Capítulo 8 - Algoritmos em grafos com Pseudocódigos e em Java

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Capítulo 8 –
Algoritmos em
grafos
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Conexão entre elementos é um problema comum em
computação. Situações que podem ser representadas
pela teoria dos grafos: a malha de estradas que ligam
cidades; o conjunto de links de um website; os circuitos
da placa-mãe de um computador; os cômodos de uma
casa e as portas que os interligam; e a distribuição entre
disciplinas e professores de uma escola.

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Conceitos de grafos
Um grafo G é formado pelo par de conjuntos V e
E, sendo V o conjunto de vértices de G, e E o
conjunto de arestas de G. Uma aresta e ∈ E(G) é
representada por e = (u, v), e sempre interliga
dois vértices quaisquer u e v de V. Dois vértices
ligados por uma aresta são denominados
adjacentes. Notações utilizadas para denotar um
grafo: G = (V, E) ou G = (V(G), E(G)) ou G(V, E).

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A representação geométrica dos grafos é feita
marcando pontos no plano para os vértices, e uma
linha ligando dois pontos para a aresta.
Quando os vértices são nomeados por letras, deve ser
feito um mapeamento de cada nome para um número
correspondente i, sendo 1 ≤ i ≤ n, n ∈ N.
Exemplos de grafos

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Laços, arestas múltiplas e multigrafo
Quando um grafo tem arestas do tipo e = (u, u), a aresta é
chamada laço. Se há mais de uma aresta entre o mesmo par
de vértices, são arestas paralelas ou arestas múltiplas. Um
grafo com arestas paralelas é denominado multigrafo.
(a) Grafo com laços; (b) Grafo com arestas múltiplas (multigrafo)

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Grafo trivial e grafo simples
Um grafo com apenas um vértice é chamado trivial. Se não
possuir laço ou aresta múltipla, é chamado simples.
Grafo completo
Um grafo G é chamado completo quando existe uma aresta
para cada par de vértices distintos de G.
Grafos completos

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Grafo regular
Em um grafo G(V, E), o grau de um vértice v ∈ V, denotado por
g(v), é o número de arestas que incidem. Se todos os vértices de
um grafo G têm mesmo grau, é chamado grafo regular de grau r.
Subgrafo
Um grafo G(V, E), H(V’,E’) é um subgrafo de G se V’ ⊆ V e E’ ⊆ E.
(a) Grafo G; (b) e (c) Subgrafos de G

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Grafo bipartido
Um grafo G(V,E) é bipartido quando seu conjunto de
vértices V pode ser particionado em dois subconjuntos
V1 e V2, tal que toda aresta de G faz a ligação de um
vértice de V1 a um vértice de V2.
(a) Grafo bipartido; (b) Grafo bipartido completo

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Caminho simples, trajeto e ciclos
Uma sequência de vértices v1, v2, ..., vj, tal que (vi ,vi+1) ϵ
E(G), 1 ≤ i ≤ |j−1|, é chamada caminho de v1 a vj. O
número de arestas do caminho é o comprimento. Se
todos os vértices são distintos, é um caminho simples
ou elementar. Se as arestas forem distintas, é um
trajeto. Um ciclo é um caminho v1,v2,…,vj,vj+1, sendo v1 =
vj+1 e k ≥ 3. Um grafo sem ciclos é chamado acíclico.

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Grafo conexo e desconexo
Um grafo G é conexo se existe um caminho para cada par
de vértices de G. Caso contrário, é desconexo. O grafo
desconexo tem partes conexas, as componentes. Um grafo
conexo possui uma única componente conexa enquanto
um desconexo possui várias componentes conexas.
(a) Grafo conexo; (b) Grafo desconexo

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Grafos isomorfos
Dois grafos G1(V1, E1) e G2(V2, E2), com |V1|=|V2|= n, são
isomorfos entre si quando existe uma função unívoca f: V1
→ V2, tal que (u,v) ∈ E1 sse (f(u), f(v)) ∈ E2, para todo u, v ∈
E1 (Szwarcfiter et al., 1986).

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Grafo ponderado
Um grafo ponderado tem peso nas arestas.
Esses pesos podem representar custos ou
distâncias, por exemplo.

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Dígrafo
Um grafo direcionado D(V,E), ou dígrafo, possui um
conjunto não vazio de vértices V e um conjunto de
arestas E, tal que para toda aresta (u,v) ∈ E existe uma
única direção de u para v.

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Seja D(V,E) um dígrafo e um vértice v ∈ V. O
grau de entrada de v é o número de arestas
que incidem em v. O grau de saída é o número
de arestas que partem de v. Um vértice com
grau de entrada nulo é chamado fonte e um
vértice com grau de saída zero é chamado
sumidouro.

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Árvores
Um grafo T(V,E) que não possui ciclos e é conexo é
chamado árvore. Características:
•Seja v ∈ V, se o grau de v for menor ou igual a 1, v é
uma folha. Se for maior que 1, v é um vértice interno.
•Uma árvore T com n vértices possui n −1 arestas.
•Um grafo G é uma árvore somente se existir um único
caminho entre cada par de vértices de G.
•Um conjunto de árvores é chamado floresta.

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Árvores com seis vértices

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Dado um grafo G(V(G), E(G)), denomina-se subgrafo
gerador o grafo H(V(H), E(H)) que é subgrafo de G, tal
que V(G) = V(H). Se o subgrafo H for uma árvore, então é
chamado árvore geradora.
(a) Grafo G; (b) Subgrafo gerador; (c) Árvore geradora

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Representação de grafos
Um grafo G(V,E) com |V|= n pode ser representado
adequadamente por meio de matrizes ou listas.
Matriz de adjacências
Dado um grafo G(V,E), uma matriz de adjacências M é
formada por n linhas e n colunas, sendo n o número de
vértices do grafo. Preenche-se como:

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Matriz de adjacências para um grafo não direcionado
A matriz de adjacências é simétrica para grafos não
direcionados.

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Matriz de incidências
Segundo Rabuske (1992), dado um grafo G(V,E) de n vértices
e m arestas, a matriz de incidência de G, denotada por Mnxm,
é definida por:
Em grafo orientado, a matriz é definida como:

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Lista de adjacências
Consiste em um vetor Adj com n =|V| entradas, uma
para cada vértice do grafo. Cada entrada Adj[v] possui
uma lista encadeada de vértices adjacentes a v em G.
Não existe uma ordem dos vértices nessa lista.
Compõe-se de n listas de 2m elementos, onde m é o
número de arestas. O espaço utilizado é O(n + m).

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Algoritmos de busca
Algoritmo de busca em profundidade
Atende ao critério de escolher o vértice mais
recentemente alcançado dentre os vários marcados e
incidentes a uma aresta ainda não explorada.
Análise da busca em profundidade
Procura acessar todos os vértices em um grafo G = (V, E),
onde |V|= n e |E|= m. Para acessar os possíveis vértices,
varre a lista de arestas de cada vértice do grafo e com
isso gasta tempo O(n + m).

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Algoritmo de busca em largura
Escolhe o vértice alcançado por último dentre os vários
marcados e incidentes a uma aresta não explorada. Tem
esse nome por descobrir todos os vértices a uma distância
k de s, antes de descobrir os que estão à distância k+1.

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Análise da busca de profundidade
Primeiro, o algoritmo inicializa todos os vértices em
tempo O(V). Quando vão sendo descobertos, são
colocados em uma fila. Inserção e remoção na fila
gastam tempo constante, O(1). Todos os vértices são
enfileirados e retirados e o tempo total gasto é O(V).
Todas as listas de todos os vértices são analisadas, em
tempo proporcional a O(E). Portanto, o tempo de
execução da busca em largura é O(V + E).

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Algoritmo do caminho mínimo
Determinar o mais curto (com menor peso) em um
dígrafo com pesos nas arestas a partir de um vértice de
origem informado, sendo os pesos das arestas maiores
ou iguais a zero.
Algoritmo de Dijkstra: mantém um conjunto C com
vértices cujo valor do caminho mínimo em relação ao de
origem v já foi determinado. Cada vértice possui uma
distância em relação à origem, armazenada em um vetor
dist, com tamanho n=|V|.

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O algoritmo trabalha para escolher um vértice i da
lista de prioridades mínima lista = V − C, tal que a
estimativa de distância de i à origem é mínima. Em
seguida a distância dos vértices vizinhos a i é
recalculada, se for o caso; para isso, as arestas
passam por um processo de relaxamento.
Relaxar uma aresta (i,j) é testar a possibilidade de
melhorar o menor caminho encontrado para j pela
passagem através do vértice i e, com isso, atualizar a
distância mínima que j possui.

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Análise do algoritmo de caminho mínimo
O tempo de execução do algoritmo Dijkstra é
determinado pela forma como a lista de prioridades
mínima é implementada. Na lista como heap binário
mínimo cada operação de inserção e remoção custa no
pior caso O(logV), onde V representa o número de
vértices do grafo. O algoritmo é executado enquanto a
lista de prioridade não for vazia.
O custo para construção de um heap binário é O(V),
então o tempo de execução do algoritmo é:
V ⋅ (logV + E + V) = V ⋅ logV + V ⋅ E + V ⋅ V = O(V2).

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