matemática

1. TRANSFORMADA DE LAPLACE
 Motivação.
 Definição: expressão algébrica e região de convergência.
 Propriedades da região de convergência.
 Transformada inversa.
 Propriedades da transformada de Laplace.
 Representação de SLITs contínuos usando a transformada de Laplace.
 Propriedades dos SLITs e sua relação com a região de convergência da
função de transferência.

2.  
 
t
h
TL

Motivação
  st
e
t
x 
 
t
h
  ?

t
y
SLIT
     
   
   
  st
s
t
s
e
d
e
h
d
e
h
d
t
x
h
t
x
t
h
t
y






































 
s
H

      st
st
e
s
H
t
y
e
t
x 
 
   





 dt
e
t
x
s
X st
    ds
e
s
Y
j
t
y st
j
j









2
1
 
t
x      
t
x
t
h
t
y 

convolução
 
s
X      
s
X
s
H
s
Y 
produto
TL TL-1

 j
s 


3. Definição       
 j
s
dt
e
t
x
s
X
t
x st



 




;
Exponencial direita
    R
;
1 
 



t
u
e
t
x t
1
 
t
x
t
 
0


0
     
 
   
 
 
1
lim
1
0
0
1




























t
s
t
t
s
t
s
st
t
e
s
s
e
dt
e
dt
e
t
u
e
s
X






0
 para
  


s
Re
  








)
Re(
;
1
1 s
s
t
u
e t

4. Definição       
 j
s
dt
e
t
x
s
X
t
x st



 




;
     
 
   
 
 
t
s
t
t
s
t
s
st
t
e
s
s
e
dt
e
dt
e
t
u
e
s
X


































 

lim
1
1
0
0
1
0
 para
  


s
Re
  







 

)
Re(
;
1
1 s
s
t
u
e t
Exponencial esquerda
    R
;
1 


 



t
u
e
t
x t
1

 
t
x
t
 
0


0

5. Definição
  








)
Re(
;
1
1 s
s
t
u
e t
1
 
t
x
t
 
0


0
 
s
Re
 
s
Im


  







 

)
Re(
;
1
1 s
s
t
u
e t
1

 
t
x
t
 
0


0
 
s
Re
 
s
Im



6.  
s
Re
 
s
Im
1

 
 
t
u
e t
1
2
TL 


 
 
t
u
e t
1
TL 


Exemplos
Ex. 1
     
t
u
e
t
u
e
t
x t
t
1
2
1 





     
 
    dt
e
t
u
e
dt
e
t
u
e
dt
e
t
u
e
t
u
e
s
X
st
t
st
t
st
t
t































1
2
1
1
2
1
 
2
1
1
1




s
s
s
X
2
)
Re(
1
)
Re( 


 s
s
  
  1
Re
;
2
1
3
2





 s
s
s
s

Mapa polos/zeros
 
2

2
3

zero: 2
3
0
3
2 



 s
s
  
2
1
0
2
1








s
s
s
s
polos:

7.  
    2
Re
3
Re
plano
2
4
3
2
2








s
s
s
s
s
s
X
Exemplos
Ex. 2
       
t
u
e
t
u
e
t
t
x t
t



 


1
2
1
3
4
2
2
 
   
    





















s
s
t
u
e
s
s
t
u
e
s
t
t
t
Re
;
1
Re
;
1
plano
;
1
1
1
Tabela
   
   
   
 
t
u
e
t
u
e
t
s
X t
t









1
2
1
3
TL
4
TL
2
TL
2 
 
 
  
  2
Re
3
;
2
3
2
2
2
2







 s
s
s
s
s
s
X
 
s
Re
 
s
Im
3
 2
Mapa polos/zeros
 
1

j

j


8. Exemplos
Ex. 3
     
t
u
e
t
u
e
t
x t
t
1
2
1
3
4
2 






   
   
 
t
u
e
t
u
e
s
X t
t
1
2
1
3
TL
4
TL
2 







   
    



















s
s
t
u
e
s
s
t
u
e
t
t
Re
;
1
Re
;
1
1
1
Tabela
 
 
    2
Re
3
Re
2
4
3
2







s
s
s
s
s
X
não tem transformada de Laplace
 
t
x

9. P1 A RC é constituída por faixas do plano s paralelas ao eixo imaginário.
P2 A RC não contém polos.
Propriedades da Região de Convergência (RC)
P3 Se for de duração finita e se existir pelo menos um valor de para
o qual a transformada de Laplace converge, então a RC é o próprio
plano , exceptuando eventualmente as rectas ou .
  

s
Re   

s
Re
 
t
x s
s

10. Propriedades da Região de Convergência (RC)
P4
Re(s)
Im(s)
Se for um sinal direito e se a recta pertencer à RC, então
todos os valores de tais que também pertencem à RC.
 
t
x   0
Re 

s
s   0
Re 

s
Re(s)
Im(s)
P5 Se for um sinal esquerdo e se a recta pertencer à RC, então
todos os valores de tais que também pertencem à RC.
 
t
x   0
Re 

s
s   0
Re 

s

11. Propriedades da Região de Convergência (RC)
P6
Re(s)
Im(s)
Se for um sinal bilateral e se a recta pertencer à RC, então
a RC é uma faixa do plano que contém a recta .
 
t
x   0
Re 

s
s   0
Re 

s

12. 0

2

Transformada de Laplace inversa Funções racionais
 
  
  1
Re
;
3
1
2




 s
s
s
s
s
X
1º Expansão em fracções simples de X(s)
 
   3
1
3
1
2







s
B
s
A
s
s
s
s
X
   
  
3
1
3






s
s
B
A
s
B
A













3
1
0
3
2
B
A
B
A
B
A
    1
Re
;
3
3
1
1






 s
s
s
s
X

13.   3
Re 

s
  1
Re 

s
Transformada de Laplace inversa Funções racionais
2º Identificação da RC associada a cada uma das fracções
    1
Re
;
3
3
1
1






 s
s
s
s
X
 
s
Im
 
s
Re
 
3
 1


3º Determinação, por simples inspecção, da
transformada de Laplace inversa de cada um dos termos
     
t
u
e
t
u
e
t
x t
t
1
3
1 3 







14. Y
R
  3
Re
; 

s
P1: Linearidade
   
   
s
X
t
x
s
X
t
x
2
2
1
1


Se
2
1
R
RC
R
RC


então        
s
bX
s
aX
t
bx
t
ax 2
1
2
1 

 2
1 R
R
RC 

Propriedades da transformada de Laplace
Ex.
      2
Re
;
2
1
1
1 



 s
s
s
X
t
x
   
  
  2
Re
;
3
2
1
2
2 




 s
s
s
s
X
t
x
     
t
x
t
x
t
y 2
1 
  
  
 
      3
1
3
2
2
3
2
1
3
3
2
1
2
1

















s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
Y
2

2
1 R
R 
 
s
Re
3

 
s
Im


15. Propriedades da transformada de Laplace
P2: Translação no Tempo
   
s
X
t
x 
Se R
RC 
então    
s
X
e
t
t
x st0
0


 R
RC  excepto para a possível
inclusão/exclusão de   

s
Re
Ex.
    0
Re
;
1
1 

 s
s
t
u
  ;
1
0
0
1
s
e
t
t
u st

 

  0
Re
:
0
0 
 s
t
t
 
0
1 t
t
u 

1
0
t
 
  



s
s
t
Re
excepto
,
0
Re
:
0
0
t
 
0
1 t
t
u 

0
t
1

16. P3: Translação no Domínio da Transformada
   
s
X
t
x 
Se R
RC 
então    
0
0
s
s
X
t
x
e t
s

  
0
Re s
R
RC 

Propriedades da transformada de Laplace
Ex.
        0
Re
;
1
1
1
1 


  s
s
s
X
t
u
t
x
        ;
1
0
0
1
2
1
2
0
s
s
s
s
X
s
X
t
u
e
t
x t
s





 
     
0
0 Re
Re
0
Re s
s
s
s 




17. P4: Mudança de Escala
Propriedades da transformada de Laplace
   
s
X
t
x 
Se R
RC 
então   






a
s
X
a
at
x
1
aR
RC 
Ex.
        2
Re
;
2
1
1
1
2
1 




 

s
s
s
X
t
u
e
t
x t
      ;
6
1
2
3
1
3
1
3
3
1
3 1
2
1
2













s
s
s
X
s
X
t
x
t
x   6
Re
2
3
Re 










s
s
 
 
t
u
e
t
u
e
t
t
1
6
1
6
3







18. Y
R
  2
Re
; 

s
Propriedades da transformada de Laplace
P5: Convolução
   
   
s
X
t
x
s
X
t
x
2
2
1
1


Se
2
1
R
RC
R
RC


então        
s
X
s
X
t
x
t
x 2
1
2
1 
 2
1 R
R
RC 

Ex.
      2
Re
;
2
1
1
1 




 s
s
s
s
X
t
x
      1
Re
;
1
1
2
2 



 s
s
s
X
t
x
     
t
x
t
x
t
y 2
1 

1

2
1 R
R 
 
2
1
1
1
2
1







s
s
s
s
s
Y
 
s
Re
2

 
s
Im


19. P6: Diferenciação no Domínio do Tempo
   
s
X
t
x 
Se R
RC 
então
   
s
sX
dt
t
dx
 R
RC 
Propriedades da transformada de Laplace
Ex. 1
    0
Re
;
1
1 

 s
s
t
u
    s
t
u
dt
d
t plano
;
1
1 
 

Ex. 2
    2
Re
;
2



 s
s
s
s
X
   
t
u
e
s
s
t
1
2
2
Re
;
2
1






           
t
t
u
e
t
e
t
u
e
t
u
e
dt
d
t
x t
t
t
t

 





 






1
2
2
1
2
1
2
2
2
Tabela:

20.       









 



s
ds
d
s
X
t
u
e
t
t
x t 1
1
Ex.
Propriedades da transformada de Laplace
P7: Diferenciação no Domínio da Transformada
   
s
X
t
x 
Se R
RC 
então    
ds
s
dX
t
tx 
 R
RC 
 
  




 s
s
Re
;
1
2
     
   
  



















 

s
s
s
ds
d
s
X
t
u
e
t
t
x t
Re
;
2
1
3
2
1
2

21. P8: Integração no Domínio do Tempo
   
s
X
t
x 
Se R
RC 
então    
s
X
s
d
x
t 1

 


  
 
0
Re 

 s
R
RC
Propriedades da transformada de Laplace
Nota: pela propriedade da convolução
       
 
0
Re
;
1
)
(
1 




 


 s
R
RC
s
s
X
t
u
t
x
d
x X
t


Ex.
      0
Re
;
1
1 

  

 s
s
d
t
u
t



  s
t plano
;
1

 

22. Diferenciação no domínio da transformada Translação no domínio da transformada
Translação no tempo
Exemplos
Ex. 1 Sabendo que , determine a transformada de Laplace de
   
t
u
e
t
x t

 1
3
     
5
5 2


 t
x
e
t
t
y t
j
       
5
5 2
2





t
x
e
t
t
w
e
t
y t
j
t
j
   
t
u
e
t
x t
1
3


   
t
tx
t
z 

       
5
5
5 





t
x
t
t
z
t
w
    3
Re
;
3
1



 s
s
s
X
   
 
  3
Re
;
3
1
2







s
s
s
X
ds
d
s
Z
   
 
;
3
1
2
5
5







s
e
s
Z
e
s
W s
s
    

 s
s Re
.
excl
3
Re
     
 
;
3
2
1
2 2
2
5









j
s
e
j
s
W
s
Y j
s
    

 s
s Re
.
excl
3
Re

23. Translação no tempo
Diferenciação no tempo
Exemplos
Ex. 2 Sabendo que , determine o sinal .
 
t
y
    2
Re
;
2
3



 
s
s
s
e
s
Y s
    2
Re
;
2
1



 s
s
s
X

      2
Re
;
2




 s
s
s
s
sX
s
Z

      2
Re
;
2
1
3
3




 

s
s
s
e
s
Z
e
s
Y s
s
   
t
u
e
t
x t
1
2




       
   
t
t
u
e
t
e
t
u
e
t
x
dt
d
t
z
t
t
t














1
2
2
1
2
2
2

   
 
   
3
3
2
3
1
3
2










t
t
u
e
t
z
t
y
t


24. Propriedades da transformada de Laplace
P9: Teorema do Valor Inicial
Se para e se não contiver impulsos ou singularidades de
ordem superior na origem , o limite de quando por
valores positivos é
   
s
sX
x
s 


 lim
0
  0

t
x 0

t  
t
x
 
0

t  
t
x 0

t
P10: Teorema do Valor Final
Se para e se convergir para um valor constante quando
, então
   
s
sX
t
x
s
t 0
lim
lim




  0

t
x 0

t  
t
x


t

25. Exemplo    
s
sX
x
s 


 lim
0
TVI:
   
s
sX
t
x
s
t 0
lim
lim




TVF:
 
 
  0
Re
;
2
10
7



 s
s
s
s
s
X
   
7
2
1
10
7
lim
2
10
7
lim
2
10
7
lim
0 
















s
s
s
s
s
s
s
s
x
s
s
s
 
 
5
2
10
7
lim
2
10
7
lim
lim
0
0










 s
s
s
s
s
s
t
x
s
s
t
 
 
       
t
u
e
t
u
t
x
s
s
s
s
s
s
s
X t
1
2
1 2
5
0
Re
;
2
1
2
1
5
2
10
7


 










26.   2
Re
: 
s
RH
Resposta Impulsional Função de Transferência
     
t
x
t
h
t
y 

 
t
x
 
t
h
      X
H
Y R
R
R
s
X
s
H
s
Y 

 ,
  X
R
s
X ,
  H
R
s
H ,
    H
R
s
H
t
h ,
TL

 
 
  2
Re
0
,
2
3
2
2
1
3







 s
s
s
s
s
s
s
Y
  0
)
Re(
,
1

 s
s
s
X
Ex.
SLIT
   
t
u
t
x 1

      
t
u
e
t
u
t
y t


 
 1
2
1
3
  ?
?, 
 H
R
s
H
   
 
s
X
s
Y
s
H 
 
2
3
2
1
2
3
2






s
s
s
s
s
s
)
Re(s
)
Im(s

3
2
X
H
Y R
R
R 

  2
Re
0 
 s 0
)
Re( 
s

27. SLITs em série – propriedade da convolução
Resposta Impulsional Função de Transferência
 
t
y
 
t
x
 
t
h2
 
t
h1     
t
h
t
h 2
1 
 
t
x  
t
y
  X
R
s
X ,
  1
1 , R
s
H   2
2 , R
s
H
  Y
R
s
Y ,    
2
1
2
1
R
R
RC
s
H
s
H


  X
R
s
X ,   Y
R
s
Y ,


28. Resposta Impulsional Função de Transferência
SLITs em paralelo – propriedade da linearidade
    
t
h
t
h 2
1 
 
t
x  
t
y
 
t
y
 
t
x
 
t
h2
 
t
h1

  1
1 , R
s
H

  2
2 , R
s
H
  X
R
s
X ,   Y
R
s
Y ,    
2
1
2
1
R
R
RC
s
H
s
H



  X
R
s
X ,   Y
R
s
Y ,


29. Função de Transferência Realimentação
Analisar o SLIT no domínio do tempo
não é simples;
Obter a expressão algébrica da função
de transferência entre a entrada
e a saída é imediato.
 
s
X
 
s
Y
 
s
Z
 
s
E
 
s
X  
s
Y
 
s
H1

 
s
H2


     
s
Y
s
H
s
Z 2

           
s
Y
s
H
s
X
s
Z
s
X
s
E 2




             
 
s
Y
s
H
s
X
s
H
s
E
s
H
s
Y 2
1
1 


   
       
s
X
s
H
s
Y
s
H
s
H 1
2
1
1 
    
 
 
   
s
H
s
H
s
H
s
X
s
Y
s
H
2
1
1
1



30. Equação Diferencial Função de Transferência
 
t
y
SLIT
 
t
x
   

 


M
k
k
k
k
N
k
k
k
k t
x
dt
d
b
t
y
dt
d
a
0
0
   














 

M
k
k
k
k
N
k
k
k
k t
x
dt
d
b
t
y
dt
d
a
0
0
TL
TL
   

 
 











 M
k
k
k
k
N
k
k
k
k t
x
dt
d
b
t
y
dt
d
a
0
0
TL
TL
Linearidade
Diferenciação no tempo  
   
 
s
X
s
b
s
Y
s
a k
M
k
k
N
k
k
k 
 


0
0
   
s
X
s
b
s
Y
s
a k
M
k
k
N
k
k
k 













 
 0
0
   
 





 N
k
k
k
k
M
k
k
s
a
s
b
s
X
s
Y
s
H
0
0

31. Equação Diferencial Função de Transferência
 
t
y
SLIT
 
t
x
   

 


M
k
k
k
k
N
k
k
k
k t
x
dt
d
b
t
y
dt
d
a
0
0
 




 N
k
k
k
k
M
k
k
s
a
s
b
s
H
0
0
A equação diferencial não dá informação sobre a
região de convergência de .
 
s
H
É necessário informação adicional, nomeadamente
sobre a estabilidade ou causalidade do SLIT, para
inferir a região de convergência de .
 
s
H
E a região de convergência de ?
 
s
H

32. Equação Diferencial Função de Transferência
Ex. SLIT
causal
 
t
x  
t
y
     
t
x
t
y
t
y
dt
d

3
  ?
?, 
 H
R
s
H
     
s
X
s
Y
s
sY 
3
TL
   
  3
1



s
s
X
s
Y
s
H
SLIT causal
  3
Re
; 

s
 
s
Re
 
s
Im

3


33. Propriedades dos SLITs SLIT causal:   0
,
0 

 t
h
t
1.  
t
h de duração limitada com 0

i
T
t
 
t
h
i
T f
T
A região de convergência de
é todo o plano incluindo a recta
 
s
H
s   

s
Re
Ex. 1      
 
 












 
0
;
Re
0
;
Re
excluindo
plano
;
0
0
0
0
t
s
t
s
s
e
s
H
t
t
t
h st

t
 
t
h
0
0 
t
sistema causal:
 
0
t
t 

  H
R
s 


Re
0
0 
t
 
0
t
t 

sistema não causal:
  H
R
s 


Re

34. Propriedades dos SLITs SLIT causal:   0
,
0 

 t
h
t
1.  
t
h de duração limitada com 0

i
T
t
 
t
h
i
T f
T
A região de convergência de
é todo o plano incluindo a recta
 
s
H
s   

s
Re
Ex. 2      



 
 f
i T
t
u
T
t
u
t
h 1
1
   
 
 
 





















0
e
0
;
Re
0
e
0
;
Re
0
e
0
;
Re
excluindo
plano
;
1
f
i
f
i
f
i
sT
sT
T
T
s
T
T
s
T
T
s
s
s
e
e
s
H f
i
t
 
t
h
sistema causal:
  H
R
s 


Re
i
T f
T
1
sistema não causal:
  H
R
s 


Re
i
T f
T
i
T f
T
sistema não causal:
  H
R
s 


Re

35. Propriedades dos SLITs SLIT causal:   0
,
0 

 t
h
t
1.  
t
h de duração limitada com 0

i
T
t
 
t
h
i
T f
T
A região de convergência de
é todo o plano incluindo a recta
 
s
H
s   

s
Re
  

s
s
RH Re
excluindo
plano
:
 
s
Re
 
s
Im
   
 
s
s
X
s
Y
s
H 

sistema não causal
Ex. 3    
t
x
dt
d
t
y 
SLIT
 
t
x

36. Propriedades dos SLITs SLIT causal:   0
,
0 

 t
h
t
A região de convergência de é a região
do plano para a direita de uma recta paralela
ao eixo imaginário, incluindo .
 
s
H
s
  

s
Re
2.  
t
h de duração ilimitada com 0

i
T
t
 
t
h
i
T
…
Quando é uma função racional e a região de convergência é direita, incluir
na região de convergência é equivalente a .
 
s
H
  

s
Re zeros
nº
polos
nº 
Ex.
)
Re(s
)
Im(s


Sistema não causal
)
Re(s
)
Im(s


Sistema causal
)
Re(s
)
Im(s

Sistema não causal

37. condição necessária para que o sistema seja estável
1

 






 dt
e
e
t
h t
j
t 


 j
s 

Propriedades dos SLITs SLIT estável:   





dt
t
h
   





 dt
e
t
h
s
H st
 






 dt
e
e
t
h t
j
t 

 





 dt
e
t
h t

Para , i.e.,
0

 
j
s 
   




 dt
t
h
j
H  
 quando o SLIT é estável.
H
R

 imaginário
eixo
H
R


 imaginário
eixo
e
zeros
nº
polos
nº
estável
SLIT
Para racional, a condição anterior é também condição suficiente desde que ,
i.e.
 
s
H zeros
nº
polos
nº 

38. tem 1 zero mas não tem polos
 
s
H
sistema instável
Propriedades dos SLITs SLIT estável:   





dt
t
h
H
R


 imaginário
eixo
e
zeros
nº
polos
nº
estável
SLIT
Ex.    
t
x
dt
d
t
y 
SLIT
 
t
x
 
s
Re
 
s
Im
   
 
s
s
X
s
Y
s
H 


39. Propriedades dos SLITs SLIT estável:   





dt
t
h
H
R


 imaginário
eixo
e
zeros
nº
polos
nº
estável
SLIT
Ex.
)
Re(s
)
Im(s


Sistema estável
)
Re(s
)
Im(s


Sistema instável
)
Re(s
)
Im(s

Sistema instável