O documento esclarece dois tópicos de matemática do ensino médio: 1) A fatoração em números primos pode ser feita em qualquer ordem, não apenas começando pelo menor primo; 2) A raiz quadrada de um número negativo resulta em dois valores possíveis para a variável, um positivo e um negativo.

1. Esclarecimento de alguns tópicos de matemática do
ensino médio:
Alguns erros conceituais são muito comuns no ensino fundamental e médio, o que impede
de haver uma melhor compreensão de assuntos futuros que o aluno deverá enfrentar até o
fim destes segmentos e até mesmo no ensino superior. Este artigo tem como objetivo
esclarecer dois desses tópicos, os quais considero importantes e o corpo discente não
apresenta esclarecimento em praticamente 100% dos casos.
Fatoração em números primos:
A primeira vez que os alunos se deparam com a fatoração em números primos é quando são
obrigados a extrair a raiz quadrada de algum número. Por exemplo, quando se quer extrair
raiz quadrada de 324, fala-se ao aluno para realizar o seguinte procedimento:
Primeiro busque o menor número primo pelo qual 324 é divisível, o 2.
O resultado é 162, ainda divisível por 2, então fazemos a divisão novamente, 81.
81 não é um número par, então não é divisível por 2. Busca-se então o menor número primo
maior que 2 pelo qual 81 é divisível, encontramos o 3.
Dividimos então 81 por 3, obtendo 27, e novamente por 3, obtendo 9, novamente por 3
obtemos 3, e claramente 3 é divisível por 3, obtemos 1.
Dividimos então o número 324 por 2 duas vezes e por 3 quatro vezes. Então temos
. Queremos extrair a raiz quadrada de 324, então faz-se
inicialmente . Agora √ √ √ √ √
Um erro conceitual é que na fatoração de números primos, quando o aluno começa a
fatoração (mesmo exemplo do número 324) pelo 3, é dito ao aluno que isso é um erro, que
devemos começar pelo menor primo, neste caso o 2. Mas esta última observação está
equivocada porque os números inteiros gozam da propriedade comutativa da multiplicação,
ou seja, 2.3 = 3.2. A ordem dos fatores não altera o produto, uma frase que todos conhecem.
Isso quer dizer que na fatoração que fizemos acima podemos muito bem
reescrever como . Poder alterar a ordem da multiplicação nos diz que não
importa por qual número começamos a fatoração. Experimente trocar a ordem algumas
vezes e verá que nunca obterá um resultado diferente.
Mas podemos fazer o processo de uma maneira diferente. 324 é um número divisível por 9
( . Como 9 é divisível por 9, então 324 também é). Dividindo 324 por 9
obtemos 36. Nós obtemos dois números que são quadrado perfeito, 9 e 36.
Agora √ √ √ √ .

2. Vemos que não é obrigatória a fatoração em números primos para extração de raiz
quadrada.
Esclarecido isso, olhemos para um problema que o procedimento padrão de ensino que
obriga professores a expor a fatoração em números primos quando é necessária a extração
de raiz quadrada. Dessa maneira o aluno associa que a fatoração em números primos está
diretamente ligada à extração da raiz, o que não é verdade. Podemos usar a fatoração em
várias situações diferentes, como por exemplo na simplificação de uma fração, ao
efetuarmos uma divisão ou outra operação aritmética. Seguem alguns exemplos:
a) Na fração com numerador 15 e denominador 18. Podemos ver que e
. Então a fração .
b) Quando estamos em dúvida sobre a divisibilidade entre dois números como 91 por
49:
Como 13 não é divisível por 7, vemos que 91 não é divisível por 49.
c) Somar é sempre uma tarefa simples, mas as vezes subtrair números grande
rapidamente podem nos causar um pequeno desconforto. Por exemplo, subtrair 90
de 126:
Podemos colocar em evidência todos os primos que são comuns aos dois:
( )
A subtração de 7 e 2 é rápida e não temos dúvida.
Estes exemplos servem para vermos que a fatoração em números primos é algo
independente da extração de raiz quadrada. É uma técnica que é útil em várias situações,
incluindo a raiz, mas não é algo obrigatoriamente necessário. Tente olhar para problemas
que já considere simples e refaça-os introduzindo a fatoração. Alguns serão mais
trabalhosos, dispensando esta técnica mas outros serão imensamente facilitados.
Raiz quadrada negativa?
Quando começamos a estudar equações de 2° grau as vezes caímos em situações do tipo
Mas devemos olhar mais atentamente para o que ocorre até chegarmos no resultado.
Primeiro de tudo, para números reais a raiz quadrada de um número nunca é negativa, e
definimos da seguinte maneira:
√

3. O que significa |x|? Significa módulo de x, ou seja, o seu valor absoluto, “ignorando” o sinal
dele. Por exemplo, . Quando usamos o módulo só nos interessa o “valor
positivo do número”. Voltando ao caso da raiz quadrada de 9, vamos fazer passo a passo
para entendermos o motivo de aparecer , significando que x pode ser tanto 3, quanto -3:
O primeiro passo é livrar-se do expoente 2 no , e fazemos isso extraindo a raiz quadrada de
ambos os lados da equação:
√ √
Pela definição da raiz, temos:
Mas pode ser como também pode ser . Como não conhecemos , devemos analisar
ambos os casos, tanto tanto :
{
Do primeiro caso é que resulta o valor positivo para x, e do segundo o valor negativo.
Somente com a introdução da função módulo podemos compreender todos os passos que
resultam em .