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Dinâmica não-markoviana: uma abordagem via equação de Langevin

  1. 1. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisDinˆamica n˜ao-markoviana: uma abordagem viaequa¸c˜ao de LangevinLeandro A. da SilvaUniversidade do Estado do Rio de JaneiroDepartamento de F´ısica Te´orica - PPGF27/11/2012
  2. 2. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios Finais1 Motiva¸c˜ao2 Quest˜oes3 Implementa¸c˜ao Num´erica4 Dinˆamica N˜ao-markoviana × markoviana5 Efeitos de n˜ao-linearidade6 Coment´arios Finais
  3. 3. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisUm Breve Hist´oricoOrigens da F´ısica fora do equil´ıbrio:1827: Movimento Browniano observado de forma sistem´atica(R. Brown)1904: Primeira descri¸c˜ao bem fundamentada (A. Einstein) →eq. Fokker-Planck1908: Abordagem focada na trajet´oria da part´ıcula (P.Langevin) → Inclus˜ao de um termo estoc´astico na segunda leide NewtonAbordagens equivalentesAbordagens gerais → Processos Markovianos e cont´ınuosEq. de Langevin → caso particular de eq. diferencialestoc´asticaAplica¸c˜oes de eqs. tipo Langevin: Biologia, Qu´ımica,Economia...
  4. 4. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisImportˆancia dentro da F´ısicaPor que equa¸c˜oes tipo Langevin s˜ao importantes na F´ısica?Sistemas na natureza = isolados↓Intera¸c˜ao com um meio (p.ex um banho t´ermico)↓Intera¸c˜ao conduz `a dissipa¸c˜ao e efeitos estoc´asticos↓Dinˆamica via eq. tipo Langevin
  5. 5. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisMovimento BrownianoEq. de Langevin para uma part´ıcula browniana de massa m:dpdt= −∂V∂x− ηp + R(t)dxdt=pm,Propriedades do ru´ıdo branco ⇒ Teorema de flutua¸c˜ao-dissipa¸c˜aocl´assicoR(t) = 0 e R(t)R(t ) = 2kBTηδ(t − t )
  6. 6. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisModelos de intera¸c˜ao sistema-banhoProblema: deriva¸c˜oes mais realistas → dissipa¸c˜ao n˜ao-Markoviana(mem´oria e ru´ıdo colorido)Exemplo 1:
  7. 7. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisModelos de intera¸c˜ao sistema-banhoProblema: deriva¸c˜oes mais realistas → dissipa¸c˜ao n˜ao-Markoviana(mem´oria e ru´ıdo colorido)Exemplo 1:Modelo de Caldeira-Leggett (1983) :Sistema (q) em intera¸c˜ao com um banho (xα, α = 1, . . . , N) :H =p22+ V (q) +12Nα=1p2αmα+ mαωα xα −cαmαω2αF(q)2Tomando a intera¸c˜ao sistema-banho como sendo linear (∼ qxα⇒ F(q) = q e eliminando os graus de liberdade do banho:
  8. 8. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisModelos de intera¸c˜ao sistema-banho¨q(t) +t0dt Λ(t − t ) ˙q(t ) + V [q(t)] = ξ(t)Λ(t − t ) = Θ(t − t )1MNα=1c2αmαω2αcos(ωαt)⇒ Equa¸c˜ao n˜ao-Markoviana (kernel n˜ao-local Λ(t − t ), possuimem´oria da hist´oria passada) com ru´ıdo gaussiano e colorido:ξ(t) ρ(0)B= 0, ξ(t)ξ(t ) ρ(0)B= kBTΛ(t − t )
  9. 9. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisModelos de intera¸c˜ao sistema-banhoExemplo 2 1:Cosmologia do universo primordial:S[φ, χ, σ] = d4x12(∂µφ)2−12m2φφ2−λ4!φ4+12(∂µχ)2−12m2χχ2+12(∂µσ)2−12m2σσ2−g22φ2χ2− fχσ2.φ → campo cl´assico em cuja dinˆamica estamos interessadosχ → campo intermedi´ario que se acopla `a σ e φσ → campo em equil´ıbrio t´ermico `a temperatura T1Rep. Prog. Phys. 72,026901(2009)
  10. 10. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisModelos de intera¸c˜ao sistema-banhoProcedimento: integrar funcionalmente os campos χ e σ.Situa¸c˜oes fora do equil´ıbrio → Formalismo de tempo realEqua¸c˜ao de movimento efetiva (aproxima¸c˜ao homogˆenea):d2φc(t)dt2+dVeff(φc)dφc+ φc(t)t−∞dt φc(t ) ˙φc(t )Kχ(t − t )= φc (t) ξ (t) ,ondeVeff(φc) =12m2φφ2c +λ4!φ4c
  11. 11. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisModelos de intera¸c˜ao sistema-banhoξ(t)ξ(t ) = 2g4 d3q(2π)314ω2χ(q){2nχ [1 + nχ] ++ [1 + 2nχ + 2n2χ] cos 2ωχ|t − t | ++ 2βΓχ(q)nχ[1 + nχ][1 + 2nχ] sin[2ωχ|t − t |] ×× e−2Γχ(q)|t−t |+ O g4Γ2χT2≡ N(t, t ) .
  12. 12. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisModelos de intera¸c˜ao sistema-banhoOutras aplica¸c˜oes:Colis˜ao de ´ıons-pesados, f´ısica hadrˆonica (Physics Reports 292,3-4, (1998))Problema de decoerˆencia em sistemas de dois n´ıveis (qubits) (Phys.Rev. A 73, 012111 (2006), Phys. Rev. A 71, 022109 (2005))Descri¸c˜ao de processos difusivos anˆomalos (Phys. Rev. Lett. 93,180603 (2004), Phys. Rev. E 53, 5872-5881 (1996) )etc
  13. 13. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisPrimeira quest˜ao:Esse tipo de equa¸c˜ao pode ser facilmente resolvida?
  14. 14. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisPrimeira quest˜ao:Esse tipo de equa¸c˜ao pode ser facilmente resolvida?Resposta: N˜ao↓Aproxima¸c˜ao markoviana
  15. 15. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisAproxima¸c˜ao MarkovianaEqua¸c˜ao de movimento n˜ao-markoviana:d2dt2φ(t) + V (φ) + φn(t)tt0dt K(t − t )φn(t ) ˙φ(t )= φn(t)ξ(t) .Aproxima¸c˜ao markoviana:φn(t)tt0dt K(t − t )φn(t ) ˙φ(t ) φ2n(t) ˙φ(t)tt0→−∞dt K(t − t )→ Q φ2n(t) ˙φ(t) .Equa¸c˜ao de movimento markoviana:¨φ(t) + Q φ2n(t) ˙φ(t) + m2φφ +λ6φ3= φn(t) ξ(t)
  16. 16. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisQuest˜oes que surgem:´E poss´ıvel desenvolver uma abordagem num´erica para estudara equa¸c˜ao de movimento n˜ao-markoviana?Integradores padr˜oes (p.ex Runge-Kutta) podem ser usadospara tratar esse problema estoc´astico?A aproxima¸c˜ao markoviana ´e suficiente para descrever adinˆamica do sistema?A escolha do conjunto de parˆametros do sistema-banhodetermina o qu˜ao boa ´e a aproxima¸c˜ao?A discrepˆancia entre as duas dinˆamicas (caso exista) ´edependente do tempo?
  17. 17. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisTipos de ru´ıdoKOU (t − t ) ≡ Kernel de Ornstein-Uhlenbeck: exponencialpuraKH(t − t ) ≡ Kernel harmˆonico: exponencial multiplicandotermo oscilat´orio
  18. 18. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisTipos de ru´ıdoKOU (t − t ) ≡ Kernel de Ornstein-Uhlenbeck: exponencialpuraKH(t − t ) ≡ Kernel harmˆonico: exponencial multiplicandotermo oscilat´orioKOU (t − t ) + KH(t − t )
  19. 19. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisTipos de ru´ıdoKOU (t − t ) ≡ Kernel de Ornstein-Uhlenbeck: exponencialpuraKH(t − t ) ≡ Kernel harmˆonico: exponencial multiplicandotermo oscilat´orioKOU (t − t ) + KH(t − t )Equa¸c˜ao de movimento mais geral:¨φ(t) + V (φ) =1n=0 lφn(t) ξl(t) −tt0dt Kl(t − t )φn(t ) ˙φ(t ) .Ru´ıdo colorido:ξl(t)ξl(t ) = TKl(t − t ) ,
  20. 20. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisTipos de ru´ıdoCaso harmˆonico:Parte estacion´aria da solu¸c˜ao de¨ξH(t) = −2γ ˙ξH(t) − m2ξH(t) + m22TQζ(t) , (1)comζ(t) = 0ζ(t)ζ(t ) = δ(t − t ) .↓KH(t−t ) =Qm22γe−γ(t−t )cos[Ω1(t − t )] +γΩ1sin[Ω1(t − t )] ,
  21. 21. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisTipos de ru´ıdoCaso OU:Parte estacion´aria da solu¸c˜ao de˙ξOU (t) = −γ ξOU (t) − 2TQζ(t) , (2)comζ(t) = 0ζ(t)ζ(t ) = δ(t − t ) .↓KOU (t − t ) = γQe−γ(t−t ),
  22. 22. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisNovas vari´aveisDefinindowln(t) ≡ −tt0dt Kl(t − t )φn(t ) ˙φ(t ) ,a equa¸c˜ao de movimento se torna¨φ(t) + V (φ) =1n=0 l[φn(t) (ξl(t) + wln(t))] . (3)Definindo outra vari´aveluHn(t) ≡t0dt ˙KH(t − t ) − 2γKH(t − t ) φn(t ) ˙φ(t ) ,e tomando sua derivada e de wln(t), particularizando para os casosn = 0, n = 1, l = OU e l = H, e juntando as equa¸c˜oesdiferenciais para os termos de ru´ıdo ξOU e ξH, obtemos:
  23. 23. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisSistema local˙φ = y˙y = −V (φ) + ξH + wH+ + ξ0U + wO++ φ[ξH + wHX + ξOU + wOX]˙wO+ = −γwO+ − KOU (0)y˙wH+ = uH+ − 2γwH+ − KH(0)y˙wOX = −γwOX − KOU (0)φy˙wHX = uHX − 2γwHX − KH(0)φy˙uH+ = −m2wH+ + ˙KH(0)y − 2γKH(0)y˙uHX = −m2wHX + ˙KH(0)φy − 2γKH(0)φy˙ξH = zH˙zH = −2γzH − m2ξH + m22TQζ˙ξOU = −γ ξOU − 2TQζ
  24. 24. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisSistema localEm resumo:Podemos mapear uma equa¸c˜ao n˜ao-markovianaatrav´es de um sistema de equa¸c˜oes markovianas
  25. 25. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisTestes da abordagem num´ericaSolu¸c˜ao anal´ıtica via transformada de Laplace:Considerar V (φ) linear.Considerar o ru´ıdo como sendo aditivo, somente.
  26. 26. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisTestes da abordagem num´ericaSolu¸c˜ao anal´ıtica via transformada de Laplace:Considerar V (φ) linear.Considerar o ru´ıdo como sendo aditivo, somente.¨φ(t) + m2φφ(t) +t0dt K(t − t ) ˙φ(t ) = ξ(t) .
  27. 27. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisTestes da abordagem num´ericaSolu¸c˜ao anal´ıtica via transformada de Laplace:Considerar V (φ) linear.Considerar o ru´ıdo como sendo aditivo, somente.¨φ(t) + m2φφ(t) +t0dt K(t − t ) ˙φ(t ) = ξ(t) .L{φ(t)} = ˜φ(s) ≡∞0dt exp(−st)φ(t) ,φ(t) = L−1{˜φ(s)} = φ(t) +t0dt g(t − t )ξ(t ) ,
  28. 28. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisTestes da abordagem num´ericaondeϕ(t) = L−1˙φ(0) + s + ˜K(s) φ(0)s2 + m2 + s ˜K(s),eg(t − t ) = L−1 1s2 + m2 + s ˜K(s).Tomando a m´edia, φ(t) = ϕ(t) eφ2(t) = ϕ2(t) + Tt0dt g(t − t )t0dt g(t − t )K(t − t ) .
  29. 29. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisCaso OU:(a) para γ = 0, 5, (b) para γ = 1, 0 e (c) para γ = 5, 0
  30. 30. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisCaso H:(a) para γ = 0, 1, (b) para γ = 0, 3 e (c) for γ = 0, 5.
  31. 31. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios Finaisφ2(t) : caso OU e HFigure: Evolu¸c˜ao temporal para φ2(t) no caso OU (painel esquerdo) eharmˆonico (painel direito). Os parˆametros utilizados foram: γ = 0, 5,m = 1, 0, mφ = 1, 0, Q = 1, 0 e T = 1, 0.
  32. 32. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios Finais∆φ: caso OU e H∆φ = ϕanalitico − ϕnumericoFigure: A diferen¸ca ∆φ no caso OU (painel esquerdo) e harmˆonico(painel direito). Os parˆametros usados foram: γ = 0, 5, m = 1, 0,mφ = 1, 0, Q = 1, 0 e T = 1, 0.
  33. 33. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios Finais∆φ2: caso OU e H∆φ2= φ2analitico − φ2numerico .Figure: A diferen¸ca ∆φ2no caso OU (painel esquerdo) e harmˆonico(painel direito). Os parˆametros usados foram: γ = 0, 5, m = 1, 0,mφ = 1, 0, Q = 1, 0 e T = 1, 0.
  34. 34. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisCompara¸c˜ao entre as dinˆamicas markoviana en˜ao-markovianaQuatro situa¸c˜oes distintas:ru´ıdo harmˆonico aditivoru´ıdo OU aditivoru´ıdo harmˆonico multiplicativoru´ıdo OU multiplicativoEqua¸c˜ao de movimento markoviana:¨φ(t) + Q φ2n(t) ˙φ(t) + m2φφ +λ6φ3= φn(t) ξ(t) ,
  35. 35. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisCaso OU aditivo:Equa¸c˜ao de Movimento¨φ(t) + m2φφ +λ6φ3= ξOU (t) −t0dt KOU (t − t ) ˙φ(t ) ,correspondente sistema local˙φ = y˙y = −m2φφ −λ6φ3+ ξ0U + wO+˙wO+ = −γwO+ − KOU (0)y˙ξOU = −γ ξOU − 2TQζ .
  36. 36. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisCaso OU aditivo: (a) γ = 0, 5, (b) γ = 1, 0 e (c) γ = 5, 0
  37. 37. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisCaso OU aditivo: TeffTef(t) = ˙φ2(t) .
  38. 38. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisCaso harmˆonico aditivo:Equa¸c˜ao de Movimento¨φ(t) + m2φφ +λ6φ3= ξH(t) −t0dt KH(t − t ) ˙φ(t ) ,correspondente sistema local˙φ = y˙y = −m2φφ −λ6φ3+ ξH + wH+˙wH+ = uH+ − 2γwH+ − KH(0)y˙uH+ = −m2wH+ + ˙KH(0)y − 2γKH(0)y˙ξH = zH˙zH = −2γzH − m2ξH + m22TQζ .
  39. 39. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisCaso harmˆonico aditivo: (a) γ = 0, 1, (b) γ = 0, 3 e (c) γ = 0, 5
  40. 40. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisCaso harmˆonico aditivo: TeffTef(t) = ˙φ2(t) .
  41. 41. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisCaso OU multiplicativo:Equa¸c˜ao de Movimento¨φ(t)+m2φφ+λ6φ3= φ(t) ξOU (t) −t0dt KOU (t − t )φ(t ) ˙φ(t ) ,correspondente sistema local˙φ = y˙y = −m2φφ −λ6φ3+ φ[ξOU + wOX]˙wOX = −γwOX − KOU (0)φy˙ξOU = −γ ξOU − 2TQζ .
  42. 42. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisCaso OU multiplicativo: (a) γ = 0, 5, (b) γ = 1, 0 e (c) γ = 5, 0
  43. 43. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisCaso OU multiplicativo: TeffTef(t) = ˙φ2(t) .
  44. 44. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisCaso harmˆonico multiplicativo:Equa¸c˜ao de Movimento¨φ(t) + m2φφ +λ6φ3= φ ξH(t) −t0dt KH(t − t )φ(t ) ˙φ(t ) ,correspondente sistema local˙φ = y˙y = −m2φφ −λ6φ3+ φ[ξH + wHX]˙wHX = uHX − 2γwHX − KH(0)φy˙uHX = −m2wHX + ˙KH(0)φy − 2γKH(0)φy˙ξH = zH˙zH = −2γzH − m2ξH + m22TQζ .
  45. 45. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisCaso harmˆonico multiplicativo: (a) γ = 0, 1, (b) γ = 0, 3 e (c) γ = 0, 5
  46. 46. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisCaso harmˆonico multiplicativo: TeffTef(t) = ˙φ2(t) .
  47. 47. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisEfeitos da n˜ao-linearidadeComo a discrepˆancia entre as dinˆamicas markovianae n˜ao-markoviana ´e afetada pela n˜ao-linearidade doseu potencial?
  48. 48. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisEfeitos da n˜ao-linearidadeComo a discrepˆancia entre as dinˆamicas markovianae n˜ao-markoviana ´e afetada pela n˜ao-linearidade doseu potencial?V (φ) = mφ22+λ4φ4∆φ = φ non−Markovian − φ MarkovianFixando η = 1.0, T = 1.0, Ω0 = 1.0, m2= 1.0 eγ = 0.5 (EDH case) ou γ = 5.0 (OU case).
  49. 49. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisEfeitos da n˜ao-linearidade: caso harmˆonicoFigure: Painel esquerdo: ru´ıdo aditivo. Painel direito: ru´ıdo multiplicativo
  50. 50. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisEfeitos da n˜ao-linearidade: caso OUFigure: Painel esquerdo: ru´ıdo aditivo. Painel direito: ru´ıdo multiplicativo
  51. 51. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisComent´arios Finais´E poss´ıvel desenvolver uma abordagem num´erica para estudara equa¸c˜ao de movimento n˜ao-markoviana.Runge-Kutta usual nos oferece uma precis˜ao razo´avel.Qualidade da aproxima¸c˜ao markoviana ´e extremamentedependente dos parˆametros utilizados e do tipo de ru´ıdo quecaracteriza a dinˆamica.Aproxima¸c˜ao markoviana torna-se menos aplic´avel quantomaior for o parˆametro de n˜ao-linearidade λ
  52. 52. Outline Motiva¸c˜ao Quest˜oes Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark N˜ao-linearidade Coment´arios FinaisObrigado pela aten¸c˜ao!

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