caminho. 4.1.2 A ordem em N. Da mesma forma como sabemos tudo sobre adi¸˜o e multiplica¸˜o tamb´m sabemos ca ca e tudo sobre a rela¸˜o de ordem em N. Vamos listar suas propriedades para referˆncia ca e posterior. Teorema 26 da estrutura de ordem em N.. Existe uma rela¸˜o de ordem em N compat´ com o m´todo de sucessor ca ıvel e mm+1 e tal que que
- 102. • ∀ p∈N m ≤n ⇒ m+p ≤ n+p • ∀ p ∈ N m ≤ n ⇒ pm ≤ pn Observe que de acordo com a estrutura l´gica deste livro, n˜o temos que demons- o a trar nada sobre N e seus m´todos, tudo ´ conhecido. e e Para aquecer o seu apetite l´gico, o conceito de sucessor, usado no Teorema 26 o pode ser usado para demonstrar todas as propriedades de N listadas no Teorema anterior. 4.2 Os n´meros inteiros. u Podemos facilmente conjecturar que o aparecimento dos inteiros deve ter se dado junto com as primeiras concep¸oes econˆmicas quando algu´m teve a ne- c˜ o e cessidade de registrar o que tinha e o que devia. Formalmente podemos inven- tar os inteiros a partir dos n´ meros naturais impondo um problema alg´brico: u e queremos encontrar um conjunto que estenda o conjunto dos n´meros natu- u rais onde sempre a equa¸˜o ca m+x=0 (4.1) tenha solu¸˜o. Vamos usar este m´ todo alg´brico. ca e e 4.2.1 A defini¸˜o de Z. ca Vamos espandir o conjunto dos n´meros naturais criando uma solu¸˜o para a equa¸˜o u ca ca m+x =0 (4.2) para cada n´mero natural m. u Isto nos leva a inventar, para cada n´mero natural m um novo objeto designado1 u por −m. O resultado desta inven¸˜o ´ o novo conjunto: ca e Z = {. . . , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, . . .} (4.3) que j´ difere de N num ponto: Z n˜o tem um primeiro elemento. Depois, seguindo a a a tarefa de inventor, devemos nos preocupar com a extens˜o ao novo conjunto das a opera¸˜es de adi¸˜o e multiplica¸˜o definidas em N. Tamb´m deveremos estender a co ca ca e rela¸˜o de ordem de N a Z. ca Vamos executar cada uma destas tarefas passo a passo, agora. 4.2.2 Extens˜o da adi¸˜o aos inteiros. a ca Primeiro temos a “inventar” uma terminologia que vocˆ espera: e Defini¸˜o 25 O conjunto dos n´meros inteiros positivos. ca u 2 Vamos particionar o conjunto Z. Poderiamos definir −N sem o zero, mas quebrariamos outro h´bito. a Poderiamos dizer que ´ uma “quase parti¸˜o” e complicariamos desnecessaria- e ca mente a linguagem. Z = N ∪ −N, e algumas vezes vamos usar este voc´bulo. a 1 observe que -m ´ um unico s´ mbolo e n˜o dois s´ e ´ ı a ımbolos aglomerados. 2 h´ a um defeito nesta “parti¸ao” o n´ mero zero pertence tanto a −N como a N. Mas ´ c˜ u e preciso se acostumar com as contradi¸oes da Matem´tica. c˜ a
- 103. • n´meros inteirospositivos. O conjunto N ser´ chamado de conjunto dos u a n´meros inteiros positivos. Zero ´ um n´mero inteiro positivo. u e u • n´meros inteiros negativos. O conjunto −N ser´ chamado de conjunto dos u a n´meros inteiros negativos. Zero ´ um n´mero inteiro negativo. u e u Observa¸˜o 15 Zero ´ positivo e negativo. ca e ´ f´cil ver que zero tem que ser tanto positivo quanto negativo, pois E a • 0 + 0 = 0 satisfazendo os dois lados da equa¸˜o que usamos para criar os novos ca n´meros, u • ele tinha que se encontrar tamb´m entre os novos n´meros inteiros, os inteiros e u negativos; • e j´ se encontrava entre os velhos: era positivo. a Precisaremos do seguinte m´todo, que chamaremos troca de sinal: e Defini¸˜o 26 A troca de sinal. ca t : Z → Z ; ´ uma fun¸˜o. e ca (4.4) x ∈ N ⇒ t(x) ∈ −N ; x + t(x) = 0; t(x) = −x ´ negativo e (4.5) x ∈ −N ⇒ t(x) ∈ N ; x + t(x) = 0; t(x) = −x ´ positivo e (4.6) (4.7) Por exemplo, −3 ∈ −N ⇒ t(−3) = 3 ∈ N. Exerc´ ıcios 18 Troca de sinal 1. Calcule (a) t(3) (b) t(t(3)) (c) t(3) + 3 (d) t(t(3)) + 3 (e) t(t(3)) + t(3) (f ) t(a) + a (g) t(t(a)) + t(a) 2. Porque as contas acima s˜o absurdas do ponto de vista da l´gica ? sendo assim, a o como se justifica que se encontrem num texto did´tico? a 3. Fa¸a um gr´fico da fun¸˜o c a ca y = t(x) ; x ∈ A = {−5, −4, −3, . . . 3, 4, 5} Discuta a falta de l´gica desta quest˜o. o a Vamos manter, algum tempo esta nota¸˜o esquisita, t(x) em vez de escrever −x ca diretamente. A extens˜o da adi¸˜o aos inteiros ´ simples tendo uma u nica complica¸˜o: quando a ca e ´ ca formos somar um n´mero inteiro positivo com um n´mero inteiro negativo. Para este u u caso precisaremos comparar qual dos dois ´ maior em valor absoluto o que nos for¸a e c primeiro a definir o que ´ valor absoluto. Intuitivamente o valor absoluto de um n´mero e u ´ sua distˆncia ` origem. e a a Acabamos de fazer apenas um jogo de palavras.
- 104. Defini¸˜o 27 Valorabsoluto. O valor absoluto de um n´ mero inteiro ´ um n´mero ca u e u inteiro: n se n ∈ N; |n| = (4.8) t(n) se n ∈ −N quer dizer que se n ∈ N ent˜o |n| ´ o pr´prio n´mero inteiro n. Se n ∈ −N, trocamos a e o u o sinal de n o que o joga no conjunto N e esta imagem ´ o valor absoluto do n´mero e u negativo n. Defini¸˜o 28 de adi¸˜o em Z. ca ca • Se m, n ∈ N ent˜o sabemos calcular m + n. a • Se m, n ∈ −N ent˜o transformamos3 m → t(m) ∈ N n → t(n) ∈ N e somamos a como sabemos c = t(m) + t(n) ∈ N. e decodificamos c c → t(c) = m + n − N. • Se m ∈ N e n ∈ −N ent˜o: a – Se |m| ≥ |n| ent˜o m + n = m − |n|. Observe que ` direita na equa¸˜o a a ca se encontra a diferen¸a entre dois n´meros naturais que n˜o definimos ou c u a discutimos antes, mas n´s sabemos tudo sobre N . . . . Observe tamb´m o e que n˜o usamos a fun¸˜o “troca de sinal” porque estamos fazendo uma a ca subtra¸˜o em N, coisa conhecida como tal. ca – Se |m| |n| ent˜o m + n = t(|n| − m). Observe que primeiro calcula- a mos |n| − m porque nos naturais s´ sabemos calcular a diferen¸a entre o c um n´maior e um menor, nesta ordem. Depois trocamos o sinal da di- u feren¸a para satisfazer a regra que reza ”na soma de n´meros com sinais c u diferentes4 , calcula-se a diferen¸a e se d´ a soma o sinal do maior”. c a • A adi¸˜o ´ comutativa em Z ca e Na lista de exerc´ ıcios seguinte vamos construir o sistema aritm´tico t´ e ıpico dos computadores digitais que usamos. Vocˆ ver´ assim um outro tipo de “regra dos e a sinais”. Exerc´ ıcios 19 Quest˜es de l´gica o o 1. Como justificar que teremos de demonstrar as propriedades das opera¸˜es em Z co e j´ dissemos que a adi¸˜o era comutativa, em um item, da defini¸˜o? Ou o a ca ca texto est´ errado? a 2. Rastreie os erros l´gicos na constru¸˜o feita acima. o ca 3. sistema bin´rio Suponha que o odˆmetro de um carro seja composto de apenas a o zeros e uns, um odˆmetro bin´rio, e que o maior n´mero neste odˆmetro seja o a u o 11111111 o equivalente a 7 no sistema decimal de numera¸˜o. Quer dizer que, ca quando o carro rodar mais um kilˆmetro o odˆmetro bin´rio vai zerar, portanto o o a 111 + 1 = 0 (4.9) na aritm´tica deste odˆmetro. e o 3 veja o que dissemos no cap´ıtulo “Rela¸oes e fun¸oes”sobre transforma¸oes, ver trans- c˜ c˜ c˜ forma¸oes. c˜ 4 leia corretamente, um positivo e outro negativo...
- 105. (a) tabuada bin´riaPreencha a tabuada de adi¸˜o desta aritm´tica no quadro a ca e abaixo: (observe, somente 0,1). + 0 1 10 11 100 101 110 111 0 1 10 11 100 101 110 111 (b) equa¸˜es Resolva a equa¸˜o co ca x + 11 = 10 nesta aritm´tica bin´ria, usando as regras da aritm´tica. Observe, o in- e a e 5 verso aditivo de 3 ´ 5... e que “coisas”como −3 ou −5 n˜o existem na e a tabuada acima. 4. O bit mais significativo Seria dif´ “ensinar” a um computador a fazer as con- ıcil tas da tabuada acima. E ´ mais f´cil complicar um pouquinho mais, devido a a estrutura interna el´trica como funcionam os computadores, algo do tipo, acen- e der ou apagar6 uma luz. Como na nossa aritm´tica, os computadores precisam e da mesma quantidade de elementos para representar os positivos e os negativos. N´s acrescentamos um sinal, “−”, nos computadores se acrescenta mais um o “bit”, 0 para positivo e 1 para negativo. Este ´ o chamado bit mais significativo, e ´ o ultimo bit ` esquerda. e ´ a Assim, relativamente ` taboada acima, 1111 representa um n´mero negativo, a u o inverso aditivo de 0001, que ´ positivo. Desta forma temos 15 n´meros na e u aritm´tica: e 0111, 0110, 0101, 0100, 0011, 0010, 0001, 0000, (4.10) 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 (4.11) (a) regra dos sinais Verifique que a regra para “trocar sinal” ´: e • invertem-se todos os bits (onde tem zero, troca-se por um, onde tem um troca-se por zero); • soma-se uma unidade. Por exemplo −0011 = 1100 + 1 = 1101 ; 1101 = 0011 = 0000 a ultima casa que “sobra” ´ utilizada para inverter o bit mais significativo. ´ e (b) Construa a tabela da aritm´tica deste n´meros e veja que ela ´ equivalente e u e a tabela bin´ria anterior. a 5 de que 3 e de que 5 estamos falando ? 6 este sistema de “acender ou apagar luzes” j´ est´ ultrapassado, mas o que existe ´ seme- a a e lhante.
- 106. 5. regra dossinais Analise a seguinte “demonstra¸˜o” da regra para trocar sinal, e ca acrescente as justificativas que n˜o colocamos. a • Seja a um n´mero bin´rio e a o bin´rio rec´ u a ˜ a ıproco obtida com a invers˜o a dos bits; • ent˜o a = a = 1; a ˜ • logo ´ preciso acrescentar uma unidade em algum deles para obter o inverso e aditivo do outro. Ao final deste cap´ıtulo vocˆ pode ler um programa, feito em Python, para ensinar e o computador a extens˜o da adi¸˜o, da multiplica¸˜o e da desigualdade aos inteiros. O a ca ca programa ´ na verdade uma “farsa” porque o computador j´ sabe o que lhe queremos e a ensinar e o pr´prio programa usa isto. Seria muito dif´ construir corretamente (e o ıcil logicamente) esta quest˜o, mas serve para lhe dar uma id´ia da “utilidade” deste a e aparato l´ gico que estamos lhe propondo como aprendizagem. o 4.2.3 Extens˜o do produto aos inteiros. a A extens˜o do produto aos inteiros ´ semelhante a que fizemos para estender a adi¸˜o: a e ca Defini¸˜o 29 Multiplica¸˜o de n´meros inteiros. ca ca u Exerc´ ıcio para o leitor. 4.2.4 Extens˜o da ordem aos inteiros. a Quando dois n´meros s˜o desiguais, existe uma diferen¸a entre eles. Vamos usar u a c este m´ todo para decidir quem ´ o maior dos dois. Para isto precisamos estender a e e diferen¸a ao conjunto dos n´meros inteiros: c u Defini¸˜o 30 de ordem em Z. ca Dados m, n ∈ Z diremos que m ≤ n se, e somente se, n − m ∈ N. Se n − m ∈ N ent˜o diremos que m n. a Deveriamos seguir a uma fastidiosa demonstra¸˜o de que as propriedades seguintes ca da soma valem: Teorema 27 das propriedades de (Z, +). 1. A adi¸˜o ´ comutativa. ca e 2. A adi¸˜o ´ associativa. ca e ca ´ 3. existˆncia do elemento neutro da adi¸˜o E o zero: 0 + n = n. e 4. existˆncia do inverso aditivo e ∀ m ∈ Z ∃n ∈ Z ; m + n = o. O n´mero n ´ designado por −m. u e 5. ∀ p ∈ Z m ≤ n ⇒ m + p ≤ n + p N´s podemos encontrar estas mesmas propriedades em outros conjuntos munidos o de outras opera¸˜es. Vamos dar um exemplo simples. co
- 107. Exemplo 30 Estruturaalg´bricas das horas do rel´gio. Considere o conjunto e o H = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} das horas de um rel´gio. Sabemos somar horas, por exemplo: o 7 + 5 = 12 ; 6 + 7 = 1 ; ; 8 + 7 = 3. Isto nos permite construir a seguinte taboada para adi¸˜o: ca + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Da taboada podemos tirar alguma conclus˜es: 12 ´ o elemento neutro desta adi¸˜o: o e ca se ele for somado a qualquer outra hora, reproduz a outra. Toda hora tem inverso aditivo: 1 + 11 = 12 ; 2 + 10 = 12 ; . . . 7 + 5 = 12 . . . , 9 + 3 = 12 . . . A adi¸˜o de horas ´ comutativa e associativa. Vemos assim que a estrutura alg´ brica ca e e de (H, +) ´ idˆntica a de (Z, +). e e Temos exemplos da mesma coisa, cabe dar um nome comum a ambas. Defini¸˜o 31 de grupo comutativo. ca Quando um conjunto com uma opera¸˜o, (G, o) satisfizer as quatro propriedades ca 1. o ´ comutativa. e 2. o ´ associativa. e 3. Existe um elemento neutro relativamente a o. 4. Todo elemento de G tem um inverso relativamente a o. diremos que (G, o) ´ um grupo comutativo. e Se a comutatividade n˜o valer, diremos que ´ um grupo. a e Num grupo podemos resolver qualquer equa¸˜o7 . Vejamos um exemplo de equa¸˜o ca ca em (H, +). 7 n˜o a se engane, qualquer equa¸ao t´ c˜ ıpica da estrutura.
- 108. Exemplo 31 Equa¸˜ono grupo das horas. Vamos resolver, usando as propriedades, ca a seguinte equa¸˜o: ca 7 + x = 3 ; 7, x, 3 ∈ H ; somando o inverso de 7 a ambos os membros: (4.12) 5 + (7 + x) = 5 + 3 (4.13) aplicando a propriedade associativa: (4.14) (5 + 7) + x = 5 + 3 (4.15) simplificando: (4.16) 12 + x = 8 (4.17) como 12 ´ o neutro: e (4.18) x=8 (4.19) De fato:7 + 8 = 3. (4.20) Esta ´ a lista das propriedades da multiplica¸˜o e da ordem nos inteiros. e ca Teorema 28 das propriedades de (Z, · ≥). 1. A multiplica¸˜o ´ comutativa. ca e 2. A multiplica¸˜o ´ associativa. ca e 3. Existe o elemento neutro para a multiplica¸˜o, o 1. ca 4. A multiplica¸˜o ´ distributiva relativamente ` adi¸˜o. ca e a ca 5. ∀a ∈ Z 0 x a = 0, e se a x b = 0 ent˜o a = 0 ou b = 0. a 6. Se p ≥ 0 p ∈ Z ent˜o m ≤ n ⇒ pm ≤ pn. a 7. Se p 0 p ∈ Z ent˜o m ≤ n ⇒ pm ≥ pn. a Devido a n˜o existˆncia de um inverso multiplicativo, (Z, ·) n˜o ´ um grupo. Isto a e a e nos vai conduzir ` constru¸`o dos n´meros racionais para sanar esta “falha” dos in- a ca u teiros. As demonstra¸˜es de cada item dos dois teoremas ´ longa e se reveste de um co e aspecto de inutilidade porque todos sabemos que elas valem. N˜o ´ verdade que seja a e in´til fazer estas demonstra¸˜es, pelo contr´rio, somos for¸ados a fazˆ-las se quisermos u co a c e construir a teoria corretamente. Entretanto todas elas se encontram feitas em uma ´ grande maioria dos livros de Algebra e vocˆ deve se acostumar ` consulta no sentido e a de que n˜o deve esperar que tudo esteja feito em unico livro enciclop´ dico. Tamb´m a ´ e e uma possibilidade importante ´ de que vocˆ mesmo se inicie na arte da demonstra¸˜o. e e ca Vamos fazer algumas demonstra¸˜es dos itens listados nos dois teoremas para lhe co mostrar o caminho. 4.2.5 Algumas demonstra¸˜es co Vamos voltar a usar a fun¸˜o “troca sinal” com o s´ ca ımbolo t. Dem : Comutatividade da adi¸ao. c˜ Queremos provar que m, n ∈ Z ⇒ m + n = n + m. Existem quatro casos poss´ ıveis: • m, n ∈ N e nada h´ o que demonstrar porque j´ admitimos tudo saber sobre N. a a
- 109. • m, n∈ −N. Neste caso m + n = t(t(m) + t(n)), entretanto como t(m), t(n) ∈ N ent˜o a t(m) + t(n) = t(n) + t(m) logo m + n = t(t(m) + t(n)) = t(t(n) + t(m)) = n + m • m ∈ N e n ∈ −N. Este ´ um dos casos em que os sinais dos n´ meros s˜o diferentes. H´ e u a a dois casos a considerar e na defini¸ao optamos por impˆr a comutatividade na defini¸ao. c˜ o c˜ Vamos evitar isto aqui. A regra para soma n´ meros inteiros, quando os sinais s˜o diferentes, os separa em dois u a casos: 1. Quando o n´ mero negativo tem maior m´dulo; u o 2. quando o n´ mero negativo tem menor m´dulo. u o Observe que a separa¸ao entre os casos n˜o menciona quem est´ ˚ c˜ a a aesquerda ou ˚adireita na express˜o, quer dizer a regra sup˜e a comutatividade. Quer dizer, para somar m, n, a o se um for positivo e o outro negativo, tudo vamos observer ´ qual o sinal do maior e e depois fazer a diferen¸a entre os m´dulos deles segundo as regras da diferen¸a em N. c o c Isto mostra que m + n = n + m neste caso. q.e.d . Vamos demonstrar algumas das propriedades envolvendo a rela¸˜o de ordem. ca Dem : ∀p ∈ Z ; m ≤ n ⇒ m + p ≤ n + p.. Por defini¸ao, m ≤ n ≡ n ≥ m ≡ n − m ∈ N Se somarmos e subtrairmos p n˜o iremos c˜ a alterar a express˜o: a n − m = (n + p) − (m + p) ∈ N logo, aplicando a defini¸ao ao segundo membro da igualdade temos: c˜ n+p ≥m+p ≡m+p≤n+p q.e.d . Vejamos a demonstra¸˜o da propriedade envolvendo a desigualdade e o produto: ca Dem : Se p for positivo, ent˜o n ≥ m ⇒ pn ≥ pm. a Este resultado ´ consequˆncia direta do seguinte (um lema): e e Lema 1 O produto de inteiros positivos ´ positivo. Dem : Est´ na pr´pria defini¸˜o do e a o ca produto, veja o primeiro item. q.e.d . Agora, como p ´ positivo, ent˜o p(n − m) ´ positivo, e pela distributividade do produto e a e relativamente a soma, temos: ` p(n − m) = pn − pm ∈ N ≡ pn ≥ pm q.e.d . Exerc´ ıcios 20 estruturas alg´bricas dos inteiros. e 1. Resolva as seguintes equa¸˜es, se forem poss´ co ıveis, n˜o sendo explique por que. a x+3 3x + 7 = 10 2x − 8 = 4x − 7 7 = 2x + 1 3 x − 4 = 2x + 5 x + 4 = 2 x−3 =x+3 2. Verifique as seguintes desigualdades. 3x − 7 10 2x − 8 4x − 7 x+3 ≤ 2x + 1 7 3 x − 4 ≤ 2x + 5 x + 4 = 2 2x − 3 ≥ x + 3 3. Fa¸a uma lista completa das propriedades de (Z, +, ·, ≥). Use a estrutura de c grupo para simplificar a listagem.
- 110. 4.3 O conjunto dos n´meros racionais. u Na escala da evolu¸ao do pensamento chegou um momento em que haviam c˜ quantidades que n˜o eram inteiras relativamente a outras. Por exemplo, veja a as medidas padronizadas, todas elas foram e ser˜o conven¸oes, o p´ do rei, a c˜ e o metro inventando pela Revolu¸ao Francesa para encerrar a hist´ria real e c˜ o abrir uma era brilhante de imp´rio do direito de todos inclusive nas ciˆncias. e e Ingleses e americanos, numa atitude arrogante, continuam usando as velhas medidas, p´, milha, etc... e Mas quando se for medir a altura de uma pessoa, ser´ raro encontrar quem a me¸a um metro ou dois metros. c O comum ser´ encontrar quem me¸a um metro e um pouquinho de metro, a c 1 por exemplo 1m + 2 m. Chegamos assim aos n´ meros racionais como uma u necessidade da evoulu¸ao dos conhecimentos humanos, mas vamos retornar ao c˜ trabalho alg´brico e discutir a inven¸ao dos racionais para resolver equa¸oes. e c˜ c˜ 4.3.1 Incompletitude alg´brica de Z. e Na se¸˜o anterior definimos grupo e verificamos que (Z, ·) n˜o era um grupo porque ca a lhe faltava o inverso multiplicativo. Foi esta a raz˜o que nos levou construir Z a par- a tir de N, porque (N, +) n˜o era um grupo. Faremos o mesmo agora, construindo a um novo conjunto em que “todos” os seus elementos tenham inverso multiplicativo. O m´todo poderia ser inteiramente alg´brico para depois descobrirmos uma forma e e adequada para estes novos elementos, mas com isto perderiamos o tempo que a Hu- manidade j´ ganhou, vamos logo descrever aquilo que j´ sabemos com um leve disfarce a a de “descoberta”. Queremos que a equa¸˜oca ax = 1 tenha sempre solu¸˜o, para todo a ∈ Z. A solu¸˜o para este problema tem que ser ca ca “inventada” pois na ´poca em que haviam apenas os inteiros este problema era “im- e poss´ ıvel”. Existe um elemento de Z para o qual isto n˜o ser´ poss´ a a ıvel, at´ mesmo porque pre- e cisamos que este elemento tenha propriedades diferentes, o zero, para o qual desejamos a propriedade: (∀ a ∈ Z) (a · 0 = 0). Esta ser´ uma exce¸˜o8 a regra. a ca A solu¸˜o que aos poucos se cristalizou foi a de caracterizar o n´mero x com o ca u formato de “fra¸˜o”: ca 1 x= . a Observe que temos uma inven¸˜o, se convencionou que o novo objeto que tornaria ca 1 a equa¸˜o ax = 1 poss´ ca ıvel seria x = a . Desta forma acrescentamos ao conjunto Z os novos objetos: 1 1 1 1 1 1 1 Z′ = Z {. . . , , , , , , . . .} (4.21) 3 2 1 −1 −2 −3 −4 e como anteriormente, a primeira preocupa¸˜o seria definir no novo conjunto as opera¸˜es ca co de adi¸˜o e multiplica¸˜o para testar a nova estrutura alg´brica e sua compatibilidade ca ca e com as anteriores, de Z, N. Um belo trabalho alg´brico, vocˆ est´ convidado a experiment´-lo, pode conduzir ` e e a a a solu¸˜o que j´ conhecemos, vamos resumir o processo usando a experiˆncia acumulada. ca a e 8 quem foi que disse que em Matem´tica n˜o existem exce¸oes... a a c˜
- 111. 1 1 Ao tentar somar “n´meros” como p , q se notou que este formato era insuficiente, u seria necess´rio um formato mais “complicado” que ´ m . Assim se definiu a e n p Q = {x ; x = ; p, q ∈ Z ; q = 0} (4.22) q As figuras (fig. 4.1), p´gina 105 mostram duas fra¸˜es equivalentes. a co quatro quartos oito oitavos A fracao 2/8 esta marcada A fracao 1/4 esta marcada 1 2 Figura 4.1: Fra¸oes equivalentes com denominadores diferentes c˜ 4 = 8 Abaixo vamos redefinir o conjunto Q em forma definitiva, a presente defini¸˜o ´ca e provis´ria, ´ a que se encontra na maior dos livros, veremos que h´ outra melhor. o e a Observa¸˜o 16 A fun¸˜o do numerador e do denominador. Como j´ haviamos an- ca ca a tecipado antes quando falamos de produto cartesiano, e de par ordenado, um n´mero u racional ´ um par ordenado de inteiros. E e ´ ordenado porque ele ´ formado de nu- e merador e de denominador que n˜o podem ser trocados. Numa fra¸˜o, o numerador a ca
- 112. representa uma multiplica¸˜o,enquanto que o denominador representa uma divis˜o, ca a uma inven¸˜o anˆnima de extraordin´ rio poder pr´tico e te´rico. ca o a a o A figura (fig. 4.2) na p´gina 107, mostra como se podem representar os n´meros a u racionais na reta, sobretudo mostra como podemos representar as fra¸˜es p dado q, co q que no caso da figura q = 7. 4.3.2 Estens˜o da ´lgebra dos inteiros aos racionais a a Est´ na hora de definirmos em Q as duas9 opera¸˜es b´sicas: adi¸˜o e multiplica¸˜o. a co a ca ca Defini¸˜o 32 da adi¸˜o em Q. ca ca Dadas duas fra¸˜es, p , m definimos co q n p n pm + qn + = q m mq isto ´, no denominador o produto dos denominadores, no numerador a soma dos pro- e dutos em cruz do numerador de uma com o denominador da outra. Observa¸˜o 17 Inutilidade do m.m.c A defini¸˜o cl´ssica que passa pelo “m.m.c.” ca ca a dos denominadores produz um resultado otimizado, comparado com esta, e n´s voltare- o mos a este assunto posteriormente. Entretanto a defini¸˜o acima mostra a inutilidade ca do uso do “m.m.c”. Podemos chegar facilmente a regra de multiplicar usando um m´todo intuitivo: a e multiplica¸˜o tem que ser compat´ com o que j´ foi feito anteriormente, uma soma ca ıvel a repetida. Queremos ent˜o que 2 · q = q + 1 . Se aplicarmos a regra operat´ria da soma a 1 1 q o teremos 1 1 1 q+q 2q 2· = + = 2 == 2 q q q q q como j´ observamos, o numerador representa uma multiplica¸˜o, neste caso uma mul- a ca tiplica¸˜o por 2q e o denominador representa uma divis˜o, neste caso por q · q. ca a Quer dizer que h´ uma multiplica¸˜o e uma divis˜o por q que se auto-eliminam, a ca a podemos assim cancelar q no numerador e no denominador: 1 1 1 q+q 2q 2 2· = + = 2 == 2 = q q q q q q 1 1 Poderiamos repetir este processo com 3 · q ou diretamente com p · q para concluirmos que regra de multiplicar por inteiros dever´ ser p · 1 = p . a q q 1 1 Se quisermos multiplicar m , q devemos pensar no papel que tˆm numerador e e denominador. O n´mero inteiro m est´ dividindo, se multiplicarmos as duas fra¸˜es ser´ natural u a co a que m venha a multiplicar q para refor¸ar a fun¸˜o que este ultimo exerce: c ca ´ 1 1 1 · = . m q mq Juntando estas id´ias vem a defini¸˜o de multiplica¸˜o de fra¸˜es: e ca ca co 9 todo mundo fala em quatro opera¸oes, mas s´ existem duas... c˜ o
- 113. Figura 4.2: Racionais e inteiros
- 114. Defini¸˜o 33 demultiplica¸˜o de fra¸˜es. ca ca co Dadas duas fra¸˜es, m , p definiremos co n q n p np · = m q mq isto ´, para multiplicar fra¸˜es, multiplicamos seus numeradores e denominadores entre e co si. Verifique que os exemplo anteriores se enquadram nesta defini¸˜o: ca 1 21 2 1 p1 p 2 = = ; p = = q 1q q q 1q q Exerc´ ıcio 13 Opera¸˜es aritm´ticas em Q. co e 1. numerador multiplica, denominador divide Considere a fra¸˜o 3 . Se multiplicar- ca 5 mos numerador e denominador pelo mesmo n´mero a teremos: 3a que ´ uma u 5a e 3 fra¸˜o equivalente a 5 . Esta afirma¸˜o ainda vale para a = 0 ? ca ca 2. numerador multiplica, denominador divide Verifique quais das afir-ma¸˜es ´ ver- co e dadeira, e justifique porque: 3 6 • 7 = 14 3 5 • 7 = 9 1 3 • 7 7 3 3 • 7 5 Rigorosamente falando n˜o podiamos incluir aqui desigualdades, elas ainda n˜o a a foram definidas. 3. Queremos somar as duas fra¸˜es 3 , 6 . Justifique as seguintes opera¸˜es que al- co 7 8 co teram uma linha ao passar para seguinte: 3 6 6 +8 3 6 + 6·6 6·8 8·3 6·6 8·6 + 6·8 24 48 + 36 = 48 48 60 3 6 6 + 8 = 48 = 5·12 60 4·12 = 5 4 4.3.3 Compatibilidade dos inteiros com os racionais. As defini¸˜es que fizemos da adi¸˜o e da multiplica¸˜o de nada adiantariam se os co ca ca seguintes fatos n˜o fossem resguardados: a 1. as propriedades que a adi¸˜o e a multiplica¸˜o tˆm nos inteiros. ca ca e 2. co¨ ıncidˆncia com a multiplica¸˜o e adi¸˜o dos inteiros. e ca ca Na verdade uma pergunta se imp˜e: inteiros s˜o tamb´m fra¸˜es? o a e co Este ´ nosso programa imediato, verificar que as opera¸˜es com os inteiros s˜o as e co a mesmas que acabamos de definir, na verdade come¸aremos mostrando que de certa c forma Z ⊂ Q. Vamos come¸ar mostrando que de certa forma os inteiros s˜o um c a subconjunto dos racionais.
- 115. Formalmente n˜o s˜o,uma vez que um n´ mero racional ´ um par ordenado de a a u e n´meros inteiros. O que acontece ´ que podemos encontrar dentro deste conjunto u e de pares ordenados uma imagem de Z obtida por uma bije¸ao e como j´ vimos, c~ a as bije¸˜es identificam as imagens de uma tal forma que n˜o precisamos mais ver co a “diferen¸as” entre elas. c Observa¸˜o 18 Diferen¸a entre fra¸˜es ca c co Vamos definir a diferen¸a entre fra¸˜es. c co O h´bito nos indica que a diferen¸a ´ uma soma em que um dos termos tem o a c e “sinal trocado”. Claro, aqui mais um problema de l´gica, o que significa trocar o sinal o em Q ? Vamos definir p −p Q → Q ; x = → −x = q q que a troca de sinal de uma fra¸˜o se d´ pela troca de sinal do numerador da mesma. ca a Agora podemos calcular a diferen¸a entre m , p : c n q m p m −p mq − np − = + = . n q n q nq Mas, o que seria zero em Q ? Por defini¸˜o, zero ´ o n´mero que somado a qualquer “outro” reproduz o “outro”, ca e u ca 0 o elemento neutro da adi¸˜o. A fra¸˜o 1 tem esta propriedade: ca 0 p 0·q+1·p p + = = . 1 q 1·q q Teorema 29 da imagem de Z em Q. A fun¸˜o Z → Q ; m → m ´ injetiva. ca 1 e Dem : ′ Basta verificarmos se m, m′ forem diferentes, ent˜o m , m ser˜o diferentes. a 1 1 a Ora, como os inteiros m, m′ s˜o diferentes por hip´tese, ent˜o m − m′ = 0 e portanto a o a m−m′ 0 1 = 1 o que nos leva a concluir que se m = m′ ent˜o a imagem destes inteiros dentro a m m′ de 1 , 1 s˜o dois n´meros racionais diferentes. a u A fun¸˜o construida ´ injetiva. Como n˜o ´ bijetiva, ent˜o podemos dizer: ca e a e a Z ⊂ Q. (4.23) q.e.d . Observe vocˆ a raz˜o da express˜o “certa forma” quando dissemos que Z ⊂ Q. De e a a agora em diante riscaremos esta forma de falar do nosso texto, diremos simplesmente que Z ⊂ Q. Somando agora dois inteiros sob a forma de fra¸˜o para verificar que o resultado ´ ca e o mesmo que a soma de inteiros: n m n+m Z x Z ∋ (n, m) → + = →n+m∈Z 1 1 1 mostra que tanto faz somarmos em Z e depois transferirmos para Q quanto somarmos diretamente em Q as imagens dos inteiros. Da mesma forma para a multiplica¸˜o: ca nm nm Z x Z ∋ (n, m) → = → nm ∈ Z 1 1 1
- 116. mostrando que amultiplica¸˜o entre as imagens dos inteiros em Q co¨ ca ıncide com a imagem dos inteiros multiplicados. Com isto provamos o teorema: Teorema 30 da compatibilidade das opera¸˜es com os inteiros. co A adi¸˜o e a multiplica¸˜o de n´meros racionais ´ compat´ com estas opera¸˜es ca ca u e ıvel co sobre os inteiros. Na verdade deveriamos mostrar um teorema equivalente ao que demonstramos para os inteiros. N˜o iremos demonstrar os teoremas, como no caso dos inteiros, a vamos enunci´-los e fazer algumas demonstra¸˜es com o int´ito de sugerir que vocˆ a co u e mesmo as fa¸a como exerc´ c ıcio. Teorema 31 das propriedades de (Q, +). 1. A adi¸˜o ´ comutativa. ca e 2. A adi¸˜o ´ associativa. ca e ca ´ 3. existˆncia do elemento neutro da adi¸˜o E o zero: e 0 1 + n m = n m . 4. existˆncia do inverso aditivo e n n (∀ ∈ Q) (∃x ∈ Q ) ( + x = 0). m m −n O n´mero x ´ designado por u e m . Em suma ele ´ obtido por troca de sinal, vemos e que as coisas se encaixam. 5. (∀ p, a, b ∈ Q) (a ≤ b ⇒ a + p ≤ b + p) Observa¸˜o 19 Um erro l´gico ! ca o Se tentarmos demonstrar a ultima propriedade no teorema acima, veremos que n˜o ´ a foi definida a desigualdade em Q. Precisamos saber quando a ≥ p . b q Vamos usar o m´todo dos inteiros: e a p a p b ≥ q ≡ b − q ≥0 a b ≥ p ≡ aq−pb ≥ 0 q bq a p b ≥ q ≡ aq − pb ≥ 0 a b ≥ p ≡ aq ≥ pb q ´ a e e c˜ A ultima express˜o ´ significativa, aq ≥ pb ´ uma DESPROPOR¸AO. Se tivesse- mos aq = pb diriamos que b = q seria uma propor¸˜o. Logo as fra¸˜es a ≥ p n˜o a p ca co b q a formam uma propor¸˜o mas a lei das propor¸˜es “produto dos extremos ´ menor do ca co e que o produto dos meios” caracteriza quando a ≥ p b q Vamos corrigir o erro l´gico definindo a desigualdade em Q. o Defini¸˜o 34 Desigualdade em Q ca a b ≥ p ≡ aq ≥ pb q e o teorema sobre a estrutura multiplicativa de Q.
- 117. Teorema 32 daspropriedades de (Q, ·). 1. A multiplica¸˜o ´ comutativa. ca e 2. A multiplica¸˜o ´ associativa. ca e 1 3. Existe o elemento neutro para a multiplica¸˜o, o ca 1 . 1 4. Para todo a ∈ Q ; a = 0 existe um n´mero racional b tal que ab = ba = 1 = 1 . u Isto ´ todo n´mero racional diferente de zero tem inverso multiplicativo. e u Com estes dois teoremas vemos uma diferen¸a substancial entre Z e Q. O con- c junto dos n´meros racionais ´ um grupo tanto com a adi¸˜o como relativamente mul- u e ca tiplica¸˜o, desde que tiremos o zero no ultimo caso. Dizemos isto assim: ca ´ Teorema 33 do grupo comutativo (Q, +). O conjunto dos n´meros racionais com a adi¸˜o ´ um grupo comutativo. u ca e Teorema 34 do grupo comutativo (Q∗ , ·). O conjunto dos n´meros racionais sem o zero, Q∗ , com a multiplica¸˜o ´ um grupo u ca e comutativo. Da mesma forma que com os inteiros, existem algumas propriedades que ligam a adi¸˜o e a multiplica¸˜o: ca ca Teorema 35 das propriedades que ligam o grupo aditivo e o multiplicativo 1. O produto de n´meros racionais ´ distributivo relativamente ˚ u e asoma. 2. ∀a ∈ Q) (0 x a = 0), e se a x b = 0 ent˜o a = 0 ou b = 0. a 3. ∀ p, m, n ; p ≥ 0 ; p, m, n ∈ Q ; m ≤ n ⇒ pm ≤ pn. Se p 0 ent˜o m ≤ n ⇒ pm ≥ pn. a A ultima propriedade liga a estrutura de ordem (Q, +, ≤) com a o grupo multipli- ´ cativo. Quando todas estas propriedades forem verdadeiras, temos uma nova estrutura alg´brica chamada corpo ordenado.Quer dizer que e Teorema 36 O conjunto Q dos n´meros racionais, ´ um corpo ordenado. u e
- 118. 4.3.4 Algumas demonstra¸˜es co Como j´ observamos no caso dos inteiros, deveriamos fazer demonstra¸˜es cuidados a co de todas as propriedades dos racionais. Novamente vale a mesma observa¸˜o. Estas ca demonstra¸˜es existem feitas em diversos locais e seria um desperd´ co ıcio de tempo e de inteligˆncia simplesmente repet´ e ı-las. Vamos, entretanto, fazer algumas delas com o int´ito de apoiar sua iniciativa para que vocˆ tente fazer as demais como exerc´ u e ıcio. Escolhemos para fazer a demonstra¸˜o algumas que v˜o conduzir a algumas topa- ca a a a ´ das l´gicas cujos coment´rios completar˜o a teoria. E uma forma did´tica de construir o a a a ´ uma teoria, mostrando quando e onde s˜o necess´rios os teoremas. E tamb´ m umae 10 forma muito longa Teorema 37 A adi¸˜o ´ associativa. ca e Dem : a p n Queremos provar que, dados tres n´meros racionais, u , , b q m ´ verdade que e a p n a p n +( + )= ( + )+ b q m b q m A soma dos termos no primeiro membro ´: e a pm + qn b(pm + qn) + aqm amq + bmp + bnq + = = b qm bqm bmq que ´ exatamente o que se obt´m somando os termos do segundo membro. q.e.d . e e Teorema 38 Existˆncia do elemento neutro relativamente ` soma e a Dem : n p Buscamos uma fra¸˜o ca m que somada a qualquer outra q reproduza esta ultima: ´ p q +n m = p q p q + m = qm = p n pm+qn q p n pm+qn pm q + m = qm = qm ⇒ ⇒ pm + nq = pm ⇒ nq = 0 ⇒ n=0 Analisando as contas e suas transforma¸˜es l´gicas, da primeira para segunda linha acrescen- co o tamos a express˜o da soma das duas fra¸˜es impondo que fosse igual ` fra¸˜o que esperamos a co a ca encontrar. Da segunda para terceira linha alteramos a express˜o da fra¸˜o p incluindo nela o n´mero a ca q u inteiro m multiplicando e dividindo, quer dizer, sem alter´-la. Observe observa¸˜o anterior a ca a respeito, procure numerador, denominador no ´ ındice remissivo. Na ultima linha conluimos ´ o que era possivel da igualdade entre dois pares ordenados: as coordenadas do mesmo tipo dos pares tem que ser iguais: numeradores e denominadores iguais entre si. A conclus˜o ´ a e que qn = 0 e como q n˜o pode ser zero, porque ´ um denominador, tem que ser n = 0. a e A conclus˜o desagrad´vel ´ de que n˜o existe um unico elemento neutro relativamente ` a a e a ´ a 0 soma. Qualquer fra¸˜o da forma m somada a outra fra¸˜o, reproduz a outra. q.e.d . ca ca Conclus˜o desagrad´vel na demonstra¸˜o anterior porque esperamos unicidade do a a ca elemento neutro. Vamos voltar a discutir esta quest˜o ao final. a 10 ´ ea acusa¸ao principal que se faz a Gauss, ele publicou todos os seus trabalhos na forma c˜ final, como ele mesmo disse, “todo construtor cuidadosamente retira os andaimes quando a constru¸ao termina...”,ver [1]. c˜
- 119. Teorema 39 Existˆnciado inverso aditivo. e Dem : Queremos provar que para toda fra¸˜o p existe uma outra fra¸˜o x tal que ca q ca p q + x = 0. n Vamso agir “algebricamente”, seja x = m a poss´ ıvel fra¸˜o: ca p n q + m =0 p n pm+qn 0 q + m = qm = 0= mq 0 em que usamos mq para representar o zero, porque j´ vimos que qualquer fra¸˜o que tenha 0 a ca no n´merador representa o zero. A escolha exatamente ´ ardilosa11 . A conclus˜o da ultima u e a ´ igualdade ´ que pm + nq = 0 “passando para o segundo12 membro” pm nos leva a e nq = −pm n −p m = q da primeira para segunda linha, dividimos ambos os n´meros inteiros pelo inteiro mq cons- u ca n truindo a igualdade entre duas fra¸˜es que nos levou a forma da fra¸˜o m procurada. co Se vocˆ quiser, podemos justificar a passagem da primeira para a segunda linha interpre- e tando nq = −pm como “produdo dos extremos ´ igual ao produto dos meios numa propor¸˜o” e ca ent˜o na segunda linha est´ a propor¸˜o correspondente. a a ca Vemos que, para obter o inverso aditivo de p , basta trocar-lhe o sinal: inverso aditivo de q p −p q ´ e q . Poranto existe para todo n´mero racional um inverso aditivo. q.e.d . u Teorema 40 Desiguldade e produto ∀ a, b, c ; c ≥ 0 ; a, b, c ∈ Q ; a ≤ b ⇒ ac ≤ bc. Se c 0 ent˜o a ≤ b ⇒ ac ≥ bc. a Dem : Observa¸˜o 20 O conjunto dos racionais positivos ca Definimos a ordem em Q mas ´ preciso aprofudar esta quest˜o. Por exemplo, dadas e a duas fra¸˜e x, y sabemos que x ≥ y se, e somente se, x − y ∈ Q+ o conjunto dos n´meros co u racionais positivos. O problema persiste... “que ´ o conjunto dos n´meros racionais positivos?” e u Para entender melhor a defini¸˜o, vejamos alguns exemplos. Se uma fra¸˜o tiver nume- ca ca rador e denominador positivos, ´ razo´vel pensar nela como um n´mero positivo, porque para e a u encontrar o seu inverso aditivo teriamos que trocar o sinal do numerador. Podemos ent˜o redefinir Q : a Defini¸˜o 35 de Q. ca p Q = {x ; x = ; p ∈ Z ; q ∈ N∗ } q quer dizer que s´ vamos admitir fra¸˜es com denominador positivo. o co ca 3 Um fra¸˜o como −4 ser´ “corrigida” para −3 . a 4 Na ultima se¸˜o vamos discutir esta pluralidade de n´meros racionais e como entendˆ-la. ´ ca u e Assim podemos finalmente particionar Q em dois conjuntos, ou “quase-particionar” como j´ fizemos com os inteiros: Q = Q− Q+ . a 11 s˜o a tais ard´ que se explicam na frase de Gauss j´ citada, tiramos os andaimes ao termino ıis a da constru¸ao. c˜ 12 a maneira correta de falar ´, somando −pm a ambos os membros. . . e
- 120. O conjunto Q−consiste de todas as fra¸˜es cuja numerador seja negativo, ´ o conjunto co e dos n´meros racionais negativos. u p Q = {x ; x = ; p ∈ −N ; q ∈ N∗ } q O conjunto Q+ ´ o conjunto de todas as fra¸˜es cujo numerador seja positivo, ´ o con- e co e junto dos racionais positivos. p Q = {x ; x = ; p ∈ N ; q ∈ N∗ } q Zero ´ um elemento comum aos dois conjuntos, porisso dissemos que tinhamos “quase- e particionado” Q. Da mesma forma como para os inteiros, este teorema ´ consequˆncia direta de um teorema e e mais simples, (um lema): Lema 2 O produto de n´meros racionais positivos, ´ positivo. u e Dem : Tomemos dois n´meros racionais positivos, quer dizer duas fra¸˜es p , u co q n m com , p, n ≥ 0, de acordo com a nova defini¸˜o de Q. Calculando-lhes o produto temos: ca p n pn · = . q m mq Como p, n s˜o positivos, o produtos destes dois inteiros positivos ´ tamb´m positivo: pn ≥ 0 a e e e logo pn ≥0 mq q.e.d . Como a ≤ b ≡ b ≥ a ent˜o b − a ≥ 0, pelo lema a c(b − a) = bc − ac ≥ 0 ≡ bc ≥ ac ≡ ac ≤ bc, como queriamos demonstrar. Se, por outro lado, c 0 ent˜o o seu produto com qualquer racional positivo resulta num a racional negativo, logo c(b − a) = bc − ac ≤ 0 ≡ bc ≤ ac ≡ ac ≥ bc, como queriamos demonstrar. q.e.d . Teorema 41 Existˆncia do inverso multiplicativo e Todo n´mero racional diferente de zero tem inverso multiplicativo. u Dem : Tome um n´mero racional, p . Novamente vamos supor que a afirma¸˜o ´ verdadeira e u q ca e vamos calcular o valor do n´mero racional x tal que u y p x 1 · =1= q y 1 Efetuando as contas: p x px 1 qy q · y = qy = 1 = qy ⇒ x q ⇒ px = qy ⇒ y = p estas contas n˜o s˜o v´ lidas se p = 0 que est´ excluido por hip´tese. a a a a o Assim o inverso de p ´ p . q e q q.e.d .
- 121. 4.3.5 Classes de equivalˆncia de fra¸˜es. e co Um dos “problemas” que encontramos em nossos c´lculos anteriores foi o da falta de a unicidade, por exemplo no caso do elemento neutro da soma em que qualquer fra¸˜o ca com numerador 0 ´ elemento neutro para soma. Quer dizer que h´ muitos zeros. e a A forma de resolver este problema vem sob a forma de rela¸ao de equival^ c~ e ncia. Esta forma de equivalˆncia ´ a velha lei das propor¸˜es agora aqui com nova e e co roupagem: Defini¸˜o 36 Equivalˆncia entre fra¸˜es. ca e co Diremos que duas fra¸˜es s˜o equivalentes, quando, colocadas como propor¸˜es, o co a co produto dos meios for igual ao produto dos extremos: p n ≡ se, e somente se, pm = qn. q m E agora vamos a ultima, e definitiva, defini¸˜o do conjunto dos n´meros racionais: ´ ca u Defini¸˜o 37 do conjunto dos n´meros racionais. ca u Seja p F = { ; p ∈ Z e q ∈ N∗ }, q F ´ o conjunto de todas as fra¸˜es que anteriormente chamamos de Q, e considere em e co P(F ) o conjunto das classes de equivalˆncias induzidas pela lei das propor¸oes, quer e c~ dizer que cada uma das classes de equivalˆn-cia ´ formada exclusivamente por fra¸˜es e e co que formem propor¸˜es. Este conjunto ´ Q, o conjunto dos n´meros racionais. co e u E agora a “coisa” se complicou, o cap´ ıtulo tem come¸ar todo de novo: definir as c opera¸˜es de adi¸˜o e multiplica¸˜o para este novo conjunto, definir uma ordem, e co ca ca voltar a provar os teoremas... Mas, vamos preferir deixar isto como exerc´ para o leitor. . . O pr´ximo bloco de ıcio o exerc´ıcios sugere estas demonstra¸˜es, nele faremos um tipo de representa¸˜o geom´trica co ca e para o conjuntos dos n´meros racionais, baseada na proporcionalidade existente em u cada classe de equivalˆncia. No final deste cap´ e ıtulo veremos outra interpreta¸˜o geom´- ca e trica que ir´ abrir espa¸o para construirmos o conjunto dos n´meros reais. a c u Exerc´ ıcio 14 Interpreta¸˜es geom´tricas de Q. co e a n 1. Mostre que se duas fra¸˜es, co b e m forem equivalentes, ent˜o: a n p a p + ≡ + m q b q a n 2. Mostre que se duas fra¸˜es, co b e m forem equivalentes, ent˜o: a n p a p · ≡ · m q b q p qualquer que seja a outra fra¸˜o ca q . 3. Fa¸a o gr´fico do produto cartesiano Z x N∗ . c a (a) Verifique que p q ∈ Q ≡ (p, q) ∈ Z x N∗ . ca 1 (b) Represente a fra¸˜o 3 como o ponto (1, 3). Escolha algumas fra¸˜es equiva- co lentes a ela, fa¸a coorespondente representa¸˜o gr´fica. Qual a conclus˜o c ca a a geom´trica? e
- 122. (c) Represente afra¸˜o 2 como o ponto (2, 5). Escolha algumas fra¸˜es equiva- ca 5 co lentes a ela, fa¸a coorespondente representa¸˜o gr´fica. Qual a conclus˜o c ca a a geom´trica? e (d) Fa¸a a demonstra¸˜o de que a conclus˜o geom´trica sugerida nos itens c ca a e anteriores vale sempre. 4. Verifique se ´ verdade: As classes de equivalˆncia que formam Q se encontram e e sobre as “semi-retas” que partem da origem e passam por uma “representa¸˜o” ca qualquer de um elemento: a Q ∋ → (a, b) ∈ Z x N∗ b a a classe de b se encontra na reta que passa na origem e pelo ponto (a, b). 5. m´dulo e classe de equivalˆncia. o e (a) Dentro do espirito da quest˜o anterior, determine a reta que contem a a classe do 1. (b) Ainda dentro do mesmo espirito geom´trico, determine a reta que contem e a classe do 2. (c) Ainda dentro do mesmo espirito geom´trico, determine a reta que contem e 1 a classe do 2 . 1 (d) Determine a reta que contem a classe do 3 . 1 (e) Determine a reta que contem a classe do 4 . −1 (f ) Determine a reta que contem a classe do 2 . (g) Determine a reta que contem a classe do −2. (h) Determine a reta que contem a classe do −3. (i) De todas estas experiˆncias deduza uma regra geral que associe sinal e e m´dulo sobre a localiza¸˜o geom´trica das classes de equivalˆncia de n´meros o ca e e u racionais Observa¸˜o 21 Coment´rios sobre os exerc´ ca a ıcios. 1. n p nq+mp m + q = qm a p aq+bp b + q = bq (nq + mp)bq = (aq + bp)qm nbq 2 + bmpq = amq 2 + bmpq nbq 2 = amq 2 a n nb = am equivale ` hip´tese a o b ≡ m Conclus˜o a adi¸˜o que definimos no velho Q ´ a mesma que para o nov´ a ca e ıssimo Q das classes de equivalˆncia. e 2. n p np m · q = mq a p ap b · q = bq a n npbq = apmq ≡ nb = am equivale ` hip´tese a o b ≡ m
- 123. 3. Se duasfra¸˜es a , x forem equivalentes ent˜o ay = bx ≡ y = a x quer dizer co b y a b “qualquer que seja x o numerado e o denominador estar˜o sempre na mesma y a x propor¸˜o”. Se representarmos y como o ponto (x, y) no plano, eles ser˜o ca- ca a tetos de triˆ ngulos retˆngulos semelhantes, logo as hipotenusas ficar˜o sempre a a a sobre a mesma reta. Quer dizer, (x, y) estar´ sobre a reta determinada por (a,b), a ´ o que as experiˆncias sugeriram. De fato, a classe de a se encontra na reta e e b que passa na origem e pelo ponto (a, b). Observe que a “primeira coordenada” do par ordenado a ´ a. b e 4. Conclus˜o geom´trica sob a localiza¸˜o das classes de equivalˆncia das fra¸˜es: a e ca e co • As classes de equivalˆncia que comt´m as fra¸˜es negativas, s˜o as semi- e e co a retas contidas no quarto quadrante. • Se uma classe de equivalˆncia contiver fra¸˜es de m´dulo menor que 1, e co o “fra¸˜es pr´prias”, ent˜o ela cont´m as fra¸˜es co o a e co a ≡ (a, b) ; a b b ent˜o os pontos (a, b) se encontra em uma reta acima da primeira bissetriz. a • A classe do 1 ´ primeira bissetriz. e • A classe do −1 ´ segunda bissetriz, ´ a semi-reta que passa na origem e e e pelo ponto (1, −1), no quarto quadrante. • Se uma fra¸˜o tiver m´dulo maior que 1, for uma fra¸˜o impr´pria, sua ca o ca o classe de equivalˆncia ser´ uma semi-reta entre as duas bissetrizes. e a • A classe das fra¸˜es nulas, convenientemente, est´ sobre o eixo OY. co a • curiosidade... O eixo OX n˜o cont´m fra¸˜es, por que? a e co 4.3.6 O m.m.c. e a soma de fra¸˜es. co Um denominador comum entre duas fra¸˜es podem ser v´rios. J´ vimos anteriormente co a a que uma forma de encontrar um denominador comum, seria considerar o produto dos denominadores. O produto de dois n´ meros ´ um m´ltiplo comum a ambos. u e u O m.m.c entre dois n´ meros ´ o “menor” m´ltiplo comum entre estes n´meros. u e u u a p Vamos considerar duas fra¸˜es, b , q . co Para somar estas fra¸˜es, podemos simplesmente construir duas fra¸˜es equivalen- co co tes a estas com denominador bq. Depois vamos escrever a p aq + bp + = . b q bq Em vez de escolhermos bq vamos escolher um m´ltimo comum que seja menor que bq, u se houver. Vamos cham´-lo m e estamos querendo dizer que: a m = bc ; m = qc′ e os dois fatores c, c′ n˜o precisam ser iguais. A gora a soma de fra¸˜es fica: a co a p ac pc′ b + q = bc + qc′ = a p ac pc′ b + q = m + m = ′ a p ac+pc b + q = m
- 124. Esta ´ express˜omais simples da soma se n˜o houver fator comum entre a, p, m. e a a Entretanto ´ bom salientar a completa inutilidade do c´lculo do m.m.c. para somar e a fra¸˜es. co 4.4 Outra interpreta¸˜o geom´trica de Q e dos ca e n´meros reais. u Mostraremos que o conjunto dos n´ meros racionais tem um comportamento u geom´trico. Embora ele venha de uma extens˜o alg´brica de Z e guarde muita e a e semelhan¸a ainda com este conjunto, ele j´ cont´m a semente de um conjunto c a e mais avan¸ado, o conjunto dos n´meros reais. c u A completa¸ao que faremos de Q para chegar ao conjunto R dos n´ meros c˜ u reais ser´ de natureza geom´trica, em oposi¸ao as passagens que construimos a e c˜ N → Z → Q−→R 4.4.1 A reta e os racionais. Os n´meros racionais tˆm uma propriedade que os faz fundamentalmente diferentes u e dos inteiros: entre dois n´ meros racionais, tem outro n´mero racional. u u Isto torna Q infinito de muitas maneiras: • cresce indefinidamente no sentido positivo, como N, ou • decresce indefinidamente no sentido negativo como Z, e • finalmente tem uma infinidade de n´mero racionais entre quaisquer dois n´meros u u racionais. Observe uma interpreta¸˜o geom´ trica desta afirma¸˜o na figura (fig. 4.3) na p´gina ca e ca a 118. 1 0.015625 0.03125 0.0625 0.125 0.25 0.5 11 0.5 0 0 0.125 0.25 0.375 0.5 0.625 0.75 0.875 1 Figura 4.3: entre dois racionais sempre h´ outro... a
- 125. Exemplo 32 Entredois racionais h´ outro racional. a • Entre 0 e 1: 0.5 • Entre 0 e 0.5: 0.25 • Entre 0 e 0.25: 0.125 • Entre 0 e 0.125: 0.0625 • Entre 0 e 0.0625: 0.03125 • Entre 0 e 0.03125: 0.015625 Observe na figura (fig. 4.5) p´gina 119, o intervalo [0, 1] colocado sob lente de a aumento. 1/2 0 1 0 1 0 1 1/4 3/4 1/2 Figura 4.4: O intervalo [0, 1] colocado sob uma lente. Figura 4.5: Em suma, do exemplo acima tiramos uma vis˜o geom´trica do conjunto dos n´meros a e u racionais: Propriedades comparativas da reta e de Q. 1. Ponto privilegiado • Numa reta existe um ponto privilegiado que a divide em duas semi-retas
- 126. • Em Qexiste um ponto privilegiado, o zero13 , que dividem Q em dois conjuntos, o conjunto dos n´meros racionais positivos, Q+ u e o conjunto dos n´meros racionais negativos, Q− . u 2. Existencia de um ponto entre dois outros. • Numa reta qualquer, dados dois pontos, sempre existe um ter- ceiro ponto entre os anteriores. • Em Q dados dois n´meros, sempre podemos “calcular” um ponto u entre os dois outros, por exemplo a m´ dia aritm´tica. e e 3. Existencia de um ponto externo a dois outros. Propriedade arquime- diana dos racionais. • Numa reta, dados dois pontos, sempre existe um ponto que n˜o a se encontra no segmento de reta determinados por eles. • Em Q, dados dois n´meros, sempre existe um terceiro que ´ u e 14 maior que os outros dois e mesmo um quarto que ´ menor que e os dois dois. 4. conjunto infinito • Uma reta ´ um conjunto infinito. e • Q ´ um conjunto infinito. e Tivemos o cuidado de expressar todas as propriedades de retas precedidas do artigo indefinido, porque h´ muitas retas, entretanto sempre usamos o modo definido para a fazer referˆncia ao conjunto Q que ´ um s´. e e o Estas propriedades nos permitem de identificar numa reta qualquer uma c´pia de o Q. ___-4____-3____-2____-1_____0_____1_____2_____3_____4_ ... escolhendo um ponto para representar o 0 e depois, a intervalos iguais, os n´meros u inteiros, e depois entre estes os n´meros fracion´rios n˜o inteiros. Desta forma o u a a subconjunto dos racionais positivos se encontram ocupando uma das semi-retas, e o subconjunto dos racionais negativos a outra. 4.4.2 N´ meros irracionais na reta. u A descoberta dos gregos da ´poca de Pit´goras, entretanto, foi a de que havia n´mero e a u na reta que n˜o era racional. Basta dar um exemplo para comprovar o fato. a Se supusermos que existe um n´mero racional simplificado p , isto ´ em sua forma u q e irredut´ ıvel, tal que p √ = 2 q 13 n˜o a precisava ser o zero, podia ser qualquer outro ponto, a escolha de outro ponto iria apenas tornar a nossa ´lgebra mais complicada. a 14 Depois iremos redigir esta propriedade de outra forma e cham´-la de arquimediana. a
- 127. seremos conduzidos auma contradi¸˜o: ca p √ x= q ex= 2 p2 x2 = q2 = 2 ⇒ p2 = 2q 2 p2 2 = q 2 ∈ Z ⇒ p2 ´ par e ′2 p2 2 p2 = 4p ⇒ 2 = 2p′ = q 2 ⇒ q ´par e isto ´, numerador e denominador da fra¸˜o p tem que ser pares apesar de que a fra¸˜o e ca q ca seja por hip´tese irredut´ o ıvel. √ √ √ A figura (fig. 4.6), p´gina 121, contem a representa¸˜o gr´fica de 2, 3, 4 = 2. a ca a 3 0 1 4 = 2 2 Figura 4.6: Raizes quadradas Vocˆ pode calcular√ e geometricamente as sucessivas ra´ ızes quadradas de n´meros u naturais. Comece com 2. tra¸ando um c´ c ırculo que tem por raio a hipotenusa de um triˆngulo retˆngulo de lados 1. a a • Use a raiz para construir um triˆ ngulo retˆngulo com um cateto de lado 1; a a • Use a nova hipotenusa com raio para obter a nova raiz. Observa¸˜o 22 Aqui usaremos o princ´ pio do terceiro excluso para entender o que ca ı est´ acontecendo, que ´ a justifica¸˜o das demonstra¸oes por absurdo. a e ca c˜
- 128. p 1. x = ∈ Q est´ na forma irredut´ q a ıvel. √ 2. x = 2. 3. numerador e denominador de x s˜o n´meros pares. a u Ou o primeiro item ´ falso ou o terceiro tem que ser, porque eles s˜o incompat´ e a ıveis. Como o primeiro ´ uma hip´tese poss´ e foi admitida, e do segundo se deduz o e o ıvel terceiro, ent˜o a inclus˜o do segundo item gerou a contradi¸˜o, logo ele ´ falso. a a ca e Ent˜o o contr´rio do segundo item15 ´ verdadeiro: a a e √ x= 2 √ isto ´ n˜o pode haver um n´mero racional igual a 2. e a u Em l´gica formal, que ´ a m´quina que usamos para fazer Matem´tica, vale o o e a a princ´ıpio: Se a proposi¸˜o A for falsa, ent˜o a proposi¸˜o (n˜o A) ´ verdadeira. ca a ca a e Sempre, uma das duas, A ou n˜o A, e apenas uma delas, faz parte dos Teoremas a ou Postulados da Matem´tica. Se n˜o pudermos demonstrar, ´ um postulado. a a e O que se tornou um quebra-cabe¸as para os pitag´ricos foi que eles conseguiam √ c o colocar 2 na mesma reta em que se encontravam todos os n´meros racionais. u O m´ todo ´ simples e vocˆ est´ convidado a reproduz´ e e e a ı-lo: Escolha na reta o n´mero racional 1 e sobre ele levante, perpendicularmente, um u segmento de reta de comprimento 1. Agora tire da origem at´ a extremidade apropriada e deste segmento, um segmento de reta de modo a construir um triˆ ngulo retˆngulo. √ a a Pelo teorema √ Pit´goras, o comprimento deste segmento ´ 2. Com um compasso, de a e com abertura 2, uma das pontas na origem, a outra ponta se encontrar´ no final do a segmento que representa a hipotenusa. Voc´ pode tra¸ar uma circunferˆncia que ira e c √ e cortar a reta em dois pontos que se encontram ` distˆncia 2 da origem, um desses √ a a pontos est´ na semi-reta que contem Q+ , ´ 2 e outro est´ na semi-reta que contem √a e a − Q , ´ − 2. e Ent˜o na reta existem outros n´meros al´m dos n´meros racionais. Este ser´ o a u e u a assunto do pr´ximo cap´ o ıtulo: a constru¸˜o geom´trica de R. ca e Observe figura (fig. 4.6) na p´gina 121. a 4.4.3 Representa¸˜o geom´trica de ca e de um n´ mero racional u p Vamos mostrar aqui como podemos representar qualquer fra¸˜o ca q na reta. Observe o gr´fico na figura (fig. 4.2) na p´gina 107. a a 1. caso de fra¸˜es pr´prias positivas. Os passos s˜o os seguintes: co o a (a) Trace uma reta e nela represente o zero. Chame esta reta de Q. (b) A espa¸os iguais, por exemplo, a cada cent´ c ımetro, represente um inteiro, represente por exemplo de -4 a 3, em Q. p (c) Representa¸˜o de ca q ; p, q ∈ N. p Considere e a fra¸˜o ca q com denominador e denominador positivos. 15 o segundo item ´ terceiro a ser excluido, porque tem tres itens... e
- 129. i. Trace umasemi-reta partindo de zero passando num ponto P qualquer do plano fora da reta Q. ii. Chame esta semi-reta de obliqua. iii. Na semi-reta obliqua marque o n´mero inteiro positivo q, e todos os u que o antecedem at´ o zero que ´ o zero comum a ambas as retas. e e O n´mero positivo q n˜o precisa coincidir com o ponto P, mas vocˆ u a e poderia redefinir P para que eles co¨ındissem. iv. Trace o segmento de reta que une q ao 1 ∈ Q. v. Trace paralelas a este ultimo segmento passando pelos inteiros que ´ estiverem entre 0 e q na semi-reta obliqua. vi. Identifique os pontos de encontro das parelalas construidas no item anterior sobre Q. vii. Por semelhan¸a de triˆngulos, os segmentos de reta entre 0 e 1 em c a Q, tem todos o mesmo comprimento que vale 1 e sucessivamente q representam as fra¸˜es co 1 2 q , . . . = 1. q q q p viii. Em particular, se p q o n´mero racional u q ser´ um dos n´meros a u acima. 2. caso de fra¸˜es impr´prias positivas. Para obter uma fra¸˜o impr´pria, co o ca o aquelas em que o numerador ´ maior do que o denominador, basta considerar, e na constru¸˜o acima, sobre a obliqua, n´meros inteiros maiores do que q. Cor- ca u rrespondente ao n´mero q sobre a obliqua, teremos um segmento de reta que u termina em 1. Correspondente um n´mero inteiro positivo p maior do que q u p teremos uma fra¸˜o impr´pria q 1. ca o 0 3. Constr´a as fra¸˜es de denominador 3 desde u co 3 at´ 5 . e 3 4. O caso das fra¸˜es negativas. A mesma constru¸˜o pode ser feita, consi- co ca derando agora n´meros negativos e usando −1 como ponto de referˆncia para u e obter os triˆngulos semelhantes. Ser´ necess´rio continuar a sem-reta obliqua a a a para al´m do zero. e 4.5 Um programa para ensinar os inteiros ao computador Este programa ´ uma “farsa” no sentido de que ele ensine as contas ao com- e putador. A nossa unica pretens˜o com esta se¸ao ´ justificativa do aparato ´ a c˜ e abstrato que estamos construindo. Com este programa estamos lhe forne- cendo uma p´lida amostra de como a abstra¸ao, em Matem´tica, tem uma a c˜ a utiliza¸ao pr´ tica muitas vezes siquer imaginada pelos que ingenuamente c˜ a procuram inventar uma falsa metodologia para o ensino desta disciplina ten- tando substituir o arduo caminho da constru¸ao l´gica com brincadeiras que ´ c˜ o deveriam apenas representar a distens˜o, necess´ria, no trabalho em sala de a a aula, mas se tomada como um m´todo construtivo s´ pode conduzir a uma e o superficialidade no ensino que interessa, sim, aos desonestos que pretendem subjugar nosso pa´ e mantˆ-lo como uma colˆnia das multinacionais onde ıs e o apenas se dan¸e e se assista futebol durante os apag˜es. c o
- 130. O Programa abaixoest´ escrito em Python, uma linguagem de programa¸˜o de a ca dom´ınio p´blico. Esta linguagem roda em diversas plataformas computacionais, em u LinuX por exemplo. Se vocˆ quiser rodar o programa, solicite aos autores uma c´pia e o pela internet. O objetivo aqui ´ apenas de mostrar a necessidade de saber abstrair, inclusive para e nos comunicarmos com um objeto como um computador. #!/usr/bin/python ### estensao dos metodos da aritmetica aos inteiros ## Definicao da troca de sinal def t(x): return -x ## estensao da adicao aos numeros inteiros. def adicao(x,y): if ((x ¿= 0) and (y ¿=0)): return x+y if ((x ¿=0) and (y ¡= 0)): if t(y) ¿ x: return t(t(y)-x) else: return x - t(y) if ((x ¡=0) and (y ¿= 0)): return adicao(y,x) else: return t(adicao(t(x),t(y))) ## estensao da multiplicacao ao numeros inteiros def multiplicacao(x,y): if ((x ¿= 0) and (y ¿= 0)): return x*y if ((x ¿= 0) and (y ¡= 0)): return t(x*t(y)) if ((x ¡= 0) and (y ¿= 0)): return multiplicacao(y,x) else: return (multiplicacao(t(x),t(y))) ## estensao da desiguladade aos numeros inteiros def maior do que(x,y): resposta = ”eles sao iguais ! ” resposta1 = str(x)+” ”+str(y) resposta2 = str(y)+” ”+str(x) if x==y: return resposta elif ((x ¿= 0) nd (y ¿= 0)): a if x ¿ y: return resposta1 else: return resposta2
- 131. elif ((x ¿=0) nd (y ¡= 0)): a return resposta1 elif ((x ¡= 0)and (y ¿= 0)): return resposta2 elif (t(y)¿ t(x)): return resposta1 else: return resposta2 def limpa tela(): n=0 while n ¡ 23: print print chr(7) n = n+1 def separa(): print print print chr(7) def finalizando(): fim = raw input(”quer terminar ? ”) if fim == ”nao”: fim = limpa tela() print ”OK, continuando....” elif fim == : limpa tela() print ”OK, continuando....” elif fim == ”n”: fim = limpa tela() print ”OK, continuando....” separa() === m aquina de calcular ================= fim = limpa tela() while fim == : print ”Posso ” print ”somar ( + ), multiplicar ( * ), ou comparar ( ¡ ) ” print ”dois numeros dados.” separa() print ”De-me os dois numeros, ” x = input(”o primeiro numero: ”) y = input(”o segundo numero: ”)
- 132. limpa tela() print ”os numeros escolhidos foram ”,x,y separa() print ”Qual eh o metodo: ”, ”+, * , ¡ ? ” metodo = ra input(”metodo —¿ (+ * ¡ )”) limpa tela() if (metodo==”+”): print ”a adicao dos dois numeros ”, x,,y, ”eh ”, adicao(x,y) print print chr(7) elif (metodo==”*”): print ”o produto dos dois numeros ”, x,,y, ”eh ”, multiplicacao(x,y print print chr(7) else: print ”A comparacao entre os dois numeros”, x,,y, ”eh, ”, maior do print print chr(7) print ’escreva ”fim”, (basta uma letra), quando quiser terminar’ fim = raw input(’ou ”enter”se quiser continuar –¿[’) limpa tela() print chr(7) print ”Muito obrigado por ter se usado o ” print ”sistema ’aritmetica’ ... ” separa() print chr(7) print ”Suas sugestoes sao bem vindas para melhorar o ” print ”programa.” separa() print chr(7) print ”Lute para que haja computadores nas Escolas.” print ”Claro, computadores a servico dos professores,” print ”e nao computadores somente para a diretora....” print print chr(7) print ”Lute para que o salario do professor seja bom.” print chr(7) print print ”Lute por um plano de carreira dos professores” print ”em todos os niveis.” print chr(7)
- 133. Cap´ ıtulo 5 Constru¸˜o geometrica de ca R. Neste cap´ ıtulo vamos construir geom´tricamente o conjunto e dos n´ meros reais. O ponto de partida ser´ a representa¸˜o u a ca geom´trica de Q sobre a reta e a descoberta de que na reta e existem n´ meros n˜o racionais, portanto a reta ´ um conjunto u a e que cont´m Q estritamente. Quer dizer que a reta representa e um outro conjunto do qual Q ´ um subconjunto. Chamaremos e este novo conjunto de R e vamos estudar suas propriedades. O conjunto dos n´ meros reais ´ um dos conjuntos num´ricos u e e fundamentais, mas ele representa uma ruptura no pensamento que ainda hoje est´ mal absorvida pela maioria das pessoas, a inclusive matem´ticos que chegam a negar sua existˆncia. Ele a e merece um cap´ ıtulo a parte. 5.1 O conjunto dos n´meros reais. u O ponto inicial ´ a constata¸ao de que h´ um novo conjunto diferente dos e c˜ a anteriores e estabelecer uma fundamenta¸ao l´gica para sua existˆncia formal. c˜ o e Em suma definir o novo conjunto, e criar m´todos para atuar sobre ele. e No cap´ ıtulo anterior convivemos com um erro que ´ preciso corrigira agora. e Falavamos da reta, mas retas h´ muitas. Acontece que, do nosso ponto de a vista de representa¸ao dos n´ meros, apenas interessa considerar uma reta c˜ u como modelo concreto para o conjunto que agora pretendemos construir. Claro, em outra reta qualquer podemos repetir a representa¸ao dos n´ mero c˜ u o que significa estabelecer uma bije¸ao enter as duas retas. c˜ Ou seja, consideraremos todas as retas equivalentes o que na pr´tica ´ como a e se fossem todas iguais. Porisso falavamos e continuaremos falando da reta. Duas retas distintas s˜o apenas duas c´pias do novo conjunto que logo iremos a o definir. a Este ´ um livro did´tico, quer dizer, nele tentamos arremedar o processo e a natural da aquisi¸ao do conhecimento que passa pela convivˆncia com com c˜ e erros l´gico at´ a formaliza¸ao do novo conhecimento. O livro did´ tico ´ o o e c˜ a e cen´rio art´ a ıstico em que a ciˆncia se desenvolve. e Defini¸˜o 38 Conjunto dos n´meros reais. ca u 131
- 134. Uma reta qualquersobre a qual tenhamos escolhido o ponto para representar o zero e ` intervalos iguais escolhido pontos para representar os inteiros, se chamar´ a reta a a num´rica. e A reta num´ rica ´ o conjunto dos n´meros reais. e e u Este novo conjunto se designa com o s´ ımbolo R. De agora em diante, estaremos chamando de n´meros reais aos pontos de uma reta u num´rica. e Observa¸˜o 23 Unicidade da reta num´rica. Entre duas tais retas podemos esta- ca e belecer uma correspondˆncia bi´nivoca 1 e sobre2 de formas que as consideraremos e u apenas c´pias equivalentes da reta num´rica. o e Ou seja, a reta num´ rica ´ uma s´3 . e e o √ A experiˆncia que come¸amos com 2 pode ser iterada, Ver p´gina 121. e c a √ • sobre o n´mero 2 considere um segmento de reta perpendicular e de com- u primento 1. Ligue a extremidade adequada com a origem para construir um √ triˆ ngulo retˆngulo. A hipotenusa deste triˆngulo ir´ medir 3 que poder´ a a a a a ser transferida para a reta com um compasso determinando dois n´meros reais: √ √ u 3, − 3. √ • sobre o n´mero 3 considere um segmento de reta perpendicular e de compri- u mento 1. Ligue a extremidade adequada com a origem para construir um triˆ √ a ngulo retˆngulo. A hipotenusa deste triˆngulo ir´ medir 4 = 2 que poder´ a a a a ser transferida para a reta com um compasso determinando dois n´meros reais: u 2, −2. Neste caso n˜o ganhamos nada, mas mostramos que os inteiros podem a ser obtidos da mesma forma que os n´meros irracionais. u • sobre o n´mero 2 considere um segmento de reta perpendicular e de comprimento u 1. Ligue a extremidade adequada com a origem para construir um triˆ ngulo √ a retˆngulo. A hipotenusa deste triˆngulo ir´ medir 5 que poder´ ser transferida a a a a √ √ para a reta com um compasso determinando dois n´meros reais: 5, − 5. u √ e assim sucessivamente podemos construir ± n para qualquer n´mero natural n. u Sempre que n for primo o resultado ser´ um novo n´mero irracional. a u Observa¸˜o 24 N´meros n˜o alg´bricos. ca u a e H´ outros tipos de n´meros n˜o racionais sobre a reta, por exemplo os n´meros a u a u alg´bricos. e √ Um n´mero ´ alg´brico se for solu¸˜o de uma equa¸˜o polinomial. Por exemplo, u e e ca ca 2 ´ solu¸˜o da equa¸˜o e ca ca x2 − 2 = 0 √ ent˜o 2 ´ um n´mero alg´brico sobre Q, mas que n˜o pertence a Q e sim ˚ a e u e a asua extens˜o R. a Que podemos dizer das solu¸˜es da equa¸˜o x2 + 1 = 0 ? co ca 1 leia “injetiva” 2 leia “sobrejetiva” 3 o conceito de unicidade ´ primordial, ele parece uma necessidade infantil... mas veja, e se n˜o considerarmos todas as retas iguais, quando tivermos dois exemplares poderemos ter a eventos ocorrendo em locais distintos o que ser´ uma inconveniˆncia, pelo menos porque pode a e n˜o ser poss´ a ıvel compar´-los. a
- 135. H´ tambem osn´meros n˜o ´lgebricos, que n˜o s˜o solu¸˜es das equa¸˜es alg´bricas a u a a a a co co e com coeficientes racionais4 . Todo n´ mero racional ´ um n´mero alg´brico. u e u e Mas h´ n´meros que n˜o s˜o nem racionais nem alg´bricos, estes se chamam a u a a e transcendentais. Esta ´ a defini¸˜o, quando um n´mero n˜o for alg´ brico, ele ´ e ca u a e e transcendental. Como poderiamos provar que h´ n´meros n˜o alg´bricos? a u a e A parte da Matem´tica que trata deste assunto se chama teoria dos n´meros a qual a u pertence o recentemente provado u ltimo teorema de Fermat . N˜o haveria espa¸o neste ´ a c ´ livro para iniciar esta teoria...faz parte de uma disciplina chamada Algebra, que n˜o ´ a e exatamente a mesma ensinada nos concurso para a Pol´ ıcia e para o Banco do Brasil e Receita Federal. A consequˆncia do que fizemos acima ´: e e • Existe um novo conjunto, a reta num´rica R. e • N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. • Existem n´meros reais que n˜o s˜o racionais, os n´meros irracionais, portanto u a a u R ´ um novo conjunto. e Como R ´ um novo conjunto, teremos que estender a ele os m´ todos de Q, as e e opera¸˜es alg´bricas e l´gicas. co e o Exerc´ ıcio 15 N´meros irracionais. u √ 1. Prove que n ´ um n´mero irracional quando n for primo? e u √ 2. Quando n, mesmo n˜o sendo primo, ainda n ´ um n´mero irracional? a e u √ 3. Verifique se ´ verdade que “ n ´ inteiro ou irracional” e e 5.2 Estrutura alg´brica da reta. e Vamos estender as opera¸oes aritm´ticas e l´gicas ao novo conjunto num´rico c˜ e o e R. Como este novo conjunto ´ de natureza geom´trica, estas defini¸oes ser˜o e e c˜ a feitas usando uma metologia geom´trica. Isto quer dizer que consideraremos e as opera¸oes geom´tricas como parte de nossa experiˆncia como consideramos c˜ e e N um conhecimento fundamental j´ adquirido ou aceito. a A constru¸ao feita aqui ficar´ incompleta, muita coisa ser´ deixada para o c˜ a a leitor, caso contr´rio este livro ficaria muito grande. a 5.2.1 A adi¸˜o em R. ca Vamos associar a cada n´mero x ∈ R real o segmento de reta orientado 0x que liga u 0 ∈ R a x. Defini¸˜o 39 N´meros reais positivos. ca u O conjunto R+ , chamado dos n´meros reais positivos, ´ a semi-reta que contiver u e + Q . A outra semi-reta ´ o conjunto dos n´ meros reais negativos e u 4 sem esta restri¸ao n˜o aconteceria nada diferente, todo n´ mero, π por exemplo ´ solu¸ao c˜ a u e c˜ 1 de uma equa¸ao do primeiro grau: π x = 1 c˜
- 136. Observa¸˜o 25 Sentido. ca Observe que a natureza geom´trica dos n´meros reais cria novos conceitos. Os e u n´meros reais s˜o pontos de uma reta na qual se escolheu um ponto privilegiado para u a representar o zero e de onde “partem” duas semi-retas: R+ , R− . Quer dizer que esta- mos falando de duas semi-retas “orientadas”, uma delas “cresce” no sentido positivo e a outra “cresce” no sentido negativo, porisso passaremos a dizer que esta ultima ´ descresce5 . Assim um n´mero real positivo determina em R, com a origem, um segmento de u reta que tem sentido diferente, contr´rio, a qualquer segmento de reta determinado a com a origem por um n´mero real negativo. u Adi¸˜o de de vetores ca Como os n´meres reais s˜o “seres geom´tricos” vamos discutir aqui em detalhe como u a e somamos segmentos de reta - vetores. ´ E a “regra do paralelogramo”, ver (fig. 5.1), p´gina 130. a Regra do paralelogramo resultante a a+b b a ay a = ax + ay a x as componentes horizontal e vertical de um vetor bx b = bx + by by b Figura 5.1: A regra do paralelogramo para somar segmentos orientados Na figura (fig. 5.1), p´gina 130, vocˆ pode ver a decomposi¸˜o dos vetores a, b que a e ca se encontram somados no paralelogramo. O paralelogramo, enfim, ´ uma figura geom´trica especial. Os lados sendo paralelos e e dois, ele serve para “transferir” comprimentos sem deforma¸˜o. ca 5 se eu tiver uma d´ıvida de 200 Bi com o FMI e “contratar” um novo empr´stimo, para e auxiliar uma multi- nacional que vem se instalar aqui dentro, de mais 50 Bi, ent˜o a minha a d´ ıvide cresce, mas os meus direitos, a minha independˆncia, “descrescem”. e
- 137. Aqui vocˆ vaiter que fazer uma adapta¸˜o mental. Como ´ que fica a soma de e ca e segmentos em cima da reta? Se conven¸a, teremos um paralelograma “degenerado” c com todos os lados em cima da reta... Pat´grafo - constru¸˜o de figuras semelhantes o ca Era comum se poder comprar nas casas de desenho um instrumento chamado pant´grafo6 . o A figura (fig. 5.2) p´gina 131, mostra o efeito de um pant´grafo sobre uma figura a o geom´ trica, ´ poss´ copiar a figura mantendo suas propor¸˜es. Na figura (fig. 5.2) e e ıvel co os pol´ ıgonos A e A s˜o semelhantes. a Pantografo A A A A Figura 5.2: Figuras semelhantes obtidas com um pant´grafo o Ent˜o podemos transferir segmentos, ou como se costuma dizer, vetores, quardando a comprimento e dire¸˜o, usando a regra do paralelogramo. ca Podemos, inclusive, com pant´grafos, “multiplicar” as grandezas geom´tricas guar- o e dando a semelhan¸a, (dire¸˜o e sentido). c ca O que nos interessa neste momento ´ soma, trataremos em seguida da multi- e plica¸˜o, tamb´m. ca e H´ dois instrumentos de desenho cruciais para a nossa constru¸˜o alg´brica: com- a ca e passo, esquadro. • Compassos servem para transferir distˆncias, porisso conseguimos tra¸ar um a c c´ ırculo com um compasso, transferindo a distˆncia do centro para um ponto a “qualquer” guardando a distˆncia escolhida. Todos os pontos assim marcados a ficam a mesma distˆncia do centro; a 6 do grego, pantos=tudo, grafos=c´pia o
- 138. • Esquadros servempara transferir dire¸˜o, retas paralelas. ca Usando um compasso podemos transferir um segmento b para o extremos do seg- mento a e assim calcular o segmento soma a + b sobre uma mesma reta. Vocˆ pode ver estas id´ias concretizadas na figura (fig. 5.3) p´gina 132. Na figura e e a vocˆ pode ver a soma dos segmentos a, b todos dois com o sentido positivo da reta. e Tamb´m vocˆ pode ver a soma de dois outros segmentos, a no sentido positivo da reta e e e b orientado no sentido negativo da reta. No segundo caso, em que os segmentos tem sentidos contr´rios: a • a tem sentido positivo e tem m´dulo menor; o • b tem sentido negativo e tem m´dulo maior, o o resultado desta soma ´ um segmento com orienta¸˜o negativa: a + b 0. e ca a+b a+b 0 a 0 b 0 a+b 0 a b 0 marca do zero Figura 5.3: Soma de segmentos Da mesma forma como podemos somar segmentos, tamb´ m ´ poss´ e e ıvel fazer a diferen¸a entre segmentos. Observe inicialmente que c x − y = x + (−y). Quer dizer que a diferen¸a se traduz como uma adi¸˜o de x com7 −y. c ca Observe na figura (fig. 5.4) p´gina 133, a soma e a diferen¸a dos vetores a, b. S˜o a c a as duas diagonais do paralelograma que eles determinam. Podemos tomar emprestado da geometria e do desenho os instrumentos necess´ a rios para fazer algebra e construir o conjuntos dos n´meros reais, geometricamente. ´ u Vamos aplicar a ´lgebra vetorial nos geom´tricos n´ meros reais. a e u 7 Logo vamos definir para os reais a troca de sinal.
- 139. Adicao e diferencade vetores a b a− a b −b = a+b a− = b a−b, b−a, a+b sao as diagonais a−b, b−a sao a mesma diagonal, em sentidos reversos. Figura 5.4: Adi¸ao e diferen¸a dos vetores a, b. c˜ c M´dulo e troca de sinal o De forma idˆntica ao que aconteceu com a soma de n´meros inteiros, precisaremos do e u conceito de m´dulo. A figura (fig. 5.5), p´gina 134, ilustra diversos fatos geom´tricos o a e relativos aos n´meros reais. Nela um c´ u ırculo centrado na origem comum de duas retas indica o m´dulo. o Defini¸˜o 40 M´dulo de um n´mero real. ca o u Dado um n´mero real x com a origem ele determina o raio r, de um c´ u ırculo de centro na origem e que passa tanto por x como por −x. Por conven¸˜o consideraremos ca r igual ao n´mero real positivo e o chamaremos de m´dulo: r = |x| = | − x|. Veja u o na (fig. 5.5), p´gina 134, o n´mero x al´ representando um n´mero negativo, e seu a u ı u m´dulo |x|. Os dois se encontram num mesmo c´ rculo, porque c´ o ı ırculos de centro na origem s˜o o lugar geom´trico dos n´meros que tˆm o mesmo m´ dulo. a e u e o Portanto |x| ´ o raio do c´ e ırculo de centro na origem que passa por x. Tamb´m precisaremos da fun¸˜o troca sinal: e ca Defini¸˜o 41 Fun¸˜o troca sinal. Definimos a fun¸˜o ca ca ca t : R → R ; x → −x de tal modo que −x ´ o u nico n´mero real tal que | − x| = |x| e que se encontra na e ´ u semi-reta em que x n˜o est´. a a Vamos tamb´m definir uma fun¸˜o que identifica quando x ∈ R+ . e ca
- 140. Multiplicacao geometrica e modulo c|x| d 1 −x |x| −1 1 x −d c Figura 5.5: Multiplica¸ao, m´dulo em R. c˜ o Defini¸˜o 42 Fun¸˜o sinal ca ca A express˜o, o sinal de x ´ 1 se x ∈ R+ , ou o sinal de x ´ −1 se x ∈ R− . a e e x≥0 ⇒ 1 sign(x) = (5.1) x 0 ⇒ −1 A fun¸˜o t serve para transpor x para o outro n´mero real determinado pelo c´ ca u ırculo de centro na origem passando por x, independentemente do sinal de x. Observe na (fig. 5.5), p´gina 134, o n´ mero d ´ o n´mero −d. a u e u Exerc´ ıcios 21 Troca sinal e m´dulo o 1. Observe se as duas frases seguintes s˜o verdadeiras: d ´ a imagem pela fun¸˜o a e ca “troca sinal” de −d. −d ´ a imagem pela fun¸˜o “troca sinal” de d. e ca 2. Calcule t(t(d)). 3. Calcule | − x |; | − 3|; | − 3| + 3; 3 − | − 3| 4. Verdadeiro ou falso: “Dois n´meros reais de mesmo m´ dulo, mas de senti- u o dos diferentes, determinam com a origem dois segmentos de reta com sentidos opostos. Um ´ inverso aditivo do outro”. e 5. Calcule sign(−3); sign(sign(−3)); 1 + sign(−3); sign(3) − 1 Rela¸˜o de ordem na reta ca Queremos, para compatibilizar a rela¸˜o de ordem de R com as que definimos em Z, Q ca usar a mesma defini¸˜o anterior. ca
- 141. Defini¸˜o 43 Ordemem R ca x, y ∈ R ; x y ⇐⇒ y − x ∈ R+ Quando fizermos a diferen¸a (vetorial) y − x a “resultante” deve estar na semi-reta c positiva quando x y. A figura (fig. 5.6) p´gina 135, ilustra estes conceitos. a −x y−x x y −x y−x 0 y−x R+ Figura 5.6: Adi¸ao, m´dulo, desigualdade em R. c˜ o Transferimos para a reta num´rica, que representa o novo conjunto num´ rico e e estendendo Q quase todos os m´todos al´ existentes: adi¸ao, desigualdade. Ainda e ı c~ falta definir a multiplica¸˜o geom´trica que logo faremos. Antes vamos testar a nossa ca e capacidade formal com os novos conceitos demonstrando um teorema. Teorema 42 Se |x| ≥ |y| ent˜o o x + y tem o sinal de x. a Dem : Quer dizer que x determina um c´ ırculo, de centro na origem, com maior maior do que o c´ ırculo determinado por y. Ent˜o, quando transferirmos. Se os dois tiverem o mesmo sinal nada h´ o que fazer a a porque x + y ter´ o sinal comum aos dois. a Vamos discutir portanto o caso em que x ∈ R− , e consequentemente y ∈ R+ . Fa¸a um desenho para acompanhar a explana¸˜o. c ca Quando transferirmos x para a extremidade de y, como |x| |y| ent˜o o segmento trans- a ferido cobre o segmento 0y de maneira tal que haver´ um excedente (diferen¸a) na semi-reta a c negativa quer dizer que x + y ∈ R− . Logo sign(x + y) = sign(x). O outro caso ´ sim´trico: x ∈ R+ , y ∈ R− . e e q.e.d .
- 142. Teorema 43 Asoma em R ´ comutativa. Dem : e A soma de segmentos, usando a regra do paralelograma ´ sim´ trica, porque os lados s˜o e e a iguais dois a dois. A resultante ser´ mesma n˜o importanto a ordem com que fa¸amos a a a c transferˆncia dos segmentos: a + b = b + a. e q.e.d . Precisamos de um elemento neutro para a adi¸˜o. Um segmento que somado a ca qualquer outro, reproduza o outro. Este “segmento” ser´ um “segmento degenerado” a que se reduz a um ponto, a origem O que divide a reta em duas semi-retas. Agora, aplicar a regra do paralelogramo a um vetor qualquer, para soma o zero, significa que o paralelograma vai se reduzir ao pr´prio vetor, (novo paralelogramo o degenerado), e o vetor co¨ ıncide com a resultante: quer dizer a soma com zero, reproduz o outro vetor. Demonstramos assim: Teorema 44 O zero ´ o elemento neutro da soma. e Teorema 45 Todo x ∈ R tem inverso aditivo. O inverso aditivo de x ´ o outro e ırculo de raio |x| e centro 0. Porque os dois segmentos n´mero real determinado pelo c´ u 0x e 0(−x) tem mesmo tamanho, mas sentidos contr´ rios, ao serem superpostos o a ponto determinado ser´0. a E agora um teorema complicado de demonstrar, claro que n´s n˜o vamos fazˆ-lo, o a e o deixaremos para o leitor interessado: Teorema 46 A adi¸˜o ´ associativa. ca e A conclus˜o ´ que: a e Teorema 47 (R, +) ´ um grupo comutativo. e Vamos terminar esta se¸˜o mostrando que a adi¸˜o geom´trica ´ compat´ ca ca e e ıvel com a adi¸˜o usual de n´meros inteiros ou racionais, portanto ´ uma estens˜o da adi¸˜o ca u e a ca de Q ao conjunto R. Teorema 48 Compatibilidade da soma geometrica com a soma de inteiros Dem : Para os inteiros, como cada inteiro n determina na reta orientada um segmento de reta cujo comprimento ´ n vezes o tamanho do segmento 01 vemos que n significa uma soma repetida e de 01 conseaquentemente a soma dos inteiros n, m ser´ tamb´m uma soma de segmentos de a e reta. q.e.d . No caso dos racionais, j´ interpretamos p como segmentos de reta de comprimento a q 1 p m 1 q logo q + n ser´ uma soma de segmentos de reta de comprimento qn . Demonstramos a assim: Teorema 49 Compatibilidade da soma geometrica com a soma em Q Como os inteiros, os racionais determinam segmentos de reta, a desigualdade como foi definida, co¨ ıncide com a desigualdade de Q e de Z. Isto demonstra: Teorema 50 Compatibilidade da ordem de R com a ordem de Q
- 143. y c x c=xy 0 1 y −y retas paralelas A multiplicacao e comutativa c y x 1x y c Figura 5.7: A multiplica¸ao geom´trica c˜ e 5.2.2 A multiplica¸˜o em R. ca Vamos agora definir a multiplica¸˜o geom´trica. Acompanhe o texto da defini¸˜o com ca e ca figura (fig. 5.7) p´gina 137. A defini¸˜o da multiplica¸˜o, acompanha o texto [2]. a ca ca Defini¸˜o 44 De multiplica¸˜o geom´trica. A defini¸˜o da multiplica¸˜o, se faz de ca ca e ca ca acordo com o seguinte algoritmo: • Dados x, y ∈ R. • Considere duas c´pias da reta n´merica, concorrentes na origem. o u • Considere x em uma das c´pias e y na outra. o • Trace o segmento de reta x1 ligando x a unidade representada na reta em que y est´ marcado. a • Passe uma parela ao segmento x1 passando por y. • O ponto c determinado por esta paralela na reta em que x est´ marcado ´ o a e produto de x por y; c = xy. A multiplica¸˜o est´ baseada em triˆngulos semelhantes. ca a a A unica propriedade trabalhosa ´ a associatividade que vai implicar num desenho ´ e complicado. Apenas trabalhosa, porisso vamos deix´-la generosamente para o leitor a interessado. Vamos mostrar as demais propriedades.
- 144. Teorema 51 Amultiplica¸˜o ´ comutativa ca e xy = yx Dem : Os triˆngulos 0yc desenhados em (fig. 5.7) veja o detalhe naquela figura, s˜o a a iguais. q.e.d . Teorema 52 Existe um inverso multiplicativo Dem : Se x = 0 a constru¸˜o feita ca na (fig. 5.8) pode ser feita uma vez que ser´ poss´ a ıvel tra¸ar paralelas. c A existˆncia do inverso est´ demonstrado na figura (fig. 5.8) p´gina 138. Os passos e a a executados foram: 1. Tra¸amos uma reta ligando x com a unidade na outra reta. c Observe que x = 0 pertenceria a ambas as reta e portanto a frase anterior ficaria ambigua e portanto imposs´ ˆ ıvel de ser executada. Algoritmos n˜o admitem ambiguida- a des, portanto x = 0 n˜o tem inverso. a 2. Tra¸amos, pela unidade marcada na mesma reta em que est´ x marcado, uma paralela. c a 3. Esta paralela vai encontrar o n´mero c tal que u 1 xc = 1 ≡ c = x x 1 0 1/x 1 Figura 5.8: q.e.d . Teorema 53 Elemento neutro da mulplica¸˜o Dem : ca Existe uma unica reta passando por x, 1. q.e.d . ´
- 145. A conclus˜o ´que a e Teorema 54 (R∗ , ·) ´ um grupo comutativo. e Observa¸˜o 26 Grupo dos reais positivos. ca Observe que o conjunto dos n´meros reais positivos, estritamente positivos, tamb´ m ´ u e e ´ um grupo com a multiplica¸˜o. E o subgrupo do grupo de R∗ . ca Os coment´rios que fizemos sobre a adi¸˜o e sua significa¸˜o geom´trica em Q se a ca ca e aplicam aqui para a multiplica¸˜o. ca 5.2.3 O corpo ordenado (R, +, ·, ≥). J´ estudamos as propriedades aditivas e multiplicativas de R, falta-nos estudar as pro- a priedades que relacionam a adi¸˜o com multiplica¸˜o e estas opera¸˜es com a rela¸˜o ca ca co ca de ordem. Teorema 55 O produto ´ distributivo relativamente ` adi¸˜o. Dem : e a ca Como a nossa fonte de informa¸˜es ´ a geometria, junto com o conjunto dos n´meros co e u naturais, ent˜o vamos usar o c´lculo de ´ reas para verificar a distributividade. Teriamos a a a que definir ´rea: a ca ´ Defini¸˜o 45 Area de um retˆngulo. a ´ o produto dos n´meros reais que medem os lados deste retˆngulo. E u a Suponhamos agora que tenhamos um retˆngulo de lados c e a + b, quer dizer que um dos a lados do retˆngulo se comp˜e da soma geom´ trica de dois segmentos cada um deles medindo a o e a e b respectivamente, e o outro lado temos um segmento medindo c. Quer dizer que podemos decompor este retˆngulo em dois outros retˆngulos, um com lados a a medindo c e a e outro com lados medindo c e b. As ´reas destes dois novos retˆngulos ´ ac e bc. Como eles s˜o disjuntos, suar ´reas se a a e a a podem somar: ac + bc ´ ´rea do retˆngulo inicial. ea a Mas a ´rea do retˆngulo inicial seria tamb´m c(a + b) logo: a a e c(a + b) = ca + cb = ac + bc q.e.d . Teorema 56 Desigualdade e adi¸˜o. ca Dem : Dados tres n´meros reais a, b, c se u a ≤ b ent˜o a + c ≤ b + c. Por defini¸˜o, (verifique que ´ mesmo), a ≤ b significa que a a ca e est´ esquerda de b na reta. Como a soma ´ uma transla¸˜o, ent˜o se transladarmos a, b no a e ca a mesmo sentido e do mesmo tamanho, os pontos resultantes v˜o guardar a mesma posi¸˜o a ca relativa, ent˜o a + c estar´ ` esquerda de b + c isto ´: a + c ≤ b + c. q.e.d . a aa e Teorema 57 Desigualdade e multiplica¸˜o. Dados tres n´meros reais a, b, c se a ≤ b ca u e c ≥ 0 ent˜o ac ≤ bc. Se c ≤ 0 ent˜o ac ≥ bc. Dem : Precisamos do seguinte lema: a a Lema 3 Produto de positivos ´ positivo Tome x, y em cada uma das semiretas positivas e que se encontram em 0. Como o triˆngulo determinado por 0, y, xy ´ semelhante ao triˆngulo a e a deteminado por 0, 1, x ent˜o xy est´ na mesma semireta que x, quer dizer que sign(x) = a a sing(xy). Agora, a≤b≡b−a≥0 ⇒ c(b − a) ≥ 0 ≡ cb − ca ≥ 0 ⇒ ca ≤ cb q.e.d .
- 146. Ou como sediz, multiplicar por um n´mero positivo uma desigualdade, n˜o altera u a o sentido da mesma, mas multiplicar por um n´mero negativo, altera o sentido da u desiguldade. Exerc´ ıcio 16 Solu¸˜o geom´trica de equa¸˜es. ca e co 1. Dados dois n´ meros a, b reais positivos, encontre o n´mero x tal que ax = b, u u geometricamente. 2. Use o fato “todo segmento de reta tem um comprimento” para mostrar que dado x ∈ R+ , existe n ∈ N tal que n x. 3. Mostre que dado x ∈ R+ , existem n, m ∈ N tal que m ≤ x ≤ n. O n´mero m se chama parte inteira de x . u 4. Propriedade arquimediana da reta Dados a ≤ b ; a, b ∈ R existe uma n´mero u natural n tal que an ≥ b. 5. Resolva as desigualdades abaixo usando as propriedades de R. (a) (a) 3x + 7 = 0 (b) 3x + 7 ≤ 0 (b) (a) −2x + 7 ≥ 0 (b) −3x − 5 ≥ −3 3x−7 (c) (a) 4 =3 (b) x − 7 ≥ −3 (d) (a) − 2x−7 ≤ 3 0 (b)−3x + 7 ≥ 0 6. Represente geometricamente as solu¸˜es das desigualdades da quest˜o anterior. co a 7. Encontre os pontos de R x R tal que (a) (a) x + y = 0 (b) x − y ≤ 0 (b) (a) −x − y ≥ 0 (b) −3x − 5y ≥ −3 3x−7y (c) (a) 4 ≤3 (b) x − 2y ≥ −3 2x−y (d) (a) − 3 ≥0 (b)x − y ≥ 0 8. Represente geometricamente as solu¸˜es das desigualdades da quest˜o anterior. co a 9. Encontre os pontos de R x R tal que (a) (a) x2 + y2 = 3 (b) x2 + y2 ≤ 3 (b) (a) x2 + y2 ≥ 2 (b)4x2 + 4y2 ≤ 3 3x−7y (c) (a) 4 ≤3 (b) x − 2y ≥ −3 (d) (a) − 2x−y ≥ 0 3 (b)x − y ≥ 0
- 147. Cap´ ıtulo 6 Fun¸˜es Especiais co Algumas fun¸oes desempenham um papel importante nas c˜ aplica¸oes da Matem´tica. Vamos discutir algumas delas neste c˜ a cap´ıtulo que tivemos a ous´dia de chamar Fun¸˜es Especi- a co ais porque esta denomina¸ao sempre foi guardada para algu- c˜ mas fun¸oes especiais mais avan¸adas. Vamos estudar aqui as c˜ c fun¸oes c˜ • lineares afim, • as fun¸oes polinˆmiais do segundo grau, c˜ o • a fun¸ao logaritmo, c˜ • a fun¸ao exponencial, c˜ Deixaremos de fora deste cap´ ıtulo as fun¸oes trigonom´tricas c˜ e porque queremos coloc´-las num contexto especial, dentro dos a n´ meros complexos, no pen´ ltimo cap´ u u ıtulo do livro. Uma das caracter´ ısticas deste cap´ıtulo ´ a introdu¸ao dos e c˜ gr´ficos para acompanhar o estudo das fun¸oes. Exagerando, a c˜ uma fun¸ao, aqui, ser´ um gr´fico, e vamos insistentemente c˜ a a discutir as propriedades das fun¸oes em termos dos gr´ficos c˜ a que pudermos produzir para elas. 6.1 Fun¸˜o linear afim ca Uma fun¸ao linear afim ´ um tipo de fun¸˜o polinomial, quando o polinˆmio c˜ e ca o que a define ´ do primeiro grau. Os polinˆmios v˜o ser estudados mais a e o a fundo no capi´ ıtulo 8.1, ao final do livro, isto n˜o nos impede, entretanto de a come¸ar a us´-los, de leve. c a Polinˆmios s˜o express˜es alg´bricas formadas de diversos termos, o nome indica o a o e isto, poli vem do grˆgo e significa diversos. Em Matem´tica usamos monˆmio, binˆmio, e a o o trinˆmio quando quisermos enfatizar o n´mero de termos, e finalmente polinˆmio, o u o quando quisermos apenas dizer que h´ v´rios termos. a a Vamos estudar os polinˆmios no cap´ o ıtulo 8.1, aqui faremos uso mecˆnico dos mes- a mos. A ´lgebra com polinˆmios produziu muitos resultados em Matem´tica ao longo a o a dos anos, como os n´meros complexos que vamos estudar no Cap´ u ıtulo 7, e dentro da 145
- 148. cultura matem´tica j´foi de absoluta importˆncia saber manipular com maestria as a a a express˜es alg´bricas. o e O leitor curioso deveria pelo menos consultar uma das rel´ıquias de nossa cultura a ´ matem´tica, o Abecedario da Algebra, [4],para ter uma id´ia da habilidade que tinham e alguns dos que nos antecederam no tempo. Estas t´cnicas hoje est˜o incorporadas em programas de computador que s˜o ca- e a a pazes de desenvolver, para n´s, humanos, express˜es incrivelmente complicadas, um o o trabalho mecˆnico, pr´prio para m´quinas, que outros tinham capacidade de fazer a o a mentalmente ou com ajuda de papel e l´pis. Observe o seguinte exemplo obtido com a o programa Maxima (C1) (a + b)^5 ; 5 4 2 3 3 2 4 5 (D2) b + 5 a b + 10 a b + 10 a b + 5 a b + a Escolhemos a potˆncia 5 apenas para que o resultado coubesse na linha, mas qual- e quer potˆncia inteira poderia ter sido escolhida e o resultado surgiria na tela quase e instantaneamente. Outro exemplo ´ o triˆngulo de Pascal, veja 10 19 calculado com um programa em e a Python que pode gerar o triˆngulo com um n´mero arbitr´rio de linhas em fra¸˜es de a u a co segundos (desde que vocˆ n˜o exagere...) e a Maxima ´ um programa de dom´ e ınio p´blico, distribuido sob a licensa GPL, per- u tence a uma classe de programas ditos “de computa¸˜o alg´brica” e que podem fazer ca e muitas opera¸˜es alg´bricas que para n´s humanos s˜o muito custosas, como o binˆmio co e o a o de Newton. O binˆmio de Newton, que estudamos no cap´ o ıtulo 2, ´ uma dessas descobertas e t´ ıpicas de quem domina a manipula¸˜o das express˜es alg´bricas. ca o e Aqui vamos estudar as fun¸˜es definidas por binˆmios da forma co o ax + b (6.1) um polinˆmio do primeiro grau. o Defini¸˜o 46 Fun¸˜o linear afim ca ca Uma fun¸˜o definida por um polinˆmio do primeiro grau se chama linear afim. ca o f : N → R; (6.2) f (x) = ax + b; (6.3) x → y = f (x) = ax + b; (6.4) em que s˜o dados os n´meros a, b. a u Exemplo 33 Fun¸˜es lineares afim co • P.A. f (x) = 3x + 4 Observe que se x ∈ N os valores de f se encontram em progress˜o aritm´tica: a e f (N) = {4, 7, 10, · · ·} (6.5)
- 149. • fun¸˜o linear ca Um caso particular de fun¸˜o linear afim ´ aquela em que o termo constante ´ ca e e zero: x → ax = f (x) = y (6.6) Estas fun¸˜es se chamam lineares. co As fun¸˜es lineares tem duas propriedades que as fazem especial. Depois vocˆ co e vai ver que estas propriedades aparecem em outras fun¸˜es lineares definidas co com matrizes, vocˆ vai ver isto no cap´ e ıtulo 7. Propriedades das fun¸˜es lineares: co Considere f (x) = Ax. Ent˜o as propriedades seguintes valem a – homogeneidade f (λx) = λf (x) para qualquer n´mero λ. u – distributividade dados dois valores da vari´vel, x1 , x2 , temos a f (x1 + x2 ) = f (x1 ) + f (x2 ) – linearidade Muitas vezes preferimos juntar as duas propriedades numa s´ o com a seguinte reda¸˜o ca f (λ1 x1 + λ2 x2 ) = λ1 f (x1 ) + λ2 f (x2 ) 6.2 Progress˜o aritm´tica a e As P.A. s˜o as fun¸˜es lineares afins definidas no conjunto dos n´meros naturais. Ser´ a co u a que toda P.A. tem uma equa¸˜o linear? A resposta ´ sim. ca e Defini¸˜o 47 Progress˜o aritm´tica ca a e Uma P.A. ´ uma sucess˜o de n´meros que diferem, cada um do seu antecedente, e a u de um n´mero fixo, chamado raz~o. Observe a figura (fig. 6.1) na p´gina 148. Uma u a a escada em que todos os degraus tenham a mesma algura, ´ um exemplo de P.A. e A equa¸˜o cl´ssica para as P.A. estabelce que o termo geral ´ ca a e an = a1 + (n − 1) ∗ r (6.7) em que • primeiro termo a1 ´ o primeiro termo e • a vari´vel n ´ um indice, a vari´vel com que construimos a P.A. a e a Usando a nota¸˜o de fun¸˜o diriamos ca ca N→R (6.8) n → an = a1 + (n − 1) ∗ r (6.9) • o coeficiente angular ´ a raz˜o, r. e a quer dizer que an = a1 + (n − 1) ∗ r ´ a equa¸˜o da fun¸˜o. Neste caso chamamos de sucess˜o e muitas vezes escrevemos e ca ca a a equa¸˜o usando uma letra, habitualmente s, t, r, com um ´ ca ındice, quer dizer que a(n) ≡ an .
- 150. s˜o nota¸˜es equivalentes,mas o h´bito com sucess˜es ´ usar a indexa¸˜o an . a co a o e ca Apresentar as P.A. aritm´ticas desta forma ´ antigo1 , tem sua validade, mas a e e nota¸˜o funcional oferece outras vantagens. Vamos estabelecer um compromisso entre ca as duas formas de escrever, porque cada uma delas tem sua utilidade em um determi- nado momento e ´ preciso saber saltar de uma para a outra. A pr´xima seq¨ˆncia de e o ue equa¸˜es faz isto. co Comparando, e transformando, vemos na equa¸˜o 6.9: ca a1 + (n − 1) ∗ r ; ax + b (6.10) o primeiro termo ´ (a1 = b) ⇒ b + (n − 1) ∗ r e (6.11) a vari´vel ´ (n = x) ⇒ b + (x − 1) ∗ r a e (6.12) a raz˜o ´ (r = a) ⇒ b + (x − 1) ∗ a a e (6.13) Observa¸˜o 27 Tipos de dados em computa¸˜o ca ca Quando escrevemos um programa, em computa¸˜o, temos o cuidado de idenficar ca o tipo das vari´veis que usamos. Se desejarmos usar uma vari´vel do tipo inteiro a a usamos as letras n, m, k. Algumas vezes usamos vari´veis como “contador” para indicar n´meros inteiros a u positivos, ´ ´ ındices. E isto que se encontra na nota¸ao antiga para as P.A. Se desejava c˜ deixar claro que a vari´vel era um n´mero inteiro, positivo, um ´ a u ındice. 6.2.1 Nota¸˜o e exemplos ca Se escrevermos f : N −→ R (6.14) n → f (n) = An + B = sn (6.15) (6.16) estamos definindo uma P.A. ou uma sucess˜o aritm´tica . Mas estaremos em desacordo a e com a tradi¸˜o. Foi esta a raz˜o pela qual fizemos a sequ¨ˆncia de transforma¸˜es que ca a ue co terminou na equa¸˜o 6.13. ca Se usarmos a seguinte defini¸˜o alternativa ca f : N −→ R (6.17) n → f (n) = A(n − 1) + B = sn (6.18) (6.19) seriamos melhor comprendidos. Agora o primeiro termo ´ s1 = B e (6.20) e a raz˜o ´ A. a e (6.21) Vamos ver um exemplo da matem´tica atuarial ou financeira, os juros simples. a Os juros simples s˜o calculados com progress˜es aritm´ticas, ao longo do tempo, a o e se vocˆ n˜o amortizar nada da d´ e a ıvida. Os juros s˜o uma “pequena parte” que os capitalistas querem agregar ao que vocˆ a e est´ devendo, todos os meses, a t´ a ıtulo de remunera¸˜o do empr´stimo. ca e 1 existedois tipos de idiota, um que diz, “´ antigo, ent˜o ´ bom”, outro diz “´ novo, ent˜o e a e e a ´ melhor . . . e
- 151. Exemplo 34 Jurosde 7.5% ao mes Se vocˆ tomar um empr´stimo de C contratado a juros de 7.5% ao mes, a d´ e e ıvida, caso vocˆ n˜o pague nada durante o ano, ser´ uma progress˜o aritm´tica: e a a a e C, C + r, C + 2r, C + 3r, C + 4r, · · · , C + 11r (6.22) quer dizer que o termo geral da d´ ıvida ser´ a dn = C + (n − 1) ∗ r ; r = 7.5%C (6.23) e ao final de 12 meses vocˆ dever´ pagar C + 11r. e a A raz˜o ´ a taxa de juros, e o primeiro termo ´ o valor do empr´stimo. Claro, isto a e e e ´ capitalismo n˜o selvagem que ´ muito pouco praticado hoje em dia. Depois veremos e a e outro tipo de progress˜o que fica muito mais a gosto dos banqueiros. a Os problemas a respeito de progress˜es aritm´ticas giram em torno do uso da o e f´rmula que depende de trˆs informa¸˜es: o e co raz˜o, A a (6.24) primeiro termo, B (6.25) n’umero de termos, n (6.26) o termo geral, sn = B + A(n − 1); (6.27) ou sn = s1 + (n − 1)r (6.28) Dadas duas informa¸˜es, se pede que vocˆ calcule a terceira: co e Exerc´ ıcios 22 Sucess˜es aritm´ticas o e 1. Encontrar um termo Dada uma P.A. cujo 30o termo ´ 50 e o primeiro termo ´ e e -5, calcular o d´cimo termo. e Solu¸˜o: ca Quer dizer que o n´mero de termos ´ 30. u e s30 = 50 = s1 + (n − 1)r s30 = 50 = −5 + (30 − 1)r 55 s30 = 50 = −5 + 29r ⇒ r = 29 s10 = s1 + (10 − 1)r = 55 350 s10 = −5 + 9 29 = 29 s10 =≈ 12.06896551724137931034 2. Qual ´ a raz˜o ? Numa P.A. com 10 termos sabe-se que o primeiro termo ´ 3 e a e e o quinto termo ´ 17. Qual ´ a raz˜o; e e a Solu¸˜o: ca O n´mero de termos ´ 5. u e s5 = 17 = s1 + (n − 1)r s5 = 17 = 3 + (5 − 1)r 17−3 3 + (5 − 1)r = 17 ⇒ r = 4 14 7 r= 4 = 2 = 3.5
- 152. 3. Qual ´o n´mero de termos ? O primeiro termo de uma P.A. ´ −1, o ultimo e u e ´ 1 termo ´ 17 e a raz˜o ´ 2 . Quantos termos tem esta P.A. ? e a e Solu¸˜o: ca sn = 17 = s1 + (n − 1)r 1 17 = −1 + (n − 1) 2 1 −1 + (n − 1) 2 = 17 ⇒ n − 1 = 2(17 + 1) = 36 n = 37 4. fun¸˜o linear afim e P.A. Verifique que se y = f (x) for uma fun¸˜o linear afim, ca ca ent˜o a imagem por f de qualquer P.A. ser´ tamb´m uma P.A. a a e Solu¸˜o: Considere uma P.A. (sn )n∈N e portanto ca ∆ = sn+1 − sn ´ uma constante (n˜o depende de n). e a Podemos abstrair um pouco mais e tornar mais simples os c´lculos. Vamos a identificar: f (x) = Ax + B (6.29) sn = a (6.30) sn+1 = a + ∆ (6.31) f (sn+1 ) − f (sn ) = f (a + ∆) − f (a) (6.32) tn = f (sn ) ; tn+1 = f (sn+1 ) (6.33) tn+1 − tn = f (a + ∆) − f (a) = A(a + ∆) + B − (Aa + B) (6.34) tn+1 − tn = Aa + A∆ + B − Aa − B = A∆ (6.35) em que f ´ uma fun¸˜o linear afim qualquer e (tn )n∈N e uma nova sucess˜o, e ca a imagem por f da P.A. A diferen¸a tn+1 − tn ´ constante, (n˜o depende da c e a vari´vel n). a A diferen¸a de dois termos consecutivos da sucess˜o (tn )n∈N ´ constante, logo c a e uma P.A. Os c´lculos acima ainda revelam que a raz˜o da nova progress˜o aritm´tica ´ a a a e e A∆ quando a raz˜o P.A. aritm´tica primitiva era ∆. Conclus˜o a raz˜o ficou a e a a multiplicada pelo coeficiente angular de f. O exerc´ (ex. 4 ) demonstrou o seguinte teorema: ıcio Teorema 58 Fun¸˜o linear afim e P.A. ca As fun¸˜es lineares afins transformam progress˜es aritm´ticas em progress˜es aritm´ticas. co o e o e A raz˜o da nova P.A. fica multiplicada pelo coeficiente angular da fun¸˜o linear afim. a ca 6.2.2 Soma dos termos de uma P.A. ... ou c´lculo da presta¸˜o do empr´stimo a ca e O exemplo que demos de juros para iniciar o nosso estudo de P.A. n˜o existe na pr´tica, a a ningu´m deixa uma d´ e ıvida crescer durante um ano para depois come¸ar a pagar. E os c bancos sabem disto e assim planejam os juros de forma mais real´ ıstica2 . 2 pelo menos do ponto de vista deles...
- 153. Exemplo 35 Jurossimples O valor que vocˆ deveria pagar, mesmo ´ C, o capital. Mas vocˆ “contratou” n e e e presta¸˜es a uma taxa de juros j. A´ eles enfiam isto na maquininha e co ı vocˆ pode e economisar • calculam a soma dos juros, na progress˜o aritm´tica que apresentamos acima, a e com juros. . . (sem o capital) se souber! r + 2r + · · · + 11r = S12 ´ E S12 , porque come¸a com zero... os juros do primeiro mes s˜o nulos, uma c a deferˆncia capitalista. e • acrescentam este valor ao cr´dito concedido, e C + S12 • e depois dividem esta soma em 12 parcelas3 , C + S12 p= 12 • No caso de n parcelas fica C + Sn p= n determinando assim o valor da presta¸˜o, p, que vai sendo cobrada todo mes. ca Ent˜o uma quest˜o importante em mat´ria de P.A. (ou de juros banc´rios) ´ o a a e a e c´lculo da soma dos termos de uma P.A. a Exemplo 36 Juros simples, com entrada Uma outra forma de financiamento pode ocorrer, quando vocˆ der uma entrada. e Vamos ver como se calculam as presta¸˜es neste caso. co Pediram-lhe que pagasse uma entrada, C0 , agora os juros ser˜o calculados sobre a a ıvida, D = C − C0 . d´ Observe os 4 dois tipos de sucess˜o a sn , Sn ıvida D = C − C0 C0 a entrada, ficando a d´ (6.36) parcela dos juros, pela taxa contratada D ∗ j = r (6.37) sn = (n − 1) ∗ r (6.38) Sn = s 1 + s 2 + s 3 + · · · + s n (6.39) Sn = 0 + r + 2r + · · · + (n − 1)r (6.40) Sn = r(0 + 1 + 2 + · · · + (n − 1)) (6.41) A presta¸˜o mensal, neste caso ´ ca e D + Sn p= n Exemplo 37 Como economisar juros c´lculo dos a Vocˆ pode economisar juros se adiantar as presta¸˜es e a´ deve ser saber que nas e co ı juros imbutidos nas presta¸oes c˜ prest¸˜es foram imbutidos juros. Como calcular os juros imbutidos. co 3 troque o 12 pelo n´ mero, n, de parcelas contratadas u 4e a entrada ´ negativa, para eles... e
- 154. As presta¸˜es s˜ouma P.A. de raz˜o zero, parcelas todas idguais: co a a t1 = p, t2 = p, · · · , tn = p que corresponde a soma D + Sn quer dizer que pagando adiantado a preta¸˜o tk vocˆ tem que receber de volta kr que ca e ´ a quantidade de juros imbutidos nesta presta¸˜o, veja a (fig. 6.1) para entender e ca melhor esta quest˜o. Claro, se vocˆ pagasse todas as presta¸˜es adiantado, teria que a e co receber de volta Sn porque sua d´ ıvida seria apenas D. Reduzimos o problema da soma dos termos de uma P.A. a um caso particular, soma dos n − 1 primeiros n´meros naturais. Resolvido este caso saberemos calcular u qualquer soma de termos de qualquer P.A. A soma dos n − 1 primeiros n´meros naturais u A figura (fig. 6.1) mostra o m´todo. Nela vocˆ vˆ que uma P.A. ´ como se fosse e e e e a base Ponto médio A soma inicial Figura 6.1: A soma dos termos de uma P.A. um conjunto de blocos que se repetem, e ela tem um ponto m´dio. e Se vocˆ pegar os blocos acima do ponto m´dio os colocar sobre a base inicial vira e e o c´lculo da ´rea de um retˆngulo. a a a ´ assim que se calculam as ´reas dos trap´zios, se cortam e se colam triˆngulos E a e a semelhantes para transformar o trap´zio num retˆngulo. Observe a figura (fig. 6.2). e a A id´ia ´ absolutamente a mesma. Observe um exemplo antes de passarmos ao caso e e abstrato. Para somarmos 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9 (6.42)
- 155. A área deum trapésio ... é igual a área de um retângulo . Figura 6.2: ´ Area do trap´sio e vamos re-arranjar o primeiro, com o ultimo, o pen´ltimo com segundo, e assim por ´ u diante: (0 + 9) + (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) = 5 ∗ 9 = 45 (6.43) Observe outro exemplo que vai responder a uma d´vida que lhe poder´ surgir: u a 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (6.44) = (0 + 10) + (1 + 9) + (2 + 8) + (3 + 7) + (4 + 6) + (5 + 5) = (6.45) = 6 ∗ 10 = 60 (6.46) ´ E o caso em que o n´mero de termos ´ impar ent˜o o termo do meio tem que ser somado u e a consigo pr´prio, porque ele ´ equidistante de si pr´prio... Este segundo exemplo ilustra o e o bem a raz˜o do denominador 2 que aparece na f´rmula abaixo: cada termo “aparece” a o duas vezes. Experimente, vocˆ mesmo, com algumas outras seq¨ˆncias de n´meros at´ se con- e ue u e vencer de que corresponde ao que a figura 6.1 sugere. Somando os elementos equidis- tantes dos extremos: • primeiro, ultimo, ´ • segundo, pen´ltimo, u • ..., • os dois do meio, resulta em n´meros iguais. Como agrupamos os termos dois a dois, o n´mero de u u parcelas para serem somadas ´ a metade da quantidade original e n (6.47) 2
- 156. e assim ovalor da soma ser´ a s1 + s2 + · · · + s1 (6.48) n n(s1 + sn ) (s1 + sn ) = (6.49) 2 2 Podemos enunciar dois resultados intermedi´rios: a Teorema 59 Termos equidistantes numa P.A. A soma de termos equidistantes numa P.A. ´ constante. e Teorema 60 A soma dos n primeiros n´meros naturais ´ u e n(n + 1) 1 + 2 + ···n = (6.50) 2 e o teorema principal Teorema 61 Soma de termos de uma P.A. Se sk ´ o termo geral de uma P.A. e ent˜o a soma dos n primeiros termos desta P.A. ´ a e (s1 + sn )n Sn = s1 + s2 + · · · + sn = 2 Exerc´ ıcios 23 Progress˜es aritm´ticas o e 1. um teorema rec´ıproco Mostramos que as progress˜es aritm´ticas eram descritas o e por um polinˆmio do primeiro grau. Verifique que, se P for um polinˆmio do o o primeiro grau ent˜o a sucess˜o (P (n))n∈N ´ uma P.A. a a e 2. diferen¸as Verifique que, se P for um polinˆmio do segundo grau ent˜o a su- c o a cess˜o (P (n))n∈N n˜o pode ser uma P.A. mas que as diferen¸as de segunda a a c ordem ∆Pn+1 − ∆Pn = P (n + 1) − P (n) − (P (n) − P (n − 1)) ser´ uma progress˜o5 aritm´tica. a a e 6.3 Gr´ficos das fun¸˜es lineares a co Os gr´ficos s˜o um instrumento visual importante para transmitir o conte´do a a u de uma fun¸˜o. A figura (fig. 6.1) j´ nos mostra isto, visualizamos com ca a um conjunto de blocos crescentes a o significado de uma P.A. Os degraus traduziram a diferen¸a constante entre os termos. c Numa P.A. temos interesse em usar vari´veis inteiras. Mas em outros tipos a de fun¸˜o n˜o conv´m considerar vari´veis inteiras e sim vari´veis que assu- ca a e a a mam todos os valores entre dois n´meros dados. Chamaremos isto de uma u ınua]b . Vamos usar este adjetivo com o seus sentido intuitivo, [varia¸˜o cont´ ca nos pr´ximos cap´ o ıtulos este assunto ser´ retomado. a a poderiam ser decrescentes, afinal subimos mas descemos escadas... ba continuidade ´ um assunto da disciplina C´lculo Diferencial e Integral e a 5O s´ ımbolo ∆ ´ sempre associado com diferen¸as e c
- 157. A figura (fig.6.3) ilustra a rela¸˜o existente entre o coeficiente angular de uma ca reta e os termos de uma P.A. Numa escada de batentes, bem feita, ´ possivel escorar uma regua bem assentada e nas arestas dos batentes. Retângulos e triângulos semelhantes Aspectos geométricos de uma progressão aritmética O ângulo de b α inclinação a da reta é definido c b pela razão. a Figura 6.3: Coeficiente angular da reta e a raz˜o da P.A. a Nesta figura, separamos em destaque um triˆngulo retˆngulo formado pelos lados a a de dois dos retˆngulos que representam a raz˜o e por um segmento de reta que passa a a por v´rtices extremos de cada bloco. e A inclina¸˜o desta reta est´ associada com o ˆngulo α que a reta faz com horizontal. ca a a O ˆngulo est´ representado no triˆngulo que destacamos. a a a Observe tamb´m, na mesma figura, a presen¸a de triˆngulos de menor porte, mas e c a semelhantes aos demais. Observe que tamb´m nestes casos a hipotenusa dos triˆngulos e a ficam em cima da mesma reta. Portanto n˜o importa o tamanho dos triˆngulos, eles a a s˜o todos semelhantes. a O coeficiente angular da reta, m, ´ o quociente das medidas dos catetos e deste ˆngulo: a b m= a ´ o quociente entre o cateto oposto e o cateto adjacente. e Estamos usando as letras a, b para representar tanto os catetos, na figura (fig. 6.3), como as medidas dos mesmos no c´lculo de m. Isto ´ um abuso, aceit´vel... a e a
- 158. O conjunto dasid´ias que acabamos de expor conduzem a afirma¸˜o de que existe e ca uma reta associada com uma fun¸˜o linear afim, e queremos explorar esta afirma¸˜o ca ca de forma mais aprofundada. 6.3.1 Coeficiente angular de uma reta Na figura (fig. 6.4) vocˆ pode ver seis segmentos de reta partindo da origem dos eixos e XOY. O que torna estes segmentos de reta diferentes ´e OY γ o itiv pos tido sen β π/2 α OX δ ν −π/2 sen tido neg µ ativ o δ,ν,µ 0 Figura 6.4: V´rias reta, seus angulos, sentido dos angulos a ˆ ˆ • Os ˆngulos que eles formam com o eixo OX a • os seus coeficientes angulares e queremos insistir que s˜o dois aspectos da mesma coisa: a • a cada ˆngulo corresponde um coeficiente angular e, a • vice-versa, a cada coeficiente angular corresponde um ˆngulo no intervalo [− π , π ]. a 2 2
- 159. ´ E bem sabido que dois pontos determinam um reta. Podemos agora generalizar esta afirma¸˜o: ca duas informa¸˜es podem determinar uma reta. As duas informa¸˜es co co podem ser 1. um ponto, a origem dos eixos, neste caso, e 2. um coeficiente angular Vamos escrever esta afirma¸˜o de outra forma equivalente: Para deter- ca minar uma reta precisamos de 1. um ponto, a origem dos eixos, por exemplo, e 2. um n´mero u 6.3.2 Retas e suas equa¸˜es co A inven¸˜o de Ren´ Descartes (1596-1650) de estabelecer a representa¸˜o de um ponto ca e ca do plano com um par de n´meros, veja a figura (fig. 6.5) revolucionou a Matem´tica. u a (2,4) (−1,3) (x,y) y x (−2,−2) (3,−2) Figura 6.5: Um par de n´ meros representa um ponto no plano u Por um lado permitiu uma “algebriza¸˜o” da geometria, n´s agora vamos falar da ca o “equa¸˜o de uma reta” . Podemos somar retas, por exemplo. ca Como primeiro passo vamos refazer a lista das duas informa¸˜es que determinam co uma reta, da qual j´ escrevemos acima, duas vers˜es. Por enquanto continuaremos a o presos ao ponto na origem. Vamos dizer agora que para determinar uma reta que passe pela origem precisamos de
- 160. 1. um ponto,a origem dos eixos, 2. a raz˜o em que se encontram as coordenadas x, y dos pontos desta reta. a A ultima afirma¸˜o pode ser expressa assim: ´ ca y =m (6.51) x e o n´mero m ´ o coeficiente angular da reta. u e Esta express˜o pode ser escrita agora como a y = mx ; x = 0 (6.52) que ´ a equa¸˜o de uma reta que passa pela origem. Esta equa¸˜o determina a reta e ca ca porque podemos encontrar qualquer ponto da reta usando a equa¸˜o: ca • Escolha um valor para x, por exemplo x = 3 e podemos calcular o correspondente valor de y y = mx = m ∗ 3 = 3m ; o ponto (3, 3m) pertence a reta (6.53) • Uma tabela de pontos sobre a reta quando m = 2 x −3 −1 1 2 2.5 y −6 −2 2 4 5 3 A figura (fig. 6.6) mostra a reta quando o coeficiente angular ´ e 2. Neste caso a equa¸˜o da reta ´ ca e (x,y) (3,2) A equação desta reta é 2y = 3x m = 3/2 = y/x y = 3x/2 Figura 6.6: Equa¸ao de reta que passa na origem c˜
- 161. y 3 x = 2 (6.54) 2y = 3x (6.55) Podemos resumir as duas condi¸˜es para determina¸˜o de uma reta em uma equa¸˜o. co ca ca Vamos dizer que uma equa¸˜o da forma ca y = mx (6.56) determina uma reta que passa na origem. O n´mero m ´ o coeficiente angular da reta. u e Exerc´ıcios 24 Transforma¸˜es e gr´ficos co a fun¸˜o do primeiro grau ca 1. A reta r tem por equa¸˜o y = f (x) = 0.5x Calcule as imagens de ca x ∈ {−2, −1, 0, 3, 5} e marque os pontos (x, y) ∈ {(−2, f (−2)), (−1, f (−1)), (0, f (0)), (3, f (3)), (5, f (5))} num sistema de eixos. Trace a reta que passa nos pontos marcados. 2. A reta t tem por equa¸˜o y = f (x) = − x Calcule as imagens de ca 3 x ∈ {−2, −1, 0, 2, 5} e marque os pontos (x, y) ∈ {(−2, f (−2)), (−1, f (−1)), (0, f (0)), (2, f (2)), (5, f (5))} num sistema de eixos. Trace a reta que passa nos pontos marcados. 3. A reta r passa pela origem e pelo ponto (3, 4). Encontre sua equa¸˜o. ca 4. Determina a equa¸˜o da reta que passa pela origem e pelo ponto (−3, 2). ca 5. Fa¸a o gr´fico e encontre as equa¸˜es das retas determinadas pela origem e pelo c a co ponto dado: a) (3, 0) b) (3, 5) d) (−1, 2) 6. Fa¸a o gr´fico das retas determinadas pelas equa¸˜es: c a co a) y = x b) y = 2x d) y = −x 7. Em cada uma das equa¸˜es dos itens acima, indique qual ´ o coeficiente angular co e da reta. 8. Para cada uma das retas dos itens acima, indique o coeficiente angular e associe, cada uma, com o predicativo “crescente” ou “decrescente” adequado. 9. Trace o gr´fico da reta r que passa na origem e no ponto (1, 3) e da reta que ´ a e perpendicular a esta. Encontre as equa¸˜es de ambas as retas. co
- 162. A translação u trasformou a reta r na reta t r t v u A translação v também trasforma a reta r na reta t Figura 6.7: duas retas paralelas, uma delas passa na origem 6.4 Equa¸˜o da reta que n˜o passa na origem ca a Se uma reta n˜o passar na origem ´ porque foi deslocada da origem! Foi translatada. a e Observe o gr´fico na figura (fig. 6.7) a A figura (fig. 6.7) mostra que h´ v´rias maneiras de se obter uma reta, a partir a a de outra, por transla¸˜o, uma transla¸˜o horizontal, uma transla¸˜o vertical. ca ca ca Pode ser uma transla¸˜o n˜o seja nem horizontal e nem vertical... estamos come¸ando ca a c a usar o m´todo que Descartes nos ofereceu, estamos algebrisando a geometria. e Exerc´ ıcios 25 Opera¸˜es alg´bricas com entes geom´tricos co e e 1. transla¸˜o de retas ca (a) Trace o gr´fico da reta r que passa na origem e no ponto (−1, 1). Encontre a a sua equa¸˜o. ca (b) Dˆ uma transla¸˜o horizontal de −3 a reta r obtendo assim a reta t. e ca (c) Qual das equa¸˜es abaixo descreve a reta t co a) y = −x + 3 b) y = −x − 3 c)y − 3 = −x d) y + 3 = −x 2. transla¸˜o de retas ca (a) Trace o gr´fico da reta r que passa na origem e no ponto (−1, 1). Encontre a a sua equa¸˜o. ca (b) Dˆ uma transla¸˜o vertical de 3 a reta r obtendo assim a reta t. e ca
- 163. (c) Qual dasequa¸˜es abaixo descreve a reta t co a) y = −x + 3 b) y = −x − 3 c)y − 3 = −x d) y + 3 = −x Resposta: (a) 3. transla¸˜o de retas ca y = −(x − 3) (a) Trace o gr´fico da reta r que passa na origem e no ponto (−1, 4). Encontre a a sua equa¸˜o. ca (b) Dˆ uma transla¸˜o horizontal de −3 a reta r obtendo assim a reta t. e ca (c) Qual das equa¸˜es abaixo descreve a reta t co a) y = −4(x + 3) b) y = −4(x − 3) c)y − 3 = −4x d) y + 3 = −4x Resposta: (a) 4. transla¸˜o de retas ca y = −4(x + 3) (a) Trace o gr´fico da reta r que passa na origem e no ponto (−1, 1). Encontre a a sua equa¸˜o. ca (b) Dˆ uma transla¸˜o vertical de −3 a reta r obtendo assim a reta t. e ca (c) Qual das equa¸˜es abaixo descreve a reta t co a) y = −x + 3 b) y = −4x − 3 c)y + 3 = −x d) y + 3 = −4x Resposta: (c) 5. Fa¸a os gr´ficos das retas abaixo c a y + 3 = −x a) y = 2(x + 3) b) y = 2x + 3 c)y + 3 = 2x d) y − 3 = 2x e decida quais das afirma¸˜es abaixo s˜o verdadeiras: co a (a) As retas s˜o todas paralelas a (b) y = 2(x + 3) foi obtida por uma transla¸˜o vertical da reta y = 2x ca (c) y = 2(x + 3) foi obtida por uma transla¸˜o horizontal da reta y = 2x ca (d) y − 3 = 2x foi obtida por uma transla¸˜o vertical de 3 da reta y = 2x ca (e) y − 3 = 2x foi obtida por uma transla¸˜o vertical de -3 da reta y = 2x ca Resposta: Corretas a,c,d Os exerc´ ıcios anteriores associam opera¸˜es alg´bricas `s retas com o significado co e a seguinte y = mx ⇒ y = m(x + a) transla¸˜o horizontal de − a ca (6.57) y = mx ⇒ y + a = mx transla¸˜o vertical de − a ca (6.58) em que a pode ser positivo ou negativo. Podemos assim criar uma pequena teoria: Observe o sinal da • equa¸˜o padr˜o da reta ca a transla¸ao. c˜ y = mx ´ a reta r de coeficiente angular m. e – Se m 0 a reta r ´ crescente; e – Se m 0 a reta r ´ decrescente; e – Se m = 0 r ´ o eixo OX. e
- 164. • transla¸˜o dareta padr˜o y = mx ca a Observe o sinal. 1. y = m(x + a) ´ uma transla¸˜o horizontal de −a da reta padr˜o. e ca a a 2. y = mx + a ´ uma transla¸˜o horizontal de − m da reta padr˜o. Sugest˜o, e ca a a coloque m em evidˆncia. e 3. y + a = mx ´ uma transla¸˜o vertical de −a da reta padr˜o. e ca a • equa¸˜o padr˜o da reta ay = bx ca a b 1. coeficiente angular da reta ay = bx ´ e a , se a = 0. – Se a = 0 temos x = 0 que ´ a equa¸˜o do eixo OY e ca – Se b = 0 temos y = 0 que ´ a equa¸˜o do eixo OX e ca Consideraremos ent˜o a = 0, b = 0 a 2. transla¸˜es Observe o sinal co (a) ay = b(x − α) transla¸˜o horizontal de α da reta padr˜o; ca a α (b) ay = bx − α ´ uma transla¸˜o horizontal de e ca b . ( Sugest˜o, coloque b a em evidˆncia). e (c) ay = b(x + α) transla¸˜o horizontal de −α da reta padr˜o ca a (d) ay = bx + α ´ uma transla¸˜o horizontal da reta padr˜o de − α . e ca a b Sugest˜o, coloque b em evidˆncia. a e (e) a(y + α) = bx ´ uma transla¸˜o vertical de −α da reta padr˜o e ca a (f) ay + α = bx ´ uma transla¸˜o vertical de − α da reta padr˜o e ca a a (g) a(y − α) = bx ´ uma transla¸˜o vertical de α da reta padr˜o e ca a α (h) ay − α = bx ´ uma transla¸˜o vertical de e ca a da reta padr˜o a Reta passando no ponto (α, β). Sempre que poss´ vamos escrever a equa¸˜o de uma reta no formato ıvel ca a(y − α) = b(x − β) que representa uma transla¸˜o horizontal de β e vertical de α da reta padr˜o ca a ay + bx = 0 Observe que se a equa¸˜o for escrita na forma (eq. 6.4) imediatamente podemos ca b ver que ela passa no ponto (α, β) e tem coeficiene angula a . Quando partimos do coeficiente angular dado m ent˜o ser´ mais pr´tico escrever a a a a equa¸˜o da reta no formato ca y − α = m(x − β) que ´ a reta que passa no ponto (α, β) e tem coeficiente angular m. e
- 165. 6.5 Equa¸˜o do 1o Grau ca Defini¸˜o 48 Equa¸˜o polinomial Chama-se equa¸˜o polinomial toda equa¸˜o do tipo ca ca ca ca f (x) = 0 em que f ´ uma fun¸˜o polinomial. e ca Exemplo 38 Equa¸˜o do 1o grau ca 1. Uma equa¸˜o polinomial f (x) = 0 ´ do 1o grau quando ca e f (x) = ax + b com a = 0. 2. 3x − 2 = 0 ; f (x) = 0 ; f (x) = 3x − 2 3. 2kx = 2 ; f (x) = 0 ; f (x) = 2kx − 2 4. t − 5 = 5 ; f (t) = 0 ; f (t) = t − 10 x 1 x 9 5. 3 − 2 = 4 ; f (x) = 0 ; f (x) = 3 − 2 ´ Como resolvemos uma equa¸˜o do tipo ax + b = 0? E o que vamos responde nesta ca sec¸˜o. ca A resolu¸˜o de uma equa¸˜es do 1o grau consiste em aplicar as propriedades do ca co Princ´ıpio das Igualdades, visto no ensino fundamental junto com as propriedades de que R (ou Q) tem uma estrutura de corpo, cap´ ıtulo 4 Teorema 62 Princ´ ıpio das Igualdades 1. Lei do cancelamento aditivo Se A = B ent˜o A + C = B + C a 2. simetria Se A = B ent˜o B = A a 3. transitividade Se A = B e B = C ent˜o A = C a 4. Lei do cancelamento multipliativo Se A = B e s = 0 ent˜o sA = sB a Dem : • As leis do cancelamento s˜o consequˆncia da existˆncia do inverso. No caso da mul- a e e tiplica¸˜o um unico n´mero n˜o tem inverso multiplicativo, o zero. ca ´ u a • A simetria e transitividade s˜o consequˆncias de que a igualdade ´ uma rela¸ao de a e e c˜ equivalˆncia. e q.e.d . Teorema 63 Solu¸˜o da equa¸˜o do 1o grau No corpo dos reais (ou dos racionais) ca ca a equac˜o a ax + b = c tem por unica solu¸˜o ´ ca b x=− a
- 166. se a =0. Dem : inverso, cancelamento aditivoax + b = c ≡ ax + b − b = c − b (6.59) ax + b = c ≡ ax = c − b (6.60) 1 1 inverso, cancelamento multiplicativo ax = c − b ≡ ax = (c − b) (6.61) a a 1 1 c−b a ax =x= a (c − b) = a (6.62) (6.63) As opera¸˜es acima s˜o v´lidas se a = 0. Se a = 0 n˜o haveria nenhuma equa¸˜o para Estamos m co a a a ca resolver e a express˜o seria absurda se b = c. q.e.d . a habituado comutativ dos n´ me u a nota¸ c Exemplo 39 Solu¸˜o de equa¸˜es do 1o grau ca co 1. Resolva a equa¸˜o 2x + p = 2p − x, sendo U = R. ca depende d Solu¸ao. c˜ comutativ Indicamos que a equa¸˜o deve ser resolvida ca no conjunto dos n´meros reais. Te- u mos que 2x + p = 2p − x 2x + x = 2p − p 3x = p p x = 3 Logo, S = { p }. 3 2. Resolva a equa¸˜o 2x + p = 2p − x, sendo U = Z. ca Solu¸ao. c˜ Indicamos que a equa¸˜o deve ser resolvida no conjunto dos n´meros Inteiros. ca u Aproveitando as contas j´ feitas, observamos que a equa¸ao nem sempre ter´ a c˜ a solu¸˜o, ser´ necess´rio que p seja divis´ por 3 ca a a ıvel mx−1 3. Resolva a equa¸˜o ca 2n = x (n = 0) . Solu¸ao. Temos que c˜ mx − 1 = x ⇔ mx − 1 = 2nx 2n e da´ ı, mx − 2nx = 1 Logo, 1 x= comm = 2n m − 2n 4. Resolver a equa¸˜o 2x + m = 3 (x + m) , sendo U = R. ca Solu¸ao. Temos c˜ 2x + m = 3 (x + m) 2x + m = 3x + 3m 2x − 3x = 3m − m x = −m Logo, S = {−m}.
- 167. 6.6 Discuss˜o da equa¸˜o do 1o Grau a ca Dada a equa¸˜o do 1◦ grau ax + b = 0. Discutir a equa¸˜o do 1◦ grau significa efetuar ca ca um estudo desta equa¸˜o visando a classific´-la segundo a sua defini¸˜o. Uma equa¸˜o ca a ca ca do 1◦ grau pode ser apresentada de uma das seguintes situa¸˜es: co −b 1. a = 0. Neste caso, a equa¸˜o tem uma unica solu¸˜o x = ca ´ ca a ; 2. a = 0 e b = 0. Ent˜o temos 0x = 0, qualquer n´mero real ser´ solu¸˜o desta a u a ca equa¸˜o; ca 3. a = 0 e b = 0. Temos 0x = b, n˜o existe solu¸˜o para esta equa¸˜o. a ca ca px x−2 Exemplo Determine todos os valores de p para os quais a equa¸˜o ca 4 − p =1 a) admita uma unica solu¸˜o. ´ ca b) n˜o admita solu¸˜o. a ca c) admita infinitas solu¸˜es. co Solu¸˜o. Inicialmente, vamos deixar a equa¸˜o dada da forma ax = b. Assim, se ca ca px x−2 − = 1, p = 0 (∗) (6.64) 4 p Resolvendo a equa¸˜o (*), encontramos ca (p + 2) (p − 2) x = 4 (p − 2) a) Se p + 2 = 0 e p − 2 = 0, ent˜o a equa¸˜o (*) admite solu¸˜o unica. Logo, a ca ca ´ 4 S={ } p+2 ´ a unica solu¸˜o. Portanto, p = 0, p = −2 e p = 2 e ´ ca b) Se (p + 2) (p − 2) = 0 e 4 (p − 2) = 0, ent˜o a equa¸˜o (*) n˜o admite solu¸˜o. a ca a ca Portanto, p = −2 ou p = 0. c) Se (p + 2) (p − 2) = 0 e 4 (p − 2) = 0, ent˜o a equa¸˜o (*) admite infinitas a ca solu¸˜es e isto ocorrer´ para p = 2. co a 6.6.1 Exerc´ ıcios Propostos 1. Resolver as seguintes equa¸˜es do 1o grau da inc´gnita x : co o a) x−3 x−2 − 2−5x x+1 = 6x2 − 3 x 4x b) x − 4 −1=7− 3 mx nx x m2 c) m+n − m2 −n2 = n +m− mn−n2 1 3 d) x − 4 =1 2. Resolva a seguinte equa¸˜o ca 2 4−x x− 3 2 17 1 − 4 =− 2 3 6
- 168. 1 3. Determine m + m sabendo que a equa¸˜o ca m − 114x 3mx + = 782m + 1 2 admite infinitas solu¸˜es. co 4. Resolva a equa¸˜o ca √ √ 2 6 12 x 27 − √ + √ = 4x + 12 12 6 5. Resolva a equa¸˜o ca 1 1 x = 2 − 1−x 2 6. Determine k para o qual a equa¸˜o k (kx + 1) = 2 (2x − 1) ´ imposs´ ca e ıvel. 6.7 Sistema de Equa¸˜es do 1o Grau co Uma classe importante de problemas pode ser expresso por um sistema de equa¸˜es. Vamos discutir aqui sistemas de equa¸˜es lineares. Vocˆ ver´ que co co e a estes sistemas nos permitem criar uma generaliza¸˜o dos n´meros, as matrizes. ca u Exemplo 40 Sistemas lineares a1 x + b 1 y = c1 (6.65) a2 x + b 2 y = c2 em ai , bi , ci s˜o n´meros reais. a u A solu¸˜o do sistema (eq. 6.65) ´ um par (x, y) ∈ R × R tal que as coordenadas ca e x e y satisfazem ambas equa¸˜es. co Podemos logo aqui fazer uma discuss˜o de natureza geom´trica. Veja que podemos a e reformular o sistema escrevendo assim: y = f1 (x) = A1 x + C1 (6.66) y = f1 (x) = A2 x + C2 “passando” todos os coeficientes para o segundo membro, quer dizer, ai ci Ai = − ; Ci = bi bi Temos um sistema de fun¸˜es do 1o grau e como j´ vimos que os gr´ficos das co a a o fun¸˜es do 1 grau s˜o retas, ent˜o o sistema (eq. 0) pode ser representado por duas co a a retas, e consequentemente, ter´ a 1. solu¸˜o unica se as retas forem concorrentes; ca ´ 2. uma infinidade de solu¸˜es se as retas co¨ co ıncidirem. 3. imposs´ se as retas forem paralelas e diferentes; ıvel Veja, na figura (fig. 6.8), o significado geom´trico desta discuss˜o. e a
- 169. f1 f1 f2 P f2 sistema sistema impossível tem solução única Uma infinidade f1 soluções f2 f = f2 1 Figura 6.8: Discuss˜o geom´trica, sistema de equa¸oes a e c˜ 6.7.1 Matrizes Vamos introduzir aqui um dispositivo, as matrizes, que ser˜o estudadas mais aprofun- a ´ dadamente na disciplina Algebra Linear. Agora elas v˜o t˜o somente transcrever de a a forma abreviada os sistemas de equa¸˜es. co Come¸amos por re-escrever o sistema (eq. 6.65). Identificamos os quatro coefici- c entes que multiplicam as duas incognitas x, y a1 , b 1 , a 2 , b 2 e os dois coeficientes “independentes” c1 , c2 . e escrevemos a1 b1 x c1 = (6.67) a2 b2 y c2 O dispositivo retangular formado pelos quatro coeficientes se chama matriz. Aqui temos uma matriz 2 x 2, duas linhas e duas colunas, e definimos na (eq. 6.67) a x c1 multiplica¸˜o da matriz pelo vetor ca tendo como resultado o vetor . t c2 Uma nova multiplica¸˜o ca Esta multiplica¸˜o se processa combinando os elementos de cada linha da matriz ca multiplica¸ao c˜ de matrizes
- 170. x (s˜o multiplicados) peloselementos do vetor a como uma engrenagem de rodas t dentadas. O resultado desta multiplica¸˜o ´ exatamente o sistema (eq. 6.65). ca e Observe a simula¸˜o do produto de matrizes na figura (fig. 6.9) ca Multiplicação de matrizes 1 a b x 2 ax + by 2 3 4 3 1 4 c d y cx + dy 5 5 8 6 6 7 7 8 Figura 6.9: O produto de matrizes Vamos traduzir em linguagem alg´brica a discuss˜o geom´trica que fizemos da e a e solu¸˜o do sistema de equa¸˜es e estudarremos cada um dos casos geom´tricos. ca co e 1. solu¸˜o unica se as retas forem concorrentes; ca ´ Neste caso os coeficientes angulares das retas n˜o s˜o iguais, a a a1 a2 b1 = b2 (6.68) a1 b 2 = a2 b 1 (6.69) D = a1 b 2 − a2 b 1 = 0 (6.70) (6.71) Na ultima equa¸˜o podemos identificar o n´mero obtido fazendo a a diferen¸a ´ ca u c entre os produtos em cruz das entradas da matriz. Este mesmo n´mero vai se u repetir nas pr´ximas an´lises. A solu¸˜o ´ unica se D = 0 o a ca e ´ 2. uma infinidade de solu¸˜es se as retas co¨ co ıncidirem. Se as retas co¨ ıncidirem, seus coeficientes angulares ser˜o iguais o que nos leva a a escrever a1 a2 b1 = b2 (6.72)
- 171. a1 b1 a2 = b2 (6.73) a1 b1 c1 a2 = b2 = c2 (6.74) D = a1 b 2 − a2 b 1 = 0 (6.75) D1 = a1 c2 − a2 c1 = 0 ; D2 = b2 c1 − b1 c2 = 0 (6.76) onde vemos novamente o n´mero D intervindo na an´lise. Tamb´m agora es- u a e crevemos duas equa¸˜es extras, a (eq. 73), que foi obtida da anterior usando a co propriedade da troca dos meios numa propor¸˜o. Esta equa¸˜o, (eq. 73), nos ca ca diz agora que os coeficientes de uma reta s˜o proporcionais aos da outra reta. a Como as retas co¨ ıncidem o coeficiente independente tem que estar na mesma propor¸˜o, portanto obtivemos assim as equa¸˜es (eq. 74),(eq. 76). ca co A importancia do n´mero D ou D1 ou D2 , que tˆm express˜es an´logas, fica u e o a clara, vamos lhe dar um nome: determinante. a1 b1 D = det = a1 b 2 − a2 b 1 = 0 (6.77) a2 b2 a1 c1 D1 = det = a1 c2 − a2 c1 = 0 (6.78) a2 c2 c1 b1 D2 = det = c1 b2 − c2 b1 = 0 (6.79) c2 b2 e concluimos a discuss˜o deste item do sistema dizendo que a D = D1 = D2 = 0 (6.80) 3. imposs´ se as retas forem paralelas e diferentes; ıvel Neste caso o deteminante da matriz do sistem, D ´ zero, mas uma das propor¸˜es e co com os termos independentes falha (porque as retas) n˜o s˜o iguais: a a D1 = 0 ou D2 = 0 (6.81) Neste caso as retas s˜o paralelas, seus coeficientes angulares s˜o iguais, mas as a a retas s˜o diferentes, e portanto tem interse¸˜o vazia. a ca Defini¸˜o 49 Determinante de uma matriz2 x 2 ca Identificamos nas matrizes 2 x 2 ou em matrizes de dimens˜o maior, as “linhas”, a as “colunas” e as duas diagonais (quando o n´mero de linhas for igual ao de colunas). u A diagonal em que os dois ´ ındices s˜o iguais, ´ a principal, a outra a secund´ria. a e a O determinante, no caso de matrizes 2 x 2, ´ a diferen¸a entre: e c • o produto dos elementos da diagonal principal • o produto dos elementos da diagonal secund´ria a A discuss˜o que fizemos acima demonstra o teorema: a Teorema 64 Discuss˜o de um sistema de equa¸˜es lineares a co Dado um sistema linear como (eq. 6.65), temos tres casos 1. determinado quando as retas forem concorrentes ou equivalentemente, o deter- minante, D, da matriz do sistema for diferente de zero.
- 172. 2. indeterminado quandoas retas forem co¨ıncidentes, ou equivalentemente, todos os determnantes 2 x 2 que pudermos fazer usando as colunas do sistema, forem nulos. Em particular o determinante da matriz do sistema ´ nulo. e 3. imposs´ Quando as retas forem paralelas e diferentes,ou equivalentemente, o ıvel determinante, D, da matriz do sistema for nulo, mas um dos outros determi- nantes que pudermos fazer trocando uma das colunas de D com a coluna dos termos independentes, os determinantes D1 ouD2 for diferente de zero. O m´todo de resolu¸˜o de sistema linear pode ser iniciado por qualquer uma das e ca equa¸˜es, e a escolha da vari´vel, deve obedecer ao crit´rio que mais facilita a solu¸˜o co a e ca do sistema. Exemplo 41 Solu¸˜o de sistemas lineares ca x + y = 20 1. Resolva o sistema x−y = 6 Solu¸ao. Isolando a segunda equa¸˜o temos que x = y + 6. Vamos agora, c˜ ca substituir na primeira equa¸˜o ca (y + 6) + y = 20 ⇒ y = 7 e por outro lado, encontramos x = 13. Logo, S = {(13, 7)}. Outra solu¸ao. O determinante do sistema, D = −2 = 0, o sistema tem c˜ solu¸˜o unica como encontramos. ca ´ Exemplo Se 2x − 3y − z = 0 e x + 3y − 14z = 0, z = 0, determine o valor da express˜o a x2 + 3xy g(x, y, z) = 2 y + z2 Solu¸ao. Vamos multiplicar a segunda equa¸˜o por −2 somar membro a mem- c˜ ca bro as duas equa¸˜es: co 2x − 3y − z = 0 + −2x − 6y + 28z = 0 −9y + 27z = 0 e da´ y = 3z. Agora, somando as duas equa¸˜es encontramos tamb´m x = 5z. ı, co e Finalmente, substituindo x = 5z e y = 3z. Temos x2 + 3xy 25z 2 + 45z 2 = =7 y2 + z2 9z 2 + z 2 Outra solu¸ao. O determinante do sistema, D = −2 = 0, o sistema tem c˜ solu¸˜o unica como encontramos. ca ´ 2. Determine a + b, sabendo que o sistema 10x − y = 3 (6.82) ax − y = b admite uma infinidade de solu¸˜es. co
- 173. Solu¸ao. Como osistema (eq. 82) admite uma infinidade de solu¸˜es, ent˜o, c˜ co a por defini¸˜o ca 10 −1 3 = = ⇒ a = 10eb = 3 a −1 b Logo, a + b = 13. Como o sistema (eq. 82) admite uma infinidade de solu¸˜es, co ent˜o, pela discuss˜o de um sistema de equa¸˜es do primeiro grau sabemos que a a co todos os determinantes 2 x 2 que pudermos fazer com os coeficientes s˜o nulos, a 10 −1 10 3 logo os determinantes D = det( ) = 0 e D1 = det( )=0 a −1 a b Logo D1 = 10b − 3a = 0 ; D = −10 + a = 0 ⇒ a = 10, b = 3 portanto a + b = 13 6.7.2 Exerc´ ıcios Propostos 1. Resolva os sistemas: 3x − y = 4 a) x + 2y = 6 x3 + y 3 = 1 b) x2 y + 2xy2 + y3 = 2 xy 6 x+y = 5 xz 4 c) x+z = 3 yz 12 y+z = 7 2. Ache todas as solu¸˜es do sistema co x3 + x3 y3 + y3 = 17 x +xy +y = 5 3. Determine a e b para que seja imposs´ o sistema ıvel ax + 3b = 6y + 5a ax + 2y − 4x = 4a + 3 4. Os n´meros a, b e c s˜o reais n˜o negativos e p e q s˜o inteiros positivos distintos. u a a a Prove: se ap + bp = cp aq + bq = cq ent˜o a = 0 ou b = 0. a 5. Ache todas as solu¸˜es do sistema co 3x2 + xy − 2y2 = 0 2x2 − 3xy + y2 = −1 6.8 Problemas do 1o Grau J´ sabemos que, para encontrar a solu¸˜o de certos problemas, podemos usar uma a ca equa¸˜o do 1 grau. Na pr´tica a resolu¸˜o de um do 1o grau ´ constituida de trˆs ca o a ca e e etapas:
- 174. 1. Estabelecer osistema ou a equa¸˜o que representa o problema; ca 2. Resolver o sistema ou a equa¸˜o; ca 3. Achar a resposta conveniente. Exemplo Numa prova de matem´tica, a prova ´ composta de 20 quest˜es. Cada a e o quest˜o certa vale 5 pontos e cada quest˜o errada vale 2 pontos. Um aluno obteve 82 a a pontos. Quantas quest˜es acertou e quantas errou este aluno? o Solu¸˜o. Seja x o n´mero de quest˜es certas e y o n´mero de quest˜es erradas. Emt˜o ca u o u o a x+y = 20 5x + 2y = 82 Agora, resolvendo o sistema encontramos x = 7 e y = 13 isto ´, o aluno acertou 13 e quest˜es e errou 7. o Exemplo Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem o n´mero de irm˜os igual ao u a n´mero de irm˜s. Cada filha tem o n´mero de irm˜os igual ao dobro do n´mero de u a u a u irm˜s. Determine o total de filhos do casal. a Solu¸˜o. Seja m o n´mero de filhas e h o n´mero de filhos. Como cada filho tem ca u u h − 1 irm˜os e m irm˜s. Assim, a a h − 1 = m (∗) (6.83) Por outro lado, cada filha tem m − 1 irm˜s e h irm˜os. Logo, a a h = 2 (m − 1) (∗∗) (6.84) O sistema h−1 = m h = 2 (m − 1) tem solu¸˜o h = 4 e m = 3. Portanto, o casal tem 7 filhos. ca 2 Exemplo Um copo cheio de ´gua pesa 385g; com 3 de ´gua pesa 310g. Determine o a a peso do copo vazio. Solu¸˜o. Sejam x a massa do copo vazio e y a massa do copo cheio. Assim, temos o ca sistema x+y = 385 2 x + 3 y = 310 Resolvendo o sistema encontramos x = 160 e y = 225. Logo, a massa do copo vazio ´ e 160g. Exemplo Uma pessoa nasceu no s´culo XIX e morreu no s´culo XX, vivendo um e e total de 64 anos. Se o n´mero formado pelos dois ultimos algarismos do ano do seu u ´ nascimento for igual ao dobro do n´mero formado pelos dois algarismos do ano de sua u morte. Determine quantos anos tinha essa pessoa no ano de 1900. Solu¸˜o. Seja n o n´mero formado pelos dois ultimos algarismos do ano que ela ca u ´ morreu. Assim, 2n ´ o n´mero formado pelos dois ultimos algarismos do ano que ela e u ´ nasceu. Como ela nasceu no s´culo XIX, ela nasceu em 1800 + 2n e morreu no s´culo e e XX ela morreu em 1900 + n. Como ela viveu 64 anos. Logo, (1900 + n) − (1800 + 2n) = 64 e da´ n = 36. Portanto, ela nasceu em 1872. Assim, 1900 ela tinha 1900 − 1872 = 28 ı, anos.
- 175. 6.8.1 Exerc´ ıcios Propostos 1. Ana comprou um par de luva e um par de meia. O par de luvas custou 10 reais a mais do que o de meia. O total da compra foi de 50 reais. Quantos reais custou o par de meia? 2. Um feirante vendeu 140kg de batatas em 3 dias. No 2o dia vendeu 10kg a mais 3 que no 1o dia e no 3o dia 5 do que vendeu no 1o dia. Quantos quilogramas vendeu o feirante no segundo dia? 3. Quando o n´mero 3 ´ escrito ` direita de um n´mero de dois algarismos, o valor u e a u desse n´mero aumenta de 777. Encontre o n´mero original. u u 4. Um jornal ´ composto somente de folhas duplas. As p´ginas 7 e 14 est˜o na e a a mesma folha dobrada do jornal. Supondo que todas as p´ginas est˜o preenchi- a a das, quantas p´ginas tem o jornal? a 5. Hoje eu tenho a idade que um amigo Paulo tinha quando eu nasci. Daqui a 15 3 anos terei 2 da idade de Paulo. Qual ´ a idade de Paulo? e 6. Um n´mero de 6 algarismos come¸a ` esquerda, por 1. Levando-se este algarismo u c a para o ultimo lugar, ´ direita, o novo n´mero ´ triplo do inicial. Determine o ´ a u e n´mero incial. u 7. Para numerar as paginas de dicion´rio foram necess´rios 2989 algarismos. a a Quantas p´ginas tem o dicion´rio? a a 8. Trˆs torneiras A, B e C, enchem um tanque. B e C juntas levariam 2 horas para e enchˆ-lo; C e A 3 horas; A e B 5 horas. Determine o tempo que as trˆs juntas e e levar˜o para encher o tanque. a 1 9. Em uma jara cabe 1 litro e mais 3 da jara, de ´gua. Quantos litros de ´gua a a 4 cabem em 3 da jara? 10. Numa festa est˜o 42 pessoas, entre mo¸as e rapazes. Maria dan¸ou com 7 a c c rapazes, L´cia com 8 rapazes, Marta com 9 e assim por diante, e por ultimo, u ´ Eva, a dona da casa, dan¸ou com todos os rapazes. Quantos rapazes havia na c festa? Se o n´mero de pessoas na festa for n e Maria dan¸ou com r rapazes, u c L´cia com r + 1 rapazes, qual ´ o n´mero de rapazes? Como deveria ser o u e u enuciado do problema, se desejassemos na resposta que o n´mero de rapazes u fosse igual ao de mo¸as? c 11. Carlos parte de A com destino a B, `s 8 horas, enquanto Paulo parte de A com a destino a B, mas `s 9 horas. Paulo corre com a velocidade igual ` quarta parte a a ´ a mais do que a velocidade de Carlos. As 10 horas Carlos est´ 30km na frente a de Paulo. a) Determine a velocidade de cada um. ´ b) As 12 horas e um quarto, quem est´ na frente? Qual ´ a distˆncia que os separa? a e a ıcios 26 Progress˜es aritm´icas Exerc´ o t 1. Especula¸˜o financeira Uma m´quina custa R$10.000,00 e ao longo de 12 anos ca a ir´ produzir lucros de R$1.500,00 podendo ser vendida ao final deste tempo por a R$3.000,00. Considerando que o dinheiro poderia ser colocado n’algum fundo de investimento com taxa prefixada de 10% a.a. estude se vale a pensa comprar a m´quina ou investir no fundo. a 2. 3.
- 176. 6.8.2 Solu¸˜o de alguns exerc´ ca ıcios 1. especula¸˜o ou trabalho A m´quina ao longo de 12 anos produz um lucro de ca a R$ 18.000,00 e ao ser vendida por R$3.000,00 tornou o seu custo mais baixo, R$10.000,00 - R$3.000,00=R$7.000,00 o que lhe d´ uma lucratividade l´ a ıquida de R$ 18.000,00 - R$7.000,00=R$11.000,00 O dinheiro colocado a render no fundo com renda pre-fixada produziria a soma dos termos de uma P.A. 12 11 10000 ∗ 10% ∗ ( k) = 10000 ∗ 10% ∗ 12 ∗ = 66000 2 k=1 10000+ 1 + 1.1 + 1.21 + 1.331 + 1.4641+ 1.61051+1.771561 + 1.9487171 6.9 Progress˜es geom´tricas o e N˜o ´ atˆa que os dois assuntos, P.A. e P.G. andam sempre juntos. Existe a e o uma liga¸ao ´ c˜ ıntima entre estes dois tipos de sucess˜o, e a hist´ria toda vai ser a o contada ao final deste cap´ ıtulo. Agora vamos apenas abrir mais um t´pico o nesta intriga, falando das P.G. Por defini¸˜o: ca Defini¸˜o 50 Progress˜o geom´trica ca a e Uma P.G. ´ uma sucess˜o de n´meros em que o quociente de cada n´mero com o e a u u seu antecedente, ´ um n´mero fixo, chamado raz~o. e u a Se (an )n∈N designa uma P.G. ent˜o a an+1 = r ´ constante e an Exemplo 42 Progess˜o geom´trica a e 1. Considere um n´mero inicial a1 = a e outro qualquer, r 0 a sucess˜o u a a, ar, ar 2 , · · · , ar (n−1) ´ uma P.G. com n termos sendo a1 = a o primeiro termo e o o fator multipli- e cativo r a raz˜o. a 2. A raz˜o pode ser um n´mero negativo, a sucess˜o a u a 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, · · · tem primeiro termo a1 = 1 ; r = −1. 3. Se a1 0 e r 1 a P.G. ´ crescente porque e an+1 = r 1 ⇒ an+1 an an
- 177. 4. Se a1 0 e r 1 a P.G. ´ decrescente porque e an+1 = r 1 ⇒ an+1 an an 5. Liga¸˜o das P.G. com as P.A. A liga¸˜o fort´ ca ca ıssima entre este tipo de sucess˜o a e as sucess˜es aritm´ticas, P.A. se encontra no fato de que os expoentes da o e raz˜o formam uma P.A. (e a mais simples P.A. que ´ a sucess˜o dos primeiros a e a n´meros naturais): u a1 , a1 r, a1 r 2 , a1 r 3 , · · · , a1 r n−1 A equa¸˜o cl´ssica para as P.G. estabelce que o termo geral ´ ca a e an = a1 ∗ r (n−1) ; a1 corresponde a r 0 (6.85) em que • primeiro termo a1 ´ o primeiro termo e • a vari´vel n ´ um indice, a vari´vel com que construimos a P.G. a e a Usando a nota¸˜o de fun¸˜o diriamos ca ca N→R (6.86) n → an = a1 ∗ r (n−1) (6.87) A seguinte lista de exerc´ıcios pode ser feita sem nenhum prerequesito, e faremos uso significativo dela no resto do livro. Ela conduz a demonstra¸˜o de uma identidade ca cl´ssica da Matem´tica. a a Exerc´ ıcios 27 Laborat´rio b´sico, Progress˜o geom´trica o a a e 1. Uma P.G. muito particular Verifique que 1, r, r 2 , · · · , r n−1 ; n − 1 ≥ 2 ´ uma P.G. e 2. Soma dos termos de uma P.G. muito particular Verifique a identidade (1 + r + r 2 + · · · + r n−1 )(1 − r) = r n − 1 e conclua que se r = 1 tamb´m vale a identidade e rn − 1 1 + r + r 2 + · · · + r n−1 = 1−r 3. Soma dos termos de uma P.G. qualquer Considere uma P.G. qualquer, de termo geral an = a1 ∗ r (n−1) verifique que a soma dos seus termos Sn = a1 + a2 + · · · + an pode ser deduzida da soma 1 + r + r 2 + · · · + r n−1 e calcule Sn .
- 178. Demonstramos, com estesexerc´ ıcios, os dois teoremas seguintes: Teorema 65 rn − 1 1 + r + r 2 + · · · + r n−1 = (6.88) 1−r Teorema 66 A soma dos termos de uma P.G. Dada uma P.G. de termo geral ak = a1 r k−1 ; k ≥ 1 a soma dos seus termos r n−1 − 1 a1 + a2 + · · · + an = a1 r−1 Observa¸˜o 28 Abstra¸˜o ca ca ´ E a segunda vez, neste cap´ ıtulo que deduzimos um teorema importante de um resultado simples, neste caso a soma dos termos de uma P.G. J´ fizemos isto antes com a soma dos a termos de uma P.A. que foi deduzida da soma dos n primeiros n´meros naturais. Este ´ u e um m´todo muito poderoso na Matem´tica, a redu¸ao ao caso mais simples, e se encontra no e a c˜ centro do m´otodo chamado “abstra¸ao” que vocˆ ira´ dominar a medida que se aprofunda e c˜ e a em nossa ciˆncia. e Vamos resolver os itens da lista anterior, mas insistimos que vocˆ resolva as e quest˜es sozinho e apenas compare com o que vamoa agora fazer. Vocˆ tem que o e dominar esta t´cnica. e Solu¸˜o 1 Resultados do laborat´rio ca o ´ 1. Uma P.G. muito particular E a P.G. mais simples, o primeiro termo ´ 1 e vai e sendo multiplicado por uma raz˜o r dada. O quociente de de quaisquer dois a termos sucessivos ´ r. e 1, r, r 2 , · · · , r n−1 ; n − 1 ≥ 2 2. Soma dos termos de uma P.G. muito particular Verificando a identidade T = Sn (1 − r) (6.89) 2 n−1 T = (1 + r + r + · · · + r )(1 − r) = (6.90) T = (1 + r + r 2 + · · · + r n−1 ) − r(1 + r + r 2 + · · · + r n−1 ) (6.91) 2 n−1 2 n T = (1 + r + r + · · · + r ) − (r + r + · · · + r ) (6.92) T = 1 − rn (6.93) T T = Sn (1 − r) ⇒ Sn = 1−r (6.94) 1−r n Sn = 1−r (6.95) 3. Soma dos termos de uma P.G. qualquer Considere uma P.G. qualquer, de termo geral an = a1 ∗ r (n−1) . Podemos re-escrever a soma: Sn = a 1 + a 2 + · · · + a n (6.96) (n−1) Sn = a1 + a1 r + · · · + a1 ∗ r (6.97) (n−1) Sn = a1 (1 + r + · · · + r ) (6.98) n Sn = a1 ( 1−r ) 1−r (6.99)
- 179. De forma semelhanteao que acontece com as progress˜es aritm´ticas, os problemas o e com as P.G. giram em torno da f´rmula fundamental. S˜o dadas duas informa¸˜es o a co para que vocˆ encontre a terceira. e Exemplo 43 1. A chamada d´ ıvida externa Os juros compostos s˜o muito do agrado dos especuladores financeiros e ´ impor- a e tante dominarmos para ter instrumentos de defesa. Embora os juros compostos sejam considerados uma selvageria, eles s˜o frequentemente praticados. Observe a o exemplo do que alguns insistem em chamar de d´ ıvida externa, que em 1970 era da ordem de 100 bi de d´lares e que ao final do governo FHC passou para o 300 bi d´lares. Observe o quadro comparativo o ano popula¸˜o ca taxa de varia¸˜o d´ ca ıvida externa taxa de varia¸˜o ca 1970 100 mi hab - 100 bi d´lares o - 2000 150 mi hab 1.5 300 bi d´lares o 3 O c´lculo da d´ a ıvida A d´ ıvida, na “´tica” dos banqueiros, se calcula com juros compostos, quer dizer e com P.G. • Digamos que a taxa “contratada” seja j e vocˆ pediu a1 = C e • Ao final do primeiro per´ ıodo, em geral um mes, vocˆ deve e a2 = a1 + a1 j = a1 (1 + j) e como esta ´ a sua nova d´ e ıvida, sobre ela novamente incidir˜o agora os a juros (juros acumulados) e assim no pr´ximo per´ o ıodo vocˆ deve e a3 = a2 + a2 j = a2 (1 + j) = a1 (1 + j)2 • Hip´tese de indu¸˜o Suponhamos que ao final do k−´simo per´ o ca e ıodo vocˆ e devesse ak = a1 (1 + j)k−1 ent˜o a sua d´ a ıvida no final do per´ ıodo seguinte seria: ak+1 = ak + ak j = ak (1 + j) = a1 (1 + j)k o que demonstra a express˜o da d´ a ıvida ao final de n per´ ıdos ser an = a1 r n−1 ; r = j + 1 ; a1 = C uma progress˜o geom´trica. a e • Custo do empr´stimo O custo do empr´stimo, chamado na “linguagem e e t´cnica”, servi¸o da d´vida ´ e c ı e C(1 + j)n−1 − C = C((1 + j)n−1 − 1) Porque vocˆ recebeu C. e No caso da d´ ıvida externa podemos facilmente avaliar a mal´ ıcia do FMI e a falta de nacionalidade das chamadas autoridades que nomeamos com nosso voto. Como sempre pagamos uma quantidade inferior ao servi¸o da d´vida, ela n˜o c ı a para de crescer como o quadro acima mostra. N´s estudamos Matem´tica, inclusive, para entender os fatos pol´ o a ıticos, e a d´ ıvida ´ um m´todo pol´ e e ıtico que tem o objetivo de manter o nosso pa´ em eterna ıs submiss˜o, porque compromete os investimentos sociais. a
- 180. 2. Compra aprazo e presta¸˜es Suponha que vocˆ pe¸a um empr´stimo de C a co e c e 6 uma casa financeira . Ao fazer uma compra a prazo vocˆ ´ colocado em uma e e negocia¸˜o unilateral com um banco que lhe imp˜e uma taxa de juros j. ca o • O valor do empr´stimo ´ o valor da compra, C menos a entrada, E e e a1 = C − E • ao final do primeiro mes vocˆ deve e a1 + a1 j = a1 (1 + j) e paga uma presta¸˜o P ficando o balancete assim: ca a2 = a1 (1 + j) − P e assim sucessivamente: a3 = a2 (1 + j) − P = a1 (1 + j)2 − P (1 + j) − P (6.100) a4 = a3 (1 + j) − P (6.101) 3 2 a4 = a1 (1 + j) − P (1 + j) − P (1 + j) − P (6.102) n−2 n−1 an = a1 (1 + j) −P (1 + j)k (6.103) k=0 (1 + j)n−1 − 1 an = a1 (1 + j)n−1 − P (6.104) j uma P.G. e a soma dos termos de outra P.G. • Como fazem os bancos O c´lculo acima n˜o ´ f´cil para ser explicado aos a a e a clientes que n˜o querem pensar muito. Este c´lculo produz um res´ a a ıduo que ia ser dif´ de ser justificado. M´todo dos bancos: ıcil e – Perguntam-lhe em quantas presta¸˜es quer parcelar a d´ co ıvida e passam para a m´quina a C P = ; n = n´mero de presta¸˜es u co (6.105) n – Calculam o res´ ıduo com esta presta¸˜o, an , ver (eq. 104), o que falta ca pagar usando a presta¸˜o P. ca – Recalculam a presta¸˜o somando o res´ ca ıduo ` d´ a ıvida: Divida = C + an (6.106) C + an P1 = (6.107) n 6o nome at´ parece beneficiente e
- 181. 6.10 Fun¸˜o quadr´tica ca a As fun¸oes quadr´ticas s˜o fun¸ oes polinˆmiais definidas por polinˆmios do c˜ a a c o o segundo grau: f (x) = ax2 + bx + c ´ uma fun¸ao quadr´tica se a = 0. e c˜ a Enquanto o gr´fico de uma fun¸ao linear afim, do primeiro grau, se alinha a c˜ em cima de uma reta, o gr´fico de uma fun¸ao quadr´tica n˜o pode ser uma a c˜ a a reta. Veremos aqui como ´ o gr´fico deste tipo de fun¸ao. e a c˜ Se f for do primeiro grau, o resultado ser´ uma reta crescente ou decrescente, a depende do coeficiente angular, como j´ vimos. a Se f n˜o for do primeiro grau, muitas coisas podem ocorrer. Vamos come¸ar com a c a fun¸˜o quadr´tica mais simples ca a f (x) = x2 e vamos obter o seu gr´fico. Depois vamos ver que transforma¸˜es lhe podem ser a co aplicadas para chegarmos ao caso geral. Para fazer um gr´fico, com um programa de computador, por exemplo, o que a devemos fazer (o que o computador deve fazer) ´ colocar na tela uma lista de pares e (x, f (x)). numa certa ordem, por exemplo na ordem crescente da vari´vel x, como vocˆ faria a e com papel e l´pis. Se f for do primeiro grau, o resultado ser´ uma reta crescente ou a a decrescente, depende do coeficiente angular, como j´ vimos. a Se f n˜o for do primeiro grau, muitas coisas estranhas podem ocorrer. Vamos a come¸ar com a fun¸˜o quadr´tica mais simples c ca a f (x) = x2 e vamos obter o seu gr´fico. Depois vamos ver que transforma¸˜es lhe podem ser a co aplicadas para chegarmos ao caso geral. A metologia ´ semelhante a que usamos com e as fun¸˜es do primeiro grau, veja a equa¸˜o (eq. 24), na p´gina 155. . Se vocˆ n˜o tiver co ca a e a feito a lista de exerc´ ıcios (ex. 24) vocˆ deveria fazˆ-los agora, porque o que fizermos e e aqui ´ uma continua¸˜o do que foi feito al´ e ca ı. 6.10.1 A fun¸˜o padr˜o y = f (x) = x2 ca a Vamos come¸ar analisando a figura (fig. 6.10) na p´gina 238. nela voce pode ver c a os 11 pontos marcados no papel correspondentes ` seguinte tabela calculada com um a programa de computador: x -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 f (x) 100 81 64 49 36 25 16 9 4 1 0 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f (x) 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
- 182. Pedimos, no programa,que o computador calculasse (x, f (x)) ; x ∈ {−10, −9, −8, · · · 8, 9, 10} ; ∆x = 1 (6.108) usando todos os valores inteiros da vari´vel no intervalo [−10, 10]. a Mas, com um programa de computador, podemos fazer tabelas mais densas e portanto gr´ficos mais precisos, veja o resultado, na figura (fig. 6.11), p´gina 239, a a quando pedimos que o programa fizesse o gr´fico agora usando os valores de x com a saltos ∆x = 0.5 x ∈ {−10, −9.5, −9, · · · 9, 9.5, 10} ; ∆x = 0.5 (6.109) No primeiro gr´fico o computador marcou 11 pontos e no segundo marcou 21 a pontos. Gr´ficos com um computador com saltos de ∆x = 0.5 ou muito menores faz a pouca importˆncia, veja o agora o gr´fico feito com saltos ∆x = 0.01 na figura (fig. a a 6.12), p´gina 240, com 2001 pontos. a Observa¸˜o 29 A taxa de varia¸˜o das fun¸˜es ca ca co Na disciplina C´lculo Diferencial e Integral vocˆ ir´ estudar estes gr´ficos com mais a e a a teoria e vai compreender melhor porque o gr´fico da par´bola tem apenas uma curvatura. a a Neste momento tudo que podemos fazer ´ chamar sua aten¸˜o para a velocidade relativa e ca entre as duas sequˆncias de pontos, os valores da vari´vel x e os valores de f (x). Analise o e a que acontece com a tabela de valores que se encontra impressa acima. Enquanto a vari´vel x assume valores equidistribuidos, com a mesma cadˆncia, os valores a e de f (x) tˆm uma distribui¸˜o n˜o uniforme, uma velocidade vari´vel, ´ isto que responde e ca a a e pelo fato de que o gr´fico n˜o seja uma reta. a a N˜o ´ assim com as fun˜es do primeiro grau. Se f for do primeiro grau, tanto x como a e o f (x) se encontram em P.A. como j´ vimos, no exerc´ a ıcio (ex. 4), p´gina 146, que a imagem a de uma P.A. por uma fun¸ao linear afim ´ ainda uma P.A. (demonstre isto agora se n˜o tiver c˜ e a feito o exerc´ ıcio) . Podemos tornar a frase acima mais precisa, no que diz respeito `s fun¸˜es do segundo a co grau. Vamos repetir os c´lculos que fizemos no exerc´ a ıcio (ex. 4). f (x) = Ax2 + Bx + C (6.110) ∆f = f (a + ∆) − f (a) = A(a + ∆)2 + B(a + ∆) + C − f (a) (6.111) ∆f = A(a2 + 2a∆ + ∆2 ) + Ba + B∆ + C − f (a) (6.112) ∆f = 2aA∆ + A∆2 + B∆ (6.113) Comparando agora com os mesmos c´lculos que fizemos com as fun¸˜es do primeiro a co grau, exerc´ ıcio (ex. 4), podemos tirar uma conclus˜o importante, considere g uma fun¸˜o do a ca primeiro grau: g(x) = Ax + B (6.114) g(a + ∆) − g(a) (6.115) g(a + ∆) − g(a) = A(a + ∆) + B − (Aa + B) (6.116) g(a + ∆) − g(a) = Aa + A∆ + B − Aa − B (6.117) g(a + ∆) − g(a) = A∆ (6.118) ∆f = 2aA∆ + A∆2 + B∆ (6.119) ∆g = A∆ (6.120) Vamos agora definir a varia¸˜o e a taxa de varia¸˜o de uma fun¸˜o h : ca ca ca
- 183. Defini¸˜o 51 Varia¸˜oe taxa de varia¸˜o ca ca ca varia¸˜o deh = ∆h = h(a + ∆) − h(a) ca (6.121) ∆h h(a+∆)−h(a) taxa de varia¸˜o de(h)a = ca ∆ = ∆ (6.122) (6.123) A varia¸ao ´ uma diferen¸a, e a taxa de varia¸ao ´ uma raz˜o. c˜ e c c˜ e a Se aplicarmos esta defini¸˜o `s duas fun¸˜es f, g vamos encontrar ca a co ∆f ∆ = 2aA + A∆ + B (6.124) ∆g ∆ =A (6.125) Conclus˜o: a taxa de varia¸ao das fun¸oes lineares afins ´ constante, (coisa que elas a c˜ c˜ e transmitem para as progress˜es aritm´ticas), e a taxa de varia¸ao das fun¸˜es do segundo o e c˜ co grau n˜o ´ constante e aumenta a medida que a vari´vel se afasta muito da origem, porque a e a o ponto a em que a taxa de varia¸˜o ´ calculada, aparece na express˜o. ca e a 6.11 O gr´fico de uma fun¸˜o do segundo grau a ca Vamos descobrir como ´ o gr´fico de uma fun¸˜o do segundo grau qualquer atrav´s de e a ca e algumas transforma¸˜es adequadas. co H´ trˆs tipos de transforma¸˜es alg´brico-geom´tricas que podemos aplicar aos a e co e e gr´ficos das fun¸˜es: a co • rota¸˜es co • transla¸˜es co • homotetias Para o nosso caso teremos pouca utilidade das rota¸˜es. Elas ser˜o muito impor- co a tantes em Geometria Anal´ ıtica para simplificar as equa¸˜es de algumas curvas. co Exemplo 44 Transla¸˜o ca Se aplicarmos uma transla¸˜o ` funcc˜o do segundo grau que chamamos de padr˜o, ca a a a x → x2 teremos: (observe o sinal) f (x) = x2 (6.126) g(x) = fa (x) = (x − a)2 (6.127) Observe as raizes, qual ´ a raiz de f e qual ´ a raiz de g e e g = fa ´ uma nova e fun¸ao. c˜ f (x) = 0 ≡ x = 0 ; g(x) = 0 ≡ x = a (6.128) Para completar as observa¸˜es, vamos rodar o programa que construiu a tabela co acima com a fun¸˜o ca x → (x − 3)2 o resultado parcial ´: e
- 184. 0 1 23 4 5 6 7 8 9 10 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 49 em que a ra´ agora ´ 3. Observe que os valores ficaram translatados para a direita ız e (no sentido positivo do eixo OX). O gr´fico a Observe a figura ilustrando o que acontece quando a = 3, (fig. 6.13), p´gina 240. a fun¸ao g = c˜ a translat agora desenvolva a express˜o a de a, ´ o gr´fico e a translatad (x − a)2 = x2 − 2ax + a2 (6.129) dire¸ao a. c˜ e veja que obtivemos o gr´fico de a g(x) = x2 − 2ax + a2 deduzido do gr´fico de uma express˜o mais simples, a fun¸ao do segundo grau padr˜o. a a c˜ a ´ E mais importante fazer o caminho inverso: considerar uma express˜o mais com- a plicada e deduzir as etapas mais simples nela contida. Faremos isto agora. Exemplo 45 Procurando o mais elementar Considere y = f (x) = x2 + 6x − 12. Queremos descobrir uma transla¸˜o a que nos permita escrever f na forma f (x) = ca 2 (x − a) . O primeiro passo consiste na completa¸˜o dos quadrados , vamos identificando: ca y = (x − a)2 + B ≡ x2 + 6x − 12 (6.130) y = x2 − 2ax + a2 + B ≡ x2 + 6x − 12 (6.131) 2 −2ax = 6x ; a + B = −12 (6.132) a = −3 ; 9 + B = −12 ⇒ B = −21 (6.133) 2 2 y = (x − (−3)) + B = (x + 3) + B (6.134) y + 21 = (x + 3)2 (6.135) 2 y − (−21) = (x − (−3)) (6.136) o que nos d´ duas transla¸˜es, uma no eixo OX, −3 e outra no eixo OY −21, observe a co o sinal. O modelo geral que devemos procurar ´ da forma e y − b = (x − a)2 (6.137) com uma transla¸˜o b no eixo OY e uma transla¸˜o a no eixo OX. E podemos agora ca ca 2 obter o gr´fico de y = f (x) = x + 6x − 12 a partir da par´bola padr˜o, usando a a a a express˜o a y − (−21) = (x − (−3))2 1. com uma transla¸˜o de −3 no eixo OX; ca 2. com uma transla¸˜o de −21 no eixo OY ca aplicadas na express˜o padr˜o. Observe o gr´fico na (fig. 6.14) onde est˜o os gra´ficos a a a a a da par´bola padr˜o, a translatada de −3 na horizontal e finalmente a translatada desta a a ultima, de −21 na vertical. ´
- 185. 6.11.1 A forma padr˜o x → (x − a)(x − b) a Se definirmos f (x) = (x − a)(x − b) aparentemente caimos numa express˜o nova para a fun¸˜es polinomiais do segundo grau, porque a equa¸˜o polinomial co ca f (x) = 0 ≡ x ∈ {a, b} (6.138) tem duas raizes e at´ agora as opera¸˜es que fizemos com a fun¸˜o padr˜o x → x2 e co ca a produziu raizes do tipo √ x2 − p = 0 ⇒ x = ± p ra´ ızes sim´tricas e (6.139) ou (x − p)2 = 0 ⇒ x = p ra´ dupla . ız (6.140) Ent˜o, aparentemente, nos defrontamos com um novo modelo. Mas logo veremos a que este modelo se reduz a duas transla¸˜es sendo desnecess´rio criar esta nova clas- co a sifica¸˜o. Mas, por enquanto, na falta de argumentos, vamos admitir que se trate de ca um novo padr˜o. a Efetuando as contas: (x − a)(x − b) = x2 − (a + b)x + ab (6.141) 2 (x − a)(x − b) = x + Sx + P (6.142) S = −(a + b) ; P = ab (6.143) −S = soma das raizes ; P = produto das raizes (6.144) Uma t´cnica semelhante a da completa¸˜o dos quadrados nos vai levar a descoberta e ca deste modelo. Temos que descobrir S = −(a + b), P = ab em que S, P s˜o dados da equa¸˜o. Resolvendo um sistema n˜o linear de equa¸˜es. a ca a co Exemplo 46 Rela¸˜es de Girard co As rela¸˜es obtidas na equa¸˜o (eq. 6.143) co ca S = −(a + b) ; P = ab se chamam rela¸˜es de Girard. co Vamos fazer explicit´-las abaixo num exemplo de equa¸˜o: a ca x2 + 5x + 6 = x2 − Sx + P (6.145) x2 + 5x + 6 = x2 − (a + b)x + ab = (x − a)(x − b) (6.146) a + b = −5 ; ab = 6 (6.147) a = −2 ; b = −3 (6.148) 2 x + 5x + 6 = (x − (−3))(x − (−2)) = (x + 3)(x + 2) (6.149) ´ E um m´todo interessante para fatorar express˜es alg´bricas quando as ra´ forem e o e ızes inteiras. Mas isto seria muito pouco para tornar estas rela¸˜es interessantes, veremos, co adiante, que elas servem para traduzir problemas em equa¸˜es do segundo grau. co
- 186. O m´todo dacompleta¸˜o dos quadr´dos vai nos conduzir a f´rmula de B´scara : e ca a o a f´rmula d o B´scara a ax2 + bx + c = 0 = a(x2 + a x + a ) b c (6.150) ax2 + bx + c = 0 ≡ x2 + a x + b c a =0 (6.151) 2 b c 2 b c x + a x + = x + 2 2a x + a = 0 a (6.152) x2 + a x + b c a = x2 + 2 2a x + ( 2a )2 − ( 2a )2 + a b b b c =0 (6.153) (x + 2a )2 + a − ( 2a )2 = 0 b c b (6.154) (x + 2a )2 = ( 2a )2 − a b b c (6.155) 2 b 2 b c (x + 2a ) = 4a2 − a (6.156) b 2 b2 4ac (x + 2a ) = 4a2 − 4a2 (6.157) 2 b 2 b −4ac (x + 2a ) = 4a2 (6.158) b b2 −4ac x+ 2a =± 4a2 (6.159) √ b b2 −4ac x+ 2a =± √ 4a2 (6.160) √ b b2 −4ac x+ 2a =± 2a (6.161) √ b b2 −4ac x = − 2a ± 2a (6.162) √ −b± b 2 −4ac x= 2a (6.163) (6.164) Demonstramos assim o seguinte teorema Teorema 67 F´rmula de B´scara o a Dada uma fun¸˜o polinˆmial do segundo grau ca o f (x) = ax2 + bx + c a equa¸˜o f (x) = 0 tem ra´ ca ızes reais √ −b+ b2 −4ac x1 = 2a (6.165) √ −b− b2 −4ac x2 = 2a (6.166) se o n´mero, discriminante, u ∆ = b2 − 4ac for positivo. Resumindo temos: Dada uma equa¸˜o do segundo grau ca ax2 + bx + c = 0 1. O discriminante ´ ∆ = b2 − 4ac e 2. Se ∆ 0, ent˜o as duas ra´ a ızes s˜o n´meros reais e distintos; a u 3. Se ∆ = 0, ent˜o as duas ra´ a ızes s˜o n´meros reais e iguais; a u
- 187. 4. Se ∆ 0, ent˜o n˜o existe ra´ a a ızes reais; 5. A soma das ra´ ızes ´ e b x1 + x2 = − = −S a 6. O produto das raizes ´ e c x1 x2 = =P a Observa¸˜o 30 Ra´ ca ızes complexas Quando ∆ 0, dizemos que a equa¸˜o n˜o possui ra´ ca a ızes reais, no entanto tem ra´ ızes no conjunto dos n´meros complexos denotado por C, que ´ uma extens˜o do u e a conjunto dos n´meros reais, como veremos no pr´ximo cap´ u o ıtulo. Exerc´ ıcio 17 Justificando a f´rmula de B´scara o a 1. Justifique como, quando e porque podemos “colocar a em evidˆncia” na equa¸˜o e ca (eq. 150). 2. Justifique a obten¸˜o da equa¸˜o (eq. 151). ca ca 3. Justifique a equa¸˜o (eq. 152) e a equa¸˜o (eq. 153) usando o “inverso” apro- ca ca priado (aditivo ou multiplicativo). Vamos ver qual ´ o significado (alg´brico e geom´trico) da positividade do n´mero e e e u ∆ = b2 − 4ac. Observe, inicialmente, a seq¨ˆncia de equa¸˜es ue co 2 b 2 −4ac (x + 2a ) = b 4a2 (6.167) (x + 2a )2 = 4a2 b ∆ (6.168) (6.169) conduz a ∆ ≥ 0. Observa¸˜o 31 Os n´meros complexos ca u Depois veremos, no pr´ximo cap´ o ıtulo, como nossos antigos resolveram esta quest˜o a expandindo os n´meros reais criando os n´meros complexos. u u Vamos agora voltar para a sequˆncia de equa¸˜es que culminaram com a f´rmula e co o de B´scara para recuperar a express˜o original da fun¸˜o f. a a ca f (x) = ax2 + bx + c y = ax2 + bx + c = a(x2 + a x + a ) b c (6.170) 2 y = a(x + 2b 2a x + ( 2a )2 − ( 2a )2 + a ) b b c (6.171) b 2 y = a[(x + 2a ) + a − ( 2a )2 ] c b (6.172) 2 b 2 −4ac y = a[(x + 2a ) − b 4a2 ] (6.173) y= a(x + 2a )2 − 4a b ∆ (6.174) y+ ∆ 4a = a(x + 2a )2 b y − α = a(x − β)2 (6.175) que nos mostra que toda fun¸˜o polinomial pode ser re-escrita caindo na f´rmula ca o (agora geral)
- 188. y − α= a(x − β)2 (6.176) ∆ b 2 y+ 4a = a(x + 2a ) (6.177) ∆ b α= − 4a ;β = − 2a (6.178) Nesta f´rmula aparece o fator multiplicativo (homotetia) e vemos assim que com o transla¸˜es e homotetias podemos recuperar qualquer fun¸˜o polinomial a partir da co ca express˜o mais simples a x → x2 Os exercic´ ıcios que seguem visam dar-lhe intui¸˜o sobre estas duas transforma¸˜es ca co e prepar´-lo para fazer os gr´ficos de qualquer fun¸˜o polinomial do segundo grau. a a ca Exerc´ ıcios 28 Gr´ficos das fun¸˜es do segundo grau a co 1. Calcule alguns pares de valores de y = f (x) = ax2 quando a ∈ {−1, 4} e fa¸a os gr´ficos correspondentes de y = ax2 c a 2. Calcule alguns pares de valores de y = f (x) = ax2 quando a ∈ {−4, −2, −1, 2} e fa¸a os gr´ficos correspondentes de y = ax2 c a Solu¸˜o: Ver o gr´fico (fig. 6.15) 241. ca a 3. Calcule alguns pares de valores de y = f (x) = ax2 quando 1 1 1 2 a ∈ {− , − , , } 4 2 3 3 e fa¸a os gr´ficos correspondentes de y = ax2 c a Solu¸˜o: Ver o gr´fico (fig. 6.15) 241. ca a 4. Calcule α, β, ver equa¸˜o (eq. 6.178) para as fun¸˜es polinomiais abaixo, decida ca co se elas tem ra´ızes reais e fa¸a-lhes os gr´ficos c a (a) y1 = f1 (x) = 3x2 + 2x + 7 (b) y2 = f2 (x) = −3x2 + 2x + 7 (c) y3 = f3 (x) = −3x2 + 2x − 7 (d) y4 = f4 (x) = −3x2 − 2x + 7 (e) y5 = f5 (x) = −3x2 − 2x − 7 (f ) y6 = f6 (x) = x2 + 4x + 5 Solu¸˜o: ca a) y1 + 23 = 3(x + 1 )2 ; α = − 30 ; β = − 1 ; ∆ = −80 30 3 23 3 1 2 23 b) y2 − 30 = −3(x − 3 ) ; α = 30 ; β = 1 ; ∆ = 88 ra´ 23 3 ızes reais c) y3 + 20 = −3(x − 3 )2 ; α = − 23 ; β = 1 ; ∆ = 88 ra´ 3 1 30 3 ızes reais 22 1 2 23 1 d) y4 − 3 = −3(x + 3 ) ; α = − 30 ; β = − 3 ; ∆ = 88 ra´ ızes reais 20 1 23 1 e) y5 + 3 = −3(x + 3 ); α = − 30 ; β = − 3 ; ∆ = 88ra´ ızes reais f ) y6 − 1 = (x + 2)2 ; α = −1; β = −2; ∆ = −4
- 189. 6.12 Equa¸˜o do 2o grau ca Durante muitos s´culos, o homem buscava resolver problemas que recaissem numa e o equa¸˜o do 2 grau. ca Exemplo 47 Problemas do2o grau 1. Per´ ımetro e ´rea a Determine os lados de um retˆngulo conhecendo o semi-per´ a ımetro 2p e a ´rea s. a A tradu¸˜o deste problema numa equa¸˜o pode ser feita usando as rela¸˜es de ca ca co Girard, 6.143, p´gina 179: a os lados do retˆngulo a, b a (6.179) a ´rea ab = P a (6.180) semi-per´ ımetro a + b = 2p = S (6.181) x2 + Sx + P = 0 (6.182) uma equa¸˜o do segundo grau. Vemos aqui o uso prometido das rela¸˜es de ca co Girard servindo para traduzir um problema numa equa¸˜o do segundo grau. ca 2. Concretizando o exemplo da ´rea do per´ a ımetro, consideremos os seguintes dados: • O semiper´ ımetro do retˆngulo ´ 7 a e • A ´rea do retˆngulo ´ 12 a a e a equa¸˜o do segundo grau resultante ´ ca e x2 − 7x + 12 = 0 e a solu¸˜o destas equa¸˜es, aplicando B´scara, ´ ca co a e x ∈ {3, 4} 3. 3x2 − 3x + 4 = 0; a = 3; b = −3; c = 4. 4. t2 + 5t − 3 = 0; a = 1; b = 5; c = −3. 5. x2 − 1 = 0; a = 1; b = 0; c = −1. Observe que em certa literatura antiga, uma equa¸˜o deste tipo ´ classificada como “incompleta”, o que ´ apenas mais um ca e e exemplo dos preconconceitos dentro da Matem´tica. a 6.12.1 Exerc´ ıcios Resolvidos 1. Resolva a equa¸˜o x2 − 5x + 6 = 0. ca Solu¸˜o. Temos a = 1, b = −5, c = 6 e ca ∆ = b2 − 4ac (6.183) 2 = (−5) − 4 · 1 · 6 (6.184) = 25 − 24 (6.185) =1 (6.186)
- 190. assim, √ −b± b2 −4ac x = 2a (6.187) √ −(−5)± 1 = 2·1 (6.188) 5±1 = 2 (6.189) temos aqui duas ra´ ızes que indicaremos por x1 e x2 ; 5+1 x1 = 2 (6.190) =3 (6.191) e 5−1 x2 = 2 (6.192) =2 (6.193) Logo, S = {2, 3}. 2. Mostre que as ra´ da equa¸˜o x2 −198x+1 = 0, est˜o entre 198 e 197, 99494949 . . . ızes ca a 1 Solu¸˜o. Resolvendo a equa¸˜o x2 − 198x + 1 = 0, encontramos ca ca √ x1 = 99 + 70 2 e √ x2 = 99 − 70 2. a ızes da equa¸˜o x2 − 198x + 1 = 0. Note que x1 + x2 = 198. Como x1 e x2 s˜o ra´ ca Ent˜o a x2 − 198x1 + 1 = 0 1 ou seja, x2 + 1 1 1 x1 = 198 198 e x2 − 198x2 + 1 = 0 2 ou ainda x2 + 1 1 x2 = 2 198 198 Por outro lado, 1 x1 = 198 − x2 198 − = 197, 99494949 . . . 198 e 1 x2 = 198 − x1 198 − = 197, 99494949 . . . 198 ızes da equa¸˜o 2x2 − 10x + 2 = 0. Calcule 2 r + r . 3. Seja r uma das ra´ ca 1 Solu¸˜o. Como r ´ uma das ra´ ca e ızes da equa¸˜o 2x2 − 10x + 2 = 0, ent˜o ca a 2 2r − 10r + 2 = 0, ou ainda 2r 2 + 2 = 10r agora dividindo ambos os membros por r obtemos 1 2 r+ = 10 r
- 191. 6.12.2 Exerc´ ıcios Propostos 1. Determine o quadrado do maior inteiro n tal que as ra´ da equa¸˜o x2 +x+n = ızes ca 0 s˜o reais e maiores do que n. a 2. Ache todos os valores de x ∈ Z tal que x2 − 5x − 1 seja um quadrado perfeito. 3. Dada a equa¸˜o x2 + (p − 15) x + p = 0, determine p para que as duas ra´ ca ızes sejam n´meros inteiros. u 4. Dada a equa¸˜o x2 − (a + c) x + ac − b2 = 0. ca (a) Mostre que ela tem solu¸˜o real quaisquer que sejam os n´meros a, b e c. ca u (b) Supondo-se b = 0 e que a equa¸˜o tem uma s´ solu¸˜o, que rel¸˜o existe ca o ca ca entre a e c? 5. Determine b para que as equa¸˜es 1988x2 +bx−8891 = 0 e 8891x2 +bx+1988 = 0 co tenham uma raiz comum. 6. Se ax2 + bx + c ≤ 1 para todo x ∈ [0, 1] . Mostre que |a| + |b| + |c| ≤ 17. 7. Determine a para que as equa¸˜es x2 + ax + 1 = 0 e x2 + x + a = 0 tenham pelo co menos uma raiz comum. 8. Considere a equa¸˜o x2 + bx + c = 0 onde b, c ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} . Quantas destas ca equa¸˜es tem ra´ co ızes reais? 9. Se x2 + x + 1 = 0, calcule o valor num´rico de e 2 2 2 1 2 1 27 1 x+ + x + 2 + ··· + x + 27 x x x 10. Determine as constantes A, B, C, D, p e q tais que A (x − p)2 + B (x − q)2 = 5x2 + 8x + 14 e C (x − p)2 + D (x − q)2 = x2 + 10x + 7 11. Ache todas as solu¸˜es da equa¸˜o co ca 4x2 x2 + = 12 (x − 2)2 12. Achar todos os n´meros x, y tais que (1 − x)2 + (x − y)2 + y2 = 3 . u 1 ımpares, a equa¸˜o ax2 + bx + c = 0 n˜o 13. Mostre que se a, b e c forem inteiros ´ ca a tem raiz racional. 14. Seja α maior raiz de x2 + x − 1 = 0. Determine α5 − 5α. 15. Rela¸˜es de Girard Mostre que, para as ra´ co ızes de uma equa¸˜o do segundo grau ca 2 ax + bx + c vale: (a) soma das ra´ ızes b x1 + x2 = − a (b) produto das ra´ ızes c x1 · x2 = a (c) diferen¸a das ra´ c ızes √ ∆ |x1 − x2 | = | | a 16. Ache uma equa¸˜o do 2o grau cujas ra´ ca ızes s˜o: 2 e 3. a
- 192. 6.12.3 Exerc´ ıcios Propostos 1. Determine o n´mero p tal que as ra´ u ızes x1 e x2 da equa¸˜o x2 − px + 6 = 0, ca 2 3 2 3 satisfa¸a a rela¸˜o 9x1 x2 + 3x1 + 9x2 x1 + 3x2 = 1029. c ca √ 2. Seja b um n´mero real n˜o nulo de modo que a equa¸˜o do 2o grau x2 +b2 x+ π = u a ca √ √ 0 tenha ra´ızes reais x1 e x2 . Se x1 π = x2 (bx2 − π), prove que o n´mero b ´ u e negativo. ızes da equa¸˜o x2 + bx + c = 0 s˜o ambas reais e maiores do que 1. Mostre 3. As ra´ ca a que s = b + c + 1 ´ positivo. e 4. Determine a soma dos valores inteiros de p, para os quais a equa¸˜o (p − 3) x2 − ca 2px + 6p = 0 tem ra´ ızes reais e positivas. 5. Determine o n´mero p tal que as ra´ u ızes x1 e x2 da equa¸˜o x2 + x + p = 0, ca satisfa¸a a rela¸˜o x3 + x1 x2 (2x1 + x2 ) + 2x2 = 1. c ca 1 ızes distintas de ax2 + bx + c = 0, a = 0, tal que 6. Se x1 e x2 forem duas ra´ x2 + px1 + q + x2 + px2 + q = 0. 1 2 Mostre que a equa¸˜o x2 + px + q = 0 tem duas ra´ ca ızes reais e distintas. 7. a, b, c, d s˜o n´meros reais distintos tais que a e b s˜o ra´ a u a ızes da equa¸˜o ca x2 − 3cx − 8d = 0, a ızes da equa¸˜o x2 − 3ax − 8b = 0. Calcule a soma a + b + c + d. e c e d s˜o ra´ ca 8. Sejam a e b ra´ızes da equa¸˜o x2 + px − 2p2 = 0, onde p ´ um n´mero real. ca 1 e u Mostre que √ a4 + b 4 ≥ 2 + 2 √ 9. Seja α um n´mero real tal que α 2 1 + 2 e considere a equa¸˜o x2 − αx + u ca α + 1 = 0. Sabendo que as ra´ızes dessa equa¸˜o s˜o as cotangentes de dois dos ca a ˆngulos internos de um triˆngulo. Determine o terceiro ˆngulo interno desse a a a triˆngulo. a ızes x1 e x2 da equa¸˜o 2x2 − px − 1 = 0. 10. Determine o valor de p para que as ra´ ca Satisfa¸a a rela¸˜o c ca x2 + x2 = 1 1 2 11. Seja x1 uma raiz da equa¸˜o x2 + 2x + c2 = 0, em que c ´ um n´mero real ca e u positivo. Se o discriminante dessa equa¸˜o ´ menor que zero. Determine |x1 | . ca e 12. Defin¸˜o. O s´ ca ımbolo [x] ´ usado para denotar o maior inteiro, menor ou igual a e x, isto ´, e [x] = nsen ≤ x n + 1 onde n ∈ Z. Por exemplo [2, 3] = 2, [0, 34] = 0. Resolva a equa¸˜o 3x2 − 4[x] − 4 = 0. ca 13. Resolva a equa¸˜o 2 a3 + b3 x2 − 3x + (a + b) = 0, sabendo que a e b s˜o ra´ ca a ızes p2 −1 da equa¸˜o x2 − px + ca 2 = 0. 14. Prove que se x1 for uma raiz da equa¸˜o ax2 + bx + c = 0, x2 for uma raiz da ca equa¸˜o −ax + bx + c = 0, ent˜o existe uma raiz x3 da equa¸˜o a x2 + c = 0 ca 2 a ca 2 tal que x1 ≤ x3 ≤ x2 ou x2 ≤ x3 ≤ x1 .
- 193. ızes da equa¸˜ox2 + px + q = 0 forem positivas, mostre que o mesmo 15. Se as ra´ ca ocorre com as ra´ızes da equa¸˜o ca qy2 + (p − 2rq) y + 1 − pr = 0 onde r ´ um n´mero positivo. e u 16. Determine a soma e o produto das ra´ ızes da equa¸˜o: ca √ x2 + 18x + 30 = 2 x2 + 18x + 45 17. Determine x, y ∈ R na equa¸˜o x2 + 2xy + 3y2 + 2x + 6y + 3 = 0. ca √ √ 18. Sejam x1 e x2 as ra´ızes da equa¸˜o x2 + bx + c = 0. Seja y = 3 x1 + 3 x2 ; ca encontre r e s em fun¸˜o de b e c para os quais y satisfaz a equa¸˜o ca ca y3 + ry + s = 0. 19. Sejam x e y inteiros positivos tais que xy + x + y = 71 e x2 y + xy2 = 880. Determine x2 + y2 . 20. Seja p um parˆmetro real tal que a equa¸˜o x2 − 3px − p = 0 possui duas ra´ a ca ızes reais distintas x1 e x2 . 2 a) Prove que 3px1 + x2 − p 0. b) Determine o menor valor poss´ de ıvel p2 3px2 + x2 + 3p 1 A= 2 + 3px1 + x2 + 3p p2 21. Encontre todas as solu¸˜es inteiras da equa¸˜o x2 − xy + y = 3. co ca 2 −7x+12 ızes da equa¸˜o xx 22. Ache a soma das ra´ ca = 1. 23. Se x2 −x+p = 0, tiver ra´ x1 e x2 tais que xn−2 +xn−2 = a e xn−1 +xn−1 = b. ızes 1 2 1 2 Encontre xn + xn . 1 2 √ 24. Determine um polinˆmio p(x), com coeficientes inteiros, tal que x0 = 1 + 3 2 o seja uma raiz da equa¸˜o p(x) = 0. ca 6.12.4 Exerc´ ıcios Resolvidos 1. Se x e y forem n´meros reais e n˜o nulos tais que x + y = 1, determine o menor u a valor que 1 1 1+ 1+ x y pode assumir. Solu¸˜o. Seja ca 1 1 S = 1+ x 1+ y (6.194) 2 =1+ xy (6.195)
- 194. veja que S´ m´ e ınimo quando xy for m´ximo. Tome p = xy tal que x + y = 1. Assim, a temos p(x) = x (1 − x) (6.196) = −x2 + x (6.197) como a = −1 0, pelo Teorema ??, p(x) = −x2 + x admite um valor m´ximo, cujo a valor m´ximo ´ atingido quando a e b x = − 2a (6.198) 1 = 2 (6.199) e da´ y = 1 . Portanto, o valor m´ximo de S ´ ı, 2 a e 2 1+ 1 1 = 9. 2 ·2 2. Determine o valor m´ ınimo de x4 + x2 + 5 , x ∈ R. (x2 + 1)2 Solu¸˜o. Seja ca x4 +x2 +5 p = (6.200) (x2 +1)2 (x2 −1)2 −(x2 −4) = (6.201) (x2 +1)2 x2 −4 =1− (6.202) (x2 +1)2 (x2 +1)−5 =1− (6.203) (x2 +1)2 1 5 =1− x2 +1 + (6.204) (x2 +1)2 tome t = 1 x2 +1 . Assim, p(t) = 1 − t + 5t2 . Observe que x4 + x2 + 5 (x2 + 1)2 e ınimo quando p(t) = 1 − t + 5t2 for m´ ´ m´ ınimo. Como a = 5 0, pelo Teorema ??, 2 p(t) = 1 − t + 5t admite um valor m´ ınimo, que ´ atingido em e b t = − 2a (6.205) 1 = 10 (6.206) Portanto, 1 1 1 2 p( ) =1− 10 +5 10 (6.207) 10 = 0, 95 (6.208) x4 +x2 +5 isto ´, o valor m´ e ınimo de ´ 0, 95. e (x2 +1)2
- 195. 3. Determine osvalores reais de x que satisfaz a equa¸˜o ca min {2x − 1, 6 − x} = x. Solu¸˜o. Vamos analizar os seguintes casos: ca Caso1: Se 2x − 1 ≤ 6 − x. 7 Neste caso, temos x ≤ 3 . Assim, 2x − 1 = x e da´ x = 1. ı, Caso2: Se 2x − 1 6 − x. 7 Neste caso, temos x 3 . Logo, 6 − x = x e da´ x = 3. Portanto, S = {1, 3} . ı, 4. Um peda¸o de arame de 20cm de comprimento ´ dividido em duas partes. Com c e uma destas partes constroi-se um quadrado de lado igual a x metros e com a outra parte constroi-se um c´ırculo de raio igual a y metros. Se L for a soma das medidas, em m2 , da ´rea do quadrado e da ´rea do c´ a a ırculo, determine x para que L seja o menor poss´ ıvel. Solu¸˜o. Por hip´tese, temos ca o 4x + 2πy = 20(1) (6.209) e x2 + πy2 = L(2) (6.210) Segue-se da equa¸˜o (1) que ca 10 − 2x y= (3) (6.211) π agora, substituindo (3) em (2) encontramos: 2 10 − 2x L(x) = x2 + π π ou ainda π+4 40 100 L(x) = x2 − x+ π π π Como a = π+4 0, pelo Teorema ??, L(x) = π π+4 π x2 − 40 π x+ 100 π admite um valor m´ ınimo b x = − 2a (6.212) 20 = π+4 m (6.213) Portanto, L = x2 + πy2 ser´ m´ a ınimo quando x = 20 π+4 m. 5. Determine o menor valor real positivo x para o qual a fun¸˜o real definida por ca π f (x) = 7 − cos x + 3 atinge seu valor m´ximo. a Solu¸˜o. A fun¸˜o f (x) = 7−cos x + π atinge seu valor m´ximo quando cos x + ca ca 3 a π 3 assumir valor m´ınimo. Como cos x + π ≤ 1 isto ´, o valor m´ 3 e ınimo de cos x + π 3 π ´ −1 e ´ atingido quando x + 3 = kπ, k inteiro ´ e e ımpar. Assim, para k = 1, temos π 2π x=π− = 3 3
- 196. 6. Se ov´rtice da par´bola f (x) = px2 + qx + 3 for o ponto V e a 5 1 , 4 8 . Determine 5p + 2q + 7. b 5 q 5 Solu¸˜o. Temos − 2a = ca 4 ou ainda − p = 2 e da´ 5p + 2q = 0. Logo, ı, 5p + 2q + 7 =0+7 (6.214) =7 (6.215) 6.12.5 Exerc´ ıcios Propostos 1. Sejam a, b e c n´meros reais. Considere a fun¸˜o f (x) = ax2 + bx + c tais que u ca 5 |f (−1)| ≤ 1, |f (0)| ≤ 1 e |f (1)| ≤ 1. Prove que |f (x)| ≤ 4 . 2. Se 2x + y = 3, determine o valor m´ ınimo de x2 + y 2 . 3. Encontre dois n´meros x e y cuja soma seja um n´mero positivo S e cujo produto u u P seja o maior poss´ ıvel. 4. Encontre o maior valor de x y= a 0, b 0 ax2 + b 5. Se x ∈ R+ (reais positivos). Ache o valor m´ximo da express˜o a a 3x2 + 9x + 17 3x2 + 9x + 7 6. Se um dos lados de um campo retangular for um rio, ache as dimens˜es do maior o campo retangular que pode ser fechado usando 240m de cerca para os outros trˆs lados. e 7. Encontre o valor m´ ınimo de 1 + x2 1+x para x ≥ 0. 8. Sendo 16x − 35y = 1. Quais s˜o as solu¸˜es x e y, inteiras tais que |x + y| ´ a co e m´ınima? 6. Sinal da fun¸˜o quadr´tica ca a Dada a fun¸˜o quadr´tica f (x) = ax2 + bx + c, a = 0 uma pergunta bem natural ca a ´ para que valores de x ∈ R obtemos: e 1. f (x) 0; 2. f (x) = 0; 3. f (x) 0? Para responder esta pergunta ´ necess´rio estudar o sinal da fun¸˜o quadr´tica, o e a ca a qual deve ser feito estudando o sinal do discriminante nos seguintes casos: 1. ∆ 0 2. ∆ = 0 3. ∆ 0.
- 197. Caso1: ∆ 0 Se ∆ 0, ent˜o −∆ 0. Pela forma canˆnica, vem: a o 2 2 b −∆ af (x) = a x+ + 0 2a 4a2 isto ´ af (x) 0, para todo x ∈ R. Assim, temos e a0 ⇒ f (x) 0 ∀x ∈ R a0 ⇒ f (x) 0 ∀x ∈ R. Exemplo: f (x) = 2x2 − 2x + 1, temos ∆ = (−2)2 − 4 · 2 · 1 (6.216) =4−8 (6.217) = −4 (6.218) Como a = 2 0 e ∆ = −4 0. Logo, 2x2 − 2x + 1 0∀x ∈ R Caso2. ∆ = 0 Pela forma canˆnica, vem: o b 2 af (x) = a2 x+ 2a + −∆ 4a2 (6.219) b 2 = a2 x + 2a ≥0 (6.220) Assim, temos a0 ⇒ f (x) ≥ 0 ∀x ∈ R a0 ⇒ f (x) ≤ 0 ∀x ∈ R Exemplo: f (x) = −x2 + 4x − 4, temos ∆ = 42 − 4 · (−1) · (−4) (6.221) = 16 − 16 (6.222) =0 (6.223) Como a = −1 0 e ∆ = 0. Logo, −x2 + 4x − 4 ≤ 0∀x ∈ R Caso3. ∆ 0 Neste caso, a fun¸˜o quadr´tica f (x) = ax2 + bx + c possui duas ra´ ca a ızes √ −b − ∆ x1 = 2a e √ −b + ∆ x2 = 2a Pelo trinˆmio do 2o grau temos o af (x) = a2 (x − x1 ) · (x − x2 ),
- 198. veja que osinal de af (x) depende dos fatores (x − x1 ) e (x − x2 ). Admitindo que x1 x2 . Se x x1 temos: x − x1 0 x x1 x2 ⇒ x − x2 0 e da´ ı, af (x) = a2 (x − x1 ) · (x − x2 ) 0 Se x1 x x2 , ent˜o a x − x1 0 x1 x x2 ⇒ x − x2 0 e da´ ı, af (x) = a2 (x − x1 ) · (x − x2 ) 0 Se x x2 temos: x − x1 0 x1 x2 x ⇒ x − x2 0 e da´ ı, af (x) = a2 (x − x1 ) · (x − x2 ) 0 Resumindo, temos: 1. Para x x1 ou x x2 , f (x) tem o mesmo sinal de a; 2. Para x1 x x2 , f (x) tem o mesmo sinal de −a.
- 199. Solu¸˜o dos Exerc´ ca ıcios Propostos 2.1.2 Exerc´ ıcios Propostos 1. Solu¸˜o. Para que a equa¸˜o x2 + x + n = 0 tenha duas ra´ reais ´ necess´rio ca ca ızes e a que ∆ ≥ 0 isto ´, 1 − 4n ≥ 0 ou ainda n ≤ 1 , n ∈ Z. Por outro lado, as ra´ e 4 ızes s˜o: a √ −1 + 1 − 4n x1 = n 2 e √ −1 − 1 − 4n x2 = n 2 √ √ 1 Assim, 1 − 4n 2n + 1 e − 1 − 4n 2n + 1. Como n ≤ 4 , n ∈ Z temos: Para n = 0 ⇒ 1 1 √ √ Para n = −1 ⇒ 5 −1 e − 5 −1 Para n = −2 ⇒ 3 −3 e −3 −3 √ √ Para n = −3 ⇒ 13 −5 e − 13 −5 Logo, o valor m´ximo que n pode assumir ´ −3. Da´ n2 = 9. a e ı, 2. Solu¸˜o. Seja x2 − 5x − 1 = k 2 , k ∈ Z. Assim, ca x2 − 5x − (1 + k 2 ) = 0 cujas ra´ ızes s˜o: a √ −5 +25 + 4 + 4k 2 x1 = 2 e √ −5 − 25 + 4 + 4k 2 x1 = 2 Para que x ∈ Z ´ necess´rio que 29 + 4k = r 2 , r ∈ Z ou seja, r 2 − 4k 2 = 29. e a 2 Assim, (r − 2k) (r + 2k) = 29 da´ ı, r − 2k = 1 (6.224) r + 2k = 29 Resolvendo o sistema 224 encontramos k = 7. Portanto, as ra´ızes s˜o: x1 = 10 e a x2 = −5. Note que para as outras possibilidades do produto (r − 2k) (r + 2k) = 29 encontramos tamb´m k = 7. e 3. Solu¸˜o. Para que a equa¸˜o x2 + (p − 15)x + p = 0 tenha duas ra´ ca ca ızes inteiras ´ necess´rio que ∆ = n2 , n ∈ Z isto ´, e a e (p − 15)2 − 4p = n2 ou ainda p2 − 34p + 225 − n2 = 0(1) (6.225) √ ızes da equa¸˜o (1) s˜o: p = 17 ± 64 + n2 . Novamente, para que a Agora as ra´ ca a equa¸˜o (1) tenha duas solu¸˜es inteiras devemos ter ca co 64 + n2 = m2 , m ∈ Z
- 200. ou ainda (m + n) (m − n) = 64. Devemos resolver o sistema de duas equa¸˜es nas seguintes situa¸˜es: co co m + n = 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1 (6.226) m − n = 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 Resolvendo o sistema 226 encontramos: m = 17 e n = ±15; m = 10 e n = ±6; m = 8 e n = 0. Portanto, para n = ±15 temos p = 17 ± 17 = 0 ou p = 34 (6.227) para n = ±6 temos p = 17 ± 10 = 7 ou p = 27 (6.228) para n = 0 temos p = 17 ± 8 = 9 ou p = 25 (6.229) Logo, os poss´ ıveis valores de p s˜o: 0, 7, 9, 25, 27 e 34. a 4. Solu¸˜o. a) Para que a equa¸˜o x2 − (a + c)x + ac − b2 = 0 tenha solu¸˜o real ca ca ca ´ necess´rio mostrar que ∆ ≥ 0. Com efeito, e a ∆ = (a + c)2 − 4(ac − b2 ) (6.230) 2 2 2 = a + 2ac + c − 4ac + 4b (6.231) 2 2 = (a − c) + 4b (6.232) isto mostra que ∆ ≥ 0. b) Por hip´tese temos b = 0 e ∆ = 0. Assim, o (a − c)2 = 0 e da´ a = c. ı, 5. Solu¸˜o. Isolando b da equa¸˜o 1988x2 + bx − 8891 = 0 encontramos ca ca 8891 − 1988x2 b= (6.233) x Analogamente, isolando b da equa¸˜o 8891x2 + bx + 1988 = 0 temos ca −1988 − 8891x2 b= (6.234) x De (233) e (234) obtemos 8891 − 1988x2 −1988 − 8891x2 = (6.235) x x Finalmente, resolvendo a equa¸˜o (235) encontramos x = ±1. Assim, para x = 1, ca temos b = −10879 e para x = −1, obtemos b = 10879. 1 6. Solu¸˜o. Tomando para x os valores 0, ca 2 e 1 obtemos: a b |c| ≤ 1, + + c ≤ 1e |a + b + c| ≤ 1 4 2
- 201. De a +2 + c ≤ 1, temos |a + 2b + 4c| ≤ 4. Agora tomando m = a + 2b + 4c e 4 b n = a + b + c, devemos expresar os coeficientes a e b em fun¸˜o de m, n e c isto ca ´, e a = −m + 2n + 2c e b = m − n − 3c Assim, |a| = |−m + 2n + 2c| ≤ |m| + 2 |n| + 2 |c| = 4 + 2 + 2 = 8 e |b| = |m − n − 3c| ≤ |m| + |n| + 3 |c| = 4 + 1 + 3 = 8 Logo, |a| + |b| + |c| ≤ 8 + 8 + +1 = 17. 7. Solu¸˜o. Seja x a raiz comum as equa¸˜es ca co x2 + ax + 1 = 0(1) (6.236) e x2 + x + a = 0(2) (6.237) fazendo (2) − (1) encontramos x − ax + a − 1 = 0 ou ainda (x − 1) (1 − a) = 0. Assim, x = 1 ou a = 1. Para x = 1, temos a = −2. Portanto, para que as equa¸˜es (1) e (2) tenham pelo menos uma raiz comum devemos ter a = 1 ou co a = −2. 8. Solu¸˜o. Para que a equa¸˜o x2 + bx + c = 0 tenha ra´ ca ca ızes reais ´ necess´rio e a 2 que ∆ ≥ 0 isto ´, b ≥ 4c. Como b, c ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} temos que e b2 ∈ {1, 4, 9, 16, 25, 36} e 4c ∈ {4, 8, 12, 16, 20, 24} Assim, os poss´ ıveis pares de n´meros (b, c) que satisfaz a rela¸˜o b2 ≥ 4c ser˜o: u ca a (2, 1) , (3, 1) , (3, 2) , (4, 1) , (4, 2) , (4, 3) , (4, 4) , (5, 1) , (5, 2) , (5, 3) , (5, 4) , (5, 5) (5, 6) , (6, 1) , (6, 2) , (6, 3) , (6, 4) , (6, 5) e (6, 6) . Portanto, existem 19 equa¸˜es com co ra´ ızes reais. 9. Solu¸˜o. Como x2 + x + 1 = 0 temos ca x3 − 1 = (x − 1) x2 + x + 1 = 0 ou ainda x3 = 1. Assim, x4 = x, x5 = x2 e x6 = x3 = 1. Logo, para calcular 2 2 2 1 1 1 x+ + x2 + + · · · + x27 + x x2 x27 basta calcular os trˆs primeiros termos. e
- 202. 2 1 2 x2 +1 −x 2 x+ x = x = x = 1 2 2 1 2 x4 +1 x+1 2 −x2 x2 + x2 = x2 = x2 = x2 = 1 2 1 2 x6 +1 1+1 2 x3 + x3 = x3 = 1 = 4 Portanto, a soma pedida ´ (1 + 1 + 4) · 9 = 54. e 10. Solu¸˜o. ca 2 11. Solu¸˜o. A equa¸˜o x2 + (x−2)2 ´ equivalente a x2 (x − 2)2 + 4x2 = 12 (x − 2)2 ca ca 4x e ou ainda, (x2 )2 − 4 (x − 2) x2 − 12 (x − 2)2 = 0 (6.238) que ´ uma equa¸˜o do 2o grau em x. Portanto, resolvendo a equa¸˜o (235 ) e ca ca encontramos duas equa¸˜es: co x2 + 2x − 4 = 0 e x2 − 6x + 12 = 0 √ √ cujas solu¸˜es s˜o: S = −1 ± 5, 3 ± i 3 . co a 12. Solu¸˜o. Desenvolvendo (1 − x)2 + (x − y)2 +y2 = 1 , obtemos ca 3 3x2 − 3 (y + 1) x + 3y2 + 1 = 0, (6.239) que ´ uma equa¸˜o do 2o grau em x. Como queremos x, y reais, ent˜o devemos e ca a ter ∆ ≥ 0, por outro lado, temos ∆ = 9 (y + 1)2 − 12 3y2 + 1 (6.240) = −3 (3y − 1)2 ≤ 0 (6.241) pois (3y − 1)2 ≥ 0. Logo, ∆ = 0, o que resulta 3y − 1 = 0 e da´ y = ı, 1 3 . Agora 1 2 substituindo y = 3 na equa¸˜o (235 ) encontramos x = 3 . ca 13. Solu¸˜o. Suponhamos que x = p seja uma raiz da equa¸˜o ax2 + bx + c = 0, ca q ca onde a, b, c s˜o inteiros ´ a ımpares. Logo, temos ap2 + bpq + cq 2 = 0. Suponhamos tamb´m que a fra¸˜o x = p seja irredut´ e ca q ıvel isto ´, mdc (p, q) = 1. e 2 2 Vamos agora analisar a equa¸˜o ap + bpq + cq = 0 nos seguintes casos: ca Caso1:p e q s˜o ´ a ımpares. Neste caso, ap2 , bpq e cq 2 s˜o ´ a ımpares. Como a soma de trˆs n´meros ´ e u ımpares ´e ´ ımpar. Logo, o resultado n˜o pode ser zero. a Caso2: p ´ par e q ´ ´ e e ımpar. Neste caso, ap2 e bpq s˜o pares e cq 2 ´ ´ a e ımpar. Como a soma de dois n´meros pares u e um ´ ımpar ´ ´ e ımpar, o resultado n˜o pode ser nulo. a Caso3: p ´ ´e ımpar e q ´ par. e Utilize o mesmo argumento do caso2. Portanto, nenhuma fra¸˜o x = p pode ser raiz da equa¸˜o ax2 + bx + c = 0, onde ca q ca a, b, c s˜o inteiros ´ a ımpares.
- 203. 14. Solu¸˜o. Seα for uma raiz da equa¸˜o x2 + x − 1 = 0, ent˜o α2 + α − 1 = 0 ca ca a ou ainda α2 = 1 − α. Assim, α5 − 5α = α α4 − 5 (6.242) = α (1 − α)2 − 5 (6.243) 2 = α α − 2α − 4 (6.244) = α (1 − α − 2α − 4) (6.245) = α (−3α − 3) (6.246) 2 = −3 α + α (6.247) = −3 (6.248) logo, α5 − 5α = −3. Solu¸˜o dos Exerc´ ca ıcios Propostos 2.3.2 Exerc´ ıcios Propostos 1. Solu¸˜o. Note que a rela¸˜o 9x1 x2 + 3x3 + 9x2 x2 + 3x3 = 1027 pode ser escrita ca ca 2 1 1 2 assim: 3 x3 + 3x2 x2 + 3x1 x2 + x3 ) = 1027 1 1 2 2 ou ainda, 3 (x1 + x2 )3 = 1027 Da´ x1 + x2 = 7. Por outro lado, x1 + x2 = p. Logo, p = 7. ı, 2. Solu¸˜o. Pelas rela¸˜es de Girard temos ca co x1 + x2 = −b2 e √ x1 · x2 = π note que x1 e x2 s˜o ambos negativos, pois a soma ´ negativa e o produto ´ a e e positivo. Assim, a express˜o a √ √ x1 π = x2 bx2 − π √ tem ambos os membros negativos, donde concluimos que bx2 − π ´ positivo e √ √ isto ´, bx2 − π 0 ou ainda, bx2 π. Assim, b ´ negativo. e e 3. Solu¸˜o. Sejam x1 = 1 + m e x2 = 1 + n as ra´ ca ızes da equa¸˜o x2 + bx + c = 0 ca tal que m e n s˜o ambos positivos.Pelas Rela¸˜es de Girard temos: a co x1 + x2 = −b e x1 · x2 = c Assim, b+c+1 = − (x1 + x2 ) + (x1 · x2 ) + 1 (6.249) = − (1 + m + 1 + n) + (1 + m) (1 + n) + 1 (6.250) = mn 0 (6.251) Logo, b + c + 1 0.
- 204. 4. Solu¸˜o. J´sabemos que para existirem duas ra´ ca a ızes reais ´ necess´rio que e a ∆ ≥ 0. Como as ra´ ızes s˜o positivas ent˜o devemos ter: a a x1 + x2 0 e x1 · x2 0 Por hip´tese temos ∆ ≥ 0 e da´ 5p2 − 18p ≤ 0 e da´ 0 ≤ p ≤ 0, 6. (1) Mas o ı, ı, 2p x1 + x2 = 0 p−3 segue-se da´ 0 p 3. (2) Agora, fazendo (1) ∩ (2) encontramos 0 p ≤ 3, 6. ı, Portanto, n˜o existe nenhum valor p ∈ Z, tal que as ra´ a ızes sejam positivas. No entanto, para p = 3, a equa¸˜o ´ do 1o grau e a raiz ´ x = 3, um n´mero real ca e e u positivo. 5. Solu¸˜o. Pelas rela¸˜es de Girard temos ca co x1 + x2 = −1 e x1 · x2 = p 3 2 Agora, dividindo x por x + x + p encontramos x3 = x2 + x + p (x − 1) + (1 − p) x + p e da´ substituindo x por x1 vem: ı, x3 1 = x2 + x1 + p (x1 − 1) + (1 − p) x1 + p 1 (6.252) = 0. (x1 − 1) + (1 − p) x1 + p (6.253) = (1 − p) x1 + p. (6.254) Por outro lado, x1 x2 (2x1 + x2 ) = x1 x2 [x1 + (x1 + x2 )] (6.255) = p (x1 − 1) (6.256) Assim, x3 + x1 x2 (2x1 + x2 ) + 2x2 1 = (1 − p) x1 + p + p (x1 − 1) + 2x2 (6.257) = x1 + 2x2 (6.258) logo, x1 + 2x2 = 1 e da´ facilmente encontramos p = −6. ı, 6. Solu¸˜o. Pelas rela¸˜es de Girard vem: ca co b x1 + x2 = − a e c x1 · x2 = a
- 205. e da´ facilmentepodemos encontrar ı, b2 − 2ac x2 + x2 = 1 2 . a2 A rela¸˜o ca x2 + px1 + q + x2 + px2 + q = 0 1 2 pode ser escrita x2 + x2 + p (x1 + x2 ) + 2q = 0. 1 2 Assim, temos b2 − 2ac b 2 +p − + 2q = 0 a a ou ainda abp + 2ac − b2 q= . 2a2 Logo, x2 + px + q = 0, tem a seguinte forma 2 abp + 2ac − b2 x + px + =0 (6.259) 2a2 onde p ´ arbitr´rio. Por hip´tese, temos que ∆ 0, isto ´, b2 − 4ac 0. Vamos e a o e provar que o discriminante ∆1 da equa¸˜o ( 235 ) tamb´m ´ positivo. De fato, ca e e abp+2ac−b2 ∆1 = p2 − 4 2a2 (6.260) (ap−b)2 +b2 −4ac = a2 0. (6.261) Portanto, a equa¸˜o x2 + px + q = 0, tem duas ra´ ca ızes distintas. 7. Solu¸˜o. Pelas rela¸˜es de Girard temos: ca co a + b = 3c (6.262) e c + d = 3a. (6.263) Agora, somando (262) e (263) obtemos b + d = 2 (a + c) (6.264) e subtraindo (262) e (263) vem: b − d = 4 (c − a) . (6.265) Como a ´ raiz da equa¸˜o x2 − 3cx − 8d = 0, segue-se que e ca a2 − 3ca − 8d = 0. (6.266) Analogamente, como c ´ raiz da equa¸˜o x2 − 3ax − 8b = 0, temos e ca c2 − 3ac − 8b = 0. (6.267) Subtraindo as igualdades (266) e (267) e utilizando as rela¸˜es (3) e (4) temos: co a2 − c2 = 8 (d − b) (6.268) = 8 · 4 (a − c) (6.269)
- 206. como a =c, concluimos que a + c = 32. Portanto, b+d = 2 (a + c) (6.270) = 2 · 32 (6.271) = 64 (6.272) donde a + b + c + d = 32 + 64 = 96. 8. Solu¸˜o. Pelas rela¸˜es de Girard temos: ca co a + b = −p e 1 ab = − . 2p2 Por outro lado, a2 + b 2 = (a + b)2 − 2ab (6.273) = (−p)2 − 2 − 2p2 1 (6.274) = p2 + 1 p2 (6.275) e da´ ı, a4 + b 4 = a2 + b2 − 2a2 b2 (6.276) 2 2 = p2 + 1 p2 1 − 2 − 2p2 (6.277) = p4 + 1 2p4 + 2. (6.278) Note que 4 1 2p4 + 1 p4 1 √ p + 4 = ≥ 2p4 · = 2. 2p 2 p4 Portanto, √ a4 + b 4 ≥ 2 + 2. 9. Solu¸˜o. Sejam θ, β, e γ as medidas dos ˆngulos internos de um triˆngulo ABC. ca a a Por hip´tese temos cot θ e cot β s˜o as ra´ o a ızes da equa¸˜o x2 − αx + α + 1 = 0 ca tal que √ α2 1+ 2 . Pelas rela¸˜es de Girard, temos: co cot θ + cot β = α e cot θ · cot β = α + 1 por outro lado, temos cot θ·cot β−1 cot (θ + β) = cot θ+cot β (6.279) α+1−1 = α (6.280) =1 (6.281) isto ´, cot (θ + β) = cot 45o . Logo, θ + β = 45o e da´ γ = 135o . e ı,
- 207. 10. Solu¸˜o. ca 11. Solu¸˜o. Como ∆ 0 temos que x1 = a + ib, a, b ∈ R ´ uma raiz da equa¸˜o ca e ca x2 + 2x + c2 = 0, ent˜o a outra ra´ ´ x1 = a − ib. Assim, a ız e x2 + 2x + c2 = (x − x1 ) · (x − x1 ) (6.282) = [(x − a) − ib] · [(x − a) + ib] (6.283) 2 2 2 = x − 2ax + a + b (6.284) e da´ −2a = 2 e c2 = a2 + b2 . Por outro lado, ı, √ |x1 | = a2 + b2 (6.285) √ = c2 (6.286) = |c| (6.287) =c (6.288) pois, c ∈ R, c 0. 12. Solu¸˜o. Por hip´tese, temos 3x2 − 4 [x] − 4 = 0 ou ainda ca o 3x2 = 4 ([x] + 1) . Note que 3x2 ≥ 0 e da´ [x] ≥ −1. Para [x] = −1, temos 3x2 = 0, logo, x = 0 ı, que n˜o ´ solu¸˜o da equa¸˜o 3x2 − 4 [x] − 4 = 0. Temos ent˜o [x] ≥ 0 e x ≥ 0. a e ca ca a Assim, podemos escrever 3x2 = 4n, n ∈ N ou ainda 4n x= . 3 Vamos agora analisar as possibilidades para n : i) Se n = 0 ent˜o, x = 0 que n˜o solu¸˜o; a a ca 4 ii) Se n = 1 ent˜o, x = a 3 que ´ solu¸˜o; e ca 8 iii) Se n = 2 ent˜o, x = a 3 que n˜o ´ solu¸˜o; a e ca iv) Se n = 3 ent˜o, x = 2 que ´ solu¸˜o; a e ca v) Se 4 ≤ n ≤ 6 ent˜o, [x] = 2 e x 0. Neste caso, temos a 3x2 − 4 [x] − 4 3 [x]2 − 4 [x] − 4 = 0, logo, para 4 ≤ n ≤ 6 a equa¸˜o 3x2 − 4 [x] − 4 = 0 n˜o possui solu¸˜o. ca a ca Finalmente, para n ≥ 7 temos [x] ≥ 3 e 3x2 − 4 [x] − 4 ≥ 3 [x]2 − 4 [x] − 4 0 logo, para n ≥ 7 a equa¸˜o 3x2 − 4 [x] − 4 = 0 n˜o possui solu¸˜o. Portanto, S = ca a ca 4 3 ,2 . 13. Solu¸˜o. Pelas rela¸˜es de Girard, temos ca co a+b=p
- 208. e p2 − 1 ab = 2 3 3 3 Como a + b = (a + b) − 3ab (a + b) , segue-se que p2 − 1 a3 + b3 = p3 − 3p 2 ou ainda 3p − p3 a3 + b 3 = . 2 Assim, a equa¸˜o 2 a3 + b3 ca x2 − 3x + (a + b) = 0 se torna, ent˜o a 3p − p3 x2 − 3x + p = 0. (6.289) p 1 Agora, resolvendo a equa¸˜o (235 ) encomtramos x1 = ca 3−p2 e x2 = p . 14. Solu¸˜o. ca ca ızes da equa¸˜o x2 + px + q = 0 s˜o positivas (portanto 15. Solu¸˜o. Como as ra´ ca a reais) vem: p2 − 4q ≥ 0, p 0, q 0.(1) (6.290) note que p 0 e q 0 pelas rela¸˜es de Girard. Por outro lado, da equa¸˜o co ca qy2 + (p − 2rq) y + 1 − pr = 0(2) (6.291) temos (p − 2rq)2 − 4q (1 − pr) = 4r 2 q 2 + p2 − 4q 0 logo, as ra´ ızes y1 e y2 da equa¸˜o (2) s˜o reais. Resta mostrar que s˜o positivas. ca a a Como 1 − pr y1 · y2 = 0(3) (6.292) q e p − 2rq y1 + y2 = − 0 (4) (6.293) q De (3) segue que y1 e y2 tem o mesmo sinal e (4) concluimos que y1 e y2 s˜o a positivas. √ 16. Solu¸˜o. Seja k = x2 +18x+30, ent˜o a equa¸˜o x2 +18x+30 = 2 x2 + 18x + 45 ca √ a ca se trasforma em k = 2 k + 15. Elevando ao quadrado temos k 2 − 4k + 60 = 0 (6.294) ´ a ızes da equa¸˜o (235) s˜o k = −6 e √ = 10. Observe E f´cil perceber que as ra´ ca √ a k que k = −6 n˜o satisfaz a equa¸˜o k = 2 k + 15 pois, −6 = 2 −6 + 15. Logo, a ca as ra´ ızes da equa¸˜o s˜o obtidas quando k = 10 ou seja, ca a x2 + 18x + 30 = 10 ou ainda x2 + 18x + 20 = 0. Logo, pelas rela¸˜es de Girard o produto das ra´ co ızes ´ 20. e 17. Solu¸˜o. ca
- 209. 18. Solu¸˜o. ca 19. Solu¸˜o. ca 20. Solu¸˜o. (a) Como x2 ´ raiz da equa¸˜o x2 − 3px − p = 0, segue-se que ca e ca x2 = 3px2 + p. 2 Pelas rela¸˜es de Girard, temos co x1 + x2 = 3p e x1 · x2 = p assim, 2 3px1 + x2 − p = 3px1 + (3px2 + p) − p (6.295) = 3p (x1 + x2 ) (6.296) 2 = (3p) 0 (6.297) isto nos mostra que 3px1 + x2 − p 0. 2 ızes da equa¸˜o x2 − 3px − p = 0 vem: (b) Sendo x1 e x2 ra´ ca 2 3px1 + x2 + 3p = 3px1 + (3px2 + p) + 3p (6.298) 2 = 9p + 4p (6.299) analogamente, mostramos que 3px2 + x2 + 3p = 9p2 + 4p 1 logo, 3px1 + x2 + 3p = 3px2 + x2 + 3p. Como MA ≥ MG, segue-se que A ≥ 2 isto ´, 2 1 e o valor m´ ınimo de A ´ 2. e Solu¸˜o dos Exerc´ ca ıcios Propostos 2.5.2 Exerc´ ıcios Propostos 1. Solu¸˜o. Dada a fun¸˜o f (x) = ax2 + bx + c podemos conseguir coeficientes ca ca A, B e C tal que f (x) = Ax (x + 1) + Bx (x − 1) + C x2 − 1 . a+b+c a−b+c Verifique que A = 2 , B= 2 e C = −c. Agora, fazendo x = −1, 0 e 1 encontramos f (−1) = 2B, f (0) = C e f (1) = 2A. Assim, f (1) f (−1) f (x) = x (x + 1) + x (x − 1) + f (0) x2 − 1 (6.300) 2 2 para todo x ∈ R. Pela hip´tese |f (−1)| ≤ 1, |f (0)| ≤ 1 e |f (1)| ≤ 1 e da equa¸˜o (235) o ca temos: f (1) f (−1) |f (x)| = 2 x (x + 1) + 2 x (x − 1) + f (0) x2 − 1 (6.301) |f (1)| |f (−1)| ≤ 2 |x (x + 1)| + 2 |x(x − 1)| + |f (0)| x2 − 1 (6.302) |x| ≤ 2 |x + 1| + |x| |x − 1| + x2 − 1 2 (6.303) |x| |x| = 2 |x + 1| + 2 |1 − x| + 1 − x2 (6.304)
- 210. como −1 ≤x ≤ 1, temos x + 1 ≥ 0, 1 − x ≥ 0 e 1 − x2 ≥ 0. Logo, |x| |x| |f (x)| ≤ 2 (x + 1) + 2 (1 − x) + 1 − x2 (6.305) 2 = −x + |x| + 1 (6.306) 5 1 2 = 4 − |x| − 2 (6.307) 5 ≤ 4. (6.308) 2. Solu¸˜o. Note que o valor m´ ca ınimo de x2 + y2 ´ obtido quando x2 + y2 for e m´ınimo. Sejam p = x + y e 2x + y = 3. Assim, p(x) = 5x2 − 12x + 9. Como 2 2 a = 5 0, pelo Teorema(*), temos que p(x) = 5x2 − 12x + 9 admite um valor m´ınimo que ´ atingido para e b x = − 2a (6.309) 6 = 5 (6.310) por outro lado, y = 3 − 2x (6.311) 12 =3− 5 (6.312) 3 = 5 (6.313) √ 45 logo, o valor m´ ınimo de x2 + y 2 ´ e 5 . 3. Solu¸˜o. Sendo S = x + y, temos y = S − x. Assim, ca p(x) = xy (6.314) = x (S − x) (6.315) 2 = −x + Sx (6.316) Como a = −1 0, pelo Teorema ??, temos que p(x) = −x2 + Sx admite um valor m´ximo que ´ atingido para a e b x = − 2a (6.317) S = 2 (6.318) De S = x + y e x = S tiramos que y = S . Portanto, os n´meros s˜o: x = y = 2 2 u a S 2 . Em particular tomando S = 10, temos x = y = 5. x 4. Solu¸˜o. Observe que a express˜o y = ca a ax2 +b ´ equivalente a e ayx2 − x + by = 0 (6.319) Agora, resolvendo a equa¸˜o (235 ) encontramos ca 1± 1 − 4aby 2 x= 2ay Como queremos x reais, ent˜o devemos ter ∆ ≥ 0 ou seja, 1 − 4aby 2 ≥ 0 e da´ a ı, 1 y ≤ 2√ab . Assim, x 1 2 +b ≤ √ ax 2 ab x 1 Portanto, o valor m´ximo de y = a ax2 +b ´ e 2 √ . ab
- 211. 5. Solu¸˜o. Noteque ca 3x2 + 9x + 17 3x2 + 9x + 7 ser´ m´ximo quando p(x) = 3x2 + 9x + 7 for m´ a a ınimo. Como a = 3 0, pelo Teorema ??, temos que p(x) = 3x2 + 9x + 7 admite um valor m´ ınimo que ´e atingido para b x = − 2a (6.320) 3 = −2 (6.321) 3 Assim, substituindo x = − 2 na express˜o a 3x2 + 9x + 17 3x2 + 9x + 7 encontramos o seu valor m´ximo que ´ 41. a e 6. Solu¸˜o. ca Sejam A = xy e 2x + y = 240. Assim, A(x) = x (240 − 2x) (6.322) 2 = −2x + 240x (6.323) Como a = −2 0, pelo Teorema ??, temos que p(x) = −2x2 + 240x admite um valor m´ximo que ´ atingido para a e b x = − 2a (6.324) = 60 (6.325) De 2x + y = 240 e x = 60 temos y = 120. Portanto, as dimens˜es s˜o: x = 60m e o a y = 120m. 7. Solu¸˜o. Seja ca 1 + x2 y= 1+x ou ainda x2 − yx + 1 − y = 0. Como queremos x reais, ent˜o devemos ter ∆ ≥ 0 a ou seja, y2 + 4y − 4 ≥ 0 (6.326) √ Agora, resolvendo a inequa¸˜o (235) encontramos y = −2 ± 2 2. Fazendo o es- ca √ √ tudo do sinal da inequa¸˜o (235) temos y ∈ −∞, −2 − 2 2 ∪ −2 + 2 2, +∞ ca √ √ √ ou ainda y ≥ −2 + 2 2 ou y ≤ −2 − 2 2. Assim, devemos ter y ≥ −2 + 2 2 e 2 √ da´ o valor m´ ı, ınimo de 1+x ´ −2 + 2 2. 1+x e
- 212. 8. Solu¸˜o. Como16x − 35y = 1, segue-se que ca 35y + 1 3y + 1 x= = 2y + (1) (6.327) 16 16 assim, 3y + 1 deve ser m´ltiplo de 16, isto ´, u e 3y + 1 = 16k, k ∈ N.(2) (6.328) Da equa¸˜o (2) temos ca 16k − 1 k−1 y= = 5k + .(3) (6.329) 3 3 Ent˜o k − 1 deve ser m´ltiplo de 3 ou seja, a u k − 1 = 3t, t ∈ N. (4) (6.330) De (3) e (4) temos: y = 5k + t (5) (6.331) = 5 (3t + 1) + t = 16t + 5 De (1) e (5) temos 35(16t+5)+1 x = 16 (6.332) = 35t + 11. (6.333) Logo,x = 35t + 11 e y = 16t + 5. Portanto, |x + y| ´ m´ e ınimo para x = 11 e y = 5, obtidos para t = 0. Exerc´ ıcios 29 Esplorando o triˆngulo de Pascal a Vamos adotar a terminologia seguinte nas quest˜es que se seguem. As colunas do o triˆngulo de Pascal ser˜o enumeradas a partir de zero assim como tamb´m as linhas. a a e Quer dizer que a coluna de ordem zero ´ formada apenas pela unidade e a linha de e ordem zero tem um unico elemento, o 1 e a linha de ordem 1 tem dois elementos: 1, 1 ´ Escreva o triˆngulo de Pascal at´ a linha de ordem 15, ou procure no ´ a e ındice re- missivo onde ele se encontra neste livro. Vamos tirar deste algoritmo algumas li¸˜es. co 1. Verifique que a coluna de ordem zero, formada pela unidade, ´ a sequˆncia das e e diferen¸as dos termos da coluna de ordem 1. Portanto os termos da coluna de c ordem 1 formam uma P.A. Some os termos da coluna de ordem 1. 2. Verifique que a coluna de ordem 1, formada por uma P.A. ´ a sequˆncia das e e diferen¸as dos termos da coluna de ordem 2. Verifique que a seguinte express˜o c a traduz isto: s2,i − s2,i−1 = s1,i−1 em que o primeiro indice indica a coluna e o segundo a posi¸˜o dentro da co- ca luna. Consequentemente os termos da coluna de ordem dois n˜o podem estar em a P.A. Vamos dizer que os elemenos da coluna de ordem 2 s˜o uma progressa˜o a a quadr´tica e logo vocˆ ver´ a raz˜o do nome. a e a a
- 213. 3. Some ostermos da express˜o encontrada na quest˜o anterior provando que a a n s1,k = s2,n+1 − s2,0 k=1 ´ uma express˜o do segundo grau, (ou uma diferen¸a de express˜es do segundo e a c o grau (o que d´ no mesmo...) a 4. Verifique que os termos da coluna de ordem 1 s˜o descritos pela sucess˜o de a a termo geral (n)n∈N . Encontre um polinˆmio do segundo grau que descreva a o sucess˜o dos termos da coluna de ordem dois. a Observa¸˜o 32 A l´gica de denomina¸˜o das colunas ca o ca J´ se pode vislumbrar porque chamamos a “primeira” de ordem zero, porque os seus a termos s˜o descrito por um polinˆmio do grau zero. a o Veremos que os elementos da coluna de ordem n ser˜o descritos por um polinˆmio de a o grau n 5. Verifique que a coluna de ordem 2, formada por uma progress˜o quadr´tica ´ a a e a sequˆncia das diferen¸as dos termos da coluna de ordem 3. Verifique que a e c seguinte express˜o traduz isto: a s3,i − s3,i−1 = s2,i−1 em que o primeiro indice indica a coluna e o segundo a posi¸˜o dentro da coluna. ca 6. Some os termos da express˜o encontrada na quest˜o anterior provando que a a n s2,k = s3,n+1 − s3,0 k=1 ´ uma express˜o do terceiro grau, ou uma diferen¸a de express˜es do terceiro e a c o grau, o que d´ no mesmo... a Vamos dizer que os elemenos da coluna de ordem 3 s˜o uma progressa˜o do a a terceiro grau. Encontre um polinˆmio do terceiro grau que descreva os elementos o da coluna de ordem 3. 7. Com base nas experiˆncias anteriores, descreva de uma forma geral qual ´ a e e estrutura do triˆngulo de Pascal. a 8. Prove que se P for uma polinˆmio do grau k ent˜o o a (a) Q(x + 1) − Q(x) ´ um polinˆmio do grau k − 1 e o (b) Prove que n Q(k + 1) − Q(k) = P (n + 1) − P (0) k=1 Justifique como este resultado generaliza o teorema sobre a soma dos termos de uma P.A. n 9. Calcule k3 k=1 n 10. Calcule k4 k=1 n 11. Calcule kp ; p ∈ N ; p 1 k=1
- 214. 6.13 Logaritmos Ao final da Idade M´dia, foi descoberta uma fam´ de fun¸oes que tinham e ılia c˜ a propriedade f (xy) = f (x) + f (y) e esta propriedade foi “rapidamente” explorada fazendo delas um dos tipos de m´quina de calcular que teve at´ hoje um dos usos mais longo na hist´ria a e o da Humanidade, de 1550 a 1970, mais de quatrocentos anosa , quando foram destronadas pelas m´quinas de calcular el´tricas e depois pelas eletrˆnicas. a e o Chmamam-se logaritmos estas fun¸oes. c˜ Hoje os logaritmos tem um uso bem diferente, outras propriedades foram descobertas que os tornaram modelos importantes em v´rios campos do co- a nhecimento. Aqui vamos fazer uma turn´ de museu reconstruindo a m´quina e a de c´lcular. Come¸aremos a nossa apresenta¸ao reprisando as descobertas a c c˜ de John Napier (1550-1617), o inventor dos logaritmos, que escreveu em 1614 o livro “Mirifici logarithmorum canonis descriptio” Descri¸ao padr˜o c˜ a dos magn´ ıficos logaritmos e construiu uma m´quina de calcular mecˆnica. a a a O chamado triˆngulo de Pascal teve e tem vida mais longa, se sup˜e que a o os chineses o conheciam a alguns milhares de anos antes dos gregos. 6.13.1 A hist´ria o Se houver alguma fun¸˜o que tenha a propriedade ca Hip´tese 2 Propriedade fundamental dos logaritmos o f (xy) = f (x) + f (y) (6.334) se considerarmos x = 1 ent˜o a f (1 ∗ y) = f (y) = f (1) + f (y) ≡ (6.335) f (1) = 0 (6.336) f (1 ∗ y) = f (1) + f (y) = 0 + f (y) = f (y) (6.337) Veremos que n˜o somente existe uma tal fun¸˜o, mas existe uma “fam´ a ca ılia”de fun¸˜es com estas propriedades. Uma fun¸˜o que tenha tais propriedades, se chama co ca logaritmo e a hip´tese fundamental se escreve assim: o log(xy) = log(x) + log(y)
- 215. Esta descoberta destasimples rela¸˜o, (eq. 2), levou rapidamente os “logarit-mos” ca a uma posi¸˜o muito especial, possivelmente porque os n´meros tinham na Idade ca u M´dia, um lugar importante dentro do misticismo, e muito em particular os dois e n´meros zero e um que, embora sendo apenas os elementos neutros da adi¸˜o e da u ca multiplica¸˜o, estes simples fatos fazim de ambos de n´meros cabal´ ca u ısticos para os nossos antepassados, e at´ mesmo para muita gente dos nossos dias. e Al´m deste aspecto m´ e ıstico, estas fun¸˜es transformam a complicada opera¸˜o de co ca multiplicar na opera¸˜o mais f´cil de somar, vamos provar isto. ca a Os matem´ticos da ´poca conseguiram extrair destes fatos v´rios outros que foram a e a montando um sistema muito interessante. Vamos seguir trabalhando dentro da hip´tese (hip. 2), como se ela fosse verdeira, o ent˜o a log(a2 ) = log(a · a) = log(a) + log(a) = 2log(a), transformando potˆncia em multiplica¸˜o. e ca Se fixarmos um n´mero qualquer, a 0, e considerando suas potˆncias, teriamos: u e log(a) log(a) log(a2 ) 2log(a) log(a3 ) 3log(a) log(a4 ) 4log(a) log(a5 ) 5log(a) log(a6 ) 6log(a) Observe que esta tabela associa, uma progress˜o geom´trica, na primeira coluna, a e com uma progress˜o aritm´tica, na segunda coluna. Esta associa¸˜o ´ injetiva, (na a e ca e verdade bijetiva) porque as progress˜es aritm´ticas s˜o estritamente crescentes se a o e a raz˜o for positiva, como ser´ sempre o caso aqui. As progress˜es geom´tricas crescem a a o e ou decrescem dependendo de que a raz˜o seja maior ou menor do que 1. a Vemos aqui e na equa¸˜o (2), p´gina 208, dois fatos que se encontram por tr´s da ca a a importˆncia dos logaritmos na Idade M´dia e que inclusive os trouxeram impertub´veis a e a at´ os nossos dias: e • transformam produtos em soma; • transformam progress˜es geom´tricas em progress˜es aritm´ticas. o e o e • Transformam “coisas mais dif´ ıceis” em “coisas mais f´ceis”. a Esta ultima propriedade e a quest~o quando se tratam de m´quinas: ´ ´ a a uma m´quina que se prese transforma “coisas dif´ a ıceis” em “coisas f´ceis”. a E aqui vai a contribui¸˜o nossa, moderna, para o assunto. ca Nossos antepassados, a duras penas, tentaram descobrir uma fun¸˜o adequada que ca tivesse a hip´tese (hip. 2), p´gina 208. Subindo nos ombros deles, como dizia Newton, o a podemos ver que ´ f´cil inventar uma fun¸˜o exatamente usando a tabula¸˜o acima: e a ca ca
- 216. escolhemos o n´meroa e dizemos quanto vale log(a). u O resto ´ pura constru¸˜o. e ca Vamos mostrar como isto funciona. Depois vamos mostrar, com um exemplo, uma tabela de falsos logaritmos, que n˜o ´ suficiente colar duas progress˜es, uma aritm´tica a e o e e uma geom´trica, para ser um sistema de logaritmos. Existe, portanto, uma pequena e restri¸˜o ao “qualquer”que usamos acima. Discutiremos isto, mais adiante, quando ca falarmos de “falsos logaritmos”. 6.13.2 Constru¸˜o de um logaritmo ca Vamos escolher a = 2 e log(a) = 1 observe, insistimos, poderia ser qualquer outro valor, diferente de zero, para para log(a), nossa escolha foi inteiramente arbitr´ria. A unica coisa que nos guiou foi a ´ come¸ar as coisas de forma mais simples, depois faremos outro exemplo com valores c diferentes. Com estes dados vamos repetir a tabela de potˆncias que escrevemos acima: e log(x) x 2 log(2) 1 4 log(4) 2 8 log(8) 3 16 log(16) 4 32 log(32) 5 64 log(64) 6 ´ e j´ podemos fazer umas continhas para testar o nosso invento. E sempre assim que se a faz, constroi-se um prot´tipo de pequenas propor¸˜es e se verifica seu funcionamente. o co Se fizer alguma coisa util ent˜o partimos para a incrementa¸˜o. ´ a ca Vamos calcular quanto vale 4 x 4. 4 → log(4) = 2 log(4 x 4) = log(4) + log(4) → 2 + 2 = 4 → log(16) conclus˜o: 4 a x 4 = 16 Que ingˆnuo! e vocˆ deve ter exclamado. e Mas, coloque-se agora no s´culo 16, n˜o era todo mundo que sabia fazer esta conta. e a
- 217. Continuando imersos nos´culo 16, vamos l´ encontrar al´ m de alguns raros ma- e a e tem´ticos, tamb´m havia dois tipos de profissionais rar´ a e ıssimos: • Copiadores, ou escribas, (os digitadores de ent˜o); a • Calculistas, (os programadores da ´poca). e Os calculistas criavam tabelas, e os copiadores copiavam estas tabelas para as poucas bibliotecas existentes. Quando um calculista terminava seus longos c´lculos a preenchendo uma folha, os escribas faziam 20 ou 30 c´pias da mesma, que devia ser o o tempo necess´rio ao calculista para preparar outra folha. a Hoje n´s temos computadores e mais abaixo vocˆ vai encontrar uma tabela de o e logaritmos feita em cent´simos de segundos com um programa de computador. Mas, e antes de envolver o computador, vamos mostrar um pouco do trabalho paciente dos calculistas para melhorar a fraqu´ ıssima tabela que temos acima. Os h´beis calculistas devem ter observado que na primeira coluna da tabela se a encontrava uma progress˜o geom´trica de raz˜o 2: a e a 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 e que na segunda coluna havia uma progress˜o aritm´tica: de raz˜o 1 a e a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 portanto, para melhorar esta tabela, se tinha que encontrar progress˜es mais finas que o contivessem as duas anteriores. Refinando a tabela; Aumentando a precis˜o da tabela. a Exemplo 48 Uma tabela mais fina √ contenha esta acima √ √ que √ √ √ x 1 2 2 2 3 4 25 8 27 16 29 32 211 64 1 3 5 7 9 11 log(x) 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 Havia que descobrir um n´mero r que multiplicado por si pr´prio n vezes produ- u o zisse 2 permitindo refinar os valores entre 1 e 2 na primeira coluna e assim prosseguir com as potˆncias de r para refinar os valores entre 2 e 4 e assim sucessivamente na e primeira coluna. Depois descobrir a imagem de r para fazer o mesmo na segunda coluna. Temos assim um problema de logaritmos e de progress˜es, em conjunto, que vamos o agora resolver. Com esta frase torcemos a hist´ria e vamos assim nos corrigir: temos um problema o de progress˜es geom´ tricas e aritm´ticas, em conjunto, para resolver. Deixemos para o e e vocˆ a an´lise l´gica do per´ odo e da contradi¸˜o nele inclu´ e a o ı ca ıda. Divirta-se. Somente um calculista sabia resolver este problema naquela ´poca. Hoje temos e v´rios instrumentos para nos facilitar a vida, mas vamos evitar de us´-los para salientar a a o trabalho duro dos nossos antepassados. Para n˜o sofrer muito, vamos escolher a n=5 quer dizer que desejamos enxertar uma nova progress˜o geom´ trica na progress˜o a e a geom´trica anterior. No exemplo anterior j´ fizemos isto com n = 2. e a
- 218. 1 2 4 1 r r2 r3 r4 r5 r6 r7 r8 r9 r 10 A solu¸˜o se encontra na equa¸˜o, ou melhor, na correspondˆncia entre as duas ca ca e c´lulas, e 2 → r5 que produz a seguinte equa¸˜o: ca √ r5 = 2 ⇒ r = 5 2 r ´ a raiz quinta de 2, que tinha que ser descoberto experimentalmente pois n˜o havia e a m´quinas de calcular na ´poca. Haveria que sair experimentando a multiplica¸˜o a e ca sucessiva de n´mero decimais um pouco maiores que 1 at´ encontrar a raiz quinta de u e 2, aproximadamente, que era outro problema m´ ıstico para os nossos antepassados, e at´ para muita gente de hoje em dia... e Claro, aqui n´s vamos usar um programinha de coputador, sen˜o, gastariamos uma o √ a 5 semana inteira para descobrir r = 2 com uma precis˜o aceit´vel, coisa que para os a a calculistas da Idade M´dia era quest˜o para um par de horas. e a Antes vamos citar uma desigualdade, que ´ f´cil de ser demonstrada, e que pro- e a vavelmente alguns calculistas conheciam, para lhe dar um pouco do sabor do que era fazer c´lculos quando n˜o havia a tecnol´gia que se encontra a nossa disposi¸˜o e, a a o ca naturalmente, aumentar a sua d´ ıvida moral para com os que nos antecederam nos legando as raizes do que disfrutamos hoje. A desigualdade diz: a media aritm´tica entre dois n´meros ´ maior, e u e ou igual, do que a m´ dia geom´trica entre os e e mesmos n´meros, u a+b √ ≥ ab 2 Tente demonstrar esta afirma¸˜o, tudo que vocˆ vai precisar ´ a “equa¸˜o do ca e e ca segundo grau”. Mais a frente faremos a demontra¸˜o. ca Podemos generalizar esta afirma¸˜o para uma quantidade qualquer de n´meros, ca u agora nos interessam cinco, porque nos decidimos pela raiz quinta de 2: x1 +x2 +x3 +x4 +x5 √ 5 ≥ 5 x1 x2 x3 x4 x5 (6.338) ( x1 +x2 +x3 +x4 +x5 )5 ≥ x1 x2 x3 x4 x5 ≈ 5 2 (6.339) e agora vamos experimentar com alguns n´meros. Uma simples calculadora com u mem´ria pode nos ajudar. o Devemos escolher 5 n´meros “candidatos”a serem a raiz quinta de 2. Quer dizer u que eles devem ser maiores do que 1 e menores do que 2, (por que?) Eis o nosso projeto:
- 219. • • Vamosrepetir a experiˆncia at´ obter um produto que seja menor 2. e e • • Pela desigualdade, a m´ dia aritm´tica ser´ maior do que a m´ dia geom´trica e e a e e que ´ uma proposta de raiz; e • • Se a m´ dia aritm´tica for maior do que a raiz quinta de 2 teremos uma e e aproxima¸˜o por falta e outra por excesso. ca • • O melhor deste esquema ´ que, se os n´meros utilizados n˜o forem muito e u a dispersos, a diferen¸a entre as duas m´dias ´ pequena e portanto poderemos ter c e e uma ´tima aproxima¸˜o. o ca Vamos come¸ar os experimentos com: c 1.25; 1.33; 1.4; 1.41; 1.4 vamos usar uma calculadora com 10 mem´rias das quais vamos usar 7; cinco para o guardar os fatores que estaremos testando, e uma para guardar o produto destes fatores e a s´tima para guardar a m´ dia aritm´tica dos fatores. e e e Abaixo a lista dos resutaldos obtidos, em que P ´ o produto, e M ´ a m´ dia e e e aritm´tica: e • x1 = 1.25; x2 = 1.33; x3 = 1.4; x4 = 1.41; x5 = 1.4 M = 1.358 ; P = 4.594485 ≈ 2 • x1 = 1.25; x2 = 1.25; x3 = 1.25; x4 = 1.25; x5 = 1.25 ; M = 1.25 ; P = 3.0517578125 ≈ 2 • x1 = 1.15; x2 = 1.135; x3 = 1.125; x4 = 1.15; x5 = 1.14 ; M = 1.14P = 1.92508059375 ≈ 2 • x1 = 1.15; x2 = 1.145; x3 = 1.135; x4 = 1.15; x5 = 1.145; M = 1.145 ; P = 1.9678976884375 ≈ 2 • x1 = 1.148; x2 = 1.145; x3 = 1.14735; x4 = 1.1475; x5 = 1.1459; M = 1.14675 ; P = 1.98309129589694025 ≈ 2 • x1 = 1.148; x2 = 1.147; x3 = 1.14795; x4 = 1.1478; x5 = 1.14795; M = 1.14774 ; P = 1.991670409950073902 ≈ 2 • x1 = 1.149; x2 = 1.149; x3 = 1.14795; x4 = 1.1478; x5 = 1.14895; M = 1.14854 ; P = 1.9986206930929315395 ≈ 2
- 220. • x1 = 1.1488; x2 = 1.148; x3 = 1.14899; x4 = 1.1489; x5 = 1.14899; M = 1.148736 ; P = 2.00032720825047469273 ≈ 2 • x1 = 1.1488; x2 = 1.148; x3 = 1.14898; x4 = 1.1487; x5 = 1.14899; M = 1.148694 ; P = 1.99996158577245650457 ≈ 2 Vamos aceitar este ultimo resultado. A m´ dia aritm´tica deles ´ ´ e e e 1.148694 e a raiz quinta de 2 obtida com a calculadora ´: e 1.1486983549970350068 e vemos que o erro cometido com os c´lculos de m´dias fica na 6 casa decimal, portanto a e um erro menor do que 0.000004. Observe que no pen´ ltimo resultado obtivemos um produto maior do que 2 o que u nos obrigou a reduzir alguns fatores. Exerc´ ıcio 18 C´lculo de ra´ a ızes 1. Calcule a raiz 7a de 2, usando m´dias e teste o resultado com uma m´quina de e a calcular. 2. Calcule a raiz 9a de 4, usando m´dias e teste o resultado com uma m´quina de e a calcular. A calculadora dever´ ter 11 posi¸˜es de mem´ria, e a amostra deve a co o ser formada de n´meros pr´ximos de 1. u o Temos assim um m´todo experimental para descobrir as ra´ e ızes de um n´mero. u Como a m´dia aritm´ tica ´ maior ou igual do que a geom´trica, ela vai nos dar uma e e e e aproxima¸˜o presumivelmente melhor, (deve ser testada): ca M = 1.148694 = r ; (1.148694)5 = 1.99996208783624992043 que vamos considerar uma aproxima¸˜o aceit´vel. Este ´ o n´mero ca a e u r = 1.148694 que procuravamos para preencher a tabela, no lado da progress˜o geom´trica. a e Do outro lado, na progress˜o arim´tica, ser´ mais f´cil, at´ porque se n˜o fosse, a e a a e a os logaritmos n˜o valeriam a pena. Basta dividir os extremos pelo n´mero de ter- a u mos intermedi´rios que desejamos, n = 5, para encontrar a raz˜o a da progress˜o a a a aritm´tica: e 0+1 1 a= = = 0.2 5 5 e agora montamos a tabela, • • de um lado multiplicando sucessivamente por r = 1.148694 a partir de 1; • • do outro somando sucessivamente d = 0.2 a partir de zero.
- 221. x log(x) 1 0 1.148694 0.2 1.319497905636 0.4 1.515699327216639384 0.6 1.74107472297779036056 0.8 1.99996208783624992043 1 2.29734445052497326610 1.2 Acima estamos apresentando um peda¸o da tabela, apenas c • do lado da P.A. entre 0 e 1.2 ; • do lado da P.G. entre 1 e 2.29734445052497326610 Testando, vamos multiplicar dois n´meros que se encontrem na tabela, ou que u estejam pr´ximo dos que desejamos. o Exemplo 49 A multiplica¸˜o de dois n´meros ca u Os dois n´meros abaixo n˜o se encontram na tabela: u a 1.3150355625 ; 1.72931853064 e queremos multiplic´-los. Vamos usar dois n´meros que estejam na tabela e que re- a u presentem uma aproxima¸˜o dos n´meros que nos interessam. Encontramos na tabela: ca u 1.319497905636 → 0.4 1.74107472297779036056 → 0.8 e eles correspondem, respectivamente aos logaritmos 0.4, 0.8 Vamos somar os seus logaritmos: 0.4 + 0.8 = 1.2 que ´ o logaritmo, (aproximadamente), do resultado: e 1.2 → 2.29734445052497326610 . Quer dizer que: 1.3150355625 x 1.72931853064 ≈ 2.29734445052497326610 (6.340) Se vocˆ tentar com a calculadora esta multiplica¸˜o, vai encontrar e ca 2.274115366681845885 vericando que em nossas contas h´ um erro menor do que 0.02 mas, n˜o se esque¸a a a c de que tamb´m na calculadora h´ erros e que n´s estamos no in´ e a o ıcio da constru¸˜o da ca nossa tecnologia. Vocˆ vai logo ver como podemos garantir que os erros sejam menores, entretanto, e erro sempre vai existir. Se somarmos os logaritmos dos n´meros que desejamos u multiplicar, vamos encontrar o logaritmo do resultado, e atrav´s dele, na tabela, um valor aproximado do produto. e
- 222. Claro, as contasque fizemos s˜o muito penosas para serem feitas ˚ ao, sobretudo a am˜ hoje, quando elas parecem desnecess´rias. Mas, at´ h´ pouco tempo, este m´todo a e a e ainda era utilizado. At´ 1960, em todas as escolas se usavam tabelas de logaritmo para e fazer contas. M´quinas eletro-mecˆnicas de calcular j´ existiam, mas eram caras, ao a a a passo que as tabelas de logaritmo eram baratas e ofereciam resultados, muitas vezes, melhores do que os obtidos com m´quinas eletromecˆnicas. a a Observe que os logaritmos reinaram sobre a tecnologia de 1550 a 1960, ou seja por 4 s´culos, isto lhes garante o direito de um pouco de nossa aten¸˜o, s˜o, sem d´vida, e ca a u um respeit´vel assunto de museu. a √ Com um aux´ de um programa de computador podemos obter 5 2 com muito ılio maior precis˜o, quase instantˆneamente, e fazer uma tabela de logaritmos de maior a a precis˜o. Vocˆ vai encontrar isto mais adiante, inclusive o programa usado. a e Exerc´ ıcios 30 M´dias, desigualdades e progress˜es e o Uma primeira defini¸˜o de logaritmo, para come¸ar. ca c Defini¸˜o 52 Logaritmo ca Vamos chamar de logaritmo, e usar a nota¸˜o, ca log(x) aos n´meros que se encontram na segunda coluna das tabelas em que estamos fazendo u a correspondˆncia entre progress˜es geom´tricas. Na primeira coluna, as progress˜es e o e o geom´tricas, e na segunda coluna, as progress˜es aritm´ticas, os logaritmos. e o e 1. (a) Prove que dados um n´mero positivo x ent˜o u a 1 x+ ≥2 x a+b √ (b) Prove que 2 ≤ ab. Solu¸˜o 2 Uma forma comum de demonstrar esta desigualdade, consiste em ca procurar completar o quadrado: 1 x+ x ≥2 2 x + 1 ≥ 2x se x 0 x2 − 2x + 1 ≥ 0 (x − 1)2 ≥ 0 Como todas as passagens s˜o equivalentes, a conclus˜o ´ que sendo a ultima a a e ´ verdadeira ent˜o partimos de uma verdade. Demonstramos assim sob a hip´tese a o 2 x 0. Se x 0 concluiriamos, como os c´culos acima, que (x − 1) ≤ 0 que, a sendo falso, nos indica que a desigualdade somente ´ v´lida quando x 0. e a No livro de Little, Hardy e Polya, Inequalities, podemos encontrar a seguinte demonstra¸˜o, que parte da identidade alg´brica: ca e a+b a−b x2 − y2 = (x − y)(x + y) ; x = ;y = 2 2
- 223. Dados dois n´merospositivos, a, b podemos, sem perda de generalidade conside- u rar a b ent˜o a ab = ( a+b )2 − ( a−b )2 2 2 ( a−b )2 ≤ ( a+b )2 2 2 ab = ( a+b )2 − ( a−b )2 ≤ ( a+b )2 2 2 2 ab ≤ ( a+b )2 2 √ MG(a, b) = ab ≤ a+b = MA(a, b) 2 MG(a, b) ≤ MA(a, b) ———————————————— 2. Um erro l´gico P´ ginas atr´s dissemos que na frase o a a ”Temos assim um problema de logaritmos e de progress˜es, em conjunto, que o vamos agora resolver.” havia um erro l´gico. Qual ´ o erro? o e Solu¸˜o 3 O erro l´gico na frase: ca o ”Temos assim um problema de logaritmos e de progress˜es, em conjunto, que o vamos agora resolver.” Os logaritmos ainda n˜o existiam, estavam em contru¸˜o, s´ haviam progress˜es, a ca o o naquele momento. ———————————————— 3. Definimos log como sendo a correspondˆncia entre duas colunas de dados, uma e fun¸˜o cujo dom´ ca ınio, por enquanto ´ difuso... Come¸amos com a propriedade e c fundamental log(xy) = log(x) + log(y). Deduza desta propriedade, as seguintes: (a) log(an ) = nlog(a) ; a 0 ; n ∈ N 1 (b) log( a = −log(a) (c) log( a = log(a) − log(b) b 1 (d) Se log(a) 0 ent˜o log( a ) 0 a (e) log(abc) = log(a) + log(b) + log(c) √ (f ) log( m a) = log(a) m 4. Use a tabela 6.16, p´gina 232, para calcular a √ √ √ 3 √ 5 2; 3; 4; ; 2 2 e teste a precis˜o dos resultados com uma calculadora. a 5. Use a tabela (tab. 6.16), p´gina 234 , para calcular a √ √ √ 3 √ 5 2; 3; 4; ; 2 2 e teste a precis˜o dos resultados com uma calculadora. Compare com os resulta- a dos obtidos na outra tabela, verificando que vocˆ usou dois tipos de logaritmos. e
- 224. 6.13.3 Construindo outro logaritmo E se lhe dissemos que n˜o precisaremos calcular nenhuma raiz e-n´ sima para construir a e logaritmos? ´ E isto mesmo, basta tomar um n´mero qualquer muito pr´ximo de 1 que ele ´ u o e a raiz e-n´sima, (para algum n que depois poderemos determinar) de algum n´mero e u (que depois vamos saber)... N˜o se assuste com a forma disciplicente com que falamos. Fique certo de que se a n˜o se trata de nenhum “discurso” de “politiqueiro” sujo. Apenas se conven¸a de que a c um n´mero bem pr´ximo de 1, maior do que 1, ´ a raiz en´sima de algum n´mero u o e e u grande... Por exemplo r = 1.0000000000012345 ´ a raiz en´sima de algum n´mero... basta e e u vocˆ multiplic´-lo por ele mesmo varias vezes, (as calculadoras fazem isto se vocˆ e a e apenas apertar no =), vocˆ poder´ (ou n˜o) encontrar um inteiro... e a a Por exemplo, (1.0000123)10005 = 1.130953116548 em outras palavras, √ 10005 1.130953116548 = 1.0000123 e isto j´ nos oferece material suficiente para construir uma tabela de logaritmos extre- a mamente eficiente: • Na coluna do x vamos colocar a progress˜o aritm´tica cujo primeiro termo ´ a e e 1 10005 sendo tamb´m este n´mero a raz˜o da progress˜o. e u a a • Na coluna log(x) vamos colocar as potˆncias de 1.0000123 quer dizer uma P.G. e de raz˜o 1.0000123 sendo este o primeiro termo. a • Consequentemente o termo de ordem 10005 da P.A. ser´ 1 e estar´ em corres- a a pondencia com o termo de ordem 10005 da P.G. que ser´ 1.130953116548, quer a dizer que log(1.130953116548) = 1 e naturalmente esta ´ a base da nossa tabela e de logaritmos. • Acabamos de descrever a primeira p´gina da nossa tabela de logaritmos. A a proxima p´gina vai consistir de somar 1 a todos os elementos da coluna do x e a multiplicar por 1.130953116548 todos os elementos da coluna do log(x) e assim sucessivamente. Observa¸˜o 33 Determina¸˜o experimental de raizes... ca ca O que dissemos acima pode fazˆ-lo perder horas a fio. Por exemplo, 1.00016932 = e 2.0000363 quer dizer que vocˆ teria que dar 6932 toques para conseguir 2.0000363. e Depois, veja, com todo o esfor¸o que fizemos, n˜o encontramos a raiz exata de 2, a c a linha que aparece em nossa tabela ´: e x log(x) 1.99996208783624992043 1
- 225. e nos gostariamosque fosse x log(x) 2 1 Como j´ dissemos, tudo o que nos interessa ´ “duas progress˜es”, uma geom´trica, a e o e com raz˜o multiplicativa r : a 1, r, r 2 , · · · , r n = a e uma aritm´tica, com raz˜o aditiva d : e a 0, d, 2d, 3d, 4d, · · · , nd. Se nd → a teremos construido, por acaso , o logaritmo base a. Acabamos de dizer que anteriormente construimos o logaritmo de base 2. Depois voltaremos a esta hist´ria da base. o N˜o dissemos grandes novidades, apenas nos liberamos do c´lculo de uma raiz a a especificada de um certo n´mero. Mas ainda existe uma dificuldade psicol´gica. No u o caso anterior dividimos 1 por n para definirmos as duas progress˜es, como faremos o agora se n˜o escolhemos n ? a Total liberdade, novamente. Escolheremos um n´mero pequeno, agora pr´ximo de u o zero, para ser a raz˜o da progress˜o aritm´ tica. a a e Se aparecer a linha x log(x) N 1 com N ∈ N encontramos, por acaso , a tabela de logaritmos de base N. Se n˜o a encontrarmos, teremos uma tabela de logaritmos anˆnimos! o M˜os a obra com, usando r = 1.01 como raz˜o (multiplicativa) da progress˜o a a a geom´trica e delta = 0.01 como raz˜o (aditiva) da progress˜o aritm´tica. e a a e N˜o faremos estes c´lculos a m˜o, para isto temos computadores a nossa disposi¸˜o. a a a ca Vamos escrever abaixo o programa que usaremos para construir a tabela: delta = 0.01 r = 1.01 y=0 x =1 imprima ”x log(x)” imprima -———————–” ## enquanto y for menor que 0.21 repete as linhas abaixo
- 226. enquanto (y ¡=1.1): imprima x,,y ## imprime os dados y = y + delta ## aumenta o valor de y x = x*r ## aumenta o valor de x o resultado deste programa ´ tabela: e x log(x) ---------------------------- 1 0 1.01 0.01 1.0201 0.02 1.030301 0.03 1.04060401 0.04 1.0510100501 0.05 1.0615201506 0.06 1.07213535211 0.07 1.08285670563 0.08 1.09368527268 0.09 1.10462212541 0.1 1.11566834667 0.11 1.12682503013 0.12 1.13809328043 0.13 1.14947421324 0.14 1.16096895537 0.15 1.17257864492 0.16 1.18430443137 0.17 1.19614747569 0.18 1.20810895044 0.19 1.22019003995 0.2 1.23239194035 0.21 Podemos fazer um programa um pouco mais sofisticado para obter os dados em uma tabela com v´rias colunas. O resultado vocˆ pode encontrar na tabela 6.16, a e p´gina 232. a O programa “mais sofisticado” calcula espa¸os e tabula¸˜es produzindo uma tabela c co arrumadinha como a que vocˆ pode ver. Quando vocˆ estiver dominando programa¸˜o e e ca poder´ fazer algo igual ou muito melhor. O que nos interessa, entretanto aqui n˜o ´ a a e programa¸˜o, mas sim os logaritmos. ca 6.13.4 Os logaritmos decimais Analisando a tabela de logaritmos anˆnimos que construimos antes, vemos um pro- o blema grave que os nossos antepassados logo observaram. Se quisermos calcular 2.19476752 basta multiplicarmos por dois o seu logaritmo, 2 x 0.79 = 1.58 → 4.8170045 e portanto 2.19476752 = 4.8170045
- 227. mas se quisermoscalcular o quadrado de 2.2167152 a tabela j´ n˜o mais alcan¸a. a a c Chegamos ao limite da tabela. Solu¸˜o para o problema: fazer uma tabela mais completa. ca Claro, h´ outros problemas com que j´ nos deparamos, um deles diz respeito a a ˚ agranularidade da tabela, ou sua precis˜o. O n´mero 2.2177152 n˜o est´na tabela, a u a a portanto n˜o podemos fazer nenhuma conta com ele. a Os nossos antepassados encontraram algumas solu¸˜es brilhantes para estes pro- co blemas. Vamos descrever uma aqui, outras deixaremos de lado, pois, caso contr´rio, a estaremos, mais do que visitando o museu, construindo novas paredes no pr´dio do e museu e isto pode ser mal compreendido pela seguran¸a... c Eles (nossos antepassados) pensaram e cismaram: E, se quando o logaritmo y mudar de unidade, o n´mero x mudasse u uma casa decimal, o ponto flutuante corresse uma casa para tr´s? (ou a para frente!) A vantagem ´ que a cada novo inteiro os algarimos na coluna do x se repetiriam e e apenas o ponto decimal correria para direita. A´ teriamos uma tabela com validade ı muito maior, veja o exemplo: x log(x) 2.346676545566 0.3704532326933746 23.46676545566 1.3704532326933746 234.6676545566 2.3704532326933746 e n´s poderiamos imediatamente saber: o log(234667.6545566) = 5.3704532326933 log(2346.676545566) = 3.3704532326933746 log(23466.76545566) = 4.3704532326933746 e uma tabela relativamente pequena teria uma utilidade bastante grande porque fa- cilmente a poderiamos extender.
- 228. Observa¸˜o 34 Amaneira “alg´brica”de fazer Matem´tica ca e a Este truque e as potˆncias de 10 e Observe que a inven¸˜o de que estamos falando acima tem propriedades interessantes: ca 23466.76545566 = 10 x 2346.676545566 log(23466.76545566) = log(10) + log(2346.676545566) log(23466.76545566) = 1 + log(2346.676545566) quer dizer que estamos falando do “logaritmo base 10”. Observe o m´ todo que estamos adotando, ´ assim que se faz matem´ tica, sempre e e a foi assim que se fez matem´tica. Analisamos um problema e criamos uma express˜o a a “alg´brica” para o que desejamos e vamos manipulando as express˜es na busca de e o uma sa´ ıda. As vezes d´ certo, descobrimos um teorema, publicamos ruidosamente o resultado. a Muitas vezes n˜o d´ em nada interessante e evitamos discutir o assunto com os a a outros... tem muita matem´tica ficou silenciosamente na cesta de lixo. a Foi usando este “m´ todo alg´brico”que come¸amos a discutir os logaritmos, pro- e e c curavamos uma fun¸˜o que tivesse a propriedade: ca log(xy) = log(x) + log(y) para transformar as complicadas multiplica¸˜es na adi¸˜es que s˜o mais simples e cai- co co a mos em tabelas que tranformassem progress˜es geom´tricas em progress˜es aritm´ticas. o e o e Vamos usar outra palavra em lugar de transformar. Vamos dizer que sincronizamos progress˜es geom´tricas e progress˜es aritm´ticas o e o e fixando a associa¸˜o: ca 1 → 0. Usamos a hist´ria da raiz para criarmos dois segmentos de progress˜es sincroni- o o zadas. Esta foi a primeira forma como apareceram os logaritmos com uma “base” definida. Depois vimos que podiamos nos liberar disto e criar uma multitude de logaritmos e criamos logaritmos anˆnimos simplesmente sincronizando duas progress˜es. o o Agora queremos encontrar progress˜es sincronizadas de uma forma mais poderosa, o e isto vai nos levar de volta ao c´lculo de raizes, que deliberadamente abandonamos a para trabalhar com mais liberdade mas ao mesmo tempo chegamos a conclus˜o que a as tabelas de logaritmos assim constr´idas poderiam ficar enormes e ´ preciso voltar u e atr´s e estrutur´-las melhor. a a Com o que fizemos inicialmente, j´ temos a solu¸˜o quase pronta, o que desejamos a ca ´ descobrir r tal que e 1, r, r 2 , r 3 , · · · , r n = 10 e sincronizar esta progress˜o com a 0, d, 2d, 3d, · · · , nd = 1 porque r 2n = 100 e estar´ sincronizado com 2nd = 2 enfim, a cada nova casa decimal, a os logaritmos pulam de uma unidade.
- 229. Redescobrimos, assim oslogaritmos decimais, ou ainda os logaritmos de base 10. Como j´ resolvemos esta quest˜o antes, sabemos que a a √n r = 10 e quanto maior n mais refinada ser´ a tabela de logaritmos, e, infelizmente tamb´ m, a e mais trabalhoso para calcular a raiz e-n´sima de 10, entretanto os c´lculos deixaremos e a por conta do nosso calculista de mesa, que igual os calculistas ´rabes de Malba Tahan, a calcula silenciosamente, obedientemente, e sem erros... e veja que n˜o estamos fazendo a nenhuma sugeira. Estamos construindo os logaritmos de forma autˆntica, vamos usaar e o computador apenas para escrever as progress˜es aritm´ tica e geom´trica mais r´pido o e e a e com maior precis˜o. Estamos apenas usando trabalho escravo, coisa comum em a nossos dias, o nosso escravo, aqui, ´ a m´quina enquanto outros escravisam seres e a humanos ou os simples e d´ceis animais. o Vamos retomar os nossos c´lculos de raizes, usando a propriedade das m´ dias √ a e aritm´ticas para obter n 10. Se quisermos ter uma p´gina para cada passagem de e a inteiro, usando a formata¸˜o da tabela (tab. 6.16), p´gina 232, ent˜o teremos que ca a a usar n = 160, e portanto teremos que calcular m´dias com 160 n´meros. e u Que m´gico n´mero, 160 ´ este? a u e Verifique vocˆ mesmo, quantas colunas tem as tabelas de e logaritmos que fizemos, por exemplo a tabela (tab. 6.16), p´gina 234 . a Quatro colunas, certo? Em cada coluna 40 linhas, que ´ o que cabe a p´gina, e a certo? Da´ 160 = 40 x 4, somente isto. Nenhum mist´rio. ı e Mesmo para um h´bil calculista da Idade M´dia isto poderia tomar mais de um par a e de horas, talvez alguns dias. Claro, “naqueles tempos” sempre havia muito “tempo”... podemos entretanto solicitar ao nosso calculista de mesa que fa¸ a o servi¸o, e o c c resultado pode ser obtido em menos do que um par de segundos: power(10,1/160) 1.01449520806873610874 e assim, num piscar de olhos sabemos que r = 1.01449520806873610874 que vamos arredondar para r = 1.0144952 porque o calculista exagerou. 1 Agora usando delta = 160 no programa “sofisticado” que rodamos anteriormente vamos obter uma nova tabela, (tab. 6.16), p´gina 234 a Analisando a tabela vocˆ ”poderia”encontrar: e x = 2.0241832 log(x) = 0.30625 (6.341) x = 20.241806 log(x) = 1.30625 (6.342) x = 202.41832 log(x) = 2.30625 (6.343) x = 0.20241832 log(x) = 0.30625 − 1 = −0.69375 (6.344)
- 230. Vocˆ n˜o encontrouos n´meros citados acima (com exce¸ao de dois casos) porque e a u c˜ a tabela tem uma amplid˜o reduzida: a x ∈ [1, 98.570940] ; log(x) ∈ [0, 1.99375] Quando um n´mero apenas tiver o “ponto flutuante” deslocado de uma casa, relati- u vamente a outro, o seu logaritmo decimal difere de uma unidade, relativamente ao do outro. Ou ainda: log(x) = y ⇒ log(10x) = y + 1 ; log(100x) = y + 2 . . . Com isto, uma tabela de logaritmos bem refinada, com x variando entre os n´ meros u 1 e 100 ser´ util para fazer muitas opera¸˜es, como ´ o caso da tabela (tab. 6.16), a ´ co e p´gina 234 a Observe, tamb´m que o n´mero x = 10 n˜o aparece na tabela, quem aparece ´ e u a e 9.9999872. Isto se deve a erros de arrendondamento, mas 9.9999872 ´ praticamente e 10. Poderiamos ter editado a tabela de modo que aparecesse 10 em lugar de 9.9999872 mas a´ vocˆ, leitor, estaria sendo enganado. ı, e Quer dizer que (tab. 6.16), p´gina 234 ´ uma tabela de logaritmos ”quase deci- a e mais”... Use o programa log tabela.py para construir sua tabela de logaritmos com precis˜o arbitr´ria, (escolhida por vocˆ), e com alcance que vocˆ mesmo ir´ determi- a a e e a nar, seria certamente um bom artigo para feiras de artesanato, talvez ningu´m queira e comprar, mas ir´, certamente, chamar aten¸˜o. a ca 6.13.5 A base de um logaritmo Por diversas vezes fizemos referˆncia ao fato de que ao encontramos, (se encontrarmos), e a linha: x log x a 1.0 ent˜o diremos que se trata da tabela do logaritmo na base a. a A tabela (tab.6.16 ), p´gina 234, ´ uma tabela de logaritmos decimais, ou logarit- a e mos de base 10.
- 231. Observa¸˜o 35 Precis˜onas tabelas de logaritmo ca a Observe o artigo indefinido na frase anterior e em geral quando falamos de uma tabela de logaritmos. Basta escolher outro valor para n e teremos outra tabela de logaritmos decimais. Este outra tabela ´ uma express˜o perigosa. Haveria ent˜o muitos e a a logaritmos decimais? A reposta ´ “n˜o”. O que pode haver ´ diversas tabelas com maior ou e a e menor precis˜o. a O valor de n ´ que determina quanto a tabela ´ fina. Com um maior e e valor de n, teremos mais dados na tabela que ser´ ent˜o mais perfeita. a a Dizemos que a granularidade da tabela ´ menor. e Observe ainda que isto n˜o quer dizer que haja v´rios logaritmos de- a a cimais. Apenas quer dizer que podemos fazer tabelas mais precisas di- minuindo a granularidade das mesmas, (ou equivalentemente, aumen- √ tando o ´ındice da raiz calculada r = n 10). Os logaritmos de base a s˜o designados por y = loga (x) que se lˆ: a e “y ´ o logaritmo base a de x.” e Na tabela de logaritmos base a poderemos encontrar (se ela for suficientemente fina...) x logx a 1.0 a2 2.0 a3 3.0 ... an n que justifica a denomina¸˜o de “base a” para estes logaritmos. J´ vimos que na tabela ca a de logaritmos decimais temos x logx 10 1.0 100 2.0 1000 3.0 ...... 10n n Estamos em condi¸˜es agora de descrever v´rias propriedades dos logaritmos. Va- co a mos nos fixar nos logaritmos decimais, por enquanto, depois veremos que ´ f´cil trans- e a ferir as propriedades para qualquer outro logaritmo.
- 232. Relembrando, um logaritmo´ uma fun¸˜o que associa os termos de uma progress˜o e ca a geom´trica: e 1 , . . . , 1, . . . , 10, . . . , 100, . . . 10 com os termos de uma progress˜o aritm´tica a e −1, . . . , 0, . . . , 1, . . . , 2, . . . e agora no caso dos logaritmos decimais uma propriedade particular permite que que fiquemos apenas com um peda¸˜o desta associa¸˜o: ca ca 1, . . . , 10 com os termos de uma progress˜o aritm´tica a e 0, . . . , 1 porque o restante podemos deduzir, (e perder precis˜o...), acrescentando uma unidade a ˚ aparte inteira do logaritmo. A coluna da progress˜o geom´ trica ´ obtida multiplicativamente, o “primeiro a e e termo” ´ 1. Mas tamb´m podemos “andar” para traz indefinidamente, dividindo. e e . . . 0.01, . . . , 0.1 . . . 1. Dividindo podemos obter n´agu meros cada vez menores, nos aproximar indefini- u damente de zero, mas nunca obter n´meros negativos. u Mas quando estivermos abaixo de 1, na progress˜o geom´trica, isto vai correspon- a e der a n´meros negativos na coluna da progress˜o aritm´tica: u a e . . . − 2, . . . , −1, . . . , 1 Vemos assim que o dom´ se constitue de qualquer n´mero positivo: R+ enquanto ınio u que o conjunto de valores pode ser qualquer n´mero real, positivo ou negativo: R. Quer u dizer que log10 : R+ −→ R ´ o formato da defini¸˜o do log10 . e ca Teorema 68 Dom´ ınio e contra-dom´ ınio do Logaritmo decimal O dom´ ınio da fun¸˜o logaritmo decimal ´ o conjunto dos n´meros reais positivos ca e u e o contra-dom´ ınio ´ o conjunto dos n´meros reais. e u 6.14 Gr´fico de uma fun¸˜o logaritmica a ca Na figura (fig. 6.16) e = 2.71828182845904523536 . . . ; e ∈ Q /
- 233. 6.15 Fun¸˜o inversa de uma fun¸˜o logaritmica ca ca Vamos analisar se existe uma inversa de log10 . Os argumentos que estamos usando nos indicam que sim. Observe que a seguinte rela¸˜o ´ falsa: ca e a = b e log(a) = log(b) porque elementos diferentes na progress˜es geometrica correspondem a elementos di- o ferentes na progress˜o aritm´tica. N˜a importa a granularidade escolhida. a e o Isto nos permite afirmar que podemos inverter a seta na defini¸˜o de fun¸˜o. ca ca Vejamos que fun¸˜o vamos ter ao invertermos a seta: Agora no conjunto de va- ca lores temos as potˆ ncias de 10, as potˆncias inteiras e aquelas intermedi´rias que a e e a granularidade de nossa tabela permitir. Consulte a tabela (tab. 6.16), p´gina 234 , a na segunda folha, onde est´, no come¸o 9.9999872 ≈ 10 ´ o 10, sem preconceitos. a c e Ent˜o vocˆ tem: a e 1 → 10 ≡ 101 = 10 na pr´xima c´lula da tabela vocˆ tem: o e e 1.00625 → 10.144939 ≡ 101.00625 = 10.144939 quer dizer que a inversa da fun¸˜o logaritmo decimal ´ fun¸˜o exponencial de base 10. ca e ca Teorema 69 Inversa de log10 A inversa da fun¸˜o log10 ´ a fun¸˜o exponencial de base 10. ca e ca Vocˆ vˆ assim a raz˜o da denomina¸˜o de base para caracterizar os logaritmos. e e a ca A fun¸˜o x → log10 (x) ´ a fun¸˜o inversa de x → 10x . ca e ca A fun¸˜o x → log2 (x) ´ a fun¸˜o inversa de x → 2x . ca e ca Quer dizer, se vocˆ quiser calcular e √ 10 2 √ vocˆ deve procurar na tabela de logaritmos um n´mero pr´ximo de 2 na coluna do e u o log, quer dizer, na coluna dos expoentes, e depois olhar para o outro lado. Na tabela que temos vocˆ pode encontrar 1.4125 ≈ logo e √ 2 10 ≈ 25.852301. Como, para qualquer n´mero positivo, u a0 = 1 ent˜o, a loga (1) = 0. Teorema 70 Ponto fixo da fam´ dos logaritmos O gr´fico de qualquer logaritmo ılia a passa no ponto (1, 0). Foi por esta raz˜o que come¸amos sincronizando as tabelas de progress˜es aritm´ a c o e ticas e geom´tricas usando o zero, no lado da progress˜o aritm´ tica (logaritmo) e 1 e a e no lado da progress˜o geom´trica. a e log10 (2x ) = xlog10 (2)
- 234. 6.15.1 Troca de base do logaritmo Prometemos que iriamos mostrar como poderiamos explicar qualquer logaritmo a par- tir do log10 . Vamos ver uma forma simples de trocar a “base” do logaritmo. Para isto vamos considerar a tabela do log10 . Nela escolha um n´mero qualquer a na coluna do x, da u progress˜o geom´trica. Experimente agora e escolha a. a e Do outro lado vocˆ tem log10 (a). Existe um n´mero K pelo qual podemos multi- e u plicar a coluna da progress˜o aritm´tica (essas coisas a gente faz com um computador, a e n˜o ´ a m˜o...) de modo que a e a Klog10 (a) = 1. Tudo que temos que fazer ´ resolver a equa¸˜o acima: e ca 1 K= log10 (a) e como os termos da progress˜o aritm´tica representam log10 (x) o que temos agora ´: a e e log10 (x) Klog10 (x) = . log10 (a) Em particular, ao lado de a aparece do outro lado, na coluna da progress˜o a 1 aritm´tica multiplicada por K = log10 (a) , aparece e log10 (a) = 1. log10 (a) x Klog10 x a 1.0 logo, como j´ definimos isto antes, esta nova tabela ´ a tabela do loga (x). a e log10 (x) Quer dizer que multiplicamos: Klog10 (x) = log10 (a) para obtermos loga (x). Isto nos d´ a f´rmula: a o Teorema 71 Troca de base log10 (x) loga (x) = . log10 (a) Exerc´ ıcios 31 Propriedades dos logaritmos 1. varia¸˜o dos logaritmos ca 2. Fa 3.
- 235. 6.16 Fun¸˜o exponencial ca De tudo que j´ discutimos sobre logaritmos e exponenciais ficou certamente a zanzando uma id´a que precisa ser corrigida. Existe uma multid˜o de loga- e a ritmos (e consequentemente de exponenciais) e estas fun¸˜es nada tem o que co ver umas com as outras. Alguma coisa est´ errado! Tem muita fun¸ao logaritmo, mas todas tem o que a c˜ ver umas com as outras e a cada fun¸ao logaritmo corresponde uma fun¸ao c˜ c˜ exponencial. A primeira coisa que vamos corrigir ´ hist´ria de logaritmo anˆ nimo. e o o N˜o existem logaritmos anˆnimos, todo logaritmo tem uma base, o que pode ocor- a o rer ´ que a base n˜o represente nada para n´s. Seja um n´mero sem personalidade, e a o u pelo menos aparentemente. Quando a base ´ um n´mero inteiro, chama a aten¸˜o. e u ca Dependendo da escolha da raz˜o d para a progress˜o aritm´tica, o n´mero 1 pode a a e u n˜o pertencer a imagem, mas pode haver um n´mero arbitrariamente pr´ximo da a u o imagem para uma tabela mais fina do mesmo logaritmo e ´ isto que conta. e As progress˜es aritm´ticas s˜o sempre crescentes ou decrescentes, a n˜o ser que a o e a a raz˜o seja nula e estas n˜o nos servem. As progress˜es geom´tricas s˜o: a a o e a • crescentes se o primeiro termo for positivo e a raz˜o maior do que 1; a • descrescentes se o primeiro termo for positivo e a raz˜o menor do que 1. a Hip´tese 3 Progress˜es crescentes o o Por enquanto, para simplificar a teoria, vamos trabalhar exclusivamente com pro- gress˜es aritm´ ticas e geom´tricas crescentes, depois veremos de maneira simples o e e como se podem descrever todos os casos a partir destes. Ent˜o, por hip´tese, r 1. a o Uma consequˆncia desta hip´tese ´ que os logaritmos s˜o fun¸˜es crescentes, porque e o e a co a imagem cresce junto com os elementos do dom´ nio. E o dom´ ı ınio ´ crescente por que e assumimos a hip´tese de a raz˜o da progress˜o geom´trica ´ maior do que 1, logo a o a a e e base ´ maior do que 1. Vamos resumir este resultado no teorema: e Teorema 72 Logaritmos crescentes Se a base a for maior do que 1 ent˜o loga (x) ´ uma fun¸˜o crescente. a e ca Com a hip´tese (hip. 3), podemos sintetizar o que temos no seguinte quadro: o • Todos os logaritmos passam no ponto (1, 0); • y = loga (x) passa no ponto (a, 1); • y = logb (x) passa no ponto (b, 1); Como, por hip´tese, (hip. 3), ent˜o, para todo x = 1 ⇒ log(x) = 0 para o a qualquer que seja a base. Isto nos permite escrever, considerando duas bases quaisquer: logb (x) = Kloga (x)
- 236. Se dermos umvalor qualquer para x vemos que K ´ uma constante: e logb (b) 1 K= = . loga (b) loga (b) Quer dizer que, qualquer que seja o logaritmo, ele pode ser escrito como um m´ltiplo de outro. Por exemplo, todo logaritmo ´ m´ltiplo do logaritmo decimal: u e u Teorema 73 Unicidade do logaritmo Dado uma base b 1 qualquer, loga (x) logb (x) = (6.345) loga (b) em particular, logb (x) = log10 (x) . log10 (b) Esta f´rmula j´ nos permite uma generaliza¸˜o das restri¸˜es pela hip´tese (hip. o a ca co o 3). Podemos falar agora de base menor do que 1, (ainda sempre positiva). Se 0 b 1 ent˜o a log10 (x) logb (x) = log10 (b) e temos no segundo membro o logaritmo log10 (b) em que b 1. Quanto vale loga (b) se b 1 ? At´ agora sempre insistimos nas constru¸˜es de logaritmos com progress˜es aritm´ticas e co o e se originando com o n´mero 0. Mas nada nos impede em continuar a tabela de loga- u ritmos para tr´s do zero continuando com a outra coluna para aqu´m de 1: a e • na coluna do log vamos subtraindo indefinidamente raz˜o positiva d, obtendo a agora n´meros negativos; u • na coluna do x vamos dividindo indefinidamente pela raz˜o r 1 obtendo a n´meros positivos cada vez menores. u Isto nos mostra que o dom´ınio da fun¸˜o log ´ o conjunto de todos os n´meros ca e u positivos e a imagem ´ o conjunto de todos os n´meros reais. Se a base a for maior e u do que 1 como at´ agora estamos mantendo, ver hip´tese (hip. 3), ent˜o e o a b a ⇒ loga (b) 0. N´s temos um simbolismo para caracterizar isto: o a 1 − ∞ loga (x) ∞. Dissemos um “simbolismo” porque ∞ n˜o ´ um n´mero, e o que est´ escrito a e u a acima apenas diz que loga (x) descresce indefinidamente, quando x decrescer para 0 e cresce indefinidamente, quando x crescer indefinidamente. Esquematicamente temos a varia¸˜o do logaritmo, quando a base a for maior do que 1: ca
- 237. Varia¸˜o do logaritmo;base a maior do que 1 ca x 0 1 ∞ loga (x) −∞ 0 ∞ Retomando a f´rmula (eq. 6.345), p´gina 230, temos: o a log10 (x) b 1 ⇒ logb (x) = log10 (b) e como b 1 ⇒ log10 (b) 0 ent˜o logb (x), log10 (x) tˆm sinais diferentes, onde um a e for positivo, o outro ser´ negativo. Isto produz a seguinte tabela de varia¸˜o para os a ca logaritmos quando a base for menor do que 1: Varia¸˜o do logaritmo; base a menor do que 1 ca x 0 1 ∞ loga (x) ∞ 0 −∞ Isto nos permitiria fazer um esbo¸o gr´fico da curva do logaritmo (vamos fazer c a diversos esbo¸os gr´ficos cada vez melhores, a medida que as informa¸˜es forem ficando c a co mais precisas): A figura (fig. 6.17), p´gina 242 representa algumas id´ias que j´ discutimos: a e a Justificativas para o desenho: • A imagem do logaritmo ´ uma progress˜o aritm´tica, cresce portanto, mas no e a e dom´ınio est´ uma progress˜o geom´trica, de base maior do que 1, que cresce a a e muito mais r´pido, logo a curva cresce cada vez menos do que uma reta. a • No intervalo (0, 1) a progress˜o aritm´tica descresce indefinidamente e o dom´ a e ınio ´ o intervalo (0, 1) logo o gr´fico tem que se aproximar do eixo OY assintotica- e a mente. Podemos melhorar o gr´fico indicando alguns pontos conhecidos. Vamos para isto a fazer o gr´fico de y = log2 (x). a Sabemos y = log2 (x) assume valores inteiros nas potˆncia inteiras de 2: e 1 ( , −1), (1, 0), (2, 1), (4, 2), (8, 3), . . . 2 A figura (fig. 6.18), p´gina 243 com os pontos acima marcados em destaque. a Conhecemos os valores de y = log2 (x) em todas as potˆncias inteiras de dois. Nestes e pontos o valor ´ um inteiro. e Como qualquer outro logaritmo ´ um m´ltiplo de y = log2 (x), toda curva lo- e u gar´ ıtmica vai ser semelhante a esta, do log2 .
- 238. x log x x log x x log x x log x 1 0 1.0004939 0.00041 1.0009880 0.00081 1.0014824 0.00121 1.0000123 1e-05 1.0005062 0.00042 1.0010004 0.00082 1.0014948 0.00122 1.0000246 2e-05 1.0005186 0.00043 1.0010127 0.00083 1.0015072 0.00123 1.0000370 3e-05 1.0005309 0.00044 1.0010251 0.00084 1.0015195 0.00124 1.0000493 4e-05 1.0005433 0.00045 1.0010375 0.00085 1.0015319 0.00125 1.0000617 5e-05 1.0005556 0.00046 1.0010498 0.00086 1.0015443 0.00126 1.0000740 6e-05 1.0005680 0.00047 1.0010622 0.00087 1.0015566 0.00127 1.0000864 7e-05 1.0005803 0.00048 1.0010745 0.00088 1.0015690 0.00128 1.0000987 8e-05 1.0005927 0.00049 1.0010869 0.00089 1.0015813 0.00129 1.0001111 9e-05 1.0006050 0.0005 1.0010993 0.0009 1.0015937 0.0013 1.0001234 0.0001 1.0006174 0.00051 1.0011116 0.00091 1.0016061 0.00131 1.0001358 0.00011 1.0006297 0.00052 1.0011240 0.00092 1.0016184 0.00132 1.0001481 0.00012 1.0006421 0.00053 1.0011363 0.00093 1.0016308 0.00133 1.0001604 0.00013 1.0006544 0.00054 1.0011487 0.00094 1.0016432 0.00134 1.0001728 0.00014 1.0006668 0.00055 1.0011610 0.00095 1.0016555 0.00135 1.0001851 0.00015 1.0006792 0.00056 1.0011734 0.00096 1.0016679 0.00136 1.0001975 0.00016 1.0006915 0.00057 1.0011858 0.00097 1.0016803 0.00137 1.0002098 0.00017 1.0007039 0.00058 1.0011981 0.00098 1.0016926 0.00138 1.0002222 0.00018 1.0007162 0.00059 1.0012105 0.00099 1.0017050 0.00139 1.0002345 0.00019 1.0007286 0.0006 1.0012228 0.001 1.0017174 0.0014 1.0002469 0.0002 1.0007409 0.00061 1.0012352 0.00101 1.0017297 0.00141 1.0002592 0.00021 1.0007533 0.00062 1.0012476 0.00102 1.0017421 0.00142 1.0002716 0.00022 1.0007656 0.00063 1.0012599 0.00103 1.0017545 0.00143 1.0002839 0.00023 1.0007780 0.00064 1.0012723 0.00104 1.0017668 0.00144 1.0002963 0.00024 1.0007903 0.00065 1.0012846 0.00105 1.0017792 0.00145 1.0003086 0.00025 1.0008027 0.00066 1.0012970 0.00106 1.0017916 0.00146 1.0003210 0.00026 1.0008150 0.00067 1.0013094 0.00107 1.0018039 0.00147 1.0003333 0.00027 1.0008274 0.00068 1.0013217 0.00108 1.0018163 0.00148 1.0003457 0.00028 1.0008398 0.00069 1.0013341 0.00109 1.0018287 0.00149 1.0003580 0.00029 1.0008521 0.0007 1.0013465 0.0011 1.0018410 0.0015 1.0003704 0.0003 1.0008645 0.00071 1.0013588 0.00111 1.0018534 0.00151 1.0003827 0.00031 1.0008768 0.00072 1.0013712 0.00112 1.0018658 0.00152 1.0003951 0.00032 1.0008892 0.00073 1.0013835 0.00113 1.0018781 0.00153 1.0004074 0.00033 1.0009015 0.00074 1.0013959 0.00114 1.0018905 0.00154 1.0004198 0.00034 1.0009139 0.00075 1.0014083 0.00115 1.0019029 0.00155 1.0004321 0.00035 1.0009262 0.00076 1.0014206 0.00116 1.0019152 0.00156 1.0004445 0.00036 1.0009386 0.00077 1.0014330 0.00117 1.0019276 0.00157 1.0004568 0.00037 1.0009510 0.00078 1.0014453 0.00118 1.0019400 0.00158 1.0004692 0.00038 1.0009633 0.00079 1.0014577 0.00119 1.0019524 0.00159 1.0004815 0.00039 1.0009757 0.0008 1.0014701 0.0012 1.0019647 0.0016 Tabela 6.1: Logaritmos anˆnimos o
- 239. x log x x log x x log x x log x 1.0005062 0.00041 1.0010004 0.00082 1.0014948 0.00122 1.0019895 0.00162 1.0005186 0.00042 1.0010127 0.00083 1.0015072 0.00123 1.0020018 0.00163 1.0005309 0.00043 1.0010251 0.00084 1.0015195 0.00124 1.0020142 0.00164 1.0005433 0.00044 1.0010375 0.00085 1.0015319 0.00125 1.0020266 0.00165 1.0005556 0.00045 1.0010498 0.00086 1.0015443 0.00126 1.0020389 0.00166 1.0005680 0.00046 1.0010622 0.00087 1.0015566 0.00127 1.0020513 0.00167 1.0005803 0.00047 1.0010745 0.00088 1.0015690 0.00128 1.0020637 0.00168 1.0005927 0.00048 1.0010869 0.00089 1.0015813 0.00129 1.0020760 0.00169 1.0006050 0.00049 1.0010993 0.0009 1.0015937 0.0013 1.0020884 0.0017 1.0006174 0.0005 1.0011116 0.00091 1.0016061 0.00131 1.0021008 0.00171 1.0006297 0.00051 1.0011240 0.00092 1.0016184 0.00132 1.0021132 0.00172 1.0006421 0.00052 1.0011363 0.00093 1.0016308 0.00133 1.0021255 0.00173 1.0006544 0.00053 1.0011487 0.00094 1.0016432 0.00134 1.0021379 0.00174 1.0006668 0.00054 1.0011610 0.00095 1.0016555 0.00135 1.0021503 0.00175 1.0006792 0.00055 1.0011734 0.00096 1.0016679 0.00136 1.0021626 0.00176 1.0006915 0.00056 1.0011858 0.00097 1.0016803 0.00137 1.0021750 0.00177 1.0007039 0.00057 1.0011981 0.00098 1.0016926 0.00138 1.0021874 0.00178 1.0007162 0.00058 1.0012105 0.00099 1.0017050 0.00139 1.0021998 0.00179 1.0007286 0.00059 1.0012228 0.001 1.0017174 0.0014 1.0022121 0.0018 1.0007409 0.0006 1.0012352 0.00101 1.0017297 0.00141 1.0022245 0.00181 1.0007533 0.00061 1.0012476 0.00102 1.0017421 0.00142 1.0022369 0.00182 1.0007656 0.00062 1.0012599 0.00103 1.0017545 0.00143 1.0022493 0.00183 1.0007780 0.00063 1.0012723 0.00104 1.0017668 0.00144 1.0022616 0.00184 1.0007903 0.00064 1.0012846 0.00105 1.0017792 0.00145 1.0022740 0.00185 1.0008027 0.00065 1.0012970 0.00106 1.0017916 0.00146 1.0022864 0.00186 1.0008150 0.00066 1.0013094 0.00107 1.0018039 0.00147 1.0022987 0.00187 1.0008274 0.00067 1.0013217 0.00108 1.0018163 0.00148 1.0023111 0.00188 1.0008398 0.00068 1.0013341 0.00109 1.0018287 0.00149 1.0023235 0.00189 1.0008521 0.00069 1.0013465 0.0011 1.0018410 0.0015 1.0023359 0.0019 1.0008645 0.0007 1.0013588 0.00111 1.0018534 0.00151 1.0023482 0.00191 1.0008768 0.00071 1.0013712 0.00112 1.0018658 0.00152 1.0023606 0.00192 1.0008892 0.00072 1.0013835 0.00113 1.0018781 0.00153 1.0023730 0.00193 1.0009015 0.00073 1.0013959 0.00114 1.0018905 0.00154 1.0023854 0.00194 1.0009139 0.00074 1.0014083 0.00115 1.0019029 0.00155 1.0023977 0.00195 1.0009262 0.00075 1.0014206 0.00116 1.0019152 0.00156 1.0024101 0.00196 1.0009386 0.00076 1.0014330 0.00117 1.0019276 0.00157 1.0024225 0.00197 1.0009510 0.00077 1.0014453 0.00118 1.0019400 0.00158 1.0024349 0.00198 1.0009633 0.00078 1.0014577 0.00119 1.0019524 0.00159 1.0024472 0.00199 1.0009757 0.00079 1.0014701 0.0012 1.0019647 0.0016 1.0024596 0.002 1.0009880 0.0008 1.0014824 0.00121 1.0019771 0.00161 1.0024720 0.00201 Tabela 6.2: Logaritmos anˆnimos - continua¸˜o o ca
- 240. x log x x log x x log x x log x 1 0 1.7782788 0.25 3.1622756 0.5 5.6234078 0.75 1.0144952 0.00625 1.8040553 0.25625 3.2081134 0.50625 5.7049203 0.75625 1.0292005 0.0125 1.8302054 0.2625 3.2546157 0.5125 5.7876142 0.7625 1.0441189 0.01875 1.8567346 0.26875 3.3017920 0.51875 5.8715068 0.76875 1.0592536 0.025 1.8836484 0.275 3.3496521 0.525 5.9566155 0.775 1.0746077 0.03125 1.9109522 0.28125 3.3982060 0.53125 6.0429578 0.78125 1.0901844 0.0375 1.9386519 0.2875 3.4474637 0.5375 6.1305517 0.7875 1.1059868 0.04375 1.9667530 0.29375 3.4974353 0.54375 6.2194153 0.79375 1.1220183 0.05 1.9952615 0.3 3.5481314 0.55 6.3095670 0.8 1.1382822 0.05625 2.0241832 0.30625 3.5995622 0.55625 6.4010254 0.80625 1.1547818 0.0625 2.0535242 0.3125 3.6517386 0.5625 6.4938096 0.8125 1.1715206 0.06875 2.0832904 0.31875 3.7046713 0.56875 6.5879386 0.81875 1.1885021 0.075 2.1134881 0.325 3.7583712 0.575 6.6834321 0.825 1.2057296 0.08125 2.1441235 0.33125 3.8128496 0.58125 6.7803098 0.83125 1.2232069 0.0875 2.1752030 0.3375 3.8681176 0.5875 6.8785917 0.8375 1.2409376 0.09375 2.2067331 0.34375 3.9241867 0.59375 6.9782983 0.84375 1.2589252 0.1 2.2387201 0.35 3.9810686 0.6 7.0794501 0.85 1.2771736 0.10625 2.2711708 0.35625 4.0387750 0.60625 7.1820682 0.85625 1.2956865 0.1125 2.3040919 0.3625 4.0973179 0.6125 7.2861737 0.8625 1.3144677 0.11875 2.3374901 0.36875 4.1567093 0.61875 7.3917882 0.86875 1.3335212 0.125 2.3713725 0.375 4.2169616 0.625 7.4989337 0.875 1.3528508 0.13125 2.4057460 0.38125 4.2780873 0.63125 7.6076322 0.88125 1.3724607 0.1375 2.4406178 0.3875 4.3400991 0.6375 7.7179064 0.8875 1.3923548 0.14375 2.4759951 0.39375 4.4030097 0.64375 7.8297790 0.89375 1.4125372 0.15 2.5118851 0.4 4.4668322 0.65 7.9432732 0.9 1.4330122 0.15625 2.5482954 0.40625 4.5315798 0.65625 8.0584125 0.90625 1.4537840 0.1625 2.5852334 0.4125 4.5972660 0.6625 8.1752208 0.9125 1.4748569 0.16875 2.6227069 0.41875 4.6639042 0.66875 8.2937223 0.91875 1.4962353 0.175 2.6607236 0.425 4.7315085 0.675 8.4139415 0.925 1.5179235 0.18125 2.6992913 0.43125 4.8000926 0.68125 8.5359032 0.93125 1.5399261 0.1875 2.7384181 0.4375 4.8696709 0.6875 8.6596329 0.9375 1.5622476 0.19375 2.7781120 0.44375 4.9402578 0.69375 8.7851560 0.94375 1.5848927 0.2 2.8183813 0.45 5.0118678 0.7 8.9124986 0.95 1.6078661 0.20625 2.8592343 0.45625 5.0845158 0.70625 9.0416870 0.95625 1.6311724 0.2125 2.9006794 0.4625 5.1582169 0.7125 9.1727481 0.9625 1.6548166 0.21875 2.9427254 0.46875 5.2329863 0.71875 9.3057089 0.96875 1.6788035 0.225 2.9853808 0.475 5.3088395 0.725 9.4405970 0.975 1.7031381 0.23125 3.0286545 0.48125 5.3857922 0.73125 9.5774403 0.98125 1.7278254 0.2375 3.0725554 0.4875 5.4638603 0.7375 9.7162673 0.9875 1.7528706 0.24375 3.1170927 0.49375 5.5430601 0.74375 9.8571065 0.99375 Tabela 6.3: Logaritmos decimais
- 241. x log x x log x x log x x log x 9.9999872 1.0 17.782765 1.25 31.622716 1.5 56.234007 1.75 10.144939 1.00625 18.040530 1.25625 32.081093 1.50625 57.049130 1.75625 10.291992 1.0125 18.302031 1.2625 32.546115 1.5125 57.876069 1.7625 10.441176 1.01875 18.567323 1.26875 33.017878 1.51875 58.714994 1.76875 10.592523 1.025 18.836460 1.275 33.496478 1.525 59.566079 1.775 10.746064 1.03125 19.109498 1.28125 33.982017 1.53125 60.429502 1.78125 10.901830 1.0375 19.386494 1.2875 34.474593 1.5375 61.305439 1.7875 11.059854 1.04375 19.667505 1.29375 34.974309 1.54375 62.194074 1.79375 11.220169 1.05 19.952590 1.3 35.481268 1.55 63.095589 1.8 11.382808 1.05625 20.241806 1.30625 35.995577 1.55625 64.010173 1.80625 11.547804 1.0625 20.535215 1.3125 36.517340 1.5625 64.938013 1.8125 11.715191 1.06875 20.832878 1.31875 37.046666 1.56875 65.879302 1.81875 11.885006 1.075 21.134854 1.325 37.583665 1.575 66.834236 1.825 12.057281 1.08125 21.441208 1.33125 38.128447 1.58125 67.803012 1.83125 12.232054 1.0875 21.752003 1.3375 38.681127 1.5875 68.785830 1.8375 12.409360 1.09375 22.067302 1.34375 39.241817 1.59375 69.782894 1.84375 12.589236 1.1 22.387172 1.35 39.810635 1.6 70.794411 1.85 12.771719 1.10625 22.711679 1.35625 40.387699 1.60625 71.820590 1.85625 12.956848 1.1125 23.040889 1.3625 40.973126 1.6125 72.861644 1.8625 13.144660 1.11875 23.374872 1.36875 41.567040 1.61875 73.917788 1.86875 13.335195 1.125 23.713695 1.375 42.169563 1.625 74.989242 1.875 13.528491 1.13125 24.057430 1.38125 42.780819 1.63125 76.076226 1.88125 13.724589 1.1375 24.406147 1.3875 43.400935 1.6375 77.178966 1.8875 13.923530 1.14375 24.759919 1.39375 44.030041 1.64375 78.297690 1.89375 14.125354 1.15 25.118819 1.4 44.668265 1.65 79.432631 1.9 14.330104 1.15625 25.482921 1.40625 45.315740 1.65625 80.584023 1.90625 14.537822 1.1625 25.852301 1.4125 45.972601 1.6625 81.752104 1.9125 14.748550 1.16875 26.227036 1.41875 46.638983 1.66875 82.937117 1.91875 14.962334 1.175 26.607202 1.425 47.315025 1.675 84.139308 1.925 15.179216 1.18125 26.992879 1.43125 48.000865 1.68125 85.358924 1.93125 15.399241 1.1875 27.384146 1.4375 48.696647 1.6875 86.596218 1.9375 15.622457 1.19375 27.781084 1.44375 49.402515 1.69375 87.851448 1.94375 15.848907 1.2 28.183777 1.45 50.118614 1.7 89.124872 1.95 16.078640 1.20625 28.592306 1.45625 50.845094 1.70625 90.416755 1.95625 16.311703 1.2125 29.006758 1.4625 51.582104 1.7125 91.727364 1.9625 16.548145 1.21875 29.427216 1.46875 52.329797 1.71875 93.056970 1.96875 16.788014 1.225 29.853770 1.475 53.088327 1.725 94.405850 1.975 17.031359 1.23125 30.286506 1.48125 53.857853 1.73125 95.774282 1.98125 17.278232 1.2375 30.725515 1.4875 54.638534 1.7375 97.162549 1.9875 17.528684 1.24375 31.170887 1.49375 55.430530 1.74375 98.570940 1.99375 Tabela 6.4: Logaritmos decimais - continua¸˜o ca
- 242. Tabela 6.5: Tabelade logaritmos falsos x log x x log x x log x x log x 1 0.1 1.2996305 0.225 1.6890395 0.35 2.1951273 0.475 1.0065735 0.103125 1.3081736 0.228125 1.7001424 0.353125 2.2095570 0.478125 1.0131902 0.10625 1.3167729 0.23125 1.7113183 0.35625 2.2240816 0.48125 1.0198504 0.109375 1.3254287 0.234375 1.7225677 0.359375 2.2387016 0.484375 1.0265544 0.1125 1.3341415 0.2375 1.7338910 0.3625 2.2534177 0.4875 1.0333025 0.115625 1.3429115 0.240625 1.7452888 0.365625 2.2682306 0.490625 1.0400949 0.11875 1.3517391 0.24375 1.7567615 0.36875 2.2831409 0.49375 1.0469320 0.121875 1.3606248 0.246875 1.7683095 0.371875 2.2981491 0.496875 1.0538140 0.125 1.3695689 0.25 1.7799336 0.375 2.3132560 0.5 1.0607413 0.128125 1.3785717 0.253125 1.7916340 0.378125 2.3284622 0.503125 1.0677140 0.13125 1.3876338 0.25625 1.8034113 0.38125 2.3437684 0.50625 1.0747327 0.134375 1.3967554 0.259375 1.8152660 0.384375 2.3591752 0.509375 1.0817974 0.1375 1.4059370 0.2625 1.8271987 0.3875 2.3746833 0.5125 1.0889087 0.140625 1.4151790 0.265625 1.8392098 0.390625 2.3902933 0.515625 1.0960666 0.14375 1.4244817 0.26875 1.8512999 0.39375 2.4060059 0.51875 1.1032716 0.146875 1.4338455 0.271875 1.8634694 0.396875 2.4218218 0.521875 1.1105240 0.15 1.4432709 0.275 1.8757190 0.4 2.4377417 0.525 1.1178240 0.153125 1.4527583 0.278125 1.8880490 0.403125 2.4537662 0.528125 1.1251721 0.15625 1.4623080 0.28125 1.9004602 0.40625 2.4698961 0.53125 1.1325684 0.159375 1.4719205 0.284375 1.9129528 0.409375 2.4861320 0.534375 1.1400133 0.1625 1.4815962 0.2875 1.9255277 0.4125 2.5024746 0.5375 1.1475072 0.165625 1.4913355 0.290625 1.9381851 0.415625 2.5189246 0.540625 1.1550504 0.16875 1.5011388 0.29375 1.9509258 0.41875 2.5354828 0.54375 1.1626431 0.171875 1.5110065 0.296875 1.9637503 0.421875 2.5521498 0.546875 1.1702858 0.175 1.5209392 0.3 1.9766590 0.425 2.5689264 0.55 1.1779787 0.178125 1.5309371 0.303125 1.9896526 0.428125 2.5858133 0.553125 1.1857221 0.18125 1.5410007 0.30625 2.0027316 0.43125 2.6028112 0.55625 1.1935165 0.184375 1.5511305 0.309375 2.0158966 0.434375 2.6199208 0.559375 1.2013621 0.1875 1.5613269 0.3125 2.0291481 0.4375 2.6371429 0.5625 1.2092592 0.190625 1.5715903 0.315625 2.0424867 0.440625 2.6544782 0.565625 1.2172083 0.19375 1.5819211 0.31875 2.0559130 0.44375 2.6719274 0.56875 1.2252097 0.196875 1.5923199 0.321875 2.0694276 0.446875 2.6894913 0.571875 1.2332636 0.2 1.6027870 0.325 2.0830310 0.45 2.7071708 0.575 1.2413705 0.203125 1.6133230 0.328125 2.0967238 0.453125 2.7249664 0.578125 1.2495306 0.20625 1.6239282 0.33125 2.1105067 0.45625 2.7428790 0.58125 1.2577444 0.209375 1.6346031 0.334375 2.1243801 0.459375 2.7609093 0.584375 1.2660122 0.2125 1.6453482 0.3375 2.1383448 0.4625 2.7790582 0.5875 1.2743344 0.215625 1.6561639 0.340625 2.1524012 0.465625 2.7973264 0.590625 1.2827112 0.21875 1.6670507 0.34375 2.1665500 0.46875 2.8157146 0.59375 1.2911431 0.221875 1.6780091 0.346875 2.1807919 0.471875 2.8342238 0.596875
- 243. Tabela 6.6: Tabelade logaritmos falsos - continua¸˜o ca x log x x log x x log x x log x 2.8528546 0.6 3.7076569 0.725 4.8185842 0.85 6.2623792 0.975 2.8716078 0.603125 3.7320293 0.728125 4.8502592 0.853125 6.3035451 0.978125 2.8904844 0.60625 3.7565618 0.73125 4.8821425 0.85625 6.3449815 0.98125 2.9094850 0.609375 3.7812556 0.734375 4.9142353 0.859375 6.3866903 0.984375 2.9286106 0.6125 3.8061117 0.7375 4.9465391 0.8625 6.4286733 0.9875 2.9478618 0.615625 3.8311313 0.740625 4.9790552 0.865625 6.4709323 0.990625 2.9672396 0.61875 3.8563152 0.74375 5.0117851 0.86875 6.5134690 0.99375 2.9867448 0.621875 3.8816648 0.746875 5.0447301 0.871875 6.5562854 0.996875 3.0063782 0.625 3.9071810 0.75 5.0778917 0.875 6.5993832 1.0 3.0261407 0.628125 3.9328649 0.753125 5.1112713 0.878125 6.6427643 1.003125 3.0460330 0.63125 3.9587176 0.75625 5.1448703 0.88125 6.6864306 1.00625 3.0660562 0.634375 3.9847403 0.759375 5.1786902 0.884375 6.7303840 1.009375 3.0862109 0.6375 4.0109340 0.7625 5.2127324 0.8875 6.7746262 1.0125 3.1064982 0.640625 4.0372999 0.765625 5.2469983 0.890625 6.8191593 1.015625 3.1269188 0.64375 4.0638392 0.76875 5.2814895 0.89375 6.8639851 1.01875 3.1474736 0.646875 4.0905529 0.771875 5.3162075 0.896875 6.9091056 1.021875 3.1681636 0.65 4.1174422 0.775 5.3511536 0.9 6.9545227 1.025 3.1889895 0.653125 4.1445082 0.778125 5.3863295 0.903125 7.0002383 1.028125 3.2099524 0.65625 4.1717522 0.78125 5.4217366 0.90625 7.0462545 1.03125 3.2310531 0.659375 4.1991753 0.784375 5.4573764 0.909375 7.0925731 1.034375 3.2522924 0.6625 4.2267786 0.7875 5.4932506 0.9125 7.1391962 1.0375 3.2736714 0.665625 4.2545634 0.790625 5.5293605 0.915625 7.1861258 1.040625 3.2951909 0.66875 4.2825308 0.79375 5.5657078 0.91875 7.2333639 1.04375 3.3168519 0.671875 4.3106821 0.796875 5.6022941 0.921875 7.2809125 1.046875 3.3386553 0.675 4.3390184 0.8 5.6391208 0.925 7.3287737 1.05 3.3606020 0.678125 4.3675410 0.803125 5.6761897 0.928125 7.3769495 1.053125 3.3826929 0.68125 4.3962511 0.80625 5.7135022 0.93125 7.4254419 1.05625 3.4049291 0.684375 4.4251499 0.809375 5.7510599 0.934375 7.4742532 1.059375 3.4273114 0.6875 4.4542386 0.8125 5.7888646 0.9375 7.5233853 1.0625 3.4498409 0.690625 4.4835186 0.815625 5.8269178 0.940625 7.5728403 1.065625 3.4725185 0.69375 4.5129911 0.81875 5.8652211 0.94375 7.6226205 1.06875 3.4953451 0.696875 4.5426573 0.821875 5.9037762 0.946875 7.6727279 1.071875 3.5183218 0.7 4.5725185 0.825 5.9425847 0.95 7.7231646 1.075 3.5414495 0.703125 4.6025760 0.828125 5.9816484 0.953125 7.7739330 1.078125 3.5647293 0.70625 4.6328311 0.83125 6.0209688 0.95625 7.8250350 1.08125 3.5881621 0.709375 4.6632851 0.834375 6.0605477 0.959375 7.8764730 1.084375 3.6117489 0.7125 4.6939392 0.8375 6.1003868 0.9625 7.9282491 1.0875 3.6354908 0.715625 4.7247949 0.840625 6.1404878 0.965625 7.9803655 1.090625 3.6593887 0.71875 4.7558534 0.84375 6.1808524 0.96875 8.0328245 1.09375 3.6834438 0.721875 4.7871161 0.846875 6.2214823 0.971875 8.0856284 1.096875
- 244. y = x*x 100 ’data’ 80 60 40 20 0 −10 −5 0 5 10 Figura 6.10: Alguns pontos do gr´fico x → x2 a
- 245. y = x*xdelta = 0.5 100 ’data’ 80 60 40 20 0 −10 −5 0 5 10 Figura 6.11: Um gr´fico com mais densidade x → x2 a
- 246. y=x*x − altadensidade 100 ’data’ 80 60 40 20 0 −10 −5 0 5 10 Figura 6.12: Gr´fico de x → x2 com alta densidade a translação de uma parábola 180 ’data’ 160 140 120 100 g=f a 80 60 40 20 0 −10 −5 0 3 5 10 f a raíz da translatada Figura 6.13: Uma par´bola e sua transla¸ao a c˜
- 247. translações da parábola 180 ’data’ f ’data2’ ’data3’ 160 fa 140 120 f −21 a 100 80 60 40 20 0 −20 −40 −10 −5 0 5 10 Figura 6.14: duas transla¸oes c˜ homotetias da parábola padrão 60 ’data5’ ’data6’ ’data7’ ’data8’ 40 2x 2 ’data’ ’data1’ ’data2’ ’data3’ ’data4’ x2 20 0 −x2 −20 −40 2 −2x −60 −80 −4x2 −100 −6 −4 −2 0 2 4 6 Figura 6.15: Homotetias da par´bola padr˜o a a
- 248. graficos de funçõeslogaritmo 6 ’OXY’ f1(x) f3(x) f4(x) f5(x) f7(x) 4 2 0 −2 −4 −6 −5 0 5 10 15 20 Figura 6.16: logaritmos base a; a ∈ { 5 , 1 , 2, e, 10} 1 2 y = log (x) ; b 1 b 1 Figura 6.17: Primeira vers˜o do gr´fico do logaritmo - base maior do que 1 a a
- 249. 3 2 1 1 2 4 8 −1 y = log (x) 2 −3 Figura 6.18: Gr´fico do y = log2 (x) com os pontos de coordenadas inteiras salientados. a
- 251. Cap´ ıtulo 7 N´ meros Complexos u No esfor¸o para resolver equa¸oes que nos tempos modernos se pode dizer c c˜ que come¸a com Cardano, s´culo 16, os matem´ticos criaram aos poucos uma c e a entidade estranha, chamada n´ mero imagin´rio, que apareceu como solu¸ao u a c˜ da equa¸ao do segundo grau. c˜ Com os n´ meros imagin´rios se criaram os “n´ meros complexos” outro tipo u a u estranho que funcionava muito muito bem como se fosse um n´ mero... u 7.1 Incompletitude alg´brica de R e A f´rmula para resolver equa¸oes do segundo grau produz a solu¸ao o c˜ c˜ √ −b± b2 −4ac x= 2a ; ∆ = b2 − 4ac, (7.1) √ −b± ∆ x= 2a ; (7.2) (7.3) Se ∆ for negativo a equa¸ao n˜o tem solu¸oes reais. Aos poucos os ma- c˜ a c˜ tem´ticos foram experimentando a id´ia de aceitar um √ √ a e significado para ∆ ; ∆ 0 come¸ando com uma pequena experiˆnicia, i = −1 estendendo c e a regra estrita sobre raizes: √ √ √ xy = x y ; x, y ≥ 0 que valia apenas quando x, y ≥ 0. Com esta estens˜o se poderia calcular a √ √ √ −4 = −1 4 = i · 2 e enfim, qualquer raiz de n´ mero real, positivo ou negativo, poderia agora ser u calculada. Em particular, as equa¸˜es do segundo grau passam a ter sempre solu¸˜o apesar de co ca que, cuidadosamente, se acrescente a observa¸˜o, “raizes imagin´rias” quando ∆ 0. ca a Por exemplo, 4x2 − 12x + 25 = 0 ⇒ ∆ = −256 x′ =12+16i 8 ; x′′ = 12−16i 8 ′ 3 ′′ 3 x = 2 + 2i; x = 2 − 2i 249
- 252. em que vemosaparecer um “n´mero” do tipo u z = a + bi, formado por um par de n´meros reais separados pela unidade imagin´ria i . u a Defini¸˜o 53 Parte real e parte imagin´ria ca a Dado um n´mero complexo u = a + bi = (a, b) designamos u • parte imagin´ria Im(u) = b ∈ R a • parte real Re(u) = a ∈ R Observe que Re, Im s˜o duas fun¸˜es definidas em C e tomando valores em R. a co Um “n´ mero” desta forma se chama “n´mero complexo” e foram precisos v´rios u u a s´culos para que eles fossem admitidos como um n´mero comum, sem complexos. e u 7.1.1 Algebra dos n´ meros complexos u Repetindo o que fizeram os nossos antepassados, os n´meros complexos foram inicial- u mente tratados como uma express˜o alg´brica em que i era considerado como uma a e “vari´vel” mas obedecendo a regra a √ −1 = i ⇐⇒ i2 = −1. (7.4) Assim, u = 2 + 3i, v = 5 − 2i s˜o somados segundo as regras da ´lgebra: a a • “quem tem “i” ´ somado com quem tem “i” e • e os que n˜o tiverem “i” s˜o somados entre si”: a a u + v = (2 + 3i) + (5 − 2i) = (2 + 5) + (3 − 2)i = 7 + i e de maneira semelhante, usando as regras da ´lgebra, se procede com a multiplica¸˜o: a ca (2 + 3i)(5 − 2i) (7.5) 2 +3i 5 −2i 10 15i (7.6) −4i −6i2 10 +11i −6(−1) 16 +11i Usando estas regras da ´lgebra podemos escrever uma defini¸˜o formal para a a ca adi¸˜o e para a multiplica¸˜o de n´meros complexos: ca ca u Defini¸˜o 54 Adi¸˜o de n´meros complexos ca ca u Dados dois n´meros complexos u u = a + bi ≡ (a, b) (7.7) v = c + di ≡ (c, d) (7.8) u + v = (a + c, b + d) (7.9) ≡ u + v = (a + c) + (b + d)i (7.10)
- 253. somam-se os termossemelhantes, a soma se faz “coordenada por coordenada”: somam- se as partes reais e as partes imnagin´rias entre si. Portanto a Re(u + v) = Re(u) + Re(v) ; Im(u + v) = Im(u) + Im(v) De agora em diante vamos usar de forma mais intensa a equivalˆncia entre as duas e formas de escrever um n´mero complexo: u express˜o alg´brica C ∋ v = c + di ≡ (c, d) ∈ R2 entidade geom´trica. a e e (7.11) Observe que a ultima parte na express˜o acima, (c, d) ∈ R2 , ´ uma representa¸˜o ´ a e ca geom´trica para os n´meros complexos, uma vez que estamos dizendo que existe um e u ponto do plano, (c, d) ∈ R2 (7.12) que ´ “equivalente” ao n´mero complexo e u c + di ∈ C. (7.13) Ali´s, quando foi descoberta a representa¸˜o geom´trica para os n´meros comple- a ca e u xos, um salto qualitativo foi dado. Como eles tinham uma representa¸˜o geom´trica, ca e n˜o podiam ser t˜o estranhos como no come¸o pareciam. Observe a figura (fig. 7.1), a a c nela h´ alguns n´meros complexos representados no plano. a u −3 +3 .6 i 2i 3+ 3+i −3+0i 3+0i 3− 2i 3i − −1 Figura 7.1: Representa¸ao geom´trica dos complexos c˜ e
- 254. a + bi c + di (ac − bd) + (a Figura 7.2: Produto de n´ meros complexos u Defini¸˜o 55 Produto de n´meros complexos ca u Dados dois n´meros complexos u = a + bi, v = c + di o produto deles ´: u e uv = (ab − bd) + (ad + bc)i 7.1.2 A representa¸˜o geom´trica dos complexos ca e Falamos acima na equivalˆncia e C ∋ v = c + di ≡ (c, d) ∈ R2 , (7.14) o par (c, d) era um ponto do plano e assim estavamos representando um n´mero com- u plexo com uma entidade geom´trica, um ponto. e Os n´ meros complexos trouxeram, para o reino dos n´meros, os conceitos da u u geometria: ˆngulo, m´dulo, dire¸˜o e sentido, e a F´ a o ca ısica, desde cedo, lan¸ou m˜o c a deles, com muito sucesso, por exemplo, na eletricidade. A figura (fig. 7.3) descreve v´rios dos aspectos geom´tricos dos n´meros complexos. a e u A pr´xima lista ´ um laborat´rio que deve preparar a sua intui¸˜o para as cons- o e o ca tru¸˜es que faremos depois. co Exerc´ ıcios 32 O plano complexo. 1. Encontre as solu¸˜es da equa¸˜o: x2 − 3x + 1 = 0. co ca 2. Encontre as solu¸˜es da equa¸˜o: x2 + 1 = 0. co ca 3. Verifique, experimentando na equa¸˜o, que os n´meros i, −i s˜o solu¸˜es da ca u a co equa¸˜o x2 + 1 = 0. ca 4. Teste as solu¸˜es que vocˆ tiver encontrado para co e x2 − 3x + 1 = 0 substituindo na equa¸˜o. ca 5. Some algebricamente e represente geometricamente: u+v; a) u = 3 + 2i; v = 2 + 3i b) u = 3 − 2i; v = 3 + 2i c) u = 3 + 2i; v = −3 − 2i d) u = 3 − 2i; v = 2i − 3 e) u = 2i − 3; v = 3 − 2i f ) u = 2 − 3i; v = 3i − 2 6. Efeitos da multiplica¸˜o ca
- 255. |z|=|w|=3 α arg(z)= z β α 3 w β arg(w)= w+z = 0 Figura 7.3: (a) Multiplique 3 + 2i pelos inteiros 2,3,5,10. Represente geometricamente os resultados. (b) Multiplique 3 + 2i por 2i, 3i, 5i,10i. Represente geometricamente os resul- tados. Elabore uma teoria a partir da semelhan¸a dos resultados obtidos. c 7. Verifique que o n´mero complexo 1 + 0i ´ o elemento neutro da multiplica¸˜o. u e ca 8. Calcule o inverso multiplicativo, x + iy, de 3 + 2i e represente ambos geometri- camente. 9. Calcule o inverso multiplicativo, x + iy, de a + bi Resposta a x = a2 +b2 (7.15) y = a2−b 2 +b 10. Multiplique 3 + 2i por 3 + 2i e represente geometricamente o resultado. 11. Multiplique 3 + 2i por 3 − 2i e represente geometricamente o resultado. 12. M´dulo de um n´mero complexo o u Uma das raz˜es que tornam os n´ meros complexos um tipo de n´mero a “estranho”, o u u ´ o seu envolvimento com a geometria. Como um n´ mero real, os n´meros comple- e u u xos tem m´dulo, mas neste caso o m´todo de c´lculo se deduz direto do Teorema de o e a Pit´goras. a Defini¸˜o 56 M´dulo do n´mero complexo a + bi. ca o u √ ||(a + bi)|| = a2 + b2
- 256. (a) Calcule om´dulo de u o 1+2i u = 3 + 2i , 2 + 3i, 3 − 2i, 2 − 3i, 0.3 + 0.2i, 4 1 (b) Calcule o m´dulo de u quando o 1+2i u = 3 + 2i, 2 + 3i, 3 − 2i, 2 − 3i, 0.3 + 0.2i, 4 (c) Verfique, em cada caso, nos itens anteriores, que vale a rela¸˜o ca 1 1 | |= u |u| a 1 (d) Verifique tamb´m, em cada caso acima, que se |u| 1 ent˜o | u | 1. e (e) Verifique que podemos substituir ”ent˜o”por ”se e somente se”no item an- a terior. 13. distˆncia Observe que nos reais, |a − b| ´ a distˆncia, d(a, b), entre os dois a e a n´meros a, b. Da mesma forma, entre dois n´meros complexos u, v a distˆncia u u a entre eles vem do Teorema de Pit´goras e ´ o m´dulo da diferen¸a |u − v|. Fa¸a a e o c c alguns exerc´ıcios para adquirir intui¸˜o: ca (a) Encontre o lugar geom´trico dos n´meros complexos u tal que e u |u| = 1. (b) Encontre o lugar geom´trico dos n´meros complexos u tal que e u |u| = 2. (c) Encontre o lugar geom´trico dos n´meros complexos u tal que e u |u − 3| = 1. (d) Encontre o lugar geom´trico dos n´meros complexos u tal que e u |u − 3| = 2. (e) Encontre o lugar geom´trico dos n´meros complexos u tal que e u |u − (2 + 3i)| = 1. (f ) Encontre o lugar geom´trico dos n´meros complexos u tal que e u |u − (2 + 3i)| = 2. 14. a solu¸˜o do exerc´ ca ıcio anterior Pontos equidistantes de um ponto dado se en- contram sobre um c´ ırculo. Em todos os casos, o lugar geom´trico eram c´ e ırculos. Traduza as quest˜es anteriores com a linguagem da equa¸˜o de c´ o ca ırculos, no plano 2 R . 15. Potˆncias de i e (a) Calcule as 10 primeiras potˆncias de i e encontre uma lei forma¸˜o que e ca estas potˆncias obedecem. e
- 257. (b) Escolha abaixoqual ´ o resultado imposs´ para a soma e ıvel in − im ; n, m ∈ N 2 -2 0 i 2i -2i 16. Rela¸˜es de Girard, caso complexo Mostre que as rela¸˜es de Girard, tamb´m co co e s˜o v´lidas para ra´ a a ızes complexas isto ´, quando ∆ 0. e Para a equa¸˜o x2 + bx + c = 0, a = 1, temos ca b (a) S = x1 + x2 = − a = −b c (b) P = x1 · x2 = a =c Assim, a equa¸˜o x2 + bx + c = 0, pode ser escrita da seguinte forma: ca x2 − Sx + P = 0. 17. Encontre uma equa¸˜o do segundo grau cujas ra´ ca ızes somem 6 e o produto seja 13. 7.2 N´meros complexos: extens˜o dos reais u a Um n´ mero complexo ´ um par de n´ meros reais, portanto co¨ u e u ıncide, com o conjunto, com o R2 : C ≡ R2 . A diferen¸a ´ que existe em C uma multiplica¸ao que estende a multiplica¸ao c e c˜ c˜ dos n´ meros reais u Usaremos as duas nota¸oes para um n´ mero complexo c˜ u (a, b) ≡ a + bi sem mais nos preocuparmos com observa¸oes a respeito. c˜ A figura (fig. 7.4) p´gina 252, combina v´rios fatos geom´tricos e alg´bricos dos a a e e n´meros complexos. Vamos fazer aqui um resumo deles: u
- 258. 2 2 a + b (a,b) w z+ z d) α w (c, β (r,0) z+w=(a+c,b+d) arg(w) = β Figura 7.4: Propriedades dos n´ meros complexos u Dado um n´mero complexo z = (a, b) diremos u • parte real a ´ a parte real de z; e a = Re(z) • parte imagin´ria b ´ a parte imagin´ria de z ; a e a b = Im(z) • m´dulo O n´mero complexo z = (a, b) determina com a origem (0, 0) um segmento o u do plano que usamos para visualizar o n´mero complexo z. O comprimento deste u segmento ´ e |z| = a2 + b2 o m´dulo de z. o • argumento de um n´mero complexo ´ ˆngulo que ele determina com o conjunto dos u e a n´meros reais. Se um n´mero complexo for real, o seu argumento pode ser zero ou u u π. Na figura (fig. 7.4) o argumento de w ´ β e o argumento de z + w ´ α. e e arg(w) = β ; arg(z + w) = α • Os n´meros reais u 1. O conjunto dos n´meros reais positivos ´ o subconjunto de C formado pelos u e n´meros complexos cuja parte imagin´ria ´ zero, e argumento zero, u a e R = {(x, y) ; y = 0} = {(x, 0) ; x ∈ R ; arg(x) = 0} ´ o semi-eixo positivo OX + e 2. O conjunto dos n´meros reais negativos ´ o subconjunto de C formado pelos u e n´meros complexos cuja parte imagin´ria ´ zero e o argumento ´ π: u a e e R = {(x, y) ; y = 0} = {(x, 0) ; x ∈ R ; arg(x) = π} ´ o semi-eixo positivo OX − e Teorema 74 Extens˜o da multiplica¸˜o dos reais a ca A multiplica¸˜o de n´meros complexos ´ uma extens˜o da multiplica¸˜o de n´meros ca u e a ca u reais. Dem :
- 259. Dados dois n´meroscomplexos u z = (a1 , b1 ) = a1 + b1 i, w = (a2 , b2 ) = a2 + b2 i temos zw = (a1 , b1 )(a2 , b2 ) = (7.16) (a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + a2 b1 ) = (7.17) a1 a2 − b1 b2 + (a1 b2 + a2 b1 )i (7.18) Considere agora dois n´mero reais: r1 , r2 . Eles determinam os dois n´meros complexos u u z = (r1 , 0), w = (r2 , 0). Se os multiplicarmos vamos ter z, w ∈ R (7.19) zw = (r1 , 0)(r2 , 0) = (7.20) (r1 r2 − 0, 0) = (7.21) r1 r2 + 0i = r1 r2 = zw ∈ R (7.22) (7.23) Como ℑ(r1 r2 , 0) = 0 podemos dizer, com certo abuso de linguagem, que (r1 r2 , 0) ∈ R Consequentemente o produto de dois n´meros complexos que sejam reais resulta no pro- u duto dos n´meros reais que eles representam. Assim dizemos que a multiplica¸˜o de n´meros u ca u complexos ´ uma exten¸˜o da multiplica¸˜o dos n´meros reais. e ca ca u q.e.d . Como C ≡ R2 ent˜o o conjunto dos n´meros complexos ´ um grupo abeliano com a u e a adi¸˜o de pares ordenados que j´ conhecemos. ca a Vamos agora resolver o exerc´ (ex. , 8), p´gina 249. Adotaremos uma express˜o ıcio a a mais geral: calcular o inverso de (a, b). Por defini¸˜o, o n´mero complexo (x, y) ser´ o inverso multiplicativo de (a, b), se, ca u a e somente se, o produto dos dois for o elemento neutro da multiplica¸˜o (1, 0) = 1 + 0i. ca Vamos for¸ar esta igualdade para determinar (x, y) : c (x, y)(a, b) = (ax − by, ay + bx) = (1, 0) ≡ (7.24) 2 2 ax − by = 1 abx − b y = b a x − aby = a ≡ ≡ ≡ ⇒ (7.25) bx + ay = 0 abx + a2 y = 0 b2 x + aby = 0 (a2 + b2 )y = −b ; (a2 + b2 )x = a ⇒ (7.26) −b a y= a2 +b2 ; x= a2 +b2 (7.27) Se o n´mero complexo (a, b) = (0, 0) a solu¸˜o encontrada ´ poss´ o que demon- u ca e ıvel tra o teorema: Teorema 75 Inverso multiplicativo em C Todo n´mero complexo (a, b) = (0, 0) tem um inverso multiplicativo em C que ´ u e da forma 1 a −b =( 2 , 2 a2 + b 2 ) (a, b) a +b
- 260. Podemos simplificar aexpress˜o do inverso se adotarmos uma nota¸˜o que depois a ca ser´ muito util: a ´ Defini¸˜o 57 Conjugado de um n´mero complexo ca u Chamamos de conjugado de z = (a, b) ao n´mero complexo z = (a, −b) u Observe na figura (fig. 7.5) o n´mero complexo z, o seu conjugado, o seu inverso u aditivo e sua proje¸˜o em S1 . ca S 1 é o círculo unitário z α = arg(z) 1 S z/|z| α −α 3 1 −z z* z* = z Figura 7.5: Conjugado de um n´ mero complexo u Em alguns textos o conjugado z de z ´ designado por z ∗ . e Vejamos agora que 1 1 1 z = (a,b) = a2 +b2 (a, −b) = (7.28) 1 1 z = a2 +b2 z (7.29) 1 1 z = |z|2 z (7.30) 1 z z = |z|2 (7.31) e agora, atendendo a promessa de resolver o (ex. , 8) temos o inverso multiplicativo de 3 + 2i = (3, 2) ´ e z = (3, 2) → z = (3, −2) (7.32) z = (3, 2) → |z|2 = 32 + 22 = 13 (7.33) 1 1 z = (3, 2) → z = 13 (3, −2) = ( 13 , −2 ) 3 13 (7.34)
- 261. Podemos usar aultima express˜o da sequˆncia de equa¸˜es acima para mostrar ´ a e co um uso frequente do “conjugado”, veja a sequˆncia e z = (a, b) ; z = (a, −b) ; zz = a2 + b2 = |z|2 (7.35) 1 z z = zz (7.36) 1 z z z = zz = |z|2 (7.37) que mostra que podemos usar o conjugado para fazer surgir um n´mero real no deno- u minador, o que, muitas vezes, ´ util. e´ O pr´ximo teorema reune as propriedades do conjungado: o Teorema 76 Propriedades da conjuga¸˜oca Considere os n´meros complexos u, v e o n´mero real λ. u u 1. Linearidade (a) u + v = u + v (b) λu = λu 2. reflexividade u = u 3. produto uv = uv u u 4. divis˜o a v = v 5. reais Se u = u se e somente se u ∈ R. Exerc´ ıcios 33 1. Resolva as equa¸˜es co a)4z = −5 b) (4 + 3i)z = −5 c) 4z 2 + 2z = −1 d) z 2 = −1 z e)(4 + 3i)z = −2i f ) 4+3i = −50 g) z 2 = 1 h) z 2 + 2z = 1 i) z+5−3i = 0 3−2i j) 3z + i = 5z − 7 k) z 2 + 3z = −10 l) 4z 2 = 1 2. forma polar de um n´mero complexo u (a) m´dulo o Calcule o m´dulo dos n´meros complexos dados abaixo: o u 1+i a)2 + 3i b) 2 − 3i c)0.4 + 0.2i d) 2 (b) argumento Calcule a proje¸˜o dos n´meros complexos abaixo, no c´ ca u ırculo trigonom´trico, e S1 . 1+i a) 2 + 3i b) 2 − 3i c) 0.4 + 0.2i d) 2 (c) m´dulo e argumento o Calcule a proje¸˜o de a + bi sobre S1 determinando quando isto n˜o for ca a poss´ ıvel. 3. forma matricial I Mostre que o produto dos n´meros complexos a + bi por x + iy, nesta ordem, u equivale ao produto de matrizes a −b x (a + bi)(x + iy) ≡ · (7.38) b a y
- 262. 4. forma matricialII Mostre que o produto dos n´meros complexos a + bi por x + iy, nesta ordem, u equivale ao produto de matrizes x y (a + bi)(x + iy) ≡ a b · (7.39) −y x 5. produto e rota¸˜o ca ırculo trigonom´trico S1 , (a) Considere dois pontos A, P sobre o c´ e C ⊃ S1 ∋ A = cos(θ) + isen(θ) ≡ (cos(θ), sen(θ)) ∈ R2 (7.40) 1 2 C ⊃ S ∋ P = cos(α) + isen(α) ≡ (cos(α), sen(α)) ∈ R (7.41) Identifique no produto AP a express˜o do arco soma. a (b) Mostre que AP, nesta ordem, produz uma rota¸˜o de θ sobre o vetor P no ca sentido hor´rio (positivo). a (c) Como a multiplica¸˜o de n´meros complexos ´ comutativa, procure a con- ca u e tradi¸˜o, ou corrija o item anterior. ca (d) Conclua do item anterior que z, w ∈ S1 ⇒ zw ∈ S ırculo unit´rio ´ est´vel sob a multiplica¸˜o. ou seja, o c´ a e a ca (e) O grupo dos complexos de m´dulo 1 Verifique que S, o conjunto dos n´meros o u complexos de m´dulo 1, ´ um grupo comutativo com a multiplica¸˜o. o e ca 7.3 M´dulo, argumento e conjugado o Vamos formalizar algumas experiˆncias que foram feitas nas se¸oes preceden- e c˜ tes: parece que o produto de n´meros complexos pode ser descrito de uma u forma geom´trica. Vamos ver que de fato ´ assim e deduzir as propriedades e e do produto, de forma bem simples, usando a representa¸ao geom´trica. c˜ e 7.4 Intepreta¸˜o geom´trica do produto ca e H´ duas largas estradas correndo em paralelo: Os n´meros complexos, um par de a u n´meros reais da forma a + bi e um puro par de n´meros reais (a, b). u u S˜o, em essencia, duas coisas diferentes, com propriedades distintas mas tamb´m a e com muita coisa em comum. Por exemplo • em C tem um multiplica¸˜o ca • em R2 n˜o tem nenhuma multiplica¸˜o a ca • a adi¸˜o em C ´ exatamente a mesma adi¸˜o de R2 ca e ca
- 263. (cos s +i sen s) (a,b) 1 S s (c,d) t r r 1 2 (cos t + i sen t) |(a,b)| = r Figura 7.6: A proje¸ao de a + bi sobre S1 . c˜ A forma polar de um n´mero complexo u Um dos exerc´ıcios de laborat´rio que lhe foram propostos pedia que vocˆ projetasse o e 1 um n´mero complexo a + bi sobre o c´ u ırculo unit´rio S . a Geometricamente, veja a figura (fig. 7.6), podemos obter esta proje¸˜o tra¸ando ca c 1 o segmento de reta do ponto P = (a, b) ao centro de S . Algebricamente isto se faz dividindo (a, b) pelo seu m´dulo, resultando assim num o vetor de m´dulo 1, portanto, sobre S1 . Usando a nota¸˜o da (fig. 7.6), temos o ca a + bi (a, b) (cost, sent) = cost + isent = = √ |(a + bi)| a2 + b 2 Estamos vendo assim a intimidade que existe entre os n´meros complexos e a trigo- u nometria. O importante neste momento ´ escrever o caminho de volta de (cost, sent) e para o n´mero complexo (a, b) : u (a, b) = r1 (cost, sent) ; r1 = |(a, b)|. com o que obtivemos a forma polar de (a, b). Nela vemos representados os dois con- ceitos geom´tricos que formam um n´mero complexo: m´dulo e argumento. Vamos e u o re-escrever esta f´rmula colocando em evidˆncia estes dois conceitos: o e z = (a, b) = |z|(cos(arg(z)), sen(arg(z))) ; |z| = r1 = |(a, b)|. Exerc´ ıcios 34 Forma polar, trigonometria conjuga¸˜o ca 1. Verifique as igualdades abaixo e fa¸a uma representa¸˜o geom´trica das mesmas: c ca e
- 264. (a) Verifique que2Re(z) = z + z ∈ R (b) Verifique que 2iIm(z) = z − z ∈ iR (c) Verifique que zz = |z|2 ∈ R 2. Calcule (a + b)2 3. F´rmula de Moivre o (a) forma polar Quando escrevemos um n´mero complexo usando a f´rmula u o de Moivre, dizemos que usamos a forma polar do n´mero. Escreva os u n´meros u z1 = 4 + 3i ; z2 = 3 − 4i ; z3 = −3 − 4i ; z4 = 3 + 4i na f´rmula polar. o (b) potˆncia Calcule z 2 com z = r(cos(θ), sen(θ)). e (c) potˆncia Suponha que a express˜o encontrada para z 2 tamb´m valha para e a e n n+1 z . Escreva esta express˜o. Deduza a express˜o de z a a . Resposta Este exerc´ ıcio mostra, por indu¸˜o finita a f´rmula de Moivre ca o z = r(cos(θ), sen(θ)) ⇒ z n = r n (cos(nθ, sen(nθ)) (d) Use a f´rmula de Moivre para expressar cos(3θ) em fun¸˜o de cos(θ), sen(θ). o ca Solu¸˜o 4 ca cos(3θ) = Re((cos(θ) + isen(θ))3 (7.42) 3 (cos(θ) + isen(θ)) = (7.43) 3 2 2 3 = cos(θ) + 3icos(θ) sen(θ) − 3cos(θ)sen(θ) − isen(θ) = (7.44) = cos(θ)3 − 3cos(θ)sen(θ)2 + (3cos(θ)2 sen(θ) − sen(θ)3 )i (7.45) 3 2 cos(3θ) = cos(θ) − 3cos(θ)sen(θ) (7.46) 4. As raizes de um n´mero complexo u √ (a) forma polar Use a f´rmula de Moivre calcular o 3 zi com z1 = 4 + 3i ; z2 = 3 − 4i ; z3 = −3 − 4i ; z4 = 3 + 4i 5. Ache todos os valores de z ∈ C tal que z 2 + |z| = 0. 6. Encontre todos os complexos z que satisfa¸am ` condi¸˜o c a ca |z − 25i| 15 7. Qual o valor m´ximo do m´dulo do n´mero complexo z se a o u 1 |z + |=1 z 8. Resolva a equa¸˜o (1 − i)x = 2x . Solu¸˜o: ca ca (1 − i)x = 2x ⇒ √ ⇒ |1 − i|x = 2x ⇒ ( 2)x = 2x Mas a ´ ltima igualdade somente ´ poss´ e ıvel para x = 0.
- 265. 9. inteiros deGauss Defini¸˜o 58 Inteiros de Gauss ca Chamamos de inteiros de Gauss ao conjunto Z + iZ de todos os n´meros com- u plexos com parte real e parte imagin´ria inteiras. a (a) Anel dos inteiros de Gauss Verifique que o conjunto dos inteiros de Gauss com a adi¸˜o e multiplica¸˜o dos complexos ´ um anel. ca ca e (b) Verifique em particular que se z for um inteiro de Gauss, ent˜o |z|w ∈ Z a mas nem sempre |z| ∈ Z dˆ um contra-exemplo. e (c) Prove que se z for um inteiro de Gauss ent˜o qualquer potˆncia inteira de a e z tamb´m ser´ um inteiro de Gauss. e a Soluca¸˜ ca e o ıtulo 2. Logo z n ´ um Isto ´ consequˆncia direta do Teorema do Binˆmio, cap´ e e inteiro de Gauss. (d) Prove que para todo n´mero complexo e todo inteiro n vale u (|z|2 )n = (|z|n )2 Solu¸˜o: ca (|z|2 )n = (a2 + b2 )n √ n (|z|n )2 = ( a2 + b2 )2 2 (|z|n )2 = ( (a2 + b2 )n (|z|n )2 = (a2 + b2 )n (|z|2 )n = (|z|n )2 (e) Se a, b, n ∈ Z+ , prove que existem inteiros x, y tais que (a2 + b2 )n = x2 + y2 Solu¸˜o: ca O m´dulo de um inteiro de Gauss n˜o ser´, em geral, um inteiro, mas o o o a a quadrado do seu m´dulo ser´: o a z n = x + yi ´ um inteiro de Gauss e |z n |2 = |z 2 |n = |x + iy|2 = x2 + x2 ∈ Z (a2 + b2 )n = |x + iy|2 = x2 + y 2 1 10. Prove que se z + z = 2cos(α) ent˜o a 1 zn + = 2cos(nα) zn Solu¸˜o: ca z z+ |z| 1 z+ z = z + cos(α) + isen(α) 1 z+ z = 2cos(α) ⇒ z = x − isen(α)
- 266. 11. Moste quevale a f´rmula do binˆmio de Newton o o n (z + w) = n (n )z k w (n−k) ; z, w ∈ C k k=0 12. Escreva na forma polar z = cos(θ) + cos(φ) + i(sin(θ) + sin(φ)) z 2 +z+1 13. Sendo f (z) = z 4 −1 calcular f (2 + 3i). 14. Mostre que se (z − p)(z − p) = pp ent˜o o ponto z descreve um c´ a ırculo de centro no ponto p passando pela origem dos eixos. 15. Considere w = cos( 2π )+isen( 2π ). Mostre que se z1 , z2 , z3 satisfizerem a rela¸˜o 3 3 ca z1 + wz2 wz3 = 0 ent˜o eles s˜o, respectivamente, paralelos aos lados de um triˆngulo equil´tero. a a a a 16. Um n´mero complexo varia mas seus m´dulo fica compreendido entre 1 e 6. u o Calcule o m´ximo e o m´ a ınimo da fun¸˜o ca f (z) = z 2 + 3z. 1 17. Se z = 2 + i(w − w ) calcule as partes reais e imagin´rias de z em fun¸˜o das a ca partes reais e imagin´rias de w. Descreva o lugar geom´trico do ponto w quando a e z ∈ R. 18. Prove que se |z| = 1 ent˜o Re( 1−z ) = 0 a 1+z 7.5 Raizes de um n´mero complexo u Quando calculamos a raiz quadrada de um n´mero real u positivo, somos conduzidos a dois resultados, com sinais opostos. Um n´mero real positvo tem duas raizes qua- u dradas que s˜o sim´tricas em rela¸˜o ` origem dos eixos. a e ca a Na verdade uma tem argumento (ˆngulo) zero e a outra a tem argumento 2π = π. 2 Os n´meros complexos nos conduzem a uma genera- u liza¸˜o deste fato porque todo n´mero complexo tem n ca u ra´ızes e-n´simas. e Esta quest˜o ´ geometrica, por natureza, e os n´meros a e u complexos nos conduzem assim a desvendar os segredos ´ da Geometria, onde a Geometria e Algebra se encontram. Considere a figura (fig. ??), nela podemos ver S1 particionada por um triˆngulo a equil´tero em trˆs partes. Os trˆs n´meros complexos que aparecem al´ s˜o: a e e u ı a
- 267. S1 cos 2π + i sen 2π cos 0 + i sen 0 Figura 7.7: As ra´ ızes da unidade 1 = cos(2π) + isen(2π) (7.47) cos( 2π ) + isen( 2π ) 3 3 (7.48) cos( 4π ) + isen( 4π ) 3 3 (7.49) 1 ≡ cos( 6π ) 3 6π + isen( 3 ) ≡ cos(2π) + isen(2π) (7.50) Oberve que na ultima equa¸˜o usamos o sinal de equivalˆncia, e n˜o de igualdade. ´ ca e a Porque, na verdade, os dois n´meros complexos s˜o diferentes, uma vez que tem u a argumentos diferentes. Ocorre que n´meros diferentesn ocupem o mesmo lugar geom´trico, mas eles s˜o u e a diferentes. Se aplicarmos a qualquer destes n´meros a f´rmula de Moivre elevando a terceira u o potˆncia, o resultado ir´ ocupar o mesmo lugar geom´trico. e a e √ Por defini¸˜o, ca n a ´ um n´mero b tal que bn = a. Consequentemente, qualquer um e u dos n´meros u 1 ≡ cos(2π) + isen(2π) (7.51) cos( 2π ) 3 + isen( 2π ) 3 (7.52) 4π 4π cos( 3 ) + isen( 3 ) (7.53) uma ra´ de 1 ≡ cos(2π) + isen(2π). ´ ız
- 268. Observa¸˜o 36 Equivalˆnncia,classes de equivalˆncia ca e e Aqui h´ uma evidente confus˜o, confus˜o esta com que vocˆ esta inteiramente acostu- a a a e mado, veja 2 4 8 ≡ ≡ ≡ .... 3 6 12 2 que vocˆ olha sem torcer o nariz. Sˆo equivalˆncias. E destas fra¸˜es todas vocˆ elege e a e co e 3 como representante de classe de todas as outras. 2 3 ´ a forma mais simples de escrever qualquer uma das fra¸˜es da lista anterior. e co Da mesma forma os n´meros complexos se podem escrever de muitas formas, cada vez que u dermos uma volta completa em um c´ ırculo encontramos outra express˜o do mesmo n´mero a u complexo. Com outro argumento, claro, como 4 8 ≡ 6 12 que tˆm numeradores e denominadores diferentes, mas representam o mesmo n´mero raci- e u onal, embora funcionalmente signifiquem coisas distintas, num caso dividimos alguma coisa em 12 partes e consideramos 8 delas, enquanto que no outro caso dividimos outra coisa em 6 partes, considerando 4 delas. S˜o fun¸˜es diferentes, mas equivalentes no sentido de que representam a mesma quan- a co tidade. A pergunta que se imp˜e, ´, como vamos descobrir as ra´ o e ızes de um n´mero com- u plexo. O m´todo pode ser geom´trico, depois o iremos algebrizar. e e Na figura (fig. ??), p´gina ??, desenhamos um triˆngulo equil´tero inscrito na a a a circunferˆncia S1 porque queriamos as ra´ e ızes terceiras da unidade. Um dos v´rtices e se encontra sobre o n´mero cujas ra´ u ızes procuramos. A figura (fig. 7.8) vocˆ pode e ver que, com um quadrado, um pol´ ıgono regular convexo de quatro lados, inscrito no c´ ırculo trigonom´trico, n´s calculamos as quatro ra´ e o ızes da unidade. Esta constru¸˜o que fizemos tem um v´ de partida, que vocˆ ter´ que superar: ca ıcio e a as ra´ ızes da unidade se encontram no mesmo c´ ırculo que a pr´pria unidade. o x Porque, se u = 1 ent˜o |u | = 1 para qualquer potˆncia x inteira ou n˜o. a e a O mesmo n˜o pode acontecer com outros n´meros... as ra´ de 2 se encontram em a u ızes c´ ırculos diferentes daquele em que o pr´prio 2 se encontra. Os exerc´ o ıcios que seguem ir˜o conduz´ a descobrir o resto. a ı-lo Exerc´ ıcios 35 Ra´ ızes de um n´mero complexo u √ 1. As ra´ızes c´bicas de 2, 3 2, e 2 se encontram em c´ u ırculos diferentes. Use a f´rmula de Moivre para descobrir onde elas se encontram e as determine o geom´tricamente. e Solu¸˜o: As raizes terceiras de 2 s˜o determinadas por um triˆngulo equilat´ro. ca a a e Observe a figura (fig. 7.9) onde tres retas paralelas marcam os pontos em P.G. x, x2 , x3 = 2 √ e que, portanto, x = 32. Com multiplica¸˜o geom´trica, vista na constru¸ao geom´trica de R, calculamos apro- √a c e c˜ e ximadamente 3 2. Fizemos v´rias tentativas com retas paralelas at´ encontrar trˆs a e e retas paralelas que representassem o produto de um n´mero por ele mesmo, trˆs, vezes u e
- 269. Figura 7.8: Ra´ ızes quartas da unidade de modo que a terceira reta passe por 2. Isto ´ equivalente a tentar multiplicar um e decimal por si pr´prio, tres vezes, at´ encontrar um produto pr´ximo de 2. o e o Encontramos assim o c´ırculo onde se encontram as ra´ ızes de c´bicas de 2 e inscrevemos u nele um triˆngulo equilatero com um dos v´rtices na raiz c´bica real de 2. Os demais a e u v´rtices determinam as outras duas ra´ e ızes. 2. Ra´ ızes quinta de um n´mero real Encontre as ra´ u ızes quintas de 7. Solu¸˜o: ca Com uma calculadora podemos encontrar o raio do c´ ırculo em que se encontram as raizes quintas de 7 (multiplica¸˜o geom´trica seria muito trabalhosa, como tamb´m ca e e seria trabalhoso multiplicar sete vezes um decimal por si pr´prio at´ encontra um o e n´mero suficiente pr´ximo de 7.) O raio do deste c´ u o ırculo ´ e √ 5 7 ≈ 1.4757731 A figura (fig. 7.10) nos mostra o pent´gono inscrito no c´ a ırculo de raio 1.4757731 que determina as cinco raizes de 7. 3. Calcule as raizes terceiras de 3 + 4i Solu¸˜o: ca De acordo com a f´rmula de Moivre, o 2π 2π 3 + 4i = 5(cos(atan(4/3) + isen(atan(4/3)) = 5(cos() + isen( )) 3 3 √3 Agora deveremos inscrever um triˆngulo num c´ a ırculo de raio 5 tendo o “v´rtice e inicial” correspondendo ao argumento 2π 3 2π = . 3 9
- 270. cos p/3 +i sen p/3 1.25992 1 2 cos 2p/3 + i sen 2p/3 p = 2π Figura 7.9: As ra´ ızes terceiras de 2 Os demais argumentos ser˜o os elementos da progress˜o geom´trica de raz˜o a a e a 2π 3 (ˆngulo central do triˆngulo equil´tero) tendo como primeiro termo (da P.A.) 2π , a a a 9 porque quando vocˆ somar tres a raz˜o, ir´ estar de volta no ponto inicial, (percorreu e a a os v´rtices do triˆngulo), est´ em cima da reta determinada por arg(3+4i) com a e a a 3 origem. 2π 2π 2π 2π 4π , + , + 9 9 3 9 3 O resultado gr´fico ´ o que podemos ver na figura (fig. 7.11) a e N˜o estamos propondo este m´todo como algum m´todo revolucion´rio para calcu- a e e a lar ra´ en´simas. As m´quinas de calcular fazem isto mais r´pido, apenas precisamos ızes e a a saber que elas usam um algoritmo, que executado manualmente ser´ lento... se pu- a dermos traduzir este algoritmo com um programa de computador e resultado tamb´m e ser´ rapidamente obtido. A pergunta final ´ “qual ´ o melhor algoritmo” e n˜o estamos a e e a tratando deste assunto aqui. Em resumo, os passos para o c´lculo geom´trico de raizes en´simas s˜o a e e a • Determina¸˜o do raio do c´ ca ırculo S que passa em n |a + bi| ∈ R • Determina¸˜o de ca arg(a + bi) θ= n
- 271. S1 1 2 1.4757731 Figura 7.10: Ra´ ızes quintas de 7 • Constru¸˜o de um pol´ ca ıgono de n lados inscrito no c´ ırculo S tendo seu primeiro v´rtice sobre o ponto que determina o ˆngulo e a arg(a + bi) θ= n em S. • os v´rtices deste pol´ e ıgono s˜o as raizes en´simas de a + bi. a e
- 272. 3+4i = 1.70997594 1 2 3 Figura 7.11: Ra´ ızes c´ bicas de 3 + 4i u
- 273. Cap´ ıtulo 8 O anel dos polinˆmios. o Neste cap´ ıtulo vamos estudar um tipo de fun¸ao que generaliza as fun¸oes c˜ c˜ “lineares afins”, “quadr´ticas”: polinˆmios. a o Iremos um pouco mais a fundo porque estudaremos o comportamento destas fun¸oes em conjunto, o conjunto dos polinˆmios, formando uma estrutura c˜ o alg´brica. e O conjunto dos polinˆmios ´ fechado para algumas opera¸oes, por exemplo o e c˜ para a soma, e forma com ela um grupo. Tamb´m vamos ver que a multiplica¸˜o ´ “defeituosa” neste conjunto, como e ca e acontece no conjunto dos n´ meros inteiros, assim, os polinˆmios com a adi¸ao u o c˜ e a multiplica¸ao, tem uma estrutura mais fraca que a de corpo, ´ um anel. c˜ e Quer dizer que o conjunto dos polinˆmios munidos da adi¸ao e da multi- o c˜ plica¸ao se assemelha a (Z, +, ·). c˜ O estudo do anel dos polinˆmios ainda ´ uma das ´rea mais efervecentes dentro da o e a constru¸˜o Matem´tica. Entre 1998 e 2001 houve um acontecimento marcante neste ca a sentido quando Andr´ Gilles anunciou a solu¸˜o do ultimo problema de Fermat, com e ca ´ alguns defeitos na solu¸˜o anunciada e, finalmente, com a vers˜o final corrigida. ca a Numa outra vertente, os polinˆmios servem para encriptar informa¸˜es. Infeliz- o co mente o conte´do deste livro n˜o ir´ t˜o longe, em nenhuma das duas dire¸˜es. u a a a co 271
- 274. 8.1 Os n´meros s˜o polinˆmios ? u a o U m professor levanta um saquinho de petecas na m˜o e, desafiante, pergunta aos alunos a quantas petecas podem ter no saquinho, enquanto escreve na quadro os n´ meros: u 1000, 100, 10 A resposta unˆnime, foi 10, pelo tamanho do saquinho. a Os alunos ficaram surpresos quando o professor disse que eram 1000 as bolinhas no saco. E explicou que na verdade havia oito, e que os valores, no quadro, “representavam” n´ meros u na base 2 e mostrou a rela¸ao entre as correspondentes “representa¸oes na base 10: c˜ c˜ base 2 1 2 4 8 base 10 1 10 100 1000 Oito, escrito na base 2 se representa com 1000. ‘‘Representavam’’ ´ a palavra chave nesta quest˜o. H´ muitas formas de representa¸ao, e a a c˜ para os elementos de uma classe de objetos. Vamos precisar deste conceito, vamos us´-lo a e explic´-lo a seguir. Mas, informalmente, “representar” ´ uma forma “atenuada” de falar a e “codificar”... No exemplo do professor, ao fazer correspondˆncias entre os valores que se podem e obter numa base ou na outra, vemos as potˆncias de 2 ou de 10. e Ao longo de sua Hist´ria, a Hunidade construir um mode de representar as quan- o tidades que chamamos de decimal e que certamente est´ intimamente ligado com a a quantidade de dedos que temos nas m˜os. Podemos facilmente inferir o m´todo que a e nossos antepassdos usaram para registrar grandes quantidades: • iam estabelecendo rela¸˜o dos objetos com os dedos das m˜os; ca a • quando dava overflow com os dedos, (quer dizer, n˜o havia mais dedos para a contar), faziam um tracinho na ´reia da pr´ia e voltam a contar com o primeiro a a dedo de novo; • depois contavam os tracinhos, cada um representando uma dezena; Claro, com o tempo, com a evolu¸˜o, e com o aumento da riqueza, foram especia- ca lizando o processo e possivelmente colocando zeros depois do tra¸o... e a´ apareceu o c ı 10. O sistema decimal se impˆs naturalmente pela facilidade operat´ria. A soma de o o 1000 com 82 tem um aparˆncia simples: o 82 ocupa os zeros do 1000 dando 1082. E e sempre foi assim, a Humanidade aproveitou aquilo que melhor desempenho tinha, ´ e uma lei da Biologia, “ao longo do desenvolvimento ficam as esp´cies mais fortes”. e Depois que as regras se estabelecem n´s seguimos atr´s de justific´-las. Vejamos o a a o que significa um n´mero na base 10, por exemplo 438: u 138 = 400 + 30 + 8 (8.1) 138 = 4 ∗ 102 + 3 ∗ 10 + 8 (8.2) 2 0 138 = 4 ∗ 10 + 3 ∗ 10 + 8 ∗ 10 (8.3)
- 275. uma soma depotˆncias de 10 com coeficientes que s˜o os algarismo. e a Se considerarmos a soma 32 ∗ 102 + 3 ∗ 10 + 8 ∗ 100 ela pode ser re-escrita como 3 ∗ 103 + 2 ∗ 102 + 3 ∗ 10 + 8 ∗ 100 (8.4) 3 2 1 0 a3 ∗ 10 + a2 ∗ 10 + a1 ∗ 10 + a0 ∗ 10 (8.5) porque deu overflow na casa das dezenas... os algarismo na base 10 somente podem ser 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 quer dizer que um n´mero, escrito na base 10 ou em qualquer outra base, ´ uma u e express˜o do tipo a an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 que chamamos polinˆmio. Os coeficientes s˜o os algarismos, n´meros menores que a o a u base. Na base 10 n˜o existe o algarismo 10. a As opera¸˜es se explicam, agora algebricamente. Para somar dois n´meros consi- co u deramos as potˆncias de mesma base para orden´-los. e a Na pr´tica dizemos, colocamos casa decimal em baixo de a casa decimal. e observamos a regra do overflow, do estouro, da casa decimal. Vamos multiplicar dois n´meros usando as regras alg´bricas para ver como elas se u e aplicam. Multiplicar 328 e 243 . 328 = 3 ∗ 102 +2 ∗ 10 +8 2 243 = 2 ∗ 10 +4 ∗ 10 +3 6 ∗ 104 +4 ∗ 103 +16 ∗ 102 +12 ∗ 103 +8 ∗ 102 +32 ∗ 101 2 9 ∗ 10 +6 ∗ 101 +24 4 2 2 1 6 ∗ 10 +16 ∗ 10 +33 ∗ 10 +38 ∗ 10 +24 e vemos que h´ v´rios estouros de casas decimais para corrigir. Podemos come¸ ar a a a c corre¸˜o por qualquer lado. Vamos come¸ar, como de h´bito pela casa das unidades. ca c a Este m´todo se verificou o mais f´cil porque vai acumulando aos poucos nas casa mais e a altas. Corrigindo o estouro nas casas decimais, temos:
- 276. 6 ∗ 104 +16 ∗ 102 +33 ∗ 102 +38 ∗ 101 +24 4 2 2 6 ∗ 10 +16 ∗ 10 +33 ∗ 10 +38 ∗ 101 +(20 + 4) 6 ∗ 104 +16 ∗ 102 +33 ∗ 102 +40 ∗ 101 +4 4 2 2 1 6 ∗ 10 +16 ∗ 10 +33 ∗ 10 +(40 + 0) ∗ 10 +4 6 ∗ 104 +16 ∗ 102 +37 ∗ 102 0 ∗ 101 +4 4 2 2 1 6 ∗ 10 +16 ∗ 10 +(30 + 7) ∗ 10 0 ∗ 10 +4 6 ∗ 104 +19 ∗ 102 +7 ∗ 102 0 ∗ 101 +4 4 2 2 1 6 ∗ 10 +(10 + 9) ∗ 10 +7 ∗ 10 0 ∗ 10 +4 7 ∗ 104 +9 ∗ 102 +7 ∗ 102 0 ∗ 101 +4 7 9 7 0 4 observe que na ultima linha, simplesmente, apagamos o operador + e as potˆncias de ´ e 10 e apareceu o resultado que qualquer m´quina de calcular vai mostrar no display. a 8.2 O que ´ um polinˆmio? e o Uma fun¸˜o linear afim, ou uma fun¸˜o quadr´tica, ambas se definem atravez de ca ca a polinˆmios. Uma fun¸˜o quadr´tica, n˜o ´ um polinˆmio, nem uma fun¸˜o linear o ´. o ca a a e o ca e “Polinˆmio” ´ uma express˜o que serve para definir fun¸˜es polinˆmiais como ´ o o e a co o e caso das fun¸˜es lineares ou das quadr´ticas. co a Para definirmos uma fun¸˜o linear1 precisamos de dois coeficientes, um po- ca linˆmio do primeiro grau, o f (x) = a + bx para definirmos uma fun¸˜o quadr´tica, precisamos de tres coeficientes, um po- ca a linˆmio do segundo grau: o g(x) = a + bx + cx2 . Tanto f como g dizem-se fun¸˜es polinˆmiais porque est˜o definidas a partir de po- co o a linˆmios. o Mas polinˆmio mesmo s˜o os coeficientes! Acabamos de fazer uma representa¸˜o2 . o a ca Se “multiplicarmos” h(x) = f (x)g(x) iremos obter uma outra fun¸˜o tamb´m ca e descrita por coeficientes que ser´ uma fun¸˜o polinomial do grau 3. Fa¸a isto agora! a ca c Calcule h. Observa¸˜o 37 Polinˆmios, opera¸˜es e estrutura ca o co Com esta ultima frase acrescentamos duas id´ias: ´ e • Opera¸˜o com polinˆmios podemos multiplicar os polinˆmios, e ca o o • classifica¸˜o dos polinˆmios eles se classificam com aux´ de um conceito cha- ca o ılio mado grau. A maneira correta de fazer referˆncia `s fun¸˜es lineares, ´ dizer que elas s˜o e a co e a fun¸˜es polinˆmiais do primeiro grau. As fun¸˜es quadr´ticas, s˜o fun¸˜es polinˆmiais co o co a a co o do segundo grau, e h ´ uma fun¸˜o polinˆmial do terceiro grau. Ainda n˜o definimos e ca o a polinˆmios! at´ aqui estamos nos mantendo nos exemplos. Vamos insistir um pouco o e mais nesta t´cnica antes de partir para a defini¸˜o. Os exerc´ e ca ıcios seguintes far˜o isto. a 1 Fun¸ao c˜ linear ´ um tipo particular de fun¸ao linear afim, mas de agora em diante vamos e c˜ cometer o erro de cham´-las todas de fun¸oes lineares. a c˜ 2 Existe uma teoria em Matem´tica chamada, teoria das representa¸oes... que ´ grande a c˜ e como a teoria dos conjuntos. N˜o precisaremos estud´-la toda para fazer algum uso dela, a a entretanto.
- 277. Exerc´ ıcios 36 Coeficientes e grau. 1. Multiplica¸˜o de polinˆmios ca o Tente descobrir um esquema para multiplicar dois polinˆmios usando apenas os o coeficientes, (fa¸a a multiplica¸˜o usual e depois apague a vari´vel...). Verifique c ca a que ´ um esquema semelhante ao da multiplica¸˜o dos n´meros. e ca u 2. representa¸˜o polinomial dos n´meros ca u (a) Um n´mero escrito na base 10 pode ser representado como se fosse um u polinˆmio, fa¸a isto e depois compare a multiplica¸˜o de dois n´mero com o c ca u a multiplica¸˜o de polinˆmios. Observe que agora os “coeficientes” tem ca o uma regra especial, identifique esta regra. (b) Justifique com a compara¸˜o feita no item anterior a quest˜o de passar ca a alguma coisa para a casa seguinte nas multiplica¸˜es. Ali´s, tente definir co a o que ´ casa. e (c) Calcule a soma de dois n´meros escritos polinomialmente e justifique a u passagem para casa seguinte quando houver algarismos desobedecendo a regra que vocˆ construiu. e 3. Um sistema de numera¸˜o complicado ca Um sistema de numera¸˜o complicado, mas que vocˆ domina completamente. ca e (a) Observe uma data ´ um sistema de numera¸˜o e ca 03/08/1998; 03 : 10 : 20 dia, mes, ano, hora, minuto, segundo . . . Quais os “algarismos” que podem ser usados em cada uma das “casas” ? (b) D´ para concluir que as datas s˜o um sistema com bases de numera¸˜o a a ca diferentes ? (c) Quais s˜o as opera¸˜es admiss´ a co ıneste sistema de n´meros ? Existe elemento u neutro? elemento inverso ? (d) Vocˆ poderia resolver a equa¸˜o e ca 03/08/1970; 22 : 30 : 59 + dd/mm/aaaa = 10/02/1999; 03 : 10 : 20 4. Verifique que n˜o precisamos tamb´m da vari´vel para somar polinˆmios, des- a e a o creva isto. 5. Construa um esquema que permita a divis˜o de dois polinˆmios usando apenas a o os coeficientes. 6. Fa¸a v´rias multiplica¸˜es, adi¸˜es e divis˜es de polinˆmios usando os esquemas c a co co o o por vocˆ construidos para usar apenas os coeficientes. e 7. Verifique qual das seguintes op¸˜es serve para representar o conjunto de todos co os polinˆmios com coeficientes reais: o • um polinˆmio ´ um elemento de Rn+1 , o e (a0 , a1 , · · · , an ) • um polinˆmio ´ uma sucess˜o de n´meros reais. o e a u • um polinˆmio ´ uma sucess˜o finita de n´meros reais. o e a u Qual ´ a diferen¸a entre a primeira e a ultima op¸˜o ? e c ´ ca 8. Tente uma defini¸˜o de grau, claro vocˆ precisa primeiro resolver a quest˜o ca e a anterior para saber onde grau est´ definido. a
- 278. 8.3 A estrutura alg´brica dos polinˆmios e o Vamos come¸ar respondendo as duas ultimas quest˜es. c ´ o O conjunto de todos os polinˆmios com coeficientes reais ´ designado com s´ o e ımbolo R[x] ´ formado de todas as sucess˜es finitas de n´meros reais. Quer dizer que e o u (a0 , a1 , · · · , an ) ∈ Rn ⊂ R[x] (8.6) n+1 (a0 , a1 , · · · , an+1 ) ∈ R ⊂ R[x] (8.7) n+100 (a0 , a1 , · · · , an+100 ) ∈ R ⊂ R[x] (8.8) a0 ∈ R ⊂ R[x] (8.9) N´s precisamos que os n´meros tamb´m sejam polinˆmios, veja a ultima linha acima, o u e o ´ poderiamos ter escrito (a0 ), mas isto seria uma nota¸˜o nada comum. Assim os ca n´meros, simplesmente, s˜o polinˆmios. Vem ent˜o a pergunta: qual seria o grau u a o a dos n´meros ? A resposta ´ que vocˆ j´ espera, os n´meros s˜o polinˆmios de grau u e e a u a o zero. O grau ´ um conceito hier´rquico dentro do conjunto dos polinˆmios3 . N´s e a o o vamos dizer que os n´meros s˜o polinˆmios de grau zero, eles tem exatamente um u a o coeficiente. O polinˆmio o (a0 , a1 , · · · , an ) ≡ a0 + a1 x + · · · + an xn ´ um polinˆmio de grau n, ele tem n + 1 coeficientes. Observe que polinˆmio e o o 1 + x3 + x5 ≡ (1, 0, 0, 1, 0, 1) tem seis coeficientes. Quando escrevemos usando “express˜o” alg´brica podemos omi- a e tir os coeficientes nulos porque a “express˜o alg´brica” garante a informa¸˜o correta. a e ca Mas 1 + x3 + x5 tem seis coeficientes e n˜o trˆs. Enfim o grau corresponde ˚ a e amaior potˆncia do polinˆmio escrito como express˜o alg´brica ou n´mero de coeficientes me- e o a e u nos 1, considerando os coeficientes nulos. Quer dizer que o R[x] deve ser entendido como um conjunto infinito de folhas, ou hiperplanos, de graus sucessivamente maiores: R[x] = R ∪ R2 ∪ R3 · · · ∪ Rn · · · Se ficassemos apenas com os polinˆmios de um certo grau teriamos uma estrutura o alg´brica deficiente. Por exemplo se nos fixassemos no conjunto dos polinˆmios do e o segundo grau. Nenhum deles poderia ter inverso aditivo porque 1 + x − x2 + (−1 − x + x2 ) n˜o seria um polinˆmio do segundo grau. Precisamos de ter polinˆmios de grau zero a o o para que a opera¸˜o acima possa ser efetuada. Se em vez de somar, multiplicarmos: ca (1 + x − x2 )(1 − x + x2 ) = 1 + x2 + 2x3 − x4 ≡ (1, 0, 1, 2, −1) vemos que o grau aumenta. Quer dizer que podemos discutir a estrutura de (R[x], +, ·) a chamada “´lgebra dos polinˆmios”. Esta estrutura ´ muito semelhante a estrutura a o e (Z, +, ·). A primeira semelhan¸a consiste na deficiˆncia da multiplica¸˜o. Como em c e ca Z, em R[x] n˜o tem inversos multiplicativos, de modo que (R[x], +, ·) ´ um anel. a e 3O grau tem o que ver com dimens˜o ... mas n˜o ´ exatamente a mesma coisa. a a e
- 279. Exerc´ ıcios 37 Propriedades do anel dos polinˆmios Dado um polinˆ mio o o n P (x) = ak x k k=0 podemos associar-lhe dois objetos diferentes: • a fun¸˜o [a, b] ∋ x → P (x) ca • a sucess˜o (a0 , · · · , an ) dos coeficientes. a Esta lista de exerc´ ıcios ´ um laborat´rio em que estes dois tipos de objetos ser˜o e o a testados em diversas circunstˆncias gerando novas estruturas. a 1. Defina a soma de dois polinˆmios, isto ´ erspecifique o algoritmo para somar o e P (x), Q(x), como se vocˆ fosse executar a soma automaticamente com um pro- e grama. 2. Mostre que a soma de polinˆmios ´ comutativa e associativa. o e 3. Mostre que no conjunto R[x] existe um elemento neutro para adi¸˜o e um ele- ca mento neutro para a multiplica¸˜o. ca 4. Mostre que (R[x], +) ´ um grupo comutativo. e 5. Mostre que todo polinˆmio tem um inverso aditivo. o 6. Escreva a f´rmula que associa o grau do multiplicando, do multiplicador e do o produto em R[x]. 7. Mostre com um exemplo que em R[x] n˜o h´ inversos multiplicativos. a a 8. Considere os polinˆmios P, Q, R e identifique P (x), Q(x), R(x) com os valores o assumidos pelas fun¸˜es definidas por cada um destes polinˆmios quando x ∈ co o [a, b] ⊂ R. Use esta representa¸˜o para demonstrar que o produto de polinˆmios ca o ´ comutativo, associativo e distributivo relativamente ˚ c˜o. e aadi¸a 9. Mostre que a multiplica¸˜o em R[x] ´ comutativa e associativa. Mostre que ca e a multiplica¸˜o ´ distributiva relativamente ˚ cao. Sugest˜o: use a repre- ca e aadi¸˜ a senta¸˜p funcional. ca 10. Fa¸a uma listagem ordenada e estruturada das propriedades de (R[x], +, ·), agrupando- c as por opera¸˜o. ca 11. Resolva as equa¸˜es abaixo indicando a propriedade utilizada em cada passagem: co a)P + 1 + x = x3 b) 4P + x3 = x − 1 c) P 4 = x + 1 2 +2 12. Tente uma solu¸˜o para as equa¸˜es abaixo indicando a propriedade utilizada ca co em cada passagem: (a) (x2 + 1)(P + 1 + x2 ) = 1 + x + 2x2 + x3 + x4 (b) xP = x2 − x3 − x5 13. A convolu¸˜o de sucess˜es ca o (a) Calcule o produto dos polinˆmios definidos abaixo com seus coeficientes na o ordem crescente (das potˆncias): e i. (1, 2, 3, 4, 5), (1, 0, 1, 0, 1, 0) ii. (1, 1, 1, 1, 1, 1) , (1, 1, 1, 1, 1, 1) iii. (a0 , a1 , a2 , a3 , a4 ) , (a0 , a1 , a2 , a3 , a4 )
- 280. iv. (a0 ,a1 , a2 , a3 , a4 ) , (b0 , b1 , b2 , b3 , b4 ) (b) Deduza da da ultima multiplica¸˜o feita acima, uma f´rmula para o termo ´ ca o geral ck do produto PQ de dois polinˆmios como uma soma envolvendo os o termos de P e de Q. (c) Chame a sucess˜o finita (a0 , a1 , a2 , a3 , a4 ) dos coeficientes do polinˆ-mio a o P de a e chame de b a sucess˜o finita dos coeficientes de Q : a a = (a0 , a1 , a2 , a3 , a4 ), b = (b0 , b1 , b2 , b3 , b4 ), Expresse a f´rmula do produto dos dois polinˆmios P, Q como uma fun¸˜o o o ca c = a ∗ b de modo que a ∗ b(k) = ck ´ o coeficiente de ordem k do polinˆmio e o P Q, (use um somat´rio para isto). o (d) Mostre que a sucess˜o finita a = (1, 0, · · · , 0) que tem todas as coordenadas a nulas, exceto a primeira, ´ a unidade relativamente ˚ e aconvolu¸˜o. ca 8.3.1 Coment´rios sobre alguns dos exerc´ a ıcios Fun¸˜es polinomiais co Nos primeiros exerc´ıcios estabelecemos uma representa¸˜o entre o conjunto dos po- ca linˆmios e um subconjunto do conjunto das fun¸˜es definidas no intervalo [a, b]. o co Vamos ver aqui o poder da generaliza¸˜o e at´ mesmo a raz˜o pela qual fazemos ca e a generaliza¸˜es ou representa¸˜es. co co Queremos demonstrar que o produto de dois polinˆmios ´ comutativo. Sejam P, Q o e os dois polinˆmios. o Vamos criar algumas nota¸˜es, palavras novas desta linguagem chamada Ma- co tem´tica que falamos. a Vamos dar um nome a este conjunto de fun¸˜es: F ([a, b]). co Observe que R[x]x∈[a,b] ⊂ F ([a, b]). Como se costuma dizer ainda, R[x]x∈[a,b] ´ um e subconjunto pr´ prio de F ([a, b]). o R[x]x∈[a,b] ∋ P → p ∈ F ([a, b]) (8.10) quer dizer: P ´ o polinˆmio, p ´ a fun¸˜o polinomial definida por P . (8.11) e o e ca R[x]x∈[a,b] ∋ P, Q → p, q ∈ F ([a, b]) (8.12) R[x]x∈[a,b] ∋ P Q → pq ∈ F ([a, b]) (8.13) pq(x) → p(x)q(x) o produto de dois n´meros reais u (8.14) pq(x) = p(x)q(x) = q(x)p(x) = qp(x) (8.15) pq → P Q ; qp → QP (8.16) se a fun¸˜o, representa¸˜o, R[x]x∈[a,b] → F ([a, b]) ca ca (8.17) for bijetiva, ent˜o podemos concluir que a (8.18) pq = qp ⇒ P Q = QP (8.19) Fizemos uma demonstra¸˜o incompleta, porque usamos uma hip´tese que n˜o foi ca o a ainda testada ou comprovada: a representa¸˜o do conjunto dos polinˆmios no conjunto ca o das fun¸˜es ´ “bijetiva”. Teremos que demonstrar esta afirma¸˜o para legalizar a co e ca demonstra¸˜o que fizemos acima. Antes de prosseguir discutindo o pr´ximo teorema, ca o
- 281. vamos discutir anota¸˜o que estamos usando. R[x] representa o conjunto de todos os ca polinˆ mios, e n´s podemos escrever um polinˆmio usando uma express˜o alg´brica: o o o a e P (x) = a0 + a2 x2 + a5 x5 ≡ (a0 , a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ) ou mais concretamente P (x) = 3 + 4x2 + 7x5 ≡ (3, 0, 4, 0, 0, 7). Se escrevermos P (x)x=2 = 3 + 16 + 224 = 243 que dizer que substituimos na express˜oa alg´brica P (x) a letra x pelo n´mero 2. Uma outra forma de escrer isto ´ simplesmente e u e P (2) = 3 + 16 + 224 = 243. Mas se quisermos indicar que x pode assumir qualquer valor no intervalo [a, b], a unica maneira de indic´-lo ´ esta que usamos acima: R[x]x∈[a,b] . Neste momento, ´ a e P ∈ R[x] ; P (x)x∈[a,b] n˜o ´ mais um polinˆmio, ´ uma fun¸˜o polinomial porque x a e o e ca agora representa um n´mero. u Vamos ao teorema agora. Teorema 77 Representa¸˜o dos polinˆmios ca o φ Seja R[x]x∈[a,b] → F ([a, b]) que associa um polinˆmio P ∈ R[x] a fun¸˜o polino- o ca mial p ; p(x) := P (x)x∈[a,b] ; p ∈ F ([a, b]). φ ´ uma fun¸˜o injetiva. e ca Dem : Considere dois polinˆmios diferentes, P = Q e as correspondentes fun¸oes polinomiais que o c˜ eles induzem em F([a, b]) ; p, q. Mas dizer que dois polinˆmios s˜o diferentes, quer dizer que existe pelo menos um dos o a coeficientes de um que n˜o ´ igual ao correspondente coeficiente do outro, ak = bk , supondo a e que os coeficientes de P s˜o a0 . . . e os de Q s˜o b0 . . . Temos que mostrar que as duas fun¸oes a a c˜ induzidas por P, Q s˜o diferentes. a Se fizermos a diferen¸a, p(x) − q(x), como estas fun¸oes est˜o definidas por polinˆmios, e c c˜ a o estes s˜o diferentes, ent˜o o polinˆmio que define esta diferen¸ao ´ P −Q que n˜o ´ o polinˆmio a a o c˜ e a e o zero, porque o coeficiente correspondente a diferen¸a ak − bk = 0, logo a fun¸ao p(x) − q(x) ´ c c˜ e diferente de zero para algum x. Logo p = q. q.e.d . Mas, infelizmente, n˜o poderemos demonstrar, como nos propunhamos, que φ ´ a e bijetiva, pois em F ([a, b]) existem fun¸˜es que n˜o s˜o polinomiais. Isto ´ φ(R[x]) ´ um co a a e e subconjunto pr´prio de F ([a, b]). Observe a (fig. ??), na p´gina ??. A representa¸˜o φ o a ca cria uma imagem em F ([a, b]) que ´ idˆntica a R[x] mas esta imagem n˜o cobre todo o e e a contra-dom´ ınio, ent˜o φ n˜o ´ uma fun¸˜o sobrejetiva. Mas se reduzirmos a imagem a a e ca ao que nos interessa, ao conjunto R[x] = P([a, b]) o conjunto das fun¸˜es polinomiais co ent˜o temos uma fun¸˜o bijetiva. a ca Isto chega para estabelecer uma idenfica¸˜o no sentido de que podemos considerar ca o subconjunto P([a, b]) de F ([a, b]) formado por todas as fun¸˜es polinomiais, que ´ a co e imagem de φ. Quer dizer, podemos ir e voltar entre P([a, b]) e R[x] logo, fica validada a demonstra¸˜o do teorema. Podemos usar o mesmo m´todo para provar que o produto ca e de polinˆmios ´ associativo, e que o produto ´ distributivo relativamente a adi¸˜o. o e e ca N´s usamos o conceito de igualdade entre polinˆmios sem defin´ mas agora vamos o o ı-lo fechar este buraco l´gico: o
- 282. Defini¸˜o 59 Igualdadeentre polinˆmios ca o Dois polinˆmios s˜o iguais se todos os seus coeficientes co¨ o a ıncidem. Compare agora a demonstra¸˜o da comutatividade do produto se esta for feito ca com o produto de coeficientes: Dem : Demonstra¸ao da comutatividade do produto de polinˆmios c˜ o Vamos come¸ar comentando outro exerc´ c ıcio. Precisamos saber como se escreve o termo geral do produto P Q. Sejam P = (a0 , a1 , a2 , · · · , an ) e Q = (b0 , b1 , b2 , · · · , bm ) dois polinˆmios. o Observe o quadro abaixo da multiplica¸ao: c˜ b0 b1 b2 b3 b4 a0 a1 a2 b0 a0 b1 a0 b2 a0 b3 a0 b4 a0 b0 a1 b1 a1 b2 a1 b3 a1 b4 a1 b0 a2 b1 a2 b2 a2 b3 a2 b4 a2 Neste esquema, em cada linha, vocˆ pode ver cada um dos coeficientes aj sendo multipli- e cado por todos os coeficientes bi . No paralelogramo se encontram todos os pares (bi , aj ) que ´ poss´ e ıvel fazer com os coeficientes de cada um dos polinˆmios. Em baixo de cada coluna se o faz a soma dos elementos da mesma, nelas a soma dos ´ ındices ´ constante. Por exemplo, em e baixo da quarta coluna ficar´: a b3 a0 + b2 a1 + b1 a2 esta soma ´ coeficiente de x3 . e P Q = (a0 b0 , · · · , ai bj , · · · an bm ) i+j=k QP = (b0 a0 , · · · , bj ai , · · · bn am ) i+j=k e nos temos que mostrar que P Q = QP. Basta mostra que o termo geral aj bk ´ igual a e i+j=k bj ak . Um truque, na verdade uma nova representa¸ao, nos conduzem facilmente a esta c˜ i+j=k verifica¸ao. c˜ Para multiplicar polinˆmios, somos conduzidos a fazer todas as multiplica¸˜es ak bj e o co depois agrupar estes produtos de acordo com a regra dos expoentes que ´ que se encontra em e baixo do som´rio: a i + j = k a soma dos expoentes valendo k. Retomando a frase, “a fazer todas as multiplica¸˜es ...” agora escrita assim: “a fazer co todos os pares (ak , bj )” quer dizer, construir o produto cartesiano dos conjuntos A = {a0 , aj , · · · an }, B = {b0 , bk , · · · bm } Observe abaixo o caso com n = 2, m = 4. Chame de A, B aos conjuntos dos coeficientes dos polinˆmios. Na tabela abaixo vocˆ tem A x B. Marcamos o conjunto dos coeficientes o e aj bk ; j + k = 4. O coeficiente de x4 no produto ser´ a soma destes coeficientes, fa¸a as contas a c e verifique. b4 (a0 , b4 ) (a1 , b4 ) (a2 , b4 ) b3 (a0 , b3 ) (a1 , b3 ) (a2 , b3 ) b2 (a0 , b2 ) (a1 , b2 ) (a2 , b2 ) b1 (a0 , b1 ) (a1 , b1 ) (a2 , b1 ) b0 (a0 , b0 ) (a1 , b0 ) (a2 , b0 ) a0 a1 a2
- 283. Experimente agora vocˆmesmo, considere as “linhas” desta tabela em que a soma dos e ´ ındices ´ constante e verifique que s˜o os coeficientes da mesma potˆncia de “x” no produto. e a e Por exemplo, quando a soma for 3 vocˆ ter´ e a (a0 , b3 ), (a1 , b2 ), (a2 , b1 ) que somados: (a0 b3 + a1 b2 + a2 b1 )x3 s˜o os coeficientes de x3 no produto dos dois polinˆmios. Podemos assim identificar todos as a o somas que correspondem a uma determinada potˆncia no produto cartesiano dos conjuntos e dos coeficientes. Quando comutarmos os polinˆmios, na multplica¸ao, isto significa que vamos passar a o c˜ olhar o produto cartesiano B x A que s˜o diferentes, ´ verdade, mas que tem alguma iden- a e tidade: (x, y) ∈ A x B ⇒ (y, x) ∈ B x A e como a multiplica¸ao de n´ meros ´ comutativa, ent˜o as duas linhas cuja soma de ´ c˜ u e a ındices vale k produzem o mesmo coeficiente no produto, para o coeficiente de grau k. Quer dizer, o produto de polinˆmios ´ comutativo. q.e.d . o e Observa¸˜o 38 Representa¸˜o. ca ca Obviamente “arroz com feij˜o” e “bai˜o de dois” s˜o duas coisas diferentes, como a a a 1 + x2 + x3 = (1, 0, 1, 1). S˜o diferentes, mas para muitos efeitos representam a mesma coisa, ´ esta id´ia sob a e e o conceito de representa¸˜o. Temos conjuntos diferentes mas identificados atrav´s de uma ca e bije¸˜o. ca Em ambos os casos usamos representa¸˜es. Num caso representamos o conjunto dos co polinˆmios no conjunto das fun¸˜es definidas no intervalo [a, b], identificando o co R[x]x∈[a,b] com P([a, b]) ⊂ F([a, b]). ´ E rigorosamente a mesma que fazemos quando identicamos os inteiros com as fra¸˜es de co denominador 1. S˜o dois objetos diferentes. Tamb´m estamos fazendo representa¸˜o quando a e ca identificamos os n´meros racionais com pontos da reta. u Talvez para alguns dos leitores, uma das demonstra¸˜es que fizemos da comutatividade co a ´ do produto ´ a mais f´cil. E esta a raz˜o porque fazemos representa¸˜es, para buscar uma e a co maneira mais f´cil de entender o que est´ acontencendo num conjunto complicado. Esta a a ´ uma das principais atividades da Matem´tica, fazer representa¸˜es para explicar os fatos e a co dentro de outra estrutura. Exerc´ ıcios 38 Associatividade do produto 1. Prove que o produto de tres polinˆmios, P, Q, R ´ associativo, use a repre- o e senta¸˜o ca R[x]x∈[a,b] → F ([a, b]) 2. Prove que o produto de tres polinˆmios, P, Q, R ´ associativo, use a repre- o e senta¸˜o dos polinˆmios no conjunto das sucess˜es finitas e veja como fica o ca o o produto cartesiano onde vocˆ vai representar os coeficientes do produto. e Convolu¸˜o de sucess˜es ca o Na se¸˜o anterior discutimos o produto de polinˆmios e fomos levados a fazer uma ca o representa¸˜o de R[x] num conjunto de fun¸˜es para ver melhor o que significava a ca co comutatividade.
- 284. Representamos tamb´m ospolinˆmios no conjunto das sucess˜es finitas. Podemos e o o ent˜o observar que a R[x] ∋ P, Q ; P Q ≡ p ∗ q ; p, q sucess˜es finitas. o A opera¸˜o p ∗ q com as sucess˜es finitas, se chama convolu¸˜o. ca o ca Vamos dar um nome ao conjunto das sucess˜es finitas: R∞ . Observe que tem o sentido o “expoente” ∞, n˜o num sentido operat´rio. R3 ´ o conjunto de todas as a o e sucess˜es que tem “exatamente” tres elementos. Rn ´ o conjunto de todas as sucess˜es o e o ∞ n que tˆm “exatamente” n elementos. R ´ a reuni˜o de todos os R para qualquer e e a que seja n. Depois vocˆ vai encontrar este conjunto em Matem´tica mais avan¸ada e a c com outro nome. No momento usaremos este. Temos ent˜o dois conjuntos diferentes, a R[x], R∞ . Mas podemos mostrar que • A todo polinˆmio P ∈ R[x] corresponde exatamente uma sucess˜o finita p ∈ o a ∞ R . • Reciprocamente, a toda sucess˜o finita p ∈ R∞ corresponde exatamente um a polinˆmio P ∈ R[x]. o • Se chamarmos φ a representa¸˜o que acabamos de mencionar, ca φ R[x] ∋ P → p ∈ R∞ podemos afirmar que φ(P Q) = φ(P ) ∗ φ(Q) em outras palavras, d´ no mesmo fazer o produto de polinˆmios e depois passar a o φ ou primeiro, passar φ e fazer a convolu¸˜o. ca Tamb´m podemos afirmar que e φ(P + Q) = φ(P ) + φ(Q) em outras palavras, d´ no mesmo fazer a soma de polinˆmios e depois passar φ a o ou primeiro, passar φ e fazer a soma de sucess˜es. o Isto significa que as duas estruturas (R[x], +, ·) e (R∞ , +, ∗) s˜o “idˆnticas”. Como a e de fato elas n˜o “idˆnticas”, temos uma palavra em Matem´tica para dizer isto: dize- a e a mos que (R[x], +, ·) e (R∞ , +, ∗) s˜o isomorfas. a φ Dizemos ainda que R[x] → R∞ ´ um isomorfismo. e Defini¸˜o 60 Isomorfismo ca Uma representa¸˜o entre duas estruturas que seja bijetiva e preserve as duas es- ca truturas se chama um isomorfismo. Nos discutiremos com mais detalhes a estrutura de R[x] na pr´xima se¸˜o. o ca Exerc´ ıcios 39 1. Calcule separadamente os coeficientes de todos os graus de x no produto de polinˆmios o 3 4x 4 −x x2 ( + + x )( + + x5 ) 4 3 3 3
- 285. 2. Considere ospolinˆmios o P (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn , Q(x) = b0 + b1 x + · · · + bm xm . Escreva os quatro primeiros coeficientes do produto P Q. 3. Calcule a convolu¸˜o ca (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) ∗ (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1). 4. Calcule a convolu¸˜o ca (1) ∗ (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). 5. Calcule a convolu¸˜o ca (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ∗ (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) 6. Considere os polinˆmios o P (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn , (8.20) m Q(x) = b0 + b1 x + · · · + bm x , (8.21) l R(x) = c0 + c1 x + · · · + cl x . (8.22) Calcule os quatro primeiros coeficientes do produto P (QR). Calcule tamb´m e os quatro primeiros coeficientes do produto (P Q)R. Que conclus˜o o resultado a sugere? Prove esta sugest˜o. a 7. Representando R[x] em F ([a, b]), prove usando a associatividade do produto de n´meros reais, que o produto de polinˆmios ´ associativo. Escreva cuidadosa- u o e mente todas as passagens, (idas e voltas). 8. Prove que o produto de polinˆmios ´ distributivo relativamente ˚ c˜o de po- o e aadi¸a linˆmios. o 9. Calcule 2P, P 2 , P 2 − 1 se −3 4x P (x) = + + 2x2 + x3 + x4 . 4 3 10. Calcule (x + a1 )(x + a2 ).Escreva separadamente todos os coeficientes deste pro- duto. Identifique a estrutura destes coeficientes com uma rela¸˜o entre os n´meros ca u a1 , a2 . 11. Calcule (x + a1 )(x + a2 )(x + a3 ). Escreva separadamente todos os coeficientes deste produto. Identifique a estrutura destes coeficientes com uma rela¸˜o entre ca os n´meros a1 , a2 , a3 . u 12. Calcule (x + a1 )(x + a2 )(x + a3 )(x + a4 ). Escreva separadamente todos os coefici- entes deste produto. Identifique a estrutura destes coeficientes com uma rela¸˜o ca entre os n´meros a1 , a2 , a3 , a4 . u 13. Considere o produto (x + a1 )(x + a2 ) · · · (x + an ) ; n 2. Escreva separadamente todos os coeficientes deste produto. Vocˆ poderia iden- e tificar no resultado algo ligado a An´lise Combinat´ria? Identifique a estrutura a o destes coeficientes entre uma rela¸˜o com os n´meros a1 , a2 , · · · , an . ca u
- 286. 14. Considere opolinˆmio 6 + 5x + x2 . Ele pode ser o produto (x + a1 )(x + a2 ). o Verifique se isto ´ poss´ e ent˜o fatore 6 + 5x + x2 . e ıvel a 15. Observe se ´ poss´ fatorar os polinˆmios abaixo: e ıvel o 2 2 −6 + x + x −6 − x + x 12 + 7x + x2 −12 − 7x + x2 −12 − x + x2 4 − 2x + x2 Quando for poss´ ıvel, resolva 8 + 6x + x2 −8 − 2x + x2 12 − 7x + x2 a equa¸˜o P (x) = 0. ca 16. Observe se ´ poss´ fatorar os polinˆmios abaixo: e ıvel o 2 3 3 + 6x + 6x + x −8 + 2x + 5x2 + x3 2 3 −8 + −9x + x + x 10 + 2x + 5x2 + x3 Quando for poss´ıvel, resolva a equa¸˜o P (x) = 0. ca 8.4 Estrutura do conjunto dos polinˆmios a co- o eficientes reais. F([a,b]) R[x] R R[x] Figura 8.1: R ⊂ R[x] ⊂ F([a, b]) Vamos descrever a estrutura do conjunto dos polinˆmios a coeficientes reais o com base nas experiˆncias que desenvolvemos na se¸ao anterior. e c˜ Fizemos diversas experiˆncias e exerc´ e ıcios nas se¸˜es anteriores que agora devem co nos permitir a discuss˜o da estrutura do conjunto dos polinˆmios R[x] na presen¸a a o c das opera¸˜es de adi¸˜o e multiplica¸˜o de polinˆmios. co ca ca o
- 287. J´ verificamos queo produto de polinˆmios ´ comutativo. Num dos exerc´ a o e ıcios se pediu que vocˆ provasse que este produto ´ associativo, vamos resolver o tal exerc´ e e ıcio. Considere tres polinˆmios: o φ P (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn → p ∈ P([a, b]) (8.23) m φ Q(x) = b0 + b1 x + · · · + bm x → q ∈ P([a, b]) (8.24) φ R(x) = c0 + c1 x + · · · + cl xl → r ∈ P([a, b]). (8.25) Primeiro vamos mostrar que esta representa¸˜o φ ´ um isomorfismo: ´ bijetiva, ca e e preserva as opera¸˜es. A bijetividade j´ foi discutida anteriormente. co a • preserva a multiplica¸˜o Porque tanto P Q como pq s˜o identificados pelo pro- ca a duto dos coeficientes, logo φ(P Q) = φ(P )φ(Q). • preserva o elemento neutro da multiplica¸˜o Porque φ(1) = 1 a fun¸˜o cons- ca ca tante x → 1 se encontra ˚ adireita enquanto que ˚ aesquerda, temos o polinˆmio de o grau zero de coeficiente 1. • preserva a adi¸˜o Porque tanto P + Q como p + q s˜o identificados pelo soma ca a dos coeficientes, logo φ(P + Q) = φ(P ) + φ(Q). • preserva o elemento neutro da adi¸˜o Porque φ(0) = 0 a fun¸˜o constante x → 0 ca ca se encontra ˚ adireita enquanto que ˚ aesquerda, temos o polinˆmio de grau zero de o coeficiente 0. O polinˆmio nulo. o Sabemos que φ preserva as estruturas de R[x] e de P([a, b]), mas ainda n˜o dis- a cutimos que estrutura ´ esta. Quando soubermos qual ´ a estrutura de R[x], auto- e e maticamente teremos demonstrado, via isomorfismo, que a mesma estrutura vale em ´ P([a, b]). E esta outra vantagem dos isomorfismos. • estrutura de (R[x], +). Como a soma ´ comutativa, associativa e tem um ele- e mento neutro, e todo polinˆmio tem um inverso aditivo (que se obtem trocando o os sinais de todos os coeficientes), ent˜o (R[x], +) ´ um grupo comutativo. a e • estrutura de (R[x], ·). A unica propriedade para que tenhamos um grupo, que ´ n˜o vale ´ a existˆncia de um inverso multiplicativo. Chamamos esta estrutura a e e de monoide. O produto ´ associativo, comutativo, e existe um elemento neutro e para a multiplica¸˜o que ´ o polinˆmio de grau zero 1. ca e o • O produto ´ distributivo relativamente ˚ c˜o, que se prova facilmente usando e aadi¸a a representa¸˜o de R[x] em F ([a, b]). ca • O produto do polinˆmio nulo por qualquer outro, produz o polinˆmio nulo. o o Estas propriedades s˜o idˆnticas `spropriedades de (Z, +, ·). Vemos assim que a e a (R[x], +, ·) ´ um anel comutativo como os inteiros. e Consequentemente (P([a, b]), +, ·) ´ tamb´m um anel comutativo. Observe que e e aqui tivemos o cuidado de usar P porque o isomorfismo ´ e φ R[x] → P([a, b]). Os objetos isomorfos s˜o R[x], P([a, b]). Como um ´ um anel, ent˜o o outro tamb´m a e a e o ´. e Demonstramos assim: Teorema 78 Anel dos polinˆmios (R[x], +, ·) ´ um anel comutativo. o e
- 288. e como corol´rio: a Teorema 79 Anel das fun¸˜es polinomiais co (P([a, b]), +, ·) ´ um anel comutativo. e 8.5 A divis˜o de polinˆmios a o Como nos inteiros, a divis˜o no anel dos polinˆmios cria estruturas riqu´ a o ıssimas, exa- tamente porque n˜o ´ “exata”. a e Vamos come¸ar comparando com a divis˜o de n´meros inteiros, porque foi assim c a u que os nossos antepassados construiram a divis˜o de polinˆmios. No anel dos inteiros a o encontramos o “conjunto” dos restos na divis˜o por um determinado inteiro, por 5, a digamos: Z5 = {0, 1, 2, 3, 4} e a soma de restos se comporta algebricamente bem, veja a tabela operat´ria abaixo: o Tabuada com restos na divis˜o por 5. a + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 0 2 2 3 4 0 1 3 3 4 0 1 2 4 4 0 1 2 3 N´s escrevemos 1 em vez de escrever 1 porque o resto 1 n˜o ´ a mesma coisa que o a e o n´mero 1, inclusive a adi¸˜o com restos n˜o tem a mesma “tabuada” que a adi¸˜o u ca a ca com n´meros. Mas as propriedades s˜o as mesmas: u a 1. A adi¸˜o ´ comutativa. ca e 2. A adi¸˜o ´ associativa. ca e 3. Existe um elemento neutro para a adi¸˜o. ca 4. Todo resto tem um inverso aditivo. Destas propriedades, a unica que ´ trabalhosa ´ a associatividade uma vez que ´ e e teriamos que analisar todos ternos (a + b) + c = a + (b + c). Mas se usarmos o algoritmo da divis˜o euclidiana esta demonstra¸˜o fica simples, a ca veja. Vamos antes demonstrar um teorema que torna tudo simples, ´ a regra que permite e passar do resto da soma para a soma dos restos. Considere dois n´meros inteiros x, y. u Chame r1 = resto5 [x] ; r2 = resto5 [y]. Podemos ent˜o escrever sucessivamente: a y = 5q + r2 (8.26) ′ x = 5q + r1 (8.27) x + y = 5q ′′ + r2 + r1 = 5q ′′′ + r ; r = resto5 [r1 + r2 ] (8.28) resto5 [x + y] = resto5 [x] + resto5 [y] (8.29)
- 289. A seq¨ˆncia deequa¸˜es acima mostra que resto preserva a adi¸˜o dos inteiros, n˜o ue co ca a ´ um isomorfismo porque n˜o ´ identifica¸˜o entre os dois conjuntos Z e o conjunto e a e ca dos restos na divis˜o por 5 Z5 . Temos ent˜o uma palavra menos forte para este caso, a a morfismo: Defini¸˜o 61 Morfismo ca Um morfismo entre duas estruturas ´ uma representa¸˜o que preserva a(as) opera¸˜o(˜es) e ca ca o entre as duas estruturas. Como o resto preserva a adi¸˜o na passagem de Z para Z5 ent˜o ´ um morfismo4 ca a e de grupos. Defini¸˜o 62 Morfismo de grupos ca f Dados dois grupos (G1 , o1 ), (G2 , o2 ) uma fun¸˜o G1 → G2 tal que ca • f (ao1 b) = f (a)o2 f (b) • f (e1 ) = e2 em que e1 ´ o elemento neutro de (G1 , o1 ) e e2 ´ elemento neutro de e e (G2 , o2 ) se chama um morfismo de grupos. E demonstramos assim o teorema: Teorema 80 Morfismo dos grupos (Z, +), (Z5 , +). A fun¸˜o resto5 ´ um morfismo ca e de grupos. resto5 [x] + (resto5 [y] + resto5 [z]) = (8.30) como resto ´ morfismo de grupos: e (8.31) resto5 [x + (y + z)] = resto5 [(x + y) + z] (8.32) porque a soma em Z ´ associativa e (8.33) x + (y + z) = (x + y) + z (8.34) porque resto5 ´ um morfismo de grupos. e (8.35) Portanto (Z5 , +) ´ um grupo comutativo, como os inteiros, relativamente ˚ e asoma: Teorema 81 (Z5 , +) ´ um grupo comutativo e Podemos ver que semelhan¸as deste tipo ocorrem na divis˜o com polinˆmios. Vamos c a o estudar uma delas, construir um exemplo que mostrar´ como construir as congruˆncias, a e inclusive no caso dos inteiros. 8.5.1 Os restos na divis˜o por 1 + x2 . a Dados dois polinˆmios, definimos a divis˜o usando um algoritmo que ´ semelhante ao o a e divis˜o de inteiros: a Defini¸˜o 63 Algoritmo da divis˜o euclidiana. Seja P, D dois polinˆ mios. Dizemos ca a o que o polinˆmio Q e o polinˆmio R s˜o respectivamente o quocieente e o resto na o o a divis˜o de P por D se e somente se a P = DQ + R 4 H´ a autores que insistem numa denomina¸ao antiga, homomorfismo c˜
- 290. Esta express˜o ´uma c´pia do algoritmo usado na divis˜o de inteiros. Para os a e o a inteiros a justificativa do algoritmo ´ a seguinte: e • Se P for divis´ por D ent˜o o resto ´ zero e a express˜o fica: P = DQ. ıvel a e a • Se P n˜o for divis´ por D ent˜o existe um m´ltiplo de D pelo inteiro m que a ıvel a u ´ menor que P e outro que pelo inteiro m + 1 que ´ maior do que P. Neste caso e e escolhemos o inteiro m como quociente e calculamos a diferen¸a: c P − mD = R • O n´mero inteiro R ´ menor do que D, caso contr´rio poderiamos ter escolhido u e a m + 1 como quociente. Reescrevendo a ultima express˜o vem a f´rmula do ´ a o algoritmo da divis˜o euclidiana: a P = mD + R ; 0 ≤ R D quer dizer que os restos poss´ ıveis na divis˜o por D s˜o a a 0, 1, · · · , D − 1. Quando se foi fazer divis˜o com polinˆmios, se experimentou este algoritmo e deu a o certo. As regras s˜o um pouco mais complicadas, porque temos que pensar no grau, a em vez de “menor do que”. • Querendo dividir P por 1 + x2 sabemos que o resto deve ter grau menor do que o do divisor, portanto R ´ um polinˆmio do primeiro grau: e o R(x) = a + bx. Se a divis˜o der exata, ent˜o: a a P = (1 + x2 )D ; grau(D) = grau(P ) - 2 • Se a divis˜o n˜o der exata esta regra segue sendo obedecida. Ent˜o estamos a a a procurando um polinˆmio cujo grau seja duas unidades menor do que o grau de o P para ser o quociente, e um resto do primeiro grau. Exemplo 50 Uma divis˜o a (x4 + 3x3 + x2 + x + 1) ÷ (x2 + 1) x4 + 3x3 + x2 + x + 1 = (x2 + 1)Q + R x4 + 3x3 + x2 + x + 1 = (x2 + 1)Q + ax + b x4 + 3x3 + x2 + x + 1 = (x2 + 1)(d2 x2 + d1 x + d0 ) + ax + b x4 + 3x3 + x2 + x + 1 = d2 x4 + d1 x3 + (d0 + d2 )x2 + d1 x + d0 + ax + b x4 + 3x3 + x2 + x + 1 = d2 x4 + d1 x3 + (d0 + d2 )x2 + (d1 + a)x + (d0 + b) d2 = 1 ; d1 = 3 ; d0 + d2 = 1 ; d1 + a = 1 ; d0 + b = 1 d2 = 1 ; d1 = 3 ; d0 = 0 ; a = −2 ; b = 1 x4 + 3x3 + x2 + x + 1 = (x2 + 1)(x2 + 3x) + (−2x + 1) o resto da divis˜o ´ − 2x + 1 a e
- 291. Podemos fazer asmesmas contas sem usar a vari´vel5 Quando usamos apenas os a coeficientes se costuma escrever os polinˆmios em potˆncias crescentes, assim o e P ≡ (1, 1, 1, 3, 1) ≡ 1 + x + x2 + 3x3 + x4 (1, 1, 1, 3, 1) ÷ (1, 0, 1) (1, 1, 1, 3, 1) = (1, 0, 1)Q + R (1, 1, 1, 3, 1) = (1, 0, 1)Q + (b, a) (1, 1, 1, 3, 1) = (1, 0, 1)(d0 , d1 , d2 ) + (b, a) (1, 1, 1, 3, 1) = (d0 , d1 , d0 + d2 , d1 , d2 ) + (b, a) (1, 1, 1, 3, 1) = (d0 + b, d1 + a, d0 + d2 , d1 , d2 ) d2 = 1 ; d1 = 3 ; d0 + d2 = 1 ; d1 + a = 1 ; d0 + b = 1 d2 = 1 ; d1 = 3 ; d0 = 0 ; a = −2 ; b = 1 (1, 1, 1, 3, 1) = (1, 0, 1)(0, 3, 1) + (1, −2) o resto da divis˜o ´ (1, −2) a e Quer dizer que o resto na divis˜o por (x2 + 1) ´ o conjunto de todos os polinˆmios a e o do primeiro, R1 [x], ou todos os pares de n´meros (a, b) ∈ R2 . Observe as compara¸˜es u co que estamos fazendo, (mais representa¸˜es... co Vamos explorar um pouco mais este exemplo, veremos alguns fatos excitantes. Vamos fazer algumas contas: Exerc´ ıcios 40 C´lculo com restos a 1. Use o algoritmo da divis˜o euclidiana para calcular o resto de a (a + bx)(c + dx) na divis˜o por 1 + x2 a 2. congruˆncia Tente estabelecer uma regra para as opera¸˜es de soma e multiplicar e co com os restos: a + bx + c + dx ; (a + bx)(c + dx) A resposta do ultimo exerc´ ´: ´ ıcio e • Como os restos s˜o polinˆmios do primeiro, ent˜o a soma dos restos ´ a soma a o a e dos dois polinˆmios do primeiro grau: a + bx + c + dx = (a + c) + (b + d)x o • No caso do produto, multiplicando os dois restos temos: bdx2 + (ad + bc)x + ac que dividido por x2 − 1 ´: e bd (ad + bc) ac 1 0 1 −bd 0 −bd bd A regra que procuravamos ´: o resto e 0 ad + bc ac − bd ser´: (ad+bc)x+(ac−bd). Compare com a multiplica¸˜o de n´meros complexos... a ca u 5 Usar ou n˜o a vari´vel ´ uma quest˜o de gosto. a a e a
- 292. Este conjunto, odos restos de um polinˆmio qualquer na divis˜o por 1 + x2 vai o a ser denominado R[x]/(1 + x2 ). Como os restos s˜o classes de equivalˆncia, a nota¸˜o a e ca acompanha a id´ia, temos um conjunto quociente. Ele ´ formado de todos os polinˆmios e e o do primeiro grau e nele valem as regras operat´rias que terminamos de descobrir. o Exerc´ ıcios 41 Congruˆncias e 1. Calcule as duas taboadas, de adi¸˜o e de multiplica¸˜o para os restos na divis˜o ca ca a por 5. 2. Verifique que (Z5 , +, ·) tem as mesmas propriedades que (Q, +, ·) e portanto ´ e um corpo. 3. classes de equivalˆncia Observe que os restos s˜o etiquetas, eles representam to- e a dos os n´meros inteiros que deixam aqule resto na divis˜o. Apresente as classes u a de cada resto na divis˜o por 5, (estas classes se chamam “classes m´dulo 5”). a o 4. classes de equivalˆncia Apresente todas as classes m´dulo 4, m´ dulo 3, m´dulo e o o o 2. 5. Resolva a equa¸˜o 3x + 4 = 2 em (Z5 , +, ·). ca 6. Calcule as duas taboadas, de adi¸˜o e de multiplica¸˜o para os restos na divis˜o ca ca a por 4. 7. Verifique que (Z4 , +, ·) n˜o tem as mesmas propriedades que (Z5 , +, ·), verifique a qual a propriedade que falha. Verifique que em Z4 ´ poss´ e ıvel encontrar x = 0, y = 0 tal que xy = 0. Chamam-se divisores de zero. 8. Verifique que (Z6 , +, ·) n˜o tem as mesmas propriedades que (Z5 , +, ·), verifique a qual a propriedade que falha. Verifique que em Z6 ´ poss´ e ıvel encontrar x = 0, y = 0 tal que xy = 0. Chamam-se divisores de zero. 9. Verifique que (Z7 , +, ·) tem as mesmas propriedades que (Q, +, ·) e portanto ´ e um corpo. 10. Resolva a equa¸˜o 5x + 4 = 3 em (Z7 , +, ·). ca 11. Defina um isomorfismo entre os restos na divis˜o por x2 + 1 do conjunto de a todos os polinˆmios e o conjunto R2 . Naturalmente agora vocˆ sabe somar e o e 2 multiplicar em R . Calcule (1, 2) + (3, 4) (1, 2)(3, 4) (1, 0)(1, 0) (0, 1)(0, 1) Compare com as opera¸˜es dos n´meros complexos. co u 12. Prove6 que em R[x]/(x2 + 1) existe um elemento neutro para multiplica¸˜o e ca que para todo resto a + bx existe outro resto c + dx tal que (a + bx)(c + dx) = 1. 13. Prove que R[x]/(x2 + 1) ´ um corpo, quer dizer, que (R2 , +, ·) em que a adi¸˜o e ca ´ aquela definida pelo isomorfismo, assim como o produto, ´ um corpo. e e Este corpo, definido com o conjunto R2 tem uma representa¸˜o geom´trica, ´ ca e e o plano, ´ o conjunto dos n´meros complexos. e u 6 se voce usar apenas os coeficientes e a regra operat´ria j´ descoberta, fica tudo mais f´cil. o a a
- 293. Referˆncias Bibliogr´ficas e a [1] Courant, Richard Gauss and the present situation of the exact sciences in The Spirit and the uses of the Mathematical Sciences - McGraw-Hill - paperbacks - 1969 [2] Hilbert, David Grundlager der geometri [3] Lang, Serge Estruturas Alg´bricas e ´ [4] Menezes, Darcy Lear de Abeced´rio da Algebra - Nobel - 1969 (apenas para ser a consultado) ca a ´ [5] Nachbin, Leopoldo - Introdu¸˜o ` Algebra 291
- 294. ´ Indice Remissivo p Cn , 38 adi¸˜o em Z, 93, 94 ca p Cn , 33, 43 adi¸˜o, complexos, 241 ca N, axiomas, 92 adi¸˜o, propriedades, 91 ca N, primeiro elemento, 91 adi¸˜o, propriedades em Q, 105 ca Π(A), 44 adi¸˜o, propriedades em Z, 95 ca Q adi¸˜o do tempo, 17 ca classes de equivalˆncia, 111 e adi¸˜o, tempo, 17 ca Q, ultima defini¸˜o, 110 ´ ca agregado, 18 Q, definicao, 100 alg´brica e Q, redefinicao, 108 computa¸˜o, 137 ca S1 , 250 alg´bricos, n´meros, 123, 124 e u Z algarismos e letras, 18 adi¸˜o, 93, 94 ca algoritmo anel, 98 divis˜o euclidiana, 286 a ordem, 93, 95 anˆnimo, logaritmo, 224 o produto, 95, 97 anel propriedades, 96 polinˆmios, 285 o troca de sinal, 93 aplica¸˜o de parti¸˜o, 46 ca ca valor absoluto, 94 aritm´tica e Z, Q s˜o compat´ a ıveis, 104, 105 progress˜o, 139, 141 a ´rea, 15 a sucess˜o, 139 a Q, 100 arquimediana ˆngulo a propriedade, 115 coeficiente angular, 147 arquimediana, propriedade de R, 135 ´rea de um retˆngulo, 134 a a arranjo ´rvore de possibilidades, 53 a com repeti¸˜o, 32 ca ´ ınfimo, 69 simples, 32 ultimo teorema de Fermat, 124 ´ arranjos, 53 arranjos com repeti¸˜o, 54 ca Q+ , Q− , 115 arranjos simples, 54, 56 bi´nivoca, correspondˆncia, 123 u e arranjos, o n´mero, 54 u axiomas a reta num´rica, 123 e n´meros naturais, 92 u absoluto, valor, 94 axiomas de Peano, 91 abstra¸˜o, 167 ca absurdo, demonstra¸˜o, 116 ca B´scara a acaso, 40 f´rmula, 175 o acr´scimo, 82 e base adi¸˜o em N, 90 ca algarismo, 264, 274 adi¸˜o em Q, 101 ca numera¸˜o, 261, 264, 273, 274 ca 292
- 295. casa, 264, 274 conjunto finito, 15 base de numera¸˜o, 261, 273 ca conjunto infinito, 15, 16 bijetiva, fun¸˜o, 80 ca conjunto limitado, 15 bijetora, fun¸˜o., 80 ca conjunto, elemento, 10 binˆmio de Newton, 48, 50 o conjuntos estrutura, 27 c´ ırculo ferramenta, 9 m´dulo, 128 o linguagem, 9 cadeia, 69 opera¸˜es, 21 co cardinalidade, 20 conjuntos das partes, 33 classe de equivalˆncia, 44 e conjuntos num´ricos, 90 e classes, 45 Constru¸˜o de N, 92 ca de n´meros complexos, 256 u constru¸˜o de N, 91, 92 ca classes!geometria, 110 constru¸˜o de Z, 93 ca classes!interpreta¸˜o geom., 111 ca contagem, princ´ ıpio, 56 classes m´dulo n, 289 o contra-dom´ ınio, 72 classifica¸˜o, 44 ca convolu¸˜o, 271, 272, 281, 282 ca codifica¸˜o, 77 ca de sucess˜es, 267, 277 o codifica¸˜o, decodifica¸˜o, 78, 81 ca ca polinˆmios o coeficiente, 264, 274 produto, 267, 277 angular, 148 corpo ordenado dos racionais, 106 coeficiente angular, 84 correspondˆncia bi´nivoca, 123 e u ˆngulo, 147 a correspondˆncia sobre, 123 e combina¸˜o, 43 ca cruzamento de informa¸˜es, 46 co combina¸˜es, 33, 37 co compatibilidade de Z com Q, 104, 105 d´ ıvida externa, 168 complexos, adi¸˜o, 241 ca dados estruturados, 16 complexos, inverso multiplicativo, 244 Decimal, logaritmos, 212, 218, 219, 222 complexos, m´dulo, 244 o decodifica¸˜o, codifica¸˜o, 78, 81 ca ca complexos, multiplica¸˜o, 244 ca dedu¸˜o l´gica, 38 ca o complexos, produto, 242 defini¸˜o de Q, a ultima, 110 ca ´ computa¸˜o alg´brica, 137 ca e defini¸˜o de Q, 100 ca congruˆncia, 289 e defini¸˜o de fun¸˜o, 74 ca ca congruˆnicias, 289 e demonstrar ou n˜o demonstrar, 26 a conjectura sobre Z, 92 denominador e numerador, 101 conjugado, 248, 252 Descartes, Ren´, 148 e conjunto desigualdade e adi¸˜o, 134 ca estrutura, 13 desigualdade e multiplica¸˜o, 134 ca figura plana, 13 desigualdade em Q, 105 finito, 15 determinante, 160 limitado, 15 diferen¸a entre conjuntos, 21, 24 c n´mero de elementos, 20 u diferen¸as c parcialmente ordenado, 68 delta, 82 partes, 33 diferen¸a sim´trica, 27 c e totalmente ordenado, 68 diferen¸as c unit´rio, 33 a ∆, 145 vazio, 33 difusos, limites, 44 conjunto de fun¸˜es, 267, 277 co discriminante, 175 conjunto de polinˆmios, 267, 277 o divis˜o a conjunto dos reais, 123 algoritmo, 287–289
- 296. exemplo, 288 forma polar, 251 inteiros, 285 fra¸˜es, 100 co polinˆmios, 285 o fun¸˜o linear, 87 ca divis˜o euclidiana, 287 a fun¸˜o linear afim, 83, 85 ca divisores de zero, 289, 290 grafo, 14 dom´ ınio, 72 Inclus˜o, 12 a Interse¸˜o, 22 ca e ≈ 2.718281, 221 Intervalo, 114 elemento de um conjunto, 10 logaritmo, 238, 239 equa¸˜es co logaritmos, 238 sistemas lineares, 157 n´meros complexos, 246 u equidistantes, termos, 88 geometria, 243 equivalˆncia e par´bola, homotetias, 237 a classes de paralelogramo, 125 n´meros complexos, 256 u plano cartesiano, 149 equivalˆncia de fra¸˜es, 110 e co polinˆmios, 284 o escolha Produto independˆncia, 44 e n´meros complexos, 243 u estat´ ıstica, 33 produto estrutura, 18, 90 matrizes, 159 polinˆmios, 283, 285 o ra´ızes da unidade, 255 estrutura aditiva, 17 ra´ızes quintas de 7, 259 estrutura alg´brica das horas, 96 e Raizes, 116 estrutura alg´brica de (Q, +), 106 e raizes c´bicas, 259 u estrutura alg´brica de (Z, +), 96 e raizes da unidade, 257 estrutura alg´brica de N, 90 e raizes de dois, 258 estrutura alg´brica de R., 134 e Reta estrutura complexa, 18 coeficiente angular, 84 estrutura de ordem, 18 Reta e P.A., 146 estrutura nos conjuntos, 27 Retas estrutura zero, 15 coeficiente angular, 148 estrutura, conjunto, 13 retas paralelas, 151 estruturados, dados, 16 segundo grau, 234–236 estruturas, 15, 18 sistema estruturas alg´bricas, 18 e equa¸˜es lineares, 158 co extremal, 69 Soma de Segmentos, 127 soma dos termos f´rmula de Moivre, 252 o P.A., 143 f´rmula fundamental, logaritmos, 225 o transla¸˜o, 236 ca fatorial, 39 translacoes, 237 Fermat, o ultimo teorema de, 124 ´ Uni˜o, 21, 61, 62 a figura, 126 figuras planas, 18 ...., 132, 133 fina ´rea do trap´sio, 144 a e parti¸˜o, 45 ca adi¸˜o vetorial, 128 ca finito, conjunto, 15 conjugado, 249 forma polar, 250, 251 Conjuntos fra¸˜o, 101 ca Diferen¸a, 25 c fra¸˜es co diferen¸a de vetores, 128 c inter. geom´trica, 112 e equa¸˜o da reta, 150 ca fra¸˜es, equivalˆncia, 110 co e
- 297. fun¸˜o, 72 ca fun¸˜o, 170 ca linear afim, 81 grossa propriedades, 75 parti¸˜o, 45 ca fun¸˜o bijetiva, 80 ca grupo fun¸˜o bijetora, 80 ca Z, 287 fun¸˜o injetiva, 78 ca Z5 , 287 fun¸˜o injetora, 78 ca horas, 96, 97 fun¸˜o linear, 86 ca grupo aditivo (R, +), 131 fun¸˜o polinomial, 82 ca grupo multiplicativo (R, ·), 134 fun¸˜o sobrejetiva, 79 ca grupos, morfismo de, 286 fun¸˜o sobrejetora, 79 ca fun¸˜o troca de sinal, 93 ca homomorfismo, 286 fun¸˜o, defini¸˜o, 74 ca ca horas, estrutura alg´brica, 96 e fun¸˜es polinomiais, 267, 277 co horas, taboada, 96 fun¸˜o ca imagem, 75 id´ias b´sicas, 9 e a primeiro grau, 149 imagem, fun¸˜o, 75 ca segundo grau, 170 imagin´rias, raizes, 240 a fun¸˜o linear, 138 ca inclus˜o, 18, 20 a fun¸˜o linear afim ca incompleta P.A., 141, 145 equa¸˜o, 178 ca independˆncia de escolhas, 44 e Gauss indu¸˜o finita, 35 ca inteiros de, 253 informa¸˜o, 18 ca geometria injetiva, fun¸˜o, 78 ca n´meros complexos, 243 u injetora, fun¸˜o., 78 ca Girard inteiros Rela¸˜es, 174, 180 co racionais rela¸ oes, 245 c reais, 124 GPL, 137 inteiros de Gauss, 253 gr´fico a interpreta¸˜o geom´trica, 110, 111 ca e adi¸˜o, 130 ca interse¸˜o de conjuntos, 21 ca desigualdade, 130 interse¸˜o, 27 ca evolu¸˜o do dolar, 74 ca inven¸˜o de Z, 93 ca Histograma, 73 irracional m´dulo, 129 o n´mero, 124 u multiplica¸˜o, 129 ca isomorfismo, 271, 272, 282, 284, 285 racionais e inteiros, 102 reais, 129, 130 juros, 139 gr´ficos de fun¸˜es., 75–77, 80 a co presta¸˜es, 143 co grafico juros simples, 142 n´meros complexos, 242 u grafo lei das propor¸˜es, 110 co n´s, 14 o letras e algarismos, 18 granularidade, 220, 222 limitado, conjunto, 15 grau, 263–265, 274, 275 limites difusos, 44 dimens˜o, 265, 275 a linear primeiro fun¸˜o, 86 ca fun¸˜o, 149 ca fun¸˜o, 136, 138 ca segundo lineares
- 298. sistemas de equa¸˜es,157 co n´meros complexos, 176 u linguagem, pobreza, 16 n´mero complexo, 241 u logaritmo n´mero de elementos, 51 u anˆnimo, 224 o n´mero inteiro negativo, 93 u Logaritmo Decimal, 212, 218, 219, 222 n´mero inteiro positivo, 93 u logaritmos n´mero racional, 99 u anˆnimos, 228 o n´meros alg´bricos, 123, 124 u e decimais, 230 n´meros combinat´rios, 43 u o f´rmula fundamental, 225 o n´meros combinat´rios, 43 u o Napier, 203 n´meros complexos, 240, 290 u logaritmos anˆnimos, 229 o n´meros naturais u axiomas, 92 m.m.c, 113 n´meros reais, 123 u m.m.c. e soma de fra¸˜es, 112 co n´meros reais negativos, 124 u m´ximo, 69 a n´meros reais positivos, 124 u m´todos aritm´ticos, 90 e e n´meros transcendentais, 123, 124 u m´ ınimo, 69 n˜o pertence, 10 a m´dulo, 128 o Napier c´ ırculo, 128 logaritmos, 203 m´dulo de x ∈ R, 128 o negativo, n´mero inteiro, 93 u matricial negativos, n´meros reais, 124 u produto, 250 negativos, racionais, 109 matriz, 157, 158 Newton, binˆmio, 48, 50 o Maxima, 137 no¸˜o primeira, 9 ca maximais, 69 no¸˜es b´sicas, 9 co a minimais, 69 nota¸˜o ca mmc, 101 palavras, 267, 278 Moivre numera¸˜oca f´rmula, 252 o base, 264, 274 morfismo, 286 multi-base, 264, 275 de grupo, 287 sistema complicado, 264, 274 morfismo de grupos, 286 numera¸˜o, base, 261, 273 ca multi-base numerador e denominador, 101 datas, 264 numeros numera¸˜o, 264, 274 ca sentido contr´rio, 125 a multiplica¸˜o ca polinˆmios, 270, 280 o o conjunto Q, 100 multiplica¸˜o em N, 90 ca O plano complexo, 244 multiplica¸˜o, propriedades, 91 ca opera¸˜e, prioridade, 24 co multiplica¸˜o, propriedades em Q, 106 ca ordem multiplica¸˜o, propriedades em Z, 97 ca irrelevante, 43 multiplica¸˜o ca ordem em N, 92 matrizes, 158 ordem parcial, 68 multplica¸˜o geom´trica, 132 ca e ordem total, 68 museu, 203, 211, 216 ordem, estrutura de, 18 ordem, rela¸˜o, 68 ca n, 39 ordenados, pares, 29 n(P(A)), 51 n´meros u P(A), 51 soma, 145 P.A., 145
- 299. equidistantes estrutura, 265, 275 termos, 145 fun¸˜es, 267, 277 co soma dos termos, 145 fun¸˜es polinomiais co p.a., 87, 88 representa¸˜o, 269, 279 ca P.G grau, 265, 275, 276 soma dos termos, 167 grau zero, 265, 275 P.G. grupo dos, 266, 276 laborat´rio b´sico, 166, 167 o a igualdade de, 268, 269, 279 p.g., 89 inverso paralelogramo multiplicativo, 266, 277 degenerado, 126 multiplica¸˜o, 269, 279 ca regra, 125 multiplica¸˜o, 270, 280 ca parcial, ordem, 68, 71 n´meros, 265, 275 u pares ordenados, 29 propriedades, 266, 276, 277 parte representa¸˜o, 269, 270, 279, 281 ca imagin´ria, 252 a polinomial real, 252 fun¸˜o, 263, 274 ca parte imagin´ria, 252 a positivo, n´mero inteiro, 93 u parte inteira de x ∈ R, 135 positivos, n´meros reais, 124 u parte real, 252 possibilidades, ´rvore, 53 a partes, conjunto das, 19 Potˆncias de i, 245 e parti¸˜o, 44 ca pr´tica e teoria, 47 a parti¸˜o, aplica¸˜o, 46 ca ca primeiro elemento de N, 91 parti¸˜o, 44 ca princ´ıpio da contagem, 56 mais fina, 45 princ´ıpio do terceiro excluso, 116 mais grossa, 45 Principia Matem´tica, 91 a Pascal prioridade, opera¸˜es, 24 co triˆngulo, 20, 34 a produto cartesiano, 63 triˆngulo, 33, 34 a produto e matriz, 250 Pascal, triˆngulo de, 19 a produto, complexos, 242 Peano, axiomas, 91 produto, raiz, 240 permuta¸˜o, 57 ca programa permuta¸˜es, 57 co estens˜o da adi¸˜o, 118 a ca pertence, 10 estens˜o da desigualdade, 118 a pertinˆncia, 18, 20 e estens˜o da multiplica¸˜o, 118 a ca pobreza de linguagem, 16 progress˜oa polar, forma, 250 aritm´tica, 87, 137, 138 e polinˆmio o raz˜o, 138 a grau, 263 termos equidistantes, 144 opera¸˜o, 263 ca geom´trica, 89, 165 e primeiro grau, 136 raz˜o, 165 a polinˆmio o progress˜o aritm´tica a e defini¸˜o, 265, 275 ca soma dos termos, 142 fun¸˜o, 82 ca propor¸˜es, lei, 110 co grau, 82 propriedade arquimediana da reta, 115, valor, 82 135 polinˆmios, 263, 273 o propriedade associativa, 23 ´lgebra, 266, 276 a propriedades anel dos, 260, 266, 276 imagem de f , 75 equa¸˜es, 266, 277 co propriedades da adi¸˜o, 91 ca
- 300. propriedades da adi¸˜o em Q, 105 ca geom´trica, 242 e propriedades da adi¸˜o em Z, 95 ca resto propriedades da multiplica¸˜o, 91 ca polinˆmios, 289 o propriedades da multiplica¸˜o em Q, 106 ca restos propriedades da multiplica¸˜o em Z, 97 ca opera¸˜es, 285, 289 co propriedades da ordem em N, 92 propriedades, 286 propriedades dos restos, 286 reta a multiplica¸˜o, 132 ca quadrados coeficiente angular, 84 completa¸˜o, 173 ca coeficiente linear, 84 quase decimais, logaritmos, 219 corpo ordenado, 134 quase-parti¸˜o, 93, 108 ca equa¸˜es, 135 co quociente equa¸˜o, 148 ca restos na divis˜o, 289 a grupos multiplicativos, 134 inverso aditivo, 131 ra´ ızes complexas, 176 o grupo aditivo, 131 racionais negativos, 109 o zero, 131 racionais, corpo ordenado, 106 os inteiros, 131 racional, n´mero, 99 u os racionais, 131 raiz do produto, 240 passando em (α, β), 153 raizes rela¸˜o de ordem, 134 ca da unidade, 252 reta num´rica, 15 e de um n´mero complexo, 252 u Russel, 92 rela¸˜es, 272, 273, 283 co raizes imagin´rias, 240 a sacado, 52 raz˜o a segundo grau p.a., 87 equa¸˜o, 175 ca p.g., 89 sentido, 125 progress˜o aritm´tica, 138 a e simples progress˜o geom´trica, 165 a e redu¸˜o ca reais √ ao caso, 167 2, 123 sinal de um n´mero, 129 u √ n, 123 sinal, troca, 93, 128 a reta, 122, 123 sistema adi¸˜o, 124 ca n˜o linear, 174 a conjunto dos, 122 sobre, correspondˆncia, 123 e reais, conjunto dos, 123 sobrejetiva, fun¸˜o, 79 ca reais, n´meros, 123 u sobrejetora, fun¸˜o., 79 ca redefini¸˜o de Q, 108 ca soma regra do paralolgramo, 125 primeiros n n´meros, 145 u rela¸˜o de ordem, 68 ca soma de fra¸˜es e m.m.c., 112 co rela¸˜o de ordem parcial, 68, 71 ca subconjunto, 11 rela¸˜o de ordem total, 68 ca subconjunto pr´prio, 267, 278 o rela¸˜es, 65 co sucess˜es finitas, 271, 281 o repiti¸˜o proibida, 43 ca sucessor em N, 91 representa¸˜o, 261, 263, 268, 270, 273, 274, ca supremo, 69 278, 280 inteiros em Q, 270, 281 tabela racionais na reta, 270, 281 granularidade, 220 representa¸˜oca taboada das horas, 96
- 301. tabuada restos por cinco, 286 tabuada das horas, 96 taxa de Varia¸˜o, 172 ca taxa de varia¸˜o, 171 ca tempo, adi¸˜o, 17 ca teoria dos n´meros, 124 u teoria e pr´tica, 47 a termo geral, 87 termos equidistantes, 88 total, ordem, 68 transcendentais, n´ meros, 124 u transcendentais,n´meros, 123 u transforma¸˜o, codifica¸˜o, 77 ca ca transforma¸˜es, 81 co transla¸˜es, 149, 170 co triˆngulo de Pascal, 19, 20, 34 a triˆngulo de Pascal, 33, 34 a tricotomia, 66 trigonom´trico e c´ırculo, 250 troca de base, 223 troca de sinal em Q, 104 troca de sinal, fun¸˜o, 93 ca troca sinal fun¸˜o, 128 ca uni˜o, 27 a uni˜o de conjuntos, 21 a valor absoluto, 94 valores subjetivos, 78 vari´vel, 11 a Varia¸˜o, 172 ca varia¸˜o ca taxa, 171 vetores adi¸˜o, 125 ca represen. geom´trica, 125 e zero, negativo, 93 zero, positivo, 93