Este documento apresenta um resumo dos principais conceitos e equações da mecânica quântica, incluindo o princípio da incerteza de Heisenberg, o conceito de estado quântico, a equação de Schrödinger e suas aplicações como o oscilador harmônico e o átomo de hidrogênio. O documento também discute tópicos como operadores, perturbações, momento angular e spin.
Este documento apresenta um resumo de conceitos fundamentais de cálculo, incluindo sucessões, séries, funções reais, derivadas, integrais e seus teoremas associados. O documento está organizado em seis capítulos principais que abordam esses tópicos.
Este documento apresenta um resumo sobre álgebra linear. Introduz os conceitos de espaço vetorial e suas propriedades, subespaços vetoriais, combinações lineares, dependência linear, bases, dimensão, mudança de base, transformações lineares, autovalores e autovetores, diagonalização e formas canônicas de Jordan.
O documento apresenta um curso introdutório sobre álgebra linear, abordando conceitos fundamentais como corpos, sistemas de equações lineares, operações elementares em matrizes, espaços vetoriais, transformações lineares e formas canônicas.
1. O documento apresenta notas de aulas sobre equações diferenciais ordinárias de primeira e segunda ordem.
2. São discutidos conceitos preliminares como problemas onde surgem EDOs, existência e unicidade de soluções.
3. Também são apresentados métodos de resolução de EDOs lineares e não lineares de primeira e segunda ordem, como equações exatas, variáveis separáveis, transformada de Laplace e sistemas de equações.
Este documento contém notas de aula sobre limites de funções reais de uma variável. Aborda tópicos como definição formal de limite, limites laterais, propriedades para cálculo de limites, limites infinitos, limites no infinito, limites especiais como indeterminações, teorema do confronto e limites de funções trigonométricas e exponenciais. Inclui também uma lista de exercícios sobre limites no final.
Este documento apresenta notas de aula sobre cálculo I. Aborda tópicos como números reais, funções, limites, derivadas e suas aplicações. Apresenta definições, propriedades e exercícios relacionados a esses conceitos fundamentais do cálculo.
Os principais pontos abordados no documento são: 1) Resumo das soluções de exercícios de análise real do livro de Elon Lages Lima, dividido em 12 capítulos que abordam conjuntos, números reais, sequências, séries numéricas e outros tópicos; 2) Fornece soluções detalhadas para os exercícios, incluindo passos, fórmulas e propriedades matemáticas utilizadas; 3) Tem o objetivo de ajudar estudantes que usam o livro de Elon Lages Lima para
Este documento apresenta o programa e os objetivos gerais do curso de Análise Matemática I. Aborda conceitos fundamentais como sucessões, séries, funções reais, cálculo diferencial e integral em R. O documento estrutura-se em 5 capítulos que cobrem estes tópicos, definindo conceitos, apresentando propriedades e métodos de resolução de problemas.
Este documento apresenta um resumo de conceitos fundamentais de cálculo, incluindo sucessões, séries, funções reais, derivadas, integrais e seus teoremas associados. O documento está organizado em seis capítulos principais que abordam esses tópicos.
Este documento apresenta um resumo sobre álgebra linear. Introduz os conceitos de espaço vetorial e suas propriedades, subespaços vetoriais, combinações lineares, dependência linear, bases, dimensão, mudança de base, transformações lineares, autovalores e autovetores, diagonalização e formas canônicas de Jordan.
O documento apresenta um curso introdutório sobre álgebra linear, abordando conceitos fundamentais como corpos, sistemas de equações lineares, operações elementares em matrizes, espaços vetoriais, transformações lineares e formas canônicas.
1. O documento apresenta notas de aulas sobre equações diferenciais ordinárias de primeira e segunda ordem.
2. São discutidos conceitos preliminares como problemas onde surgem EDOs, existência e unicidade de soluções.
3. Também são apresentados métodos de resolução de EDOs lineares e não lineares de primeira e segunda ordem, como equações exatas, variáveis separáveis, transformada de Laplace e sistemas de equações.
Este documento contém notas de aula sobre limites de funções reais de uma variável. Aborda tópicos como definição formal de limite, limites laterais, propriedades para cálculo de limites, limites infinitos, limites no infinito, limites especiais como indeterminações, teorema do confronto e limites de funções trigonométricas e exponenciais. Inclui também uma lista de exercícios sobre limites no final.
Este documento apresenta notas de aula sobre cálculo I. Aborda tópicos como números reais, funções, limites, derivadas e suas aplicações. Apresenta definições, propriedades e exercícios relacionados a esses conceitos fundamentais do cálculo.
Os principais pontos abordados no documento são: 1) Resumo das soluções de exercícios de análise real do livro de Elon Lages Lima, dividido em 12 capítulos que abordam conjuntos, números reais, sequências, séries numéricas e outros tópicos; 2) Fornece soluções detalhadas para os exercícios, incluindo passos, fórmulas e propriedades matemáticas utilizadas; 3) Tem o objetivo de ajudar estudantes que usam o livro de Elon Lages Lima para
Este documento apresenta o programa e os objetivos gerais do curso de Análise Matemática I. Aborda conceitos fundamentais como sucessões, séries, funções reais, cálculo diferencial e integral em R. O documento estrutura-se em 5 capítulos que cobrem estes tópicos, definindo conceitos, apresentando propriedades e métodos de resolução de problemas.
1) O documento é um livro de exercícios de cálculo dividido em várias seções que abordam tópicos como geometria analítica, números, derivadas, integrais e desigualdades.
2) O livro é de copyleft e pode ser copiado livremente para uso individual ou não comercial.
3) O livro fornece exercícios resolvidos sobre vários tópicos do cálculo diferencial e integral como derivadas, integrais, funções logarítmicas e exponenciais.
Para entender el proceso de la Optimización Diámica, antes debemos comprender los procesos de Optimización estática. Este es una buena revisión del Prof. Fabio Augusto
1. O documento discute sistemas lineares e suas aplicações, incluindo exemplos de problemas envolvendo provetas, petróleo e interpolação polinomial.
2. É apresentado o método de escalonamento para resolver sistemas lineares. Discute-se também métodos iterativos como Jacobi e Gauss-Seidel.
3. O documento também trata de ajuste de funções, incluindo funções lineares nos parâmetros e famílias ortogonais. Além disso, aborda métodos para encontrar zeros de funções como a dicotomia
Friedli, s. cálculo 1. 1ª ed. belo horizonte, imprensa universitária da ufmg,...Silvio Gomes
1. Este é um manual sobre cálculo 1 dividido em capítulos que abordam tópicos como números reais, funções, trigonometria, limites, derivadas e integral.
2. O documento apresenta os conceitos fundamentais de cálculo 1 de forma acessível e inclui exemplos para facilitar a compreensão dos tópicos.
3. O manual foi produzido por S. Friedli para o Departamento de Matemática da Universidade Federal de Minas Gerais e está disponível on-line de forma gratuita.
O documento discute tipos de provas matemáticas, incluindo provas diretas e provas por redução ao absurdo. Ele também aborda conjuntos, relações, funções, cardinais e ordinais.
1) O documento discute matrizes, vetores e geometria analítica, incluindo operações com matrizes, sistemas lineares, inversão de matrizes e determinantes.
2) Também aborda vetores no plano e no espaço, incluindo somas, produtos e equações de retas e planos.
3) Finalmente, analisa ângulos e distâncias entre retas e planos.
1. O documento apresenta um resumo de tópicos fundamentais de análise matemática, incluindo conceitos de conjuntos, funções, sequências, séries numéricas e cálculo.
2. Os capítulos abordam noções preliminares como teoria de conjuntos, números reais, funções e suas propriedades, gráficos de funções, limites e continuidade.
3. Também são tratados conceitos mais avançados como derivada, integral e suas aplicações. O documento parece ser um material didático sobre os fundamentos da an
1. Este documento trata de equações diferenciais e equações de diferenças, apresentando conceitos básicos e métodos de resolução.
2. As equações diferenciais de primeira ordem são analisadas em detalhe, incluindo exemplos de aplicações em diversas áreas.
3. Equações lineares de ordem superior são introduzidas, assim como métodos para resolvê-las, como a transformada de Laplace.
1. O documento é um livro sobre cálculo numérico e suas aplicações.
2. O livro está dividido em cinco partes, cobrindo sistemas lineares, ajuste de funções, equações e zeros de funções, interpolação polinomial e integração numérica.
3. Cada parte contém vários capítulos explorando técnicas e métodos numéricos relacionados ao tópico, com exemplos de aplicações.
O documento apresenta um capítulo sobre séries numéricas. Discute a generalização da operação de soma para um número infinito de parcelas, definindo convergência de séries. Apresenta exemplos de séries geométricas e harmônicas e discute propriedades gerais como a convergência absoluta e a multiplicação de séries.
Este documento apresenta os principais conceitos de probabilidade e estatística. Aborda tópicos como probabilidade, variáveis aleatórias, médias estatísticas, geração de números aleatórios, somas de variáveis aleatórias e o teorema do limite central. O texto é dividido em sete capítulos, com definições, propriedades e exemplos de cada um dos principais conceitos discutidos.
1. O documento apresenta o resumo de um livro sobre cálculo III.
2. Aborda tópicos como a fórmula de Taylor, máximos e mínimos, problemas com restrições, integrais múltiplas, campos vetoriais e teoremas de Gauss e Stokes.
3. O resumo fornece uma visão geral dos principais conceitos e resultados apresentados em cada um dos 15 capítulos do livro.
1) O documento apresenta apontamentos sobre análise numérica destinados a apoiar as aulas da disciplina de Análise Numérica da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto.
2) Os apontamentos abordam tópicos como fundamentos de cálculo numérico, equações não lineares e lineares, aproximação dos mínimos quadrados, interpolação numérica, integração numérica e equações diferenciais ordinárias.
3) O documento é organizado em nove capítulos, contendo introduções, métodos e exemp
Este documento apresenta uma introdução à teoria da probabilidade. Resume os principais tópicos abordados em um curso introdutório de probabilidade, incluindo espaços de probabilidade, variáveis aleatórias, vetores aleatórios, esperança matemática, lei dos grandes números, teorema central do limite e outros. O documento contém 195 páginas de notas de aula com explicações, demonstrações e exercícios sobre os principais conceitos e resultados da teoria da probabilidade.
1) O documento apresenta um resumo sobre sistemas lineares, incluindo transformada de Laplace, resposta a degraus, resposta em frequência e sistemas discretos.
2) É dividido em 6 seções que cobrem introdução a sistemas lineares, transformada de Laplace, resposta a degraus, resposta em frequência, transformada de Fourier e sistemas discretos e amostrados.
3) Fornece definições e propriedades importantes sobre esses tópicos para análise e projeto de sistemas de controle.
Este documento fornece orientações sobre como redigir textos em matemática. Ele discute a estrutura de uma dissertação, incluindo introdução, desenvolvimento e conclusão. Também aborda lógica matemática, resolução de sistemas lineares e equações algébricas.
O documento apresenta definições de termos relacionados a equações diferenciais, incluindo variáveis dependentes e independentes, equações diferenciais ordinárias e parciais, lineares e não-lineares, e soluções explícitas e implícitas. Também discute a importância das equações diferenciais para descrever fenômenos físicos.
Não comutatividade e dualidade t em cordas bosônicasRonaldo Lobato
Este documento apresenta um estudo sobre não-comutatividade e dualidade T em cordas bosônicas. O objetivo é investigar como a não-comutatividade se manifesta no sistema dual a uma D2-brana com campo magnético. O trabalho é organizado da seguinte forma: 1) Introdução à corda bosônica e surgimento da não-comutatividade. 2) Quantização e não-comutatividade. 3) Dualidade T em cordas fechadas e abertas. 4) Candidatos para o sistema dual e sua quantização.
This document reviews research on the convergence of perturbation series in quantum field theory. It discusses Dyson's argument that perturbation series in quantum electrodynamics (QED) have zero radius of convergence due to vacuum instability when the coupling constant is negative. Large-order estimates show that perturbation series coefficients grow factorially fast in quantum mechanics and field theories. Finally, it describes the method of Borel summation, which may allow extracting the exact physical quantity from a divergent perturbation series through a unique mapping.
Aspectos da teoria de campos não comutativaRonaldo Lobato
A empresa de tecnologia anunciou um novo smartphone com câmera aprimorada, maior tela e melhor processador. O novo aparelho custará US$ 100 a mais que o modelo anterior e estará disponível para pré-venda em 1 mês, com lançamento nas lojas em 2 meses. Analistas esperam que o novo smartphone ajude a empresa a aumentar suas vendas e receita no próximo trimestre.
Este documento apresenta um resumo dos principais conceitos e equações da mecânica quântica, incluindo o princípio da incerteza de Heisenberg, operadores, a equação de Schrödinger, estados estacionários, oscilador harmônico, spin, perturbações, átomo de hidrogênio e mecânica quântica relativista. O documento é dividido em 33 capítulos cobrindo esses tópicos fundamentais da mecânica quântica.
Este capítulo introduz o tema das teorias quânticas de campo não-comutativas (TQCNC), motivadas pela expectativa de que o espaço-tempo adquire uma estrutura não-comutativa na escala de Planck. Apresenta-se o produto de Moyal como modelo para o produto de funções no espaço-tempo não-comutativo e discute-se como as TQCNC surgem como limites de baixa energia da teoria das cordas. Exemplifica-se o mecanismo UV/IR em uma teoria escalar não-comutativa e
1) O documento é um livro de exercícios de cálculo dividido em várias seções que abordam tópicos como geometria analítica, números, derivadas, integrais e desigualdades.
2) O livro é de copyleft e pode ser copiado livremente para uso individual ou não comercial.
3) O livro fornece exercícios resolvidos sobre vários tópicos do cálculo diferencial e integral como derivadas, integrais, funções logarítmicas e exponenciais.
Para entender el proceso de la Optimización Diámica, antes debemos comprender los procesos de Optimización estática. Este es una buena revisión del Prof. Fabio Augusto
1. O documento discute sistemas lineares e suas aplicações, incluindo exemplos de problemas envolvendo provetas, petróleo e interpolação polinomial.
2. É apresentado o método de escalonamento para resolver sistemas lineares. Discute-se também métodos iterativos como Jacobi e Gauss-Seidel.
3. O documento também trata de ajuste de funções, incluindo funções lineares nos parâmetros e famílias ortogonais. Além disso, aborda métodos para encontrar zeros de funções como a dicotomia
Friedli, s. cálculo 1. 1ª ed. belo horizonte, imprensa universitária da ufmg,...Silvio Gomes
1. Este é um manual sobre cálculo 1 dividido em capítulos que abordam tópicos como números reais, funções, trigonometria, limites, derivadas e integral.
2. O documento apresenta os conceitos fundamentais de cálculo 1 de forma acessível e inclui exemplos para facilitar a compreensão dos tópicos.
3. O manual foi produzido por S. Friedli para o Departamento de Matemática da Universidade Federal de Minas Gerais e está disponível on-line de forma gratuita.
O documento discute tipos de provas matemáticas, incluindo provas diretas e provas por redução ao absurdo. Ele também aborda conjuntos, relações, funções, cardinais e ordinais.
1) O documento discute matrizes, vetores e geometria analítica, incluindo operações com matrizes, sistemas lineares, inversão de matrizes e determinantes.
2) Também aborda vetores no plano e no espaço, incluindo somas, produtos e equações de retas e planos.
3) Finalmente, analisa ângulos e distâncias entre retas e planos.
1. O documento apresenta um resumo de tópicos fundamentais de análise matemática, incluindo conceitos de conjuntos, funções, sequências, séries numéricas e cálculo.
2. Os capítulos abordam noções preliminares como teoria de conjuntos, números reais, funções e suas propriedades, gráficos de funções, limites e continuidade.
3. Também são tratados conceitos mais avançados como derivada, integral e suas aplicações. O documento parece ser um material didático sobre os fundamentos da an
1. Este documento trata de equações diferenciais e equações de diferenças, apresentando conceitos básicos e métodos de resolução.
2. As equações diferenciais de primeira ordem são analisadas em detalhe, incluindo exemplos de aplicações em diversas áreas.
3. Equações lineares de ordem superior são introduzidas, assim como métodos para resolvê-las, como a transformada de Laplace.
1. O documento é um livro sobre cálculo numérico e suas aplicações.
2. O livro está dividido em cinco partes, cobrindo sistemas lineares, ajuste de funções, equações e zeros de funções, interpolação polinomial e integração numérica.
3. Cada parte contém vários capítulos explorando técnicas e métodos numéricos relacionados ao tópico, com exemplos de aplicações.
O documento apresenta um capítulo sobre séries numéricas. Discute a generalização da operação de soma para um número infinito de parcelas, definindo convergência de séries. Apresenta exemplos de séries geométricas e harmônicas e discute propriedades gerais como a convergência absoluta e a multiplicação de séries.
Este documento apresenta os principais conceitos de probabilidade e estatística. Aborda tópicos como probabilidade, variáveis aleatórias, médias estatísticas, geração de números aleatórios, somas de variáveis aleatórias e o teorema do limite central. O texto é dividido em sete capítulos, com definições, propriedades e exemplos de cada um dos principais conceitos discutidos.
1. O documento apresenta o resumo de um livro sobre cálculo III.
2. Aborda tópicos como a fórmula de Taylor, máximos e mínimos, problemas com restrições, integrais múltiplas, campos vetoriais e teoremas de Gauss e Stokes.
3. O resumo fornece uma visão geral dos principais conceitos e resultados apresentados em cada um dos 15 capítulos do livro.
1) O documento apresenta apontamentos sobre análise numérica destinados a apoiar as aulas da disciplina de Análise Numérica da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto.
2) Os apontamentos abordam tópicos como fundamentos de cálculo numérico, equações não lineares e lineares, aproximação dos mínimos quadrados, interpolação numérica, integração numérica e equações diferenciais ordinárias.
3) O documento é organizado em nove capítulos, contendo introduções, métodos e exemp
Este documento apresenta uma introdução à teoria da probabilidade. Resume os principais tópicos abordados em um curso introdutório de probabilidade, incluindo espaços de probabilidade, variáveis aleatórias, vetores aleatórios, esperança matemática, lei dos grandes números, teorema central do limite e outros. O documento contém 195 páginas de notas de aula com explicações, demonstrações e exercícios sobre os principais conceitos e resultados da teoria da probabilidade.
1) O documento apresenta um resumo sobre sistemas lineares, incluindo transformada de Laplace, resposta a degraus, resposta em frequência e sistemas discretos.
2) É dividido em 6 seções que cobrem introdução a sistemas lineares, transformada de Laplace, resposta a degraus, resposta em frequência, transformada de Fourier e sistemas discretos e amostrados.
3) Fornece definições e propriedades importantes sobre esses tópicos para análise e projeto de sistemas de controle.
Este documento fornece orientações sobre como redigir textos em matemática. Ele discute a estrutura de uma dissertação, incluindo introdução, desenvolvimento e conclusão. Também aborda lógica matemática, resolução de sistemas lineares e equações algébricas.
O documento apresenta definições de termos relacionados a equações diferenciais, incluindo variáveis dependentes e independentes, equações diferenciais ordinárias e parciais, lineares e não-lineares, e soluções explícitas e implícitas. Também discute a importância das equações diferenciais para descrever fenômenos físicos.
Não comutatividade e dualidade t em cordas bosônicasRonaldo Lobato
Este documento apresenta um estudo sobre não-comutatividade e dualidade T em cordas bosônicas. O objetivo é investigar como a não-comutatividade se manifesta no sistema dual a uma D2-brana com campo magnético. O trabalho é organizado da seguinte forma: 1) Introdução à corda bosônica e surgimento da não-comutatividade. 2) Quantização e não-comutatividade. 3) Dualidade T em cordas fechadas e abertas. 4) Candidatos para o sistema dual e sua quantização.
This document reviews research on the convergence of perturbation series in quantum field theory. It discusses Dyson's argument that perturbation series in quantum electrodynamics (QED) have zero radius of convergence due to vacuum instability when the coupling constant is negative. Large-order estimates show that perturbation series coefficients grow factorially fast in quantum mechanics and field theories. Finally, it describes the method of Borel summation, which may allow extracting the exact physical quantity from a divergent perturbation series through a unique mapping.
Aspectos da teoria de campos não comutativaRonaldo Lobato
A empresa de tecnologia anunciou um novo smartphone com câmera aprimorada, maior tela e melhor processador. O novo aparelho custará US$ 100 a mais que o modelo anterior e estará disponível para pré-venda em 1 mês, com lançamento nas lojas em 2 meses. Analistas esperam que o novo smartphone ajude a empresa a aumentar suas vendas e receita no próximo trimestre.
Este documento apresenta um resumo dos principais conceitos e equações da mecânica quântica, incluindo o princípio da incerteza de Heisenberg, operadores, a equação de Schrödinger, estados estacionários, oscilador harmônico, spin, perturbações, átomo de hidrogênio e mecânica quântica relativista. O documento é dividido em 33 capítulos cobrindo esses tópicos fundamentais da mecânica quântica.
Este capítulo introduz o tema das teorias quânticas de campo não-comutativas (TQCNC), motivadas pela expectativa de que o espaço-tempo adquire uma estrutura não-comutativa na escala de Planck. Apresenta-se o produto de Moyal como modelo para o produto de funções no espaço-tempo não-comutativo e discute-se como as TQCNC surgem como limites de baixa energia da teoria das cordas. Exemplifica-se o mecanismo UV/IR em uma teoria escalar não-comutativa e
Neste encontro, serão discutidas as principais características da mecânica quântica não-comutativa, uma versão da mecânica quântica que envolve coordenadas não-comutativas. Após encontrar uma representação para a álgebra das coordenadas e momentos, os participantes analisarão as mudanças devido à natureza não-comutativa das coordenadas e como, sob certas condições, o efeito da não-comutatividade é equivalente a uma interação de Landau.
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Learn BEM fundamentals as fast as possible. What is BEM (Block, element, modifier), BEM syntax, how it works with a real example, etc.
The document discusses how personalization and dynamic content are becoming increasingly important on websites. It notes that 52% of marketers see content personalization as critical and 75% of consumers like it when brands personalize their content. However, personalization can create issues for search engine optimization as dynamic URLs and content are more difficult for search engines to index than static pages. The document provides tips for SEOs to help address these personalization and SEO challenges, such as using static URLs when possible and submitting accurate sitemaps.
O documento apresenta um resumo sobre mecânica quântica, abordando tópicos como o princípio da incerteza, operadores, equação de Schrödinger, estados estacionários, oscilador harmônico, momento angular, átomo de hidrogênio e teoria das perturbações.
O documento apresenta um resumo sobre mecânica quântica, abordando tópicos como o princípio da incerteza, operadores, equação de Schrödinger, estados estacionários, oscilador harmônico, momento angular, átomo de hidrogênio e outros conceitos fundamentais da mecânica quântica.
A máquina de corrente contínua é o mais tradicional conversor rotativo de energia elétrica, tendo atingido as
características construtivas finais já no último quarto do século XIX. A estrutura básica de uma máquina
de corrente contínua convencional tem duas partes fisicamente distintas que são associadas a dois circuitos
elétricos de funções bem específicas, o estator que aloja os pólos indutores, os pólos auxiliares e eventualmente
os enrolamentos compensadores e o rotor que acomoda as bobinas associadas à conversão de energia e as lˆaminas do comutador.
O documento fornece uma introdução aos microcontroladores da família PIC, descrevendo suas principais características e componentes. Ele se concentra no microcontrolador PIC16F84, explicando detalhadamente seus registros, memória, portas I/O, temporizador e operação de interrupção.
Este documento apresenta um resumo sobre análise de circuitos elétricos em regime transitório. Aborda conceitos básicos como grandezas elétricas, fontes de tensão e corrente, resistência e leis de Kirchhoff. Também discute circuitos resistivos simples, técnicas de análise como Thévenin e Norton, indutância, capacitância e circuitos de primeira e segunda ordem. Por fim, introduz sinais elétricos e a transformada de Laplace como ferramenta para análise de circuitos.
Este documento apresenta os principais conceitos da mecânica clássica, incluindo movimento unidimensional, equações diferenciais de primeira e segunda ordem, osciladores harmônicos, movimento tridimensional, vetores, forças centrais, conservação de energia e movimento de Kepler. O documento também aborda tópicos matemáticos como integração múltipla e transformações de coordenadas.
1. O documento apresenta os conceitos fundamentais de algoritmos e programação, incluindo a história dos computadores, arquitetura básica, conceito de algoritmo, representações de algoritmos, linguagens de programação e estruturas de controle.
2. Os tópicos incluem representação de dados, variáveis, expressões, entrada e saída, estruturas de condição e repetição. Além disso, aborda estruturas de dados como vetores e modularização.
3. O documento fornece uma introdução abrangente sobre algoritmos e programa
1. O documento apresenta uma revisão da mecânica quântica, discutindo conceitos fundamentais como o experimento de Stern-Gerlach e espaço de Hilbert.
2. É introduzida a dinâmica quântica, incluindo a evolução temporal descrita pela equação de Schrödinger e representações de operadores.
3. Conceitos como o oscilador harmônico, equação de onda, integrais de caminho e teoria do momento angular são revisados.
O capítulo descreve os conceitos básicos sobre o projeto Arduino, incluindo o que é o projeto Arduino, como instalar o software, realizar um primeiro projeto, utilizar bibliotecas e shields, integrar com o PC e utilizar portas analógicas e digitais.
Handbook de ti para concursos – o guia definitivoAri Filho
Este documento fornece um resumo de tópicos fundamentais de computação, incluindo arquitetura de computadores, sistemas operacionais e processadores. Ele discute conceitos como estrutura da CPU, conjuntos de instruções, gerenciamento de memória e sistemas de arquivos. O documento também apresenta modelos de ciclo de vida de desenvolvimento de software.
Este documento fornece um resumo de tópicos fundamentais de computação, incluindo arquitetura de computadores, sistemas operacionais e processadores. Ele discute conceitos como estrutura da CPU, conjuntos de instruções, gerenciamento de memória e sistemas de arquivos. O documento também apresenta modelos de ciclo de vida de desenvolvimento de software.
1. O documento apresenta uma introdução ao programação em C.
2. É explicado que programas de computador são formados por uma série de instruções e que o arquivo fonte contém estas instruções na linguagem C.
3. O compilador converte as instruções no arquivo fonte para a linguagem de máquina para que o computador possa executar o programa.
1. O documento apresenta um curso sobre mecânica quântica, abordando seus fundamentos históricos e conceituais, como os postulados da teoria e o formalismo matemático subjacente.
2. São discutidos tópicos como movimento linear em diferentes potenciais, como o oscilador harmônico, e átomos hidrogenóides, incluindo a separação das variáveis espaciais e o modelo atômico de Bohr.
3. O documento também inclui exercícios relacionados aos tópicos ab
Este documento apresenta os conceitos fundamentais de resistência dos materiais, incluindo flexão oblíqua, flexão composta e estado triaxial de tensões. Aborda cálculos de tensões para diferentes configurações de carga e geometrias, além de exemplos numéricos ilustrativos.
Este livro apresenta os conceitos fundamentais do cálculo diferencial e integral de uma variável de forma intuitiva e com exemplos. O livro inclui definições de funções, gráficos, limites, derivadas, integrais e aplicações destes conceitos em outros campos como física e economia.
1. O documento apresenta um resumo dos principais métodos numéricos para resolução de equações, sistemas lineares, interpolação e integração numérica.
2. São descritos métodos como bissecção, Newton-Raphson, Gauss-Jordan, mínimos quadrados, Lagrange e Simpson para cálculo numérico.
3. O documento é um guia sobre métodos numéricos escrito por um professor da Universidade Federal de Mato Grosso do Sul no Brasil.
1. O documento apresenta um resumo de um livro sobre controle de sistemas em tempo contínuo.
2. O livro aborda tópicos como transformada de Laplace, modelagem de sistemas, análise de estabilidade e projeto de controladores.
3. O autor escreveu o livro com base em suas aulas e espera que ele sirva como um guia de estudos útil para alunos interessados no assunto.
1) O documento é um guia de revisão de conceitos matemáticos pré-requisitos para as disciplinas de Cálculo lecionadas no Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro.
2) O guia abrange tópicos como números, polinômios, equações, funções e sucessões para preparar os alunos para as aulas de Cálculo.
3) O objetivo é fornecer uma revisão rápida dos conceitos-chave de forma a facilitar a integração dos alunos no ensino superior.
O documento apresenta os principais equipamentos e dispositivos básicos utilizados em experimentos de eletrônica, incluindo resistores, capacitores, indutores, fontes de alimentação, multímetros e osciloscópios. Também discute medidas de segurança e procedimentos experimentais, além de abordar conceitos como erros de medição e padrões.
1. O documento discute fundamentos de controle clássico, incluindo modelagem, representação e análise de sistemas de controle.
2. As seções abordam tópicos como diagramas de blocos, resposta no tempo e frequência, propriedades básicas de sistemas realimentados e estruturas de controladores.
3. Há também discussões sobre objetivos de controle, métodos diretos de projeto e projeto no domínio da frequência.
Semelhante a Mecanica quantica obra coletiva hfleming (20)
1. Mecˆnica Quˆntica
a a
Obra coletiva
Sum´rio
a
1 Introdu¸˜o
ca 5
2 Pr´-requisitos e requisitos paralelos
e 6
3 O princ´
ıpio da incerteza 7
4 O conceito de estado 9
5 O princ´
ıpio de superposi¸˜o
ca 10
6 Operadores 12
6.1 Valor m´dio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
e
6.2 Adi¸˜o e subtra¸˜o de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . 17
ca ca
7 A energia e a equa¸˜o de Schr¨dinger
ca o 18
7.1 Exerc´
ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7.2 A derivada no tempo de um operador . . . . . . . . . . . . . . 22
7.3 O comutador de p e q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
ˆ ˆ
8 Estados estacion´rios
a 24
9 Po¸o quadrado unidimensional infinito
c 26
10 Exemplos simples 29
10.1 Po¸o quadrado unidimensional
c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
10.2 Conectando as solu¸˜es . . . .
co . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
10.3 A equa¸˜o da continuidade . .
ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
10.4 A barreira de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
10.4.1 Condi¸˜es de contorno
co . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1
2. 11 Algumas t´cnicas matem´ticas
e a 45
11.1 A fun¸˜o delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
ca
11.2 Integral de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
12 O espectro cont´
ınuo 47
13 O oscilador harmˆnico
o 50
13.1 Exerc´
ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
14 Operadores unit´rios e simetrias
a 59
14.1 Exemplos de operadores unit´rios . . . . . . . . . . . . . . . . 61
a
14.2 Exerc´
ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
15 Rota¸˜es e o momento angular
co 63
16 Autofun¸˜es do momento angular
co 67
16.1 As autofun¸˜es da componente z do momento angular . . . .
co . 67
16.2 Autofun¸˜es simultˆneas do momento angular total e da com-
co a
ponente z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
16.2.1 Constru¸˜o dos harmˆnicos esf´ricos . . . . . . . . .
ca o e . 70
16.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
17 Potenciais com simetria central 75
18 O ´tomo de Hidrogˆnio
a e 76
18.1 Determinando o comportamento assint´tico .
o . . . . . . . . . 78
18.2 As solu¸˜es da equa¸˜o radial . . . . . . . . .
co ca . . . . . . . . . 79
18.3 Algumas propriedades do ´tomo de hidrogˆnio
a e . . . . . . . . . 83
18.4 Exerc´
ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
19 A nota¸˜o de Dirac
ca 87
20 O Spin 91
20.1 Elementos de matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
20.2 As matrizes de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
20.3 Intera¸˜o Eletromagn´tica: Formalismo Hamiltoniano
ca e . . . . . 98
20.3.1 Apˆndice: O teorema de Euler . . . . . . . . .
e . . . . . 102
20.4 Acoplamento do spin com o campo magn´tico . . . .
e . . . . . 102
21 As desigualdades de Heisenberg 104
21.1 A rela¸˜o de incerteza energia x tempo . . . . . . . . . . . . . 106
ca
2
3. 22 Teoria das perturba¸˜es
co 109
22.1 Perturba¸˜o de estados estacion´rios . . . . . . . . . . . . . . 109
ca a
22.2 Exemplo trivial: Oscilador Harmˆnico com perturba¸˜o linear 113
o ca
22.3 Corre¸˜es de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
co
23 Perturba¸˜es de um n´
co ıvel degenerado 115
23.1 Reobtendo as f´rmulas gerais . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . 116
23.2 Quando o n´ ´ degenerado. . . . . . . . . . . .
ıvel e . . . . . . . . 117
23.3 O efeito Zeeman anˆmalo . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . 120
23.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
23.4.1 Unidades e fatores de convers˜o . . . . .
a . . . . . . . . 122
23.4.2 Exerc´ resolvido . . . . . . . . . . . .
ıcio . . . . . . . . 124
23.4.3 Exerc´ resolvido (Enrico Fermi, 1954)
ıcio . . . . . . . . 126
23.4.4 Prova simulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
23.4.5 Solu¸˜es de alguns problemas . . . . . .
co . . . . . . . . 130
23.4.6 Mais exerc´ ıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . 133
24 Perturba¸˜es dependentes do tempo
co 134
25 Perturba¸˜o peri´dica pr´xima ` ressonˆncia
ca o o a a 138
26 For¸as de van der Waals
c 142
26.1 Introdu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca . . . . . . . . . 142
26.2 O trabalho de Debye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
26.2.1 A equa¸˜o de van der Waals . . . . . .
ca . . . . . . . . . 143
26.3 Causa da Coes˜o . . . . . . . . . . . . . . . .
a . . . . . . . . . 143
26.3.1 A teoria de London . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
26.3.2 Referˆncias . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . 145
26.4 Rela¸˜o com a energia do ponto zero . . . . .
ca . . . . . . . . . 146
26.5 Tratamento perturbativo das for¸as de van der
c Waals . . . . . 149
26.6 Apˆndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . 153
27 Sistemas compostos 155
27.1 Exerc´
ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
28 Part´ıculas idˆnticas
e 161
28.1 O princ´ıpio de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
28.1.1 Adi¸˜o de momento s angulares . . . . . . . . . . . . . 163
ca
3
4. 29 O caso quase-cl´ssico
a 164
29.1 Regra de transi¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
ca
29.2 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
29.3 Exemplo: oscilador harmˆnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
o
30 O po¸o duplo.
c 173
31 Sistemas de dois n´
ıveis 177
32 A mol´cula da amˆnia
e o 181
33 A Mecˆnica Quˆntica Relativista
a a 181
33.1 Introdu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca . . . . . . 181
33.2 A equa¸˜o de Schr¨dinger livre . . . . . . . . . . .
ca o . . . . . . 182
33.3 A equa¸˜o de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . .
ca . . . . . . 182
33.4 A equa¸˜o de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca . . . . . . 183
33.4.1 Interpreta¸˜o probabil´
ca ıstica . . . . . . . . . . . . . . . 184
33.4.2 Determina¸˜o das matrizes de Dirac . . . .
ca . . . . . . 185
33.4.3 Formula¸˜o covariante da equa¸˜o de Dirac
ca ca . . . . . . 187
33.4.4 Corrente de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . 188
33.4.5 Solu¸˜es especiais: part´
co ıcula em repouso . . . . . . . . 188
33.4.6 Solu¸˜es de energia negativa . . . . . . . . .
co . . . . . . 190
33.4.7 Intera¸˜o com o campo eletromagn´tico . . .
ca e . . . . . . 190
33.5 A anti-mat´ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . 191
33.5.1 As solu¸˜es de onda plana . . . . . . . . . .
co . . . . . . 191
33.5.2 A fun¸˜o de onda do buraco . . . . . . . . .
ca . . . . . . 192
34 Apˆndice Matem´tico 1
e a 193
34.1 Operadores e suas representa¸˜es matriciais
co . . . . . . . . . . 193
34.1.1 Transforma¸˜es entre bases . . . . .
co . . . . . . . . . . 195
34.1.2 Matrizes equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
34.1.3 Autovalores de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . 197
34.2 Diagonaliza¸˜o de uma matriz . . . . . . . .
ca . . . . . . . . . . 199
34.2.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
34.2.2 Exerc´
ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
35 Apˆndice matem´tico 2
e a 204
35.1 A equa¸˜o de Laplace . . . . . . . . . . . .
ca . . . . . . . . . . . 204
35.2 O Oscilador Harmˆnico . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . 207
35.3 O Campo Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
35.3.1 Comportamento Assint´tico . . . .
o . . . . . . . . . . . 214
35.4 Apˆndice do apˆndice: O M´todo do Ponto
e e e Sela . . . . . . . . 219
4
5. 35.4.1 Exemplo simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
e ´
36 Apˆndice 3: Otica geom´trica e 223
36.1 Equa¸˜es de Maxwell . . . . . .
co . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
36.2 A equa¸˜o do eikonal . . . . . .
ca . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
36.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
36.4 n ´ constante . . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
36.5 Dois meios homogˆneos . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
36.6 Simetria esf´rica . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
36.7 Curvatura dos raios de luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
36.8 Lentes esf´ricas . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
36.9 A primeira refra¸˜o . . . . . . .
ca . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
36.10A segunda refra¸˜o . . . . . . .
ca . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
36.11A equa¸˜o dos focos conjugados
ca . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
1 Introdu¸˜o
ca
Estas notas destinam-se a auxiliar o estudo dos alunos que est˜o assistindo o
a
meu curso, um curso introdut´rio de mecˆnica quˆntica no quarto semestre
o a a
do Curso de Ciˆncias Moleculares da Universidade de S˜o Paulo. Est˜o
e a a
evoluindo para um livro, mas ainda n˜o o s˜o.
a a
Em particular, n˜o h´ qualquer pretens˜o de originalidade. Trata-se aqui
a a a
de conhecimento estabelecido e amplamente exposto por muitos autores. Em
particular, apoiamo-nos extensamente na referˆncia principal, Landau, Lif-
e
shitz, [3] partes do qual s˜o aqui reproduzidas, mudando-se apenas a l´
a ıngua.
Os alunos que assistem este curso tiveram um semestre de f´ ısico-qu´ımica
onde utilizaram m´todos de mecˆnica quˆntica no estudo da espectroscopia
e a a
atˆmica e molecular, o que os coloca em uma situa¸˜o ins´lita: fizeram os
o ca o
exerc´ıcios antes de ter a teoria! Por isso este curso tem a preocupa¸˜o de apre-
ca
sentar uma formula¸˜o conceitualmente acurada daquelas partes da mecˆnica
ca a
quˆntica que s˜o mais usadas em f´
a a ısico-qu´ımica. Isto explica porque, por ex-
emplo, n˜o tratamos de fenˆmenos de espalhamento e porque, por outro lado,
a o
tratamos de simetrias, momento angular e m´todos perturbativos em maior
e
detalhe do que se costuma fazer em cursos dados em um quarto semestre.
Compare-se-o, por exemplo, com os excelentes tratamentos de Wichmann[11]
e Nussenzveig[12], que diferem notavelmente deste texto porque escolheram
estrat´gias diferentes: Wichmann realiza um soberbo tour pela fenomenologia
e
da f´ısica moderna, e n˜o faz praticamente c´lculos quˆnticos; Nussenzveig,
a a a
que ocupa menos de 1/3 do semestre com mecˆnica quˆntica, seleciona um
a a
n´ cleo muito mais restrito da mat´ria, essencialmente sistemas de dois n´
u e ıveis,
5
6. e produz um extrato de alta qualidade dos princ´ ıpios da teoria. Ambos quase
n˜o usam matem´tica que n˜o seja de dom´
a a a ınio p´ blico. Ambos s˜o forte-
u a
mente recomendados como leitura paralela.
O volume 3 das famosas Feynman Lectures[13] ´ um outro caso. O
e
esplˆndido livro de Feynman ´, ao contr´rio do que se diz, um texto avan¸ado,
e e a c
requerendo ou um talento excepcional, para aproveit´-lo como primeiro texto,
a
ou um consider´vel grau de maturidade em f´
a ısica, para acompanhar os vˆos o
do mestre. Os alunos podem come¸ar a lˆ-lo, diria eu, ap´s uns dois meses
c e o
deste curso. Ideal para uma leitura posterior ao curso.
Mais pr´ximo a este texto, mas muito mais extenso, com cerca de 650
o
p´ginas, est´ o livro de French e Taylor [14], cobrindo terreno semelhante.
a a
Se fosse mais curto eu n˜o precisaria produzir estas notas.
a
Finalmente, a influˆncia do livro onde eu estudei, Landau, Lifshitz[3],
e
´ dominante e deliberada. Em minha opini˜o trata-se do melhor texto ex-
e a
istente. Contudo, foi escrito para estudantes supostamente em n´ ıvel mais
avan¸ado do que aqueles aos quais me dirijo. Talvez eu pudesse resumir o ob-
c
jetivo deste curso assim: procura-se preparar os alunos para a leitura e uso do
magn´ ıfico “Landau”. Principalmente nos primeiros cap´ ıtulos, segui fielmente
o grande texto russo, com as adapta¸˜es que se fizeram necess´rias. Uma al-
co a
ternativa ` altura do “Landau” existe agora, em portuguˆs: o magn´
a e ıfico livro
do professor Toledo Piza[17].
2 Pr´-requisitos e requisitos paralelos
e
Solicita-se ao leitor que estude, antes de prosseguir na leitura destas notas, o
cap´ıtulo 1 do Volume III das Feynman Lectures on Physics, que cont´m uma
e
excelente descri¸˜o da experiˆncia da difra¸˜o por duas fendas, conhecida
ca e ca
como experiˆncia de Young, realizada com el´trons, em lugar da luz (que
e e
Young usou). Quando eu conseguir realizar isto t˜o bem quanto Feynman,
a
este pr´-requisito ser´ substitu´ por um cap´
e a ıdo ıtulo introdut´rio adicional. A
o
previs˜o de tempo para que isto aconte¸a ´ de, mais ou menos, da ordem da
a c e
idade do universo.
Dos requisitos paralelos, o mais importante ´ o estudo. A mecˆnica
e a
qˆ antica ´ uma experiˆncia nova e estranha, mais estranha do que a teo-
u e e
ria da relatividade, e requer h´bitos de pensamento novos, que precisam
a
ser adquiridos aos poucos, ao longo do curso, para n˜o dizer ao longo da
a
vida1 . Estudar s´ perto da prova n˜o basta, ´ quase in´ til. Jean Dieudonn´,
o a e u e
grande matem´tico francˆs da escola Bourbaki, menciona, em seu grande
a e
1
“The newer concepts of physics can be mastered only by long familiarity with their
properties and uses” (Dirac).
6
7. tratado Treatise on Analysis[16], a necessidade de adquirir-se a intui¸˜o do
ca
abstrato. Tamb´m aqui precisamos dela. De fato, Dirac, em sua grande
e
obra-prima[1], que muitos consideram o maior livro de f´ ısica desde os Prin-
cipia de Newton[15], diz: Mathematics is the tool specially suited for dealing
with abstract concepts of any kind and there is no limit to its power in this
field. For this reason a book on the new physics, if not purely descriptive of
experimental work, must be essentially mathematical.
Outro requisito paralelo ´ a leitura de um livro de qualidade, al´m destas
e e
notas. Sugiro desde logo a leitura do pref´cio e dos par´grafos 1, 2, 3 e 4 do
a a
livro de Dirac[1], que pode ser feita logo no come¸o do curso.
c
3 O princ´
ıpio da incerteza
A “experiˆncia de Young” para el´trons, em particular a forma¸˜o de uma
e e ca
figura de interferˆncia mesmo quando o feixe de el´trons ´ t˜o rarefeito que
e e e a
n˜o h´ d´ vida de que os el´trons chegam um a um na tela, mostra que a
a a u e
f´
ısica dos el´trons ´ incompat´ com o conceito de trajet´ria.
e e ıvel o
N˜o existe, na mecˆnica quˆntica, o conceito de trajet´ria
a a a o
Isto ´ o conte´ do do princ´
e u ıpio da incerteza, um dos fundamentos da mecˆnica
a
quˆntica, descoberto por Werner Heisenberg em 1927.
a
A maneira de se obter informa¸˜es sobre um sistema quˆntico (que chamare-
co a
mos, para simplificar, de el´tron) ´ realizar intera¸˜es entre ele e objetos
e e co
cl´ssicos, denominados aparelhos. Por hip´tese esses aparelhos podem ser
a o
descritos pela mecˆnica cl´ssica com a precis˜o que quisermos. Quando um
a a a
el´tron interage com um aparelho, o estado deste ultimo ´ modificado. A
e ´ e
natureza e magnitude dessa modifica¸˜o dependem do estado do el´tron, e
ca e
servem, por isso, para caracteriz´-lo quantitativamente. A intera¸˜o entre
a ca
o el´tron e o aparelho ´ denominada medida. Um aparelho n˜o precisa ser
e e a
macrosc´pico. O movimento de um el´tron numa cˆmara de Wilson ´ ob-
o e a e
servado por meio da trajet´ria nebulosa que ele deixa; a espessura dessa
o
trajet´ria ´ grande, comparada com as dimens˜es atˆmicas. Quando a tra-
o e o o
jet´ria de um el´tron ´ determinada com essa baixa precis˜o, ele ´ um objeto
o e e a e
inteiramente cl´ssico.
a
A mecˆnica quˆntica, ao menos em seu est´gio atual, ocupa um lugar
a a a
pouco usual entre as teorias f´ ısicas: ela cont´m a mecˆnica cl´ssica como um
e a a
caso limite, e, ao mesmo tempo, necessita desse caso limite para estabelecer
a sua linguagem.
7
8. O problema t´ ıpico da mecˆnica quˆntica consiste em predizer o resultado
a a
de uma medida a partir dos resultados de um certo n´ mero de medidas ante-
u
riores. Al´m disso, veremos mais tarde que, em compara¸˜o com a mecˆnica
e ca a
cl´ssica, a mecˆnica quˆntica restringe os valores das quantidades f´
a a a ısicas me-
didas (por exemplo, a energia ). Os m´todos da mecˆnica quˆntica permitem
e a a
a determina¸˜o desses valores admiss´
ca ıveis.
O processo de medida na mecˆnica quˆntica tem uma propriedade muito
a a
importante: a medida sempre afeta o el´tron medido, e ´ imposs´
e e ıvel, por
quest˜es de princ´
o ıpio, tornar o efeito da medida sobre o el´tron arbitraria-
e
mente pequeno (como pode ser suposto na f´ ısica cl´ssica). Quanto mais exata
a
a medida, mais intenso ´ o efeito sobre o el´tron, e ´ somente em medidas de
e e e
pouca precis˜o que o efeito da medida sobre o el´tron pode ser considerado
a e
pequeno.
´
E um dos postulados fundamentais da mecˆnica quˆntica que as coor-
a a
denadas, ou seja, a posi¸˜o de um el´tron pode sempre ser determinada
ca e
com precis˜o arbitr´ria 2 . Suponhamos que, a intervalos definidos ∆t, sejam
a a
feitas medidas sucessivas das coordenadas de um el´tron. Os resultados n˜o
e a
estar˜o, em geral, sobre uma curva lisa. Ao contr´rio, quanto menor o valor
a a
de ∆t, mais descont´ ınuos e desordenados ser˜o os resultados, de acordo com
a
o fato de que n˜o existe uma trajet´ria para o el´tron. Uma trajet´ria ra-
a o e o
zoavelmente lisa s´ ´ obtida se as coordenadas do el´tron forem medidas com
oe e
pouca precis˜o, como no caso de uma cˆmara de Wilson. Para informa¸˜es
a a co
sobre o que ´ uma cˆmara de Wilson, veja
e a
http://rd11.web.cern.ch/RD11/rkb/PH14pp/node29.html#28
Se, mantendo-se imutada a precis˜o das medidas de posi¸˜o, diminuirmos
a ca
os intervalos ∆t entre as medidas, ent˜o medidas adjacentes dar˜o valores
a a
vizinhos `s coordenadas. Contudo, os resultados de uma s´rie de medidas
a e
sucessivas, embora estejam em uma regi˜o reduzida do espa¸o, estar˜o dis-
a c a
tribu´
ıdas, nessa regi˜o, de uma forma totalmente irregular, e nunca em cima
a
de uma curva lisa. Em particular, quando ∆t tende a zero, os resultados
das medidas adjacentes de nenhuma maneira tende a a estar sobre uma reta.
Ora, a velocidade tem a dire¸˜o da reta que, na f´
ca ısica cl´ssica, ´ obtida nesse
a e
limite. Esta circunstˆncia mostra que, na mecˆnica quˆntica, n˜o existe a ve-
a a a a
locidade da part´ıcula no sentido cl´ssico do termo, isto ´, o limite de (∆r/∆t)
a e
quando ∆t → 0.
Enquanto, na mecˆnica cl´ssica, a part´
a a ıcula tem posi¸ao e velocidade
c˜
bem definidas em cada instante, na mecˆnica quˆntica a situa¸˜o ´ bem
a a ca e
2
Isto n˜o est´ em contradi¸˜o com as rela¸˜es de incerteza. Elas dizem que n˜o ´
a a ca co a e
poss´ determinar simultaneamente posi¸˜o e momento .
ıvel ca
8
9. diferente. Se, como resultado de uma medida, determinam-se as coordenadas
de um el´tron, ent˜o sua velocidade ´ totalmente indefinida. Se, ao contr´rio,
e a e a
determina-se a velocidade de um el´tron, ent˜o ele n˜o pode ter uma posi¸˜o
e a a ca
definida no espa¸o. Assim, na mecˆnica quˆntica, a posi¸˜es e a velocidade
c a a co
de um el´tron s˜o quantidades que n˜o podem ter, simultaneamente, valores
e a a
definidos.
4 O conceito de estado
Na mecˆnica cl´ssica conhece-se o estado de um sistema quando s˜o con-
a a a
hecidas todas as posi¸˜es e todas as velocidades dos pontos do sistema, em
co
um determinado instante. A partir desses dados ´ poss´ predizer todo o
e ıvel
futuro, e reconstruir todo o passado do sistema. Ou seja, conhece-se o es-
tado de um sistema quando se pode prever o futuro do sistema com a maior
precis˜o poss´ (no caso da mecˆnica cl´ssica essa precis˜o ´ total).
a ıvel a a a e
Na mecˆnica quˆntica tal descri¸˜o ´ imposs´
a a ca e ıvel, uma vez que as co-
ordenadas e as velocidades n˜o podem existir simultaneamente. Assim, a
a
descri¸˜o de um estado na mecˆnica quˆntica ´ feita em termos de menos
ca a a e
quantidades do que na mecˆnica cl´ssica. Segue-se disso uma conseq¨ˆncia
a a ue
muito importante. Enquanto a descri¸˜o cl´ssica permite prever o movi-
ca a
mento futuro com total precis˜o, a descri¸˜o menos detalhada da mecˆnica
a ca a
quˆntica n˜o permite essa precis˜o. Isto significa que, mesmo que se conhe¸a
a a a c
o estado de um el´tron, seu comportamento em instantes sucessivos ´, em
e e
princ´
ıpio, incerto. A mecˆnica quˆntica n˜o pode fazer previs˜es exatas.
a a a o
Para um dado estado inicial do el´tron, uma medida subseq¨ente pode dar
e u
v´rios resultados. O problema t´
a ıpico da mecˆnica quˆntica ´ determinar a
a a e
probabilidade de se obter cada um dos resultados poss´ ıveis, ao realizar uma
medida (ocasionalmente a probabilidade de se obter um determinado valor
pode ser 1, e a de todos os outros zero!).
Os processos de medida na mecˆnica quˆntica podem ser divididos em
a a
duas classes. Em uma, que cont´m a maioria das medidas, est˜o aquelas
e a
que, para qualquer estado do sistema, conduzem apenas a resultados mais ou
menos prov´veis. A outra classe cont´m medidas tais que, dado um qualquer
a e
dos resultados poss´ ıveis dessa medida, existe um estado do sistema no qual a
medida d´, com certeza, aquele valor. Essas medidas s˜o ditas previs´
a a ıveis, e
desempenham um papel importante na formula¸˜o da mecˆnica quˆntica. As
ca a a
propriedades f´ ısicas do sistema que s˜o determinadas por medidas desse tipo
a
s˜o chamadas quantidades f´
a ısicas ou observ´veis do sistema.(Ver Landau,
a
Lifshitz)
Veremos no que segue que, dado um conjunto de quantidades f´ ısicas, nem
9
10. sempre ´ poss´ med´
e ıvel ı-las simultaneamente, isto ´, nem sempre ´ poss´
e e ıvel
que todas tenham valores definidos ao mesmo tempo. Vimos que este ´ o e
caso para a posi¸˜o e a velocidade de um ponto material, por exemplo.
ca
Um papel fundamental ´ desempenhado por conjuntos de quantidades
e
f´
ısicas com a seguinte propriedade: elas podem ser medidas simultaneamente
mas, se elas tˆm todas valores definidos, nenhuma outra quantidade f´
e ısica
independente pode ter um valor definido nesse estado.
Tais conjuntos de quantidades f´
ısicas s˜o denominados conjuntos completos
a
de observ´veis compat´
a ıveis. Um conjunto completo fornece uma descri¸˜oca
m´xima do sistema, e, portanto, caracteriza um estado do sistema.
a
5 O princ´
ıpio de superposi¸˜o
ca
Seja q o conjunto das coordenadas de um sistema quˆntico 3 , e dq o produto
a
4
das diferenciais dessas coordenadas . Por exemplo, se q = {x, y, z}, dq =
dxdydz.
O estado de um sistema ´ descrito por uma fun¸˜o complexa ψ(q) das
e ca
coordenadas. O quadrado do m´dulo dessa fun¸˜o determina a distribui¸˜o
o ca ca
de probabilidades dos valores das coordenadas:
|ψ(x, y, z)|2 dxdydz
´ a probabilidade de que uma medida realizada sobre o sistema encontre os
e
valores das coordenadas entre x e x + dx, y e y + dy, z e z + dz. A fun¸˜o ψ
ca
´ denominada fun¸˜o de onda do sistema.
e ca
O conhecimento da fun¸˜o de onda permite, em princ´
ca ıpio, calcular a
probabilidade dos v´rios resultados de qualquer medida (n˜o necessariamente
a a
das coordenadas). Essas probabilidades s˜o express˜es bilineares em ψ e ψ ∗
a o
(* representando a opera¸˜o de tomar o complexo conjugado), do tipo
ca
dqψ(q)∗φ(q)ψ(q)
ou
∂
dqψ(q)∗ ψ(q)
∂q
por exemplo.
O estado de um sistema varia, em geral, com o tempo. Em conseq¨ˆncia,
ue
a fun¸˜o de onda ´ uma fun¸˜o tamb´m do tempo, ψ(q, t). Se a fun¸˜o
ca e ca e ca
3
Abuso de linguagem. Todos os sistemas s˜o quˆnticos. A express˜o correta seria
a a a
“sistema incorretamente descrito pela f´
ısica cl´ssica”.
a
4
Ou melhor, o elemento de volume em termos dessas coordenadas.
10
11. de onda ´ conhecida em um instante inicial, segue, do conceito da descri¸˜o
e ca
completa, que ela est´, em princ´
a ıpio, determinada em cada instante sucessivo.
A dependˆncia precisa da fun¸˜o de onda com o tempo ´ determinada por
e ca e
uma equa¸˜o denominada equa¸˜o de Schr¨dinger .
ca ca o
A probabilidade de que as coordenadas de um sistema tenham qualquer
valor, ´ 1. Devemos, ent˜o, ter
e a
|ψ(q)|2dq = 1 ,
pois a integral acima ´ exatamente esta probabilidade.
e
Seja ψ(q) a fun¸˜o de onda de um sistema. Considere a fun¸˜o
ca ca
ψ ′ (q) = ψ(q)eiα
onde α ´ um n´ mero real. Como as probabilidades dos v´rios resultados s˜o
e u a a
express˜es da forma
o
dqψ ∗ (q)φ(q)ψ(q)
e como
dqψ ∗ (q)φ(q)ψ(q) = dqψ ′∗ (q)φ(q)ψ ′(q) ,
vemos que ψ ′ (q) ´ uma descri¸˜o da fun¸˜o de onda do sistema t˜o boa
e ca ca a
quanto ψ(q). Diz-se , por isso, que a fun¸˜o de onda de um sistema est´
ca a
definida a menos de uma fase, ou seja, que, se ψ(q) ´ fun¸˜o de onda de um
e ca
sistema, ψ ′ (q) tamb´m ´.5
e e
Seja S um sistema f´ ısico que pode existir tanto num estado de fun¸˜oca
de onda ψ1 (q) como no estado de fun¸˜o de onda ψ2 (q). A medida de uma
ca
quantidade f´ ısica f d´, por hip´tese, o resultado f1 , com probabilidade 1, se
a o
o sistema estiver em ψ1 , e o resultado f2 , tamb´m com probabilidade 1, se o
e
sistema estiver em ψ2 . Postula-se ent˜o que:
a
(1)Toda fun¸˜o da forma c1 ψ1 + c2 ψ2 , onde c1 e c2 s˜o n´ meros complexos,
ca a u
´ tamb´m um estado do sistema.
e e
(2)Neste estado, uma medida de f dar´ ou o resultado f1 ou o resultado f2 .
a
5
Na realidade, h´ quantidades f´
a ısicas tamb´m da forma
e
dqψ ∗ (q)φ(q)ξ(q)
onde ξ(q) ´ outra fun¸˜o de onda. Como essas quantidades tamb´m devem permanecer
e ca e
inalteradas, ´ necess´rio acrescentar que a trasforma¸˜o
e a ca
ψ ′ (q) = eiα ψ(q)
deve ser tal que o mesmo α ´ usado para todas as fun¸˜es de onda.
e co
11
12. Este postulado ´ denominado princ´
e ıpio de superposi¸˜o. Segue dele que
ca
a equa¸˜o de Schr¨dinger deve ser linear em ψ.
ca o
Considere um sistema composto de duas partes, e suponha que o estado
do sistema seja dado de uma maneira tal que cada uma de suas partes possui
uma descri¸˜o completa.6 Ent˜o as probabilidades das coordenadas q1 , da
ca a
parte 1, s˜o independentes das probabilidades das coordenadas q2 , da parte
a
2. Seja ψ12 (q1 , q2 ) a fun¸˜o de onda do sistema todo, e ψ1 (q1 ) e ψ2 (q2 ) as
ca
fun¸˜es de onda das partes 1 e 2, respectivamente. Ent˜o,
co a
ψ12 (q1 , q2 ) = ψ1 (q1 )ψ2 (q2 ) ,
pois, ent˜o,
a
|ψ12 (q1 , q2 )|2 = |ψ1 (q1 )|2 |ψ2 (q2 )|2
o que significa que as probabilidades s˜o independentes.
a
Se, al´m disso, essas partes n˜o interagirem, vale ainda a rela¸˜o
e a ca
ψ12 (q1 , q2 , t) = ψ1 (q1 , t)ψ2 (q2 , t)
6 Operadores
Seja f uma quantidade f´ ısica que caracteriza o estado de um sistema quˆntico.
a
Os valores que uma dada quantidade f´ ısica pode assumir s˜o chamados de
a
autovalores . O conjunto dos autovalores ´ o espectro. Na mecˆnica cl´ssica
e a a
7
as quantidades f´
ısicas s˜o cont´
a ınuas. Na mecˆnica quˆntica, n˜o necessaria-
a a a
mente. Pode haver espectros discretos ou espectros cont´ ınuos. Vamos supor,
para simplificar, que o espectro de f seja discreto. Os autovalores de f ser˜oa
denotados por fn , (n = 0, 1, 2..). A fun¸˜o de onda do sistema, no estado
ca
em que f tem o valor fn , ser´ denotada por ψn . Essas fun¸˜es s˜o chamadas
a co a
autofun¸˜es de f . Para cada uma delas,
co
dq|ψn |2 = 1
Um dos princ´
ıpios b´sicos da mecˆnica quˆntica ´ este:
a a a e
(I) O conjunto das autofun¸˜es de uma quantidade f´
co ısica f ´ completo. Isto
e
´, dada uma fun¸˜o de onda qualquer ψ do sistema, podemos expand´ em
e ca ı-la
autofun¸˜es de f assim:
co
ψ= an ψn
n
6
Isto quer dizer que a fun¸˜o de onda de cada uma das partes tem um “futuro” total-
ca
mente previs´ıvel, ou seja, que as duas partes do sistema s˜o independentes.
a
7
Natura non facit saltus, Isaac Newton.
12
13. onde os an s˜o n´ meros complexos.
a u
(II)Fazendo-se uma medida de f em ψ, a probabilidade de se obter o valor
fn ´ dada por |an |2 .
e
Em conseq¨ˆncia, devemos ter
ue
|an |2 = 1
n
pois n |an |2 ´ a probabilidade de, medindo-se f , obter-se qualquer um dos
e
valores poss´
ıveis.
Temos, ent˜o, o resultado
a
an a∗ =
n dqψψ ∗
n
Por outro lado, temos
ψ∗ = a∗ ψn
n
∗
logo,
dqψψ ∗ = ψ a∗ ψn dq
n
∗
n
= a∗
n
∗
ψn ψdq
n
= a∗ an
n
n
de onde se conclui que
∗
an = ψn ψdq
Finalmente, usando ψ = m am ψm , temos
∗ ∗
an = dqψn am ψm = am ψn ψm dq
m m
de onde se conclui que
∗
dqψn ψm = δnm
Diz-se ent˜o que as autofun¸˜es s˜o ortogonais.
a co a
6.1 Valor m´dio
e
Vamos introduzir agora o conceito de valor m´dio f da quantidade f´
e ısica f em
um dado estado. Sejam fn os valores poss´ıveis de f , ou seja, seus autovalores
13
14. . Sejam |an |2 as probabilidades de cada um dos autovalores , no estado em
quest˜o. Define-se ent˜o o valor m´dio como
a a e
f= fn |an |2
n
Usa-se tamb´m a nota¸˜o f , para a mesma quantidade. Queremos encon-
e ca
trar uma express˜o para f em termos da fun¸˜o de onda do estado consider-
a ca
ado. Seja ψ esta fun¸˜o. Para fazer isso vamos associar ` quantidade f´
ca a ısica
ˆ que atua sobre as fun¸˜es de onda. Seja fψ a fun¸˜o
f um operador linear f co ˆ ca
ˆ ˆ
obtida quando f atua sobre ψ. Queremos, de f , que
f= ˆ
dqψ ∗ (f ψ)
para qualquer estado ψ (lembre-se que estipulamos que as quantidades f´
ısicas
deveriam ser express˜es bilineares na fun¸˜o de onda). Ent˜o,
o ca a
f= fn an a∗ =
n dqψ ∗ an fn ψn
n n
onde usamos an = dqψ ∗ ψn , obtido anteriormente. Vemos, primeiramente,
que
fψ = an fn ψn
n
Ora,
ψ= an ψn ,
n
de maneira que f ´ linear, e que
e
ˆ
f ψn = fn ψn
Sumarizando:
ˆ
f ψn = fn ψn (1)
ˆ
f = ˆ
dqψ ∗ f ψ (2)
∗
an = dqψn ψ (3)
∗
dqψn ψm = δnm (4)
Os valores assumidos por uma quantidade f´ ısica s˜o reais. Portanto, os val-
a
ores m´dios f de uma quantidade f´
e ısica s˜o tamb´m reais, como se vˆ de
a e e
2
f = n fn |an | . Note-se (exerc´ ıcio f´cil), que, se o estado for uma auto-
a
fun¸˜o de f , o valor m´dio f coincide com o autovalor de f nesse estado.
ca e
14
15. Do fato de f ser real segue uma propriedade importante dos operadores
associados a quantidades f´
ısicas:
∗
ˆ ∗ ˆ
f= dqψ ∗ f ψ = f = dqψ ∗ f ψ (5)
Ora,
∗ ∗
ˆ
dqψ ∗ (f ψ) = ˆ
ψ ∗ (f ψ)dq = ˆ
ψ(f ψ)∗ dq = ˆ
ψ f ∗ ψ ∗ dq (6)
ˆ e ˆ a ˆ e ˆ
onde f ∗ ´ definido assim: se f ψ = φ, ent˜o f ∗ ´ o operador tal que f ∗ ψ ∗ =
φ∗ .8 Ent˜o,
a
ˆ ˆ
ψ ∗ fψdq = ψ f ∗ ψ ∗ dq
ˆ ˆ
Vamos definir o operador transposto t f do operador f . Sejam ψ e φ fun¸˜es
co
tˆ
arbit´rias. Ent˜o f ´ tal que
a a e
ˆ
ψ ∗ (t f)φdq = ˆ
φf ψ ∗ dq
Por exemplo, para ψ = φi,
ˆ
ψ f ∗ ψ ∗ dq = ˆ
ψ ∗ (t f ∗ )ψdq
Da condi¸˜o de realidade de f, Eq.(6), temos
ca
ˆ
ψ ∗ f ψdq = ˆ
ψ f ∗ ψ ∗ dq = ˆ
ψ ∗ (t f ∗ )ψdq (7)
Comparando os dois extremos vemos que
ˆ ˆ
f = (t f )∗
Operadores com esta propriedade s˜o ditos hermiteanos. Logo, os operadores
a
associados a quantidades f´ ısicas s˜o operadores lineares hermiteanos.
a
Podemos, formalmente, considerar quantidades f´ ısicas complexas, isto ´,
e
cujos autovalores s˜o complexos. Por exemplo, dadas as coordenadas x e
a
y,podemos considerar a quantidade x + iy. Seja f uma quantidade desse
tipo, e seja f ∗ a quantidade cujos autovalores s˜o os complexo-conjugados dos
a
` ˆ
autovalores de f . A quantidade f corresponde o operador f. Denotemos por
8 ˆ ∂
a ˆ
Por exemplo, seja f = −i ∂x . Ent˜o, dado ψ qualquer, temos f ψ = −i ∂ψ . O operador
∗
∂x
ˆ ˆ ˆ
f ∗ deve ser tal, ent˜o, que f ∗ ψ ∗ = (−i ∂ψ )∗ = i ∂ψ . Logo, f ∗ = i ∂x .
a ∂
∂x ∂x
15
16. ˆ
f + o operador correspondente ` quantidade f ∗ . Este operador ´ denominado
a e
o adjunto de fˆ.
O valor m´dio da quantidade f ∗ ´ dado por
e e
f∗ = ˆ
ψ ∗ f + ψdq
onde apenas adaptamos a defini¸˜o de m´dia de um operador.
ca e
Ora,
ˆ
f = ψ ∗ fψdq
logo,
∗
∗
f = ˆ
ψ ∗ f ψdq = ˆ
ψ f ∗ ψ ∗ dq = ˆ
ψ ∗ (t f)∗ ψdq
Mas ∗
∗
f∗ = fn |an |2 =
∗
fn |an |2 =f
n n
Ou seja,
ˆ
ψ ∗ f + ψdq = ˆ
ψ ∗ (t f)∗ ψdq
Comparando, temos
ˆ ˆ
f + = (t f)∗
Em palavras, o adjunto ´ o transposto do conjugado.
e
A condi¸˜o de hermiticidade de um operador, escrita anteriormente como
ca
ˆ ˆ
(t f ) = f ∗
pode agora ser escrita:
ˆ ˆ
f = f+
e os operadores hermiteanos s˜o aqueles que coincidem com os adjuntos. Da´
a ı
serem chamados tamb´m de auto-adjuntos.
e
Vamos agora mostrar que a ortogonalidade das autofun¸˜es de um op-
co
erador hermiteano pode ser demonstrada diretamente. Sejam fn e fm dois
ˆ
autovalores diferentes do operador hermiteano f . Sejam ψn e ψm as auto-
fun¸˜es correspondentes. Ent˜o,
co a
ˆ
f ψn = fn ψn (8)
ˆ
fψm = fm ψm (9)
∗
Multiplicando a primeira por ψm , temos
∗ ˆ ∗ ∗
ψm f ψn = ψm fn ψn = fn ψm ψn
16
17. e
∗ ˆ ∗
dqψm f ψn = fn dqψm ψn (10)
ˆ ∗
Tomando o complexo conjugado de (9) e multiplicando por ψn , temos ψn f ∗ ψm =
∗
fm ψn ψm . Integrando,
ˆ ∗
dqψn f ∗ ψm = fm ∗
dqψn ψm (11)
∗ ˆ ˆ ∗
dqψm f ψn − dqψn f + ψm = (fn − fm ) ∗
dqψn ψm (12)
Mas
ˆ ∗
dqψn f ∗ ψm = ˆ
dqψm (t f )∗ ψn =
∗ ∗ ˆ
dqψm f + ψn = ∗ ˆ
dqψm f ψn
ˆe
pois f ´ hermiteano. Logo, o primeiro termo de (12) ´ zero. Conseq¨ ente-
e u
mente,
∗
(fn − fm ) ψn ψm dq = 0
e, como fn = fm , segue que
∗
dqψn ψm = 0 (n = m)
6.2 Adi¸˜o e subtra¸˜o de operadores
ca ca
Sejam f e g duas quantidades f´ısicas que podem ter valores definidos simul-
ˆ ˆ
taneamente. Sejam f e g seus operadores. Os autovalores da soma f + g s˜o a
ˆ + g , e sejam ψn
a soma dos autovalores de f e de g. Considere o operadorf ˆ
co ˆ ˆ
as autofun¸˜es comuns a f e g . Ent˜o,
a
ˆ
f ψn = fn ψn
g ψn = gn ψn
ˆ
e, portanto,
ˆ ˆ
(f + g )ψn = (fn + gn )ψn
Este resultado pode ser generalizado para fun¸˜es de onda quaisquer, assim:
co
ˆ ˆ ˆ
(f + g )ψ = f ψ + g ψ
ˆ
Neste caso, tem-se
f +g = ˆ ˆ
ψ ∗ (f + g )ψdq = ˆ
ψ ∗ fψdq + ψ ∗ g ψdq = f + g
ˆ
17
18. A multiplica¸˜o de operadores ´ definida assim:
ca e
ˆˆ ˆg
(f g )ψ = f (ˆψ)
ca ˆ ˆ
Suponhamos que ψn seja autofun¸˜o comum a f e g . Ent˜o,
a
ˆˆ ˆg ˆ ˆ
f g ψn = f (ˆψn ) = f (gn ψn ) = gn f ψn = gn fn ψn
e
ˆˆ ˆ ˆ
g fψn = g (f ψn ) = g (fn ψn ) = fn (ˆψn ) = fn gn ψn
ˆ g
Logo, para as autofun¸˜es simultaneas, temos
co
ˆˆ ˆ ˆ
(f g − g f )ψn = 0
Isto n˜o ´ suficiente para se concluir que o operador
a e
ˆˆ ˆ ˆ
f g − gf = 0 .
Contudo, como o conjunto das autofun¸˜es ψn ´ completo, temos, dada uma
co e
fun¸˜o de onda arbitr´ria, que
ca a
ψ= an ψn
n
e
ˆˆ ˆ ˆ
(f g − g f )ψ = ˆˆ ˆ ˆ
an (f g − g f)ψn = 0
n
ˆˆ ˆ ˆ e
Logo, o operador f g − g f ´ zero como operador, pois leva qualquer fun¸˜o
ca
ao valor zero. Note-se que isto foi demonstrado para dois operadores que
possuem um conjunto completo de autofun¸˜es comuns. No caso geral, esse
co
comutador,
ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ
[f, g ] ≡ f g − g f
´ diferente de zero.
e
7 A energia e a equa¸˜o de Schr¨dinger
ca o
A fun¸˜o de onda determina completamente o estado f´
ca ısico do sistema. Isto
significa que, dada a fun¸˜o de onda ψ de um sistema no instante t, n˜o
ca a
somente todas as propriedades do sistema naquele instante est˜o descritas,
a
mas tamb´m as propriedades em qualquer instante subseq¨ ente (tudo isso,
e u
naturalmente, em termos do conceito de descri¸˜o completa admitido pela
ca
mecˆnica quˆntica). Matematicamente isto quer dizer que a derivada primeira
a a
18
19. no tempo, ∂ψ no instante t ´ determinada pelo valor de ψ no mesmo instante.
∂t
e
Como a teoria ´ linear, essa rela¸˜o ´ tamb´m linear. Vamos escrevˆ-la assim:
e ca e e e
∂ψ ˆ
i¯
h = Hψ (13)
∂t
ˆ e
onde H ´ um operador linear a ser determinado. A maneira mais direta de
ˆ e
descobrir a natureza de H ´ impˆr que, no limite cl´ssico, as leis de Newton
o a
sejam obtidas. Usando argumentos de mecˆnica avan¸ada mostra-se que H
a c ˆ
deve ser o hamiltoniano do sistema, ou seja, a energia escrita em termos dos
momento s pi e das coordenadas qi do sistema, fazendo-se ainda a substitui¸˜o
ca
∂
pi = −i¯
h (14)
∂qi
A equa¸˜o (13) ´ denominada equa¸˜o de Schr¨dinger , e desempenha,
ca e ca o
na mecˆnica quˆntica, papel semelhante ao da segunda lei de Newton na
a a
mecˆnica cl´ssica.
a a
Exemplos:
(2) A part´
ıcula livre unidimensional:
p2
E =
2m
∂
p =
ˆ −i¯
h
∂x
∂ ∂
p2
ˆ = −i¯
h −i¯
h
∂x ∂x
ˆ ¯ 2 ∂2
h
H = −
2m ∂x2
ˆ ¯ 2 ∂2ψ
h
Hψ = −
2m ∂x2
Equa¸˜o de Schr¨dinger completa:
ca o
∂ψ ¯ 2 ∂2ψ
h
i¯
h =− . (15)
∂t 2m ∂x2
(2) A part´
ıcula livre tri-dimensional:
1
E = p2 + p2 + p2
2m x y z
∂
px
ˆ = −i¯h
∂x
∂
py
ˆ = −i¯h
∂y
19
20. ∂
pz
ˆ = −i¯
h
∂z
ˆ ¯2
h ∂2 ∂2 ∂2
H = − 2
+ 2+ 2
2m ∂x ∂y ∂z
ˆ ¯2 2
h
Hψ = − ∇ ψ
2m
Equa¸˜o de Schr¨dinger completa:
ca o
∂ψ ¯2 2
h
i¯
h =− ∇ ψ (16)
∂t 2m
(3) Part´
ıcula sobre a a¸˜o de um potencial:
ca
Seja V (x, y, z) a energia potencial da part´
ıcula. Na mecˆnica quˆntica o operador energia
a a
ˆ
potencial, V (r) ´ definido por:
e
ˆ
V (r)ψ(r) ≡ V (r)ψ(r)
ca ˆ
ou seja, a a¸˜o do operador V (r) sobre a fun¸˜o ψ(r) consiste simplesmente em multi-
ca
plic´-la pelo n´ mero V (r). Exemplo:
a u
Oscilador harmˆnico unidimensional:
o
ˆ 1 2
V (x)ψ(x) = V (x)ψ(x) = kx ψ(x)
2
ˆ ¯2 2
h 1
Hψ = − ∇ ψ + kx2 ψ
2m 2
7.1 Exerc´
ıcios
1. Sejam ψ1 (x) e ψ2 (x, respectivamente, autofun¸˜es de H, com autovalores
co
E1 e E2 . ψi (x) = ψi (x, t = 0). Seja Ψ(x, t = 0) = a1 ψ1 (x) + a2 ψ2 (x).
Determinar Ψ(x, t) para t > 0.
Solu¸˜o:
ca
Temos
i ˆ
ψ(x, t) = e− h Ht ψ(x, t = 0)
¯ (17)
Portanto,
i ˆ i i
Ψ(x, t) = e− h Ht (a1 ψ1 (x) + a2 ψ2 (x))) = a1 e− h E1 t ψ(x, t = 0)+a2 e− h E2 t ψ2 (x, t = 0)
¯ ¯ ¯
(18)
(a) Mostre que, nas condi¸˜es acima,
co
i ˆ i
exp − Htψ1 (x) = exp − E1 tψ1 (x)
h
¯ h
¯
(b) Demonstre a Eq.(17).
(c) As fun¸˜es exp i(k1 x − ω1 t), exp i(k2 x − ω2 t) e exp −i(k1 x + ω1 t) s˜o solu¸˜es
co a co
20
21. estacion´rias da equa¸˜o de Schr¨dinger de uma part´
a ca o ıcula livre. Escreva essa
equa¸˜o de Schr¨dinger e mostre que isso ´ verdade. A soma das trˆs ´
ca o e e e
uma solu¸˜o da mesma equa¸˜o, logo ´ a fun¸˜o de onda de um estado de
ca ca e ca
part´ıcula livre. Se o sistema se encontra neste estado, quais os valores da
energia que podem ser obtidos numa medida da energia do sistema, e qual
´ a probabilidade relativa deles. Por que eu estou falando de probabilidades
e
relativas, em vez de em probabilidades simplesmente?
2.A fun¸˜o de onda de uma part´
ca ıcula livre de massa m, em movimento ao
longo do eixo x, ´, em t = 0, dada por
e
1/4
2α 2
ψ(x) = e−αx (19)
π
(a) Verifique se ela est´ normalizada.
a
(b)Usando
∞ 2π − k2
dxe−αx e−ikx =e 4α (20)
−∞ α
expanda ψ(x) (da Eq.19) em autofun¸˜es simultˆneas do momento e da en-
co a
ergia , exp ikx. Se a expans˜o for escrita
a
1/4
2α 2
∞
e−αx = dka(k)eikx
π −∞
mostre que
1/4
1 2α π − k2
a(k) = e 4α
2π π α
e que, portanto,
1/4
1 2α π ∞ k2 i¯ k2 t
h
ψ(x, t) = dke− 4α eikx e− 2m (21)
2π π α −∞
(c) Agora, num esfor¸o de reportagem, calcule a integral em Eq.(21). (Use a
c
Eq.(20) trivialmente modificada). Vocˆ deve achar
e
1/4
2α m αm 2
ψ(x, t) = e− m+2iα¯ t x
h (22)
π m + 2iα¯ t
h
(d)Verifique que a fun¸˜o de onda ψ(x, t) da Eq.(22)satisfaz a equa¸˜o de
ca ca
Schr¨dinger para a part´
o ıcula livre.
21
22. 7.2 A derivada no tempo de um operador
ˆe
Diremos que um operador f˙ ´ a derivada no tempo do operador f se, sendo
ˆ
ˆ ˆ
f o valor m´dio de f num estado arbitr´rio, e f˙ o valor m´dio de f˙ nesse
ˆ e ˆ a e
mesmo estado, tivermos
d ˆ ˆ
f = f˙ (23)
dt
Explicitando, devemos ter
d ˆ d ˆ
∂f ψ∗ ˆ
f = ˆ
dqψ ∗ f ψ = dqψ ∗ ψ+ dq fψ + ˆ∂ψ
dqψ ∗ f (24)
dt dt ∂t ∂t ∂t
Usando a equa¸˜o de Schr¨dinger , obtemos
ca o
∂ψ ∗ i ˆ∗ ∗
= H ψ
∂t h
¯
∂ψ −i ˆ
= Hψ
∂t h
¯
Usando esses resultados em (24), temos
d ˆ ˆ
∂f i i
f = dqψ ∗ ψ+ ˆ ˆ
dq H ∗ ψ ∗ f ψ − ˆ ˆ
dqψ ∗f Hψ (25)
dt ∂t h
¯ h
¯
O termo que cont´m a derivada parcial do operador s´ existe quando a express˜o do
e o a
operador cont´m parˆmetros que dependam do tempo. Por exemplo, se tiv´ssemos uma
e a e
part´
ıcula livre de massa vari´vel, seu hamiltoniano seria
a
ˆ ¯2
h
H=− ∇2 (26)
2m(t)
e a derivada em quest˜o seria dada por
a
ˆ
∂H ¯ 2 dm 2
h
= ∇
∂t 2m2 (t) dt
Na grande maioria dos casos este termo ´ inexistente.
e
ˆ e
Voltando ` Eq.(25), e usando o fato de que H ´ hermiteano, temos
a
ˆ ˆ
dq H ∗ ψ ∗ f ψ = ˆˆ
dqψ ∗ H f ψ = ˆˆ
dqψ ∗ H f ψ (27)
e, conseq¨ entemente,
u
d ˆ ˆ i
∂f
f = ψ∗ ˆ ˆ i ˆˆ
+ Hf − f H ψ (28)
dt ∂t h
¯ h
¯
22
23. Como, por defini¸˜o,
ca
d ˆ ˆ
f = dqψ ∗ f˙ψ
dt
temos que
ˆ
ˆ ∂f + i H f − f H
f˙ = ˆ ˆ ˆˆ (29)
∂t h
¯
ˆ
Como dissemos, o caso mais importante ´ aquele em que ∂ f = 0 (diz-se ent˜o
e ∂t
a
que o operador n˜o tem dependˆncia expl´
a e ıcita no tempo.) Neste caso,
ˆ i ˆ ˆ ˆˆ
f˙ = Hf − f H (30)
h
¯
ˆ
Vemos ent˜o que, se [H, f ] = 0, f˙ = 0, e
a ˆ ˆ
ˆ
f = constante . (31)
Na mecˆnica quˆntica, a constˆncia de uma quantidade f´
a a a ısica no tempo quer
dizer isto: que o valor m´dio dessa quantidade independe do tempo. Con-
e
ˆ Temos, evidentemente, que [H, H] = 0, logo, se H n˜o
sidere o operador H. ˆ ˆ ˆ a
depende explicitamente do tempo,
ˆ
˙ i ˆ ˆ
H = [H, H] = 0 (32)
h
¯
d ˆ
e dt H = 0. A quantidade f´ ısica associada ao hamiltoniano ´ a energia .
e
Logo, a energia se conserva, na mecˆnica quˆntica.
a a
Como |ψ 2 |dq = 1, sendo a integral estendida a todo o espa¸o, temos que
c
d d ∂ψ ∗ ∂ψ
0= dq|ψ|2 = dqψ ∗ ψ = ψ + ψ∗ (33)
dt dt ∂t ∂t
Eliminando as derivadas no tempo pelo uso da equa¸˜o de Schr¨dinger , temos:
ca o
i ˆ ˆ i ˆ ˆ
0= dqψ H ∗ ψ ∗ − dqψ ∗ Hψ = dqψ ∗ (t H)∗ ψ − dqψ ∗ Hψ
h
¯ h
¯
i ˆ ˆ
= ψ∗ H + − H ψ
h
¯
ˆ ˆ ˆ e
Segue ent˜o que H = H + , ou seja, que H ´ hermiteano.
a
7.3 O comutador de p e q
ˆ ˆ
h∂
Como px = −i¯ ∂x , temos
ˆ
∂ψ(x) ∂
[ˆ, px ]ψ(x) = x(−i¯ )
x ˆ ˆ h − (−i¯ ) (xψ(x))
h (34)
∂x ∂x
23
24. que leva a
[ˆ, px ]ψ(x) = i¯ ψ(x)
x ˆ h (35)
Logo, temos a igualdade entre operadores:
[ˆ, px ] = i¯ ˆ
x ˆ h1 (36)
onde ˆ ´ o operador unidade, definido por
1e
ˆ =ψ
1ψ (37)
qualquer que seja ψ.
Obviamente isto vale tamb´m para as outras componentes. Numa forma
e
geral. temos:
[ˆi , qj ] = −i¯ δij ˆ
p ˆ h 1 (38)
S˜o as chamadas rela¸˜es de Heisenberg.
a co
8 Estados estacion´rios
a
Na equa¸˜o de Schr¨dinger
ca o
∂ψ(r, t) ˆ
i¯
h = Hψ(r, t) (39)
∂t
procuremos solu¸˜es da forma
co
ψ(r, t) = u(r)T (t) , (40)
que s˜o um produto de uma fun¸˜o s´ de r por uma fun¸˜o s´ de t. Explici-
a ca o ca o
tando a forma do hamiltoniano,
2
ˆ h
¯
H=− ∇2 + V (r) (41)
2m
reescrevemos a Eq.(39) assim:
∂ h2 2
¯
i¯
h u(r)T (t) = − ∇ u(r)T (t) + V (r)u(r)T (t) (42)
∂t 2m
que pode ser reescrita:
dT (t) h2 2
¯
i¯ u(r)
h = −T (t) ∇ u(r) + V (r)u(r)T (t) (43)
dt 2m
24
25. Dividindo por u(r)T (t), temos
1 dT 1 h2 2
¯
i¯
h =− ∇ u + V (r) (44)
T dt u 2m
O primeiro membro n˜o depende de r, ou seja, s´ pode depender de t. Ele
a o
´ igual ao segundo membro, que n˜o pode depender de t. Logo, o primeiro
e a
membro n˜o depende nem de r nem de t: n˜o dpende ent˜o de nada: ´
a a a e
constante. O segundo membro, por for¸a da equa¸˜o, ´ igual ao primeiro, e
c ca e
ent˜o tamb´m constante. Designemos esta constante por E. Teremos ent˜o
a e a
1 dT
i¯
h =E (45)
T dt
ou
dT i
= − Edt (46)
T h
¯
que ´ integrada facilmente, dando
e
i
T (t) = Ke− h Et
¯ (47)
Logo,
i
ψ(r, t) = Ku(r)e− h Et
¯ (48)
Note-se que
ˆ ∂ ∂ i
Hψ(r, t) = i¯ ψ(r, t) = i¯
h h Ku(r)e− h Et = Eψ(r, t)
¯
∂t ∂t
o que mostra duas coisas importantes:
i
1. Os ψ(r, t) da forma u(r)e− h Et s˜o autofun¸˜es do hamiltoniano.
¯ a co
2.E ´ o autovalor do hamiltoniano, e, portanto, a energia do sistema, quando
e
neste estado.
Estados da forma
i
ψ(r, t) = u(r)E − h Et
¯ (49)
s˜o chamados estados estacion´rios. O nome ´ devido ao fato de que a den-
a a e
sidade de probabilidade de posi¸˜o, |psi(r, t)|2 , ´ independente do tempo,
ca e
pois
i ∗ i
|ψ(r, t)|2 = u(r)e− h Et
¯ u(re− h Et = |u(r)|2
¯ (50)
i
pois |e− h Et |2 = 1.
¯
Os estados estacion´rios s˜o extremamente importantes na descri¸˜o quˆntica
a a ca a
da natureza, n˜o s´ por representarem os estados que tˆm energia definida,
a o e
25
26. mas tamb´m porque o conjnto dos autoestados do hamiltoniano, que s˜o os
e a
estados estacion´rios, ´ completo. Isto significa que qualquer estado pode ser
a e
representado como uma combina¸˜o linear de estados estacion´rios.
ca a
A determina¸˜o dos estados estacion´rios de um determinado hamiltoni-
ca a
ano ´ feita normalmente resolvendo-se a equa¸˜o, dita equa¸˜o de Schr¨dinger
e ca ca o
independente do tempo,
ˆ
Hu(r) = Eu(r) (51)
Resolver esta equa¸˜o significa n˜o s´ determinar u(r), mas o par(E , u(r)).
ca a o
O n´ mero E ´ o autovalor de H
u e ˆ associado ` autofun¸˜o u(r). Problemas desse
a ca
tipo s˜o chamados, em matem´tica, problems de autovalores .
a a
9 Po¸o quadrado unidimensional infinito
c
Este ´ o problema mais simples envolvendo um sistema localizado. Uma
e
part´ıcula move-se livremente ao longo do eixo x, exceto pelo fato de que,
nas posi¸˜es x = 0 e x = a, existem paredes impenetr´veis: exige-se, isto
co a
´, que a probabilidade de a part´
e ıcula estar fora do intervalo 0 ≤ x ≤ a seja
estritamente 0. Formalmente isto se realiza exigindo que a fun¸˜o de onda
ca
da part´ ıcula seja nula nas paredes, que podem ser consideradas infinitamente
espessas. Portanto, ψ(x) = 0 para x ≥ a e para x ≤ 0.
Procuremos os estados estacion´rios. Na regi˜o interna as paredes, temos
a a `
h2 d2
¯
− ψ(x) = Eψ(x) (52)
2m dx2
onde E ´ um n´ mero positivo ou nulo. (O “fundo do po¸o” ´ o ponto de
e u c e
energia zero, por defini¸˜o). A Eq.(52) pode ser reescrita como
ca
d2 2m
− 2
ψ(x) = 2 Eψ(x) (53)
dx h
¯
e, introduzindo
2m
k2 = E (54)
h2
¯
temos
d2 ψ(x)
= −k 2 ψ(x) (55)
dx2
Esta ´ uma equa¸˜o diferencial bem conhecida. Sua solu¸˜o geral ´:
e ca ca e
ψ(x) = A sin kx + B cos kx. (56)
26
27. Temos, adicionalmente, as condi¸˜es de contorno
co
ψ(0) = ψ(a) = 0 (57)
Para satisfazer ψ(0) = 0, basta tomar B = 0, pois o seno se anula automati-
camente em x = 0. Ent˜o, antes de usar a segunda condi¸˜o de contorno,
a ca
temos
ψ(x) = A sin kx (58)
A segunda condi¸˜o de contorno exige que
ca
A sin ka = 0 (59)
e sabemos que o seno se anula em qualquer arco da forma nπ, com n inteiro
qualquer. Logo, devemos ter
ka = nπ (60)
ou seja, k tem seus valores restritos aos da forma
nπ
kn = (61)
a
onde acrescentamos um ´ ındice a k para maior clareza. Em suma, as solu¸˜es
co
da equa¸˜o de Schr¨dinger (52) que satisfazem as condi¸˜es de contorno (57)
ca o co
s˜o
a
nπ
ψn (x) = A sin x (62)
a
com n = 0, 1, 2 . . ..9
Note-se que ´ a condi¸˜o de a fun¸˜o de onda se anular em x = a que
e ca ca
restringe os valores de k, e portanto os valores da energia , j´ que
a
h 2 kn
¯ 2 h2 n2 π 2
¯
En = = . (63)
2m 2m a2
Diferentemente do que acontece na f´
ısica cl´ssica, a energia n˜o varia contin-
a a
uamente: do valor En passa-se, a seguir, ao valor En+1 , e
h2 π 2
¯ h2 π 2
¯
En+1 − En = 2
(n + 1)2 − n2 = (2n + 1) (64)
2m a 2m a2
Temos, isto ´, um espectro discreto para a energia . Espectros discretos para
e
a energia est˜o sempre ligados ao fato de o sistema ser localizado, isto ´, ter
a e
9
Na realidade inteiros negativos s˜o tamb´m admitidos, mas, como sin −nπ x =
a e a
nπ
−sin a x , as fun¸˜es de onda correspondentes a n negativos s˜o as mesmas que as
co a
de n positivos, pois ψ(x) e −ψ(x) representam o mesmo estado.
27