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![35.4.1 Exemplo simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
e ´
36 Apˆndice 3: Otica geom´trica e 223
36.1 Equa¸˜es de Maxwell . . . . . .
co . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
36.2 A equa¸˜o do eikonal . . . . . .
ca . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
36.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
36.4 n ´ constante . . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
36.5 Dois meios homogˆneos . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
36.6 Simetria esf´rica . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
36.7 Curvatura dos raios de luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
36.8 Lentes esf´ricas . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
36.9 A primeira refra¸˜o . . . . . . .
ca . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
36.10A segunda refra¸˜o . . . . . . .
ca . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
36.11A equa¸˜o dos focos conjugados
ca . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
1 Introdu¸˜o
ca
Estas notas destinam-se a auxiliar o estudo dos alunos que est˜o assistindo o
a
meu curso, um curso introdut´rio de mecˆnica quˆntica no quarto semestre
o a a
do Curso de Ciˆncias Moleculares da Universidade de S˜o Paulo. Est˜o
e a a
evoluindo para um livro, mas ainda n˜o o s˜o.
a a
Em particular, n˜o h´ qualquer pretens˜o de originalidade. Trata-se aqui
a a a
de conhecimento estabelecido e amplamente exposto por muitos autores. Em
particular, apoiamo-nos extensamente na referˆncia principal, Landau, Lif-
e
shitz, [3] partes do qual s˜o aqui reproduzidas, mudando-se apenas a l´
a ıngua.
Os alunos que assistem este curso tiveram um semestre de f´ ısico-qu´ımica
onde utilizaram m´todos de mecˆnica quˆntica no estudo da espectroscopia
e a a
atˆmica e molecular, o que os coloca em uma situa¸˜o ins´lita: fizeram os
o ca o
exerc´ıcios antes de ter a teoria! Por isso este curso tem a preocupa¸˜o de apre-
ca
sentar uma formula¸˜o conceitualmente acurada daquelas partes da mecˆnica
ca a
quˆntica que s˜o mais usadas em f´
a a ısico-qu´ımica. Isto explica porque, por ex-
emplo, n˜o tratamos de fenˆmenos de espalhamento e porque, por outro lado,
a o
tratamos de simetrias, momento angular e m´todos perturbativos em maior
e
detalhe do que se costuma fazer em cursos dados em um quarto semestre.
Compare-se-o, por exemplo, com os excelentes tratamentos de Wichmann[11]
e Nussenzveig[12], que diferem notavelmente deste texto porque escolheram
estrat´gias diferentes: Wichmann realiza um soberbo tour pela fenomenologia
e
da f´ısica moderna, e n˜o faz praticamente c´lculos quˆnticos; Nussenzveig,
a a a
que ocupa menos de 1/3 do semestre com mecˆnica quˆntica, seleciona um
a a
n´ cleo muito mais restrito da mat´ria, essencialmente sistemas de dois n´
u e ıveis,
5](https://image.slidesharecdn.com/mecanicaquantica-obracoletivahfleming-111005113605-phpapp02/75/Mecanica-quantica-obra-coletiva-hfleming-5-2048.jpg)
![e produz um extrato de alta qualidade dos princ´ ıpios da teoria. Ambos quase
n˜o usam matem´tica que n˜o seja de dom´
a a a ınio p´ blico. Ambos s˜o forte-
u a
mente recomendados como leitura paralela.
O volume 3 das famosas Feynman Lectures[13] ´ um outro caso. O
e
esplˆndido livro de Feynman ´, ao contr´rio do que se diz, um texto avan¸ado,
e e a c
requerendo ou um talento excepcional, para aproveit´-lo como primeiro texto,
a
ou um consider´vel grau de maturidade em f´
a ısica, para acompanhar os vˆos o
do mestre. Os alunos podem come¸ar a lˆ-lo, diria eu, ap´s uns dois meses
c e o
deste curso. Ideal para uma leitura posterior ao curso.
Mais pr´ximo a este texto, mas muito mais extenso, com cerca de 650
o
p´ginas, est´ o livro de French e Taylor [14], cobrindo terreno semelhante.
a a
Se fosse mais curto eu n˜o precisaria produzir estas notas.
a
Finalmente, a influˆncia do livro onde eu estudei, Landau, Lifshitz[3],
e
´ dominante e deliberada. Em minha opini˜o trata-se do melhor texto ex-
e a
istente. Contudo, foi escrito para estudantes supostamente em n´ ıvel mais
avan¸ado do que aqueles aos quais me dirijo. Talvez eu pudesse resumir o ob-
c
jetivo deste curso assim: procura-se preparar os alunos para a leitura e uso do
magn´ ıfico “Landau”. Principalmente nos primeiros cap´ ıtulos, segui fielmente
o grande texto russo, com as adapta¸˜es que se fizeram necess´rias. Uma al-
co a
ternativa ` altura do “Landau” existe agora, em portuguˆs: o magn´
a e ıfico livro
do professor Toledo Piza[17].
2 Pr´-requisitos e requisitos paralelos
e
Solicita-se ao leitor que estude, antes de prosseguir na leitura destas notas, o
cap´ıtulo 1 do Volume III das Feynman Lectures on Physics, que cont´m uma
e
excelente descri¸˜o da experiˆncia da difra¸˜o por duas fendas, conhecida
ca e ca
como experiˆncia de Young, realizada com el´trons, em lugar da luz (que
e e
Young usou). Quando eu conseguir realizar isto t˜o bem quanto Feynman,
a
este pr´-requisito ser´ substitu´ por um cap´
e a ıdo ıtulo introdut´rio adicional. A
o
previs˜o de tempo para que isto aconte¸a ´ de, mais ou menos, da ordem da
a c e
idade do universo.
Dos requisitos paralelos, o mais importante ´ o estudo. A mecˆnica
e a
qˆ antica ´ uma experiˆncia nova e estranha, mais estranha do que a teo-
u e e
ria da relatividade, e requer h´bitos de pensamento novos, que precisam
a
ser adquiridos aos poucos, ao longo do curso, para n˜o dizer ao longo da
a
vida1 . Estudar s´ perto da prova n˜o basta, ´ quase in´ til. Jean Dieudonn´,
o a e u e
grande matem´tico francˆs da escola Bourbaki, menciona, em seu grande
a e
1
“The newer concepts of physics can be mastered only by long familiarity with their
properties and uses” (Dirac).
6](https://image.slidesharecdn.com/mecanicaquantica-obracoletivahfleming-111005113605-phpapp02/75/Mecanica-quantica-obra-coletiva-hfleming-6-2048.jpg)
![tratado Treatise on Analysis[16], a necessidade de adquirir-se a intui¸˜o do
ca
abstrato. Tamb´m aqui precisamos dela. De fato, Dirac, em sua grande
e
obra-prima[1], que muitos consideram o maior livro de f´ ısica desde os Prin-
cipia de Newton[15], diz: Mathematics is the tool specially suited for dealing
with abstract concepts of any kind and there is no limit to its power in this
field. For this reason a book on the new physics, if not purely descriptive of
experimental work, must be essentially mathematical.
Outro requisito paralelo ´ a leitura de um livro de qualidade, al´m destas
e e
notas. Sugiro desde logo a leitura do pref´cio e dos par´grafos 1, 2, 3 e 4 do
a a
livro de Dirac[1], que pode ser feita logo no come¸o do curso.
c
3 O princ´
ıpio da incerteza
A “experiˆncia de Young” para el´trons, em particular a forma¸˜o de uma
e e ca
figura de interferˆncia mesmo quando o feixe de el´trons ´ t˜o rarefeito que
e e e a
n˜o h´ d´ vida de que os el´trons chegam um a um na tela, mostra que a
a a u e
f´
ısica dos el´trons ´ incompat´ com o conceito de trajet´ria.
e e ıvel o
N˜o existe, na mecˆnica quˆntica, o conceito de trajet´ria
a a a o
Isto ´ o conte´ do do princ´
e u ıpio da incerteza, um dos fundamentos da mecˆnica
a
quˆntica, descoberto por Werner Heisenberg em 1927.
a
A maneira de se obter informa¸˜es sobre um sistema quˆntico (que chamare-
co a
mos, para simplificar, de el´tron) ´ realizar intera¸˜es entre ele e objetos
e e co
cl´ssicos, denominados aparelhos. Por hip´tese esses aparelhos podem ser
a o
descritos pela mecˆnica cl´ssica com a precis˜o que quisermos. Quando um
a a a
el´tron interage com um aparelho, o estado deste ultimo ´ modificado. A
e ´ e
natureza e magnitude dessa modifica¸˜o dependem do estado do el´tron, e
ca e
servem, por isso, para caracteriz´-lo quantitativamente. A intera¸˜o entre
a ca
o el´tron e o aparelho ´ denominada medida. Um aparelho n˜o precisa ser
e e a
macrosc´pico. O movimento de um el´tron numa cˆmara de Wilson ´ ob-
o e a e
servado por meio da trajet´ria nebulosa que ele deixa; a espessura dessa
o
trajet´ria ´ grande, comparada com as dimens˜es atˆmicas. Quando a tra-
o e o o
jet´ria de um el´tron ´ determinada com essa baixa precis˜o, ele ´ um objeto
o e e a e
inteiramente cl´ssico.
a
A mecˆnica quˆntica, ao menos em seu est´gio atual, ocupa um lugar
a a a
pouco usual entre as teorias f´ ısicas: ela cont´m a mecˆnica cl´ssica como um
e a a
caso limite, e, ao mesmo tempo, necessita desse caso limite para estabelecer
a sua linguagem.
7](https://image.slidesharecdn.com/mecanicaquantica-obracoletivahfleming-111005113605-phpapp02/75/Mecanica-quantica-obra-coletiva-hfleming-7-2048.jpg)
![A multiplica¸˜o de operadores ´ definida assim:
ca e
ˆˆ ˆg
(f g )ψ = f (ˆψ)
ca ˆ ˆ
Suponhamos que ψn seja autofun¸˜o comum a f e g . Ent˜o,
a
ˆˆ ˆg ˆ ˆ
f g ψn = f (ˆψn ) = f (gn ψn ) = gn f ψn = gn fn ψn
e
ˆˆ ˆ ˆ
g fψn = g (f ψn ) = g (fn ψn ) = fn (ˆψn ) = fn gn ψn
ˆ g
Logo, para as autofun¸˜es simultaneas, temos
co
ˆˆ ˆ ˆ
(f g − g f )ψn = 0
Isto n˜o ´ suficiente para se concluir que o operador
a e
ˆˆ ˆ ˆ
f g − gf = 0 .
Contudo, como o conjunto das autofun¸˜es ψn ´ completo, temos, dada uma
co e
fun¸˜o de onda arbitr´ria, que
ca a
ψ= an ψn
n
e
ˆˆ ˆ ˆ
(f g − g f )ψ = ˆˆ ˆ ˆ
an (f g − g f)ψn = 0
n
ˆˆ ˆ ˆ e
Logo, o operador f g − g f ´ zero como operador, pois leva qualquer fun¸˜o
ca
ao valor zero. Note-se que isto foi demonstrado para dois operadores que
possuem um conjunto completo de autofun¸˜es comuns. No caso geral, esse
co
comutador,
ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ
[f, g ] ≡ f g − g f
´ diferente de zero.
e
7 A energia e a equa¸˜o de Schr¨dinger
ca o
A fun¸˜o de onda determina completamente o estado f´
ca ısico do sistema. Isto
significa que, dada a fun¸˜o de onda ψ de um sistema no instante t, n˜o
ca a
somente todas as propriedades do sistema naquele instante est˜o descritas,
a
mas tamb´m as propriedades em qualquer instante subseq¨ ente (tudo isso,
e u
naturalmente, em termos do conceito de descri¸˜o completa admitido pela
ca
mecˆnica quˆntica). Matematicamente isto quer dizer que a derivada primeira
a a
18](https://image.slidesharecdn.com/mecanicaquantica-obracoletivahfleming-111005113605-phpapp02/75/Mecanica-quantica-obra-coletiva-hfleming-18-2048.jpg)
![Como, por defini¸˜o,
ca
d ˆ ˆ
f = dqψ ∗ f˙ψ
dt
temos que
ˆ
ˆ ∂f + i H f − f H
f˙ = ˆ ˆ ˆˆ (29)
∂t h
¯
ˆ
Como dissemos, o caso mais importante ´ aquele em que ∂ f = 0 (diz-se ent˜o
e ∂t
a
que o operador n˜o tem dependˆncia expl´
a e ıcita no tempo.) Neste caso,
ˆ i ˆ ˆ ˆˆ
f˙ = Hf − f H (30)
h
¯
ˆ
Vemos ent˜o que, se [H, f ] = 0, f˙ = 0, e
a ˆ ˆ
ˆ
f = constante . (31)
Na mecˆnica quˆntica, a constˆncia de uma quantidade f´
a a a ısica no tempo quer
dizer isto: que o valor m´dio dessa quantidade independe do tempo. Con-
e
ˆ Temos, evidentemente, que [H, H] = 0, logo, se H n˜o
sidere o operador H. ˆ ˆ ˆ a
depende explicitamente do tempo,
ˆ
˙ i ˆ ˆ
H = [H, H] = 0 (32)
h
¯
d ˆ
e dt H = 0. A quantidade f´ ısica associada ao hamiltoniano ´ a energia .
e
Logo, a energia se conserva, na mecˆnica quˆntica.
a a
Como |ψ 2 |dq = 1, sendo a integral estendida a todo o espa¸o, temos que
c
d d ∂ψ ∗ ∂ψ
0= dq|ψ|2 = dqψ ∗ ψ = ψ + ψ∗ (33)
dt dt ∂t ∂t
Eliminando as derivadas no tempo pelo uso da equa¸˜o de Schr¨dinger , temos:
ca o
i ˆ ˆ i ˆ ˆ
0= dqψ H ∗ ψ ∗ − dqψ ∗ Hψ = dqψ ∗ (t H)∗ ψ − dqψ ∗ Hψ
h
¯ h
¯
i ˆ ˆ
= ψ∗ H + − H ψ
h
¯
ˆ ˆ ˆ e
Segue ent˜o que H = H + , ou seja, que H ´ hermiteano.
a
7.3 O comutador de p e q
ˆ ˆ
h∂
Como px = −i¯ ∂x , temos
ˆ
∂ψ(x) ∂
[ˆ, px ]ψ(x) = x(−i¯ )
x ˆ ˆ h − (−i¯ ) (xψ(x))
h (34)
∂x ∂x
23](https://image.slidesharecdn.com/mecanicaquantica-obracoletivahfleming-111005113605-phpapp02/75/Mecanica-quantica-obra-coletiva-hfleming-23-2048.jpg)
![que leva a
[ˆ, px ]ψ(x) = i¯ ψ(x)
x ˆ h (35)
Logo, temos a igualdade entre operadores:
[ˆ, px ] = i¯ ˆ
x ˆ h1 (36)
onde ˆ ´ o operador unidade, definido por
1e
ˆ =ψ
1ψ (37)
qualquer que seja ψ.
Obviamente isto vale tamb´m para as outras componentes. Numa forma
e
geral. temos:
[ˆi , qj ] = −i¯ δij ˆ
p ˆ h 1 (38)
S˜o as chamadas rela¸˜es de Heisenberg.
a co
8 Estados estacion´rios
a
Na equa¸˜o de Schr¨dinger
ca o
∂ψ(r, t) ˆ
i¯
h = Hψ(r, t) (39)
∂t
procuremos solu¸˜es da forma
co
ψ(r, t) = u(r)T (t) , (40)
que s˜o um produto de uma fun¸˜o s´ de r por uma fun¸˜o s´ de t. Explici-
a ca o ca o
tando a forma do hamiltoniano,
2
ˆ h
¯
H=− ∇2 + V (r) (41)
2m
reescrevemos a Eq.(39) assim:
∂ h2 2
¯
i¯
h u(r)T (t) = − ∇ u(r)T (t) + V (r)u(r)T (t) (42)
∂t 2m
que pode ser reescrita:
dT (t) h2 2
¯
i¯ u(r)
h = −T (t) ∇ u(r) + V (r)u(r)T (t) (43)
dt 2m
24](https://image.slidesharecdn.com/mecanicaquantica-obracoletivahfleming-111005113605-phpapp02/75/Mecanica-quantica-obra-coletiva-hfleming-24-2048.jpg)
![10.2 Conectando as solu¸˜es
co
A energia potencial V (x) descrita acima ´ uma fun¸˜o descont´
e ca ınua, e por-
tanto n˜o-diferenci´vel, nos pontos x = −a e x = a. A equa¸˜o diferencial
a a ca
deve ser, ent˜o, tratada como 3 equa¸˜es, uma para cada regi˜o onde V (x)
a co a
´ cont´
e ınua e diferenci´vel. Por isso a resolvemos separadamente para as
a
regi˜es I, II e III. O potencial descont´
o ınuo ´ uma idealiza¸˜o de um potncial
e ca
semelhante, mas de “bordas arredondadas”, alguma coisa assim:
V (x)
−a a
x
E<0
I II III
V = V0
A raz˜o pr´tica para tratar o potencial idealizado, e n˜o o “real”, ´ que assim
a a a e
´ muito mais f´cil resolver a equa¸˜o diferencial.
e a ca
Landau[3] trata, no exerc´ıcio 5 do §23, um problema do tipo acima, em que o poten-
cial ´
e
V0
V (x) = − .
cosh2 αx
´
E poss´ determinar os n´
ıvel ıveis de energia e as fun¸˜es de onda dos estados estacion´rios,
co a
mas o uso de fun¸˜es hipergeom´tricas torna desaconselh´vel seu tratamento em um curso
co e a
introdut´rio.
o
O pre¸o que se paga pelo uso de um potencial descont´
c ınuo ´: como “ligar”
e
entre si as solu¸˜es das trˆs regi˜es? A matem´tica nos d´ a chave: como a
co e o a a
equa¸˜o diferencial ´ de segunda ordem, sua solu¸˜o ´ determinada dando-
ca e ca e
se, em um ponto, o valor da fun¸˜o e de sua derivada primeira. Ent˜o, para
ca a
conectar as regi˜es, procedemos assim: em um ponto comum `s regi˜es I e
o a o
II (este ponto ´ x = −a) exigimos que φI = φII e dφI /dx = dφII /dx, onde
e
φI ´ a solu¸˜o na regi˜o I, e φII ´ a solu¸˜o na regi˜o II. Para conectar as
e ca a e ca a
regi˜es II e III, agimos da mesma forma:
o
dφII (a) dφIII (a)
φII (a) = φIII (a) e =
dx dx
31](https://image.slidesharecdn.com/mecanicaquantica-obracoletivahfleming-111005113605-phpapp02/75/Mecanica-quantica-obra-coletiva-hfleming-31-2048.jpg)
![13 O oscilador harmˆnico
o
Uma part´ ıcula de massa m executa movimento unidimensional sob a a¸˜o ca
de uma for¸a el´stica −kx. Isto ´ um oscilador harmˆnico. Sua energia
c a e o
1
potencial ´ V (x) = 2 mω 2 x2 , e. portanto, a equa¸˜o de Schr¨dinger para
e ca o
estados estacion´rio ´
a e
h d2 ψ 1
¯
− + mω 2 x2 ψ = Eψ (209)
2m dx2 2
k
Note-se que ω = m .
A Eq.(209) pode ser escrita na forma
2
1 h d
¯
+ (mωx)2 ψ = Eψ (210)
2m i dx
Daqui se vˆ que
e
2
ˆ 1 h d
¯
H= + (mωx)2 (211)
2m i dx
Considere os operadores
1 h d
¯
a± = √ ± imωx (212)
2m i dx
Um c´lculo simples mostra que
a
2
1 h d
¯ 2 1
a− a+ = + (mωx) + hω
¯ (213)
2m i dx 2
de maneira que, usando (211),
1
a− a+ − hω ψ = Eψ
¯ (214)
2
Um outro c´lculo simples resulta em
a
[a− , a+ ] = hω
¯ (215)
A Eq.(214) d´
a
1
a− a+ − a+ a− + a+ a− − hω ψ = Eψ
¯
2
1
[a− , a+ ] + a+ a− − hω ψ = Eψ
¯
2
1
a+ a− + hω ψ = Eψ
¯ (216)
2
50](https://image.slidesharecdn.com/mecanicaquantica-obracoletivahfleming-111005113605-phpapp02/75/Mecanica-quantica-obra-coletiva-hfleming-50-2048.jpg)
![Lema 1: Seja ψ um estado estacion´rio do oscilador harmˆnico de energia
a o
E. Ent˜o a+ ψ ´ um estado estacion´rio de energia E + hω.
a e a ¯
Dem.:
1 1
a+ a− + hω (a+ ψ) = a+ a− a+ ψ + hω(a+ ψ)
¯ ¯
2 2
1 1
= a+ a− a+ ψ + hωψ = a+ (a− a+ − a+ a− + a+ a− ) ψ + hωψ
¯ ¯
2 2
1
= a+ [a− , a+ ]ψ + a+ a− + hω ψ = a+ [¯ ωψ + Eψ] = (E + hω)(a+ ψ)
¯ h ¯
2
Ou,
ˆ
H(a+ ψ) = (E + hω)(a+ ψ)
¯ (217)
Analogamente se mostra que
ˆ
H(a− ψ) = (E − hω)(a− ψ)
¯ (218)
Lema 2: A energia do oscilador harmˆnico ´ ≥ 0.
o e
Dem.: Esta demonstra¸˜o depende de um Lema, demonstrado mais adi-
ca
ˆ
ante,15 junto ` Eq.(290). Como H pode ser escrito como a soma de dois
a
operadores hermiteanos ao quadrado,
2 2
p
ˆ m
ˆ
H= √x + ωx
2m 2
ˆ
segue que H ≥ 0. Como os autovalores de um operador s˜o casos par-
a
ticulares de seus valores m´dios (quando os estados s˜o as autofun¸˜es), a
e a co
desigualdade acima pro´ a existˆncia de autovalores negativos do hamilto-
ıbe e
niano.
Em decorrˆncia disso, deve haver um estado ψ0 tal que
e
a− ψ0 = 0 (219)
De fato, se n˜o fosse assim, dada qualquer autofun¸˜o do hamiltoniano do
a ca
oscilador harmˆnico, a aplica¸˜o a ela do operador a− geraria uma outra aut-
o ca
ofun¸˜o , de energia menor, o processo podendo se repetir indefinidamente,
ca
at´ se chegar a energia s negativas, o que ´ proibido.
e e
Explicitamente esta ultima equa¸˜o ´
´ ca e
1 h dψ0
¯
√ − imωxψ0 = 0 (220)
2m i dx
15
O leitor h´ de perdoar esta pequena viola¸˜o da causalidade...
a ca
51](https://image.slidesharecdn.com/mecanicaquantica-obracoletivahfleming-111005113605-phpapp02/75/Mecanica-quantica-obra-coletiva-hfleming-51-2048.jpg)
![Ent˜o, temos:
a
ˆ
dqψ ′∗ (q)O ′φ′ (q) = ˆ
dqψ ∗ (q)Oφ(q)
ˆ ˆ ˆˆ e ca ˆ ca ˆ
onde O ′ ≡ U OU + ´ a transforma¸˜o de O pela a¸˜o do operador linear U .
ˆe ˆ
Diz-se que um operador O ´ invariante por uma transforma¸˜o unit´ria U se
ca a
ˆ ˆˆ ˆ
U OU + = O
ou, equivalentemente, se
ˆˆ ˆˆ
OU = U O (261)
14.1 Exemplos de operadores unit´rios
a
O leitor verificar´ sem dificuldade que o operador ˆ definido por
a 1,
ˆ =ψ
1ψ
´ unit´rio. Para dar exemplos mais ricos, precisaremos definir a exponencial
e a
de um operador.
ˆ
Define-se eO assim:
ˆ 1 ˆˆ 1 ˆˆˆ
1 ˆ
eO = ˆ + O + OO + OO O + ... (262)
2! 3!
ˆ ˆˆ
onde, naturalmente, se pode escrever O 2 em vez de OO, etc. A id´ia ´
e e
usar a expans˜o da fun¸˜o exponencial num´rica como modelo da expans˜o
a ca e a
do operador. Usando-se esta defini¸˜o, pode-se demonstrar a importante
ca
rela¸˜o de Baker-Hausdorff-Campbell:
ca
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ
eA Be−A = B + [A, B] + [A, [A, B]] + [A, [A, [A, B]]] + ... (263)
2! 3!
ca e ˆ
Uma aplica¸˜o imediata ´ esta: para B = 1, temos
ˆ ˆ
eA e−A = 1
ˆ 1] ˆ ˆ
pois [A, ˆ = 0. Logo, e−A ´ o operador inverso de eA .
e
ˆ ˆ ˆ
Considere um operador da forma eiO , com O = O + , ou seja, hermiteano.
Temos ent˜o,
a
ˆ + ˆ+ ˆ
eiO = e−iO = e−iO
Logo,
ˆ ˆ +
eiO eiO =1
61](https://image.slidesharecdn.com/mecanicaquantica-obracoletivahfleming-111005113605-phpapp02/75/Mecanica-quantica-obra-coletiva-hfleming-61-2048.jpg)
![ˆ ˆ
ou seja, eiO ´ unit´rio se O for hermiteano.
e a
Exemplo: os seguintes operadores s˜o unit´rios:
a a
i
U(ǫ) = e h ǫpˆx
¯
i ˆ
U(∆t) = e− h H∆t
¯
Chama-se operadores unit´rios infinitesimais operadores da forma
a
ˆ ˆ
U = 1 + iǫO
ˆ ˆ
com O = O + . Note-se que um operador desse tipo ´ o truncamento da s´rie
e e
ˆ
iǫO
que define o operador unit´rio e
a que mant´m apenas os dois primeiros
e
termos. Ou seja, um operador unit´rio infinitesimal satisfaz a condi¸˜o
a ca
de unitaridade desde que se desprezem termos que contenham potˆncias
e
ˆ
quadr´ticas de ǫ ou maiores. Explicitamente, temos, se U = 1 + iǫO,
a ˆ
ˆ + ˆ
U = 1 − iǫO, e
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
U U + = (1 + iǫO)(1 − iǫO) = 1 + iǫO − iǫO + ǫ2 (...) ≈ 1
ˆ
Seja B um operador invariante por uma transforma¸˜o implementada pelo
ca
i ˆ
operador unit´rio infinitesimal 1 + ¯ ǫO. Ent˜o
a h
a
ˆ iǫ ˆ ˆ iǫ ˆ ˆ iǫ ˆ ˆ iǫ ˆ ˆ ˆ iǫ ˆ ˆ
B = 1 + O B 1 − O = B + OB − B O = B + [O, B]
h
¯ h
¯ h
¯ h
¯ h
¯
ˆ ˆ
Logo, devemos ter [O, B] = 0. Sumarizando:
iǫ ˆ
ˆ ca a ˆ ¯ a ˆ ˆ
Seja B invariante pela transforma¸˜o unit´ria U = e h O . Ent˜o, [B, O] =
0.
ˆ
Define-se simetria de um sistema com hamiltoniano H uma transforma¸˜o ca
iǫ ˆ
a ˆ
unit´ria que deixa o hamiltoniano invariante. Seja U = e h O uma simetria.
¯
ˆ ˆ ˆ
˙
Ent˜o, por defini¸˜o, [H, O] = 0. Ora, isto significa que o operador O = 0, ou,
a ca
em outras palavras,que a quantidade f´ ısica associada ao operador hermiteano
ˆ ´ conservada. Desta forma associamos simetrias a leis de conserva¸˜o : a
Oe ca
cada simetria corresponde uma quantidade conservada. Este resultado, na
f´
ısica cl´ssica, ´ conhecido como o teorema de Noether.
a e
14.2 Exerc´
ıcios
d2
1.(a)Construa o adjunto do operador dx2
− a exp (ix) onde a ´ um n´ mero
e u
real.
(b) Mostre que [p, f (r)] = ¯ ∇f (r).
h
i
62](https://image.slidesharecdn.com/mecanicaquantica-obracoletivahfleming-111005113605-phpapp02/75/Mecanica-quantica-obra-coletiva-hfleming-62-2048.jpg)
![ˆ ˆ ˆ a
2. Os trˆs operadores A, B e C s˜o dados por
e
ˆ
Aψ(x) = x3 ψ(x)
ˆ dψ
Bψ(x) = x
dx
x
ˆ
Cψ(x) = uψ(u)du
−∞
ˆ ˆ ˆ ˆ
(i)Calcule [A, B] e [B, C].
(ii)Resolva o problema de autovalores
ˆ
Cψ(x) = λψ(x)
exigindo que ψ(x) seja normaliz´vel. Que restri¸˜o isto imp˜e sobre λ?
a ca o
3. Determine o operador unit´rio que efetua, sobre a fun¸ao de onda de
a c˜
um sistema, uma transla¸˜o espacial ψ(r) → ψ(r + ǫ), onde ǫ ´ um “vetor
ca e
infinitesimal”. Usando o fato de que uma sucess˜o de transla¸˜es independe
a co
da ordem em que s˜o realizadas, demonstre que os operadores de momento
a
ˆ ˆ
px , py e pz comutam. Aproveite para mostrar que esses operadores s˜o her-
ˆ a
miteanos, sem calcular qualquer integral.
15 Rota¸˜es e o momento angular
co
Uma part´ ıcula de massa m est´ em um estado de fun¸˜o de onda ψ(r).
a ca
Vamos executar uma rota¸˜o infinitesimal δω sobre o sistema.16 Em sua
ca
nova posi¸˜o, a fun¸˜o de onda ser´
ca ca a
ψ(r + δr) = ψ(r) + (δω × r).∇ψ(r) ,
desprezando-se os termos a partir dos quadr´ticos em |δω|. Como
a
(δω × r).∇ = δω.(r × ∇)
podemos escrever
ψ(r + δr) = ψ(r) + δω.(r × ∇).ψ(r)
= 1 + δω.(r × ∇) ψ(r)
i
= 1 + δω.(r × (−i¯ )∇) ψ(r)
h (264)
h
¯
16
Eq¨ ivalentemente, uma rota¸˜o −δω sobre o sistema de eixos em rela¸˜o ao qual o
u ca ca
sistema ´ referido.
e
63](https://image.slidesharecdn.com/mecanicaquantica-obracoletivahfleming-111005113605-phpapp02/75/Mecanica-quantica-obra-coletiva-hfleming-63-2048.jpg)
![Por um c´lculo direto, ou pelo uso da regra de Dirac17 obtˆm-se:
a e
[ˆa , ˆb ] = iǫabc ˆc
l l l (275)
ˆ
Como as componentes l n˜o comutam entre si, n˜o h´ autofun¸˜es comuns
a a a co
dessas componentes. Introduzindo o momento angular total
ˆ ˆ2 ˆ2 ˆ2
l = lx + ly + lz
observamos que
ˆ2
[l , ˆx ] = [ˆx , ˆx ] + [ˆy , ˆx ] + [ˆz , ˆx ]
l l2 l l2 l l2 l
Como
[ˆx , ˆx ] = 0
l2 l (276)
[ˆ2 , ˆx ] = −iˆy ˆz − iˆz ˆy
l l
y l l l l (277)
[ˆz , ˆx ] = iˆz ˆy + iˆy ˆz
l2 l l l l l (278)
segue que
ˆ2
[l , ˆx ] = 0
l
A dire¸˜o x n˜o tendo nenhum privil´gio, segue que:
ca a e
ˆ2 ˆ2
[l , ˆy ] = [l , ˆz ] = 0 ,
l l
ˆ2
Sendo assim, podemos construir autofun¸˜es comuns a l e uma das compo-
co
ˆ
nentes de l. Por causa da express˜o simples de ˆz em coordenadas esf´ricas,
a l e
ˆ2 ˆ
escolhemos o par l ,lz .
17
A regra de Dirac diz: sejam A(pi , qi ) e B(pi , qi ) duas quantidades f´
ısicas da mecˆnica
a
cl´ssica, e seja {A, B} o produto de Poisson (parˆnteses de Poisson) delas. Ent˜o, se A e B
a e a ˆ ˆ
s˜o os operadores hermitianos que representam essas quantidades na mecˆnica quˆntica,
a a a
temos a igualdade simb´lica:
o
ˆ ˆ
[A, B] = −i¯ {A, B}
h
Ou seja, para obter o valor do comutador, calcula-se o produto de Poisson das quantidades
cl´ssicas correspondentes, multiplicando-se o resultado por −i¯ . Exemplo:
a h
ˆ ˆ ˆ
{La , Lb } = −ǫabc Lc . Logo, [La , Lb ] = i¯ ǫabc Lc .
h
66](https://image.slidesharecdn.com/mecanicaquantica-obracoletivahfleming-111005113605-phpapp02/75/Mecanica-quantica-obra-coletiva-hfleming-66-2048.jpg)
![16 Autofun¸˜es do momento angular
co
Por raz˜es t´cnicas ´ conveniente introduzir os operadores n˜o-hermiteanos
o e e a
ˆ+ = lx + iˆy
l l (279)
ˆ− = ˆx − iˆy
l l l (280)
Seus principais comutadores s˜o:
a
ˆ2
[l , ˆ± ] = 0
l (281)
[ˆz , ˆ+ ] = ˆ+
l l l (282)
[ˆz , ˆ− ] = −ˆ−
l l l (283)
todas f´ceis de obter. Note-se ainda que
a
2
ˆ+ ˆ− = ˆ − l2 + ˆz
l l l ˆ l (284)
z
2
ˆ− ˆ+ = ˆ − ˆ2 − ˆz
l l l lz l (285)
16.1 As autofun¸˜es da componente z do momento an-
co
gular
As autofun¸˜es de ˆz s˜o fun¸˜es ψ(φ) tais que
co l a co
ˆz ψ(φ) = lz ψ(φ)
l (286)
onde lz ´ um n´ mero. Omitimos aqui, por simplicidade, as outras vari´veis,
e u a
r e θ, de que a fun¸˜o ψ em geral depende porque s˜o irrelevantes para este
ca a
problema. Como
ˆz = −i ∂
l
∂φ
temos, para a Eq.(286),
∂ψ
−i = lz ψ (287)
∂φ
cuja solu¸˜o ´
ca e
ψ(φ) = Keilz φ .
Devemos ainda ter
ψ(φ + 2nπ) = ψ(φ)
67](https://image.slidesharecdn.com/mecanicaquantica-obracoletivahfleming-111005113605-phpapp02/75/Mecanica-quantica-obra-coletiva-hfleming-67-2048.jpg)
![o que exige que
eilz 2nπ = 1
ou seja, que lz seja um n´ mero inteiro. Vamos denot´-lo por m. Ent˜o,
u a a
ˆz eimφ = meimφ
l (288)
que ´ satisfeita para qualquer m inteiro, −∞ < m < ∞. Normalizando,
e
temos
1
ψm (φ) = √ exp (imφ) (289)
2π
16.2 Autofun¸˜es simultˆneas do momento angular to-
co a
tal e da componente z
Seja ψ(φ) a autofun¸˜o de ˆz de autovalor m. Calculemos
ca l
ˆz ˆ+ ψm
l l = (ˆz ˆ+ − ˆ+ ˆz + ˆ+ ˆz )ψm
l l l l l l
= [ˆz , ˆ+ ]ψm + l+ ˆz ψm
l l ˆl
= ˆ+ ψm + mˆ+ ψm
l l
= (m + 1)(l ˆ+ ψm )
Logo, se ˆz ψm = mψm , ent˜o
l a
ˆ+ ψm = Kψm+1
l
Analogamente se mostra que
ˆ− ψm = K ′ ψm−1
l
Assim, usando os operadores ˆ+ e ˆ− , pode-se varrer todo o espectro do op-
l l
ˆz .
erador l
Considere o operador
ˆ2 ˆ2 ˆ2 ˆ2
l − lz = lx + ly .
ˆ e
Lema:Se O ´ hermiteano,
ˆ
O2 ≥ 0 (290)
para qualquer estado.
Demonstra¸˜o:
ca
∗
ˆ
dqψ ∗ (q)O 2ψ(q) = ˆ
dq Oψ(q) ˆ
Oψ(q) = ˆ
dq|Oψ(q)|2 ≥ 0
68](https://image.slidesharecdn.com/mecanicaquantica-obracoletivahfleming-111005113605-phpapp02/75/Mecanica-quantica-obra-coletiva-hfleming-68-2048.jpg)
![Em particular, segue que ˆx + ˆy ≥ 0, logo,
l2 l2
ˆ2 ˆ2
l − lz ≥ 0 (291)
ˆ2
A constru¸˜o das autofun¸˜es de l ´ facilitada pelo fato de que a express˜o
ca co e a
ˆ2
de l ´ um operador diferencial familiar ` f´
e a ısica cl´ssica. De fato, um c´lculo
a a
direto leva a
ˆ± = exp (±iφ) ± ∂ + i cot θ ∂
l (292)
∂θ ∂φ
e, como
ˆ2 ˆ ˆ
l = l+ l− + ˆ2 − ˆz
l lz
obt´m-se
e
ˆ2 1 ∂2 1 ∂ ∂
l =− 2 2
+ (sin θ ) (293)
sin θ ∂φ sin θ ∂θ ∂θ
Acontece que o laplaceano em coordenadas esf´ricas ´
e e
1 ∂ ∂ 1 ∂2 1 ∂ ∂
∇2 = r2 + 2 + (sin θ ) (294)
r2 ∂r ∂r sin θ ∂φ 2 sin θ ∂θ ∂θ
ou seja,
ˆ2
1 ∂ ∂ l
∇2 = 2 r2 − 2 (295)
r ∂r ∂r r
Os f´
ısicos do s´culo XIX resolveram o problema de determinar as autofun¸˜es
e co
ˆ2 18
de l : essas fun¸˜es s˜o os harmˆnicos esf´ricos, Ylm (θ, φ), que satisfazem
co a o e
as equa¸˜es de autovalores
co
ˆ2
l Ylm (θ, φ) = l(l + 1)Ylm(θ, φ) (296)
ˆz Ylm (θ, φ) = mYlm (θ, φ)
l (297)
Os harmˆnicos esf´ricos s˜o muito bem conhecidos. Para um estudo de-
o e a
les no contexto cl´ssico as minhas referˆncias preferidas s˜o Courant [6] e
a e a
Sommerfeld [9]. Nessas notas, usando t´cnicas que introduziremos a seguir,
e
construiremos explicitamente os Ylm . Para o momento ´ suficiente informar
e
que
Ylm (θ, φ) = K P l m (θ) exp (imφ)
18
Naturalmente eles n˜o sabiam mecˆnica quˆntica, mas estudavam vibra¸˜es de corpos
a a a co
el´sticos.Um dos problemas dessa ´rea, por exemplo, ´ a determina¸˜o das frequˆncias que
a a e ca e
um tambor, de determinada forma, pode emitir. Trata-se de um problema de autovalores
: as freq¨ˆncias emitidas s˜o as autofreq¨ˆncias.
ue a ue
69](https://image.slidesharecdn.com/mecanicaquantica-obracoletivahfleming-111005113605-phpapp02/75/Mecanica-quantica-obra-coletiva-hfleming-69-2048.jpg)
![ou seja, ´ o produto de uma fun¸˜o de θ por uma autofun¸˜o de ˆz .
e ca ca l
ca co ˆz s˜o as fun¸˜es exp (imφ)
Uma observa¸˜o importante: as autofun¸˜es de l a co
ˆ2
para qualquer inteiro m. Quando construirmos as autofun¸˜es comuns a l
co
e ˆz , veremos que m sofrer´ mais restri¸˜es. De fato, como temos
l a co
ˆ2 ˆ2
l − lz ≥ 0
segue que
ˆ2
dqYlm (q) l − ˆz Ylm (q) = l(l + 1) − m2
∗
l2 dqYlm (q)Ylm(q) = l(l + 1) − m2 ≥ 0
∗
(298)
Portanto, dado l, m n˜o pode ser qualquer inteiro. O maior valor permitido
a
´ tal que
e
l(l + 1) ≥ m2
Vˆ-se imediatamente que m = l ´ permitido, mas m = l + 1 ´ proibido. Logo,
e e e
o m´ximo valor permitido de m para as autofun¸˜es Ylm (q) ´ m = l. Um
a co e
argumento an’alogo mostra que o menor ´ m = −l. Resumindo,
e
−l ≤ m ≤ l
Neste intervalo,
ˆ2
l Ylm (θ, φ) = l(l + 1)Ylm (θ, φ) (299)
ˆz Ylm (θ, φ) = mYlm (θ, φ)
l (300)
Assim, para cada l h´ 2l + 1 valores distintos de m.
a
16.2.1 Constru¸˜o dos harmˆnicos esf´ricos
ca o e
Chamaremos de operadores vetoriais operadores do tipo
ˆ ˆ ˆ ˆ
T = Tx i + Ty j + Tz k
e que satisfazem as seguintes rela¸˜es de comuta¸˜o com as componentes do
co ca
momento angular:
[ˆa , Tb ] = iǫabc Tc
l ˆ ˆ (301)
onde a costumeira conven¸˜o indica uma soma sobre os valores do ´
ca ındice c,
ˆ (1) e T (2) dois operadores desse tipo,
e, sendo T ˆ
(1) (2)
[ˆi , Tj Tj ] = 0
l ˆ ˆ (302)
70](https://image.slidesharecdn.com/mecanicaquantica-obracoletivahfleming-111005113605-phpapp02/75/Mecanica-quantica-obra-coletiva-hfleming-70-2048.jpg)
![ˆ ˆ ˆ a
Exemplos: r , p e L s˜o, todos, operadores vetoriais.
Das rela¸˜es acima segue, em particular, que, para qualquer operador
co
ˆ
vetorial T ,
[ˆi , Tj Tj ] = 0
l ˆ ˆ (303)
ˆ
Seja T um operador vetorial. Ser´ util introduzir um “operador escada”,
a´
da seguinte forma:
ˆ ˆ ˆ
T + = Tx + iTy (304)
Facilmente se verifica que
[ˆz , T+ ] = T+
l ˆ ˆ (305)
bem como
[ˆx , T+ ] = −Tz
l ˆ ˆ (306)
[ˆy , T+ ] = −iTz
l ˆ ˆ (307)
ˆ2 ˆ
Vamos agora calcular o comutador [l , T+ ]. Lembrando que
ˆ2 ˆ2 ˆ2 ˆ2
l = lx + ly + lz
e usando as rela¸˜es acima, temos, ap´s um pouco de paciˆncia,
co o e
ˆ2 ˆ
[l , T+ ] = 2[T+ ˆz − Tz ˆ+ ] + 2T+
ˆ l ˆl ˆ (308)
ˆ2
Sejam Ylm as autofun¸˜es de l e, em particular, seja Yll aquela com m´ximo
co a
valor de m, para um dado l. Vamos mostrar que
ˆ
T+ Yll = KYl+1,l+1 (309)
onde K ´ uma constante.
e
De fato,
ˆ2
l Yll = l(l + 1)Yll (310)
2
ˆ ˆ ˆ
T+ (l Yll ) = l(l + 1)T+ Yll (311)
2
ˆ ˆ
Ora, o operador T+ l pode ser escrito assim:
2 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ˆ ˆ ˆ
2
ˆ2 ˆ
T+ l = T+ l − l T+ + l T+ = [T+ , l ] + l T+ (312)
Logo,a Eq.(311) pode ser escrita
2
ˆ ˆ ˆ2 ˆ
[T+ , l ]Yll + l (T+ Yll ) = l(l + 1)Yll (313)
71](https://image.slidesharecdn.com/mecanicaquantica-obracoletivahfleming-111005113605-phpapp02/75/Mecanica-quantica-obra-coletiva-hfleming-71-2048.jpg)
![16.3 Exerc´
ıcios
1. Prove que [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B
i
2. Prove que, se [H, li ] = 0 ent˜o [H, exp ¯ θ¯ li ] = 0, com li i = 1, 2, 3 sendo
a h
h
as componentes do operador de momento angular. De fato, o resultado vale
para qualquer operador que comute com o hamiltoniano H, e, portanto, para
o pr´prio H. Enuncie e comente este ultimo caso. Mais precisamente, mostre
o ´
que ´ sempre verdade que [H,
e ˆ exp − i Ht] = 0.
ˆ
h
¯
3. Mostre que o operador ˆ + ¯ ∆θ¯ ˆi “roda” o sistema de um ˆngulo in-
1 h hli
a
finitesimal ∆θ em torno do eixo i. A generaliza¸˜o para ˆngulos θ arbitr´rios
ca a a
´ exp ¯ θ¯ ˆi . Seja U(θ) = exp ¯ θ¯ ˆi . Vimos no exerc´
e h
i
hl i
h
hl ıcio anterior que, se
[H, li ] = 0, ent˜o [H, U(θ)] = 0. Seja ψ tal que Hψ = Eψ,e considere
a
ψ ′ = U(θ)ψ. Mostre que Hψ ′ = Eψ ′ , com o mesmo E anterior. Chegue a
uma conclus˜o an´loga usando o ultimo resultado do exerc´ 2.
a a ´ ıcio
4. Mostre que se a energia potencial de um sistema ´ V (r), independente de
e
θ e φ, ent˜o [H, li ] = 0, para i = 1, 2, 3.
a
5. Mostramos no curso que
1
m|lx | m − 1 = m − 1|lx |m = (l + m)(l − m + 1)
2
i
m|ly |m − 1 = − m − 1|ly |m = − (l + m)(l − m + 1)
2
que, trocado em mi´ dos, quer dizer que
u
2π π
∗ 1
dφ dθ sin θYlm lx Yl,m−1(θ, φ) =
(l + m)(l − m + 1)
0 0 2
(a) Escreva os demais elementos de matriz dessa forma.
(b)Considere o harmˆnico esf´rico Ylm (θ, φ = π/2). Temos
o e
i
exp ∆θ¯ lx Ylm (θ, π/2) = Ylm (θ + ∆θ, π/2)
h
h
¯
i
Por outro lado, exp h
¯
∆θ¯ lx
h = 1 + iδθlx e, usando os elementos de matriz
acima,
∆θ
(1 + i∆θlx )Ylm (θ, π/2) = Ylm (θ, π/2) + i (l + m + 1)(l − m)Yl,m+1 (θ, π/2)
2
∆θ
+ i (l + m)(l − m + 1)Yl,m−1 (θ, π/2)
2
Logo,
∆θ
Ylm (θ + ∆θ, π/2) = Ylm (θ, π/2) + i (l + m + 1)(l − m)Yl,m+1(θ, π/2)
2
∆θ
+ i (l + m)(l − m + 1)Yl,m−1 (θ, π/2)
2
74](https://image.slidesharecdn.com/mecanicaquantica-obracoletivahfleming-111005113605-phpapp02/75/Mecanica-quantica-obra-coletiva-hfleming-74-2048.jpg)
![18.2 As solu¸˜es da equa¸˜o radial
co ca
Vamos ent˜o procurar solu¸˜es da Eq.(340) da forma
a co
ρ
u(ρ) = F (ρ) exp − , (349)
2
F (ρ) sendo um polinˆmio em ρ. A raz˜o de ser um polinˆmio ´ que o com-
o a o e
portamento assint´tico de (349) deve ainda ser dado pelo termo exponencial,
o
o que ´ garantido se F (ρ) for um polinˆmio. Uma an´lise mais fina mostraria
e o a
que, se se admitisse que F (ρ) fosse uma s´rie infinita, sua soma seria essen-
e
cialmente uma exponencial em ρ, alterando o comportamento assint´tico.20
o
Seja F (ρ) uma express˜o da forma
a
∞
F (ρ) = Ak ρk , (350)
k=1
onde a potˆncia mais baixa ´ a primeira para assegurar que
e e
F (0) = 0 .
Derivando termo a termo, temos
∞
dF
= kAk ρk−1
dρ k=1
2 ∞
dF
= k(k − 1)Ak ρk−2
dρ2 k=1
Inserindo estas express˜es na Eq.(350), temos
o
∞
λ l(l + 1)
k(k − 1)Ak ρk−2 − kAk ρk−1 + − Ak ρk =0 (351)
k=1 ρ ρ2
O coeficiente da potˆncia k de ρ ´ dado por
e e
(k + 2)(k + 1)Ak+2 − (k + 1)Ak+1 + λAk+1 − l(l + 1)Ak+2 = 0 (352)
para que a equa¸˜o diferencial seja satisfeita termo a termo. Diminuindo o
ca
valorde k de uma unidade, temos uma rela¸˜o mais conveniente:
ca
Ak+1 [(k + 1)k − l(l + 1)] = (k − λ)Ak (353)
20
Ver, por exemplo, Dicke, Wittke,Introduction to Quantum Mechanics, p´gina 161.
a
79](https://image.slidesharecdn.com/mecanicaquantica-obracoletivahfleming-111005113605-phpapp02/75/Mecanica-quantica-obra-coletiva-hfleming-79-2048.jpg)
![ou, equivalentemente,
Ak+1 k−λ
= para k ≥ 2 (354)
Ak (k + 1)k − l(l + 1)
Para os ´
ındices mais baixos temos as equa¸˜es
co
A1 l(l + 1) = 0 (355)
[2 − l(l + 1)] A2 + (λ − 1)A1 = 0 (356)
A equa¸˜o (354) ´ muito importante. Dela vemos que, para que a s´rie se
ca e e
interrompa em algum ponto, tornando-se um polinˆmio, devemos ter que
o
λ = k. Ora, os k s˜o inteiros, logo, a condi¸˜o para que a s´rie se interrompa
a ca e
´ que exista um inteiro n tal que
e
λ=n (357)
Como
m Ze2
λ= =n
2|E| h
¯
temos
Z 2 e4 m 1
|E| = (358)
2¯ 2 n2
h
ou, eq¨ ivalentemente,
u
Z 2 e4 m 1
En = − , (359)
2¯ 2 n2
h
que ´ a f´rmula de Bohr! Voltando ao c´lculo das autofun¸˜es, al´m da
e o a co e
condi¸˜o λ = n, devemos ter que λ = l, de outra forma, na equa¸˜o (354), o
ca ca
denominador se anularia ao mesmo tempo que o numerador, n˜o garantindo
a
o anulamento do coeficiente Ak+1 . Portanto devemos ter l = n.
Vamos construir as primeiras solu¸˜es. Tomemos λ = n = 1 A este valor
co
corresponde a energia
Z 2 e4 m
E=−
2¯ 2
h
que ´ a energia do estado fundamental do ´tomo de hidrogˆnio (o de energia
e a e
mais baixa). Para este valor de λ podemos ter l = 0, mas n˜o l = 1. Ent˜o,
a a
das equa¸˜es
co
A1 l(l + 1) = 0
[2 − l(l + 1)] A2 = (λ − 1)A1
80](https://image.slidesharecdn.com/mecanicaquantica-obracoletivahfleming-111005113605-phpapp02/75/Mecanica-quantica-obra-coletiva-hfleming-80-2048.jpg)
![18.4 Exerc´
ıcios
1. Os estados estacion´rios do ´tomo de Hidrogˆnio s˜o denotados por
a a e a
ψnlm (r, θ, φ). A seguinte superposi¸˜o:
ca
ψ(r, θ, φ) = a1 ψn1 l1 m1 (r, θ, φ) + a2 ψn2 l2 ,m2 (r, θ, φ)
com n1 = n2 , l1 = l2 , m1 = m2 , ´ um estado do Hidrogˆnio, que n˜o ´ um
e e a e
2
ˆ
estado estacion´rio, e n˜o ´ autofun¸˜o nem de l nem de ˆz . Dentro deste
a a e ca l
estilo, construa
2
e ca ˆ ˆ
(a) Um estado do Hidrogˆnio que seja autofun¸˜o simultanea de H e l , mas
n˜o de ˆz .
a l
(b) Um estado do Hidrogˆnio que seja autofun¸˜o simultˆnea de H e ˆz , mas
e ca a ˆ l
2
ˆ
n˜o de l .
a
2. Uma part´ ıcula livre executa movimento unidimensional ao longo do eixo
x, e sua fun¸˜o de onda em t = 0 ´
ca e
2
Ψ(x, 0) = Ae−ax eilx
onde l ´ uma constante real. Determine Ψ(x, t).
e
3.(a) Um sistema f´
ısico ´ descrito por um hamiltoniano
e
ˆ p2 ˆ
H= + O2
2m
onde O ´ hermiteano. Mostre que ˆ ´ hermiteano, e que se um operador ´
ˆ e pe e
hermiteano, seu quadrado tamb´m ´. Finalmente, mostre que os autovalores
e e
da energia do sistema s˜o positivos ou nulos.
a
´
(b) E poss´ ıvel um operador ser ao mesmo tempo unit´rio e hermiteano?
a
Exemplo!
ˆˆ ˆ ˆ
(c) Demonstre que (AB)+ = B + A+ .
(d) Demonstre que, se A ˆ e B s˜o hermiteanos, 1 [A, B] tamb´m ´.
ˆ a ˆ ˆ e e
i
ˆ ˆ d ˆ ˆ
(e) Sejam dt e dt nulos. Mostre que dt [O, B] = ˆ onde ˆ o operador “zero”,
dO dB
0, 0,
´ tal que, qualquer que seja a fun¸˜o de onda ψ(r),
e ca
ˆ =0
0ψ
Sugest˜o: identidade de Jacobi.
a
86](https://image.slidesharecdn.com/mecanicaquantica-obracoletivahfleming-111005113605-phpapp02/75/Mecanica-quantica-obra-coletiva-hfleming-86-2048.jpg)
![4.(a) Determine r e r 2 para o el´tron no estado fundamental do ´tomo de
e a
hidrogˆnio. Expresse suas respostas em termos do raio de Bohr a0 . Deter-
e
mine tamb´m a0 , que ´ o raio da “´rbita de Bohr” do estado de mais baixa
e e o
energia , no modelo de Bohr.
(b)Determine x e x2 no estado fundamental sem calcular mais integrais,
usando o resultado anterior e as simetrias do estado fundamental.
(c) Determine x2 no estado (n, l, m) = (2, 1, 1). Note que este estado n˜o
a
´ sim´trico em x, y, z.
e e
5. Qual ´ a probabilidade P de que um el´tron no estado fundamental do
e e
´tomo de hidrogˆnio seja encontrado dentro do n´cleo?
a e u
(a)Primeiro calcule a resposta exata. Denote o raio do n´ cleo por b.
u
(b) Expanda o seu resultado como uma s´rie de potˆncias no n´ mero pequeno
e e u
2b
ǫ = a0 , e mostre que o termo de ordem mais baixa ´ c´ bico: P ≈ (4/3)(b/a0 )3 .
e u
Este termo deveria j´ ser uma boa aproxima¸˜o, pois b ≪ a0 .
a ca
(c) Alternativamente, poder´ ıamos pensar que a fun¸˜o de onda do el´tron ´
ca e e
essencialmente constante sobre o pequeno volume do n´ cleo, de modo que
u
3 2
P ≈ (4/3)πb |ψ(0)| . Verifique que o resultado ´ efetivamente bom.
e
(d) Use b ≈ 10−13 cm e a0 ≈ 0.5 × 10−8 cm para uma estimativa num´rica e
de P . Grosso modo, isto representa a fra¸˜o do tempo em que o el´tron se
ca e
encontra dentro do n´ cleo.
u
6. Estime, a partir do princ´ ıpio de incerteza, quanto tempo um l´pis pode
a
ficar em equil´
ıbrio vertical sobre a sua ponta.
7. Uma bola perfeitamente el´stica, localizada entre duas paredes parale-
a
las, move-se perpendicularmente a elas, sendo refletida de uma para outra.
Perfeitamente el´stica quer dizer que a energia cin´tica n˜o se altera.. Us-
a e a
ando a mecˆnica cl´ssica, calcule a varia¸˜o da energia da bola se as paredes
a a ca
passam a se aproximar, lenta e uniformemente, uma da outra. Mostre que
esta varia¸˜o de energia ´ exatamente o que se obt´m na mecˆnica quˆntica
ca e e a a
se o n´ mero quˆntico principal n da bola permanece constante.
u a
19 A nota¸˜o de Dirac
ca
Neste nosso tratamento elementar de mecˆnica quˆntica, consideraremos o
a a
simbolismo introduzido por Dirac, que tem um significado matem´tico n˜o-
a a
trivial, como uma nota¸˜o. Para fazer total justi¸a ao m´todo, o leitor faria
ca c e
bem em consultar a obra original de Dirac [1] . Para uma apresenta¸˜o mais
ca
adaptada ` linguagem matem´tica contemporˆnea, veja [2].
a a a
87](https://image.slidesharecdn.com/mecanicaquantica-obracoletivahfleming-111005113605-phpapp02/75/Mecanica-quantica-obra-coletiva-hfleming-87-2048.jpg)
![20 O Spin
Para introduzir o spin vamos apresentar um tratamento mais geral do mo-
mento angular. No tratamento anterior, t´ ınhamos obtido que os autovalores
m de l ˆz deviam ser n´ meros inteiros, sob o argumento de que as autofun¸˜es
u co
ˆz ,
de l
1
ψm (φ) = √ eimφ
2π
deviam ser peri´dicas, de per´
o ıodo 2π, na vari´vel φ. Este argumento n˜o ´
a a e
rigoroso, pois a fun¸˜o de onda ´ determinada a menos de uma fase. Re-
ca e
tomaremos o problema agora. Descobriremos que h´ novas possibilidades
a
para os valores de m e l.
Para comodidade do leitor, repetiremos aqui alguns dos resultados que
obtivemos anteriormente para o momento angular.
2
ˆ+ ˆ− = ˆ − ˆ2 + ˆz
l l l lz l (384)
2
ˆ− ˆ+ = ˆ − ˆ2 − ˆz
l l l lz l (385)
ˆ2
Da rela¸˜o l − ˆz = ˆx + ˆy conclu´
ca l2 l2 l2 ımos que existe um valor m´ximo para
a
ˆ2
o autovalor de ˆz . Seja l este valor m´ximo, e ψl a autofun¸˜o comum a l e
l a ca
ˆz correspondente. Temos
l
ˆ+ ψl = 0
l
Logo,
ˆ− ˆ+ ψl = 0
l l
Usando (385),
ˆ2 ˆ2 ˆ
l − lz − lz ψl = 0
ou
ˆ2
l ψl = l(l + 1)ψl
ˆ2
Conclui-se que o autovalor de l para a autofun¸˜o ψl ´ l(l + 1), onde l ´ o
ca e e
m´ximo valor poss´ para m. Pasaremos a denotar por ψlm as autofun¸˜es
a ıvel co
ˆ2 ˆ
comuns a l e lz . Vamos determinar agora o menor valor poss´ para m.
ıvel
ˆ2 ˆ
Em primeiro lugar, do fato de que [l , l− ] = 0, segue que
ˆ2 ˆ ˆ2
l l− ψlm = ˆ− l ψlm = l(l + 1) ˆ− ψlm
l l
91](https://image.slidesharecdn.com/mecanicaquantica-obracoletivahfleming-111005113605-phpapp02/75/Mecanica-quantica-obra-coletiva-hfleming-91-2048.jpg)
![onde usamos T r(λA) = λT r(A), para qualquer n´ mero λ e qualquer matriz A, temos, levando em conta a P1,
u
T r(A) = λ0 T r(1) = 2λ0 (428)
ou
1
λ0 = T r(A) (429)
2
Para calcular λx procedemos assim: multiplicamos (426) termo a termo, a esquerda, por σx , obtendo:
`
σx A = λ0 σx + λx 1 + λy σx σy + λz σx σz (430)
Ora, os produtos σi σj com i = j, s˜o matrizes de tra¸o nulo. Logo, tomando, termo a termo, o tra¸o de (430), temos
a c c
T r(σx A) = λx T r(1) = 2λx (431)
Ou,
1
λx = T r(σx A) (432)
2
e, procedendo analogamente,
1
λi = T rσi A) (433)
2
Demonstra-se facilmente, usando este m´odo, que 1 e as trˆs matrizes de Pauli s˜o linearmente independentes. Al´m
t e a e
disso, o espa¸o vetorial das matrizes 2x2 complexas tem dimens˜o 4. Logo, o conjunto considerado ´ uma base, e portanto
c a e
os coeficientes calculados acima s˜o unicos.
a ´
20.3 Intera¸˜o Eletromagn´tica: Formalismo Hamilto-
ca e
niano
O problema que estudaremos aqui ´ o seguinte: uma part´
e ıcula de massa m
e carga q est´ sob a¸˜o de um campo eletromagn´tico descrito por E e B.
a ca e
Determinar o Hamiltoniano da part´ ıcula.
N˜o fosse pelo campo eletromagn´tico, o Hamiltoniano seria o de uma
a e
part´
ıcula livre,
p2
H= .
2m
A for¸a que age sobre uma part´
c ıcula de carga q, devida aos campos el´trico
e
e magn´tico, ´ (for¸a de Lorentz):
e e c
v
F = q(E + × B)
c
Em termos dos potenciais, temos,
1 ∂A
E = −∇φ −
c ∂t
B = rotA
Logo,
1 ∂A
F = q{−∇φ − [ − v × rot A]}
c ∂t
98](https://image.slidesharecdn.com/mecanicaquantica-obracoletivahfleming-111005113605-phpapp02/75/Mecanica-quantica-obra-coletiva-hfleming-98-2048.jpg)
![Como ´ bem sabido,22
e
dA ∂A
= + (v.∇)A .
dt ∂t
Como v × rot A = ∇(v.A) − (v.∇)A, temos
1 dA
F = q{−∇φ − [ − (v.∇)A − ∇(v.A) + (v.∇)A]}
c dt
1 dA
= q{−∇φ − [ − ∇(v.A)]} (434)
c dt
ou seja,
1 1 dA
F = q[−∇(φ − v.A) − ]. (435)
c c dt
Seja U = q(φ − 1 v.A). Vamos mostrar que a lagrangeana
c
q
L = T − U = T − qφ + v.A (436)
c
descreve o movimento de uma part´ ıcula sob a a¸˜o da for¸a F . Aqui, como
ca c
de costume, T representa a energia cin´tica. De fato,
e
∂L ∂φ ∂ q
= −q + ( v.A)
∂x ∂x ∂x c
∂L ∂L ∂T q
≡ = + Ax
∂x˙ ∂vx ∂vx c
d ∂L d ∂T q dAx
= ( )+
dt ∂vx dt ∂vx c dt
∂L d ∂L
Logo, a equa¸˜o de Lagrange,
ca ∂x
− dt ∂vx
= 0, d´
a
∂φ ∂ q d ∂T q dAx
−q + ( v.A) = ( )+
∂x ∂x c dt ∂vx c dt
22
No caso improv´vel de isto n˜o ser bem sabido por um aluno do CCM, a´ vai:
a a ı
dA ∂ A ∂ A dx
= + + ...
dt ∂t ∂x dt
ou seja,
dA ∂A ∂
= + (vx + . . .)A
dt ∂t ∂x
etc.
99](https://image.slidesharecdn.com/mecanicaquantica-obracoletivahfleming-111005113605-phpapp02/75/Mecanica-quantica-obra-coletiva-hfleming-99-2048.jpg)
![Entre os f´ ˆ ˆ
ısicos, ∆O ´ denominada incerteza de O no estado ψ. Sejam A e
e
ˆ
B operadores hermiteanos, e
ˆ
ψA = (A − ˆ
A )ψ (461)
ˆ
ψB = (B − ˆ
B )ψ (462)
dois estados.
´
E imediato verificar que
(∆A)2 = (ψA , ψA ) (463)
(∆B)2 = (ψB , ψB ) (464)
Pela desigualdade de Cauchy-Schwartz, temos
2 2
ψA ψB ≥ |(ψA , ψB )|2 (465)
Por outro lado, para qualquer complexo z, temos
2
1
|z|2 = (ℑ(z))2 + (ℜ(z))2 ≥ (ℑ(z))2 = (z − z ∗ )
2i
Logo,
2
1
|(ψA , ψB )|2 ≥ [(ψA , ψB ) − (ψB , ψA )]
2i
Ora,
ˆ ˆ ˆ ˆ
(ψA , ψB ) = (A − A )ψ, (B − B )ψ
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
= (ψ, ABψ) − B (ψ, Aψ) − A(ψ, Bψ) + A B
Segue imediatamente que
ˆ ˆ
(ψA , ψB ) − (ψB , ψA ) = ψ, [A, B]ψ (466)
e, da Eq.(465), que
2
2 2 1 ˆ ˆ
ψA ψB ≥ [A, B] (467)
2i
ou, em nota¸˜o mais familiar,
ca
2
1 ˆ ˆ
(∆A)2 (∆B)2 ≥ [A, B] (468)
2i
que s˜o as rela¸˜es de incerteza de Heisenberg.
a co
ˆ ˆ ˆ ˆ
Exemplo: seja A = px , e B = x. Ent˜o,
a
2
1
(∆px )2 (∆x)2 ≥ −i¯
h
2i
105](https://image.slidesharecdn.com/mecanicaquantica-obracoletivahfleming-111005113605-phpapp02/75/Mecanica-quantica-obra-coletiva-hfleming-105-2048.jpg)
![Na pr´tica, por´m, a medida da freq¨ˆncia da onda eiω0 t ´ feita observando-
a e ue e
se essa onda durante um intervalo de tempo finito, por exemplo, do instante
−∆t
2
at´ o instante ∆t . Mas ent˜o a onda que realmente observamos ´
e 2
a e
indistingu´ da seguinte onda u:
ıvel
∆t
u = 0 : t<−
2
∆t ∆t
= e−iω0 t : t ∈ [− , ]
2 2
∆t
= 0 : t> . (472)
2
A transformada de Fourier da onda (472) ´:
e
∆t
2
f ′ (ω) = −∆t
ei(ω−ω0 )t dt (473)
2
ou seja,
1 ∆t ∆t
f ′ (ω) = (ei(ω−ω0 ) 2 − e−i(ω−ω0 ) 2 ) (474)
i(ω − ω0 )
ou
2 ∆t
f ′ (ω) = sin[(ω − ω0 ) ]
ω − ω0 2
e, ainda,
sin[(ω − ω0 ) ∆t ]
f ′ (ω) = ∆t 2
(475)
(ω − ω0 ) ∆t
2
Esta fun¸˜o tem um gr´fico que apresenta um pico pronunciado para ω = ω0 ,
ca a
onde tem o valor 1, e corta o eixo ω, ou seja, atinge o valor zero, pela primeira
vez num ponto P tal que, nele, (ω − ω0 ) ∆t = π, ou seja,
2
2π
ω − ω0 = . (476)
∆t
Este valor de ω − ω0 pode ser definido como a metade da “largura” de f ′ (ω).
Logo, esta largura ´
e
4π
∆ω = , (477)
∆t
onde ∆t ´ a dura¸˜o do processo de medida de ω. ∆ω representa a incerteza
e ca
na freq¨ˆncia, ou seja, informa que as freq¨ˆncias presentes na onda u est˜o
ue ue a
∆ω ∆ω
entre ω0 − 2 e ω0 + 2 . Temos, ent˜o,a
∆ω∆t = 4π (478)
108](https://image.slidesharecdn.com/mecanicaquantica-obracoletivahfleming-111005113605-phpapp02/75/Mecanica-quantica-obra-coletiva-hfleming-108-2048.jpg)
![campo externo ao ´tomo, pode acontecer de esses estados interagirem de
a
maneira diferente com o campo, e ent˜o a degenerescˆncia ´ quebrada: em
a e e
lugar de um n´ passaremos a ter v´rios, possivelmente at´ 2n2 , se o campo
ıvel a e
externo for suficientemente complicado. Diz-se, ent˜o, que a degenerescˆncia
a e
foi removida.
N˜o podemos aplicar cegamente os resultados obtidos at´ aqui pelo seguinte
a e
motivo: a corre¸˜o de primeira ordem ` fun¸˜o de onda n˜o-perturbada que
ca a ca a
obtivemos,
(0) Vmn
ψn = ψn − (0)
ψ (0)
(0) m
(529)
m=n Em − En
(0) (0)
cont´m, no caso de n´
e ıveis degenerados, situa¸˜es em que Em = En , para
co
n = m, ou seja, na f´rmula acima, apareceriam denominadores nulos.
o
23.1 Reobtendo as f´rmulas gerais
o
Para obter as corre¸˜es correspondentes para n´
co ıveis degenerados, precisamos
de uma adapta¸˜o do m´todo anterior a esta nova situa¸˜o. Para evitar um
ca e ca
excesso de ´ındices, vamos reobter as f´rmulas b´sicas sob forma ligeiramente
o a
diferente.
ˆ
Seja H o hamiltoniano perturbado, e vamos escrevˆ-lo em uma s´rie de
e e
potˆncias de um parˆmetro pequeno, λ, desta forma[10]:
e a
ˆ ˆ ˆ ˆ
H = H (0) + λH (1) + λ2 H (2) + . . . (530)
Note-se que, no nosso tratamento anterior, o termo H (1) era denotado por V , e os demais, H (2) , H (3) , etc, eram omitidos.
ˆ ˆ ˆ ˆ
ıdos mais por raz˜es est´ticas do que por real utilidade. E claro que o H (0) daqui ´ o H0 do tratamento
Aqui s˜o inclu´
a o e ´ ˆ e ˆ
anterior.
Seja φ a fun¸˜o de onda perturbada, que queremos calcular. Ser´ escrita
ca a
tamb´m como uma s´rie de potˆncias em λ:
e e e
φ = φ(0) + λφ(1) + λ2 φ(2) + . . . (531)
e tamb´m para a energia se escrever´
e a
E = E (0) + λE (1) + λ2 E (2) + . . . (532)
A equa¸˜o de Schr¨dinger para as quantidades perturbadas ´
ca o e
ˆ
(H − E)φ = 0 (533)
que, pelo uso das expans˜es acima, se escreve
o
ˆ
λn H (n) − E (n) λm φ(m) = 0 (534)
n m
116](https://image.slidesharecdn.com/mecanicaquantica-obracoletivahfleming-111005113605-phpapp02/75/Mecanica-quantica-obra-coletiva-hfleming-116-2048.jpg)
![que prende a part´
ıcula ` parede em x = 0, em primeira ordem de perturba¸˜o.
a ca
Solu¸˜o: os n´
ca ıveis de energia n˜o-perturbados s˜o:
a a
h2 2
¯
En = k
2m n
com
nπ
kn =
a
sendo a fun¸˜o de onda correspondente
ca
2 nπ
ψn (x) = sin x
a a
A perturba¸˜o ´ dada por
ca e
1
V (x) = mω 2 x2
2
e a separa¸˜o de n´
ca ıveis ´
e
h2 π 2 2
¯ h2 π 2
¯
En − En−1 = 2
n − (n − 1)2 = [2n − 1]
2ma 2ma2
A condi¸˜o de validade da teoria da perturba¸˜o, mencionada acima, ´
ca ca e
(mostre!)
h2 π 2 (2n − 1)
¯
ω2 ≪
m2 a4
Note-se que a condi¸˜o depende do n´
ca ıvel. Uma perturba¸ao pequena para os
c˜
n´
ıveis baixos pode n˜o o ser para n´
a ıveis altos.
A corre¸˜o ` energia ´
ca a e
2 a nπ 1 mω 2 a nπ
E= sin2 x mω 2 x2 = dx sin2 x
a 0 a 2 a 0 a
Para n inteiro a integral
a nπx a3
dxx2 sin2 = 2n3 π 3 − 3nπ
0 a 12n3 π 3
Obt´m-se assim, para a corre¸˜o,
e ca
(1) mω 2 a2 1 1
E = − 2 2
2 3 2n π
125](https://image.slidesharecdn.com/mecanicaquantica-obracoletivahfleming-111005113605-phpapp02/75/Mecanica-quantica-obra-coletiva-hfleming-125-2048.jpg)
![Em conseq¨ˆncia, as seguintes integrais s˜o nulas:
ue a
∗
dqψnlm zψnlm = dqz|ψnlm |2 = 0
pois |ψnlm |2 ´ par e z ´ ´
e e ımpar, ou seja, o integrando ´ ´
e ımpar, sendo o intervalo
de integra¸˜op sim´trico, pois ´ o espa¸o todo. Logo, na equa¸˜o secular, os
ca e e c ca
elementos de matriz diagonais s˜o todos nulos.
a
Na realidade, o mesmo fenˆmeno acontece com os elementos de matriz de
o
z entre estados de mesmo l, por exemplo:
210|V |211 = 0
A matriz se simplifica para
−E 0 0 11|V |00
0 −E 0 10|V |00
det =0
0 0 −E 1 − 1|V |00
00|V |11 00|V |10 00|V |1 − 1 −E
Esta equa¸˜o d´
ca a
E 4 − E 2 |V11,00 |2 + |V00,10 |2 + |V00,1 −1 |2 = 0
que tem como solu¸˜es E = 0, E = 0 e
co
E = ± |V11,00 |2 + |V00,10 |2 + |V00,1 −1 |2
Finalmente, notando que [V, lz ] = 0, ´ f´cil provar (veja a prova abaixo) que
e a
os elementos de matriz de V entre estados de valores distintos de m s˜o nulos.
a
Em conseq¨ˆncia,
ue
E = ±|V00,10 |
Usando as fun¸˜es de onda
co
1 r −r
ψ200 = √ 2− e 2a
32πa3 a
1 r −r
ψ210 = √ e 2a cos θ
32πa3a
mostre que os demais valores de E s˜o:
a
E = ±3eF a
A conclus˜o ´ que o n´ n = 2 divide-se em trˆs n´
a e ıvel e ıveis: um, com a mesma
energia anterior, que ´ ainda degenerado (de ordem 2), outro com energia
e
127](https://image.slidesharecdn.com/mecanicaquantica-obracoletivahfleming-111005113605-phpapp02/75/Mecanica-quantica-obra-coletiva-hfleming-127-2048.jpg)
![igual ` energia de Bohr adicionada de 3eF a, e um terceiro, com a energia de
a
Bohr subtra´ de 3eF a.
ıda
Prova 1:
Para maior clareza, vamos denotar os harmˆnicos esf´ricos assim:
o e
r
Ylm (θ, φ) ≡ Ylm ( ) ,
r
onde r ´ o vetor unit´rio na dire¸˜o determinada pelos ˆngulos θ e φ. Ent˜o, o que
r e a ca a a
queremos provar ´ que
e
r r
Ylm ( ) = (−1)l Ylm (− )
r r
Para o caso em que l = m, temos
l
x + iy
Yll (θ, φ) = K
r
e, como (−x + i(−y))l = (−1)l (x + iy), segue que
r r
Yll ( ) = (−1)l Yll (− )
r r
Para completar a prova, lembre-se de que
l−m
Ylm = K (l− ) Yll
Mas
l− = lx − ily
e todas as componentes li s˜o invariantes pela invers˜o temporal (por exemplo, lx =
a a
∂ ∂
−i y ∂z − z ∂y n˜o se altera se os sinais de y e z s˜o invertidos). Logo,
a a
r l−m r l−m r r
Ylm (− ) = K (l− ) Yll (− ) = (−1)l K (l− ) Yll ( ) = (−1)l Ylm ( )
r r r r
Prova 2: [lz , z] = 0, logo, [V, lz ] = 0. Considere o elemento de matriz l, m|[V, lz ]l′ , m′ ,
que ´ obviamente zero, j´ que o comutador ´ zero. Ent˜o,
e a e a
0 = l, m|[V, lz ]|l′ , m′ =
= l, m|V |l′′ , m′′ l′′ , m′′ |lz |l′ , m′ − l, m|lz |l′′ , m′′ l′′ , m′′ |V |l′ , m′
l′′ ,m′′ l′′ ,m′′
= m′ l, m|V |l′ , m′ − m l, m|V |l′ , m′ = 0
Logo,
(m′ − m) l, m|V |l′ , m′ = 0
Daqui se vˆ que, se m = m′ , l, m|V |l′ , m′ = 0, como se queria demonstrar.
e
Sem usar a nota¸˜o de Dirac, a prova seria assim:
ca
0 = dqYl∗,m′ [V, lz ]Ylm
′
128](https://image.slidesharecdn.com/mecanicaquantica-obracoletivahfleming-111005113605-phpapp02/75/Mecanica-quantica-obra-coletiva-hfleming-128-2048.jpg)
![ˆ
o hamiltoniano perturbado, escrito como a soma de um hamiltoniano H0 , n˜o- a
perturbado, sobre o qual sabemos tudo, e de uma perturba¸˜o V ca ˆ (t), onde
a perturba¸˜o, agora, depende do tempo. Esta ´ uma dependˆncia expl´
ca e e ıcita
no tempo. Vamos explicar por meio de um exemplo: suponha dois el´trons, e
interagindo sob a a¸˜o de seus campos el´tricos. A repuls˜o eletrost´tica
ca e a a
far´ com que, ` medida que o tempo passa, eles estejam cada vez mais longe
a a
um do outro. Portanto, do ponto-de-vista de cada um dos el´trons, o campo
e
do outro varia com o tempo. N˜o se trata desta dependˆncia no tempo,
a e
conseq¨ˆncia do movimento, o que estamos estudando aqui. Trata-se de uma
ue
dependˆncia no tempo adicional a esta, e que aconteceria, por exemplo, se a
e
carga de um dos el´trons fosse aumentando com o tempo. Se os dois el´trons
e e
estivessem no interior de um capacitor cujo campo el´trico fosse alter´vel
e a
por meio de um reostato, ter´ ıamos um campo com dependˆncia expl´
e ıcita no
tempo. Uma onda de luz que incide sobre um el´tron, j´ citada acima, ´
e a e
outro exemplo de perturba¸˜o com dependˆncia expl´
ca e ıcita no tempo. Neste
caso, n˜o h´ conserva¸˜o da energia 27 e o hamiltoniano perturbado n˜o ter´,
a a ca a a
em geral, estados estacion´rios. Sup˜e-se, por´m, que o hamiltoniano H
a o e ˆ 0 os
tenha, e o objetivo ´ calcular as fun¸˜es de onda do sistema perturbado como
e co
corre¸˜es aos estados estacion´rios do sistema n˜o-perturbado.
co a a
Sejam
(0) i
ψk (r, t) = uk (r)e− h Ek t
¯ (596)
as fun¸˜es de onda dos estados estacion´rios do sistema n˜o-perturbado.
co a a
Ent˜o uma solu¸˜o arbitr´ria da equa¸˜o de Schr¨dinger para o sistema n˜o-
a ca a ca o a
perturbado pode ser escrita na forma
(0)
ψ= ak ψk (597)
k
27
De fato, a f´rmula
o
˙
ˆ i ˆ ˆ
O = [H, O] ,
h
¯
precisa, quando h´ dependˆncia expl´
a e ˆ
ıcita no tempo no operador O, ser modificada, dando
˙ ˆ
∂O i ˆ ˆ
ˆ
O= + [H, O]
∂t h
¯
´ ca ˆ
Aplicando-se esta ultima equa¸˜o ao hamiltoniano H, tem-se
˙ ˆ
∂H ˆ
∂V
ˆ
H= =
∂t ∂t
que ´ diferente de zero. Na mecˆnica quˆntica, lembre-se, a conserva¸˜o da energia ´
e a a ca e
˙
ˆ = 0, que, neste caso, n˜o ´ verdadeira.
sumarizada pela rela¸˜o H
ca a e
135](https://image.slidesharecdn.com/mecanicaquantica-obracoletivahfleming-111005113605-phpapp02/75/Mecanica-quantica-obra-coletiva-hfleming-135-2048.jpg)
![27.1 Exerc´
ıcios
1. Calcule o raio m´dio ( r ) do “´tomo de hidrogˆnio muˆnico”, em que
e a e o
o el´tron foi substitu´ por um µ− , uma part´
e ıdo ıcula que tem as mesma pro-
priedades eletromagn´ticas que o el´tron, a n˜o ser a massa, que ´ 480 vezes
e e a e
a massa do el´tron.
e
2. Calcule o espectro, raio m´dio, e tudo que lhe ocorrer, do positrˆnio, um
e o
“´tomo” formado por um positron e um el´tron. O p´sitron tem a mesma
a e o
massa que o el´tron, e a carga igual ` do proton. Despreze o fenˆmeno de
e a o
aniquila¸˜o part´
ca ıcula-anti-part´
ıcula.
28 Part´
ıculas idˆnticas
e
Na mecˆnica quˆntica se diz que duas part´
a a ıculas s˜o idˆnticas se a opera¸˜o
a e ca
de trocar uma pela outra n˜o tem qualquer efeito f´
a ısico no sistema ao qual
pertencem: n˜o h´ maneira de realizar uma medida f´
a a ısica que detete se tal
mudan¸a foi realizada. Para explorar as conseq¨ˆncias disso de maneira for-
c ue
mal, introduzimos o operador P12 de troca de part´ıculas. Seja ψ(r1 , s1 ; r2 , s2 )
uma fun¸˜o de onda do sistema onde inclu´
ca ımos as vari´veis de spin, si . O
a
operador de troca atua assim:
P12 ψ(r1 , s1 ; r2 , s2 ) = ψ(r2 , s2 ; r1 , s1 ) (735)
Se as part´ ˆ
ıculas s˜o verdadeiramente idˆnticas, o hamiltoniano H deve ser
a e
sim´trico em rela¸˜o `s vari´veis de posi¸˜o e spin das part´
e ca a a ca ıculas idˆnticas,
e
de maneira que n˜o haja qualquer mudan¸a na energia do sistema quando a
a c
troca ocorre.
Neste caso,
ˆ ˆ ˆ
P12 Hψ(r1 , s1 ; r2 , s2 ) = P12 Hψ(r2 , s2 ; r1 , s1 ) = HP12 ψ(r1 , s1 ; r2 , s2 ) (736)
ou seja,
ˆ
[P12 , H] = 0 (737)
para todo hamiltoniano sim´trico pela troca de part´
e ıculas idˆnticas.
e
Seja ψ(1, 2) uma autofun¸˜o do operador P12 :
ca
P12 ψ(1, 2) = αψ(1, 2) (738)
Temos
P12 ψ(1, 2) = ψ(2, 1) (739)
P12 ψ(2, 1) = ψ(1, 2) (740)
161](https://image.slidesharecdn.com/mecanicaquantica-obracoletivahfleming-111005113605-phpapp02/75/Mecanica-quantica-obra-coletiva-hfleming-161-2048.jpg)
![logo,
ψ(1, 2) = α2 ψ(1, 2) (741)
de onde se tira que α = ±1. Logo, as autofun¸˜es do operador P12 s˜o tais
co a
que
P12 ψ(1, 2) = ψ(1, 2) (742)
ou
P12 ψ(1, 2) = −ψ(1, 2) (743)
isto ´, s˜o as fun¸˜es pares e ´
e a co ımpares pela troca de um par de part´ ıculas
idˆnticas. Como [P12 , H]
e ˆ = 0, o operador d P12 = 0, e o valor m´dio de P12
e
dt
´ constante, o que se estende para os autovalores . Portanto, o autovalor de
e
P12 ´ uma constante do movimento.
e
Part´ıculas para as quais a eq.(742) s˜o ditas bosons , e satisfazem a
a
esta´ıstica de Bose-Einstein; part´ ıculas para as quais a eq.(743) ´ satisfeita
e
s˜o ditas f´rmions, e satisfazem a estat´
a e ıstica de Fermi-Dirac. Empiricamente
se verifica que os bosons s˜o part´
a ıculas de spin inteiro, enquanto que os
f´rmions s˜o part´
e a ıculas de spin 1/2, 3/2, etc. Os el´trons s˜o f´rmions, os
e a e
f´tons s˜o bosons .
o a
28.1 O princ´
ıpio de Pauli
O tipo de estat´ ıstica satisfeita por uma part´
ıcula tem conseq¨ˆncias bem
ue
definidas sobre seu movimento. Examinemos a fun¸˜o de onda de dois
ca
f´rmions idˆnticos, e imaginemos que eles ocupassem ambos a mesma posi¸˜o,
e e ca
tendo o mesmo valor para a componente z do spin. Ou seja, r1 = r2 e s1 = s2 .
Ent˜o, se a fun¸˜o de onda do sistema for
a ca
ψ(r1 , s1 ; r2 , s2 ) = −ψ(r2 , s2 ; r1 , s1 ) (744)
Nas condi¸˜es acima, ter´
co ıamos
ψ(r1 , s1 ; r1 , s1 ) = −ψ(r1 , s1 ; r1 , s1 ) (745)
ou
ψ(r1 , s1 ; r1 , s1 ) = 0 (746)
mostrando que a probabilidade de dois f´rmions ocuparem o mesmo estado (o
e
estado, aqui, ´ completamente definido pela posi¸˜o e pela componente z do
e ca
spin) ´ zero. Isto ´ denominado princ´
e e ıpio de exclus˜o, ou princ´
a ıpio de Pauli.
Um exemplo importante ´ o seguinte: considere dois el´trons movendo-se em
e e
um campo de for¸as, como, por exemplo, no ´tomo de H´lio. Desprezando a
c a e
intera¸˜o entre os el´trons, e denotando por u1 e u2 dois estados estacion´rios
ca e a
162](https://image.slidesharecdn.com/mecanicaquantica-obracoletivahfleming-111005113605-phpapp02/75/Mecanica-quantica-obra-coletiva-hfleming-162-2048.jpg)
![de 1 el´tron nesse campo, a fun¸˜o de onda de um estado estacion´rio ad-
e ca a
miss´ seria
ıvel
1
ψ = √ [u1 (r1 , s1 )u2 (r2 , s2 ) − u1 (r2 , s2 )u2 (r1 , s1 )] (747)
2
A fun¸˜o de onda (747) satisfaz a propriedade
ca
P12 ψ = −ψ (748)
e se anula identicamente se u1 = u2 . Em contraposi¸˜o, o “estado” de fun¸˜o
ca ca
de onda
1
ψ ′ = √ [u1(r1 , s1 )u2 (r2 , s2 ) + u1 (r2 , s2 )u2 (r1 , s1 )] (749)
2
que tem a propriedade
P12 ψ ′ = ψ ′ (750)
n˜o existe na natureza, assim como nenhum outro que n˜o esteja antis-
a a
simetrizado. A express˜o costumeira desta lei ´ que duas part´
a e ıculas idˆnticas
e
de spin semi-inteiro n˜o podem estar em um estado em que se movem na
a
mesma “´rbita” e com os spins paralelos. Dois el´trons podem estar na
o e
mesma “´rbita”, desde que seus spins sejam anti-paralelos32 .
o
No ´tomo de H´lio, se ignorarmos a intera¸˜o entre os el´trons, tudo se
a e ca e
passa como se cada el´tron estivesse sob a a¸˜o de uma campo coulombiano,
e ca
e as fun¸˜es de onda individuais de cada el´tron seriam as de um el´tron
co e e
do ´tomo de Hidrogˆnio (com a diferen¸a que Z = 2). Ent˜o, nessa aprox-
a e c a
ima¸˜o, no estado fundamental, poderia haver dois el´trons no estado ψ100 ,
ca e
um com “spin para cima”, o outro com “spin para baixo”. O elemento de
Z = 3 ´ o L´
e ıtio. Na mesma aproxima¸˜o (de desprezar a intera¸˜o entre os
ca ca
el´trons), n˜o seria poss´ adicionar mais um el´tron no estado n = 1. Este
e a ıvel e
´
teria de ser acomodado em um estado com n = 2. E claro que desprezar a
intera¸˜o entre os el´trons ´ tanto mais grave quanto mais numerosos eles
ca e e
s˜o, de modo que vamos parar por aqui.
a
28.1.1 Adi¸˜o de momento s angulares
ca
O problema ´ este: dadas duas part´
e ıculas em estados de momento angular
bem definido, qual o valor, ou valores, do momento angular do sistema com-
posto pelas duas? Como a solu¸˜o ´ consideravelmente t´cnica, vamos nos
ca e e
limitar aqui a dar os resultados.
32
Linguagem de mesa de bar. Corretamente, isto se diria assim: dois el´trons podem
e
estar em estados ψnlm para os mesmos valores de n, l e m, desde que suas componentes z
do spin tenham sinais opostos. Mas n˜o se fala assim num bar. . .
a
163](https://image.slidesharecdn.com/mecanicaquantica-obracoletivahfleming-111005113605-phpapp02/75/Mecanica-quantica-obra-coletiva-hfleming-163-2048.jpg)
![Seja ψl1 ,m1 o estado de uma das part´ ıculas, e ψl2 ,m2 o estado da outra.
2
ˆ ˆ
Isto quer dizer que, se li e liz (i = 1, 2) forem os operadores de momento
angular total e componente z do momento angular, teremos
ˆ2
l1 ψl1 ,m1 = l1 (l1 + 1)ψl1 ,m1 (751)
lˆ ψl1 ,m1 = m1 ψl1 ,m1
1z (752)
ˆ2
l2 ψl2 ,m2 = l2 (l2 + 1)ψl2 ,m2 (753)
lˆ ψl ,m = m2 ψl ,m
2z 2 2 2 2 (754)
Considerando agora o sistema composto, teremos que o momento angular
total pode ter todos os valores entre l1 + l2 e |l1 − l2 |, variando de um em um.
Para a componente z do momento angular total, a regra ´ mais simples: a
e
componente z do momento angular total ´ a soma alg´brica das componentes
e e
m1 e m2 .
Exemplo: dois el´trons em estados de momento angular orbital 0, portanto tendo como
e
momento angular apenas o spin, s˜o considerados como um sistema: em que estado (l, m)
a
se encontram? A resposta ´: h´ duas possibilidades. O momento angular total pode ter
e a
qualquer dos valores 2 + 1 , 1 + 2 − 1,. . . , at´ atingir | 1 − 1 |, ou seja, os valores poss´
1
2 2
1
e 2 2 ıveis
s˜o 1 e 0. Assim, o estado de momento angular do sistema composto ser´, em geral, uma
a a
superposi¸˜o de um estado de momento angular total 1 com um estado de momento angu-
ca
lar total 0. . Para saber mais, temos de olhar para as componentes z dos spins individuais.
Se os dois el´trons tiverem spins paralelos, ent˜o m1 + m2 ser´ 1 ou −1. Esses valores s˜o
e a a a
incompat´ ıveis com momento angular total 0, de maneira que, neste caso, pode-se afirmar
que os el´trons formam um sistema composto de momento angular total l = 1. Se as
e
componentes z tiverem sinais opostos, por´m, o momento angular total pode ser tanto
e
l = 1 quanto l = 0. Um estudo mais detalhado permite determinar as probabilidades,
neste caso, de se achar, numa medida de momento angular total, cada um desses valores
poss´ıveis.
Para um tratamento completo desta quest˜o, veja [3].
a
29 O caso quase-cl´ssico
a
Iniciamos o nosso curso com o estudo do ´tomo de Bohr, centrado na regra
a
de quantiza¸˜o, para ´rbitas circulares,
ca o
L = n¯
h (755)
com n inteiro, que d´, para a energia ,
a
me4 1
En = − 2 2 , (756)
2¯ n
h
164](https://image.slidesharecdn.com/mecanicaquantica-obracoletivahfleming-111005113605-phpapp02/75/Mecanica-quantica-obra-coletiva-hfleming-164-2048.jpg)
![As autofun¸˜es da energia deste sistema s˜o, portanto, fun¸˜es pares ou
co a co
´
ımpares de x. Isto ´ uma conseq¨ˆncia de que U(−x) = U(x). As fun¸˜es
e ue co
de onda corretas, na aproxima¸˜o quase-cl´ssica, s˜o obtidas constru´
ca a a ındo, a
partir de ψ0 , as fun¸˜es ψ1 , sim´trica, e ψ2 , anti-sim´trica:
co e e
1
ψ1 (x) = √ [ψ0 (x) + ψ0 (−x)] (812)
2
1
ψ2 (x) = √ [ψ0 (x) − ψ0 (−x)] (813)
2
Note que a fun¸˜o ψ0 (x) n˜o ´ autofun¸˜o do hamiltoniano com a energia
ca a e ca
potencial U(x), sim´trica: ´ a fun¸˜o de onda que ter´
e e ca ıamos de a barreira
fosse impenetr´vel. Tanto que ψ0 (−x) ´ desprez´
a e ıvel, enquanto que ψ0 (x) n˜o
a
o ´. De novo, como os n´
e ıveis n˜o s˜o degenerados, devemos ter energia s
a a
diferentes para ψ1 e ψ2 . Sejam
d2 ψ1 2m
+ 2 (E1 − U(x)) ψ1 (x) = 0 (814)
dx2 h
¯
a equa¸˜o de Schr¨dinger para ψ1 , e
ca o
d2 ψ2 2m
+ 2 (E2 − U(x)) ψ2 (x) = 0 (815)
dx2 h
¯
aquela para ψ2 . Multiplicando (806) por ψ1 e (814) por ψ0 e subtra´
ındo,
temos
′′ ′′ 2m
ψ1 ψ0 − ψ0 ψ1 + 2 (E0 − E1 ) ψ0 ψ1 = 0 (816)
h
¯
ou
d ′ ′ 2m
(ψ1 ψ0 − ψ0 ψ1 ) = 2 (E1 − E0 ) ψ0 ψ1 (817)
dx h
¯
Integrando de 0 a ∞:
∞ d ′ ′ 2m ∞
dx (ψ1 ψ0 − ψ0 ψ1 ) = 2 (E1 − E0 ) dxψ0 ψ1 (818)
0 dx h
¯ 0
′ ′ ∞ 2m 1 ∞
(ψ1 ψ0 − ψ0 ψ1 )0 = 2 (E1 − E0 )
√ dxψ0 (ψ0 (x) + ψ0 (−x))(819)
h
¯ 2 0
2m 1 ∞
2
≈ 2 (E1 − E0 )
√ ψ0
h
¯ 2 0
onde usamos o fato de ψ0 (x)ψ0 (−x) ser muito pequeno. Lembrando que as
fun¸˜es que aparecem no primeiro membro se anulam no infinito, temos
co
′ ′ m
ψ0 (0)ψ1 (0) − ψ1 (0)ψ0 (0) = √ 2 (E1 − E0 ) (820)
2¯
h
175](https://image.slidesharecdn.com/mecanicaquantica-obracoletivahfleming-111005113605-phpapp02/75/Mecanica-quantica-obra-coletiva-hfleming-175-2048.jpg)
![Seja f (x) uma fun¸˜o par. Ent˜o,
ca a
f (−x) = f (x) (821)
df (x)
Consideremos agora a fun¸˜o
ca dx . Trocando x por −x,
df (x) df (−x)
→− (822)
dx dx
Logo,
df (−x) df (x)
=− (823)
dx dx
ou seja, se f ´ par, f ′ ´ ´
e e ımpar.
Voltando ` (820),
a
1√ √
ψ1 (0) = 2 [ψ0 (0) + ψ0 (0)] = 2ψ0 (0) (824)
[
enquanto
′
ψ1 = 0 , (825)
levando a
h2
¯ ′
E1 − E0 = − ψ0 (0)ψ0 (0) (826)
m
Repetindo agora o c´lculo com ψ2 e ψ0 , obtemos, ao longo dos mesmos passos,
a
h2
¯ ′
E2 − E0 = ψ0 (0)ψ0 (0) (827)
m
Subtra´
ındo, obtemos
2¯ 2
h ′
E2 − E1 = ψ0 ψ0 (0) (828)
m
Um c´lculo mais refinado leva ao resultado
a
1 a
−h |p|dx
E2 − E1 = Ce ¯ −a (829)
onde C ´ uma constante, e −a e a s˜o indicados na figura. A eq.(829) torna
e a
expl´
ıcito o papel do tunelamento na separa¸˜o dos n´
ca ıveis de energia .
176](https://image.slidesharecdn.com/mecanicaquantica-obracoletivahfleming-111005113605-phpapp02/75/Mecanica-quantica-obra-coletiva-hfleming-176-2048.jpg)
![35 Apˆndice matem´tico 2
e a
Entre as muitas excelˆncias do grande livro Quantum Mechanics, de L. D.
e
Landau e E. M. Lifshitz[3], est´ o apˆndice denominado Mathematical Appen-
a e
dices, onde, de uma forma unificada, s˜o tratadas v´rias das fun¸˜es especiais
a a co
necess´rias ao longo do texto. Essa unifica¸˜o ´ tornada poss´ pelo uso
a ca e ıvel
do m´todo de Laplace, uma genial t´cnica de resolu¸˜o de certas equa¸˜es
e e ca co
diferenciais ordin´rias inventada pelo grande matem´tico francˆs enquanto
a a e
redigia seu Th´orie analytique des probabilit´s.
e e
O m´todo faz uso intenso da integra¸˜o no plano complexo, o que abre
e ca
caminho para a utiliza¸˜o do m´todo do ponto sela, para o estudo do compor-
ca e
co ´
tamento assint´tico das solu¸˜es. E esta combina¸˜o de t´cnicas que faz com
o ca e
que os m´todos apresentados no apˆndice citado se destaquem pela elegˆncia
e e a
e concis˜o, para n˜o mencionar a potˆncia.
a a e
O tratamento dado por Landau ´ talvez excessivamente breve, o que
e
torna o material do apˆndice acess´
e ıvel para poucos. Este artigo pretende,
estendendo-se mais longamente sobre o tema, torn´-lo acess´ a um n´ mero
a ıvel u
maior de estudantes.
Minha principal fonte foi o grande tratado de Edouard Goursat[4], Cours
d’Analyse Math´matique. Uma exposi¸˜o mais detalhada e ambiciosa, es-
e ca
crita com a gra¸a de sempre, encontra-se em Hille[5], abundante em notas
c
hist´ricas e aplica¸˜es elegantes. Para o m´todo do ponto sela minha re-
o co e
ferˆncia preferida ´ Courant, Hilbert[6]. Para saber mais sobre Laplace e seu
e e
tratado de probabilidades veja o not´vel Dictionary of Scientific Biography[7]
a
ou, mais especificamente, a biografia de Laplace por Gillispie[8], um dos ed-
itores do dicion´rio citado.
a
35.1 A equa¸˜o de Laplace
ca
Laplace, ap´s ter inventado a transforma¸˜o que leva o seu nome38 , generalizou-
o ca
a de v´rias formas. A que nos interessa aqui, uma generaliza¸˜o para o plano
a ca
complexo, serve para resolver certas equa¸˜es diferenciais ordin´rias muito
co a
comuns nas aplica¸˜es. S˜o equa¸˜es da forma
co a co
dy dn y
(a0 + b0 x)y + (a1 + b1 x) + . . . + (an + bn x) n = 0 (935)
dx dx
que vamos tamb´m, de forma abreviada, denotar por
e
F (y) = 0
38
A famosa transformada de Laplace!
204](https://image.slidesharecdn.com/mecanicaquantica-obracoletivahfleming-111005113605-phpapp02/75/Mecanica-quantica-obra-coletiva-hfleming-204-2048.jpg)
![36.2 A equa¸˜o do eikonal
ca
Vamos procurar solu¸˜es da forma
co
u = Aeik0 S (1025)
com k0 = ω , onde A e S s˜o fun¸˜es de x, y, z que variam lentamente e que
c
a co
n˜o tendem a ∞ quando k0 cresce.
a
∂u ∂S ∂ log A
= (ik0 u +u ) (1026)
∂x ∂x ∂x
∂2u ∂S log A 2 ∂ 2 log A ∂S ∂2S
= {−k0 u( )2 = ik0 u
2
) +u + ik0 u 2 +(1027)
∂x2 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x
∂S ∂ log A ∂ log A 2
+ ik0 u + u( ) +
∂x ∂x ∂x
∂ 2 log A
+ u }
∂x2
com termos an´logos para as derivadas em y e z. Assim, temos
a
∂S 2 ∂S ∂S
∇2 u = {−k0 u[(
2
) + ( )2 + ( )2 ] + (1028)
∂x ∂y ∂z
∂ log A ∂S ∂ log A ∂S ∂ log A ∂S
+ 2ik0 u( + + )+
∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
∂2S ∂2S ∂2S
+ ik0 u( 2 + 2 + 2 ) +
∂x ∂y ∂z
∂ log A 2 ∂ log A 2 ∂ log A 2
+ u[( ) +( ) +( ) ]+
∂x ∂y ∂z
∂ 2 log A ∂ 2 log A ∂ 2 log A
+ u( + + )}
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
Isto pode ser abreviado assim:
∇2 = −k0 u∇S.∇S+2ik0 u∇ log A.∇S+ik0 u∇2 S+u∇ log A.∇ log A+u∇2 log A
2
(1029)
Logo, a equa¸˜o fica:
ca
k 2 = k0 ∇S.∇S − 2ik0 ∇ log A.∇S − ik0 ∇2 S − ∇ log A.∇ log A − ∇2 log A
2
(1030)
ou ainda,
k2 2i i 1 1
2
= ∇S.∇S − ∇ log A.∇S − ∇2 S − 2 ∇ log A.∇ log A − 2 ∇2 log A
k0 k0 k0 k0 k0
(1031)
224](https://image.slidesharecdn.com/mecanicaquantica-obracoletivahfleming-111005113605-phpapp02/75/Mecanica-quantica-obra-coletiva-hfleming-224-2048.jpg)
![Temos ent˜o
a
x2 + y 2 x2 + y 2 x2 + y 2 x2 + y 2
n(r + d − + + S0 ) = −(b + + ) (1096)
2R2 2(r + d) 2R2 2b
que d´ as equa¸˜es
a co
nr + nd + nS0 + b = 0 (1097)
e
n n 1 1
− + + + )=0 (1098)
2R2 2(r + d) 2R2 2b
ou
n−1 1 n
= + (1099)
R2 b r+d
36.11 A equa¸˜o dos focos conjugados
ca
A solu¸˜o do problema consiste em combinar as Eqs.(1097) e (1099) para
ca
eliminar r. Da Eq.(1097) temos
r 1
= 1 (1100)
n a
− n−1
R1
e, da Eq.(1099),
r+d 1
= n−1 1 (1101)
n R2
− b
Subtraindo a primeira da segunda, temos
d 1 1
= n−1 1 + n−1 1 (1102)
n R2
− b R1
− a
que ´ a equa¸˜o dos focos conjugados para uma lente de espessura d e para
e ca
pequenas aberturas. Se d = 0, obt´m-se
e
1 1 1 1 1
+ = (n − 1)( + )= (1103)
a b R1 R2 f
que ´ a equa¸˜o usual, para lentes delgadas.
e ca
Referˆncias
e
[1] P.A.M. Dirac, Principles of Quantum Mechanics, Oxford University
Press.
238](https://image.slidesharecdn.com/mecanicaquantica-obracoletivahfleming-111005113605-phpapp02/75/Mecanica-quantica-obra-coletiva-hfleming-238-2048.jpg)
![[2] J.M. Jauch, Foundations of Quantum Mechanics, Addison-Wesley.
[3] L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Quantum Mechanics, 3rd. Edition, Perga-
mon Press, Oxford, 1976.
[4] E. Goursat, Cours d’Analyse Math´matique, 7eme. ´dition, Gauthier-
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[5] E. Hille, Ordinary Differential Equations in the Complex Domain, Wiley,
1976.
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[10] H. Kramers, Quantum Mechanics, North Holland, 1957.
[11] E. H. Wichmann, Quantum Physics, Berkeley Physics Course, Volume
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[12] H. M. Nussenzveig, F´
ısica B´sica, Vol.4, Blucher.
a
[13] R. P. Feynman et al., The Feynman Lectures on Physics, Vol.3, Addison-
Wesley.
[14] A. P. French, E. F. Taylor, An Introduction to Quantum Physics, MIT
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[15] I. Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, tradu¸˜es em
co
muitas l´
ınguas, entre as quais o portuguˆs.
e
[16] J. Dieudonn´, Treatise on Analysis, 8 vols., Academic Press.
e
[17] A. F. R. de Toledo Piza, Mecˆnica Quˆntica, EDUSP, S˜o Paulo, 2003.
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239](https://image.slidesharecdn.com/mecanicaquantica-obracoletivahfleming-111005113605-phpapp02/75/Mecanica-quantica-obra-coletiva-hfleming-239-2048.jpg)
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Mecanica quantica obra coletiva hfleming
Este documento apresenta um resumo dos principais conceitos e equações da mecânica quântica, incluindo o princípio da incerteza de Heisenberg, o conceito de estado quântico, a equação de Schrödinger e suas aplicações como o oscilador harmônico e o átomo de hidrogênio. O documento também discute tópicos como operadores, perturbações, momento angular e spin.
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- 1. Mecˆnica Quˆntica a a Obra coletiva Sum´rio a 1 Introdu¸˜o ca 5 2 Pr´-requisitos e requisitos paralelos e 6 3 O princ´ ıpio da incerteza 7 4 O conceito de estado 9 5 O princ´ ıpio de superposi¸˜o ca 10 6 Operadores 12 6.1 Valor m´dio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 e 6.2 Adi¸˜o e subtra¸˜o de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ca ca 7 A energia e a equa¸˜o de Schr¨dinger ca o 18 7.1 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 7.2 A derivada no tempo de um operador . . . . . . . . . . . . . . 22 7.3 O comutador de p e q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ˆ ˆ 8 Estados estacion´rios a 24 9 Po¸o quadrado unidimensional infinito c 26 10 Exemplos simples 29 10.1 Po¸o quadrado unidimensional c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 10.2 Conectando as solu¸˜es . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 10.3 A equa¸˜o da continuidade . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 10.4 A barreira de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 10.4.1 Condi¸˜es de contorno co . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1
- 2. 11 Algumas t´cnicasmatem´ticas e a 45 11.1 A fun¸˜o delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ca 11.2 Integral de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 12 O espectro cont´ ınuo 47 13 O oscilador harmˆnico o 50 13.1 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 14 Operadores unit´rios e simetrias a 59 14.1 Exemplos de operadores unit´rios . . . . . . . . . . . . . . . . 61 a 14.2 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 15 Rota¸˜es e o momento angular co 63 16 Autofun¸˜es do momento angular co 67 16.1 As autofun¸˜es da componente z do momento angular . . . . co . 67 16.2 Autofun¸˜es simultˆneas do momento angular total e da com- co a ponente z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 16.2.1 Constru¸˜o dos harmˆnicos esf´ricos . . . . . . . . . ca o e . 70 16.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 17 Potenciais com simetria central 75 18 O ´tomo de Hidrogˆnio a e 76 18.1 Determinando o comportamento assint´tico . o . . . . . . . . . 78 18.2 As solu¸˜es da equa¸˜o radial . . . . . . . . . co ca . . . . . . . . . 79 18.3 Algumas propriedades do ´tomo de hidrogˆnio a e . . . . . . . . . 83 18.4 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 19 A nota¸˜o de Dirac ca 87 20 O Spin 91 20.1 Elementos de matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 20.2 As matrizes de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 20.3 Intera¸˜o Eletromagn´tica: Formalismo Hamiltoniano ca e . . . . . 98 20.3.1 Apˆndice: O teorema de Euler . . . . . . . . . e . . . . . 102 20.4 Acoplamento do spin com o campo magn´tico . . . . e . . . . . 102 21 As desigualdades de Heisenberg 104 21.1 A rela¸˜o de incerteza energia x tempo . . . . . . . . . . . . . 106 ca 2
- 3. 22 Teoria dasperturba¸˜es co 109 22.1 Perturba¸˜o de estados estacion´rios . . . . . . . . . . . . . . 109 ca a 22.2 Exemplo trivial: Oscilador Harmˆnico com perturba¸˜o linear 113 o ca 22.3 Corre¸˜es de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 co 23 Perturba¸˜es de um n´ co ıvel degenerado 115 23.1 Reobtendo as f´rmulas gerais . . . . . . . . . . o . . . . . . . . 116 23.2 Quando o n´ ´ degenerado. . . . . . . . . . . . ıvel e . . . . . . . . 117 23.3 O efeito Zeeman anˆmalo . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . 120 23.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 23.4.1 Unidades e fatores de convers˜o . . . . . a . . . . . . . . 122 23.4.2 Exerc´ resolvido . . . . . . . . . . . . ıcio . . . . . . . . 124 23.4.3 Exerc´ resolvido (Enrico Fermi, 1954) ıcio . . . . . . . . 126 23.4.4 Prova simulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 23.4.5 Solu¸˜es de alguns problemas . . . . . . co . . . . . . . . 130 23.4.6 Mais exerc´ ıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . 133 24 Perturba¸˜es dependentes do tempo co 134 25 Perturba¸˜o peri´dica pr´xima ` ressonˆncia ca o o a a 138 26 For¸as de van der Waals c 142 26.1 Introdu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . 142 26.2 O trabalho de Debye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 26.2.1 A equa¸˜o de van der Waals . . . . . . ca . . . . . . . . . 143 26.3 Causa da Coes˜o . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . 143 26.3.1 A teoria de London . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 26.3.2 Referˆncias . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 145 26.4 Rela¸˜o com a energia do ponto zero . . . . . ca . . . . . . . . . 146 26.5 Tratamento perturbativo das for¸as de van der c Waals . . . . . 149 26.6 Apˆndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 153 27 Sistemas compostos 155 27.1 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 28 Part´ıculas idˆnticas e 161 28.1 O princ´ıpio de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 28.1.1 Adi¸˜o de momento s angulares . . . . . . . . . . . . . 163 ca 3
- 4. 29 O casoquase-cl´ssico a 164 29.1 Regra de transi¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 ca 29.2 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 29.3 Exemplo: oscilador harmˆnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 o 30 O po¸o duplo. c 173 31 Sistemas de dois n´ ıveis 177 32 A mol´cula da amˆnia e o 181 33 A Mecˆnica Quˆntica Relativista a a 181 33.1 Introdu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . 181 33.2 A equa¸˜o de Schr¨dinger livre . . . . . . . . . . . ca o . . . . . . 182 33.3 A equa¸˜o de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . 182 33.4 A equa¸˜o de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . 183 33.4.1 Interpreta¸˜o probabil´ ca ıstica . . . . . . . . . . . . . . . 184 33.4.2 Determina¸˜o das matrizes de Dirac . . . . ca . . . . . . 185 33.4.3 Formula¸˜o covariante da equa¸˜o de Dirac ca ca . . . . . . 187 33.4.4 Corrente de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . 188 33.4.5 Solu¸˜es especiais: part´ co ıcula em repouso . . . . . . . . 188 33.4.6 Solu¸˜es de energia negativa . . . . . . . . . co . . . . . . 190 33.4.7 Intera¸˜o com o campo eletromagn´tico . . . ca e . . . . . . 190 33.5 A anti-mat´ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . 191 33.5.1 As solu¸˜es de onda plana . . . . . . . . . . co . . . . . . 191 33.5.2 A fun¸˜o de onda do buraco . . . . . . . . . ca . . . . . . 192 34 Apˆndice Matem´tico 1 e a 193 34.1 Operadores e suas representa¸˜es matriciais co . . . . . . . . . . 193 34.1.1 Transforma¸˜es entre bases . . . . . co . . . . . . . . . . 195 34.1.2 Matrizes equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 34.1.3 Autovalores de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . 197 34.2 Diagonaliza¸˜o de uma matriz . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . 199 34.2.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 34.2.2 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 35 Apˆndice matem´tico 2 e a 204 35.1 A equa¸˜o de Laplace . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . 204 35.2 O Oscilador Harmˆnico . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . 207 35.3 O Campo Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 35.3.1 Comportamento Assint´tico . . . . o . . . . . . . . . . . 214 35.4 Apˆndice do apˆndice: O M´todo do Ponto e e e Sela . . . . . . . . 219 4
- 5. 35.4.1 Exemplo simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 e ´ 36 Apˆndice 3: Otica geom´trica e 223 36.1 Equa¸˜es de Maxwell . . . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 36.2 A equa¸˜o do eikonal . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 36.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 36.4 n ´ constante . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 36.5 Dois meios homogˆneos . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 36.6 Simetria esf´rica . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 36.7 Curvatura dos raios de luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 36.8 Lentes esf´ricas . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 36.9 A primeira refra¸˜o . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 36.10A segunda refra¸˜o . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 36.11A equa¸˜o dos focos conjugados ca . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 1 Introdu¸˜o ca Estas notas destinam-se a auxiliar o estudo dos alunos que est˜o assistindo o a meu curso, um curso introdut´rio de mecˆnica quˆntica no quarto semestre o a a do Curso de Ciˆncias Moleculares da Universidade de S˜o Paulo. Est˜o e a a evoluindo para um livro, mas ainda n˜o o s˜o. a a Em particular, n˜o h´ qualquer pretens˜o de originalidade. Trata-se aqui a a a de conhecimento estabelecido e amplamente exposto por muitos autores. Em particular, apoiamo-nos extensamente na referˆncia principal, Landau, Lif- e shitz, [3] partes do qual s˜o aqui reproduzidas, mudando-se apenas a l´ a ıngua. Os alunos que assistem este curso tiveram um semestre de f´ ısico-qu´ımica onde utilizaram m´todos de mecˆnica quˆntica no estudo da espectroscopia e a a atˆmica e molecular, o que os coloca em uma situa¸˜o ins´lita: fizeram os o ca o exerc´ıcios antes de ter a teoria! Por isso este curso tem a preocupa¸˜o de apre- ca sentar uma formula¸˜o conceitualmente acurada daquelas partes da mecˆnica ca a quˆntica que s˜o mais usadas em f´ a a ısico-qu´ımica. Isto explica porque, por ex- emplo, n˜o tratamos de fenˆmenos de espalhamento e porque, por outro lado, a o tratamos de simetrias, momento angular e m´todos perturbativos em maior e detalhe do que se costuma fazer em cursos dados em um quarto semestre. Compare-se-o, por exemplo, com os excelentes tratamentos de Wichmann[11] e Nussenzveig[12], que diferem notavelmente deste texto porque escolheram estrat´gias diferentes: Wichmann realiza um soberbo tour pela fenomenologia e da f´ısica moderna, e n˜o faz praticamente c´lculos quˆnticos; Nussenzveig, a a a que ocupa menos de 1/3 do semestre com mecˆnica quˆntica, seleciona um a a n´ cleo muito mais restrito da mat´ria, essencialmente sistemas de dois n´ u e ıveis, 5
- 6. e produz umextrato de alta qualidade dos princ´ ıpios da teoria. Ambos quase n˜o usam matem´tica que n˜o seja de dom´ a a a ınio p´ blico. Ambos s˜o forte- u a mente recomendados como leitura paralela. O volume 3 das famosas Feynman Lectures[13] ´ um outro caso. O e esplˆndido livro de Feynman ´, ao contr´rio do que se diz, um texto avan¸ado, e e a c requerendo ou um talento excepcional, para aproveit´-lo como primeiro texto, a ou um consider´vel grau de maturidade em f´ a ısica, para acompanhar os vˆos o do mestre. Os alunos podem come¸ar a lˆ-lo, diria eu, ap´s uns dois meses c e o deste curso. Ideal para uma leitura posterior ao curso. Mais pr´ximo a este texto, mas muito mais extenso, com cerca de 650 o p´ginas, est´ o livro de French e Taylor [14], cobrindo terreno semelhante. a a Se fosse mais curto eu n˜o precisaria produzir estas notas. a Finalmente, a influˆncia do livro onde eu estudei, Landau, Lifshitz[3], e ´ dominante e deliberada. Em minha opini˜o trata-se do melhor texto ex- e a istente. Contudo, foi escrito para estudantes supostamente em n´ ıvel mais avan¸ado do que aqueles aos quais me dirijo. Talvez eu pudesse resumir o ob- c jetivo deste curso assim: procura-se preparar os alunos para a leitura e uso do magn´ ıfico “Landau”. Principalmente nos primeiros cap´ ıtulos, segui fielmente o grande texto russo, com as adapta¸˜es que se fizeram necess´rias. Uma al- co a ternativa ` altura do “Landau” existe agora, em portuguˆs: o magn´ a e ıfico livro do professor Toledo Piza[17]. 2 Pr´-requisitos e requisitos paralelos e Solicita-se ao leitor que estude, antes de prosseguir na leitura destas notas, o cap´ıtulo 1 do Volume III das Feynman Lectures on Physics, que cont´m uma e excelente descri¸˜o da experiˆncia da difra¸˜o por duas fendas, conhecida ca e ca como experiˆncia de Young, realizada com el´trons, em lugar da luz (que e e Young usou). Quando eu conseguir realizar isto t˜o bem quanto Feynman, a este pr´-requisito ser´ substitu´ por um cap´ e a ıdo ıtulo introdut´rio adicional. A o previs˜o de tempo para que isto aconte¸a ´ de, mais ou menos, da ordem da a c e idade do universo. Dos requisitos paralelos, o mais importante ´ o estudo. A mecˆnica e a qˆ antica ´ uma experiˆncia nova e estranha, mais estranha do que a teo- u e e ria da relatividade, e requer h´bitos de pensamento novos, que precisam a ser adquiridos aos poucos, ao longo do curso, para n˜o dizer ao longo da a vida1 . Estudar s´ perto da prova n˜o basta, ´ quase in´ til. Jean Dieudonn´, o a e u e grande matem´tico francˆs da escola Bourbaki, menciona, em seu grande a e 1 “The newer concepts of physics can be mastered only by long familiarity with their properties and uses” (Dirac). 6
- 7. tratado Treatise onAnalysis[16], a necessidade de adquirir-se a intui¸˜o do ca abstrato. Tamb´m aqui precisamos dela. De fato, Dirac, em sua grande e obra-prima[1], que muitos consideram o maior livro de f´ ısica desde os Prin- cipia de Newton[15], diz: Mathematics is the tool specially suited for dealing with abstract concepts of any kind and there is no limit to its power in this field. For this reason a book on the new physics, if not purely descriptive of experimental work, must be essentially mathematical. Outro requisito paralelo ´ a leitura de um livro de qualidade, al´m destas e e notas. Sugiro desde logo a leitura do pref´cio e dos par´grafos 1, 2, 3 e 4 do a a livro de Dirac[1], que pode ser feita logo no come¸o do curso. c 3 O princ´ ıpio da incerteza A “experiˆncia de Young” para el´trons, em particular a forma¸˜o de uma e e ca figura de interferˆncia mesmo quando o feixe de el´trons ´ t˜o rarefeito que e e e a n˜o h´ d´ vida de que os el´trons chegam um a um na tela, mostra que a a a u e f´ ısica dos el´trons ´ incompat´ com o conceito de trajet´ria. e e ıvel o N˜o existe, na mecˆnica quˆntica, o conceito de trajet´ria a a a o Isto ´ o conte´ do do princ´ e u ıpio da incerteza, um dos fundamentos da mecˆnica a quˆntica, descoberto por Werner Heisenberg em 1927. a A maneira de se obter informa¸˜es sobre um sistema quˆntico (que chamare- co a mos, para simplificar, de el´tron) ´ realizar intera¸˜es entre ele e objetos e e co cl´ssicos, denominados aparelhos. Por hip´tese esses aparelhos podem ser a o descritos pela mecˆnica cl´ssica com a precis˜o que quisermos. Quando um a a a el´tron interage com um aparelho, o estado deste ultimo ´ modificado. A e ´ e natureza e magnitude dessa modifica¸˜o dependem do estado do el´tron, e ca e servem, por isso, para caracteriz´-lo quantitativamente. A intera¸˜o entre a ca o el´tron e o aparelho ´ denominada medida. Um aparelho n˜o precisa ser e e a macrosc´pico. O movimento de um el´tron numa cˆmara de Wilson ´ ob- o e a e servado por meio da trajet´ria nebulosa que ele deixa; a espessura dessa o trajet´ria ´ grande, comparada com as dimens˜es atˆmicas. Quando a tra- o e o o jet´ria de um el´tron ´ determinada com essa baixa precis˜o, ele ´ um objeto o e e a e inteiramente cl´ssico. a A mecˆnica quˆntica, ao menos em seu est´gio atual, ocupa um lugar a a a pouco usual entre as teorias f´ ısicas: ela cont´m a mecˆnica cl´ssica como um e a a caso limite, e, ao mesmo tempo, necessita desse caso limite para estabelecer a sua linguagem. 7
- 8. O problema t´ ıpico da mecˆnica quˆntica consiste em predizer o resultado a a de uma medida a partir dos resultados de um certo n´ mero de medidas ante- u riores. Al´m disso, veremos mais tarde que, em compara¸˜o com a mecˆnica e ca a cl´ssica, a mecˆnica quˆntica restringe os valores das quantidades f´ a a a ısicas me- didas (por exemplo, a energia ). Os m´todos da mecˆnica quˆntica permitem e a a a determina¸˜o desses valores admiss´ ca ıveis. O processo de medida na mecˆnica quˆntica tem uma propriedade muito a a importante: a medida sempre afeta o el´tron medido, e ´ imposs´ e e ıvel, por quest˜es de princ´ o ıpio, tornar o efeito da medida sobre o el´tron arbitraria- e mente pequeno (como pode ser suposto na f´ ısica cl´ssica). Quanto mais exata a a medida, mais intenso ´ o efeito sobre o el´tron, e ´ somente em medidas de e e e pouca precis˜o que o efeito da medida sobre o el´tron pode ser considerado a e pequeno. ´ E um dos postulados fundamentais da mecˆnica quˆntica que as coor- a a denadas, ou seja, a posi¸˜o de um el´tron pode sempre ser determinada ca e com precis˜o arbitr´ria 2 . Suponhamos que, a intervalos definidos ∆t, sejam a a feitas medidas sucessivas das coordenadas de um el´tron. Os resultados n˜o e a estar˜o, em geral, sobre uma curva lisa. Ao contr´rio, quanto menor o valor a a de ∆t, mais descont´ ınuos e desordenados ser˜o os resultados, de acordo com a o fato de que n˜o existe uma trajet´ria para o el´tron. Uma trajet´ria ra- a o e o zoavelmente lisa s´ ´ obtida se as coordenadas do el´tron forem medidas com oe e pouca precis˜o, como no caso de uma cˆmara de Wilson. Para informa¸˜es a a co sobre o que ´ uma cˆmara de Wilson, veja e a http://rd11.web.cern.ch/RD11/rkb/PH14pp/node29.html#28 Se, mantendo-se imutada a precis˜o das medidas de posi¸˜o, diminuirmos a ca os intervalos ∆t entre as medidas, ent˜o medidas adjacentes dar˜o valores a a vizinhos `s coordenadas. Contudo, os resultados de uma s´rie de medidas a e sucessivas, embora estejam em uma regi˜o reduzida do espa¸o, estar˜o dis- a c a tribu´ ıdas, nessa regi˜o, de uma forma totalmente irregular, e nunca em cima a de uma curva lisa. Em particular, quando ∆t tende a zero, os resultados das medidas adjacentes de nenhuma maneira tende a a estar sobre uma reta. Ora, a velocidade tem a dire¸˜o da reta que, na f´ ca ısica cl´ssica, ´ obtida nesse a e limite. Esta circunstˆncia mostra que, na mecˆnica quˆntica, n˜o existe a ve- a a a a locidade da part´ıcula no sentido cl´ssico do termo, isto ´, o limite de (∆r/∆t) a e quando ∆t → 0. Enquanto, na mecˆnica cl´ssica, a part´ a a ıcula tem posi¸ao e velocidade c˜ bem definidas em cada instante, na mecˆnica quˆntica a situa¸˜o ´ bem a a ca e 2 Isto n˜o est´ em contradi¸˜o com as rela¸˜es de incerteza. Elas dizem que n˜o ´ a a ca co a e poss´ determinar simultaneamente posi¸˜o e momento . ıvel ca 8
- 9. diferente. Se, comoresultado de uma medida, determinam-se as coordenadas de um el´tron, ent˜o sua velocidade ´ totalmente indefinida. Se, ao contr´rio, e a e a determina-se a velocidade de um el´tron, ent˜o ele n˜o pode ter uma posi¸˜o e a a ca definida no espa¸o. Assim, na mecˆnica quˆntica, a posi¸˜es e a velocidade c a a co de um el´tron s˜o quantidades que n˜o podem ter, simultaneamente, valores e a a definidos. 4 O conceito de estado Na mecˆnica cl´ssica conhece-se o estado de um sistema quando s˜o con- a a a hecidas todas as posi¸˜es e todas as velocidades dos pontos do sistema, em co um determinado instante. A partir desses dados ´ poss´ predizer todo o e ıvel futuro, e reconstruir todo o passado do sistema. Ou seja, conhece-se o es- tado de um sistema quando se pode prever o futuro do sistema com a maior precis˜o poss´ (no caso da mecˆnica cl´ssica essa precis˜o ´ total). a ıvel a a a e Na mecˆnica quˆntica tal descri¸˜o ´ imposs´ a a ca e ıvel, uma vez que as co- ordenadas e as velocidades n˜o podem existir simultaneamente. Assim, a a descri¸˜o de um estado na mecˆnica quˆntica ´ feita em termos de menos ca a a e quantidades do que na mecˆnica cl´ssica. Segue-se disso uma conseq¨ˆncia a a ue muito importante. Enquanto a descri¸˜o cl´ssica permite prever o movi- ca a mento futuro com total precis˜o, a descri¸˜o menos detalhada da mecˆnica a ca a quˆntica n˜o permite essa precis˜o. Isto significa que, mesmo que se conhe¸a a a a c o estado de um el´tron, seu comportamento em instantes sucessivos ´, em e e princ´ ıpio, incerto. A mecˆnica quˆntica n˜o pode fazer previs˜es exatas. a a a o Para um dado estado inicial do el´tron, uma medida subseq¨ente pode dar e u v´rios resultados. O problema t´ a ıpico da mecˆnica quˆntica ´ determinar a a a e probabilidade de se obter cada um dos resultados poss´ ıveis, ao realizar uma medida (ocasionalmente a probabilidade de se obter um determinado valor pode ser 1, e a de todos os outros zero!). Os processos de medida na mecˆnica quˆntica podem ser divididos em a a duas classes. Em uma, que cont´m a maioria das medidas, est˜o aquelas e a que, para qualquer estado do sistema, conduzem apenas a resultados mais ou menos prov´veis. A outra classe cont´m medidas tais que, dado um qualquer a e dos resultados poss´ ıveis dessa medida, existe um estado do sistema no qual a medida d´, com certeza, aquele valor. Essas medidas s˜o ditas previs´ a a ıveis, e desempenham um papel importante na formula¸˜o da mecˆnica quˆntica. As ca a a propriedades f´ ısicas do sistema que s˜o determinadas por medidas desse tipo a s˜o chamadas quantidades f´ a ısicas ou observ´veis do sistema.(Ver Landau, a Lifshitz) Veremos no que segue que, dado um conjunto de quantidades f´ ısicas, nem 9
- 10. sempre ´ poss´med´ e ıvel ı-las simultaneamente, isto ´, nem sempre ´ poss´ e e ıvel que todas tenham valores definidos ao mesmo tempo. Vimos que este ´ o e caso para a posi¸˜o e a velocidade de um ponto material, por exemplo. ca Um papel fundamental ´ desempenhado por conjuntos de quantidades e f´ ısicas com a seguinte propriedade: elas podem ser medidas simultaneamente mas, se elas tˆm todas valores definidos, nenhuma outra quantidade f´ e ısica independente pode ter um valor definido nesse estado. Tais conjuntos de quantidades f´ ısicas s˜o denominados conjuntos completos a de observ´veis compat´ a ıveis. Um conjunto completo fornece uma descri¸˜oca m´xima do sistema, e, portanto, caracteriza um estado do sistema. a 5 O princ´ ıpio de superposi¸˜o ca Seja q o conjunto das coordenadas de um sistema quˆntico 3 , e dq o produto a 4 das diferenciais dessas coordenadas . Por exemplo, se q = {x, y, z}, dq = dxdydz. O estado de um sistema ´ descrito por uma fun¸˜o complexa ψ(q) das e ca coordenadas. O quadrado do m´dulo dessa fun¸˜o determina a distribui¸˜o o ca ca de probabilidades dos valores das coordenadas: |ψ(x, y, z)|2 dxdydz ´ a probabilidade de que uma medida realizada sobre o sistema encontre os e valores das coordenadas entre x e x + dx, y e y + dy, z e z + dz. A fun¸˜o ψ ca ´ denominada fun¸˜o de onda do sistema. e ca O conhecimento da fun¸˜o de onda permite, em princ´ ca ıpio, calcular a probabilidade dos v´rios resultados de qualquer medida (n˜o necessariamente a a das coordenadas). Essas probabilidades s˜o express˜es bilineares em ψ e ψ ∗ a o (* representando a opera¸˜o de tomar o complexo conjugado), do tipo ca dqψ(q)∗φ(q)ψ(q) ou ∂ dqψ(q)∗ ψ(q) ∂q por exemplo. O estado de um sistema varia, em geral, com o tempo. Em conseq¨ˆncia, ue a fun¸˜o de onda ´ uma fun¸˜o tamb´m do tempo, ψ(q, t). Se a fun¸˜o ca e ca e ca 3 Abuso de linguagem. Todos os sistemas s˜o quˆnticos. A express˜o correta seria a a a “sistema incorretamente descrito pela f´ ısica cl´ssica”. a 4 Ou melhor, o elemento de volume em termos dessas coordenadas. 10
- 11. de onda ´conhecida em um instante inicial, segue, do conceito da descri¸˜o e ca completa, que ela est´, em princ´ a ıpio, determinada em cada instante sucessivo. A dependˆncia precisa da fun¸˜o de onda com o tempo ´ determinada por e ca e uma equa¸˜o denominada equa¸˜o de Schr¨dinger . ca ca o A probabilidade de que as coordenadas de um sistema tenham qualquer valor, ´ 1. Devemos, ent˜o, ter e a |ψ(q)|2dq = 1 , pois a integral acima ´ exatamente esta probabilidade. e Seja ψ(q) a fun¸˜o de onda de um sistema. Considere a fun¸˜o ca ca ψ ′ (q) = ψ(q)eiα onde α ´ um n´ mero real. Como as probabilidades dos v´rios resultados s˜o e u a a express˜es da forma o dqψ ∗ (q)φ(q)ψ(q) e como dqψ ∗ (q)φ(q)ψ(q) = dqψ ′∗ (q)φ(q)ψ ′(q) , vemos que ψ ′ (q) ´ uma descri¸˜o da fun¸˜o de onda do sistema t˜o boa e ca ca a quanto ψ(q). Diz-se , por isso, que a fun¸˜o de onda de um sistema est´ ca a definida a menos de uma fase, ou seja, que, se ψ(q) ´ fun¸˜o de onda de um e ca sistema, ψ ′ (q) tamb´m ´.5 e e Seja S um sistema f´ ısico que pode existir tanto num estado de fun¸˜oca de onda ψ1 (q) como no estado de fun¸˜o de onda ψ2 (q). A medida de uma ca quantidade f´ ısica f d´, por hip´tese, o resultado f1 , com probabilidade 1, se a o o sistema estiver em ψ1 , e o resultado f2 , tamb´m com probabilidade 1, se o e sistema estiver em ψ2 . Postula-se ent˜o que: a (1)Toda fun¸˜o da forma c1 ψ1 + c2 ψ2 , onde c1 e c2 s˜o n´ meros complexos, ca a u ´ tamb´m um estado do sistema. e e (2)Neste estado, uma medida de f dar´ ou o resultado f1 ou o resultado f2 . a 5 Na realidade, h´ quantidades f´ a ısicas tamb´m da forma e dqψ ∗ (q)φ(q)ξ(q) onde ξ(q) ´ outra fun¸˜o de onda. Como essas quantidades tamb´m devem permanecer e ca e inalteradas, ´ necess´rio acrescentar que a trasforma¸˜o e a ca ψ ′ (q) = eiα ψ(q) deve ser tal que o mesmo α ´ usado para todas as fun¸˜es de onda. e co 11
- 12. Este postulado ´denominado princ´ e ıpio de superposi¸˜o. Segue dele que ca a equa¸˜o de Schr¨dinger deve ser linear em ψ. ca o Considere um sistema composto de duas partes, e suponha que o estado do sistema seja dado de uma maneira tal que cada uma de suas partes possui uma descri¸˜o completa.6 Ent˜o as probabilidades das coordenadas q1 , da ca a parte 1, s˜o independentes das probabilidades das coordenadas q2 , da parte a 2. Seja ψ12 (q1 , q2 ) a fun¸˜o de onda do sistema todo, e ψ1 (q1 ) e ψ2 (q2 ) as ca fun¸˜es de onda das partes 1 e 2, respectivamente. Ent˜o, co a ψ12 (q1 , q2 ) = ψ1 (q1 )ψ2 (q2 ) , pois, ent˜o, a |ψ12 (q1 , q2 )|2 = |ψ1 (q1 )|2 |ψ2 (q2 )|2 o que significa que as probabilidades s˜o independentes. a Se, al´m disso, essas partes n˜o interagirem, vale ainda a rela¸˜o e a ca ψ12 (q1 , q2 , t) = ψ1 (q1 , t)ψ2 (q2 , t) 6 Operadores Seja f uma quantidade f´ ısica que caracteriza o estado de um sistema quˆntico. a Os valores que uma dada quantidade f´ ısica pode assumir s˜o chamados de a autovalores . O conjunto dos autovalores ´ o espectro. Na mecˆnica cl´ssica e a a 7 as quantidades f´ ısicas s˜o cont´ a ınuas. Na mecˆnica quˆntica, n˜o necessaria- a a a mente. Pode haver espectros discretos ou espectros cont´ ınuos. Vamos supor, para simplificar, que o espectro de f seja discreto. Os autovalores de f ser˜oa denotados por fn , (n = 0, 1, 2..). A fun¸˜o de onda do sistema, no estado ca em que f tem o valor fn , ser´ denotada por ψn . Essas fun¸˜es s˜o chamadas a co a autofun¸˜es de f . Para cada uma delas, co dq|ψn |2 = 1 Um dos princ´ ıpios b´sicos da mecˆnica quˆntica ´ este: a a a e (I) O conjunto das autofun¸˜es de uma quantidade f´ co ısica f ´ completo. Isto e ´, dada uma fun¸˜o de onda qualquer ψ do sistema, podemos expand´ em e ca ı-la autofun¸˜es de f assim: co ψ= an ψn n 6 Isto quer dizer que a fun¸˜o de onda de cada uma das partes tem um “futuro” total- ca mente previs´ıvel, ou seja, que as duas partes do sistema s˜o independentes. a 7 Natura non facit saltus, Isaac Newton. 12
- 13. onde os ans˜o n´ meros complexos. a u (II)Fazendo-se uma medida de f em ψ, a probabilidade de se obter o valor fn ´ dada por |an |2 . e Em conseq¨ˆncia, devemos ter ue |an |2 = 1 n pois n |an |2 ´ a probabilidade de, medindo-se f , obter-se qualquer um dos e valores poss´ ıveis. Temos, ent˜o, o resultado a an a∗ = n dqψψ ∗ n Por outro lado, temos ψ∗ = a∗ ψn n ∗ logo, dqψψ ∗ = ψ a∗ ψn dq n ∗ n = a∗ n ∗ ψn ψdq n = a∗ an n n de onde se conclui que ∗ an = ψn ψdq Finalmente, usando ψ = m am ψm , temos ∗ ∗ an = dqψn am ψm = am ψn ψm dq m m de onde se conclui que ∗ dqψn ψm = δnm Diz-se ent˜o que as autofun¸˜es s˜o ortogonais. a co a 6.1 Valor m´dio e Vamos introduzir agora o conceito de valor m´dio f da quantidade f´ e ısica f em um dado estado. Sejam fn os valores poss´ıveis de f , ou seja, seus autovalores 13
- 14. . Sejam |an|2 as probabilidades de cada um dos autovalores , no estado em quest˜o. Define-se ent˜o o valor m´dio como a a e f= fn |an |2 n Usa-se tamb´m a nota¸˜o f , para a mesma quantidade. Queremos encon- e ca trar uma express˜o para f em termos da fun¸˜o de onda do estado consider- a ca ado. Seja ψ esta fun¸˜o. Para fazer isso vamos associar ` quantidade f´ ca a ısica ˆ que atua sobre as fun¸˜es de onda. Seja fψ a fun¸˜o f um operador linear f co ˆ ca ˆ ˆ obtida quando f atua sobre ψ. Queremos, de f , que f= ˆ dqψ ∗ (f ψ) para qualquer estado ψ (lembre-se que estipulamos que as quantidades f´ ısicas deveriam ser express˜es bilineares na fun¸˜o de onda). Ent˜o, o ca a f= fn an a∗ = n dqψ ∗ an fn ψn n n onde usamos an = dqψ ∗ ψn , obtido anteriormente. Vemos, primeiramente, que fψ = an fn ψn n Ora, ψ= an ψn , n de maneira que f ´ linear, e que e ˆ f ψn = fn ψn Sumarizando: ˆ f ψn = fn ψn (1) ˆ f = ˆ dqψ ∗ f ψ (2) ∗ an = dqψn ψ (3) ∗ dqψn ψm = δnm (4) Os valores assumidos por uma quantidade f´ ısica s˜o reais. Portanto, os val- a ores m´dios f de uma quantidade f´ e ısica s˜o tamb´m reais, como se vˆ de a e e 2 f = n fn |an | . Note-se (exerc´ ıcio f´cil), que, se o estado for uma auto- a fun¸˜o de f , o valor m´dio f coincide com o autovalor de f nesse estado. ca e 14
- 15. Do fato def ser real segue uma propriedade importante dos operadores associados a quantidades f´ ısicas: ∗ ˆ ∗ ˆ f= dqψ ∗ f ψ = f = dqψ ∗ f ψ (5) Ora, ∗ ∗ ˆ dqψ ∗ (f ψ) = ˆ ψ ∗ (f ψ)dq = ˆ ψ(f ψ)∗ dq = ˆ ψ f ∗ ψ ∗ dq (6) ˆ e ˆ a ˆ e ˆ onde f ∗ ´ definido assim: se f ψ = φ, ent˜o f ∗ ´ o operador tal que f ∗ ψ ∗ = φ∗ .8 Ent˜o, a ˆ ˆ ψ ∗ fψdq = ψ f ∗ ψ ∗ dq ˆ ˆ Vamos definir o operador transposto t f do operador f . Sejam ψ e φ fun¸˜es co tˆ arbit´rias. Ent˜o f ´ tal que a a e ˆ ψ ∗ (t f)φdq = ˆ φf ψ ∗ dq Por exemplo, para ψ = φi, ˆ ψ f ∗ ψ ∗ dq = ˆ ψ ∗ (t f ∗ )ψdq Da condi¸˜o de realidade de f, Eq.(6), temos ca ˆ ψ ∗ f ψdq = ˆ ψ f ∗ ψ ∗ dq = ˆ ψ ∗ (t f ∗ )ψdq (7) Comparando os dois extremos vemos que ˆ ˆ f = (t f )∗ Operadores com esta propriedade s˜o ditos hermiteanos. Logo, os operadores a associados a quantidades f´ ısicas s˜o operadores lineares hermiteanos. a Podemos, formalmente, considerar quantidades f´ ısicas complexas, isto ´, e cujos autovalores s˜o complexos. Por exemplo, dadas as coordenadas x e a y,podemos considerar a quantidade x + iy. Seja f uma quantidade desse tipo, e seja f ∗ a quantidade cujos autovalores s˜o os complexo-conjugados dos a ` ˆ autovalores de f . A quantidade f corresponde o operador f. Denotemos por 8 ˆ ∂ a ˆ Por exemplo, seja f = −i ∂x . Ent˜o, dado ψ qualquer, temos f ψ = −i ∂ψ . O operador ∗ ∂x ˆ ˆ ˆ f ∗ deve ser tal, ent˜o, que f ∗ ψ ∗ = (−i ∂ψ )∗ = i ∂ψ . Logo, f ∗ = i ∂x . a ∂ ∂x ∂x 15
- 16. ˆ f + ooperador correspondente ` quantidade f ∗ . Este operador ´ denominado a e o adjunto de fˆ. O valor m´dio da quantidade f ∗ ´ dado por e e f∗ = ˆ ψ ∗ f + ψdq onde apenas adaptamos a defini¸˜o de m´dia de um operador. ca e Ora, ˆ f = ψ ∗ fψdq logo, ∗ ∗ f = ˆ ψ ∗ f ψdq = ˆ ψ f ∗ ψ ∗ dq = ˆ ψ ∗ (t f)∗ ψdq Mas ∗ ∗ f∗ = fn |an |2 = ∗ fn |an |2 =f n n Ou seja, ˆ ψ ∗ f + ψdq = ˆ ψ ∗ (t f)∗ ψdq Comparando, temos ˆ ˆ f + = (t f)∗ Em palavras, o adjunto ´ o transposto do conjugado. e A condi¸˜o de hermiticidade de um operador, escrita anteriormente como ca ˆ ˆ (t f ) = f ∗ pode agora ser escrita: ˆ ˆ f = f+ e os operadores hermiteanos s˜o aqueles que coincidem com os adjuntos. Da´ a ı serem chamados tamb´m de auto-adjuntos. e Vamos agora mostrar que a ortogonalidade das autofun¸˜es de um op- co erador hermiteano pode ser demonstrada diretamente. Sejam fn e fm dois ˆ autovalores diferentes do operador hermiteano f . Sejam ψn e ψm as auto- fun¸˜es correspondentes. Ent˜o, co a ˆ f ψn = fn ψn (8) ˆ fψm = fm ψm (9) ∗ Multiplicando a primeira por ψm , temos ∗ ˆ ∗ ∗ ψm f ψn = ψm fn ψn = fn ψm ψn 16
- 17. e ∗ ˆ ∗ dqψm f ψn = fn dqψm ψn (10) ˆ ∗ Tomando o complexo conjugado de (9) e multiplicando por ψn , temos ψn f ∗ ψm = ∗ fm ψn ψm . Integrando, ˆ ∗ dqψn f ∗ ψm = fm ∗ dqψn ψm (11) ∗ ˆ ˆ ∗ dqψm f ψn − dqψn f + ψm = (fn − fm ) ∗ dqψn ψm (12) Mas ˆ ∗ dqψn f ∗ ψm = ˆ dqψm (t f )∗ ψn = ∗ ∗ ˆ dqψm f + ψn = ∗ ˆ dqψm f ψn ˆe pois f ´ hermiteano. Logo, o primeiro termo de (12) ´ zero. Conseq¨ ente- e u mente, ∗ (fn − fm ) ψn ψm dq = 0 e, como fn = fm , segue que ∗ dqψn ψm = 0 (n = m) 6.2 Adi¸˜o e subtra¸˜o de operadores ca ca Sejam f e g duas quantidades f´ısicas que podem ter valores definidos simul- ˆ ˆ taneamente. Sejam f e g seus operadores. Os autovalores da soma f + g s˜o a ˆ + g , e sejam ψn a soma dos autovalores de f e de g. Considere o operadorf ˆ co ˆ ˆ as autofun¸˜es comuns a f e g . Ent˜o, a ˆ f ψn = fn ψn g ψn = gn ψn ˆ e, portanto, ˆ ˆ (f + g )ψn = (fn + gn )ψn Este resultado pode ser generalizado para fun¸˜es de onda quaisquer, assim: co ˆ ˆ ˆ (f + g )ψ = f ψ + g ψ ˆ Neste caso, tem-se f +g = ˆ ˆ ψ ∗ (f + g )ψdq = ˆ ψ ∗ fψdq + ψ ∗ g ψdq = f + g ˆ 17
- 18. A multiplica¸˜o deoperadores ´ definida assim: ca e ˆˆ ˆg (f g )ψ = f (ˆψ) ca ˆ ˆ Suponhamos que ψn seja autofun¸˜o comum a f e g . Ent˜o, a ˆˆ ˆg ˆ ˆ f g ψn = f (ˆψn ) = f (gn ψn ) = gn f ψn = gn fn ψn e ˆˆ ˆ ˆ g fψn = g (f ψn ) = g (fn ψn ) = fn (ˆψn ) = fn gn ψn ˆ g Logo, para as autofun¸˜es simultaneas, temos co ˆˆ ˆ ˆ (f g − g f )ψn = 0 Isto n˜o ´ suficiente para se concluir que o operador a e ˆˆ ˆ ˆ f g − gf = 0 . Contudo, como o conjunto das autofun¸˜es ψn ´ completo, temos, dada uma co e fun¸˜o de onda arbitr´ria, que ca a ψ= an ψn n e ˆˆ ˆ ˆ (f g − g f )ψ = ˆˆ ˆ ˆ an (f g − g f)ψn = 0 n ˆˆ ˆ ˆ e Logo, o operador f g − g f ´ zero como operador, pois leva qualquer fun¸˜o ca ao valor zero. Note-se que isto foi demonstrado para dois operadores que possuem um conjunto completo de autofun¸˜es comuns. No caso geral, esse co comutador, ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ [f, g ] ≡ f g − g f ´ diferente de zero. e 7 A energia e a equa¸˜o de Schr¨dinger ca o A fun¸˜o de onda determina completamente o estado f´ ca ısico do sistema. Isto significa que, dada a fun¸˜o de onda ψ de um sistema no instante t, n˜o ca a somente todas as propriedades do sistema naquele instante est˜o descritas, a mas tamb´m as propriedades em qualquer instante subseq¨ ente (tudo isso, e u naturalmente, em termos do conceito de descri¸˜o completa admitido pela ca mecˆnica quˆntica). Matematicamente isto quer dizer que a derivada primeira a a 18
- 19. no tempo, ∂ψno instante t ´ determinada pelo valor de ψ no mesmo instante. ∂t e Como a teoria ´ linear, essa rela¸˜o ´ tamb´m linear. Vamos escrevˆ-la assim: e ca e e e ∂ψ ˆ i¯ h = Hψ (13) ∂t ˆ e onde H ´ um operador linear a ser determinado. A maneira mais direta de ˆ e descobrir a natureza de H ´ impˆr que, no limite cl´ssico, as leis de Newton o a sejam obtidas. Usando argumentos de mecˆnica avan¸ada mostra-se que H a c ˆ deve ser o hamiltoniano do sistema, ou seja, a energia escrita em termos dos momento s pi e das coordenadas qi do sistema, fazendo-se ainda a substitui¸˜o ca ∂ pi = −i¯ h (14) ∂qi A equa¸˜o (13) ´ denominada equa¸˜o de Schr¨dinger , e desempenha, ca e ca o na mecˆnica quˆntica, papel semelhante ao da segunda lei de Newton na a a mecˆnica cl´ssica. a a Exemplos: (2) A part´ ıcula livre unidimensional: p2 E = 2m ∂ p = ˆ −i¯ h ∂x ∂ ∂ p2 ˆ = −i¯ h −i¯ h ∂x ∂x ˆ ¯ 2 ∂2 h H = − 2m ∂x2 ˆ ¯ 2 ∂2ψ h Hψ = − 2m ∂x2 Equa¸˜o de Schr¨dinger completa: ca o ∂ψ ¯ 2 ∂2ψ h i¯ h =− . (15) ∂t 2m ∂x2 (2) A part´ ıcula livre tri-dimensional: 1 E = p2 + p2 + p2 2m x y z ∂ px ˆ = −i¯h ∂x ∂ py ˆ = −i¯h ∂y 19
- 20. ∂ pz ˆ = −i¯ h ∂z ˆ ¯2 h ∂2 ∂2 ∂2 H = − 2 + 2+ 2 2m ∂x ∂y ∂z ˆ ¯2 2 h Hψ = − ∇ ψ 2m Equa¸˜o de Schr¨dinger completa: ca o ∂ψ ¯2 2 h i¯ h =− ∇ ψ (16) ∂t 2m (3) Part´ ıcula sobre a a¸˜o de um potencial: ca Seja V (x, y, z) a energia potencial da part´ ıcula. Na mecˆnica quˆntica o operador energia a a ˆ potencial, V (r) ´ definido por: e ˆ V (r)ψ(r) ≡ V (r)ψ(r) ca ˆ ou seja, a a¸˜o do operador V (r) sobre a fun¸˜o ψ(r) consiste simplesmente em multi- ca plic´-la pelo n´ mero V (r). Exemplo: a u Oscilador harmˆnico unidimensional: o ˆ 1 2 V (x)ψ(x) = V (x)ψ(x) = kx ψ(x) 2 ˆ ¯2 2 h 1 Hψ = − ∇ ψ + kx2 ψ 2m 2 7.1 Exerc´ ıcios 1. Sejam ψ1 (x) e ψ2 (x, respectivamente, autofun¸˜es de H, com autovalores co E1 e E2 . ψi (x) = ψi (x, t = 0). Seja Ψ(x, t = 0) = a1 ψ1 (x) + a2 ψ2 (x). Determinar Ψ(x, t) para t > 0. Solu¸˜o: ca Temos i ˆ ψ(x, t) = e− h Ht ψ(x, t = 0) ¯ (17) Portanto, i ˆ i i Ψ(x, t) = e− h Ht (a1 ψ1 (x) + a2 ψ2 (x))) = a1 e− h E1 t ψ(x, t = 0)+a2 e− h E2 t ψ2 (x, t = 0) ¯ ¯ ¯ (18) (a) Mostre que, nas condi¸˜es acima, co i ˆ i exp − Htψ1 (x) = exp − E1 tψ1 (x) h ¯ h ¯ (b) Demonstre a Eq.(17). (c) As fun¸˜es exp i(k1 x − ω1 t), exp i(k2 x − ω2 t) e exp −i(k1 x + ω1 t) s˜o solu¸˜es co a co 20
- 21. estacion´rias da equa¸˜ode Schr¨dinger de uma part´ a ca o ıcula livre. Escreva essa equa¸˜o de Schr¨dinger e mostre que isso ´ verdade. A soma das trˆs ´ ca o e e e uma solu¸˜o da mesma equa¸˜o, logo ´ a fun¸˜o de onda de um estado de ca ca e ca part´ıcula livre. Se o sistema se encontra neste estado, quais os valores da energia que podem ser obtidos numa medida da energia do sistema, e qual ´ a probabilidade relativa deles. Por que eu estou falando de probabilidades e relativas, em vez de em probabilidades simplesmente? 2.A fun¸˜o de onda de uma part´ ca ıcula livre de massa m, em movimento ao longo do eixo x, ´, em t = 0, dada por e 1/4 2α 2 ψ(x) = e−αx (19) π (a) Verifique se ela est´ normalizada. a (b)Usando ∞ 2π − k2 dxe−αx e−ikx =e 4α (20) −∞ α expanda ψ(x) (da Eq.19) em autofun¸˜es simultˆneas do momento e da en- co a ergia , exp ikx. Se a expans˜o for escrita a 1/4 2α 2 ∞ e−αx = dka(k)eikx π −∞ mostre que 1/4 1 2α π − k2 a(k) = e 4α 2π π α e que, portanto, 1/4 1 2α π ∞ k2 i¯ k2 t h ψ(x, t) = dke− 4α eikx e− 2m (21) 2π π α −∞ (c) Agora, num esfor¸o de reportagem, calcule a integral em Eq.(21). (Use a c Eq.(20) trivialmente modificada). Vocˆ deve achar e 1/4 2α m αm 2 ψ(x, t) = e− m+2iα¯ t x h (22) π m + 2iα¯ t h (d)Verifique que a fun¸˜o de onda ψ(x, t) da Eq.(22)satisfaz a equa¸˜o de ca ca Schr¨dinger para a part´ o ıcula livre. 21
- 22. 7.2 A derivada no tempo de um operador ˆe Diremos que um operador f˙ ´ a derivada no tempo do operador f se, sendo ˆ ˆ ˆ f o valor m´dio de f num estado arbitr´rio, e f˙ o valor m´dio de f˙ nesse ˆ e ˆ a e mesmo estado, tivermos d ˆ ˆ f = f˙ (23) dt Explicitando, devemos ter d ˆ d ˆ ∂f ψ∗ ˆ f = ˆ dqψ ∗ f ψ = dqψ ∗ ψ+ dq fψ + ˆ∂ψ dqψ ∗ f (24) dt dt ∂t ∂t ∂t Usando a equa¸˜o de Schr¨dinger , obtemos ca o ∂ψ ∗ i ˆ∗ ∗ = H ψ ∂t h ¯ ∂ψ −i ˆ = Hψ ∂t h ¯ Usando esses resultados em (24), temos d ˆ ˆ ∂f i i f = dqψ ∗ ψ+ ˆ ˆ dq H ∗ ψ ∗ f ψ − ˆ ˆ dqψ ∗f Hψ (25) dt ∂t h ¯ h ¯ O termo que cont´m a derivada parcial do operador s´ existe quando a express˜o do e o a operador cont´m parˆmetros que dependam do tempo. Por exemplo, se tiv´ssemos uma e a e part´ ıcula livre de massa vari´vel, seu hamiltoniano seria a ˆ ¯2 h H=− ∇2 (26) 2m(t) e a derivada em quest˜o seria dada por a ˆ ∂H ¯ 2 dm 2 h = ∇ ∂t 2m2 (t) dt Na grande maioria dos casos este termo ´ inexistente. e ˆ e Voltando ` Eq.(25), e usando o fato de que H ´ hermiteano, temos a ˆ ˆ dq H ∗ ψ ∗ f ψ = ˆˆ dqψ ∗ H f ψ = ˆˆ dqψ ∗ H f ψ (27) e, conseq¨ entemente, u d ˆ ˆ i ∂f f = ψ∗ ˆ ˆ i ˆˆ + Hf − f H ψ (28) dt ∂t h ¯ h ¯ 22
- 23. Como, por defini¸˜o, ca d ˆ ˆ f = dqψ ∗ f˙ψ dt temos que ˆ ˆ ∂f + i H f − f H f˙ = ˆ ˆ ˆˆ (29) ∂t h ¯ ˆ Como dissemos, o caso mais importante ´ aquele em que ∂ f = 0 (diz-se ent˜o e ∂t a que o operador n˜o tem dependˆncia expl´ a e ıcita no tempo.) Neste caso, ˆ i ˆ ˆ ˆˆ f˙ = Hf − f H (30) h ¯ ˆ Vemos ent˜o que, se [H, f ] = 0, f˙ = 0, e a ˆ ˆ ˆ f = constante . (31) Na mecˆnica quˆntica, a constˆncia de uma quantidade f´ a a a ısica no tempo quer dizer isto: que o valor m´dio dessa quantidade independe do tempo. Con- e ˆ Temos, evidentemente, que [H, H] = 0, logo, se H n˜o sidere o operador H. ˆ ˆ ˆ a depende explicitamente do tempo, ˆ ˙ i ˆ ˆ H = [H, H] = 0 (32) h ¯ d ˆ e dt H = 0. A quantidade f´ ısica associada ao hamiltoniano ´ a energia . e Logo, a energia se conserva, na mecˆnica quˆntica. a a Como |ψ 2 |dq = 1, sendo a integral estendida a todo o espa¸o, temos que c d d ∂ψ ∗ ∂ψ 0= dq|ψ|2 = dqψ ∗ ψ = ψ + ψ∗ (33) dt dt ∂t ∂t Eliminando as derivadas no tempo pelo uso da equa¸˜o de Schr¨dinger , temos: ca o i ˆ ˆ i ˆ ˆ 0= dqψ H ∗ ψ ∗ − dqψ ∗ Hψ = dqψ ∗ (t H)∗ ψ − dqψ ∗ Hψ h ¯ h ¯ i ˆ ˆ = ψ∗ H + − H ψ h ¯ ˆ ˆ ˆ e Segue ent˜o que H = H + , ou seja, que H ´ hermiteano. a 7.3 O comutador de p e q ˆ ˆ h∂ Como px = −i¯ ∂x , temos ˆ ∂ψ(x) ∂ [ˆ, px ]ψ(x) = x(−i¯ ) x ˆ ˆ h − (−i¯ ) (xψ(x)) h (34) ∂x ∂x 23
- 24. que leva a [ˆ, px ]ψ(x) = i¯ ψ(x) x ˆ h (35) Logo, temos a igualdade entre operadores: [ˆ, px ] = i¯ ˆ x ˆ h1 (36) onde ˆ ´ o operador unidade, definido por 1e ˆ =ψ 1ψ (37) qualquer que seja ψ. Obviamente isto vale tamb´m para as outras componentes. Numa forma e geral. temos: [ˆi , qj ] = −i¯ δij ˆ p ˆ h 1 (38) S˜o as chamadas rela¸˜es de Heisenberg. a co 8 Estados estacion´rios a Na equa¸˜o de Schr¨dinger ca o ∂ψ(r, t) ˆ i¯ h = Hψ(r, t) (39) ∂t procuremos solu¸˜es da forma co ψ(r, t) = u(r)T (t) , (40) que s˜o um produto de uma fun¸˜o s´ de r por uma fun¸˜o s´ de t. Explici- a ca o ca o tando a forma do hamiltoniano, 2 ˆ h ¯ H=− ∇2 + V (r) (41) 2m reescrevemos a Eq.(39) assim: ∂ h2 2 ¯ i¯ h u(r)T (t) = − ∇ u(r)T (t) + V (r)u(r)T (t) (42) ∂t 2m que pode ser reescrita: dT (t) h2 2 ¯ i¯ u(r) h = −T (t) ∇ u(r) + V (r)u(r)T (t) (43) dt 2m 24
- 25. Dividindo por u(r)T(t), temos 1 dT 1 h2 2 ¯ i¯ h =− ∇ u + V (r) (44) T dt u 2m O primeiro membro n˜o depende de r, ou seja, s´ pode depender de t. Ele a o ´ igual ao segundo membro, que n˜o pode depender de t. Logo, o primeiro e a membro n˜o depende nem de r nem de t: n˜o dpende ent˜o de nada: ´ a a a e constante. O segundo membro, por for¸a da equa¸˜o, ´ igual ao primeiro, e c ca e ent˜o tamb´m constante. Designemos esta constante por E. Teremos ent˜o a e a 1 dT i¯ h =E (45) T dt ou dT i = − Edt (46) T h ¯ que ´ integrada facilmente, dando e i T (t) = Ke− h Et ¯ (47) Logo, i ψ(r, t) = Ku(r)e− h Et ¯ (48) Note-se que ˆ ∂ ∂ i Hψ(r, t) = i¯ ψ(r, t) = i¯ h h Ku(r)e− h Et = Eψ(r, t) ¯ ∂t ∂t o que mostra duas coisas importantes: i 1. Os ψ(r, t) da forma u(r)e− h Et s˜o autofun¸˜es do hamiltoniano. ¯ a co 2.E ´ o autovalor do hamiltoniano, e, portanto, a energia do sistema, quando e neste estado. Estados da forma i ψ(r, t) = u(r)E − h Et ¯ (49) s˜o chamados estados estacion´rios. O nome ´ devido ao fato de que a den- a a e sidade de probabilidade de posi¸˜o, |psi(r, t)|2 , ´ independente do tempo, ca e pois i ∗ i |ψ(r, t)|2 = u(r)e− h Et ¯ u(re− h Et = |u(r)|2 ¯ (50) i pois |e− h Et |2 = 1. ¯ Os estados estacion´rios s˜o extremamente importantes na descri¸˜o quˆntica a a ca a da natureza, n˜o s´ por representarem os estados que tˆm energia definida, a o e 25
- 26. mas tamb´m porqueo conjnto dos autoestados do hamiltoniano, que s˜o os e a estados estacion´rios, ´ completo. Isto significa que qualquer estado pode ser a e representado como uma combina¸˜o linear de estados estacion´rios. ca a A determina¸˜o dos estados estacion´rios de um determinado hamiltoni- ca a ano ´ feita normalmente resolvendo-se a equa¸˜o, dita equa¸˜o de Schr¨dinger e ca ca o independente do tempo, ˆ Hu(r) = Eu(r) (51) Resolver esta equa¸˜o significa n˜o s´ determinar u(r), mas o par(E , u(r)). ca a o O n´ mero E ´ o autovalor de H u e ˆ associado ` autofun¸˜o u(r). Problemas desse a ca tipo s˜o chamados, em matem´tica, problems de autovalores . a a 9 Po¸o quadrado unidimensional infinito c Este ´ o problema mais simples envolvendo um sistema localizado. Uma e part´ıcula move-se livremente ao longo do eixo x, exceto pelo fato de que, nas posi¸˜es x = 0 e x = a, existem paredes impenetr´veis: exige-se, isto co a ´, que a probabilidade de a part´ e ıcula estar fora do intervalo 0 ≤ x ≤ a seja estritamente 0. Formalmente isto se realiza exigindo que a fun¸˜o de onda ca da part´ ıcula seja nula nas paredes, que podem ser consideradas infinitamente espessas. Portanto, ψ(x) = 0 para x ≥ a e para x ≤ 0. Procuremos os estados estacion´rios. Na regi˜o interna as paredes, temos a a ` h2 d2 ¯ − ψ(x) = Eψ(x) (52) 2m dx2 onde E ´ um n´ mero positivo ou nulo. (O “fundo do po¸o” ´ o ponto de e u c e energia zero, por defini¸˜o). A Eq.(52) pode ser reescrita como ca d2 2m − 2 ψ(x) = 2 Eψ(x) (53) dx h ¯ e, introduzindo 2m k2 = E (54) h2 ¯ temos d2 ψ(x) = −k 2 ψ(x) (55) dx2 Esta ´ uma equa¸˜o diferencial bem conhecida. Sua solu¸˜o geral ´: e ca ca e ψ(x) = A sin kx + B cos kx. (56) 26
- 27. Temos, adicionalmente, ascondi¸˜es de contorno co ψ(0) = ψ(a) = 0 (57) Para satisfazer ψ(0) = 0, basta tomar B = 0, pois o seno se anula automati- camente em x = 0. Ent˜o, antes de usar a segunda condi¸˜o de contorno, a ca temos ψ(x) = A sin kx (58) A segunda condi¸˜o de contorno exige que ca A sin ka = 0 (59) e sabemos que o seno se anula em qualquer arco da forma nπ, com n inteiro qualquer. Logo, devemos ter ka = nπ (60) ou seja, k tem seus valores restritos aos da forma nπ kn = (61) a onde acrescentamos um ´ ındice a k para maior clareza. Em suma, as solu¸˜es co da equa¸˜o de Schr¨dinger (52) que satisfazem as condi¸˜es de contorno (57) ca o co s˜o a nπ ψn (x) = A sin x (62) a com n = 0, 1, 2 . . ..9 Note-se que ´ a condi¸˜o de a fun¸˜o de onda se anular em x = a que e ca ca restringe os valores de k, e portanto os valores da energia , j´ que a h 2 kn ¯ 2 h2 n2 π 2 ¯ En = = . (63) 2m 2m a2 Diferentemente do que acontece na f´ ısica cl´ssica, a energia n˜o varia contin- a a uamente: do valor En passa-se, a seguir, ao valor En+1 , e h2 π 2 ¯ h2 π 2 ¯ En+1 − En = 2 (n + 1)2 − n2 = (2n + 1) (64) 2m a 2m a2 Temos, isto ´, um espectro discreto para a energia . Espectros discretos para e a energia est˜o sempre ligados ao fato de o sistema ser localizado, isto ´, ter a e 9 Na realidade inteiros negativos s˜o tamb´m admitidos, mas, como sin −nπ x = a e a nπ −sin a x , as fun¸˜es de onda correspondentes a n negativos s˜o as mesmas que as co a de n positivos, pois ψ(x) e −ψ(x) representam o mesmo estado. 27
- 28. localiza¸˜o restrita auma parte finita do espa¸o. Sistemas que podem estar ca c em toda a parte, como part´ ıculas livres, tˆm espectro cont´ e ınuo. ´ ´ E util normalizar as fun¸˜es de onda: os postulados interpretativos ficam co mais simples, quando isto ´ feito. Para tanto, vamos exigir que e a dx|ψn (x)|2 = 1 (65) 0 ou a nπx |K|2 dx sin2 =1 (66) 0 a Usando a rela¸˜o ca nπx 1 2nπx sin2 = 1 − cos a 2 a obtemos |K|2 a 2nπx |K|2 a 2nπx |K|2 dx 1 − cos = a− dx cos = a=1 2 0 a 2 0 a 2 (67) 2 2 Logo, |K|2 = a e podemos escolher K = a , j´ que a fase da fun¸˜o de onda a ca ´ arbitr´ria. Assim, e a 2 nπx ψn (x) = sin (68) a a leitor n˜o ter´ dificuldades em mostrar o resultado mais geral: a a a ∗ dxψn (x)ψm (x) = δnm (69) 0 que exibe a ortogonalidade das fun¸˜es de onda correspondentes a energia s co diferentes. A fun¸˜o de onda completa para esses estados estacion´rios ´ ent˜o ca a e a 2 nπx − i En t ψn (x, t) = sin e h¯ (70) a a 2 2 2 com En = ¯2maπ . h n 2 Estados n˜o estacion´rios, na realidade estados quaisquer, podem ser a a obtidos por combina¸˜es lineares desses ψn (x, t). co 28
- 29. 10 Exemplos simples 10.1 Po¸o quadrado unidimensional c Uma part´ ıcula de massa m se move sob a a¸˜o de um campo de for¸as que ca c confere ` part´ a ıcula uma energia potencial V (x) tal que −V0 para |x| < a V (x) = (71) 0 para |x| > a como descrito na figura. V (x) −a a x E<0 I II III V = V0 Vamos considerar primeiro o caso E < 0, onde E ´ a energia total da e part´ ıcula. No caso cl´ssico, a part´ a ıcula n˜o pode atingir as regi˜es I e III. a o 2 2 De fato, sua energia total ´ E = mv /2 + V (x), ou seja, mv /2 = E − V (x). e Nas regi˜es I e III temos V (x) = 0, o que daria mv 2 /2 = E. Mas E < 0, o o que daria uma energia cin´tica negativa, imposs´ 10 e ıvel. Na regi˜o II n˜o h´ problema, pois ter´ a a a ıamos mv 2 = E + V0 (72) 2 e ´ poss´ ter energia cin´tica positiva mesmo com E < 0. e ıvel e 10 O leitor poderia se surpreender com a id´ia de que uma part´ e ıcula possa ter energia negativa, mas esta ´ uma situa¸˜o bastante comum. Considere a “part´ e ca ıcula” Terra, em seu movimento em redor da “part´ ıcula” Sol. A energia total da Terra ´ negativa! De fato, e precisamos realizar trabalho para lev´-la ao “infinito” (livr´-la da a¸˜o do Sol) e deix´-la, a a ca a l´, em repouso, ou seja, com energia total zero. Logo, fornecemos energia ` Terra para a a lev´-la a um estado de energia zero. Sua energia inicial era, portanto, menor do que zero! a 29
- 30. A equa¸˜o deSchr¨dinger para os estados estacion´rios ´ ca o a e h2 d2 ¯ − + V (x) φ(x) = Eφ(x) (73) 2m dx2 Para x < −a ou x > a, temos V (x) = 0, e h2 d2 φ ¯ − = Eφ(x) (74) 2m dx2 d2 φ 2mE 2m|E| = − 2 φ = φ (75) dx 2 h ¯ h2 ¯ Pondo 2m|E| κ= (76) h2 ¯ temos d2 φ = κ2 φ (77) dx2 cuja solu¸˜o geral ´ ca e φ = C e−κx + A eκx . (78) κx Para x > 0 o termo em e ´ inadequado, pois daria uma probabilidade de e localiza¸˜o da part´ ca ıcula tendendo a infinito para x → ∞. Logo, temos de ′ tomar C = 0. Assim, φ(x) = C e−κx para x > 0 . (79) Por um racioc´ ınio an´logo, a φ(x) = A eκx para x < 0 . (80) Nas solu¸˜es acima C e A s˜o constantes arbitr´rias, a determinar posteri- co a a ormente. Na regi˜o interna, V (x) = −V0 , e a equa¸˜o ´ a ca e h2 d2 φ ¯ − = (E + V0 )φ(x) (81) 2m dx2 ou d2 φ 2m 2 = 2 (V0 − |E|)φ(x) (82) dx h ¯ Pondo 2m q= (V0 − |E|) (83) h2 ¯ temos a solu¸˜o geral ca φ(x) = B sin qx + B ′ cos qx (84) 30
- 31. 10.2 Conectando as solu¸˜es co A energia potencial V (x) descrita acima ´ uma fun¸˜o descont´ e ca ınua, e por- tanto n˜o-diferenci´vel, nos pontos x = −a e x = a. A equa¸˜o diferencial a a ca deve ser, ent˜o, tratada como 3 equa¸˜es, uma para cada regi˜o onde V (x) a co a ´ cont´ e ınua e diferenci´vel. Por isso a resolvemos separadamente para as a regi˜es I, II e III. O potencial descont´ o ınuo ´ uma idealiza¸˜o de um potncial e ca semelhante, mas de “bordas arredondadas”, alguma coisa assim: V (x) −a a x E<0 I II III V = V0 A raz˜o pr´tica para tratar o potencial idealizado, e n˜o o “real”, ´ que assim a a a e ´ muito mais f´cil resolver a equa¸˜o diferencial. e a ca Landau[3] trata, no exerc´ıcio 5 do §23, um problema do tipo acima, em que o poten- cial ´ e V0 V (x) = − . cosh2 αx ´ E poss´ determinar os n´ ıvel ıveis de energia e as fun¸˜es de onda dos estados estacion´rios, co a mas o uso de fun¸˜es hipergeom´tricas torna desaconselh´vel seu tratamento em um curso co e a introdut´rio. o O pre¸o que se paga pelo uso de um potencial descont´ c ınuo ´: como “ligar” e entre si as solu¸˜es das trˆs regi˜es? A matem´tica nos d´ a chave: como a co e o a a equa¸˜o diferencial ´ de segunda ordem, sua solu¸˜o ´ determinada dando- ca e ca e se, em um ponto, o valor da fun¸˜o e de sua derivada primeira. Ent˜o, para ca a conectar as regi˜es, procedemos assim: em um ponto comum `s regi˜es I e o a o II (este ponto ´ x = −a) exigimos que φI = φII e dφI /dx = dφII /dx, onde e φI ´ a solu¸˜o na regi˜o I, e φII ´ a solu¸˜o na regi˜o II. Para conectar as e ca a e ca a regi˜es II e III, agimos da mesma forma: o dφII (a) dφIII (a) φII (a) = φIII (a) e = dx dx 31
- 32. Em x =a, C e−κa = B sin qa + B ′ cos qa (85) −κC e−κa = qB cos qa − qB ′ sin qa (86) Em x = −a, Ae−κa = −B sin qa + B ′ cos qa (87) κAe−κa = qB cos qa + qB ′ sin qa (88) ´ E uma quest˜o de t´cnica determinar as constantes. Dividindo (85) por (87) a e temos: C B sin qa + B ′ cos qa B tan qa + B ′ = = (89) A −B sin qa + B ′ cos qa −B tan qa + B ′ Pondo tan qa = t, temos C tB + B ′ = (90) A −tB + B ′ Dividindo (86) por (88) temos C qB cos qa − qB ′ sin qa − = (91) A qB cos qa + qB ′ sin qa ou C tB ′ − B = (92) A tB ′ + B Combinando (90) e (92), temos C tB + B ′ tB ′ − B = = (93) A −tB + B ′ tB ′ + B De onde se tira sem dificuldade que (t2 + 1)BB ′ = 0 (94) Isto nos informa que temos ou B = 0 ou B ′ = 0. Para B = 0 as fun¸˜esco s˜o, na regi˜o −a ≤ x ≤ a, cosenos, ou seja, s˜o fun¸˜es pares de x. Para a a a co ′ B = 0, s˜o senos, ou seja, fun¸˜es ´ a co ımpares de x. Vamos tratar os dois casos separadamente. (i) B ′ = 0 (fun¸˜es ´ co ımpares). φ(x) = B sin qx para |x| < a (95) φ(x) = −C eκx para x < −a (96) φ(x) = C e−κx para x > a (97) 32
- 33. Note que A= C, pois φ(a) = −φ(−a), j´ que a fun¸˜o ´ ´ a ca e ımpar. Para x = a temos as rela¸˜es: co B sin qa = Ce−κa (98) qB cos qa = −κC e−κa (99) ´ E desnecess´rio fazer uso das rela¸˜es em x = −a, porque, sendo a fun¸˜o a co ca ´ ımpar, elas repetem as rela¸˜es em x = a. Dividindo a de cima pela de baixo, co obt´m-se: e q tan qa = − (100) κ ´ E esta equ¸˜o que ir´ determinar para que valores da energia existem es- ca a tados estacion´rios nesse po¸o. Equa¸˜es deste tipo (que n˜o s˜o equa¸˜es a c co a a co alg´bricas11 , e s´ em raros casos podem ser resolvidas analiticamente. Este e o n˜o ´, infelizmente, um desses raros casos. Recorre-se ent˜o a solu¸˜es a e a co num´ricas. Neste particular caso, por´m, ´ poss´ usar um m´todo gr´fico e e e ıvel e a que ilustra muito bem as caracter´ ısticas gerais da solu¸ao. c˜ Em primeiro lugar, vamos escrever (100) de outra forma. Introduzo as vari´veis ξ = qa e η = κa, que s˜o tais que a a ξ 2 + η 2 = q 2 a2 + κ2 a2 = a2 (q 2 + κ2 ) (101) ou 2m ξ 2 + η2 = 2 V0 a 2 (102) h ¯ Nessas vari´veis, a equa¸˜o (100) fica a ca ξ tan ξ = − (103) η Mas 2m η 2 = a2 V0 − ξ 2 , (104) h2 ¯ logo, 1 −2 ξ 2m − = −ξ V0 a2 − ξ 2 (105) η h2 ¯ e a equa¸˜o (103) se escreve ca −1 2m 2 2 2 tan ξ = −ξ 2 V0 a − ξ (106) h ¯ 11 Uma equa¸˜o alg´brica tem a forma de um polinˆmio igualado a zero. ca e o 33
- 34. Cada solu¸˜o destaequa¸˜o d´ um valor de ξ, e, portanto, um valor de q, ou ca ca a seja, de |E|. Esta ´, por isso, a equa¸˜o para os autovalores da energia . e ca A id´ia ´ a seguinte: tra¸o os gr´ficos da fun¸˜o tan ξ e da fun¸˜o que est´ e e c a ca ca a no segundo membro de (106). Onde as curvas se cortem estar˜o os valores a de ξ que s˜o as solu¸˜es de (106). a co Para tra¸ar a curva da fun¸˜o que est´ no segundo membro, vamos estudar c ca a um pouco suas propriedades. Vamos analisar a fun¸˜o ca −1 2m 2 2 2 −1 f (ξ) = −ξ 2 V0 a − ξ = −ξ A2 − ξ 2 2 (107) h ¯ Sua derivada pode ser escrita, ap´s alguma ´lgebra, o a A2 f ′ (ξ) = − 3 (108) (A2 − ξ 2 ) 2 e ´ sempre negativa, tornando-se −∞ para ξ = A, isto ´ e e 2m ξ= V0 a (109) h2 ¯ O gr´fico abaixo cont´m as curvas y = tan ξ e y = f (ξ) As solu¸˜es da a e co equa¸˜o ca 1 −2 2m 2 2 tan ξ = −ξ V0 a − ξ (110) h2 ¯ s˜o as interse¸˜es dessas duas curvas. Como ξ = qa e q = 2m (V0 − |E|), a co ¯2 h os valores de ξ que satisfazem a equa¸˜o acima permitem calcular os valores ca de E correspondentes. Esses ser˜o os valores poss´ a ıveis para a energia do sistema. 34
- 35. π 3π 2 π 2 A 2π ξ 1 2 Na figura, as curvas cont´ınuas s˜o a fun¸˜o y = tan ξ e a curva pontilhada ´ a fun¸˜o a ca e ca y = f (ξ). Os pontos 1 e 2 correspondem `s solu¸˜es da equa¸˜o. a co ca Vemos assim que o n´ mero de autovalores da energia para os estados ´ u ımpares π ´ finito, podendo ser nulo (se A < 2 ). e (ii)B = 0 (solu¸˜es pares). co Neste caso as equa¸˜es ficam: co C e=κa = B ′ cos qa (111) −κC e−κa = −qB ′ sin qa (112) A e−κa = B ′ cos qa (113) κA e−κa = qB ′ sin qa (114) Comparando (111) com (113) vemos que A = C. Dividindo (114) por (113) temos, ent˜o, a κ = tan qa (115) q e, introduzindo de novo as vari´veis ξ = aq e η = κa, a η tan ξ = (116) ξ 35
- 36. com 2ma2 η= V0 − ξ 2 (117) h2 ¯ de maneira que a equa¸˜o que determina os autovalores da energia ´ ca e 1 2ma2 2 tan ξ = 2 V0 − ξ . (118) ξ h ¯ Seja 2ma2 1 2 1 f (ξ) = 2 V0 − ξ ≡ A2 − ξ 2 (119) h ¯ξ ξ Temos que ξ ≤ A (ξ > 0) e f (A) = 0, e, ainda, lim f (ξ) = ∞ (120) ξ→0 df 1 1 = −√ 2 2 − 2 A2 − ξ 2 < 0 para todo ξ (121) dx A −ξ ξ π 3π 2 π 2 A 2π ξ A figura mostra algumas solu¸oes da equa¸˜o para os autovalores da energia . S˜o as c˜ ca a interse¸˜es entre a curva pontilhada e o gr´fico da tangente. Note-se que, por pequeno co a que seja A, sempre haver´ ao menos uma solu¸˜o. a ca Podemos concluir ent˜o que o po¸o quadrado possui sempre solu¸˜es de a c co energia negativa. Os autovalores da energia de tais estados s˜o discretos e a em n´ mero finito. O menor valor, correspondente ao estado fundamental, u ocorre para um estado cuja fun¸˜o de onda ´ par. ca e 36
- 37. 10.3 A equa¸˜o da continuidade ca O interpreta¸˜o probabil´ ca ıstica da mecˆnica quˆntica ´ introduzida pelo pos- a a e tulado de Born12 , que diz que |ψ(x, y, z)|2 dxdydz ´ a probabilidade de a e part´ıcula, cuja fun¸˜o de onda ´ ψ(x, y, z), estar, em um determinado in- ca e stante, num elemento de volume dx dy dz em torno do ponto de coordenadas x, y, z. Queremos examinar o que ocorre com |ψ(x, y, z)|2 quando o movimento da part´ ıcula ´ levado em conta. e A equa¸˜o de Schr¨dinger diz que ca o ∂ψ h2 2 ¯ i¯ h =− ∇ ψ+Vψ . (122) ∂t 2m Tomando-se o complexo conjugado, termo a termo, temos ∂ψ ∗ h2 2 ∗ ¯ −i¯ h =− ∇ ψ + V ψ∗ . (123) ∂t 2m Multiplicando (122) ` direita por ψ ∗ e (123) ` esquerda por ψ e subtra´ a a ındo, obtemos ∂ψ ∗ ∂ψ ∗ ∂|ψ|2 h2 ¯ i¯ h ψ + i¯ ψ h = i¯ h =− (∇2 ψ)ψ ∗ − ψ ∇2 ψ ∗ (124) ∂t ∂t ∂t 2m O segundo membro pode ser posto numa forma mais transparente, notando que ∇. ψ ∗ ∇ψ = ∇ψ ∗ .∇ψ + ψ ∗ ∇2 ψ (125) ou ψ ∗ ∇2 ψ = ∇. ψ ∗ ∇ψ − ∇ψ ∗ .∇ψ (126) Tomando o complexo conjugado desta rela¸˜o: ca ψ ∇2 ψ ∗ = ∇. ψ ∇ψ ∗ − ∇ψ.∇ψ ∗ (127) Subtra´ ındo (127) de (126), (∇2 ψ)ψ ∗ − ψ ∇2 ψ ∗ = ∇. ψ ∗ ∇ψ − ψ ∇ψ ∗ (128) Levando (128) ao segundo membro de (124), chega-se a ∂|ψ|2 h2 ¯ i¯ h =− ∇. ψ ∗ ∇ψ − ψ ∇ψ ∗ (129) ∂t 2m 12 Max Born, grande f´ ısico te´rico alem˜o, professor em G¨ttingen, de quem Werner o a o Heisenberg era assistente, quando criou a mecˆnica quˆntica a a 37
- 38. Introduzindo as nota¸˜es co ρ = |ψ|2 (130) h ¯ j = ψ ∗ ∇ψ − ψ ∇ψ ∗ (131) 2mi temos, ent˜o, a ∂ρ + ∇.j = 0 (132) ∂t que tem a forma da equa¸˜o da continuidade, conhecida seja da mecˆnica ca a dos fluidos, onde explicita a conserva¸˜o da massa do fluido, seja do eletro- ca magnetismo, onde faz o mesmo para a conserva¸˜o da carga. Poder´ ca ıamos ent˜o dizer que ela expressa, aqui, a conserva¸˜o de probabilidade. a ca Assim como, no eletromagnetismo, a equa¸˜o da continuidade fornece ca detalhes sobre como se d´ a conserva¸˜o da carga 13 , na mecˆnica quˆntica a ca a a ela faz o mesmo com a probabilidade. Aqui conv´m adotar uma linguagem que, embora eq¨ ivalente, ´ mais e u e familiar do que a que usamos at´ agora. Suponhamos que, em vez de uma e part´ıcula, consider´ssemos um conjunto de r´plicas da part´ a e ıcula, idˆnticas, e ou seja, com a mesma fun¸˜o de onda, e independentes, isto ´, que n˜o ca e a interagem. Sejam N essas r´plicas. Se normalizarmos a fun¸˜o de onda de e ca modo que d3 r|ψ(r)|2 = N , (133) estendendo-se a integral a todo o espa¸o, e considerarmos um volume V c delimitado por uma superf´ S fechada, a integral ıcie NV = d3 r|ψ(r)|2 (134) V dar´, n˜o a probabilidade de uma part´ a a ıcula estar em V , mas o n´ mero NV u de part´ ıculas, das N existentes, que est˜o dentro de V . Seja n o campo das a normais externas ` superf´ S. Temos a ıcie dNV ∂ρ 3 = d r=− ∇.j d3 r = − j.n dS (135) dt V ∂t V S 13 Por exemplo, ela diz que o seguinte fenˆmeno viola a conserva¸˜o da carga: uma carga o ca desaparece aqui e aparece, imediatamente depois, na nebulosa de Orion. Isto porque a equa¸˜o da continuidade exige que o desaparecimento de uma carga de dentro de um ca volume seja acompanhado pela passagem da carga atrav´s da superf´ que delimita esse e ıcie volume. Como isto ´ v´lido para qualquer volume, a implica¸˜o ´ que, para uma carga ir e a ca e de um ponto ao outro, ela deve passar, continuamente, por posi¸˜es intermedi´rias. Da´ o co a ı nome “equa¸˜o da continuidade”. ca 38
- 39. onde, na ultimapassagem, fizemos uso do teorema do divergente. Supon- ´ hamos que NV decres¸a com o tempo. Ent˜o dNV < 0, e c a dt j.n dS > 0. (136) S A Eq.(136) mede, portanto, o n´ mero de part´ u ıculas que, na unidade de tempo, saem do volume V , atravessando a superf´ S 14 (este saem, para ıcie ser mais preciso, ´ o n´ mero de part´ e u ıculas que saem menos o de part´ ıculas que entram, por unidade de tempo). Depreende-se disso que, se dS ´ um e trecho infinitesimal de uma superf´ıcie, e se n for uma normal a ela, ent˜o a j.ndS ´ o n´ mero (resultante) de part´ e u ıculas que atravessam dS por unidade de tempo no sentido indicado pela normal. Se o n´ mero for negativo, o fluxo u majorit´rio ser´ no sentido de −n. a a 10.4 A barreira de potencial Uma part´ ıcula de massa m se move num campo de for¸as, com uma energia c potencial da forma V (x) V0 E I II III −a a x 14 Note que (136) cont´m apenas os valores de j na superf´cie S. e ı 39
- 40. ou, V0 para |x| < a V (x) = 0 para |x| > a sendo sua energia total E localizada entre 0 e V0 . Vamos procurar seus esta- dos estacion´rios. Para especificar mais o problema, digamos que a part´ a ıcula incide sobre a barreira vindo da esquerda. Se estiv´ssemos tratando de estados localizados (pacotes de onda), a car- e acteriza¸˜o deste particular problema (incidˆncia da esquerda para a direita) ca e seria trivial. Mas, para estados estacion´rios, isto ´, tais que a probabil- a e idade de posi¸˜o n˜o depende do tempo, isto ´ mais sutil. Recorramos a ca a e uma imagem cl´ssica. Para conseguir um fenˆmeno an´logo (isto ´, sem a o a e dependˆncia temporal) na mecˆnica cl´ssica, precisamos recorrer a muitas e a a part´ıculas, incidindo sobre a barreira da esquerda para a direita. Imaginemos um fluxo cont´ ınuo dessas part´ ıculas. Depois de um certo tempo, teremos uma figura que n˜o se altera mais, constitu´ por um certo n´ mero de part´ a ıda u ıculas incidindo sobre a barreira, superpostas a um fluxo de part´ ıculas refletidas por ela. Embora cada part´ ıcula esteja se movendo, o conjunto todo parece parado, no regime estacion´rio. O fato de as part´ a ıculas virem da esquerda pode ser descoberto, neste regime estacion´rio, pelo fato de que h´ part´ a a ıculas refletidas ` esquerda da barreira. a Passemos ao caso quˆntico. No regime estacion´rio esperamos ter, como a a no caso cl´ssico, ondas incidentes e ondas refletidas, ` esquerda da barreira. a a Mas, e esta ´ a principal diferen¸a introduzida pela mecˆnica quˆntica neste e c a a problema, pode haver ondas saindo da barreira, no lado direito. O que caracteriza, ent˜o, o problema estacion´rio como advindo de uma part´ a a ıcula incidente da esquerda para a direita ´ que, do lado direito da barreira, existem e apenas part´ ıculas afastando-se da barreira. Para |x| > a temos as regi˜es I e III, onde a part´ o ıcula n˜o est´ sujeita a a a nenhuma for¸a. Nestes casos, c h2 d2 ψ ¯ − = Eψ (137) 2m dx2 ou d2 ψ = −k 2 ψ (138) dx2 onde usamos 2mE k2 ≡ (139) h2 ¯ A solu¸˜o geral de (138) ´ ca e ψ(x) = A eikx + A′ e−ikx (140) 40
- 41. e ´ umestado estacion´rio, portanto, com dependˆncia temporal dada por e a e uma exponencial: i ψ(x, t) = A eikx + A′ e−ikx e− h Et ¯ (141) onde h2 k 2 ¯ E= (142) 2m A corrente de probabilidade i¯ h j= ψ ∇ψ ∗ − ψ ∗ ∇ψ 2m d´, para a as parcelas que constituem a fun¸˜o (140): a ca (i)Para ψ(x) = exp ikx (k > 0), i¯ h dψ ∗ dψ hk ¯ j= ψ − ψ∗ = =v (143) 2m dx dx m ou seja, eikx representa uma part´ ıcula com velocidade positiva, movendo-se da esquerda para a direita. (ii) Para ψ(x) = exp −ikx, temos v < 0, e a part´ ıcula se move da dire- ita para a esquerda. Para fixar o nosso problema, diremos ent˜o que, na regi˜o I teremos a a Para x < −a ψ(x) = AE ikx + A′ e−ikx (144) que inclui a part´ ıcula incidente (exp ikx) e a refletida (exp −ikx). Na regi˜o III tender´ a ıamos a supor que a fun¸˜o de onda fosse zero, ca baseando-se na mecˆnica cl´ssica, pois uma part´ a a ıcula cl´ssica n˜o pode atrav- a a essar a barreira: na zona II ela teria uma energia cin´tica negativa! Por´m, e e se fizessemos esta hip´tese, n˜o encontrar´ o a ıamos solu¸ao. Pomos, ent˜o, c˜ a Para x > a ψ(x) = C eikx (145) que descreve uma part´ ıcula que, vindo da esquerda, ultrapassou a barreira. Finalmente, dentro da barreira (regi˜o II), a equa¸˜o de Schr¨dinger ´ a ca o e h 2 d2 ψ ¯ − + V0 ψ = Eψ (146) 2m dx2 41
- 42. ou d2 ψ = κ2 ψ (147) dx2 com 2m κ2 = (V0 − E) . (148) h2 ¯ A solu¸˜o geral desta equa¸˜o de Schr¨dinger ´ ca ca o e ψ(x) = B e−κx + B ′ eκx com κ > 0 . (149) Vamos denominar “fun¸˜o de onda incidente” ao termo ca A eikx , (150) “fun¸˜o de onda refletida” ao termo A′ e−ikx , e “fun¸˜o de onda transmitida” ca ca ikx ao termo C e . A densidade de corrente incidente ´e hk 2 ¯ jI = |A| . (151) m Definimos hk ′ 2 ¯ jR = |A | (152) m como a densidade de corrente refletida, e hk 2 ¯ jT = |C| (153) m como a densidade de corrente transmitida. Ent˜o, devemos ter (para que a n˜o desapare¸am part´ a c ıculas), jI = jT + jR . (154) Definido os coeficientes de reflex˜o e transmiss˜o por a a jR R = (155) jI jT T = (156) jI podemos ent˜o escrever a rela¸˜o entre as correntes como a ca R+T =1 (157) Note que a densidade de corrente dentro da barreira ´ zero (calcule!). e Logo, usando ∂ρ + ∇.j = 0 (158) ∂t vemos que, dentro da barreira, ∂ρ = 0, ou seja, ρ ´ constante. Logo, n˜o h´ ∂t e a a varia¸˜o no n´ mero de part´ ca u ıculas, dentro da barreira. 42
- 43. 10.4.1 Condi¸˜es de contorno co A continuidade das fun¸˜es de onda e suas derivadas em x = −a e x = a d´ co a as seguintes condi¸˜es: co (i) Para x = −a: A e−ika + A′ eika = B eκa + B ′ e−κa (159) ikA e−ika − ikA′ eika = −κB eκa + κB ′ e−κa (160) (ii) Para x = a: C eika = B e−κa + B ′ eκa (161) ikC eika = −κB e−κa + κB ′ eκa (162) Dividindo (161) por (162): 1 B e−κa + B ′ eκa = (163) ik −κB e−κa + κB ′ eκa de onde se tira (ik + κ)e−κa B + (ik − κ)eκa B ′ = 0 (164) Como a fun¸˜o de onda dentro da barreira ´ ca e ψ(x) = B e−κx + B ′ eκx (165) temos, escrevendo B ′ em termos de B, κ + ik −2κa κx ψ(x) = B e−κx + e e (166) κ − ik onde se vˆ que o termo dominante ´ a exponencial decrescente exp −κx. e e Voltando ` equa¸˜o (161), obt´m-se facilmente que a ca e C 2κ (ik−κ)a = e (167) B κ − ik e 2 C 4κ2 = (168) B κ2 + k 2 Vamos introduzir as quantidades A′ C B ′ B′ X= Y = Z= Z = (169) A A A A 43
- 44. As equa¸˜es (159),(160),(161),(162) ent˜o ficam: co a e−ika + X eika = Z eκa + Z ′ e−κa (170) ikeika − ikX eika = −κZ eκa + κZ ′ e−κa (171) Y eika = Z e−κa + Z ′ eκa (172) ikY eika = −κZ e−κa + κZ ′ eκa (173) Como Z ′ /Z = B ′ /B,temos κ + ik −2κa Z′ = e Z (174) κ − ik Introduzindo os s´ ımbolos auxiliares κ + ik −3κa W = eκa + e (175) κ − ik e κ κ + ik −3κa W′ = −eκa + e (176) ik κ − ik podemos, ap´s alguma ´lgebra, obter o a 16κ2 E −2κa T = |Y |2 = (177) κ2 + k 2 |W + W ′ |2 |W − W ′ |2 R = |X|2 = (178) |W + W ′|2 e T 16κ2 −2κa k2 = 2 e (179) R κ + k2 |eκa − e−3κa |2 (κ2 + k 2 ) T de onde se vˆ que o comportamento assint´tico de e o R ´ dado por e T ∼ e−4κa (180) R que revela, ao mesmo tempo, a inevitabilidade do tunelamento (a ausˆncia e de tunelamento seria T /R = 0) e se trata de um efeito pequeno, para valores apreci´veis de a. a Posteriormente, quando estudarmos a aproxima¸˜o quase-cl´ssica, sere- ca a mos capazes de obter express˜es mais simples para o tunelamento. o 44
- 45. 11 Algumas t´cnicas matem´ticas e a 11.1 A fun¸˜o delta de Dirac ca Considere a fun¸˜o δǫ (p), definida assim: ca δǫ (p) = 0 para p > ǫ δǫ (p) = 0 para p < −ǫ 1 δǫ (p) = para − ǫ < p < ǫ 2ǫ Temos, claramente, ∞ ǫ 1 δǫ (p)dp = dp = 1 (181) −∞ −ǫ 2ǫ Seja f (p) uma fun¸˜o cont´ ca ınua. Ent˜o, a ∞ f (p′ ′ p+ǫ 1 p+ǫ f (p′ )δǫ (p − p′ )dp′ = dp = f (p′ )dp′ (182) −∞ p−ǫ 2ǫ 2ǫ p−ǫ No limite para ǫ → 0, esta ultima integral d´ ´ a 2ǫf (p) de forma que a Eq.(182) pode ser escrita ∞ f (p′ )δǫ (p − p′ )dp′ = f (p) (183) −∞ A fun¸˜o delta de Dirac, δ(p) ´ definida, simbolicamente, como o limite, para ca e ǫ → 0, da fun¸˜o δǫ (p). Suas propriedades, que podem ser motivadas por ca esse limite, podem ser sintetizadas assim: ∞ δ(x)dx = 1 −∞ δ(x) = 0 para x = 0 ∞ dx f (x)δ(x − a) = f (a) −∞ Nessas rela¸˜es a integral n˜o precisa realmente ir de −∞ a ∞. Basta que co a seja em um intervalo que contenha o ponto em que o argumento da fun¸˜o ca delta se anula. Estritamente, tal fun¸˜o n˜o existe. Trata-se de um s´ ca a ımbolo que abrevia muito os c´lculos. Atendo-se `s regras exibidas, nenhum dano ´ causado, a n˜o ser ` l´gica, a a a e a a o v´ ıtima usual. A teoria que justifica essas opera¸˜es e restitui a implacabilidade da l´gica co o foi desenvolvida pelo grande matem´tico francˆs Laurent Schwartz, e se chama “teoria das a e distribui¸˜es”. Para um tratamento adequado da “fun¸˜o delta” recomendamos as notas co ca que se encontram no site do professor Jo˜o Carlos Alves Barata,no endere¸o: a c 45
- 46. http://denebola.if.usp.br/~jbarata/Notas_de_aula/arquivos/nc-cap12.pdf Outras rela¸˜es importantesenvolvendo a “fun¸˜o delta” s˜o as seguintes: co ca a 1 ∞ δ(x) = dkeikx (184) 2π −∞ δ(−x) = δ(x) (185) 1 δ (f (x)) = df δ(x − x0 ) , sendo f (x0 ) = 0 (186) | dx |x=x0 1 δ(ax) = δ(x) (187) |a| δ(r) = δ(x)δ(y)δ(z) (188) onde, nesta ultima, se tem r = xi + y j + z k. ´ 11.2 Integral de Fourier A integral de Fourier ´ instrumento fundamental na mecˆnica quˆntica. e a a Trata-se de uma extens˜o das s´ries de Fourier que permite obter expans˜es a e o de fun¸˜es que n˜o s˜o peri´dicas. Este n˜o ´ o lugar para se adquirir fluˆncia co a a o a e e no uso, e uma boa compreens˜o dos m´todos da an´lise de Fourier. O leitor a e a dever´ dedicar algum estudo a este t´pico, presente em todos os livros de a o f´ ısica-matem´tica. De minha parte recomendo o livro de Arnold Sommerfeld, a Partial Differential Equations of Physics. Um bel´ ıssimo livro de matem´tica a sobre este mesmo tema, ´ K¨rner, Fourier Analysis, um dos livros mais boni- e o tos que j´ li. a A integral, ou transformada, de Fourier de uma fun¸˜o f (x), ´ uma fun¸˜o ca e ca f˜(k) a ela ligada pelas rela¸˜es co ∞ f (x) = ˜ dk f (k)eikx (189) −∞ ˜ 1 ∞ f (k) = f (x)e−ikx (190) 2π −∞ Pode-se verificar a consistˆncia dessas rela¸˜es com o uso da fun¸ao δ(x): e co c ∞ 1 ∞ f (x) = dk dyf (y)e−iky eikx −∞ 2π −∞ ∞ 1 f (x) = f (y) dkeik(x−y) −∞ 2π ∞ = f (y)δ(x − y) = f (x) −∞ 46
- 47. A transformada deFourier de uma fun¸˜o constante, f (x) = K, ´: ca e ˜ 1 ∞ 1 ∞ f (k) = dxKe−ikx = K dxe−ikx = Kδ(x) 2π −∞ 2π −∞ ou seja, a transformada de Fourier de uma constante ´ um m´ ltiplo de e u delta(x). Um outro resultado importante ´ a transformada de Fourier de e 2 uma gaussiana: seja f (x) = exp −αx . Sua transformada de Fourier ´ e ˜ 1 π − k2 f (k) = e 4α 2π α ou seja, a transformada de Fourier de uma gaussiana ´ outra gaussiana. e 12 O espectro cont´ ınuo A equa¸˜o de Schr¨dinger de um sistema f´ ca o ˆ e ısico de hamiltoniano H ´ ∂ψ ˆ i¯ h = Hψ ∂t Suponhamos que ψ seja um estado estacion´rio, ou seja, que a i ψ(r, t) = ψ(r)e− h Et ¯ Inserindo-se esta express˜o na equa¸˜o de Schr¨dinger , obt´m-se uma equa¸˜o a ca o e ca para ψ(r), que ´e ˆ Hψ(r) = Eψ(r) , (191) conhecida como equa¸˜o de Schr¨dinger independente do tempo. Resolvˆ-la ca o e ´ determinar o par (ψ(r), E), onde E ´ um n´ mero. e e u Para exemplificar, vamos tratar um caso muto simples: uma part´ıcula livre, de massa m, que se move ao longo do eixo x. Neste caso ˆ2 ¯2 2 ˆ = p =−h ∂ H 2m 2m ∂x2 e a Eq.(191) ´ e h2 d2 ψ ¯ − = Eψ . (192) 2m dx2 Introduzindo 2mE k2 = h2 ¯ 47
- 48. podemos reescrever aequa¸˜o acima assim: ca d2 ψ = −k 2 ψ , (193) dx2 cuja solu¸˜o geral ´ ca e ψ(x) = Aeikx + Be−ikx (194) com A e B arbitr´rios. Existe solu¸˜o para todo k, e, como a ca h2 k 2 ¯ E= , 2m existe solu¸˜o para todo E ≥ 0. Diz-se ent˜o que o espectro ´ cont´ ca a e ınuo. ˆ um operador associado a uma quantidade f´ Seja O ısica de espectro cont´ ınuo. Escreveremos a equa¸˜o de autovalores assim: ca ˆ Oψf = Of ψf (195) onde o ´ ındice f agora varia continuamente. Como veremos mais tarde, as autofun¸˜es associadas a um espectro cont´ co ınuo n˜o s˜o normaliz´veis, isto ´, a a a e n˜o ´ poss´ impor para elas a condi¸˜o a e ıvel ca |ψf |2 dq = 1 Exemplo: a fun¸˜o de onda de um estado estacion´rio de uma part´ ca a ıcula livre, cuja parte espacial vimos na Eq.(194), ´ e i ψ(x, t) = Aei(kx−ωt) = Aeikx e− h Et ¯ (196) E onde usamos ω = h ¯ . Ent˜o a |ψ(x, t)|2 = |A|2 e, por isso, ∞ ∞ dx|ψ(x, t)|2 = |A|2 dx = ∞ ! −∞ −∞ A seguir vamos descobrir uma maneira de normalizar adequadamente as autofun¸˜es ligadas a um espectro cont´ co ınuo. Seja ψ uma fun¸˜o de onda normaliz´vel. A expans˜o dela em autofun¸˜es ca a a co da quantidade f´ ˆ cujo espectro ´ cont´ ısica O, e ınuo, ´ e ψ= df af ψf (197) 48
- 49. Queremos que |af|2 df seja a probabilidade de que, efetuada uma medida de ˆ O, o valor obtido esteja entre f e f + df . Logo, |af |2 df = 1. Da mesma forma, dq|ψ(q)|2 = 1. Segue que a∗ af df = f ψ ∗ ψdq (198) e, como ψ∗ = df a∗ ψf , f ∗ (199) tamb´m que e a∗ af df = f df a∗ ψf ψdq = f ∗ df a∗ f ∗ dqψf ψ (200) Comparando o primeiro termo com o ultimo, temos ´ ∗ af = dqψf ψ (F ourier) (201) que permite calcular os coeficientes da expans˜o ψ = df af ψf . a Rescrevendo a expans˜o acima como ψ = df ′ a′f ψf e usando-a na Eq.(656), a temos af = dqψf df′ af ′ ψf ′ = df ′ af ′ dqψf ψf ′ ∗ ∗ (202) Mas af = df ′af ′ δ(f − f ′ ) (203) Comparando as duas ultimas, obt´m-se ´ e dqψf ψf ′ = δ(f − f ′ ) ∗ (204) que ´ a rela¸˜o de ortogonalidade para autofun¸˜es do espectro cont´ e ca co ınuo. Conseq¨ entemente, as rela¸˜es b´sicas para o espectro cont´ u co a ınuo s˜o: a ψ = df af ψf (205) ψ ∗ ψdq = df |af |2 (206) ∗ af = dqψf ψ (207) ψf ψf ′ dq = δ(f − f ′ ) ∗ (208) 49
- 50. 13 O oscilador harmˆnico o Uma part´ ıcula de massa m executa movimento unidimensional sob a a¸˜o ca de uma for¸a el´stica −kx. Isto ´ um oscilador harmˆnico. Sua energia c a e o 1 potencial ´ V (x) = 2 mω 2 x2 , e. portanto, a equa¸˜o de Schr¨dinger para e ca o estados estacion´rio ´ a e h d2 ψ 1 ¯ − + mω 2 x2 ψ = Eψ (209) 2m dx2 2 k Note-se que ω = m . A Eq.(209) pode ser escrita na forma 2 1 h d ¯ + (mωx)2 ψ = Eψ (210) 2m i dx Daqui se vˆ que e 2 ˆ 1 h d ¯ H= + (mωx)2 (211) 2m i dx Considere os operadores 1 h d ¯ a± = √ ± imωx (212) 2m i dx Um c´lculo simples mostra que a 2 1 h d ¯ 2 1 a− a+ = + (mωx) + hω ¯ (213) 2m i dx 2 de maneira que, usando (211), 1 a− a+ − hω ψ = Eψ ¯ (214) 2 Um outro c´lculo simples resulta em a [a− , a+ ] = hω ¯ (215) A Eq.(214) d´ a 1 a− a+ − a+ a− + a+ a− − hω ψ = Eψ ¯ 2 1 [a− , a+ ] + a+ a− − hω ψ = Eψ ¯ 2 1 a+ a− + hω ψ = Eψ ¯ (216) 2 50
- 51. Lema 1: Sejaψ um estado estacion´rio do oscilador harmˆnico de energia a o E. Ent˜o a+ ψ ´ um estado estacion´rio de energia E + hω. a e a ¯ Dem.: 1 1 a+ a− + hω (a+ ψ) = a+ a− a+ ψ + hω(a+ ψ) ¯ ¯ 2 2 1 1 = a+ a− a+ ψ + hωψ = a+ (a− a+ − a+ a− + a+ a− ) ψ + hωψ ¯ ¯ 2 2 1 = a+ [a− , a+ ]ψ + a+ a− + hω ψ = a+ [¯ ωψ + Eψ] = (E + hω)(a+ ψ) ¯ h ¯ 2 Ou, ˆ H(a+ ψ) = (E + hω)(a+ ψ) ¯ (217) Analogamente se mostra que ˆ H(a− ψ) = (E − hω)(a− ψ) ¯ (218) Lema 2: A energia do oscilador harmˆnico ´ ≥ 0. o e Dem.: Esta demonstra¸˜o depende de um Lema, demonstrado mais adi- ca ˆ ante,15 junto ` Eq.(290). Como H pode ser escrito como a soma de dois a operadores hermiteanos ao quadrado, 2 2 p ˆ m ˆ H= √x + ωx 2m 2 ˆ segue que H ≥ 0. Como os autovalores de um operador s˜o casos par- a ticulares de seus valores m´dios (quando os estados s˜o as autofun¸˜es), a e a co desigualdade acima pro´ a existˆncia de autovalores negativos do hamilto- ıbe e niano. Em decorrˆncia disso, deve haver um estado ψ0 tal que e a− ψ0 = 0 (219) De fato, se n˜o fosse assim, dada qualquer autofun¸˜o do hamiltoniano do a ca oscilador harmˆnico, a aplica¸˜o a ela do operador a− geraria uma outra aut- o ca ofun¸˜o , de energia menor, o processo podendo se repetir indefinidamente, ca at´ se chegar a energia s negativas, o que ´ proibido. e e Explicitamente esta ultima equa¸˜o ´ ´ ca e 1 h dψ0 ¯ √ − imωxψ0 = 0 (220) 2m i dx 15 O leitor h´ de perdoar esta pequena viola¸˜o da causalidade... a ca 51
- 52. dψ0 mω = − xψ0 dx h ¯ dψ0 mω = − xdx ψ0 h ¯ mω ψ0 (x) = K exp − x (221) 2¯ h Esta ´ a fun¸˜o de onda do estado estacion´rio do oscilador harmˆnico. A e ca a o energia desse estado ´ obtida assim: e ˆ 1 1 Hψ0 (x) = a+ a− + hω ψ0 (x) = hωψ0 (x) ¯ ¯ (222) 2 2 Logo, temos hω ¯ E0 = (223) 2 O estado de energia imediatamente mais alta, chamado de primeiro estado excitado, tem a fun¸˜o de onda ca 1 h d ¯ mω 2 ψ1 (x) = a+ ψ0 (x) = √ + imωx exp − x (224) 2m i dx 2¯ h ou m mω 2 ψ1 (x) = Ki ωx exp − x (225) 2 2¯ h e possui energia 1 E1 = (1 + )¯ ω h (226) 2 Mais geralmente, mω 2 ψn (x) = An (a+ )n exp − x (227) 2¯ h 1 En = (n + )¯ ω h (228) 2 e, com algum esfor¸o, pode-se mostrar que c 1 mω 4 1 An = (229) π¯ h n!(¯ ω)n h Vamos fazer o esfor¸o mencionado acima. Seja ψ0 (x) a autofun¸˜o normalizada do c ca estado fundamental do oscilador harmˆnico. Ent˜o, o a 1 mω 4 mω 2 ψ0 (x) = exp − x (230) π¯ h 2¯ h 52
- 53. e seja ψn (x) = Kn (a+ )n ψ0 (x) (231) Temos, obviamente, ψn−1 (x) = Kn−1 (a+ )n−1 ψ0 (x) , (232) de onde se deduz que Kn ψn (x) = Kn a+ (a+ )n−1 ψ0 (x) = a+ ψn−1 (x) (233) Kn−1 Considere a integral de normaliza¸ao de ψn (x): c˜ 2 2 ∗ Kn Kn dxψn (x)ψn (x) = dx(a+ ψn−1 )∗ (a+ ψn−1 ) = ∗ dxψn−1 a− a+ ψn−1 Kn−1 Kn−1 (234) onde usamos o fato de que o adjunto de a+ ´ a− . Pela equa¸˜o (214), temos e ca 1 h ¯ω a− a+ ψn−1 = hω(n − 1 + )ψn−1 + ¯ ψn−1 = hωψn−1 ¯ (235) 2 2 Logo, podemos escrever 2 ∗ Kn ∗ ψn (x)ψn (x)dx = h ¯ ωn dxψn−1 ψn−1 (236) Kn−1 Iterando este procedimento, teremos 2 2 Kn Kn−1 ∗ ψn (x)ψn (x)dx = (¯ ω)2 n(n − 1) h ∗ dxψn−2 ψn−2 (237) Kn−1 Kn−2 ou 2 Kn ∗ ψn (x)ψn (x)dx = (¯ ω)2 n(n − 1) h ∗ dxψn−2 ψn−2 (238) Kn−2 Prosseguindo, chegaremos a 2 ψn (x)ψn (x)dx = |Kn | (¯ ω)n (n!) ∗ h ∗ dxψ0 ψ0 (x) = 1 (239) ou seja, 1 Kn = (240) (¯ ω)n n! h Portanto, 1 mω 4 1 mω 2 ψn (x) = Kn (a+ )n ψ0 (x) = exp − x (241) π¯ h n!(¯ ω)n h 2¯ h Um oscilador harmˆnico que n˜o oscila ´ decepcionante. Se calcularmos o o a e valor m´dio da posi¸˜o, x , nos estados estacion´rios do oscilador harmˆnico, e ca ˆ a o que vimos at´ agora, encontraremos (e o leitor deve obter isso por conta e pr´pria!) o x =0 ˆ (242) 53
- 54. ou seja, nenhumaoscila¸˜o! Estados estacion´rios n˜o s˜o apropriados para ca a a a comparar o sistema quˆntico com o an´logo cl´ssico. Para obter alguma coisa a a a semelhante a um pˆndulo, devemos estudar pacotes de onda. Os particulares e pacotes de onda que vamos estudar agora se chamam estados coerentes. Con- sideremos as autofun¸˜es do operador a− , introduzido acima. Como a− n˜o co a ˆ comuta com H, as autofun¸˜es de a− n˜o ser˜o, em geral, autofun¸˜es de H, co a a co ˆ ou seja, n˜o ser˜o estados estacion´rios. Sejam ent˜o φα fun¸˜es tais que a a a a co a− φα = αφα (243) Como o operador a− n˜o ´ hermiteano, os autovalores α ser˜o n´ meros com- a e a u plexos quaisquer. Lembremos que os estados estacion´rios podem ser escritos em termos do a estado fundamental assim: 1 ψn (x) = (a+ )n ψ0 (x) (244) n!(¯ ω)n h Vai ser importante nos c´lculos que faremos a seguir a seguinte quantidade: a 1 1 (ψn , φα ) = ((a+ )n ψ0 , φα ) = (ψ0 , (a− )n φα ) = n!(¯ ω)n h n!(¯ ω)n h αn = (ψ0 , φα ) (245) n!(¯ ω)n h Vamos agora expandir φα (x) em estados estacion´rios. Para simplificar a a nota¸˜o, vamos introduzir a abrevia¸˜o ca ca n Kn = (¯ ω)− 2 h 54
- 55. φα (x) = (ψn , φα )ψn n Kn α n = √ (ψ0 , φα )ψn n n! Kn α n = C √ ψn n n! Kn α n Kn = C √ √ (a+ )n ψ0 n n! n! Kn (αa+ )n 2 = C ψ0 (246) n n! Kn (αa+ )n 2 1 αa+ n φα (x) = C ψ0 = C ψ0 (247) n n! n n! hω ¯ A constante C ´ determinada normalizando-se φα (x), como segue: e 1 αa+ n 1 αa+ m 1 = (φα , φα ) = C 2 ψ0 , ψ0 n n! hω ¯ m m! hω ¯ ∗ n m 1 α 1 α = C2 ((a+ )n ψ0 , (a+ )m ψ0 ) n n! hω ¯ m m! hω ¯ 2n 1 |α| = C2 n!(¯ ω)n h n (n!)2 (¯ ω)2n h |α|2n 1 = C2 n n! (¯ ω)n h |α|2 = C 2 exp hω ¯ Logo, |α|2 C = exp − 2¯ ω h Voltando ` expans˜o, a a |α|2 αn φα (x) = exp − ψn (248) 2¯ ω h n n!(¯ ω)n h Para obter a dependˆncia temporal de φα (x) precisamos demonstrar um re- e sultado geral: 55
- 56. ˆ Teorema: Seja Ho hamiltoniano de um sistema f´ ısico, e sejam ψn (x) suas autofun¸˜es. co Sabemos que i ψn (x, t) = ψn (x) exp − En t h ¯ a ˆ onde os En s˜o os autovalores de H, ou seja, satisfazem as equa¸˜es co ˆ Hψn = En ψn . Seja φ(x) um estado qualquer desse sistema, e φ(x) = an ψn (x) n a co ˆ sua expans˜o nas autofun¸˜es de H no instante t = 0. Ent˜o, a i φ(x, t) = an ψn (x) exp − En t (249) n h ¯ onde os an s˜o os mesmos da expans˜o em t = 0. a a A demonstra¸˜o consiste em mostrar que φ(x, t) satisfaz a equa¸˜o de Schr¨dinger ca ca o ∂φ(x, t) ˆ i¯ h = Hφ(x, t) ∂t com a condi¸˜o inicial φ(x, t = 0) = φ(x). ca De fato, ∂ i i¯ ∂φ(x, t)∂t = i¯ h h an ψn (x) exp − En t n ∂t h ¯ i ˆ i = an En ψn (x) exp − En t =H an ψn (x) exp − En t n h ¯ n h ¯ ˆ = Hφ(x, t) A verifica¸˜o da condi¸˜o inicial ´ trivial. ca ca e Aplicando este teorema ` Eq.(248), temos a |α|2 αn i φα (x, t) = exp − ψn exp − En t (250) 2¯ ω h n n!(¯ ω)n h h ¯ ou |α|2 αn i φα (x, t) = exp − ψn exp − hω(n + 1/2)t ¯ 2¯ ω h n n!(¯ ω)n h h ¯ n |α|2 (αe−iωt ) iω φα (x, t) = exp − ψn exp − t (251) 2¯ ω h n n!(¯ ω)n h 2 56
- 57. Comparando com aEq.(248), vˆ-se que: e iωt φα (x, t) = φα(t) e− 2 (252) com α(t) = αe−iωt (253) Podemos agora calcular x no estado φα (x, t). ˆ x = (φα (x, t), xφα (x, t)) = φα(t) , xφα(t) ˆ ˆ ˆ (254) Da defini¸˜o de a+ e a− obt´m-se facilmente que ca e −i x= √ ˆ (a+ − a− ) 2m ω logo, −i x = φα(t) , xφα(t) = √ ˆ ˆ φα(t) , a+ φα(t) − φα(t) , a− φα(t) (255) 2m ω Mas a− φα(t) = α(t)φα(t) e, como a+ ´ o adjunto de a− , e a+ φα(t) = α∗ (t)φα(t) Logo, 1 x =√ ˆ {α∗ (t) − α(t)} (256) 2m ω Pondo α = |α| exp iδ, temos α(t) = |α|e−i(ωt−δ) e |α| 2 x =√ ˆ ei(ωt−δ) − e−i(ωt−δ) = |α| sin (ωt − δ) (257) 2m iω mω 2 e surgiu finalmente a oscila¸˜o procurada! O valor m´dio da posi¸˜o, nesse ca e ca estado, oscila exatamente como no caso cl´ssico. a 57
- 58. 13.1 Exerc´ ıcios Para uso nos exerc´ıcios subseq¨ entes, apresentamos aqui uma tabela de u fun¸˜es de onda de estados estacion´rios do oscilador harmˆnico. co a o 1/2 2 /2a2 1√ x n En ψn (x) = n!2n a π Hn a e−x 1/2 2 2 1 1 0 2 hω ¯ √ a π e−x /2a 1/2 2 2 3 1 1 2 hω ¯ √ 2a π 2 x e−x /2a a 1/2 2 2 2 5 1 2 2 hω ¯ √ 8a π 2−4 x a e−x /2a 1/2 3 2 2 7 1 3 2 hω ¯ √ 48a π 12 x − 8 x a a e−x /2a 1/2 2 4 2 /2a2 9 1√ 4 2 hω ¯ 384a π 12 − 48 x + 16 x a a e−x h ¯ onde a = mω . 1.(a) Mostre que o parˆmetro a que aparece na tabela ´ igual ao desloca- a e 1 mento m´ximo de um oscilador cl´ssico de energia 2 hω. a a ¯ 2 −x2 /2a2 (b) Verifique que a express˜o (1+bx )e a satisfaz a equa¸˜o de Schr¨dinger ca o 5 para o movimento harmˆnico simples com energia E = 2 hω. Qual o valor o ¯ para b? 2. Considere o meio-oscilador harmˆnico, isto ´, uma part´ o e ıcula cuja energia potencial ´ e V (x) = ∞ , x < 0 1 V (x) = kx2 , x ≥ 0 2 (a) Compareas fun¸˜es de onda dos estados estacion´rios deste sistema com co a as do oscilador harmˆnico normal com os mesmos valores de m e k. o (b) Quais s˜o as energia s permitidas para o meio-oscilador? a (c) Invente um sistema que seria o an´logo macrosc´pico deste sistema quˆntico. a o a 3. Regi˜es classicamente proibidas para o oscilador harmˆnico simples. o o Usando a fun¸˜o de onda normalizada para o estado fundamental do oscilador ca harmˆnico, calcule a probabilidade de que uma observa¸˜o da posi¸˜o detete o ca ca a part´ ıcula numa regi˜o classicamente proibida. A integral que vocˆ obter´ a e a n˜o pode ser resolvida analiticamente. Olhe o resultado num´rico numa a e 58
- 59. tabela da errorfunction, ou nos programas Maple ou Mathematica. 4. A tabela exibe as fun¸˜es Hn (x), denominadas polinˆmios de Hermite. co o −t2 +2tx (a)Mostre que e ´ uma fun¸˜o geratriz dos polinˆmios de Hermite, isto e ca o ´, que e ∞ n 2 t e−t +2tx = Hn (x) n=0 n! ao menos at´ n = 4. Determine H5 (x). e (b) Tomando a derivada desta express˜o, demonstre as rela¸˜es de recorrˆncia a co e d Hn (x) = 2nHn−1 (x) dx Hn+1 (x) = 2xHn (x) − 2nHn−1 (x) 5. Valendo-se da express˜o das fun¸˜es de onda do oscilador harmˆnico, a co o mostre que devemos esperar que ∞ 2 √ dxe−x Hn (x)Hm (x) = π2n n!δmn −∞ 14 Operadores unit´rios e simetrias a As quantidades observ´veis (resultados de medidas) aparecem, na mecˆnica a a quˆntica, sob a forma de produtos escalares de estados, a (ψ, φ) = dqψ(q)∗ φ(q) Um caso particular importante ´ um “elemento de matriz” de um operador e ˆ O: ˆ dqψ ∗ (q)Oφ(q) Como toda teoria, a mecˆnica quˆntica admite transforma¸˜es “de linguagem”: a a co por exemplo, quando eu descrevo o mesmo fenˆmeno usando dois sistemas o de eixos ortogonais, obtenho descri¸˜es distintas do mesmo fenˆmeno. Es- co o sas descri¸˜es devem ser equivalentes, j´ que representam a mesma coisa de co a pontos-de-vista distintos. E´ como se eu descrevesse o mesmo fenˆmeno em o inglˆs e em alem˜o: as descri¸˜es s˜o diferentes, mas tˆm o mesmo conte´ do. e a co a e u Como as quantidades f´ ısicas s˜o representadas pelos produtos escalares a de estados, ´ importante o estudo dos operadores que conservam os produtos e ˆ escalares, ou seja, dos operadores U que s˜o tais que a ˆ ˆ (Uψ, U φ) = (ψ, φ) (258) 59
- 60. ou, mais explicitamente, dqψ(q)∗ φ(q) = ˆ ˆ dq(Uψ(q))∗ U φ(q) (259) Um operador linear ´ unit´rio, por defini¸˜o, se e a ca ˆˆ ˆ ˆ U U + = U +U = 1 (260) ˆ Seja U um operador unit´rio e considere as transforma¸˜es de fun¸˜es de a co co onda: ˆ ψ ′ (q) = Uψ(q) ′ ˆ φ (q) = Uφ(q) Ent˜o, a ∗ dqψ ′∗ φ′ = ˆ dq U ψ ˆ Uφ = ˆ ˆ dqψ ∗ U + U φ = dqψ ∗ φ o que mostra que uma transforma¸˜o implementada por um operador unit´rio ca a conserva os produtos escalares. Mais detalhadamente, considere o produto escalar ˆ ˆ ψ, Oφ = dqψ ∗ (q)Oφ(q) Sejam ˆ ψ ′ (q) = U ψ(q) ′ ˆ Oφ(q) ˆ ˆ = U Oφ(q) Podemos escrever ′ ˆ Oφ(q) ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ = U Oφ(q) = U OU + Uφ(q) = U OU † φ′ (q) Logo, ∗ ˆ ψ ′ , (Oφ)′ = ˆ dq U ψ(q) ˆ ˆˆ ˆ U OU + U φ(q) = ˆ ˆ dqψ ∗ Oφ = ψ, Oφ Podemos interpretar este resultado assim: considere as transforma¸˜es co ˆ ψ → ψ ′ = Uψ ˆ φ → ψ ′ = Uψ ˆ ˆ ˆ ˆˆ O → O′ = U OU + 60
- 61. Ent˜o, temos: a ˆ dqψ ′∗ (q)O ′φ′ (q) = ˆ dqψ ∗ (q)Oφ(q) ˆ ˆ ˆˆ e ca ˆ ca ˆ onde O ′ ≡ U OU + ´ a transforma¸˜o de O pela a¸˜o do operador linear U . ˆe ˆ Diz-se que um operador O ´ invariante por uma transforma¸˜o unit´ria U se ca a ˆ ˆˆ ˆ U OU + = O ou, equivalentemente, se ˆˆ ˆˆ OU = U O (261) 14.1 Exemplos de operadores unit´rios a O leitor verificar´ sem dificuldade que o operador ˆ definido por a 1, ˆ =ψ 1ψ ´ unit´rio. Para dar exemplos mais ricos, precisaremos definir a exponencial e a de um operador. ˆ Define-se eO assim: ˆ 1 ˆˆ 1 ˆˆˆ 1 ˆ eO = ˆ + O + OO + OO O + ... (262) 2! 3! ˆ ˆˆ onde, naturalmente, se pode escrever O 2 em vez de OO, etc. A id´ia ´ e e usar a expans˜o da fun¸˜o exponencial num´rica como modelo da expans˜o a ca e a do operador. Usando-se esta defini¸˜o, pode-se demonstrar a importante ca rela¸˜o de Baker-Hausdorff-Campbell: ca ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ eA Be−A = B + [A, B] + [A, [A, B]] + [A, [A, [A, B]]] + ... (263) 2! 3! ca e ˆ Uma aplica¸˜o imediata ´ esta: para B = 1, temos ˆ ˆ eA e−A = 1 ˆ 1] ˆ ˆ pois [A, ˆ = 0. Logo, e−A ´ o operador inverso de eA . e ˆ ˆ ˆ Considere um operador da forma eiO , com O = O + , ou seja, hermiteano. Temos ent˜o, a ˆ + ˆ+ ˆ eiO = e−iO = e−iO Logo, ˆ ˆ + eiO eiO =1 61
- 62. ˆ ˆ ou seja, eiO ´ unit´rio se O for hermiteano. e a Exemplo: os seguintes operadores s˜o unit´rios: a a i U(ǫ) = e h ǫpˆx ¯ i ˆ U(∆t) = e− h H∆t ¯ Chama-se operadores unit´rios infinitesimais operadores da forma a ˆ ˆ U = 1 + iǫO ˆ ˆ com O = O + . Note-se que um operador desse tipo ´ o truncamento da s´rie e e ˆ iǫO que define o operador unit´rio e a que mant´m apenas os dois primeiros e termos. Ou seja, um operador unit´rio infinitesimal satisfaz a condi¸˜o a ca de unitaridade desde que se desprezem termos que contenham potˆncias e ˆ quadr´ticas de ǫ ou maiores. Explicitamente, temos, se U = 1 + iǫO, a ˆ ˆ + ˆ U = 1 − iǫO, e ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ U U + = (1 + iǫO)(1 − iǫO) = 1 + iǫO − iǫO + ǫ2 (...) ≈ 1 ˆ Seja B um operador invariante por uma transforma¸˜o implementada pelo ca i ˆ operador unit´rio infinitesimal 1 + ¯ ǫO. Ent˜o a h a ˆ iǫ ˆ ˆ iǫ ˆ ˆ iǫ ˆ ˆ iǫ ˆ ˆ ˆ iǫ ˆ ˆ B = 1 + O B 1 − O = B + OB − B O = B + [O, B] h ¯ h ¯ h ¯ h ¯ h ¯ ˆ ˆ Logo, devemos ter [O, B] = 0. Sumarizando: iǫ ˆ ˆ ca a ˆ ¯ a ˆ ˆ Seja B invariante pela transforma¸˜o unit´ria U = e h O . Ent˜o, [B, O] = 0. ˆ Define-se simetria de um sistema com hamiltoniano H uma transforma¸˜o ca iǫ ˆ a ˆ unit´ria que deixa o hamiltoniano invariante. Seja U = e h O uma simetria. ¯ ˆ ˆ ˆ ˙ Ent˜o, por defini¸˜o, [H, O] = 0. Ora, isto significa que o operador O = 0, ou, a ca em outras palavras,que a quantidade f´ ısica associada ao operador hermiteano ˆ ´ conservada. Desta forma associamos simetrias a leis de conserva¸˜o : a Oe ca cada simetria corresponde uma quantidade conservada. Este resultado, na f´ ısica cl´ssica, ´ conhecido como o teorema de Noether. a e 14.2 Exerc´ ıcios d2 1.(a)Construa o adjunto do operador dx2 − a exp (ix) onde a ´ um n´ mero e u real. (b) Mostre que [p, f (r)] = ¯ ∇f (r). h i 62
- 63. ˆ ˆ ˆa 2. Os trˆs operadores A, B e C s˜o dados por e ˆ Aψ(x) = x3 ψ(x) ˆ dψ Bψ(x) = x dx x ˆ Cψ(x) = uψ(u)du −∞ ˆ ˆ ˆ ˆ (i)Calcule [A, B] e [B, C]. (ii)Resolva o problema de autovalores ˆ Cψ(x) = λψ(x) exigindo que ψ(x) seja normaliz´vel. Que restri¸˜o isto imp˜e sobre λ? a ca o 3. Determine o operador unit´rio que efetua, sobre a fun¸ao de onda de a c˜ um sistema, uma transla¸˜o espacial ψ(r) → ψ(r + ǫ), onde ǫ ´ um “vetor ca e infinitesimal”. Usando o fato de que uma sucess˜o de transla¸˜es independe a co da ordem em que s˜o realizadas, demonstre que os operadores de momento a ˆ ˆ px , py e pz comutam. Aproveite para mostrar que esses operadores s˜o her- ˆ a miteanos, sem calcular qualquer integral. 15 Rota¸˜es e o momento angular co Uma part´ ıcula de massa m est´ em um estado de fun¸˜o de onda ψ(r). a ca Vamos executar uma rota¸˜o infinitesimal δω sobre o sistema.16 Em sua ca nova posi¸˜o, a fun¸˜o de onda ser´ ca ca a ψ(r + δr) = ψ(r) + (δω × r).∇ψ(r) , desprezando-se os termos a partir dos quadr´ticos em |δω|. Como a (δω × r).∇ = δω.(r × ∇) podemos escrever ψ(r + δr) = ψ(r) + δω.(r × ∇).ψ(r) = 1 + δω.(r × ∇) ψ(r) i = 1 + δω.(r × (−i¯ )∇) ψ(r) h (264) h ¯ 16 Eq¨ ivalentemente, uma rota¸˜o −δω sobre o sistema de eixos em rela¸˜o ao qual o u ca ca sistema ´ referido. e 63
- 64. i ψ(r + δr) = 1 + δω.(ˆ × ˆ ψ(r) r p) (265) h ¯ ˆ Denotando o operadorˆ × ˆ por L, temos r p i ˆ ψ(r + δr) = 1 + δω.L ψ(r) (266) h ¯ ˆ O operador L ´ denominado momento angular, e ´ escrito, mais detalhada- e e mente, como ˆ ˆ ˆ ˆ L = Lx i + Ly j + Lz k Da Eq.(264) se tira a express˜o a ˆ L = −i¯ ˆ × ∇ hr (267) ou, para as componentes, ˆ ∂ ∂ Lx = −i¯ y h −z (268) ∂z ∂y ˆ ∂ ∂ Ly = −i¯ z h −x (269) ∂x ∂z ˆ ∂ ∂ Lz = −i¯ x h −y (270) ∂y ∂x ˆ Como L ´ hermiteano (por que?), e ˆ i ˆ U (δω) = 1 + δω.L h ¯ ´ unit´rio, e ´ a parte infinitesimal de e a e i ˆ ˆ U = e h δω.L ¯ que, atuando sobre a fun¸˜o de onda de um sistema, produz a fun¸˜o de ca ca onda do mesmo, rodado de δω. Exemplo: (1) Rota¸˜o em torno do eixo z: usando coordenadas esf´ricas, uma rota¸˜o em torno do ca e ca eixo z muda o valor da coordenada φ. A rota¸˜o que leva φ em φ + ∆φ ´ caracterizada ca e por δω = δωz k, com δωz = ∆φ. Logo, i ˆ i ˆ U (δω) = 1 + δωz k.L = 1 + ∆φLz h ¯ h ¯ 64
- 65. Seja ψ(φ) afun¸˜o de onda do sistema (explicitamos apenas o argumento que ser´ alterado. ca a A fun¸˜o de onda normalmente depender´ de r, θ e φ, quando o sistema ´ descrito em ca a e termos de coordenadas esf´ricas). A rota¸˜o considerada leva ψ(φ) → ψ(φ + ∆φ). Mas e ca ∂ ∂ ψ(φ + ∆φ) = ψ(φ) + ∆φ ψ(φ) = 1 + ∆φ ψ(φ) ∂φ ∂φ para transforma¸˜es infinitesimais, e usando a f´rmula dos acr´scimos finitos do C´lculo. co o e a Outra maneira de escrever isto ´ e i ˆ ψ(φ + ∆φ) = 1+ ∆φLz ψ(φ) h ¯ Comparando as duas express˜es, tira-se facilmente que o ˆ ∂ Lz = −i¯ h (271) ∂φ A express˜o expl´ a ˆ ˆ ˆ ıcita dos operadores Lx , Ly e Lz em coordenadas esf´ricas e pode tamb´m ser obtida diretamente da Eq.(270) utilizando as f´rmulas de e o transforma¸˜o ca r = x2 + y 2 + z 2 √ 2 x + y2 θ = arctan z y φ = arctan . x Trata-se de um c´lculo simples mas trabalhoso. Vamos seguir um caminho a indireto mas mais iluminante. Primeiro, ´ conveniente medir o momento e ˆ angular em unidades de h, isto ´, introduzir o operador l tal que ¯ e ˆ ˆ L = hl ¯ onde , de novo, ˆ ˆ l = lx i + ˆy j + ˆz k l l ˆ As express˜es para as componentes de l s˜o, como segue de (270), o a ˆx = −i y ∂ − z ∂ l (272) ∂z ∂y ˆy = −i z ∂ − x ∂ l (273) ∂x ∂z ˆz = −i x ∂ − y ∂ l (274) ∂y ∂x 65
- 66. Por um c´lculodireto, ou pelo uso da regra de Dirac17 obtˆm-se: a e [ˆa , ˆb ] = iǫabc ˆc l l l (275) ˆ Como as componentes l n˜o comutam entre si, n˜o h´ autofun¸˜es comuns a a a co dessas componentes. Introduzindo o momento angular total ˆ ˆ2 ˆ2 ˆ2 l = lx + ly + lz observamos que ˆ2 [l , ˆx ] = [ˆx , ˆx ] + [ˆy , ˆx ] + [ˆz , ˆx ] l l2 l l2 l l2 l Como [ˆx , ˆx ] = 0 l2 l (276) [ˆ2 , ˆx ] = −iˆy ˆz − iˆz ˆy l l y l l l l (277) [ˆz , ˆx ] = iˆz ˆy + iˆy ˆz l2 l l l l l (278) segue que ˆ2 [l , ˆx ] = 0 l A dire¸˜o x n˜o tendo nenhum privil´gio, segue que: ca a e ˆ2 ˆ2 [l , ˆy ] = [l , ˆz ] = 0 , l l ˆ2 Sendo assim, podemos construir autofun¸˜es comuns a l e uma das compo- co ˆ nentes de l. Por causa da express˜o simples de ˆz em coordenadas esf´ricas, a l e ˆ2 ˆ escolhemos o par l ,lz . 17 A regra de Dirac diz: sejam A(pi , qi ) e B(pi , qi ) duas quantidades f´ ısicas da mecˆnica a cl´ssica, e seja {A, B} o produto de Poisson (parˆnteses de Poisson) delas. Ent˜o, se A e B a e a ˆ ˆ s˜o os operadores hermitianos que representam essas quantidades na mecˆnica quˆntica, a a a temos a igualdade simb´lica: o ˆ ˆ [A, B] = −i¯ {A, B} h Ou seja, para obter o valor do comutador, calcula-se o produto de Poisson das quantidades cl´ssicas correspondentes, multiplicando-se o resultado por −i¯ . Exemplo: a h ˆ ˆ ˆ {La , Lb } = −ǫabc Lc . Logo, [La , Lb ] = i¯ ǫabc Lc . h 66
- 67. 16 Autofun¸˜es do momento angular co Por raz˜es t´cnicas ´ conveniente introduzir os operadores n˜o-hermiteanos o e e a ˆ+ = lx + iˆy l l (279) ˆ− = ˆx − iˆy l l l (280) Seus principais comutadores s˜o: a ˆ2 [l , ˆ± ] = 0 l (281) [ˆz , ˆ+ ] = ˆ+ l l l (282) [ˆz , ˆ− ] = −ˆ− l l l (283) todas f´ceis de obter. Note-se ainda que a 2 ˆ+ ˆ− = ˆ − l2 + ˆz l l l ˆ l (284) z 2 ˆ− ˆ+ = ˆ − ˆ2 − ˆz l l l lz l (285) 16.1 As autofun¸˜es da componente z do momento an- co gular As autofun¸˜es de ˆz s˜o fun¸˜es ψ(φ) tais que co l a co ˆz ψ(φ) = lz ψ(φ) l (286) onde lz ´ um n´ mero. Omitimos aqui, por simplicidade, as outras vari´veis, e u a r e θ, de que a fun¸˜o ψ em geral depende porque s˜o irrelevantes para este ca a problema. Como ˆz = −i ∂ l ∂φ temos, para a Eq.(286), ∂ψ −i = lz ψ (287) ∂φ cuja solu¸˜o ´ ca e ψ(φ) = Keilz φ . Devemos ainda ter ψ(φ + 2nπ) = ψ(φ) 67
- 68. o que exigeque eilz 2nπ = 1 ou seja, que lz seja um n´ mero inteiro. Vamos denot´-lo por m. Ent˜o, u a a ˆz eimφ = meimφ l (288) que ´ satisfeita para qualquer m inteiro, −∞ < m < ∞. Normalizando, e temos 1 ψm (φ) = √ exp (imφ) (289) 2π 16.2 Autofun¸˜es simultˆneas do momento angular to- co a tal e da componente z Seja ψ(φ) a autofun¸˜o de ˆz de autovalor m. Calculemos ca l ˆz ˆ+ ψm l l = (ˆz ˆ+ − ˆ+ ˆz + ˆ+ ˆz )ψm l l l l l l = [ˆz , ˆ+ ]ψm + l+ ˆz ψm l l ˆl = ˆ+ ψm + mˆ+ ψm l l = (m + 1)(l ˆ+ ψm ) Logo, se ˆz ψm = mψm , ent˜o l a ˆ+ ψm = Kψm+1 l Analogamente se mostra que ˆ− ψm = K ′ ψm−1 l Assim, usando os operadores ˆ+ e ˆ− , pode-se varrer todo o espectro do op- l l ˆz . erador l Considere o operador ˆ2 ˆ2 ˆ2 ˆ2 l − lz = lx + ly . ˆ e Lema:Se O ´ hermiteano, ˆ O2 ≥ 0 (290) para qualquer estado. Demonstra¸˜o: ca ∗ ˆ dqψ ∗ (q)O 2ψ(q) = ˆ dq Oψ(q) ˆ Oψ(q) = ˆ dq|Oψ(q)|2 ≥ 0 68
- 69. Em particular, segueque ˆx + ˆy ≥ 0, logo, l2 l2 ˆ2 ˆ2 l − lz ≥ 0 (291) ˆ2 A constru¸˜o das autofun¸˜es de l ´ facilitada pelo fato de que a express˜o ca co e a ˆ2 de l ´ um operador diferencial familiar ` f´ e a ısica cl´ssica. De fato, um c´lculo a a direto leva a ˆ± = exp (±iφ) ± ∂ + i cot θ ∂ l (292) ∂θ ∂φ e, como ˆ2 ˆ ˆ l = l+ l− + ˆ2 − ˆz l lz obt´m-se e ˆ2 1 ∂2 1 ∂ ∂ l =− 2 2 + (sin θ ) (293) sin θ ∂φ sin θ ∂θ ∂θ Acontece que o laplaceano em coordenadas esf´ricas ´ e e 1 ∂ ∂ 1 ∂2 1 ∂ ∂ ∇2 = r2 + 2 + (sin θ ) (294) r2 ∂r ∂r sin θ ∂φ 2 sin θ ∂θ ∂θ ou seja, ˆ2 1 ∂ ∂ l ∇2 = 2 r2 − 2 (295) r ∂r ∂r r Os f´ ısicos do s´culo XIX resolveram o problema de determinar as autofun¸˜es e co ˆ2 18 de l : essas fun¸˜es s˜o os harmˆnicos esf´ricos, Ylm (θ, φ), que satisfazem co a o e as equa¸˜es de autovalores co ˆ2 l Ylm (θ, φ) = l(l + 1)Ylm(θ, φ) (296) ˆz Ylm (θ, φ) = mYlm (θ, φ) l (297) Os harmˆnicos esf´ricos s˜o muito bem conhecidos. Para um estudo de- o e a les no contexto cl´ssico as minhas referˆncias preferidas s˜o Courant [6] e a e a Sommerfeld [9]. Nessas notas, usando t´cnicas que introduziremos a seguir, e construiremos explicitamente os Ylm . Para o momento ´ suficiente informar e que Ylm (θ, φ) = K P l m (θ) exp (imφ) 18 Naturalmente eles n˜o sabiam mecˆnica quˆntica, mas estudavam vibra¸˜es de corpos a a a co el´sticos.Um dos problemas dessa ´rea, por exemplo, ´ a determina¸˜o das frequˆncias que a a e ca e um tambor, de determinada forma, pode emitir. Trata-se de um problema de autovalores : as freq¨ˆncias emitidas s˜o as autofreq¨ˆncias. ue a ue 69
- 70. ou seja, ´o produto de uma fun¸˜o de θ por uma autofun¸˜o de ˆz . e ca ca l ca co ˆz s˜o as fun¸˜es exp (imφ) Uma observa¸˜o importante: as autofun¸˜es de l a co ˆ2 para qualquer inteiro m. Quando construirmos as autofun¸˜es comuns a l co e ˆz , veremos que m sofrer´ mais restri¸˜es. De fato, como temos l a co ˆ2 ˆ2 l − lz ≥ 0 segue que ˆ2 dqYlm (q) l − ˆz Ylm (q) = l(l + 1) − m2 ∗ l2 dqYlm (q)Ylm(q) = l(l + 1) − m2 ≥ 0 ∗ (298) Portanto, dado l, m n˜o pode ser qualquer inteiro. O maior valor permitido a ´ tal que e l(l + 1) ≥ m2 Vˆ-se imediatamente que m = l ´ permitido, mas m = l + 1 ´ proibido. Logo, e e e o m´ximo valor permitido de m para as autofun¸˜es Ylm (q) ´ m = l. Um a co e argumento an’alogo mostra que o menor ´ m = −l. Resumindo, e −l ≤ m ≤ l Neste intervalo, ˆ2 l Ylm (θ, φ) = l(l + 1)Ylm (θ, φ) (299) ˆz Ylm (θ, φ) = mYlm (θ, φ) l (300) Assim, para cada l h´ 2l + 1 valores distintos de m. a 16.2.1 Constru¸˜o dos harmˆnicos esf´ricos ca o e Chamaremos de operadores vetoriais operadores do tipo ˆ ˆ ˆ ˆ T = Tx i + Ty j + Tz k e que satisfazem as seguintes rela¸˜es de comuta¸˜o com as componentes do co ca momento angular: [ˆa , Tb ] = iǫabc Tc l ˆ ˆ (301) onde a costumeira conven¸˜o indica uma soma sobre os valores do ´ ca ındice c, ˆ (1) e T (2) dois operadores desse tipo, e, sendo T ˆ (1) (2) [ˆi , Tj Tj ] = 0 l ˆ ˆ (302) 70
- 71. ˆ ˆ ˆa Exemplos: r , p e L s˜o, todos, operadores vetoriais. Das rela¸˜es acima segue, em particular, que, para qualquer operador co ˆ vetorial T , [ˆi , Tj Tj ] = 0 l ˆ ˆ (303) ˆ Seja T um operador vetorial. Ser´ util introduzir um “operador escada”, a´ da seguinte forma: ˆ ˆ ˆ T + = Tx + iTy (304) Facilmente se verifica que [ˆz , T+ ] = T+ l ˆ ˆ (305) bem como [ˆx , T+ ] = −Tz l ˆ ˆ (306) [ˆy , T+ ] = −iTz l ˆ ˆ (307) ˆ2 ˆ Vamos agora calcular o comutador [l , T+ ]. Lembrando que ˆ2 ˆ2 ˆ2 ˆ2 l = lx + ly + lz e usando as rela¸˜es acima, temos, ap´s um pouco de paciˆncia, co o e ˆ2 ˆ [l , T+ ] = 2[T+ ˆz − Tz ˆ+ ] + 2T+ ˆ l ˆl ˆ (308) ˆ2 Sejam Ylm as autofun¸˜es de l e, em particular, seja Yll aquela com m´ximo co a valor de m, para um dado l. Vamos mostrar que ˆ T+ Yll = KYl+1,l+1 (309) onde K ´ uma constante. e De fato, ˆ2 l Yll = l(l + 1)Yll (310) 2 ˆ ˆ ˆ T+ (l Yll ) = l(l + 1)T+ Yll (311) 2 ˆ ˆ Ora, o operador T+ l pode ser escrito assim: 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ˆ ˆ ˆ 2 ˆ2 ˆ T+ l = T+ l − l T+ + l T+ = [T+ , l ] + l T+ (312) Logo,a Eq.(311) pode ser escrita 2 ˆ ˆ ˆ2 ˆ [T+ , l ]Yll + l (T+ Yll ) = l(l + 1)Yll (313) 71
- 72. Usando a Eq.(308), ˆ2 ˆ 2Tz l+ Yll − 2T+ˆz Yll − 2T+ Yll + L (T+ Yll ) = l(l + 1)(T+ Yll ) ˆˆ ˆ l ˆ ˆ (314) Como ˆ+ Yll = 0, obtemos sem dificuldade que l ˆ2 ˆ ˆ l (T+ Yll ) = (l(l + 1) + 2l + 2) (T+ Yll ) (315) ou, finalmente, ˆ2 ˆ ˆ l (T+ Yll ) = (l + 1)(l + 2)(T+ Yll (316) 2 ˆ ˆ que significa que T+ Yll ´ autofun¸ao de l de autovalor (l + 1)(l + 2). Logo, e c˜ ˆ T+ Yll = KYl+1,l+1 (317) Este resultado mostra que, se determinarmos Y00 , seremos capazes de construir Yll para qualquer l, sem ter de resolver equa¸˜es diferenciais. co Para determinar Y00 (θ, φ) note-se que ˆz Y00 (θ, φ) = 0 l (318) e ˆ− Y00 = 0 l ˆ l+ Y00 = 0 Da´ segue facilmente que ı ˆx Y00 = 0 l (319) ˆy Y00 = 0 l (320) Dessas duas e da Eq.(318), segue que i 1 + ǫ¯ ˆj Y00 = Y00 hl (321) h ¯ para j = 1, 2, 3. Isto quer dizer que Y00 ´ invariante por rota¸˜es infinitesi- e co mais em torno dos eixos x, y, z, ou seja, ´ invariante por qualquer rota¸˜o e ca infinitesimal. Logo, ´ esfericamente sim´trica, n˜o podendo depender de θ e e a ou φ. Mas essas s˜o as suas unicas vari´veis. Portanto, Y00 ´ constante. A a ´ a e menos de normaliza¸˜o , podemos ent˜o tomar ca a Y00 = 1 Considere o operador vetorial ˆ e vamos construir o operador T+ associado r, ˆ a ele, que seria o operador ˆ+ = x + iˆ r ˆ y 72
- 73. Como os operadoresx e y s˜o multiplicativos, vamos cometer um ligeiro ˆ ˆ a abuso de nota¸˜o, omitindo a “casinha”(acento circunflexo, vers˜o chinesa). ca a Assim, escreveremos, sem a menor cerimˆnia, o r+ = x + iy deixando claro que se trata de operadores. J´ que estamos com a m˜o na a a r ˆ+ associado massa, vamos estudar, em lugar de r, o operador r . O operador T a ele ´ e ˆ x + iy T+ = (322) r Temos, ent˜o, a x + iy x + iy x + iy .Y00 = .1 = = KY11 (θ, φ) (323) r r r ou seja, x + iy Y11 (θ, φ) = cte. × = cte. × (sin θ cos φ + i sin θ sin φ) (324) r ou ainda, Y11 (θ, φ) = cte. × sin θ exp (iφ) (325) De uma maneira geral, teremos: l x + iy Yll (θ, φ) = K (326) r Para obter Ylm ˆ basta fazer uso do operador l− . x + iy l l−m Ylm (θ, φ) = K ˆ− l (327) r A determina¸˜o de K ´ feita pela normaliza¸˜o dos Ylm , ca e ca 2π π dφ sin θdθ|Ylm(θ, φ) = 1 (328) 0 0 Toma-se usualmente K real, o que fornece a seguinte tabela de harmˆnicos o esf´ricos: e 1 Y00 (θ, φ) = √ 4π 1 3 2 Y1,±1 = ∓ sin θe±iφ 8π 1 3 2 Y1,0 = cos θ (329) 4π e assim por diante. 73
- 74. 16.3 Exerc´ ıcios 1. Prove que [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B i 2. Prove que, se [H, li ] = 0 ent˜o [H, exp ¯ θ¯ li ] = 0, com li i = 1, 2, 3 sendo a h h as componentes do operador de momento angular. De fato, o resultado vale para qualquer operador que comute com o hamiltoniano H, e, portanto, para o pr´prio H. Enuncie e comente este ultimo caso. Mais precisamente, mostre o ´ que ´ sempre verdade que [H, e ˆ exp − i Ht] = 0. ˆ h ¯ 3. Mostre que o operador ˆ + ¯ ∆θ¯ ˆi “roda” o sistema de um ˆngulo in- 1 h hli a finitesimal ∆θ em torno do eixo i. A generaliza¸˜o para ˆngulos θ arbitr´rios ca a a ´ exp ¯ θ¯ ˆi . Seja U(θ) = exp ¯ θ¯ ˆi . Vimos no exerc´ e h i hl i h hl ıcio anterior que, se [H, li ] = 0, ent˜o [H, U(θ)] = 0. Seja ψ tal que Hψ = Eψ,e considere a ψ ′ = U(θ)ψ. Mostre que Hψ ′ = Eψ ′ , com o mesmo E anterior. Chegue a uma conclus˜o an´loga usando o ultimo resultado do exerc´ 2. a a ´ ıcio 4. Mostre que se a energia potencial de um sistema ´ V (r), independente de e θ e φ, ent˜o [H, li ] = 0, para i = 1, 2, 3. a 5. Mostramos no curso que 1 m|lx | m − 1 = m − 1|lx |m = (l + m)(l − m + 1) 2 i m|ly |m − 1 = − m − 1|ly |m = − (l + m)(l − m + 1) 2 que, trocado em mi´ dos, quer dizer que u 2π π ∗ 1 dφ dθ sin θYlm lx Yl,m−1(θ, φ) = (l + m)(l − m + 1) 0 0 2 (a) Escreva os demais elementos de matriz dessa forma. (b)Considere o harmˆnico esf´rico Ylm (θ, φ = π/2). Temos o e i exp ∆θ¯ lx Ylm (θ, π/2) = Ylm (θ + ∆θ, π/2) h h ¯ i Por outro lado, exp h ¯ ∆θ¯ lx h = 1 + iδθlx e, usando os elementos de matriz acima, ∆θ (1 + i∆θlx )Ylm (θ, π/2) = Ylm (θ, π/2) + i (l + m + 1)(l − m)Yl,m+1 (θ, π/2) 2 ∆θ + i (l + m)(l − m + 1)Yl,m−1 (θ, π/2) 2 Logo, ∆θ Ylm (θ + ∆θ, π/2) = Ylm (θ, π/2) + i (l + m + 1)(l − m)Yl,m+1(θ, π/2) 2 ∆θ + i (l + m)(l − m + 1)Yl,m−1 (θ, π/2) 2 74
- 75. Verifique cuidadosamente oargumento acima (o professor j´ est´ meio velho...) a a e depois teste-o no caso particular l=1. Neste caso os harmˆnicos esf´ricos o e s˜o: a 1/2 3 Y1,0 = cos θ 4π 1/2 3 Y1,±1 = ∓ sin θe±iφ 8π 17 Potenciais com simetria central Chamam-se assim os potenciais que, expressos em coordenadas esf´ricas, s˜o e a fun¸˜es apenas da vari´vel radial r. O caso mais importante, naturalmente, co a ´ o do ´tomo de Hidrogˆnio. Vamos tratar primeiramente o caso geral. e a e h2 2 ¯ − ∇ ψ(r, θ, φ) + V (r)ψ(r, θ, φ) = Eψ(r, θ, φ) (330) 2m ´ a equa¸˜o de Schr¨dinger para estados estacion´rios de uma part´ e ca o a ıcula de massa m cuja energia potencial depende apenas da distˆncia ` origem. Uti- a a lizando coordenadas esf´ricas, temos e ˆ2 1 ∂ ∂ l ∇2 = 2 r2 − 2 (331) r ∂r ∂r r onde ˆ2 1 ∂2 1 ∂ ∂ l =− 2 + (sin θ ) (332) sin θ ∂φ2 sin θ ∂θ ∂θ ´ o operador de momento angular total (veja Eq.(294) e anteriores). e Vamos procurar solu¸˜es da Eq.(331) que sejam da forma co ψ(r, θ, φ) = R(r)Ylm(θ, φ) ˆ2 Como l Ylm = l(l + 1)Ylm, tem-se h2 1 ¯ d dR R(r) − Y (θ, φ) 2 lm r2 − 2 l(l + 1)Ylm (θ, φ) + 2m r dr dr r +V (r)R(r)Ylm (θ, φ) = ER(r)Ylm (θ, φ) (333) Cancelando Ylm , h2 1 d ¯ dR h2 l(l + 1) ¯ − 2 dr r2 + R(r) + V (r)R(r) = ER(r) (334) 2m r dr 2mr 2 75
- 76. Introduzimos agora afun¸˜o ca u(r) = rR(r) satisfazendo u(0) = 0. Reescrevendo a Eq.(334) em termos de u(r), obt´m-se e h2 d2 u ¯ h2 l(l + 1) ¯ − 2 + + V (r) u(r) = Eu(r) (335) 2m dr 2mr 2 Esta ´ a chamada equa¸˜o radial de Schr¨dinger, e cont´m toda a dinˆmica. e ca o e a Lembrando a condi¸˜o u(0) = 0, decorrˆncia de que u(r) = rR(r) com ca e R(r) regular na origem (os casos interessantes fisicamente n˜o s˜o aqueles a a em que a part´ ıcula tem probabilidade zero de estar em qualquer lugar que n˜o a origem!), podemos interpretar a equa¸˜o acima como uma equa¸˜o de a ca ca Schr¨dinger de um movimento unidimensional sujeito aos seguintes “poten- o ciais”:(a) Uma parede impenetr´vel em r = 0, que impede a passagem da a part´ıcula para valores negativos de r. (b) Um potencial do tipo r12 repulsivo, chamado de potencial centr´ ıfugo. (c) O verdadeiro potencial, V (r). O potencial centr´ ıfugo vem do fato de que a elimina¸˜o das vari´veis θ e φ, ´ ca a e formalmente eq¨ ivalente a colocar-se em um sistema de referˆncia que “gira” u e com o sistema f´ ısico, ou seja, em um sistema n˜o-inercial. Surgem, ent˜o, as a a chamadas for¸as de in´rcia, das quais a for¸a centr´ c e c ıfuga ´ a mais popular.19 e 18 O ´tomo de Hidrogˆnio a e O n´ cleo do ´tomo de hidrogˆnio ´ cerca de 2000 vezes mais pesado do que u a e e um el´tron. Por isso se pode ignorar o movimento do n´ cleo e descrever e u o ´tomo simplesmente como um el´tron movendo-se com energia potencial a e 2 V (r) = − Ze . A Eq.(335) ´ ent˜o escrita r e a h 2 d2 u ¯ h2 l(l + 1) Ze2 ¯ − 2 + − u(r) = Eu(r) (336) 2m dr 2mr 2 r Note-se que esta equa¸˜o descreve mais do que o ´tomo de hidrogˆnio: a ca a e intera¸˜o de um el´tron com um campo coulombiano possui tamb´m casos ca e e em que o el´tron n˜o permanece nas proximidades do n´ cleo, mas afasta-se e a u indefinidamente dele: trata-se do espalhamento de um el´tron por um campo e coulombiano. Aqui vamos estudar apenas os estados ligados do el´tron: aque- e les em que ele est´ preso ao n´ cleo, formando um ´tomo. O que caracteriza a u a 19 O leitor dedicado gostar´ de investigar por que n˜o aparece tamb´m um potencial a a e correspondente `s for¸as de Coriolis. a c 76
- 77. esses estados, naEq.(336), ´ que eles possuem energia negativa. Portanto, e estudaremos as solu¸˜es do problema de autovalores dado pela Eq.(336), com co E < 0, e, portanto, E = −|E|. ´ E conveniente introduzir vari´veis adimensionais. Substituiremos r por a 8m|E| ρ= r (337) h ¯ e a energia , ou, antes, o seu inverso, por m Ze2 λ= (338) 2|E| h ¯ Deixamos ao leitor a tarefa de verificar que, efetivamente, ρ e λ s˜o quanti- a dades adimensionais. Verifica-se facilmente que d2 u 8m|E| d2 u = dr 2 h2 dρ2 ¯ e que a Eq.(336) pode ser reescrita como d2 u l(l + 1) Ze2 m 1 − + u− u=− u (339) dρ2 ρ2 h ¯ 2|E| 4 ou, finalmente, d2 u l(l + 1) λ 1 2 − 2 u+ − u=0 (340) dρ ρ ρ 4 Resolver este problema de autovalores consiste em determinar os pares (u, λ) submetidos ` condi¸˜o de que a ca lim u(r) = 0 r→∞ que corresponde ao fato de que o ´tomo tem dimens˜es finitas. a o Para resolver este problema utilizaremos uma t´cnica devida a Sommer- e feld. Em primeiro lugar, estudaremos que tipos de comportamento assint´tico, o para ρ grande, as solu¸˜es de Eq.(340) podem ter. Note-se que a equa¸˜o co ca d2 u 1 − u=0 (341) dρ2 4 coincide com a Eq.(340) para grandes valores de ρ. Podemos, portanto, afir- mar que as solu¸˜es de Eq.(341) devem coincidir com o limite, para grandes co ρ, das solu¸˜es da Eq.(340). co 77
- 78. 18.1 Determinando o comportamento assint´tico o Considere a equa¸˜o ca d2 u 1 − u=0 (342) dρ2 4 du e vamos multiplicar cada um de seus termos por dρ , obtendo du d2 u 1 du 2 = u dρ dρ 4 dρ O leitor verificar´ facilmente que esta equa¸˜o ´ a mesma que a ca e 2 d du 1 d 2 = u (343) dρ dρ 4 dρ ou 2 d du u2 − =0 (344) dρ dρ 4 Portanto, 2 du u2 − =K dρ 4 onde K ´ uma constante. Mas tanto u quanto as suas derivadas tendem e a zero no infinito. Logo, a constante K deve ser nula, pois, calculada no infinito ´ nula, e tem o mesmo valor em todos os pontos. Conseq¨ entemente, e u 2 du u2 = (345) dρ 4 e du u =± (346) dρ 2 As solu¸˜es dessas equa¸˜es s˜o co co a ρ u(ρ) = exp ± (347) 2 das quais a que satisfaz os requisitos f´ ısicos de se anular no infinito ´ e ρ u(ρ) = exp − (348) 2 Este ´, ent˜o, o comportamento assint´tico que as solu¸˜es da Eq.(340) de- e a o co vem ter. 78
- 79. 18.2 As solu¸˜es da equa¸˜o radial co ca Vamos ent˜o procurar solu¸˜es da Eq.(340) da forma a co ρ u(ρ) = F (ρ) exp − , (349) 2 F (ρ) sendo um polinˆmio em ρ. A raz˜o de ser um polinˆmio ´ que o com- o a o e portamento assint´tico de (349) deve ainda ser dado pelo termo exponencial, o o que ´ garantido se F (ρ) for um polinˆmio. Uma an´lise mais fina mostraria e o a que, se se admitisse que F (ρ) fosse uma s´rie infinita, sua soma seria essen- e cialmente uma exponencial em ρ, alterando o comportamento assint´tico.20 o Seja F (ρ) uma express˜o da forma a ∞ F (ρ) = Ak ρk , (350) k=1 onde a potˆncia mais baixa ´ a primeira para assegurar que e e F (0) = 0 . Derivando termo a termo, temos ∞ dF = kAk ρk−1 dρ k=1 2 ∞ dF = k(k − 1)Ak ρk−2 dρ2 k=1 Inserindo estas express˜es na Eq.(350), temos o ∞ λ l(l + 1) k(k − 1)Ak ρk−2 − kAk ρk−1 + − Ak ρk =0 (351) k=1 ρ ρ2 O coeficiente da potˆncia k de ρ ´ dado por e e (k + 2)(k + 1)Ak+2 − (k + 1)Ak+1 + λAk+1 − l(l + 1)Ak+2 = 0 (352) para que a equa¸˜o diferencial seja satisfeita termo a termo. Diminuindo o ca valorde k de uma unidade, temos uma rela¸˜o mais conveniente: ca Ak+1 [(k + 1)k − l(l + 1)] = (k − λ)Ak (353) 20 Ver, por exemplo, Dicke, Wittke,Introduction to Quantum Mechanics, p´gina 161. a 79
- 80. ou, equivalentemente, Ak+1 k−λ = para k ≥ 2 (354) Ak (k + 1)k − l(l + 1) Para os ´ ındices mais baixos temos as equa¸˜es co A1 l(l + 1) = 0 (355) [2 − l(l + 1)] A2 + (λ − 1)A1 = 0 (356) A equa¸˜o (354) ´ muito importante. Dela vemos que, para que a s´rie se ca e e interrompa em algum ponto, tornando-se um polinˆmio, devemos ter que o λ = k. Ora, os k s˜o inteiros, logo, a condi¸˜o para que a s´rie se interrompa a ca e ´ que exista um inteiro n tal que e λ=n (357) Como m Ze2 λ= =n 2|E| h ¯ temos Z 2 e4 m 1 |E| = (358) 2¯ 2 n2 h ou, eq¨ ivalentemente, u Z 2 e4 m 1 En = − , (359) 2¯ 2 n2 h que ´ a f´rmula de Bohr! Voltando ao c´lculo das autofun¸˜es, al´m da e o a co e condi¸˜o λ = n, devemos ter que λ = l, de outra forma, na equa¸˜o (354), o ca ca denominador se anularia ao mesmo tempo que o numerador, n˜o garantindo a o anulamento do coeficiente Ak+1 . Portanto devemos ter l = n. Vamos construir as primeiras solu¸˜es. Tomemos λ = n = 1 A este valor co corresponde a energia Z 2 e4 m E=− 2¯ 2 h que ´ a energia do estado fundamental do ´tomo de hidrogˆnio (o de energia e a e mais baixa). Para este valor de λ podemos ter l = 0, mas n˜o l = 1. Ent˜o, a a das equa¸˜es co A1 l(l + 1) = 0 [2 − l(l + 1)] A2 = (λ − 1)A1 80
- 81. temos Que A1´ indeterminado, e A2 = 0, assim como os coeficientes de e ´ ındice mais alto. Temos ent˜o, para a solu¸˜o, a ca F (ρ) = A1 ρ (360) e ρ R(ρ) = A1 exp − (361) 2 Em termos de r, usando 8m|E| ρ= r h ¯ e introduzindo h2 ¯ a0 = , me2 denominado raio de Bohr, obtemos, ap´s c´lculos simples, o a 2Zr ρ= na0 Para o estado fundamental, temos, ent˜o, a Zr R1 (r) = A1 exp − (362) a0 que ´ tamb´m a fun¸˜o completa, pois Y00 ´ constante. e e ca e Para λ = n = 2 temos as possibilidades l = 0 e l = 1. Para o primeiro caso, temos, novamente, A1 indeterminado. Para A2 , usamos a equa¸˜o ca (353), que d´ a 1−2 A2 = A1 1.2 ou seja, 1 A2 = − A1 2 A solu¸˜o ent˜o ´ ca a e ρ2 F (ρ) = A1 ρ − (363) 2 e ρ ρ R(ρ) = A1 1 − exp − (364) 2 2 Expressando em termos de r, obtemos Zr Zr ψ200 = A1 1 − exp − (365) 2a0 2a0 81
- 82. onde usamos anota¸˜o tradicional para os autoestados do atomo de hidrogˆnio: ca ´ e ψnlm (r, θ, φ). O leitor, neste ponto, deveria ser capaz de mostrar que Zr Zr ψ20m = A2 exp (− ) Y0 0 (θ, φ) (366) a0 2a0 No segundo caso, l = 1,vemos, da Eq.(355), que A1 = 0 enquanto A2 ´ indeterminado. A3 = 0, assim como os ´ e ındices mais altos. Logo, F (ρ) = A2 ρ2 A express˜o em termos de r vem a ser a 1 Zr Zr R21 (r) = K √ exp (− ) (367) 3 a0 2a0 Como vimos, a fun¸˜o radial fica definida quando se d˜o os valores de n e ca a l. Por isso ela ´ denotada por Rnl (r). Para o caso de l = 1 a dependˆncia e e angular n˜o ´ trivial, pois temos a e ψnlm (r, θ, φ) = KRnl (r)Ylm(θ, φ) (368) que, nesse caso d´ a 1 Zr Zr ψ21m (r, θ, φ) = K √ exp (− )Y1m (θ, φ) (369) 3 a0 2a0 com m podendo tomar os valores 1, 0, e -1. Note que a energia fica totalmente determinada por n. Ent˜o, exceto pelo a estado fundamental, a cada n´ de energia correspondem mais de um estado ıvel do sistema. O espectro ´ dito degenerado (no bom sentido!). Considere, por e exemplo, o n´ de energia com n = 2. Podemos ter l = 0, que d´ um unico ıvel a ´ estado, ou l = 1, que admite 3 valores de m. No total, ent˜o, h´ 4 estados a a neste n´ ´ a ıvel de energia . Diz-se que o grau de degenerescˆncia ´ 4. E f´cil e e 2 provar que o grau de degenerescˆncia do n´ n ´ n . O numero quˆntico n e ıvel e a ´ denominado n´mero quˆntico principal. e u a A seguir apresentamos uma lista das partes radiais de algumas fun¸˜es co de onda do ´tomo de hidrogˆnio. a e 82
- 83. 3 Z 2 Zr R10 (r) = 2 exp − (370) a0 a0 3 Z 2 1 Zr 1 Zr R20 (r) = 2 1− exp − (371) 2a0 2 a0 2 a0 3 Z 2 1 Zr 1 Zr R21 (r) = √ exp − (372) 2a0 3 a0 2 a0 3 2 Z 2 2 Zr 2 Zr 1 Zr R30 (r) = 2 1− + exp − (373) 3a0 3 a0 27 a0 3 a0 3 √ Z 2 4 2 Zr 1 Zr 1 Zr R31 (r) = 1− exp − (374) 3a0 3 a0 6 a0 3 a0 3 √ 2 Z 2 2 2 Zr 1 Zr R32 (r) = √ exp − (375) 3a0 27 5 a0 3 a0 18.3 Algumas propriedades do ´tomo de hidrogˆnio a e At´ agora escrevemos as fun¸˜es de onda assim: e co ψnlm (r, θ, φ) = KRnl (r)Ylm(θ, φ) Como determinar a constante K? Uma vez que os harmˆnicos esf´ricos s˜o o e a normalizados por conta pr´pria, pois o 2π π dφ sin θ dθ|Ylm (θ, φ)|2 = 1 0 0 devemos ter ∞ π 2π ∞ r 2 dr sin θdθ dφ|ψnlm (r, θ, φ)|2 = |K|2 r 2 dr|Rnl (r)|2 = 1 0 0 0 0 (376) Exemplo: para o estado ψ100 , ∞ 2Zr |K|2 drr 2 exp − =1 0 a0 Usando ∞ 2Zr a3 drr 2 exp − = 03 0 a0 4Z obtemos 3 Z 2 Zr R10 (r) = 2 exp − a0 a0 83
- 84. confirmando o valorda tabela. De posse da express˜o detalhada da fun¸˜o de onda, podemos fazer per- a ca guntas interessantes. Qual ´ a probabilidade de o el´tron estar, no estado e e fundamental do ´tomo de hidrogˆnio, entre r e r + dr? Ela ´ dada por a e e 3 Z 2Zr 2 P (r)dr = 4 exp − r dr (377) a0 a0 Para que valor de r a probabilidade ´ m´xima (para idˆnticos dr)? No ponto e a e de m´ximo, teremos a dP (r) 2Zr 2Z 2Zr = 2r exp − − r2 exp − =0 dr a0 a0 a0 ou rZ 1− =0 . a0 Logo, para o ´tomo de hidrogˆnio (Z = 1), temos que a probabilidade a e m´xima ´ para r = a0 , o raio de Bohr!21 a e Vamos calcular agora a velocidade m´dia do el´tron no estado fundamen- e e tal. px ˆ 2π π ∞ px ˆ = dφ sin θdθ r 2 drψ100 (r, θ, φ) ψ100 (r, θ, φ) (378) m 0 0 0 m ˆ h∂ Usando px = −i¯ ∂x e Y00 (θ, φ) = √1 , 4π obtemos 4 px ˆ 8i¯ Z h ∞ 2Zr 2π π = drr 2 exp − dφ cos φ dθ sin2 θ (379) m 4πm a0 0 a0 0 0 onde usamos x = r sin θ cos φ. Como 2π dφ cos φ = 0 0 temos que o valor m´dio da componente x da velocidade do el´tron no estado e e fundamental ´ 0. Como o estado ´ esfericamente sim´trico, o mesmo resultado e e e deve valer para as outras componentes. Logo, p ˆ =0 m 21 Exerc´ ıcio: no modˆlo pr´-quˆntico de Bohr, das ´rbitas de momento angular L = n¯ , e e a o h determine o raio da menor ´rbita estacion´ria. Vocˆ dever´ encontrar a0 , o raio de Bohr. o a e a 84
- 85. Isto posto, podemosdizer que e el´tron est´ em repouso, no estado fundamen- e a tal? Certamente n˜o! Em qualquer modˆlo cl´ssico com ´rbita circular (qual- a e a o quer ´rbita fechada, de fato) o el´tron est´ em movimento e sua velocidade o e a m´dia ´ zero. Para obter mais informa¸˜es sobre o que o el´tron faz no estado e e co e fundamental do ´tomo de hidrogˆnio, vamos calcular sua energia cin´tica a e e m´dia. Ela ´ dada por: e e p2 h2 ¯ =− dqψ100 (q)∇2 ψ100 (q) = (380) 2m 2m ˆ2 2 h ¯ ∞ 2π π 1 ∂ ∂ l =− drr 2 R10 (r) dφ sin θdθY00 (θ, φ) r2 − 2 R10 (r) 2m 0 0 0 r 2 ∂r ∂r r (381) h2 ¯ ∞ d dR10 = − drR10 (r) r2 2m 0 dr dr 2 4 h ¯ Z ∞ Zr Zr Z Zr = 4 dr exp − 2r exp − − r 2 exp − 2m a0 0 a0 a0 a0 a0 h2 ¯ Z 4 ∞ 2Zr Z ∞ 2Zr = 4 2 drr exp − − drr 2 exp − 2m a0 0 a0 a0 0 a0 Usando as integrais ∞ 2Zr a3 0 drr 2 exp − = 0 a0 4Z 3 e ∞ 2Zr a2 0 drr exp − = 0 a0 4Z 2 obtemos o resultado, para Z = 1, p2 h2 ¯ = (382) 2m 2ma20 Logo, o el´tron n˜o est´ parado. E nem poderia: se tivesse momento e a a perfeitamente definido (no caso, nulo), sua posi¸˜o teria de ser totalmente ca indefinida, pelo princ´ıpio da incerteza. Como a incerteza na posi¸˜o ´ da ca e ordem de a0 e, da Eq.(382), vemos que a incerteza no momento ´ da ordem e h ¯ de a0 , vemos que o produto das incerteza ´ da ordem de h. Ou seja, o e ¯ el´tron tem o m´ e ınimo movimento exigido pelo princ´ ıpio de incerteza. Est´ a t˜o parado quanto ´ poss´ a e ıvel! 85
- 86. 18.4 Exerc´ ıcios 1. Os estados estacion´rios do ´tomo de Hidrogˆnio s˜o denotados por a a e a ψnlm (r, θ, φ). A seguinte superposi¸˜o: ca ψ(r, θ, φ) = a1 ψn1 l1 m1 (r, θ, φ) + a2 ψn2 l2 ,m2 (r, θ, φ) com n1 = n2 , l1 = l2 , m1 = m2 , ´ um estado do Hidrogˆnio, que n˜o ´ um e e a e 2 ˆ estado estacion´rio, e n˜o ´ autofun¸˜o nem de l nem de ˆz . Dentro deste a a e ca l estilo, construa 2 e ca ˆ ˆ (a) Um estado do Hidrogˆnio que seja autofun¸˜o simultanea de H e l , mas n˜o de ˆz . a l (b) Um estado do Hidrogˆnio que seja autofun¸˜o simultˆnea de H e ˆz , mas e ca a ˆ l 2 ˆ n˜o de l . a 2. Uma part´ ıcula livre executa movimento unidimensional ao longo do eixo x, e sua fun¸˜o de onda em t = 0 ´ ca e 2 Ψ(x, 0) = Ae−ax eilx onde l ´ uma constante real. Determine Ψ(x, t). e 3.(a) Um sistema f´ ısico ´ descrito por um hamiltoniano e ˆ p2 ˆ H= + O2 2m onde O ´ hermiteano. Mostre que ˆ ´ hermiteano, e que se um operador ´ ˆ e pe e hermiteano, seu quadrado tamb´m ´. Finalmente, mostre que os autovalores e e da energia do sistema s˜o positivos ou nulos. a ´ (b) E poss´ ıvel um operador ser ao mesmo tempo unit´rio e hermiteano? a Exemplo! ˆˆ ˆ ˆ (c) Demonstre que (AB)+ = B + A+ . (d) Demonstre que, se A ˆ e B s˜o hermiteanos, 1 [A, B] tamb´m ´. ˆ a ˆ ˆ e e i ˆ ˆ d ˆ ˆ (e) Sejam dt e dt nulos. Mostre que dt [O, B] = ˆ onde ˆ o operador “zero”, dO dB 0, 0, ´ tal que, qualquer que seja a fun¸˜o de onda ψ(r), e ca ˆ =0 0ψ Sugest˜o: identidade de Jacobi. a 86
- 87. 4.(a) Determine re r 2 para o el´tron no estado fundamental do ´tomo de e a hidrogˆnio. Expresse suas respostas em termos do raio de Bohr a0 . Deter- e mine tamb´m a0 , que ´ o raio da “´rbita de Bohr” do estado de mais baixa e e o energia , no modelo de Bohr. (b)Determine x e x2 no estado fundamental sem calcular mais integrais, usando o resultado anterior e as simetrias do estado fundamental. (c) Determine x2 no estado (n, l, m) = (2, 1, 1). Note que este estado n˜o a ´ sim´trico em x, y, z. e e 5. Qual ´ a probabilidade P de que um el´tron no estado fundamental do e e ´tomo de hidrogˆnio seja encontrado dentro do n´cleo? a e u (a)Primeiro calcule a resposta exata. Denote o raio do n´ cleo por b. u (b) Expanda o seu resultado como uma s´rie de potˆncias no n´ mero pequeno e e u 2b ǫ = a0 , e mostre que o termo de ordem mais baixa ´ c´ bico: P ≈ (4/3)(b/a0 )3 . e u Este termo deveria j´ ser uma boa aproxima¸˜o, pois b ≪ a0 . a ca (c) Alternativamente, poder´ ıamos pensar que a fun¸˜o de onda do el´tron ´ ca e e essencialmente constante sobre o pequeno volume do n´ cleo, de modo que u 3 2 P ≈ (4/3)πb |ψ(0)| . Verifique que o resultado ´ efetivamente bom. e (d) Use b ≈ 10−13 cm e a0 ≈ 0.5 × 10−8 cm para uma estimativa num´rica e de P . Grosso modo, isto representa a fra¸˜o do tempo em que o el´tron se ca e encontra dentro do n´ cleo. u 6. Estime, a partir do princ´ ıpio de incerteza, quanto tempo um l´pis pode a ficar em equil´ ıbrio vertical sobre a sua ponta. 7. Uma bola perfeitamente el´stica, localizada entre duas paredes parale- a las, move-se perpendicularmente a elas, sendo refletida de uma para outra. Perfeitamente el´stica quer dizer que a energia cin´tica n˜o se altera.. Us- a e a ando a mecˆnica cl´ssica, calcule a varia¸˜o da energia da bola se as paredes a a ca passam a se aproximar, lenta e uniformemente, uma da outra. Mostre que esta varia¸˜o de energia ´ exatamente o que se obt´m na mecˆnica quˆntica ca e e a a se o n´ mero quˆntico principal n da bola permanece constante. u a 19 A nota¸˜o de Dirac ca Neste nosso tratamento elementar de mecˆnica quˆntica, consideraremos o a a simbolismo introduzido por Dirac, que tem um significado matem´tico n˜o- a a trivial, como uma nota¸˜o. Para fazer total justi¸a ao m´todo, o leitor faria ca c e bem em consultar a obra original de Dirac [1] . Para uma apresenta¸˜o mais ca adaptada ` linguagem matem´tica contemporˆnea, veja [2]. a a a 87
- 88. Um vetor doespa¸o dos estados ´ descrito por um s´ c e ımbolo | , que se pronuncia ket . Um elemento do dual desse espa¸o ´ denotado por |, e c e denominado bra. O produto escalar dos estados |a e |b ´ denotado por e b|a , e se trata de um bra(c)ket , justificando os nomes. ˆ Seja O um operador. Denotaremos por |o seus autoestados, de modo que ˆ O|o = o|o onde os n´ meros o s˜o os autovalores . u a Os autoestados do operador de posi¸˜o ca ˆ ˆ x = xi + y j + z k ˆ ˆ s˜o denotados por |x . O s´ a ımbolo x|o descreve o estado |o na representa¸˜o ca das coordenadas: x|o = ψo (x) Alguns exemplos: ˆ O hamiltoniano H tem seus autoestados, |n , e autovalores , En , ligados pela rela¸˜o ca ˆ H|n = En |n A condi¸˜o de ortonormalidade desses autoestados ´ escrita ca e n′ |n = δnn′ ˆ2 Os autoestados comuns a l e ˆz s˜o denotados por |lm , e as seguintes equa¸˜es s˜o l a co a satisfeitas: ˆ2 l |lm = l(l + 1)|lm ˆz |lm l = m|lm Seja uma base do espa¸o dos estados formada pelos kets |n , |n′ , |n′′ , c ˆ ˆ etc. e seja O um operador. Ent˜o, os elementos de matriz de O nessa base a ser˜o os n´ meros complexos a u ˆ n′ |O|n Note-se que: a|b = ( b|a )∗ ˆ a|O|b ˆ = ( b|O + |a )∗ Muito importante na nota¸˜o de Dirac ´ uma classe de operadores que se ca e escrevem assim: |a b| 88
- 89. e s˜o definidospela sua a¸˜o sobre um kets arbitr´rio | : a ca a |a b|(| ) = b| |a Sejam |n autoestados de um operador hermiteano. Ent˜o, a rela¸˜o de a ca completude se escreve |n n| = ˆ1 n Quando o espectro ´ cont´ e ınuo, por exemplo, no caso do operador de posi¸˜o, ca a soma ´ substitu´ por uma integral: e ıda dx |x x| = ˆ 1 O principal uso dessas representa¸˜es do operador ˆ ´ o seguinte: seja n|n′ co 1e um produto escalar. Ent˜o, a n|n′ = n|ˆ ′ = n| 1|n dx|x x| |n′ e, como x|n = ψn (x), n|n′ = ∗ dxψn (x)ψn′ (x) mostrando que efetivamente se trata do produto escalar anteriormente intro- ˆ ˆ ˆˆ duzido. Considere os operadores A e B e o seu produto, AB. Seja |n uma base. Os elementos de matriz do operador produto nessa base s˜oa ˆˆ n|AB|n′ = ˆ n|A ˆ |n′′ n′′ | B|n′ n′′ = ˆ ˆ n|A|n′′ n′′ |B|n′ n′′ que exibe a express˜o correta para o produto cl´ssico de matrizes. a a Seja |n um estado qualquer. Sua fun¸˜o de onda na representa¸˜o das ca ca coordenadas ´, como vimos, e ψn (x) = x|n Sejam |p os autoestados do momento , e dp |p p| = ˆ 1 sua rela¸˜o de completude. Ent˜o, a fun¸˜o de onda de |n na representa¸˜o ca a ca ca do momento ´ e p|n = dx p|x x|n 89
- 90. que pode serescrita ψn (p) = dx p|x ψn (x) Daqui, por compara¸˜o com um resultado anterior pode-se inferir que ca 1 i p|x = 3/2 exp p.x (383) (2π¯ ) h h ¯ Uma dedu¸˜o direta deste resultado ´ a seguinte: ca e p|ˆ|x p = p p|x d = −i¯ h p|x dx Igualando os dois segundos membros, temos d −i¯ h p|x = p p|x dx ou d p|x i = pdx p|x h ¯ de onde segue que i p|x = Ae h px ¯ Para determinar A, note-se que i p|x x|p′ = |A|2 exp (p − p′ )x h ¯ e, integrando em x, i dx p|x x|p′ = |A|2 dx exp (p − p′ )x h ¯ Mas dx p|x x|p′ = p|p′ = δ(p − p′ ) Logo, p p′ δ(p − p′ ) = |A|2 2πδ( − ) = |A|2 2π¯ δ(p − p′ ) h h ¯ h ¯ Logo, 1 A= √ 2π¯ h e 1 i p|x = √ e h px ¯ 2π¯ h que ´ a vers˜o unidimensional da Eq.(383). e a 90
- 91. 20 O Spin Para introduzir o spin vamos apresentar um tratamento mais geral do mo- mento angular. No tratamento anterior, t´ ınhamos obtido que os autovalores m de l ˆz deviam ser n´ meros inteiros, sob o argumento de que as autofun¸˜es u co ˆz , de l 1 ψm (φ) = √ eimφ 2π deviam ser peri´dicas, de per´ o ıodo 2π, na vari´vel φ. Este argumento n˜o ´ a a e rigoroso, pois a fun¸˜o de onda ´ determinada a menos de uma fase. Re- ca e tomaremos o problema agora. Descobriremos que h´ novas possibilidades a para os valores de m e l. Para comodidade do leitor, repetiremos aqui alguns dos resultados que obtivemos anteriormente para o momento angular. 2 ˆ+ ˆ− = ˆ − ˆ2 + ˆz l l l lz l (384) 2 ˆ− ˆ+ = ˆ − ˆ2 − ˆz l l l lz l (385) ˆ2 Da rela¸˜o l − ˆz = ˆx + ˆy conclu´ ca l2 l2 l2 ımos que existe um valor m´ximo para a ˆ2 o autovalor de ˆz . Seja l este valor m´ximo, e ψl a autofun¸˜o comum a l e l a ca ˆz correspondente. Temos l ˆ+ ψl = 0 l Logo, ˆ− ˆ+ ψl = 0 l l Usando (385), ˆ2 ˆ2 ˆ l − lz − lz ψl = 0 ou ˆ2 l ψl = l(l + 1)ψl ˆ2 Conclui-se que o autovalor de l para a autofun¸˜o ψl ´ l(l + 1), onde l ´ o ca e e m´ximo valor poss´ para m. Pasaremos a denotar por ψlm as autofun¸˜es a ıvel co ˆ2 ˆ comuns a l e lz . Vamos determinar agora o menor valor poss´ para m. ıvel ˆ2 ˆ Em primeiro lugar, do fato de que [l , l− ] = 0, segue que ˆ2 ˆ ˆ2 l l− ψlm = ˆ− l ψlm = l(l + 1) ˆ− ψlm l l 91
- 92. ˆ2 ou seja, oautovalor de l ´ o mesmo para todos os ψlm , com l fixo. e Seja B o m´ ınimo valor de m. Ent˜o a ˆ− ψlB = 0 l ˆ+ ˆ− ψlB = 0 l l ˆ2 ˆ2 ˆ l − lz + lz ψlB = = 0 l(l + 1)ψlB = (B 2 − B)ψlB l(l + 1) − B 2 + B = 0 (l + B)(l − B + 1) = 0 Esta ultima tem duas solu¸˜es, B = l + 1, que ´ imposs´ ´ co e ıvel, pois o m´ximo a valor de m ´ l, e B = −l, que ´ o valor correto. Ent˜o, m est´ no intervalo e e a a −l ≤ m ≤ l, e seus valores sucessivos diferem de uma unidade: h´, portanto, a 2l + 1 valores de m, para l dado. Em conseq¨ˆncia, 2l + 1 deve ser um ue n´ mero inteiro, e temos duas possibilidades:(a)l ´ inteiro, que ´ o caso que u e e j´ hav´ a ıamos estudado. Costuma-se chamar esses momento s angulares de momento angular orbital. (b) l ´ um ´ e ımpar dividido por dois (semi-inteiro, na g´ dos f´ ıria ısicos). Este tipo de momento angular ´ denominado spin. e Temos, ent˜o, spins l = 1/2, l = 3/2, etc. a Na verdade essa nomenclatura n˜o ´ a usada na pr´tica, embora seja a prefer´ a e a ıvel, do ponto de vista da matem´tica. Chama-se spin de um sistema o momento angular desse sistema a quando em repouso. Um el´tron em repouso tem momento angular tal que l = 1/2, um e pion em repouso tem momento angular tal que l = 0, e h´ mesons, ditos vetoriais, com a ´ momento angular em repouso tal que l = 1. E costume, por abuso de linguagem, dizer que essas part´ ıculas tˆm spin 1/2, spin 0, spin 1, etc. e 20.1 Elementos de matriz O caso mais importante do spin ´ aquele em que l = 1/2. Neste caso, m e s´ pode ter os valores +1/2 e −1/2, e ´ conveniente tratar os operadores o e de momento angular utilizando suas representa¸˜es matriciais. Para tanto, co vamos determinar os elementos de matriz dos operadores ˆx , ˆy e ˆz . Temos, l l l usando a nota¸˜o de Dirac, ca ˆ2 lm|l |lm = l(l + 1) (386) e, como ˆ2 ˆ ˆ l = l+ l− + ˆz − ˆz , l2 l 92
- 93. ˆ2 lm|l |lm = lm|ˆ+ ˆ− |lm + lm|ˆz |lm − lm|ˆz |lm l l l2 l Como todos esses elementos de matriz contˆm o mesmo valor de l, podemos e omitir este ´ ındice, ou seja, podemos abreviar a nota¸˜o para: ca m|ˆz |m ≡ lm|ˆz |lm l l etc. ˆ2 Obviamente m|ˆz |m = m, m|ˆz |m = m2 e m|l |m = l(l + 1). Logo, l l2 m|ˆ+ ˆ− |m = l(l + 1) − m2 + m l l (387) ou m|ˆ+ ˆ− |m = (l + m)(l − m + 1) l l (388) ˆ A completude dos autoestados de lz permite escrever ˆ |m′ m′ | = 1 m′ que, inserida em (388), d´ a m|ˆ+ |m′ m′ |ˆ− |m = (l + m)(l − m + 1) l l (389) m′ e sabemos que m|ˆ+ |m′ s´ ´ diferente de zero se m′ for igual a m − 1. Logo, l oe (389) se escreve m|ˆ+ |m − 1 m − 1|ˆ− |m = (l + m)(l − m + 1) l l (390) Al´m disso, ˆ− = ˆ+ e e l+ l ∗ ∗ m − 1|ˆ− |m = l m|ˆ− |m − 1 l+ = m|ˆ+ |m − 1 l , o que permite escrever, de (390), | m|ˆ+ |m − 1 |2 = (l + m)(l − m + 1) . l (391) Da´ tiramos que ı m|ˆ+ |m − 1 = eiα (l + m)(l − m + 1) . l (392) A escolha de α est´ ligada ` defini¸˜o precisa dos harmˆnicos esf´ricos Ylm (θ, φ). a a ca o e Para a escolha feita anteriormente, Eq.(329), deve-se escolher α = 0. Logo, m|ˆ+ |m − 1 = l (l + m)(l − m + 1) (393) 93
- 94. e, como m− 1|ˆ− |m = ( m|ˆ+ |m − 1 )∗ , temos l l m − 1|ˆ− |m = l (l + m)(l − m + 1) . (394) Estes s˜o os unicos elementos de matriz n˜o-nulos, de ˆ+ e ˆ− . A partir deles, a ´ a l l podemos construir os elementos de matriz de ˆx e ˆy , pois l l ˆx = 1 ˆ+ + ˆ− l l l (395) 2 ˆ 1 ˆ ly = l+ − ˆ− l (396) 2i De fato, 1 1 m|ˆx |m − 1 l = m|ˆ+ |m − 1 + m|ˆ− |m − 1 l l 2 2 1 1 = m|ˆ+ |m − 1 = l (l + m)(l − m + 1) (397) 2 2 1 m|ˆx |m − 1 = m|ˆx |m − 1 l l ∗ = (l + m)(l − m + 1) (398) 2 Assim, os elementos de matriz de ˆx que n˜o s˜o nulos s˜o l a a a 1 m|ˆx |m − 1 = m − 1|ˆx |m = l l (l + m)(l − m + 1) (399) 2 Por um c´lculo an´logo obtˆm-se os elementos de matriz n˜o-nulos de ˆy : a a e a l i m|ˆy |m − 1 = − m − 1|ˆy |m = − l l (l + m)(l − m + 1) (400) 2 Usando as express˜es obtidas para os elementos de matriz, vamos construir o as matrizes que representam os operadores ˆx , ˆy e ˆz . Para este ultimo, temos l l l ´ que os elementos de matriz n˜o-nulos s˜o: a a 1 1/2|ˆz |1/2 l = (401) 2 1 −1/2|ˆz | − 1/2 l = − (402) 2 Os valores poss´ ıveis de m sendo +1/2 e -1/2, as matrizes ter˜o a forma a gen´rica: e a1,1 a 1 ,− 1 2 2 2 2 (403) a− 1 , 1 a− 1 ,− 1 2 2 2 2 94
- 95. onde ai,j =i|a|j . Para ˆz , portanto, l 1 1 1 ˆz = 2 0 1 0 l = = σz (404) 0 −1 2 2 0 −1 2 onde introduzimos a matriz 1 0 σz = (405) 0 −1 que ´ uma das matrizes de Pauli, que ser˜o muito utilizadas no que segue. e a Verifica-se facilmente que i ˆy = 1/2|ly |1/2 1/2|ly | − 1/2 0 −2 l = i (406) −1/2|ly |1/2 −1/2|ly | − 1/2 2 0 1 0 −i = (407) 2 i 0 1 = σy (408) 2 onde introduzimos a matriz de Pauli σy , 0 −i σy = (409) i 0 Por um c´lculo an´logo chega-se a a a ˆx = 1 l 0 1 1 = σz (410) 2 1 0 2 Temos, portanto, ˆi = 1 σi l (411) 2 para i = 1, 2, 3, sendo (1, 2, 3) = (x, y, z), como de costume. As matrizes de Pauli s˜o a 0 1 σx = (412) 1 0 0 −i σy = (413) i 0 1 0 σz = (414) 0 −1 95
- 96. Representa¸˜es matriciais deoperadores s˜o sempre em rela¸˜o a uma base. co a ca Qual ´ a base usada nas representa¸˜es matriciais acima? Para descobri-la, e co basta notar que a matriz que representa ˆz ´ diagonal. Logo, a base ´ a dos l e e ˆ . Explicitamente, temos autoestados de lz 1 1 2 0 1 1 = (415) 0 −1 2 0 2 0 1 1 2 0 0 0 = − (416) 0 −1 2 1 2 1 Desta rela¸˜o vemos que os autoestados de ˆz s˜o representados pelas ma- ca l a 1 0 trizes coluna e , que formam uma base das matrizes coluna 0 1 a , com a e b arbitr´rios. Resta especificar o produto escalar de dois a b estados quaisquer, em termos de suas representa¸˜es matriciais. Verifica-se co a c facilmente que o produto escalar de por ´ dado por e b d c (a∗ , b∗ ) = a∗ c + b∗ d (417) d 1 De fato, em termos deste produto escalar, os elementos da base, e 0 0 s˜o ortonormais, o que prova a quest˜o. a a 1 20.2 As matrizes de Pauli As matrizes 0 1 σx = (418) 1 0 0 −i σy = (419) i 0 1 0 σz = (420) 0 −1 tˆm propriedades especiais que facilitam o c´lculo das propriedades dos es- e a tados de spin 1/2. P1: T r(σx ) = T r(σy ) = T r(σz ) = 0. (Imediata). 96
- 97. P2: σx ,σy , σz s˜o hermiteanas. (Imediata) a 2 2 2 P3: σx = σy = σz = 1, onde 1 0 1= 0 1 P4:σa σb = δab 1 + iǫabc σc , cuja demonstra¸˜o ´ um exerc´ ca e ıcio simples. Esta propriedade sintetiza a P3 e as seguintes rela¸˜es: co σx σy = iσz (421) σz σx = iσy (422) σy σz = iσx (423) σx σy = −σy σx (424) e assim por diante. ´ E conveniente introduzir a nota¸˜o ca σ ≡ (σx , σy , σz ) que descreve as σi como componentes de um “vetor” denotado por σ. Usando esta conven¸˜o se escreve, por exemplo, se a for um vetor ordin´rio, ca a σ.a = ax σx + ay σy + a + zσz ou seja, σ.a ´ uma matriz 2x2. Podemos ent˜o enunciar a e a P5:(σ.a)(σ.b) = a.b + iσ.(a × b), onde o termo entre parˆnteses ´ o produto e e vetorial ordin´rio. Demonstra¸˜o: a ca σl al σm bm = al bm σl σm = al bm (δlm + iǫlmn σn ) = a.b + iσn ǫnlm al bm = a.b + iσ.(a × b) Teorema: Seja A uma matriz 2x2 complexa qualquer. Ent˜o existem n´ meros a u λ0 , λx , λy e λz tais que A = λ0 1 + λx σx + λy σy + λz σz (425) Estes n´ meros s˜o unicos. Ou seja, 1, σx , σy e σz s˜o uma base do espa¸o u a ´ a c vetorial das matrizes 2x2 complexas. A demonstra¸˜o consiste em exibir esses n´ meros. Suponhamos o problema ca u resolvido, isto ´: e A = λ0 1 + λx σx + λy σy + λz σz (426) Tomando o tra¸o termo a termo, temos: c T r(A) = λ0 T r(1) + λx T r(σx ) + λy T r(σy ) + λz T r(σz ) (427) 97
- 98. onde usamos Tr(λA) = λT r(A), para qualquer n´ mero λ e qualquer matriz A, temos, levando em conta a P1, u T r(A) = λ0 T r(1) = 2λ0 (428) ou 1 λ0 = T r(A) (429) 2 Para calcular λx procedemos assim: multiplicamos (426) termo a termo, a esquerda, por σx , obtendo: ` σx A = λ0 σx + λx 1 + λy σx σy + λz σx σz (430) Ora, os produtos σi σj com i = j, s˜o matrizes de tra¸o nulo. Logo, tomando, termo a termo, o tra¸o de (430), temos a c c T r(σx A) = λx T r(1) = 2λx (431) Ou, 1 λx = T r(σx A) (432) 2 e, procedendo analogamente, 1 λi = T rσi A) (433) 2 Demonstra-se facilmente, usando este m´odo, que 1 e as trˆs matrizes de Pauli s˜o linearmente independentes. Al´m t e a e disso, o espa¸o vetorial das matrizes 2x2 complexas tem dimens˜o 4. Logo, o conjunto considerado ´ uma base, e portanto c a e os coeficientes calculados acima s˜o unicos. a ´ 20.3 Intera¸˜o Eletromagn´tica: Formalismo Hamilto- ca e niano O problema que estudaremos aqui ´ o seguinte: uma part´ e ıcula de massa m e carga q est´ sob a¸˜o de um campo eletromagn´tico descrito por E e B. a ca e Determinar o Hamiltoniano da part´ ıcula. N˜o fosse pelo campo eletromagn´tico, o Hamiltoniano seria o de uma a e part´ ıcula livre, p2 H= . 2m A for¸a que age sobre uma part´ c ıcula de carga q, devida aos campos el´trico e e magn´tico, ´ (for¸a de Lorentz): e e c v F = q(E + × B) c Em termos dos potenciais, temos, 1 ∂A E = −∇φ − c ∂t B = rotA Logo, 1 ∂A F = q{−∇φ − [ − v × rot A]} c ∂t 98
- 99. Como ´ bemsabido,22 e dA ∂A = + (v.∇)A . dt ∂t Como v × rot A = ∇(v.A) − (v.∇)A, temos 1 dA F = q{−∇φ − [ − (v.∇)A − ∇(v.A) + (v.∇)A]} c dt 1 dA = q{−∇φ − [ − ∇(v.A)]} (434) c dt ou seja, 1 1 dA F = q[−∇(φ − v.A) − ]. (435) c c dt Seja U = q(φ − 1 v.A). Vamos mostrar que a lagrangeana c q L = T − U = T − qφ + v.A (436) c descreve o movimento de uma part´ ıcula sob a a¸˜o da for¸a F . Aqui, como ca c de costume, T representa a energia cin´tica. De fato, e ∂L ∂φ ∂ q = −q + ( v.A) ∂x ∂x ∂x c ∂L ∂L ∂T q ≡ = + Ax ∂x˙ ∂vx ∂vx c d ∂L d ∂T q dAx = ( )+ dt ∂vx dt ∂vx c dt ∂L d ∂L Logo, a equa¸˜o de Lagrange, ca ∂x − dt ∂vx = 0, d´ a ∂φ ∂ q d ∂T q dAx −q + ( v.A) = ( )+ ∂x ∂x c dt ∂vx c dt 22 No caso improv´vel de isto n˜o ser bem sabido por um aluno do CCM, a´ vai: a a ı dA ∂ A ∂ A dx = + + ... dt ∂t ∂x dt ou seja, dA ∂A ∂ = + (vx + . . .)A dt ∂t ∂x etc. 99
- 100. de modo que d ∂T 1 1 dA ( ) = q{−∇(φ − v.A) − }x dt ∂vx c c dt Mas ∂T ∂ 1 2 = ( mv ) = mvx ∂vx ∂vx 2 de maneira que d ∂T ˙ ( ) = (mv)x . dt ∂vx Logo, ˙ 1 1 dA mv = q{−∇(φ − v.A) − } (437) c c dt Conclus˜o: L = T −qφ+ q v.A. Passemos agora ` constru¸˜o do hamiltoniano. a c a ca ∂L ∂T q ∂ pi = = + (v.A) ∂ qi ˙ ∂ qi c ∂ qi ˙ ˙ ∂ (v.A) = Ai ∂ qi ˙ e, ent˜o, a ∂T q pi = + Ai ∂ qi c ˙ Precisamos agora de uma propriedade importante das fun¸˜es homogˆneas, co e o teorema de Euler (ver Apˆndice): e ∂T qi ˙ = 2T i ∂ qi ˙ Vamos us´-lo para calcular o Hamiltoniano H: a ∂T q q H = qi ( ˙ + Ai ) − T + qφ − v.A i ∂ qi c ˙ c q q = 2T + v.A − T + qφ − v.A (438) c c ou seja, H = T + qφ (439) mv2 Ora, pi = ∂T ∂ qi ˙ + q Ai = mv + q A, pois T = c c 2 . Logo, q mv = p − A c 100
- 101. e, finalmente, 1 q H= (p − A)2 + qφ (440) 2m c Em palavras, no Hamiltoniano livre 1 2 H= p 2m substituo p por p− q A, e adiciono qφ. Esta ´ a chamada substitui¸˜o m´ c e ca ınima, ou acoplamento m´ ınimo. Se o hamiltoniano for mais geral, do tipo 1 2 H= p + V (r) 2m onde V (r) ´ a energia potencial, a mesma regra vale. Adicione-se qΦ e e substitua-se p por p − q A. Se houver v´rias part´ c a ıculas, de momento s pi , fa¸a-se a mesma substitui¸˜o para cada pi , adicionando-se termos de energia c ca potencial qi φ para cada part´ıcula. Essas generaliza¸˜es s˜o f´ceis de demon- co a a strar, seguindo exatamente o padr˜o do caso de uma part´ a ıcula livre. 101
- 102. 20.3.1 Apˆndice: O teorema de Euler e Uma fun¸˜o f (x1 , x2 , ..., xn ) ´ dita homogˆnea de grau k se ca e e f (λx1 , λx2 , ..., λxn ) = λk f (x1 , x2 , ..., xn ) (441) Por exemplo, f (x, y) = xy ´ homogˆnea de grau 2;f (x, y, z) = x2 y + 3z 2 x + e e 5xyz ´ homogˆnea de grau 3. e e O teorema de Euler diz que, se f ´ uma fun¸˜o homogˆnea de grau k, e ca e ent˜o a ∂f xi = kf (442) i ∂xi A demonstra¸˜o ´ muito simples. Derive a Eq. 441 em rela¸˜o a λ, e depois ca e ca tome λ = 1. 20.4 Acoplamento do spin com o campo magn´tico e Seja ˆ p2 H= + V (r) (443) 2m o hamiltoniano de uma part´ ıcula de spin 1/2 e carga e. Note-se que (σ.p)(σ.p) = p.p + iσ.(p × p) = p.p (444) de maneira que o hamiltoniano acima pode tamb´m ser escrito e ˆ (σ.p)(σ.p) H= + V (r) (445) 2m O acoplamento m´ ınimo, estudado no par´grafo anterior, consiste na substi- a e tui¸˜o de p por p − c A, onde A ´ o potencial vetor do campo eletromagn´tico ca e e que age sobre a pert´ ıcula. Ora, se se realiza essa substitui¸˜o em (443) ou ca em (445), obtˆm-se resultados diferentes. Verifica-se que os resultados corre- e tos s˜o obtidos usando-se o hamiltoniano em (445). Fica claro neste ponto, a ent˜o, que o acoplamento do spin com o campo eletromagn´tico que vamos a e introduzir tem um car´ter emp´ a ´ s´ quando se utiliza a equa¸˜o de ırico. E o ca Dirac para descrever o spin do el´tron que se obt´m, diretamente da teoria e e e sem a necessidade de fazer escolhas, um acoplamento definido (que corre- sponde `quele que, aqui, foi escolhido por raz˜es emp´ a o ıricas). Devemos, ent˜o, descrever as intera¸˜es eletromagn´ticas da part´ a co e ıcula usando o hamiltoniano ˆ 1 e e Hem = σ. p − A σ. p − A + V (r) + eφ (446) 2m c c 102
- 103. Como estamos interessadosno campo magn´tico, vamos ignorar o ultimo e ´ e e termo. Consideremos o termo σ. p − c A . σ. p − c A . Temos e e σ. p − A . σ. p − A = c c e e = (σ.p)(σ.p) − (σ.p)(σ.A) − (σ.A)(σ.p) + c c e2 + (σ.A)(σ.A) = c2 e e = p2 − p.A + iσ.(p × A) − (A.p) + iσ.(A × p) + c c e2 + A.A (447) c2 Mas, (p.A) + (A.p) ψ = −i¯ ∇.(Aψ) − i¯ A.∇ψ h h = −i¯ (∇.A)ψ − i¯ A.∇ψ − i¯ A.∇ψ h h h (448) Escolhendo o gauge em que ∇.A = 0, temos (p.A) + (A.p) ψ = −2i¯ A.∇ψ h (449) ou, (p.A) + (A.p) = 2A.p (450) Temos ainda σ. p × A + A × p ψ = = σ. −i¯ ∇ × (Aψ) + A × (−i¯ ∇ψ) h h = σ. −i¯ (rotA)ψ − A × ∇ψ − i¯ A × ∇ψ h h = −i¯ σ. Bψ h = −i¯ σ.Bψ h (451) Reunindo tudo, temos e e e e¯ h e2 σ. p − A σ. p − A = p2 − 2 A.p − σ.B + 2 A2 (452) c c c c c ˆ e O hamiltoniano Hem ´ obtido dividindo isso por 2m: ˆ p2 e he ¯ Hem = − A.p − σ.B (453) 2m mc 2mc 103
- 104. Para o casode um campo uniforme, temos 1 A = (B × r) (454) 2 como o leitor verificar´ facilmente. Resulta ent˜o que a a ˆ p2 e he ¯ Hem = − B.(r × p) − σ.B (455) 2m 2mc 2mc Finalmente, usando L = r × p e s = h σ , temos ¯2 ˆ p2 e e Hem = − L.B − s.B (456) 2m 2mc mc 2 H´ ainda, ´ claro, o termo e2 A2 , que omitimos porque, no tratamento per- a e c turbativo, representa uma corre¸˜o de ordem superior `s que usualmente se ca a calcula. 21 As desigualdades de Heisenberg Nesta se¸˜o vamos apresentar um tratamento formal do princ´ ca ıpio da in- certeza, e deduzir as famosas desigualdades de Heisenberg. A mais famosa delas ´: e ∆pi ∆qj ≥ hδij ¯ (457) Em todo espa¸o dotado de um produto escalar, vale a desigualdade de c Cauchy-Schwartz, que diz que |(ψ, φ)|2 ≤ |ψ|2 |φ|2 (458) ou, mais explicitamente, 2 dqψ ∗ (q)φ(q) ≤ dqψ ∗ (q)ψ(q) dq ′ φ∗ (q ′ )φ(q ′ ) (459) ˆ Seja O um operador hermiteano, e ψ um estado do sistema. Considere o operador ˆ O− O ˆˆ 1 onde ˆ ˆ O = (ψ, Oψ) = ˆ dqψ ∗ (q)Oψ(q) a ˆ Chama-se desvio padr˜o de O no estado ψ o n´ mero u ˆ ˆ (∆O)2 = (O − O )2 (460) 104
- 105. Entre os f´ ˆ ˆ ısicos, ∆O ´ denominada incerteza de O no estado ψ. Sejam A e e ˆ B operadores hermiteanos, e ˆ ψA = (A − ˆ A )ψ (461) ˆ ψB = (B − ˆ B )ψ (462) dois estados. ´ E imediato verificar que (∆A)2 = (ψA , ψA ) (463) (∆B)2 = (ψB , ψB ) (464) Pela desigualdade de Cauchy-Schwartz, temos 2 2 ψA ψB ≥ |(ψA , ψB )|2 (465) Por outro lado, para qualquer complexo z, temos 2 1 |z|2 = (ℑ(z))2 + (ℜ(z))2 ≥ (ℑ(z))2 = (z − z ∗ ) 2i Logo, 2 1 |(ψA , ψB )|2 ≥ [(ψA , ψB ) − (ψB , ψA )] 2i Ora, ˆ ˆ ˆ ˆ (ψA , ψB ) = (A − A )ψ, (B − B )ψ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = (ψ, ABψ) − B (ψ, Aψ) − A(ψ, Bψ) + A B Segue imediatamente que ˆ ˆ (ψA , ψB ) − (ψB , ψA ) = ψ, [A, B]ψ (466) e, da Eq.(465), que 2 2 2 1 ˆ ˆ ψA ψB ≥ [A, B] (467) 2i ou, em nota¸˜o mais familiar, ca 2 1 ˆ ˆ (∆A)2 (∆B)2 ≥ [A, B] (468) 2i que s˜o as rela¸˜es de incerteza de Heisenberg. a co ˆ ˆ ˆ ˆ Exemplo: seja A = px , e B = x. Ent˜o, a 2 1 (∆px )2 (∆x)2 ≥ −i¯ h 2i 105
- 106. 2 h2 ¯ 2 (∆px ) (∆x) ≥ 4 e, finalmente, h ¯ ∆px ∆x ≥ 2 Exerc´ ıcio: determine ∆px e ∆x para o estado fundamental do ´tomo de hidrogˆnio. a e Mostre que: ¯ h (a) ∆px = √3a . √ 0 (b)∆x = 2a0 . 2 (c) ∆px ∆x = 3 ¯ h (d) Conclua que o movimento do el´tron ´ ≈ o m´ e e ınimo poss´ compat´ com as rela¸˜es ıvel ıvel co de incerteza. 21.1 A rela¸˜o de incerteza energia x tempo ca A rela¸˜o de incerteza energia -tempo ´ de natureza fundamentalmente difer- ca e ente daquela da rela¸˜o de incerteza posi¸˜o-momento . Enquanto esta ca ca ultima ´ conseq¨ˆncia do fato de que os operadores ˆx e x n˜o comutam, ´ e ue p ˆ a isto n˜o acontece no caso da energia -tempo: nem mesmo existe um oper- a ador “tempo” na mecˆnica quˆntica. O tempo que aparece na equa¸˜o de a a ca Schroedinger ´ o tempo marcado por qualquer rel´gio, e pode ser determi- e o nado, em qualquer caso, com precis˜o arbitr´ria. O fato b´sico na obten¸˜o a a a ca da desigualdade ∆E∆t ≥ h ¯ (469) ´ o seguinte: devido ` rela¸˜o de Planck, E = hν, onde ν ´ uma freq¨ˆncia, e a ca e ue temos, na mecˆnica quˆntica, que uma medida da energia ´ sempre a a e uma medida de freq¨ˆncia(Bohr). ue A rela¸˜o de incerteza 469 deve ser interpretada assim: uma medida ca perfeita da energia de um sistema (∆E = 0) leva um tempo infinito (∆t ≥ h ¯ ∆E ). A express˜o 469 ensina quanto deve durar, no m´ a ınimo, o processo de medida (a dura¸˜o ´ ∆t) para que a precis˜o obtida seja ∆E. ca e a Para obter 469, consideremos o processo de determinar a freq¨ˆncia de ue uma onda. Matematicamente se sabe que a transformada de Fourier de uma onda nos d´ a informa¸˜o sobre quais freq¨ˆncias participaram da constru¸˜o a ca ue ca da onda, por meio de superposi¸˜o de ondas monocrom´ticas (isto ´, de ca a e freq¨ˆncias bem definidas). ue Uma onda plana monocrom´tica tem sua dependˆncia temporal dada por a e 106
- 107. eiω0 t ,se sua freq¨ˆncia for ω0 .23 Sua transformada de Fourier ´ ue e ∞ ∞ f (ω) = e−iω0 t eiωt dt = ei(ω−ω0 )t dt , (470) −∞ −∞ logo, f (ω) = 2πδ(ω − ω0 ) , (471) mostrando, como era de se esperar, que f (ω) ´ zero exceto para ω = ω0 . e 23 Estritamente, ω0 ´ a “freq¨ˆncia circular”. A verdadeira freq¨ˆncia, que ´ o inverso e ue ue e ıodo, ´ ν = ω0 . do per´ e 2π 107
- 108. Na pr´tica, por´m,a medida da freq¨ˆncia da onda eiω0 t ´ feita observando- a e ue e se essa onda durante um intervalo de tempo finito, por exemplo, do instante −∆t 2 at´ o instante ∆t . Mas ent˜o a onda que realmente observamos ´ e 2 a e indistingu´ da seguinte onda u: ıvel ∆t u = 0 : t<− 2 ∆t ∆t = e−iω0 t : t ∈ [− , ] 2 2 ∆t = 0 : t> . (472) 2 A transformada de Fourier da onda (472) ´: e ∆t 2 f ′ (ω) = −∆t ei(ω−ω0 )t dt (473) 2 ou seja, 1 ∆t ∆t f ′ (ω) = (ei(ω−ω0 ) 2 − e−i(ω−ω0 ) 2 ) (474) i(ω − ω0 ) ou 2 ∆t f ′ (ω) = sin[(ω − ω0 ) ] ω − ω0 2 e, ainda, sin[(ω − ω0 ) ∆t ] f ′ (ω) = ∆t 2 (475) (ω − ω0 ) ∆t 2 Esta fun¸˜o tem um gr´fico que apresenta um pico pronunciado para ω = ω0 , ca a onde tem o valor 1, e corta o eixo ω, ou seja, atinge o valor zero, pela primeira vez num ponto P tal que, nele, (ω − ω0 ) ∆t = π, ou seja, 2 2π ω − ω0 = . (476) ∆t Este valor de ω − ω0 pode ser definido como a metade da “largura” de f ′ (ω). Logo, esta largura ´ e 4π ∆ω = , (477) ∆t onde ∆t ´ a dura¸˜o do processo de medida de ω. ∆ω representa a incerteza e ca na freq¨ˆncia, ou seja, informa que as freq¨ˆncias presentes na onda u est˜o ue ue a ∆ω ∆ω entre ω0 − 2 e ω0 + 2 . Temos, ent˜o,a ∆ω∆t = 4π (478) 108
- 109. e, multiplicando porh, ¯ ∆E∆t = 4π¯ . h (479) ´ E claro que podemos, neste mesmo intervalo de tempo, ser mais descuidados e cometer erros ∆E maiores. Logo, o resultado geral ´ e ∆E∆t ≥ 4π¯ h (480) 22 Teoria das perturba¸˜es co Quando calculamos a ´rbita da Terra em torno do Sol, omitimos, de nos- o sas equa¸˜es, todos os outros planetas. No entanto, a atra¸˜o de J´ piter, co ca u por exemplo, causa pequenas altera¸˜es na ´rbita terrestre. Para fazer uma co o estimativa dessas pequenas corre¸˜es, elaborou-se um m´todo, na mecˆnica co e a celeste, que permitia a utiliza¸˜o, como ponto de partida, da ´rbita terrestre ca o n˜o perturbada, isto ´, calculada omitindo-se J´ piter, calculando-se direta- a e u mente as modifica¸˜es que deviam ser introduzidas na ´rbita n˜o-perturbada. co o a O aperfei¸oamento dessa t´cnica levou at´ mesmo ` descoberta de novos plan- c e e a etas (Netuno, por exemplo, “tra´ ıdo” pela perturba¸˜o que causava na ´rbita ca o de Urano). A mecˆnica quˆntica tomou emprestada ` mecˆnica celeste essa id´ia, e a a a a e surgiu assim a teoria das perturba¸˜es, que visa, a partir da solu¸˜o conhecida co ca de certos problemas, obter uma solu¸˜o aproximada de problemas que, em ca algum sentido, s˜o pr´ximos ao problema resolvido. A teoria quˆntica das a o a perturba¸˜es, por´m, ´ muito mais simples do que aquela cl´ssica. co e e a 22.1 Perturba¸˜o de estados estacion´rios ca a ˆ Seja H0 um hamiltoniano cujo problema de autovalores j´ resolvemos. Con- a (0) (0) hecemos, ent˜o, as fun¸˜es ψn e os n´ meros En tais que a co u ˆ (0) (0) (0) H0 ψn = En ψn (481) ˆ ˆ ˆ Seja agora H = H0 + V um novo hamiltoniano, muito pr´ximo de H0 , no o ˆ seguinte sentido: todos os elementos de matriz Vnm , em rela¸˜o ` base for- ca a (0) (0) mada pelas ψn , s˜o pequenos em rela¸˜o aos En Diz-se ent˜o que V ´ a ca a ˆ e uma perturba¸˜o, que H e ca ˆ ´ o hamiltoniano perturbado, e que H0 ´ o hamil- ˆ e a ´ toniano n˜o-perturbado. E intuitivo que, nessas condi¸˜es, os autovalores co ˆ ˆ de H sejam pr´ximos dos de H0 , o mesmo acontecendo para as autofun¸˜es. o co Procuraremos simplificar a determina¸˜o das quantidades associadas a H ca ˆ a co a ˆ utilizando o fato de que elas s˜o corre¸˜es `s quantidades associadas a H0 . 109
- 110. ˆ O problema de autovalores de H se escreve ˆ ˆ ˆ Hψn = (H0 + V )ψn = En ψn (482) (0) Como o conjunto dos ψn ´ completo, existe a expans˜o e a (0) ψn = cnm ψm (483) m e a Eq.(482) pode ser escrita ˆ ˆ (H 0 + V ) (0) cnm ψm = En (0) cnm ψm (484) m m ou ˆ (0) cnm H0 ψm + ˆ (0) cnm V ψm = (0) cnm En ψm (485) m m m (0) Vamos usar agora a ortonormalidade dos ψm . Multiplicando (483) ` es- a (0)∗ querda por ψk e integrando, temos: (0)∗ ˆ (0) (0)∗ ˆ (0) (0)∗ (0) cnm dqψk H0 ψm + cnm dqψk V ψm = En cnm dqψk ψm m m m (486) Mas (0)∗ ˆ (0) (0) dqψk H0 ψm = Ek δkm e (0)∗ (0) dqψk ψm = δkm Logo, (0) cnm δkm Ek + cnm Vkm = En cnm δkm (487) m m m ou (0) cnk Ek + cnm Vkm = En cnk (488) m que ´ uma equa¸˜o exata! Vamos agora introduzir as aproxima¸˜es. e ca co Uma condi¸˜o b´sica para o que segue ´ que cada n´ perturbado esteja ca a e ıvel muito pr´ximo de um unico n´ n˜o-perturbado, de sorte que ψn seja muito o ´ ıvel a (0) pr´ximo de ψn , etc. Ou seja, o (0) ψn = ψn + ... (489) onde os pontos denotam termos muito menores. Na expans˜o a (0) ψn = cnm ψm (490) m 110
- 111. teremos ent˜o a cnm = δnm + c(1) + ... nm (491) com c(1) ≪ 1. Ao mesmo tempo, escreveremos nm (0) (1) En = En + En + . . . (492) (1) com En ≪ 1 . (0) En Usando (491) e (492) na Eq.(488), temos (1) (0) (1) δnk + cnk Ek + δnm + c(1) Vkm = En + En (δnk + cnk ) (0) nm (0) (1) (493) m Tomemos n = k. A Eq.(493), d´: a (1) (0) (0) (1) cnk Ek + Vkn = En cnk (494) ou (1) Vkn cnk = − (0) (0) n=k (495) Ek − En Tomando n = k na Eq.(493), obtemos En + c(1) En + Vnn = En + En c(1) + En (0) nn (0) (0) (0) nn (1) (496) ou (1) En = Vnn (497) O primeiro resultado importante ´ este: a primeira corre¸˜o ao autovalor n˜o e ca a (0) perturbado En , ´ o valor m´dio do potencial perturbado, Vnn , na fun¸˜o de e e ca onda n˜o perturbada correspondente `quele valor de n. a a A constru¸˜o da fun¸˜o de onda perturbada ainda n˜o ´ poss´ ca ca a e ıvel, pois (1) (1) temos apenas os cnk para n = k. Falta determinar cnn . Veremos agora que c(1) pode ser tomado igual a zero. De fato, temos nn (0) ψn = cnm ψm = δnm + c(1) ψm nm (0) (498) m m ou, usando os resultados j´ obtidos, a (0) ψn = ψn + c(1) ψm nm (0) m (0) Vmn = ψn − (0) (0) ψm + c(1) ψn (0) nn (0) (499) m=n Em − En 111
- 112. ou Vmn ψn = 1 + c(1) ψn − nn (0) (0) (0) (0) ψm (500) m=n Em − En Impondo que ψn seja normalizada a menos de termos de segunda ordem, temos ∗ dqψn (q)ψn (q) = ∗ (1)∗ (0)∗ Vmn (0)∗ (1) (0) Vmn (0) dq 1 + cnn ψn − ψ 1 + cnn ψn − ψm (0) (0) m (0) (0) Em − En Em − En m=n m=n (0)∗ (0) (1)∗ (1) (0)∗ (0) = dqψn ψn + dq cnn + cnn ψn ψn (1)∗ (1) = 1+ cnn + cnn =1 Logo, c(1)∗ + c(1) = 0 nn nn (501) ou cnn (1) = iα (502) onde α ´ um n´ mero real. Assim, o primeiro termo de (500) ´ e u e (0) ψn = (1 + iα)ψn + . . . (503) que, nesta ordem, ´ indistingu´ de e ıvel ψn = eiα ψn + . . . (0) (504) Ou seja, o termo c(1) s´ contribui para uma mudan¸a de fase de ψn , que, de nn o c (0) qualquer forma, ´ definido a menos de uma fase. Logo, podemos legitima- e mente por cnn = 0. Os resultados ent˜o s˜o, at´ primeira ordem24 , (1) a a e (0) Vmn (0) ψn = ψn − (0) (0) ψm (505) m=n Em − En 24 (0) O leitor arguto estar´ perguntando: mas eu posso mudar a fase s´ do ψn ? A mudan¸a a o c de fase permitida n˜o ´ uma mudan¸a de fase simultˆnea para todos os estados? N˜o, a e c a a leitor arguto. Um mesmo estado ´ descrito pela classe de todos os vetores de m´dulo 1 e o que diferem apenas por uma fase constant. No entanto, por curiosidade, vamos mostrar que, neste caso, a mudan¸a de fase pode ser vista como uma mudan¸a geral de fase. c c (1) Examinemos a Eq.(505) em maior detalhe. O resultado obtido, para cnn = iα, ´ e (0) Vmn (0) ψn = (1 + iα)ψn − (0) (0) ψm m=n Em − En Mas, at´ primeira ordem, isto ´ o mesmo que e e (0) Vmn (0) ψn = (1 + iα) ψn − (0) (0) ψm m=n Em − En 112
- 113. (0) En = En + Vnn (506) 22.2 Exemplo trivial: Oscilador Harmˆnico com per- o turba¸˜o linear ca ˆ Seja H0 = p2 /(2m) o hamiltoniano n˜o-perturbado, e a ˆ p2 H= + 1/2(k + ∆k)x2 2m ˆ o hamiltoniano perturbado. Neste caso o problema de autovalores de H, o hamiltoniano perturbado, pode ser resolvido exatamente, pois ´ essencial- e ˆ 0 , com um diferente valor de k. De fato, seus autovalores mente igual a H s˜o a En = h(ω + ∆ω)(n + 1/2) ¯ (507) com k + ∆k ω + ∆ω = (508) m ´ E feita, adicionalmente, a hip´tese de que o ∆k ≪1 k de maneira que 1 k ∆k 2 ∆k ω + ∆ω = 1+ ≈ω 1+ (509) m k 2k onde usamos o resultado de Newton (sim, Sir Isaac!): (1 + x)α ≈ 1 + αx , (510) para |x| ≪ 1. Logo, podemos escrever ∆k 1 En = hω 1 + ¯ n+ (511) 2k 2 pois os termos Vmn (0) iα (0) (0) ψm m=n Em − En s˜o de segunda ordem! a 113
- 114. e, portanto, (0) ∆k En = En 1 + (512) 2k (0) e, finalmente, lembrando que En = h(n + 1/2), ¯ (1) (0) ∆k En = En . (513) 2k Para o estado fundamental, (1) hω ∆k ¯ E0 = (514) 2 2k Vaos agora obter este mesmo resultado usando o formalismo perturbativo 25 . ˆ Na nota¸˜o perturbativa, temos, para o estado fundamental de H0 , ca 1 mω 4 mωx2 ψ0 (x) = e− 2¯ h (515) π¯ h e 1 V = ∆k x2 (516) 2 Temos 1 1 mω 2 ∞ mωx2 h∆k ¯ V00 = dx x2 e− ¯ h = √ (517) 2 π¯ h −∞ 4 mk Logo, (1) hω ¯ h∆k ¯ E0 = ∆k = √ (518) 4k 4 mk que coincide com (514). 22.3 Corre¸˜es de segunda ordem co Voltemos ` Eq.(488): a (0) cnk Ek + Vkm = En cnk (519) m e escrevamos a expans˜o de ψn nas fun¸˜es de onda n˜o-perturbadas at´ a co a e segunda ordem: ψn = δnm + c(1) + c(2) ψm nm nm (0) (520) m 25 ´ Sim, leitor arguto. E redundante! Mas, didaticamente, ´ util, porque ´ simples, e ´ e´ e e um caso em ue se pode verificar o resultado. 114
- 115. Analogamente, para ascorre¸˜es ` energia , teremos: co a (0) (1) (2) En = En + En + En (521) Usando (520) e (521) em (519), temos (1) (2) (0) δnk + cnk + cnk Ek + δnm + c(1) + c(2) Vkm = nm nm m (0) (1) (2) (1) (2) = En + En + En δnk + cnk + cnk (522) Igualando os termos de ordem zero: (0) (0) δnk Ek = δnk En (523) Igualando os de ordem um: (1) (0) (0) (1) (1) cnk Ek + Vkn = cnk En + En δnk (524) E os de ordem 2: (2) (0) (2) (1) cnk Ek + c(1) Vkm = cnk Em + cnk En + δnk En nm (0) (1) (2) (525) m As rela¸˜es de ordem zero e um j´ foram exploradas. Vamos as de ordem 2. co a ` (1) Para n = k, temos, lembrando que cnn = 0, c(1) Vnm = En nm (2) (526) m=n ou (2) Vmn Vnm En = − (0) (0) (527) m=n Em − En ∗ e, lembrando que Vnm = Vmn , (2) |Vmn |2 En = (0) (0) (528) m=n En − Em 23 Perturba¸˜es de um n´ co ıvel degenerado Recomendamos ao leitor, neste ponto, a leitura do Apˆndice Matem´tico e a 1, que se encontra no fim destas notas. Vimos que o n´ En do ´tomo de hidrogˆnio tem uma degenerescˆncia ıvel a e e 2 2 de ordem n . Isto ´, existem n estados diferentes do ´tomo de hidrogˆnio e a e 2 com energia En (se contarmos o spin, ser˜o 2n ). Quando se aplica um a 115
- 116. campo externo ao´tomo, pode acontecer de esses estados interagirem de a maneira diferente com o campo, e ent˜o a degenerescˆncia ´ quebrada: em a e e lugar de um n´ passaremos a ter v´rios, possivelmente at´ 2n2 , se o campo ıvel a e externo for suficientemente complicado. Diz-se, ent˜o, que a degenerescˆncia a e foi removida. N˜o podemos aplicar cegamente os resultados obtidos at´ aqui pelo seguinte a e motivo: a corre¸˜o de primeira ordem ` fun¸˜o de onda n˜o-perturbada que ca a ca a obtivemos, (0) Vmn ψn = ψn − (0) ψ (0) (0) m (529) m=n Em − En (0) (0) cont´m, no caso de n´ e ıveis degenerados, situa¸˜es em que Em = En , para co n = m, ou seja, na f´rmula acima, apareceriam denominadores nulos. o 23.1 Reobtendo as f´rmulas gerais o Para obter as corre¸˜es correspondentes para n´ co ıveis degenerados, precisamos de uma adapta¸˜o do m´todo anterior a esta nova situa¸˜o. Para evitar um ca e ca excesso de ´ındices, vamos reobter as f´rmulas b´sicas sob forma ligeiramente o a diferente. ˆ Seja H o hamiltoniano perturbado, e vamos escrevˆ-lo em uma s´rie de e e potˆncias de um parˆmetro pequeno, λ, desta forma[10]: e a ˆ ˆ ˆ ˆ H = H (0) + λH (1) + λ2 H (2) + . . . (530) Note-se que, no nosso tratamento anterior, o termo H (1) era denotado por V , e os demais, H (2) , H (3) , etc, eram omitidos. ˆ ˆ ˆ ˆ ıdos mais por raz˜es est´ticas do que por real utilidade. E claro que o H (0) daqui ´ o H0 do tratamento Aqui s˜o inclu´ a o e ´ ˆ e ˆ anterior. Seja φ a fun¸˜o de onda perturbada, que queremos calcular. Ser´ escrita ca a tamb´m como uma s´rie de potˆncias em λ: e e e φ = φ(0) + λφ(1) + λ2 φ(2) + . . . (531) e tamb´m para a energia se escrever´ e a E = E (0) + λE (1) + λ2 E (2) + . . . (532) A equa¸˜o de Schr¨dinger para as quantidades perturbadas ´ ca o e ˆ (H − E)φ = 0 (533) que, pelo uso das expans˜es acima, se escreve o ˆ λn H (n) − E (n) λm φ(m) = 0 (534) n m 116
- 117. ou, por extenso, ˆ ˆ ˆ H (0) − E (0) + λ H (1) − E (1) + λ2 H (2) − E (2) + . . . × φ(0) + λφ(1) + λ2 φ(2) + . . . = 0 (535) Igualando a zero os coeficientes da v´rias potˆncias de λ, temos a e ˆ H (0) − E (0) φ(0) = 0 (536) ˆ ˆ H (0) − E (0) φ(1) + H (1) − E (1) φ(0) = 0 (537) ˆ ˆ ˆ H (0) − E (0) φ(2) + H (1) − E (1) φ(1) + H (2) − E (2) φ(0) = 0(538) e assim por diante. Da primeira, tiramos, evidentemente, que ˆ H (0) φ(0) = E (0) φ(0) que ´ a equa¸˜o de autovalores do hamiltoniano n˜o-perturbado, por hip´tese e ca a o j´ completamente resolvida. Na segunda, Eq.(537), multiplicamos ` esquerda a a por φ(0)∗ (q) e integramos, obtendo ˆ dqφ(0)∗ (q) H (0) − E (0) φ(1) (q) + ˆ dqφ(0)∗ (q) H (1) − E (1) φ(0) (q) = 0 (539) ˆ Mas, pela hermiticidade de H (0) , temos ∗ ˆ dqφ(0)∗ (q) H (0) − E (0) φ(1) (q) = dq ˆ H (0) − E (0) φ(0) (q) φ(1) (q) = 0 (540) Logo, de (539), ˆ dqφ(0)∗ (q) H (1) − E (1) φ(0) (q) = 0 ou ˆ E (1) = H (1) , de acordo com o resultado obtido anteriormente. 23.2 Quando o n´ ıvel ´ degenerado. . . e Suponhamos que o n´ ıvel E (0) seja g-vezes degenerado. Isto ´, existem g e (0) fun¸˜es φj , (j = 1, . . . , g) tais que co ˆ (0) (0) H (0) φj = E (0) φj (541) 117
- 118. (0) Neste caso, qualquercombina¸˜o linear desses φj ser´ tamb´m uma fun¸˜o ca a e ca (0) de onda de energia E . De fato, g g g g ˆ (0) ˆ (0) (0) (0) H (0) cj φ j = cj H (0) φj = cj E(0)φj = E (0) cj φ j j=1 j=1 j=1 j=1 (0) A id´ia do m´todo ´ esta: procurar as combina¸˜es lineares das fun¸˜es φj e e e co co que sejam tais que o efeito da perturba¸˜o em primeira ordem seja pequeno. ca ` A luz da Eq.(529), isto significa que, para compensar os denominadores que (0) (0) se anulam, quando En = Em com n = m, devemos escolher as combina¸˜es co (0) lineares das φj que fazem o numerador correspondente tamb´m se anular26 . e Suponhamos o problema resolvido, e seja g (0) (0) φ = cj φ j (542) j=1 a combina¸˜o linear procurada. ca (0) Note-se que supomos as φj normalizadas. Ent˜o a φ(0) da Eq.(542) ser´ normalizada se a a |cj |2 = 1. j Considere a equa¸˜o ca ˆ ˆ H (0) − E (0) φ(1) + H (1) − E (1) φ(0) = 0 (543) ou g ˆ ˆ (0) H (0) − E (0) φ(1) + H (1) − E (1) cj ′ φ j ′ = 0 (544) j ′ =1 (0)∗ Multiplicando ` esquerda por φj a e integrando, obt´m-se: e (0)∗ ˆ (0)∗ ˆ (0) dqφj (q) H (0) − E (0) φ(1) (q) + dqφj (q) H (1) − E (1) cj ′ φ j ′ = 0 j′ (545) O primeiro termo do primeiro membro ´ zero, usando-se a hermiticidade de e ˆ (0) , como na Eq.(540). Ent˜o segue que H a (0) ˆ (0) (0)∗ (0) dqφj H (1) φj ′ − E (1) dqφj (q)φj ′ (q) = 0 (546) j′ j′ e, introduzindo o s´ ımbolo ˆ (1) Hjj ′ ≡ dqφj (0)∗ ˆ (q)H (1) φj ′ , (0) 26 Ou seja, as combina¸˜es lineares escolhidas devem diagonalizar a matriz de elementos co Vnm , na nota¸˜o da Eq.(529). ca 118
- 119. podemos escrever (546)como ˆ (1) cj ′ Hjj ′ − E (1) cj = 0 para j = 1, . . . , g (547) j′ ou ainda, g ˆ (1) Hjj ′ − E (1) δjj ′ cj ′ = 0 para j = 1, . . . , g (548) j ′ =1 Este ´ um sistema de g equa¸˜es homogˆneas a g inc´gnitas (os coeficientes e co e o cj ), cuja solu¸˜o trivial ´ cj = 0 para todo j. E ca e ´ claro que esta solu¸˜o n˜o ca a tem nenhum interesse f´ ısico. Para que existam outras solu¸˜es, ´ necess´rio co e a que ˆ (1) |Hjj ′ − E (1) δjj ′ | = 0 (549) onde, se Aij ´ uma matriz, |Aij | ´ o determinante da matriz. e e A equa¸˜o (549) ´ denominada, por raz˜es hist´ricas, equa¸˜o secular. ca e o o ca Vamos a um exemplo. Para g = 2, a matriz em quest˜o ´ a e ˆ (1) ˆ (1) H11 − E (1) H12 (1) (550) ˆ H21 ˆ (1) H22 − E (1) A equa¸˜o secular ca ent˜o d´: a a ˆ (1) H11 − E (1) ˆ (1) H12 det ˆ (1) = H11 − E (1) ˆ (1) ˆ (1) ˆ (1) H22 − E (1) −H21 H12 = 0 ˆ (1) H21 ˆ (1) H22 − E (1) (551) ou ˆ (1) ˆ (1) ˆ ˆ (1) ˆ (1) ˆ (1) E (1)2 − H11 + H22 E (1) + H11 H22 − H12 H21 = 0 . (552) H´ duas solu¸˜es, a co 1 ˆ (1) ˆ (1) E (1) = H11 + H22 + 2 1 ˆ (1) ˆ (1) 2 ˆ (1) ˆ (1) ˆ (1) ˆ (1) + H11 + H22 − 4 H11 H22 − H12 H21 (553) 2 1 ˆ (1) ˆ (1) E (1)′ = H11 + H22 + 2 1 ˆ (1) ˆ (1) 2 ˆ (1) ˆ (1) ˆ (1) ˆ (1) − H11 + H22 − 4 H11 H22 − H12 H21 (554) 2 Logo, o n´ de energia E (0) se desdobra em dois, de energia s E (0) + E (1) e ıvel E (0) + E (1)′ . De uma maneira geral, se a degenerescˆncia for de ordem g, teremos uma e equa¸˜o alg´brica de ordem g, com g solu¸˜es para E (1) . Se forem todas ca e co diferentes, o n´ se desdobrar´ em g novos n´ ıvel a ıveis, e a degenerescˆncia ser´ e a completamente removida. 119
- 120. 23.3 O efeito Zeeman anˆmalo o Como aplica¸˜o vamos calcular a a¸˜o de uma campo magn´tico fraco sobre ca ca e o estado fundamental do ´tomo de hidrogˆnio. Sabe-se que quando se liga a e um campo magn´tico externo, o n´ e ıvel n = 1, que corresponde ao estado fundamental, desdobra-se em um par de n´ ıveis. A interpreta¸˜o f´ ca ısica ´ a e seguinte: devido ao spin, o el´tron comporta-se como um pequeno ´ a. A e ım˜ energia de intera¸˜o de um dipolo magn´tico de momento de dipolo µ com ca e um campo magn´tico B ´ e e E = −µ.B e depende, portanto, da orienta¸˜o relativa dos dois. Como o spin quˆntico ca a s´ pode ter duas orienta¸˜es, correspondentes `s componentes z iguais a h 1 o co a ¯2 ou −¯ 1 , h´ dois valores poss´ h2 a ıveis para a energia E, que, grosso modo, ´e adicionada ` energia do estado fundamental. Surgem assim os dois n´ a ıveis. Este fenˆmeno chama-se efeito Zeeman anˆmalo. o o Esta interpreta¸˜o superficial ´ confirmada por uma an´lise mais cuida- ca e a dosa, baseada no c´lculo perturbativo. a Vimos na equa¸˜o (456) que o termo de intera¸˜o do el´tron no estado ca ca e fundamental do ´tomo de hidrogˆnio (l = 0), ´ a e e ˆ ˆ e¯ h V = Hem = − s.B (555) mc onde s ´ o operador de spin, cuja representa¸˜o matricial na base formada e ca pelos estados 1 χ+ = (556) 0 0 χ− = (557) 1 ´, por exemplo, para a componente x, sx = 1 σx , com e 2 0 1 σx = (558) 1 0 Levando-se em conta o spin, o estado fundamental ´ degenerado, e, por isso, e ´ preciso utilizar o formalismo desenvolvido especialmente para este caso. e em Como s´ o spin interessa neste caso, vamos denotar por Hij ≡ Vij o elemento o de matriz gen´rico entre autoestados da proje¸˜o z do spin. Para dar um e ca exemplo n˜o excessivamente trivial, tomaremos o eixo x ao longo da dire¸˜o a ca do campo magn´tico, suposto uniforme e constante no tempo. e 120
- 121. O termo deintera¸˜o ´ ent˜o dado pela matriz ca e a e¯ h V =− σx B (559) 2mc cujos elementos s˜o a e¯ † h e¯ h 0 1 1 V11 = − χ+ σx χ+ = − (1, 0) =0 (560) 2mc 2mc 1 0 0 e¯ h 0 1 0 V22 = − (0, 1) =0 (561) 2mc 1 0 1 ∗ e¯ h 0 1 0 e¯ h V12 = V21 = − (1, 0) =− (562) 2mc 1 0 1 2mc Usando agora as equa¸˜es (553) e (554), obtemos co 1 e¯ h E (1) = 4V12 V21 = (563) 2 2mc e¯ h E (1) ′ = − (564) 2mc Logo, a diferen¸a de energia entre os dois n´ c ıveis, uma vez removida a de- generescˆncia, ´ e e e¯ h ∆E = E (1) − E (1) ′ = B (565) mc em muito bom acordo com a experiˆncia, para campos magn´ticos fracos. e e 23.4 Exerc´ ıcios 1. No fim desta lista h´ uma tabela de valores de quantidades como a carga a e massa do el´tron, velocidade da luz, h, etc. Consulte-a para resolver as e ¯ quest˜es que seguem. o (a)Calcule, em ev (eletronvolts) o potencial de ioniza¸˜o do ´tomo de hidrogˆnio, ca a e que ´ a energia necess´ria para extrair um el´tron do estado fundamental. e a e (b)Calcule, em ev, a diferen¸a de energia entre o estado fundamental e o c primeiro estado excitado do ´tomo de hidrogˆnio. a e e¯ h (c) Calcule a raz˜o entre mc B e as quantidades calculadas acima, sendo B a o campo magn´tico da Terra. Isto dar´ uma id´ia do tamanho do efeito e a e Zeeman anˆmalo (ver Notas) em rela¸˜o a duas energia s t´ o ca ıpicas do ´tomo a de hidrogˆnio. e 2. Considere o po¸o quadrado infinito que estudamos em detalhe: duas c 121
- 122. paredes inpenetr´veis, paralelas,a uma distˆncia a uma da outra. Calcule o a a efeito sobre o estado fundamental de uma mola de constante el´stica muito a pequena que prende a part´ ıcula ` parede em x = 0: corre¸˜o ` energia e ` a ca a a fun¸˜o de onda, at´ primeira ordem. ca e 3. Mesmo problema, mas, agora, o movimento da part´ ıcula no po¸o ´ afetado c e por uma for¸a constante muito fraca, da esquerda para a direita. c 4. Qual ´ a dificuldade em introduzir a “resistˆncia do ar”, isto ´, uma e e e for¸a proporcional ` velocidade, dessa forma? c a 5. Efeito Stark no ´tomo de hidrogˆnio: uma perturba¸˜o dada por um a e ca potencial eletrost´tico a V = eF z , onde F ´ o m´dulo de campo el´trico, age sobre o ´tomo. Calcule os novos e o e a n´ ıveis de energia com n = 2. Resposta: me4 1 − 2¯ 2 4 h me4 1 − 2 2¯ 4 h me4 1 − 2 + 3eF a 2¯ 4 h me4 1 − 2 − 3eF a 2¯ 4 h 23.4.1 Unidades e fatores de convers˜o a 1 erg = 6.2 × 1011 eV h = 1, 05 × 10−27 erg.s ¯ c = 3 × 1010 cm/s me = 9, 1 × 10−28 g e¯h Magneton de Bohr ( 2mc )=9, 3 × 10−21 erg/gauss Campo magn´tico da Terra ≈ 0, 3gauss. e 6.O pr´ton n˜o ´ um ponto. Uma representa¸˜o aceit´vel para ele ´ como uma o a e ca a e esfera de raio R muito menor do que o raio do ´tomo. Quando calculamos a os estados estacion´rios do ´tomo de hidrogˆnio, supusemos o pr´ton como a a e o um ponto. Seja a o raio do ´tomo. Para R ≤ r ≤ a, a energia potencial a do el´tron ´ a mesma, seja o pr´ton um ponto ou uma esfera de raio R. e e o 122
- 123. Mas no intervalo0 ≤ r ≤ R, a energia potencial do el´tron ´ diferente. e e Calcule o efeito da extens˜o do pr´ton sobre os n´ a o ıveis de energia do ´tomo de a hidrogˆnio considerando como perturba¸˜o a diferen¸a de energia potencial e ca c devida ` extens˜o do pr´ton. Mais precisamente: a a o (a)Mostre que o potencial perturbador ´ e −3e2 r2 2r 3 R2 − 3 , r < R, V (r) = 0, r>R (b)Calcule a corre¸˜o ` energia do estado fundamental. De quantos por cento ca a ´ alterada? e 7. Considere um oscilador linear unidimensional de massa m e carga e. Sua energia potencial ´ escrita como e 1 v(x) = mω 2 x2 2 e a energia irradiada ´ desprez´ e ıvel. Um campo el´trico fraco, constante no e espa¸o e no tempo, ´ aplicado na dire¸˜o x. Mostre que, c e ca (a) Em primeira ordem de perturba¸˜o, os n´ ca ıveis de energia n˜o s˜o alter- a a ados. (b) Calcule a corre¸˜o em segunda ordem para o estado fundamental. ca (c) Resolva o problema exatamente, e mostre que a solu¸˜o exata coincide ca com (b). (d) Analise o problema cl´ssico eq¨ ivalente e compare as solu¸˜es exatas para a u co o problema n˜o-perturbado e perturbado. a 8.A linha espectral de λ = 1850˚ do merc´ rio resulta da transi¸˜o de um A u ca estado excitado para o estado fundamental 1 S0 . Um campo magn´tico de e 0, 2T divide essa linha em trˆs componentes com uma separa¸˜o de 0, 0032˚ e ca A entre linhas vizinhas. O que se pode dizer do estado excitado? 9. (Dedicado a Douglas Cancherini) Corre¸˜es relativistas aos n´ co ıveis atˆmicos. o A energia de uma part´ ıcula relativista livre ´ dada pela conhecida express˜o e a E 2 = p2 c2 + m2 c4 (566) A parte desta energia que permanece quando p = 0 ´ dita “energia de re- e pouso”, e ´ dada pela famos´ e ıssima express˜o a E = mc2 (567) 123
- 124. A diferen¸a entreas energia s dadas por (566) e (567) ´ a energia cin´tica da c e e part´ ıcula. A eq.(566) pode ser escrita E= p2 c2 + m2 c4 (568) e, na maioria dos casos, o termo que descreve a energia em repouso ´ muito e maior do que o outro. Ent˜o podemos proceder assim: a 1 p 2 c2 2 p2 2 E= m2 c4 1+ 2 4 = mc 1+ 2 2 (569) mc mc que pode ser calculada aproximadamente usando a f´rmula do binˆmio de o o Newton: α(α − 1) 2 α(α − 1) . . . (α − p + 1) p (1 + x)α = 1 + αx + x +... x + . . . (570) 2! p! Usando (570) em (569), temos p2 2 1 p4 E = mc + − + ... (571) 2m 8 m3 c2 Subtra´ındo a energia de repouso de (571), temos uma express˜o para a ener- a gia cin´tica que j´ inclui algumas corre¸˜es relativistas, pois a energia cin´tica e a co e p2 n˜o-relativista ´ dada por 2m . a e Calculamos os n´ ıveis de energia do ´tomo de hidrogˆnio resolvendo a a e equa¸˜o de Schr¨dinger para estados estacion´rios com o hamiltoniano ca o a ˆ p2 Ze2 H= − (572) 2m r Para avaliar a importˆncia das corre¸˜es relativistas, podemos utilizar a teo- a co 4 co ca ˆ ria das perturba¸˜es, considerando como perturba¸˜o V = − 1 mp3 c2 . 8 (a) Obtenha a Eq.(571). (b) Calcule a corre¸˜o ` energia do estado fundamental de um ´tomo hidro- ca a a gen´ide de Z qualquer, e exiba a dependˆncia em Z. Para que valor de Z se o e teria uma corre¸˜o de 1%? ca 23.4.2 Exerc´ ıcio resolvido 1. Considere o po¸o quadrado infinito usual, com paredes impenetr´veis em c a x = 0 e x = a. Calcule o efeito sobre a energia de um estado estacion´rio a qualquer de uma mola de constante el´stica muito pequena (a energia poten- a cial perturbadora deve ser muito menor do que a separa¸˜o entre os n´ ca ıveis) 124
- 125. que prende apart´ ıcula ` parede em x = 0, em primeira ordem de perturba¸˜o. a ca Solu¸˜o: os n´ ca ıveis de energia n˜o-perturbados s˜o: a a h2 2 ¯ En = k 2m n com nπ kn = a sendo a fun¸˜o de onda correspondente ca 2 nπ ψn (x) = sin x a a A perturba¸˜o ´ dada por ca e 1 V (x) = mω 2 x2 2 e a separa¸˜o de n´ ca ıveis ´ e h2 π 2 2 ¯ h2 π 2 ¯ En − En−1 = 2 n − (n − 1)2 = [2n − 1] 2ma 2ma2 A condi¸˜o de validade da teoria da perturba¸˜o, mencionada acima, ´ ca ca e (mostre!) h2 π 2 (2n − 1) ¯ ω2 ≪ m2 a4 Note-se que a condi¸˜o depende do n´ ca ıvel. Uma perturba¸ao pequena para os c˜ n´ ıveis baixos pode n˜o o ser para n´ a ıveis altos. A corre¸˜o ` energia ´ ca a e 2 a nπ 1 mω 2 a nπ E= sin2 x mω 2 x2 = dx sin2 x a 0 a 2 a 0 a Para n inteiro a integral a nπx a3 dxx2 sin2 = 2n3 π 3 − 3nπ 0 a 12n3 π 3 Obt´m-se assim, para a corre¸˜o, e ca (1) mω 2 a2 1 1 E = − 2 2 2 3 2n π 125
- 126. 23.4.3 Exerc´ ıcio resolvido (Enrico Fermi, 1954) Efeito Stark no ´tomo de hidrogˆnio: uma perturba¸˜o dada por um a e ca potencial eletrost´tico a V = eF z onde F , constante, ´ o m´dulo do campo el´trico, age sobre o ´tomo. Calcule e o e a os novos n´ıveis de energia com n = 2. Solu¸˜o: o n´ ca ıvel n = 2 ´ degenerado, de ordem 4. As fun¸˜es de onda e co correspondentes s˜o:ψ211 , ψ210 , ψ21−1 , ψ200 . Vamos denotar os elementos de a matriz de V por ∞ π 2π 211|V |210 = r 2 dr sin θdθ ∗ dφψ211 (r, θ, φ)eF zψ210 (r, θ, φ) 0 0 0 e assim por diante. A equa¸˜o secular ´: ca e 11|V |11 − E 11|V |10 11|V |1 − 1 11|V |00 10|V |11 10|V |10 − E 10|V |1 − 1 10|V |00 det 1 − 1|V |11 =0 1 − 1|V |10 1 − 1|V |1 − 1 − E 1 − 1|V |00 00|V |11 00|V |10 00|V |1 − 1 00|V |00 − E onde omitimos o ´ ındice 2, que ´ sempre o mesmo. e Um elemento de matriz t´ ıpico ´ e eF d3 rψ211 (r, θ, φ)zψ210 (r, θ, φ) Muitas dessas integrais s˜o nulas por causa do seguinte fato: a se f (x, y, z) = −f (−x, −y, −z), ent˜o a a b c dx dy dyf (x, y, z) = 0 −a −b −c A troca de r por −r, ou seja, de (x, y, z) por (−x, −y, −z) chama-se invers˜o a espacial. Em coordenadas esf´ricas esta transforma¸˜o ´: e ca e r → r θ → π−θ φ → φ+π Em rela¸˜o ` invers˜o espacial, os harmˆnicos esf´ricos tˆm a seguinte trans- ca a a o e e forma¸˜o (veja a prova abaixo): ca Ylm (θ, φ) = (−1)l Ylm (π − θ, φ + π) 126
- 127. Em conseq¨ˆncia, asseguintes integrais s˜o nulas: ue a ∗ dqψnlm zψnlm = dqz|ψnlm |2 = 0 pois |ψnlm |2 ´ par e z ´ ´ e e ımpar, ou seja, o integrando ´ ´ e ımpar, sendo o intervalo de integra¸˜op sim´trico, pois ´ o espa¸o todo. Logo, na equa¸˜o secular, os ca e e c ca elementos de matriz diagonais s˜o todos nulos. a Na realidade, o mesmo fenˆmeno acontece com os elementos de matriz de o z entre estados de mesmo l, por exemplo: 210|V |211 = 0 A matriz se simplifica para −E 0 0 11|V |00 0 −E 0 10|V |00 det =0 0 0 −E 1 − 1|V |00 00|V |11 00|V |10 00|V |1 − 1 −E Esta equa¸˜o d´ ca a E 4 − E 2 |V11,00 |2 + |V00,10 |2 + |V00,1 −1 |2 = 0 que tem como solu¸˜es E = 0, E = 0 e co E = ± |V11,00 |2 + |V00,10 |2 + |V00,1 −1 |2 Finalmente, notando que [V, lz ] = 0, ´ f´cil provar (veja a prova abaixo) que e a os elementos de matriz de V entre estados de valores distintos de m s˜o nulos. a Em conseq¨ˆncia, ue E = ±|V00,10 | Usando as fun¸˜es de onda co 1 r −r ψ200 = √ 2− e 2a 32πa3 a 1 r −r ψ210 = √ e 2a cos θ 32πa3a mostre que os demais valores de E s˜o: a E = ±3eF a A conclus˜o ´ que o n´ n = 2 divide-se em trˆs n´ a e ıvel e ıveis: um, com a mesma energia anterior, que ´ ainda degenerado (de ordem 2), outro com energia e 127
- 128. igual ` energiade Bohr adicionada de 3eF a, e um terceiro, com a energia de a Bohr subtra´ de 3eF a. ıda Prova 1: Para maior clareza, vamos denotar os harmˆnicos esf´ricos assim: o e r Ylm (θ, φ) ≡ Ylm ( ) , r onde r ´ o vetor unit´rio na dire¸˜o determinada pelos ˆngulos θ e φ. Ent˜o, o que r e a ca a a queremos provar ´ que e r r Ylm ( ) = (−1)l Ylm (− ) r r Para o caso em que l = m, temos l x + iy Yll (θ, φ) = K r e, como (−x + i(−y))l = (−1)l (x + iy), segue que r r Yll ( ) = (−1)l Yll (− ) r r Para completar a prova, lembre-se de que l−m Ylm = K (l− ) Yll Mas l− = lx − ily e todas as componentes li s˜o invariantes pela invers˜o temporal (por exemplo, lx = a a ∂ ∂ −i y ∂z − z ∂y n˜o se altera se os sinais de y e z s˜o invertidos). Logo, a a r l−m r l−m r r Ylm (− ) = K (l− ) Yll (− ) = (−1)l K (l− ) Yll ( ) = (−1)l Ylm ( ) r r r r Prova 2: [lz , z] = 0, logo, [V, lz ] = 0. Considere o elemento de matriz l, m|[V, lz ]l′ , m′ , que ´ obviamente zero, j´ que o comutador ´ zero. Ent˜o, e a e a 0 = l, m|[V, lz ]|l′ , m′ = = l, m|V |l′′ , m′′ l′′ , m′′ |lz |l′ , m′ − l, m|lz |l′′ , m′′ l′′ , m′′ |V |l′ , m′ l′′ ,m′′ l′′ ,m′′ = m′ l, m|V |l′ , m′ − m l, m|V |l′ , m′ = 0 Logo, (m′ − m) l, m|V |l′ , m′ = 0 Daqui se vˆ que, se m = m′ , l, m|V |l′ , m′ = 0, como se queria demonstrar. e Sem usar a nota¸˜o de Dirac, a prova seria assim: ca 0 = dqYl∗,m′ [V, lz ]Ylm ′ 128
- 129. = dqYl∗,m′ V lz Ylm − ′ dqYl∗,m′ lz V Ylm ′ ∗ = m dqYl∗,m′ V Ylm − ′ dq (lz Yl′ ,m′ ) V Ylm = m dqYl∗,m′ V Ylm − m′ ′ dqYl∗,m′ V Ylm ′ = (m − m′ ) dqYl∗,m′ V Ylm ′ 23.4.4 Prova simulada 1. Efeito Stark do estado fundamental do ´tomo de hidrogˆnio a e O el´tron do ´tomo de hidrogˆnio acha-se sob a a¸˜o de um campo el´trico e a e ca e externo que lhe confere uma energia potencial eF z. (a) Mostre que o efeito Stark para o n´ n = 1 ´, em primeira ordem de ıvel e perturba¸˜o, nulo. ca (b) Calcule a contribui¸˜o de segunda ordem, levando o c´lculo at´ onde ca a e puder. l (c) A partir de Yll (θ, φ) = K x+iy , calcule Y21 (θ, φ), determinando tamb´m r e a constante de normaliza¸˜o.ca 2.O ´tomo dos pobres a Um el´tron est´ preso dentro de uma esfera ˆca de paredes impenetr´veis, e a o a de raio a. N˜o h´ outras for¸as agindo sobre ele. a a c (a) Existem estados estacion´rios esfericamente sim´tricos? (b) Determine a e os autovalores da energia desses estados. (c) Determine a fun¸˜o de onda do estado esfericamente sim´trico de menor ca e energia . (d) Existem estados estacion´rios desse el´tron que n˜o sejam esfericamente a e a sim´tricos? e 3. Oscilador preso a uma parede Uma part´ıcula de massa m possui a energia potencial 1 2 kx2 x>0 V (x) = ∞ x≤0 (a) Escreva o hamiltoniano para este sistema. e determine as autofun¸˜es co ψn (x) e autovalores En . (b) Calcule o valor esperado x para o estado fun- damental deste sistema e compare com o valor da mesma quantidade para o oscilador verdadeiro. Comente a diferen¸a. (c) Mesma coisa para p . c 129
- 130. 4. Um sistemaf´ ısico tem, num certo instante, uma fun¸˜o de onda cuja ca unica dependˆncia em φ (quando expressa em coordenadas esf´ricas) ´ dada ´ e e e por um fator 4 Φm (φ) = cos2 φ 3π ıveis valores para uma medida de ˆz ? (a) Quais os poss´ l (b)Qual o valor m´dio lz ? e 23.4.5 Solu¸˜es de alguns problemas co ´ Atomo dos pobres O laplaceano em coordenadas esf´ricas pode ser escrito: e ˆ2 1 ∂ ∂ψ l ∇2 ψ = 2 r2 − 2ψ (573) r ∂r ∂r r ˆ2 onde l ´ o operador de momento angular total. e A equa¸˜o de Schr¨dinger para estados estacion´rios do sistema descrito ca o a ´, ent˜o, e a ˆ2 2 h ¯ 1 ∂ ∂ψ l − r2 − 2 ψ = Eψ (574) 2m r 2 ∂r ∂r r Procuremos solu¸˜es da forma co ψ(r, θ, φ) = R(r)Ylm(θ, φ) (575) Inserindo esta express˜o em (574), temos, visto que a ˆ2 l Ylm = l(l + 1)Ylm , h2 1 d ¯ 2 dR h2 l(l + 1) ¯ − 2 dr r + R(r) = ER(r) (576) 2m r dr 2m r 2 Introduzindo a fun¸˜o u(r) tal u(0) = 0 e ca u(r) R(r) = r a equa¸˜o (576) d´, para u(r), a equa¸˜o ca a ca d2 u(r) l(l + 1) 2m 2 − 2 u(r) = − 2 Eu(r) (577) dr r h ¯ 130
- 131. Para maior clareza,vamos apender o ´ ındice l `s solu¸˜es desta equa¸˜o. a co ca Ent˜o, reescrevemos: a d2 ul (r) l(l + 1) 2m 2 − 2 ul (r) = − 2 El ul (r) (578) dr r h ¯ Os ´ıtens (a) e (b) podem ser respondidos imediatamente. Como as solu¸˜es co s˜o da forma ulr Ylm (θ, φ), as eventuais solu¸˜es de simetria esf´rica tˆm de a (r) co e e corresponder a l = 0, j´ que o unico harmˆnico esf´rico com esta simetria ´ a ´ o e e o Y00 . A equa¸˜o relevante ´, ent˜o, (577) com l = 0, ou seja, ca e a d2 u0 (r) 2 = −k0 u0 (r) (579) dr 2 onde pusemos 2 2m k0 ≡ E0 (580) h2 ¯ A eq.(580) tem a solu¸˜o geral ca u0 (r) = A cos k0 r + B sin k0 r (581) mas, como u(0) = 0, devemos tomar A = 0. Logo, u0 (r) = B sin k0 r (582) Al´m disso, o ´tomo dos pobres tem raio a, e ent˜o a condi¸˜o adicional e a a ca u0 (a) = 0 deve ser imposta. Com isto, obtemos B sin k0 a = 0 (583) cuja solu¸˜o mais geral ´ ca e kn0 a = nπ (584) onde n ´ um inteiro. Resolvemos, de novo para maior clareza, apender um e novo ´ ındice, n, `s solu¸˜es. Temos, ent˜o, muitas solu¸˜es esfericamente a co a co sim´tricas, caracterizadas por e un0 (r) = B sin kn0 r B sin kn0 r ψn0 (r) = Y00 (θ, φ) (585) r sendo as energia s dadas por h2 n2 π 2 ¯ En0 = (586) 2m a2 131
- 132. Evidentemente a solu¸˜oesfericamente sim´trica de menor energia ´ dada ca e e por ψ1,0 (r). As demais quest˜es sobre o ´tomo dos pobres podem ser resolvidas sem o a dificuldade pelo leitor. As solu¸˜es sem simetria esf´rica satisfazem a equa¸˜o co e ca d2 ul l(l + 1) − ul (r) = −k 2 ul (r) (587) dr 2 r2 ul (r) Reescrevendo em termos da fun¸˜o Rl (r) ≡ ca r , temos d2 Rl 2 dRl l(l + 1) + − Rl = −k 2 Rl (588) dr 2 r dr r2 As fun¸˜es de Bessel esf´ricas s˜o solu¸˜es da equa¸˜o diferencial co e a co ca d2 jl (r) 2 djl (r) l(l + 1) + − jl (r) = −jl (r) (589) dr 2 r dr r2 de onde se deduz sem dificuldade que Rl (r) = jl (kr) (590) Logo, as solu¸˜es sem simetria esf´rica tˆm a forma co e e ψnlm (r, θ, φ) = Ajl (kr)Ylm(θ, φ) (591) A condi¸˜o de contorno ´ ca e jl (ka) = 0 , (592) que ´ satisfeita por certos valores de k, denotados por kn , para os quais (592) e ´ satisfeita. Matematicamente, trata-se ent˜o de fazer com que a quantidade e a ka coincida com os zeros da fun¸˜o de Bessel esf´rica jl , que s˜o encontrados ca e a em tabelas. Sejam z1 < z2 < . . . < zn . . . n´ meros tais que u jl (zi ) = 0 Ent˜o teremos a zi kil = (593) a sendo a energia deste estado estacion´rio dada por a h2 2 ¯ Eil = k (594) 2m il 132
- 133. 23.4.6 Mais exerc´ ıcios resolvidos Calcular as corre¸˜es relativistas aos n´ co ıveis de energia como corre¸˜es co perturbativas. (Exerc´ 9, Se¸˜o 20.4 das notas de aula). ıcio ca Solu¸˜o: o hamiltoniano n˜o-perturbado ´ ca a e ˆ p2 Ze2 H0 = − 2m r enquanto que o perturbado ´, como vimos em aula, e 4 ˆ = H0 + V = H0 − 1 p H ˆ ˆ ˆ 8 m3 c2 A corre¸˜o ` energia em primeira ordem ´, ent˜o, ca a e a 1 p4 E (1) = ∗ dqψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ) − ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ) 8 m3 c2 Mas p4 ψ = p2 p2 ψ = h4 ∇2 ∇2 ψ ¯ e ∇2 ´ um operador hermiteano (por que?). Ent˜o, e a (1) h4 ¯ E = − 3 2 dqψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ)∇2 ∇2 ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ) ∗ 8m c h4 ¯ ∗ = − 3 2 dq ∇2 ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ) ∇2 ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ) 8m c h4 ¯ = − 3 2 dq|∇2 ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ)|2 8m c A equa¸˜o de Schr¨dinger ´ ca o e h2 2 ¯ Ze2 − ∇ ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ) − ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ) = En1 ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ) 2m r logo, 2mZe2 2m ∇2 ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ) = − 2 ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ) − 2 En1 ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ) hr ¯ h ¯ Logo, |∇2 ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ)|2 = 2mZe2 2m ∗ 2mZe2 2m = + 2 En1 ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ) + 2 En1 ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ) h2 r ¯ h ¯ h2 r ¯ h ¯ 133
- 134. 4m2 Z 2e4 2 2 2 8m Ze En1 2 4m 2 = 4 2 |ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ)| + 4 |ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ)| + 4 En1 |ψn1 ,l1 ,m1 (r, θ, φ)|2 2 hr ¯ hr ¯ h ¯ Para a corre¸˜o da energia temos, ent˜o, ca a Z 2 e4 1 Ze2 En1 1 E2 E (1) = − dq |ψ|2 − dq |ψ|2 − n12 dq|ψ|2 2mc2 r2 mc2 r 2mc ou, Z 2 e4 1 Ze2 2 1 En1 E (1) = − 2 r2 − E 2 n1 r − 2mc mc 2mc2 Para uma an´lise qualitativa, podemos por: a Z 2 e4 1 Ze2 1 En1 E (1) = − 2 a2 − E 2 n1 a − 2mc 0 mc 0 2mc2 Verifique cuidadosamente esses c´lculos (foram feitos `s pressas). Em a a particular, verifique a validade de r = a0 1 1 = r a0 1 1 = 2 r2 a0 Determine explicitamente a dependˆncia total em Z (h´ uma escondida e a em a0 ?). Justifique o folklore que diz: corre¸˜es relativistas s˜o importantes para co a n´ cleos pesados, em suas ´rbitas internas. u o Como n˜o h´ ´rbitas, que hist´ria ´ essa de “´rbitas internas”? a ao o e o 24 Perturba¸˜es dependentes do tempo co At´ agora estudamos o efeito de pequenas perturba¸˜es sobre um sistema e co f´ ısico, sob a hip´tese de que essas perturba¸˜es fossem independentes do o co tempo, como um campo magn´tico constante, etc. Muito importante para e o estudo das propriedades de ´tomo ´ investigar o que acontece com ele a e quando, por exemplo, uma onda eletromagn´tica o atinge. A luz do Sol, por e exemplo, ´ um campo eletromagn´tico que varia muito rapidamente mas que, e e em condi¸˜es normais, ´ muito menos intenso do que os campos el´tricos e co e e magn´ticos do pr´prio ´tomo. Ent˜o a luz ´ uma perturba¸˜o, mas uma e o a a e ca perturba¸˜o dependente do tempo. Seja ca ˆ ˆ ˆ H = H0 + V (t) (595) 134
- 135. ˆ o hamiltoniano perturbado,escrito como a soma de um hamiltoniano H0 , n˜o- a perturbado, sobre o qual sabemos tudo, e de uma perturba¸˜o V ca ˆ (t), onde a perturba¸˜o, agora, depende do tempo. Esta ´ uma dependˆncia expl´ ca e e ıcita no tempo. Vamos explicar por meio de um exemplo: suponha dois el´trons, e interagindo sob a a¸˜o de seus campos el´tricos. A repuls˜o eletrost´tica ca e a a far´ com que, ` medida que o tempo passa, eles estejam cada vez mais longe a a um do outro. Portanto, do ponto-de-vista de cada um dos el´trons, o campo e do outro varia com o tempo. N˜o se trata desta dependˆncia no tempo, a e conseq¨ˆncia do movimento, o que estamos estudando aqui. Trata-se de uma ue dependˆncia no tempo adicional a esta, e que aconteceria, por exemplo, se a e carga de um dos el´trons fosse aumentando com o tempo. Se os dois el´trons e e estivessem no interior de um capacitor cujo campo el´trico fosse alter´vel e a por meio de um reostato, ter´ ıamos um campo com dependˆncia expl´ e ıcita no tempo. Uma onda de luz que incide sobre um el´tron, j´ citada acima, ´ e a e outro exemplo de perturba¸˜o com dependˆncia expl´ ca e ıcita no tempo. Neste caso, n˜o h´ conserva¸˜o da energia 27 e o hamiltoniano perturbado n˜o ter´, a a ca a a em geral, estados estacion´rios. Sup˜e-se, por´m, que o hamiltoniano H a o e ˆ 0 os tenha, e o objetivo ´ calcular as fun¸˜es de onda do sistema perturbado como e co corre¸˜es aos estados estacion´rios do sistema n˜o-perturbado. co a a Sejam (0) i ψk (r, t) = uk (r)e− h Ek t ¯ (596) as fun¸˜es de onda dos estados estacion´rios do sistema n˜o-perturbado. co a a Ent˜o uma solu¸˜o arbitr´ria da equa¸˜o de Schr¨dinger para o sistema n˜o- a ca a ca o a perturbado pode ser escrita na forma (0) ψ= ak ψk (597) k 27 De fato, a f´rmula o ˙ ˆ i ˆ ˆ O = [H, O] , h ¯ precisa, quando h´ dependˆncia expl´ a e ˆ ıcita no tempo no operador O, ser modificada, dando ˙ ˆ ∂O i ˆ ˆ ˆ O= + [H, O] ∂t h ¯ ´ ca ˆ Aplicando-se esta ultima equa¸˜o ao hamiltoniano H, tem-se ˙ ˆ ∂H ˆ ∂V ˆ H= = ∂t ∂t que ´ diferente de zero. Na mecˆnica quˆntica, lembre-se, a conserva¸˜o da energia ´ e a a ca e ˙ ˆ = 0, que, neste caso, n˜o ´ verdadeira. sumarizada pela rela¸˜o H ca a e 135
- 136. Vamos agora procuraruma solu¸˜o da equa¸˜o perturbada ca ca ∂Ψ ˆ ˆ i¯ h = H0 + V ψ (598) ∂t na forma de uma soma (0) ψ= ak (t)ψk (599) k onde os ak agora, diferentemente daqueles da Eq.(597), s˜o fun¸˜es do tempo. a co Para ser mais esoec´ıfico, seja ψn a fun¸˜o de onda do sistema perturbado que ca (0) ´ uma corre¸˜o da fun¸˜o de onda n˜o perturbada ψn . A equa¸˜o (599) ´ e ca ca a ca e agora escrita assim: (0) ψn = akn (t)ψk (600) k (0) Levando a Eq.(600) ` Eq.(598), e lembrando que as ψk satisfazem a equa¸˜o a ca (0) ∂ψk ˆ (0) i¯ h = H0 ψk , (601) ∂t obtemos ∂ (0) ˆ ˆ (0) i¯ h akn (t)ψk = H0 + V (t) akn (t)ψk (602) ∂t k k ou (0) dakn ˆ (0) ψk i¯ h = akn (t)V (t)ψk (603) k dt k (0)∗ Multiplicando ambos os lados da equa¸˜o ` esquerda por ψm e integrando, ca a temos damn i¯ h = Vmk (t)akn (t) (604) dt k onde (0)∗ ˆ (0) Vmk (t) = ψm V ψk dq = Vmk eiωmk t (605) (0) (0) E −E com ωmk = m ¯ k , s˜o os elementos de matriz da perturba¸˜o, inclu´ h a ca ındo as exponenciais que contˆm a dependˆncia temporal. Deve-se notar ainda que, e e ˆ como V depende explicitamente do tempo, as quantidades Vmk s˜o tamb´m a e (0) fun¸˜es do tempo. O fato de que ψn ´ pr´xima de ψn ´ expresso por co e o e anm (t) = δnm + a(1) (t) nm (606) Inserindo (606) em (604), temos da(1) mn i¯ h = δnk Vmk = Vmn (t) (607) dt k 136
- 137. Note-se que Vmk (t) = Vmk eiωmk t (608) A equa¸˜o (607) pode ent˜o, por causa de (608), ser escrita: ca a da(1) i¯ mn = Vmn eiωmn t h (609) dt Integrando, obt´m-se: e i a(1) (t) = − mn dtVmn eiωmn t (610) h ¯ O caso mais importante ´ de uma perturba¸˜o com dependˆncia peri´dica e ca e o no tempo, ˆ ˆ ˆ V = F e−iωt + Geiωt (611) ` qual devemos, evidentemente, impˆr a condi¸˜o de hermiticidade. Como a o ca ˆ ˆ ˆ V † = F † eiωt + G† e−iωt (612) e ˆ ˆ V = V† , (613) segue que ˆ ˆ F = G† (614) Para os elementos de matriz, temos a rela¸˜o: ca (G)mn = (F )∗ , mn (615) ou seja, Vmn = Fmn e−iωt + Fnm eiωt ∗ (616) Usando isto em (610), temos i amn (t) = − dt Fmn e−iωt + Fnm eiωt eiωmn t ∗ (617) h ¯ ou i i ∗ amn (t) = − Fmn dtei(ωmn −ω)t − Fnm dtei(ωmn +ω)t (618) h ¯ h ¯ e, integrando, i 1 i ∗ 1 amn (t) = − Fmn ei(ωmn −ω)t − Fnm ei(ωmn −ω)t (619) h ¯ i(ωmn − ω) h ¯ i(ωmn + ω) 137
- 138. ou ainda, Fmn ei(ωmn −ω)t Fnm ei(ωmn +ω)t ∗ amn (t) = − − (620) h(ωmn − ω) ¯ h(ωmn + ω) ¯ Esta express˜o assinala que alguma coisa importante acontece quando a (0) (0) Em − En = ±¯ ω , h (621) embora, estritamente, a teoria de perturba¸˜es n˜o se aplique neste caso, j´ co a a que os efeitos s˜o grandes. Em todo o caso, ´ claro que a a¸ao de um campo a e c˜ perturbador de freq¨ˆncia dada por (621) ´ muito mais intensa do que para ue e quaisquer outras freq¨ˆncias. Este fenˆmeno ´ denominado ressonˆncia. ue o e a 25 Perturba¸˜o peri´dica pr´xima ` ressonˆncia ca o o a a Considere a perturba¸˜o peri´dica ca o ˆ ˆ ˆ V = F e−iωt + Geiωt (0) (0) de freq¨ˆncia ω tal que Em − En = h(ω + ǫ) onde ǫ ´ pequeno. A equa¸˜o ue ¯ e ca b´sica ´ (604), a e dam i¯h = Vmk (t)ak (622) dt k com Vmk (t) = Fmk ei(ωmk −ω)t + Fkm ei(ωmk +ω)t ∗ (623) Esta express˜o cont´m expoentes de tamanhos diversos, um dos quais, ǫ, ´ a e e particularmente pequeno, aparecendo nas combina¸˜es ωmn − ω e ωnm + ω. co Como a solu¸˜o de (604) envolve uma integra¸˜o do segundo membro no ca ca tempo, usaremos o fato de que, quando um integrando possui v´rios termos a oscilantes, a contribui¸˜o dominante ´ a daquele termo que oscila menos. A ca e base matem´tica rigorosa para isto ´ o lema de Riemann-Lebesgue28 . Pode- a e mos, ent˜o, aproximar as equa¸˜es (604) por a co dam i¯ h = Fmn ei(ωmn −ω)t = Fmn eiǫt an (624) dt e dan i¯ h = Fmn e−iǫt am ∗ (625) dt 28 O leitor achar´ uma descri¸˜o breve em a ca http://mathworld.wolfram.com/Riemann-LebesgueLemma.html e uma longa em qualquer livro que trate de integral de Lebesgue. 138
- 139. Introduzindo a quantidadeauxiliar bn = an eiǫt temos, para (624), i¯ a˙ = Fmn bn . h m (626) Substituindo, em (625), an em termos de bn , ficamos com d i¯ h bn e−iǫt = Fmn e−iǫt am ∗ (627) dt ou i¯ b˙n − iǫbn = Fmn am h ∗ (628) Derivando mais uma vez, i¯ bn − iǫb˙n = Fmn a˙ h ¨ ∗ m (629) que, usada em (626), d´ a 1 bn − iǫb˙n + 2 |Fmn |2 bn = 0 ¨ (630) h ¯ Trata-se agora de resolver esta equa¸˜o diferencial linear a coeficientes con- ca stantes. Para isto existe um algoritmo bem conhecido: como todas as solu¸˜es de equa¸˜es deste tipo podem ser escritas como exponenciais, procura- co co se a solu¸˜o como uma exponencial gen´rica, escrita como ca e bn = eat com a a determinar. Temos b˙n = aeat e bn = a2 eat . Inserindo estas express˜es ¨ o em (630) e cancelando a exponencial comum, obtemos 1 a2 − iǫa + |Fmn |2 = 0 (631) h2 ¯ que ´ um equa¸˜o do segundo grau. As solu¸˜es s˜o e ca co a 4 iǫ ± −ǫ2 − ¯2 h |Fmn |2 a= (632) 2 Para simplificar esta express˜o introduzimos algumas abrevia¸˜es: a co Fmn η = h ¯ ǫ2 Ω = + |η|2 4 139
- 140. Usando esta nota¸˜oas solu¸˜es (632) podem ser escritas ca co ǫ a1 = i + iΩ 2 iǫ a2 = − iΩ 2 e, portanto, b(1) = ei( 2 +Ω)t ǫ n (633) b(2) = ei( 2 −Ω)t ǫ n (634) Como an = bn e−iǫt , obtemos a(1) = ei(− 2 +Ω)t ǫ n (635) a(2) = ei(− 2 −Ω)t ǫ n (636) Finalmente, introduzindo ǫ α1 = − + Ω 2 ǫ α2 = +Ω 2 chegamos a a(1) = Aeiα1 t n (637) a(2) = Be−iα2 t n (638) A¯ α1 h a(1) = − ∗ eiα1 t m (639) Fmn B¯ α2 −iα2 t h a(2) = m ∗ e (640) Fmn onde, para obter as duas ultimas, usamos a eq.(625). ´ Note-se que um par (a(i) , a(i) ) representa uma fun¸˜o de onda n m ca a(i) ψn + a(i) ψm n (0) m (0) (641) A solu¸˜o mais geral ´ dada por uma combina¸˜o linear dessas solu¸˜es, para ca e ca co i = 1 e i = 2. Como cada uma j´ foi escrita com uma constante multiplicativa a arbitr´ria, temos a ψ = a(1) + a(2) ψn + a(1) + a(2) ψm n n (0) m m (0) (642) 140
- 141. ou A¯ α1 iα1 t B¯ α2 −iα2 t h h ψ = Aeiα1 t + Be−iα2 t ψn + − (0) ∗ e + ∗ e (0) ψm (643) Fmn Fmn (0) Como condi¸˜o inicial, queremos que, para t = 0, ψ = ψm . Tomando t = 0 ca na eq.(643), vemos que devemos ter A+B = 0 (644) h ¯ ∗ (−Aα1 + Bα2 ) = 1 (645) Fmn Conseq¨ entemente, u ∗ Fmn B = −A = (646) h(α1 + α2 ) ¯ Note-se ainda que α1 + α2 = 2Ω. A express˜o para ψ ´, ent˜o: a e a 1 F∗ ψ= α1 eiα1 t + α2 e−iα2 t ψm − mn eiα1 t − e−iα2 t ψn (0) (0) (647) 2Ω 2¯ Ω h (0) O coeficiente de ψm na equa¸˜o anterior, depois de alguma ´lgebra, ´ escrito: ca a e ǫ iǫ e−i 2 t cos Ωt − sin Ωt (648) 2Ω (0) e o de ψn d´a η ∗ −i ǫ t −i e 2 sin Ωt (649) Ω de modo que ǫ iǫ η∗ ψ = e−i 2 t cos Ωt − (0) (0) sin Ωt ψm − i sin Ωt ψn (650) 2Ω Ω (0) O sistema inicia (em t = 0) no estado ψm . A probabilidade de ele estar, no (0) instante t, no estado ψn , ´ dada pelo quadrado do m´dulo do coeficiente de e o (0) ψn , que ´e |η|2 |η|2 sin2 Ωt = (1 − cos 2Ωt) (651) ω2 2Ω2 ǫ2 Na ressonˆncia, isto ´, para ǫ = 0, temos Ω = a e 4 + |η|2 = |η|, logo, a probabilidade da transi¸˜o ´ dada por ca e 1 (1 − cos 2|η|t) (652) 2 que varia periodicamente entre 0 e 1. Isto significa que, na ressonˆncia, o a (0) (0) sistema realiza transi¸˜es peri´dicas entre ψm e ψn . Note que a freq¨ˆncia co o ue dessas transi¸˜es n˜o depende de nenhuma das freq¨ˆncias presentes: ela ´ co a ue e determinada por |η|, ou seja, pela intensidade da perturba¸˜o. ca 141
- 142. 26 For¸as de van der Waals c 26.1 Introdu¸˜o ca O f´ ısico holandˆs Johannes Diderik van der Waals, vencedor do prˆmio Nobel e e de F´ısica de 1910 “por seu trabalho sobre a equa¸˜o de estado de gases e ca l´ uidos” propˆs, para gases reais, a equa¸˜o de estado ıq¨ o ca a p+ (V − b) = RT , (653) V2 aplic´vel a 1 mol. Aqui a e b s˜o as chamadas constantes de van der Waals. a a Naturalmente, para a = b = 0, recupera-se a equa¸˜o de estado para gases ca ideais. Note-se que a equa¸˜o de van der Waals (653) mant´m a sua validade ca e at´ mesmo nos estados em que a fase gasosa e a fase l´ uida est˜o em equil´ e ıq¨ a ıbrio (Ver, para isto, Landau, Lifshitz, Statistical Physics, Part 1, pg.232). Van der Waals interpretou a constante b como o volume ocupado pelos ´tomos: em gases rarefeitos este volume pode ser desprezado. A constante a a estava associada, segundo ele, a uma for¸a atrativa entre dois ´tomos. O c a pr´prio van der Waals sugeriu, mais tarde, um potencial de intera¸˜o da o ca forma A V (r) = − exp −Br r onde A e B s˜o constantes. a Mais tarde ainda Keesom obteve o potencial p2 p2 1 2 V (r) = − 3kT r 6 para duas mol´culas polares (i.´, com dipolos permanentes), com dipolos de e e m´dulos p1 e p2 . o Contudo, gases de mol´culas n˜o polares tamb´m apresentam valores n˜o- e a e a nulos para a constante a, de modo que uma for¸a mais geral do que a de c Keesom seria necess´ria. a 26.2 O trabalho de Debye Em 1920, P. Debye publicou um importante trabalho no Physikalisches Zeitschrift, Vol.21, 178(1920), intitulado As for¸as coesivas de van der Waals, que re- c produzimos, em parte, a seguir. Como se sabe, o grande sucesso da equa¸˜o de estado de van der Waals ca baseia-se essencialmente na hip´tese de uma for¸a atrativa entre as mol´culas. o c e Essas for¸as causam, em adi¸˜o ` press˜o externa, uma press˜o interna que ´ c ca a a a e 142
- 143. proporcional ao quadradoda densidade. De acordo com van der Waals, estas for¸as de atra¸˜o existem entre mol´culas de qualquer tipo, e constituem c ca e uma propriedade geral da mat´ria. Parece, por isso, de particular interesse e considerar a origem dessa atra¸˜o universal. ca Sabe-se hoje com certeza absoluta que a mol´cula ´ um sistema de cargas e e el´tricas, e somos levados a procurar uma origem el´trica para as for¸as de van e e c der Waals. Ser´ certamente desnecess´rio considerar detalhes da estrutura a a molecular. Uma propriedade da mat´ria t˜o geral quanto a atra¸˜o de van e a ca der Waals n˜o pode requerer, para a sua explica¸˜o, mais do que aspectos a ca estruturais, comuns a todas as mol´culas. Mostraremos no que se segue que, e de fato, ´ suficiente saber que as mol´culas s˜o sistemas el´tricos em que e e a e as cargas n˜o est˜o rigidamente presas `s suas posi¸˜es em repouso. Uma a a a co rela¸˜o entre a constante de atra¸˜o de van der Waals, de um lado, e o ´ ca ca ındice de refra¸˜o e o alargamento das linhas espectrais, do outro lado, pode ser ca deduzida na base dessa hip´tese. o 26.2.1 A equa¸˜o de van der Waals ca Come¸amos por apresentar algumas rela¸˜es que ser˜o usadas subseq¨ ente- c co a u mente. . . 26.3 Causa da Coes˜o a Se imaginarmos as mol´culas como sistemas el´tricos r´ e e ıgidos, ent˜o haver´, a a naturalmente, uma for¸a agindo entre tais sistemas, que mudar´ de sinal c a e de magnitude com a orienta¸˜o m´ tua das mol´culas. Como todas as ca u e orienta¸˜es ocorrem em um g´s, a m´dia sobre tais orienta¸˜es precisa ser co a e co tomada, afim de computar o termo de atra¸˜o que aparece na equa¸˜o de ca ca estado. Em termos gerais, na realiza¸˜o dese processo de m´dia, a probabilidade ca e de uma orienta¸˜o arbitr´ria teria de ser determinada em base ao princ´ ca a ıpio de Boltzmann-Maxwell. Quanto mais alta a temperatura, por´m, menos im- e portante ´ a dependˆncia na energia m´ tua. No limite de altas temperaturas, e e u todas as orienta¸˜es ser˜o igualmente prov´veis. Obviamente, a hip´tese de co a a o van der Waals requer que a caracter´ ıstica coes˜o introduzida na equa¸˜o a ca persista no caso limite. Pode ser mostrado facilmente que dois sistemas el´tricos r´ e ıgidos, em m´dia, n˜o exercem for¸a um sobre o outro. O potencial que ´ gerado em e a c e um ponto distante por uma mol´cula pode ser considerado como originando- e se de uma s´rie de esferas concˆntricas cobertas por uma camada de cargas e e el´tricas de densidade superficial constante. Se as mol´culas assumem todas e e 143
- 144. as poss´ ıveisorienta¸˜es no espa¸o, cada carga ocupa, na m´dia, todos os co c e pontos da esfera com igual freq¨ˆncia. Como ´ sabido qye uma esfera com ue e densidade superficial de carga constante afeta pontos de seu esterior como se a carga total estivesse concentrada no centro, e como a mol´cula possui carga e total zero, a m´dia do potencial no ponto considerado ser´ zero. Assim, n˜o e a a existe for¸a efetiva na m´dia, entre duas mol´culas r´ c e e ıgidas. A situa¸˜o ´ imediata e essencialmente mudada se se consideram mol´culas ca e e que n˜o s˜o completamente r´ a a ıgidas. O fato de que cada g´s tem um ´ a ındice de refra¸˜o diferente de 1 ´ prova da mobilidade das cargas separadas da ca e mol´cula. Levando isto em considera¸˜o, ser´ claro que uma dada mol´cula e ca a e adquire um momento el´trico de dipolo no campo E de outra mol´cula, e o e e valor desse momento ´ proporcional a E. Assim, surge uma energia m´ tua e u entre as duas mol´culas que ´ proporcional ao produto do momento de dipolo e e pelo campo E, ou seja, ´ quadr´tica em E. Conseq¨ entemente, a for¸a m´dia e a u c e n˜o pode se anular. Al´m disso, pode ser visto prontamente que essa for¸a a e c ´ sempre de atra¸˜o. Assim, podemos concluir que descobrimos a for¸a que e ca c est´ na origem da atra¸˜o universal de van der Waals29 a ca A situa¸˜o pode ser ilustrada pelo exemplo seguinte. Dois dipolos est˜o ca a situados em oposi¸˜o um ao outro. ca − + + − I E E − + − + II E E (a)Na posi¸˜o I. Aqui o efeito principal ´ repulsivo. Como conseq¨ˆncia da ca e ue a¸˜o, o campo E sobre as cargas elasticamente acopladas, as ultimas s˜o ca ´ a deslocadas de tal forma que os momentos el´tricos de dipolo s˜o reduzidos. e a 29 Errado! Veremos mais abaixo que esta for¸a existe, mas que a atra¸˜o de van der c ca Waals ocorre tamb´m para mol´culas r´ e e ıgidas. 144
- 145. Assim, a for¸arepulsiva decresce; em outras palavras, uma for¸a atrativa c c aparece como um efeito secund´rio. a (b)Na posi¸˜o II. Aqui o efeito principal ´ atrativo. O campo agora desloca ca e as cargas de modo que os momentos crescem. O efeito principal ´ agora au- e mentado, ou, dito de outra forma, de novo uma for¸a atrativa foi adicionada c como efeito secund´rio. a O efeito principal se anula quando se faz a m´dia sobre todas as ori- e enta¸˜es. Como o efeito secund´rio ´ sempre positivo, ele nunca se anular´ co a e a na m´dia. e At´ aqui as palavras de Debye. Como j´ mencionamos, este efeito que a a ele descreve efetivamente existe, mas n˜o ´ suficiente: os gases nobres tˆm a e e ´tomos essencialmente indeform´veis, e, no entanto, se condensam, sob a a a a¸˜o da atra¸˜o de van der Waals. Falta ainda alguma coisa. ca ca 26.3.1 A teoria de London Em 1930, Fritz London(Zeitschrift f¨r Physik,63,245(1930)) utilizou a teoria u quˆntica das perturba¸˜es para obter o potencial de intera¸˜o a co ca 3¯ ω0 α2 h V (r) = − 4r 6 entre dois ´tomos (ou mol´culas) idˆnticos, com freq¨ˆncia de transi¸˜o ω0 a e e ue ca entre o estado fundamental e o primeiro estado excitado, e com polarizabil- idade α. O resultado de London, que foi considerado um grande marco na aplica¸˜o da mec˜nica quˆntica, mostrou que h´ uma for¸a geral de atra¸ao ca a a a c c entre duas mol´culas mesmo que nenhuma possua um momento de dipolo e permanente. ´ suficiente que um momento de dipolo possa ser induzido em e cada mol´cula, isto ´, que cada mol´cula seja polariz´vel (α = 0). Al´m e e e a e disso, a for¸a de van der Waals ´ independente da temperatura, propriedade c e compartilhada pela intera¸˜o de London, mas n˜o pela de Keesom. ca a A seguir mostraremos que a for¸a de van der Waals, na forma obtida por c London, pode ser atribu´ ` energia do ponto zero. ıda a 26.3.2 Referˆncias e A leitura da conferˆncia que apresentou ao receber o prˆmio Nobel ´ forte- e e e mente recomendada. As URL’s s˜o a http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1910/waals-lecture.html http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1910/waals-bio.html 145
- 146. Mais curiosidades sobreas for¸as de van der Waals: c http://news.nationalgeographic.com/news/2002/08/0828_020828_gecko.html http://www.bbc.co.uk/dna/h2g2/A6378230 http://dbhs.wvusd.k12.ca.us/webdocs/Chem-History/Debye-1920/Debye-1920.html De grande interˆsse e atualidade ´ o artigo de S. K. Lamoureux, “Casimir e e forces: Still surprising after 60 years”, Physics Today,Fevereiro de 2007, pg.40, que considera a for¸a de van der Waals no contexto mais amplo das c for¸as de Casimir. Em particular, menciona-se neste artigo o fato de que a c aderˆncia que permite `s lagartixas subir uma parede de vidro ´ devida ` e a e a for¸a de van der Waals. c 26.4 Rela¸˜o com a energia do ponto zero ca Quando um g´s se condensa, ocorre uma not´vel contra¸˜o de volume, que a a ca revela a existˆncia de for¸as de coes˜o entre as mol´culas, ou ´tomos. Essas e c a e a for¸as s˜o as for¸as de van der Waals. As for¸as de coes˜o de van der Waals c a c c a depemdem da deforma¸˜o m´ tua dos ´tomos, de duas maneiras diferentes. ca u a Primeiro, a a¸˜o do campo (devido ao momento de dipolo ou quadrupolo ca permanente da mol´cula, sobre o dipolo induzido sobre a outra mol´cula por e e este mesmo campo) leva, em m´dia, a uma atra¸˜o: um resultado conhecido e ca mesmo antes da mecˆnica quˆntica, demonstrado por considera¸˜es cl´ssicas a a co a por Debye e Keesom (1921). Da´ no entanto, se concluiria que ´tomos ou mol´culas de estados funda- ı, a e mentais esfericamente sim´tricos (e, portanto, sem dipolos ou quadrupolos e permanentes), como os gases inertes, n˜o deveriam apresentar coes˜o, con- a a trariamente ` experiˆncia. a e Uma solu¸˜o para este problema foi apresentada por Fritz London (1930), ca que mostrou que a deformabilidade tem um segundo efeito, caracter´ ıstico da mec˜nica quˆntica. De acordo com esta teoria, existe um ”movimento a a do ponto zero”, isto ´, mesmo no estado de m´ e ınima energia o atomo ou ´ mol´cula apresentam movimento de cargas, de modo que pode existir um e dipolo oscilante, com a freq¨ˆncia do el´tron. Aproximados os ´tomos um ue e a do outro, os ”movimentos do ponto zero”dos dipolos agem sempre de modo que o resultado seja uma atra¸˜o.ca Para descrever a intera¸˜o entre dois ´tomos de hidrogˆnio de forma bem ca a e simples, consideremos cada um deles como um n´ cleo positivo de carga e e u um el´tron, de carga −e que, por a¸˜o de um campo eletromagn´ico, est´ e ca t a oscilando harmˆnicamente em torno do n´ cleo fixo. No primeiro semestre o u 146
- 147. mostramos que, nummodelo muito simples do ´tomo, se o el´tron ´ deslo- a e e cado de uma distˆncia r em rela¸˜o ao n´ cleo, aparece sobre ele uma for¸a a ca u c restitutiva da forma e2 F = − 3r a onde a ´ o raio do n´ cleo. No caso de um modelo mais real´ e u ıstico, a for¸a c ainda ter´ essa express˜o, mas a n˜o ser´ exatamente o raio do n´ cleo. a a a a u Supondo os dois ´tomos idˆnticos, cada um deles ter´, ent˜o, por causa a e a a da deforma¸˜o, uma energia potencial el´stica, ou seja, teremos energias ca a e2 potenciais 2a6 x2 para um ´tomo (x1 ´ o deslocamento do el´tron em rela¸˜o 1 a e e ca e2 2 ao ´tomo) e 2a6 x2 para o outro. a Os n´ cleos dos ´tomos est˜o ` distˆncia R um do outro. Supondo, apenas u a a a a para fixar as id´ias, que o ´tomo ` esquerda tenha o el´tron deslocado para a e a a e esquerda, e que o da direita tenha o seu deslocamento para a direita, teremos uma energia potencial el´trica dada por e e2 e2 e2 e2 U= + − − (654) R R + x1 + x2 R + x1 R + x2 Estaremos supondo que os ´tomos estejam distantes, ou, mais precisamente, a que R ≫ xi para i = 1, 2 Podemos ent˜o, na Eq.(654), expandir cada termo que contenha x1 e x2 a em s´rie de potˆncias de xi /R, o que se faz sem dificuldade usando a f´rmula e e o do binˆmio. Por exemplo, o e2 e2 x1 + x2 −1 e2 x1 + x2 (x1 + x2 )2 = 1+ = 1− + R + x1 + x2 R R R R R2 Fazendo o mesmo para e2 /(R + x1 ) e e2 /(R + x2 ) e levando esses resultados em Eq.(654), obtemos, ap´s uma s´rie de cancelamentos, o e 2e2 U(x1 , x2 ) = x1 x2 R3 que ´ a energia de intera¸˜o entre os dois dip´los. e ca o A energia total do sistema ´ ent˜o dada por e a p2 + p2 1 2 e2 2e2 x1 x2 H= + 3 x2 + x2 + 1 2 (655) 2m 2a R3 Suponhamos por um momento que o termo de intera¸˜o, ou seja, o ultimo ca ´ termo da Eq.(655), seja omitido. Ent˜o cada dip´lo iria vibrar com a freq¨ˆncia a o ue e2 ω0 = a3 m 147
- 148. Na presen¸a dotermo de intera¸˜o, conv´m proceder assim: procuro uma c ca e mudan¸a de vari´veis tal que o sistema seja reconduzido, nas novas vari´veis, c a a a dois osciladores independentes. Isto se consegue introduzindo as vari´veis a 1 xs = √ (x1 + x2 ) 2 1 ps = √ (p1 + p2 ) 2 1 xa = √ (x1 − x2 ) 2 1 pa = √ (p1 − p2 ) 2 Com isto, o hamiltoniano do sistema se escreve 1 e2 e2 H= ps + p2 + 3 x2 + x2 + 3 x2 − x2 2 a s a s a 2m 2a R ou, de forma mais clara, 1 2 e2 e2 1 2 e2 e2 H= ps + + 3 x2 + s pa + − 3 x2 a (656) 2m 2a3 R 2m 2a3 R Na Eq.(656) vˆ-se que h´ dois osciladores independentes, um de coordenadas e a xs e o outro de coordenadas xa . O primeiro tem a constante el´stica dada a e2 e2 e2 e2 por 2a + R3 , e o segundo a tem igual a 2a − R3 . Escrevendo e2 1 2 ωs = + 3 (657) m a3 R e2 1 2 ωa = 3 − 3 (658) m a R vemos facilmente que as energias do sistema podem ser escritas 1 1 1 1 Ena nb = hωs ns + ¯ + hωa na + ¯ (659) 2 2 2 2 O estado fundamental desse sistema, que ´ a energia mais baixa que este e sistema de dip´los pode ter, ´ obtido pondo ns = na = 0 (´ a energia do ponto o e e zero do sistema). Mesmo que n˜o haja nenhum campo externo atuando sobre a o sistema, ele ter´ esta energia, pelo menos. Ela ´ a e 1 E00 = h (ωs + ωa ) ¯ (660) 2 148
- 149. Usando as Eqs.(657)para explicitar os valores de ωs e ωa , temos a6 E00 = hω0 1 − ¯ + ... (661) 2R6 O primeiro termo ´ uma constante, irrelevante. O segundo termo ´ da forma e e a6 U(R) = −¯ ω0 h (662) 2R6 e ´ sempre negativo. Ele gera a for¸a e c Fvw = −∇U(R) ou seja, 3a6 ˆ Fvw = −¯ ω0 h R R7 ou e2 3a6 ˆ Fvw = −¯ h R (663) am R7 c ˆ e que ´ uma for¸a atrativa (R ´ o vetor unit´rio na dire¸˜o radial). Esta ´ a e a ca e for¸a de van der Waals. Apesar de ser respons´vel por um fato corriqueiro, c a macrosc´pico, como a contra¸˜o volum´trica por ocasi˜o da condensa¸˜o, ela o ca e a ca ´ de car´ter quˆntico, o que se manifesta claramente tanto pelo fato de ser e a a proporcional a h, quanto pelo fato de ser uma conseq¨ˆncia direta da energia ¯ ue do ponto zero dos osciladores harmˆnicos. Usando o valor de o h2 ¯ a= me2 pode-se reescrever a eq.(662) na forma e2 a5 U(R) = , (664) R6 que ser´ util para comparar com os resultados perturbativos obtidos abaixo. a´ 26.5 Tratamento perturbativo das for¸as de van der c Waals Para obter uma express˜o para as for¸as de van der Waals via teoria das a c perturba¸˜es, precisaremos do seguinte resultado, demonstrado no Apˆndice: co e 149
- 150. a corre¸˜o desegunda ordem ` energia n˜o perturbada, que denotaremos por ca a a W2 , ´ dada por e ˆ | m|V |n |2 W2 = (665) n=m Em − En onde |m ´ o estado n˜o perturbado e os Ei s˜o as energias dos n´ e a a ıveis n˜o a perturbados. Suponhamos que os n´ cleos de dois ´tomos de hidrogˆnio, um localizado u a e na origem, o outro no ponto com vetor de posi¸˜o R, estejam no eixo z. O ca el´tron do primeiro ´tomo est´ em r1 , e o do outro em R + r2 . e a a r1 r2 1 R 2 O hamiltoniano para este sistema ser´ escrito a ˆ ˆ H = H0 + V ˆ (666) ˆ h2 ¯ e2 e2 H0 = − ∇2 + ∇2 − − 1 2 (667) 2m r1 r2 2 2 ˆ e e e2 e2 V = + − − (668) R |R + r2 − r1 | |R − r1 | |R + r2 | Os ´tomos n˜o perturbados est˜o em seus estados fundamentais, de sorte a a a ˆ e que o autoestado de H0 ´ dado por u0 (r1 , r2 ) = u100 (r1 )u100 (r2 ) (669) onde 3 1 2 r u100 (r, θ, φ) = 2 exp − Y00 (θ, φ) a0 a0 ˆ Para que o potencial V possa ser tratado perturbativamente, suporemos o caso em que R ≫ a0 , onde a0 ´ o raio de Bohr, o que acarreta que r1 e r2 e R R s˜o ambos muito menores do que 1. a ˆ Neste caso, expandindo V em potˆncias de 1/R (com o uso da f´rmula e o do binˆmio de Newton) teremos, ap´s v´rios cancelamentos, e desprezando o o a termos da ordem de (r/R)4 e menores, e2 V = (x1 x2 + y1 y2 − 2z1 z2 ) (670) R3 150
- 151. ˆ Note inicialmente quem|V |m = 0, pois a fun¸˜o de onda u0 (r1 , r2 ) ´ uma ca e fun¸˜o par de r1 e de r2 , enquanto que V ca ˆ (como mostra a Eq.(670)) ´ ´ e ımpar em r1 e em r2 . Assim, o termo que iremos calcular, a corre¸˜o de segunda ca ordem ` energia, ´ o termo dominante na abordagem perturbativa. Como a e ele depender´ de V a ˆ 2 , teremos uma intera¸˜o do tipo 1/R6 . ca Olhando, na eq.(665), a express˜o para W2 , que denotaremos por W (R), a temos ˆ | m|V |n |2 W2 = , (671) n=m E0 − En onde vemos que W (R) ´ negativa, pois o numerador ´ positivo e o denomi- e e nador ´ negativo, j´ que E0 < En , para todo n = 0. Logo, trata-se de uma e a intera¸˜o atrativa e proporcional a 1/R6 , para grande R. Estas conclus˜es ca o permanecem v´lidas para qualquer par de ´tomos cujos estados fundamentais a a sejam n˜o-degenerados e esfericamente sim´tricos. a e ´ poss´ e ıvel (A. Unsold, 43,563(1927)) obter um limite superior para a quantidade positiva −W (R), substitu´ ındo, em (671), todos os En (com n = ˆ 0) pela energia do estado excitado mais baixo para o qual 0|V |n∗ ´ diferente e de zero. Vamos denot´-la por En∗ . De fato, neste caso teremos a 2 2 ˆ | 0|V |n |2 = ˆ ˆ 0|V |n n|V |0 − ˆ 0|V |0 ˆ = 0|V 2 |0 − ˆ 0|V |0 n=0 n (672) ˆ e, levando em conta que 0|V |0 = 0, ˆ 0|V 2 |0 −W (R) ≤ (673) En∗ − E0 O estado n∗ ´ aquele em que ambos os ´tomos est˜o em estados com n´ mero e a a u quˆntico principal n = 2, de modo que a e2 E0 = −2 2a0 e e2 En∗ = −2 8a0 ou ainda 3e2 En∗ − E0 = (674) 4a0 Do resultado obtido acima chega-se a ˆ e4 V 2 = 6 x2 x2 + y1 y2 + 4z1 z2 + 2x1 x2 y1 y2 − 4x1 x2 z1 z2 − 4y1 y2 z1 z2 1 2 2 2 2 2 (675) R 151
- 152. Todos os termosdo tipo 0|x1 x2 y1 y2 |0 s˜o nulos, pois s˜o fun¸˜es ´ a a co ımpares de cada coordenada. Por exemplo, 0|x1 y1 x2 y2 |0 = 0|x1 y1 |0 0|x2y2 |0 (676) e ∞ ∞ ∞ 2 x2 + y1 + z1 1 2 2 0|x1 y1 |0 = K dx1 dy1 dz1 x1 y1 exp − −∞ −∞ −∞ a0 ∞ ∞ ∞ 2 x2 + y1 + z1 1 2 2 = K dz1 dy1 y1 dx1 x1 exp − −∞ −∞ −∞ a0 e a integral em x1 d´ zero, pois o intervalo de integra¸˜o ´ sim´trico e o a ca e e 2 2 integrando ´ ´ e ımpar. J´ os termos quadr´ticos, como x1 x2 , d˜o a a a 0|x2 x2 |0 = 0|x2 |0 0|x2|0 1 2 1 2 (677) e 1 4 ∞ 2r 0|x2 |0 = 1 d3 rr 2 |u100 (r)|2 = drr 4 exp − = a2 0 (678) 3 3a30 0 a0 onde usamos 2 r u100 (r) = 3/2 exp (− )Y00 (θ, φ) a0 a0 Ent˜o a 0|x2 x2 |0 = a4 1 2 0 (679) 2 2 2 2 obtendo-se o mesmo valor para 0|y1 y2 |0 e 0|z1 z2 |0 Em conseq¨ˆncia, ue ˆ e4 0|V 2 |0 = 6a4 0 (680) R6 e 8e2 a5 0 W (E) ≥ − (681) R6 Usando o m´todo variacional ´ poss´ determinar um limite superior para e e ıvel W (R) (Schiff, Quantum Mechanics, 3rd. edition, pg.262). Obt´m-se e 6e2 a5 0 W (R) ≤ − (682) R6 e, portanto, 8e2 a5 0 6e2 a5 − ≤ W (R) ≤ − 6 0 (683) R6 R C´lculos variacionais mais detalhados mostram que o coeficiente num´rico a e em W (R) ´ muito aproximadamente 6, 50. e 152
- 153. 26.6 Apˆndice e Teoria das perturba¸˜es co Suponhamos que saibamos tudo sobre o sistema cujo hamiltoniano Ho , oˆ hamiltoniano n˜o perturbado. Nosso interesse ´ utilizar este conhecimento a e para obter solu¸˜es aproximadas para o sistema cujo hamiltoniano ´ co e ˆ ˆ ˆ H = H0 + V (684) ˆ onde V , dito a perturba¸˜o, ´ pequeno. Podemos, para tornar mais simples ca e co ca ˆ as dedu¸˜es, escrever a perturba¸˜o como λV , com λ pequeno. No final dos c´lculos tomaremos λ = 1. a co ˆ As autofun¸˜es da energia de H0 , denotadas por uk (r), satisfar˜o a ˆ H0 uk = Ek uk (685) o que identifica os Ek como sendo os n´ıveis de energia n˜o perturbados. a As fun¸˜es de onda e n´ co ıveis de energia perturbados ser˜o escritos a ˆ Hψ = W ψ (686) e, expandidos em s´ries de potˆncias de λ, d˜o e e a ψ = ψ0 + λψ1 + λ2 ψ2 + λ3 ψ3 ... (687) W = W0 + λW1 + λ2 W2 + λ3 W3 + ... (688) e, colocados na Eq.(684), levam a ˆ ˆ H0 + λV (ψ0 + λψ1 + ...) (W0 + λW1 + ...) (ψ0 + λψ1 + ...) (689) Igualando os coeficientes das mesmas potˆncias de λ, obtemos e ˆ H0 − W0 ψ0 = 0 (690) ˆ ˆ H0 − W0 ψ1 = (W1 − V )ψ0 (691) ˆ ˆ H0 − W0 ψ2 = (W1 − V )ψ1 + W2 ψ0 (692) ˆ ˆ H0 − W0 ψ3 = (W1 − V )ψ2 + W2 ψ1 + W3 ψ0 etc (693) A primeira equa¸˜o nos diz que ψ0 ´ uma das autofun¸˜es n˜o perturbadas, ca e co a e W0 ´ o seu autovalor. Tomemos ψ0 = um , e W0 = Em . Suponhamos que e um n˜o seja degenerado. a 153
- 154. Nas segunda dasequa¸˜es acima, podemos substituir co ′ ψ1 → ψ1 = ψ1 + K1 ψ0 sem violar a equa¸˜o. Escolhamos K1 de modo tal que ca ′ (ψ1 , ψ0 ) = 0 ′ e passemos a chamar ψ1 de ψ1 . Na terceira equa¸˜o podemos substituir ca ′ ψ2 → ψ2 = ψ2 + K2 ψ0 , escolher K2 de forma que ′ (ψ2 , ψ0 ) = 0 ′ e passar a chamar ψ2 de ψ2 , e assim por diante. Desta forma, teremos fun¸˜es co ψs (s = 0) que satisfazem as equa¸˜es acima e s˜o, todas, ortogonais a ψ0 . co a Nas equa¸˜es (690) e seguintes, tomemos o produto escalar, termo a co termo, por ψ0 . Tomemos como exemplo a terceira delas. Teremos ˆ ˆ ψ0 , (H0 − W0 )ψ2 = ψ0 , (W1 − V )ψ1 + (ψ0 , W3 ψ0 ) (694) que tem como resultado ˆ 0 = − ψ0 , V ψ1 + W2 (695) ou ˆ W2 = ψ0 , V ψ1 (696) e, de maneira geral, ˆ Ws = ψ0 , V ψs−1 (697) Por outro lado, ψ1 pode ser expandida nas autofun¸˜es n˜o perturbadas, co a ψ1 = a(1) un n (698) n Levando (698) ` segunda das equa¸˜es (690), temos a co ˆ ˆ a(1) H0 − Em um = W1 − V um (699) n n Mas a(1) = 0, como conseq¨ˆncia de m ue (ψ0 , ψs ) = 0 154
- 155. De (699) segueent˜o, sem dificuldade, tomando o produto escalar com uk , a que (1) ˆ k|V |m ak = (700) Em − Ek Levando este resultado ` (696),e lembrando que ψ0 = um , a ˆ k|V |m ˆ W2 = m|V | |k (701) k=m Em − Ek ou ˆ ˆ m|V |k k|V |m W2 = (702) k=m Em − Ek ou ainda, 2 ˆ k|V |m W2 = (703) k=m Em − Ek que ´ o resultado que foi usado no texto. e 27 Sistemas compostos Qual ´ a probabilidade de, lan¸ando-se um dado, obter-se o n´ mero 3? Todo e c u o mundo sabe que ´ 1/6. Qual ´ a probabilidade de, lan¸ando-se o mesmo e e c dado duas vezes, obter-se duas vezes o n´ mero 3? Como s˜o eventos inde- u a pendentes, a probabilidade ´ o produto, 1/36, portanto. Considere agora o e seguinte problema: lan¸a-se o dado uma primeira vez, obtendo-se n1 . Qual ´ c e a probabilidade de que, num segundo arremesso, a leitura, n2 , seja maior do que n1 ? Ou seja, qual ´ a probabilidade de, arremessando-se um dado duas e vezes, obter-se o par (n1 , n2 ), com n2 > n1 ? Agora n˜o se trata de eventos a independentes, e a probabilidade n˜o ´ um simples produto. Num sistema a e formado por duas part´ ıculas, dizemos que elas s˜o independentes se a prob- a abilidade de uma estar em uma certo elemento de volume for independente da posi¸˜o da outra. Neste caso, cada part´ ca ıcula possui a sua pr´pria fun¸˜o o ca de onda. Sejam ψ1 (r1 ) e ψ2 (r2 ) essas fun¸˜es de onda. Ent˜o a fun¸˜o de co a ca onda do sistema ´, simplesmente, e ψ(r1 , r2 ) = ψ1 (r1 )ψ2 (r2 ) (704) De fato, desta forma a probabilidade de a part´ ıcula 1 estar entre r1 e r1 +d3 r1 3 e da part´ıcula 2 estar entre r2 e r2 + d r2 ´ dada por e |ψ(r1 , r2 )|2 d3 r1 d3 r2 = |ψ(r1 )|2 |ψ2 (r2 )|2 d3 r1 d3 r2 (705) 155
- 156. e a probabilidadedo evento composto (part´ ıcula 1 aqui e part´ ıcula 2 ali) ´ e o produto das probabilidades dos eventos individuais, o que caracteriza, na linguagem das probabilidades, a independˆncia dos eventos. e Se as part´ ıculas interagem, essas probabilidades n˜o s˜o mais indepen- a a dentes, e a fun¸˜o de onda do sistema composto n˜o ´ mais o produto das ca a e fun¸˜es de onda dos sistemas elementares. co Sejam ψn (r1 ), n = 1, 2 . . . (706) fun¸˜es que formam uma base do espa¸o E1 de estados da part´ co c ıcula 1, e φn (r2 ), n = 1, 2 . . . (707) fun¸˜es que formam uma base do espa¸o E2 de estados da part´ co c ıcula 2. Con- sideremos o conjunto dos produtos ψn (r1 )φm (r2 ) (708) para todos os valores poss´ıveis de n e m. O conjunto de todas as combina¸˜es co lineares, com coeficientes complexos, desses produtos, ´ um espa¸o vetorial30 . e c Os elementos desse espa¸o vetorial s˜o, ent˜o, express˜es da forma c a a o Ψ(r1 , r2 ) = Aψ1 (r1 )φ1 (r2 ) + Bψ2 (r1 )φ3 (r2 ) , (709) por exemplo. Mais geralmente, Ψ(r1 , r2 ) = Anm ψn (r1 )φm (r2 ) (710) n m onde os Anm s˜o n´ meros complexos. a u O produto escalar neste espa¸o ´ definido assim: para elementos da base, c e (ψn (r1 )φm (r2 ), ψn′ (r1 )φm′ (r2 )) = (ψn (r1 ), ψn′ (r1 )) (φm (r2 ), φm′ (r2 )) (711) A extens˜o a um elemento geral ´ feita usando a bilinearidade do produto a e escalar, isto ´, e (a + b, c) = (a, c) + (b, c) (712) (a, b + c) = (a, b) + (a, c) (713) Desta maneira, (Ψ(r1 , r2 ), Ψ′ (r1 , r2 )) = ∗ Anm Bm′ n′ (ψn (r1 ), ψn′ (r1 )) (φm (r2 ), φm′ (r2 )) m,n m′ ,n′ (714) 30 Dito produto tensorial dos espa¸os E1 e E2 , e denotado, quando se quer assustar os c estudantes, por E1 ⊗ E2 . 156
- 157. onde (ψn (r1 ), ψn′ (r1 )) = d3 r1 ψn (r1 )∗ ψn′ (r1 ) (715) e assim por diante. Os mesmos resultados se aplicam no caso de se ter, em lugar de duas ou mais part´ıculas, dois ou mais conjuntos de vari´veis independentes. Por a exemplo, uma part´ ıcula livre no espa¸o tridimensional, descrita por coorde- c nadas cartesianas. As coordenadas x, y e z s˜o independentes, e a fun¸˜o de a ca onda da part´ıcula ´ escrita, num estado de momento definido, e ψ(x, y, z) = ei(kx x+ky y+kz z) = eikx x eiky y eikz z . (716) Outro caso semelhante ´ o do spin. Na mecˆnica quˆntica n˜o-relativ´ e a a a ıstica (e na ausˆncia de campos magn´ticos) as coordenadas espaciais e as vari´veis e e a de spin s˜o independentes: a probabilidade de um el´tron estar em uma a e determinada posi¸˜o e ter, por exemplo, componente z do spin igual a +1/2, ca ´ o produto das duas probabilidades. A fun¸˜o de onda de um el´tron ´ ent˜o e ca e e a o produto ψ(r)χσ (717) onde χσ ´ uma das duas matrizes coluna e 1 0 ou 0 1 e ψ(r) ´ a fun¸˜o de onda espacial. e ca Se o hamiltoniano de um sistema for constitu´ de um termo que depende ıdo das coordenadas espaciais e outro que depende das vari´veis de spin, por a exemplo ˆ h2 2 ¯ e¯ h H=− ∇ + σz B (718) 2m 2mc ˆ com B constante, o elemento de matriz de H entre dois estados do tipo que aparece na eq.(717), ´ e ˆ h2 2 ¯ (ψ1 (r)χ+ , Hψ2 (r)χ− ) = χ† + d3 rψ1 (r) − ∗ ∇ ψ2 (r) χ− 2m e¯ h † + B d3 rψ1 (r)ψ2 (r) χ+ σz χ− ∗ 2mc h2 2 ¯ = χ† χ− + d 3 ∗ rψ1 (r) − ∇ ψ2 (r) + 2m e¯ h + χ† σz χ− + B d3 rψ1 (r)ψ2 (r) ∗ (719) 2mc 157
- 158. A extens˜o desteformalismo para um n´ mero arbitr´rio de part´ a u a ıculas ´ ´bvio, eo e fica ao encargo do leitor. Como um exemplo final, vamos examinar de novo o ´tomo de hidrogˆnio, a e mas sob um aspecto mais realista: a intera¸˜o de uma part´ ca ıcula de massa m2 e carga +e, o pr´ton, com um el´tron de massa m1 e carga -e. O nosso o e tratamento anterior deste mesmo problema considerava a massa do proton (que ´ cerca de 2000 vezes maior que a do el´tron) como infinita, desprezando, e e assim, a rea¸˜o do el´tron sobre o proton. Uma descri¸˜o mais acurada do ca e ca problema, ent˜o, considera um sistema de duas part´ a ıculas ligadas por um potencial coulombiano. Sejam r1 e r2 as posi¸˜es do el´tron e do pr´ton, co e o respectivamente. O potencial coulombiano ser´ da forma V (|r1 − r2 |), e a a equa¸˜o de Schr¨dinger ser´ ca o a h2 2 ¯ h2 2 ¯ − ∇r1 − − ∇ ψ(r1 , r2 ) + V (|r1 − r2 |)ψ(r1 , r2 ) = Eψ(r1 , r2 ) 2m1 2m2 r2 (720) Introduzimos as novas vari´veis a r = r1 − r2 (721) m1 r1 + m2 r2 R = (722) m1 + m2 sendo as transforma¸˜es inversas dadas por co m2 r1 = r+R (723) M m1 r2 = − r+R (724) M com M = m1 + m2 . Reconhecemos R como a posi¸˜o do centro-de-massa, na mecˆnica cl´ssica. ca a a A outra vari´vel, r, ´, obviamente, a posi¸˜o do el´tro em rela¸˜o ao pr´ton. a e ca e ca o Na mecˆnica cl´ssica sabemos que essas vari´veis s˜o independentes: en- a a a a quanto o movimento relativo pode complicar-se ` vontade, o centro-de-massa a segue serenamente seu movimento retil´ ıneo e uniforme. Isto nos sugere, na mecˆnica quˆntica, procurar solu¸˜es da equa¸˜o de Schr¨dinger (720) que a a co ca o sejam produtos de uma fun¸˜o de r por uma fun¸˜o de R. Mas, primeiro, ca ca vamos escrever (720) em termos dessas novas vari´veis. Ap´s um c´lculo n˜o a o a a muito complicado, descrito abaixo em letras mais mi´ das, obtemos, para u (720), h2 2 ¯ h2 2 ¯ − ∇r ψ(r, R) − ∇ ψ(r, R) + V (|r|)ψ(r, R) = Eψ(r, R) (725) 2µ 2M 158
- 159. Aqui aparece anova vari´vel µ, a massa reduzida, definida por a 1 1 1 = + . µ m1 m2 Procuremos agora solu¸˜es da forma co ψ(r, R) = φ(r)χ(R) . (726) Inserindo o segundo membro de (726) em (725) obtemos h2 2 ¯ h2 2 ¯ χ(R) − ∇r φ(r) − φ(r) ∇ χ(R) + χ(R)V (|r|)φ(r) = Eφ(r)χ(R) 2µ 2M R (727) que pode ser reescrita assim: h2 1 ¯ 2 h2 1 ¯ − ∇r φ(r) + V (|r|) − E = − ∇2 χ(R) (728) 2µ φ(r) 2M χ(R) R O segundo membro n˜o depende de r, e ´ igual ao primeiro membro, que a e n˜o depende de R. Logo, o segundo membro n˜o depende nem de r nem a a de R, ou seja, ´ constante. O primeiro membro, por conseg¨ inte, ´ tamb´m e u e e constante. Logo, h2 1 ¯ − ∇2 χ(R) = −K (729) 2M χ(R) R com K constante. Isto ´ a mesma coisa que e 2M ∇2 χ(R) = − Kχ(R) = −k 2 χ(R) (730) R h2 ¯ 2M onde pusemos k 2 = ¯2 h K. Isto ´ permitido, com k real, porque (730) pode e ser escrita P2 χ(R) = Kχ(R) (731) 2M com P hermiteano. Logo, K ´ positivo. e Voltando ` eq.(730), sua solu¸˜o ´ a ca e χ(R) = Aeik.R (732) com |k|2 = 2M K. Conclui-se que o centro-de-massa move-se como uma ¯2 h part´ıcula livre em estado de momento bem definido. Existe, portanto, um sistema de referˆncia inercial em que o centro-de-massa est´ em repouso. e a 159
- 160. Para φ(r) temosagora a equa¸˜o ca h2 1 ¯ − ∇2 φ(r) + V (|r|) − E = −K (733) 2µ φ(r) r ou h2 ¯ − ∇r φ(r) + V (|r|)φ(r) = (E − K)φ(r) (734) 2µ Desta equa¸˜o vemos que, `parte o movimento do centro-de-massa, o prob- ca a lema foi reduzido a um problema de uma part´ ıcula, de massa µ, que se move sob a a¸˜o de um campo que lhe d´ uma energia potencial V (|r. A partir de ca a agora basta reproduzir, mutatis mutandis31 , a solu¸˜o anterior para o ´tomo ca a de hidrogˆnio. e 2 Vamos agora ao c´lculo prometido acima. Tudo est´ em escrever ∇r1 em termos de a a 2 r e R, a mesma tarefa devendo ser realizada tamb´m para ∇r2 . Trabalhando com as e componentes ao longo do eixo x j´ podemos adivinhar a express˜o geral. Temos a a ∂ ∂ m1 ∂ = + ∂x1 ∂x M ∂X onde, como ´ ´bvio, x ´ a componente de r, e X a componente de R. Usamos, nesta e o e primeira passagem, a rela¸˜o ca ∂ ∂x ∂ ∂X ∂ = + ∂x1 ∂x1 ∂x ∂x1 ∂X Logo, ∂2 ∂ m1 ∂ ∂ m1 ∂ = + + ∂x2 1 ∂x M ∂X ∂x M ∂X ou ∂2 ∂2 m1 ∂ 2 m2 ∂ 2 1 2 = ∂x2 + 2 M ∂x∂X + M 2 ∂x2 ∂x1 ∂2 com uma express˜o an´loga para a a ∂x2 , que ´ dada por e 2 ∂2 ∂2 m2 ∂ 2 m2 ∂ 2 = −2 + 2 ∂x2 2 ∂x2 M ∂x∂X M 2 ∂x2 Portanto, 1 ∂2 1 ∂2 1 1 ∂2 1 ∂2 2 + m ∂x2 = m1 ∂x1 m1 + m2 ∂x2 + M ∂X 2 2 2 que, somada `s contribui¸˜es an´logas das outras componentes, d´ o resultado utilizado a co a a acima. 31 Um latinzinho faz sempre bem! Quer dizer, mudando o que deve ser mudado. 160
- 161. 27.1 Exerc´ ıcios 1. Calcule o raio m´dio ( r ) do “´tomo de hidrogˆnio muˆnico”, em que e a e o o el´tron foi substitu´ por um µ− , uma part´ e ıdo ıcula que tem as mesma pro- priedades eletromagn´ticas que o el´tron, a n˜o ser a massa, que ´ 480 vezes e e a e a massa do el´tron. e 2. Calcule o espectro, raio m´dio, e tudo que lhe ocorrer, do positrˆnio, um e o “´tomo” formado por um positron e um el´tron. O p´sitron tem a mesma a e o massa que o el´tron, e a carga igual ` do proton. Despreze o fenˆmeno de e a o aniquila¸˜o part´ ca ıcula-anti-part´ ıcula. 28 Part´ ıculas idˆnticas e Na mecˆnica quˆntica se diz que duas part´ a a ıculas s˜o idˆnticas se a opera¸˜o a e ca de trocar uma pela outra n˜o tem qualquer efeito f´ a ısico no sistema ao qual pertencem: n˜o h´ maneira de realizar uma medida f´ a a ısica que detete se tal mudan¸a foi realizada. Para explorar as conseq¨ˆncias disso de maneira for- c ue mal, introduzimos o operador P12 de troca de part´ıculas. Seja ψ(r1 , s1 ; r2 , s2 ) uma fun¸˜o de onda do sistema onde inclu´ ca ımos as vari´veis de spin, si . O a operador de troca atua assim: P12 ψ(r1 , s1 ; r2 , s2 ) = ψ(r2 , s2 ; r1 , s1 ) (735) Se as part´ ˆ ıculas s˜o verdadeiramente idˆnticas, o hamiltoniano H deve ser a e sim´trico em rela¸˜o `s vari´veis de posi¸˜o e spin das part´ e ca a a ca ıculas idˆnticas, e de maneira que n˜o haja qualquer mudan¸a na energia do sistema quando a a c troca ocorre. Neste caso, ˆ ˆ ˆ P12 Hψ(r1 , s1 ; r2 , s2 ) = P12 Hψ(r2 , s2 ; r1 , s1 ) = HP12 ψ(r1 , s1 ; r2 , s2 ) (736) ou seja, ˆ [P12 , H] = 0 (737) para todo hamiltoniano sim´trico pela troca de part´ e ıculas idˆnticas. e Seja ψ(1, 2) uma autofun¸˜o do operador P12 : ca P12 ψ(1, 2) = αψ(1, 2) (738) Temos P12 ψ(1, 2) = ψ(2, 1) (739) P12 ψ(2, 1) = ψ(1, 2) (740) 161
- 162. logo, ψ(1, 2) = α2 ψ(1, 2) (741) de onde se tira que α = ±1. Logo, as autofun¸˜es do operador P12 s˜o tais co a que P12 ψ(1, 2) = ψ(1, 2) (742) ou P12 ψ(1, 2) = −ψ(1, 2) (743) isto ´, s˜o as fun¸˜es pares e ´ e a co ımpares pela troca de um par de part´ ıculas idˆnticas. Como [P12 , H] e ˆ = 0, o operador d P12 = 0, e o valor m´dio de P12 e dt ´ constante, o que se estende para os autovalores . Portanto, o autovalor de e P12 ´ uma constante do movimento. e Part´ıculas para as quais a eq.(742) s˜o ditas bosons , e satisfazem a a esta´ıstica de Bose-Einstein; part´ ıculas para as quais a eq.(743) ´ satisfeita e s˜o ditas f´rmions, e satisfazem a estat´ a e ıstica de Fermi-Dirac. Empiricamente se verifica que os bosons s˜o part´ a ıculas de spin inteiro, enquanto que os f´rmions s˜o part´ e a ıculas de spin 1/2, 3/2, etc. Os el´trons s˜o f´rmions, os e a e f´tons s˜o bosons . o a 28.1 O princ´ ıpio de Pauli O tipo de estat´ ıstica satisfeita por uma part´ ıcula tem conseq¨ˆncias bem ue definidas sobre seu movimento. Examinemos a fun¸˜o de onda de dois ca f´rmions idˆnticos, e imaginemos que eles ocupassem ambos a mesma posi¸˜o, e e ca tendo o mesmo valor para a componente z do spin. Ou seja, r1 = r2 e s1 = s2 . Ent˜o, se a fun¸˜o de onda do sistema for a ca ψ(r1 , s1 ; r2 , s2 ) = −ψ(r2 , s2 ; r1 , s1 ) (744) Nas condi¸˜es acima, ter´ co ıamos ψ(r1 , s1 ; r1 , s1 ) = −ψ(r1 , s1 ; r1 , s1 ) (745) ou ψ(r1 , s1 ; r1 , s1 ) = 0 (746) mostrando que a probabilidade de dois f´rmions ocuparem o mesmo estado (o e estado, aqui, ´ completamente definido pela posi¸˜o e pela componente z do e ca spin) ´ zero. Isto ´ denominado princ´ e e ıpio de exclus˜o, ou princ´ a ıpio de Pauli. Um exemplo importante ´ o seguinte: considere dois el´trons movendo-se em e e um campo de for¸as, como, por exemplo, no ´tomo de H´lio. Desprezando a c a e intera¸˜o entre os el´trons, e denotando por u1 e u2 dois estados estacion´rios ca e a 162
- 163. de 1 el´tronnesse campo, a fun¸˜o de onda de um estado estacion´rio ad- e ca a miss´ seria ıvel 1 ψ = √ [u1 (r1 , s1 )u2 (r2 , s2 ) − u1 (r2 , s2 )u2 (r1 , s1 )] (747) 2 A fun¸˜o de onda (747) satisfaz a propriedade ca P12 ψ = −ψ (748) e se anula identicamente se u1 = u2 . Em contraposi¸˜o, o “estado” de fun¸˜o ca ca de onda 1 ψ ′ = √ [u1(r1 , s1 )u2 (r2 , s2 ) + u1 (r2 , s2 )u2 (r1 , s1 )] (749) 2 que tem a propriedade P12 ψ ′ = ψ ′ (750) n˜o existe na natureza, assim como nenhum outro que n˜o esteja antis- a a simetrizado. A express˜o costumeira desta lei ´ que duas part´ a e ıculas idˆnticas e de spin semi-inteiro n˜o podem estar em um estado em que se movem na a mesma “´rbita” e com os spins paralelos. Dois el´trons podem estar na o e mesma “´rbita”, desde que seus spins sejam anti-paralelos32 . o No ´tomo de H´lio, se ignorarmos a intera¸˜o entre os el´trons, tudo se a e ca e passa como se cada el´tron estivesse sob a a¸˜o de uma campo coulombiano, e ca e as fun¸˜es de onda individuais de cada el´tron seriam as de um el´tron co e e do ´tomo de Hidrogˆnio (com a diferen¸a que Z = 2). Ent˜o, nessa aprox- a e c a ima¸˜o, no estado fundamental, poderia haver dois el´trons no estado ψ100 , ca e um com “spin para cima”, o outro com “spin para baixo”. O elemento de Z = 3 ´ o L´ e ıtio. Na mesma aproxima¸˜o (de desprezar a intera¸˜o entre os ca ca el´trons), n˜o seria poss´ adicionar mais um el´tron no estado n = 1. Este e a ıvel e ´ teria de ser acomodado em um estado com n = 2. E claro que desprezar a intera¸˜o entre os el´trons ´ tanto mais grave quanto mais numerosos eles ca e e s˜o, de modo que vamos parar por aqui. a 28.1.1 Adi¸˜o de momento s angulares ca O problema ´ este: dadas duas part´ e ıculas em estados de momento angular bem definido, qual o valor, ou valores, do momento angular do sistema com- posto pelas duas? Como a solu¸˜o ´ consideravelmente t´cnica, vamos nos ca e e limitar aqui a dar os resultados. 32 Linguagem de mesa de bar. Corretamente, isto se diria assim: dois el´trons podem e estar em estados ψnlm para os mesmos valores de n, l e m, desde que suas componentes z do spin tenham sinais opostos. Mas n˜o se fala assim num bar. . . a 163
- 164. Seja ψl1 ,m1o estado de uma das part´ ıculas, e ψl2 ,m2 o estado da outra. 2 ˆ ˆ Isto quer dizer que, se li e liz (i = 1, 2) forem os operadores de momento angular total e componente z do momento angular, teremos ˆ2 l1 ψl1 ,m1 = l1 (l1 + 1)ψl1 ,m1 (751) lˆ ψl1 ,m1 = m1 ψl1 ,m1 1z (752) ˆ2 l2 ψl2 ,m2 = l2 (l2 + 1)ψl2 ,m2 (753) lˆ ψl ,m = m2 ψl ,m 2z 2 2 2 2 (754) Considerando agora o sistema composto, teremos que o momento angular total pode ter todos os valores entre l1 + l2 e |l1 − l2 |, variando de um em um. Para a componente z do momento angular total, a regra ´ mais simples: a e componente z do momento angular total ´ a soma alg´brica das componentes e e m1 e m2 . Exemplo: dois el´trons em estados de momento angular orbital 0, portanto tendo como e momento angular apenas o spin, s˜o considerados como um sistema: em que estado (l, m) a se encontram? A resposta ´: h´ duas possibilidades. O momento angular total pode ter e a qualquer dos valores 2 + 1 , 1 + 2 − 1,. . . , at´ atingir | 1 − 1 |, ou seja, os valores poss´ 1 2 2 1 e 2 2 ıveis s˜o 1 e 0. Assim, o estado de momento angular do sistema composto ser´, em geral, uma a a superposi¸˜o de um estado de momento angular total 1 com um estado de momento angu- ca lar total 0. . Para saber mais, temos de olhar para as componentes z dos spins individuais. Se os dois el´trons tiverem spins paralelos, ent˜o m1 + m2 ser´ 1 ou −1. Esses valores s˜o e a a a incompat´ ıveis com momento angular total 0, de maneira que, neste caso, pode-se afirmar que os el´trons formam um sistema composto de momento angular total l = 1. Se as e componentes z tiverem sinais opostos, por´m, o momento angular total pode ser tanto e l = 1 quanto l = 0. Um estudo mais detalhado permite determinar as probabilidades, neste caso, de se achar, numa medida de momento angular total, cada um desses valores poss´ıveis. Para um tratamento completo desta quest˜o, veja [3]. a 29 O caso quase-cl´ssico a Iniciamos o nosso curso com o estudo do ´tomo de Bohr, centrado na regra a de quantiza¸˜o, para ´rbitas circulares, ca o L = n¯ h (755) com n inteiro, que d´, para a energia , a me4 1 En = − 2 2 , (756) 2¯ n h 164
- 165. a famosa f´rmulade Bohr. o Na verdade, (756) ´ o caso particular, para ´rbitas circulares, das re- e o gras de Bohr-Sommerfeld, que podem ser enunciadas assim: seja um sistema peri´dico descrito por coordenadas generalizadas qi , i = 1, . . . , n. Ent˜o o a pi dqi = ni h (757) onde h ´ a constante de Planck, e os ni s˜o inteiros. No caso do ´tomo de e a a hidrogˆnio, o movimento, em ´rbita circular, pode ser inteiramente descrito e o pela coordenada angular θ, do par (r, θ) de coordenadas polares no plano da ´rbita. Como a lagrangeana do sistema ´ o e m 2 ˙ Ze2 L= (r + r 2 θ 2 ) − ˙ (758) 2 r temos que ∂L ˙ pθ = = mr 2 θ = L (759) ∂θ ˙ onde L ´ o momento angular. Al´m disso, pθ ´ constante, pois a vari´vel θ e e e a n˜o aparece na lagrangeana. Ent˜o, a a 2π pθ dθ = Ldθ = 2πL = nh (760) 0 ou seja, h L=n (761) 2π que ´ a regra de Bohr usual. e Estamos agora muito distantes dessa vers˜o simples de uma mecˆnica a a a ´ quˆntica. Orbitas n˜o existem, de modo que a regra de Bohr nem pode a ser enunciada, com o vocabul´rio da mecˆnica quˆntica. No entanto,(756) a a a permanece v´lida, embora obtida de maneira totalmente diferente. a Nesta se¸˜o queremos investigar se existem condi¸˜es em que a regra ca co de Bohr seja aproximadamente v´lida. Sistemas que satisfazem a essas a condi¸˜es ser˜o chamados quase-cl´ssicos33. No estilo que temos adotado co a a sistematicamente, estudaremos este problema no contexto dos estados esta- cion´rios e, para simplificar, para sistemas unidimensionais. a Uma part´ ıcula de massa m possui uma energia potencial U(x). A equa¸˜o ca de Schr¨dinger para estados estacion´rios ´: o a e h2 d2 ψ ¯ − + U(x)ψ = Eψ (762) 2m dx2 33 O m´todo tratado nesta se¸˜o ´ tamb´m conhecido como Aproxima¸ao WKB (Wentzel, e ca e e c˜ Krames, Brillouin). 165
- 166. que, naturalmente, podeser escrita como h2 d2 ψ ¯ + (E − U)ψ = 0 (763) 2m dx2 Procuraremos solu¸˜es escritas na forma co i ψ = eh σ ¯ (764) onde σ ´ uma fun¸˜o complexa, e tal que e ca |σ| ≫ h . ¯ (765) Note-se que, sendo σ complexa, temos i 1 i ψ = e h (σr +iσi ) = e− h σi e h σr ¯ ¯ ¯ (766) a ca ´ ou seja, (764) ´ uma express˜o geral para a fun¸˜o de onda. E a condi¸˜o e ca (765) que nos dirige ao caso que nos interessa, j´ que ´ uma realiza¸˜o do a e ca limite formal h → 0, supostamente a situa¸˜o em que a mecˆnica quˆntica ¯ ca a a tende ` mecˆnica cl´ssica (as rela¸˜es de incerteza inexistem, nesse limite). a a a co Inserindo na eq.(763) a express˜o (764), obtemos a seguinte equa¸˜o para a ca σ (completamente equivalente ` equa¸˜o de Schr¨dinger): a ca o 2 1 dσ i¯ d2 σ h − = E−U (767) 2m dx 2m dx2 Vamos agora utilizar a condi¸˜o (765). Suponhamos que exista a ex- ca pans˜o a 2 h ¯ h ¯ σ = σ0 + σ1 + σ2 + . . . (768) i i com σ0 , σ1 , σ2 finitos (ou seja,de m´dulos muito maiores do que h). Ent˜o o ¯ a (765) estar´ garantida desde que |σ0 | ≫ h. a ¯ i Exemplo: ψ(x) = e h px , a fun¸˜o de onda de um estado estacion´rio de part´ ¯ ca a ıcula livre, ´ e tal que i i ψ = e h px = e h σ ¯ ¯ (769) de onde segue que σ = px (770) A condi¸˜o (765) ´ ca e px h ¯ kx = ≫1 (771) h ¯ h ¯ 166
- 167. ´ garantida sekx ≫ 1. Ela falha, portanto, para k = 0. e Utilizando (768) em (767), obtemos 2 2 1 ′ h ′ ¯ h ¯ ′ i¯ d2 h h ¯ σ0 + σ1 + σ2 + . . . − 2 σ0 + σ1 + . . . = E − U 2m i i 2m dx i (772) onde a deriva¸˜o em rela¸˜o a x ´ denotada por um ′. Igualando os coefi- ca ca e cientes da potˆncia 0 de h, temos e ¯ 1 2 (σ ′ ) = E − U(x) (773) 2m 0 que d´ a σ0 = ± 2m(E − U)dx (774) A rela¸˜o ca p2 E= +U 2m permite escrever p(x) = 2m(E − U(x)) de maneira que (774) pode ser escrita σ0 = ± p(x)dx (775) Voltando ` (772), igualemos os coeficientes da potˆncia 1 de h: a e ¯ ′ ′ ′′ 2σ0 σ1 + σ0 = 0 (776) Como, de (775), ′ σ0 = p(x) , temos ′′ ′ σ0 p′ σ1 = − ′ =− (777) 2σ0 2p ou 1 1 σ1 = − log p = log √ (778) 2 p Temos, portanto, at´ esta aproxima¸˜o, e ca h ¯ 1 σ= p(x)dx + log √ (779) i p 167
- 168. ou i e± h ¯ pdx ψ(x) = √ (780) p Mais precisamente, a solu¸˜o geral ´ dada por uma combina¸˜o linear das ca e ca solu¸˜es exibidas acima, ou seja, co i i e h pdx ¯ e− h pdx ¯ ψ(x) = C1 √ + C2 √ (781) p p As condi¸˜es de validade da aproxima¸˜o quase-cl´ssica s˜o obtidas insistindo- co ca a a se em que, na equa¸˜o (767), o segundo termo do primeiro membro seja muito ca menor que o primeiro isto ´: e 2 | 2m d σ | i¯ h dx2 1 dσ ≪1 (782) | 2m dx |2 Isto ´ equivalente a e σ ′′ h ¯ ≪1 (783) σ′ 2 ou ainda, d h ¯ ≪1 (784) dx p(x) Aqui encontramos mais uma vez uma situa¸˜o importante em que a aprox- ca ima¸˜o quase-cl´ssica n˜o ´ v´lida: quando o momento se anula, a eq.(784) ca a a e a n˜o ´ satisfeita. a e Suponhamos que a nossa part´ ıcula possua uma energia potencial U(x), e que sua energia total seja E. Como temos p(x) = 2m (E − U(x)) vemos que, nos pontos em que E = U(x), p(x) ´ igual ` zero, e a aproxima¸˜o e a ca quase-cl´ssica falha. a 168
- 169. U(x) x E b a Na figura acima vemos os pontos a e b, em que E = U(x), e a aproxima¸˜o ca quase-cl´ssica falha. Classicamente s˜o os pontos em que a part´ a a ıcula p´ra e a volta, os “pontos de retorno”’. Nas vizinhan¸as desses pontos n˜o podemos c a utilizar a express˜o (781). H´ uma s´rie de m´todos para contornar esta a a e e dificuldade. O mais elementar ´ o seguinte: seja x0 um ponto de retorno, ou e seja, E − U(x0 ) = 0. A equa¸˜o de Schr¨dinger ´ ca o e h2 d2 ψ(x) ¯ − + (U(x) − E) ψ(x) = 0 (785) 2m dx2 Expandindo a fun¸˜o F (x) ≡ U(x) − E em torno do ponto x0 , temos ca F (x) = F (x0 ) + (x − x0 )F ′ (x0 ) (786) com F (x0 ) = 0. Como F (x0 ) = 0, temos U(x) − E = (x − x0 )U ′ (x0 ) (787) Logo, nas vizinhan¸as do ponto de retorno, a equa¸˜o de Schr¨dinger ´ c ca o e h2 d2 ψ(x) ¯ − 2 + U ′ (x0 )(x − x0 )ψ(x) = 0 (788) 2m dx que ´ a equa¸˜o de Schr¨dinger para uma part´ e ca o ıcula sobre a a¸˜o de uma for¸a ca c constante. Mas esta equa¸˜o pode ser resolvida exatamente (veja Apˆndice), ca e de maneira que podemos proceder assim: a uma certa (pequena) distˆncia do a 169
- 170. ponto de retorno,usamos a fun¸˜o de onda quase-cl´ssica. Mais para perto ca a do ponto de retorno, usamos a solu¸˜o exata (788). Tudo o que precisamos ca fazer ´ achar, dentre as solu¸˜es de (788),aquela que se acopla continuamente e co com a solu¸˜o semi-cl´ssica. ca a Este m´todo utiliza fun¸˜es transcendentes (a fun¸˜o de Airy, por exem- e co ca plo), e um pouco de an´lise complexa, o que est´ acima do n´ deste curso. a a ıvel Assim, sendo, limitar-nos-emos a enviar o leitor ao apˆndice, para os detalhes e do c´lculo, e a dar a regra de transi¸˜o, l´ obtida. a ca a Nas regi˜es classicamente inacess´ o ıveis, temos E − U(x) < 0, logo, p(x) = 2m(E − U(x)) = i 2m(|E − U(x)|) . (789) Uma repeti¸˜o simples dos c´lculos leva a ca a 1 1 e− h ¯ |p(x)|dx eh ¯ |p(x)|dx ψ(x) = C1 + C2 (790) |p| |p| Temos,portanto, i i e h pdx ¯ e− h pdx ¯ ψ(x) = C1 √ + C2 √ E > U(x) (791) p p 1 1 e− h ¯ |p(x)|dx eh ¯ |p(x)|dx ψ(x) = C1 + C2 E < U(x) (792) |p| |p| 29.1 Regra de transi¸˜o ca Vamos nos limitar a enunciar a regra de transi¸˜o, ilustrando-a com exemplos. ca Seja x = a um ponto de retorno, ou seja, tal que E = U(a). Ent˜o, a C x C 1 x π e− h | pdx| 1 ¯ a → √ cos pdx − (793) 2 |p| p h ¯ a 4 E < U(x) → E > U(x) 170
- 171. 29.2 Exemplo U(x) x E b a A figura acima mostra um po¸o de potencial e os pontos, b e a, de retorno c de uma part´ıcula de massa m e energia E. ` Considere o ponto de retorno a. A sua direita a fun¸˜o de onda deve ca decrescer exponencialmente, j´ que se trata de uma regi˜o classicamente a a proibida, com E < U(x). Dentre as solu¸˜es de (794), a que nos serve ´ co e escrita C − h x |p|dx 1 e ¯ a , 2 |p| logo, ` esquerda de a, teremos a C 1 x π ψ(x) = √ cos p dx − (794) p h ¯ a 4 ` Passemos ao ponto de retorno b. A sua esquerda temos uma regi˜o clas- a sicamente proibida. Devemos, ent˜o, ter uma fun¸˜o de onda que, ` medida a ca a que nos aprofundamos nessa regi˜o (isto ´, ` medida que x se torna mais e a e a mais negativo), decresce exponencialmente. Dentre as catalogadas em (794) a que tem essas propriedades ´ e C x C x e− h | p dx| 1 1 |p|dx ¯ b = eh ¯ b (795) 2 |p| 2 |p| 171
- 172. logo, a fun¸˜ode onda ` direita de b ser´ ca a a C 1 x π ψ(x) = √ cos p dx − (796) p h ¯ b 4 Conseq¨ entemente temos, na regi˜o b ≤ x ≤ a, as express˜es (794) e (796) u a o para a fun¸˜o de onda. Essas duas express˜es devem ent˜o coincidir: ca o a C 1 x π C′ 1 x π √ cos p dx − = √ cos p dx − (797) p h ¯ b 4 p h ¯ a 4 Tomando x = a, obtemos 1 a π π C cos p dx − = C ′ cos (798) h ¯ b 4 4 que leva a 1 a p dx = (n + 1/2)π (799) h ¯ b C = (−1)n C ′ A regra de Bohr-Sommerfeld cont´m uma integral num circuito fechado. e Neste caso, isto seria a p dx = 2 p dx = (n + 1/2)2π¯ = (n + 1/2)h h (800) b Obtemos uma rela¸˜o que coincide com a regra de Bohr para grandes valores ca de n, quando se pode desprezar o termo 1/2. 29.3 Exemplo: oscilador harmˆnico o Neste caso a energia potencial ´ e 1 U(x) = mω 2 x2 2 e 1 p(x) = 2m E − mω 2 x2 (801) 2 Os pontos de retorno acontecem quando a energia coincide com a energia potencial, isto ´ e 1 E = mω 2 x2 2 172
- 173. 1 2E o que acontece para x = ± ω m . A integral que aparece em (799) ´ e √ 2E 1 ω m √ πE p dx = √ 2E 2mE − m2 ω 2 x2 dx = (802) 1 −ω m ω e temos, ent˜o, a πE = (n + 1/2)π¯ h (803) ω ou E = (n + 1/2)¯ ω , h (804) em completa coincidˆncia com o resultado exato! e 30 O po¸o duplo. c A energia potencial U(x) consiste de dois po¸os de potencial sim´tricos, sep- c e arados por uma barreira. Na figura abaixo os po¸os s˜o as regi˜es I e II, e c a o a barreira tem altura U0 . Se a barreira fosse impenetr´vel, haveria n´ a ıveis de energia relativos ao movimento da part´ ıcula em um ou outro dos dois po¸os, c ou seja, duas fam´ ılias de n´ıveis iguais, uma em cada po¸o. O fato de que c o tunelamento atrav´s da barreira existe na mecˆnica quˆntica faz com que e a a cada um dos n´ ıveis relativos ao movimento em um dos po¸os se separe em c dois n´ıveis pr´ximos, correspondendo agora a estados da part´ o ıcula em que ela est´ nos dois po¸os. a c U(x) II I U0 E2 E0 E1 a x A determina¸˜o deste desdobramento de n´ ca ıveis ´ simples no caso em que e se pode usar a aproxima¸˜o quase cl´ssica. E ca a ´ o que faremos agora. Uma 173
- 174. solu¸˜o aproximada daequa¸˜o de Schr¨dinger para a energia potencial U(x), ca ca o desprezando a probabilidade de passagem pela barreira, pode ser constru´ıda com a fun¸˜o quase-cl´ssica ψ0 (x), que descreve o movimento com uma certa ca a energia E0 em um dos po¸os (digamos, o po¸o I), e que ´ exponencialmente c c e decrescente em ambos os lados do po¸o I. A normaliza¸˜o aproximada desta c ca fun¸˜o ´ ca e ∞ 2 ψ0 dx = 1 (805) 0 Portanto, para ψ0 , temos satisfeita a equa¸˜o de Schr¨dinger ca o d2 ψ0 2m + 2 (E − U(x)) ψ0 (x) = 0 (806) dx2 h ¯ no seguinte sentido: para x < 0 a equa¸˜o ´ aproximadamente satisfeita ca e porque, tanto ψ0 (x) quanto sua derivada segunda, nesta regi˜o, s˜o aprox- a a imadamente nulas. Estaremos usando, sem mencionar mais, os seguintes fatos: no caso de um sistema unidimensional confinado, isto ´, impedido de alcan¸ar o infinito, a e c fun¸˜o de onda pode ser tomada como real, e os n´ ca ıveis de energia n˜o s˜o degenerados. a a O produto ψ0 (x)ψ0 (−x), para x > 0, ´ desprez´ e ıvel. O potencial como um todo ´ sim´trico. A equa¸˜o de Schr¨dinger e e ca o d2 ψ 2m + 2 (E − U(x)) ψ(x) = 0 (807) dx2 h ¯ permanece v´lida quando se troca x por −x. Logo, se ψ(x) ´ uma fun¸˜o a e ca de onda, ψ(−x) tamb´m o ´, para o mesmo valor de E. Como n˜o h´ e e a a degenerescˆncia, temos e ψ(−x) = eiα ψ(x) para α real (808) Logo, ψ(x) = eiα ψ(−x) = e2iα ψ(x) (809) e portanto e2iα = 1, de onde segue que α = nπ. Temos, em conseq¨ˆncia, ue ψ(−x) = ψ(x) (810) ou ψ(−x) = −ψ(x) (811) 174
- 175. As autofun¸˜es daenergia deste sistema s˜o, portanto, fun¸˜es pares ou co a co ´ ımpares de x. Isto ´ uma conseq¨ˆncia de que U(−x) = U(x). As fun¸˜es e ue co de onda corretas, na aproxima¸˜o quase-cl´ssica, s˜o obtidas constru´ ca a a ındo, a partir de ψ0 , as fun¸˜es ψ1 , sim´trica, e ψ2 , anti-sim´trica: co e e 1 ψ1 (x) = √ [ψ0 (x) + ψ0 (−x)] (812) 2 1 ψ2 (x) = √ [ψ0 (x) − ψ0 (−x)] (813) 2 Note que a fun¸˜o ψ0 (x) n˜o ´ autofun¸˜o do hamiltoniano com a energia ca a e ca potencial U(x), sim´trica: ´ a fun¸˜o de onda que ter´ e e ca ıamos de a barreira fosse impenetr´vel. Tanto que ψ0 (−x) ´ desprez´ a e ıvel, enquanto que ψ0 (x) n˜o a o ´. De novo, como os n´ e ıveis n˜o s˜o degenerados, devemos ter energia s a a diferentes para ψ1 e ψ2 . Sejam d2 ψ1 2m + 2 (E1 − U(x)) ψ1 (x) = 0 (814) dx2 h ¯ a equa¸˜o de Schr¨dinger para ψ1 , e ca o d2 ψ2 2m + 2 (E2 − U(x)) ψ2 (x) = 0 (815) dx2 h ¯ aquela para ψ2 . Multiplicando (806) por ψ1 e (814) por ψ0 e subtra´ ındo, temos ′′ ′′ 2m ψ1 ψ0 − ψ0 ψ1 + 2 (E0 − E1 ) ψ0 ψ1 = 0 (816) h ¯ ou d ′ ′ 2m (ψ1 ψ0 − ψ0 ψ1 ) = 2 (E1 − E0 ) ψ0 ψ1 (817) dx h ¯ Integrando de 0 a ∞: ∞ d ′ ′ 2m ∞ dx (ψ1 ψ0 − ψ0 ψ1 ) = 2 (E1 − E0 ) dxψ0 ψ1 (818) 0 dx h ¯ 0 ′ ′ ∞ 2m 1 ∞ (ψ1 ψ0 − ψ0 ψ1 )0 = 2 (E1 − E0 ) √ dxψ0 (ψ0 (x) + ψ0 (−x))(819) h ¯ 2 0 2m 1 ∞ 2 ≈ 2 (E1 − E0 ) √ ψ0 h ¯ 2 0 onde usamos o fato de ψ0 (x)ψ0 (−x) ser muito pequeno. Lembrando que as fun¸˜es que aparecem no primeiro membro se anulam no infinito, temos co ′ ′ m ψ0 (0)ψ1 (0) − ψ1 (0)ψ0 (0) = √ 2 (E1 − E0 ) (820) 2¯ h 175
- 176. Seja f (x)uma fun¸˜o par. Ent˜o, ca a f (−x) = f (x) (821) df (x) Consideremos agora a fun¸˜o ca dx . Trocando x por −x, df (x) df (−x) →− (822) dx dx Logo, df (−x) df (x) =− (823) dx dx ou seja, se f ´ par, f ′ ´ ´ e e ımpar. Voltando ` (820), a 1√ √ ψ1 (0) = 2 [ψ0 (0) + ψ0 (0)] = 2ψ0 (0) (824) [ enquanto ′ ψ1 = 0 , (825) levando a h2 ¯ ′ E1 − E0 = − ψ0 (0)ψ0 (0) (826) m Repetindo agora o c´lculo com ψ2 e ψ0 , obtemos, ao longo dos mesmos passos, a h2 ¯ ′ E2 − E0 = ψ0 (0)ψ0 (0) (827) m Subtra´ ındo, obtemos 2¯ 2 h ′ E2 − E1 = ψ0 ψ0 (0) (828) m Um c´lculo mais refinado leva ao resultado a 1 a −h |p|dx E2 − E1 = Ce ¯ −a (829) onde C ´ uma constante, e −a e a s˜o indicados na figura. A eq.(829) torna e a expl´ ıcito o papel do tunelamento na separa¸˜o dos n´ ca ıveis de energia . 176
- 177. 31 Sistemas de dois n´ ıveis Embora os sistemas da natureza tenham, em geral, um grande n´mero de u n´ ıveis, h´ situa¸˜es em que apenas dois deles s˜o relevantes. Um exemplo a co a importante ´ este: uma onda eletromagn´tica, monocrom´tica, de freq¨ˆncia e e a ue ω + ǫ (com ǫ/ω ≪ 1) incide sobre um ´tomo (de infinitos n´ a ıveis de energia ), que tem, entre eles, dois de energia s tais que E1 − E2 = hω. A freq¨ˆncia ¯ ue da onda ´ muito pr´xima da diferen¸a de n´ e o c ıveis dividida por h. Mostramos ¯ anteriormente que, neste caso, apenas os n´ ıveis E1 e E2 participam do pro- cesso, sendo, os outros, “espectadores”, que podem, para este fim espec´ ıfico, ser ignorados. Nesta se¸˜o vamos estudar sistemas idealizados que tˆm somente dois ca e n´ ıveis de energia . Supondo que esses n´ ıveis n˜o sejam degenerados, conclui-se a que todo conjunto completo e linearmente independente de vetores de estado deste sistema possui apenas dois elementos: o conjunto de todos os estados forma, com as opera¸˜es usuais de adi¸˜o e multiplica¸˜o por um n´ mero co ca ca u complexo, um espa¸o vetorial complexo de dimens˜o 2, e o hamiltoniano, c a bem como todos os operadores lineares, podem ser representados por matrizes complexas 2 × 2. A equa¸˜o de Schr¨dinger ´ escrita ca o e ∂χ i¯ h = Hχ (830) ∂t e, supondo-se que o hamiltoniano n˜o dependa explicitamente do tempo, a pode-se-a integrar formalmente, obtendo i χ(t) = e− h Ht χ(0) . ¯ (831) Por causa da simplicidade do sistema, ´ poss´ escrever explicitamente o e ıvel i operador exp (− ¯ Ht). Os autoestados da energia , |E1 e |E2 satisfazem as h equa¸˜es co H|E1 = E1 |E1 (832) H|E2 = E2 |E2 (833) e todo estado χ pode ser expandido em termos deles34 : χ(t) = |χ(t) = (|E1 E1 | + |E2 E2 |) |χ(t) (834) 34 Como ´ usual entre os f´ e ısicos, estaremos, indiferentemente, denotando o estado por χ ou |χ . Em geral usa-se esta ultima forma quando se vai fazer uso de algum dos truques ´ da genial nota¸˜o de Dirac ca 177
- 178. = E1 |χ(t)|E1 + E2 |χ(t) |E2 = C1 (t)|E1 + C2 (t)|E2 (835) Uma fun¸˜o f (H) do hamiltoniano ´ definida assim: ca e f (H)|χ(t) = C1 (t)f (H)|E1 + C2 (t)f (H)|E2 = C1 (t)f (E1 )|E1 + C2 (t)f (E2 )|E2 (836) Usando-se esta opera¸˜o mostra-se facilmente que ca 1 ˆ E2 ˆ − H 1 ˆ E1 ˆ − H f (H) = f (E1 ) + f (E2 ) (837) E2 − E1 E1 − E2 que, usada para o operador de evolu¸˜o temporal, d´: ca a i 1 i i e− h Ht = ¯ E2 e− h E1 t − E1 e− h E2 t ¯ ¯ (838) E2 − E1 ˆ H i i + e− h E2 t − e− h E1 t ¯ ¯ E2 − E1 De posse deste resultado, podemos formular a pergunta: suponhamos que o sistema se encontre, em t = 0, em um estado |χ(0) . Qual ´ a probabilidade e de que, decorridos t segundos, ele permanecer no mesmo estado? Se, em t = 0, o estado ´ χ(0), teremos, no instante t, e i χ(t) = e− h Ht χ(0) ¯ (839) e, usando a express˜o acima, a i i χ(0) i i e− h E2 t − e− h E1 t ˆ ¯ ¯ χ(t) = E2 e− h E1 t − E1 e− h E2 t + ¯ ¯ Hχ(0) (840) E2 − E1 E2 − E1 Seja χ(0) = C1 |E1 + C2 |E2 (841) ent˜o, a C1 |E1 + C2 |E2 i i χ(t) = E2 e− h E1 t − E1 e− h E2 t ¯ ¯ (842) E2 − E1 i i − h E2 t e ¯ − e− h E1 t ¯ = (C1 E1 |E1 + C2 E2 |E2 ) E2 − E1 A probabilidade de o sistema, em t, estar no mesmo estado, ´ obtida assim: e existe uma base do espa¸o dos estados formada por |χ(0) e outros estados, c ortogonais a ele. Expandimos |χ(t) nesta base: |χ(t) = a(t)|χ(0) + . . . (843) 178
- 179. A probabilidade pedida´ |a(t)|2 . Ora, e χ(0)|χ(t) = a(t) χ(0)|χ(0) = a(t) . (844) Logo, a probabilidade ´ | χ(0)|χ(t) |2. Vamos calcular χ(0)|χ(t) , a ampli- e tude de probabilidade. Usando (839), temos 1 i i χ(0)|χ(t) = E2 e− h E1 t − E1 e− h E2 t ¯ ¯ (845) E2 − E1 i i e− h E2 t − e− h E1 t ¯ ¯ ˆ + χ(0)|H|χ(0) E2 − E1 Como ˆ ˆ χ(0)|H|χ(0) = (C1 E1 | + C2 E2 |) H (C1 |E1 + C2 |E2 ) = |C1 |2 E1 +|C2|2 E2 ∗ ∗ Ent˜o, a 1 i i χ(0)|χ(t) = E2 e− h E1 t − E1 e− h E2 t ¯ ¯ E2 − E1 i i 2 2 e− h E2 t − e− h E1 t ¯ ¯ + |C1 | E1 + |C2 | E2 (846) E2 − E1 Suponhamos que |C1 |2 = 1 e |C2 |2 = 0. Ent˜o, ap´s uma ´lgebra simples, a o a i χ(0)|χ(t) = e− h E1 t ¯ (847) logo, | χ(0)|χ(t) |2 = 1 (848) isto ´, um sistema que est´ num estado estacion´rio permanece nele (da´ se e a a ı chamar estacion´rio!). a ´ a E f´cil mostrar que os estados estacion´rios s˜o os unicos que possuem a a ´ esta propriedade. De fato, se i χ(t) = e− h Ht χ(0) ¯ (849) χ(0) = C1 |E1 + C2 |E2 (850) i i |χ(t) = C1 e− h E1 t |E1 + C2 e− h E2 t |E2 ¯ ¯ (851) i i 2 − h E1 t 2 − h E2 t χ(0)|χ(t) = |C1 | e ¯ + |C2 | e ¯ (852) 1 | χ(0)|χ(t) |2 = |C1 |4 + |C2 |4 + 2|C1 |2 |C2 |2 cos (E1 − E2 )t (853) h ¯ 179
- 180. Para que |χ(0)|χ(t) |2 = 1 para todo t, temos de ter ou C1 = 0 ou C2 = 0. Em qualquer dos casos o outro coeficiente ´ de m´dulo 1, pois |C1 |2 + |C2 |2 = e o 1. Logo, χ(0) = |E1 ou χ(0) = |E2 . Tomemos agora uma base arbitr´ria do espa¸o dos estados, formada por a c |φ1 e |φ2 . O estado |χ(t) ´ expandido, nesta base, como e |χ(t) = (|φ1 φ1 | + |φ2 φ2|) |χ(t) = φ1 |χ(t) |φ1 + φ2 |χ(t) |φ2 (854) Introduzindo a nota¸˜o ca χi (t) ≡ φi |χ(t) , temos |χ(t) = χ1 (t)|φ1 + χ2 (t)|φ2 (855) A equa¸˜o de Schr¨dinger ´ ca o e ∂|χ(t) ˆ ˆ ˆ i¯ h = H|χ(t) = χ1 (t)H|φ1 + χ2 (t)H|φ2 (856) ∂t e, tomando os produtos escalares com |φi , ∂ i¯ h φ1 |χ(t) = χ1 (t) φ1 |H|φ1 + χ2 (t) φ1 |H|φ2 (857) ∂t ∂ i¯ h φ2 |χ(t) = χ1 (t) φ2 |H|φ1 + χ2 (t) φ2 |H|φ2 (858) ∂t Denotando φi|H|φj por Hij , temos ∂χ1 i¯ h = H11 χ1 + H12 χ2 (859) ∂t ∂χ2 i¯ h = H21 χ1 + H22 χ2 (860) ∂t Para estados estacion´rios, H12 = H21 = 0. Logo, os elementos de a matriz H21 e H12 promovem as transi¸˜es entre estados. co De fato, seja |φ1 um dos estados da base. i |φ1(t) = e− h Ht |φ1 ¯ (861) i i − h E2 t − h E1 t |φ1 i i e ¯−e ¯ ˆ (862) = E2 e− h E1 t − E1 e− h E2 t + ¯ ¯ H|φ1 E2 − E1 E2 − E1 Qual ´ a probabilidade de que, em algum t, o sistema se encontre em |φ2 ? e A amplitude ´ dada por e i i e− h E2 t − e− h E1 t ¯ ¯ ˆ φ2 |φ1 (t) = φ2 |H|φ1 (863) E2 − E1 N˜o h´ transi¸˜o se H21 = 0. a a ca As equa¸˜es (863) s˜o as Eqs.(8.43) do Volume III das “Feynman Lec- co a tures on Physics”, que as utiliza para um grande n´ mero de aplica¸˜es inter- u co essantes. Vamos fazer o mesmo. 180
- 181. 32 A mol´cula da amˆnia e o A mol´cula de amˆnia, NH3 , ´ formada por trˆs ´tomos de hidrogˆnio e um e o e e a e de nitrogˆnio, dispostos nos v´rtices de uma pirˆmide, como mostra a figura. e e a Esta mol´cula pode ser excitada de muitos modos: pode ser posta a girar, e por exemplo, em torno de um eixo passando pelo nitrogˆnio e perpendicular e ` base oposta, que ´ um eixo de simetria, ou pode-se tamb´m excitar seus a e e muitos modos normais de vibra¸˜o. Aqui vamos considerar uma transi¸˜o ca ca que ´ particularmente interessante porque n˜o pode existir classicamente. Na e a f´ ısica cl´ssica, as duas configura¸˜es exibidas acima s´ podem se transformar a co o uma na outra por rota¸˜o da mol´cula. Na mecˆnica quˆntica, por´m, o ca e a a e nitrogˆnio pode tunelar para o outro lado, uma transi¸˜o que n˜o pode existir e ca a classicamente. Como problema an´logo, considere o po¸o duplo mostrado na a c figura abaixo. Para energia s como E0 , classicamente, o problema se reduz a um unico po¸o. Ou seja, para energia inferiores a Vm , classicamente, temos ´ c dois po¸os independentes. Se o potencial for sim´trico, teremos os mesmos c e n´ıveis de energia de um de do outro lado da barreira. Na mecˆnica quˆntica, por´m, existe o tunelamento entre os dois po¸os. a a e c Em conseq¨ˆncia disso, os n´ ue ıveis de energia individuais dos po¸os deixar˜o c a de existir, e aparecer˜o n´ a ıveis do po¸o duplo. c 33 A Mecˆnica Quˆntica Relativista a a 33.1 Introdu¸˜o ca Estas notas reproduzem parte das transparˆncias apresentadas no curso de e ver˜o de 2003 do Instituto de F´ a ısica da USP. A parte relativa ` equa¸˜o a ca de Dirac e ` anti-mat´ria ´ reproduzida in toto. Resolvemos substituir a a e e parte que tratava de neutrinos e do problema solar por indica¸˜es ` liter- co a atura existente, principalmente na internet, que ´ de facil acesso e excelente e qualidade. Para o estudo do problema dos neutrinos solares, recomendamos o en- dere¸o: c http://www.hep.anl.gov/ndk/hypertext/nuindustry.html Muitas outras informa¸˜es sobre o tema, e sobre f´ co ısica em geral, podem ser encontradas no meu site: http://hfleming.com 181
- 182. O estudo daequa¸˜o de Dirac na linha aqui apresentada encontra-se em ca Sakurai, “Advanced Quantum Mechanics”, Addison-Wesley Press e em T. D. Lee, “Particle Physics and Introduction to Field Theory”. Um tratamento elementar, mas de qualidade, sobre a f´ ısica dos neutrinos encontra-se em C. Sutton, “ Spaceship Neutrino” 33.2 A equa¸˜o de Schr¨dinger livre ca o p → −i¯ ∇ h ∂ E → i¯ h ∂t p2 1 h ¯2 → 2m (−i¯ ∇).(−i¯ ∇) h h = − 2m ∇2 2m p2 h2 2 ¯ ∂Ψ Ψ = EΨ → − ∇ Ψ = i¯ h 2m 2m ∂t 33.3 A equa¸˜o de Klein-Gordon ca E2 = p2 c2 + m2 c4 E 2Ψ = (p2 c2 + m2 c4 )Ψ ∂2Ψ −¯ 2 2 h = −c2 h2 ∇2 Ψ + m2 c4 Ψ ¯ ∂t m2 c2 22 − 2 Ψ = 0 h ¯ A equa¸˜o de Klein-Gordon ´ de segunda ordem no tempo, o que cria ca e dificuldades com o postulado b´sico da Mecˆnica Quˆntica que diz que o a a a estado de um sistema est´ completamente determinado (inclusive em sua a evolu¸˜o) se se conhece a fun¸˜o de onda em um instante qualquer. Al´m ca ca e disso, a conserva¸˜o da probabilidade, expressa pela equa¸˜o da continuidade ca ca ∂ρ + div j = 0 (864) ∂t ´ satisfeita para e 1 ∂Ψ∗ ∂Ψ ρ = Ψ − Ψ∗ c ∂t ∂t 182
- 183. j = cΨ∗ ∇Ψ − Ψ∇Ψ∗ ∂ρ + div j = 0 ∂t Problemas 1. ρ pode ter qualquer sinal. 2.A equa¸˜o de Klein-Gordon n˜o ´ de primeira ordem no tempo. ca a e 33.4 A equa¸˜o de Dirac ca Procura-se: equa¸˜o relativista de primeira ordem no tempo. Uma express˜o ca a geral ´: e ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ imc 1 ∂Ψ αx + αy + αz + βΨ = (865) ∂x ∂y ∂z h ¯ c ∂t onde αx , αy , αz e β s˜o matrizes quadradas 4x4, e Ψ ´ uma matriz coluna a e de 4 elementos. Exemplo: A B C D ∂Ψ1 /∂x E F G H ∂Ψ2 /∂x αx Ψ = I (866) J K L ∂Ψ3 /∂x M N O P ∂Ψ4 /∂x Em termos dos elementos de matriz a equa¸˜o ´: ca e ∂Ψσ ∂Ψσ ∂Ψσ imc 1 ∂Ψρ (αx )ρσ + (αy )ρσ + (αz )ρσ + (β)ρσ Ψσ = σ ∂x ∂y ∂z h ¯ c ∂t Todos os elementos das α’s e de β devem ainda ser determinados. Para isso vamos impˆr a condi¸˜o que, para cada componente Ψρ , valha a equa¸˜o o ca ca de Klein-Gordon, ou seja, 1 ∂2 m2 c2 ∇2 − Ψρ = 2 Ψρ c2 ∂t2 h ¯ A motiva¸˜o ´ a seguinte. Considere as equa¸˜es de Maxwell (escritas no ca e co sistema CGS, como todo f´ısico que se preza faz!) na ausˆncia de cargas e e 183
- 184. correntes: div B = 0 div E = 0 1 ∂B rotE = − c ∂t 1 ∂E rotB = c ∂t ´ E um sistema de equa¸˜es lineares, de primeiro grau, que mistura as v´rias co a componentes de E e B. Tomando o rotacional da ultima e usando a pen´ ltima, ´ u obtemos 1 ∂2B rot rotB = − 2 2 c ∂t ou 1 ∂2B ∇ ∇.B − ∇2 B = − 2 2 c ∂t que ´ a mesma coisa que e 22 Bρ = 0 para todo ρ. Obt´m-se, de modo an´logo, que e a 22 Eρ = 0 para todo ρ. Ora, a teoria de Maxwell ´ relativisticamente invariante, e essas duas e ultimas rela¸˜es mostram uma propriedade que essas equa¸˜es devem sat- ´ co co isfazer. Mas elas n˜o s˜o sen˜o as equa¸˜es de Klein-Gordon para m = 0. a a a co Logo, justifica-se a exigˆncia de que, para cada componente de Ψ, a equa¸˜o e ca de Klein-Gordon seja satisfeita. Resumindo, se Ψ ´ uma solu¸˜o da equa¸˜o e ca ca de Dirac, exigiremos que m2 c2 22 − Ψρ = 0 h2 ¯ para todo ρ. 33.4.1 Interpreta¸˜o probabil´ ca ıstica Preliminarmente precisamos de uma interpreta¸˜o probabil´ ca ıstica. Gostar´ ıamos de ter ρ= Ψ∗ Ψσ σ σ 184
- 185. por ser estauma quantidade positiva e que generaliza o ρ = |Ψ|2 da teoria de Schr¨dinger. Como o d3 xρ = 1 (se a integral ´ sobre todo o espa¸o), teremos e c d ∂Ψ∗σ ∂Ψσ ρd3 x = 0 = d3 x Ψ σ + Ψ∗ σ dt σ ∂t ∂t Da equa¸˜o de Dirac se tira ca 3 1 ∂Ψρ k ∂Ψσ mc =− αρσ + i βρσ Ψσ c ∂t σ k=1 ∂xk h ¯ Inserindo esta na pen´ ltima, u 3 ∂Ψ∗ λ imc ∗ 0 = −c d3 x ∗k ασλ Ψσ + β Ψσ Ψ∗ σ λ k=1 ∂xk h σλ ¯ λ 3 ∂Ψλ imc −c d3 x ασλ Ψ∗ k σ − βσλ Ψ∗ Ψλ σ σ λ k=1 ∂xk h ¯ de onde segue que ∗ βσλ = βλσ ∗k k ασλ = αλσ , ou seja, β e as α’s s˜o hermiteanas. a Mais precisamente, temos que, com ∗ ρ = Ψσ Ψσ σ j = c (Ψ∗ αΨ) onde α ´ o “vetor” de componentes (αx , αy , αz ), vale e ∂ρ + div j = 0 ∂t 33.4.2 Determina¸˜o das matrizes de Dirac ca Reescrevendo a equa¸˜o de Dirac como ca ∂Ψ imc 1 ∂Ψ αi + βΨ − =0 (867) ∂xi h ¯ c ∂t 185
- 186. (onde o primeirotermo representa uma soma sobre i) e multiplicado ` es- a querda pelo operador ∂ imc 1∂ αj + β+ ∂xj h ¯ c ∂t temos, ap´s alguns cancelamentos, o ∂2Ψ imc j ∂Ψ imc i ∂Ψ αj αi + αβ + βα + ∂xj ∂xi h ¯ ∂xj h ¯ ∂xi m2 c2 1 ∂2Ψ − 2 β 2Ψ − 2 2 = 0 h ¯ c ∂t Para que isto se reduza a 2m2 c2 2 − 2 Ψ=0 h ¯ devemos ter: β2 = 1 αi β + βαi = 0 αi αj + αj αi = 2δij Uma solu¸˜o para essas equa¸˜es pode ser constru´ da seguinte maneira: ca co ıda sejam 1 0 I= 0 1 0 1 σ1 = 1 0 0 −i σ2 = i 0 1 0 σ3 = 0 −1 As matrizes de Dirac s˜o matrizes 4x4 definidas, em termos das anteriores, a assim: 0 σk αk = σk 0 I 0 β= 0 −I 186
- 187. ou, mais explicitamente, 0 0 0 1 0 0 1 0 α1 = 0 1 0 0 1 0 0 0 e assim por diante. 33.4.3 Formula¸˜o covariante da equa¸˜o de Dirac ca ca Queremos colocar a equa¸˜o de Dirac numa forma em que o tempo e as co- ca ordenadas apare¸am simetricamente. Nota¸˜o: c ca x1 = x x2 = y x3 = z x4 = ict ıstico x2 + y 2 + z 2 − c2 t2 ´ escrito x2 + x2 + x2 + x2 , Assim, o invariante relativ´ e 1 2 3 4 ou xµ xµ , que ´ a mesma coisa que e 4 xµ xµ µ=1 A euq¸˜o de Dirac ´: ca e ∂Ψ imc 1 ∂Ψ αi + βΨ + =0 ∂xi h ¯ c ∂t ∂Ψ onde αi ∂xi ´ uma abrevia¸˜o para e ca 3 ∂Ψ αi i=1 ∂xi Multiplicando a equa¸˜o de Dirac ` esquerda por (−iβ) e introduzindo a ca a nota¸˜o ca γ4 = β γ k = −iβαk 187
- 188. para k =1, 2, 3, temos ∂Ψ mc ∂Ψ γi + Ψ+β =0 ∂xi h ¯ ∂(ict) ou ∂Ψ mc γµ + Ψ=0 ∂xµ h ¯ com γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2δµν 33.4.4 Corrente de Probabilidade Seja Ψ uma solu¸˜o da equa¸˜o de Dirac. Definindo ca ca Ψ(x) ≡ Ψ† (x)γ4 Ent˜o obt´m-se, da equa¸˜o de Dirac, a e ca ∂Ψ mc γµ − Ψ=0 ∂xµ h ¯ O quadrivetor densidade de corrente de probabilidade, jµ ≡ iΨγµ Ψ ´ tal que e ∂jµ 1 ∂ρ = + div j = 0 ∂xµ c ∂t que ´ a forma 4-dimensional da equa¸˜o da continuidade. e ca 33.4.5 Solu¸˜es especiais: part´ co ıcula em repouso Para uma part´ ıcula em repouso, pk Ψ = 0 onde pk ´ o operador “componente k do momento ”. Equivalentemente, e ∂Ψ −i¯ h =0 ∂xk para k = 1, 2, 3. Logo, para a part´ ıcula em repouso, Ψ(r, t) = Ψ(t) Com isso, a equa¸˜o de Dirac fica: ca ∂Ψ mc γ4 =− Ψ ∂x4 h ¯ 188
- 189. Explicitamente, temos 1 0 0 0 Ψ1 (t) Ψ1 (t) 0 1 0 0 1 ∂ Ψ2 (t) mc Ψ2 (t) =− 0 0 −1 0 ic ∂t Ψ3 (t) h ¯ Ψ3 (t) 0 0 0 −1 Ψ4 (t) Ψ4 (t) Autoestados da energia tˆm a forma e i Ψ(t) = Ψ(0)e− h Et ¯ Logo, para essas fun¸˜es, co 1 0 0 0 a a 1 0 1 0 0 b ∂ − i Et mc b i − h Et e h =− e ¯ ¯ ic 0 0 −1 0 c ∂t h ¯ c 0 0 0 −1 d d Cancelando as exponenciais reduz-se a a a E b mc b = hc ¯ −c h ¯ c −d d Logo, E = mc2 c = d=0 ou seja, as solu¸˜es s˜o co a a b i − h mc2 t Ψ(t) = e ¯ 0 0 Todas estas podem ser escritas como combina¸˜es lineares de co 1 0 i − h mc2 t Ψ1 (t) = e ¯ 0 0 e 0 1 i − h mc2 t Ψ2 (t) = e ¯ 0 0 189
- 190. 33.4.6 Solu¸˜es de energia negativa co Surpreendentemente, por´m, a equa¸˜o e ca a a E b mc b = hc ¯ −c h ¯ c −d d admite a classe de solu¸˜es co E = mc2 a = 0 b = 0 como se verifica facilmente. Logo, temos ainda como solu¸˜es as combina¸˜es co co lineares 0 0 i 2 Ψ3 (t) = e h mc t ¯ 1 0 e 0 0 i 2 Ψ4 (t) = e h mc t ¯ 0 1 Note que se trata de solu¸˜es correspondentes a part´ co ıculas livres e em re- pouso. Al´m das solu¸˜es esperadas, com energia E = mc2 , encontramos e co outras, totalmente inesperadas, com energia de repouso dada por E = −mc2 ! 33.4.7 Intera¸˜o com o campo eletromagn´tico ca e Usando, na equa¸˜o de Dirac ca ∂Ψ mc γµ + Ψ=0 ∂xµ h ¯ o acoplamento m´ ınimo, e pµ → pµ − Aµ c (veja <http://fma.if.usp.br/~fleming/eletromag/index.html>). 190
- 191. Como ∂ pµ = −i¯ h ∂xµ Aµ ≡ (Ax , Ay , Az , iφ) obt´m-se: e ∂ ie mc − Aµ γµ Ψ + Ψ=0 ∂xµ hc ¯ h ¯ 33.5 A anti-mat´ria e A proposta de Dirac para resolver o problema dos estados de energia negativa ´: todos os estados de energia negativa est˜o preenchidos, e esta situa¸˜o ´ e a ca e o que chamamos v´cuo. Isto faz sentido porque os el´trons s˜o f´rmions, a e a e e, como se sabe, “s´ cabe um f´rmion em cada estado”. Vivemos no meio o e dos estados de energia negativa mas n˜o os vemos. No entanto, quando um a desses el´trons de energia negativa recebe energia suficiente para pular para e um estado de energia positiva (esta energia ´, no m´ e ınimo, 2mc2 ), deixa, no “mar de estados de energia negativa” um buraco, e este ´ observado (como e uma part´ ıcula de energia positiva e carga positiva, isto ´, oposta ` do el´tron). e a e Logo, quando um el´tron de energia negativa pula para um estado de energia e positiva, aparecem duas coisas: o pr´prio el´tron, agora “vis´ o e ıvel”, e o buraco: chama-se isso de produ¸˜o de um par el´tron-p´sitron. O buraco deixado pelo ca e o el´tron ´ um p´sitron, o primeiro exemplo de anti-mat´ria. e e o e 33.5.1 As solu¸˜es de onda plana co Estas solu¸˜es, que s˜o estados de momento e energia definidos e arbitr´rios, co a a podem ser obtidas das de repouso por transforma¸˜es de Lorentz. Vamos co ´ nos limitar a apresentar uma tabela delas. E um exerc´ simples verificar ıcio que as express˜es a seguir efetivamente satisfazem as equa¸˜es de Dirac. o co Energia positiva: mc2 (1,2) i Ψ= u (p)e h (p.x−Et) ¯ EV 1 E + mc2 0 (1) u (p) = p3 c 2mc2 E+mc2 (p1 +ip2 )c E+mc2 191
- 192. 0 E + mc2 1 u(2) (p) = (p1 −ip2 )c 2mc2 E+mc2 −p3 c E+mc2 Energia negativa: mc2 (3,4) i Ψ= u (p)e h (p.x+|E|t) ¯ |E|V −p3 c |e|+mc2 −(p1 +ip2 )c |E| + mc2 u(3) (p) = |E|+mc2 2mc2 1 0 −(p1 −ip2 )c |E|+mc2 |E| + mc2 p3 c u(4) (p) = |E|+mc2 2mc2 0 1 33.5.2 A fun¸˜o de onda do buraco ca Dada a equa¸˜o ca ∂ ie mc − Aµ γµ Ψ + Ψ=0 (868) ∂xµ hc ¯ h ¯ queremos mostrar que, para cada Ψ que a resolve, existe uma Ψc que ´ solu¸˜o e ca de: ∂ ie mc c + Aµ γµ Ψc + Ψ =0 ∂xµ hc ¯ h ¯ com a propriedade Ψ c = Sc Ψ ∗ onde Sc ´ anti-unit´rio35 . Vamos determinar Sc . Tomando o complexo- e a conjugado da equa¸˜o de Dirac, temos ca ∂ ie ∂ ie mc ∗ + Ak γk Ψ∗ + − ∗ − A4 γ4 Ψ∗ + ∗ Ψ =0 ∂xk hc ¯ ∂x4 hc ¯ h ¯ Aplicando Sc ` esquerda, termo a termo, tomando o complexo conjugado e a aplicando, ` esquerda, (Sc )−1 , obtemos a ∗ ∂ ie ∂ ie mc − Ak (Sc )−1 γk Sc Ψ + − ∗ ∗ ∗ + A4 (Sc )−1 γ4 Sc Ψ + ∗ ∗ ∗ Ψ=0 ∂xk hc ¯ ∂x4 hc ¯ h ¯ 35 Sc Sc = Sc Sc = 1, mas Sc (λΨ) = λ∗ Sc Ψ † † 192
- 193. Para que estaequa¸˜o reproduza Eq.(868), devemos ter ca (Sc )−1 γk Sc = γk ∗ ∗ ∗ (Sc )−1 γ4 Sc = −γ4 ∗ ∗ ∗ A solu¸˜o ´ ca e Sc = γ 2 com Sc = Sc = (Sc )−1 . Logo, ∗ ∗ Ψc = γ 2 Ψ∗ Exemplo: mc2 1 i Ψ= u (p)e h (p.x−Et) ¯ EV mc2 4 i Ψc = γ 2 Ψ∗ = − u (−p)e h (−p.x+|E|t) ¯ EV e (Ψc )c = Ψ Assim, dada uma solu¸˜o Ψ de energia negativa E, Ψc ´ uma solu¸˜o de ca e ca energia (−E), positiva, de momento −p, carga −e e spin no sentido oposto. Trata-se do buraco, que ´ um p´sitron. e o 34 Apˆndice Matem´tico 1 e a 34.1 Operadores e suas representa¸˜es matriciais co ˆ Seja O um operador linear num espa¸o vetorial E sobre os n´ meros com- c u plexos. Seja {ei }, com i = 1, . . . , n, uma base desse espa¸o, que, portanto, c ˆ tem dimens˜o n. Aplicando-se O a um elemento da base, por exemplo, ei , a tem-se um novo vetor do espa¸o, que pode ser expandido na base dada. Esta c expans˜o ´ escrita a e n ˆ Oei = Ojiej (869) j=1 ˆ onde os Oji s˜o n´ meros complexos, denominados elementos de matriz de O a u na base {ei }. Seja v um vetor qualquer de E, tal que n v= vi ei . (870) i=1 193
- 194. Temos n n ˆ ˆ Ov = O vi ei = ˆ vi Oei (871) i=1 i=1 e, usando (869), n n ˆ Ov = vi Ojiej (872) i=1 j=1 A equa¸˜o (872) mostra que, de posse dos elementos de matriz de O, ´ ca ˆ e poss´ ıvel determinar a a¸˜o deste operador sobre qualquer vetor. Ou seja, ca escolhida uma base, o operador pode ser substitu´ pelo conjunto de seus ıdo elementos de matriz. Convenciona-se escrever o conjunto desses elementos de matriz da seguinte forma: O11 O12 ... O1n O21 O22 ... O2n O= (873) .... .... ... .... On1 On2 ... Onn ˆ Uma segunda maneira de ler a eq.(872) ´ : as componentes do vetor Ov em e rela¸˜o ` base dada s˜o os n´ meros complexos ca a a u n ˆ Ov = Ojivi (874) j i=1 Se representarmos os vetores por matrizes coluna cujos elementos s˜o as suas a componentes, v1 v v⇔ 2 (875) ... vn podemos representar a a¸˜o de um operador sobre um vetor assim: ca O11 O12 ... O1n v1 ˆ O21 O22 ... O2n v2 Ov ⇔ (876) .... .... ... .... ... On1 On2 ... Onn vn onde, para calcular o segundo membro, usam-se as regras de produtos de matrizes usuais. O leitor, como exerc´ ıcio, poder´ mostrar que a a representa¸˜o matricial ca do operador O ˆ 1 O2 , produto dos operadores O1 e ˆ ˆ ˆ 2 , ´ dada pelo produto, O e 194
- 195. ˆ ˆ no sentido de matrizes, das matrizes que representam O1 e O2 , nesta or- dem. Recordemos que o produto das matrizes A, de elementos Aij e B, de elementos Bij , ´ a matriz de elementos e n (AB)ij = Aik Bkj (877) k=1 regra que pode ser obtida facilmente da equa¸˜o (869). ca Seja {fi } uma segunda base. Podemos escrever n ˆ Ofi = (Of )ji fj (878) j=1 ˆ enquanto que, em rela¸˜o ` primeira (para o mesmo O) ca a n ˆ Oei = (Oe )ji ej (879) j=1 ˆ onde indicamos com Of e Oe as matrizes que representam O nas bases {fi } e {ei } respectivamente. As matrizes Of e Oe representam o mesmo operador em bases distintas. Matrizes com esta propriedades s˜o ditas equivalentes. a O que caracteriza matrizes equivalentes? 34.1.1 Transforma¸˜es entre bases co Um elemento qualquer da base (f) pode ser expandido na base (e): fi = fmi em (880) m e analogamente, es = grs fr (881) r Logo, segue que es = grs fr = grs fmr em (882) r r m ou es = fmr grs em (883) m r de onde segue, imediatamente, que fmr grs = δms (884) r 195
- 196. Invertendo os papeisdas bases (e) e (f), obt´m-se, da mesma maneira, e grm fmi = δri (885) m Seja F a matriz cujos elementos s˜o fmi , e G aquela cujos elementos s˜o grm . a a Ent˜o as equa¸˜es (884) e (885) s˜o escritas, respectivamente, a co a FG = 1 (886) e GF = 1 (887) Quando, entre duas matrizes, existe este par de rela¸˜es, uma ´ o inverso da co e outra. Ou seja, G = F −1 (888) ou, equivalentemente, F = G−1 (889) A condi¸˜o necess´ria e suficiente para que uma matriz tenha inverso ´ que ca a e seu determinante seja diferente de zero. 34.1.2 Matrizes equivalentes ˆ Sejam Of e Oe duas representa¸˜es matriciais do operador O, ou seja, duas co matrizes equivalentes. Temos ˆ O fi = (Of )ji fj = (Of )ji flj el (890) j j rl Por outro lado, ˆ ˆ Ofi = O fmi em = ˆ fmi Oem = fmi (Oe )lm el (891) m m m l Igualando (890) e (891), temos flj (Of )ji = (Oe )lm fmi (892) j m ou, na linguagem das matrizes, F Of = Oe F (893) ou, na forma mais comum, Oe = F Of F −1 (894) 196
- 197. Em palavras, duasmatrizes A e B s˜o equivalentes se existir uma matriz a n˜o-singular (isto ´, que tem inversa) F tal que a e A = F BF −1 (895) Uma rela¸˜o desse tipo entre matrizes A e B ´ dita tamb´m uma trans- ca e e forma¸˜o de eq¨ ivalˆncia, ou de semelhan¸a. A riqueza de sinˆnimos revela ca u e c o a idade do problema! Exerc´ıcios: ˆ 1. Mostre que, se o operador O possui inverso e se a representa¸˜o matricial dele em uma ca e a ca ˆ determinada base ´ a matriz A, ent˜o a representa¸˜o matricial de O−1 nesta mesma base −1 ´ a matriz A . e 2. Mostre que duas matrizes equivalentes tˆm o mesmo tra¸o e o mesmo determinante. e c Por isso essas duas quantidades s˜o ditas invariantes de uma matriz. a 34.1.3 Autovalores de uma matriz ˆ Sejam O um operador linear e v = 0 um vetor tais que ˆ Ov = λv (896) e u e ˆ onde λ ´ um n´ mero complexo. Diz-se que v ´ um autovetor de O, e que λ e ˆ ´ um autovalor de O. A equa¸˜o acima pode ser escrita assim: ca ˆ O − λˆ v = 0 1 (897) ˆ ˆ Suponhamos que o operador O − λˆ tenha inverso, denotado por U = 1 −1 ˆ ˆ a O − λˆ . Ent˜o, aplicando-se U ` esquerda de (897), temos 1 a ˆ ˆ U O − λˆ v = v = 0 1 (898) o que ´ absurdo, pois v, como autovetor, deve ser n˜o-nulo. Conclui-se que e a ˆ o operador O − λˆ ´ singular, ou seja, n˜o tem inverso. Em conseq¨ˆncia, 1 e a ue suas representa¸˜es matriciais tamb´m n˜o ter˜o inverso. co e a a A vers˜o matricial da eq.(897) ´ a e (Oij − λδij ) vj = 0 (899) j onde Oij ´ o elemento ij da matriz O, que representa o operador O em e ˆ alguma base, e δij ´ o elemento ij da matriz que representa o operador ˆ e 1. 197
- 198. Em conseq¨ˆncia daconclus˜o acima, o primeiro membro da eq.(899) deve ue a ser uma matriz singular (sem inverso). Logo, devemos ter det (Oij − λδij ) = 0 (900) que ´ uma maneira simplificada de dizer que o determinante da matriz cujo e elemento gen´rico ´ Oij − λδij ´ zero. e e e Esta equa¸˜o, λ sendo a inc´gnita, ´ uma equa¸˜o alg´brica de ordem ca o e ca e igual ` dimens˜o n do espa¸o, ou, o que ´ o mesmo, igual ` ordem da ma- a a c e a triz. Em prin´ıpio tem n solu¸˜es, mas n˜o necessariamente distintas. Estas co a solu¸˜es s˜o os autovalores do operador, e s˜o tamb´m chamadas de auto- co a a e valores da matriz que representa o operador. A equa¸˜o (900) ´ conhecida ca e como equa¸˜o secular. ca 198
- 199. 34.2 Diagonaliza¸˜o de uma matriz ca Neste cap´tulo, diferentemente do que ocorreu nos anteriores, omitiremos os sinais de ı somat´ria, usando a conven¸ao de que ´ndices repetidos indicam a soma sobre todos os o c˜ ı valores desses ´ndices. ı Seja A uma matriz, de elementos Aij , que s˜o n´ meros complexos. Seja a u λ1 um autovalor da matriz A. Isto quer dizer que existe v tal que36 Av = λ1 v (901) ou A11 v1 + A12 v2 + . . . + A1n vn = λ1 v1 A12 v1 + A22 v2 + . . . + A2n vn = λ1 v2 ......................................... = ............. A1n v1 + A2n v2 + . . . + Ann vn = λ1 vn (902) Mais geralmente, seja vk o autovetor correspondente ao autovalor λk , Avk = λk vk (903) Escrevendo a rela¸˜o acima em componentes, temos ca (Avk )i = λk (v)i (904) ou Aij (vk )j = λk (vk )i (905) Considere a matriz cujos elementos s˜o a ρik = (vk )i (906) Ent˜o a Aij (vk )j = Aij ρjk = λk ρik (907) ou, definindo a matriz diagonal Λ, de elementos Λij = λj δij (908) (Aρ)ik = (ρΛ)ik (909) 36 Por abuso de linguagem estamos representando pelo mesmo s´ ımbolo, v, tanto o vetor quanto a matriz coluna que o representa numa base. 199
- 200. ou, como umaequa¸˜o matricial, ca Aρ = ρΛ (910) ıvel, isto ´, se existir ρ−1 , obtemos, aplicando ρ−1 ` Se a matriz ρ for invers´ e a esquerda, ρ−1 Aρ = Λ (911) A matriz A foi transformada, por uma “transforma¸˜o de semelhan¸a”, numa ca c matriz diagonal. Seja Aˆ o operador linear que, em rela¸˜o a uma determinada ca base, possui a representa¸˜o matricial A. A equa¸˜o (911) mostra que, no ca ca ˆe caso de ρ possuir inversa, existe uma outra base na qual A ´ representado pela matriz diagonal Λ. Que matriz ´ ρ? Sejam e vk1 vk2 vk = (912) ... vkn os autovetores de A, para k = 1 . . . n. Seja a matriz constru´ justapondo-se ıda essas matrizes colunas designada por v. Ent˜o a v11 v21 ... vn1 v12 v22 ... vn2 v= (913) ... ... ... ... v1n v2n ... vnn A matriz ρ ´ a transposta de v, ou seja, e v11 v12 ... v1n v21 v22 ... v2n ρ= (914) ... ... ... ... vn1 vn2 ... vnn Condi¸˜o necess´ria e suficiente para que exista ρ−1 ´ que o determinante ca a e de ρ seja diferente de zero. Ora, uma condi¸˜o suficiente para que o deter- ca minante de uma matriz seja n˜o-nulo ´ que suas linhas sejam linearmente a e independentes. Como as linhas de ρ s˜o os autovetores vk , conclui-se que a uma condi¸˜o suficiente para que exista ρ−1 ´ que os autovetores de A sejam ca e linearmente independentes. Um corol´rio ´ que, se A ´ hermiteana, ela ´ a e e e diagonalizavel, pois o conjunto dos autovetores de uma matriz hermiteana forma uma base, o que significa que os autovetores s˜o linearmente indepen- a dentes. 200
- 201. 34.2.1 Exemplo Diagonalizar a matriz complexa37 0 1 A= . (915) 1 0 A equa¸˜o secular (900) ´, neste caso, ca e 0 1 1 0 −λ 1 det −λ = det =0 (916) 1 0 0 1 1 −λ ou λ2 − 1 = 0 (917) cujas solu¸˜es s˜o co a λ = ±1 (918) Ent˜o a matriz, quando estiver na forma diagonal, ser´ a a 1 0 . (919) 0 −1 Contudo, vamos construir explicitamente a transforma¸˜o de semelhan¸a que ca c leva A ` forma diagonal. Para isso precisamos determinar os autovetores de a A. Seus autovalores j´ foram determinados: s˜o λ1 = +1 e λ2 = −1. Temos a a Seja vi o autovetor associado ao autovalor λi . Ent˜o, a Av1 = λ1 v1 (920) Av2 = λ2 v2 (921) Denotando o vetor vi pela matriz coluna (vi )1 (vi )2 temos, para (920): 0 1 (v1 )1 (v1 )1 = (922) 1 0 (v1 )2 (v1 )2 Realizando o produto de matrizes do primeiro termo, temos 37 Sim, leitor! Trata-se de uma matriz complexa, embora n˜o pare¸a. Lembre-se de que a c 1 ´ um n´ mero complexo, pois pode ser escrito como 1 + i0! e u 201
- 202. (v1 )2 (v1 )1 = (923) (v1 )1 (v1 )2 Como a igualdade de matrizes implica na igualdade, um a um, dos termos de mesmos ´ ındices, temos (v1 )2 = (v1 )1 (924) (v1 )1 = (v1 )2 (925) A solu¸˜o mais geral dessas equa¸˜es ´ a matriz coluna ca co e a v1 = (926) a onde a ´ qualquer n´ mero diferente de zero. Esta ambig¨ idade era esperada, e u u pois, pela linearidade dos operadores em quest˜o, se v ´ um autovetor cor- a e respondendo a um determinado autovalor, qualquer m´ ltiplo n˜o-nulo seu u a tamb´m o ´. Uma maneira de levantar a ambig¨ idade ´ exigir que o vetor e e u e seja normalizado. Isto se faz assim: o produto escalar de v1 consigo mesmo ´ e a (a∗ , a∗ ) = a∗ a + a∗ a = 2|a|2 = 1 (927) a 1 Logo, devemos ter a = √ 2 (a fase, como sempre, ´ escolhida arbitrariamente). e Portanto, 1 1 v1 = √ (928) 2 1 Um c´lculo an´logo leva a a a 1 1 v2 = √ (929) 2 −1 Note-se que 1 1 v1 .v2 = (1, 1) =0 (930) 2 −1 que mostra que os autovetores s˜o ortogonais, e, portanro, linearmente inde- a pendentes. A matriz ρ procurada ´, ent˜o, e a 1 1 1 ρ= √ (931) 2 1 −1 Como detρ = −1, ela possui inversa, que ´ e ρ−1 = ρ (932) 202
- 203. Resta mostrar que 1 0 ρ−1 Aρ = (933) 0 −1 De fato, 1 1 1 0 1 1 1 1 1 2 0 √ √ = = 2 1 −1 1 0 2 1 −1 2 0 −2 1 0 = (934) 0 −1 34.2.2 Exerc´ ıcios 1.Ache a equa¸˜o secular (tamb´m chamada ca e de equa¸˜o caracter´ ca ıstica) e os autovalores da matriz 1 1 1 A= 1 2 2 1 2 3 2. Mostre que a matriz a h B= h b ´ transformada em uma matriz diagonal e −1 C = Tθ B (Tθ ) onde Tθ ´ e cos θ sin θ Tθ = − sin θ cos θ e 2h tan 2θ = a−b (transforma¸˜o de Jacobi). ca 3. Determine os autovalores e autovetores da matriz 2 −2 2 M = 1 1 1 1 3 −1 Resposta: λ1 = 1 , λ2 = −2 , λ3 = 3. 4. No caso l = 1, escreva a representa¸˜o matricial lx do operador ˆx na base em que ca l ˆz ´ diagonal. (S˜o os elementos de matriz que calculamos em aula). Determine a trans- l e a forma¸˜o de semelhan¸a que diagonaliza lx e exiba a matriz diagonalizada. Mostre que ca c esta transforma¸˜o de semelhan¸a “desdiagonaliza” (perd˜o, Luis de Cam˜es!) a matriz ca c a o lz . 203
- 204. 35 Apˆndice matem´tico 2 e a Entre as muitas excelˆncias do grande livro Quantum Mechanics, de L. D. e Landau e E. M. Lifshitz[3], est´ o apˆndice denominado Mathematical Appen- a e dices, onde, de uma forma unificada, s˜o tratadas v´rias das fun¸˜es especiais a a co necess´rias ao longo do texto. Essa unifica¸˜o ´ tornada poss´ pelo uso a ca e ıvel do m´todo de Laplace, uma genial t´cnica de resolu¸˜o de certas equa¸˜es e e ca co diferenciais ordin´rias inventada pelo grande matem´tico francˆs enquanto a a e redigia seu Th´orie analytique des probabilit´s. e e O m´todo faz uso intenso da integra¸˜o no plano complexo, o que abre e ca caminho para a utiliza¸˜o do m´todo do ponto sela, para o estudo do compor- ca e co ´ tamento assint´tico das solu¸˜es. E esta combina¸˜o de t´cnicas que faz com o ca e que os m´todos apresentados no apˆndice citado se destaquem pela elegˆncia e e a e concis˜o, para n˜o mencionar a potˆncia. a a e O tratamento dado por Landau ´ talvez excessivamente breve, o que e torna o material do apˆndice acess´ e ıvel para poucos. Este artigo pretende, estendendo-se mais longamente sobre o tema, torn´-lo acess´ a um n´ mero a ıvel u maior de estudantes. Minha principal fonte foi o grande tratado de Edouard Goursat[4], Cours d’Analyse Math´matique. Uma exposi¸˜o mais detalhada e ambiciosa, es- e ca crita com a gra¸a de sempre, encontra-se em Hille[5], abundante em notas c hist´ricas e aplica¸˜es elegantes. Para o m´todo do ponto sela minha re- o co e ferˆncia preferida ´ Courant, Hilbert[6]. Para saber mais sobre Laplace e seu e e tratado de probabilidades veja o not´vel Dictionary of Scientific Biography[7] a ou, mais especificamente, a biografia de Laplace por Gillispie[8], um dos ed- itores do dicion´rio citado. a 35.1 A equa¸˜o de Laplace ca Laplace, ap´s ter inventado a transforma¸˜o que leva o seu nome38 , generalizou- o ca a de v´rias formas. A que nos interessa aqui, uma generaliza¸˜o para o plano a ca complexo, serve para resolver certas equa¸˜es diferenciais ordin´rias muito co a comuns nas aplica¸˜es. S˜o equa¸˜es da forma co a co dy dn y (a0 + b0 x)y + (a1 + b1 x) + . . . + (an + bn x) n = 0 (935) dx dx que vamos tamb´m, de forma abreviada, denotar por e F (y) = 0 38 A famosa transformada de Laplace! 204
- 205. Vamos procurar solu¸˜esda forma co y= Zezx dz (936) C onde Z ´ uma fun¸˜o de z a determinar, e o contorno C, independente de x, e ca tamb´m deve ser determinado. Como veremos, a determina¸ao do contorno e c˜ ´ parte essencial na constru¸˜o da solu¸˜o, e aqui est´ talvez a principal e ca ca a inova¸˜o dessa “transformada de Laplace” complexa. Note-se que ca dk y = Zz k ezx dz dxk C Como n dk y F (y) = (ak + bk x) k k=0 dx temos, n F (y) = Z (ak + bk x)z k ezx dz C k=0 ou n F (y) = Z ak z k + bk z k x ezx dz C k=0 ou F (y) = Z(Qx + P )ezx dz (937) C com n Q= bk z k k=0 e n P = ak z k k=0 Podemos ent˜o escrever F (y) como uma soma de duas integrais: a F (y) = P Zezx dz + ZQxezx dz (938) C C A segunda dessas integrais pode ser escrita assim: d z d d ZQxezx dz = ZQ e xdz = (ZQezx ) dz − (ZQ) dz ezx C C dz C dzC dz (939) Podemos agora escolher o contorno C de tal sorte que a primeira integral do segundo membro se anule. De fato, trata-se da integral de uma derivada; logo, o valor da integral ’e a diferen¸a dos valores do integrando nos dois c 205
- 206. extremos. Escolhemos ocontorno, ent˜o, ou como um contorno fechado, ou a como um contorno aberto em cujos dois extremos a fun¸˜o ca V (z) = ZQezx (940) tenha o mesmo valor (No caso do contorno fechado isto acontece automati- camente). Com essa escolha de contorno, d ZQxexz dz = − exz (ZQ) dz C C dz Obtemos assim para a fun¸˜o F (y) a express˜o: ca a d F (y) = dz P Z − (ZQ) exz (941) C dz Queremos determinar Z de tal forma que F (y) = 0. Para tanto, o integrando da Eq.(941) deve se anular. Assim, d P d PZ = (ZQ) ou ZQ = (ZQ) (942) dz Q dz o que nos leva ` equa¸˜o diferencial a ca 1 d P (ZQ) = (943) ZQ dz Q Equivalentemente, P d log(ZQ) = dz Q P e log(ZQ) = Q dz, ou ainda, P dz ZQ = e Q e, finalmente, 1 Q dz P Z= e (944) Q A solu¸˜o procurada ´ ent˜o ca e a 1 P dz y(x) = e Q ezx dz (945) C Q ou, para maior clareza, 1 z P (t) dt y(x) = e a Q(t) exz dz (946) C Q onde a ´, por exemplo, um dos zeros de P (t). e 206
- 207. 35.2 O Oscilador Harmˆnico o Considere a equa¸˜o ca d2 y dy 2 − 2x + 2ny = 0 (947) dx dx que aparece na solu¸˜o do problema de determinar os estados estacion´rios ca a do oscilador harmˆnico. Aqui n ´ um n´ mero qualquer, n˜o necessariamente o e u a um inteiro, apesar da nota¸˜o. Colocando-a na forma ca dy d2 y (a0 + b0 x)y + (a1 + b1 x) + (a2 + b2 x) 2 = 0 dx dx vemos que b0 = 0 a0 = 2n b1 = −2 a1 = 0 b2 = 0 a2 = 1 Temos, ent˜o, a P (z) = 2n + z 2 Q(z) = −2z e 1 −1 z 2 +2n dz Z(z) = e 2 z −2z e, como z 2 + 2n z2 dz = + 2n log z , z 2 z2 P dz 2 − 1 ( z2 +2n log z) e− 4 e Q =e 2 = n z Logo, z2 z2 1 e− 4 1 e− 4 Z(z) = − = − n+1 (948) 2z z n 2z e z2 e− 4 xz y(x) = − e dz (949) C 2z n+1 Como estamos calculando uma fun¸˜o de onda, constantes multiplicativas ca n˜o tˆm importˆncia. Por isso, simplificamos para a e a dz xz− z2 y(x) = e 4 (950) z n+1 207
- 208. Passemos agora `determina¸˜o do caminho de integra¸˜o. Como vimos, ele a ca ca zx deve ser tal que a fun¸˜o ZQe tenha o mesmo valor nos dois extremos. ca Essa fun¸˜o ´, neste caso, ca e z2 ezx− 4 ZQezx = (951) zn Por argumentos f´ısicos os casos de interesse s˜o restritos a n > − 1 (Veja a 2 nota39 ). Para esses valores os contornos C1 e C2 das figuras abaixo s˜o a adequados. 2 2 2 Seja z = X +iY . O termo dominante no integrando ´ e−z = e−(X −Y ) ei2XY . e −X 2 Para Y pequeno em m´dulo, e o garante que a fun¸˜o V se anula nas ca extremidades de ambos os contornos. Se n for um racional n˜o inteiro, a origem z = 0 ser´ um ponto de a a ramifica¸˜o, e haver´ cortes ao longo do eixo real. Se o corte for tomado ca a ao longo do semi-eixo real negativo, o primeiro contorno n˜o ´ permitido (a a e curva atravessa o corte). O segundo ´ aceit´vel. A integra¸˜o ´ complicada, e a ca e e n˜o garante que y(x) seja um polinˆmio, como ´ requerido. Quando n for a o e inteiro, a situa¸˜o ´ muito mais simples. Fa¸amos, neste caso, a mudan¸a de ca e c c vari´vel a z = 2(x − u) onde introduzimos a nova vari´vel complexa u. Uma substitui¸˜o simples a ca mostra que 2 ex du 2 y(x) = − e−u (952) 2 C ′ (x − u)n+i onde o novo contorno C ′ ´ descrito na figura abaixo. e 39 Isto quer dizer que as energia s consideradas s˜o positivas, como ´ o caso para um a e oscilador harmˆnico de energia potencial 1 kx2 o 2 208
- 209. x Que o contorno deve ser este, segue dos seguintes fatos:a transforma¸˜o ca ´ linear; uma transforma¸˜o linear transforma retas em retas e c´ e ca ırculos em 40 c´ ırculos ; a particular transforma¸˜o acima inverte o sentido de percurso ca no contorno e leva pequenos valores da parte imagin´ria de z em pequenos a valores da parte imagin´ria de u; o ponto z = 0 corresponde ao ponto u = x a no novo contorno. Para n inteiro e x = u o integrando n˜o tem singularidades. Por isso, o a contorno pode ser deformado para x A integral ´, ent˜o, e a 2 2 du y(x) = ex e−u (953) (u − x)n+1 Ora, 2 n! e−u du dn 2 n+i = n e−x 2πi (u − x) dx onde usamos a f´rmula de Cauchy. Portanto, o n x2 2πi d 2 y(x) = e n e−x ≡ yn (x) (954) n! dx Mas, uma maneira de definir os polinˆmios de Hermite ´: o e n 2 d 2 Hn (x) = (−1)n ex n e−x dx Logo, yn (x) = KHn (x) (955) onde K ´ uma constante arbitr´ria, a ser determinada posteriormente pela e a normaliza¸˜o da fun¸˜o de onda. ca ca 40 Bem, transforma c´ırculos em elipses, mas, no caso, a transforma¸˜o ´ isotr´pica, e ca e o transforma c´ ırculos em c´ ırculos. . . 209
- 210. 35.3 O Campo Uniforme Nada supera em importˆncia, na gˆnese da mecˆnica Newtoniana, o prob- a e a lema da queda livre, seja da ma¸˜, seja da Lua, em seu movimento em redor ca da Terra. No entanto raramente se vˆ, num curso de mecˆnica quˆntica, esses e a a problemas tratados, nem mesmo no caso simplificado de um campo gravita- cional constante. Nesta sec¸˜o vamos resolver o problema do movimento de ca um ponto material sob a a¸˜o de um campo uniforme: a queda da ma¸˜, se ca ca a altura da queda n˜o for muito grande. O m´todo de Laplace para resolver a e a equa¸˜o diferencial obtida ser´ essencial. ca a Uma part´ıcula de massa m (a “ma¸˜”)se move sob a a¸˜o de um campo ca ca uniforme ao longo do eixo x, o que lhe d´ uma energia potencial a U(x) = −F x . Logo, age sobre ela uma for¸a na dire¸˜o x, de m´dulo F . O movimento da c ca o part´ ıcula ´ tamb´m restrito (por escolha das condi¸˜es iniciais) ao eixo x. e e co A equa¸˜o de Schr¨dinger para os estados estacion´rios desse sistema ´: ca o a e h2 d2 ψ ¯ − − F xψ = Eψ (956) 2m dx2 ou d2 ψ 2m + 2 (F x + E) ψ = 0 (957) dx2 h ¯ ´ E conveniente introduzir a vari´vel adimensional a 1 E 2mF 3 ξ = x+ (958) F h2 ¯ Temos ent˜o a 2 d2 ψ 2mF 3 d2 ψ = dx 2 h2 ¯ dξ 2 e, ap´s algumas substitui¸˜es simples, o co d2 ψ + ξψ = 0 , (959) dξ 2 como nova equa¸˜o de Schr¨dinger . ca o Trata-se de uma equa¸˜o de Laplace. Na nota¸˜o convencional, temos ca ca dy d2 y (a0 + b0 ξ)y(ξ) + (a1 + b1 ξ) + (a2 + b2 ξ) 2 = 0 (960) dξ dξ 210
- 211. ` qual om´todo que vimos acima pode ser aplicado. Contudo, para aproveitar a e os estudos pr´vios sobre uma fun¸˜o que ir´ aparecer no problema (a fun¸˜o e ca a ca de Airy), vamos estudar n˜o a equa¸˜o acima, mas uma estreitamente ligada a ca a ela, d2 y − ξy(ξ) = 0 (961) dξ 2 que ´ muito conhecida na f´ e ısica-matem´tica. Se Φ(ξ) for solu¸˜o desta a ca equa¸˜o, Φ(−ξ) ser´ solu¸˜o da Eq.(959). A Eq.(961) ´ escrita, ` maneira ca a ca e a de Laplace, assim: dy d2 y (a0 + b0 ξ)y(ξ) + (a1 + b1 ξ) + (a2 + b2 ξ) 2 = 0 (962) dξ dξ com a0 = 0, b0 = −1, a1 = b1 = 0, b2 = 0, a2 = 1. Segue que P (z) = z 2 Q(z) = −1 P e, como Q = −z 2 , P z3 exp dz = exp − (963) Q 3 e ent˜o a z3 y(ξ) = exp ξz − dz (964) C 3 Como vimos, o contorno de integra¸˜o deve ser escolhido de maneira que a ca fun¸˜o ca z3 V (z) = ZQ = exp (ξz − ) (965) 3 tenha valores idˆnticos nos dois extremos. Neste caso tomaremos um con- e torno que vai ao infinito, sendo os valores de V (z) nos dois extremos iguais a zero. Seja z = u + iv. Ent˜o a z3 1 exp − = exp − (u + iv)3 3 3 1 = exp − {u3 + 3u2 (iv) + 3u(iv)2 + (iv)3 } 3 1 i = exp − u(u2 − 3v 2 exp − (3u2 v + v 3 ) 3 3 211
- 212. O contorno deveser tal que a exponencial leve o integrando a zero nos dois extremos. Para isso, devemos ter: u > 0 e 2 2 u − 3v > 0 ou u < 0 e 2 2 u − 3v < 0 Consideremos primeiro o caso u > 0. Devemos ent˜o ter a √ √ (u − 3v)(u + 3v) > 0 Esta ´ uma regi˜o do plano (u, v) delimitada pelas retas e a 1 v=√ u 3 e 1 v = −√ u 3 Na figura abaixo est˜o representadas essas duas retas. Sobre elas temos a 2 2 u − 3v = 0. Uma pequena reflex˜o com ajuda da figura convencer´ o leitor a a 2 2 de que a regi˜o entre as retas ´ aquela em que u − 3v > 0. A regi˜o I ´ a e a e aquela em que temos u2 − 3v 2 > 0 e u > 0. A regi˜o sim´trica ` tracejada a e a em rela¸˜o ao eixo v, isto ´, a regi˜o II, ´ aquela em que temos u2 − 3v 2 > 0 ca e a e e u < 0. Logo, a regi˜o em que u2 − 3v 2 < 0 e u < 0 ´ a complementar a e dessa regi˜o II no semiplano que cont´m o eixo real negativo, e ´ constitu´ a e e ıda pelas regi˜es III e IV. Essas regi˜es estendem-se ao infinito, embora isto o o n˜o seja (nem possa ser!) representado na figura. Em princ´ a ıpio o contorno de integra¸˜o pode come¸ar em qualquer das regi˜es tracejadas, e terminar ca c o em qualquer outra tracejada. 212
- 213. z III C2 II I IV C1 C Fig.1 Regi˜es permitidas o Na figura est˜o indicados, em cinza, trˆs contornos poss´ a e ıveis: C, C1 e C2 . Desses, C2 ´ problem´tico, pois se estende na regi˜o em que a vari´vel z e a a a atinge valores reais e positivos. Ent˜o o termo a exz que aparece na express˜o de y(ξ), pode, para x grande e positivo, complicar a a convergˆncia da integral. Por isso tomamos os contornos que come¸am na e c regi˜o IV e terminam na III. Em particular, o caminho C pode ser ao longo a do eixo imagin´rio. Ent˜o, tomando z = iv, a a ∞ (iv)3 ∞ v3 y(ξ) = exp ixv − idv = i dv exp ixv + i (966) −∞ 3 −∞ 3 ou 0 v3 ∞ v3 y(ξ) = i dv exp ixv + i +i dv exp ixv + i (967) −∞ 3 0 3 ou ainda 0 v3 ∞ v3 y(ξ) = −i dv exp −ixv − i +i dv exp ixv + i ∞ 3 0 3 e, finalmente, ∞ v3 y(ξ) = i dv cos xv + (968) 0 3 213
- 214. A fun¸˜o deAiry, bem conhecida na literatura matem´tica, ´ definida por ca a e 1 ∞ v3 Φ(x) = √ dv cos + xv . (969) π 0 3 Logo, ψ(ξ) = KΦ(−ξ) (970) 35.3.1 Comportamento Assint´tico o As fun¸˜es descritas pelas Eqs.(969) e (970) est˜o expressas como uma rep- co a resenta¸˜o integral, e, sendo assim, n˜o se pode ter uma id´ia imediata de ca a e seu comportamento. Nos casos em que x → ∞ e x → −∞ obtˆm-se com-e portamentos assint´ticos mais reveladores. Vamos a eles. o Para x positivo e muito grande na fun¸˜o de Airy (correspondendo a x ca negativo e de m´dulo muito grande para a fun¸˜o de onda) temos de achar o ca um contorno de integra¸˜o que permita utilizar o m´todo do ponto sela. ca e (Veja o Apˆndice dedicado a este m´todo). e e ´ E conveniente voltar ` express˜o exponencial a a t3 y(x) = exp x(t − ) dt (971) C 3x 3 2 Pondo f (t) = t − 3x temos df = 1 − tx e a condi¸˜o df = 0 implica em t ca dt √ dt t = ± x, que s˜o os poss´ √a ıveis pontos sela. Na regi˜o permitida, temos s´ a o o valor t = − x. A seguir faremos a escolha de um caminho de integra¸˜o ca que passe pelo ponto sela e seja de m´ximo aclive. Na realidade, ´ suficiente a e que o caminho seja de m´ximo aclive nas vizinhan¸as do ponto sela. Vamos a c √ ent˜o expandir f (t) em s´rie de Taylor em torno de t = − x. Temos, a e √ √ √ df (t + x)2 d2 f f (t) = f (− x) + (t + x) + + ... dt 2 dt2 √ as derivadas sendo calculadas no ponto t = − x. Facilmente se obt´m que e √ 2√ f (− x) = − x 3 e que d2 f 2 √ = √ dt2 t=− x x Naturalmente a derivada primeira ´ zero nesse ponto, pois ele ´ ponto sela. e e Ent˜o, a 2√ √ 1 f (t) = − x + (t + x)2 √ (972) 3 x 214
- 215. Para separar aspartes real e imagin´ria de f (t) escrevo a t = u + iv o que d´ a 2√ 1 √ √ f (t) = − x + + √ u2 − v 2 + x + 2 xu + i(2uv + 2 xv) 3 x √ Ent˜o, nas vizinhan¸as de t = − x, temos: a c 2√ 1 √ i √ f (t) = − x + √ u2 − v 2 + 2 xu + √ 2uv + 2 xv 3 x x 2√ 1 √ 2i √ f (t) = − x + √ (u2 − v 2 + 2 xu) + √ v(u + x) (973) 3 x x √ Considere a reta u = − x. Ao longo dela, Im f (t) = 0. Logo, ´ uma curva e de m´ximo aclive. a 1√ 1 √ √ v2 Re f (t) = x+ √ x + 2 x(− x) − (974) 3 x 2 ou, simplificando, √ x v2 Re f (t) = −√ (975) 3 x Ent˜o a linha de maior aclive ´ a paralela ao eixo imagin´rio passando por √a √ e a − x. Pondo t = − x + iv, temos ∞ √ √ 3 x+iv) − 1 (− x+iv) y(x) = ex(− e 3 idv (976) −∞ 2 3 ∞ √ 2 i 3 y(x) = ie− 3 x 2 dve− xv − 3 v (977) −∞ e podemos omitir a exponencial imagin´ria do integrando, pois a parte gaus- a siana, para grandes valores de x, restringe de tal forma o trecho do contorno i 3 que conta para a integral, que e 3 v pode ser substitu´ por seu valor em ıda x = 0. Ent˜o, a 2 3 ∞ √ 2 2 3 π √ 1 2 3 y(x) = ie− 3 x 2 dve− xv = ie− 3 x 2 √ = πx− 4 e− 3 x 2 (978) −∞ x Levando em conta a defini¸˜o da fun¸˜o de Airy, temos o comportamento ca ca assint´tico o 1 1 2 3 Φ(x) = x− 4 e− 3 x 2 (979) 2 215
- 216. Como a fun¸˜ode onda do sistema sob a a¸˜o do campo uniforme ´ ca ca e ψξ = Φ(−ξ) o comportamento assint´tico que obtivemos ´ o esperado, uma vez que, para o e ξ negativo e de grande m´dulo, estamos na regi˜o classicamente inacess´ o a ıvel, e a exponencial negativa ´ bem-vinda. e Consideremos agora o comportamento assint´tico para grandes valores de o ξ, o que corresponde, na fun¸˜o de Airy, a x negativo e de frande m´dulo. ca o Neste caso df = 0 d´ dt a t2 1− =0 x 2 ou seja, t = x, com x negativo. Ent˜o, a t = ±i |x| (980) Aqui os dois pontos sela devem ser considerados, j´ que est˜o, ambos, em a a regi˜es onde a integral converge. Vamos, primeiro, ao ponto t = i |x|. o 1 3 Expandindo a fun¸˜o f (t) = t − 3 tx em torno do ponto sela, temos: ca (t − i |x|)2 2i |x| f (t) = f (i |x|) + − (981) 2 x onde omitimos o termo contendo a derivada primeira, j´ que ela se anula no a ponto sela. Ap´s um c´lculo simples, obt´m-se: o a e 2 1 2 2i f (t) = i |x| + t − 2it |x| − |x| − |x| (982) 3 2 x Usando t = u + iv, |x| 2 |x| f (t) = 2uv − 2u |x| + i |x| − u2 − v 2 + 2v |x| + x x 3 x (983) Segue que |x| Re f (t) = 2u v − |x| (984) x e 2 |x| Im f (t) = |x| − u2 − v 2 + 2v |x| + x (985) 3 x 216
- 217. ou 1 |x| Im f (t) = − |x| − u2 − v 2 + 2v (986) 3 x Ao longo da reta v = u+ |x| temos Im f (t) = const., logo, este ´ o primeiro e trecho do caminho, aquele que passa pelo ponto sela t = i |x|. Considera¸˜es inteiramente an´logas levam ` conclus˜o que o segundo co a a a trecho do contorno ´ a reta v = −u+ |x|, ou, mais precisamente, o segmento e que come¸a no eixo real, em |x| e vai a v = −∞. Assim, o contorno de c integra¸˜o adequado para o comportamento assint´tico para x negativo e de ca o grande m´dulo ´ o que est´ representado na figura abaixo. o e a i |x| −i |x| Contorno para o c´lculo do comportamento a assint´tico para x negativo, de grande o m´dulo. o A contribui¸˜o do trecho superior do contorno ` integral ´: ca a e √ √ √ t3 |x| 2 x t− 3x 2 −∞ −i π x −2 x u 2 e dt = √ due 4 e e−ix 3 |x| (987) C1 2 |x| √ 2 −i 2 x√|x|−i π −∞ √ 2 = e 3 4 √ due−2 |x|u (988) 2 |x| √ |x| −i 2 x |x|+ π 3 4 π = − e (989) 2 |x| √ √ π 2π −i 2 x |x|+ 4 3 = − 1 e (990) 2|x| 4 217
- 218. Alguma ´lgebra elementarleva este resultado ` forma: a a √ 3 i 2π i 2 ξ 2 + π 3 4 1 e (991) 2|ξ| 4 onde pusemos x = −ξ. A contribui¸˜o do outro trecho ´ perfeitamente ca e an´loga, dando como resultado a √ 3 i 2π −i 2 ξ 2 + π − 1 e 3 4 (992) 2|ξ| 4 Somando as duas, temos A 2 3 π Ψ(ξ) = 1 sin ξ2 + (993) ξ 4 3 4 Vamos nos deter agora um pouco na interpreta¸˜o f´ ca ısica do resultado, com- parando a solu¸˜o com a solu¸˜o cl´ssica para o mesmo problema. E pre- ca ca a ´ ciso ressaltar que o que calculamos foram as fun¸˜es de onda dos estados co estacion´rios de um corpo sob a a¸˜o de uma for¸a constante (queda livre, a ca c por exemplo). Classicamente nunca, ou raramente, estudamos estados esta- cion´rios, o que torna a compara¸˜o entre os resultados mais dificil. Para a ca realizar estados estacion´rios em queda livre na mecˆnica cl´ssica, temos que a a a recorrer a um conjunto de muitas part´ ıculas. Um bom modelo de queda livre em estado estacion´rio na mecˆnica cl´ssica ´ uma cachoeira sem tur- a a a e bulˆncia, um len¸ol homogˆneo de ´gua em queda livre. Cada gota de ´gua e c e a a estar´ em movimento, mas o conjunto de todas as gotas forma uma figura a que, no conjunto, parece im´vel. Vamos mostrar que a solu¸˜o quˆntica que o ca a obtivemos possui algo em comum com a solu¸˜o cl´ssica. Isto ´ mais f´cil de ca a e a ver usando-se a express˜o assint´tica da Eq.(993). a o De fato, usando a Eq.(993) temos que 3 2 2 sin2 2 2 3 ξ + π 4 |Ψ(ξ)| = |A| √ (994) ξ O sistema cl´ssico correspondente ´ uma part´ a e ıcula de massa m em queda livre (ou, antes, uma enorme quantidade delas). A conserva¸˜o da energia ca d´a mv 2 − mgx = E (995) 2 de onde se tira 2 v= E + mgx (996) m 218
- 219. e, portanto, 1 1 ∼√ (997) v x Para o sistema cl´ssico, a probabilidade de se encontrar a part´ a ıcula em torno de uma posi¸˜o x ´ inversamente proporcional ` velocidade dela naquela ca e a posi¸˜o, pois ´ diretamente proporcional ao tempo que a part´ ca e ıcula em torno da posi¸˜o. Quanticamente esta probabilidade ´ dada por |Ψ(x)|2 . Compara- ca e 1 ndo a Eq.(994) com a Eq.(997), vemos que a dependˆncia em x comparece e nas duas. 35.4 Apˆndice do apˆndice: O M´todo do Ponto Sela e e e Seja g(x) = exf (z) dz (998) C onde C ´ um contorno aberto com a propriedade de que Re (f (z)) tenda e a −∞ em ambas as suas extremidades. A partir de agora escreveremos o n´ mero complexo f (z) assim, decomposto em sua parte real e imagin´ria: u a f (z) = fR (z) + ifI (z) (999) Consideremos valores positivos e grandes de x. Como exf (z) = exfR (z) eixfI (z) e |eixfI (z) | = 1, o m´dulo do integrando na Eq.(998) ´ dado por exfR (z) . o e Esta fun¸˜o, para um dado x, varia de um valor m´ximo, atingido quando ca a fR (z) ´ m´ximo, at´ zero, pelo menos nos extremos. Para x > 0 e muito e a e grande, temos um “pico” muito elevado, de onde o valor da integral cai rapidamente para o “vale” (regi˜o de baixos valores). Al´m disso, podemos a e utilizar a possibilidade de deformar o contorno, para fazer com que ele fique “a maior parte do tempo” nos vales, subindo ao pico pelo caminho mais ´ ıngreme. Desta maneira, apenas uma pequena parte do contorno contribuir´ a efetivamente para a integral. O m´todo do ponto sela ´ isto: achar o contorno e e mais ´ıngreme, passando pelo pico. Note que s˜o os valores muito grandes de a x que acentuam essas propriedades extremas. Logo, o m´todo se presta para e calcular valores assint´ticos. o A determina¸˜o do caminho mais ´ ca ıngreme passando pelo pico pode ser feita assim: considere as curvas de n´ ıvel de fR (z), ou seja, as curvas ao longo das quais fR (z) ´ constante. O que procuramos s˜o as curvas que e a cortem essas curvas de n´ ortogonalmente: s˜o estas as que “sobem mais ıvel a rapidamente”. Ora, essas curvas s˜o, como se sabe da teoria de fun¸˜es a co 219
- 220. anal´ıticas de umavari´vel complexa, as curvas ao longo das quais fI (z) ´ a e constante. Logo, temos de achar a curva dessa fam´ que passa pelo “pico”. ılia d No “pico” (que ´ o ponto sela) temos dz fR (z) = 0. Vimos agora que, pelo e d caminho escolhido, fI (z) ´ constante, e, portanto, dz fI (z) = 0. Logo, o ponto e sela satisfaz a equa¸˜o complexa ca df (z) =0 (1000) dz Seja z0 o ponto em que essa equa¸˜o ´ satisfeita (pode haver v´rios). Ex- ca e a pandindo a fun¸˜o em torno desse ponto, temos ca df (z − z0 )2 d2 f f (z) = f (z0 ) + (z − z0 ) + (1001) dz z0 2! dz 2 z0 mais termos de ordem superior. A derivada primeira ´ nula, por defini¸˜o de e ca ponto sela. Logo, temos, para a parte real do integrando, (z−z0 )2 d2 f xf (z) xf (z0 ) 2 dz 2 e =e e z0 (1002) d2 f com dz 2 z0 > 0, ao longo do contorno, por ser um m´ximo de fR (z). Logo, a d2 f (z−z0 )2 exf (z) dz = exf (z0 ) e−| dz2 |z0 2 dz (1003) C C que, em geral, por ser a integral de uma gaussiana, pode ser calculada facil- mente. 35.4.1 Exemplo simples Considere a fun¸˜o ca 1 −α(z 2 + ) g(α) = e z 2 +a2 dz (1004) C onde o contorno C, ilustrado na figura, come¸a e termina no eixo real, em c −∞ e ∞, respectivamente. 220
- 221. ia C A fun¸˜o ´ da forma ca e eαf (z) dz C com f (z) dada por 1 f (z) = −z 2 − (1005) z2 + a2 Um c´lculo simples mostra que a 2 2 x2 − y 2 + a2 fR (z) = −x + y − 2 (1006) (x − y 2 + a2 )2 + 4x2 y 2 enquanto que 1 fI (z) = −2xy 1 − (1007) (x2 − y2 + a2 )2 + 4x2 y 2 Como a integral converge, j´ que fR (z) tende a zero para x2 tendendo a a infinito com y limitado, as singularidades de g(α) s˜o as singularidades do a integrando. A fun¸˜o f (z) tem polos em z = ±ia. O contorno C est´ entre ca a ia e o eixo real. Logo, podemos deform´-lo a vontade nessa regi˜o. a a O ponto sela ´ determinado pela equa¸˜o e ca df =0 (1008) dz ou seja, 1 2z(1 − )=0 (1009) (z 2 + a2 )2 que tem a solu¸˜o ca z=0 (1010) 221
- 222. A derivada segundade f (z) ´ e d2 f 2 8z 2 = −2 + 2 − 2 (1011) dz 2 (z + a2 )2 (z + a2 )3 e, no ponto sela, tem o valor d2 f 1 = −2 1 − (1012) dz 2 0 a4 A fam´ de curvas fI (z) = cte. ´ muito complicada. No entanto, para a ılia e curva y = 0 com x qualquer, temos fI (z) = 0, e, portanto, constante. Como esta curva passa por z = 0, ela ´ a curva de m´ximo aclive procurada. Ou e a seja, para o c´lculo do valor assint´tico de g(α) ´ conveniente deformar o a o e contorno de maneira a fazˆ-lo coincidir com o eixo real. Portanto, temos e ∞ −α x2 + 1 x2 +a2 g(α) = dxe (1013) −∞ Podemos agora expandir f (z) em torno do ponto sela. Como a derivada primeira ´ nula no ponto sela, resulta que e z2 d2 f f (z) = f (0) + (1014) 2 dz 2 z=0 o que d´ a 1 1 f (z) = − − z2 1 − 4 (1015) a2 a Temos ent˜o para g(α): a e− a2 e−α(1− a4 )x dx α 1 2 g(α) ∼ (1016) C e agora a integral pode ser calculada facilmente. De fato, ∞ dxe−α(1− a4 )x α 1 2 g(α) ∼ e− a2 (1017) −∞ Usando o resultado conhecido ( integral de Gauss) ∞ 2 π dxe−βx = , (1018) −∞ β obtemos α π g(α) ∼ e− a2 1 (1019) α 1− a4 que ´ o resultado procurado, v´lido para grandes valores de α. e a 222
- 223. 36 ´ Apˆndice 3: Otica geom´trica e e A ´tica geom´trica ´ o limite da ´tica ondulat´ria para λ = 0. Na reali- o e e o o dade, a ´tica geom´trica ´ uma aproxima¸˜o que vale quando a difra¸˜o ´ o e e ca ca e desprez´ ıvel. Isto ocorre quando os obst´culos que as ondas de luz encontram a tˆm dimens˜es grandes em rela¸˜o ao comprimento de onda delas. Uma e o ca maneira de garantir que isto sempre se verifique ´ tomar ondas de compri- e mento bem pequeno. Por isso se diz “no limite λ = 0”. 36.1 Equa¸˜es de Maxwell co Suponhamos que a propaga¸˜o da luz se dˆ em um meio material simples, ca e descrito por uma constante diel´trica ǫ e uma permeabilidade magn´tica µ. e e Se o meio for homogˆneo e se j = 0 e ρ = 0, teremos as equa¸˜es de onda e co 1 ∂2E ∇2 E − =0 (1020) v 2 ∂t2 para o campo el´trico, e e 1 ∂2B ∇2 B − (1021) v 2 ∂t2 com c v=√ µǫ Estas equa¸˜es seguem diretamente das equa¸˜es de Maxwell, como vimos co co anteriormente. Se a onda for monocrom´tica, a dependˆncia temporal ser´ a e a e−iωt e a equa¸˜o 1020 fica ca ω2 ∇2 E + E=0 (1022) v2 ω √ e, pondo k = v = ǫµ ω , temos c ∇2 E + k 2 E = 0 . (1023) Vamos nos restringir a ondas escalares, ou seja, vamos ignorar que os campos s˜o vetores. Perderemos com isso toda a variedade de fenˆmenos a o associados ` polariza¸˜o. No entanto, muitos fenˆmenos, aqueles que s˜o a ca o a diretamente associados ao car´ter ondulat´rio, ao fenˆmeno da interferˆncia, a o o e ser˜o ainda razoavelmente descritos. Seja u o campo escalar (por exemplo, a uma das componentes de E). A equa¸˜o ´ ca e ∇2 u + k 2 u = 0 . (1024) 223
- 224. 36.2 A equa¸˜o do eikonal ca Vamos procurar solu¸˜es da forma co u = Aeik0 S (1025) com k0 = ω , onde A e S s˜o fun¸˜es de x, y, z que variam lentamente e que c a co n˜o tendem a ∞ quando k0 cresce. a ∂u ∂S ∂ log A = (ik0 u +u ) (1026) ∂x ∂x ∂x ∂2u ∂S log A 2 ∂ 2 log A ∂S ∂2S = {−k0 u( )2 = ik0 u 2 ) +u + ik0 u 2 +(1027) ∂x2 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂S ∂ log A ∂ log A 2 + ik0 u + u( ) + ∂x ∂x ∂x ∂ 2 log A + u } ∂x2 com termos an´logos para as derivadas em y e z. Assim, temos a ∂S 2 ∂S ∂S ∇2 u = {−k0 u[( 2 ) + ( )2 + ( )2 ] + (1028) ∂x ∂y ∂z ∂ log A ∂S ∂ log A ∂S ∂ log A ∂S + 2ik0 u( + + )+ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂2S ∂2S ∂2S + ik0 u( 2 + 2 + 2 ) + ∂x ∂y ∂z ∂ log A 2 ∂ log A 2 ∂ log A 2 + u[( ) +( ) +( ) ]+ ∂x ∂y ∂z ∂ 2 log A ∂ 2 log A ∂ 2 log A + u( + + )} ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 Isto pode ser abreviado assim: ∇2 = −k0 u∇S.∇S+2ik0 u∇ log A.∇S+ik0 u∇2 S+u∇ log A.∇ log A+u∇2 log A 2 (1029) Logo, a equa¸˜o fica: ca k 2 = k0 ∇S.∇S − 2ik0 ∇ log A.∇S − ik0 ∇2 S − ∇ log A.∇ log A − ∇2 log A 2 (1030) ou ainda, k2 2i i 1 1 2 = ∇S.∇S − ∇ log A.∇S − ∇2 S − 2 ∇ log A.∇ log A − 2 ∇2 log A k0 k0 k0 k0 k0 (1031) 224
- 225. No limite k0→ ∞, temos ∇S.∇S = n2 (1032) e 2i 1 (∇ log A.∇S + ∇2 S) = 0 (1033) k0 2 de maneira que as equa¸˜es s˜o: co a 1 ∇ log A.∇S = − ∇2 S (1034) 2 ∇S.∇S = n2 (1035) que s˜o as equa¸˜es b´sicas da ´tica geom´trica.41 a co a o e 36.3 Exemplos 36.4 n ´ constante e ∇S.∇S = cte de onde segue que ∇S = cte, ou seja, S = n(αx + βy + γz) Neste caso ∇S = n(α∇x + β ∇y + γ ∇z) = n(αi + β j + γ k) e ∇S.∇S = n2 (α2 + β 2 + γ 2 ) = n2 (1036) Logo, α2 + β 2 + γ 2 = 1 , (1037) e as superf´ ıcies S = n(αx + βy + γz) = cte. (1038) s˜o planos. Ora, as superf´ a ıcies S = cte. s˜o as frentes de onda, logo a a propaga¸˜o aqui descrita ´ a de ondas planas. Note-se que, se n ´ um vetor ca e e unit´rio, isto ´, se n.n = 1, temos, com r = xi + y j + z k, a e n.r = nx x + ny y + nz z 41 Note que 2 k2 ǫµ ω2 2 = ω2 c = ǫµ = n2 k0 c2 onde n ´ o ´ e ındice de refra¸˜o do meio. ca 225
- 226. e n2 + n2 + n2 = 1 x y z Comparando com a Eq.(1037) vemos que nx = nα, ny = nβ e nz = nγ, raz˜o a pela qual alpha, β e γ s˜o os “ cosenos diretores” da dire¸˜o n. a ca 36.5 Dois meios homogˆneos e Vamos ver agora o casode dois meios homogˆneos separados por um plano e em x = 0 Temos ∂S 2 ∂S ∂S k1 ( ) + ( )2 + ( )2 = ( )2 para x < 0 (1039) ∂x ∂y ∂z k0 e ∂S 2 ∂S ∂S k2 ( ) + ( )2 + ( )2 = ( )2 para x > 0 (1040) ∂x ∂y ∂z k0 Seja S um plano cuja normal n˜o tem componente ao longo de z. Ent˜o a a k1 S(x, y) = (x cos θ1 + y sin θ1 ) x < 0 (1041) k0 k2 S(x, y) = (x cos θ2 + y sin θ2 ) x > 0 (1042) k0 Para x = 0, k1 k2 y sin θ1 = y sin θ2 (1043) k0 k0 ou n1 sin θ1 = n2 sin θ2 (1044) que ´ a lei de Snell-Descartes. e 36.6 Simetria esf´rica e Considere a seguinte solu¸˜o da equa¸˜o do eikonal, dotada de simetria ca ca esf´rica: e S = nr (1045) onde n = |n| e r = |r|. Temos ∇S = n∇r = n r e, portanto, ∇S.∇S = n2 . r As superf´ıcies S = cte. s˜o, neste caso, as superf´ a ıcies r = cte., ou seja, as frentes de onda s˜o superf´ a ıcies esf´ricas com centro na origem. Para que se e trate verdadeiramente de uma solu¸˜o da equa¸˜o do eikonal, ´ preciso ainda ca ca e que a Eq.(1035) seja satisfeita: 1 ∇ log A.∇S = − ∇2 S (1046) 2 226
- 227. Ora, r 1 1 ∇.∇S = ∇.(n = n{ ∇.r + r.∇ } r r r 3 r 3 1 = n{ + r.(− 3 )} = n{ − } r r r r 2n = r ou 2n ∇2 S = (1047) r ´ E necess´rio ent˜o que a a n ∇ log A.∇S = − r ou, que r n ∇ log A.n = − r r Segue ent˜o que a ∇ log A.r = −1 Portanto, R ∇ log A = − (1048) r2 1 Mas ∇ log A = A ∇A = − rr2 e, conseq¨ entemente, u 1 A= (1049) r Podemos ent˜o contruir a onda u = Aeik0 S (ver Eq.(1025)). a 1 1 √ ω u = eik0 nr = eikr = ei ǫµ c r (1050) r r que ´ a parte espacial de uma onda esf´rica. e e 36.7 Curvatura dos raios de luz Considere a curva descrita pela extremidade do vetor r(s), onde s ´ o com- e primento da curva. Seja s o vetor tangente ` curva em cada ponto. Se a a curva for uma reta, a tangente em todos os pontos tem a mesma dire¸˜o. ca Em curvas que n˜o s˜o retas, a tangente “gira” quando se percorre a curva. a a Este movimento da tangente ´ usado para definir a curvatura de uma curva e como o vetor ds K= (1051) ds 227
- 228. 2 Como o vetortangente ´ s = ds , vemos que a curvatura ´ d 2 , ou seja ´ a e R e dsr e “acelera¸˜o”, se s for tomado como o tempo. ca Considere, por exemplo, um c´ ırculo, de equa¸˜o x2 + y 2 = R2 . Temos ca x = R cos θ y = R sin θ dx = −R sin θdθ dy = R cos θdθ e segue facilmente que ds2 = R2 sin2 θdθ2 + R2 cos2 θdθ2 = R2 dθ2 ou, ds = Rdθ Como r = R cos θi + R sin θj, temos dr dθ dθ s= = −R sin θ i + R cos θ j ds ds ds que d´ a s = − sin θi + cos θj Para a curvatura ent˜o temos: a ds 1 K= = (− cos θdθi − sin thetadθj) ds Rdθ ou R K=− (1052) R2 A curvatura ´, ent˜o, um vetor, cujo m´dulo ´ e a o e 1 K= R A curvatura do c´ ırculo ´ tanto maior quanto menor o raio, o que mostra que e a defini¸˜o acompanha a id´ia intuitiva. ca e Voltemos ao caso geral. Como o vetor tangente s tem m´dulo 142 , de s.s = 1 o segue que ds s. = 0 (1053) ds 42 dr dr dr ds2 Pois s = ds , temos que s.s = ds . ds = ds2 = 1 onde usamos que dr.dr = ds2 228
- 229. ds ou seja, ds ´ perpendicular a s. Logo, ds pode ser escrito na forma e ds ds =A×s (1054) ds onde A ´ um vetor a determinar43 De fato, considere o vetor e A = a rots (1055) ds onde a ´ uma constante. Temos e ds = a rots × s e ds dsi ∂si dxl ∂si ( )i = = l = l sl = (∂l si )sl (1056) ds ds ∂x ds ∂x enquanto (rots × s)i = ǫijk (rots)j sk = ǫijk ǫjlm (∂l sm )sk = (δkl δim − δkm δil )(∂l sm )sk = (∂l si )sl − (∂i sk )sk 1 e o ultimo termo ´ nulo, pois (∂i sk )sk = 2 ∂i (s)2 , e s.s = 1. Conseq¨ ente- ´ e u mente, ds = rots × s (1057) ds At´ agora falamos genericamente de curvas. Consideremos agora curvas que e sejam raios de luz. Como vimos anteriormente, os raios de luz s˜o ortogonais a `s superf´ a ıcies S = cte., ou seja, tˆm, em cada ponto dessas superf´ e ıcies, a dire¸˜o de ∇S. Em s´ ca ımbolos, 1 s= ∇S (1058) n Da´ decorre que ı rot(ns) = 0 (1059) onde usamos o fato conhecido rot grad = 0. Da Eq.(1059) segue que nrots + ∇n × s = 0 1 rots = (s × ∇n) n e, portanto, que ds 1 = (s × ∇n) × s ds n ds n = (s × ∇n) × s ds = (s.s)∇n − (s.∇n)s 43 Em outras palavras, existe um vetor A tal que a Eq.(1054) ´ satisfeita. e 229
- 230. e, finalmente, nK = ∇n − (s.∇n)s (1060) onde K ´ o vetor curvatura do raio. Uma conseq¨ˆncia imediata da Eq.(1060) e ue ´ que em meios homogˆneos (n constante) a curvatura ´ nula, e os raios s˜o e e e a retas. Uma outra aplica¸˜o ´ a seguinte: quando o Sol est´ muito baixo, ca e a no nascente ou no poente, os raios que atingem um observador s˜o aprox- a imadamente horizontais. O ´ ındice de refra¸˜o da atmosfera diminui com a ca altitude, logo ∇n aponta para o centro da Terra, ou seja, ´ vertical. Ent˜o, na e a Eq.(1060), o segundo termo do segundo membro ´ muito pequeno. Conclui- e 230
- 231. se que acurvatura desses raios ´ paralela a ∇n, apontando para o centro da e Terra. Os raios, isto ´, se curvam para baixo. Em conseq¨ˆncia, o obser- e ue vador, que interpreta sempre o raio como uma reta, “vˆ” o Sol mais alto do e que est´ na realidade. De fato, isto explica por que se vˆ o Sol ainda um a e pouco depois de ele ter se posto. Curvatura de um raio de luz 36.8 Lentes esf´ricas e No tratamento elementar da ´tica geom´trica obt´m-se, por constr¸˜es geom´tricas o e e co e utilizando a lei de Snell-Descartes, a equa¸˜o ca 1 1 1 + = (1061) a b f sendo a a distˆncia do objeto ` lente (supostamente de espessura desprez´ a a ııvel), b a distˆncia da imagem ` lente, e f a distˆncia focal da lente, que ´ dada a a a e por 1 1 1 = (n − 1)( + ) f R1 R2 sendo n o ´ ıındice de refra¸˜o do vidro, R1 e R2 os raios das superf´ ca ııcies esf´ricas da lente. O significado de f pode ser obtido facilmente da Eq.(1061): e tomando-se a = ∞, tem-se 1 1 = (1062) b f que mostra ser f a distˆncia a que se forma a imagem quando o objeto est´ a a no infinito. Na Eq.(1061) a lente ´ suposta de espessura zero, e a distˆncia e a ` lente ´ confundida com a distˆncia ao centro da lente. a e a 231
- 232. B A d F Fig.1 Vamos tratar esse problema com o uso da equa¸˜o do eikonal. N˜o haver´ ca a a qualquer dificuldade em tratar o caso de lentes espessas, e o caminho estar´ a aberto tamb´m para o tratamento de lentes cujas faces n˜o sejam superf´ e a ıcies esf´ricas. O ponto P da figura designa a posi¸˜o do objeto, de coordenadas e ca x = 0, y = 0 e z = 0. O eixo z ´ a dire¸˜o de incidˆncia: ´ a reta que une P e ca e e ao centro da lente, O. a O P T Fig.2 Um raio partido de P e incidente sobre a lente, encontra-a no ponto T , pertencente a uma superf´ esf´rica de raio R1 (a primeira face da lente). ıcie e O centro dessa superf´ esf´rica est´ no ponto de coordenadas x = 0, y = 0, ıcie e a z = a + R1 . As coordenadas de T s˜o x = 0, y = 0, z = a. Um ponto vizinho a ` lente tem coordenada z = a + ζ, com |a| ≫ |ζ| a As ondas esf´ricas emitidas de P tˆm o eikonal e e s = nr = n x2 + y 2 + z 2 (1063) com n = 1 (regi˜o externa ` lente), ou seja, mais explicitamente, a a s= x2 + y 2 + z 2 (1064) Perto da primeira face da lente o eikonal ´ e S= x2 + y 2 + (a + ζ)2 232
- 233. Restringindo-nos a pequenasaberturas, basta considerar valores pequenos de x e y. Ent˜o, a x2 + y 2 S = (a + ζ)2 + x2 + y 2 = (a + ζ)2 (1 + ) (1065) (a + ζ)2 x2 + y 2 x2 + y 2 = (a + ζ) 1 + ≈ (a + ζ)(1 + ) (a + ζ)2 2(a + ζ)2 ou seja, x2 + y 2 S =a+ζ + (1066) 2a A equa¸˜o da superf´ da primeira face da lente ´ ca ıcie e x2 + y 2 + (z − a − R1 )2 = R1 2 (1067) Podemos agora resolver o problema da primeira refra¸˜o na lente. ca 233
- 234. 36.9 A primeira refra¸˜o ca T a Q P r Fig.3 A figura mostra um raio saindo de P e incidindo sobre a lente, e o raio refratado (que existe s´ dentro da lente). Prolongando-se o raio refratado at´ o e que atinja o eixo da lente, determina-se o ponto Q1 . Esse raio, T Q1 , existiria se a propaga¸˜o se desse num meio homogˆneo de ´ ca e ındice de refra¸˜o igual ao ca da lente, n. O eikonal do raio refratado ´, ent˜o, e a S = n x2 + y 2 + (z − a + r)2 (1068) pois as coordenadas de Q1 s˜o x = 0, y = 0, z = −(r − a). Para pontos a pr´ximos ` primeira face da lente temos z = a + ζ, com |a| ≫ |ζ|. Ent˜o, o a a S = n x2 + y 2 + (r + ζ)2 (1069) ou, aproximadamente, x2 + y 2 S = n(r + ζ + ) + S0 (1070) 2r onde S0 ´ uma constante. Em geral essa constante aditiva ´ desnecess´ria, e e a embora esteja sempre presente, j´ que, sendo a equa¸˜o do eikonal uma a ca equa¸˜o para ∇S, se um S ´ solu¸˜o, S + S0 tamb´m o ser´, S0 sendo ca e ca e a uma constante arbitr´ria. Neste problema que estamos estudando, impore- a mos a continuidade do eikonal numa determinada superf´ ıcie, e, para isso ser poss´ ıvel, ´ necess´rio incluir o S0 . e a A condi¸˜o de contorno ´ que o eikonal (a fase!) varie continuamente ao ca e atravessar a face da lente. Se isto n˜o lhe parece intuitivo, note que ´ sob a e essa condi¸˜o que se obt´m a lei de Snell-Descartes para a refra¸˜o numa ca e ca superf´ plana, o que pode ser considerado uma “verifica¸˜o experimental” ıcie ca do fato. Para pequenas aberturas os pontos que satisfazem a Eq.(1067) da superf´ s˜o tais que ıcie a x2 + y 2 + (ζ − R1 )2 = R1 2 (1071) 234
- 235. ou, como R1≫ |ζ|, ζ 2 x2 + y 2 + R1 (1 − 2 2 ) = R1 (1072) R1 ou ainda, x2 + y 2 ζ= (1073) 2R1 Devemos ter a coincidˆncia dos dois eikonais sobre a superf´ da lente. e ıcie Ent˜o, a x2 + y 2 x2 + y 2 {a + ζ + }Sup = {n(r + ζ + ) + S0 }Sup (1074) 2a 2r que leva a x2 + y 2 x2 + y 2 x2 + y 2 x2 + y 2 a+ + = nr + S0 + n +n (1075) 2R1 2a 2R1 2r ou seja, S0 + nr = a (1076) e 1 1 n n + = + (1077) 2R1 2a 2R1 2r ou ainda n−1 1 n = − (1078) R1 a r Esta equ¸˜o resolve o problema da refra¸˜o por um dioptro esf´rico. ca ca e 36.10 A segunda refra¸˜o ca T a Q CP B b r Fig.4 A equa¸˜o da segunda face, se R2 ´ o seu raio e C o seu centro, ´ ca e e (x − xC )2 + (y − yC )2 + (z − zC )2 = R2 2 (1079) 235
- 236. ou x2 + y 2 + (z − (R2 − a − d))2 = R2 2 (1080) Para pontos pr´ximos ` segunda face, temos o a z =a+d+ζ com |ζ| ≪ |a + d|. Ent˜o, a x2 + y 2 + (a + d + ζ = (a + d − R2 ))2 = R2 2 (1081) ou x2 + y 2 + (ζ + R2 )2 = R2 2 (1082) e, usando o fato de que |ζ| ´ pequeno, e 2ζ 2 x2 + y 2 + R2 (1 + 2 2 ) = R2 (1083) R2 e, finalmente, x2 + y 2 + 2ζR2 = 0 (1084) que podemos por na forma x2 + y 2 ζ =− (1085) 2R2 O eikonal do segundo raio refratado ´ e S = − x2 + y 2 + (z − zO2 )2 (1086) onde zO2 = a + d + b, o que d´ a S = − x2 + y 2 + (z − a − d − b)2 (1087) O sinal (-) ´ devido ao fato de se tratar de uma onda esf´rica que est´ se contraindo e e a para o ponto O2 . De fato, uma onda esf´rica que sai da origem ´ e e ei(kr−ωt) r ao passo que uma onda esf´rica que chega na origem ´ dada por e e ei(−kr−ωt) . r Perto da segunda face da lente, temos S = − x2 + y 2 + (a + d + ζ − a − d − b)2 (1088) 236
- 237. ou S = − x2 + y 2 + (ζ − b)2 (1089) Para pequenas aberturas, x2 + y 2 S2 = − (b − ζ)2(1 + ) (b − ζ)2 x2 + y 2 = −(b − ζ)(1 + ) 2(b − ζ)2 x2 + y 2 = −{b − ζ + 2(b − ζ) ou x2 + y 2 S = −{b − ζ + } (1090) 2b O eikonal do primeiro raio refratado, quando ele atinge as proximidades da segunda face da lente, ´ e S ′ = n x2 + y 2 + (a + d + ζ − a + r)2 (1091) onde resolvemos denot´-lo por S ′ para distingu´ do eikonal do segundo raio a ı-lo refratado. Temos, ap´s uma simplifica¸˜o, o ca S ′ = n x2 + y 2 + (ζ + d = r)2 (1092) Para pequenas aberturas, x2 + y 2 S ′ = n (r + d + ζ)2(1 + (r + d + ζ)2 x2 + y 2 = n(r + d + ζ)(1 + ) 2(r + d + ζ)2 ou, finalmente, x2 + y 2 S ′ = n(r + d + ζ + ) (1093) 2(r + d) Devemos ent˜o ter, na segunda face, a x2 + y 2 x2 + y 2 n(r + d + ζ + + S0 )Sup = −(b − ζ + )Sup (1094) 2(r + d) 2b onde o c´lculo deve ser feito para os pontos da segunda superf´ da lente, a ıcie ou seja, para x2 + y 2 ζ =− (1095) 2R2 237
- 238. Temos ent˜o a x2 + y 2 x2 + y 2 x2 + y 2 x2 + y 2 n(r + d − + + S0 ) = −(b + + ) (1096) 2R2 2(r + d) 2R2 2b que d´ as equa¸˜es a co nr + nd + nS0 + b = 0 (1097) e n n 1 1 − + + + )=0 (1098) 2R2 2(r + d) 2R2 2b ou n−1 1 n = + (1099) R2 b r+d 36.11 A equa¸˜o dos focos conjugados ca A solu¸˜o do problema consiste em combinar as Eqs.(1097) e (1099) para ca eliminar r. Da Eq.(1097) temos r 1 = 1 (1100) n a − n−1 R1 e, da Eq.(1099), r+d 1 = n−1 1 (1101) n R2 − b Subtraindo a primeira da segunda, temos d 1 1 = n−1 1 + n−1 1 (1102) n R2 − b R1 − a que ´ a equa¸˜o dos focos conjugados para uma lente de espessura d e para e ca pequenas aberturas. Se d = 0, obt´m-se e 1 1 1 1 1 + = (n − 1)( + )= (1103) a b R1 R2 f que ´ a equa¸˜o usual, para lentes delgadas. e ca Referˆncias e [1] P.A.M. Dirac, Principles of Quantum Mechanics, Oxford University Press. 238
- 239. [2] J.M. Jauch,Foundations of Quantum Mechanics, Addison-Wesley. [3] L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Quantum Mechanics, 3rd. Edition, Perga- mon Press, Oxford, 1976. [4] E. Goursat, Cours d’Analyse Math´matique, 7eme. ´dition, Gauthier- e e Villars, Paris, 1949, Volume II, pg. 471. [5] E. Hille, Ordinary Differential Equations in the Complex Domain, Wiley, 1976. [6] R. Courant, D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, Interscience, New York, 1953. [7] C. C. Gillispie (ed.) Dictionary of Scientific Biography Scribner’s, New York,1970. [8] C. C. Gillispie, Pierre-Simon Laplace, Princeton University Press, Princeton, 1997. [9] A. Sommerfeld, Partial Differential Equations of Physics, Academic Press, New York, 1949. [10] H. Kramers, Quantum Mechanics, North Holland, 1957. [11] E. H. Wichmann, Quantum Physics, Berkeley Physics Course, Volume 4, McGraw-Hill. [12] H. M. Nussenzveig, F´ ısica B´sica, Vol.4, Blucher. a [13] R. P. Feynman et al., The Feynman Lectures on Physics, Vol.3, Addison- Wesley. [14] A. P. French, E. F. Taylor, An Introduction to Quantum Physics, MIT Introductory physics series, Chapman and Hall. [15] I. Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, tradu¸˜es em co muitas l´ ınguas, entre as quais o portuguˆs. e [16] J. Dieudonn´, Treatise on Analysis, 8 vols., Academic Press. e [17] A. F. R. de Toledo Piza, Mecˆnica Quˆntica, EDUSP, S˜o Paulo, 2003. a a a 239
- 240. ´ Indice Remissivo anti-materia, 177 estados estacion´rios, 23 a aparelhos, 7 autofun¸˜es do momento angular, 67 co fermions, 148 autofuncao, 14, 17, 25, 51, 52, 68, 70, funcao de onda, 10 72, 86, 91, 148, 161 hidrogˆnio, 76 e autovalores, 12, 13, 15–17, 20, 25, 33– 36, 47, 50, 51, 53, 56, 63, 69, incerteza, 6, 7, 85, 104–106 77, 86, 88, 91, 109, 110, 113, Integral de Fourier, 45 117, 129, 148, 184, 187, 189 intera¸˜o eletromagn´tica, 98 ca e bosons, 148 ket, 88, 89 caso quase-classico, 151 medida, 7 comutador de Heisenberg, 23 molecula de amonia, 167 conjunto completo, 9 momento, 5, 7, 18, 20, 63–70, 74, 75, conservacao, 37, 62, 135, 169, 204 84, 85, 89, 91, 92, 101, 106, 120, 130, 143, 146, 150–152, delta de Dirac, 44 155, 175, 178, 180, 226, 227 el´tron, 7 e momento angular, 63 energia, 7, 18–20, 22, 25–36, 38, 39, normalizacao, 52, 72, 73, 160, 195 41, 49–51, 58, 74–77, 80, 82, nota¸˜o de Dirac, 87 ca 85–87, 99, 101, 106, 115, 116, 118–129, 131–135, 146, 148, operador adjunto, 15 151, 152, 155, 157–161, 163, operadores, 12 167, 175–178, 180, 194, 196, operadores hermiteanos, 15 204 operadores unit´rios, 59 a equa¸˜o da continuidade, 36 ca ortogonlidade, 16 equa¸˜o de Schr¨dinger, 18 ca o oscilador harmˆnico, 49 o equacao de Dirac, 168 equacao de Schr¨dinger, 10, 18, 20, o particula livre, 18 21, 23, 25, 26, 29, 36, 41, 46, particulas idˆnticas, 147 e 47, 49, 56, 75, 76, 116, 124, perturba¸˜es, 109 co 133, 135, 144, 145, 160, 161, perturba¸˜es dependentes do tempo, co 166, 168, 196 134 espectro, 12 po¸o quadrado, 25 c espectro cont´ınuo, 46 potenciais de simetria central, 75 espectro discreto, 27 princ´ ıpio da superposi¸˜o, 9, 11 ca estado, 8–10 principio de Pauli, 149 240
- 241. simetrias, 59 sistemas dedois niveis, 163 soma de momento s angulares, 150 spin, 91 trajetoria, 7 tunelamento, 44 valor medio, 13 WKB, 151 241