O documento apresenta 68 problemas resolvidos de física sobre potencial elétrico, extraídos do livro Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4a Edição. Os problemas abordam tópicos como cálculo de distâncias entre cargas para que a energia potencial seja nula, determinação de potencial elétrico no centro de um anel carregado e cálculo de componentes do campo elétrico gerado por distribuições de carga uniforme.

1. PROBLEMAS RESOLVIDOS DE FÍSICA
Prof. Anderson Coser Gaudio
Departamento de Física – Centro de Ciências Exatas – Universidade Federal do Espírito Santo
http://www.cce.ufes.br/anderson
anderson@npd.ufes.br Última atualização: 30/08/2005 13:21 H
RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED.,
LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.
FÍSICA 3
Capítulo 30 - Potencial Elétrico
Problemas
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68

2. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos
04. As cargas mostradas na Fig. 26 estão fixas no espaço. Encontre o valor da distância x tal que a
energia potencial elétrica do sistema seja nula.
(Pág. 72)
Solução.
Considere o esquema abaixo:
q1 d q2 q3
x
Energia potencial elétrica nula:
1 qi q j
U =∑ =0
i < j 4πε 0 rij
1 ⎛ q1q2 q1q3 q2 q3 ⎞
⎜ + + ⎟=0
4πε 0 ⎝ r12 r13 r23 ⎠
q1q2 q1q3 q2 q3
+ + =0
d x+d x
q1q2 x 2 + ( q1q2 + q1q3 + q2 q3 ) x + q2 q3d = 0 (1)
Raízes de (1):
x1 = −0, 07823 cm
x2 = 0, 20514 cm
Como x é uma distância, deve ser maior do que zero. Logo:
x ≈ 20,5 cm
[Início]
38. Uma quantidade total de carga positiva Q é espalhada sobre um anel circular plano de raio
interno a e raio externo b. A carga é distribuída de modo que a densidade de carga (carga por
unidade de área) é dada por σ = k/r3, onde r é a distância desde o centro do anel a qualquer
ponto deste. Mostre que o potencial no centro do anel é dado por
Q ⎛ a+b⎞
V= ⎜ ⎟
8πε 0 ⎝ ab ⎠
(Pág. 75)
Solução.
Considere o esquema abaixo:
________________________________________________________________________________________________________ 2
a
Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 30 – Potencial Elétrico

3. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
rdθ
dr
dq dθ
a
Q
q b
Elemento de carga no anel:
dq k
σ= =
dA r 3
dq k
= 3
rdrdθ r
kdrdθ
dq = (1)
r2
Carga total no anel:
Q = ∫ dq (2)
Substituindo-se (1) em (2):
b 2π dθ dr
Q = ∫ dq = k ∫ ∫
a 0 r2
⎛1 1⎞
Q = 2π k ⎜ − ⎟
⎝a b⎠
Potencial elétrico no centro do anel:
1 dq
dV =
4πε 0 r
1 dq
V = ∫ dV = ∫ (3)
4πε 0 r
Substituindo-se (1) em (3):
k b 2π dθ dr
4πε 0 ∫a ∫0 r 3
V=
k ⎛ 1 1⎞
V= ⎜ − ⎟
4ε 0 ⎝ a 2 b 2 ⎠
k ⎛ 1 1 ⎞⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 2π ⎞
V= ⎜ − ⎟⎜ + ⎟ × ⎜ ⎟
4ε 0 ⎝ a b ⎠⎝ a b ⎠ ⎝ 2π ⎠
⎡ ⎛ 1 1 ⎞⎤ 1 ⎛ 1 1 ⎞
V = ⎢ 2π k ⎜ − ⎟ ⎥ ⎜ + ⎟
⎣ ⎝ a b ⎠ ⎦ 8πε 0 ⎝ a b ⎠
O termo entre colchetes é a carga total Q:
Q ⎛1 1⎞
V= ⎜ + ⎟
8πε 0 ⎝ a b ⎠
________________________________________________________________________________________________________ 3
a
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4. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
[Início]
51. Em um bastão fino de comprimento L, que está sobre o eixo x, com uma extremidade na origem
(x = 0), como na Fig. 42, está distribuída uma carga por unidade de comprimento dada por λ =
kx, sendo k uma constante. (a) Considerando nulo o potencial eletrostático no infinito, determine
V no ponto P do eixo y. (b) Determine a componente vertical Ey do campo elétrico em P,
utilizando o resultado de (a) e também por cálculo direto. (c) Por que a componente horizontal
Ex do campo elétrico em P não pode ser encontrada usando o resultado de (a)? A que distância
do bastão, ao longo do eixo y, o potencial é igual à metade do seu valor na extremidade
esquerda do bastão?
(Pág. 76)
Solução.
Considere o esquema abaixo:
y
dE θ
P
θ
r dq
y
x
dx x
(a) Elemento de potencial (dV) gerado pelo elemento de carga (dq):
1 dq 1 dq
dV = = (1)
4πε 0 r 4πε 0 y 2 + x 2 1/ 2 ( )
Elemento de carga (dq):
dq
λ= = kx
dx
dq = kxdx (2)
Substituindo-se (2) em (1):
k xdx
dV =
4πε 0 ( y + x 2 )1/ 2
2
k L xdx
V = ∫ dV = ∫
4πε 0 (y + x2 )
0 2 1/ 2
________________________________________________________________________________________________________ 4
a
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5. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
(y + x2 )
k 1/ 2 L
V= 2
4πε 0 0
⎢( y + L ) − y ⎥
k ⎡ 2 2 1/ 2 ⎤
V=
4πε ⎣ 0
⎦
(b)
∂V ∂ ⎧ k ⎡ 2 2 1/ 2 ⎤⎫
Ey = −
∂y
=− ⎨ ⎢( y + L ) − y ⎥ ⎬
∂y ⎩ 4πε 0 ⎣ ⎦⎭
k ⎡ 1 2 2 −1/ 2 ⎤
Ey = − ⎢ 2 ( y + L ) .2 y − 1⎥
4πε 0 ⎣ ⎦
⎡ ⎤
k ⎢ y ⎥
Ey = 1−
4πε 0 ⎢ ( y 2 + L2 )1/ 2 ⎥
⎣ ⎦
Cálculo direto de V
dE = −dE sen θ i + dE cosθ j (3)
Módulo do elemento de campo elétrico:
1 dq
dE = (4)
4πε 0 r 2
Substituindo-se (2) em (4):
k xdx
dE = (5)
4πε 0 y + x 2
2
Senos e cossenos de θ:
x
sen θ = (7)
( y 2 + x2 )
1/ 2
y
cosθ = (8)
(y + x2 )
2 1/ 2
Substituindo-se (5), (6) e (7) em (3):
k x 2 dx ky xdx
dE = − i+ j
4πε 0 ( y 2 + x )
2 3/ 2 4πε 0 ( y 2 + x 2 )3/ 2
k L x 2 dx ky L xdx
E = ∫ dE = − ∫ i+ ∫ j
4πε 0 (y ) 4πε 0 (y + x2 )
3/ 2 3/ 2
+x
0 2 2 0 2
k ⎪ ⎢L +(L + y ) ⎥
⎧ ⎡ 2 2 1/ 2 ⎤ ⎫ ⎡ ⎤
L ⎪ ky ⎢1 − y ⎥j
E=− ⎨ln − 1/ 2 ⎬
i+
4πε 0 ⎪ ⎢ y ⎥ ( y 2 + L2 ) ⎪ 4πε 0 ⎢ ( y 2 + L2 )1/ 2 ⎥
⎩ ⎣ ⎦ ⎭ ⎣ ⎦
Nesta expressão, pode-se ver que :
⎡ ⎤
k ⎢ y ⎥
Ey = 1−
4πε 0 ⎢ ( y 2 + L2 )1/ 2 ⎥
⎣ ⎦
________________________________________________________________________________________________________ 5
a
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6. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
(c) Não há dependência de V em relação a x na resposta do item (a).
(d) Potencial na extremidade esquerda do bastão, usando a resposta do item (a), com y = 0:
V(0) = ⎢ 0 +L
4πε 0 ⎣
(
k ⎡ 2 2 1/ 2 ⎤
− 0⎥ = )
kL
⎦ 4πε 0
Valor de y para o qual V(y) = V(0)/2:
V(0) kL
V( y ) = =
2 8πε 0
4πε ⎢
⎣
( y + L ) − y ⎤ = 8πL
k ⎡ 2 2 1/ 2
⎥
⎦
k
ε
0 0
(y + L2 )
L
1/ 2
2
−y=
2
3L
y=
4
[Início]
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