Estrutura de Dados - Aula 15 - Pesquisa de Dados (Árvore de Pesquisa)

# Estrutura de Dados #
Aula 15 – Pesquisa de Dados
(Árvores de Pesquisa)
Prof. Leinylson Fontinele Pereira

Na aula anterior...
 Pesquisa de Dados
# Sequencial e Binária
16:00 Pesquisa e Ordenação: Aula 15 – Pesquisa de Dados (Árvores de Pesquisa)

O que vamos aprender?
 Árvores
# Conceito
# Componentes
# Tipos de árvores
# Onde são utilizadas?

Vamos começar?
16:00 4
Pesquisa e Ordenação: Aula 15 – Pesquisa de Dados (Árvores de Pesquisa)

16:00
O que é uma Árvore?

16:00
Algumas Árvores... 

16:00
 São um tipo especial de grafo
 Qualquer par de vértices (nós) está
conectado a apenas uma aresta
 Grafo conexo (todos estão conectados)
 Acíclico (não possui ciclos)

Formas de Representação
16:00
Grafo Diagrama de Venn

Árvores
16:00
 As árvores são uma das estrutura de dados
mais importantes da área da computação
 Utilizada em muitas aplicações do mundo real
 Os relacionamentos lógicos entre os dados
representam alguma dependência de hierarquia
ou composição entre os nodos;

Árvores: Conceitos Básicos
16:00
As linhas que unem 2 nodos representam os relacionamentos lógicos e as
dependências de subordinação existentes entre eles

Árvores: Conceitos Básicos
16:00
Relacionamentos de subordinação, formando hierarquias, podem
apresentar diferentes significados

Hierarquia de Especialização

Hierarquia de Composição

Hierarquia de Dependência

RepresentaçãoGráfica de uma Árvore

Terminologia
16:00
 A terminologia não é padronizada;
 Existem nomes diferentes para os
mesmos conceitos em diferentes
publicações.

Terminologia
16:00
 Raiz (root)
 Todos os outros nós da árvore são subordinados a ele
 O acesso a todos os nós é sempre a partir dele
 Nós descendentes:
 Relação de dependência com o nó mais acima

Terminologia
16:00
 Caso o número de nós seja diferente
de zero, existe sempre uma raiz;
 Caso o número de nós seja zero, é
denominada vazia.

Terminologia
16:00 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

Terminologia
16:00
 Subárvore
 Conjunto de nós subordinados a um único nó, externo a esta subárvore

Terminologia
16:00
 Grau de Um Nó
 Número de subárvores que são subordinadas diretamente a esse nó.
 Grau de uma Árvore
 É o maior valor dentre os graus de todos os seus nós.

Terminologia

Terminologia
16:00
 Folha ou Terminal (externo)
 São os nós de grau zero
 Nó de derivação (interno)
 Nós de grau maior do que zero e que apresentam uma subárvore

Terminologia
16:00
 Nível de um Nó
 Número de ligações entre este nó e a raiz da árvore mais um
 Caminho
 Sequência de nós consecutivos distintos entre dois nós
 Comprimento do Caminho
 Número de níveis entre os dois nós menos um

Terminologia
16:00
 Floresta
 Conjunto de zero ou mais árvores disjuntas
 Árvore ordenada
 Quando a ordem de suas subárvores é relevante para a
aplicação que está sendo representada através desta
estrutura de dados.

Árvore Binária (Binary Tree)

Árvore Binária (Binary Tree)
16:00
 Usadas em situações onde, a cada passo, é preciso
tomar uma decisão entre duas direções

Árvore Estritamente Binária

Árvore Binária: Contagemdos Nós

Árvores Binárias de Busca
16:00
Considere uma árvore binária
cujos nós têm um campo chave
de um tipo linearmente
ordenado, ou seja, de um tipo
(como números, caracteres, e
strings) que admite
comparações.

16:00
 Uma árvore binária é de busca (em relação ao campo chave)
se cada nó X tem a seguinte propriedade:
 A chave de X é maior ou igual à chave de qualquer nó na subárvore
esquerda de X e menor ou igual à chave de qualquer nó na subárvore
direita de X.
 Em outras palavras, se x é um nó qualquer então y->chave ≤
x->chave ≤ z->chave para todo nó y na subárvore esquerda
de x e todo nó z na subárvore direita de x.

Árvore Isomorfa
16:00
 Quando é possível que se tornem coincidentes
através de uma permutação na ordem das
subárvores de seus nós

Árvores Balanceadas (Equilibrada)
16:00
 É aquela na qual existe uma
distribuição equilibrada entre
os nós da árvore
 Existe uma diferença mínima
entre todas as folhas e a raiz.

Árvore Binária Quase Completa

Árvores Cheia ou Completamente Balanceada
16:00
 É aquela em que todas as folhas estão a uma
distância igual da raiz.

Árvores AVL

Árvores Balanceadas
16:00
 Inserção dos valores {1,2,3,10,4,5,9,7,8,6}

Árvores Balanceadas

Árvores AVL: Rotação
16:00
 Uma rotação simples ocorre quando um nó está
desbalanceado e seu filho estiver no mesmo
sentido da inclinação, formando uma linha reta.
 Uma rotação-dupla ocorre quando um nó estiver
desbalanceado e seu filho estiver inclinado no
sentido inverso ao pai, formando um “joelho”.

Árvores AVL: Rotação
16:00
 Para garantirmos as propriedades da árvore
AVL rotações devem ser feitas conforme necessário
após operações de remoção ou inserção.
 Seja P o nó pai, FE o filho da esquerda
de P e FD o filho da direita de P podemos definir 4
tipos diferentes de rotação:

Árvores AVL: Rotação à Direita

Árvores AVL: Rotação à Esquerda

Árvores AVL: Rotação Dupla à Direita

Árvores AVL: Rotação Dupla à Esquerda

Árvore Rubro Negra
16:00
 Nas árvores rubro-negras, os nós folhas não são
relevantes e não contém dados.
 Estas folhas não precisam ser mantidas em
memória de computador, basta apenas um
ponteiro para nulo para identificá-las.

Árvore Rubro Negra

Árvore Rubro Negra
16:00
 Um nó é vermelho ou preto.
 A raiz é preta.
 Todas as folhas(nil) são pretas.
 Ambos os filhos de todos os nós vermelhos são pretos.
 Todo caminho de um dado nó para qualquer de seus nós
folhas descendentes contem o mesmo número de nós pretos.

Operações Básicas
16:00
 Criação de uma árvore
 Alocação das variáveis necessárias para a definição da árvore
 As demais operações são habilitadas depois disso
 Inserção de um novo nó
 Como raiz
 Como folha
 Como uma posição intermediária

16:00
 Exclusão de um Nó
 Quando não se realiza sobre uma folha, precisa reorganizar a árvore
 Acesso a um Nó
 Destruição de uma árvore

16:00
 Pai
 Dado um determinado nó, retorna o endereço do nó
imediatamente superior
 Tamanho
 Retorna o número total de nós de uma árvore
 Altura
 Retorna a altura da árvore

Árvores Usando Contiguidade Física
16:00
Não é intuitiva como era no caso das Listas Lineares

Árvores Usando Contiguidade Física
16:00
A(3) B(1) C(0) D(4) E(0) F(0) G(0) H(0) I(0)
A(3) B(1) E(0) C(0) D(4) F(0) G(0) H(0) I(0)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Vantagens Usando Contiguidade Física
16:00
 Eficiente em termos de espaço,
principalmente quando o grau não varia
muito
 Implementação é mais simples se existir
limitação do número de descendentes.

Desvantagens Usando Contiguidade Física
16:00
 Implementação não constitui uma boa
representação física de árvores
 Dificuldade de seguir a hierarquia implícita
nestas estruturas ao manipular a árvore
 Inserção e Remoção demorada

Árvore Ternária Usando Contiguidade Física
16:00
A B C D ʎ E ʎ ʎ ʎ ʎ F G ...
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Árvores Implementadas por Encadeamento
16:00
 O acesso se dá sempre pela raiz
 Os demais nós são alcançados somente pelos endereços dos elos
 A hierarquia de subordinação, implícita nas árvores, fica
perfeitamente representada.
 Todos os nós da árvore deve apresentar a mesma estrutura.

Árvores Implementadas por Encadeamento
16:00
A
B / / C / / / D /
E / / / F / / / G / / /

Vantagens da Implementação por Encadeamento
16:00
 É bastante Intuitiva
 Inserção e Remoção são simples, constituindo
basicamente na atualização de endereços nos
campos de elo de alguns nós.

Desvantagens da Implementação por Encadeamento
16:00
 Árvores cujos nós têm grau variado apresentam
geralmente muitos campos de elo ociosos
 O Acesso aos nós pode ser dificultado devido à
necessidade de acessar qualquer nós sempre
através da raiz.

Concluindo ...
16:00 71

Nesta aula aprendemos...
 Árvores
# Conceito
# Componentes
# Tipos de árvores

Material: https://sites.google.com/site/leinylsonuespi
16:00
Aula baseada no material de:
 Busca em arrays, Prof. André Backes

Nesta aula aprendemos...
16:00
 Árvores
# Conceito
# Componentes
# Tipos de árvores

Na próxima aula veremos...
 Pesquisa de dados
# Hashing

Prática 
16:00 76
As aulas práticas foram baseadas no material de
Linguagem C Descomplicada , Dr. André R. Backes.
Disponível em: https://programacaodescomplicada.wordpress.com/

16:00
 Considere a árvore com representação aninhada
( A ( B ) ( C ( F ( H ) ( I ) )) ( D) ( E ( G ) ) )

16:00
 Quantas subárvores esta árvore contém?
 Quais os nós-folha?
 Qual o grau de cada nó?
 Qual o grau da árvore?
 Liste os ancestrais dos nós B, G e I.
 Liste os nós de quem C é ancestral próprio.
 Liste os nós de quem D é descendente próprio.
 Dê o nível e a altura do nó F e A.
 Qual a altura da árvore?

16:00 79
Árvore Binária

Árvore Binária: Implementação
16:00
 Em uma Árvore Binária podemos realizar as seguintes operações
 Criação da árvore
 Inserção de um elemento
 Remoção de um elemento
 Acesso a um elemento
 Destruição da árvore
 Essas operações dependem do tipo de alocação de memória usada
 Estática (heap)
 Dinâmica (lista encadeada)

Árvore Binária: Alocação Estática
16:00
 Uso de um array
 Usa duas funções para retornar a posição dos filhos à esquerda e à
direita de um pai

Árvore Binária: Alocação Dinâmica
16:00
 Cada nó da árvore é tratado como um ponteiro alocado dinamicamente
a medida que os dados são inseridos

TAD da Árvore Binária
16:00
 Para guardar o primeiro nó da árvore utilizamos um ponteiro para
ponteiro. Assim, fica fácil mudar quem é a raíz da árvore (se necessário)

Árvore Binária
16:00
 ArvoreBinaria.h
 Os protótipos das funções
 O tipo de dado armazenado na árvore
 O ponteiro árvore
 ArvoreBinaria.c
 O tipo de dados árvore
 Implementar as suas funções

16:00 85
Definindo a Árvore
Binária

Definindo a Árvore Binária

16:00 87
Criando a Árvore
Binária

Criandoa Árvore Binária

16:00 89
Destruindo a Árvore
Binária

Destruindo a Árvore Binária

16:00 92
Árvore Vazia?

Árvore Vazia?

16:00 94
Altura da Árvore

Altura da Árvore

16:00 97
Número de nós

Número de nós

Árvore Binária: Percurso na árvore
16:00
Percorrer todos os nós é uma operação muito comum em árvores binárias
 Cada nó é visitado uma única vez
 Isso gera uma sequência linear de nós, cuja ordem depende de como a árvore foi
percorrida
Não existe uma ordem natural para se percorrer todos os nós de uma
árvore binária
Isso pode ser feito para executar alguma ação em cada nó
 Essa ação pode ser mostrar (imprimir) o valor do nó, modificar esse valor, etc.

Percurso pré-ordem
16:00
 Ordem de visitação
 Raiz
 Filho esquerdo
 Filho direito

Percurso em-ordem
16:00
 Filho esquerdo
 Raiz
 Filho direito

Percurso pós-ordem
16:00
 Filho esquerdo
 Filho direito
 Raiz

16:00 107
Árvores Binária de Busca

Árvore Binária de Busca: Inserção

Árvore Binária de Busca: Busca

Árvores Binárias de Busca: Remoção
16:00
 Remover um nó de uma árvore binária de busca não é uma
tarefa tão simples quanto a inserção.
 Isso ocorre porque precisamos procurar o nó a ser removido da
árvore o qual pode ser um nó folha, nó interno (que pode ser a raiz),
com um ou dois filhos.
 Se for um nó interno
 Reorganizar a árvore para que ela continue sendo uma árvore
binária de busca

16:00
 Trabalha com 2 funções
 Busca pelo nó
 Tratar os 3 tipos de remoção: com 0, 1 ou 2 filhos

16:00
 Exclusão de um nó folha

16:00
 Exclusão de um nó com um filho

16:00
 Exclusão de um nó com dois filhos

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