O documento apresenta os principais teoremas de Stokes sobre campos elétricos e magnéticos, incluindo: (1) o Teorema da Divergência, o Teorema do Rotacional e as Leis de Gauss para eletricidade e magnetismo; (2) a Lei de Faraday e a Lei de Ampère-Maxwell; e (3) as Equações de Maxwell na forma diferencial. Exemplos numéricos ilustram a aplicação destes teoremas.

1. Teoremas de Stokes
George Stokes (1819-1903)
Teorema da Divergência:
Teorema do Rotacional:

2. Lei de Gauss para Eletricidade:
Equação de Poisson

3. Lei de Gauss para Magnetismo:
r r r
∫ B ⋅ ndS =∫∫∫ ∇.BdV = 0
S
ˆ
V
r r
∇.B = 0
Lei de Faraday:
r r dΦ B d r
∫ E ⋅ dl = − dt = − dt ∫∫ B.ndS
C S
ˆ
( )
r r r r
∫ E ⋅ dl =∫∫ ∇ × E .ndS
C S
ˆ
( )
r r d r
∫∫ ∇ × E .ndS = − dt ∫∫ B.ndS
S
ˆ
S
ˆ
r
r r dB
∇× E = −
dt

4. Lei de Ampère-Maxwell:
( )
r r r r
∫∫ ( )
r r r
∫ B ⋅ dl = ∫∫ ∇ × B .ndS = µ0iT
C S
ˆ ∇ × B .ndS = µ 0 ∫∫ J .ndS
ˆ ˆ
S S
r r r r
iT = ∫∫ J .ndS
ˆ ∇ × B = µ0 J
S
Equações de Maxwell na forma diferencial:
S
r r ρ r
r r
∇.E = ∇× E = −
dB
ε0 dt
r r r r r
∇.B = 0 ∇ × B = µ0 J

5. Exercícios Resolvidos
1. Capacitor de placas paralelas e circulares
R = 3,0 cm; d = 1,3 mm; dV/dt = 120 V/s
dE V dE 1 dV 120 4 V
=? E= ⇒ = = −3
= 9,2 x10
dt d dt d dt 1,3 x10 m.s
id = ? dΦ E d (E. A) ε 0 A dV
id = ε 0 = ε0 =
dt dt d dt
8,85 x10 −12.π (0,03)
2
id = −3
.120 = 2,3nA
1,3 x10

6. Exercícios Resolvidos
r
2. B = a.sen(b. y ).eb. x z
ˆ
r
J =?
r r r
∇ × B = µ 0 J ⇒ Lei de Ampère - Maxwell na forma diferencial
r r  ∂Bz ∂B y   ∂Bx ∂Bz   ∂B y ∂Bx 
∇× B = 
 − i + 
ˆ − ˆ+
j  − k ˆ
 ∂y ∂z   ∂z
 ∂x   ∂x ∂y 

[ ] [ ]
r r ∂Bz ∂Bz ˆ r
∇× B = i−
ˆ j = a.b. cos(b. y )e i − a.b.sen(b. y )e j = µ 0 J
b. x ˆ b. x ˆ
∂y ∂x
r a.b.e b. x
J=
µ0
[ ˆ ]
cos(b. y )i − sen(b. y ) ˆ
j