Este documento discute análise dimensional e grandezas físicas fundamentais e derivadas. Ele lista as sete grandezas fundamentais do SI - comprimento, massa, tempo, temperatura, corrente elétrica, quantidade de matéria e intensidade luminosa - e fornece exemplos de como derivar equações dimensionais para grandezas secundárias como velocidade, aceleração e força.

1. ENGENHARIA
Tema Análise Dimensional
Componente: Física
Professor: Dulceval Andrade
Engenharia Data: 13/03/2011

2. Grandezas Físicas Fundamentais
Grandeza Símbolo da Símbolo da Unidade
Unidade no SI
Física Dimensão no SI
Comprimento L metro m
Massa M quilograma kg
Tempo T segundo s
Temperatura
kelvin K
termodinâmica
Corrente
I ampère A
elétrica
Intensidade I0 candela cd
luminosa
Quantidade
N mols mol
de matéria
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3. EXEMPLOS

4. ALGUMAS FÓRMULAS DIMENSIONAIS
 Velocidade: [v]=LT-1
 Aceleração: [a]=LT-2
 Força: [F]=MLT-2
 Trabalho: [E]=ML2 T-2
 Energia: [E]=ML2 T-2
 Torque: [E]=ML2 T-2
 Potência: [Pot]=ML2 T-3
 Momento: [Q]=ML T-1
 Velocidade angular: [ω]=T
 Freqüência: [f]=T-1

5. DIMENSÃO
 Carga elétrica : [q]=IT
 Campo elétrico : [E]=MLT-3I
 Potencial elétrico : [U]=ML2T-3I-1
 Resistência elétrica: [R]=ML2T-3I-2
 Campo magnético: [B]=MT-2I-1
 Fluxo magnético [Ф]=ML2T-2I-1

6.  Calor específico: [c]=L2 T-2 θ-1
 Coeficiente de dilatação [ α ]= θ-1
 Fluxo de calor: [ Ф ]= ML2 T-3
 Intensidade sonora [I]=MT-3

7. GRANDEZAS FÍSICAS ADIMENSIONAIS
 Coeficientes de atrito
 Índice de refração
 Rendimento
 Nível de intensidade sonora

8. Principais usos:
 Verificação da homogeneidade de
fórmulas;
 Previsão de equações físicas;
 Mudança de unidades;

9. TEOREMA DE BRIDGMAN
 Toda grandeza secundária pode ser
expressa por um produto de potências
das grandezas primárias.
 Suponhamos que uma grandeza
secundária G seja uma função das
grandezas primárias A, B,C ... Z. O
teorema de Bridgman diz que se poderá
escrever:
G=KAαBβCγ...Zω

10. ATENÇÃO!!!
 Todo arco é adimensional.
 Toda função trigonométrica é adimensional
 Todo expoente é adimensional.
 Toda grandeza definida pela razão de duas
grandezas físicas, de mesma dimensão, é
adimensional.
 Só podemos somar e subtrair grandezas
físicas de mesma dimensão.

11. HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL
 Uma equação física verdadeira deve ser
dimensionalmente homogênea, isto é,
dever ter em ambos os membros a
mesma fórmula dimensional.

12. Homogeneidade das equações
Num movimento oscilatório, a abscissa (x)
da partícula é dada em função do tempo
(t) por: X= A + B cos(Ct). Sendo [X]=L,
obtenha a fórmula dimensional de A, B e
C.

13. Resolução...
 X= A + B cos(Ct)
A M 0 LT 0
sendo... Ct M 0 L0T 0
C t M 0 L0T 0 C T
C M 0 L0T 1
sendo...cos(ct ) adnensional
B M 0 LT 0

14. exemplos
a 2
S S0 V0 t t V2 2
V0 2a S
2
a 2 [V2 ] 2
[V0 ] [2a S]
[S] [S0 ] [V0 t] [ t ]
2
(LT 1 )2 (LT 1 )2 LT 2L
L L LT 1T LT 2 T2
L2 T 2
L2 T 2
L2 T 2
L L L L

15. exemplos
 Teorema do Impulso
I Q
F t mVF mV0
[F t] [mVF ] [mV0 ]
2 1 1
MLT T MLT MLT
1 1 1
MLT MLT MLT

16. Previsão de fórmulas -TIPLER
 A intensidade da resultante centrípeta é
função apenas da massa, da velocidade
e do raio da trajetória. Por análise
dimensional obter, a menos da
constante adimensional(K), a expressão
da intensidade da força centrípeta.

17. Resolução
Fcp Km x v y r z
2 x 1 y z
MLT K M LT L
2
MLT KM x Ly zT y
x 1
y z 1 x 1; y 2; z 1
y 2
Fcp Km1v 2 r 1
mv 2
Fcp K
r

18. Previsão de fórmulas
 Um cientista, fazendo experiências em
um laboratório, verifica o período(t) de
oscilação de um pêndulo simples
alterando o comprimento do fio(L), a
massa(m) e considerando a
gravidade(g) local. Como pode ele,
usando análise dimensional, obter uma
fórmula para calcular t, isto é, uma
função do tipo t=f(L,m,g).

19. Resolução
t Km x l y g z
[t ] M 0 L0T 1 ( M ) x ( L) y ( LT 2 ) z
M 0 L0T 1 M x Ly zT 2z
x o
1 1
y z 0 x 0; z ;y
2 2
2z 1
1 1
2
t Km x l y g z 0 2
Km l g
l
T K
g

20. EXERCÍCIOS TIPLER
 Sabe-se que o momento angular de uma
massa pontual é dado pelo produto vetorial do
vetor posição dessa massa pelo seu momento
linear. Então, em termos das dimensões de
comprimento (L), de massa (M), e de tempo
(T), um momento angular qualquer tem sua
dimensão dada por dada por
a) L0MT–1. b) LM0T–1. c) LMT–1.
d) L2MT–1. e) L2MT–2.

21. resolução

22. EXERCÍCIOS (DISCUTIDO EM AULA)
 Define-se intensidade I de uma onda como a razão entre a
potência que essa onda transporta por unidade de área
perpendicular à direção dessa propagação. Considere que para
uma certa onda de amplitude a, freqüência f e velocidade v, que
se propaga em um meio de densidade ›, foi determinada que a
intensidade é dada por: Indique quais são os valores
adequados para x e y, respectivamente.
a) x = 2; y = 2
b) x = 1; y = 2
c) x = 1; y = 1
d) x = - 2 ; y = 2
e) x = - 2; y = - 2

23. Resolução

24. Exercícios
 01- Determine a equação dimensional de
Capacitância de um capacitor.
Q
C Q is IT
U
J ML2T 2
w s T
Pot Ui U
A A I
U ML2T 3 I 1
IT
C M 1 L 2T 4 I 2
ML2T 3 I 1

25. Exercício 02
No estudo de um fenômeno da natureza
foram envolvidas as grandezas A, B,C e
D, diferentes entre si. A relação entre as
grandezas é: A BC2D 2
Se B tem dimensão de massa, C de
comprimento e D dimensão de tempo, a
unidade de medida de A no Sistema
internacional de Unidade é:
a)m/s b) N.s c)J/m d)N e)J

26. resolução
2 2
A=BC D
2 2
[A]=[B][C] [D]
2 2
[A] ML T
Portanto “A” representa energia e sua unidade no Sistema
Internacional é o Joule (J)
Resposta E

27. Exercício 03
Com relação as grandezas fundamentais
MLT I, determine as equações
dimensionais das seguintes grandezas:
a)Constante Universal dos gases perfeitos
(R).
b)Resistência elétrica (R).

28. resolução
a)PV=nRT 2
2 -2 P=Ri
[PV]=ML T (trabalho)
ou En 2
Ri
[PV]
F
V(m3 ) N.m t
A(m2 ) 2 2
ML T 2
[n] a dim ensional [R]I
PV=nRT T
2 3 2 0
MLT -2 [R] [R] ML T I
[R] ML2 T -2 1 0
I

29. exercício
Um estudante do 1º ano de Engenharia
não se lembra da fórmula correta que
relaciona o módulo da velocidade V de
propagação do som, com a pressão P e
a massa específica , num gás. No
entanto, ele se recorda que a fórmula é
C.P
do tipo (vide eq. ao lado) , em que C é
uma constante adimensional. Após um
V
exame da equação dimensional ele
conclui que os expoentes e valem
respectivamente:
a)1;2 b)1,1 c)2,1 d)2,2 e) 3,2

30. resolução
C.P
V
3
[ ] ML
2
F MLT
[P] ML 1 T 2
A L2
substituindo
1
[LT ] [ML 1 T 2
] [ML 3 ] 1
1 3 2
L T M L T
1 0
3 1; 2
2
resp.C

31. Será discutido em aula
A figura abaixo representa um sistema
experimental utilizado para determinar o volume de
um líquido por unidade de tempo que escoa
através de um tubo capilar de comprimento L e
seção transversal de área A. Os resultados
mostram que a quantidade desse fluxo depende da
variação da pressão ao longo do comprimento L do
tubo por unidade de comprimento ( P/L), do raio do
tubo (a) e da viscosidade do fluido ( ) na
temperatura do experimento. Sabe-se que o
coeficiente de viscosidade ( ) de um fluido tem a
mesma dimensão do produto de uma tensão (força
por unidade de área) por um comprimento dividido
por uma velocidade. Recorrendo à análise
dimensional, podemos concluir que o volume de
fluido coletado por unidade de tempo é
proporcional a

32. resolução