Este documento apresenta uma apostila sobre resistência dos materiais. Apresenta conceitos sobre análise de tensões e deformações, relações entre tensões e deformações, e tensões e deformações em barras de eixo reto sob diferentes tipos de solicitação, como esforço normal, momento torsor, momento fletor e esforço cortante. Inclui também exemplos numéricos para exercitar os conceitos apresentados.

1. Apostila de Resistˆncia dos Materiais
e
prof. Fl´vio de Souza Barbosa (flavio.barbosa@ufjf.edu.br)
a
5 de agosto de 2008

2. Sum´rio
a
1 Introdu¸˜o
ca 3
1.1 Aspectos gerais do curso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Objetivos Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Ementa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Programa e distribui¸˜o das aulas . . . . . . . . . . . . . . . .
ca . . . 3
1.1.4 Bibliografia b´sica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a . . . 4
1.2 Sistema de Avalia¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ . . . 4
1.3 Vis˜o geral do conte´do do curso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a u . . . 5
1.3.1 Um conceito de c´lculo estrutural . . . . . . . . . . . . . . . .
a . . . 8
1.3.2 Pressupostos e hip´teses b´sicas da Resistˆncia dos Materiais .
o a e . . . 9
1.3.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Introdu¸˜o ` An´lise de Tens˜es e Deforma¸oes
ca a a o c˜ 11
2.1 Estudo das tens˜es . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1 Introdu¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.3 O Tensor de tens˜es . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Estudo das deforma¸˜es: . . . . . . . . . . . . . .
co . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1 Introdu¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2 Campo de deslocamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.3 Componentes de Deforma¸˜o . . . . . . .
ca . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.4 Rela¸ao Deforma¸˜o-Deslocamento . . . .
c˜ ca . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Rela¸˜es entre tens˜es e deforma¸˜es . . . . . . .
co o co . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.1 O Teste ou Ensaio de Tra¸˜o: . . . . . . .
ca . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.2 Ensaio de Compress˜o . . . . . . . . . . .
a . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.3 O ensaio de tor¸ao . . . . . . . . . . . . .
c˜ . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.4 Lei de Hooke generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 Tens˜es e Deforma¸˜es em Barras de Eixo Reto
o co 40
3.1 Solicita¸˜o por esfor¸o normal . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca c . . . . . . . . 44
3.1.1 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Solicita¸˜o por momento torsor . . . . . . . . . . . . . . . .
ca . . . . . . . . 55
3.2.1 Introdu¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ . . . . . . . . 55
3.2.2 An´lise de Tens˜es e deforma¸oes na tor¸ao . . . . .
a o c˜ c˜ . . . . . . . . 56
3.2.3 C´lculo do ˆngulo de tor¸˜o . . . . . . . . . . . . . .
a a ca . . . . . . . . 58
3.2.4 Torque Aplicado ao eixo na Transmiss˜o de Potˆncia
a e . . . . . . . . 58
1

3. 3.2.5 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2.6 Tor¸˜o em tubos de paredes delgadas . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca 62
3.2.7 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3 Solicita¸˜o por momento fletor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca 68
3.3.1 Introdu¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ 68
3.3.2 C´lculo das Tens˜es Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a o 69
3.3.3 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.3.4 V´rias formas da se¸˜o transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a ca 76
3.3.5 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.3.6 Vigas de dois materiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3.7 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.3.8 Flex˜o Inel´stica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a a 86
3.4 Solicita¸˜o por Esfor¸o Cortante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca c 100
3.4.1 Introdu¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ 100
3.4.2 Tens˜es de Cisalhamento em Vigas de Se¸ao Retangular Constante
o c˜ 101
3.4.3 Tens˜es de Cisalhamento em Vigas de Se¸ao de Diferentes Formas .
o c˜ 104
3.4.4 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.4.5 Fluxo de cisalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.4.6 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.4.7 Centro de cisalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.4.8 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4 T´picos complementares
o 120
4.1 Linha el´stica de vigas sujeitas ` flex˜o .
a a a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.1.1 Defini¸ao . . . . . . . . . . . . .
c˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
ˆ
4.1.2 Angulo de curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.1.3 Equa¸ao diferencial da LE . . . .
c˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.1.4 M´todo da integra¸ao direta . . .
e c˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.1.5 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.2 Problemas estaticamente indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.2.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.2.2 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
2

4. Cap´
ıtulo 1
Introdu¸˜o
ca
Esta apostila possui diversas partes extra´
ıdas da apostila de Resistˆncia dos Materiais do
e
Prof. Jo˜o Chafi Hallack.
a
1.1 Aspectos gerais do curso
1.1.1 Objetivos Gerais
Fornecer ao aluno conhecimentos b´sicos das propriedades mecˆnicas dos s´lidos reais,
a a o
com vistas ` sua utiliza¸ao no projeto e c´lculo de estruturas. Capacitar o aluno ao c´lculo
a c˜ a a
de tens˜es e deforma¸oes causadas pelos esfor¸os simples, no regime da elasticidade, bem
o c˜ c
como ` resolu¸˜o de problemas simples de dimensionamento, avalia¸ao e verifica¸ao.
a ca c˜ c˜
1.1.2 Ementa
Princ´
ıpios e Objetivos da Resistˆncia dos Materiais. M´todos de An´lise. Tens˜es e
e e a o
Deforma¸˜es. Tra¸ao e Compress˜o Simples. Cisalhamento Simples. Tor¸ao. Flex˜o
co c˜ a c˜ a
Pura em Vigas. Tens˜es de Cisalhamento em Vigas. Deforma¸˜es em Vigas.
o co
1.1.3 Programa e distribui¸˜o das aulas
ca
1. Introdu¸ao (2 aulas)
c˜
2. Tens˜es (4 aulas)
o
3. Deforma¸oes (2 aulas)
c˜
4. Rela¸oes entre tens˜es e deforma¸oes (2 aulas)
c˜ o c˜
5. Tens˜es e deforma¸˜es em barras
o co
(a) Solicita¸˜o por esfor¸o normal (6 aulas)
ca c
(b) Solicita¸˜o por momento torsor ( 6 aulas)
ca
(c) Solicita¸˜o por momento fletor (10 aulas)
ca
(d) Solicita¸˜o por esfor¸o cortante (6 aulas)
ca c
6. Linha el´stica em vigas sujeitas ` flex˜o (6 aulas)
a a a
3

5. 7. Problemas estaticamente indeterminados (4 aulas)
8. Provas, atividades extras (12 aulas)
1.1.4 Bibliografia b´sica
a
1. HIBBELER, R.C. Resistˆncia dos Materiais. Ed. Pearson
e
2. BEER, Ferdinand, JOHNSTON, E. Russell. Resistˆncia dos Materiais. Mc Graw
e
Hill.
3. GERE, James M. Mecˆnica dos Materiais. Editora Thomson.
a
4. TIMOSHENKO, Stephen, GERE, James. Mecˆnica dos S´lidos; vol. 1. LTC
a o
editora.
5. POPOV, Egor Paul. Resistˆncia dos Materiais. PHB editora.
e
6. SHAMES. Mecˆnica dos S´lidos.
a o
1.2 Sistema de Avalia¸˜o
ca
• 1o TVC - at´ item 5 (a) - valor 100 pontos - data: 26/08/08 , 8h.
e
• 2o TVC - at´ item 5 (c) - valor 100 pontos - data: 30/09/2008, 8h.
e
• 3o TVC - at´ item 7 - valor 100 pontos - data: 04/11/2008, 8h.
e
• 2a chamada - mat´ria toda - data 11/11/2008, 8h.
e
Nota Final = (Nota 1o TVC + Nota 2o TVC + Nota 3o TVC)/3
O aluno ser´ aprovado se obtiver Nota Final maior ou igual 60.
a
4

6. 1.3 Vis˜o geral do conte´ do do curso
a u
Este cap´ ıtulo visa dar uma vis˜o geral sobre o estudo da resistˆncia dos materiais e suas
a e
hip´teses b´sicas, da organiza¸˜o deste texto e da forma com que cada cap´
o a ca ıtulo abrange
o conte´do da disciplina.
u
O estudo da Resistˆncia dos Materiais tem por objetivo fornecer conhecimentos b´sicos
e a
das propriedades mecˆnicas de s´lidos reais, visando utiliz´-los no projeto, modelagem e
a o a
c´lculo de estruturas.
a
Por esta raz˜o, em muitos cursos de Engenharia (Civil, Mecˆnica, Naval, El´trica, etc)
a a e
esta disciplina ´ intitulada Introdu¸˜o ` Mecˆnica dos S´lidos ou simplesmente Mecˆnica
e ca a a o a
dos S´lidos.
o
A boa compreens˜o dos conceitos que envolvem a mecˆnicas de s´lidos est´ intima-
a a o a
mente ligada ao estudo de duas grandezas f´ ısicas: A tens˜o e a deforma¸ao, que ser˜o
a c˜ a
abordadas durante todo o tempo neste curso.
Estas duas grandezas f´ ısicas s˜o fundamentais nos procedimentos que envolvem o
a
c´lculo de uma estrutura. Mas o que ´ uma estrutura? Estrutura ´ a parte resistente de
a e e
uma constru¸ao e ´ constitu´ de diversos elementos estruturais que podem ser classifi-
c˜ e ıda
cados como:
• blocos - os blocos s˜o elementos estruturais nos quais tem-se as trˆs dimens˜es
a e o
(imaginando-se um retˆngulo envolvente) com valores significativos numa mesma
a
ordem de grandeza. Alguns exemplos s˜o mostrados nas figuras 1.1.
a
(a) Sapata de funda¸˜o
ca (b) Bloco de coroamento de estaca
Figura 1.1: Exemplos de elementos estruturais do tipo bloco
• placas - s˜o elementos estruturais para os quais uma das dimens˜es (espessura) ´
a o e
bastante inferior `s demais. Alguns exemplos s˜o mostrados nas figuras 1.2. As
a a
“placas ” curvas s˜o denominadas de cascas. Exemplos nas figuras 1.3.
a
• barras - s˜o elementos estruturais para os quais duas das dimens˜es (largura e altura)
a o
s˜o bastante inferiores ` terceira (comprimento). Podem ser retas (vigas, pilares,
a a
tirantes e escoras) ou curvas (arcos). Alguns exemplos s˜o mostrados nas figuras
a
1.4
• elementos de forma geom´trica de dif´ defini¸ao - estes elementos estruturais apre-
e ıcil c˜
sentam dificuldades na descri¸ao de seu comportamento f´
c˜ ısico mas n˜o s˜o menos
a a
5

7. (a) Laje de uma edifica¸˜o
ca (b) Museu de Arte Moderna de S˜o
a
Paulo (MASP)
Figura 1.2: Exemplos de elementos estruturais do tipo placa
(a) Avi˜o Embraer 190
a
(b) Lata de refrigerante (c) Navio
Figura 1.3: Exemplos de elementos estruturais do tipo casca
6

8. (a) Barras curvas - ponte JK sobre o (b) Ponte com viga de se¸˜o vari´vel -
ca a
lago Parano´ - Bras´
a ılia Rouen, Fran¸a
c
Figura 1.4: Exemplos de elementos estruturais do tipo barra
numerosos que os demais. Num conceito amplo de estrutura estes elementos podem
fazer parte da estrutura de um motor, um esqueleto humano ou uma pe¸a mecˆnica
c a
ou mesmo uma estrutura civil mais rebuscada. Ver exemplos nas figuras 1.5.
(a) Mand´
ıbula humana (b) Motor de autom´vel
o
Figura 1.5: Exemplos de elementos estruturais complexos
O curso de Resistˆncia dos Materiais I procura dar ˆnfase ao estudo do elemento
e e
estrutural barra conforme se observa no cap´
ıtulo3.
7

9. 1.3.1 Um conceito de c´lculo estrutural
a
A id´ia de c´lculo estrutural pode ser dividida em trˆs frentes de trabalho n˜o indepen-
e a e a
dentes:
• Fase 1 - Ante-projeto da estrutura: Nesta fase uma concep¸˜o inicial do projeto
ca
´ criada. A estrutura pode ser um edif´
e ıcio, um navio, um avi˜o, uma pr´tese ´ssea,
a o o
uma ponte, etc. As dimens˜es das pe¸as estruturais s˜o arbitradas segundo crit´rios
o c a e
t´cnicos e emp´
e ıricos.
• Fase 2 - Modelagem. Modelar um fenomeno f´ ısico ´ descrever seu comportamento
e
atrav´s de equa¸oes matem´ticas. Neste processo parte-se normalmente de um mod-
e c˜ a
elo que re´ne as principais propriedades do fenˆmeno que se deseja modelar. No
u o
caso de estruturas, os modelos estruturais s˜o cosntitu´
a ıdos de elementos estruturais.
A partir do conhecimento do comportamento dos elementos estruturais e do carrega-
mento envolvido s˜o determinadas as deforma¸oes e tens˜es a que a estrutura est´
a c˜ o a
submetida. No caso de barras, uma boa parte desta tarefa pode ser realizada com o
aux´ dos conhecimentos a serem obtidos nesta disciplina (Resistˆncia dos Materi-
ılio e
ais) e na disciplina An´lise Estrutural. Para outros tipos de elementos estruturais,
a
devido ` complexidade dos c´lculos, ser˜o necess´rios estudos mais aprofundados
a a a a
em mecˆnica dos s´lidos e m´todos num´ricos que viabilizem a solu¸˜o do prob-
a o e e ca
lema. O m´todo num´rico mais conhecido na modelagem estrutural ´ o M´todo dos
e e e e
Elementos Finitos (MEF).
Em alguns casos, por se tratarem de elementos estruturais complexos mas que ocor-
rem com bastante freq¨ˆncia nas estruturas, v´rios estudos j´ foram realizados e
ue a a
apontam aproxima¸˜es de boa qualidade. Estas aproxima¸oes normalmente s˜o
co c˜ a
apresentados em forma de tabelas ou ´bacos, mas s˜o restritas a uma s´rie de
a a e
hip´teses simplificadoras e atendem somente alguns casos espec´
o ıficos, como por ex-
emplo as tabelas para c´lculo de esfor¸os em lajes retangulares.
a c
• Fase 3 - Dimensionamento das pe¸as. Nesta fase ´ necess´rio o conhecimento
c e a
de quest˜es espec´
o ıficas de cada material que constitu´ a estrutura (a¸o, madeira,
ı c
alum´ınio, comp´sito, concreto, etc). Este conhecimento ser´ adquirido em cursos
o a
espec´ıficos como: Concreto I e II e Estruturas Met´licas. Nesta fase ´ poss´ que
a e ıvel
se tenha necessidade de retornar ` Fase 1 pois os elementos estruturais podem ter
a
sido sub ou super avaliados. Neste caso parte-se para um processo recursivo at´ que
e
o grau de refinamento requerido para o projeto seja alcan¸ado.
c
O c´lculo de uma estrutura depende de trˆs crit´rios:
a e e
• Estabilidade: Toda estrutura dever´ atender `s equa¸oes universais de equil´
a a c˜ ıbrio
est´tico.
a
• Resistˆncia: Toda estrutura dever´ resistir `s tens˜es internas geradas pelas a¸˜es
e a a o co
solicitantes.
• Rigidez: Al´m de resistir `s tens˜es internas geradas pelas a¸˜es solicitantes, as
e a o co
estruturas n˜o podem se deformar excessivamente.
a
8

10. 1.3.2 Pressupostos e hip´teses b´sicas da Resistˆncia dos Ma-
o a e
teriais
A Resistˆncia dos Materiais ´ uma ciˆncia desenvolvida a partir de ensaios experimentais
e e e
e de an´lises te´ricas.
a o
Os ensaios ou testes experimentais, em laborat´rios, visam determinar as caracter´
o ısticas
f´
ısicas dos materiais, tais como as propriedades de resistˆncia e rigidez, usando corpos de
e
prova de dimens˜es adequadas.
o
As an´lises te´ricas determinam o comportamento mecˆnico das pe¸as em modelos
a o a c
matem´ticos idealizados, que devem ter razo´vel correla¸˜o com a realidade. Algumas
a a ca
hip´teses e pressupostos s˜o admitidos nestas dedu¸˜es e s˜o eles:
o a co a
1. Continuidade F´
ısica:
A mat´ria apresenta uma estrutura continua, ou seja, s˜o desconsiderados todos os
e a
vazios e porosidades.
2. Homogeneidade:
O material apresenta as mesmas caracter´
ısticas mecˆnicas, elasticidade e de re-
a
sistˆncia em todos os pontos.
e
3. Isotropia:
O material apresenta as mesmas caracter´ ısticas mecˆnicas el´sticas em todas as
a a
dire¸oes. Ex: As madeiras apresentam, nas dire¸oes das fibras, caracter´
c˜ c˜ ısticas
mecˆnicas e resistentes distintas daquelas em dire¸ao perpendicular e portanto n˜o
a c˜ a
´ considerada um material is´tropo.
e o
4. Equil´
ıbrio:
Se uma estrutura est´ em equil´
a ıbrio, cada uma de suas partes tamb´m est´ em
e a
equil´
ıbrio.
5. Pequenas Deforma¸oes:
c˜
As deforma¸oes s˜o muito pequenas quando comparadas com as dimens˜es da es-
c˜ a o
trutura.
6. Saint-Venant:
Sistemas de for¸as estaticamente equivalentes causam efeitos idˆnticos em pontos
c e
suficientemente afastados da regi˜o de aplica¸ao das cargas.
a c˜
7. Se¸oes planas:
c˜
A se¸˜o transversal, ap´s a deforma¸ao, permanece plana e normal ` linha m´dia
ca o c˜ a e
(eixo deformado).
8. Conserva¸˜o das ´reas:
ca a
A se¸ao transversal, ap´s a deforma¸ao, conserva as suas dimens˜es primitivas.
c˜ o c˜ o
9. Lei de Hooke:
A for¸a aplicada ´ proporcional ao deslocamento.
c e
F = kd (1.1)
9

11. onde: F ´ a for¸a aplicada; k ´ a constante el´stica de rigidez e d ´ o deslocamento;
e c e a e
10. Princ´
ıpio da Superposi¸˜o de efeitos:
ca
Os efeitos causados por um sistema de for¸as externas s˜o a soma dos efeitos pro-
c a
duzidos por cada for¸a considerada agindo isoladamente e independente das outras.
c
A fim de compensar as incertezas na avalia¸˜o das cargas, na determina¸ao das pro-
ca c˜
priedades dos materiais, nos pressupostos ou nas simplifica¸oes, ´ previsto nas Normas
c˜ e
T´cnicas a ado¸˜o de coeficientes de seguran¸a. Consiste em se majorar as cargas e se
e ca c
reduzir a resistˆncia dos materiais. Os diversos crit´rios adotados para escolha dos coe-
e e
ficientes de seguran¸a adequados s˜o estudados ao longo do curso de Engenharia Civil.
c a
Adota-se neste texto um coeficiente de seguran¸a unico que reduz a capacidade de carga
c ´
da estrutura.
1.3.3 Exerc´
ıcios
1. Dˆ um conceito para estrutura.
e
2. Descreva os tipos de elementos estruturais.
3. Conceitue c´lculo estrutural.
a
4. Quais s˜o as hip´teses b´sicas e/ou pressupostos da Resistˆncia dos Materiais?
a o a e
10

12. Cap´
ıtulo 2
Introdu¸˜o ` An´lise de Tens˜es e
ca a a o
Deforma¸˜es
co
2.1 Estudo das tens˜es
o
2.1.1 Introdu¸˜o
ca
Um conceito da grandeza tens˜o pode ser encarado como uma extens˜o do conceito da
a a
grandeza press˜o.
a
Imaginemos o sistema de ˆmbolos apresentado abaixo:
e
F2
2
F1 1
Figura 2.1: Sistema de ˆmbolos
e
Utilizando-se os conceitos de f´
ısica do ensino m´dio, pode-se dizer que a press˜o P no
e a
interior do duto ´ constante e tem valor:
e
F1 F2
P = = (2.1)
A1 A2
onde F1 e F2 s˜o as for¸as aplicadas nas extremidades e A1 e A2 s˜o as ´reas da se¸ao
a c a a c˜
transversal do duto onde s˜o aplicadas F1 e F2 , respectivamente.
a
Os macacos hidr´ulicos s˜o aplica¸oes diretas da equa¸˜o 2.1, pois com uma pequena
a a c˜ ca
for¸a aplicada na extremidade 2 do sistema de ˆmbolos pode-se produzir uma for¸a de
c e c
magnitude consider´vel na extremidade 1, dependendo da raz˜o entre as ´reas A1 e A2 .
a a a
Algumas conclus˜es j´ podem ser obtidas analisando a grandeza press˜o:
o a a
• Sua unidade de medida ser´: unidade de for¸a dividido por unidade de ´rea. No
a c a
2
Sistema Internacional de Unidades (SI): Pa (Pascal) = N/m . Como 1 Pa representa
uma press˜o relativamente pequena1 normalmente se utiliza prefixos do tipo kilo
a
(103 ) ou mega (106 ). Exemplos: 10 MPa, 45 kPa, etc.
1
imagine uma for¸a de 1N atuando em 1 m2 .
c
11

13. • O m´dulo da press˜o ´ o mesmo no interior do duto, mas a dire¸˜o e sentido n˜o.
o a e ca a
Pode-se dizer ent˜o que a press˜o ´ uma grandeza vetorial.
a a e
• A dire¸˜o da for¸a F2 gerada no sistema de ˆmbolo ´ sempre a mesma da press˜o
ca c e e a
atuante na se¸˜o 2, e esta dire¸ao ´ sempre normal ` superf´ do ˆmbolo.
ca c˜ e a ıcie e
Porque surgiu press˜o no interior do duto?
a
A resposta ´ simples: Sempre que se tenta movimentar uma massa de fluido e existem
e
restri¸˜es ao deslocamento, surgem as press˜es. Assim sendo, no caso do ˆmbolo da
co o e
figura 2.1, se n˜o existir resistˆncia na se¸ao 2, o fluido entraria em movimento acelerado
a e c˜
e escoaria sem o surgimento de press˜es internas. Em outras palavras, ´ preciso que haja
o e
confinamento (press˜o positiva) ou aumento do volume dos dutos (press˜o negativa).
a a
Um racioc´ an´logo pode ser aplicado aos s´lidos. Supondo que se exer¸a uma for¸a
ınio a o c c
F sobre um s´lido qualquer conforme figura 2.2.
o
F
Figura 2.2: S´lido sujeito a carregamento
o
Da mesma maneira que nos fluidos, tem-se duas possibilidades: ou o s´lido entra em
o
movimento ou, no caso onde existam restri¸oes ao deslocamento (como no exemplo da
c˜
figura 2.2), surgem o que nos s´lidos se denominam tens˜es.
o o
A grande diferen¸a entre s´lidos e fluidos pode ser observada na figura 2.3:
c o
F1 F1
F2 F2
fluido solido
Figura 2.3: Fluido e s´lido sujeitos a carregamentos
o
Em ambos os casos na figura surgir˜o press˜es (para o fluido) e tens˜es (para o s´lido)
a o o o
quando se aplica a carga F1 (dire¸ao axial do tubo). Entretanto, quando se aplica a carga
c˜
F2 (transversal ao tubo) pode-se verificar que o fluido n˜o oferece a menor resistˆncia
a e
ao corte ou cisalhamento, por´m no s´lido isso n˜o acontece. Esta diferen¸a motivou os
e o a c
12

14. pesquisadores a estudarem os s´lidos e os fluidos em duas grandes ´reas do conhecimento:
o a
Mecˆnica dos S´lidos e Mecˆnica dos Fluidos.
a o a
Ent˜o, diferentemente dos l´
a ıquidos, as tens˜es em um s´lido podem ocorrer de duas
o o
formas:
• Tens˜es normais: Estas tens˜es s˜o resultado de um carregamento2 que provoca
o o a
ca e o ´
a aproxima¸˜o ou o afastamento de mol´culas que constituem o s´lido. E o caso do
carregamento F1 da figura 2.3.
• Tens˜es cisalhantes ou tangenciais: Estas tens˜es s˜o resultado de um carrega-
o o a
mento que provoca um deslizamento relativo de mol´culas que constituem o s´lido.
e o
´
E o caso do carregamento F2 da figura 2.3.
2.1.2 Exerc´
ıcios
1. Uma placa ´ fixada a uma base de madeira por meio de trˆs parafusos de diˆmetro
e e a
22mm. Calcular a tens˜o m´dia de cisalhamento nos parafusos para uma carga
a e
P =120 kN, conforme mostra a figura 2.4
Resp.:105,2 MPa
P
Figura 2.4: Figura do exerc´ 1
ıcio
2. Duas pe¸as de madeira de se¸˜o retangular 80mm x 140mm s˜o coladas uma ` outra
c ca a a
em um entalhe inclinado, conforme mostra a figura 2.5. Calcular as tens˜es na cola
o
para P = 16 kN e para:
a) θ = 30o ; b) θ = 45o ; c) θ = 60o
Resp.: a) σN =357,1 kPa, τN =618,6 kPa ; b) σN = τN =714,3 kPa ; c) σN =1071,0
kPa, τN =618,6 kPa
P P
θ
Figura 2.5: Figura do exerc´ 2
ıcio
3. Determinar a tens˜o normal de compress˜o m´tua (ou tens˜es de “contato”ou tens˜o
a a u o a
de “esmagamento”) da figura 2.6 entre:
2
carregamento neste caso pode ser entendido como: sistema de vor¸as aplicado, varia¸˜o de temper-
c ca
atura, modifica¸˜o nas condi¸˜es de apoio ou deslocamento imposto
ca co
13

15. a) o bloco de madeira de se¸˜o 100mm x 120mm e a base de concreto 500mm x
ca
500mm x 60mm.
b) a base de concreto e o solo.
Resp.: a) 3333 kPa ; b) 160 kPa
40 kN
Madeira
Concreto
Figura 2.6: Figura do exerc´ 3
ıcio
4. Calcular as tens˜es de “contato”em A, B e C, na estrutura representada na figura
o
2.7. (dimens˜es em metros)
o
Resp.: 777,8 kPa, 888,9 kPa e 1111 kPa
25 kN
0,15 x 0,15
0,15 x 0,30
C
A B
0,10 0,10
1,6 1,4
Figura 2.7: Figura do exerc´ 4
ıcio
5. Calcular o comprimento total 2L da liga¸˜o de duas pe¸as de madeira, conforme
ca c
a figura 2.8, e a altura h necess´ria, dados P =50 kN, b= 250mm e as tens˜es
a o
admiss´ıveis na madeira s˜o: 0,8MPa ao corte e 6,5 MPa ` compress˜o.
a a a
Resp.: 2L = 500mm ; h= 31mm.
6. Duas pe¸as de madeira de se¸˜o 5cm x 5cm s˜o coladas na se¸˜o inclinada AB (ver
c ca a ca
figura 2.9). Calcular o valor m´ximo admiss´ da carga P , axial de compress˜o,
a ıvel a
dadas as tens˜es admiss´
o ıveis na cola: 9,0 MPa ` compress˜o e 1,8 MPa ao cisal-
a a
hamento.
Resp.: P = 18,0 kN.
7. Um parafuso de 20mm de diˆmetro ´ apertado contra uma pe¸a de madeira exercendo-
a e c
se uma tens˜o de tra¸˜o de 120 MPa (ver figura 2.10). Calcular a espessura e da
a ca
14

16. b
P P
h
L L
Figura 2.8: Figura do exerc´ 5
ıcio
B
P 15° P
A
Figura 2.9: Figura do exerc´ 6
ıcio
cabe¸a do parafuso e o diˆmetro externo d da arruela, dadas as tens˜es admiss´
c a o ıveis
50 MPa, ao corte no parafuso, e 10 MPa, ` compress˜o na madeira
a a
Resp.: e = 12 mm ; d = 72,11 mm
d
e
Figura 2.10: Figura do exerc´ 7
ıcio
8. Um eixo vertical ´ suportado por um colar de escora sobre uma placa de apoio (ver
e
figura 2.11). Determinar a carga axial m´xima que pode ser aplicada ao eixo se a
a
tens˜o m´dia de corte no colar e a tens˜o m´dia entre o colar e a placa s˜o limitadas
a e a e a
respectivamente por 40 MPa e 65 MPa.
Resp.: 314,16 kN
9. Uma articula¸ao de pino deve resistir a uma for¸a de tra¸˜o P = 60 kN (ver figura
c˜ c ca
2.12). Calcular o diˆmetro do pino e a espessura m´
a ınima da chapa para as tens˜es
o
admiss´ıveis de 50 MPa ao corte e 120 MPa ` tra¸ao.
a c˜
Resp.: d = 19,55 mm ; e = 6,25 mm
10. Uma chapa deve ser furada por pun¸ao, exercendo-se no perfurador uma tens˜o de
c˜ a
compress˜o de 420 MPa. Na chapa, a tens˜o de rutura ao corte ´ de 315 MPa 2.13.
a a e
a) Calcular a espessura m´xima da chapa para fazer um furo de 75 mm de diˆmetro;
a a
15

17. 10cm
15cm
2,5 cm
P
Figura 2.11: Figura do exerc´ 8
ıcio
5 x 4 cm
P P
e
P P
d
Figura 2.12: Figura do exerc´ 9
ıcio
b) Calcular o menor diˆmetro que pode ter o furo, se a espessura da chapa ´ de 6
a e
mm.
Resp.: a) 25 mm ; b) 18 mm
Figura 2.13: Figura do exerc´ 10
ıcio
2.1.3 O Tensor de tens˜es
o
Uma vez compreendida as caracter´ ısticas fundamentais da grandeza tens˜o, e de sua
a
liga¸˜o com a j´ conhecida grandeza press˜o, passa-se agora ao seu estudo detalhado.
ca a a
Partindo-se do exemplo apresentado na figura 2.14 duas observa¸oes podem ser feitas:
c˜
• Existem for¸as tentando aproximar ou afastar mol´culas no entorno de M, nas trˆs
c e e
dire¸oes ortogonais, gerando tens˜es normais nestas trˆs dire¸˜es.
c˜ o e co
16

18. peso
proprio
.M
empuxo empuxo
de agua de terra
Figura 2.14: Barragem
• Existem for¸as tentando deslizar mol´culas no entorno de M, nas trˆs dire¸oes or-
c e e c˜
togonais, gerando tens˜es tangenciais ou cisalhantes nestas trˆs dire¸˜es.
o e co
Estas observa¸˜es evidenciam que a tens˜o num dado ponto da estrutura depende do
co a
plano no qual se calcula a tens˜o. Admitindo-se um plano passando por M e que possui
a
uma normal definida pelo vetor N , pode-se dizer que a tens˜o ρN , no ponto M no plano
a
considerado, ´ a soma vetorial da tens˜o normal σN com tens˜o tangencial τN , conforme
e a a
figura 2.15. Sua defini¸ao matem´tica ´ escrita como:
c˜ a e
dF
ρN = lim (2.2)
∆A→0 ∆A
onde dF ´ a for¸a de intera¸˜o atuante na ´rea ∆A.
e c ca a
N
σN
o
90
ρ
Mo . N
τN
Figura 2.15: Tens˜es no ponto M num plano de normal N
o
Tomando-se ent˜o cada um dos trˆs planos ortogonais yz (vetor normal paralelo ao
a e
eixo x), xz (vetor normal paralelo ao eixo y) e xy (vetor normal paralelo ao eixo z) ´ e
poss´ definir trˆs vetores tens˜es, respectivamente, ρx , ρy e ρz (ver figuras 2.16) que
ıvel e o
ser˜o fundamentais no estudo da grandeza tens˜o. As equa¸oes 2.3 a 2.5 mostram estes
a a c˜
vetores e suas componentes no referencial xyz. Observa-se que as tens˜o tangenciais totais
a
foram decompostas em duas componentes.
ρx = [σxx , τxy , τxz ] (2.3)
ρy = [τyx , σyy , τyz ] (2.4)
ρz = [τzx , τzy , σzz ] (2.5)
A nomenclatura usada ´ a seguinte:
e
17

19. N M
M o
N
o
τ yx x τ zx x
N σ zz τ zy
M σxx ρz
o
x τ yz σ
τ xz z yy ρy
τ xy
ρx
z
z y y y
(a) Vetor ρx (b) Vetor ρy (c) Vetor ρz
Figura 2.16: tens˜es nos trˆs planos ortogonais
o e
• As tens˜es normais s˜o indicadas pela letra σ e as tangenciais pela letra τ ;
o a
• O primeiro ´
ındice identifica o plano considerado, pois indica a dire¸˜o de sua normal.
ca
Exemplo: τxy primeiro ´ ındice x → plano: yz;
• O segundo identifica a dire¸ao da componente do vetor tens˜o. Exemplo: τxy se-
c˜ a
gundo ´
ındice y → dire¸˜o da tens˜o: y;
ca a
Normalmente, para ´
ındice idˆnticos, apresenta-se apenas um ´
e ındice. Assim as equa¸˜es
co
2.3 a 2.5 ficam:
ρx = [σx , τxy , τxz ] (2.6)
ρy = [τyx , σy , τyz ] (2.7)
ρz = [τzx , τzy , σz ] (2.8)
A maneira cl´ssica de se apresentar os vetores ρx , ρy e ρz ´ o tensor de tens˜es3 que
a e o
usualmente ´ representado pela letra grega σ conforme mostrado na equa¸˜o 2.9:
e ca
   
ρx σx τxy τxz
   
σ =  ρy  =  τyx σy τyz  (2.9)
ρz τzx τzy σz
Alguns dos nove elementos da matriz que compoem o tensor de tens˜es s˜o relacionados
o a
entre si. Tomando-se um cubo formando um s´lido infinitesimal em torno do ponto M,
o
conforme figura 2.17, tem-se o chamado s´lido de tens˜es.
o o
Em cada uma das faces foram representadas as tens˜es de contato entre o s´lido e o
o o
restante da estrutura. Numa estrutura em equil´ ıbrio, todas as partes da mesma tamb´m
e
dever˜o estar em equil´
a ıbrio. Assim sendo, aplicando-se as trˆs equa¸˜es de equil´
e co ıbrio de
for¸as ao s´lido da figura 2.17, tomando-se o limite quando dx → 0, dy → 0 e dz → 0,
c o
alternadamente, pode-se facilmente concluir que:
3
Uma grandeza tensorial necessita de v´rios vetores e/ou escalares para sua defini¸˜o
a ca
18

20. σy
’
x
dx
z τyx
’ τ yz
’
σ z’
τ xy
’ τ zy
’
τ zx
y
’
τ xz
’ dy
σx
’
M
σx
τ zx τ xz
τ xy
σz τ zy
τ yx dz
τ yz
σy
Figura 2.17: S´lido de tens˜es
o o
σx = σx = σx (2.10)
σy = σy = σy (2.11)
σz = σz = σz (2.12)
τxy = τxy = τxy (2.13)
τyx = τyx = τyx (2.14)
τxz = τxz = τxz (2.15)
τzx = τzx = τzx (2.16)
τyz = τxy = τyz (2.17)
τzy = τxy = τzy (2.18)
Aplicando agora as equa¸˜es de equil´
co ıbrio de momento com rela¸˜o ao eixo y, ad-
ca
mitindo que as tens˜es s˜o constantes em cada face, tem-se:
o a
M dx dx
My = 0 ⇒ +τxz dydz + τxz dydz
2 2
dz dz
−τzx dxdy − τzx dxdy =0 (2.19)
2 2
Logo:
τxz = τzx (2.20)
Aplicando-se as equa¸oes de equil´
c˜ ıbrio de momento com rela¸ao aos eixo y e x, chega-se
c˜
de forma an´loga a:
a
τxy = τyx (2.21)
τyz = τzy (2.22)
19

21. Conclui-se ent˜o que o tensor de tens˜es ´ sim´trico:
a o e e
 
σx τxy τxz
σ =  τxy σy τyz 
  (2.23)
τxz τyz σz
A conven¸ao de sinais para as tens˜es deve ser de tal maneira que n˜o permita que
c˜ o a
uma mesma tens˜o tenha valores alg´bricos de sinais opostos quando se analisa uma face
a e
ou outra do s´lido de tens˜es. Por esta raz˜o, adota-se referenciais opostos para cada uma
o o a
das faces opostas do s´lido em torno do M, conforme mostra figura 2.17. Nesta figura
o
todas as tens˜es representadas s˜o positivas. As regras para a conven¸ao de sinais s˜o:
o a c˜ a
• Para as tens˜es normais: S˜o positivas quando est˜o associadas ` tra¸ao e neg-
o a a a c˜
ativas quando est˜o associadas ` compress˜o.
a a a
• Para as tens˜es tangenciais: Quando a normal externa do s´lido de tens˜es
o o o
apontar na mesma dire¸˜o do eixo coordenado, as tens˜es tangenciais s˜o positi-
ca o a
vas quando apontarem para o mesmo sentido do seu respectivo eixo coordenado.
Quando a normal externa do s´lido de tens˜es apontar na dire¸ao contr´ria do eixo
o o c˜ a
coordenado, as tens˜es tangenciais s˜o positivas quando apontarem para o sentido
o a
contr´rio do seu respectivo eixo coordenado.
a
2.1.4 Exerc´
ıcios
1. Para o elemento de tens˜o representado na figura 2.18 (tens˜es expressas em MPa)
a o
complete o s´lido de tens˜es com as tens˜es que faltam, considerando o s´lido em
o o o o
equil´
ıbrio.
150
x
80
70
200
y
50
z
100
Figura 2.18: Figura do exerc´ 1
ıcio
2. Uma press˜o uniforme de 3,5 MPa ´ exercida sobre as faces EGHF e ABCD do bloco
a e
s´lido representado na figura 2.19. Simultaneamente, uma distribui¸˜o uniforme de
o ca
tra¸ao ´ mantida sobre as faces GHCB e EFDA, tendo valor de 0,7 MPa. Quais
c˜ e
s˜o as tens˜es normal e tangencial sobre cada uma das faces do bloco representado?
a o
Monte o tensor de tens˜es para os pontos no interior do bloco.
o
3. Um cilindro de parede delgada est´ submetido a uma for¸a de 4,5 kN. O diˆmetro
a c a
do cilindro ´ 7,5 cm e a espessura da parede ´ de 0,3 cm. Calcular as tens˜es normal
e e o
e de cisalhamento num plano que corta o cilindro formando um ˆngulo de α = 40o ,
a
conforme figura 2.20. Resposta: σN = 3,89 MPa e τN = 3,26 MPa.
20

22. H C
G B
3m F
D
3m
E 6m A
Figura 2.19: Figura do exerc´ 2
ıcio
4,5 kN 4,5 kN
α
Figura 2.20: Figura do exerc´ 3
ıcio
4. Admitindo que o cilindro do exerc´ ıcio anterior esteja submetido a uma for¸a de
c
tra¸ao P e que sua se¸ao transversal tenha ´rea A, demonstre que:
c˜ c˜ a
P P
σα = cos2 α e τα = sin 2α
A 2A
Em seguida trace os gr´ficos de σα em fun¸ao de α e de τα em fun¸ao de α, para
a c˜ c˜
o
0 ≤ α ≤ 90 .
5. Demonstre, para o problema, anterior que a tens˜o normal m´xima ocorre para
a a
o o
α = 0 e que a tens˜o cisalhante m´xima ocorre para α = 45
a a
6. Uma placa de espessura 2,5 cm ´ uniformemente carregada por for¸as F1 = 2,25 kN
e c
e F2 = 9,00 kN conforme figura 2.21. Monte o tensor de tens˜es para um ponto
o
contido na placa.
F2
30 cm
F1 F1
60 cm
F2
Figura 2.21: Figura do exerc´ 6
ıcio
7. O tensor de tens˜es apresentado para este exerc´
o ıcio foi obtido aplicando a teoria
da resistˆncia dos materiais a ser detalhada no cap´
e ıtulo 3 a uma viga com o car-
regamento mostrado na figura 2.22. Esboce os gr´ficos projetados no plano xy que
a
relacionam as tens˜es σx e τxy com a posi¸ao no ponto e comente-os. Resposta no
o c˜
21

23. final. Dado x e y em (m) → σ em (MPa).
 
−120x (x − 1) y 0, 15 (2x − 1) (400y 2 − 1) 0
 2
σ =  0, 15 (2x − 1) (400y − 1) 0 0 

0 0 0
2 kN/m
0,10 m
x
0,10 m
z 1m
y
Figura 2.22: Figura do exerc´ 7
ıcio
8. Uma barra tracionada ´ composta de dois peda¸os de material que s˜o colados ao
e c a
longo da linha mn conforme figura 8. Por raz˜es pr´ticas, o ˆngulo θ ´ limitado `
o a a e a
o
faixa entre 0 e 60 . A m´xima tens˜o de cisalhamento que suporta a junta colada
a a
´ 3/4 da m´xima tens˜o normal. Assim sendo, qual deve ser o valor de θ para que
e a a
a barra suporte o m´ximo de carga P ? (Admitir que a junta colada seja o unico
a ´
o
ponto a ser verificado no projeto). Resposta: θ = 36.87
m o
90
P . θ P
n
Figura 2.23: Figura do exerc´ 8
ıcio
9. Resolver o problema anterior no caso das tens˜es tangencial e normal m´ximas
o a
permitidas sejam, respectivamente, 70 MPa e 140 MPa. Determinar tamb´m a e
carga P m´xima permiss´
a ıvel se a ´rea da se¸ao transversal da barra for de 1000
a c˜
mm2 . Resposta: θ = 26.56o e P = 175 kN.
2.2 Estudo das deforma¸˜es:
co
2.2.1 Introdu¸˜o
ca
Paralelamente ao estudo estabelecido no item anterior relativo ` an´lise de tens˜es, pode-
a a o
se desenvolver tamb´m, o estudo das deforma¸oes sofridas por um corpo sob solicita¸oes
e c˜ c˜
externas. Destaca-se que a an´lise de deforma¸oes em um corpo s´lido iguala-se em
a c˜ o
importˆncia ` an´lise de tens˜es.
a a a o
Sabe-se, da ´lgebra vetorial, que o campo vetorial de deslocamentos permite quantificar
a
a mudan¸a de geometria de um corpo, sujeito ` a¸ao de cargas aplicadas. Esta mudan¸a
c a c˜ c
de geometria implica na considera¸ao de duas parcelas:
c˜
22

24. (a) Resposta para σx
(b) Resposta para τxy
Figura 2.24: Resposta do exerc´ 7
ıcio
• Movimento de corpo r´
ıgido
• Mudan¸a de forma e dimens˜es do corpo
c o
Como a Resistˆncia dos Materiais desenvolve o estudo dos corpos deform´veis, ser´
e a a
de interesse maior o estudo da segunda parcela. Al´m disso, num contexto de estruturas
e
civis, o movimento de corpo r´ıgido pode ser eliminado mediante a introdu¸ao adequada
c˜
de v´ınculos. Neste texto, somente ser˜o consideradas as pequenas deforma¸oes, como
a c˜
aquelas que geralmente ocorrem na engenharia estrutural.
2.2.2 Campo de deslocamento
Quando solicita¸˜es externas atuam sobre um corpo deform´vel, este sofre mudan¸a de
co a c
forma e dimens˜es, passando de uma configura¸˜o inicial indeformada a uma configura¸ao
o ca c˜
23

25. final deformada, conforme figura 2.25.
z
r
r
z .
P(x,y,z)
.
P(x,y,z) x r’ d
x y .’
P(x+u,y+v,z+w)
y
(a) Configura¸˜o indeformada
ca (b) Configura¸˜o deformada
ca
Figura 2.25: Campo de Deslocamentos
Em sua configura¸ao inicial qualquer ponto P , de coordenadas (x, y, z), pode ser
c˜
localizado utilizando-se um vetor posi¸ao r correspondente a esse ponto P (ver figura
c˜
2.25(a)). Ap´s a aplica¸ao das cargas o corpo se deforma para uma nova configura¸ao,
o c˜ c˜
indicada em linha cheia na figura 2.25(b) e o ponto P desloca-se para o ponto P . A linha
tracejada indica a configura¸˜o indeformada.
ca
Designando-se por u(x, y, z), v(x, y, z) e w(x, y, z) as componentes, segundo dire¸oes
c˜
de eixos ortogonais, do deslocamento d sofrido por P , as coordenadas de P ser˜o dadas
a
por:
P = [x + u(x, y, z), y + v(x, y, z), z + w(x, y, z)] (2.24)
O campo de deslocamentos d para um ponto P gen´rico no interior do s´lido fornece
e o
ent˜o toda e qualquer informa¸ao relacionada ` mudan¸a de geometria do s´lido, resultado
a c˜ a c o
de um carregamento. Ou seja, tendo-se as fun¸˜es das componentes de deslocamento, que
co
´ v´lida para todo corpo:
e a  
u(x, y, z)
 
d =  v(x, y, z)  (2.25)
w(x, y, z)
basta que se saiba as coordenadas (x, y, z) de um ponto qualquer deste corpo para se
obter a nova posi¸ao desse ponto ap´s o carregamento. Logo a posi¸ao final do ponto P ,
c˜ o c˜
definida pelo vetor r ´ a soma do vetor r com o vetor d (vide figura 2.25(b)). Considera-se
e
ainda que as componente u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z) s˜o fun¸˜es cont´
a co ınuas, tendo em
vista a preserva¸˜o da continuidade do s´lido no processo de deforma¸ao.
ca o c˜
Exemplo: O seguinte campo de deslocamento representa as deforma¸˜es de um corpo
co
em um dado dom´ ınio:
d = x2 ı + (x + 3z)  + 10k × 3 × 10−3 m (2.26)
Qual ´ o deslocamento do ponto originalmente situado na posi¸˜o definida pelo vetor
e ca
r =  + k na conforma¸˜o geom´trica indeformada?
ca e
24

26. Para determinar-se o deslocamento deste ponto, substitui-se x = 0, y = 1 e z = 1
no campo de deslocamento d do ponto em quest˜o. Em seguida, pode-se obter a nova
a
posi¸˜o definida pelo vetor r somando-se o vetor d ao vetor r:
ca
r = r+d
=  + k + 3 + 10k × 3 × 10−3
= (1, 009 + 1, 030k) m (2.27)
´
E o que mostra a figura 2.25(b).
2.2.3 Componentes de Deforma¸˜o
ca
Embora o campo de deslocamentos seja suficiente para descrever todas as caracter´ ısticas
de mudan¸a de geometria de um corpo, ´ necess´rio que se estabele¸a uma rela¸ao direta
c e a c c˜
entre estas mudan¸as geom´tricas e as cargas aplicadas, ou de forma mais conveniente, com
c e
a distribui¸˜o de tens˜es. Essa afirma¸˜o ser´ melhor compreendida no item 2.3, onde
ca o ca a
buscar-se-´ relacionar diretamente as tens˜es com as deforma¸oes. Entretanto pode-se
a o c˜
adiantar que n˜o ´ a posi¸ao de um ponto que o relaciona com seu estado de tens˜o,
a e c˜ a
mas o movimento relativo entre pontos adjacentes. Tendo em vista esta ultima afirma¸˜o
´ ca
considerem-se os segmentos infinitesimais, dx ,dy e dz, ligando pontos adjacentes em seus
v´rtices formando um paralelep´
e ıpedo retangular infinitesimal conforme figura 2.26.
z
x dy
dx
y dz
Figura 2.26: Paralelep´
ıpedo Retangular Infinitesimal
Pode-se, “medir” o movimento relativo dos pontos adjacentes (v´rtices) considerando
e
as deforma¸˜es desse paralelep´
co ıpedo retangular. Agora ´ necess´rio introduzir um conceito
e a
de intensidade de deforma¸ao caracter´
c˜ ıstica, a saber, deforma¸˜o linear espec´
ca ıfica (ou
alongamento/encurtamento relativo) e deforma¸˜o angular (ou distor¸˜o angular), que
ca ca
s˜o formas de se quantificar o movimento relativo entre pontos adjacentes de um corpo.
a
Deforma¸˜o Linear Espec´
ca ıfica
Seja o paralelep´
ıpedo retangular infinitesimal da figura 2.27 na configura¸ao geom´trica
c˜ e
indeformada em cujas faces agem apenas tens˜es normais como resultado do carrega-
o
mento.
Designa-se por dx, dy e dz os comprimentos iniciais das arestas do paralelep´ıpedo
retangular. Na configura¸˜o deformada, os comprimentos dessas arestas tornam-se dx +
ca
∆dx, dy + ∆dy e dz + ∆dz respectivamente. H´, ent˜o, a possibilidade de uma varia¸˜o
a a ca
de volume do elemento. Define-se, como medida de deforma¸˜o caracter´
ca ıstica do material,
tal varia¸˜o segundo trˆs deforma¸oes unit´rias, como segue:
ca e c˜ a
25

27. y
dy
dz dy+ ∆ y
dx
dz+ ∆z
dx+ ∆ x
z ´
solido x
Figura 2.27: Paralelep´
ıpedo Retangular sob Deforma¸˜o Linear
ca
∆dx
x =
dx
∆dy
y =
dy
∆dz
z = (2.28)
dz
´
E interessante observar que a utiliza¸ao da deforma¸ao linear permite a compara¸ao
c˜ c˜ c˜
entre deforma¸oes deste mesmo tipo obtidas em diferentes estruturas e/ou amostras en-
c˜
saiadas j´ que esta quantidade ´ admensional. Usualmente refere-se a ela em cm / cm
a e
ou mm / mm. A quantidade ´ bastante pequena e algumas vezes pode ser dada em
e
porcentagem.
Deforma¸˜o Cisalhante ou Distor¸˜o
ca ca
Um s´lido deform´vel pode ainda, estar sujeito a um outro tipo de deforma¸˜o: aquela
o a ca
causada pelas tens˜es cisalhantes. Como conseq¨ˆncia de tal solicita¸ao surgem mu-
o ue c˜
dan¸as na orienta¸ao relativa entre as faces do elemento envolvendo varia¸oes desprez´
c c˜ c˜ ıveis
de volume. A figura 2.28 representa o s´lido infinitesimal sujeito somente ` a¸ao de tens˜es
o a c˜ o
cisalhantes τxy
Em outras palavras, pressup˜e-se que as tens˜es cisalhantes causem varia¸ao de forma,
o o c˜
isto ´, uma distor¸ao, mas n˜o uma dilata¸˜o apreci´vel. Essa medida de varia¸ao relativa
e c˜ a ca a c˜
entre as faces do elemento pode ser dada pela varia¸˜o do ˆngulo inicialmente reto e ´
ca a e
definida como deforma¸ao de cisalhamento ou distor¸˜o, representado por γxy :
c˜ ca
γxy = α + β (2.29)
onde α e β est˜o representados na figura 2.28.
a
Ser´ conveniente considerar uma rota¸˜o de corpo r´
a ca ıgido do elemento em torno do eixo
x, de forma a se ter sempre α igual a β. Assim, designa-se por yz , zy , as deforma¸˜es
co
transversais.
26

28. y
dy
dz
dx β
α
x
z ´
solido
Figura 2.28: Paralelep´
ıpedo Retangular sob Deforma¸˜o Cisalhante
ca
1
xy =
= γxy yx (2.30)
2
De forma an´loga ao estado de tens˜o, o estado de deforma¸ao fica completamente
a a c˜
determinado se forem conhecidas as componentes de deforma¸˜o (deforma¸˜es lineares
ca co
e distor¸oes angulares) segundo eixos tri-ortogonais. O efeito de dilata¸˜o ou retra¸ao
c˜ ca c˜
do paralelep´
ıpedo retangular infinitesimal deve-se `s trˆs deforma¸˜es lineares, enquanto,
a e co
independentemente, seis deforma¸oes transversais fornecem uma varia¸˜o da configura¸ao
c˜ ca c˜
de ˆngulo reto entre as faces do paralelep´
a ıpedo. Usa-se apresentar estas nove quantidades
em um tensor de deforma¸oes, como feito para tens˜es.
c˜ o
 
x xy xz
=
 xy y yz

 (2.31)
xz yz z
2.2.4 Rela¸˜o Deforma¸˜o-Deslocamento
ca ca
´
E poss´
ıvel, a partir das equa¸˜es 2.28, definir-se as deforma¸˜o longitudinais em fun¸ao
co ca c˜
do campo de deslocamentos d.
Observando a figura 2.29 e aplicando a primeira equa¸˜o 2.28 tem-se:
ca
A B − ∆x
x = lim (2.32)
∆x→0 ∆x
Se as deforma¸oes transversais que ocorrem s˜o pequenas, o ˆngulo entre A B e AB
c˜ a a
−−
−→
tamb´m ser´ pequeno e pode-se ent˜o utilizar a proje¸˜o de A B na dire¸ao x (A Bx ) em
e a a ca c˜
lugar do pr´prio segmento A B , isto ´:
o e
− →
− 
A B x − ∆x 
x = lim  (2.33)
∆x→0 ∆x
−−
−→
Pode-se expressar A Bx como sendo:
27

29. y
A’ B’
d(x, y, z) x
d(x+ ∆ x, y, z)
A ∆x B
z
Figura 2.29: Deforma¸oes longitudinais em fun¸˜o do campo de deslocamentos
c˜ ca
−−
−→
A Bx = ∆x + [u(x + ∆x, y z) − u(x, y z)] (2.34)
Substituindo a equa¸˜o 2.34 na equa¸ao 2.33 tem-se:
ca c˜
u(x + ∆x, y z) − u(x, y z)
x = lim (2.35)
∆x→0 ∆x
O segundo membro da equa¸ao 2.35 ´ identificado como a derivada parcial de u(x, y, z)
c˜ e
com rela¸˜o a x, ou seja:
ca
∂u
x = (2.36)
∂x
De forma an´loga pode-se obter:
a
∂v
y = (2.37)
∂y
∂w
z = (2.38)
∂z
De maneira semelhante, ´ poss´
e ıvel, a partir da equa¸˜o 2.29, definir-se as deforma¸˜es
ca co
transversais em fun¸ao do campo de deslocamentos d.
c˜
Partindo-se da figura 2.30 pode-se escrever:
DB
α = lim (2.39)
∆x→0 A D
Mas DB pode ser escrito como:
DB = v(x + ∆x, y, z) − v(x, y, z) (2.40)
e para pequenas deforma¸˜es lineares, pode-de dizer que:
co
A D = ∆x (2.41)
resultando para a equa¸˜o 2.39:
ca
28

30. y
C’
β
B’
C (x, y+ ∆ y, z) α
A’ D
∆y x
B (x+ ∆ x, y, z)
A (x, y, z) ∆x
z
Figura 2.30: Deforma¸oes transversais em fun¸˜o do campo de deslocamentos
c˜ ca
v(x + ∆x, y, z) − v(x, y, z)
α = lim (2.42)
∆x→0 ∆x
O segundo membro da equa¸˜o 2.42 ´ identificado como a derivada parcial de v(x, y, z)
ca e
com rela¸˜o a x, ou seja
ca
∂v
α= (2.43)
∂x
De maneira similar pode-se obter:
∂u
β= (2.44)
∂y
Voltando ` equa¸ao 2.29, chega-se a:
a c˜
∂v ∂u
γxy = α + β = + (2.45)
∂x ∂y
ou, utilizando equa¸ao 2.30:
c˜
1 ∂v ∂u
xy = + (2.46)
2 ∂x ∂y
Analogamente:
1 ∂w ∂u
xz = + (2.47)
2 ∂x ∂z
1 ∂w ∂v
yz = + (2.48)
2 ∂y ∂z
Assim conhecendo-se o campo de deslocamentos d(u, v, w) pode-se obter o campo de
deforma¸˜es como segue:
co
29

31.  ∂u 1 ∂u ∂v 1 ∂u ∂w

∂x 2 ∂y
+ ∂x 2 ∂z
+ ∂x
 
 
 
= 2
 1 ∂u
∂y
+ ∂v
∂x
∂v
∂y
1
2
∂v
∂z
+ ∂w
∂y

 (2.49)
 
 
 
1 ∂u ∂w 1 ∂v ∂w ∂w
2 ∂z
+ ∂x 2 ∂z
+ ∂y ∂z
2.2.5 Exerc´
ıcios
1. Dado o seguinte campo de deslocamentos:
d = x2 + y ı + (3 + z)  + x2 + 2y k (2.50)
Qual a posi¸ao, ap´s deforma¸ao, de um ponto originalmente em (3, 1, -2)?
c˜ o c˜
Resposta: P=(13;2;9)
2. Um campo de deslocamento ´ dado por:
e
x
d = 0, 16x2 + sin y ı + 0, 1x +  + 0, 004k (2.51)
y3
Como resultado da deforma¸˜o, qual ´ o acr´scimo de distˆncia entre dois ponto, os
ca e e a
quais, na configura¸˜o geom´trica indeformada, s˜o dados pelos vetores de posi¸˜o?
ca e a ca
r1 = 10ı + 3
r2 = 4ı + 3
Resposta: d = 13,46
3. Dado o seguinte campo de deslocamentos:
d = xyı + (3 + y)  + (x + z) k 3 × 10−1 m (2.52)
Qual a perda em perpendicularidade entre dois segmentos de comprimento unit´rio,a
inicialmente situados sobre os eixos x (1,0,0) e y (0,1,0) a partir da origem, como
resultado do citado campo de deslocamento?
Resposta: β = 40, 69o
4. Dado o seguinte campo de deslocamentos:
d = x2 ı + 3y + 10k 3 × 10−3 m (2.53)
Quais s˜o as componentes de deforma¸ao no ponto (1, 2, 0)?
a c˜
 
2 0 0
 
Resposta: =  0 3 0  3 × 10−3
0 0 0
30