Aritmética em retas, cônicas, reticulados e equações diofantinas

V Bienal da SBM
Sociedade Brasileira de Matem´tica
a
UFPB - Universidade Federal da Para´
ıba
18 a 22 de outubro de 2010

´ ˆ
aritmetica em retas e conicas
Rodrigo Gondim ∗

∗ UFRPE, DM, Recife-PE, Brasil, e-mail: rodrigo.gondim.neves@gmail.com

Agradecimentos

Agrade¸o aos Deuses que inventaram os N´meros e as Formas.
c u

Agrade¸o aos homens, de todas as civiliza¸˜es, que inventaram a Aritm´tica e a Geometria a `queles que desco-
c co e a
briram as conex˜es entre essas.
o

Agrade¸o ao Profesor Marcos Miguel, quem primeiramente me fez ver os N´meros e as Formas.
c u

Agrade¸o professor Antonio Carlos, quem me fez descobrir o fant´stico mundo da Aritm´tica.
c a e

Agrade¸o ao Professor Francesco Russo, quem me fez apaixonar pela Geometria e pela Geometria Aritm´tica.
c e

Agrade¸o ao Estudante Marco Mialaret Jr pelo empenho em estudar esses temas e por escrever, junto a mim,
c
a monograﬁa que me levou a escrever essas notas.

Agrade¸o aos amigos Hebe Cavalcanti, Tiago Duque, Gabriel Guedes e Gersonilo Silva pela leitura, cr´
c ıticas e
sugest˜es sobre o texto.
o

Sum´rio
a
1 Aritm´tica em Retas
e 6
1.1 Pontos Inteiros em Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 O Algoritmo Estendido de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Equa¸˜es diofantinas lineares . . . .
co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
´
1.4 Areas VS Pontos Inteiros em Regi˜es o Poligonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
´
1.4.1 Area de um paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.2 O Teorema de Pick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Aritm´tica em Cˆnicas
e o 14
2.1 Introdu¸õ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 O M´todo das Tangentes e das Secantes de Fermat . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Homogeneiza¸õ e Deshomogeneiza¸õ: Curvas Projetivas
ca ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 O Princ´
ıpio Local-Global para as Cˆnicas . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5 Uma visõ geral sobre a aritm´tica das cˆnicas . . . . . .
a e o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5.1 Elipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5.2 Par´bolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5.3 Hip´rboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Reticulados no plano 22
3.1 Reticulados e seus Dom´ ınios Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 O Toro Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Reticulados Inteiros no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Teorema de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Soma de dois Quadrados 28
4.1 Introdu¸õ . . . . . . . . .
ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2 Pontos Inteiros VS Pontos Racionais em C´ ırculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3 Inteiros de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.4 Soma de Dois Quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.5 problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5 Equa¸˜es de Pell-Fermat
co 32
5.1 Introdu¸õ . . . . . . . . . . . . . . .
ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.2 Inteiros Quadr´ticos de Pell-Fermat
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.3 Solu¸˜es da Equa¸õ de Pell-Fermat
co ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Introdu¸õ
ca
As primeiras preocupa¸˜es matem´ticas do ser humano diziam respeito aos n´meros e `s formas. A Aritm´tica (do
co a u a e
grego αριθµ´ς = n´mero) foi concebida como o estudo dos n´meros, em especial dos n´meros inteiros. A geometria
´ ø u u u
(do grego γ ωµτ ρ´α = medi¸˜es da terra) ´ o estudo das formas - sõ casos especiais as retas, os pol´
ι co e a ıgonos e as
cˆnicas. Vamos tentar explicar do que se trata Aritm´tica em Retas e Cˆnicas.
o e o

H´ ind´
a ıcios hist´ricos de que os problemas aritm´ticos ocupavam um lugar central entre o conhecimento
o e
matem´tico em v´rias civiliza¸˜es antigas e medievais. Na ´
a a co India destacamos os matem´ticos Baudhayana (800
a
AC), Apastamba (600 AC), Aryabhata e Bhaskara I (sćulo VI), Brahmagupta (sćulo VII), Mahaviara (sćulo
e e e
IX) e Bhaskara II (sćulo XII). Na Grćia antiga (per´
e e ıodo helen´ ıstico): Pit´goras (500 AC), Arquimedes (300 AC),
a
Euclides (300 AC), Diofanto (250). Na China Zhou Bi Suan (300 AC) e Ch’in Chiu-Shao. Citamos ainda os
matem´ticos Mul¸umanos Ibn al-Haytham (sćulos X-XI ), Kamal al-Dim al-Farisi (sćulos XIII-XIV). Todos esses
a c e e
matem´ticos estavam intensamente preocupados com quest˜es aritm´ticas e contribu´
a o e ıram para o desenvolvimento
deste ramo da Matem´tica. Os principais livros desse per´
a ıodo sõ Os Elementos de Euclides (300 AC), Jiuzhang
a
Suanshu “Os nove cap´ ıtulos da Arte Matem´tica”(autor chinˆs desconhecido-300 AC), Aritm´tica de Diofanto(250)
a e e
´
e Brahma Sphuta Siddhanta de Brahmagupta(628) traduzido em Arabe(773) e Latin(1123).

A motiva¸ao inicial do estudo da aritm´tica estava centrada em problemas concretos com solu¸˜es inteira. Os
c˜ e co
mais dif´
ıceis desses problemas ficaram famosos por serem (ou parecerem ser) indeterminados. Consideremos, por
simplicidade, o seguinte exemplo:
(Problema proposto por Euler) Um grupo de homens e mulheres gastaram, em uma taverna, 1000 patacas. Cada
homem gastou 19 patacas e cada mulher 13. Quantos eram os homens e quantas eram as mulheres?

Nos sćulos XVII e XVIII nasce uma nova fase a partir dos trabalhos de Fermat, Euler, Gauss, Lagrange, Leg-
e
endre. Gauss, em seu memor´vel Disquisitiones Arithmeticae (1801) escreve :
a
The celebrated work of Diophantus, dedicated to the problem of indeterminateness, contains many results which
excite a more than ordinary regard for the ingenuity and proficiency of the author, because of their difficulty and the
subtle devices he uses, especially if we consider the few tools that he had at hand for his work... The really profound
discoveries are due to more recent authors like those men of immortal glory P. de Fermat, L. Euler, L. Lagrange,
A. M. Legendre (and a few others).

Nessa nova fase foi o interesse intr´
ınseco na Aritm´tica que impulsionou as novas descobertas.
e
De maneira parnasiana, a Aritm´tica passa a fazer “Matem´tica pela Matem´tica”e muitos de seus problemas,
e a a
de enunciado simples e intrigantes, nõ tˆm conexõ alguma com quest˜es concretas. Alguns desses problemas
a e a o
duraram sćulos at´ serem solucionados. Como, por exemplo o famoso
e e
´ ´
(Ultimo Teorema de Fermat, 1637) E imposs´ para um cubo ser escrito como a soma de dois cubos ou uma quarta
ıvel
potˆncia ser escrita como a soma de duas quartas potˆncias ou, em geral, para qualquer n´mero que ´ uma potˆncia
e e u e e
maior que a segunda ser escrito como a soma de duas potˆncias com o mesmo expoente(demonstrado por Wiles, A.
e
em 1995)

Dentro desse contexto, nõ nos propomos fazer contextualiza¸˜es “artificiais”, uma vez que as mesmas parecem
a co
ter efeito negativo, como dizia, hiperbolicamente, Maiakoviski em sua auto biografia “Eu mesmo”:
Meus estudos: Mam˜e e primas de v´rios graus ensinavam-me. A aritm´tica parecia-me inveross´
a a e ımil. Era preciso
calcular peras e ma¸˜s distribu´
ca ıdas a garotos. Contudo, eu sempre recebia e dava sem contar, pois no Cúcaso h´
a a
frutas ` vontade. Foi com gosto que aprendi a ler.
a

Observamos que os problemas lineares indeterminados que foram estudados desde a antiguidade, algebricamente,
a ıceis, mas tamb´m milenares sõ z 2 = x2 + y 2
sõ escritos da forma ax + by = c, com a, b, c ∈ Z. Outros, mais dif´ e a
(estudados na India, China e Grćia) e x2 − dy 2 = 1 (estudados na ´
e India) ou xn + y n = z n (de Fermat). Eles
possuem uma caracter´ ıstica em comum: todos sõ “polinomiais”em v´rias vari´veis.
a a a

Chamamos Equa¸õ Diofantina (em homenagem ao matem´tico Diofanto de Alexandria) uma equa¸õ polino-
ca a ca
mial (em v´rias vari´veis) com coeficientes inteiros e da qual procuramos obter solu¸˜es inteiras (ou racionais).
a a co

O nosso enfoque ´ a liga¸õ entre a Geometria e Aritm´tica, assim, para n´s, uma Equa¸õ Diofantina em duas
e ca e o ca
vari´veis representa uma curva no plano. Solu¸˜es inteiras (ou racionais) da Equa¸õ Diofantina correspondem a
a co ca
pontos com coordenadas inteiras (ou racionais) na curva que chamaremos ponto inteiro (ou racional). O casamento
entre a Aritm´tica e a Geometria foi muito bem sucedido e Fermat foi um dos pioneiros na utiliza¸õ de m´todos
e ca e
geom´tricos para resolver Equa¸˜es Diofantinas.
e co

Importantes quest˜es aritm´ticas de car´ter qualitativo s´ foram resolvidas gra¸as ` utiliza¸õ de m´todos
o e a o c a ca e
geom´tricos (cada vez mais sofisticados). As principais quest˜es qualitativas que podem ser feitas neste contexto
e o
sõ:
a

(i) Existˆncia de pontos racionais;
e

(ii) Decisõ entre a finitude ou infinitude do conjunto dos pontos racionais;
a

(iii) Existˆncia de pontos inteiros;
e

(iv) Decisõ entre a finitude ou infinitude do conjunto dos pontos inteiros.
a

No caso das curvas as quest˜es (i), (ii) e (iv) j´ foram praticamente respondidas para grau menor ou igual a trˆs.
o a e
No caso geral apenas as quest˜es (ii) e (iv) estõ solucionadas, mas a matem´tica envolvida ´ muito avan¸ada. Para
o a a e c
citar o importanto teorema de Faltings, G. que implica, em particular, que toda curva plana lisa com coefcientes
inteiros e grau maior que 3 possui somente um n´mero finito de pontos racionais(1983).
u

Estaremos interessados em tratar alguns problemas aritm´ticos cl´ssicos com uma abordagem geom´trica el-
e a e
ementar. Os problemas espec´ ıficos que abordaremos envolvem a procura de solu¸˜es inteiras (ou racionais) em
co
equa¸˜es polinomiais a duas vari´veis (com coeficientes inteiros) de graus um e dois. Geometricamente essas sõ as
co a a
Retas e as Cˆnicas (da´ o nome do minicurso, Aritm´tica em Retas e Cˆnicas).
o ı e o
Daremos um tratamento um pouco mais geom´trico ao estudo das retas. No caso das cˆnicas, al´m de resultados
e o e
gerais, faremos um estudo detalhado de dois problemas cl´ssicos espec´
a ıficos: Inteiros que sõ Soma de dois Quadra-
a
dos x2 + y 2 = n e as equa¸˜es de Pell-Fermatx2 − dy 2 = 1. Para tratar esses problemas introduziremos a teoria
co
de Minkowski no plano, de maneira auto contida. Daremos referˆncias que seguem essa linha de racioc´
e ınio para
aqueles que quiserem dar continuidade ao estudo da assim chamada Geometria Aritm´tica. e

1 Aritm´tica em Retas
e
Consideremos os trˆs problemas a seguir, como motiva¸õ inicial:
e ca

Exemplo 1.1. Uma crian¸a afirma que suas 1000 bolinhas de gude puderam ser guardadas algumas em latas
c
grandes com 65 bolinhas cada uma e outras em latas menores com 26 bolinhas cada uma, de modo que todas as
latas estavam completas. Reflita sobre a afirma¸õ da crian¸a, procurando descobrir a quantidade de latas grandes
ca c
e a quantidade de latas pequenos.

Exemplo 1.2. Um pai, no come¸o do ano letivo, teve que comprar livros e cadernos para seus filhos. Cada livro
c
custou R$50, 00 e cada caderno R$17, 00. Sabendo que o pai gastou R$570, 00 determine a quantidade de livros e
cadernos comprados.

Exemplo 1.3. Um general decide dividir seu batalhõ em colunas de 31 soldados e percebe que sobram 4 entõ
a a
tentou dividi-los em colunas de 50 soldados cada, desta vez sobrou um unico soldado. Determine o n´mero de
´ u
soldados deste batalhõ sabendo que tal n´mero ´ menor que 1500.
a u e

Os trˆs sõ problemas similares nos quais os m´todos alg´bricos elementares para resolvˆ-los, via equa¸˜es, se
e a e e e co
depara com um grande inconveniente:

¸˜ ´
UMA EQUACAO, DUAS INCOGNITAS

Esse tipo de problema comumente ´ dito ser INDETERMINADO. Entretanto, o tipo de inc´gnita impl´
e o ıcita
nestes problemas ´ inteira (e positiva)...
e

Geometricamente, uma equa¸õ linear em duas inc´gnitas representa uma reta no plano, ou seja, todas as
ca o
solu¸˜es de um problema desses, no conjunto dos n´meros reais, correspondem a uma reta no plano. Se procuramos
co u
solu¸˜es inteiras destas equa¸˜es lineares, entõ estamos buscando pontos desta reta que estõ situados sobre o
co co a a
2 2
reticulado inteiro do plano, Z ⊂ R .

Problema 1.1. Mostre que o problema do exemplo 1.1 nõ possui solu¸õ inteira, ou seja, a crian¸a nõ falava a
a ca c a
verdade.

1.1 Pontos Inteiros em Retas
Considere uma reta = {(x, y) ∈ R2 |bx + cy = a} com coeficientes inteiros a, b, c ∈ Z. Supondo que essa reta possui
algum ponto (x0 , y0 ) ∈ Z2 com coordenadas inteiras, entõ podemos concluir que a mesma possui uma infinidade
a
de pontos inteiros.

Com efeito, se v = (c, −b) ´ um vetor diretor desta reta, entõ os pontos (xk , yk ) = (x0 + kc, y0 − kb) com k ∈ Z
e a
sõ pontos inteiros da reta. O problema consiste em determinar se esses sõ todos os pontos inteiros da reta. E
a a ´
claro que se mdc(b, c) = d = 1, entõ devemos ter que d|a pois d|b e d|c implica que d|bx0 + cy0 = a. Em outras
a
palavras, as equa¸˜es em que d |a nõ possuem solu¸õ inteira.
co a ca

No caso em que d|a podemos escrever b = dβ, c = dγ e a = dα e encontrar uma nova equa¸õ (simplificada)
ca

βx + γy = α

que ´ uma equa¸õ da mesma reta que possui um ponto inteiro (x0 , y0 ) ∈ Z2 . Um vetor diretor simplificado para
e ca
esta reta ´ w = (γ, −β). Redefinindo (xk , yk ) = (x0 + kγ, y0 − kβ) em que k ∈ Z, conclu´
e ımos que todos os pontos

(xk , yk ) sõ pontos inteiros da reta e a verdade ´ que estes sõ todos os pontos inteiros da reta l.
a e a

Poder´ıamos pensar nesse processo como uma simplifica¸õ do vetor diretor inteiro da reta . Com efeito, o vetor
ca
diretor de uma reta est´ definido a menos de m´ltiplo escalar (nõ nulo) e, portanto, a menos de sentido, existe um
a u a
unico vetor diretor cujas coordenadas sõ inteiros coprimos (supondo a existˆncia de um vetor diretor inteiro). Tal
´ a e
vetor ser´ chamado o vetor inteiro irredut´
a ıvel.

Proposi¸õ 1.2. Seja l = {(x, y) ∈ R2 |bx + cy = a} uma reta com coeficientes inteiros a, b, c ∈ Z2 . Suponhamos
ca
que a reta possua um ponto inteiro (x0 , y0 ) ∈ Z2 . Seja w = (−γ, β) o vetor diretor inteiro e irredut´ da reta l,
ıvel
entõ todos os pontos inteiros da reta sõ:
a a

(xk , yk ) = (x0 + kγ, y0 − kβ)

em que k ∈ Z.

Prova: ´
E claro que todos esses pontos sõ pontos inteiros da reta, pois, a menos de sinal, w = v em que
a d
c b
v = (c, −b) e d = mdc(b, c). Logo, bxk + cyk = bx0 + cy0 + b d − c d = bx0 + cy0 = 0, pois (x0 , y0 ) ∈ l. S´ nos resta
o
mostrar que esses sõ todos os pontos inteiros da reta.
a

Suponhamos, por absurdo, que exista um outro ponto inteiro em l, Q = (x∗ , y ∗ ) ∈ ∩ Z2 . Digamos que,
no sentido de nossa parametriza¸õ, esse ponto esteja entre os pontos inteiros Pk e Pk+1 . Isso d´ origem a dois
ca a
triˆngulos retˆngulos semelhantes com hipotenusa sobre a reta e catetos nas dire¸˜es horizontal e vertical.
a a co

P(k+1)

Q

P(k) J I

O cateto horizontal do menor triˆngulo tem comprimento inteiro h < |γ| e o cateto vertical do menor triˆngulo
a a
tem comprimento inteiro s < |β|. Por outro lado, pela proporcionalidade, temos que

h |γ|
=
s |β|
|γ|
e isso ´ um absurdo pois os valores h, s, |γ| e |β| sõ todos inteiros positivos e a fra¸õ
e a ca |β| ´ irredut´ pois, por
e ıvel
hip´tese, mdc(γ, β) = 1.
o

Problema 1.3. Encontre uma solu¸õ particular do segundo problema, exemplo 1.2, e use a proposi¸õ anterior
ca ca
para encontrar todas as solu¸˜es inteiras e positivas do mesmo. (Ap´s parametrizar vocˆ deve impor que x > 0 e
co o e
y > 0.)

1.2 O Algoritmo Estendido de Euclides
Primeiramente, vamos relembrar o algoritmo de Euclides para o c´lculo de mdc de dois n´meros inteiros. Sejam
a u
b e c dois n´meros inteiros e suponhamos que b ≥ c > 0. Dividindo b por c obtemos quociente q e resto r, r < c
u

satisfazendo:
b = cq + r.
´ a
E fćil mostrar que:
mdc(b, c) = mdc(c, r).
Mais precisamente, o conjunto dos divisores comuns de b e c coincide com o conjunto dos divisores comuns de c
e r. De fato, se d|b e d|c, entõ d|r = b − cq e, reciprocamente, se d|c e d|r, entõ d|b = cq + r. Se procedermos,
a a
iteradamente, com este m´todo, como os restos võ diminuindo, ap´s um n´mero finito de itera¸˜es obtemos resto
e a o u co
igual a zero e entõ o algoritmo p´ra. Quando o resto for igual a zero, obtemos uma rela¸õ de divisibilidade e|f
a a ca
neste caso, mdc(e, f ) = e ´ igual ao ultimo divisor obtido.
e ´

Teorema 1.4. Algoritmo de Euclides

Sejam b > c > 0 dois n´meros inteiros. Existe um algoritmo efetivo para encontrar o mdc(b, c) a partir de (um
u
n´mero finito de) sucessivas divis˜es com resto.
u o

Prova: Algoritmo

Sejam r−1 = b, r0 = c e fa¸amos as divis˜es sucessivas de rk por rk+1 em que k = −1, 0, ..., n (em que n ´ o
c o e
passo em que o resto ´ zero).
e
rk = rk+1 qk+1 + rk+2 .
Pelo anteriormente exposto mdc(rk , rrk+1 ) = mdc(rk+1 , rrk+2 ). O algoritmo funciona bem pois sempre temos
rk > rk+1 e, como todos sõ nõ negativos(rk ≥ 0), entõ rn+1 = 0 para algum n. Nesse caso rn−1 = rn qn e,
a a a
portanto, mdc(rn−1 , rn ) = rn .

Logo,
mdc(b, c) = ... = mdc(rk , rk+1 ) = ... = mdc(rn−1 , rn ) = rn

O algoritmo estendido de Euclides ´ um m´todo interativo de obter, para cada um dos restos encontrados no
e e
algoritmo de Euclides, uma expressõ do tipo:
a

rk = bxk + cyk

na qual xk e yk sõ inteiros.
a
O algoritmo estendido de Euclides nos permite demonstrar o seguinte teorema conhecido por Lema de B`zout:
e

Teorema 1.5. Algoritmo Estendido de Euclides - Lema de B`zout
e

Sejam b e c n´meros inteiros, b > c > 0, e seja d = mdc(b, c). Entõ existem inteiros x e y tais que:
u a

bx + cy = d.

Al´m disso, os inteiros x e y podem ser efetivamente calculados a partir de um algoritmo finito.
e

Prova: Com as mesmas nota¸˜es estabelecidas no teorema anterior, vamos proceder interativamente para de-
co
terminar xk e yk de modo que bxk + cyk = rk .

Claramente, se k = −1, entõ podemos escolher x−1 = 1 e y−1 = 0 pois 1.b + 0.c = b. Se k = 0 podemos
a
escolher x0 = 0 e y0 = 1, pois 0.b + 1.c = c. Agora, suponhamos que k ≥ 1 e suponhamos que j´ conhecemos xk−2 ,
a

yk−2 tais que bxk−2 + cyk−2 = rk−2 e tamb´m conhecemos xk−1 e yk−1 tais que bxk−1 + cyk−1 = rk−1 .
e

Como rk ´ obtido a partir da divisõ de rk−2 por rk−1 , temos:
e a
rk−2 = rk−1 qk−1 + rk
substituindo as express˜es anteriores para rk−2 e rk−1 , obtemos:
o
rk = b(xk−2 − qk−1 xk−1 ) + c(yk−2 − qk−1 yk−1 ).
Assim, podemos escolher xk = xk−2 − qk−1 xk−1 e yk = yk−2 − qk−1 yk−1 .

O algoritmo vai parar quando rn+1 = 0, e no passo anterior, temos, pelo teorema 1.4, que
d = mdc(b, c) = rn = bxn + cyn .

1.3 Equa¸oes diofantinas lineares
c˜
O teorema que exibiremos a seguir responde de uma vez por todas `s indaga¸˜es sobre a aritm´tica das retas e sua
a co e
demonstra¸õ ´ uma leitura das se¸˜es anteriores.
ca e co
Teorema 1.6 (Euclides). Sejam a, b e c n´meros inteiros e defina d = mdc(b, c). Considere a equa¸ao diofantina
u c˜
linear:
bx + cy = a
Entõ temos:
a
1. (i) Se d a, entõ a equa¸õ dada nõ tem solu¸õ inteira;
a ca a ca

2. (ii) Se d | a, entõ a equa¸õ dada tem infinitas solu¸˜es inteiras e, al´m disso, o conjunto de pontos inteiros
a ca co e
pode ser parametrizado a partir de um ponto particular. Precisamente, fazendo a = dα, b = dβ e c = dγ a
equa¸õ fica da forma:
ca
βx + γy = α
e dada uma solu¸õ particular (x0 , y0 ) nos inteiros, entõ todas as outras solu¸˜es inteiras da equa¸õ sõ da
ca a co ca a
forma:
x = x = x0 + γk
k∈Z
y = y0 − βk
Prova: A primeira parte ´ trivial. A segunda parte segue da proposi¸õ 1.2 e do teorema 1.5. De fato, do
e ca
teorema 1.5 conclu´ımos que a reta possui um ponto inteiro (um ponto inteiro pode ser determinado pelo algoritmo
estendido de Euclides) e, pela proposi¸õ 1.2, sabemos que se uma reta com coeficientes inteiros possui um ponto com
ca
coordenadas inteiras, entõ possui uma infinidade de pontos inteiros parametrizados a partir do ponto particular
a
com m´ltiplos inteiros do vetor diretor irredut´
u ıvel.

1.4 ´
Areas VS Pontos Inteiros em Regi˜es Poligonais
o
Existem muitas formas de calcular a ´rea de um pol´
a ıgono no plano. Vamos apresentar duas delas: a primeira
via determinantes e a segunda, ser´ o teorema de Pick, que fornece uma maneira combinat´ria de calcular ´rea
a o a
ıgonos no plano cujos v´rtices pertencem ao “reticulado padrõ” Z2 ⊂ R2 , ou seja, seus v´rtices possuem
de pol´ e a e
coordenadas inteiras. A f´rmula de Pick fornece uma rela¸õ entre a ´rea de um pol´
o ca a ıgono simples e o n´mero de
u
pontos inteiros em seu interior e em sua fronteira.

1.4.1 ´
Area de um paralelogramo

Um paralelogramo no plano pode ser definido a partir de dois vetores v, w ∈ R2 . Seus v´rtices serõ 0, v, w e
e a
v + w. Se considerarmos estes vetores como vetores espaciais (com a ultima coordenada nula), estamos fazendo a
´
2 ∼
identifica¸õ R = {(x, y, z) ∈ R |z = 0}. Agora, podemos usar o produto vetorial do R3 para calcular a ´rea do
ca 3
a
paralelogramo, verifica-se facilmente que

ˆ
v × w = det(v, w)k = (0, 0, det(v, w)).

Ou seja, a ´rea de um paralelogramo no plano gerado pelos vetores v e w ´
a e

A = ||v × w|| = | det(v, w)|.

Nessa nota¸ao, det(v, w) ´ o determinante da matriz quadrada de ordem 2 cujas linhas sõ, respectivamente, as
c˜ e a
coordenadas de v e w.

Sejam v ∈ Z2 ⊂ R2 , v = (a, b) e d = mdc(a, b). Vamos dar uma interpreta¸õ geom´trica do n´mero d em
ca e u
2
termos de ´rea de parelogramos no plano. Considere o seguinte conjunto ∆(v) = {det(v, w)|w ∈ Z }, entõ temos
a a
o seguinte

Teorema 1.7. Sejam v ∈ Z2 ⊂ R2 , v = (a, b), d = mdc(a, b) e ∆(v) = {det(v, w)|w ∈ Z2 }. Entõ:
a

∆(v) = dZ = {dm|m ∈ Z}.

Ou seja, o mdc entre as coordenadas do vetor v representa a menor ´rea de um paralelogramo com v´rtices inteiros
a e
tendo v como um dos lados.

Prova: Ora,
∆(v) = {det(v, w)|w ∈ Z2 } = {ax + by|x, y ∈ Z} = dZ

O resultado segue diretamente do lema de B`zout, 1.5.
e

1.4.2 O Teorema de Pick

O teorema de Pick fornece uma maneira combinat´ria de calcular a ´rea de um pol´
o a ıgono simples com v´rtices
e
inteiros. A f´rmula de Pick envolve o n´mero de pontos inteiros na fronteira do pol´
o u ıgono e o n´mero de pontos
u
inteiros no interior do pol´
ıgono. No presente contexto a f´rmula de Pick pode ser interpretada como uma forma de
o
encontrar o n´mero de pontos inteiros no interior do pol´
u ıgono.

Defini¸õ 1.8. Um pol´
ca ıgono plano ´ dito ser simples se nõ possuir “furos”e se suas arestas s´ se intersectarem
e a o
nos v´rtices. Um pol´
e ıgono simples pode ser cˆncavo ou convexo.
o

Teorema 1.9. (Pick) Sejam P ⊂ R2 um pol´ ıgono simples cujos v´rtices pertencem a Z2 (pontos do plano com
e
coordenadas inteiras). Defina F o n´mero de pontos inteiros na fronteira de P (v´rtices e arestas) e I o n´mero
u e u
de pontos inteiros no interior de P. Entõ a ´rea do pol´
a a ıgono P é
1
A(P) = F +I −1
2
Prova: Defina o n´mero de Pick de um pol´
u ıgono simples P com v´rtices inteiros por:
e
1
P ick(P) = F + I − 1.
2

Se dois pol´
ıgonos simples possuem uma aresta de mesmo m´dulo e dire¸õ, entõ podemos obter, a partir
o ca a
deles, um novo pol´
ıgono identificando essa aresta e deletando-a, o pol´
ıgono assim obtido ´ o que chamaremos a
e
concatena¸õ dos pol´
ca ıgonos iniciais P = P1 P2 .

P2

P1

Vamos mostrar que o n´mero de Pick ´ aditivo por concatena¸õ. Sejam Pi , i = 1, 2 dois pol´
u e ca ıgonos simples
com v´rtices inteiros e com uma aresta de mesmo m´dulo e dire¸õ. E sejam Fi e Ii , respectivamente, o n´mero de
e o ca u
pontos inteiros na fronteira e no interior do pol´
ıgono Pi , i = 1, 2. Digamos que o segmento comum, na concatena¸õ
ca
possui k + 2 pontos inteiros.

O n´mero de pontos inteiros no interior da concatena¸õ ´
u ca e

I = I1 + I2 + k

pois, ap´s a concatena¸õ, os k v´rtices (nõ terminais) da aresta deletada võ pertencer ao interior do pol´
o ca e a a ıgono
P = P1 ⊕ P2 .

O n´mero de pontos inteiros na fronteira da concatena¸õ ´
u ca e

F = F1 + F2 − 2(k + 2) + 2

pois somando os pontos de fronteira de P1 e P2 e subtraindo duas vezes os pontos inteiros da aresta deletada s´
o
faltam os terminais da aresta deletada para completar os pontos inteiros na fronteira de P.

Calculando o n´mero de Pick de P, temos:
u
1
P ick(P) = (F1 + F2 − 2(k + 2) + 2) + I1 + I2 + k = P ick(P1 ) + P ick(P2 ).
2
Agora note que todo pol´ ıgono simples no plano pode ser subdividido em triˆngulos de modo que o v´rtice de
a e
cada triˆngulo seja algum v´rtice do pol´
a e ıgono. Assim, todo pol´ıgono com v´rtices inteiros pode ser subdividido em
e
triˆngulos com v´rtices inteiros. Pelo resultado de aditividade por concatena¸õ, podemos nos reduzir ao caso de
a e ca
triˆngulos com v´rtices inteiros para provar o teorema de Pick.
a e

Todo triˆngulo com v´rtices inteiros pode ser inscrito em um retˆngulo horizontal com v´rtices inteiros. Assim
a e a e
podemos nos reduzir aos triˆngulos retˆngulos horizontais ou melhor, aos pr´prios retˆngulos horizontais.
a a o a

Todo triˆngulo horizontal ´ formado por concatena¸õ de quadrados 1 × 1. Assim, se verificamos a f´rmula de
a e ca o
Pick em quadrados 1 × 1, entõ vale o teorema de Pick em geral
a

Para um quadrado 1 × 1 temos: A = 1, F = 4, I = 0, e efetivamente,
1 1
A=1= .4 + 0 − 1 = F + I − 1.
2 2

Observa¸õ 1.10. Ver, por exemplo, Lages Lima, E. [9]. A se¸õ intitulada Como calcular a ´rea de um pol´
ca ca a ıgono
se vocˆ sabe contar
e

Como hav´
ıamos dito queremos olhar para a f´rmula de Pick de outra forma:
o
1
I =A− F +1
2
E sabemos que a ´rea pode ser calculada de v´rias formas. Gostar´
a a ıamos de terminar essa se¸õ mostrando como
ca
calcular F de maneira instantˆnea.
a

Proposi¸õ 1.11. Seja P = A0 A1 A2 ...An−1 An , com An = A0 , um pol´
ca ıgono simples no plano com v´rtices inteiros,
e
−−→
−−
isto ´, Ai ∈ Z. Defina vi = Ai−1 Ai = (ai , bi ) e di = mdc(ai , bi ). Entõ o n´mero de pontos inteiros na fronteira de
e a u
n
P ´F =
e di .
i=1

Prova: Primeiramente lembramos que, a partir do argumento utilizado na proposi¸õ 1.2, um segmento de
ca
−
−→
reta P Q com P, Q ∈ Z2 tal que v = P Q = (a, b) com mdc(a, b) = 1, entõ nõ existe ponto inteiro no interior do
a a
segmento. Verifique na figura!!!

−
−→
Sejam P, Q ∈ Z2 ⊂ R2 e v = P Q = (a, b) dois v´rtices consecutivos do pol´
e ıgono, entõ o n´mero de pontos
a u
inteiros na aresta P Q ´ igual a d+1 em que d = mdc(a, b). Com efeito, basta dividir o segmento P Q em d segmentos
e
cujo vetor que o representa tenha coordenadas inteiros coprimos.

Para concluir note que cada aresta Ai−1 Ai do pol´ıgono vai possuir, em seu interior(sem contar os v´rtices),
e
di − 1 pontos inteiros. Logo o n´mero de pontos inteiros na fronteira do pol´
u ıgono ser´
a
n
di − n + n
i=1

−n corresponde a −1 para cada aresta e +n corresponde aos v´rtices do pol´
e ıgono.

1.5 Problemas
1. Vocˆ possui muitos palitos com 6cm e 7cm de comprimento. Qual o n´mero m´
e u ınimo de palitos que vocˆ
e
precisa utilizar para fazer uma fila de palitos com comprimento total de 2 metros?

2. (Problema proposto por Mahavira, 850) 5 pilhas de frutas mais duas frutas foram divididas (igualmente)
entre 9 viajantes; seis pilhas mais quatro foram divididas por 8; quatro pilhas mais 1 foram divididas por 7.
Determine o menor n´mero poss´ de frutas em cada pilha.
u ıvel

3. (Problema proposto por Bhaskara 1; Sćulo VI) Encontre o menor n´mero natural que deixa resto 1 quando
e u
dividido por 2,3,4,5,6 mas ´ exatamente divis´ por 7.
e ıvel

4. (Proposto por Euler) Uma pessoa comprou cavalos e bois. Foram pagos 31 escudos por cavalo e 20 escudos
por boi e sabe-se que todos os cavalos custaram 7 escudos a mais do que todos os bois.Quantos cavalos e
quantos bois foram comprados?

5. (Problema do sćulo XVI) Um total de 41 pessoas entre homens, mulheres e crian¸as foram a um banquete e
e c
juntos gastaram 40 patacas. Cada homem pagou 4 patacas, cada mulher 3 patacas e cada crian¸a um ter¸o
c c
de pataca. Quantos homens, quantas mulheres e quantas crian¸as havia no banquete?
c

6. Na Russia a moeda se chama rublo. Existem notas de 1, 3 e 5 rublos. Mostre que nõ ´ poss´ pagar 25
a e ıvel
rublos com exatamente 10 notas com os valores citados.

7. Prove que toda quantia inteira maior ou igual a R$4, 00 pode ser paga utilizando notas de R$2, 00 e R$5, 00.

8. Sejam a, b, c ∈ Z n´meros inteiros positivos e suponha que a ≥ bc. Mostre que a equa¸õ
u ca

bx + cy = a

possui solu¸õ inteira nõ negativa (m, n) ∈ Z, m, n ≥ 0
ca a

9. Dado v ∈ Z2 ⊂ R2 , v = (a, b), com mdc(a, b) = 1, mostre que existe w = (c, d) ∈ Z2 ⊂ R2 tal que o
paralelogramo gerado por v e w nõ possui ponto inteiro em seu interior.
a

10. Prove que todo pol´
ıgono simples com v´rtices inteiros possui ´rea cujo dobro ´ um n´mero inteiro.
e a e u

11. Mostre que um triˆngulo plano com v´rtices inteiros tem ´rea m´
a e a ınima A = 1 se, e somente se, o triˆngulo
2 a
nõ possui ponto inteiro no seu interior. Mostre que de fato essa ´ a ´rea m´
a e a ınima.
1
12. Mostre que no plano existem triˆngulos com v´rtices inteiros de ´rea m´
a e a ınima A = 2 com per´
ımetro arbitrari-
amente grande.

13. Um agricultor possui um terreno poligonal e deseja plantar p´s de milho em seu interior. Suponhamos que,
e
ap´s uma escolha de eixos coordenados os v´rtices do pol´
o e ıgono e os p´s de milho võ corresponder a pontos
e a
com coordenadas inteiras. Determinar o n´mero de p´s de milho que podem ser plantados supondo que os
u e
v´rtices do pol´
e ıgono sõ: A = (0, 0, ), B = (8, 0), C = (15, 10), D = (12, 20), E = (10, 15) e F = (0, 10).
a

2 Aritm´tica em Cˆnicas
e o
2.1 Introdu¸õ
ca
Uma curva alg´brica plana em R2 ´ dada como o conjunto solu¸õ de uma equa¸õ polinomial em duas vari´veis.
e e ca ca a

C = {(x, y) ∈ R2 | f (x, y) = 0}

E consideramos que esse conjunto ´ nõ vazio e nõ consiste de um n´mero finito de pontos. Chamamos cˆnica
e a a u o
a uma curva alg´brica plana definida por um polinˆmio de grau dois. Nõ estaremos interessados no caso em que
e o a
o polinˆmio seja redut´
o ´
ıvel, pois, nesse caso seu conjunto de zeros ser´ um par de retas. E muito conhecido, da
a
geometria anal´
ıtica b´sica, que as unicas cˆnicas irredut´
a ´ o ıveis sõ: par´bola, hip´rbole e elipse.
a a e

As formas canˆnicas com coeficientes inteiros das cˆnicas sõ as seguintes:
o o a

1. Par´bolas
a
C = {(x, y) ∈ R2 | ax2 + by = 0}
a=0eb=0

2. Hip´rboles
e
C = {(x, y) ∈ R2 | ax2 − by 2 = c}
a, b, c > 0

3. Elipses
C = {(x, y) ∈ R2 | ax2 + by 2 = c}
a, b, c > 0

4. C´
ırculos Sõ elipses especiais para as quais a = b
a

C = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = r2 }

Observa¸õ 2.1. Quando estamos interessados no conjunto de pontos racionais de uma cˆnica, entõ podemos
ca o a
efetivamente nos reduzir ` sua forma canˆnica. De fato, o m´todo de diagonaliza¸õ de uma forma quadr´tica
a o e ca a
funciona sobre qualquer corpo de caracter´
ıstica diferente de 2.

Entretanto nõ ´ verdade o mesmo sobre os inteiros! Estaremos, de fato, fazendo uma simplifica¸õ ao supor
a e ca
uma cˆnica na forma canˆnica para tratar de quest˜es sobre seu conjunto de pontos inteiros.
o o o

2.2 O M´todo das Tangentes e das Secantes de Fermat
e
Nessa Se¸õ vamos apresentar o M´todo das Tangentes e das Secantes de Fermat. Tal m´todo foi utilizado por
ca e e
Fermat em cˆnicas e c´bicas, por motiva¸˜es aritm´ticas. Explicaremos o m´todo somente para as cˆnicas.
o u co e e o

Para encontrar a interse¸õ de uma reta e uma cˆnica devemos resolver o sistema de equa¸˜es em duas vari´veis
ca o co a
consistindo de uma equa¸õ linear e uma quadr´tica. Substituindo y = mx + n, a equa¸õ da reta, na equa¸õ da
ca a ca ca
cˆnica, o sistema fica reduzido a uma equa¸õ do segundo grau em uma unica vari´vel. Digamos que a equa¸õ do
o ca ´ a ca
segundo grau seja
ax2 + bx + c = 0.
Se a reta e a cˆnica possuem coeficientes racionais, entõ a, b, c ∈ Q. Sabemos que as ra´
o a ızes da equa¸õ do
ca
segundo grau fornece abcissas dos pontos de interse¸õ. Se temos uma raiz racional, entõ a outra raiz ser´ tamb´m
ca a a e
c
racional (pois o produto das ra´ ´ igual a a , que ´ racional). Verifique!!!
ızes e e

Podemos sumarizar o M´todo das Secantes e das Tangentes de Fermat da seguinte forma:
e

Sejam C uma cˆnica, P ∈ C e uma reta que nõ passa por P = P1 . Seja ˜ a reta paralela a
o a passando por P
eC∩ ˜ = {P1 , P2 } (nõ necessariamente distintos) entõ a fun¸õ:
a a ca

φ : C {P1 , P2 } −→
Q → P Q ∩ = R(Q)

´ invers´
e ıvel, sendo sua inversa a seguinte fun¸õ:
ca

φ−1 : −→ C {P1 , P2 }
R → P R ∩ C = Q(R)

R(Q)

Q

P

Q(R)
R

Teorema 2.2. Seja C ⊂ R2 uma cˆnica com coeficientes racionais. Suponhamos que o conjunto dos pontos
o
racionais de C seja nõ vazio, entõ a cˆnica C possui uma infinidade de pontos racionais.
a a o

Prova: Basta utilizar o M´todo das Tangentes e das Secantes de Fermat.
e

Consideremos, agora dois exemplos: o primeiro fornece uma parametriza¸õ do c´
ca ırculo unit´rio (sem usar senos
a
e cossenos).

Exemplo 2.1. Seja C = {(x, y) ∈ R2 | x2 +y 2 = 1}. Usaremos o ponto P0 = (−1, 0) e a reta = OY = {(0, t)|t ∈ R}
para aplicar o M´todo de Fermat:
e
φ : C {P } −→
Q → PQ ∩
y
(x, y) → (0, x+1 )

t y

1 x

y
A parametriza¸õ que queremos ´ φ−1 e para encontr´-la, basta fazer x+1 = t ⇒ y = t(x + 1) e lembrar
ca e a
que x2 + y 2 = 1. Da´ segue que (t2 + 1)x2 + (2t2 )x + (t2 − 1) = 0 e como x0 = −1 ´ uma raiz desta equa¸õ
ı e ca
2 2
(correspondente ao ponto P0 = (−1, 0)) e o produto das ra´ ızes ´ t2 −1 obtemos para a outra raiz xt = 1−t2
e t +1 1+t
2t
substituindo temos yt = 1+t2 . Logo,

φ−1 : −→ C {P }
Q → PQ ∩ C
1−t2 2t
(0, t) → ( 1+t2 , 1+t2 )

Exemplo 2.2. Considere agora o c´ ırculo C = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 = 2}. Um ponto racional nesse c´
ırculo ´ (1, 1).
e
Considere a fam´ de retas passando por esse ponto: t : y − 1 = t(x − 1), se t ∈ Q, entõ cada uma dessas retas ´
ılia a e
secante ao c´
ırculo em um outro ponto racional Pt . Mostre que todos os outros pontos racionais desse c´
ırculo sõ:
a

t2 − 2t − 1 −t2 − 2t + 1
( , ).
t2 + 1 t2 + 1

Teorema 2.3. Seja C ⊂ R2 a cˆnica de equa¸õ ax2 + by 2 = c com a, b, c ∈ Q. Se P0 = (x0 , y0 ) ´ um ponto
o ca e
racional de C, entõ todos os outros pontos racionais de C sõ da forma
a a

bt2 x0 − 2bty0 − ax0 −bt2 y0 − 2atx0 + ay0
( , )
bt2 + a bt2 + a

em que t ∈ Q, bt2 + a = 0, exceto (x0 , −y0 ). Ou seja, o conjunto dos pontos racionais de C pode ser parametrizado
a partir de P0 .

Prova: Considere a fam´ de retas passando por P0 , t : y − y0 = t(x − x0 ). Para cada parˆmetro racional
ılia a
t ∈ Q, a reta t possui coeficientes racionais e, portanto, essa reta ser´ secante ` cˆnica C em um outro ponto
a a o
racional Pt = (xt , yt ) (argumento de Fermat). Substituindo a equa¸õ da reta y = y0 + t(x − x0 ) na equa¸õ da
ca ca
cˆnica obtemos uma equa¸õ do segundo grau:
o ca

(a + bt2 )x2 + ( )x + x0 (bt2 x0 − 2bty0 − ax0 ) = 0

o produto das ra´
ızes dessa equa¸õ ´:
ca e

x0 (bt2 x0 − 2bty0 − ax0 )
x0 xt = ,
a + bt2
da´ seguem as express˜es de xt e yt .
ı o

Observa¸õ 2.4. A partir do teorema acima podemos obter uma parametriza¸õ de qualquer cˆnica utilizando,
ca ca o
apenas, fun¸˜es racionais. O ponto central em nossa abordagem era encontrar solu¸˜es racionais. Caso o objetivo
co co
seja encontrar uma parametriza¸õ utilizando fun¸˜es racionais, entõ o ponto inicial pode ser tomado como um
ca co a
ponto qualquer (x0 , y0 ) ∈ R2 . Observamos ainda que as par´bolas sõ triviais uma vez que sua equa¸õ fornece
a a ca
imediatamente uma parametriza¸õ. ca

2.3 Homogeneiza¸õ e Deshomogeneiza¸õ: Curvas Projetivas
ca ca
Um polinˆmio em mais de uma vari´vel ´ dito ser homogˆneo se todos os seus monˆmios sõ de mesmo grau, digamos
o a e e o a
n
n. Sua propriedade fundamental ´ que F (λP ) = λ F (P ), assim sendo, se λ = 0 entõ: F (P ) = 0 ⇔ F (λP ) = 0.
e a

Suponhamos, agora, que o polinˆmio F possua coeficientes racionais e vamos nos concentrar em procurar solu¸˜es
o co
racionais. Pelo exposto, quando estamos procurando solu¸˜es de um polinˆmio homogˆneo, podemos nos reduzir
co o e

a procurar solu¸˜es que nõ sõ m´ltiplos, logo, na classe de solu¸˜es existe uma unica solu¸õ inteira sem fatores
co a a u co ´ ca
comuns(a menos de sinal).

´
E bastante natural considerar a seguinte rela¸õ de equivalˆncia em R3 {0}: v ≡ w ⇔ v = λw com λ = 0.
ca e

Defini¸õ 2.5. O Plano projetivo P2 (R) ´ definido como o conjunto quociente do R3 pela rela¸õ de equivalˆncia
ca e ca e
de m´ltiplos nõ nulos. Se a classe de v = (X, Y, Z) possuir z = 0, entõ (X, Y, Z) ≡ (x, y, 1) caso contr´rio dizemos
u a a a
que o mesmo representa um ponto no infinito, assim

P2 (R) = R2 ∪ ∞

em que ∞ representa a “reta no infinito”(dos pontos no infinito) que corresponde a P1 (R).

Se f (x, y) ´ um polinˆmio em duas vari´veis de grau (m´ximo) n podemos a partir de f obter um polinˆmio
e o a a o
X Y
homogˆneo F (X, Y, Z) fazendo x = Z e y = Z e cancelando denominadores. Observe que como estamos interessados
e
em fazer F (X, Y, Z) = 0 ´ permitido cancelar denominadores.
e

Defini¸õ 2.6. Seja f (x, y) um polinˆmio em duas vari´veis com coeficientes reais e C ⊂ R2 a curva associada. O
ca o a
polinˆmio homogˆneo F , associado a f ´ chamado homogeneiza¸õ de f e C ⊂ P2 a curva projetiva associada.
o e e ca

Proposi¸õ 2.7. Seja f (x, y) um polinˆmio com coeficientes racionais e F (X, Y, Z) a homogeneiza¸õ de f . Existe
ca o ca
uma bije¸õ entre as solu¸˜es racionais de f e as solu¸˜es inteiras, sem fator comum e com Z = 0 de F (a menos
ca co co
de sinal).

Prova: Observe que a cada solu¸õ racional em f (x, y) = 0 obtemos uma unica solu¸õ em inteiros coprimos de
ca ´ ca
F (X, Y, Z) = 0 (a menos de sinal). Basta multiplicar (x, y, 1) pelo mmc das fra¸˜es irredut´
co ıveis que determinam x, y.

Reciprocamente, se F (X, Y, Z) ´ um polinˆmio homogˆneo em trˆs vari´veis, podemos a partir de F obter um
e o e e a
polinˆmio f (x, y) fazendo X = xZ e Y = yZ e cancelando Z n . Observamos que a a cada solu¸õ em inteiros de
o ca
F (X, Y, Z) = 0, com Z = 0, obtemos uma solu¸õ racional de f (x, y) = 0.
ca

Exemplo 2.3. Ternas Pitag´ricas
o

Um problema milenar, conhecido por “ternas pitag´ricas”, consiste em encontrar solu¸˜es em inteiros para a
o co
equa¸õ de Pit´goras, a2 = b2 + c2 , isto ´, encontrar triˆngulos retˆngulos com lados inteiros. Inicialmente vamos
ca a e a a
considerar o caso em que a, b e c sõ coprimos, isto ´, mdc(a, b, c) = 1 que implica, por sua vez, mdc(a, b) =
a e
mdc(a, c) = mdc(b, c) = 1. Para encontrar a solu¸õ geral basta multiplicar por um inteiro arbitr´rio.
ca a

2
Dividindo a equa¸õ por a2 , quando a = 0, obtemos a + a 2 = 1, isto ´, x2 + y 2 = 1. Desta feita, procuramos,
ca b c
e
agora, pontos racionais no c´
ırculo unit´rio. Sabemos que todos os pontos racionais no c´
a ırculo unit´rio, exceto
a
1−t2 2t
(−1, 0), podem ser parametrizados da forma ( 1+t2 , 1+t2 ) conforme visto no exemplo 2.1.

m
Suponhamos, agora que t = n, com mdc(m, n) = 1. Substituindo, obtemos:
b n2 − m 2 c 2mn
= 2 , = 2 .
a n + m2 a n + m2
ımpares, temos mdc(n2 − m2 , n2 + m2 ) = 1 (m, n
Como mdc(a, b) = mdc(a, c) = 1, e b e c nõ podem ser ambos ´
a
tem paridades distintas) nesse caso

a = m2 + n2 , b = n2 − m2 , c = 2mn.

Alguns exemplos de ternas pitag´ricas sõ (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), ...
o a

Observa¸õ 2.8. Poderia tamb´m ocorrer de m, n serem ambos ´
ca e ımpares. Nesse caso mdc(n2 − m2 , n2 + m2 ) = 2
e da´
ı
m2 + n2 n2 − m 2
a= ,b = , c = mn.
2 2
Fazendo m + n = 2u e n − m = 2v (que ´ sempre poss´ pois a soma e a diferen¸a de dois ´
e ıvel c ımpares ´ sempre par),
e
obtemos
a = u2 + v 2 , b = 2uv, c = u2 − v 2 .

2.4 O Princ´
ıpio Local-Global para as Cˆnicas
o
O princ´ıpio Local-Global, de Hasse-Minkowski, fornece uma caracteriza¸õ das formas quadr´ticas (homogˆneas)
ca a e
com coeficientes racionais (inteiros) que possuem algum ponto racional (nõ nulo). Ap´s tal caracteriza¸õ ´ poss´
a o ca e ıvel
resolver o problema algoritmicamente, isto ´, dada uma forma quadr´tica ´ poss´
e a e ıvel, ap´s um n´mero finito de pas-
o u
sos, descobrir quando a mesma possui algum ponto racional. A formula¸õ geral do princ´
ca ıpio exige a defini¸õ de
ca
n´meros p-´dicos e nõ ´ nosso objetivo. Vamos primeiramente mostrar, com um exemplo, que existem cˆnicas que
u a a e o
nõ possuem pontos racionais e enunciar, posteriormente uma versõ do princ´
a a ıpio local-global para as cˆnicas.
o

Analisemos o seguinte exemplo, pr´ximo ao exemplo das ternas pitag´ricas. Vamos ver que uma ligeira modi-
o o
fica¸õ nos coeficientes de uma cˆnica pode trazer resultados catastr´ficos (mas interessantes). Nesse caso a cˆnica
ca o o o
em questõ nõ possui ponto racional.
a a

Exemplo 2.4. Analisemos o conjunto dos pontos racionais do c´
ırculo

C = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 = 3}

ou equivalentemente, as solu¸˜es nõ nulas, em inteiros, da equa¸õ homogeneizada:
co a ca

X 2 + Y 2 = 3Z 2 ,

podemos supor que se houver solu¸õ em inteiros mdc(X, Y, Z) = 1. Fazendo a divisõ euclidiana (com resto) de
ca a
cada um deles por 3, obtemos

 X ˜
= 3X + a

Y ˜
= 3Y + b


Z ˜
= 3Z + c.
Substituindo na equa¸õ original notamos que a2 + b2 − 3c2 deve ser m´ltiplo de 3 mas como a, b, c ∈ {0, 1, 2}
ca u
chegamos a conclusõ (ap´s alguns testes) que a = b = 0 e, portanto, X e Y deveriam ser m´ltiplos de 3 mas isso
a o u
obrigaria que 3Z 2 fosse m´ltiplo de 9 e isto s´ seria poss´ se Z fosse tamb´m m´ltiplo de 3 e isto ´ um absurdo
u o ıvel e u e
uma vez que supomos que mdc(X, Y, Z) = 1.

Esta contradi¸õ foi proveniente da nossa (falsa) hip´tese de existˆncia de alguma solu¸õ em inteiros nõ
ca o e ca a
2 2 2
nulos de X + Y = 3Z , assim podemos concluir que tal equa¸õ nõ possui solu¸õ nõ nula em inteiros e
ca a ca a
conseqëntemente, a nossa curva C nõ possui ponto racional.
u a

Observa¸õ 2.9. A estrat´gia utilizada para mostrar que a equa¸õ nõ possui solu¸õ inteira nõ nula ´ chamada
ca e ca a ca a e
Descida Infinita de Fermat. Essa estrat´gia ´ baseada no princ´
e e ıpio da Boa Ordena¸õ. A filosofia geral da “descida
ca
infinita de Fermat”´ a seguinte: se supomos que existem solu¸˜es inteiras positivas, podemos escolher uma minimal
e co
(em um sentido a determinar) e, a partir desta encontrar outra “menor”, entõ nõ existe solu¸õ inteira. No nosso
a a ca
caso a minimalidade dizia respeito a nõ existir fator comum entre as coordenadas da solu¸õ.
a ca

Em geral temos o seguinte teorema de Hasse-Minkowski que determina quando uma cˆnica possui ponto racional.
o

Teorema 2.10 (Hasse-Minkowski). Seja C ∈ R2 uma cˆnica com coeficientes racionais e C ⊂ P2 a curva
o
projetiva associada (com coeficientes inteiros). Uma condi¸õ necess´ria e suficiente para a existˆncia de um ponto
ca a e
racional em C ´ que a sua equa¸õ homogeneizada possua solu¸õ m´dulo pe para todo natural primo p e para cada
e ca ca o
e > 0.

2.5 Uma visõ geral sobre a aritm´tica das cˆnicas
a e o
2.5.1 Elipses

(i) Existˆncia de ponto(s) racional(is).
e

Pelo Princ´
ıpio Local-Global para as Cˆnicas, Teorema 2.10 o problema ´ algor´
o e ıtmico. Daremos uma descri¸õca
completa para as circunferˆncias, independente do Teorema de Hasse-Minkowski, no cap´
e ıtulo intitulado Soma
de Dois Quadrados.

(ii) Decisõ entre a finitude ou infinitude do conjunto dos pontos racionais.
a

Pelo teorema 2.2, se a cˆnica C possui um ponto racional, entõ possui infinitos. Al´m disso, se co-nhecemos
o a e
um deles, entõ ´ poss´ parametrizar todos, pelo teorema 2.3.
a e ıvel

(iii) Existˆncia de ponto(s) inteiro(s)
e

Muito dif´ em geral, faremos uma an´lise detalhada do caso do c´
ıcil, a ırculo no cap´
ıtulo intitulado Soma de Dois
Quadrados.

a

Esse conjunto ´ sempre finito, pela compacidade das elipses. Verifique!!!
e

2.5.2 Par´bolas
a

(i) Existˆncia de ponto(s) racional(is);
e

Toda par´bola possui uma infinidade de pontos racionais.
a

(ii) Decisõ entre a finitude ou infinitude do conjunto dos pontos racionais;
a

Toda par´bola possui uma infinidade de pontos racionais.
a

(iii) Existˆncia de ponto(s) inteiro(s);
e

Existem par´bolas que possuem e outras que nõ possuem pontos inteiros.
a a

a

A an´lise de exemplos mostrar´ que nõ h´ um padrõ geral.
a a a a a

2.5.3 Hip´rboles
e

(i) Existˆncia de ponto(s) racional(is).
e

Pelo Princ´
ıpio Local-Global para as Cˆnicas, Teorema 2.10 o problema ´ algor´
o e ıtmo. Faremos uma an´lise
a
detalhada de uma classe especial de Hip´rboles denominadas de Pell-Fermat na se¸õ homˆnima.
e ca o

(ii) Decisõ entre a finitude ou infinitude do conjunto dos pontos racionais.
a

Pelo teorema 2.2, se a cˆnica C possui um ponto racional, entõ possui infinitos. Al´m disso, se conhecemos
o a e
um deles, entõ ´ poss´ parametrizar todos, pelo teorema 2.3.
a e ıvel

(iii) Existˆncia de ponto(s) inteiro(s).
e

Muito dif´ em geral, faremos uma an´lise de um caso cl´ssico chamadas Equa¸˜es de Pell-Fermat no cap´
ıcil, a a co ıtulo
homˆnimo.
o

a

A an´lise de exemplos mostrar´ que nõ h´ um padrõ geral, isto ´, existem hip´rboles que possuem infinitos
a a a a a e e
pontos inteiros e outras que possuem somente um n´mero finito de pontos inteiros.
u

2.6 Problemas
1. Seja m ∈ Z um inteiro positivo. Mostre que as par´bolas y 2 = mx possuem uma infinidade de pontos inteiros.
a

2. Mostre que as par´bolas a seguir nõ possuem pontos inteiros
a a

(a) y 2 = 4x + 2
(b) y 2 = 4x + 3
(c) y 2 = 3x + 2

3. Encontre uma infinidade de pontos inteiros nas hip´rboles
e

(a) x2 − 3y 2 = 1
(b) x2 − 5y 2 = 1
(c) x2 − 7y 2 = 1

4. Seja n ∈ Z um inteiro positivo. Mostre que a curva
1 1 1
+ =
x y n

´ uma hip´rbole. Mostre que tal hip´rbole tem um n´mero finito de pontos inteiros qualquer que seja n.
e e e u

5. Encontre todos os pontos inteiros e positivos da curva
1 1 1
+ =
x y n

nos casos em que n = p ´ primo, n = p2 ´ o quadrado de um primo e n = pq ´ o produto de dois primos.
e e e

6. Mostre que se uma cˆnica com coeficientes racionais possuir uma reta tangente com coeficientes racionais,
o
entõ o ponto de tangˆncia ´ racional.
a e e

7. Mostre que a equa¸õ
ca
3x2 + y 2 = 2z 2

nõ possui solu¸õ inteira nõ nula.
a ca a

8. Determine todos os pares de inteiros (x, y) tais que

9xy − x2 − 8y 2 = 2005.

9. Mostre que nõ existem pontos racionais na cˆnica x2 + xy + y 2 = 2.
a o

10. Encontre todos os pontos racionais a cˆnica x2 + xy + y 2 = 1.
o

11. Mostre que as solu¸˜es inteiras coprimos da equa¸õ
co ca

x2 + 2y 2 = z 2

sõ x = ±(u2 − 2v 2 ), y = 2uv e z = u2 + 2v 2 , com u, v inteiros primos entre si.
a

3 Reticulados no plano
3.1 Reticulados e seus Dom´
ınios Fundamentais
A teoria de reticulados ´ bem desenvolvida e um leitor com uma maior familiaridade a teoria de grupos (abelianos)
e
apreciar´ a leitura de Stewart [1]. Nosso objetivo ´ apresentar a teoria em um caso muito especial, reticulados no
a e
plano; pois, nesse caso, muitas constru¸˜es e demonstra¸˜es se simplificam. Em particular utilizaremos o m´
co co ınimo
poss´ de ´lgebra linear.
ıvel a

Defini¸õ 3.1. Sejam v1 , v2 ⊂ R2 dois vetores nõ m´ltiplos. Um reticulado (de dimensõ 2) no plano R2 ,
ca a u a
com conjunto de geradores os vetores {v1 , v2 }, consiste do conjunto das combina¸˜es (lineares) inteiras desses dois
co
vetores, ou seja
L = {v ∈ R2 |v = m1 v1 + m2 v2 , mi ∈ Z}.

Defini¸õ 3.2. Dados, um reticulado L no plano com conjunto de geradores {v1 , v2 } , o conjunto dos pontos
ca
a1 v1 + a2 v2 ∈ R2 para pos quais 0 ≤ a1 < 1 ´ chamado o dom´
e ınio fundamental do reticulado L associado ao
conjunto de geradores {v1 , v2 }.

Vamos abrir um parˆnteses para conectar a no¸õ de reticulado e a no¸õ alg´brica de grupos. O leitor que
e ca ca e
nõ est´ familiarizado com a no¸õ de grupos pode, simplesmente utilizar a defini¸õ acima, ou ler um pouco do
a a ca ca
apˆndice sobre grupos abelianos. O fato ´ que se v, w ∈ L, entõ v = m1 v1 + m2 v2 e w = n1 v1 + n2 v2 e, portanto,
e e a
v + w = (m1 + n1 )v1 + (m2 + n2 )v2 ∈ L e −v = (−m1 )v1 + (−m2 )v2 ∈ L e estas sõ as condi¸˜es para que L seja
a co
um subgrupo aditivo de R2 .

Entretanto um reticulado no plano L ⊂ R2 nõ ´ qualquer tipo de subgrupo. Como conjunto de R2 um reticulado
a e
´, sempre, um subconjunto discreto!!!
e

Defini¸õ 3.3. Um subconjunto de X ⊂ R2 ´ discreto se todos os seus pontos sõ isolados, isto ´, se dado p ∈ X,
ca e a e
2
existir δ > 0 tal que o unico ponto da interse¸õ do disco aberto D(p, δ) = {q ∈ R | ||q − p|| < δ} com X for o
´ ca
pr´pio p. Ou seja,
o
D(p, δ) ∩ X = {p}

Observa¸õ 3.4. Lembramos que os unicos subgrupos discretos da reta real sõ isomorfos a Z (e todos sõ retic-
ca ´ a a
ulados da reta!!!). De fato, seja G ⊂ R um subgrupo aditivo discreto e seja m o menor elemento positivo de G (tal
elemento existe pois G ´ discreto), entõ G = mZ. (Verifique os detalhes!)
e a

Subgrupos de R nõ discretos sõ bem mais complicados, por exemplo, Q ⊂ R ´ um subgrupo aditivo que ´
a a e e
denso!!!

Proposi¸õ 3.5. Seja G ⊂ R2 um subgrupo aditivo. Entõ sõ equivalentes:
ca a a

1. G ´ um reticulado;
e

2. G ⊂ R2 ´ discreto.
e

Prova: Seja G ⊂ R2 um reticulado com conjunto de geradores {v, w}. Vamos mostrar que G ´ um conjunto
e
discreto. Vamos mostrar que 0 ´ um ponto isolado e o resultado segue, por transla¸õ. Claramente nõ existe
e ca a
ponto reticulado no conjunto int(D) = {u ∈ R2 |u = αv + βw} com 0 < α < 1 e 0 < β < 1. Assim, tome
1
δ = 2 min{||v||, ||w||, ||v + w||}. Claro que G ∩ D(0, δ) = 0.

Reciprocamente, seja G ⊂ R2 um subgrupo aditivo discreto. Para mostrar que G ´ um reticulado devemos
e
encontrar geradores. Seja v ∈ G o vetor nõ nulo de menor norma. Seja w ∈ G o ponto mais pr´ximo da reta
a o

=< v >= {λv|λ ∈ R} (nõ contido na reta). Afirmamos que G =< v, w >= {av + bw|a, b ∈ Z}. Com efeito, seja
a
u ∈ G, e considere os pontos u − mw ∈ G com m ∈ Z. O ponto mais pr´ximo da reta deve pertencer a mesma,
o
caso contr´rio encontrar´
a ıamos um ponto mais pr´ximo que w. Assim u − mw = λv e λ = n ∈ Z, logo u = mv + nw.
o

A partir da proposi¸õ acima vemos que ´ poss´ exibir um reticulado intrinsecamente, isto ´, sem explicitar
ca e ıvel e
um conjunto de geradores. Por um lado ´ mais fćil tratar um reticulado quando conhecemos um conjunto de
e a
geradores, por outro lado, muitas vezes ´ mais fćil provar que um dado conjunto ´ um reticulado observando que
e a e
o mesmo ´ um subgrupo aditivo e discreto do plano R2 .
e

Exemplo 3.1. Considere o reticulado padrõ do plano, ou seja, L = Z2 ⊂ R2 . Temos v´rios poss´
a a ıveis conjuntos
de geradores para tal reticulado. Por exemplo B1 = {(1, 0), (0, 1)} ´ um conjunto de geradores para L e B2 =
e
{(2, 1), (1, 1)} tamb´m ´ um conjunto de geradores para L (fa¸a um esbo¸o dos reticulados associados a estes
e e c c
conjuntos de geradores e verifique que ambos coincidem com Z2 ). De fato,

(2, 1) = 2.(1, 0) + 1.(0, 1), (1, 1) = 1.(1, 0) + 1.(0, 1)

logo o reticulado associado a B2 est´ contido no reticulado associado a B1 (combina¸˜es inteiras dos vetores de B2
a co
sõ combina¸˜es inteiras dos vetores de B1 pois os pr´prios vetores de B2 o sõ) e, reciprocamente
a co o a

(1, 0) = 1.(2, 1) − 1.(1, 1) (0, 1) = −1.(2, 1) + 2.(1, 1).

Ou seja, os reticulados associados sõ o mesmo e, claramente, tal reticulado ´ Z2 ⊂ R2 .
a e

Observa¸õ 3.6. A no¸õ de dom´ fundamental depende do conjunto de geradores, como mostramos no exemplo
ca ca ınio
anterior. Por outro lado, a ´rea de um dom´
a ınio fundamental independe do conjunto de geradores. Verifique com
exemplos expl´ıcitos.

Proposi¸õ 3.7. Sejam L ⊂ R2 um reticulado, D e E dom´
ca ınios fundamentais associados, respectivamente, aos
conjuntos de geradores {v1 , v2 } e {u1 , u2 }. Entõ as ´reas dos dom´
a a ınios fundamentais sõ iguais,
a

A(D) = A(E).

Prova: Sabemos que existem inteiros a1 , a2 , b1 , b2 ∈ Z tais que

u1 = a1 v1 + a2 v2 u2 = b1 v1 + b2 v2

pois u1 , u2 pertencem ao reticulado, logo, sõ combina¸õ inteira de v1 , v2 e reciprocamente. Assim, a matriz de
a ca
a1 b1
mudan¸a de base M =
c ´ invers´ e sua inversa N ´ tamb´m uma matriz de coeficientes inteiros(dados
e ıvel e e
a2 b2
pelas coordenadas de v1 , v2 escritos como combina¸õ inteira de u1 , u2 ). Como M.N = I2 , det(M ). det(N ) = 1 e
ca
como sõ ambos inteiros, det(M ) = ±1.
a

A ´rea do dom´
a ınio fundamental E ´
e

A(E) = | det M | · A(D) = A(D).

Aritmética em retas, cônicas, reticulados e equações diofantinas

Aritmética em retas, cônicas, reticulados e equações diofantinas

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (6)

Semelhante a Aritmética em retas, cônicas, reticulados e equações diofantinas

Semelhante a Aritmética em retas, cônicas, reticulados e equações diofantinas (20)

Último

Último (20)

Aritmética em retas, cônicas, reticulados e equações diofantinas