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CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA - CURSO REGULAR
                       PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO
                                  AULA 03
      Olá, amigos!
      Todos bem?
       Comigo nem tanto... fui surpreendido essa semana por uma virose daquelas! Ainda
bem que só dói quando eu respiro... Assim, vou pedir licença a vocês – contando com a
compreensão de todos – para apresentar hoje uma aula reduzida, somente resolvendo as
questões pendentes da aula passada. E fica a promessa, de minha parte, de que compensarei
o atraso numa próxima semana.
      Vocês me permitem fazer assim? Obrigado!
      Passemos, pois, às resoluções do nosso...


                                      ...Dever de Casa

01.     (AFRF-2000) Utilize a tabela que se segue.

 Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa
                        Classes de Salário Freqüências
                                             Acumuladas
                            (3   ;   6]          12
                            (6    ; 9]           30
                            (9   ; 12]           50
                           (12   ; 15]           60
                           (15   ; 18]           65
                           (18   ; 21]           68

Suponha que a tabela de freqüências acumuladas tenha sido construída a partir de
uma amostra de 10% dos empregados da Cia. Alfa. Deseja-se estimar, utilizando
interpolação linear da ogiva, a freqüência populacional de salários anuais
iguais ou inferiores a R$ 7.000,00 na Cia. Alfa. Assinale a opção que
corresponde a este número.
a) 150            b) 120           c) 130            d) 160            e) 180

Sol.: Esta questão é para observadores! Para começo de conversa, o enunciado nos fala que
as freqüências representam uma amostra de 10% dos empregados, ou seja, apenas 10% dos
elementos do conjunto estão representados na amostra.
       Observado isto, a questão pede um resultado referente à “freqüência populacional”.
Ora, “populacional” significa “da população”! Se a amostra representa 10% da população,
qualquer resultado encontrado para a amostra terá que ser multiplicado por 10, para se chegar
ao resultado correspondente da população. Claro:
                        10%(amostra) x 10 = 100%(população)
       Outra coisa: os limites das classes são valores expressos na casa das unidades (3, 6, 9)
e das dezenas (12, 15, 18, 21) e o enunciado fala em valores “iguais ou inferiores a 7.000”. A
explicação está acima da tabela, quando a questão diz “freqüências... em milhares de reais”.
Ou seja, onde existe um 3, leia-se 3.000; onde existe um 9, leia-se 9.000, e assim por diante.
Tudo isso é feito para tentar complicar um pouco o raciocínio do aluno, todavia, na essência, a
questão é fácil do mesmo jeito!
       Dito isso, temos que passar àquele trabalho já conhecido nosso, de chegarmos aos
valores da freqüência absoluta simples – fi. O resultado será o seguinte:




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                        PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO
         Classes de Salários                  fac                  fi
                 (3    ;   6]                 12                   12
                 (6    ;   9]            30 (30 – 12=)             18
                 (9    ; 12]             50 (50 – 30=)             20
                 (12   ; 15]             60 (60 – 50=)             10
                 (15   ; 18]             65 (65 – 60=)             5
                 (18   ; 21]             68 (68 – 65=)             3


       Pois bem! Valores iguais ou inferiores a R$7.000,00 passarão a ser, para nós, valores
iguais ou inferiores a 7 (conforme vimos acima a questão dos milhares de reais!). Pela simples
observação, constataremos que participa integralmente da resposta a freqüência da primeira
classe. Já a segunda classe participará apenas parcialmente do resultado.
      Ou seja:
       Classes de                 fi
        Salários
        (3   ;    6]              12       participa integralmente da resposta!
        (6   ;    9]              18       participa parcialmente da resposta!
        (9   ; 12]                20
       (12   ; 15]                10
       (15   ; 18]                5
       (18   ; 21]                3


Daí, trabalhando a regra de três com a segunda classe (naturalmente!), teremos:
                 3 --- 18
                 1 --- X
      Multiplicando em cruz, chegamos a:
      X = (1 . 18)/3            X=6


      Acharemos a resposta somando ao X a participação integral da primeira classe. Daí:


         Primeira classe:(3 |--- 6)       12 elementos (fi=12)
         Segunda classe: (6 |--- 9)         6 elementos (X=6)
                                              -------------------------
                                       Total: 18 elementos!


      Conforme a observação que fizemos no início desta resolução, os resultados obtidos
para a amostra teriam que ser multiplicados por 10, para chegarmos aos resultados da
população. Em vista disso, faremos:
      18 x 10 = 180             Resposta da Questão!



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                      PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO
02.   (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo
   financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de
   uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna
   Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P
   representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações
   coincidentes com os extremos das classes.

                                 Classes    P (%)
                                   70-90       5
                                  90-110      15
                                 110-130      40
                                 130-150      70
                                 150-170      85
                                 170-190      95
                                 190-210     100
Assinale a     opção que corresponde à estimativa          da   freqüência    relativa   de
observações   de X menores ou iguais a 145.
   a) 62,5%                     d) 45,0%
   b) 70,0%                     e) 53,4%
   c) 50,0%

Sol.: A coluna de freqüência fornecida na tabela foi a Fac – Freqüência Relativa Acumulada
Crescente. Daí, migraremos para a Fi – Freqüência Relativa Simples. Teremos:
                                   Classes            Fac              Fi
                                    70-90             5%             5%
                                   90-110            15%             10%
                                   110-130           40%             25%
                                   130-150           70%             30%
                                   150-170           85%             15%
                                   170-190           95%             10%
                                   190-210          100%              5%

      A questão pergunta qual o percentual de elementos com valor abaixo de 145.
      Vemos, facilmente, que 145 é um valor inserido na quarta classe (de 130 a 150).
   Podemos, sem muita demora, desenhar esta classe. Teremos:
                     130                                 150



       Vamos tentar resolver sem fazer regra de três. Só na observação! Podemos, facilmente,
   dividir essa classe em quatro partes, da seguinte forma:

                      130     135       140      145      150



       Ora, a classe inteira tem que percentual dos elementos? 30%. Basta olhar para a
   coluna da Freqüência Relativa Simples (Fi).
      Assim, se dividirmos a classe em quatro partes (como fizemos), teremos que cada
   quarto desses terá 7,5% dos elementos, já que 30%/4=7,5%.
      Agora, perguntamos: qual é a parte desta classe que nos interessa? Somente aquela
   parte da variável abaixo de 145, pois assim pediu o enunciado!
      Teremos:




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                        PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO

                      130     135       140      145      150




                                 3 x 7,5%=22,5%

      Logo, 22,5% é a participação da quarta classe no resultado!
      Finalmente, precisamos compor a resposta. Teremos:
                  Classes     Fac       Fi
                   70-90      5%      5%       primeira classe: 5%
                  90-110     15%      10%      segunda classe: 10%
                  110-130    40%      25%      terceira classe: 25%
                  130-150    70%      30%      quarta classe: 22,5%
                  150-170    85%      15%                Total=62,5%
                  170-190    95%      10%
                  190-210    100%      5%


      Daí:    62,5%     Resposta!



03.   (AFRF-2002.2) O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro,
   numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos,
   produziu a tabela de freqüências seguinte:

                                  Classes     Freqüência
                                                  (f)
                                 29,5-39,5         4
                                 39,5-49,5         8
                                 49,5-59,5        14
                                 59,5-69,5        20
                                 69,5-79,5        26
                                 79,5-89,5        18
                                 89,5-99,5        10

Assinale a opção que corresponde à estimativa do número de indivíduos na
população com valores do atributo X menores ou iguais a 95,5 e maiores do que
50,5.
   a) 700              d) 995
   b) 638              e) 900
   c) 826

Sol.: Esta questão é mais trabalhosa, mas igualmente fácil! Apenas que teremos dois
trabalhos, em vez de um! Ou seja, faremos duas regras de três, com as duas classes que
participarão parcialmente do resultado! Vamos lá!
       Novamente nesse enunciado, a questão veio com aquela história de amostra e
população! Disse que a amostra é de 100 e que a população é de 1000 indivíduos! Ora,
deduzimos que a população é “10 vezes” o tamanho da amostra. Logo, qualquer resultado
encontrado para a amostra terá que ser multiplicado por 10, para se chegar ao correspondente
resultado da população! Até aqui, tudo bem!
       A questão ofereceu ainda algumas facilidades: primeiramente, ela já forneceu a
freqüência absoluta simples (fi), e pediu como resposta um “número de indivíduos”, ou seja,
ela quer que trabalhemos exatamente com esta fi.


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                       PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO
       Valores maiores que 50,5 e menores que 95,5! Quais as classes que participarão desta
resposta? Vejamos:
                   Classes               Freqüência (f)
                 29,4 --- 39,5                 4
                 39,5 --- 49,5                 8
                 49,5 --- 59,5                14              participa parcialmente!
                 59,5 --- 69,5                20              participa integralmente!
                 69,5 --- 79,5                26              participa integralmente!
                 79,5 --- 89,5                18              participa integralmente!
                 89,5 --- 99,5                10              participa parcialmente!


       Daí, teremos que fazer duas regras de três: uma para cada classe que participa apenas
parcialmente da resposta. Ficarão assim:
Primeira Regra de Três, referente à terceira classe:
       10 --- 14
       9 --- X


Daí:   X = (9 . 14)/10       X = 126/ 10       X = 12,6


Segunda Regra de Três, referente à última classe:
       10 --- 10
       6 --- Y


Daí:   Y = (6 . 10)/10       Y = 60 / 10       Y=6


       Finalmente, passamos à composição do resultado:


  Terceira classe:     (49,5|--- 59,5)      12,6 elementos (X=12,6)
  Quarta classe:       (59,5|--- 69,5)        20 elementos (fi=20)
  Quinta classe:       (69,5 |--- 79,5)       26 elementos (fi=26)
  Sexta classe:        (79,5 |--- 89,5)       18 elementos (fi=18)
  Sétima classe:       (89,5 |--- 99,5)       6 elementos (Y=6)
                                              -------------------------
                                                   Total: 82,6 elementos!


       Como pretendemos chegar ao resultado relacionado à população, temos que multiplicar
a resposta da amostra por 10, conforme vimos acima!
       Ficaremos assim:
       82,6 x 10 = 826           Resposta da Questão!


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                        PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO
04.   (AFRF 2003) Considere a tabela de freqüências seguinte correspondente a
   uma amostra da variável X. Não existem observações     coincidentes com os
   extremos das classes.

                                Classes         Freqüências
                                               Acumuladas (%)
                              2.000 – 4.000           5
                              4.000 – 6.000          16
                              6.000 – 8.000          42
                             8.000 – 10.000          77
                            10.000 – 12.000          89
                            12.000 – 14.000         100

Assinale a opção que corresponde à estimativa do valor x da                   distribuição
amostral de X que não é superado por cerca de 80% das observações.
a) 10.000                          d) 11.000
b) 12.000                          e) 10.500
c) 12.500

Sol.: Esta também é bem fácil. Observemos que a coluna de freqüência fornecida na prova foi
a Fac – Freqüência Relativa Acumulada Crescente. Construindo agora a coluna da Fi, da forma
como já aprendemos, teremos:
                     Classes                 Fac                 Fi
                  2.000 – 4.000             5%                  5%
                  4.000 – 6.000             16%                 11%
                  6.000 – 8.000             42%                 26%
                 8.000 – 10.000             77%                 35%
                 10.000 – 12.000           89%                  12%
                 12.000 – 14.000           100%                 11%


      A tradução da pergunta do enunciado recai no seguinte: qual o valor dentro das classes
que corresponde a um acumulado de 80%?
      Procedendo à análise das Freqüências Relativas das classes, teremos que:
         Na primeira classe, temos 5% dos elementos;
         somando com os 11% da segunda classe, passamos a 16%;
         somando estes 16% acumulados com os 26% da terceira classe, passamos a 42%;
         somando estes 42% acumulados com os 35% da quarta classe, chegamos aos 77%
  dos elementos do conjunto;
         finalmente, somando estes 77% acumulados até aqui com os 12% da quinta classe,
  já passaríamos dos 80% desejados pelo enunciado!
          Ou seja, até a quarta classe já acumulamos 77% do total dos elementos. Quanto
  falta “avançar” para alcançarmos os 80% procurados pela questão? Apenas a diferença:
  (80% - 77%) = 3%.
         Traduzindo: teremos que “avançar” 3% na quinta classe, para chegarmos à
  resposta!
          Ficou evidente que trabalharemos nossa regra de três na quinta classe desta
  distribuição. A regra de três que faremos é a seguinte:
      2000 --- 12%
         X   --- 3%



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      Daí, teremos que:
      X = (2000 . 3%)/12%       E: X=500,


      Finalmente, somando o valor encontrado ao limite inferior da sexta classe, chegaremos
  à resposta:   10.000 + 500 = 10.500     Resposta!

05.   (IRB-Brasil Resseguros S.A. – 2004 ESAF) Na distribuição de freqüências
   abaixo, não existem observações coincidentes com os extremos das classes.

                             Classe      Freqüência Acumulada
                          129,5-139,5               4
                          139,5-149,5              12
                          149,5-159,5              26
                          159,5-169,5              46
                          169,5-179,5              72
                          179,5-189,5              90
                          189,5-199,5             100

Assinale a opção que corresponde à estimativa, via interpolação da ogiva, do
número de observações menores ou iguais ao Valor 164.
a) 46             b) 26            c) 72              d) 35        e) 20

Sol.: Começaremos esta resolução, identificando que a coluna de freqüência fornecida na
prova foi a fac – freqüência absoluta acumulada crescente!
      Daí, convertendo-a para a fi – freqüência absoluta simples, teremos:
                               Classe         Fac         fi
                            129,5-139,5         4         4
                            139,5-149,5        12         8
                            149,5-159,5        26        14
                            159,5-169,5        46        20
                            169,5-179,5        72        26
                            179,5-189,5        90        18
                            189,5-199,5       100        10
       Esta questão quer saber quantos são os elementos do conjunto com valor menor que
164. Ora, vemos facilmente que 164 é um valor inserido na quarta classe. Concordam? Daí, é
esta exatamente a classe que participará parcialmente do resultado! Ou seja, é com ela que
formaremos nossa regra de três.
      Teremos:
      10 --- 20
      4,5 --- X


      Daí, teremos que:    X=90/10        x=9,0

      Compondo o resultado, enfim, encontraremos:

              Classe          Fac          fi
            129,5-139,5        4          4         1ª   classe: 4 elementos
            139,5-149,5       12          8         2ª   classe: 8 elementos
            149,5-159,5       26          14        3ª   classe: 14 elementos
            159,5-169,5       46          20        4ª   classe: 9 elementos
            169,5-179,5        72         26              Total: 35 elementos
            179,5-189,5       90          18
            189,5-199,5       100         10
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      Daí:  35 elementos    Resposta!
06.   (FTE-PA-2002/ESAF) A tabela de freqüências abaixo apresenta as freqüências
   acumuladas (F) correspondentes a uma amostra da distribuição dos salários
   anuais de economistas (Y) – em R$ 1.000,00, do departamento de fiscalização
   da Cia. X. Não existem realizações de Y coincidentes com as extremidades das
   classes salariais.

                                   Classes                F
                                 29,5 - 39,5              2
                                 39,5 - 49,5              6
                                 49,5 - 59,5             13
                                 59,5 - 69,5             23
                                 69,5 - 79,5             36
                                 79,5 - 89,5             45
                                 89,5 - 99,5             50

Assinale a opção que corresponde ao valor q, obtido por interpolação da ogiva,
que, estima-se, não é superado por 80% das realizações de Y.
   a) 82,0        b) 80,0          c) 83,9           d) 74,5         e) 84,5

  Sol.: Aqui, mais uma questãozinha corriqueira! Deseja-se encontrar o valor não superado
  por 80% dos elementos. Já sabemos, portanto, que vamos trabalhar com a freqüência
  relativa simples, Fi! A análise da coluna de freqüência fornecida já é algo que sabemos
  fazer, para chegarmos à freqüência absoluta simples. O resultado é o seguinte:


                     Classes                fac ↓              fi
                   29,5 – 39,5                2                2
                   39,5 – 49,5             6 (6-2=)            4
                   49,5 - 59,5           13 (13-6=)            7
                   59,5 – 69,5           23 (23-13=)           10
                   69,5 – 79,5           36 (36-23=)           13
                   79,5 – 89,5           45 (45-36=)           9
                   89,5 – 99,5           50 (50-45=)           5


      Feito isso, passaremos à construção da coluna da Freqüência Relativa Simples.
  Teremos:
                  Classes          fac ↓            fi        Fi
                29,5 – 39,5          2              2         4%
                39,5 – 49,5          6              4         8%
                49,5 - 59,5         13              7         14%
                59,5 – 69,5         23              10        20%
                69,5 – 79,5         36              13        26%
                79,5 – 89,5         45              9         18%
                89,5 – 99,5         50              5         10%


      Observemos que o “n” neste caso foi igual a 50, que é o valor da fac da última classe!
  Já sabemos disso, naturalmente!
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    Faremos agora a análise dos valores acumulados da Fi, para descobrirmos com qual das
classes trabalharemos a nossa regra de três.
      Na primeira classe, temos 4% dos elementos;
      somando com os 8% da segunda classe, passamos a 12%;
      somando estes 12% acumulados com os 14% da terceira classe, passamos a 26%;
       somando estes 26% acumulados com os 20% da quarta classe, chegamos aos 46%
dos elementos do conjunto;
        somando os 46% acumulados com os 26% da quinta classe, chegamos a 72% do
total dos elementos;
       finalmente, somando estes 72% acumulados até aqui com os 18% da sexta classe,
já passaríamos dos 80% desejados pelo enunciado!
        Ou seja, até a quinta classe já acumulamos 72% do total dos elementos. Quanto
falta “avançar” para alcançarmos os 80% procurados pela questão? Apenas a diferença:
(80% - 72%) = 8%.
      Traduzindo: teremos que “avançar” 8% na sexta classe, para chegarmos à resposta!
        Ficou evidente que trabalharemos nossa regra de três na sexta classe desta
distribuição. A situação é a seguinte:


  Classes         fac    fi      Fi
  29,5 – 39,5     2      2       4%      4% acumulados
  39,5 – 49,5     6      4       8%      12% acumulados
  49,5 – 59,5     13     7       14%     26% acumulados
  59,5 – 69,5     23     10      20%     46% acumulados
  69,5 – 79,5     36     13      26%     72% acumulados
  79,5 – 89,5     45     9       18%     faltam 8% para chegarmos aos 80%!
  89,5 – 99,5     50     5       10%


    A regra de três que faremos é a seguinte:
    10 --- 18%
    X --- 8%


    Daí, teremos que:
    X = (10 . 8%)/18%         E: X=4,4


    Finalmente, somando o valor encontrado ao limite inferior da sexta classe, chegaremos
à resposta:


    79,5 + 4,4 = 83,9     Resposta da Questão!




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07.   (FTE-Piauí-2001/ESAF) A Tabela abaixo mostra a distribuição de freqüência
   obtida de uma amostra aleatória dos salários anuais em reais de uma firma. As
   freqüências são acumuladas.

                              Classes de Salário      Freqüências
                                  (5.000-6.500)            12
                                  (6.500-8.000)            28
                                  (8.000-9.500)            52
                                 (9.500-11.000)            74
                                (11.000-12.500)            89
                                (12.500-14.000)            97
                                (14.000-15.500)           100

Deseja-se estimar, via interpolação da ogiva, o nível salarial populacional que
não é ultrapassado por 79% da população. Assinale a opção que corresponde a essa
estimativa.
   a) R$ 10.000,00                 d) R$ 11.000,00
   b) R$ 9.500,00                  e) R$ 11.500,00
   c) R$ 12.500,00

Sol.: Novamente aqui se faz necessário trabalhar as colunas de freqüências para se chegar à
freqüência absoluta simples, fi. Como isso já foi feito no Ponto n.º06 (“Exercícios de Colunas
de Freqüências”), partiremos para o resultado, como segue abaixo:
                  Classes de Salários                fac ↓            fi
                      (5.000-6.500)                   12             12
                      (6.500-8.000)               28 (28-12=)        16
                      (8.000-9.500)               52 (52-28=)        24
                     (9.500-11.000)               74 (74-52=)        22
                     (11.000-12.500)              89 (89-74=)        15
                     (12.500-14.000)              97 (97-89=)         8
                     (14.000-15.500)            100 (100-97=)         3


       Aqui, precisaremos ir além, uma vez que o enunciado pede os salários “não
ultrapassados por 79% da população”. Quero dizer que precisaremos encontrar a coluna da
freqüência relativa simples (Fi). Para isso, usamos a relação que há entre esta Fi e a
freqüência absoluta simples (fi). No caso desta questão, será facílimo este trabalho, pois o
número de elementos da questão é n=100. Daí, teremos:


          Classes de Salários             fac ↓                 fi         Fi
             (5.000-6.500)                 12                12        12%
             (6.500-8.000)             28 (28-12=)           16        16%
             (8.000-9.500)             52 (52-28=)           24        24%
            (9.500-11.000)             74 (74-52=)           22        22%
            (11.000-12.500)            89 (89-74=)           15        15%
            (12.500-14.000)            97 (97-89=)              8         8%
            (14.000-15.500)           100 (100-97=)             3         3%

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CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA - CURSO REGULAR
                       PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO

       Daí, vamos verificar como ficam os valores acumulados da freqüência relativa – Fi -, a
fim de descobrirmos com qual das classes trabalharemos nossa regra de três:
          na primeira classe, temos 12% dos elementos do conjunto;
          somando aos 28% da segunda classe, passamos a 40%;
         somando agora esses 40% acumulados com os 24% da terceira classe, passaríamos
então a 52% dos elementos;
          somando a esses 52% acumulados os 22% da quarta classe, chegamos aos 74% do
total de elementos;
         finalmente, somando os 74% já acumulados aos 15% da quinta classe, passaríamos
já aos 89% dos elementos deste conjunto!
        Ou seja, quando chegamos à quinta classe, se adicionarmos toda a sua freqüência
relativa, ultrapassaremos os 79% desejados pelo enunciado! Conclusão: trabalharemos a regra
de três com a quinta classe da nossa distribuição!
       Atenção agora: antes de chegarmos à quinta classe, tínhamos acumulados 74% do total
dos elementos. Para chegarmos aos 79% desejados pela questão, teremos que “avançar” mais
quanto? Ora, a diferença: (79% - 74%)=5%.
      Ou seja: faltam 5% dos elementos da quinta classe para chegarmos a nossa resposta!
      Nossa situação, portanto, é a seguinte:
         Classes de    fac ↓   fi     Fi
       Salários
    (5.000-6.500)       12     12    12%     12% acumulados
    (6.500-8.000)       28     16    16%     28% acumulados
    (8.000-9.500)       52     24    24%     52% acumulados
    (9.500-11.000)      74     22    22%     74% acumulados
   (11.000-12.500)      89     15    15%     faltam 5% para chegarmos aos 79%!
   (12.500-14.000)      97     8      8%
   (14.000-15.500)     100     3      3%


      Trabalhando a regra de três na quinta questão, ficaremos com:
      1500 --- 15%
      X    --- 5%


      Daí, teremos:
      X = (1500.5%)/15%        E: X=500


      Traduzindo: 500 elementos representam exatamente 5% do total de elementos do
conjunto, que precisaríamos “avançar” nesta quinta classe, para chegarmos aos 79%
desejados. Cuidado agora para saber o que fazer com esse valor encontrado!
       Como havíamos visto na aula passada, este valor X=500 será somado ao limite inferior
da classe na qual trabalhamos a regra de três. Daí, ficaremos com:


      11.000 + 500 = 11.500         Resposta da Questão!
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CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA - CURSO REGULAR
                      PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO
08.   (Oficial de Justiça Avaliador TJ CE 2002 / ESAF) A tabela abaixo apresenta
   a distribuição de freqüências do atributo salário mensal medido em quantidade
   de salários mínimos para uma amostra de 200 funcionários da empresa X. Note
   que a coluna Classes refere-se a classes salariais em quantidades de salários
   mínimos e que a coluna P refere-se ao percentual da freqüência acumulada
   relativo ao total da amostra. Não existem observações coincidentes com os
   extremos das classes.
                               Classes         P
                                4 – 8         20
                                8 – 12        60
                               12 – 16        80
                               16 – 20        98
                               20 – 24       100

Assinale a opção que corresponde à aproximação de freqüência relativa de
observações de indivíduos com salários menores ou iguais a 14 salários mínimos.
a) 65%                             d) 60%
b) 50%                             e) 70%
c) 80%

Sol.: Outra questão na mesma linha de raciocínio. Fazendo o trabalho preliminar aqui exigido,
identificaremos que a coluna de freqüência fornecida, conforme indicação do próprio
enunciado, foi a Fac (Freqüência Relativa Acumulada Crescente)!
      Daí, percorreremos o caminho necessário para chegarmos à Fi (Freqüência Relativa
Simples). Esse trabalho já é nosso conhecido. Teremos:
                             Classes         Fac            Fi
                              4–8           20%           20%
                             8 – 12         60%           40%
                             12 – 16        80%           20%
                             16 – 20        98%           18%
                             20 – 24        100%           2%


      Vamos ver agora como essa questão é realmente de graça!
        O enunciado pergunta, em outras palavras, qual é o percentual de elementos com
salário menor que 14 salários mínimos.
      Percebemos sem maiores esforços que 14 é o Ponto Médio da terceira classe!
Concordam?
       Daí, desenvolveremos o seguinte raciocínio: a terceira classe possui, sozinha, 20% dos
elementos do conjunto. Metade desta classe terá quantos por cento? Ora, metade de 20%, ou
seja, 10%. Concordam?
      Assim, abaixo de 14 salários existem 10% dos elementos na terceira classe.
       Somando-se esses 10% da terceira classe aos 40% da segunda classe e aos 20% da
primeira classe, chegamos a um total de:
         70%     Resposta!




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                      PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO

09.   (Auditor do Tesouro Municipal - Recife 2003/ ESAF) O quadro seguinte
   apresenta a distribuição de freqüências da variável valor do aluguel (X) para
   uma amostra de 200 apartamentos de uma região metropolitana de certo
   município. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.
   Assinale a opção que corresponde à estimativa do valor x tal que a freqüência
   relativa de observações de X menores ou iguais a x seja 80%.

                                Classes R$        Freqüências
                                 350 – 380              3
                                 380 – 410              8
                                 410 – 440             10
                                 440 – 470             13
                                 470 – 500             33
                                 500 – 530             40
                                 530 – 560             35
                                 560 – 590             30
                                 590 – 620             16
                                 620 – 650             12

a) 530                b) 560                   c) 590           d) 578           e) 575

Sol.: Outra questão parecida com as anteriores. A pergunta traduzida, já sabemos, será a
seguinte: Qual é o valor dentro das classes que corresponde a um acumulado de 80%?
       Assim, precisaremos construir as colunas de freqüência relativas. Fazendo o trabalho
necessário para isso, e considerando que a coluna fornecida pela prova foi a fi (freqüência
absoluta simples), teremos:
                 Classes R$               fi               Fi          Fac
                 350 – 380                3             1,5%         1,5%
                 380 – 410               8               4%          5,5%
                 410 – 440               10              5%          10,5%
                 440 – 470               13             6,5%          17%
                 470 – 500               33             16,5%        33,5%
                 500 – 530               40              20%         53,5%
                 530 – 560               35             17,5%         71%
                 560 – 590               30              15%          86%
                 590 – 620               16               8%          94%
                 620 – 650               12               6%         100%


       Ora, teremos acumulado já 71% ao avançarmos até o final da sétima classe. Viram?
Assim, avançando a oitava classe, que sozinha tem 15%, já passaremos direto pelos 80%
procurados! Para chegarmos aos 80%, só teremos que avançar 9% dentro desta classe!
       Assim, a nossa resposta é um valor inserido na oitava classe! E é com ela que faremos
nossa regra de três. Teremos:
      30 --- 15%
      X   --- 9%


      Daí, teremos:
      X = (30x9%)/15%          E: X=18




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CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA - CURSO REGULAR
                      PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO
      Traduzindo: 18 elementos representam exatamente 9% do total de elementos do
conjunto, que precisaríamos “avançar” nesta sétima classe, para chegarmos aos 80%
desejados. Cuidado agora para saber o que fazer com esse valor encontrado!
       Somaremos este valor X=18 ao limite inferior da classe na qual trabalhamos a regra de
três. Daí, ficaremos com:


      560 + 18 = 578     Resposta da Questão!



      É isso!
      Peço novamente desculpas por não avançar hoje na matéria, pois realmente não estou
em condições físicas para escrever mais do que isso...!
      Agradeço a compreensão de todos!
      Aproveitem essa trégua, e façam uma boa revisão de tudo o que foi visto. Ok?

      Um forte abraço a todos, e fiquem com Deus!




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  • 1. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA - CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO AULA 03 Olá, amigos! Todos bem? Comigo nem tanto... fui surpreendido essa semana por uma virose daquelas! Ainda bem que só dói quando eu respiro... Assim, vou pedir licença a vocês – contando com a compreensão de todos – para apresentar hoje uma aula reduzida, somente resolvendo as questões pendentes da aula passada. E fica a promessa, de minha parte, de que compensarei o atraso numa próxima semana. Vocês me permitem fazer assim? Obrigado! Passemos, pois, às resoluções do nosso... ...Dever de Casa 01. (AFRF-2000) Utilize a tabela que se segue. Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa Classes de Salário Freqüências Acumuladas (3 ; 6] 12 (6 ; 9] 30 (9 ; 12] 50 (12 ; 15] 60 (15 ; 18] 65 (18 ; 21] 68 Suponha que a tabela de freqüências acumuladas tenha sido construída a partir de uma amostra de 10% dos empregados da Cia. Alfa. Deseja-se estimar, utilizando interpolação linear da ogiva, a freqüência populacional de salários anuais iguais ou inferiores a R$ 7.000,00 na Cia. Alfa. Assinale a opção que corresponde a este número. a) 150 b) 120 c) 130 d) 160 e) 180 Sol.: Esta questão é para observadores! Para começo de conversa, o enunciado nos fala que as freqüências representam uma amostra de 10% dos empregados, ou seja, apenas 10% dos elementos do conjunto estão representados na amostra. Observado isto, a questão pede um resultado referente à “freqüência populacional”. Ora, “populacional” significa “da população”! Se a amostra representa 10% da população, qualquer resultado encontrado para a amostra terá que ser multiplicado por 10, para se chegar ao resultado correspondente da população. Claro: 10%(amostra) x 10 = 100%(população) Outra coisa: os limites das classes são valores expressos na casa das unidades (3, 6, 9) e das dezenas (12, 15, 18, 21) e o enunciado fala em valores “iguais ou inferiores a 7.000”. A explicação está acima da tabela, quando a questão diz “freqüências... em milhares de reais”. Ou seja, onde existe um 3, leia-se 3.000; onde existe um 9, leia-se 9.000, e assim por diante. Tudo isso é feito para tentar complicar um pouco o raciocínio do aluno, todavia, na essência, a questão é fácil do mesmo jeito! Dito isso, temos que passar àquele trabalho já conhecido nosso, de chegarmos aos valores da freqüência absoluta simples – fi. O resultado será o seguinte: www.pontodosconcursos.com.br 3
  • 2. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA - CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Classes de Salários fac fi (3 ; 6] 12 12 (6 ; 9] 30 (30 – 12=) 18 (9 ; 12] 50 (50 – 30=) 20 (12 ; 15] 60 (60 – 50=) 10 (15 ; 18] 65 (65 – 60=) 5 (18 ; 21] 68 (68 – 65=) 3 Pois bem! Valores iguais ou inferiores a R$7.000,00 passarão a ser, para nós, valores iguais ou inferiores a 7 (conforme vimos acima a questão dos milhares de reais!). Pela simples observação, constataremos que participa integralmente da resposta a freqüência da primeira classe. Já a segunda classe participará apenas parcialmente do resultado. Ou seja: Classes de fi Salários (3 ; 6] 12 participa integralmente da resposta! (6 ; 9] 18 participa parcialmente da resposta! (9 ; 12] 20 (12 ; 15] 10 (15 ; 18] 5 (18 ; 21] 3 Daí, trabalhando a regra de três com a segunda classe (naturalmente!), teremos: 3 --- 18 1 --- X Multiplicando em cruz, chegamos a: X = (1 . 18)/3 X=6 Acharemos a resposta somando ao X a participação integral da primeira classe. Daí: Primeira classe:(3 |--- 6) 12 elementos (fi=12) Segunda classe: (6 |--- 9) 6 elementos (X=6) ------------------------- Total: 18 elementos! Conforme a observação que fizemos no início desta resolução, os resultados obtidos para a amostra teriam que ser multiplicados por 10, para chegarmos aos resultados da população. Em vista disso, faremos: 18 x 10 = 180 Resposta da Questão! www.pontodosconcursos.com.br 4
  • 3. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA - CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO 02. (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classes P (%) 70-90 5 90-110 15 110-130 40 130-150 70 150-170 85 170-190 95 190-210 100 Assinale a opção que corresponde à estimativa da freqüência relativa de observações de X menores ou iguais a 145. a) 62,5% d) 45,0% b) 70,0% e) 53,4% c) 50,0% Sol.: A coluna de freqüência fornecida na tabela foi a Fac – Freqüência Relativa Acumulada Crescente. Daí, migraremos para a Fi – Freqüência Relativa Simples. Teremos: Classes Fac Fi 70-90 5% 5% 90-110 15% 10% 110-130 40% 25% 130-150 70% 30% 150-170 85% 15% 170-190 95% 10% 190-210 100% 5% A questão pergunta qual o percentual de elementos com valor abaixo de 145. Vemos, facilmente, que 145 é um valor inserido na quarta classe (de 130 a 150). Podemos, sem muita demora, desenhar esta classe. Teremos: 130 150 Vamos tentar resolver sem fazer regra de três. Só na observação! Podemos, facilmente, dividir essa classe em quatro partes, da seguinte forma: 130 135 140 145 150 Ora, a classe inteira tem que percentual dos elementos? 30%. Basta olhar para a coluna da Freqüência Relativa Simples (Fi). Assim, se dividirmos a classe em quatro partes (como fizemos), teremos que cada quarto desses terá 7,5% dos elementos, já que 30%/4=7,5%. Agora, perguntamos: qual é a parte desta classe que nos interessa? Somente aquela parte da variável abaixo de 145, pois assim pediu o enunciado! Teremos: www.pontodosconcursos.com.br 5
  • 4. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA - CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO 130 135 140 145 150 3 x 7,5%=22,5% Logo, 22,5% é a participação da quarta classe no resultado! Finalmente, precisamos compor a resposta. Teremos: Classes Fac Fi 70-90 5% 5% primeira classe: 5% 90-110 15% 10% segunda classe: 10% 110-130 40% 25% terceira classe: 25% 130-150 70% 30% quarta classe: 22,5% 150-170 85% 15% Total=62,5% 170-190 95% 10% 190-210 100% 5% Daí: 62,5% Resposta! 03. (AFRF-2002.2) O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências seguinte: Classes Freqüência (f) 29,5-39,5 4 39,5-49,5 8 49,5-59,5 14 59,5-69,5 20 69,5-79,5 26 79,5-89,5 18 89,5-99,5 10 Assinale a opção que corresponde à estimativa do número de indivíduos na população com valores do atributo X menores ou iguais a 95,5 e maiores do que 50,5. a) 700 d) 995 b) 638 e) 900 c) 826 Sol.: Esta questão é mais trabalhosa, mas igualmente fácil! Apenas que teremos dois trabalhos, em vez de um! Ou seja, faremos duas regras de três, com as duas classes que participarão parcialmente do resultado! Vamos lá! Novamente nesse enunciado, a questão veio com aquela história de amostra e população! Disse que a amostra é de 100 e que a população é de 1000 indivíduos! Ora, deduzimos que a população é “10 vezes” o tamanho da amostra. Logo, qualquer resultado encontrado para a amostra terá que ser multiplicado por 10, para se chegar ao correspondente resultado da população! Até aqui, tudo bem! A questão ofereceu ainda algumas facilidades: primeiramente, ela já forneceu a freqüência absoluta simples (fi), e pediu como resposta um “número de indivíduos”, ou seja, ela quer que trabalhemos exatamente com esta fi. www.pontodosconcursos.com.br 6
  • 5. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA - CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Valores maiores que 50,5 e menores que 95,5! Quais as classes que participarão desta resposta? Vejamos: Classes Freqüência (f) 29,4 --- 39,5 4 39,5 --- 49,5 8 49,5 --- 59,5 14 participa parcialmente! 59,5 --- 69,5 20 participa integralmente! 69,5 --- 79,5 26 participa integralmente! 79,5 --- 89,5 18 participa integralmente! 89,5 --- 99,5 10 participa parcialmente! Daí, teremos que fazer duas regras de três: uma para cada classe que participa apenas parcialmente da resposta. Ficarão assim: Primeira Regra de Três, referente à terceira classe: 10 --- 14 9 --- X Daí: X = (9 . 14)/10 X = 126/ 10 X = 12,6 Segunda Regra de Três, referente à última classe: 10 --- 10 6 --- Y Daí: Y = (6 . 10)/10 Y = 60 / 10 Y=6 Finalmente, passamos à composição do resultado: Terceira classe: (49,5|--- 59,5) 12,6 elementos (X=12,6) Quarta classe: (59,5|--- 69,5) 20 elementos (fi=20) Quinta classe: (69,5 |--- 79,5) 26 elementos (fi=26) Sexta classe: (79,5 |--- 89,5) 18 elementos (fi=18) Sétima classe: (89,5 |--- 99,5) 6 elementos (Y=6) ------------------------- Total: 82,6 elementos! Como pretendemos chegar ao resultado relacionado à população, temos que multiplicar a resposta da amostra por 10, conforme vimos acima! Ficaremos assim: 82,6 x 10 = 826 Resposta da Questão! www.pontodosconcursos.com.br 7
  • 6. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA - CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO 04. (AFRF 2003) Considere a tabela de freqüências seguinte correspondente a uma amostra da variável X. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classes Freqüências Acumuladas (%) 2.000 – 4.000 5 4.000 – 6.000 16 6.000 – 8.000 42 8.000 – 10.000 77 10.000 – 12.000 89 12.000 – 14.000 100 Assinale a opção que corresponde à estimativa do valor x da distribuição amostral de X que não é superado por cerca de 80% das observações. a) 10.000 d) 11.000 b) 12.000 e) 10.500 c) 12.500 Sol.: Esta também é bem fácil. Observemos que a coluna de freqüência fornecida na prova foi a Fac – Freqüência Relativa Acumulada Crescente. Construindo agora a coluna da Fi, da forma como já aprendemos, teremos: Classes Fac Fi 2.000 – 4.000 5% 5% 4.000 – 6.000 16% 11% 6.000 – 8.000 42% 26% 8.000 – 10.000 77% 35% 10.000 – 12.000 89% 12% 12.000 – 14.000 100% 11% A tradução da pergunta do enunciado recai no seguinte: qual o valor dentro das classes que corresponde a um acumulado de 80%? Procedendo à análise das Freqüências Relativas das classes, teremos que: Na primeira classe, temos 5% dos elementos; somando com os 11% da segunda classe, passamos a 16%; somando estes 16% acumulados com os 26% da terceira classe, passamos a 42%; somando estes 42% acumulados com os 35% da quarta classe, chegamos aos 77% dos elementos do conjunto; finalmente, somando estes 77% acumulados até aqui com os 12% da quinta classe, já passaríamos dos 80% desejados pelo enunciado! Ou seja, até a quarta classe já acumulamos 77% do total dos elementos. Quanto falta “avançar” para alcançarmos os 80% procurados pela questão? Apenas a diferença: (80% - 77%) = 3%. Traduzindo: teremos que “avançar” 3% na quinta classe, para chegarmos à resposta! Ficou evidente que trabalharemos nossa regra de três na quinta classe desta distribuição. A regra de três que faremos é a seguinte: 2000 --- 12% X --- 3% www.pontodosconcursos.com.br 8
  • 7. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA - CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Daí, teremos que: X = (2000 . 3%)/12% E: X=500, Finalmente, somando o valor encontrado ao limite inferior da sexta classe, chegaremos à resposta: 10.000 + 500 = 10.500 Resposta! 05. (IRB-Brasil Resseguros S.A. – 2004 ESAF) Na distribuição de freqüências abaixo, não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classe Freqüência Acumulada 129,5-139,5 4 139,5-149,5 12 149,5-159,5 26 159,5-169,5 46 169,5-179,5 72 179,5-189,5 90 189,5-199,5 100 Assinale a opção que corresponde à estimativa, via interpolação da ogiva, do número de observações menores ou iguais ao Valor 164. a) 46 b) 26 c) 72 d) 35 e) 20 Sol.: Começaremos esta resolução, identificando que a coluna de freqüência fornecida na prova foi a fac – freqüência absoluta acumulada crescente! Daí, convertendo-a para a fi – freqüência absoluta simples, teremos: Classe Fac fi 129,5-139,5 4 4 139,5-149,5 12 8 149,5-159,5 26 14 159,5-169,5 46 20 169,5-179,5 72 26 179,5-189,5 90 18 189,5-199,5 100 10 Esta questão quer saber quantos são os elementos do conjunto com valor menor que 164. Ora, vemos facilmente que 164 é um valor inserido na quarta classe. Concordam? Daí, é esta exatamente a classe que participará parcialmente do resultado! Ou seja, é com ela que formaremos nossa regra de três. Teremos: 10 --- 20 4,5 --- X Daí, teremos que: X=90/10 x=9,0 Compondo o resultado, enfim, encontraremos: Classe Fac fi 129,5-139,5 4 4 1ª classe: 4 elementos 139,5-149,5 12 8 2ª classe: 8 elementos 149,5-159,5 26 14 3ª classe: 14 elementos 159,5-169,5 46 20 4ª classe: 9 elementos 169,5-179,5 72 26 Total: 35 elementos 179,5-189,5 90 18 189,5-199,5 100 10 www.pontodosconcursos.com.br 9
  • 8. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA - CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Daí: 35 elementos Resposta! 06. (FTE-PA-2002/ESAF) A tabela de freqüências abaixo apresenta as freqüências acumuladas (F) correspondentes a uma amostra da distribuição dos salários anuais de economistas (Y) – em R$ 1.000,00, do departamento de fiscalização da Cia. X. Não existem realizações de Y coincidentes com as extremidades das classes salariais. Classes F 29,5 - 39,5 2 39,5 - 49,5 6 49,5 - 59,5 13 59,5 - 69,5 23 69,5 - 79,5 36 79,5 - 89,5 45 89,5 - 99,5 50 Assinale a opção que corresponde ao valor q, obtido por interpolação da ogiva, que, estima-se, não é superado por 80% das realizações de Y. a) 82,0 b) 80,0 c) 83,9 d) 74,5 e) 84,5 Sol.: Aqui, mais uma questãozinha corriqueira! Deseja-se encontrar o valor não superado por 80% dos elementos. Já sabemos, portanto, que vamos trabalhar com a freqüência relativa simples, Fi! A análise da coluna de freqüência fornecida já é algo que sabemos fazer, para chegarmos à freqüência absoluta simples. O resultado é o seguinte: Classes fac ↓ fi 29,5 – 39,5 2 2 39,5 – 49,5 6 (6-2=) 4 49,5 - 59,5 13 (13-6=) 7 59,5 – 69,5 23 (23-13=) 10 69,5 – 79,5 36 (36-23=) 13 79,5 – 89,5 45 (45-36=) 9 89,5 – 99,5 50 (50-45=) 5 Feito isso, passaremos à construção da coluna da Freqüência Relativa Simples. Teremos: Classes fac ↓ fi Fi 29,5 – 39,5 2 2 4% 39,5 – 49,5 6 4 8% 49,5 - 59,5 13 7 14% 59,5 – 69,5 23 10 20% 69,5 – 79,5 36 13 26% 79,5 – 89,5 45 9 18% 89,5 – 99,5 50 5 10% Observemos que o “n” neste caso foi igual a 50, que é o valor da fac da última classe! Já sabemos disso, naturalmente! www.pontodosconcursos.com.br 10
  • 9. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA - CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Faremos agora a análise dos valores acumulados da Fi, para descobrirmos com qual das classes trabalharemos a nossa regra de três. Na primeira classe, temos 4% dos elementos; somando com os 8% da segunda classe, passamos a 12%; somando estes 12% acumulados com os 14% da terceira classe, passamos a 26%; somando estes 26% acumulados com os 20% da quarta classe, chegamos aos 46% dos elementos do conjunto; somando os 46% acumulados com os 26% da quinta classe, chegamos a 72% do total dos elementos; finalmente, somando estes 72% acumulados até aqui com os 18% da sexta classe, já passaríamos dos 80% desejados pelo enunciado! Ou seja, até a quinta classe já acumulamos 72% do total dos elementos. Quanto falta “avançar” para alcançarmos os 80% procurados pela questão? Apenas a diferença: (80% - 72%) = 8%. Traduzindo: teremos que “avançar” 8% na sexta classe, para chegarmos à resposta! Ficou evidente que trabalharemos nossa regra de três na sexta classe desta distribuição. A situação é a seguinte: Classes fac fi Fi 29,5 – 39,5 2 2 4% 4% acumulados 39,5 – 49,5 6 4 8% 12% acumulados 49,5 – 59,5 13 7 14% 26% acumulados 59,5 – 69,5 23 10 20% 46% acumulados 69,5 – 79,5 36 13 26% 72% acumulados 79,5 – 89,5 45 9 18% faltam 8% para chegarmos aos 80%! 89,5 – 99,5 50 5 10% A regra de três que faremos é a seguinte: 10 --- 18% X --- 8% Daí, teremos que: X = (10 . 8%)/18% E: X=4,4 Finalmente, somando o valor encontrado ao limite inferior da sexta classe, chegaremos à resposta: 79,5 + 4,4 = 83,9 Resposta da Questão! www.pontodosconcursos.com.br 11
  • 10. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA - CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO 07. (FTE-Piauí-2001/ESAF) A Tabela abaixo mostra a distribuição de freqüência obtida de uma amostra aleatória dos salários anuais em reais de uma firma. As freqüências são acumuladas. Classes de Salário Freqüências (5.000-6.500) 12 (6.500-8.000) 28 (8.000-9.500) 52 (9.500-11.000) 74 (11.000-12.500) 89 (12.500-14.000) 97 (14.000-15.500) 100 Deseja-se estimar, via interpolação da ogiva, o nível salarial populacional que não é ultrapassado por 79% da população. Assinale a opção que corresponde a essa estimativa. a) R$ 10.000,00 d) R$ 11.000,00 b) R$ 9.500,00 e) R$ 11.500,00 c) R$ 12.500,00 Sol.: Novamente aqui se faz necessário trabalhar as colunas de freqüências para se chegar à freqüência absoluta simples, fi. Como isso já foi feito no Ponto n.º06 (“Exercícios de Colunas de Freqüências”), partiremos para o resultado, como segue abaixo: Classes de Salários fac ↓ fi (5.000-6.500) 12 12 (6.500-8.000) 28 (28-12=) 16 (8.000-9.500) 52 (52-28=) 24 (9.500-11.000) 74 (74-52=) 22 (11.000-12.500) 89 (89-74=) 15 (12.500-14.000) 97 (97-89=) 8 (14.000-15.500) 100 (100-97=) 3 Aqui, precisaremos ir além, uma vez que o enunciado pede os salários “não ultrapassados por 79% da população”. Quero dizer que precisaremos encontrar a coluna da freqüência relativa simples (Fi). Para isso, usamos a relação que há entre esta Fi e a freqüência absoluta simples (fi). No caso desta questão, será facílimo este trabalho, pois o número de elementos da questão é n=100. Daí, teremos: Classes de Salários fac ↓ fi Fi (5.000-6.500) 12 12 12% (6.500-8.000) 28 (28-12=) 16 16% (8.000-9.500) 52 (52-28=) 24 24% (9.500-11.000) 74 (74-52=) 22 22% (11.000-12.500) 89 (89-74=) 15 15% (12.500-14.000) 97 (97-89=) 8 8% (14.000-15.500) 100 (100-97=) 3 3% www.pontodosconcursos.com.br 12
  • 11. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA - CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Daí, vamos verificar como ficam os valores acumulados da freqüência relativa – Fi -, a fim de descobrirmos com qual das classes trabalharemos nossa regra de três: na primeira classe, temos 12% dos elementos do conjunto; somando aos 28% da segunda classe, passamos a 40%; somando agora esses 40% acumulados com os 24% da terceira classe, passaríamos então a 52% dos elementos; somando a esses 52% acumulados os 22% da quarta classe, chegamos aos 74% do total de elementos; finalmente, somando os 74% já acumulados aos 15% da quinta classe, passaríamos já aos 89% dos elementos deste conjunto! Ou seja, quando chegamos à quinta classe, se adicionarmos toda a sua freqüência relativa, ultrapassaremos os 79% desejados pelo enunciado! Conclusão: trabalharemos a regra de três com a quinta classe da nossa distribuição! Atenção agora: antes de chegarmos à quinta classe, tínhamos acumulados 74% do total dos elementos. Para chegarmos aos 79% desejados pela questão, teremos que “avançar” mais quanto? Ora, a diferença: (79% - 74%)=5%. Ou seja: faltam 5% dos elementos da quinta classe para chegarmos a nossa resposta! Nossa situação, portanto, é a seguinte: Classes de fac ↓ fi Fi Salários (5.000-6.500) 12 12 12% 12% acumulados (6.500-8.000) 28 16 16% 28% acumulados (8.000-9.500) 52 24 24% 52% acumulados (9.500-11.000) 74 22 22% 74% acumulados (11.000-12.500) 89 15 15% faltam 5% para chegarmos aos 79%! (12.500-14.000) 97 8 8% (14.000-15.500) 100 3 3% Trabalhando a regra de três na quinta questão, ficaremos com: 1500 --- 15% X --- 5% Daí, teremos: X = (1500.5%)/15% E: X=500 Traduzindo: 500 elementos representam exatamente 5% do total de elementos do conjunto, que precisaríamos “avançar” nesta quinta classe, para chegarmos aos 79% desejados. Cuidado agora para saber o que fazer com esse valor encontrado! Como havíamos visto na aula passada, este valor X=500 será somado ao limite inferior da classe na qual trabalhamos a regra de três. Daí, ficaremos com: 11.000 + 500 = 11.500 Resposta da Questão! www.pontodosconcursos.com.br 13
  • 12. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA - CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO 08. (Oficial de Justiça Avaliador TJ CE 2002 / ESAF) A tabela abaixo apresenta a distribuição de freqüências do atributo salário mensal medido em quantidade de salários mínimos para uma amostra de 200 funcionários da empresa X. Note que a coluna Classes refere-se a classes salariais em quantidades de salários mínimos e que a coluna P refere-se ao percentual da freqüência acumulada relativo ao total da amostra. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classes P 4 – 8 20 8 – 12 60 12 – 16 80 16 – 20 98 20 – 24 100 Assinale a opção que corresponde à aproximação de freqüência relativa de observações de indivíduos com salários menores ou iguais a 14 salários mínimos. a) 65% d) 60% b) 50% e) 70% c) 80% Sol.: Outra questão na mesma linha de raciocínio. Fazendo o trabalho preliminar aqui exigido, identificaremos que a coluna de freqüência fornecida, conforme indicação do próprio enunciado, foi a Fac (Freqüência Relativa Acumulada Crescente)! Daí, percorreremos o caminho necessário para chegarmos à Fi (Freqüência Relativa Simples). Esse trabalho já é nosso conhecido. Teremos: Classes Fac Fi 4–8 20% 20% 8 – 12 60% 40% 12 – 16 80% 20% 16 – 20 98% 18% 20 – 24 100% 2% Vamos ver agora como essa questão é realmente de graça! O enunciado pergunta, em outras palavras, qual é o percentual de elementos com salário menor que 14 salários mínimos. Percebemos sem maiores esforços que 14 é o Ponto Médio da terceira classe! Concordam? Daí, desenvolveremos o seguinte raciocínio: a terceira classe possui, sozinha, 20% dos elementos do conjunto. Metade desta classe terá quantos por cento? Ora, metade de 20%, ou seja, 10%. Concordam? Assim, abaixo de 14 salários existem 10% dos elementos na terceira classe. Somando-se esses 10% da terceira classe aos 40% da segunda classe e aos 20% da primeira classe, chegamos a um total de: 70% Resposta! www.pontodosconcursos.com.br 14
  • 13. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA - CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO 09. (Auditor do Tesouro Municipal - Recife 2003/ ESAF) O quadro seguinte apresenta a distribuição de freqüências da variável valor do aluguel (X) para uma amostra de 200 apartamentos de uma região metropolitana de certo município. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Assinale a opção que corresponde à estimativa do valor x tal que a freqüência relativa de observações de X menores ou iguais a x seja 80%. Classes R$ Freqüências 350 – 380 3 380 – 410 8 410 – 440 10 440 – 470 13 470 – 500 33 500 – 530 40 530 – 560 35 560 – 590 30 590 – 620 16 620 – 650 12 a) 530 b) 560 c) 590 d) 578 e) 575 Sol.: Outra questão parecida com as anteriores. A pergunta traduzida, já sabemos, será a seguinte: Qual é o valor dentro das classes que corresponde a um acumulado de 80%? Assim, precisaremos construir as colunas de freqüência relativas. Fazendo o trabalho necessário para isso, e considerando que a coluna fornecida pela prova foi a fi (freqüência absoluta simples), teremos: Classes R$ fi Fi Fac 350 – 380 3 1,5% 1,5% 380 – 410 8 4% 5,5% 410 – 440 10 5% 10,5% 440 – 470 13 6,5% 17% 470 – 500 33 16,5% 33,5% 500 – 530 40 20% 53,5% 530 – 560 35 17,5% 71% 560 – 590 30 15% 86% 590 – 620 16 8% 94% 620 – 650 12 6% 100% Ora, teremos acumulado já 71% ao avançarmos até o final da sétima classe. Viram? Assim, avançando a oitava classe, que sozinha tem 15%, já passaremos direto pelos 80% procurados! Para chegarmos aos 80%, só teremos que avançar 9% dentro desta classe! Assim, a nossa resposta é um valor inserido na oitava classe! E é com ela que faremos nossa regra de três. Teremos: 30 --- 15% X --- 9% Daí, teremos: X = (30x9%)/15% E: X=18 www.pontodosconcursos.com.br 15
  • 14. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA - CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Traduzindo: 18 elementos representam exatamente 9% do total de elementos do conjunto, que precisaríamos “avançar” nesta sétima classe, para chegarmos aos 80% desejados. Cuidado agora para saber o que fazer com esse valor encontrado! Somaremos este valor X=18 ao limite inferior da classe na qual trabalhamos a regra de três. Daí, ficaremos com: 560 + 18 = 578 Resposta da Questão! É isso! Peço novamente desculpas por não avançar hoje na matéria, pois realmente não estou em condições físicas para escrever mais do que isso...! Agradeço a compreensão de todos! Aproveitem essa trégua, e façam uma boa revisão de tudo o que foi visto. Ok? Um forte abraço a todos, e fiquem com Deus! www.pontodosconcursos.com.br 16