O documento discute cálculo de medidas estatísticas como média aritmética, moda e mediana em situações do cotidiano. Ele fornece exemplos de como calcular essas medidas a partir de uma tabela de distribuição de frequências de batimentos cardíacos de estudantes.
O documento descreve os conceitos básicos de prismas retos, incluindo suas características, classificações e como calcular seu volume. É explicado que o volume de um prisma reto é dado pelo produto da área da base pela altura, e exemplos demonstram como calcular o volume para bases triangulares, quadrangulars, pentagonais e hexagonais.
1. O documento é um quiz sobre conjuntos numéricos com perguntas e respostas sobre números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais.
2. As perguntas cobrem tópicos como propriedades de soma, multiplicação, raiz quadrada e ordem desses diferentes tipos de números.
3. O quiz fornece exemplos de cada conjunto numérico para ilustrar os conceitos.
O documento descreve conceitos básicos de amostragem estatística, incluindo a diferença entre população e amostra, técnicas de amostragem probabilística e não probabilística, e fórmulas para calcular o tamanho adequado da amostra com base no tamanho da população e no erro amostral tolerável.
GRAFICOS E TABELAS 6º ANO revisando conteudoJuniorVSJunior
O documento explica o que são gráficos de barras e como construí-los. Mostra um exemplo de gráfico de barras sobre a produção mensal de bicicletas e instrui sobre como construir corretamente um gráfico de barras a partir de dados em uma tabela.
O documento descreve os principais conceitos e métodos da bioestatística, incluindo estatística descritiva para resumir dados, inferência estatística para generalizar resultados amostrais, e planejamento de pesquisas para coleta e análise de dados. É apresentado como uma matéria fundamental para realizar trabalhos de conclusão que envolvam coleta e análise de dados.
Este documento descreve medidas de tendência central como média, mediana e moda. A média é a soma dos dados dividida pelo número de itens. A mediana é o valor no meio quando os dados são ordenados. A moda é o valor que mais se repete. Exemplos mostram como calcular cada medida.
O documento explica como calcular áreas e perímetros de figuras geométricas planas como retângulos, quadrados, paralelogramos, triângulos, losangos, trapézios e círculos. Fornece fórmulas para calcular a área e o perímetro de cada figura e dá exemplos práticos de como essas medidas são usadas para tarefas como calcular a quantidade de material necessário para construção ou pintura.
O documento discute vários métodos para construir figuras semelhantes, incluindo o uso de papel quadriculado, homotetia e razão de semelhança. Ele explica como ampliar ou reduzir figuras usando quadrículas de tamanhos diferentes e como construir figuras semelhantes com lados que têm o dobro ou metade do comprimento original usando um ponto central de homotetia.
O documento descreve os conceitos básicos de prismas retos, incluindo suas características, classificações e como calcular seu volume. É explicado que o volume de um prisma reto é dado pelo produto da área da base pela altura, e exemplos demonstram como calcular o volume para bases triangulares, quadrangulars, pentagonais e hexagonais.
1. O documento é um quiz sobre conjuntos numéricos com perguntas e respostas sobre números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais.
2. As perguntas cobrem tópicos como propriedades de soma, multiplicação, raiz quadrada e ordem desses diferentes tipos de números.
3. O quiz fornece exemplos de cada conjunto numérico para ilustrar os conceitos.
O documento descreve conceitos básicos de amostragem estatística, incluindo a diferença entre população e amostra, técnicas de amostragem probabilística e não probabilística, e fórmulas para calcular o tamanho adequado da amostra com base no tamanho da população e no erro amostral tolerável.
GRAFICOS E TABELAS 6º ANO revisando conteudoJuniorVSJunior
O documento explica o que são gráficos de barras e como construí-los. Mostra um exemplo de gráfico de barras sobre a produção mensal de bicicletas e instrui sobre como construir corretamente um gráfico de barras a partir de dados em uma tabela.
O documento descreve os principais conceitos e métodos da bioestatística, incluindo estatística descritiva para resumir dados, inferência estatística para generalizar resultados amostrais, e planejamento de pesquisas para coleta e análise de dados. É apresentado como uma matéria fundamental para realizar trabalhos de conclusão que envolvam coleta e análise de dados.
Este documento descreve medidas de tendência central como média, mediana e moda. A média é a soma dos dados dividida pelo número de itens. A mediana é o valor no meio quando os dados são ordenados. A moda é o valor que mais se repete. Exemplos mostram como calcular cada medida.
O documento explica como calcular áreas e perímetros de figuras geométricas planas como retângulos, quadrados, paralelogramos, triângulos, losangos, trapézios e círculos. Fornece fórmulas para calcular a área e o perímetro de cada figura e dá exemplos práticos de como essas medidas são usadas para tarefas como calcular a quantidade de material necessário para construção ou pintura.
O documento discute vários métodos para construir figuras semelhantes, incluindo o uso de papel quadriculado, homotetia e razão de semelhança. Ele explica como ampliar ou reduzir figuras usando quadrículas de tamanhos diferentes e como construir figuras semelhantes com lados que têm o dobro ou metade do comprimento original usando um ponto central de homotetia.
O documento discute conceitos básicos de estatística, incluindo:
1) O método científico e como a estatística ajuda a tornar o processo de pesquisa mais eficiente;
2) Definições de estatística, variabilidade, amostragem, população, amostras, variáveis, e como a estatística é usada para tomada de decisão;
3) Diferentes tipos de pesquisa, medidas de tendência central e suas definições.
O documento apresenta conceitos introdutórios sobre estatística, incluindo a diferença entre dados e informações, tipos de dados, séries estatísticas e gráficos. Explica como os dados podem ser organizados, resumidos e transformados em informações por meio de técnicas estatísticas para apoiar a tomada de decisão.
Estatística é a ciência dos dados, envolvendo o desenvolvimento de métodos e técnicas de coleta, organização, análise e interpretação de dados para tirar conclusões ou fazer predições. A estatística descritiva descreve os dados de forma concisa através de médias, variâncias e gráficos. A estatística indutiva faz inferências sobre a população a partir da amostra.
O documento discute conceitos importantes para coleta de dados como população, amostra e censo. Explica que população é o conjunto completo de elementos a serem estudados, amostra é parte da população e censo coleta dados de toda a população. Também apresenta exemplos de população, amostra e discute tipos de dados como qualitativos, quantitativos, discretos e contínuos.
O documento apresenta fórmulas para calcular a área de diferentes figuras planas como triângulo, quadrado, retângulo, paralelogramo, trapézio e losango. Exemplos numéricos são fornecidos para demonstrar como aplicar as fórmulas para calcular áreas.
Uma sequência é um conjunto de objetos organizados em uma ordem determinada. O documento explica que sequências podem ser finitas ou infinitas e fornece exemplos de sequências numéricas. Ele também descreve como representar matematicamente uma sequência geral usando os termos an e fornece um exemplo para ilustrar esta representação.
Material de apoio sobre funções, composto de resumo teórico, exercícios e gabarito dos exercícios. Os temas abordados na aula 1 são: noção intuitiva de função, representação de funções, interpretação de função como uma máquina. Esse material de apoio acompanha videoaula FUNÇÕES – AULA 1 que pode ser acessado em: www.alexmayer.com.br
A reta numérica representa os números reais e pode estar horizontal ou vertical. No centro fica o zero, com números positivos a um lado e negativos do outro. A distância de um número ao zero é seu valor absoluto ou módulo. Números opostos são equidistantes ao zero. A reta numérica é importante para formar o plano cartesiano.
1) O documento introduz conceitos básicos de probabilidade como espaço amostral, eventos elementares e compostos, e cálculo de probabilidades.
2) É apresentado o método de Laplace para calcular probabilidades através da razão entre casos favoráveis e casos possíveis.
3) São fornecidos exemplos de cálculo de probabilidades para lançamento de dados, moedas e outros experimentos aleatórios.
Estatística é a ciência dos dados e envolve coleta, organização, análise e interpretação de dados para tirar conclusões. A estatística descritiva organiza e descreve os dados calculando médias e variâncias, enquanto a estatística indutiva estima parâmetros e testa hipóteses. A amostragem é fundamental para obter os dados de uma população.
A estatística é a parte da matemática aplicada que coleta, organiza e analisa dados para obter conclusões sobre parâmetros de uma população. Ela pode ser aplicada em quase todas as áreas do conhecimento e tem usos como controle de qualidade, antecipação de epidemias e proteção de espécies ameaçadas. Estudar estatística torna as pessoas mais críticas em analisar informações.
O documento discute o que é estatística e como ela é usada em diferentes contextos. A estatística envolve a coleta, organização e análise de dados, e pode ser usada para salvar vidas, como Florence Nightingale demonstrou, e para avaliar o desempenho esportivo. Clubes usam estatísticas para avaliar jogadores e o Manchester City busca inspirar mudanças na maneira como os dados são analisados.
Este documento apresenta um quiz sobre equações de 1o grau com o objetivo de ensinar os conceitos de forma lúdica para alunos do 7o ano. Ele contém 5 perguntas sobre definição de equação, resolução de equações e identificação dos membros de uma equação, com respostas justificadas.
A geometria estuda as formas e o espaço. Os elementos geométricos mais simples são o ponto, a reta e o plano. O ponto não tem dimensão, a reta tem uma dimensão de comprimento e o plano tem duas dimensões de largura e comprimento.
O documento discute operações com frações, especificamente adição e subtração. Explica o conceito de fração, sua origem histórica e como representá-las geometricamente. Apresenta exemplos de como realizar adição e subtração de frações com mesmo e diferente denominador, incluindo a necessidade de encontrar frações equivalentes.
Este documento apresenta uma introdução à estatística, dividindo-a em estatística descritiva e inferência estatística. Também discute pesquisa estatística, terminologia estatística e classificação de variáveis. Finaliza com um modelo de questionário.
O documento apresenta fórmulas para calcular áreas de várias figuras geométricas planas, como quadrados, retângulos, triângulos, círculos e polígonos regulares. Inclui também exemplos passo a passo de como aplicar essas fórmulas para determinar áreas.
O documento descreve as principais fases do trabalho estatístico: 1) Definição do problema, onde se formula o problema a ser estudado; 2) Definição dos objetivos, onde se definem os objetivos do estudo de forma precisa; 3) Planejamento, onde se determina o procedimento para resolver o problema, quais dados coletar e como coletá-los.
Este documento explica conceitos básicos de estatística, incluindo: (1) estatística serve para coletar, organizar e interpretar dados para tirar conclusões e previsões; (2) população e amostra são conjuntos de elementos estudados; (3) variáveis podem ser qualitativas ou quantitativas. Ele também apresenta um exemplo de construção de tabela de frequências e gráfico de barras para organizar dados sobre número de irmãos de alunos.
O documento explica o que são arranjos simples, que são agrupamentos onde a ordem dos elementos faz diferença. Ele fornece a fórmula geral para calcular a quantidade de arranjos simples de um conjunto e ilustra com três exemplos de como aplicar a fórmula.
Este documento apresenta atividades realizadas na sala de informática da Escola Municipal Nerone Maiolino no 2o semestre de 2013. É descrito um exercício de Matemática do 6o ano sobre cálculo de média aritmética, moda e mediana com base em dados reais de batimentos cardíacos de estudantes. O documento explica como organizar os dados em uma tabela de distribuição de frequências e calcula as medidas estatísticas para os dados apresentados.
[1] O documento discute medidas de tendência central para analisar dados amostrais, incluindo média, mediana e moda. [2] Aplica esses conceitos a dados reais de batimentos cardíacos de estudantes para calcular cada medida. [3] A moda é 76 batimentos por minuto, a média é 81,71 e a média ponderada é 81,48.
O documento discute conceitos básicos de estatística, incluindo:
1) O método científico e como a estatística ajuda a tornar o processo de pesquisa mais eficiente;
2) Definições de estatística, variabilidade, amostragem, população, amostras, variáveis, e como a estatística é usada para tomada de decisão;
3) Diferentes tipos de pesquisa, medidas de tendência central e suas definições.
O documento apresenta conceitos introdutórios sobre estatística, incluindo a diferença entre dados e informações, tipos de dados, séries estatísticas e gráficos. Explica como os dados podem ser organizados, resumidos e transformados em informações por meio de técnicas estatísticas para apoiar a tomada de decisão.
Estatística é a ciência dos dados, envolvendo o desenvolvimento de métodos e técnicas de coleta, organização, análise e interpretação de dados para tirar conclusões ou fazer predições. A estatística descritiva descreve os dados de forma concisa através de médias, variâncias e gráficos. A estatística indutiva faz inferências sobre a população a partir da amostra.
O documento discute conceitos importantes para coleta de dados como população, amostra e censo. Explica que população é o conjunto completo de elementos a serem estudados, amostra é parte da população e censo coleta dados de toda a população. Também apresenta exemplos de população, amostra e discute tipos de dados como qualitativos, quantitativos, discretos e contínuos.
O documento apresenta fórmulas para calcular a área de diferentes figuras planas como triângulo, quadrado, retângulo, paralelogramo, trapézio e losango. Exemplos numéricos são fornecidos para demonstrar como aplicar as fórmulas para calcular áreas.
Uma sequência é um conjunto de objetos organizados em uma ordem determinada. O documento explica que sequências podem ser finitas ou infinitas e fornece exemplos de sequências numéricas. Ele também descreve como representar matematicamente uma sequência geral usando os termos an e fornece um exemplo para ilustrar esta representação.
Material de apoio sobre funções, composto de resumo teórico, exercícios e gabarito dos exercícios. Os temas abordados na aula 1 são: noção intuitiva de função, representação de funções, interpretação de função como uma máquina. Esse material de apoio acompanha videoaula FUNÇÕES – AULA 1 que pode ser acessado em: www.alexmayer.com.br
A reta numérica representa os números reais e pode estar horizontal ou vertical. No centro fica o zero, com números positivos a um lado e negativos do outro. A distância de um número ao zero é seu valor absoluto ou módulo. Números opostos são equidistantes ao zero. A reta numérica é importante para formar o plano cartesiano.
1) O documento introduz conceitos básicos de probabilidade como espaço amostral, eventos elementares e compostos, e cálculo de probabilidades.
2) É apresentado o método de Laplace para calcular probabilidades através da razão entre casos favoráveis e casos possíveis.
3) São fornecidos exemplos de cálculo de probabilidades para lançamento de dados, moedas e outros experimentos aleatórios.
Estatística é a ciência dos dados e envolve coleta, organização, análise e interpretação de dados para tirar conclusões. A estatística descritiva organiza e descreve os dados calculando médias e variâncias, enquanto a estatística indutiva estima parâmetros e testa hipóteses. A amostragem é fundamental para obter os dados de uma população.
A estatística é a parte da matemática aplicada que coleta, organiza e analisa dados para obter conclusões sobre parâmetros de uma população. Ela pode ser aplicada em quase todas as áreas do conhecimento e tem usos como controle de qualidade, antecipação de epidemias e proteção de espécies ameaçadas. Estudar estatística torna as pessoas mais críticas em analisar informações.
O documento discute o que é estatística e como ela é usada em diferentes contextos. A estatística envolve a coleta, organização e análise de dados, e pode ser usada para salvar vidas, como Florence Nightingale demonstrou, e para avaliar o desempenho esportivo. Clubes usam estatísticas para avaliar jogadores e o Manchester City busca inspirar mudanças na maneira como os dados são analisados.
Este documento apresenta um quiz sobre equações de 1o grau com o objetivo de ensinar os conceitos de forma lúdica para alunos do 7o ano. Ele contém 5 perguntas sobre definição de equação, resolução de equações e identificação dos membros de uma equação, com respostas justificadas.
A geometria estuda as formas e o espaço. Os elementos geométricos mais simples são o ponto, a reta e o plano. O ponto não tem dimensão, a reta tem uma dimensão de comprimento e o plano tem duas dimensões de largura e comprimento.
O documento discute operações com frações, especificamente adição e subtração. Explica o conceito de fração, sua origem histórica e como representá-las geometricamente. Apresenta exemplos de como realizar adição e subtração de frações com mesmo e diferente denominador, incluindo a necessidade de encontrar frações equivalentes.
Este documento apresenta uma introdução à estatística, dividindo-a em estatística descritiva e inferência estatística. Também discute pesquisa estatística, terminologia estatística e classificação de variáveis. Finaliza com um modelo de questionário.
O documento apresenta fórmulas para calcular áreas de várias figuras geométricas planas, como quadrados, retângulos, triângulos, círculos e polígonos regulares. Inclui também exemplos passo a passo de como aplicar essas fórmulas para determinar áreas.
O documento descreve as principais fases do trabalho estatístico: 1) Definição do problema, onde se formula o problema a ser estudado; 2) Definição dos objetivos, onde se definem os objetivos do estudo de forma precisa; 3) Planejamento, onde se determina o procedimento para resolver o problema, quais dados coletar e como coletá-los.
Este documento explica conceitos básicos de estatística, incluindo: (1) estatística serve para coletar, organizar e interpretar dados para tirar conclusões e previsões; (2) população e amostra são conjuntos de elementos estudados; (3) variáveis podem ser qualitativas ou quantitativas. Ele também apresenta um exemplo de construção de tabela de frequências e gráfico de barras para organizar dados sobre número de irmãos de alunos.
O documento explica o que são arranjos simples, que são agrupamentos onde a ordem dos elementos faz diferença. Ele fornece a fórmula geral para calcular a quantidade de arranjos simples de um conjunto e ilustra com três exemplos de como aplicar a fórmula.
Este documento apresenta atividades realizadas na sala de informática da Escola Municipal Nerone Maiolino no 2o semestre de 2013. É descrito um exercício de Matemática do 6o ano sobre cálculo de média aritmética, moda e mediana com base em dados reais de batimentos cardíacos de estudantes. O documento explica como organizar os dados em uma tabela de distribuição de frequências e calcula as medidas estatísticas para os dados apresentados.
[1] O documento discute medidas de tendência central para analisar dados amostrais, incluindo média, mediana e moda. [2] Aplica esses conceitos a dados reais de batimentos cardíacos de estudantes para calcular cada medida. [3] A moda é 76 batimentos por minuto, a média é 81,71 e a média ponderada é 81,48.
1. O documento discute conceitos estatísticos como população, amostra, variáveis, tabelas de frequência, medidas de tendência central e tipos de gráficos.
2. Inclui exemplos de como organizar, resumir e apresentar dados estatísticos através de tabelas, gráficos de barras e circulares.
3. Fornece instruções passo-a-passo para analisar e interpretar dados sobre número de irmãos e altura de jogadores de basquete.
Este documento apresenta o conceito e cálculo de medidas de tendência central, especificamente a média aritmética, mediana e moda. Inclui exemplos de como calcular a média para dados isolados, tabelados e agrupados em intervalos de classe. Há também atividades propostas para que o leitor calcule médias com base em dados apresentados.
O documento define termos estatísticos como estatística, população, amostra e características quantitativas e qualitativas. Explica como organizar dados em tabelas de frequências e apresentá-los em gráficos. Também define medidas de tendência central como moda, média e mediana e fornece exemplos de como calculá-las.
O documento introduz os principais conceitos estatísticos, como: estatística serve para coletar, organizar e analisar dados para apresentar resultados conclusivos de pesquisas; população e amostra; variáveis qualitativas e quantitativas; frequência absoluta e relativa; medidas de tendência central como média, mediana e moda.
O documento discute os tipos de dados estatísticos e como organizá-los e representá-los. Apresenta dados qualitativos sobre estado civil e dados quantitativos discretos e contínuos sobre número de irmãos e altura respectivamente. Explica como calcular média, mediana e moda para cada tipo de dado e como construir tabelas de frequências e gráficos para sua representação.
O documento discute os tipos de dados estatísticos e como organizá-los e representá-los. Apresenta dados qualitativos sobre estado civil e dados quantitativos discretos e contínuos sobre número de irmãos e altura respectivamente. Explica como calcular média, mediana e moda para cada tipo de dado e como construir tabelas de frequências e gráficos para sua representação.
Este documento descreve medidas de tendência central como média, mediana e moda. Explica como calcular a média aritmética, média ponderada, e define moda e mediana. Fornece exemplos de como aplicar esses conceitos para caracterizar conjuntos de dados.
O documento discute conceitos estatísticos básicos como população, amostra, censo, sondagem, variável estatística, frequência absoluta e relativa. Explica diferentes tipos de gráficos como gráficos de barras, pictogramas e histogramas que podem ser usados para representar dados estatísticos. Também define medidas de tendência central como média, moda e mediana e medidas de dispersão como amplitude e amplitude interquartis.
Aprenda fazer uma distribuição de frequência, EstatisticaPedro Kangombe
1) O documento discute a importância da estatística para coletar e analisar dados que auxiliam na tomada de decisões. 2) A estatística é dividida em três áreas: estatística descritiva, inferencial e probabilidade. 3) São apresentados exemplos de como estatísticos coletam dados do governo e empresas para planejamento.
O documento discute conceitos básicos de estatística, incluindo:
1) População, amostra, censo e sondagem são termos relacionados a estudos estatísticos;
2) Variáveis estatísticas podem ser quantitativas ou qualitativas;
3) Medidas como média, moda e mediana são usadas para descrever tendências centrais de dados.
Capítulo iv medidas de tendência centralcon_seguir
O documento discute medidas estatísticas de tendência central como média, mediana e moda. Apresenta as definições dessas medidas e como calculá-las. Explica que a média é o valor médio de um conjunto de dados, a mediana é o valor no meio da distribuição e a moda é o valor que mais se repete. Fornece exemplos e exercícios para demonstrar o cálculo dessas medidas.
O documento discute técnicas estatísticas descritivas para resumir e analisar dados, como tabelas, gráficos e medidas resumo. Aborda os tipos de variáveis e como representá-las visualmente para responder perguntas sobre os dados de forma eficiente.
Este documento apresenta um resumo sobre medidas de tendência central em estatística, incluindo média, mediana e moda. Explica como calcular cada medida e fornece exemplos para ilustrar os cálculos. Também fornece referências adicionais para estudos sobre o tema.
1. O documento apresenta notas de aula sobre estatística. 2. As notas de aula abordam tópicos como conceitos básicos de estatística, apresentação de dados, distribuição de frequências, medidas de tendência central e dispersão, teoria da probabilidade, variáveis aleatórias, modelos de probabilidade, inferência estatística e análise de correlação e regressão. 3. O documento serve como guia para estudantes aprenderem os principais conceitos e técnicas da estatística.
O documento introduz os conceitos básicos de estatística, definindo termos como população, amostra, variáveis, dados brutos e tipos de variáveis. Explica a importância da estatística para tomada de decisões em administração e indústria.
1) O documento discute medidas de tendência central como média, moda e mediana. 2) A média é o valor médio obtido somando todos os valores e dividindo pela quantidade total, a moda é o valor que mais se repete, e a mediana separa os dados em duas metades iguais. 3) Exemplos ilustram o cálculo dessas medidas para diferentes conjuntos de dados.
1. O documento apresenta notas de aula sobre estatística ministradas por um professor.
2. As notas de aula abordam diversos tópicos estatísticos como estatística descritiva, inferencial, probabilidade, variáveis aleatórias, distribuições de probabilidade e inferência estatística.
3. O documento apresenta os conceitos de forma organizada em 18 seções numeradas e fornece exemplos ilustrativos para cada tópico.
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Calculo da Media aritmética, moda e mediana em situações do cotidiano.ppt
1. Matemática e suas
Tecnologias - Matemática
Ensino Fundamental, 6º Ano
Calculo da média aritmética, moda e
mediana em situações do cotidiano
2. Matemática, 6º Ano do Ensino Fundamental
Cálculo da média aritmética, moda e mediana
Cálculo da média aritmética, moda e mediana
em situações do cotidiano
Objetivos:
• Entender como se dá a distribuição de dados em uma amostra
e como obter informações importantes do universo amostral;
• Conhecer os conceitos das medidas de tendência centrais:
média aritmética (simples e ponderada), moda e mediana de
uma amostra finita;
• Aplicar esses conceitos em diversas situações do nosso
cotidiano.
3. Matemática, 6º Ano do Ensino Fundamental
Cálculo da média aritmética, moda e mediana
Cálculo da média aritmética, moda e mediana
em situações do cotidiano
Um pouco de história:
• A origem da palavra Estatística está associada à palavra latina STATUS
(Estado). Há indícios de que 3000 anos A.C. já se faziam censos na
Babilônia, China e Egito e até mesmo o 4o livro do Velho Testamento faz
referência à uma instrução dada a Moisés, para que fizesse um
levantamento dos homens de Israel que estivessem aptos para guerrear.
• Seus fundamentos do ponto de vista matemático foram estabelecidos no
século XVII com o surgimento da teoria das probabilidades, devido a Pascal
e Fermat, inicialmente aplicados ao estudo dos jogos de azar.
• Atualmente, o uso de computadores modernos permite a computação e a
análise de dados estatísticos em larga escala e também tornam possíveis
novos métodos antes impraticáveis. http://pt.wikipedia.org/wiki/História_da_estatística
Confira o link!
4. Matemática, 6º Ano do Ensino Fundamental
Cálculo da média aritmética, moda e mediana
Estatística e organização dos dados
Como sabemos, a estatística é o ramo da Matemática que de modo geral
coleta, organiza, analisa e fornece informações quantitativas sobre uma
determinada população ou coleção de elementos.
Como quase sempre não é possível obter as informações sobre todos os
elementos da população, nos limitamos a pesquisar uma pequena parte
dela, a qual chamaremos de amostra.
Assim, a amostra representará a população e por isso deve ser formada
de modo imparcial, sem privilegiar ou diminuir nenhum de seus
componentes, para que as conclusões sejam imparciais e consistentes.
Ainda em relação à amostra, estudaremos as variáveis, ou seja, as
características da população representada pela amostra que queremos
analisar.
5. Matemática, 6º Ano do Ensino Fundamental
Cálculo da média aritmética, moda e mediana
Situação-problema:
Em uma turma de uma escola de Medicina, um aluno registrou o
batimento cardíaco por minuto de seus colegas, obtendo os seguintes
dados:
75 76 77 78 79 80 85 88
90 92 75 76 78 78 90 76
78 76 90 92 75 76 77 85
85 85 88 77 77 92 90 78
85 79 90 76 78 76 77 92
90 76 85 80 90 80 78 76
Observe que nesta tabela, muitos
valores aparecem repetidas vezes.
Mais ainda, os dados encontram-
se dispostos de modo aleatório,
complicando uma análise mais
detalhada de seus elementos.
Assim, somos levados a produzir um tipo especial de tabela, a fim de
facilitar o entendimento e a análise dos seus dados. A esse tipo de tabela
chamaremos de distribuição de frequências.
A frequência de um valor será o número de vezes que esse valor
aparece na amostra (tabela):
6. Matemática, 6º Ano do Ensino Fundamental
Cálculo da média aritmética, moda e mediana
Número de batimento
cardíacos por minuto
75 76 77 78 79 80 85 88 90 92
Frequência 3 9 5 7 2 3 6 2 7 4
Deste modo, podemos expressar os dados de acordo com a seguinte
distribuição de frequências:
Observamos, por exemplo, que ao todo 5 alunos da turma apresentaram
77 batimentos cardíacos por minuto.
Observamos ainda que a menor frequência cardíaca observada foi 75
batimentos por minuto e que a maior foi 92 batimentos por minuto,
correspondendo a 3 e 4 alunos, respectivamente.
Mais ainda, podemos afirmar que 76 batimentos por minuto foi a
frequência cardíaca que apareceu mais vezes na tabela.
7. Matemática, 6º Ano do Ensino Fundamental
Cálculo da média aritmética, moda e mediana
Medidas Estatísticas
Como vimos, a distribuição de frequências é uma ferramenta que facilita
a descrição de um modo mais resumido de nossa população ou amostra e
proporciona uma primeira análise que valores de uma determinada
variável em estudo pode assumir.
Para obter uma análise mais aprofundada, podemos fazer uso de medidas
que expressam tendências de determinada característica ou valores de
nossa amostra.
Deste modo, estudaremos algumas medidas de tendência central, que de
modo simplificado, trazem consigo informações do comportamento geral
da população ou amostra estudada. Assim, consideramos as seguintes
medidas estatísticas:
Média Aritmética Média Aritmética Ponderada
Moda Mediana
8. Matemática, 6º Ano do Ensino Fundamental
Cálculo da média aritmética, moda e mediana
Média Aritmética
A média aritmética, ou simplesmente média, é uma medida de tendência
central que se comporta com o ponto de equilíbrio dos valores obtidos a
partir de um conjunto de dados.
Dentre todas as medidas de tendência, talvez seja a mais popular, pois
desde o início de nossa vida escolar somos obrigatoriamente
apresentados a ela e nos habituamos com seu cálculo, que por ser
simples é bastante utilizada no nosso cotidiano.
Quando nossa amostra ou população apresenta uma distribuição de
frequências aproximadamente simétrica e não apresenta valores muito
deslocados, isto é, valores extremamente afastados uns dos outros, sua
utilização para estimar informações da amostra se torna mais eficiente.
9. Matemática, 6º Ano do Ensino Fundamental
Cálculo da média aritmética, moda e mediana
Média Aritmética
Para calcular a média aritmética de dois ou mais dados numéricos, dividimos
a soma desses números pela quantidade dos números dados.
Vejamos com isso se aplica na nossa situação-problema:
Considerando inicialmente as frequências cardíacas que apareceram, isto
é, desconsideramos as frequências de cada uma delas.
Assim, os valores para os quais calcularemos a média aritmética serão:
Número de batimento
cardíacos por minuto
75 76 77 78 79 80 85 88 90 92
Frequência 3 9 5 7 2 3 6 2 7 4
.
92
90
,
88
,
85
,
80
,
79
,
78
,
77
,
76
,
75 e
10. Matemática, 6º Ano do Ensino Fundamental
Cálculo da média aritmética, moda e mediana
Média Aritmética
Assim, podemos ver que a média aritmética, ou simplesmente a média,
será dada por:
De modo geral, podemos dizer que na média a frequência cardíaca dos
alunos da turma foi de 82 batimentos por minuto. Isso significa dizer que
se todos os batimentos fossem iguais, esse seria o valor encontrado.
Observe ainda que o valor da média aritmética é sempre maior ou igual
que o menor valor e menor ou igual que o maior valor da lista de números.
.
82
10
820
10
92
90
88
85
80
79
78
77
76
75
Média
11. Matemática, 6º Ano do Ensino Fundamental
Cálculo da média aritmética, moda e mediana
Média Aritmética Ponderada
Para calcular a média aritmética ponderada dos dados numéricos de uma
tabela de distribuição de frequências, dividimos a soma desses números,
multiplicados pelas suas respectivas frequências, pela quantidade total dos
dados, isto é, pela soma de todas as frequências.
Voltemos à nossa situação-problema:
Agora, consideramos as frequências cardíacas que apareceram na tabela
de distribuição de frequências, bem como suas respectivas frequências.
Ou seja, calculamos a média aritmética ponderada utilizando os valores
dos batimentos cardíacos que aparecem na tabela, bem como suas
respectivas frequências.
12. Matemática, 6º Ano do Ensino Fundamental
Cálculo da média aritmética, moda e mediana
Média Aritmética Ponderada
Assim, temos que sua média aritmética ponderada será dada por:
Observe que este valor representa melhor os valores encontrados, pois dá
a devida contribuição de todos os valores de batimentos cardíacos
presentes na tabela.
.
7
,
81
48
3922
4
7
2
6
3
2
7
5
9
3
4
92
7
90
2
88
6
85
3
80
2
79
7
78
5
77
9
76
3
75
Média
Número de batimento
cardíacos por minuto
75 76 77 78 79 80 85 88 90 92
Frequência 3 9 5 7 2 3 6 2 7 4
13. Matemática, 6º Ano do Ensino Fundamental
Cálculo da média aritmética, moda e mediana
Moda
Por definição, a moda de uma coleção de dados amostrais ou
populacionais é simplesmente o valor que aparece o maior número de
vezes, isto é, aquele que apresenta a maior frequência observada na
tabela de distribuição de frequências.
Em amostras grandes ou com valores muito repetidos, há casos em que a
moda não é única, situações em que dois ou mais valores amostrais
tenham ocorrido com a mesma frequência e esta quantidade de
ocorrências seja máxima.
Assim, dependendo de cada caso, podemos ter distribuições monomodais,
ou simplesmente modais, bimodais, trimodais ou ainda multimodais.
Pode acontecer ainda o caso em que todos os valores amostrais tenham
apresentado o mesmo número de ocorrências, significando que neste
caso não há moda, pois nenhum valor se destacou, configurando assim
uma distribuição amodal.
14. Matemática, 6º Ano do Ensino Fundamental
Cálculo da média aritmética, moda e mediana
Moda
Moda é o elemento (ou os elementos) que aparece com a maior frequência na
lista de todos os dados pesquisados, isto é, aqueles elementos que se
destacam pela maior quantidade na tabela de distribuição de frequências
analisada.
Assim, vejamos nossa tabela de distribuição de frequências da situação-
problema:
Observe que 76 batimentos cardíacos por minuto é o valor que mais
aparece na tabela e que sua frequência é 9.
Neste caso, dizemos 76 é a moda dessa amostra de dados estatísticos.
Número de batimento
cardíacos por minuto
75 76 77 78 79 80 85 88 90 92
Frequência 3 9 5 7 2 3 6 2 7 4
15. Matemática, 6º Ano do Ensino Fundamental
Cálculo da média aritmética, moda e mediana
Moda
Agora, considerando uma outra distribuição de frequências, poderíamos
obter resultados diferentes:
Neste caso, temos uma distribuição trimodal com os valores de 77, 80 e
90 batimentos cardíacos por minuto.
Por outro lado a distribuição abaixo é amodal, visto que todos os valores
apresentam a mesma frequência:
Número de batimento
cardíacos por minuto
75 76 77 78 79 80 85 88 90 92
Frequência 2 4 8 7 2 8 6 2 8 4
Número de batimento
cardíacos por minuto
75 76 77 78 79 80 85 88 90 92
Frequência 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
16. Matemática, 6º Ano do Ensino Fundamental
Cálculo da média aritmética, moda e mediana
Mediana
A mediana de uma distribuição de frequências é definida como o valor
ocupante da posição central da coleção ordenada de modo crescente ou
decrescente dos dados amostrais.
Deste modo, sua principal propriedade é dividir o conjunto das
informações em dois subconjuntos iguais com o mesmo número de
elementos: os valores que são menores ou iguais à mediana e os valores
que são maiores ou iguais à mediana.
Note que se um valor for extremamente deslocado, ou seja, muito afastado
dos outros, a mediana não será influenciada por este, ao contrário da
média, pois, por definição, é uma medida estatística vinculada à posição
ocupada e não à proximidade dos valores apresentados.
Assim, se um valor for extremamente pequeno ou grande, não influenciará
no cálculo da mediana.
17. Matemática, 6º Ano do Ensino Fundamental
Cálculo da média aritmética, moda e mediana
Mediana
Para calcular a mediana dos dados numéricos de uma tabela de distribuição
de frequências, ordenamos estes valores de modo crescente ou decrescente,
repetindo-os de acordo com as suas respectivas frequências, e tomamos o
valor que divide esta tabela em dois grupos iguais, isto é, com a mesma
quantidade de elementos.
De modo simples, se o número de elementos da amostra N for um número
ímpar, ou seja, N=2n+1, tomamos o elemento de ordem n+1.
Agora, no caso que este número de elementos é par, N=2n, tomamos a
média aritmética dos termos de ordem n e n+1.
Desse modo, a situação-problema tem 48 elementos que a compõem.
Assim, tomamos os termos de ordem 24 e 25, respectivamente dados por
79 e 79, e calculamos sua média aritmética, obtendo, assim, o valor da
mediana desta amostra como sendo igual a 79.
18. Matemática, 6º Ano do Ensino Fundamental
Cálculo da média aritmética, moda e mediana
Quando usar a média, a moda ou a mediana?
Usamos a média quando a distribuição dos dados for simétrica (ou quase) e
não apresenta valores muito deslocados, visto que é a medida de tendência
central mais popular e fácil de ser calculada.
Devemos usar a mediana quando aparecem valores deslocados na
distribuição dos dados, pois ela não é influenciada por valores extremos.
Usamos a moda quando existirem variáveis qualitativas e nominais, visto que
neste caso é a única medida de tendência central que podemos obter. Além
disso, quando queremos evidenciar o valor (ou valores) que mais aparece na
distribuição de frequências dos dados.
19. Matemática, 6º Ano do Ensino Fundamental
Cálculo da média aritmética, moda e mediana
http://www.youtube.com/watch?v=TIaURF9ieM4
HORA DO FILME!
Ficou alguma dúvida?
Antes de alguns exemplos e exercícios, vamos assistir a um vídeo
postado no Youtube para revisar o que acabamos de aprender!
Clique no link ao lado para assistir ao filme:
20. Matemática, 6º Ano do Ensino Fundamental
Cálculo da média aritmética, moda e mediana
Exercícios Resolvidos
1. Uma fábrica do Complexo Industrial de SUAPE para estimar o número de
lâmpadas consumidas por ano, registrou o tempo de duração das lâmpadas
utilizadas em dias, obtendo a seguinte tabela:
21 25 23 28 19
23 23 20 25 21
20 19 19 20 20
25 28 28 20 21
20 19 19 25 19
a) Construa uma tabela de
distribuição de frequências
associada a esta tabela;
b) Determine a média aritmética
ponderada, obtendo o tempo
médio de duração de uma
lâmpada;
c) Estime o número de lâmpadas necessárias durante um ano comercial
para um ponto de luz desta empresa.
21. Matemática, 6º Ano do Ensino Fundamental
Cálculo da média aritmética, moda e mediana
Solução:
Duração de uma lâmpada (em dias) 19 20 21 23 25 28
Frequência 6 6 3 3 4 3
Inicialmente construímos uma tabela de distribição de frequências, respondendo
assim o item (a):
(b) Agora, podemos então calcular o tempo médio de duração de uma lâmpada:
(c) Finalmente, podemos estimar o número de lâmpadas necessárias para manter
um ponto de luz durante um ano comercial:
.
22
25
550
3
4
3
3
6
6
3
28
4
25
3
23
3
21
6
20
6
19
dias
TM
.
17
22
360
360
lâmpadas
T
N
M
22. Matemática, 6º Ano do Ensino Fundamental
Cálculo da média aritmética, moda e mediana
Exercícios Resolvidos
2. O IBOPE pesquisou qual é o esporte preferido pelos moradores de uma
certa cidade. Para isto, entrevistou 2.500 pessoas, obtendo o seguinte
resultado:
a) Qual é o esporte que apresenta
maior frequência nesta tabela?
b) E qual é o esporte que apresenta
menor frequência?
c) Qual o percentual da população
prefere voleibol?
d) Você saberia dizer qual é o esporte da moda? Justifique sua opinião!
Esporte preferido Número de pessoas
Futebol 650
Voleibol 350
Natação 420
Tênis 280
Basquete 300
Boxe 220
Corrida 280
23. Matemática, 6º Ano do Ensino Fundamental
Cálculo da média aritmética, moda e mediana
Solução:
a) Note que o esporte que
apresenta a maior popularidade
nesta tabela é o futebol com a
preferência de 650 pessoas.
b) Por outro lado, o esporte que
apresenta a menor popularidade
é o boxe, preferido por 220
pessoas.
c) O percentual da população que
prefere o voleibol é
Esporte preferido Número de pessoas
Futebol 650
Voleibol 350
Natação 420
Tênis 280
Basquete 300
Boxe 220
Corrida 280
%.
14
50
7
2500
350
d) O esporte da moda é o futebol, pois como o próprio nome
indica é a moda da tabela de frequências acima.
24. Matemática, 6º Ano do Ensino Fundamental
Cálculo da média aritmética, moda e mediana
Exercícios Resolvidos
3. Insatisfeito com seu salário, um funcionário pesquisou nas empresas
vizinhas quanto ganhavam seus colegas que exerciam a mesma função:
1200,00 1400,00 1000,00
1050,00 1500,00 1400,00
1350,00 1100,00 1300,00
1200,00 1300,00 1400,00
a) Construa uma tabela de
distribuição de frequências
associada aos valores encontrados;
b) Determine o salário médio desses
funcionários;
c) Determine o salário modal desses
funcionários;
d) Sabendo que ele ganha R$ 1200,00, você acha que ele deve pedir
aumento? Justifique!
25. Matemática, 6º Ano do Ensino Fundamental
Cálculo da média aritmética, moda e mediana
Solução: 1200,00 1400,00 1050,00
1050,00 1500,00 1400,00
1350,00 1100,00 1300,00
1200,00 1300,00 1400,00
a) Da tabela ao lado contruímos a
seguinte tabela de distribuição de
frequências associada aos salários
encontrados;
Salário de cargo
equivalente
1050,00 1100,00 1200,00 1300,00 1350,00 1400,00 1500,00
Frequência 2 1 2 2 1 3 1
Deste modo, temos que:
b) O salário médio destes funcionários é reais.
c) O salário modal dos funcionários é R$ 1400,00.
d) Sim, pois o salário médio e o salário modal encontrados na vizinhança
são maiores do que o salário do funcionário.
00
,
1271
12
15250
M
S
26. Matemática, 6º Ano do Ensino Fundamental
Cálculo da média aritmética, moda e mediana
Exercícios Resolvidos
4. No edifício em que moro foi feito um censo dos moradores e identificados
os jovens com idade entre 15 e 20 anos conforme o seguinte gráfico:
a) Quantos jovens residem no
edifício?
b) Calcule a média de idade dos
garotos e das garotas, bem como
a média de idade dos jovens;
c) Determine a idade modal das
garotas, dos garotos e dos
jovens do edifício;
d) Calcule a idade mediana dos garotos, das garotas e dos jovens.
0
2
4
6
8
10
12
14
15
anos
16
anos
17
anos
18
anos
19
anos
20
anos
Garotos
Garotas
27. Matemática, 6º Ano do Ensino Fundamental
Cálculo da média aritmética, moda e mediana
Solução:
a) É fácil ver que no edifício moram
53 garotos e 47 garotas,
totalizando 100 jovens.
b) As médias de idades
aproximadamente são: 19 anos é
a média de idade dos garotos,18
é a média de idade das garotas e
18 é a média de idade dos
jovens. c) A idade das garotas é bimodal
com valores 16 e 19 anos, dos
garotos é modal com valor de 20
anos e dos jovens é trimodal com
valores 16, 19 e 20 anos.
d) As idades medianas dos garotos,
das garotas e dos jovens são todas
18 anos.
0
2
4
6
8
10
12
14
15
anos
16
anos
17
anos
18
anos
19
anos
20
anos
Garotos
Garotas
28. Matemática, 6º Ano do Ensino Fundamental
Cálculo da média aritmética, moda e mediana
Exercícios Propostos:
1. Uma concessionária de veículos vendeu no primeiro semestre de um ano
as quantidades de automóveis indicadas no quadro abaixo:
a) Qual foi o número total de carros
vendidos no semestre?
b)Qual foi o número médio de carros
vendidos por mês?
c) Quantos carros foram vendidos
acima da média no mês de maio?
Mês Jan Fev Mar Abr Mai Jun
Qtd de carros vendidos 38 30 25 36 38 31
d) Tomando como referência os três
primeiros meses, faça uma
estimativa de quantos carros
deveriam ter sido vendidos no
primeiro semestre.
e) Compare os resultados dos itens
(a) e (d). Por que eles não são
iguais? Justifique!
29. Matemática, 6º Ano do Ensino Fundamental
Cálculo da média aritmética, moda e mediana
Exercícios Propostos:
2. Em uma turma com 30 alunos, foram obtidas as seguintes notas em
Matemática:
2,0 3,0 4,0 3,0 4,0 5,0
4,0 5,0 6,0 6,0 5,0 4,0
6,0 7,0 5,0 3,0 4,0 8,0
7,0 5,0 2,0 9,0 9,0 9,0
10,0 2,0 9,0 7,0 10,0 8,0
a) Construa uma tabela de distribuição
de frequências associada às notas
dos alunos da turma;
b) Calcule a média aritmética das notas;
c) Determine a nota mediana da turma;
d) Obtenha a nota modal desta tabela.
30. Matemática, 6º Ano do Ensino Fundamental
Cálculo da média aritmética, moda e mediana
Exercícios Propostos:
3. (PUC-SP) A média aritmética de 100 números é igual a 40,19. Retirando-se
um desses números, a média aritmética dos 99 números restantes passará a
se 40,5. O número retirado equivale a:
a) 9,5 % d) 750%
b) 75% e) 950%
c) 95%
4. (UNICAMP-SP) A média aritmética das idades de um grupo de 120 pessoas
é de 40 anos. Se a média aritmética das idades das mulheres é de 35 anos e a
dos homens é de 50 anos, qual o números de pessoas de cada sexo, no
grupo?
31. Matemática, 6º Ano do Ensino Fundamental
Cálculo da média aritmética, moda e mediana
Exercícios Propostos:
5. (PUC-SP) O gráfico abaixo apresenta a distribuição de frequências das
faixas salariais numa pequena empresa:
Com os dados disponíveis, pode-se concluir que a média desses salários é,
aproximadamente:
0
2
4
6
8
10
12
14
16
500 1000 1500 2000 2500
Salários em reais
Números
de
funcionários
a) R$ 420,00 b) R$ 536,00 c) R$ 652,00 d) R$ 640,00 e) R$ 708,00
32. Matemática, 6º Ano do Ensino Fundamental
Cálculo da média aritmética, moda e mediana
Respostas:
1. (a) 198 carros (b) 33 carros c) 5 carros d) 186 carros
(e) Os resultados são diferentes, pois no segundo trimestre foram vendidos
mais carros que o esperado.
2. (a)
(b) 5,7 (c) 5,0 (d) bimodal: 4,0 e 5,0
3. (e) 950% 5. (e) R$ 708,00
4. 40 homens e 80 mulheres
Notas dos
alunos
2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0
Frequência 3 3 5 5 3 3 2 4 2
33. Matemática, 6º Ano do Ensino Fundamental
Cálculo da média aritmética, moda e mediana
Referências Bibliográficas:
[1] Toledo, G. L.& Ovalle, I. I. Estatística básica, 2a edição, São Paulo: Atlas,
1986.
[2] Bolfarine, H. & Bussab, W.O. Elementos de amostragem, Edgard Blucher,
1999.
[3] Moore, D. S. A estatísitica básica e sua prática, 2a edição, São Paulo: LTC,
2005.
[4] Bussab, W. O. & Morettin, P. A. Estatística básica, 4a edição, São Paulo:
Atual, 1987.
[5] Larson, R. & Fraber, B. Estatística aplicada, tradução de Cyro C. de
Patarra, São Paulo: Prentice Hall, 2004.
[6] Triola, M. F. Introdução à estatística, tradução de Alfredo A. de Farias, 7a
edição, Rio de Janeiro: LTC, 1999.