TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA

UNIVERSIDADE DE SANTA CRUZ DO SUL
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA, ARQUITETURA E CIÊNCIAS AGRÁRIAS
CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA
Atualizado por: Prof. Anderson Fávero Porte
Santa Cruz do Sul, agosto 2007.

Apostila de Transferência de Calor e Massa 2
1) GENERALIDADES
1.1) INTRODUÇÃO
Sempre que um corpo está a uma temperatura maior que a de outro ou, inclusive, no
mesmo corpo existam temperaturas diferentes, ocorre uma cessão de energia da região de
temperatura mais elevada para a mais baixa, e a esse fenômeno dá-se o nome de
transmissão de calor.
O objetivo de presente curso é estudar as leis e os princípios que regem a
transmissão de calor, bem como suas aplicações, visto que é de fundamental importância,
para diferentes ramos de Engenharia, o domínio dessa área de conhecimento. Assim como
o Engenheiro Mecânico enfrente problemas de refrigeração de motores, de ventilação, ar
condicionado etc., o Engenheiro Metalúrgico não pode dispensar a transmissão de calor nos
problemas relacionados a processos pirometalúrgicos ou hidrometalúrgicos, ou nos projetos
de fornos ou de regeneradores.
Em nível idêntico, o Engenheiro Químico ou Nuclear necessita da mesma ciência
em estudos sobre evaporação, condensação ou em trabalhos de refinaria e reatores,
enquanto o Eletricista a utiliza no cálculo de transformadores e geradores e o Engenheiro
Naval aplica em profundidade a transmissão de calor em caldeiras, máquinas térmicas, etc.
Até mesmo o Engenheiro Civil e o arquiteto, especialmente em países frios, sentem a
importância de, em seus projetos, preverem tubulações interiores nas alvenarias das
edificações, objetivando o escoamento de fluidos quentes, capazes de permitirem conforto
maior mediante aquecimento ambiental.
Esses são, apenas, alguns exemplos, entre as mais diversas aplicações que a
Transmissão de Calor propicia no desempenho profissional da Engenharia.
Conforme se verá no desenvolvimento da matéria, é indispensável aplicar recursos
de Matemática e de Mecânica dos Fluidos em muitas ocasiões, bem como se perceberá a
ligação e a diferença entre Transmissão de calor e Termodinâmica..
A Termodinâmica relaciona o calor com outras formas de energia e trabalha com
sistemas em equilíbrio, enquanto a Transmissão de calor preocupa-se com o mecanismo, a
duração e as condições necessárias para que o citado sistema atinja o equilíbrio.
É evidente que os processos de Transmissão de Calor respeitem a primeira e a
segunda Lei da Termodinâmica, mas, nem por isto, pode-se esperar que os conceitos
básicos da Transmissão de calor possam simplesmente originar-se das leis fundamentais da
Termodinâmica.
Evidente também é, sem dúvida, que o calor se transmite sempre no sentido da
maior para a menor temperatura, e só haverá transmissão de calor se houver diferença de
temperatura, da mesma forma que a corrente elétrica transita do maior para o menor
potencial e só haverá passagem de corrente elétrica se houver uma diferença de potencial;
percebe-se, de início, sensível analogia entre os fenômenos térmico e elétrico, o que é
absolutamente correto, pois que, de fato, o fenômeno é de transporte e pode ser, inclusive,
estudado de forma global, como calor, eletricidade, massa, quantidade de movimento, etc.,
resultando daí a absoluta identidade entre as diferentes leis que comandam deferentes
setores do conhecimento humano.

1.2) REGIMES DE TRANSMISSÃO DE CALOR
Seja uma parede em forma de paralelepípedo, com todas as faces suficientemente
isoladas, exceto duas opostas e paralelas; de início estas faces estão à mesma temperatura
Ti, logo não há transmissão de calor através da parede. Em determinado instante, eleva-se
subitamente uma das faces à temperatura Tf e haverá transporte de calor na direção x (Fig.
1.4)
Fig. 1.4
Imaginando-se que Ti e Tf sejam temperaturas mantidas inalteradas, haverá, para cada
instante t que se considere, uma curva representativa de T = f(x), isto é, um mesmo ponto
de uma mesma seção reta terá temperaturas diferentes no decorrer do tempo, daí as curvas
para os tempos t1, t2, t3, etc. Desde que se conservem Ti e Tf, ocorrerá um determinado
momento, a partir do qual os pontos de uma mesma seção reta não mais variarão sua
temperatura com o tempo.
Com esse exemplo é possível caracterizar os dois regimes em que podem suceder as
formas de transmissão de calor.
Durante o período em que um mesmo ponto da parede alterou sua temperatura com o
tempo, diz-se que a parede estava em regime transitório, e, quando a temperatura do
mesmo ponto conservou-se constante, diz-se que na parede reinava regime estacionário ou
permanente; são esses os dois regimes de transmissão de calor.
O regime transitório pode ser particularmente um caso de periodicidade, no qual as
temperaturas de um mesmo ponto variem ciclicamente segundo uma determinada lei,
como, por exemplo, uma variação senoidal ou a variação da temperatura na cobertura de
um edifício, exposta dia e noite às condições atmosféricas. A esse regime costuma-se
denominar regime periódico.
É possível, e inclusive muito útil, definir regime estacionário e regime transitório em
termos de fluxo de calor. Assim, regime estacionário é aquele em que o fluxo de calor é
constante no interior da parede, pois os pontos interiores já apresentam saturação térmica e

não alterarão mais suas temperaturas, logo o fluxo de calor que entra é igual ao fluxo de
calor que sai; e regime transitório é aquele em que o fluxo de calor é variável nas diferentes
seções da parede ou, em outras palavras, o fluxo que entra é diferente do fluxo de calor que
sai.
1.3) FORMAS DE TRANSMISSÃO DE CALOR
Existem três formas de transmissão de calor: condução, convecção e radiação.
Tais formas são fundamentalmente diferentes, regidas por leis próprias, mas que, na
realidade, podem ocorrer em simultaneidade, o que torna, por vezes, muito complexa a
solução absolutamente exata de um problema de transmissão de calor.
O bom senso do engenheiro, sua experiência e o adequado conhecimento da matéria
ensejar-lhe-ão a oportunidade de desprezar uma ou até duas formas de transmissão de calor,
no projeto ou num problema de Engenharia, desde que as formas não consideradas tenham
presença insignificante, não ocasionando falhas nos resultados finais e oferecendo,
autenticamente, uma solução de Engenharia não deixando um problema sem solução, dada
a preocupação com a exatidão, que, conforme se poderá perceber no desenvolvimento de
assunto, é em várias ocasiões, absolutamente dispensável.
Em capítulos seguintes será estudada, em detalhe, cada uma das formas de
transmissão de calor, mas cabe aqui definir corretamente as diferenças entre as três citadas,
para que o acompanhamento do assunto possa ser feito com maior segurança e categoria.
1.3.1) Transferência de Calor por Condução
Quando existe um gradiente de temperatura num corpo, a experiência mostra que
ocorre uma transferência de energia de alta temperatura para a região de baixa temperatura.
Diz-se que a energia é transferida por condução e a taxa de transferência de calor por
unidade de área é proporcional ao gradiente normal de temperatura
≈
A
q
x
T
∂
∂
Quando a constante de proporcionalidade é inserida
x
T
kAq
∂
∂
−= 1-1
onde q é a taxa de transferência de calor e ∂T/∂x é o gradiente de temperatura na direção do
fluxo de calor. A constante positiva k é chamada condutividade térmica do material, sendo
o sinal de menos inserido para satisfazer o segundo princípio da termodinâmica, ou seja, o
calor deve fluir no sentido da temperatura decrescente, como indicado no sistema de
coordenadas da Fig. 1-1

Fig. 1-1 Esquema mostrando a direção do fluxo de calor
A equação 1-1 é chamada de lei de Fourier da condução de calor, em homenagem
ao físico matemático francês Joseph Fourier que trouxe contribuições significativas ao
tratamento analítico da transferência de calor por condução. É importante observar que a
Eq. 1-1 é a equação de definição de condutividade térmica e que k tem unidade de watt por
metro por grau Celsius [W/(m.o
C)] no Sistema Internacional de Unidades (SI).
O problema a ser tratado agora é o da determinação da equação básica que governa
a transferência de calor através de um sólido utilizando a Eq. 1-1 como ponto de partida.
Considere o sistema unidimensional mostrado na Fig. 1-2. Se o sistema está em
regime permanente, isto é, se a temperatura não varia com o tempo, então o problema é
simples devendo-se somente integrar a Eq. 1-1 e substituir os valores apropriados para a
solução nas quantidades desejadas. Entretanto, se a temperatura do sólido varia com o
tempo, ou se existem fontes ou sumidouros de calor no interior do sólido, a situação é mais
complicada. Consideremos o caso geral onde a temperatura pode variar com o tempo e
fontes de calor podem ocorrer no interior do corpo. Para o elemento de espessura dx, o
seguinte balanço de energia pode ser feito:
Fig. 1-2 Volume elementar para a análise da condução de calor unidimensional
Energia conduzida para dentro pela face esquerda + calor gerado no interior do elemento =
variação de energia interna + energia conduzida para fora pela face direita.
Estas quantidades de energia são dadas pelas seguintes expressões:
Energia conduzida para dentro pela face esquerda:

x
T
kAqx
∂
∂
−=
Calor gerado no interior do elemento: qx = q& Adx
Variação da energia interna: dx
T
cAE
τ∂
∂
ρ=∆
Energia conduzida para fora pela face direita:












∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
−=
∂
∂
−= ++
dx
x
T
k
xx
T
kA]
x
T
kAq dxxdxx
onde q& = energia gerada por unidade de volume
c = calor específico do material
ρ = densidade
A combinação das relações acima fornece:












∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
−
τ∂
∂
ρ=+
∂
∂
− dx
x
T
k
xx
T
kAdx
T
cAAdxq
x
T
kA &
ou
τ∂
∂
ρ=+





∂
∂
∂
∂ T
cq
x
T
k
x
& 1-2
Esta é equação da condução de calor unidimensional. Para tratar do fluxo de
calor em mais de uma dimensão deve-se considerar o calor conduzido para dentro e
para fora do volume elementar em todas as três direções coordenadas, como
mostrado na Fig. 1-3. O balanço de energia conduz a:
Fig.1.3
τ
+++=+++ +++
d
dE
qqqqqqq dzzdyydxxgerzyx
sendo as quantidades de energia dadas por
x
T
kdydzqx
∂
∂
−=

dydzdx
x
T
k
xx
T
kq dxx 











∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
−=+
y
T
kdxdzqy
∂
∂
−=
dxdzdy
y
T
k
yy
T
kq dyy 











∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
−=+
z
T
kdxdyqz
∂
∂
−=
dxdydz
z
T
k
zz
T
kq dzz 











∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
−=+
dxdydzqqger
&=
τ∂
∂
ρ=
τ
T
cdxdydz
d
dE
Assim a equação geral tridimensional da condução fica:
τ
ρ
∂
∂
=+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂ T
cq
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
x
& 1.3
Para condutividade constante a Eq. 1.3 pode ser escrita
τα ∂
∂
=+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ T
k
q
z
T
y
T
x
T 1
2
2
2
2
2
2
&
1.4
onde a quantidade α = k/ρc é chamada de difusividade térmica do material. Quanto maior o
valor de α, mais rapidamente o calor irá se difundir através do material. Isto pode ser visto
observando-se as quantidades que compõem α. Um valor elevado de α pode resultar tanto
de um valor elevado da condutividade térmica quanto de um valor baixo da capacidade
térmica ρc. Um valor baixo da capacidade térmica significa que menor quantidade de
energia em trânsito através do material é absorvida e utilizada para elevar a temperatura do
material; assim, mais energia encontra-se disponível para ser transferida.
Nas deduções acima, a expressão da derivada x + dx foi escrita na forma de uma
expansão de Taylor onde somente os dois primeiros termos da série foram considerados no
desenvolvimento.
Muitos problemas práticos envolvem somente casos especiais das equações gerais
apresentadas acima. Como uma orientação pata desenvolvimento em capítulos futuros, é
conveniente mostrar a forma reduzida da equação geral para alguns casos de interesse
prático.
- Fluxo de calor unidimensional em regime permanente (sem geração de calor)
02
2
=
dx
Td
1.5

- Fluxo de calor unidimensional em regime permanente com fontes de calor
02
2
=+
∂
∂
k
q
x
T &
1.6
- Condução bidimensional em regime permanente sem fontes de calor
02
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
T
x
T
1.7
1.3.1.1) Condutividade Térmica
A Eq. 1-1 é a equação de definição para a condutividade térmica. Com base nesta
definição, podem ser feitas medidas experimentais para a determinação da condutividade
térmica de diferentes materiais. Tratamentos analíticos da teoria cinética podem ser usados
para gases em temperaturas moderadamente baixas para antecipar com precisão os valores
observados experimentalmente. Em alguns casos existem teorias para o cálculo da
condutividade térmica em líquidos e sólidos, mas em geral nestas situações os conceitos
não são muito claros, permanecendo várias questões em aberto.
O mecanismo da condução térmica num gás é simples. A energia cinética de uma
molécula é identificada com sua temperatura; assim, numa região de alta temperatura as
moléculas têm velocidades maiores do que numa região de baixa temperatura. As
moléculas estão em movimento contínuo ao acaso, colidindo umas com as outras e
trocando energia e quantidade de movimento.Esta movimentação ao acaso das moléculas
independe da existência de um gradiente de temperatura no gás. Se uma molécula se
movimenta de uma região de alta temperatura para uma de baixa temperatura, ela transporta
energia cinética para esta região de baixa temperatura do sistema perdendo esta energia
através de colisões com moléculas de energia mais baixa.
Foi dito que a unidade da condutividade térmica é watts por metro por grau Celsius
[W/(m.o
C)] no SI. Note que existe uma taxa de calor envolvida, e o valor numérico da
condutividade térmica indica a rapidez com que o calor será transferido num dado material.
Qual é a taxa de transferência de energia levando-se em consideração o modelo molecular
discutido acima? Quanto mais veloz o movimento das moléculas, mais rapidamente a
energia será transportada. Portanto, a condutividade térmica de um gás deve ser dependente
da temperatura. Um tratamento analítico simplificado mostra que a condutividade térmica
de um gás varia com a raiz quadrada da temperatura absoluta. (Convém lembrar que a
velocidade do som em um gás varia com a raiz quadrada da temperatura absoluta
kRTv = ; esta velocidade é aproximadamente a velociade média das moléculas.)
O mecanismo físico da condução de energia térmica em líquidos é qualitativamente
o mesmo dos gases; entretanto, a situação é consideravelmente mais complexa, uma vez
que o espaçamento das moléculas é menor e os campos de força molecular exercem uma
forte influência na troca de energia no processo de colisão.
A energia térmica pode ser conduzida em sólidos de duas maneiras: vibração da
grade e transporte por elétrons livres. Em bons condutores elétricos um grande número de
elétrons move-se sobre a estrutura do material. Como estes elétrons podem transportar
carga elétrica, podem também conduzir energia de uma região de alta temperatura para uma

região de baixa temperatura, como nos gases. A energia também pode ser transmitida como
energia de vibração na estrutura do material. Entretanto, este último modo de transferência
de energia não é tão efetivo quanto o transporte por elétrons, sendo esta a razão pela qual
bons condutores elétricos são quase sempre bons condutores de calor, como por exemplo o
cobre, o alumínio e a prata, e isolantes elétricos geralmente são bons isolantes térmicos.
Um problema técnico importante é o armazenamento e o transporte, por longos
períodos, de líquidos criogênicos como o hidrogênio líquido. Tais aplicações causaram o
desenvolvimento de superisolantes para serem usados em temperaturas mais baixas (até
aproximadamente –250o
C). O superisolamento mais efetivo é constituído de múltiplas
camadas de materiais altamente refletivos separados por espaçadores isolantes. O sistema é
evacuado para minimizar as perdas pela condução no ar, sendo possível atingir
condutividades térmicas tão baixas quanto 0,3 mW/(m.o
C).
1.3.2) Transferência de Calor por Convecção
É sabido que uma placa de metal aquecida irá se resfriar mais rapidamente quando
colocada em frente ao ventilador do que exposta ao ar parado. Este processo é chamado de
transferência de calor por convecção. O termo convecção fornece ao leitor uma noção
intuitiva em relação ao processo de transferência de calor; entretanto, esta noção intuitiva
deve ser ampliada para que se possa conseguir um tratamento analítico adequado do
problema. Por exemplo, sabemos que a velocidade do ar sobre a placa aquecida influencia a
taxa de transferência de calor. Mas esta influência sobre o resfriamento será linear, ou seja,
dobrando-se a velocidade do ar estaremos dobrando a taxa de calor transferido? Devemos
supor que a taxa de transferência de calor será diferente se a placa for resfriada com água
em vez de ar. Porém de quanto será essa diferença? Estas questões podem ser respondidas
com o auxílio de algumas análises básicas a serem apresentadas nos próximos capítulos.
Agora, o mecanismo físico da transferência de calor por convecção será esquematizado e
mostrada a sua relação com o processo de condução.
Considere a placa aquecida mostrada na fig 1.5. A temperatura da placa é Tp, e a
temperatura do fluido é T∞. Nesta está representado o comportamento da velocidade do
escoamento, que se reduz a zero na superfície da placa como resultado da ação viscosa.
Como a velocidade da camada de fluido junto à parede é zero, o calor deve ser transferido
somente por condução neste ponto. Assim devemos calcular o calor transferido, usando a
Eq. 1-1, com a condutividade térmica do fluido e o gradiente de temperatura junto à parede.
Por que, então, se o calor é transferido por condução nesta camada, falamos em
transferência de calor por convecção e precisamos considerar a velocidade do fluido? A
resposta é que o gradiente de temperatura depende da razão na qual o calor é removido;
uma velocidade alta produz um gradiente elevado de temperatura, e assim por diante.
Portanto, o gradiente de temperatura junto à parede depende do campo de velocidade;
conseqüentemente, em análises posteriores, desenvolveremos uma expressão que relaciona
essas duas quantidades. Deve ser lembrado, entretanto, que o mecanismo de transferência
de calor na parede é um processo de condução.
O efeito global da convecção é expresso através da lei de Newton do resfriamento
q = hA(Tp - T∞) 1.8

Fig. 1-5 transferência de calor por convecção
Aqui a taxa de transferência de calor é relacionada à diferença de temperatura entre a
parede e o fluido e à área superficial A. A quantidade h é chamada de coeficiente de
transferência de calor por convecção, e a Eq. 1.8 é a equação de definição deste parâmetro.
Para alguns sistemas é possível o cálculo analítico de h. Para situações complexas e
determinação é experimental o coeficiente de transferência é algumas vezes chamado de
condutância de película devido à sua relação com o processo da condução na fina camada
de fluido estacionário junto à superfície da parede. Pela Eq. 1.8 a unidade de h é watt por
metro quadrado por grau Celsius [W/(m2
.o
C)] no SI.
Em vista desta discussão, pode-se antecipar que a transferência de calor por
convecção irá exibir uma dependência da viscosidade do fluido além da sua dependência
das propriedades térmicas do fluido (condutividade térmica, calor específico, densidade).
Isto é esperado porque a viscosidade influência o perfil de velocidade e, portanto, a taxa de
transferência de energia na região junto à parede.
Se uma placa aquecida estiver exposta ao ar ambiente sem uma fonte externa de
movimentação de fluido, o movimento do ar será devido aos gradientes de densidade nas
proximidades da placa. Esta convecção é chamada natural ou livre em oposição à
convecção forçada, que ocorre no caso de se ter um ventilador movimentando o ar sobre a
placa. Os fenômenos de ebulição e condensação são também agrupados dentro desse
assunto de transferência de calor por convecção
1.3.3) Transferência de Calor por Radiação
Em contraste com os mecanismos de condução e convecção, onde a energia é
transferida através de um meio natural, o calor pode também ser transferido em regiões
onde existe o vácuo perfeito. O mecanismo neste caso é a radiação eletromagnética que é
propagada como resultado de uma diferença de temperatura; trata-se da radiação térmica.
Considerações termodinâmicas mostram que um radiador ideal, ou corpo negro,
emite energia numa taxa proporcional à quarta potência da temperatura absoluta do corpo.
Quando dois corpos trocam calor por radiação, a troca líquida de calor é proporcional à
diferença T4
. Assim
q = σA(T1
4
– T2
4
) 1-9
Onde σ é a constante de proporcionalidade chamada de constante de Stefan-Boltzmann
que vale σ = 5,669 x 10-8
W/(m2
.K4
). A Eq. 1-9 é chamada de lei de Stefan-Boltzmann da

radiação térmica e vale somente para corpos negros. É importante observar que esta
equação é válida somente para radiação térmica; outros tipos de radiação eletromagnética
podem não ser tratados com esta simplicidade.
Foi mencionado que um corpo negro é um corpo que emite energia de acordo com a
lei T4
. Tal corpo é denominado negro porque superfícies negras, como um pedaço de metal
coberto por negro de fumo, se aproxima desse tipo de comportamento. Outros tipos de
superfícies, como uma superfície pintada ou uma placa metálica polida, não emitem tanta
energia quanto o corpo negro; entretanto, a radiação total emita por estes corpos ainda é
proporcional a T4
. Para levar em consideração a natureza “cinzenta” destas superfícies é
introduzido um outro fator na Eq. 1-9, a emissividade ε, que relaciona a radiação de uma
superfície “cinzenta” com a de uma superfície negra ideal. Além disso devemos levar em
conta que nem toda a radiação que deixa uma superfície atinge a outra superfície, uma vez
que a radiação eletromagnética se propaga segundo linhas retas havendo perdas para o
ambiente. Portanto, para considerar estas duas situações, são introduzidos dois novos
fatores na Eq. 1-9
Q = Fεεεε FG σσσσA(T1
4
– T2
4
) 1.10
onde Fε é a função emissividade e FG é a função “fator de forma” geométrico. A
determinação da forma destas funções para configurações específicas é objeto de um
capítulo subseqüente. Entretanto, é importante alertar para o fato destas funções em geral
não serem independentes uma da outra como indicado na Eq. 1-10.
O fenômeno da transferência de calor por radiação pode ser muito complexo e os
cálculos raramente são simples como indicado pela Eq. 1-10. No momento, interessa-nos
somente enfatizar as diferenças entre o mecanismo físico da transferência de calor pela
radiação e os sistemas condução e convecção.

2. CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME
PERMANENTE
2.1) INTRODUÇÃO
Agora serão examinadas as aplicações da lei de Fourier da condução de calor para o
cálculo da transferência de calor em sistemas unidimensionais. Muitos formatos físicos
diferentes podem ser incluídos na categoria de sistemas unidimensionais. Sistemas
cilíndricos e esféricos são unidimensionais quando a temperatura no corpo é função
somente da distância radial e independe do ângulo azimutal ou da distância axial. Em
alguns problemas bidimensionais os efeitos da segunda coordenada espacial podem ser tão
pequenos a ponto de serem desprezados, e o problema de fluxo de calor multidimensional
pode ser aproximado por uma análise unidimensional. Nestes casos as equações
diferenciais são simplificadas e as soluções são obtidas mais facilmente como resultados
destas simplificações.
2.2) A PAREDE PLANA
Inicialmente considere a parede plana onde pode ser feita uma aplicação direta da
lei de Fourier (Eq. 1-1). Da integração resulta
( )12 TT
x
kA
q −
∆
−= 2-1
para condutividade constante. A espessura da parede é ∆x, e as temperaturas das faces da
parede são T1 e T2. Se a condutividade térmica varia com a temperatura de acordo com
alguma relação linear k = ko(1 + βT), a equação resultante para o fluxo de calor é
( ) ( )



−+−
∆
−=
2
1
2
212
2
TTTT
x
Ak
q o β
2.2
Se mais de um material estiver presente, como é o caso da parede composta mostrada na
Fig. 2-1, o fluxo de calor poderá ser escrito
c
34
c
B
23
B
A
12
A
x
TT
Ak
x
TT
Ak
x
TT
Akq
∆
−
−=
∆
−
−=
∆
−
−=
Observe que o fluxo de calor deve ser o mesmo através de todas as seções.
Resolvendo estas equações simultaneamente, o fluxo de calor é dado por
Ak/xAk/xAk/x
TT
q
cCBBAA
41
∆+∆+∆
−
= 2-3

Aqui é conveniente introduzir um ponto de vista conceitual diferente para a lei de
Fourier. A taxa de transferência de calor pode ser considerada como um fluxo, a
combinação da condutividade térmica, espessura do material, e a área como uma resistência
a este fluxo. A temperatura, e a função potencial, ou motora, para este fluxo de calor, e a
equação de Fourier pode ser escrita
elétricaaResistênci
potencialdeDiferença
calordeFluxo = 2-4
que é uma relação semelhante à lei de Ohm na teoria de circuitos elétricos.
Fig. 2-1 Transferência de calor unidimensional através de uma parede composta e analogia elétrica
Fig. 2-2 Transferência de calor em série e em paralelo através de uma parede composta e a analogia elétrica.
Na Eq. 2-1 a resistência a resistência térmica é ∆x/kA, e na Eq. 2.3 á soma dos três
termos do denominador. Esta situação é esperada na Eq. 2.3 porque as três paredes lado a
lado agem como três resistências térmicas em série.

A analogia elétrica pode ser empregada para resolver problemas mais complexos
envolvendo resistências térmicas em série e em paralelo. Um problema típico e o seu
circuito análogo estão mostrados na Fig. 2-2. A equação do fluxo de calor unidimensional
para este tipo de problema pode ser escrita
∑
∆
=
t
total
R
T
q 2-5
onde Rt são as resistências térmicas dos vários materiais.
É interessante mencionar que em alguns sistemas como o da Fig. 2-2 pode resultar
um fluxo de calor bidimensional se as condutividades térmicas dos materiais B, C e D
forem muito diferentes. Nesses casos outras técnicas devem ser empregadas para a
obtenção de uma solução.
2.4) SISTEMAS RADIAIS – CILINDROS
Considere um cilindro longo de raio interno ri, raio externo re, e comprimento L, tal
como mostrado na Fig. 2-3. Este cilindro é submetido a um diferencial de temperatura(Ti –
Te) e deseja-se saber qual será o fluxo de calor. Pode-se considerar que o fluxo é
transmitido na direção radial e assim a única coordenada espacial que deve ser especificada
é r.
Fig. 2-3 Fluxo de calor unidimensional através de uma parede cilíndrica e a analogia elétrica
Fig. 2.4 Fluxo de calor unidimensional através de seções cilíndricas múltiplas e a analogia elétrica
Mais uma vez é usada a lei de Fourier, inserindo-se a relação de áreas apropriadas. A área
para o fluxo de calor em sistemas cilíndricos é
Ar = 2πrL
E, portanto a lei de Fourier fica

dr
dT
kAq rr −=
ou
dr
dT
krL2qr π−= 2-7
com as condições de contorno
T =Ti em r = ri
T = Te em r = re
A solução da Eq. 2-7 é
( )
( )ie
ei
rr
TTkL
q
ln
2 −
=
π
2-8
e a resistência térmica pode ser usado para paredes cilíndricas compostas, da mesma
maneira que para paredes planas. Para o sistema de três camadas mostrado na Fig. 2-4 a
solução é
( )
( ) ( ) ( ) CBA krrkrrkrr
TTL
q
342312
41
lnlnln
2
++
−
=
π
2-9
O circuito térmico é mostrado na Fig. 2-4b.
Sistemas esféricos também podem ser tratados como udimensionais quando a
temperatura é somente função do raio. O fluxo de calor é então
ei
ei
r1r1
)TT(k4
q
−
−π
= 2-10
2.5) O COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR
Considere a parede plana mostrada na Fig. 2-5, exposta a um fluido quente A em
um dos lados. O calor transferido é dado por
( ) ( ) ( )B22211A1 TTAhTT
x
kA
TTAhq −=−
∆
=−=

Fig. 2-5 Fluxo de calor através de uma parede plana
O processo de transferência de calor pode ser representado pelo circuito da
resistência da Fig. 2-5, e o calor total transferido é calculado como razão entre a diferença
total de temperatura e a soma das resistências térmicas
AhkAxAh
TT
q BA
21 11 +∆+
−
= 2.11
Observe que o valor 1/ha é usado para representar a resistência de convecção. O
calor total transferido pelos mecanismos combinados de condução e convecção é
freqüentemente expresso em termos de um coeficiente global de transferência de calor U,
definido pela relação
totalTUAq ∆= 2.12
onde A é uma área adequada para a transferência de calor. De acorda com a Eq. 2.11, o
coeficiente global de transferência de calor é
21 11
1
hkxh
U
+∆+
=
A analogia elétrica para um cilindro oco, que troca calor por convecção interna e
externamente, está representada na Fig. 2-6, onde TA e TB são as temperaturas dos fluidos.
Fig. 2-6 Analogia elétrica para um cilindro oco com troca de calor por convecção nas superfícies interna e externa
Observe que a área para convecção não é a mesma para os dois fluidos neste caso.
Estas áreas dependem do diâmetro interno do tubo e da espessura da parede. Neste caso, o
fluxo total de calor é dado por

( )
ee
ie
ii
BA
AhkL
rr
Ah
TT
q
1
2
ln1
++
−
=
π
2.13
de acorda com o circuito térmico da Fig. 2-6. Os termos Ai e Ae reapresentam as áreas das
superfícies interna e externa do tubo. O coeficiente global de transferência de calor pode ser
baseado tanto na área interna como na externa.
( )
ee
iiei
i
i
hA
A
kL
rrA
h
U
1
2
ln1
1
++
=
π
2-14
( )
e
iee
ii
e
e
hkL
rrA
hA
A
U
1
2
ln1
1
++
=
π
2-15
2.6) ESPESSURA CRÍTICA DE ISOLAMENTO
Considere uma camada de isolamento que pode ser instalada ao redor de um tubo
circular, como mostrado na Fig. 2-7. A temperatura interna do isolamento é fixada em Ti, e
a superfície externa troca calor com o ambiente a T∞. Do circuito térmico, o calor
transferido vale
Fig 2-7 Espessura crítica de isolamento
( )
( )
hrk
rr
TTL
q
e
ie
i
1ln
2
+
−
= ∞π
2-16
Vamos agora manipular esta expressão para determinar o raio externo de isolamento
re que irá maximizar a transferência de calor. A condição de máximo é
( )
( )
2
2
1ln
11
2
0






+








−−−
==
∞
hrk
rr
hrkr
TTL
dr
dq
e
ie
ee
iπ

que fornece como resultado
h
k
re = 2.17
A equação 2.17 expressa o conceito de raio crítico de isolamento. Se o raio externo
for menor que o valor dado por esta equação, então a transferência de calor será aumentada
com a colocação de mais isolante. Para raios externos maiores que o valor crítico, um
aumento de espessura de isolamento causará um decréscimo da transferência de calor. O
conceito central é que para valores de h suficientemente pequenos as perdas de calor por
convecção podem aumentar com o aumento da espessura do isolamento, porque isto
aumenta a superfície externa do isolamento.
2.7) SISTEMAS COM GERAÇÃO DE CALOR
Algumas aplicações interessantes dos princípios da transferência de calor estão
relacionadas com sistemas onde o calor pode ser gerado internamente. Os reatores
nucleares são um exemplo, assim como condutores elétricos e sistemas quimicamente
reagentes. Nossa discussão aqui ficará limitada aos sistemas unidimensionais ou, mais
especificamente, sistemas onde a temperatura é função única de uma variável espacial.
2.7.1) Parede plana com geração de calor
Considere a parede plana com fontes de calor uniformemente distribuídas como
mostrado na Fig. 2-8. A espessura da parede na direção x é 2L, e é admitido que as
dimensões nas outras direções são suficientemente grandes para que o fluxo de calor seja
considerado unidimensional. O calor gerado por unidade de volume é q& e a condutividade
térmica é considerada constante, não variando coma temperatura. Esta situação pode ser
produzida na prática passando-se uma corrente elétrica através de um condutor. Do
Capítulo 1, a equação diferencial para esta situação é
02
2
=+
k
q
dx
Td &
2-18
Para as condições de contorno, especificamos as temperaturas dos dois lados da placa, isto
é,
T = Tp em x = L 2-19
A solução geral da Eq.2-18 é
21
2
2
CxCx
k
q
T ++−=
&
2-20
Como a temperatura deve ser a mesma nos dois lados da parede, C1 deve ser zero. A
temperatura do plano médio é denotado por To; da Eq 2-20
To = C2

Portanto, a distribuição de temperatura é
2
2
x
k
q
TT o
&
−=− 2-21a
2






=
−
−
L
x
TT
TT
op
o
2-21b
que é uma distribuição parabólica. Uma expressão para a temperatura do plano médio To
pode ser obtida através de um balanço de energia. Em regime permanente, o calor total
gerado deve ser igual ao calor perdido pelas duas faces. Assim,
LAq
dx
dT
kA
Lx
22 &=







−
=
onde A é a área de seção transversal da placa. O gradiente de temperatura na parede é
obtido diferenciando-se a Eq. 2-21b:
( ) ( )
L
TT
L
x
TT
dx
dT
op
Lx
op
Lx
22
2
−=








−=


==
Então ( ) Lq
L
TTk op
&=−−
2
e po T
k
Lq
T +=
2
2
&
2-22
Fig 2-8 Esquema ilustrativo do problema da condução unidimensional com geração de calor
2.7.2) CILINDRO COM GERAÇÃO DE CALOR
Considere um cilindro de raio R com fontes de calor uniformemente distribuídas e
condutividade térmica constante. Se o cilindro for suficientemente longo para que a

temperatura possa ser considerada somente uma função do raio, a equação diferencial
apropriada pode ser obtida da equação
0
1
2
2
=++
k
q
dr
dT
rdr
Td &
2-23
As condições de contorno são
T = Tp em r = R
e o calor gerado pode ser igual ao calor perdido na superfície
Rrdr
dT
RLkLRq
=


−= ππ 22
&
Como a função temperatura pode ser contínua no centro do cilindro, pode-se
especificar que
0=
dr
dT
em r = 0
Entretanto, não será necessário usar esta condição, pois isto será verificado
automaticamente quando as duas condições de contorno forem satisfeitas.
A Eq. 2-23 pode ser escrita
k
rq
dr
dT
dr
Td
r
&−
=+2
2
sendo que






=+
dr
dT
r
dr
d
dr
dT
dr
Td
r 2
2
Portanto a integração fornece
1
2
2
C
k
rq
dr
dT
r +
−
=
&
e
21
2
ln
4
CrC
k
rq
T ++
−
=
&
Da segunda condição de contorno acima,
R
C
k
Rq
k
Rq
dr
dT
Rr
1
22
+
−
=
−
=

=
&&
e, portanto C1 = 0
A solução final para a distribuição de temperatura é
( )22
4
rR
k
q
TT p −=−
&
2-24
ou, na forma adimensional
2
1 





−=
−
−
R
r
TT
TT
po
p
onde To é a temperatura em r = 0 dada por
po T
k
Rq
T +=
4
2
&

3. CONDUÇÃO TRANSIENTE E USO DE CARTAS DE
TEMPERATURA
Se a temperatura da face de um corpo sólido for alterada repentinamente, a
temperatura no interior do sólido principia a variar com o tempo. Passa-se algum tempo
antes que seja atingida a distribuição de temperatura estacionária. A determinação da
distribuição de temperatura é assunto complicado, pois a temperatura varia tanto com a
posição como com o tempo. Em muitas aplicações práticas, a variação da temperatura com
a posição é desprezível durante o estado transiente e, por isso, considera-se a temperatura
função exclusiva do tempo. A análise da transferência de calor com esta hipótese é a
análise global do sistema; por ser a temperatura função exclusiva do tempo, a análise é
muito simples. Por isso, neste capítulo, principiamos com a análise global de condução
transiente de calor.
O emprego de cartas de temperatura é ilustrado para resolver a condução de calor
transiente, simples, numa placa, num cilindro ou numa esfera, nas quais a temperatura varia
com o tempo e com a posição.
3.1) ANÁLISE GLOBAL DO SISTEMA
Considere um sólido de forma arbitrária, volume V, área superficial total A,
condutividade térmica k, densidade ρ, calor específico cp, a uma temperatura uniforme To,
que é repentinamente imerso, no instante t = 0, em um fluido agitado e mantido a uma
temperatura uniforme T∞. A fig. 3-1 ilustra o sistema da transferência de calor considerado.
A transferência de calor entre o sólido e o líquido se realiza por convecção, com um
coeficiente de transferência de calor h. Admite-se que a distribuição de temperatura dentro
do sólido, em qualquer instante seja suficientemente uniforme, de tal modo que a
temperatura de sólido pode ser considerada função exclusiva do tempo, isto é, T(t). A
equação de energia na transferência de calor no sólido pode ser escrita como
Fig.3.1 Nomenclatura da análise global do sistema durante o fluxo transiente de calor
Taxa de fluxo de calor afluente ao sólido de volume V = Taxa de aumento da
energia interna do sólido de volume V.

Escrevendo-se as expressões matemáticas apropriadas a cada um destes termos,
obtém-se:
[ ]
dt
tdT
VctTTAh p
)(
)( ρ=−∞ 3.1
ou
0])([
)(
=−+ ∞TtT
Vc
Ah
dT
tdT
pρ
em t > 0 3.2
sujeito à condição inicial
T(t) = To em t = 0
Para conveniência da análise, define-se uma nova temperatura θ(t)
θ(t)≡ T(t) - T∞
Então a equação 3-2 torna-se
0)(
)(
=+ tm
dt
td
θ
θ
em t > 0 3-3
e θ(t) = To - T∞ ≡ θo em t = 0
onde definimos
Vc
Ah
m
pρ
≡ 3.4
A Eq. 3-3 é uma equação diferencial ordinária na temperatura θ(t), cuja solução geral é
dada por
θ(t) = C e-mt
3.5
A aplicação da condição inicial dá a constante de integração C = θo. Então, a temperatura
do sólido em função do tempo é
mt
oo
e
TT
TtTt −
∞
∞
=
−
−
=
)()(
θ
θ
3.6
A fig. 3-2 mostra um gráfico da temperatura adimensional da Eq 3.6 em função do
tempo. A temperatura decai exponencialmente com o tempo, e a forma da curva é
determinada pelo valor do expoente m. Aqui, m tem a dimensão de (tempo)-1
. É claro que
as curvas na fig. 3-2 se tornam cada vez mais inclinadas à medida que o valor de m cresce.
Isto é, qualquer acréscimo de m fará com que o sólido responda mais rapidamente a uma
variação de temperatura ambiente. O exame dos parâmetros na definição de m revela que o
aumento da área superficial, para um dado volume, e o coeficiente de transferência de calor
provocam o aumento de m. Aumentando-se a densidade, o calor específico, ou o volume,
haverá diminuição de m.

Fig. 3.2 A temperatura adimensional θθθθ(t)/θθθθo em função do tempo.
Para estabelecer alguns critérios com que a distribuição de temperatura possa ser
considerada uniforme no interior do sólido, e com que a análise global do sistema seja
aplicável, vamos definir um comprimento característico Ls como
A
V
Ls = 3.7
e o número de Biot, Bi, como
k
hL
Bi s
= 3.8
onde k é a condutividade térmica do sólido. Em sólidos que tenham a forma de placa, ou
cilindro longo ou esfera, a distribuição de temperatura dentro do sólido, no estado
transiente, em qualquer instante, é uniforme, com um erro menor do que cerca de 5%, se
1,0≤=
s
s
k
hL
Bi 3.9
Discutiremos mais adiante este assunto, que se tornará então mais claro. Aqui, admitiremos
que a análise global do sistema é aplicável nas situações em que Bi < 0,1.
O significado físico do número de Biot visualiza-se melhor se for escrito na forma
ss Lk
h
Bi =
que é a razão entre o coeficiente de transferência de convectiva calor na superfície do
sólido e a condutância específica do sólido. Portanto, a hipótese de temperatura uniforme
no interior do sólido é válida se a condutância específica do sólido for muito maior do que
o coeficiente de transferência convectiva de calor.
3.2) CONDIÇÃO DE CONTORNO MISTA
Na discussão precedente, consideramos uma situação em que todas as fronteiras da
região estavam sujeitas a convecção. Este método também se aplica quando parte da
fronteira está sujeita a convecção e o restante está sujeito a um certo fluxo de calor, como
vamos ilustrar agora.
Considere uma placa de espessura L, inicialmente a uma temperatura uniforme To.
Em qualquer instante t > 0, fornece-se calor à placa através de uma de suas superfícies com
uma constante de q (W/m2
), enquanto se dissipa calor por convecção pela outra superfície,

para um ambiente com temperatura uniforme T∞ com um coeficiente de transferência de
calor h. A fig. 3.3 mostra a geometria e as condições de contorno do problema.
Fig. 3.3 Nomenclatura para análise global do fluxo transiente de calor em uma placa.
Vamos admitir áreas iguais A na transferência de calor em ambas as faces da placa.
O balanço de energia, neste caso particular dá
dt
tdT
ALctTTAhAq p
)(
)]([ ρ=−+ ∞
dt
tdT
LctTThq p
)(
)]([ ρ=−+ ∞ em t > 0 3-10a
com a condição inicial
T(t) = To em t = 0 3-10b
Para conveniência na análise, definimos uma nova temperatura θ(t)
θ(t) = T(t) - T∞
Dessa forma, as Eqs. = 3.10 são escritas
Qtm
dt
td
=+ )(
)(
θ
θ
em t > 0 3-11a
θ(t) = To - T∞ ≡ θo em t = 0 3-11b
onde definimos
Lc
h
m
pρ
≡ e
Lc
q
Q
pρ
≡
A solução da Eq. 3-11a é a soma da solução da parte homogênea da 3-11a com a solução
particular na forma
θ(t) = Ce-mt
+ θp 3-12
onde C é a constante de integração. A solução particular θp é dada por
m
Q
p =θ 3-13
Combinando as Eqs. 3-12 e 3-13, obtemos

m
Q
Cet mt
+= −
)(θ 3-14
A constante de integração C é determinada pela aplicação da condição inicial 3-11b como
m
Q
Co +=θ 3-15
Substituindo a Eq. 3-15 na 3-14, obtemos a solução deste problema da transferência de
calor:
( )m
Q
eet mtmt
o
−−
−+= 1)( θθ ou
( )h
q
eet mtmt
o
−−
−+= 1)( θθ 3-16
Para t → ∞, esta solução simplifica-se em
( )
h
q
m
Q
==∞θ 3-17
que é a temperatura estacionária da placa.
3.3) PLACA – EMPREGO DAS CARTAS DE TEMPERATURA TRANSIENTE
Em muitas situações, os gradientes de temperatura no interior dos sólidos não são
desprezíveis, e não é aplicável a análise global do sistema. Neste caso, a análise dos
problemas da condução de calor envolve a determinação da distribuição de temperaturas no
interior do sólido em função do tempo e da posição, e é um tema bastante complicado.
Vários métodos de análise para resolver estes problemas são discutidos em diversos textos,
com tratamento avançado da condução de calor. Problemas simples, como a condução de
calor, unidimensional, dependente do tempo, em uma placa sem geração interna de energia,
podem ser resolvidos facilmente pelo método da separação de variáveis, como será
descrito mais adiante neste capítulo. Além disso, a distribuição de temperatura em tais
situações foi calculada, e os resultados, apresentados na forma de cartas de temperaturas
transientes em várias obras. Apresentaremos as cartas de temperaturas transientes e de
fluxo de calor e discutiremos seu significado físico e seu emprego.
Considere uma placa (por exemplo, uma parede plana) de espessura 2L confinada na
região –L ≤ x ≤ L. Inicialmente, a placa está a uma temperatura uniforme Ti. De repente, a t
= 0, ambas as superfícies de contorno da placa são sujeitas a convecção com um
coeficiente de transferência de calor h para o ambiente à temperatura T∞ e assim mantida
nos instantes t > 0. A fig 3.4a mostra a geometria, coordenadas e condições de contorno
deste problema particular. Porém, neste problema, há simetria geométrica e térmica em
torno do plano x = 0, de forma que podemos considerar o problema de condução do calor
numa metade da região, digamos 0 ≤ x ≤ L. Com essa consideração, o problema da
condução do calor numa placa de espessura 2L confinada à região –L ≤ x ≤ L, como está
ilustrado na fig 3.4a, é equivalente ao problema de uma placa de espessura L confinada na
região 0 ≤ x ≤ L, como está ilustrado 3.4b. Então, a formação matemática deste problema da
condução do calor dependente do tempo, com a geometria e as condições de contorno de
fig. 3.4b, é dada por

(a) (b)
Fig. 3.4 Geometria, coordenadas e condições de contorno da condução de calor transiente em uma placa.
t
T
x
T
∂
∂
=
∂
∂
α
1
2
2
em 0 < x < L, e t > 0 3.18a
0=
∂
∂
x
T
em x = 0, e t > 0 3.18b
∞=+
∂
∂
hThT
x
T
k em x = L, e t > 0 3.18c
T = Ti em t = 0, e 0 ≤ x ≤ L 3.18d
3.3.1) Equações Adimensionais
O problema da condução transiente de calor, dado pelas Eqs. 3.18, pode ser
expresso em forma adimensional introduzindo-se as seguintes variáveis adimensionais:
aladimensionatemperatur
),(
=
−
−
=
∞
∞
TT
TtxT
i
θ 3.19a
aladimensioncoordenada==
L
x
X 3.19b
Biotdenúmero==
k
hL
Bi 3.19c
Fourierdenúmerooual,adimensiontempo2
==
L
tα
τ 3.19d
Desta forma, o problema da condução de calor dado pelas Eqs 3.19 se transforma em
τ
θθ
∂
∂
=
∂
∂
2
2
X
em 0 < X < 1, e τ > 0 3.20a
0=
∂
∂
X
θ
em X = 0, e τ > 0 3.20b
0=+
∂
∂
θ
θ
Bi
X
em X = 1, e τ > 0 3.20c
θ = 1 em 0≤ X ≤ 1, e τ = 0 3.20d
O significado físico do tempo adimensional τ, ou número de Fourier, visualiza-se melhor se
a equação 3.19d for reordenada na forma

CW/,L
volumenoLdelongoao
calorderetençãodetaxa
CW/,L
volumenoLdelongoao
calordeconduçãodetaxa
/
)/1(
o3
o3
3
2
2
===
tLc
LLk
L
t
pρ
α
τ 3.21a
Portanto, o número de Fourier é uma medida da razão entre a taxa de condução e a taxa de
retenção de calor, num elemento de volume. Por isso, quanto maior o número de Fourier,
mais profunda é a penetração do calor num sólido durante um certo intervalo de tempo.
O significado físico do número de Biot compreende-se melhor se a Eq. 3.19c for
escrita na forma
Locompriment
nosólidodoacondutânci
sólido
dosuperfícienacalorde
nciatransferêdeecoeficient
/
===
Lk
h
k
hL
Bi 3.21b
Assim, o número de Biot é a razão entre o coeficiente de transferência de calor e a
condutância do sólido sobre o comprimento característico.
Comparando os problemas de condução de calor expressos pelas Eq. 3.18 e 3.20,
concluímos que o número de parâmetros independentes que afetam a distribuição de
temperatura no sólido reduz-se significativamente quando se exprime o problema na sua
forma adimensional. No problema dado pelas Eqs. 3.18, a temperatura depende dos oito
seguintes parâmetros físicos:
x, t, L, k, α, h, Ti, T∞
Porém, no problema adimensional expresso pelas Eqs. 3.20, a temperatura depende dos três
seguintes parâmetros adimensionais:
X, Bi, e τ
Fica evidente que, se exprimirmos o problema na forma adimensional, o número de
parâmetros que afetam a distribuição de temperatura reduz-se significativamente. Por isso,
é prático resolver o problema de uma vez por todas e expor os resultados na forma de cartas
para referência rápida.
3.3.2) Carta de Temperatura Transiente numa Placa
O problema definido pelas Eqs. 3.20 já foi resolvido e os resultados para a
temperatura adimensional estão nas Figs 3.5a e 3.5b. A Fig.35a dá a temperatura no plano
central To ou θ(0, τ) em X = 0, em função do tempo adimensional τ com diferentes valores
do parâmetro 1/Bi. A curva com 1/Bi = 0 corresponde ou a h → ∞, ou então as faces da
placa estão mantidas na temperatura ambiente T∞. Nos grandes valores de 1/Bi, o número
de Biot é pequeno, ou a condutância interna do sólido é grande em relação ao coeficiente de
transferência de calor na superfície. Isto, por sua vez, implica que a distribuição de
temperatura dentro do sólido é suficientemente uniforme, e, portanto, pode-se adotar a

análise global do sistema. A Fig. 3.5b relaciona as temperaturas em diferentes posições
dentro da placa com a temperatura do plano central, To. Se soubermos a temperatura To,
saberemos as temperaturas nas diferentes posições dentro da placa.
Um exame da Fig 3.5b revela que, nos valores de 1/Bi maiores do que 10, ou Bi <
0,1, a distribuição de temperaturas na placa pode ser considerada uniforme, com um erro
menor do que cerca de 5%. Devemos recordar que o critério Bi < 0,1, foi utilizado para que
a análise global do sistema fosse aplicável.
Fig. 3.5 Carta de temperaturas transientes numa placa de espessura 2L sujeita a convecção em ambas as faces. (a)
Temperatura To no plano central x=0; (b) correção de posição para utilizar com a parte (a).

A Fig.3.6 Mostra o calor adimensional transferido Q/Qo em função do tempo adimensional,
em vários valores do número de Biot, numa placa de espessura 2L. Aqui, Q representa a
quantidade total de energia perdida pela placa até certo tempo t, durante a transferência de
calor. A quantidade Qo, definida como
Qo = ρcpV(Ti - T∞) 3.22
representa a energia interna inicial da placa na temperatura ambiente.
Fig. 3.6 Calor adimensional transferido Q/Qo numa placa de espessura 2L.
3.4) CILINDRO LONGO E ESFERA – EMPREGO DAS CARTAS DE
TEMPERATURAS TRANSIENTES
A distribuição das temperaturas adimensionais transientes e os resultados da
transferência de calor, semelhantes aos que estão nas Figs 3.5 e 3.6, também podem ser
calculados nos casos de um cilindro longo e no de uma esfera.
3.4.1) Carta de temperaturas transientes num cilindro longo
Considere a condução de calor, unidimensional, transiente, num cilindro longo de
raio b, inicialmente a uma temperatura uniforme Ti. Repentinamente, no tempo t = 0, a
superfície em r = b é sujeita a convecção, com um coeficiente de transferência de calor h
para um ambiente à temperatura T∞ e mantida assim em t > 0. A formulação matemática
deste problema de condução de calor é dada em forma adimensional como
τ
θθ
∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
R
R
RR
1
em 0 < R < 1, e τ > 0 3.23a

0=
∂
∂
R
θ
em R = 0, e τ > 1 3.23b
0=+
∂
∂
θ
θ
Bi
R
em R = 1, e τ > 0 3.23c
θ = 1 em 0 ≤ R ≤ 1, e τ = 0 3.23d
onde as várias grandezas adimensionais são definidas da forma seguinte
==
k
hb
Bi número de Biot 3.24a
== 2
b
tα
τ tempo adimensional, ou número de Fourier 3.24b
( ) =
−
−
=
∞
∞
TT
TtrT
i
,
θ temperatura adimensional 3.24c
==
b
r
R coordenada radial adimensional 3.24d
O problema da Eq. 3.22 já foi resolvido, e os resultados para temperatura no centro
To ou θ(0,τ) estão na Fig. 3.7a, em função do tempo adimensional, com vários valores do
parâmetro 1/Bi. A fig.3.7b relaciona as temperaturas em diferentes posições dentro do
cilindro com a temperatura no plano médio To. Por isso, dada To, as temperaturas nas
diferentes posições internas do cilindro podem ser determinadas a partir da Fig. 3.7b.

Fig. 3.7 Carta de temperaturas transientes num cilindro maciço longo, de raio r=b sujeito a convecção na
superfície r=b. (a) Temperatura To no eixo do cilindro; (b) correção de posição para utilizar com a parte (a).
A Fig. 3.8 mostra o calor adimensional transferido Q/Qo em função do tempo
adimensional com diversos valores do número de Biot, no problema do cilindro dado pelas
Eqs. 3.22. Aqui Qo, tem o significado definido pela equação 3.22, e Q representa a
quantidade total de energia perdida pelo cilindro até certo tempo t, durante a transferência
transiente de calor.

Fig. 3.8 Calor adimensional transferido Q/Qo num cilindro longo de raio b
3.4.2) Carta de temperaturas transientes numa esfera
Numa esfera de raio b, inicialmente a uma temperatura uniforme Ti e em t > 0,
sujeita a convecção na superfície r = b, com um coeficiente de transferência de calor h,
para um ambiente à temperatura T∞, o problema da condução transiente de calor é dado na
forma adimensional como
τ
θθ
∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
R
R
RR
2
2
1
em 0 < R < 1, e τ > 0 3.24a
0=
∂
∂
R
θ
em R = 0, e τ > 0 3.24b
0=+
∂
∂
θ
θ
Bi
R
em R = 1, e τ > 0 3.24c
θ = 1 em 0 ≤ R ≤ 1, se for τ = 0 3.25c
Aqui, os parâmetros adimensionais Bi, θ e R são definidos como as Eqs. 3.24.
A Fig. 3.9a mostra a temperatura no centro To, ou θ (0,τ), da esfera em função do
tempo adimensional τ com diferentes valores do parâmetro 1/Bi.
A Fig. 3.9b apresenta a relação entre as temperaturas em diferentes posições dentro da
esfera e a temperatura no centro To.

Fig. 3.9 Carta de temperaturas transientes numa esfera maciça, de raio r=b sujeito a convecção na superfície r=b.
(a) Temperatura To no centro da esfera; (b) correção de posição para empregar com a parte (a).
A Fig. 3.10 mostra o calor adimensional Q/Qo em função do tempo adimensional com
diferentes valores do número de Biot. Aqui, Q e Qo são definidos como previamente.

Fig. 3.10 Calor adimensional transferido Q/Qo numa esfera de raio b

4) CONVECÇÃO – CONCEITOS E RELAÇÕES BÁSICAS
Até aqui consideramos a transferência condutiva de calor nos sólidos, nos quais não há
movimento do meio. Nos problemas de condução, a convecção participou na análise,
simplesmente como condição de contorno, na forma de um coeficiente de transferência de
calor.
Nosso objetivo, neste e nos capítulos seguintes a respeito da convecção, é
estabelecer as bases físicas e matemáticas para a compreensão do transporte convectivo de
calor e revelar as várias correlações na transferência de calor.
Nas aplicações de engenharia, há interesse na perda de carga e na força de arraste
associadas ao escoamento dentro de dutos ou sobre corpos. Por isso, são apresentadas as
correlações apropriadas para prever a queda de pressão e força de arraste num escoamento.
A análise da convecção é complicada, pois o movimento do fluido afeta a perda de
carga, a força de arraste e a transferência de calor. Para determinar a força de arraste, ou a
perda de carga, deve ser conhecido o campo de velocidades nas vizinhanças imediatas da
superfície. Para determinar a transferência convectiva de calor também se precisa da
distribuição de velocidades no escoamento do fluido, porque a velocidade participa da
equação da energia; a solução da equação da energia determina a distribuição de
temperaturas no campo do escoamento.
A literatura a respeito da transferência convectiva de calor é superabundante e está
sempre crescendo. Nestes últimos anos, com a disponibilidade de computadores digitais
rápidos e de elevada capacidade, têm-se feito notáveis progressos na análise, com grandes
detalhes, de problemas muito complicados de transferência de calor. Não obstante, um
grande número de problemas de engenharia mais simples pode ser resolvido com o
emprego de correlações padrões de transferência de calor. Por isso, vamos focalizar nossa
atenção sobre esses casos. Para atingir este objetivo, apresentaremos neste capítulo uma
visão coerente da convecção, a fim de propiciar uma base firme para aplicações. Serão
discutidos os conceitos básicos associados ao escoamento sobre um corpo, ao escoamento
dentro de um duto e à turbulência. Ilustraremos também o papel da distribuição de
temperaturas e o da distribuição de velocidades, num escoamento, sobre a transferência de
calor e a força de arraste.
As distribuições de velocidades e de temperaturas no escoamento são determinadas
a partir da solução das equações do movimento e da energia. Por isso, estas equações são
apresentadas no caso de um escoamento bidimensional, de um fluido com propriedades
constantes, incompressível, nos sistemas de coordenadas cartesianas e cilíndricas. A
simplificação destas equações é ilustrada a fim de se obterem as equações que governam a
análise dos problemas mais simples de transferência de calor.
Finalmente, discute-se o significado físico dos parâmetros adimensionais e
apresentam-se as equações das camadas limites.
4.1) ESCOAMENTO SOBRE UM CORPO
Quando um fluido escoa sobre um corpo sólido, a distribuição de velocidades e de
temperaturas na vizinhança imediata da superfície influencia fortemente a transferência
convectiva de calor. O conceito de camada limite é freqüentemente introduzido para

modelar os campos de velocidade e de temperatura próximos da superfície sólida, a fim de
simplificar a análise da transferência convectiva de calor. Assim, estaremos envolvidos
com dois tipos de camadas limites: a camada limite cinética e a camada limite térmica.
4.1.1) Camada limite cinética
Para ilustrar o conceito de camada limite cinética, consideremos o escoamento de
um fluido sobre uma placa, como está ilustrado na fig. 4.1. O fluido na borda frontal da
placa (isto é, em x = 0) tem uma velocidade u∞ que é paralela à superfície da placa. À
medida que o fluido se move na direção x ao longo da placa, as partículas do fluido em
contato com a face da placa assumem velocidade zero (isto é, não há deslizamento sobre a
face da placa). Portanto, a partir da superfície da placa haverá um retardamento da
componente x da velocidade u(x,y) = u. Isto é, na superfície da placa, em y = 0, a
componente axial da velocidade é zero, ou u = 0. O efeito do retardamento é reduzido
quando o fluido se move em uma região afastada da face da placa; a distâncias
suficientemente grandes da placa, o efeito de retardamento é nulo, isto é, u = u∞ para
grandes y. Portanto, a cada posição x ao longo da placa, há uma distância y = δ(x), medida a
partir da superfície da placa, onde a componente axial da velocidade u é igual a 99% da
velocidade da corrente livre u∞, isto é, u = 0,99 u∞. O lugar geométrico destes pontos, onde
u = 0,99 u∞, é a camada limite cinética δ(x). Com o conceito de camada limite cinética
assim introduzido no escoamento sobre uma placa plana, o campo do escoamento pode ser
dividido em duas regiões distintas: (1) Na região da camada limite, a componente axial da
velocidade u(x,y) varia rapidamente com a distancia y à face da placa; portanto, os
gradientes de temperatura e as tensões de cisalhamento são grandes. (2) Na região fora da
camada limite, na região de escoamento potencial, os gradientes de velocidade e as tensões
de cisalhamento são desprezíveis.
Fig. 4.1 Conceito de camada limite no escoamento sobre uma placa plana
Referindo-nos à ilustração na Fig. 4.1, vamos examinar o comportamento do
escoamento na camada limite em função da distância x medida a partir da borda frontal da
placa. A característica do escoamento é governada pelo valor da grandeza número de
Reynolds. No escoamento sobre uma placa plana, como está na Fig. 4.1, este número é
definido por

ν
xu
x
∞
≡Re (4.1)
onde u∞ = velocidade da corrente livre
x = distância à borda frontal
ν = viscosidade cinemática do fluido
A camada limite começa na borda frontal (isto é, em x =0) da placa como uma
camada limite laminar, na qual o escoamento permanece ordenado e as partículas do fluído
se movem ao longo das linhas de corrente. Este movimento ordenado continua ao longo da
placa até que se atinge uma distância crítica, ou o número de Reynolds alcance um valor
crítico. Depois de este número de Reynolds crítico ser atingido, os pequenos distúrbios no
escoamento começam a ser amplificados, e flutuações no fluído começam a se desenvolver,
o que caracteriza o final da camada limite laminar e o início da transição para a camada
limite turbulenta. No escoamento sobre uma placa plana, o número de Reynolds crítico, no
qual acontece a transição do escoamento laminar para o turbulento, é geralmente tomado,
na maior parte das finalidades analíticas, como
5
105Re x
v
xu
x ≅≡ ∞
(4.2)
Entretanto este valor crítico é fortemente dependente da rugosidade da superfície e
do nível de turbulência da corrente livre. Por exemplo, com distúrbios muito grandes na
corrente livre, a transição pode começar em um número de Reynolds tão baixo como 105
, e,
nos escoamentos livres de perturbações, pode não começar até que o número de Reynolds
atinja um valor de 106
ou mais. Mas num escoamento sobre uma placa plana, a camada
limite é sempre turbulenta para Rex ≥4x106
. Na camada limite turbulenta próxima da
parede, há uma camada muito delgada, chamada subcamada laminar, onde o escoamento
retém seu caráter laminar. Adjacente a subcamada laminar existe uma região chamada
camada amortecedora, na qual há turbulência muito fina e a velocidade média axial
aumenta rapidamente com a distância à superfície sólida. A camada amortecedora é seguida
pela camada turbulenta, na qual há turbulência em alta escala e a velocidade muda
relativamente pouco com a distância à parede.
A fig 4.2 mostra o conceito de camada limite no escoamento sobre um corpo curvo.
Neste caso, a coordenada x é medida ao longo da superfície curva do corpo; principiando
pelo ponto de estagnação, e em cada posição x segundo a normal à superfície do corpo. A
velocidade da corrente livre )(xu∞ não é constante, mas varia com a distância ao longo da
superfície curva. O conceito de camada limite, discutido acima, também se aplica a esta
situação particular. A espessura da camada limite )(xδ cresce com a distância x ao longo
da superfície. Entretanto, devido a curvatura da superfície, depois de uma certa distância x,
o perfil de velocidade ),( yxu mostra um ponto de inflexão, isto é, yu ∂/δ se anula na
superfície do sólido. Além do ponto de inflexão, há uma inversão do escoamento, e diz-se
que a camada limite está descolada da superfície do sólido. Além do ponto de inversão do
fluxo, os padrões do fluxo são muito complicados e o conceito da camada limite não é mais
aplicável.

Fig. 4.2 Conceito de camada limite no escoamento sobre um corpo curvo
4.1.2) Coeficiente de arraste e força de arraste
Suponha que o perfil de velocidade ),( yxu na camada limite seja conhecido. A tensão de
cisalhamento xτ que atua ao longo da superfície em qualquer posição x é determinada a
partir de sua definição por
0
),(
=
∂
∂
=
y
x
y
yxu
µτ (4.3)
A constante de proporcionalidade µ é a viscosidade do fluido. Logo, conhecendo-
se a distribuição de velocidades na camada limite, pode-se determinar a força de
cisalhamento, devida ao escoamento que está atuando sobre a superfície sólida. A definição
de tensão de cisalhamento, dada pela Eq. (4.3), entretanto, não é prática para aplicações de
engenharia. Na prática, a tensão de cisalhamento ou força de arraste local xτ por unidade
de área está relacionada com o coeficiente local de arraste cx pela relação
2
2
∞
=
u
cxx
ρ
τ (4.4)
onde ρ é a densidade do fluido e ∞u é a velocidade da corrente livre. Portanto, conhecendo
o coeficiente de arraste, podemos calcular a força de arraste exercida pelo fluido que está
escoando sobre a placa plana. Igualando as Eqs. (4.3) e (4.4), obtemos:
oy
x
y
yxu
u
c
=∞ ∂
∂
=
),(2
2
ν
(4.5)
Portanto, o coeficiente local de arraste pode ser determinado pela Eq. (4.5), se o perfil de
velocidade ),( yxu , na camada limite for conhecido.
O valor médio do coeficiente de arraste Cm, de x=0 até x=L, é definido como
∫ =
=
L
ox
x dxc
L
1
Cm

(4.6)
Sabendo o coeficiente médio de arraste Cm, podemos calcular a força de arraste F, que está
atuando sobre a placa de x=0 até x=L e numa largura w, com a fórmula
2
2
∞
=
u
wLCF m
ρ
(N) (4.7)
4.1.3) Camada limite térmica
Análogo ao conceito de camada limite cinética, pode-se imaginar o desenvolvimento de
uma camada limite térmica ao longo da placa, associada ao perfil de temperatura no fluido.
Para ilustrar o conceito, consideremos um fluido a uma temperatura uniforme ∞T que escoa
sobre uma placa plana mantida a uma temperatura constante WT . Sejam x e y os eixos
coordenados paralelo e perpendicular à superfície da placa, respectivamente, como está na
figura 4.3.
Fig. 4.3 Conceito de camada limite térmica no escoamento de um fluido quente sobre uma placa fria
Definimos a temperatura adimensional θ(x,y) como
W
W
TT
TyxT
yx
−
−
=
∞
),(
),(θ (4.8)
onde T(x,y) é a temperatura local no fluido. Na superfície da placa, a temperatura do fluido
é igual à temperatura da parede; portanto
θ(x,y) = 0 em y = 0(superfície da placa) (4.9 a)
A distâncias suficientemente grandes da placa, a temperatura do fluido é a mesma ∞T ;
então
1),( →yxθ a medida que ∞→y (4.9 b)

Por isso em cada posição x ao longo da placa, pode-se imaginar uma posição )(xy δ= no
fluido onde ),( yxθ seja igual a 0,99. O lugar geométrico destes pontos onde ),( yxθ =0,99 é
chamado a camada limite térmica )(xδ .
A espessura relativa da camada limite térmica )(xtδ frente a camada limite
cinética )(xδ depende da grandeza do número de Prandtl do fluido. Nos fluidos que tem
um número de Prandtl igual a unidade, como os gases, ).()( xxt δδ = A camada limite
térmica é muito mais espessa do que a camada limite cinética nos fluidos que tem Pr <1,
como os metais líquidos, e é muito mais delgado do que a camada limite cinética nos
fluidos que tem Pr >1.
4.1.4) Coeficiente de transferência de calor
Suponha que a distribuição de temperatura T(x,y) na camada limite térmica seja conhecida.
Então o fluxo de calor q(x) do fluido para a placa é determinado por
0
),(
)(
=
∂
∂
=
y
y
yxT
xq κ (4.10 a)
onde k é a condutividade térmica do fluido. Entretanto, nas aplicações de engenharia, não é
prático empregar a Eq. (4.10 a) para calcular a taxa de transferência de calor entre o fluido
e a placa. Na prática define-se um coeficiente de transferência de calor local h(x) para
calcular o fluxo de calor entre o fluido e a placa:
))(()( WTTxhxq −= ∞ (4.10 b)
Igualando (4.10 a) e (4.10 b), obtemos
[ ]
W
y
TT
yT
kxh
−
∂∂
=
∞
=0
)( (4.11 a)
Esta expressão agora é escrita em termos da temperatura adimensional ),( yxθ como
0
),(
)(
=
∂
∂
=
y
y
yx
kxh
θ
(4.11 b)
Logo as Eqs. (4.11) fornecem a relação para determinar o coeficiente de transferência de
calor local h(x) a partir do conhecimento da distribuição da temperatura adimensional
),( yxθ na camada limite térmica.
O coeficiente de transferência de calor médio hm sobre a distância x=0 até x=L,
ao longo da superfície da placa, é determinado a partir de
∫=
L
m dxxh
L
h
0
)(
1
(4.12)

Sabendo o coeficiente de transferência de calor médio hm, podemos determinar a taxa de
transferência de calor Q do fluido para a placa de x=0 até x=L e para a espessura w.
)( Wm TTwLhQ −= ∞ (4.13)
4.1.5) Relação entre cx e h(x)
Considerando as expressões exatas de coeficiente de local de arraste e do
número de Nusselt local, no escoamento laminar sobre uma placa plana,
21
Re332,0
2
−
= x
Cx
(4.14 a)
2131
RePr332,0 xxNu = (4.14 b)
Definimos o número de Stanton local, Stx, como
∞
=
uc
xh
St
p
x
ρ
)(
que pode ser reordenado na forma
x
x
x
Nu
vxuv
kxxh
St
RePr)/)(/(
/)(
==
∞α
Então, a expressão (4.14 b) do número de Nusselt local pode ser reescrita como
2132
RePr332,0 −−
= xxSt (4.14 c)
Das Eqs. (4.14 a) e (4.14 c), pode-se obter a seguinte relação entre o número de Stanton e o
coeficiente de arraste:
2
Pr 3/2 Cx
Stx = (4.15 a)
Esta expressão recebe o nome de analogia de Reynolds-Colburn e relaciona o coeficiente
local de arraste cx ao número de Stanton local Stx num escoamento laminar sobre uma placa
plana. Portanto, fazendo-se as medidas do arraste atrativo no escoamento laminar sobre
uma placa plana, quando não há transferência de calor, pode-se determinar o coeficiente de
transferência de calor correspondente pela Eq. (4.15 a). É muito mais fácil fazer medidas de
arraste do que medidas de transferência de calor.
Pode-se também aplicar a Eq. (4.15 a) ao escoamento turbulento sobre uma
placa plana, porém não se aplica ao escoamento laminar dentro de um tubo.
No caso de valores médios, a Eq. (4.15 a) é escrita como
2
Pr 3/2 m
m
C
St = (4.15 b)

onde Stm e Cm são, respectivamente, o número de Stanton médio e o coeficiente médio de
arraste.
4.2) ESCOAMENTO NO INTERIOR DE UM DUTO
Os conceitos básicos discutidos na última seção sobre o desenvolvimento das camadas
limites cinética e térmica no escoamento sobre uma placa plana também se aplicam ao
escoamento na região da entrada de dutos. Ilustramos este assunto considerando o
escoamento no interior de um tubo circular.
4.2.1) Camada limite cinética
Considere o escoamento dentro de um tubo circular, como está ilustrado na fig.
4.4.
Fig.4.4 Conceito de desenvolvimento da camada limite cinética na região de entrada de um tubo circular
O fluido tem uma velocidade de entrada uniforme 0u . Quando o fluido entra no
tubo, começa a se desenvolver uma camada limite cinética sobre a superfície da parede. A
velocidade das partículas do fluido, na superfície da parede, anula-se, e a velocidade nas
vizinhanças da parede diminui; como resultado, a velocidade na parte axial do tubo
aumenta para ser cumprida a exigência da continuidade do fluxo. A espessura da camada
limite cinética )(zδ cresce continuamente ao longo da superfície do tubo até que ocupa todo
o tubo. A região que se estende desde a entrada do tubo até um pouco além da posição
hipotética em que a camada limite atinge o eixo do tubo é a região hidrodinâmica de
entrada. Nesta região, a forma do perfil de velocidade varia tanto na direção axial como na
radial. A região além da distância hidrodinâmica de entrada é chamada região
hidrodinamicamente desenvolvida, pois nesta região o perfil de velocidade é invariante com
a distância ao longo do tubo.
Se a camada limite permanece laminar até encher todo o tubo, o perfil
parabólico de velocidade no escoamento laminar completamente desenvolvido prevalece na
região hidrodinamicamente desenvolvida. Entretanto, se a camada limite transforma-se em
turbulenta antes de a sua espessura atingir o eixo do tubo, há um escoamento turbulento
completamente desenvolvido na região hidrodinamicamente desenvolvida. Quando o
escoamento é turbulento, o perfil de velocidade é mais achatado do que o perfil parabólico
de velocidade no escoamento laminar.
No escoamento no interior de um tubo circular, o número de Reynolds, definido por

v
Dum
≡Re (4.16)
é utilizado como critério para a passagem do escoamento laminar a turbulento. Nesta
definição mu é a velocidade média do escoamento, D é o diâmetro interno do tubo, e v é a
viscosidade cinemática do fluido. No escoamento no interior de um tubo circular, observa-
se ordinariamente escoamento turbulento para
2300Re >=
v
Dum
(4.17)
Entretanto, este valor crítico depende fortemente da rugosidade da superfície,
das condições de entrada e das flutuações no escoamento. Em geral, a transição pode
ocorrer no domínio 2000<Re<4000.
4.2.2) Fator de atrito e perda de carga
Nas aplicações de engenharia, o gradiente de pressão dP/dz associado ao
escoamento é uma grandeza de interesse, pois a perda de carga (queda de pressão) ao longo
de um dado comprimento do tubo pode ser determinada pela integração de dP/dz sobre o
comprimento. Para desenvolver uma expressão que defina dP/dz, consideremos um balanço
de forças sobre um comprimento diferencial dz do tubo. Igualando a força da pressão à
força de cisalhamento na parede, obtemos (veja fig. 4.5)
Fig. 4.5 Equilíbrio de forças num elemento diferencial de volume
wzzz zSPAPA τ∆=− ∆+)()(
www
DD
D
A
S
dz
dP
ττ
π
π
τ
4
)4/( 2
−=−=−= (4.18 a)
onde A é a área de seção reta e S é o perímetro.
A tensão de cisalhamento wτ na parede está relacionada com o gradiente de
velocidade por

paredeparede
w
r
u
y
u
∂
∂
−=
∂
∂
= µµτ (4.18 b)
uma vez que r= D/2 – y. Então, das Eqs. (4.18 a) e (4.18 b), temos
pareder
u
Ddz
dP
∂
∂
=
µ4
(4.18 c)
Nas aplicações de engenharia, a Eq. (4.18 c) não é prática para determinação de dP/dz, pois
exige o cálculo do gradiente de velocidade na parede. Para calcular a perda de carga (queda
de pressão) nas aplicações de engenharia, define-se um fator de atrito f.
D
u
f
dz
dP m
2
2
ρ
−= (4.18 d)
onde um é a velocidade média do escoamento dentro do tubo e ρ é a densidade do fluido.
Igualando as Eqs. (4.18 c) e (4.18 d) obtém-se a seguinte expressão para o fator de atrito:
paredem r
u
u
f
∂
∂
−= 2
8
ρ
µ
(4.18 e)
Portanto, dada a distribuição de velocidades u do escoamento no interior do tubo, o fator de
atrito f pode ser determinado pela Eq. (4.18 e).
Dado o fator de atrito, a perda de carga P1 - P2 P∆≡ sobre a distância z2 – z1 L≡
no tubo é determinada pela integração da Eq. (4.18 d):
∫ ∫−=
2
1
2
12
2
P
P
Z
Z
m
dz
D
u
fdP
ρ
ou a perda de carga P∆ fica
2
2
mu
D
L
fP
ρ
=∆ 2
m
N
(4.19 a)
Se M for a vazão, em metros cúbicos por segundo, através do tubo, a potência
da bomba exigida para movimentar o fluido no tubo contra a perda de carga P∆ se torna
Potência da bomba = ))(( 2
3
m
N
P
s
m
M ∆
Potência da bomba = M P∆ ouW
s
mN.
(4.19 b)
4.2.3) Camada limite térmica
No caso da distribuição de temperaturas no escoamento no interior de um tubo circular, é
mais difícil visualizar o desenvolvimento da camada limite térmica e a exigência de uma

região termicamente desenvolvida. Entretanto, sob certas condições de aquecimento, ou de
resfriamento, como fluxo de calor constante ou temperatura uniforme na parede do tubo, o
conceito é possível.
Considere um escoamento laminar no interior de um tubo circular sujeito a um
fluxo de calor uniforme nas paredes. Sejam r e z as coordenadas, respectivamente, radial e
axial. Define-se uma temperatura adimensional ),( zrθ como
)()(
)(),(
),(
zTzT
zTzrT
zr
wm
w
−
−
=θ (4.20a)
onde Tw(z) = temperatura na parede do tubo
Tm(z) = Temperatura média de todo o fluido na área transversal do tubo em z
T(r,z) = temperatura local do fluido
Evidentemente, ),( zrθ é zero na superfície da parede do tubo e atinge um valor finito no
eixo do tubo. Então visualiza-se o desenvolvimento de uma camada limite térmica
paralelamente a superfície da parede. A espessura da camada limite térmica )(ztδ cresce
continuamente ao longo da superfície do tubo até que preenche todo o tubo. A região da
entrada do tubo até a posição hipotética onde a espessura da camada limite térmica atinge o
eixo do tubo é a região de entrada térmica. Nesta região, a forma do perfil da temperatura
adimensional ),( zrθ muda tanto na direção axial quanto na radial. A região além da
distância de entrada térmica é chamada região termicamente desenvolvida, porque nesta
região o perfil da temperatura adimensional permanece invariante com a distância ao longo
do tubo, isto é,
)()(
)(),(
)(
zTzT
zTzrT
r
wm
w
−
−
=θ (4.20 b)
É difícil explicar qualitativamente por que )(rθ deve ser independente da
variável z, pois as temperaturas no segundo membro da Eq. (4.20 b) dependem tanto de r
como de z. Entretanto, pode-se demonstrar matematicamente que, não só com uma
temperatura constante mas também com um fluxo de calor constante na parede, a
temperatura adimensional )(rθ depende somente de r para valores suficientemente grandes
de z.
Nas aplicações de engenharia envolvendo o escoamento de um fluido num tubo, a taxa de
transferência de calor entre o fluido e o tubo é uma informação de muito interesse.
Discutiremos o conceito de coeficiente de transferência de calor que é utilizado com mais
freqüência nas aplicações de engenharia para determinar a transferência de calor entre o
fluido e a superfície da parede.
Considere um fluido escoando dentro de um tubo circular de raio interno R. Seja
T(r,z) a distribuição de temperaturas no fluido, onde r e z são as coordenadas radial e axial,
respectivamente. O fluxo de calor do fluido para a parede do tubo é determinado por

pareder
zrT
Kzq
∂
∂
−=
),(
)( (4.21 a)
onde k é a condutividade térmica do fluido.
Nas aplicações de engenharia não é prático utilizar a Eq. (6.21 a) para
determinar a transferência de calor entre o fluido e a parede do tubo, pois essa equação
envolve o cálculo da derivada da temperatura na parede. Para evitar esta dificuldade,
define-se um coeficiente de transferência de calor local h (z)
[ ])()()()( zTzTzhzq wm −= (4.21 b)
onde Tm(z) = temperatura média global calculada sobre a área da seção transversal do tubo
na posição z
Tw(z) = temperatura na parede do tubo em z
Evidentemente se o coeficiente de transferência de calor for conhecido, é questão muito
simples determinar o fluxo de calor na parede para uma dada diferença entre a temperatura
média do fluido e a da parede do tubo. Por isso o uso do coeficiente de transferência de
calor é muito conveniente nas aplicações de engenharia e sua determinação, em várias
condições de escoamento, foi objeto de numerosas investigações experimentais e analíticas.
Trataremos da relação entre o coeficiente de transferência de calor h(z) a partir de T(r,z).
Igualando (4.21 a) e (4.21 b), obtemos:
Rpareder
rzTwzTm
zrTk
zh
=
∂−
∂
−=
)()(
),(
)( (4.22 a)
onde Tm(z) e Tw(z), num tubo circular de raio R, são determinadas por
2
0
0
0
2),()(
2)(
2),()(
)(
Ru
rdrzrTru
rdrru
rdrzrTru
zTm
m
R
R
R
π
π
π
π ∫
∫
∫ == (4.22 b)
Rparederw zrTzT =
= ),()( (4.22 c)
A temperatura média do fluido Tm(z) é uma definição baseada no transporte de energia
térmica com o movimento global do fluido à medida que ele passa através da seção
transversal, pois a grandeza "" utcpρ representa o fluxo de energia por unidade de área.
Num fluido incompressível, de propriedades constantes, o termo ρ cp cancela-se no
numerador e no denominador de (4.22 b).
A Eq. (4.22 a) pode ser escrita em termos da temperatura adimensional
),( zrθ definida pela Eq. (4.20 a) como
Rparederr
zr
kzh
=∂
∂
−=
),(
)(
θ
(4.23 a)
Na região termicamente desenvolvida, a temperatura adimensional )(rθ é
independente de z. Então, a equação (4.23 a) se reduz a

Rparederdr
rd
kh
=
−=
)(θ
(4.23 b)
onde )(rθ é definida pela Eq. (4.20 b). Este resultado implica que, na região termicamente
desenvolvida,o coeficiente de transferência de calor não varia com a distância ao longo do
tubo; e vale para a transferência de calor sob condições de fluxo de calor constante na
parede, ou temperatura constante na parede.
As definições dadas pela Eq. (4.23) podem ser empregadas para desenvolver
expressões do coeficiente de transferência de calor se a distribuição da temperatura
adimensional no fluido, definida pela equação (4.20 b), for conhecida.
4.3) PARÂMETROS ADIMENSIONAIS
Neste capítulo foram introduzidos parâmetros adimensionais, como os números de
Reynolds, de Prandtl, de Nusselt e de Stanton, e vamos discutir o significado físico destes
parâmetros adimensionais na interpretação das condições associadas com o escoamento do
fluido, ou com a transferência de calor.
Consideremos o número de Reynolds baseado em um comprimento
característico L, reordenado na forma
===
∞
∞∞
2
2
/
/
Re
Lvu
Lu
v
Lu
força de inércia/força viscosa (4.24 a)
Então, o número de Reynolds representa a razão entre a força de inércia e a força viscosa.
Este resultado implica que as forças viscosas são dominantes nos números de Reynolds
pequenos, e as forças de inércia são dominantes nos números de Reynolds grandes.
Lembremo-nos de que o número de Reynolds foi utilizado como critério para determinar a
transformação do escoamento laminar em turbulento.
O número de Prandtl pode ser escrito na forma
====
x
v
ckk
c
p
p
)/(
Pr
ρ
ρµµ
difusividade molecular do momento/difusividade molecular do
calor (4.24 b)
Representa, portanto, a importância relativa do transporte de momento e energia no
processo de difusão. Nos gases com Pr≅ 1, a transferência de momento e energia pelo
processo de difusão é equilibrada. Nos óleos, Pr > 1 , e daí se vê que a difusão de momento
é muito maior do que a difusão de energia; mas, nos metais líquidos, Pr<1, e a situação é
inversa. Lembramos que, na discussão do desenvolvimento das camadas limites cinética e
térmica no escoamento sobre uma placa plana, a espessura relativa das camadas limite
cinética e térmica dependia da grandeza do número de Prandtl.
Considere o número de Nusselt, baseado em um comprimento característico L,
reordenado na forma

LTk
Th
k
hL
Nu
/∆
∆
== (4.25 a)
onde ∆ T é a diferença de temperatura de referência entre a superfície da parede e a
temperatura dos fluidos. Então o número de Nusselt pode ser interpretado como a razão
entre a transferência de calor por convecção e por condução através de uma camada do
fluido de espessura L. Com base nesta interpretação, o valor do número de Nusselt igual a
zero implica que não há convecção – A transferência de calor se efetua por pura condução.
Um valor maior do número de Nusselt implica um aumento de transferência convectiva de
calor.
O número de Stanton pode ser reordenado como
Tuc
Th
uc
h
St
mpmp ∆
∆
==
ρρ
(4.25 b)
onde T∆ é uma diferença de temperatura de referência entre a superfície da parede e o
fluido. O numerador representa o fluxo de calor para o fluido, e o denominador representa
a capacidade de transferência de calor do escoamento do fluido.
O parâmetro adimensional, o número de Eckert, definido como
),/(2
TCpuE ∆≡ ∞ surgem freqüentemente em problemas de transferência de calor em alta
velocidade. O número de Eckert pode ser reordenado como
T
Cpu
TCp
u
E
∆
=
∆
= ∞∞ /22
(4.26)
Temperatura dinâmica devido ao movimento do fluido pela diferença de temperatura
Aqui, )2/(2
pCu∞ representa uma elevação ideal de temperatura, se um gás ideal com a
velocidade ∞u fosse reduzido adiabaticamente à velocidade zero. Esta definição implica
que, se o número de Eckert for pequeno, os efeitos da geração viscosa da energia devido ao
movimento do fluido podem ser desprezados em comparação com as diferenças de
temperaturas envolvidas no processo de transferência de calor. Lembramos que o termo da
dissipação viscosa de energia, que apareceu na equação da energia, e a grandeza do número
de Eckert tornam-se o critério para decidir se os efeitos de dissipação viscosa de energia
devem ser considerados na análise da transferência de calor.

5) CONVECÇAO FORÇADA NO ESCOAMENTO NO
INTERIOR DE DUTOS
5.1) ESCOAMENTO NO INTERIOR DE UM TUBO CIRCULAR
Os problemas de transferência de calor estacionária e de perda de carga na
convecção laminar forçada dentro de um tubo circular, em regiões afastadas da entrada,
onde os perfis de velocidades e de temperaturas estão plenamente desenvolvidos, têm
grande interesse em numerosas aplicações de engenharia. O fator de atrito e o coeficiente
de transferência de calor no escoamento são determinados, respectivamente, a partir do
conhecimento da distribuição da velocidade e da distribuição de temperaturas no fluido.
5.1.1) Fator de atrito
Considere um fluido incompressível, de propriedades constantes, em uma
convecção laminar forçada dentro de um tubo de raio R, na região onde o escoamento está
hidrodinamicamente desenvolvido. O fator de atrito no escoamento, no interior de um tubo
circular, está relacionado com o gradiente de pressão nas paredes pela Eq. (4.18e)
Rrm dr
du
u
f
=
−= 2
8
ρ
µ
(5.1)
A distribuição de velocidades u(r) pode ser determinada a partir da solução das equações do
movimento. Foi demonstrado que no escoamento hidrodinamicamente desenvolvido,
dentro de um tubo circular, as equações do movimento se reduzem à simples equação
escrita na forma:
dz
dP
dr
du
r
dr
d
r µ
1
)(
1
= em 0 < r < R (5.2)
sujeita às condições de contorno
du/dr = 0 em r = 0 (5.3a)
u = 0 em r = R (5.3b)
A primeira condição de contorno é a simetria do perfil de velocidades em torno do eixo do
tubo, e a segunda é a nulidade da velocidade nas paredes.
No escoamento laminar estacionário, plenamente desenvolvido, dentro de um tubo
circular, o gradiente de pressão dP/dz é constante. Então, a solução da Eq. (5.3) dá o perfil
das velocidades plenamente desenvolvido u(r).
])(1[)
4
1
()( 22
R
r
R
dz
dP
ru −−=
µ
(5.4)

Aqui, a velocidade u(r) é sempre uma grandeza positiva no escoamento na direção positiva
dos z, mas o gradiente de pressão dP/dz é uma grandeza negativa.
A velocidade média do escoamento um, sobre a seção reta do tubo, é determinada a partir da
definição, e fica
dz
dPR
drrru
R
u
R
m ∫ −==
0
2
2
8
)(2
1
µ
π
π
(5.5)
uma vez que u(r) é dada pela Eq. (5.4).
O significado físico da velocidade média um , implica que a vazão através do tubo é
determinada por
vazão = (área da seção reta) um = muR2
π
Agora, das Eqs. (5.4) e (5.5), obtemos
])(1[2
)( 2
R
r
u
ru
m
−= (5.6)
Esta relação mostra que o perfil de velocidades u(r)um na região hidrodinamicamente
desenvolvida é parabólico. A velocidade uo no eixo do tubo é obtida da Eq. (5.4) quando se
faz r = 0;
dz
dPR
u
µ4
2
0 −= (5.7)
Uma comparação entre os resultados dados pelas Eqs. (5.5) e (5.7) mostra que a velocidade
no eixo do tubo é igual ao dobro da velocidade média do escoamento:
muu 20 = (5.8)
O fator de atrito f no escoamento laminar, no interior de um tubo circular, na região
hidrodinamicamente desenvolvida, é determinado quando se obtém o gradiente da
velocidade a partir da Eq. (5.6)
D
u
R
u
dr
rdu mm
Rr
84)(
−=−=
=
(5.9)
e se introduz este resultado na Eq. (5.1),
Re
6464
==
Du
f
mρ
µ
(5.10 a)
onde D é o raio interno do tubo e
v
DuDu mm
==
µ
ρ
Re (5.10 b)
é o número de Reynolds.

Na literatura, o fator de atrito também se define com base no raio hidráulico. Se fr
representa o fator de atrito baseado no raio hidráulico, ele está relacionado com o fator de
atrito definido pela Eq. (5.10 a) por f = 4fr. Isto é, a Eq. (5.10 a), na representação de fr,
seria fr = l6/Re, onde µρ /Re Dum= . Este resultado recebe muitas vezes o nome de relação
de Hagen-Poiseuille para o fator de atrito em tubos, em virtude dos dados experimentais de
Hagen ulteriormente verificados teoricamente por Poiseuille.
5.1.2) Coeficiente de transferência de calor. O coeficiente de transferência de calor no
escoamento interior de um tubo circular, na região termicamente desenvolvida, está
relacionado com o gradiente da temperatura adimensional nas paredes pela Eq. (4.23 b) .
Rrdr
rd
kh
=
−=
)(θ
(5.11)
onde θ (r) é definida pela Eq. (4.20b):
)()(
)(),(
)(
zTzT
zTzrT
r
wm
w
−
−
=θ (5.12)
Para determinar h, é necessária a distribuição de temperaturas no escoamento, o que pode
ser estabelecido a partir da solução da equação da energia. .
Na região hidrodinamicamente desenvolvida, a equação da energia, no escoamento laminar
de um fluido incompreensível, dentro de um tubo circular, com dissipação viscosa da
energia desprezível pela equação:
2
2
)(
1
)(
1
z
T
r
T
r
rrz
T
ru
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
α
(5.13)
Em geral, esta é uma equação diferencial parcial para determinar a distribuição de
temperaturas no escoamento, e sua solução é bastante complicada. Entretanto, na
convecção forçada, no interior de um tubo circular, na região termicamente desenvolvida,
com temperatura da parede constante, ou com fluxo de calor na parede constante, pode-se
demonstrar que o termo do gradiente de temperatura axial, na Eq. (5.13), reduz-se a uma
constante, isto é,
=
∂
∂
z
T
constante
Então, a equação diferencial parcial (5.13) se reduz a uma equação diferencial
ordinária no perfil de temperaturas plenamente desenvolvido T®, pois o termo 22
/ zT ∂∂ se
anula para zt ∂∂ / constante. Vamos examinar agora o problema da transferência de calor
com a condição de contorno, fluxo de calor constante na parede, ou temperatura constante
na parede, na convecção forçada, no interior de um tubo circular.
5.1.3) Fluxo de calor constante. Demonstra-se que, na condição de fluxo de calor
constante na parede, o gradiente de temperatura na direção do escoamento, em qualquer

ponto do fluido, é constante e igual ao gradiente axial da temperatura média do fluido. Isto
é,
==
∂
∂
dz
zdT
z
zrT m )(),(
constante (5.14)
Este resultado implica que, com o fluxo de calor constante na parede, a temperatura média
do escoamento Tm(z), na região termicamente desenvolvida, cresce linearmente com a
distância z ao longo do tubo.
Quando a Eq. (5.14) for introduzida na Eq. (5.13), o termo 22
/ zT ∂∂ se anula para zt ∂∂ /
constante, e se obtém a seguinte equação diferencial ordinária para T(r):
dz
zdT
ru
dr
dT
r
dr
d
r
m )(
)(
1
)(
1
α
= (5.15)
Esta equação escreve-se em termos da temperatura adimensional θ (r), definida pela Eq.
(5.12), como
)]()([
)(
)(
1
)(
1
zTzT
dz
zdT
ru
dr
d
r
dr
d
r
wm
m
−=
α
θ -1
(5.16 a)
onde o perfil de velocidades plenamente desenvolvido u(r) é dado pela Eq. (5.6)
])(1[2)( 2
R
r
uru m −= (5.16 b)
As Eqs. (5.16 a) e (5.16 b) são combinadas e escritas mais compactamente como
])(1[)( 2
R
r
Ar
dr
d
r
dr
d
−=
θ
em 0 < r < R (5.17 a)
onde a constante A é definida por
=
−
=
dz
zdT
zTzT
u
A
m
wm
m )(
)]()([
2
α
constante (5.17 b)
As condições de contorno para a Eq. (5.17) são
0=
dr
dθ
em r = 0 (5.18 a)
0=θ em r = R (5.18 b)
A primeira condição de contorno afirma que θ é simétrica em torno do eixo do tubo, e a
segunda resulta da definição de θ dada pela Eq. (5.12), pois θ deve ser zero nas paredes.

A Eq. (5.17 a) é semelhante à equação de condução de calor estacionária, em coordenadas
cilíndricas, e pode ser integrada facilmente, sujeita às condições de contorno das Eqs.
(5.18), para dar














−





+−=
24
2
4
1
16
1
16
3
)(
R
r
R
r
ARrθ (5.19)
A constante desconhecida A que aparece nesta equação pode ser determinada empregando-
se a definição da temperatura média global do fluido.
De acordo com a definição da temperatura média global do fluido, dada pela Eq. (4.22b),
escrevemos
2
0
2)()(
)(
Ru
rdrrru
m
m
R
π
πθ
θ
∫= (5.20)
onde o perfil de velocidades plenamente desenvolvido u(r) é dado pela Eq. (5.16 b), isto é,
])(1[2)( 2
R
r
uru m −= (5.21)
As Eqs. (5.19) e (5.21) são introduzidas na Eq. (5.20) e as integrações são feitas. Obtém-se
96
11 2
AR
m =θ (5.22 a)
Também, a definição de θ (r) dada pela Eq. (5.12) permite-nos escrever
1
)()(
)()(
,
=
−
−
=
zTzT
zTzT
m
wm
wm
θ (5.22 b)
Igualando (5.22a) e (5.22b), encontramos
11
962
−=AR (5.23)
Introduzindo este resultado de AR2
na Eq. (5.19), obtemos














−





+=
24
4
1
16
1
16
3
11
96
)(
R
r
R
r
rθ (5.24)
A Eq. (5.24) é o perfil de temperaturas adimensionais, na convecção forçada, em um tubo
circular, na região hidrodinâmica e termicamente desenvolvida, com a condição de

contorno fluxo de calor constante na parede. Lembramos que este perfil de temperaturas
foi empregado para determinar o coeficiente de transferência de calor.
Dado o perfil de temperaturas no fluido, o coeficiente de transferência de calor h é obtido
imediatamente a partir de sua definição dada pela Eq. (5.11):
D
k
h
11
48
= (5.25 a)
ou
364,4
11
48
==≡
k
hD
Nu (5.25 b)
onde D é o diâmetro interno do tubo e Nu é o número de Nusselt.
O resultado das Eqs. (5.25) representa o coeficiente de transferência de calor, na convecção
laminar forçada, no interior de um tubo circular, na região hidrodinâmica e termicamente
desenvolvida, com a condição de contorno fluxo de calor constante na parede.
5.1.4) Parede com temperatura constante. O problema de transferência de calor descrito
acima, na região hidrodinâmica e termicamente desenvolvida, também pode ser resolvido
com a condição de contorno parede com temperatura constante; mas a análise é mais
elaborada e não será apresentada aqui. O resultado é
657,3=≡
k
hD
Nu (5.26)
que representa o número de Nusselt (ou o coeficiente de transferência de calor) na
convecção laminar forçada, no interior de um tubo circular, na região hidrodinâmica e
termicamente desenvolvida, com a condição de contorno parede com temperatura
constante.
5.1.5) Estimativa das propriedades físicas. Nos resultados dados pelas Eqs. (5.25) e
(5.26), a condutividade térmica do fluido k depende da temperatura. Quando a temperatura
do fluido varia ao longo do tubo, k pode ser calculada pela temperatura média global do
fluido tb, definida como
)(
2
1
ToTiTb += (5.27)
onde Ti = temperatura volumar do fluido na entrada e To = temperatura volumar do fluido
na saída.
5.1.6) Média logarítmica e média aritmética das diferenças de temperaturas. A média
logarítmica (MLDT) das duas grandezas 21 TeT ∆∆ é definida como

)/ln( 21
21
ln
TT
TT
T
∆∆
∆−∆
=∆ (5.28 a)
enquanto a média aritmética (MA) de 21 TeT ∆∆ é definida como
( )21
2
1
TTTMA ∆+∆=∆ (5.28 b)
5.2) ESCOAMENTO NO INTERIOR DE DUTOS COM DIVERSAS SEÇÕES
RETAS TRANSVERSAIS
O número de Nusselt e o fator de atrito no escoamento laminar em dutos com diversas
seções retas transversais foram determinados na região em que os perfis de velocidade e
temperatura estão plenamente desenvolvidos. Se a seção transversal do duto não for
circular, então a transferência de calor e o fator de atrito, em muitos casos de interesse
prático, podem ser baseados no diâmetro hidráulico Dh, definido como
P
A
D c
h
4
= (5.29)
onde Ac = Área de seção reta transversal do escoamento e P = perímetro molhado. Então,
os números de Nusselt e de Reynolds, nestes casos são
K
hD
Nu h
= (5.30 a)
v
Du hm
=Re (5.30 b)
5.2.1) Comprimentos da entrada hidrodinâmica e térmica
Há interesse prático em conhecer o comprimento da entrada hidrodinâmica Lh e o
comprimento da entrada térmica Lt no escoamento no interior de dutos.
O comprimento da entrada hidrodinâmica Lh é definido, um tanto arbitrariamente, como a
distância, a partir da entrada do duto, necessária para que se atinja uma velocidade máxima
correspondente a 99% da grandeza plenamente desenvolvida.
O comprimento da entrada térmica Lt é definido, um tanto arbitrariamente, como a
distância, a partir do começo da seção de transferência de calor, necessária para se atingir
um número de Nusselt local Nux igual a 1,05 vez o valor plenamente desenvolvido.
Se a transferência de calor para o fluido principia na entrada do fluido no duto, tanto
a camada limite cinética como a camada limite térmica começam a se desenvolver
imediatamente, e Lh e Lt são ambos medidos a partir da boca do tubo, como está na Fig.
5.1a.
Em algumas situações, a transferência de calor para o fluido começa após uma seção
isotérmica acalmante, como está na Fig. 5.1b. Neste caso, Lh é medido a partir da entrada
do duto, pois a camada limite cinética começa a se desenvolver imediatamente após a

entrada do fluido no duto, mas Lt é medido a partir da posição onde se inicia a transferência
de calor, pois a camada limite térmica começa a se desenvolver na seção de transferência de
calor.
Os comprimentos da entrada hidrodinâmica e térmica, no escoamento laminar no
interior de condutos, foram dados por vários autores. Apresentamos na Tabela 5.1 o
comprimento da entrada hidrodinâmica Lh no escoamento laminar no interior de condutos
de várias seções transversais, baseados na definição mencionada anteriormente. Incluímos
nesta tabela os comprimentos da entrada térmica nas condições de contorno temperatura da
parede constante e fluxo de calor constante nas paredes, num escoamento
hidrodinamicamente desenvolvido, mas termicamente em desenvolvimento. Nesta tabela,
Dh é o diâmetro hidráulico e o número de Reynolds está baseado neste diâmetro.
Notamos, na Tabela 5.1, que, numa dada geometria, o comprimento da entrada
hidrodinâmica Lh depende apenas do número de Reynolds, enquanto o comprimento da
entrada térmica Lt depende do número de Péclét, Pe, que é igual ao produto dos números de
Reynolds e Prandtl. Por isso, líquidos que têm um número de Prandtl da ordem da unidade
têm Lh e Lt com grandezas comparáveis; nos fluidos como os óleos, que têm um número de
Prandtl grande, temos Lt>Lh e, nos metais líquidos, que tem um número de Prandtl
pequeno, temos Lt<Lh.
Fig. 5.1 comprimentos da entrada hidrodinâmica e térmica: (a) a transferência de calor se inicia na boca
do duto; (b) a transferência de calor se inicia depois de uma seção isotérmica.

Tab. 5.1 Comprimento da entrada hidrodinâmica e térmica Lh Lt no escoamento laminar no interior de dutos
Os comprimentos da entrada térmica, dados na Tabela 5.1, valem no escoamento
hidrodinamicamente desenvolvido e se desenvolvendo termicamente. Como discutiremos
mais tarde, em muitos casos os perfis de velocidades e de temperaturas se desenvolvem
simultaneamente na região de entrada. Este escoamento é o escoamento com
desenvolvimento simultâneo. Os comprimentos da entrada térmica no escoamento com
desenvolvimento simultâneo também dependem do número de Prandtl. Por exemplo, no
escoamento que se desenvolve simultaneamente dentro de um tubo circular, com
temperatura constante nas paredes, o comprimento da entrada térmica Lt é
037,0=
DPe
Lt
com Pr =0,7
que deve ser comparada com
∞→= Pr..033,0 com
DPe
Lt
que corresponde ao número dado na tabela 5.1 para o escoamento hidrodinamicamente
desenvolvido e termicamente em desenvolvimento. Portanto, Lt cresce quando o número de
Prandtl diminui e é uma função fraca de número de Prandtl para Pr > 0,07.
5.3 ESCOAMENTO TURBULENTO NO INTERIOR DE DUTOS
O escoamento turbulento é importante nas aplicações de engenharia, pois aparece na
grande maioria dos problemas de escoamento de fluido e transferência de calor encontrados
na prática da engenharia.

5.3.1) Fator de Atrito e perda de carga
Considere um escoamento turbulento, plenamente desenvolvido, com uma
velocidade média de mu através de um tubo circular de diâmetro interno D. A perda de
carga P∆ sobre o comprimento L do tubo pode ser determinada segundo a equação:






=∆ 2
2
2
.
m
Nu
D
L
fP
mρ
(5.31)
onde: =f fator de atrito no escoamento. O fator de atrito no escoamento laminar, dentro de
um tubo circular, pode ser encontrado por método puramente teórico e demonstrou-se que
vale
Re
64
=f . No caso de escoamento turbulento, entretanto um certo empirismo se
introduz em sua dedução, pois se emprega um perfil de velocidades semi-empírico nesta
análise.
( ) 8,0Relog0,2
1
−= f
f
(5.32 a)
Esta relação concorda com as experiências e é utilizada para determinar o fator de
atrito no escoamento turbulento, no interior de canos lisos. A fig. 5.2 mostra a comparação
entre a equação (5.32 a) e as experiências de vários pesquisadores; aqui, as experiências de
Nikuradse cobrem uma faixa de número de Reynolds até 3,4x106
.
A equação implícita (5.32 a) é aproximada quase exatamente pela seguinte
expressão explícita
2)64,1Relog82,1( −−=f (5.32 b)
NiKuradse fez extensas experiências com escoamento turbulento no interior de canos
artificialmente rugosos, em uma faixa muito grande de rugosidade relativa
D
λ
( isto é, a
altura da saliência dividida pelo diâmetro), de cerca de 1/1000 até 1/30. A rugosidade do
grão de areia, utilizada nessas experiências, foi adotada como padrão para efeitos de
rugosidade. Também foi desenvolvida uma correlação do fator de atrito para o escoamento
turbulento no interior de tubos rugosos baseada em experiências feitas com tubos rugosos.
A fig. 5.3 mostra uma carta do fator de atrito, originalmente apresentada por Moody
para o escoamento turbulento no interior de tubos lisos e rugosos. A curva do tubo liso é
baseada na equação






=
=
=
LyemT
yemT
yT
..
0..
)(
1
0

Também está incluído nesta figura o fator de atrito
Re
64
=f do escoamento laminar no
interior de tubos circulares.
Fig. 5.2. Lei de atrito no escoamento turbulento dentro de tubos lisos e dados experimentais de vários
pesquisadores.
É evidente que, no escoamento laminar, a rugosidade da superfície não tem efeito
sobre o fator de atrito; no escoamento turbulento, entretanto, o fator de atrito é um mínimo
para o tubo liso. O escoamento laminar está confinado à região Re < 2000. A turbulência
transicional ocorre na região 2000<Re<10000. O escoamento plenamente turbulento ocorre
na região Re>104
.
Nos tubos lisos, foram dadas expressões analíticas mais simples, porém
aproximadas, para o fator de atrito na forma
f = 0,316Re-0,25
para Re < 2 x 104
f = 0,184Re-0,2
para 2 x 104
<Re < 3 x 105
Estes resultados se aplicam ao escoamento turbulento hidrodinamicamente desenvolvido. O
desenvolvimento hidrodinâmico no escoamento turbulento ocorre para x/D muito menor
do que no escoamento laminar. Por exemplo, as condições de escoamento
hidrodinamicamente desenvolvido ocorrem para x/D maior do que cerca de 10 a 20.

Fig. 5.3. Fator de atrito para ser utilizado na relação 2/.)(/( 2
mUDLfP ρ=∆ para
a perda de carga em um escoamento no interior de tubos circulares. ( De Moody.)
5.4) COEFICIENTE DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR
Uma vez que a análise de transferência de calor no escoamento turbulento é muito
mais elaborada do que no escoamento laminar, foi desenvolvido um grande número de
correlações empíricas para determinar o coeficiente de transferência de calor.
Apresentaremos algumas destas correlações.
5.4.1) Equação de Colburn.
Nu = 0,023 Re0,8
Pr1/ 3
(5.33)
onde Nu = hD/ K, Re = ,/ vDmu e Pr = αν / . A equação (5.33) pode ser aplicada
quando
0,7 < Pr < 160 Re > 10000
L/ D > 60 em tubos lisos
5.4.2) Equação de Dittus-Boelter.
Nu = 0,023 Re0,8
Pr n
(5.34)
onde n = 0,4 no aquecimento (Tw > Tb) e n = 0,3 no resfriamento (Tw < Tb) do fluido. A
faixa de aplicabilidade é a mesma que a da equação de Colburn.
5.4.3) Equação de Sieder e Tate.
Nas situações que envolvem grande variações de propriedades:
Nu = 0,027 Re0,8
Pr1/ 3 14,0
.. )/( wb µµ (5.35)
Esta equação é aplicável quando
0,7 < Pr < 16700 Re > 10000
L/ D > 60 em tubos lisos
Todas as propriedades são estimadas na temperatura média global do fluido Tb, exceto
wµ que é calculado à temperatura da parede.
5.4.4) Equação de Petukhov.
As relações que acabamos de apresentar são relativamente simples, mas dão um erro
máximo de ± 25% na faixa de 0,67 < Pr < 100 e podem ser aplicadas no escoamento
turbulento em dutos lisos. Uma correlação mais precisa, que é também aplicável em dutos

rugosos, foi desenvolvida por PetuKhov e colaboradores no Instituto de Altas Temperaturas
de Moscou:
2/1
3/2
8
)1(Pr7,1207,1
8
Pr.Re






−+=






=
f
X
f
X
N
n
w
b
u
µ
µ
(5.36)
n = 0,11 aquecimento com Tw uniforme (Tw > Tb)
0,25 esfriamento com Tw uniforme ( Tw < Tb)
0 fluxo de calor uniforme na parede ou gases
As Eqs. (5.36) são aplicáveis no escoamento turbulento plenamente desenvolvido na faixa
104
< Re < 5x106
0,5 < Pr < 200 com erro de 5 a 6%
0,5 < Pr < 2000 com erro de 10%
0,08 <
b
w
µ
µ
< 40
Notamos que
b
w
µ
µ
< 1 quando o líquido for aquecido e
b
w
µ
µ
> 1 quando o líquido for
resfriado. Todas as propriedades físicas, exceto wµ , são estimados na temperatura média
global.
O fator de atrito f , nas equações (5.36), pode ser estimado pelo diagrama de
Moody para tubos lisos, ou obtido da carta de Moody (fig. 5.3) para tubos lisos ou rugosos.
5.4.5) Equação de Nusselt.
As relações anteriores são aplicáveis no domínio L/D > 60. Nusselt estudou os dados
experimentais com L/D de 10 a 100 e concluiu que h, neste domínio, é aproximadamente
proporcional a (D/L)1/ 8
. Daí substituiu a Eq. (5.35) por
Nu 40010PrRe036,0
055,0
3/18,0
<<





=
D
L
em
L
D
(5.37)
onde L é o comprimento medido do princípio da seção de transferência de calor, e as
propriedades do fluido são calculadas à temperatura média global do fluido.
5.4.6) Equação de Notter e Sleicher.
O número de Nusselt é determinado teoricamente a partir da solução da equação da energia
com o emprego de um perfil apropriado de velocidades no escoamento turbulento. O
número de Nusselt resultante, na região hidrodinâmica e termicamente desenvolvida, foi
expresso na forma

ba
PrRe0,0165Nu += (5.38)
onde
a= 0,88 -
Pr4
24,0
+
e b = 0,33 + 0,5e-0,6.Pr
que é aplicável em
0,1 < Pr < 104
104
< Re < 106
25>
D
L
A Eq. (5.38) correlaciona bem os dados experimentais e proporciona uma representação
mais exata do efeito do número de Prandtl. Pode ser preferida à Eq. (5.37).
5.5) TRANSFERÊNCIA DE CALOR NOS METAIS LÍQUIDOS
Os metais líquidos são caracterizados pelo número de Prandtl muito baixo, variando
de cerca de 0,02 a 0,003. Por isso, as correlações de transferência de calor das seções
anteriores não se aplicam aos metais líquidos, pois sua faixa de validade não se estende a
valores tão baixos do número de Prandtl.
O Lítio, o Sódio, o Potássio, o Bismuto e o sódio-potássio estão entre os metais
comuns de baixo ponto de fusão que são convenientes para a transferência de calor. Há
interesse, para a engenharia na transferência de calor em metais líquidos, pois se podem
transferir grandes quantidades de calor em altas temperaturas com diferença de temperatura
relativamente baixa entre o fluido e a superfície da parede do tubo. As altas taxas de
transferência de calor resultam da alta condutividade dos metais líquidos, comparada com a
condutividade dos líquidos e gases ordinários. Por isso, são particularmente atraentes como
meio de transferência de calor nos reatores nucleares e em muitas outras aplicações em alta
temperatura e com elevado fluxo de calor. A principal dificuldade no emprego dos metais
líquidos está em seu manuseio. São corrosivos e alguns podem provocar violentas reações
quando entram em contato com o ar ou a água. Como se discutiu no Cap. 4, quando Pr<1,
como nos metais líquidos, a camada limite térmica é muito mais espessa do que a camada
limite cinética. Isto implica que o perfil de temperaturas, e, portanto, a transferência de
calor nos metais líquidos não é influenciada pela subcamada laminar ou pela viscosidade.
Desse modo, nesses casos, espera-se uma dependência bastante fraca entre a transferência
de calor e o número de Prandtl. Por isso, a maior parte das correlações empíricas da
transferência de calor com metais líquidos foi estabelecida fazendo-se o gráfico do
número de Nusselt contra o número de Péclét, Pe = Re.*Pr. Esta situação, discutida
inicialmente com referência ao escoamento sobre uma placa plana, também se aplica ao
escoamento num tubo circular, como está ilustrado na figura 5.4. Nesta figura os números
de Nusselt no aquecimento de metais líquidos em tubos longos, sujeitos a um fluxo de calor
constantes nas paredes, compiladas de várias fontes por Lubarsky e Kaufman, estão
plotados contra os números de Péclét. Os dados parecem ter boa correlação, mas há
também espalhamento. A explicação está nas dificuldades inerentes às experiências com
metais líquidos, especialmente em ter que se tratar com altas temperaturas e diferenças de
temperatura muito pequenas. O fato de alguns metais líquidos não molharem a superfície

sólidas também é considerado uma possível explicação para alguns valores medidos do
número de Nusselt serem mais baixos do que as previsões teóricas.
Resumiremos algumas correlações empíricas e teóricas para a transferência de calor
nos metais líquidos, no escoamento turbulento plenamente desenvolvido, dentro de um tubo
circular, com fluxo de calor constante nas paredes e também temperatura constante da
parede como condição de contorno.
Fig. 5.4. Números de Nusselt medidos no aquecimento de metais líquidos em tubos longos, circulares, com fluxo de
calor constante nas paredes.
5.5.1) Fluxo de calor uniforme nas paredes
Lubarsky e Kaufman propuseram a seguinte relação empírica para calcular o número de
Nusselt, no escoamento turbulento plenamente desenvolvido, de metais líquidos em tubos
lisos.
Nu = 0,625 Pe 0,4
(5.39)
número de Péclét ≡ Pe = Re . Pr
para 102
< Pe < 10 4
, L/D > 60, e as propriedades são calculadas à temperatura média global
do fluido.
Skupinski, Tortel e Vautrey, baseados nas experiências de transferência de calor feitas com
misturas de sódio e potássio, recomendaram a seguinte expressão para metais líquidos em
escoamento turbulento plenamente desenvolvido, dentro de tubos lisos:
Nu = 4,82 + 0,0185 Pe 0,827
(5.40)
para 3,6 x 10 3
< Re < 9,05 x 10 5
, 10 2
< Pe <10 4
e L/D > 60. As propriedades físicas são
calculadas à temperatura média global do fluido.
A Eq. (5.39) prevê número de Nusselt mais baixo que a Eq. (5.40); é previsão
conservadora.

5.5.2) Temperatura uniforme nas paredes
Seban e Shimazaki utilizaram a analogia entre a transferência de momento e a
transferência de calor e propuseram a expressão seguinte para metais líquidos em tubos
lisos, com temperatura uniforme nas paredes:
Nu = 5,0 + 0,025 Pe 0,8
(5.41)
para Pe > 100, L/D > 60, e lpropriedades físicas calculadas à temperatura média global do
fluido.
Também foram desenvolvidas expressões para o número de Nusselt no escoamento
turbulento, plenamente desenvolvido, de metais líquidos em tubos lisos, sujeitos à condição
de contorno temperatura uniforme nas paredes, mediante ajustes empíricos dos resultados
das soluções teóricas. Apresentaremos agora os resultados destes ajustes:
Sleicher e Tribus:
Nu = 4,8 + 0,015 Pe 0,91
Pr 0,30
para Pr < 0,05 (5.42)
Azer e Chão:
Nu = 5,0 + 0,05 Pe 0,77
Pr 0,25
para Pr < 0,1, Pe < 15000 (5.43)
Notter e Sleicher
Nu = 4,8 + 0,0156 Pe 0,85
Pr 0,08
para 0,004 < Pr <0,1, Re < 500000 (5.44)
6) CONVECÇÃO FORÇADA NO ESCOAMENTO SOBRE
CORPOS
6.1) COEFICIENTE DE TRANSFERËNCIA DE CALOR NO ESCOAMENTO
SOBRE UMA PLACA PLANA
Vamos considerar agora a transferência de calor para um fluido, ou de um fluido,
que escoa sobre uma placa plana. Suponha que a transferência de calor se inicia na borda
frontal da placa. Como foi discutido no Cap. 4, as camadas limite cinética e térmica
começam a se desenvolver simultaneamente, e sua espessura relativa depende do valor do
número de Prandtl. Se a distribuição de temperatura T(x, y) na camada limite for
conhecida, o coeficiente de transferência de calor local h(x) pode ser determinado a partir
de sua definição, dada na Eq. (4.11 a) como
[[[[ ]]]]
W
0y
TT
yT
k)x(h
−−−−
∂∂∂∂∂∂∂∂
====
∞∞∞∞
====
(6.1)
onde ∞T e Tw, são as temperaturas da corrente livre do fluido e da parede, respectivamente.

Apresentaremos primeiro uma análise aproximada da determinação da distribuição
de temperaturas na camada limite térmica e, a seguir, o coeficiente de transferência de calor
no caso especial em que Pr < 1, isto é, nos metais líquidos. A razão para considerar
primeiro os metais líquidos está na simplicidade da análise neste caso particular; além
disso, ela nos ajudará a aprofundar a compreensão do papel da camada limite térmica na
transferência de calor. O caso de Pr = 1 (gases), que envolve análise mais elaborada, será
considerado mais tarde.
6.1.1) Metais líquidos num escoamento laminar
O número de Prandtl é muito baixo nos metais líquidos; por isso, a camada limite térmica é
muito mais espessa que a camada limite cinética (isto é,δt> δ).
Fig. 6.1 Camadas limites cinética e térmica na transferência de calor em metais líquidos, Pr <1.
A Fig. 6.1 ilustra as camadas limites cinética e térmica quando ambas começam a se
desenvolver a partir da borda frontal da placa plana. Sejam T∞ e u∞ a temperatura e a
velocidade do fluido, respectivamente, fora das camadas limites; Tw é a temperatura da
superfície da placa. Admitiremos um fluido incompressível, de propriedades constantes,
num escoamento bidimensional, estacionário, com dissipação viscosa de energia
desprezível. A equação da energia, que governa a distribuição de temperaturas T(x, y) na
camada limite térmica, é obtida pela equação:
2
2
y
T
y
T
v
x
T
u
∂∂∂∂
∂∂∂∂
====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
++++
∂∂∂∂
∂∂∂∂
αααα (6.2)
Para conveniência de análise, definimos uma temperatura adimensional θ (x, y) como
( )
w
w
TT
TyxT
yx
−
−
=
∞
),(
,θ (6.3)
onde θ(x, y) varia de zero na superfície da parede até a unidade na extremidade da camada
limite térmica. Então, a equação da energia é escrita em termos de θ(x, y) como

2
2
yy
v
x
u
∂∂∂∂
∂∂∂∂
====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
++++
∂∂∂∂
∂∂∂∂ θθθθ
αααα
θθθθθθθθ
para x > 0 (6.4)
e as condições de contorno são
θθθθ = 0 em y = 0 (6.5 a)
θθθθ = 1 em y = )x(tδδδδ (6.5 b)
onde as Eqs. (6.5 a) e (6.5 b) dão, respectivamente, a temperatura na superfície da parede
igual a Tw, e a temperatura na fronteira da camada limite térmica, com espessura )x(tδδδδ ,
igual a T ∞∞∞∞ .
A análise exata deste problema de temperatura é bastante elaborada, pois as
componentes da velocidade u e v devem ser determinadas a partir do problema cinético
antes que a equação da energia (6.4) possa ser resolvida.
Entretanto, uma solução aproximada deste problema, com o método integral, é
relativamente simples. Os passos básicos são os seguintes:
A equação da energia (6.4) é integrada em relação a y na camada limite térmica, e a
componente da velocidade v(x, y) é eliminada por meio da equação da continuidade. A
equação resultante, chamada a equação integral da energia, é dada por
t
y
yem
dy
d
dyu
dx
d t
δ
θ
αθ
δ
≤≤=



 −
=
∫ 0.)1(
0
0
(6.6)
onde )(xtt δδ ≡ ),(),( yxeyxuu θθ ≡≡ . Até aqui, a análise e a Eq. (6.6) são exatas, mas
esta equação não pode ser resolvida, pois ela envolve três incógnitas )x(tδδδδ
),(),,( yxyxu θ . Por isso, precisamos de relações adicionais.
Neste estágio são introduzidas aproximações a fim de desenvolverem-se expressões
analíticas simples para u(x, y) e θθθθ (x, y) coerentes com a realidade física. Uma vez que a
camada limite cinética é muito delgada, a velocidade do escoamento em uma grande porção
da camada limite térmica é uniforme e igual a u∞, como está ilustrado na Fig. 6.1. Por isso,
numa primeira aproximação, o perfil de velocidades é tomado como
u (x, y) = u ∞∞∞∞ = constante (6.7)
O perfil de temperaturas θθθθ (x, y) pode ser representado como uma aproximação polinomial
dentro da camada limite térmica. Suponhamos uma aproximação cúbica para θθθθ (x, y), com
a forma
θθθθ (x,y)= c0 +c1(x)y + c2(x)y2
+ c3(x)y3
)x(y0em tδδδδ≤≤≤≤≤≤≤≤ (6.8)
e que as quatro condições necessárias para determinar os quatro coeficientes tenham a
forma

θθθθ = 0 em y = 0 (6.9 a)
θθθθ = 1 em y = tδδδδ (6.9 b)
0
y
====
∂∂∂∂
∂∂∂∂θθθθ
em y = tδδδδ (6.9 c)
0
y2
2
====
∂∂∂∂
em y = 0 (6.9 d)
Notamos que as duas primeiras condições são as condições de contorno, a terceira está
baseada na definição da camada limite térmica, e a última é obtida pela estimativa da
equação da energia (6.4) em y = 0, observando-se que u = v = 0 na superfície da parede. A
aplicação das condições (6.9) à Eq. (6.8) dá o perfil de temperaturas na forma
3
tt
y
2
1y
2
3
)y,x( 





−−−−





====
δδδδδδδδ
θθθθ (6.10)
Os perfis de velocidades e de temperaturas, dados pelas Eqs. (6.7) e (6.10), são
introduzidos na equação integral da energia (6.6). Obtemos
t
0
3
tt 2
3
dy
y
2
1y
2
3
1u
dx
d t
δδδδ
αααα
δδδδδδδδ
δδδδ
====






















++++−−−−∫∫∫∫ ∞∞∞∞ (6.11)
onde o segundo membro vem da relação [ (((( )))).2/3]y/ t0y δδδδθθθθ ====∂∂∂∂∂∂∂∂ ==== Quando se faz a
integração em relação a y, a equação diferencial ordinária para a espessura tδδδδ da camada
limite térmica:
t
t
2
3
dx
d
8
3
u
δδδδ
ααααδδδδ
====∞∞∞∞
ou (6.12)
dx
u
4
d tt
∞∞∞∞
====
αααα
δδδδδδδδ
A integração da Eq. (6.12), com as condições 0t ====δδδδ em x = 0, dá a espessura da camada
limite térmica como
x
u
82
t
∞∞∞∞
====
αααα
δδδδ (6.13 a)
ou
∞∞∞∞
====
u
x8
t
αααα
δδδδ (6.13 b)

O gradiente de temperatura na parede, com o perfil cúbico da temperatura, Eq. (6.10), fica
t0y
2
3
y δδδδ
θθθθ
====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
====
(6.14)
e o coeficiente de transferência de calor, definido pela Eq. (6.1), escreve-se em termos de
)y,x(θθθθ , como
0y
y
k)x(h
====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
====
θθθθ
(6.15)
A partir das Eqs. (6.14) e (6.15), temos
t
k
2
3
)x(h
δδδδ
==== (6.16)
Levando tδδδδ da Eq. (6.13 b) para a equação (6.16), determina-se o coeficiente de
transferência de calor local h(x) como
PrRe
x
k
82
3v
v
xu
x
k
82
3
x
u
82
k3
)x(h x============ ∞∞∞∞∞∞∞∞
αααααααα
(6.17)
O número de Nusselt local Nux no escoamento laminar de metais líquidos sobre uma placa
plana mantida a uma temperatura uniforme fica
21
xxx Pe530.0PrRe
82
3
k
x)x(h
Nu ============ (6.18)
======== ∞∞∞∞
v
xu
Rex número de Reynolds local
========
αααα
v
Pr número de Prandtl
============ ∞∞∞∞
αααα
xu
PrRePe xx número local de Péclét
A solução dada pela Eq. (6.18) foi obtida por uma análise aproximada. Este resultado deve
ser comparado com a solução exata de Pohlhausen para este problema de transferência de
calor, no caso limite Pr → 0, dada por '
Nux = 0,564 2/1
xPe (exato) para Pr → 0 (6.19)
Esta equação foi deduzida sob a hipótese de que Pr → 0; na prática, esta hipótese implica
que se trata de metais líquidos (isto é, Pr < 0,05). A solução aproximada, dada pela Eq.
(6.18), é razoavelmente próxima deste resultado exato.
No começo desta análise, estabelecemos que nos metais líquidos a camada limite
cinética é muito menor do que a camada limite térmica. Para testar a validade desta

afirmação, dividamos a espessura da camada limite cinética δδδδ (x), pela espessura da
camada limite térmica )x(tδδδδ , Eq. (6.13 b). Obteremos
Pr692,2
813
280
)(
)(
== ∞
∞ x
u
u
v
x
x x
t αδ
δ
Nos metais líquidos, com Pr ≅ 0,01, encontramos
164,0
)x(
)x(
t
====
δδδδ
δδδδ
(6.20)
o que mostra, nos metais líquidos, ser δδδδ (x) < tδδδδ (x).
6.1.2) Fluidos ordinários em escoamento laminar
Examinaremos agora a determinação do coeficiente de transferência de calor no
escoamento laminar de fluidos ordinários, que tem Pr > 1, sobre uma placa plana mantida a
uma temperatura uniforme. Admite-se que um fluido, a uma temperatura T ∞∞∞∞ , flui com a
velocidade u ∞∞∞∞ sobre uma placa plana. O eixo x é paralelo à placa, na direção do
escoamento, com a origem x = 0 na borda frontal, e o eixo y é perpendicular à placa, no
sentido da placa para o fluido. A placa é mantida a uma temperatura T∞ na região 0 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤
x0 e a uma temperatura uniforme Tw, na região x > xo. Isto é, a transferência de calor entre a
placa e o fluido não começa até a posição x = xo. A Fig. 6.2 ilustra as camadas limite
cinética e térmica na situação física que acabamos de descrever. Ressaltamos que a camada
limite cinética é mais espessa do que a camada limite térmica, pois Pr>1; e δδδδ (x) começa a
se desenvolver na borda frontal da placa, enquanto tδδδδ (x) começa a se desenvolver em x =
xo, onde principia a seção de transferência de calor. Novamente, admitiremos um fluido
incompressível, de propriedades constantes num escoamento bidimensional, estacionário,
laminar, com dissipação viscosa desprezível. A equação da energia na camada limite é
2
2
yy
v
x
u
∂∂∂∂
∂∂∂∂
====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
++++
∂∂∂∂
αααα
θθθθθθθθ
em x > xo (6.21)
Fig. 6.2 Camadas limite cinética e térmica, num fluido com Pr > 1
e as condições de contorno são

0====θθθθ em y = 0 (6.22 a)
1====θθθθ em y = )(xtδ (6.22 b)
onde θ é definido pela Eq. (6.3).
Uma vez que a análise exata deste problema de temperatura é bastante complicada,
novamente consideremos a solução pelo método integral:
1. A equação da energia (6.21) é integrada em relação a y sobre a camada limite
térmica, e a componente de velocidade v(x,y) é eliminada por meio da equação da
continuidade. A equação integral da energia é determinada como
( ) t
y
yem
y
dyu
dx
d t
δ
θ
αθ
δ
≤≤
∂
∂
=



 −
=
∫ 01
0
0
(6.23)
que é a mesma Eq. (6.6). Esta equação não pode ser resolvida, pois envolve três incógnitas,
),(),,(),( yxyxuxt θδ . Por isso precisamos de relações adicionais.
2. Introduzimos aproximações para desenvolver expressões analíticas de u(x,y) e de
)y,x(θθθθ . Para o perfil de velocidades, u(x,y), escolhemos uma aproximação
polinomial cúbica e tomamô-la na forma
3
y
2
1y
2
3
u
)y,x(u






−−−−





====
∞∞∞∞ δδδδδδδδ
(6.24)
Para o perfil de temperaturas )y,x(θθθθ , escolhemos um perfil cúbico e imediatamente
obtemos a sua expressão pela Eq. (6.10)
3
tt
y
2
1y
2
3
)y,x( 





−−−−





====
δδδδδδδδ
θθθθ (6.25)
3. Os perfis de velocidades e de temperaturas dados pelas Eqs. (6.24) e (6.25), são
levados á equação integral da energia (6.23). Obtemos
t
3
tt
3
t
0 2
3
dy
y
2
1y
2
3
1
y
2
1y
2
3
u
dx
d t
δδδδ
αααα
δδδδδδδδδδδδδδδδ
δδδδ
====






















++++−−−−














−−−−∫∫∫∫∞∞∞∞ (6.26 a)
∞∞∞∞
====
















−−−−++++−−−−++++−−−−∫∫∫∫ u2
3
dyy
4
1
y
4
3
y
2
1
y
4
3
y
4
9
y
2
3
dx
d
t
0
6
3
t
3
4
t
3
3
3
4
3
t
2
t
t
δδδδ
αααα
δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδ
δδδδ
(6.26 b)
A integração em relação a y é então realizada:
∞∞∞∞
====







−−−−++++−−−−++++−−−−
u2
3
28
1
20
3
8
1
20
3
4
3
4
3
dx
d
t
3
4
t
3
4
t
3
4
t
2
t
2
t
2
t
δδδδ
αααα
δδδδ
δδδδ
δδδδ
δδδδ
δδδδ
δδδδ
δδδδ
δδδδ
δδδδ
δδδδ
δδδδ
δδδδ
(6.27)
Agora, uma nova variável )x(∆∆∆∆ é definida como a razão entre a espessura da camada
limite térmica e a espessura da camada limite cinética:

)x(
)x(
)x( t
δδδδ
δδδδ
∆∆∆∆ ==== (6.28)
Então, a Eq.(6.27) se torna:
∞∞∞∞
====











−−−−
u2
3
280
3
20
3
dx
d 42
∆∆∆∆δδδδ
αααα
∆∆∆∆∆∆∆∆δδδδ (6.29)
Consideraremos agora a situação em que a espessura da camada limite térmica é
menor do que a espessura da camada limite cinética δδδδ , como está ilustrado na Fig 6.2, para
Pr>1. Então, ∆∆∆∆ <1, e na Eq. (6.29), o termo (3/280) 4
∆∆∆∆ pode ser desprezado em comparação
com (3/20) 2
∆∆∆∆ . A Eq. (6.29) é simplificada para
∞∞∞∞
====
u
10
)(
dx
d 2 αααα
∆∆∆∆δδδδ∆∆∆∆δδδδ (6.30)
Feita a derivação em relação a x,
∞
=
∆
∆+
∆
∆
udx
d
dx
d α
δδ
10
2 322
ou
∞∞∞∞
====++++
u
10
dx
d
dx
d
3
2 3
3
2 ααααδδδδ
δδδδ∆∆∆∆
∆∆∆∆
δδδδ (6.31)
uma vez que
dx
d
3
1
dx
d 3
2 ∆∆∆∆∆∆∆∆
∆∆∆∆ ====
A espessura da camada limite cinética δδδδ foi determinada como
∞∞∞∞
====
u
vx
13
2802
δδδδ (6.32 a)
e derivando obtemos
∞∞∞∞
====
u
v
13
140
dx
dδδδδ
δδδδ (6.32 b)
A substituição das equações (6.32) na equação (6.31) leva a
v56
39
4
3
dx
d
x 3
3
αααα
∆∆∆∆
∆∆∆∆
====++++ (6.33)
Esta é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem em 3
∆∆∆∆ e sua solução geral é
escrita como
v14
13
Cx)x( 433 αααα
∆∆∆∆ ++++==== −−−−
(6.34)

A constante de integração C é determinada pela condição de contorno 0t ====δδδδ em x = xo,
que é equivalente a
0)x( ====∆∆∆∆ em x = xo (6.35)
Encontraremos
















−−−−==== −−−−
4
3
013
x
x
1Pr
14
13
)x(∆∆∆∆ (6.36)
onde
========
αααα
v
Pr número de Prandtl
Se admitimos que a transferência de calor para o fluido principia na borda frontal da placa,
fazemos 0x0 →→→→ e a Eq. (6.36) simplifica-se para
3
1
3
1
3
1
t
Pr976,0Pr
14
13
)x(
)x(
)x(
−−−−−−−−
====





========
δδδδ
δδδδ
∆∆∆∆ (6.37)
Esta relação mostra que a razão entre a espessura da camada limite térmica e da cinética,
num escoamento laminar sobre uma placa plana, é inversamente proporcional à raiz cúbica
do número de Prandtl.
A substituição de )x(δδδδ , da Eq. (6.32 a), na Eq. (6.37) dá a espessura da camada limite
térmica como
3121
x
t
PrRe
x
53,4)x( ====δδδδ (6.38)
onde
v
xu
Rex
∞∞∞∞
====
Na aproximação polinomial cúbica considerada aqui para )y,x(θθθθ , o coeficiente de
transferência de calor local h(x) foi relacionado anteriormente com a espessura da camada
limite térmica )x(tδδδδ , pela Eq. (6.16).
)x(
k
2
3
)x(h
tδδδδ
==== (6.39)
Introduzindo-se )x(tδδδδ , da Eq. (6.38), na Eq. (6.39), encontra-se o número de Nusselt local
Nux,
2/1
x
3/1
x RePr331,0
k
x)x(h
Nu ======== com Rex<5*105
(6.40)
Esta solução aproximada é notavelmente próxima da solução exata deste problema, dada
por Pohlhausen, como

2/1
x
3/1
x RePr332,0Nu ==== (exata) com Rex<5*105
(6.41)
Note que a relação de transferência de calor, dada pela Eq. (6.40), foi deduzida por
uma análise aproximada com a hipótese δδδδδδδδ <<<<t ou Pr>1. Entretanto, a comparação com os
resultados exatos mostra que ela é válida no domínio 0,6<Pr<10, que cobre muitos gases e
líquidos.
Para grandes valores do número de Prandtl, os cálculos exatos de Pohlhausen
mostram que o número de Nusselt local, Nux, é dado por
2/1
x
3/1
x RePr339,0Nu ==== (exata) com ∞∞∞∞→→→→pr e Rex<5*105
(6.42)
Para calcular o coeficiente de transferência de calor a partir das relações acima,
recomenda-se que as propriedades do fluido sejam calculadas na média aritmética entre a
temperatura da parede Tw e a temperatura do escoamento externo ∞∞∞∞T , isto é,
Tf=(1/2)(Tw+ ∞∞∞∞T ), a chamada temperatura películar.
Nas aplicações de engenharia, define-se um coeficiente de transferência de calor
médio hm sobre o comprimento da placa, desde x = 0 até x = L,
∫∫∫∫====
L
0
m dx)x(h
L
1
h (6.43)
Notando que hx = x -1/2
, encontramos que o coeficiente de transferência de calor médio no
escoamento laminar paralelo a uma placa plana, sobre a distância de x = 0 até x = L, é dado
por
Lxm )x(h2h ====
==== (6.44)
Então, os números de Nusselt médios, no escoamento laminar paralelo à placa plana, são
dados por
2/1
L
3/1
m RePr664,0Nu ==== (exata)0,6<Pr<10 (6.45 a)
2/13/1
RePr678,0 LmNu = (exata) ∞→Pr (6.45 b)
onde
k
Lh
Nu m
m ====
v
Lu
ReL
∞∞∞∞
====
e as propriedades são estimadas na temperatura pelicular. A Eq. (6.45 b), deduzida para o
caso limite Pr ∞∞∞∞→→→→ , é aplicável aos fluidos que têm um número de Prandtl grande, como os
óleos.
6.1.3) Escoamento turbutento
A transição do escoamento laminar para o turbulento ocorre no domínio dos números de
Reynolds entre 2 x 105
e 5 x 105
, no escoamento sobre uma placa plana. As correlações da

transferência de calor podem ser desenvolvidas no escoamento turbulento sobre uma placa
plana utilizando-se as relações entre o coeficiente de transferência de calor e o de arraste
dados pela Eq. (6.15a)
2
Pr 3/2 Cx
Stx = (6.46)
Por exemplo, se Cx for obtido da equação
2.0
xRe0592,0Cx −−−−
====
encontraremos
752.03/2
10Re105.Re0296,0Pr <<= −
xxx xcomSt (6.47 a)
ou Cx é
97584,23/2
10Re10.)Re(log185,0Pr <<= −
xxx comSt (6.47 b)
e todas as propriedades são calculadas na temperatura pelicular.
Mais recentemente, Whitaker utilizou os dados experimentais de Zukauskas e
Ambrazyavichyus e modificou a expressão de Colburn, para desenvolver a seguinte
correlação para a camada limite turbulenta sobre uma placa plana:
43,08,0
PrRe029,0Nux x= (6.48)
válida de Rex > 2 *105
até 5 *105
; todas as propriedades são calculadas na temperatura
pelicular.
Nas aplicações práticas, há interesse no coeficiente de transferência de calor médio hm na
distância 0 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ L da placa. Quando o escoamento é turbulento, é sempre precedido por
uma camada limite laminar na qual a equação que governa a transferência de calor é
diferente da que governa o escoamento turbulento. Por isso, a promediação deve ser feita
em ambas as regiões, como descreveremos agora.
Admita um escoamento laminar na região 0 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ c e turbulento na região c < x ≤≤≤≤ L. Os
coeficientes de transferência de calor locais, nestas duas regiões, são obtidos das Eqs.
(6.41) e (6.48), respectivamente, como
em
v
xu
x
k
hl
x
3/1
2/1
Pr332,0 











= ∞
0≤x≤c (laminar)
emPr
v
xu
x
k
029,0h 43,0
8,0
l
x 











==== ∞∞∞∞
c<X≤L (turbulento)
O coeficiente de transferência de calor médio hm, na região 0 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ L é definido como




 += ∫∫
L
t
x
C
L
xm dxhdxh
L
h
00
1














++++





==== ∫∫∫∫∫∫∫∫
−−−−∞∞∞∞−−−−∞∞∞∞
L
c
2,043,0
8,0
c
0
5,03/1
5,0
m dxxPr
v
u
k029,0dxxPr
v
u
k332,0
L
1
h (6.49 a)
e o número de Nusselt médio, Num, na região 0 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ L, é

k
Lh
Nu m
m ==== (6.49 b)
Depois de feitas a integrações, o número de Nusselt médio nas regiões de escoamento
Laminar e turbulento é
(((( )))) 5,0
c
3/18,0
c
8,0
L
43,0
m RePr664,0ReRePr036,0Nu ++++−−−−==== (6.50)
válida para ReL > Rec, onde ReL = u ∞∞∞∞ L/v e Rec = número de Reynolds crítico para a
transição. Evidentemente, o Num, dado pela Eq. (6.50), depende do valor do número de
Reynolds crítico da transição do escoamento laminar para o turbulento. O nível da
turbulência da corrente livre afeta a transição. Quando há geração elevada da turbulência na
corrente livre, a transição para o escoamento turbulento ocorre em um número de Reynolds
crítico mais baixo. Entretanto, se se tomar cuidado para eliminar a turbulência da corrente
livre, retarda-se a transição para o escoamento turbulento.
Com o número de Reynolds crítico Rec = 2 * 105
, a Eq. (6.50) se torna
(((( )))) 3/18,0
L
43,0
m Pr29717400RePr036,0Nu ++++−−−−==== (6.51)
O último termo do segundo membro pode ser aproximado por
43,03/1
Pr297Pr297 ≅≅≅≅
e a correção de viscosidade pode ser introduzida multiplicando-se o segundo membro da
expressão resultante por 25,0
w )/( µµµµµµµµ∞∞∞∞ . Então, obtém-se a seguinte expressão:
(((( ))))9200RePr036,0Nu 8,0
L
43,0
m −−−−==== 25,0
w )/( µµµµµµµµ∞∞∞∞ (6.52)
Todas as propriedades físicas são calculadas na temperatura da corrente livre, exceto wµµµµ ,
que é calculado na temperatura da parede. Nos gases, a correção de viscosidade é
desprezível, e, neste caso, as propriedades físicas são calculadas na temperatura pelicular.
A Eq. (6.52) dá o número de Nusselt médio nas camadas limite laminar e turbulenta, sobre
uma placa plana, com ReL > 2 *105
. Foram propostas por Whitaker e usadas para
correlacionar os dados experimentais de vários investigadores com o ar, a água e óleos,
cobrindo as seguintes faixas:
2 * 105
< ReL < 5,5 * 106
0,70 < Pr < 380
0,26 < µµµµµµµµ /∞∞∞∞ < 3,5
A Eq. (6.52) relaciona os dados experimentais razoavelmente bem, quando a turbulência da
corrente for pequena. Se estiver presente turbulência de alto nível na corrente livre, a Eq.
(6.52), sem a constante 9.200, correlaciona os dados razoavelmente bem.
6.2) ESCOAMENTO TRANSVERSAL A UM CILINDRO CIRCULAR ISOLADO
O escoamento transversal a um cilindro circular isolado é encontrado freqüentemente na
prática, mas a determinação dos coeficientes de arraste e de transferência de calor é assunto
muito complicado devido à complexidade dos padrões do escoamento em torno de um

cilindro. A Fig. 6.3 ilustra as características do escoamento em torno de um cilindro
circular, evidentemente, elas dependem do número de Reynolds, definido como
v
Du
Re ∞∞∞∞
==== (6.53)
onde D é o diâmetro do cilindro e ∞u é a velocidade da corrente livre. Para um número de
Reynolds menor do que 4, aproximadamente, o escoamento não se separa e o campo de
velocidades pode ser analisado pela solução das equações do movimento. Para números de
Reynolds acima de 4, aproximadamente, os turbilhões começam na região da esteira e a
análise da distribuição de velocidades e de temperaturas em torno do cilindro, com Re > 4,
torna-se muito complicada.
6.2.1) Coeficiente de arraste
Considere um escoamento à velocidade ∞∞∞∞u , transversal a um cilindro circular de diâmetro
D, e seja F a força de arraste atuando no comprimento L do cilindro. O coeficiente de
arraste cD é definido como
2
u
c
LD
F 2
D
∞∞∞∞
====
ρρρρ
(6.54)
Fig. 6.3 Escoamento em torno de um cilindro circular, em vários números de Reynolds
Aqui, LD representa a área normal ao escoamento. O coeficiente de arraste cD, definido pela
Eq. (6.80), é o valor médio do coeficiente de arraste local calculado sobre a circunferência
do cilindro. Portanto, dado cD, a força de arraste F atuando sobre o comprimento L do
cilindro pode ser calculada de acordo com a Eq. (6.54).
A Fig. 6.5 mostra o coeficiente de arraste cD no escoamento transversal a um cilindro
isolado. O significado físico da variação de cD com o número de Reynolds é mais bem
percebido se examinarmos os resultados da Fig. 6.5 relacionando-os aos esboços da Fig.
6.4. Com Re < 4, o arraste é causado somente pelas forças viscosas, pois a camada limite
permanece aderente ao cilindro. Na região 4 < Re < 5.000, formam-se turbilhões na esteira;
por isso, o arraste é devido parcialmente às forças viscosas e parcialmente à formação da
esteira, isto é, à baixa pressão provocada pela separação do escoamento. Na região 5 x 103
< Re < 3,5 x 105
, o arraste é provocado predominantemente pelos vórtices muito
turbulentos na esteira. A redução repentina do arraste a Re = 3,5 x 105
é provocada pela
transformação súbita da camada limite em turbulenta, fazendo com que o ponto de
separação do escoamento desloque-se para a parte posterior do cilindro, o que reduz a
dimensão da esteira, e daí o arraste.

Fig.6.4 Coeficiente de arraste no escoamento transversal a um cilindro circular isolado.
A Fig. 6.6 mostra a correlação de MacAdams para o coeficiente de transferência de calor
médio hm, no resfriamento, ou no aquecimento, do ar que flui transversalmente a um
cilindro isolado. As propriedades sâo estimadas a ( T ∞∞∞∞ + Tw)/2. Esta correlação não mostra
explicitamente a dependência entre os resultados e o número de Prandtl, pois os gases têm
um número de Prandtl da ordem da unidade. Por isso, foram desenvolvidas correlações
mais elaboradas por diversos pesquisadores, a fim de incluir o número de Prandtl e daí
estender a aplicabilidade dos resultados para fluidos que não sejam gases.
Whitaker estabeleceu uma correlação entre o coeficiente de transferência de calor médio
hm no escoamento de gases ou de líquidos, transversal a um cilindro isolado, dada por
25,0
w
4,03/25,0m
m Pr)Re06,0Re4,0(
k
Dh
Nu 





++++====≡≡≡≡ ∞∞∞∞
µµµµ
µµµµ
(6.55)
que concorda com os dados experimentais dentro de ± 25% nas faixas seguintes

Fig. 8.5 Número de Nusselt médio para o aquecimento, ou o resfriamento, do ar fluido em torno de um único
cilindro circular
40< Re< 105
0.67 < Pr <300 0.25<
wµµµµ
µµµµ∞∞∞∞
<5.2

Fig. 8.6 Número de Nusselt no escoamento transversal a um cilindro circular isolado.
onde as propriedades físicas são estimadas na temperatura da corrente livre, exceto wµµµµ , que
é estimada na temperatura da parede. Para os gases, a correção de viscosidade é desprezada,
e neste caso, as propriedades são estimadas na temperatura pelicular. Observamos que a
equação 6.55 envolve duas diferentes dependências funcionais entre o número de Nusselt e
o número de Reynolds. A dependência funcional Re0,5
caracteriza a contribuição oriunda da
camada limite laminar não destacada, e a dependência Re2/3
caracteriza a contribuição da
região da esteira em torno do cilindro. A fig. 6.6 mostra a correlação entre a Eq. (6.55) e os
dados experimentais de vários pesquisadores para diferentes fluidos.
Uma correlação mais elaborada, porém mais geral, é dada por Churchill e Bernstein
para o coeficiente de transferência de calor médio hm no escoamento em torno de um
cilindro isolado aplicável para 102
< Re < 107
e Pe = Re.* Pr > 0,2.
(((( ))))[[[[ ]]]]
5/48/5
4/13/2
3/12/1
m
000.282
Re
1
Pr/4,01
PrRe62,0
3,0Nu














++++
++++
++++==== (6.56)
A Eq. (6.56) prevê muitos dados com desvio para menos de cerca de 20% na faixa
de 20.000 < Re < 400.000. Por isso, nesta faixa particular do número de Reynolds,
recomenda-se a seguinte forma modificada da Eq. (6.56):
(((( ))))[[[[ ]]]] 













++++
++++
++++====
2/1
4/13/2
3/12/1
m
000.282
Re
1
Pr/4,01
PrRe62,0
3,0Nu (6.57)
para 20.000 < Re < 400.000.
Nas Eqs. (6.56) e (6.57), todas as propriedades são estimadas na temperatura
pelicular. As Eqs. (6.56) e (6.57), foram desenvolvidas fazendo-se a correlação entre os

dados experimentais de muitos pesquisadores, incluindo fluidos, como o ar, a água e o
sódio líquido, com temperatura constante na parede e também com fluxo de calor constante
na parede.
Para o domínio do número de Péclét menor do que 0,2, Nakai e Okazaki
propuseram a correlação
12/1
m )Peln8237,0(Nu −−−−
−−−−==== com Pe < 0.2 (6.58)
As propriedades devem ser estimadas na temperatura películar.
6.3) ESCOAMENTO EM TORNO DE UMA ESFERA ISOLADA
As características do escoamento em torno de uma esfera são semelhantes às dos
escoamentos apresentados na fig (8.3) no caso de um cilindro isolado. Por isso, a
dependência entre o coeficiente de arraste, ou o coeficiente de transferência de calor, e o
número de Reynolds deve ter, no caso de uma esfera, a mesma forma que no caso de
cilindro único.
6.3.1) Coeficiente de arraste
Se F for a força total de arraste devida ao escoamento em torno de uma esfera isolada, o
coeficiente médio de arraste cD é definido pela relação
2
u
c
A
F 2
D
∞∞∞∞
====
ρρρρ
(6.59)
onde A é a área frontal (isto é, A = 4/D2
ππππ ) e ∞∞∞∞u é a velocidade da corrente livre.
Notamos que F/A é a força de arraste por unidade de área frontal da esfera.
Fig. 6.7. Coeficiente de arraste no escoamento em torno de uma única esfera.
A fig. 6.7 apresenta o coeficiente médio de arraste cD no escoamento em torno de uma
esfera única. A comparação entre as curvas do coeficiente de arraste nas Fig. 6.4 e 6.7, para

um cilindro isolado, e para uma esfera isolada respectivamente, revela que as duas curvas
tem características gerais semelhantes.
No escoamento de gases em torno de uma única esfera, Mc Adams recomenda a correlação
simples
6,0m
m Re37,0
k
Dh
Nu ======== para 17 < Re < 70.000 (6.60)
onde hm é o coeficiente de transferência de calor médio sobre a superfície inteira da esfera.
As propriedades estão calculadas em ( wTT ++++∞∞∞∞ )/2.
Uma correlação mais geral para o escoamento dos gases e de líquidos em torno de uma
esfera única foi apresentada por Whitaker na forma
25,0
w
4,03/25,0
m Pr)Re06,0Re4,0(2Nu 





++++++++==== ∞∞∞∞
µµµµ
µµµµ
(6.61)
que é válida nos domínios e as propriedades físicas são estimadas na temperatura de
corrente livre, exceto
3,5 < Re < 8 x 104
0,7 < Pr < 380
1 <
wµµµµ
µµµµ∞∞∞∞
< 3,2
wµµµµ que é estimada na temperatura da parede. Com os gases, a correção de viscosidade é
desprezível, e as propriedades físicas são estimadas na temperatura pelicular.
A Eq. 6.61, para uma esfera, e a Eq. 6.55 para um cilindro, tem a mesma
dependência funcional entre o número de Nusselt e o número de Reynolds, exceto quanto a
constante 2. Na Eq. 6.61. À medida que Re →→→→ 0 ( isto é, o escoamento se anula), a Eq
6.61 admite um valor limite Nu = 2, que representa a condução de calor estacionária de
uma esfera, a uma temperatura uniforme, para o meio infinito que a rodeia.

Fig. 6.8 Número de Nusselt no escoamento em torno de uma esfera única.
A fig. 6.8 mostra a correlação entre a Eq. (6.61) e os dados experimentais para o ar, a água
e o óleo. A Eq. 6.61 representa razoavelmente bem os dados.
6.4) ESCOAMENTO ATRAVÉS DE FEIXES DE TUBOS
A transferência de calor e a perda de carga característica de feixes de tubos têm
numerosas aplicações no projeto de trocadores de calor e de equipamento industrial de
transferência de calor. Por exemplo, um tipo comum de trocador de calor consiste num
feixe de tubos com um fluido passando dentro dos tubos e outro passando transversalmente
em torno dos tubos. Os arranjos de feixes de tubos utilizados mais freqüentemente incluem
os arranjos alinhado e alternado, ilustrados na Fig. 6.8 a e b, respectivamente. A geometria
dos feixes de tubos é caracterizada pelo passo transversal ST e pelo passo longitudinal SL
entre os centros dos tubos; o passo diagonal SD, entre os centros dos tubos, no sentido
diagonal, é utilizado muitas vezes no caso do arranjo alternado. Para definir o número de
Reynolds no escoamento através de um feixe de tubos, a velocidade do escoamento é
baseada na área mínima de escoamento livre disponível para o escoamento, quer a área
mínima ocorra entre os tubos em uma linha transversal quer em uma linha diagonal. Então,
o número de Reynolds no escoamento num feixe de tubos é definido por
µµµµ
máxDG
Re ==== (6.62)
Gmáx = ρumáx = velocidade máxima da vazão mássica (6.63)
é a vazão mássica por unidade de área, onde a velocidade do escoamento for máxima, e D é
o diâmetro externo do tubo, ρ é a densidade, e umáx é a velocidade máxima baseada na área
mínima de escoamento livre disponível no escoamento do fluido. Se ∞∞∞∞u for a velocidade
do fluido medida em um ponto do trocador de calor antes de o fluido entrar no feixe de
tubos (ou a velocidade do escoamento baseada no escoamento no interior do casco do

trocador sem os tubos), então a velocidade máxima do escoamento umáx, no arranjo
alinhado da Fig. 8.l0a, é determinada por
1/
/
−
=
−
= ∞∞
DS
DS
u
DS
S
uu
T
T
T
T
máx (6.64)
onde ST é o passo transversal e D é o diâmetro externo do tubo. Evidentemente, no arranjo
alinhado, ST -D é a área de escoamento livre mínima entre os tubos adjacentes em uma fila
transversal, por unidade de comprimento do tubo.
Fig. 6.9 Definiçãodos passos longitudinal, transversal e diagonal nos arranjos de feixes de tubos alinhados
e alternados; (a) arranjo alinhado; (b) arranjo alternado.
No arranjo alternado da Fig. 6.9 b, a área de escoamento livre mínima pode ocorrer
entre tubos adjacentes numa fila transversal ou numa linha diagonal. No primeiro caso,
determina-se umáx como se ensinou acima; no último caso, faz-se:
( ) 1/
/
2
1
2 −
=
−
= ∞∞
DS
DS
u
DS
S
uu
D
T
D
T
máx (6.65)
A velocidade máxima da vazão mássica Gmáx, definida pela Eq. (6.63), também
pode ser calculada a partir de
Gmáx =
mínA
M
(6.66)
onde M = vazão mássica total do escoamento através do feixe, em quilogramas por segundo
e Amín= área total mínima de escoamento livre.
Os padrões do escoamento através de um feixe de tubos são tão complicados que é
virtualmente impossível prever, mediante análise, a transferência de calor e a perda de
carga no escoamento através de feixes de tubos. Por isso, o método experimental é a única
alternativa, e dispomos de grande riqueza de dados experimentais na literatura.
As pesquisas experimentais indicam que nos feixes de tubos com mais do que cerca
de N = 10 a 20 filas de tubos na direção do escoamento, com o comprimento do tubo
grande em comparação com o diâmetro do tubo, os efeitos da entrada, da saída e das bordas

são desprezíveis. Nesses casos, o número de Nusselt do escoamento através do feixe
depende dos seguintes parâmetros:
Re Pr SL/D ST/D
e do arranjo geométrico dos tubos, isto é, se os tubos estão alinhados ou alternados.
7) SISTEMAS COM CONDUÇÃO E CONVECÇÃO – ALETAS
O calor conduzido através de um corpo deve ser freqüentemente removido (ou
fornecido) por algum processo de convecção. Por exemplo, o calor perdido por condução
através de um forno deve ser dissipado para o ambiente por convecção. Em aplicações de
trocadores de calor, um arranjo de tubos aletados pode ser empregado para a remoção de
calor de um líquido quente. A transferência de calor do líquido para o tubo aletado é por
convecção. O calor é conduzido através do material e finalmente dissipado no ambiente por
convecção. Obviamente, uma análise dos sistemas que combinam condução e convecção é
muito importante do ponto de vista prático.
Parte desta análise dos sistemas que combinam condução e convecção será feita no
capítulo que trata de trocadores de calor. Aqui serão examinados alguns problemas simples
de superfícies protuberantes. Considere a aleta unidimensional exposta a um fluido cuja
temperatura é T∞, como mostrado na Fig.2-9. A temperatura da base da aleta é To. Para o
estudo deste problema devemos fazer um balanço de energia sobre o elemento da aleta de
espessura dx, como mostrado na figura. Assim
Fig. 7.1 Aleta retangular
Energia entrando pela face esquerda = energia saindo pela face direita
+ energia perdida por convecção
A equação que define o coeficiente de calor por convecção é
q = hA(Tp - T∞,) 7.1
onde a área nesta equação é a área da superfície que troca calor por convecção. Seja A a
área transversal da aleta e P o seu perímetro.

Portanto, as quantidades de energia são
Energia entrando pela face esquerda:
dx
dT
kAqx −=
Energia saindo pela face direita 





+−=

−=
+
+ dx
dx
Td
dx
dT
kA
dx
dT
kAq
dxx
dxx 2
2
Energia perdida por convecção ( )∞−= TThPdxq
A área diferencial para a convecção é o produto do perímetro da aleta pelo
comprimento diferencial dx. Quando combinamos estas quantidades, o balanço de energia
fica
( ) 02
2
=−− ∞TT
kA
hP
dx
Td
Este resultado é escrito mais compactamente na forma
0)(
)( 2
2
2
=− xm
dx
xd
θ
θ
7.2
onde
m2
= hP/(Ak) θ(x) = T(x) - T∞
A Eq. 7.2 é a equação unidimensional da aleta para aletas com seção transversal
uniforme. A solução desta equação diferencial ordinária sujeita às condições de contorno
apropriadas nas extremidades da aleta dá a distribuição de temperatura na aleta. Uma vez
conhecida a distribuição de temperatura, o fluxo de calor através da aleta é facilmente
determinado.
A Eq. 7.2 é uma equação diferencial ordinária, linear homogênea, de segunda
ordem, com coeficientes constantes. Sua solução geral pode ser da forma
θ(x) = C1e-mx
+ C2emx
7.3
onde as constantes são determinadas a partir das duas condições de contorno especificadas
no problema da aleta. A solução da Eq. 7.3 é a mais conveniente para utilizar na resolução
da equação da aleta 7.2, no caso de uma aleta longa.
Relembrando que o seno hiperbólico e o co-seno hiperbólico podem ser construídos
pela combinação de e-mx
e emx
, é possível exprimir a solução 2.31 nas seguintes formas
alternativas
θ(x) = C1cosh mx + C2senh mx 7.4a
θ(x) = C1cosh m(L – x) + C2senh m(L – x) 7.4b
A solução dada pelas Eq. 7.4 é mais conveniente para analisar aletas de comprimento finito.
A distribuição de temperatura θ(x) numa aleta com seção reta uniforme pode ser
determinada a partir da Eq. 7.3 ou da Eq. 7.4, se as constantes de integração C1 e C2 forem
determinadas pelas duas condições de contorno do problema, uma na base da aleta e a outra
no topo da aleta. Ordinariamente, a temperatura na base x= 0 é conhecida, isto é
θ(0) = To - T∞ = θ o 7.5

onde To é a temperatura na base da aleta. Diversas situações físicas diferentes são possíveis
no topo da aleta x = L; pode ser considerada qualquer das três seguintes condições:
Caso 1. A aleta é muito longa e a temperatura da extremidade da aleta é
essencialmente a mesma do fluido ambiente.
Caso 2. A extremidade da aleta é isolada ou perda de calor desprezível na ponta, e,
assim dT/dx = 0
Caso 3 A aleta tem comprimento finito e perde calor por convecção pela sua
extremidade.
7.1) Aletas longas
Numa aleta suficientemente longa, é razoável admitir que a temperatura na ponta da aleta
se aproxima da temperatura T∞ do fluido que a rodeia. Com esta admissão, a formulação
matemática do problema das aletas é
0)(
)( 2
2
2
=− xm
dx
xd
θ
θ
em x > 0 7.6a
θ(x) = To - T∞ ≡ θo em x = 0 7.6b
θ(x) → 0 em x → ∞ 7.6c
onde m2
= Ph/Ak. A solução é obtida na forma da Eq. 7.3
θ(x) = C1e-mx
+ C2emx
7.7
A condição de contorno 7.6c exige que C2 = 0, e a aplicação da condição de contorno 7.6b
dá C1 = θo. Então, a resolução se torna
( ) ( ) mx
oo
e
TT
TxTx −
∞
∞
=
−
−
=
θ
θ
7.8
que é a solução mais simples do problema da aleta.
Agora, uma vez que a distribuição de temperatura é conhecida, o fluxo de calor
através da aleta é determinado calculando-se o fluxo de calor condutivo na base da aleta de
acordo com a equação
( )
0=


−=
xdx
xd
AkQ
θ
7.9
Derivando-se a Eq. 7.8 em função de θ(x) e substituindo o resultado na Eq.7.9, obtém-se
PhkAmAkQ oo θθ == 7.10
uma vez que )/(kAPhm =
7.2) Aletas com perda de calor desprezível na ponta

A área de transferência de calor na ponta da aleta é em geral muito pequena diante
da área lateral da aleta para a transferência de calor. Nesta situação, a perda de calor na
ponta da aleta é desprezível em comparação com a perda pelas superfícies laterais, e a
condição de contorno na ponta da aleta, que caracteriza essa situação, é dθ/dx = 0 em x =
L. Dessa forma, a formulação matemática do problema da aleta se torna
0)(
)( 2
2
2
=− xm
dx
xd
θ
θ
em Lx ≤≤0 7.11a
θ(x) = To - T∞ ≡ θo em x = 0 7.11b
( ) 0=
dx
xdθ
em x = L 7.11c
Escolhemos a solução na forma da Eq. 7.4b
θ(x) = C1 cosh m(L – x) + C2 senh m(L – x) 7.12
A razão desta escolha está em que a solução 7.12 tem uma forma na qual uma das
constantes de integração é imediatamente eliminada pela aplicação de uma das condições
de contorno. De fato, a condição de contorno (7.11c) exige que C2 = 0; então, a aplicação
da condição de contorno (7.11b) dá C1 = θo/cosh mL, e a solução se torna
( ) ( )
ml
xLm
TT
TxTx
oo cosh
)(cosh −
=
−
−
=
∞
∞
θ
θ
7.13
A taxa de fluxo de Q através da aleta é agora determinada introduzindo-se a solução
Eq 7.13 na Eq 7.9. Assim, obtemos
Q = Akθom tg mL = mLtgPhkAoθ 7.14
7.3) Aletas com convecção na ponta
Uma condição de contorno na ponta da aleta, fisicamente mais realista, é a que
inclui transferência de calor por convecção entre a ponta e o fluido ambiente. Então, a
formulação matemática do problema da condução de calor se torna
0)(
)( 2
2
2
=− xm
dx
xd
θ
θ
em Lx ≤≤0 7.15a
θ(x) = To - T∞ ≡ θo em x = 0 7.15b
0)(
)(
=+ xh
dx
xd
k eθ
θ
em x = L 7.15c
onde k é a condutividade térmica da aleta e he é o coeficiente de transferência de calor entre
a ponta da aleta e o fluido ambiente.
A solução é escolhida na forma da Eq. 7.4b

θ(x) = C1 cosh m(L – x) + C2 senh m(L – x) 7.16
A aplicação das condições de contorno 7.15b e 7.15c, respectivamente, nos dá
θo = C1 cosh mL + C2 senh mL 7.17a
e -k C2m + he C1 = 0 7.17b
uma vez que
( )
senhmLmkhmL
xLsenhmmkhxLm
TT
TxTx
e
e
oLxo )/(cosh
)()/()(cosh)(
+
−+−
=
−
−
=
∞
∞
=
θ
θ
7.18
A taxa do fluxo de calor através da aleta é obtida quando introduzimos este resultado na Eq.
7.9. Então, vem






+
+
=
senhmLmkhmL
mLmkhsenhmL
PhkAq
e
e
o
)/(cosh
cosh)/(
θ 7.19
7.4) EFICIÊNCIA DA ALETA
Na análise precedente, consideramos somente aletas de seção reta uniforme. Em
numerosas aplicações, são utilizadas aletas de seção reta variável. A determinação da
distribuição de temperatura, e daí do fluxo de calor nestes casos é bastante complicada, e
fica além do objetivo desse curso. Entretanto, a análise de transferência de calor foi
realizada com uma grande diversidade de geometrias de aletas, e os resultados foram
apresentados em termos de um parâmetro chamado eficiência da aleta η definido pela
relação entre a transferência real de calor através da aleta e transferência ideal de calor
através de uma aleta, se toda a superfície da aleta estivesse à temperatura To da base da
aleta
ideal
aleta
Q
Q
=η 7.20
Aqui, Qideal é dado por
ofideal haQ θ=
7.21a
onde, af = área de superfície da aleta
h = coeficiente de transferência de calor
θo = To - T∞
Portanto, se a eficiência da aleta η for conhecida, a transferência de calor Q através da aleta
é denominada pela relação
ofidealaleta haQQ θηη == 7.21b

As gráficos 7.1 e 7.2 mostram a efeciência da aleta num gráfico em função do
parâmetro )/(2 kthL com geometrias típicas de aletas. O gráfico 7.1 mostra a eficiência
de aletas axiais em que a espessura da aleta varia com a distância x em relação à base da
aleta, onde a espessura é t. O gráfico 7.2 é a eficiência de aletas em forma de disco circular
de espessura constante.
Nas aplicações práticas, uma superfície aletada, no que se refere à trasferência de
calor, é composta pelas superfícies das aletas e pela fração lisa. A transferência de calor,
Qtotal, desta superfície é obtida somando-se a transferência de calor através das aletas com a
da fração lisa
Qtotal = Qaleta + Qfração lisa = ηafhθo + (a – af)hθo 7.22
Onde a = área total de transferência de calor (isto é, superfícies das aletas + superfície
lisa)
af = área de transferência de calor das aletas.
A equação pode ser escrita mais compactamente como
( )[ ] oototal ahahQ θηθβηβ ′≡−+= 1 7.23
onde
=−+≡′ ββηη 1 rendimento da aleta ponderada pela área
a
af
=β
Embora a colocação de aletas numa superfície aumente a área da superfície de
transferência de calor, aumenta também a resistência térmica sobre a fração da superfície
onde as aletas foram fixadas. Por isso, podem haver situações em que a colocação de aletas
não aumenta a transferência de calor. Como guia prático a razão Pk/(Ah) deve ser muito
maior que a unidade, para justificar o emprego de aletas. No caso de aletas em forma de
placas, por exemplo, P/A ≅ 2/t; então Pk/(Ah) se torna [2(k/t]h, implicando que a
condutância interna da aleta deve ser muito maior que o coeficiente de transferência de
calor para que as aletas aumentem a taxa de transferência de calor

8) TROCADORES DE CALOR
Os trocadores de calor são equipamentos que facilitam a transferência de calor entre
dois ou mais fluidos em temperaturas diferentes. Foram desenvolvidos muitos tipos de
trocadores de calor para emprego em diversos níveis de complicação tecnológica e de porte,
como usinas elétricas a vapor, usinas de processamento químico, aquecimento e
condicionamento de ar em edifícios, refrigeradores domésticos, radiadores de automóveis,
radiadores de veículos espaciais, etc. Nos tipos comuns, como os trocadores de calor de
casco e tubos e os radiadores de automóveis, a transferência de calor se processa
principalmente por condução e convecção, de um fluido quente para um fluido frio,
separados por uma parede metálica. Nas caldeiras e nos condensadores, a transferência de
calor por ebulição e por condensação é de primordial importância. Em certos tipos de
trocadores de calor, como as torres de resfriamento, o fluido quente (por exemplo, a água) é
resfriado por mistura direta com o fluido frio (por exemplo, o ar): isto é, a água nebulizada,
ou que cai numa corrente induzida de ar, é resfriada por convecção e por vaporização. Nos
radiadores para aplicações espaciais, o calor residual do fluido refrigerante é transportado
por convecção e condução para a superfície de uma aleta e daí, por radiação térmica, para o
vácuo.
O projeto de trocadores de calor é assunto complicado. A transferência de calor e a
perda de carga, o dimensionamento e a avaliação do desempenho, os aspectos econômicos
têm papéis importantes no projeto final. Por exemplo, embora sejam muito importantes as
considerações de custo nas aplicações de grande porte como usinas de eletricidade e de
processamento químico, as considerações de peso e de dimensões são o fator dominante na
escolha do projeto para aplicações espaciais ou aeronáuticas. Um tratamento completo dos
trocadores de calor está fora, portanto, das finalidades deste polígrafo.
Neste capítulo nós discutiremos a classificação dos trocadores de calor, a
determinação do coeficiente de transferência de calor global, a diferença de temperatura
média logarítmica e os métodos de cálculo e do dimensionamento dos trocadores de calor.
8.1) CLASSIFICAÇÃO DOS TROCADORES DE CALOR
Os trocadores de calor são feitos em tantos tamanhos, tipos, configurações e
disposições de escoamento que uma classificação, mesmo arbitrária, é necessária para o seu
estudo. Fraas e Ozisik, Walker, e Kakaç, Shah e Bergles classificam os trocadores de calor.
Na discussão seguinte consideramos as classificações de acordo com (1) o processo de
transferência, (2) a compacticidade, (3) o tipo de construção, (4) a disposição das correntes,
e (5) o mecanismo da transferência de calor.
8.1.1) Classificação pelo processo de transferência
Os trocadores de calor podem ser classificados como de contato direto e de contato
indireto. No tipo de contato direto, a transferência de calor ocorre entre dois fluidos
imiscíveis, como um gás e um líquido, que entram em contato direto. As torres de
resfriamento, condensadores com nebulização para vapor de água e outros vapores,
utilizando pulverizadores de água, são exemplos típicos de trocadores por contato direto.

Fig. 8.1 Secção através de uma torre de resfriamento com convecção natural e com “recheio” para aumentar a área
efetiva da superfície das gotículas de água mediante múltipla subdivisão.
As torres de resfriamento são largamente empregadas para dispor do rejeito térmico
dos processos industriais, lançando o calor na atmosfera, e não em um rio ou lago ou no
oceano. Os tipos mais comuns incluem as torres de resfriamento com tiragem natural e as
torres com tiragem forçada. No tipo com tiragem natural, mostrado na Fig. 8.1, pulveriza-se
a água na corrente de ar que ascende através da torre por convecção térmica. As gotículas
cadentes de água são resfriadas pela convecção ordinária e peia evaporação da água. O
recheio ou enchimento dentro da torre reduz a velocidade média de queda das gotículas e
aumenta o tempo de exposição das gotículas à corrente de ar que as resfria, enquanto caem
através da torre. Grandes torres de resfriamento de tiragem natural, com mais de 100 metros
de altura, foram construídas para resfriar o despejo térmico das usinas de força. Numa torre
de resfriamento com tiragem forçada, a água é pulverizada na corrente de ar que circula
através da torre, impulsionada por um ventilador que pode ser montado no alto da torre, e
aspira o ar para cima, ou do lado de fora da base, de modo a impelir o ar para a torre. A Fig.
8.2 mostra uma secção através de uma torre de resfriamento com tiragem forçada e
induzida por um ventilador. A circulação intensificada do ar aumenta a capacidade de
transferência de calor da torre de resfriamento.
Nos trocadores de calor de contato indireto, como os radiadores de automóveis, os
fluidos quente e frio estão separados por uma superfície impermeável, e recebem o nome de
trocadores de calor de superfície. Não há mistura dos dois fluidos.
8.1.2) Classificação de acordo com a compacticidade

A definição de compacticidade é tema bastante arbitrário. A razão entre a área da
superfície de transferência de calor, num dos lados do trocador de calor, e o volume pode
ser empregada como medida da compacticidade do trocador de calor. Um trocador de calor
com densidade de área superficial, em um dos lados, maior do que cerca de 700 m2
/m3
é
classificado, arbitrariamente, como trocador calor compacto, independentemente de seu
projeto estrutural. Por exemplo, os radiadores de automóvel, com uma densidade de área
superficial da ordem de 1.100 m2
/m3
, e os trocadores de calor de cerâmica vítrea, de certos
motores a turbina de gás, que têm uma densidade de área superficial da ordem de 6.600
m2
/m3
, são trocadores de calor compactos. Os pulmões humanos, com uma densidade de
área da ordem de 20.000 m2
/m3
, são os trocadores de calor e de massa mais compactos. O
miolo do regenerador do motor Stirling, de finíssima estrutura, tem uma densidade de área
que se aproxima da densidade de área do pulmão humano.
Fig. 8.2 Torre de resfriamento com tiragem forçada e induzida por um ventilador
No outro extremo da escala de compacticidade, os trocadores do tipo tubular plano e
os do tipo casco e tubos tem densidade da área superficial na faixe de 70 a 500 m2
/m3
, e não
são considerados compactos.

Fig.7. 3 Radiador de automóvel
O incentivo para se utilizar trocadores de calor compactos está em que um alto valor
da compacticidade reduz o volume do trocador de calor para um desempenho especificado.
Quando os trocadores de calor se destinam a automóveis, a motores marítimos, a aviões ou
a veículos aeroespaciais, a sistemas criogênicos, a aparelhos de refrigeração ou de
condicionamento de ar, o peso e o volume - portanto, a compacticidade - são importantes.
Para aumentar a eficiência ou a compacticidade dos trocadores de calor, empregam-se
aletas. Num trocador de calor de gás para líquido, por exemplo, o coeficiente de
transferência de calor do lado do gás é uma ordem de grandeza mais baixa do que do lado
do líquido. Por isso, usam-se aletas no lado do gás para se ter um projeto equilibrado; a
superfície de transferência de calor do lado do gás torna-se muito mais compacta. A Fig.
8.3 mostra um radiador de automóvel típico.
8.1.3) Classificação pelo tipo de construção
Os trocadores de calor também podem ser classificados de acordo com as
características construtivas. Por exemplo, existem trocadores tubulares, de placa, de placa
aletada, de tubo aletado e regenerativos.
8.1.3.1) Trocadores de calor tubulares.
Os trocadores de calor tubulares são amplamente usados e fabricados cm muitos
tamanhos, com muitos arranjos de escoamento e em diversos tipos. Podem operar em um
extenso domínio de pressões e de temperaturas. A facilidade de fabricação e o custo
relativamente baixo constituem a principal razão para seu emprego disseminado nas

aplicações de engenharia. Um modelo comumente empregado, o trocador de casco e tubos,
consiste em tubos cilíndricos montados em um casco cilíndrico, com os eixos paralelos ao
eixo do casco. A Fig. 8.4 ilustra as principais partes de um trocador que tem um fluido
correndo no interior dos tubos e outro fluido correndo externamente aos tubos. Os
principais componentes deste tipo de trocador de calor são o feixe de tubos, o casco, os
cabeçotes e as chicanas. As chicanas sustentam os tubos, dirigem a corrente do fluido na
direção normal aos tubos e aumentam a turbulência do fluido no casco. Há vários tipos de
chicanas, e a escolha do tipo de chicana, da geometria e do espaçamento depende da vazão,
da perda de carga permitida no lado do casco, das exigências da sustentação dos tubos e das
vibrações induzidas pelo escoamento. São disponíveis muitas variações do trocador de
casco e tubos, as diferenças estão no arranjo das correntes do escoamento e nos detalhes de
construção. Discutiremos esse assunto mais tarde, juntamente com a classificação dos
trocadores de calor segundo o arranjo do escoamento.
Fig. 8.4 Trocador de calor de casco e tubo; um passe no casco e um passe no tubo.
Quanto à espécie dos fluidos, podemos ter líquido para líquido, líquido para gás ou
gás para gás. Os trocadores do tipo líquido para líquido são os de aplicação mais comum.
Ambos os fluidos são bombeados através do trocador; a transferência de calor no lado dos
tubos, e no lado do casco, ocorre por convecção forçada. Uma vez que o coeficiente de
transferência de calor é alto com o fluxo do líquido, não há geralmente necessidade de
aletas.
A disposição líquido para gás também é comumente empregada; nestes casos,
usam-se em geral aletas no lado do tubo em que flui o gás, onde o coeficiente de
transferência de calor é baixo.
Os trocadores do tipo gás para gás são adotados nos exaustores de gás e nos
recuperadores de pré aquecimento do ar nos sistemas de turbinas de gás, nos sistemas
criogênicos de liquefação de gás, e nos fornos de aço. Geralmente se empregam aletas
internas e externas nos tubos, para intensificar a transferência de calor.
8.1.3.2) Trocadores de calor de placa. Como o nome indica, os trocadores de calor são
geralmente construídos de placas delgadas. As placas podem ser lisas ou onduladas. Já que
a geometria da placa não pode suportar pressões ou diferenças de temperaturas tão altas
quanto um tubo cilíndrico, são ordinariamente projetados para temperaturas ou pressões
moderadas. A compacticidade nos trocadores de placa se situa entre 120 e 230 m2
/m3
.
8.1.3.3) Trocadores de calor de placa aletada. O fator de compacticidade pode ser
aumentado significativamente(até cerca de 6.000 m2
/m3
) com os trocadores de calor de

placa aletada. A Fig. 8.5 ilustra configurações típicas de placas aletadas. As aletas planas
ou onduladas são separadas por chapas planas. Correntes cruzadas, contracorrente, ou
correntes paralelas são arranjos que podem ser obtidos com facilidade mediante a
orientação conveniente das aletas em cada lado da placa. Os trocadores de placa aletada são
geralmente empregados nas trocas de gás para gás, porém em aplicações a baixa pressão,
que não ultrapassem cerca de 10 atm (isto é, 1.000 kPa). As temperaturas máximas de
operação estão limitadas a cerca de 800°C. Trocadores de calor de placa aletada também
são empregados em criogenia.
Fig. 8.5 Trocadores de calor de placa aletada
8.1.3.4) Trocadores de calor de tubo aletado. Quando se precisa de um trocador
que opere em alta pressão, ou de uma superfície extensa de um lado, utilizam-se os
trocadores de tubo aletado. A Fig. 8.6 ilustra duas configurações típicas, uma com tubos
cilíndricos e outra com tubos chatos. Os trocadores de tubo aletado podem ser utilizados em
um largo domínio de pressão do fluido nos tubos, não ultrapassando cerca de 30 atm, e
operam em temperaturas que vão desde as baixas, nas aplicações criogênicas, até cerca de
870°C. A densidade máxima de compacticidade é cerca de 330 m2
/m3
, menor que a dos
trocadores de placa aletada.
Os trocadores de calor de tubo aletado são empregados em turbinas de gás, em
reatores nucleares, em automóveis e aeroplanos, em bombas de calor, em refrigeração,
eletrônica, criogenia, em condicionadores de ar e muitas outras aplicações.
8.1.3.5) Trocadores de calor regenerativos. Os trocadores de calor regenerativos
podem ser ou estáticos ou dinâmicos. O tipo estático não tem partes móveis e consiste em
uma massa porosa (por exemplo, bolas, seixos, pós etc.) através da qual passam
alternadamente fluidos quentes e frios. Uma válvula alternadora regula o escoamento
periódico dos dois fluidos. Durante o escoamento do fluido quente, o calor é transferido do
fluido quente para o miolo do trocador regenerativo. Depois, o escoamento do fluido quente
é interrompido, e principia o escoamento do fluido frio. Durante a passagem do fluido frio,
transfere-se calor do miolo para o fluido frio. Os regeneradores de tipo estático podem ser
pouco compactos, para o uso em alta temperatura (900 a 1.500°C), como nos pré-
aquecedores de ar, na fabricação de coque e nos tanques de fusão de vidro. Podem, porém,
ser regeneradores compactos para uso em refrigeração, no motor Stirling, por exemplo.

Fig. 8.6 Trocadores de calor de tubo aletado
Fig. 8.7 Pré-aquecedor de ar Ljungstrom.
Nos regeneradores do tipo dinâmico, o miolo tem a forma de um tambor que gira
em torno de um eixo de modo que uma parte qualquer passa periodicamente através da
corrente quente e, em seguida, através da corrente fria. O calor armazenado no miolo
durante o contato com o gás quente é transferido para o gás frio durante o contato com a
corrente fria. O exemplo típico de regenerador rotativo é o pré-aquecedor regenerativo de ar
Ljungstrom, Fig. 8.7. Os regeneradores rotativos podem operar em temperaturas até 870°C;
miolos de cerâmica são utilizados em temperaturas mais altas. Os regeneradores rotativos
só são convenientes para a troca de calor de gás para gás, pois somente com gases a
capacidade calorífica do miolo, que transfere o calor, é muito maior do que a capacidade
calorífica do gás escoante. Não é conveniente para a transferência de calor de líquido para

líquido, pois a capacidade calorífica do miolo de transferência de calor é muito menor do
que a capacidade calorífica do líquido.
Uma vez que o miolo da transferência de calor gira, a temperatura dos gases e a da
parede dependem do espaço e do tempo; como resultado, a análise da transferência de calor
dos regeneradores é complexa, pois o fluxo periódico introduz diversas variáveis novas.
Nos trocadores de calor convencionais, estacionários, é suficiente definir as temperaturas
de entrada e de saída, as vazões, os coeficientes de transferência de calor dos dois fluidos e
as áreas superficiais dos dois lados do trocador. No trocador de calor rotativo, entretanto, é
necessário também relacionar a capacidade calorífica do rotor com a capacidade calorífica
das correntes dos fluidos, com as vazões dos fluidos e com a velocidade de rotação.
8.1.4) Classificação segundo a disposição das correntes
Existem numerosas possibilidades para a disposição do escoamento nos trocadores de calor.
Vamos resumir aqui as principais.
8.1.4.1) Correntes paralelas. Os fluidos quente e frio entram na mesma extremidade do
trocador de calor, fluem na mesma direção, e deixam juntos a outra extremidade, como está
na Fig. 7.8a.
8.1.4.2) Contracorrente. Os fluidos quente e frio entram em extremidades opostas do
trocador de calor e fluem em direções opostas, como está na Fig. 8.8b.
Fig. 8.8 (a) Correntes paralelas, (b) contracorrente, e (c) correntes cruzadas
8.1.4.3) Correntes cruzadas. No trocador com correntes cruzadas, em geral os dois fluidos
fluem perpendicularmente um ao outro, como está na Fig. 8.8c. Na disposição com
correntes cruzadas, o escoamento pode ser misturado ou não misturado, dependendo do
projeto.
A Fig. 8.9a mostra uma disposição em que ambos os fluidos, quente e frio, fluem
através de canais separados formados por ondulações; por isso, os fluidos não podem

mover-se na direção transversal. Diz-se, então, que cada corrente do fluido está não-
misturada.
A Fig. 8.9b ilustra o perfil típico de temperaturas, na saída, quando ambas as
correntes são não-misturadas, como está na Fig. 8.9a. As temperaturas de entrada de ambos
os fluidos são uniformes, mas as temperaturas de saída mostram variação transversal às
correntes.
Na disposição do escoamento da Fig 8.9c, o fluido frio flui no interior de tubos e
assim não pode se mover na direção transversal. Por isso, o fluido frio está não-misturado.
Entretanto, o fluido quente flui sobre os tubos e pode mover-se na direção transversal. Por
isso, a corrente de fluido quente está misturada. A misturação tende a tornar uniforme a
temperatura do fluido na direção transversal; por isso, a temperatura de saída de uma
corrente misturada apresenta variação desprezível na direção cruzada.
Fig. 8.9 Disposições com correntes cruzadas: (a) ambos os fluidos não-misturados; (b) perfil de
temperaturas quando ambos os fluidos estão não-misturados; (c) fluido frio não-misturado, fluido quente
misturado

Fig. 8.10 Dispositivos de escoamento de múltiplos passes: (a) um passe no casco, dois passes nos tubos; (b)
dois passes no casco, quatro passes nos tubos, e (c) três passes no casco, seis passes nos tubos
Em geral, num trocador com correntes cruzadas, são possíveis três configurações
idealizadas do escoamento: (1) ambos os fluidos estão não-misturados; (2) um fluido está
misturado, e o outro está não-misturado; e (3) ambos os fluidos estão misturados. A última
configuração não é usada comumente.
Em um trocador de casco e tubos, a presença de um grande número de chicanas serve para
"misturar" o fluido no lado do casco, conforme se discutiu acima; isto é, a temperatura
tende a se tornar uniforme em qualquer seção transversal.
Escoamento multipasse. A configuração de escoamento com passes múltiplos é
empregada freqüentemente no projeto de trocadores de calor, pois a multipassagem
intensifica a eficiência global, acima das eficiências individuais. É possível grande
variedade de configurações das correntes com passes múltiplos. A Fig 8.10 ilustra
disposições típicas. O trocador de calor da Fig. 8.10a tem "um passe no casco e dois passes
nos tubos", e recebe o nome de trocador de calor "um-dois". A Fig. 8.l0b mostra a
configuração "dois passes no casco, quatro passes nos tubos", e a Fig. 8.l0c, a configuração
"três passes no casco, seis passes no tubo".
8.1.5) Classificação pelo mecanismo de transferência de calor
As possibilidades para o mecanismo de transferência de calor incluem uma
combinação de quaisquer dois entre os seguintes:
1.Convecção forçada ou convecção livre monofásica
2. Mudança de fase (ebulição ou condensação)
3. Radiação ou convecção e radiação combinadas
Em todos os casos discutidos anteriormente, consideramos a convecção forçada monofásica
em ambos os lados do trocador de calor. Condensadores, caldeiras e radiadores de usinas de
força espaciais incluem mecanismos de condensação, de ebulição e de radiação,
respectivamente, sobre uma das superfícies do trocador de calor.

a) Condensadores. Os condensadores são utilizados em várias aplicações, como usinas de
força a vapor de água, plantas de processamento químico e usinas nucleares elétricas de
veículos espaciais. Os principais tipos incluem os condensadores de superfície, os
condensadores a jato e os condensadores evaporativos. O tipo mais comum é o condensador
de superfície, que tem a vantagem de o condensado ser devolvido à caldeira através do
sistema de alimentação de água.
Fig. 8.11 Corte Transversal de um condensador de superfície típico, de dois passes, de uma grande usina de força,
a vapor de água
A Fig. 8.11 mostra um corte através de um condensador de superfície, de dois
passes, de um grande turbina a vapor em uma usina de força. Uma vez que a pressão do
vapor, na saída da turbina, é de somente 1,0 a 2,0 polegadas de mercúrio absolutas, a
densidade do vapor é muito baixa e a vazão do fluido é extremamente grande. Para
minimizar a perda de carga, na transferência do vapor da turbina para o condensador, o
condensador é montado ordinariamente abaixo da turbina e ligado a ela. A água de
resfriamento flui horizontalmente no interior dos tubos, enquanto o vapor flui verticalmente
para baixo, entrando por uma grande abertura na parte superior, e passa transversalmente
sobre os tubos. Observe que há dispositivo de aspiração do ar frio das regiões que ficam
exatamente acima do centro do poço quente. Este dispositivo é importante, pois a presença
de gás não condensável no vapor reduz o coeficiente de transferência de calor na
condensação.
b) Caldeiras. As caldeiras a vapor de água constituem uma das primitivas aplicações dos
trocadores de calor. O termo gerador de vapor é muitas vezes aplicado às caldeiras nas
quais a fonte de calor é uma corrente de fluido quente em vez de produtos da combustão.
Uma enorme variedade de caldeiras já foi construída. Existem caldeiras em
pequenas unidades, para aquecimento doméstico, até unidades gigantescas, complexas e

caras, para as modernas usinas de força.
c) Radiadores de usinas de força espaciais. A rejeição do calor residual do condensador
de uma usina de força cuja finalidade é produzir eletricidade para o equipamento de
propulsão, de orientação ou de comunicação de um veículo espacial acarreta sérios
problemas mesmo com a usina produzindo uns poucos quilowatts de eletricidade. O único
modo com que se pode dissipar o calor residual de um veículo espacial é pela radiação
térmica, aproveitando a vantagem da relação de quarta potência entre a temperatura
absoluta da superfície e o fluxo de calor radiativo. Portanto, na operação de algumas usinas
de força de veículos espaciais, o ciclo termodinâmico se processa em temperaturas tão altas
que o radiador trabalha aquecido ao rubro. Mesmo assim, é difícil manter a dimensão do
radiador dentro de um casco razoável, nos veículos de lançamento.
8.2) DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA NOS TROCADORES DE CALOR
Nos trocadores de calor do tipo estacionário, a transferência de calor do fluido quente
para o fluido frio provoca variação da temperatura de um ou de ambos os fluidos que
passam através do trocador. A Fig. 8.12 ilustra como a temperatura do fluido varia ao longo
do percurso no trocador de calor, em alguns trocadores de calor típicos, com um passe. Em
cada instante, a distribuição de temperatura é plotada em função da distância à entrada do
fluido frio. A Fig. 8.12a, por exemplo, caracteriza um trocador de calor em contracorrente
no qual a elevação da temperatura do fluido frio é igual à queda da temperatura do fluido
quente; a diferença de temperatura ∆ T, entre o fluido quente e o fluido frio, é constante,
em todos os pontos. Entretanto, nos outros casos (Fig. 8.12b até e), a diferença de
temperatura ∆ T, entre o fluido quente e o fluido frio, varia com a posição ao longo do
percurso do fluido. A Fig. 8.12b corresponde à situação em que o fluido quente se condensa
e transfere calor para o fluido frio, fazendo com que sua temperatura se eleve ao longo do
percurso.
Na Fig. 8.12c, o líquido frio está se evaporando e resfria o fluido quente ao longo do
seu percurso.
A Fig. 8.12d mostra configuração de escoamento paralelo, na qual ambos os fluidos se
deslocam na mesma direção, com o fluido frio experimentando uma elevação de
temperatura e o fluido quente, uma queda de temperatura. A temperatura de saída do fluido
frio não pode ser mais elevada do que a do fluido quente. Por isso, a eficiência dos
trocadores de calor com escoamento paralelo é limitada. Devido a esta limitação, não são
em geral considerados para a recuperação de calor. Entretanto, uma vez que a temperatura
do metal fica aproximadamente no meio das temperaturas do fluido quente e do fluido frio,
a parede metálica permanece a uma temperatura quase uniforme.
A Fig. 8.12e mostra uma configuração em contracorrente na qual os fluidos se
deslocam em sentidos opostos. A temperatura de saída do fluido frio pode ser mais alta do
que a do fluido quente. Teoricamente, a temperatura de saída de um fluido pode aproximar-
se da temperatura de entrada do outro. Por isso, a capacidade térmica do trocador de calor
em contracorrente pode ser o dobro da capacidade do trocador de calor com escoamento
paralelo. A alta recuperação de calor e a eficiência térmica deste trocador fazem com que
seja preferível ao trocador com escoamento paralelo, sempre que as exigências do projeto
permitam tal escolha. A temperatura do metal, no trocador em contracorrente, em posição à

do trocador com escoamento paralelo, tem um gradiente significativo ao longo do percurso
no trocador.
Fig. 8.12 Distribuição axial da temperatura em trocadores de calor típicos de passe único
Nas configurações de escoamento multipasse e cruzado, a distribuição de
temperatura, no trocador de calor, exibe padrão mais complicado. Por exemplo, a Fig. 8.13
mostra a distribuição de temperatura em um trocador de calor de um passe no casco e dois
passes nos tubos. A Fig. 8.14 mostra um perfil típico de temperatura em um trocador de
calor com correntes cruzadas, quando ambos os fluidos são não-misturados.

Fig. 8.13 Distribuição axial de temperatura em um trocador de calor de um passe no casco e dois passes
no tubo.
Fig. 8.14 Distribuição de temperatura em um trocador de calor com escoamento cruzado. Ambos os
fluidos são não-misturados
Nesta configuração, os fluidos quente e frio entram no miolo do trocador de calor com
temperaturas uniformes mas, como há canais no percurso das correntes, para evitar a
mistura transversal as temperaturas não são constantes em qualquer seção transversal,
perpendicular à direção do escoamento, e as temperaturas de saída não são uniformes. Se
não houvesse canais para um dos fluidos, seria possível a sua misturação transversal ao
longo do percurso da corrente e a sua temperatura de saída tornar-se-ia aproximadamente
uniforme.

8.3) COEFICIENTE DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR GLOBAL
Na análise da transferência de calor nos trocadores de calor, várias resistências
térmicas no percurso do fluxo de calor, do fluido quente para o frio, combinam-se para
constituir um coeficiente de transferência de calor global U.
Considere que a resistência térmica total R ao fluxo de calor, através de um tubo,
entre a corrente interna e a externa, seja composta das seguintes resistências térmicas:














+














+














=
externa
dacorrente
térmica
sistência
dotubo
domaterial
térmica
sistência
erna
dacorrente
térmica
sistência
R
ReRe
int
Re
(8.1)
-e os vários termos são dados por
00
11
hAKA
t
hA
R
mii
++= (8.2)
onde Ao, Ai = áreas das superfícies externa e interna, respectivamente, m2
i
i
m
A
A
AA
A
0
0
ln
−
= = média logarítmica da área, m2
hi, ho = coeficiente de transferência de calor, da corrente interna e externa, respectivamente,
W/(m2
.°C)
k = condutividade térmica do material do tubo, W/(m .°C)
R = resistência térmica entre a corrente interna e a externa.
t = espessura do tubo, m
A resistência térmica R dada pela Eq. (8.2) pode ser expressa como um coeficiente
de transferência de calor global baseado na superfície interna ou na superfície externa do
tubo. Não importa sobre que área está baseada, desde que seja especificada na definição.
Por exemplo, o coeficiente de transferência de calor global U0, baseado na superfície
externa do tubo, é definido por:
( )( ) ( )( )
=
++
==
0000
0
/1///1/
11
hktAAhAARA
U
mii
( )( ) ( )[ ] ( )
=
++ 0000 /1/ln2/1/1/
1
hDDDkhDD iii
(8.3)
im D
D
t
D
A
A 000
ln
2
= Do – Di = 2t (8.4)
e Di e Do são os diâmetros interno e externo do tubo, respectivamente.
De modo semelhante, o coeficiente de transferência de calor global Ui, baseado na
superfície interna do tubo, é definido por:

( )( ) ( )
=
+++
==
)/1(////1
11
00
0
hAAktAAhAiR
U
imii
( )[ ] ( ) ( )
=
++ )/1(//ln2/1/1
1
000 hDDDDDkh iiii
(8.5)
Quando a espessura da parede for pequena e a condutividade térmica for alta, a
resistência do tubo pode ser desprezada e a Eq. (8.5) se reduz a
0/1/1
1
hh
U
i
i
+
= (8.5 a)
No uso dos trocadores de calor, a superfície de transferência de calor fica suja com a
acumulação de depósitos, que introduzem resistência térmica adicional ao fluxo de calor. O
efeito das incrustações é geralmente levado em conta na forma de um fator de incrustação F
com as dimensões m2
°C/W; este assunto será discutido adiante com mais detalhes.
Consideraremos agora a transferência de calor através de um tubo com incrustações
em ambas as superfícies, externa e interna. A resistência térmica R ao fluxo de calor, neste
caso, é:
000
0 11
hAA
F
KA
t
A
F
hA
R
mi
i
ii
++++= (8.6)
onde Fi e F0 são os fatores de incrustação (resistência unitária de incrustação) nas
superfícies interna e externa do tubo, respectivamente, e as outras grandezas foram
definidas previamente.
Nas aplicações de trocadores de calor, o coeficiente de transferência de calor global
é, ordinariamente, baseado na superfície externa do tubo. Então (8.6) pode ser representada
em termos do coeficiente de transferência de calor global baseado na superfície externa do
tubo como
( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) 000000
0
/1/ln2///1/
1
hFDDkDFDDhDD
U
iiiii ++++
= (8.7)
O valor do coeficiente de transferência de calor global em diferentes tipos de aplicação
varia amplamente. Intervalos típicos de U0 são os seguintes:
Trocadores de água para óleo: 60 a 350 W/(m2
. °C)
Trocadores de gás para gás: 60 a 600 W/(m2
. °C)
Condensadores de ar: 350 a 800 W/(m2
. °C)
Condensadores de amônia: 800 a 1400 W/(m2
. °C)
Condensadores de vapor de água: 1500 a 5000 W/(m2
. °C)
Fica evidente que Uo é geralmente baixo para fluidos que têm baixa condutividade térmica,
como os gases ou os óleos.
8.3.1) Fator de incrustação

Na década passada, muito esforço se fez a fim de compreender a incrustação.
Durante a operação, os trocadores ficam incrustados com depósitos de um tipo ou de outro
nas superfícies de transferência de calor. Por isso, a resistência térmica ao fluxo de calor
cresce, o que reduz a taxa de transferência de calor. O dano econômico das incrustações
pode ser atribuído:
1. Ao dispêndio mais alto de capital em virtude de unidades superdimensionadas.
2. Às perdas de energia devidas à falta de eficiência térmica.
3. Aos custos associados à limpeza periódica dos trocadores de calor.
4. À perda de produção durante o desmonte para limpeza.
l. Incrustação por precipitação, a cristalização da substância dissolvida na solução sobre a
superfície de transferência de calor.
2. Incrustação por sedimentação, o acúmulo de sólidos finamente divididos, suspensos no
fluido do processo, sobre a superfície de transferência de calor.
3. Incrustação por reação química, a formação de depósitos sobre a superfície de
transferência de calor, por reação química.
4. Incrustação por corrosão, o acúmulo de produtos de corrosão sobre a superfície de
transferência de calor.
5. Incrustação biológica, o depósito de microorganismos na superfície de transferência de
calor.
6. Incrustação por solidificação, a cristalização de um líquido puro, ou de um componente
da fase líquida, sobre a superfície de transferência de calor sub-resfriada.
Evidentemente, o mecanismo de incrustação é muito complicado, e não dispomos
ainda de técnicas confiáveis para sua previsão.
Quando um trocador de calor novo é posto em serviço, seu rendimento se deteriora
progressivamente em virtude do desenvolvimento da resistência das incrustações. A
velocidade e a temperatura das correntes parecem estar entre os fatores que afetam a taxa
de incrustação sobre uma dada superfície. O aumento da velocidade diminui a taxa de
depósito e também a quantidade final do depósito sobre a superfície. Aumentando a
temperatura do fluido como um todo, aumenta a taxa de crescimento das incrustações e o
seu nível estável terminal.

Tabela 8.1 Fator de incrustação F em equipamentos de transferência de calor
Baseada na experiência dos fabricantes, e dos usuários, a Associação dos
Fabricantes de Equipamentos Tubulares (Tubular Equipment Manufacturers Association –
TEMA) preparou tabelas de fatores de incrustação como guia nos cálculos da transferência
de calor. Apresentamos, na Tabela 8.1, alguns resultados. A incrustação é um tema muito
complicado e sua representação numa listagem simples é muito questionável. Na falta de
melhor, a lista é a única referência para se avaliar os efeitos das incrustações na redução da
transferência de calor.

8.4) O MÉTODO DTML PARA ANÁLISE DOS TROCADORES DE CALOR
Na análise térmica dos trocadores de calor, a taxa total de transferência de calor Q
através do trocador é uma quantidade de interesse primordial. Concentraremos nossa
atenção nos trocadores de calor de passe único, que têm configuração de escoamento do
tipo ilustrado na Fig. 8.15. É evidente, segundo esta figura, que a diferença de temperatura
∆ T, entre os fluidos quente e frio, não é em geral constante; varia com a distância ao longo
do trocador de calor.
Na análise da transferência de calor nos trocadores de calor, é conveniente
estabelecer uma diferença ∆ Tm, entre o fluido quente e o frio, de modo que a taxa total de
transferência de calor Q entre os fluidos possa ser determinada pela seguinte expressão
simples:
Q =AU ∆ Tm (8.8)
onde A é a área de transferência de calor total e U é o coeficiente de transferência de calor
global médio baseado nesta área.
Na análise seguinte desenvolveremos uma expressão para a diferença de
temperatura média na configuração de correntes paralelas, com um único passe, mostrado
na Fig. 8.15. O resultado obtido poderá ser aplicado em todas as configurações de
escoamento da Fig. 8.12.
Fig. 8.15 Nomenclatura para a dedução da diferença da temperatura média logarítmica
Vamos nos referir à Fig. 8.15. Façamos
A = área de transferência de calor medida a partir da entrada, m2
mc, mh = vazão mássica dos fluidos frio e quente, respectivamente, kg/h
∆ T = Th - Tc = diferença local de temperatura entre os fluidos quente e frio, °C.
U = coeficiente de transferência de calor global e local entre os dois fluidos, W/(m2 . °C.)
A taxa de transferência de calor dQ, do fluido quente para o frio, através de uma área
elementar dA, no ponto A, é dada por
DQ = U dA ∆ T (8.9)

Entretanto, dQ deve ser igual ao calor desprendido pelo fluido quente, ou absorvido pelo
fluido frio, ao passarem do ponto A para o ponto A + dA; com esta consideração,
escrevemos
dQ = -mh cph dTh (fluido quente) (8.10 a)
dQ = mc cpc dTc (fluido frio) (8.l0 b)
onde cpc e cph são os calores específicos, e dTc e dTh são as variações das temperaturas dos
fluidos frio e quente, respectivamente. Notemos que
∆ T = Th - Tc (8.11 a)
ou
d(∆ T) = dTh - dTc (8.11 b)
Combinando as Eqs. (8.10) e utilizando a Eq. 8.11 b), obtemos
d(∆ T) = -








+−=−
pccphhpccphh cmcm
dQ
cm
dQ
cm
dQ 11
(8.12)
que pode ser escrita mais compactamente como
d(∆ T) = - B dQ (8.13a)
onde
B=
pccphh cmcm
11
+ (8.13 b)
A eliminação de dQ entre as Eqs. (8.9) e (8.13 a) dá .
d(∆ T) / ∆ T = - UB dA (8.14)
A integração da Eq. (7.14) sobre o inteiro comprimento do trocador de calor dá
( )
∫∫ −=
∆
∆∆
∆
tL AT
T
UdAB
T
Td
00
( )
t
A
t
T
T A
UdA
BA
T
Td
t
L ∫
∫ −=
∆
∆∆
∆
0
0
(8.15)
onde At é a área total de transferência de calor do trocador de calor. Agora definimos o
coeficiente de transferência de calor global médio Um para o trocador de calor inteiro como
∫=
tA
t
m UdA
A
U
0
1
(8.16)

Então, a Eq. (8.15) é integrada para dar
tm
L
ABU
T
T
=
∆
∆ 0
ln (8.17)
A taxa total de transferência de calor Q, através do trocador de calor, é determinada pela
integração da Eq. (8.13 a) sobre todo o comprimento
( ) ∫∫ −=∆
∆
∆
QT
T
dQBTd
L
00
∆ T0 - ∆ TL = BQ
Q =
B
TT L∆−∆ 0
(8.18)
A eliminação de B entre as Eqs. (8.17) e (8.18) leva a
)/ln(
UAQ
0
0
mt
L
L
TT
TT
∆∆
∆−∆
= (8.19)
Nosso objetivo nessa análise era exprimir a taxa total de transferência de calor através do
trocador de calor em termos de uma diferença média de temperatura ∆ Tln na forma
Q = At Um ∆ Tln (8.20)
A comparação entre os resultados das Eqs. (8.19) e (8.20) revela que a diferença média de
temperatura ∆ Tln, entre os fluidos quente e frio, em todo o comprimento do trocador de
calor, é
)/ln( 0
0
ln
L
L
TT
TT
T
∆∆
∆−∆
=∆ (8.21)
A diferença de temperatura média ∆ Tln, definida pela Eq. (8.21), é a diferença de
temperatura média logarítmica (DTML).
Portanto, a taxa total de transferência de calor entre os fluidos quente e frio, em
todas as disposições de correntes com passe único, da Fig. 8.12, é determinada a partir de
Q = A U ∆ Tln (8.22)
onde ∆ Tln é definida pela Eq. (8.21). Observamos que, no caso especial ∆ T0 =∆ TL, a Eq.
(8.21) leva a ∆ Tln = 0/0 = indeterminado. Mas a aplicação da regra de L'Hospital mostra
que neste caso particular ∆ Tln =∆ T0=∆ TL. É interessante comparar a DTML de ∆ T0 e
∆ TL com a média aritmética:

Tab. 8.2
2
0 L
a
TT
T
∆+∆
=∆ (8.23)
Apresentamos, na Tabela 8.2, uma comparação entre as médias logarítmica e aritmética das
duas grandezas ∆ To e ∆ TL. Notamos que as médias aritmética e logarítmica são iguais
para ∆ To = ∆ TL .Quando ∆ To ≠ ∆ TL, a DTML é sempre menor do que a média
aritmética; se ∆ To não é mais do que 50% maior do que ∆ TL, A DTML pode ser
aproximada pela média aritmética dentro de cerca de 1,4%.
8.5) CORREÇÃO DA DTML EM TROCADORES COM CORRENTES CRUZADAS
E MULTIPASSE
A DTML, desenvolvida na Sec. 8.4, não se aplica à análise da transferência de calor
em trocadores de correntes cruzadas e muitos passes. As diferenças efetivas de temperatura
foram determinadas nos escoamentos de correntes cruzadas e também multipasse, mas as
expressões resultantes são muito complicadas. Por isso, nessas situações, é costume
introduzir um fator de correção F de modo que a DTML simples possa ser ajustada para
representar a diferença efetiva de temperatura corrT∆ para a disposição de correntes cruzada
e multipasse na forma
ente)contracorremTF(= lncorrT∆
onde ∆ Tln deve ser calculada nas condições de contracorrente. Especificamente, ∆ T0 e
∆ TL, que aparecem na definição da DTML dada pela Eq. (8.12), devem ser (veja Fig.
8.12b)
∆ T0 = Th,ef - Tc,af ( 8.25 a)
∆ TL = Th,af - Tc,ef (8.25 b)
onde os índices c e h se referem, respectivamente, aos fluidos frio e quente. A Fig. 8.16
mostra o fator de correção F em algumas configurações usualmente empregadas nos
trocadores de calor. Nestas figuras, a abscissa é a razão dimensional P, definida como
11
12
P
tT
tt
−
−
= (8.26 a)

onde T se refere à temperatura do lado do casco, t é a temperatura do lado dos tubos, e os
subscritos 1 e 2 se referem, respectivamente, às condições de entrada e de saída. O
parâmetro R que aparece nas curvas é definido como
oladodocascp
ladodotubop
mc
mc
tt
TT
)(
)(
R
12
21
=
−
−
= (8.26 b)
Observe que os fatores de correção, na Fig. 8.16, podem ser aplicados quer o fluido quente
esteja do lado do casco, quer do lado dos tubos.
Fig. 8.16 Fator de correção F para o cálculo de corrigidaT∆ em trocadores multipasse com correntes cruzadas. (a)
um passe no casco e dois passes nos tubos; (b) dois passes no casco e quatro passes nos tubos, ou múltiplo de quatro
passes nos tubos; (c) correntes cruzadas, um só passe, os dois fluidos sem misturação.
Em geral, F é menor do que a unidade nos arranjos de correntes cruzadas e
multipasses; é igual à unidade nos trocadores de calor em verdadeira contracorrente.

Representa o grau de afastamento da verdadeira diferença média de temperatura em relação
à DTML na contracorrente.
Na Fig. 8.16 notamos que o valor do parâmetro P se situa entre 0 e 1, e representa a
eficiência térmica do fluido do lado do tubo. O valor de R vai de zero até o infinito, com o
zero correspondendo à condensação pura do vapor no lado do casco e infinito à evaporação
no lado dos tubos.
8.6) MÉTODO ε -NUT PARA ANÁLISE DOS TROCADORES DE CALOR
O cálculo da capacidade e das dimensões dos trocadores de calor são os dois
problemas importantes da análise térmica dos trocadores de calor. O cálculo da capacidade
se refere à determinação da taxa de transferência de calor, das temperaturas de saída do
fluido, e das perdas de carga num determinado trocador de calor ou num trocador já
dimensionado; portanto, pode-se dispor da área da superfície de transferência de calor e das
dimensões dos canais de passagem das correntes. O problema do dimensionamento se
refere à determinação das dimensões do feixe de tubos para atingir as exigências da
transferência de calor e da perda de carga. Se não considerarmos a perda de carga, o cálculo
térmico envolve a determinação da taxa total de transferência de calor a um determinado
trocador de calor; e o dimensionamento envolve a determinação da superfície total de
transferência de calor necessária para atingir a taxa de transferência de calor especificada.
Se as temperaturas de entrada e de saída do fluido quente e do fluido frio, assim
como o coeficiente da transferência de calor global, forem especificadas, o método da
DTML, com ou sem a correção, pode ser empregado para resolver o problema do cálculo
térmico ou do dimensionamento.
Em algumas situações são dadas apenas as temperaturas de entrada e as vazões dos
fluidos quente e frio, e o coeficiente de transferência de calor global pode ser estimado. Em
tais casos, a temperatura média logarítmica não pode ser determinada, pois as temperaturas
de saída não são conhecidas. Por isso, o método da DTML na análise térmica dos
trocadores de calor envolverá iterações tediosas para se determinar o valor próprio da
DTML que satisfaça a exigência de o calor transferido no trocador de calor ser igual ao
calor arrastado pelo fluido.
Para ilustrar o tedioso processo de iteração envolvido nestes cálculos, consideremos
o cálculo térmico com as seguintes condições:
Dados: Propriedades físicas dos fluidos quente e frio.
Temperaturas de entrada Tc, af e Th,af
Vazões mc e mh, kg/s
Coeficiente de transferência de calor global Um
Superfície total de transferência de calor A
Carta de correção da DTML
Determinar: A taxa total de transferência de calor Q
Podem-se seguir os seguintes passos para resolver o problema:
1. Admita uma temperatura de saída, e determine P e R de acordo com as Eqs. (8.26a) e
(8.26b), respectivamente; encontre também o fator de correção F da DTML na carta.
2. Calcule ∆ Tln nas condições de escoamento em corrente.
3. Determine Q a partir de
Q = A UmF∆ Tln

4. Calcule as temperaturas de saída a partir de Q e das vazões.
5. Compare as temperaturas de saída, calculadas no passo 4, com os valores admitidos no
passo 1.
6. Se os valores admitidos e calculados das temperaturas de saída forem diferentes, repita
os cálculos até obter uma convergência especificada.
Evidentemente, estes cálculos são muito tediosos. A análise pode ser significativamente
simplificada se usarmos o método −ε NUT ou o método da efetividade, desenvolvido
originalmente por Kays e Londor.
Neste método, a efetividade ε é definida como
maxQ
Q
=ε
ε = taxa real de transferência de calor / taxa máxima possível de transferência de calor de
uma corrente para outra
A taxa máxima possível de transferência de calor Qmax é obtida num trocador em
contracorrente se a variação de temperatura do fluido que tiver o valor mínimo de mcp for
igual à diferença entre as temperaturas de entrada dos fluidos quente e frio. Consideramos
(mcp)min, porque a energia perdida por um fluido deve ser igual à recebida pelo outro fluido.
Se considerarmos (mcp)máx, então o outro fluido deve sofrer uma variação de temperatura
maior do que a maior diferença de temperatura disponível; isto é, a ∆ T do outro fluido
seria maior do que Th,af – Tc,af. Isto não é possível. Com esta consideração, Qmax é escolhido
como
Qmax = (mcp)min * (Th,af – Tc,af) (8.27)
Então, dados ε e Qmax , a taxa real de transferência de calor Q é
Q = ε * (mcp)min * (Th,af – Tc,af) (8.28)
Aqui, (mcp)mín é a menor entre mhcph e mccpc dos fluidos quente e frio; Th,af e Tc,af são as
temperaturas de entrada dos fluidos quente e frio, respectivamente.
Evidentemente, se a eficiência ε do trocador for conhecida, a Eq. (8.28) dá uma expressão
explícita para a determinação de Q no trocador. Vamos agora descrever a dedução da
expressão da efetividade ε .
8.6.1) Determinação de ε: A equação da efetividade depende da geometria do trocador de
calor e da disposição das correntes. Para ilustrar o procedimento geral da dedução de ε ,
consideramos novamente o escoamento em correntes paralelas da Fig. 8.15.
Da Eq. (8.28) nós escrevemos
( ) ( )afcafhmínp TTmc
Q
,, −
=ε (8.29)
A taxa real de transferéncia de calor Q é dada por
( ) ( )afcefcpccefhinhphh TTcmTTcmQ ,,,, −=−= (8.30)

A substituição da Eq. (8.30) em (8.29) dá
( )
( )afcafhmín
efhafhh
TTC
TTC
,,
,,
−
−
=ε (8.31 a)
( )
( )afcafhmín
afcefcc
TTC
TTC
,,
,,
−
−
=ε (8.31 b)
onde definimos
phhh cmC ≡ pccc cmC ≡ (8.32)
e Cmín é igual ao menor entre Ch e Cc. Agora, nosso objetivo é eliminar a razão das
temperaturas, digamos, na Eq. (8.31b). O processo é o seguinte:
Consideramos a Eq. (8.17)
ABU
T
T
m
L
=
∆
∆ 0
ln (8.33)
onde, com a disposição de escoamento paralelo, temos
afcafh TTT ,,0 −=∆ (8.34 a)
efcefhL TTT ,, −=∆ (8.34 b)
Leva-se a Eq. (8.33) para a forma exponencial, e usam-se os resultados da Eq. (8.34):
mBAU
afcafh
efcefh
e
TT
TT −
=
−
−
,,
,,
(8.35)
A Eq. (8.31) é resolvida em Th,ef:
( )afcefc
h
c
afhefh TT
C
C
TT ,,,, −−= (8.36)
Este resultado entra na Eq. (8.35) para eliminar Th,ef:
m
BAU
h
c
incinh
afcefc
e
C
C
TT
TT −
=





+
−
−
− 11
,,
,,
hc
BAU
incinh
incefc
CC
e
TT
TT m
/1
1
1
,,
,,
+
−
=
−
−
−
−
(8.37)

Este resultado entra na Eq. (8.31b) e se elimina a razão entre as temperaturas. A efetividade
ε é determinada como
hmíncmín
BAU
CCCC
e m
//
1
+
−
=
−
ε (8.38 a)
onde B é definido pela Eq. (8.13b)
ch CC
B
11
+= (8.38 b)
Evidentemente, se considerarmos uma disposição de escoamento diferente, teremos uma
expressão diferente para a efetividade.
8.6.2) Relação ε -NUT
Por conveniência, nas aplicações práticas, define-se um parâmetro adimensional, o número
de unidades de transferência (de calor) (NUT) como
mín
m
C
AU
NUTN == (8.39a)
Para simplificar a notação, adotamos a seguinte abreviação
NUT ≡ N (8.39 b)
Então, a Eq. (8.38) é escrita na forma
( )[ ]
hcmín
hcmín
CCCC
CCCCN
//
//exp1
min
min
+
+−−
=ε (8.40)
Definimos agora
máx
mín
C
C
C ≡ (8.41)
onde Cmín e Cmáx são, respectivamente, a menor e a maior das duas grandezas Ch e Cc.
Então, a Eq. (8.40) é escrita mais compactamente como
( )[ ]
C
CN
+
+−−
=
1
1exp1
ε (correntes paralelas ) (8.42)
Esta equação dá a relação entre a efetividade ε e o número de unidades de transferência de
calor N num trocador de calor com correntes paralelas, independentemente de Cmín ocorrer
no lado quente ou no lado frio.

Cálculos semelhantes podem ser feitos e as relações ε -NUT podem ser
desenvolvidas em trocadores de calor que têm outros arranjos de correntes, como
contracorrente, correntes cruzadas, passes múltiplos, etc.
Fig. 8.17 Efetividade num trocador de calor com correntes Fig. 8.18 Efetividade num
paralelas. trocador de calor
em contracorrente.
Fig. 8.19 Efetividade num trocador de calor, com correntes Fig. 8.20 Efetividade trocador de
cruzadas, ambas não misturadas. um passe no casco e dois, quatro, etc. passes nos tubos.

Fig. 8.21 Efetividade num trocador de calor de dois passes no casco e quatro, oito, doze, etc. passes nos tubos.
Nas Figs. 8.17 a 8.21 apresentamos algumas cartas de efetividade para arranjos
típicos de escoamento. Também listamos, na Tabela 8.3, algumas relações funcionais para
rápida referência.
Condensadores e caldeiras. No caso de condensadores e caldeiras, a temperatura do fluido
no lado da ebulição ou no da condensação permanece essencialmente constante.
Lembremo-nos da Eqs. (8.31) para a definição de efetividade. Se a efetividade deve
permanecer finita, Cc ou Ch, no lado em que há mudança de fase, deve comportar-se como
um calor específico infinito, pois Taf - Tef neste lado é praticamente zero. Essa exigência
implica que, numa caldeira ou num condensador, devemos ter Cmáx →°°, e, como
resultado,
0→=
máx
mín
C
C
C (7.43)
Nestas situações, as expressões da Tabela 8.3 simplificam-se para
N
e−
−= 1ε para C 0→ (7.44)
Onde N = AUm / Cmín .
7.6.3) Significado físico do NUT O significado físico do parâmetro adimensional NUT
pode ser visto como segue:
NUT =
mín
m
C
AU
(7.45)
(capacidade calorífica do trocador /capacidade calorifica das correntes)

Para um determinado valor de Um/Cmín, o NUT é uma medida da área real de
transferência de calor A, da "dimensão física" do trocador. Quanto mais alto o NUT, maior
é a dimensão física.
Um trocador em contracorrente tem o valor maior de ε para valores especificados
de NUT e de C, C = Cmín/Cmáx não tem muito efeito sobre a efetividadeε .
Um trocador em contracorrente tem o valor maior de ε para valores especificados
de NUT e de C, em comparação com os valores de outras configurações do escoamento.
Tab. 8.3 Fórmulas efetivas de trocador de calor.
Por isso, dados NUT e C, a configuração em contracorrente proporciona o melhor
desempenho na transferência de calor.
8.6.4) Emprego das relações ε-NUT
As relações ε -NUT podem ser facilmente empregadas para a resolução dos
problemas de cálculo térmico e de dimensionamento.
Problema do cálculo térmico Suponha que as temperaturas de entrada Tc,af e Th,af,
as vazões mc e mh, as propriedades físicas de ambos os fluidos, o coeficiente de

transferência de calor global Um, e a área total de transferência de calor A sejam dados. O
tipo e a configuração do escoamento do trocador são especificados. Desejamos determinar
a taxa total de fluxo de calor Q e as temperaturas de saída Th,ef e Tc,ef. Os cálculos são os
seguintes:
1. Calcule C = Cmín / Cmáx e N = NUT = UmA/Cmín a partir dos dados de entrada
especificados.
2. Sabendo N e C, determine ε a partir da carta ou da equação para a geometria e
configuração do escoamento especificado.
3. Sabendo ε, calcule a taxa total de transferência de calor Q a partir de
)( ,, afcafhmín TTCQ −= ε
4. Calcule as temperaturas de saída a partir de
Th.,ef = Th,af
hC
Q
−
c
afcefc
C
Q
TT += ,,
A discussão precedente do método ε-NUT ilustra claramente que o problema do
cálculo térmico, quando as temperaturas de saída não são dadas, pode ser resolvido
rapidamente com o método ε-NUT, mas será necessário um tedioso processo de iteração
para resolvê-lo com o método DTML, e a convergência pode não ser fácil.
Problema do dimensionamento. Suponha que sejam dados as temperaturas de
entrada e de saída, a vazão, o coeficiente de transferência de calor global e a taxa total de
transferência de calor; também a disposição do escoamento é especificada. Desejamos
determinar a superfície total de transferência de calor A.
1. Sabendo as temperaturas de entrada e de saída, calcule ε de acordo com as Eqs. (8.31).
2. Calcule C = Cmín /Cmáx .
3. Sabendo ε e C, determine NUT a partir da carta apropriada de ε-NUT.
4. Sabendo NUT, calcule a superfície de transferência de calor A segundo a Eq. (8.39a):
( )
m
mín
U
CNUT
A =
O emprego do método ε-NUT geralmente é preferido no projeto de trocadores de
calor compactos para aplicações automotivas, aeronáuticas, de condicionamento de ar e
outras aplicações industriais onde as temperaturas de entrada dos fluidos quente e frio são
especificadas e as taxas de transferência de calor devem ser determinadas. Nas indústrias de
processamento de eletricidade e petroquímicas, tanto as temperaturas de entrada como de
saída dos fluidos quente e frio são especificadas; por isso o método DTML é geralmente
empregado.

8.7) TROCADORES DE CALOR COMPACTOS
Um trocador de calor que tenha uma densidade de área superficial maior do que
cerca de 700 m2
/m3
é classificado arbitrariamente como trocador de calor compacto. Estes
trocadores de calor são geralmente empregados em aplicações com corrente gasosa. Por
esse motivo, o coeficiente de transferência de calor é baixo, e é importante a pequenez de
peso e de tamanho. São encontrados em uma grande variedade de configurações do miolo
de transferência de calor, e suas características térmicas e hidrodinâmica foram estudadas
extensamente. A Fig. 8.22 mostra miolos típicos dos trocadores de calor compactos. A Fig.
8.22a mostra um feixe de tubos com aletas circulares em cada tubo; a Fig. 8.22b mostra um
miolo de aleta de chapa placa contínua e canais formados por chapas onduladas; a Fig.
8.22c mostra um miolo de tubos chatos aletados por chapas planas contínuas.
As características de transferência de calor e de perda de carga destes equipamentos
para emprego como trocadores de calor compactos são determinadas experimentalmente.
Por exemplo, as Figs. 8.23 a 8.25 mostram transferências típicas de calor e dados do fator
de atrito nos três diferentes modelos. Note que os principais grupos adimensionais que
governam essas correlações incluem os números de Stanton, de Prandtl e de Reynolds
pGC
h
St =
K
Cp µ
=Pr
µ
hGD
=Re (8.47)
Aqui, G é a velocidade mássica, definida como
G = m / Amín
onde m = vazão mássica total do fluido (kg/s) e Amín = área transversalmente mínima do
escoamento livre (m2
), onde quer que esse mínimo ocorra.
A grandeza do diâmetro hidráulico Dh, em cada configuração, é especificado nas Figs. 8.23
a 8.25. O diâmetro hidráulico Dh é definido como
A
LA
D mín
h 4= (8.48)
onde A é a área total de transferência de calor e a grandeza LAmín pode ser considerada o
volume mínimo de passagem da corrente livre uma vez que L é o comprimento do percurso
do fluido no miolo do trocador de calor.

Fig. 8.22 Miolos típicos de trocadores de calor compactos: (a) feixe de tubos cilíndricos aletados; (b) chapa
plana aletada; (c) feixe de tubos chatos aletados.
Fig. 8.23 Transferência de calor e fator de atrito no escoamento através do feixe de tubos cilíndricos com aletas de
chapas contínuas
Portanto, uma vez conhecidas as cartas de transferência de calor e do fator de atrito
para um modelo determinado de miolo, como a da Fig. 8.23, e conhecido o número de
Reynolds do escoamento, poderão ser calculados o coeficiente de transferência de calor h e
o fator de atrito f do escoamento através do miolo. Então, o problema do cálculo da
capacidade e das dimensões poderá ser resolvido mediante o processo da DTML ou com o
método da análise da efetividade. Descreveremos agora a análise da perda de carga nos
trocadores de calor compactos.

Fig. 8.24 Transferência de calor e fator de atrito no escoamento através do feixe de tubos chatos com
aletas de chapas contínuas
Fig. 8.25 Transferência de calor e fator de atrito no escoamento através do feixe de tubos cilíndricos com
aletas individuais

A perda de carga associada ao escoamento através de um trocador de calor
compacto consiste em três componentes: o atrito no miolo, a aceleração no miolo e as
perdas de entrada e de saída.
Vamos apresentar agora a análise de perda de carga nos trocadores com aletas de
chapa contínua e de tubos com aletas.
8.7.1) Perda de carga em trocadores com aletas de chapa contínua
Considere o miolo de um trocador com aletas de chapa contínua, como está
ilustrado na Fig. 7.22b. A medida que o fluido entra nos canais, sofre quedas de pressão em
virtude da contração resultante de variações de área e da expansão livre irreversível depois
de uma contração repentina. À medida que o fluido passa através do miolo do trocador de
calor (isto é, do núcleo), sofre queda de pressão em virtude do atrito fluido. Também,
dependendo de existir aquecimento ou resfriamento, há variação de pressão em virtude de
aceleração ou de desaceleração da corrente. Finalmente, à medida que o fluido deixa o
miolo do trocador de calor, há quedas de pressão associadas à variação de área e a
separação do fluido.
Então, a perda de carga total no escoamento do fluido através do miolo do trocador
de calor é dada por:
( ) ( ) 





−−−+





−+−+=∆
0
2
0
2
2
1121
2 ρ
ρ
σ
ρ
ρ
ρ
ρ
σ
ρ
i
m
i
mín
i
c
i
Ke
A
A
fK
G
P
(8.49)
onde
frontalárea
livreescoamentodomínimaárea
A
A
fr
mín
.
....
==σ
livreescoamentodemínimaárea
calordeciatransferêndetotalárea
D
L
A
A
hmín ....
.....4
==
σ
ρρ ∞∞
==
u
A
Au
G
mín
fr
= velocidade mássica, Kg/(m2
.s)
Kc,Ke = coeficiente de contração e de expansão do escoamento, respectivamente
=0, ρρi densidade na entrada e na saída respectivamente






+=
0
11
2
11
ρρρ im
A Eq. (8.49) dá a perda de carga associada ao escoamento através do miolo do
trocador de calor. Pode-se considerar a relação também válida para o escoamento no
interior dos tubos do trocador de calor. Por isso, a perda total de carga através do trocador
de calor é igual à soma das perdas de carga do escoamento através dos tubos e no interior
dos mesmos.
Na Eq. (8.49), a perda de carga por atrito é em geral a mais importante e responde
por cerca de 90%, ou mais, da perda de carga total através do miolo. As perdas na entrada e
na saída se tornam importantes nos trocadores curtos (isto é, com pequenos L) com

pequenos valores de σ , valores grandes do número de Reynolds e com gases. Com
líquidos são desprezíveis.
8.7.2) Perda de carga em trocadores de tubos aletados
No escoamento normal a um banco de tubos aletados, fig. 8.22a, as perdas na
entrada e na saída são em geral devidas ao fator de atrito, e por isso Kc = Ke = 0. Então,
pondo Kc = Ke = 0 na Eq. (8.49), a perda de carga total no escoamento através do banco de
tubos se torna
( ) 





+





−+=∆
m
i
mín
i
i A
A
f
G
P
ρ
ρ
ρ
ρ
σ
ρ
11
2 0
2
2
aceleração da corrente atrito no miolo
8.8) OTIMIZAÇÃO DOS TROCADORES DE CALOR
Embora os projetos padrões dos trocadores de calor possam satisfazer às
necessidades da maior parte das unidades pequenas e simples, operando em temperaturas
moderadas e pressões baixas é possível que sejam necessárias unidades individualmente
projetadas, para numerosas aplicações especiais.
Os trocadores de calor são projetados para uma vasta variedade de aplicações, por
isso, os critérios de otimização dependem do tipo de aplicação. Por exemplo, os critérios de
otimização podem requerer um mínimo de peso, um mínimo de volume ou superfície
mínima de transferência de calor, custo inicial mínimo, ou custos inicial e operacional
mínimos, maior taxa de transferência de calor, perda de carga mínima para uma certa taxa
de transferência de calor, diferença média de temperatura mínima, e assim por diante.
Por isso, para efetivar um estudo de otimização, deve ser executado o projeto
térmico do trocador de calor e os cálculos devem ser repetidos para cada variável do projeto
até que o critério de otimização seja satisfeito. Já existem programas de computador para o
projeto térmico dos trocadores de calor.
Bell descreve o procedimento de um projeto auxiliado por computador, no caso do
projeto térmico de trocadores de calor de casco e tubos. Shah discute os aspectos básicos de
um projeto térmico auxiliado por computador, e o processo de otimização de trocadores de
calor compactos. Spalding ressalta os aspectos gerais de uma abordagem numérica para
determinar a dinâmica do fluido e o desempenho térmico dos trocadores de calor.
Para ilustrar a estrutura lógica básica da otimização dos trocadores de calor,
focalizaremos nossa atenção nos trocadores de calor compactos.
O primeiro passo no processo de otimização é a solução dos problemas do cálculo
da capacidade e das dimensões. O problema do cálculo da capacidade se refere à
determinação da taxa de transferência de calor, das temperaturas de saída e da perda de
carga em cada lado. Geralmente, são especificadas as seguintes grandezas nos problemas
deste cálculo: tipo do trocador de calor, geometria das superfícies, disposição das correntes,
vazões, temperaturas de entrada e dimensões totais do miolo.
O problema do dimensionamento se refere à determinação das dimensões do miolo
para se atingir a transferência de calor especificada e a perda de carga tolerada. O papel do
projetista é selecionar o tipo de construção, a disposição das correntes e a geometria das

superfícies de ambos os lados. As seguintes grandezas são em geral especificadas:
temperaturas de entrada e de saída do fluido, vazões, perdas de carga e taxa de transferência
de calor.
Shah descreve os pontos principais das grandes sub-rotinas de computador
necessárias para realizar os cálculos de dimensionamento e de desempenho térmico e
hidrodinâmico. Incluem o seguinte:
1. Especificações do projeto. As especificações completas do projeto devem ser
conhecidas, assim como a sub-rotina do computador. A informação deve incluir o tipo do
trocador de calor; a disposição das correntes; a geometria das superfícies; as condições de
operação, como temperaturas, pressões, vazões, tipos de fluidos, etc, na entrada; dimensões
totais.
2. Propriedades do fluido. As propriedades dos fluidos, como calor específico, densidade,
viscosidade, condutividade térmica e o número de Prandtl, devem ser incluídas como uma
função da temperatura na forma de correlações.
3. Geometria do miolo. A informação que caracteriza a geometria do miolo deve ser
fornecida em cada lado do trocador, incluindo a área mínima do escoamento livre, o
diâmetro hidráulico, as dimensões das aletas, necessárias para o cálculo da eficiência das
aleta, etc.
4. Relação ε -NUT. Uma vez que o método ε -NUT é utilizado no projeto térmico de
trocadores de calor compactos, devem ser fornecidas as fórmulas que definem a relação ε -
NUT. As relações devem ser suficientemente gerais para permitirem a determinação de e
quando forem conhecidas NUT e C = Cmín/ Cmax, e para calcular NUT quando ε e C forem
disponíveis.
5. Relação h e f. As características da transferência do calor e do atrito do escoamento nos
trocadores de calor compactos são geralmente dadas na forma de cartas de j e de f plotados
em função do número de Reynolds. Esses dados devem ser fornecidos na forma de
correlações.
6. Rendimento das aletas. Quando são usadas superfícies estendidas no miolo da
transferência de calor, a eficiência das aletas η e a eficiência das aletas ponderada pela área
η ' são necessárias nos cálculos de transferência de calor. Por isso devem ser dadas as
fórmulas que definem a eficiência η e a informação necessária para o cálculo de η '.
7. Relações de perda de carga. A perda de carga no escoamento através do miolo é devida
ao atrito do escoamento, à aceleração e à desaceleração resultantes da transferência de
calor, à contração e à expansão da corrente na entrada e na saída do miolo. Devem ser
dadas as relações apropriadas para o cálculo da perda de carga decorrente destas causas.
Também deve ser feita provisão para o cálculo da perda de carga nos ângulos, nas curvas,
nos distribuidores e coletores, etc.
8.8.1) Problema do cálculo da capacidade Se o problema envolve a otimização associada
à taxa de transferência de calor, ou à perda de carga, resolve-se o problema da capacidade e
calcula-se a taxa de transferência de calor, ou a perda de carga, resultante.
8.8.2) Problema de dimensionamento Se o problema envolve otimização associada às
dimensões, ao peso, ou à superfície de transferência de calor, e, portanto, ao custo, então o
problema do dimensionamento é resolvido e as dimensões do miolo e a superfície da
transferência de calor são calculadas.

8.8.3) Problema da otimização Como se discutiu antes, o critério para otimização depende
da aplicação específica. Por isso, a grandeza otimizada (isto é, maximizada ou minimizada)
deve ser estabelecida. Pode haver alguma restrição adicional. Uma variedade de técnicas
pode ser utilizada para se chegar a um projeto otimizado; qualquer que seja a técnica
adotada, cada caso envolve a resolução do problema do cálculo da capacidade e das
dimensões. Suponha que o trocador de calor deva ser otimizado para um custo total
mínimo. O problema envolve restrições explícitas, como uma área frontal fixa e intervalos
das dimensões do trocador de calor, e restrições implícitas sobre a taxa mínima de
transferência de calor ou a perda de carga. Uma vez escolhida a geometria da superfície, o
projetista tem a opção de impor restrições adicionais, como os valores máximo e mínimo da
altura da aleta, espessura da aleta, passe da aleta, condutividade térmica da aleta,
comprimento da aleta, razão do gás, etc. Então, o problema se reduz à resolução do
problema do cálculo térmico dentro dos limites das variáveis especificadas.
9) RADIAÇÃO ENTRE SUPERFÍCIES NUM MEIO INERTE
9.1) NATUREZA DA RADIAÇÃO TÉRMICA
A radiação térmica é a energia radiante emitida pelos corpos em virtude das suas
temperaturas. Todos os corpos, a uma temperatura acima do zero absoluto, emitem radiação
térmica. Considere, por exemplo, um corpo quente à temperatura Th colocado em uma
câmara de vácuo cujas paredes estão frias, à temperatura Tc, como está ilustrado na Fig.
9.1. Uma vez que o corpo quente está separado das paredes frias pelo vácuo, não é possível
a transferência condutiva ou convectiva de calor. 0 corpo quente se resfria em virtude da
troca de calor pela radiação térmica.
Outro exemplo é a transferência de energia do sol para a terra; a energia térmica
emitida do sol se propaga através do espaço e atinge a superfície da terra. 0 transporte de
energia radiante não exige um meio interveniente entre a superfície quente e fria. 0
verdadeiro mecanismo da propagação de radiação não está completamente compreendido,
mas diversas teorias foram propostas para explicar o processo. De acordo com a teoria
eletromagnética de Maxwell, a radiação é tratada como ondas eletromagnéticas, enquanto o
conceito de Max Planck trata a radiação como fótons, ou quanta, de energia. Ambos os
conceitos são utilizados para descrever a emissão e propagação de radiação. Por exemplo,
os resultados obtidos a partir da teoria eletromagnética são usados para prever as
propriedades radiantes dos materiais, enquanto os resultados do conceito de Planck são
empregados para prever a grandeza da energia radiante emitida por um corpo a uma dada
temperatura.
Quando a radiação é tratada como uma onda eletromagnética, considera-se a
radiação de um corpo, à temperatura T, como se fosse emitida em todos os comprimentos
de onda, desde 0=λ até ∞=λ . Nas temperaturas encontradas na maior parte das
aplicações de engenharia, o conjunto da energia térmica emitida por um corpo está nos
comprimentos de onda entre 1,0≅λ mµλ 100≅ . Por este motivo, a região do espectro de
comprimentos de onda entre 1,0=λ e mµλ 100= recebe geralmente o nome de radiação
térmica. 0 sol emite radiação térmica a uma temperatura efetiva superficial de cerca de
5.760 k e o conjunto desta energia está nos comprimentos de onda entre 1,0≅λ e

mµλ 3≅ ; por isso, esta região do espectro é conhecida geralmente como a radiação solar.
A radiação emitida pelo sol, nos comprimentos de onda entre λ = 0,4 e λ= 0,7 µ m é
visível para o olho; esta região do espectro é a radiação visível (isto é, a luz visível). A Fig.
9.2 ilustra essas subdivisões do espectro de ondas eletromagnéticas.
Fig. 9.1. Troca de radiação térmica
A natureza ondulatória da radiação térmica implica que o comprimento de onda λ
deve estar associado à freqüência ν da radiação. A relação entre λ e o ν é
v
c
=λ (9.1)
onde c é a velocidade de propagação no meio. Se o meio no qual a radiação se propaga for
o vácuo, a velocidade de propagação é igual à velocidade da luz, isto é,
co = 2,9979 * 108
m/s (9.2)
Utilizando esta relação entre λ e ν, incluímos na Fig. 9.2 o espectro de freqüências
correspondentes.
Fig. 9.2 Espectro típico da radiação eletromagnética devida a temperatura de um corpo.
Outros tipos de radiação, como os raios X, os raios gama, as microondas, etc., são
bem conhecidos e utilizados em vários ramos da ciência e da engenharia. Os raios X. são
produzidos pelo bombardeio de um metal com elétrons de alta freqüência, e o grosso da
energia está no domínio entre me µλλ 24
1010 −−
≅≅ . Os raios gama são produzidos pela

fissão dos núcleos, ou pela desintegração radiativa, e o grosso da energia está concentrado
no domínio de comprimentos de onda menores do que o dos raios X. Neste livro, não
vamos tratar destas radiações. Nosso interesse está concentrado na radiação térmica como
mecanismo de transporte de energia entre objetos em temperaturas diferentes.
No estudo da transferência de radiação, deve-se fazer uma distinção entre os corpos
semitransparentes à radiação e os opacos. Se o material for semitransparente à radiação,
como o vidro, os cristais incolores e os gases a temperaturas elevadas, então a radiação que
sai do corpo por suas superfícies externas é o resultado de emissões ocorrentes em todas as
profundidades dentro do material. A emissão de radiação, nestes casos, é um fenômeno
global, ou volumar. Se o material for opaco à radiação térmica, como os metais, a madeira,
as rochas, etc., a radiação emitida pelas regiões do interior do material não atinge a
superfície. Nesses casos, a radiação emitida pelo corpo tem origem no material na
vizinhança imediata da superfície (i. e., dentro de cerca de 1 µ m), e a emissão é um
fenômeno superficial. Observe-se também que o material pode comportar-se como um
meio semitransparente em certas faixas de temperatura e como opaco em outras
temperaturas. O vidro é um exemplo típico deste comportamento; é semitransparente à
radiação térmica em temperaturas elevadas ou opaco em temperaturas intermediárias ou
baixas.
9.2) RADIAÇÃO DO CORPO NEGRO
Um corpo, em qualquer temperatura acima do zero absoluto, emite radiação em todos
os comprimentos de onda, em todas as direções possíveis no espaço. O conceito de corpo
negro é uma idealização que serve para comparar as características da emissão e da
absorção dos corpos reais.
Um corpo negro absorve toda a radiação incidente vinda de todas as direções, em
todos os comprimentos de onda, sem que o corpo a reflita, transmita ou espalhe. Numa
dada temperatura, num dado comprimento de onda, nenhum outro corpo, à mesma
temperatura pode emitir mais radiação do que um corpo negro. A emissão de radiação por
um corpo negro, a qualquer temperatura T, é a emissão máxima possível nesta temperatura.
O termo negro deve ser distinguido do seu uso ordinário em relação ao negrume de uma
superfície sob observação visual. O olho humano pode detectar o negrume somente na
região visível do espectro. Por exemplo, um objeto como o gelo é brilhante ao olho mas é
quase negro para a radiação térmica de grande comprimento de onda. Entretanto, um corpo
negro é completamente negro à radiação térmica, em todos os comprimentos de onda desde
λ = 0 até ∞=λ .
A radiação é emitida por um corpo em todas as direções. É de interesse saber a
quantidade de radiação emitida por um corpo negro em uma dada direção. A quantidade
fundamental que especifica a grandeza da energia da radiação emitida por um corpo negro,
a uma temperatura absoluta T, num comprimento de onda λ, em qualquer direção dada, é a
intensidade da radiação espectral do corpo negro λbI (T). O termo espectral é utilizado para
denotar a dependência entre o comprimento de onda e a intensidade da radiação, e o índice
b se refere ao corpo negro.
A grandeza de λbI (T) para a emissão no vácuo foi determinada primeiro por Planck
e é dada por

( )[ ]{ }1/exp
2
)( 5
2
−
=
kThc
hc
TIb
λλ
λ (9.3)
onde h = 6,6256 x 10-34
J. s e k = 1,38054 x 10-23
J. K são as constantes de Planck e de
Boltzmann, respectivamente, c = 2,9979 x l08
m/s é a velocidade da luz no vácuo, T, em
kelvins, é a temperatura absoluta, e λ é o comprimento de onda. λbI (T) representa a
energia radiante emitida por um corpo negro, à temperatura T, passando através de uma
unidade de área perpendicular à direção de propagação, por unidade de comprimento de
onda em torno do comprimento de onda λ, por unidade de ângulo sólido em torno da
direção de propagação do feixe. Com base nesta definição, as unidades de λbI (T) podem
ser escritas como
Energia /(Área)(comprimento de onda)(ângulo sólido) (9.4a)
onde a área é medida perpendicularmente à direção da propagação.
1Fig. 9.3 Definição de ângulo sólido
Se a energia for medida em watts, a área em metros quadrados, o comprimento de
onda em micrômetros e o ângulo sólido em esterorradianos (sr), a Eq. (9.4a) tem a
dimensão
srmm
W
..2
µ
(9.4b)
O significado físico do ângulo sólido é mais bem visualizado se nos referirmos à Fig.
9.3. Seja Ω a direção de propagação e 0 a posição de referência. Consideremos uma
pequena área dA a um distância r de 0 e normal à direção Ω. O ângulo sólido dw
subtendido por dA, em O, é definido como
2
r
dA
dw = (9.5)

Com base nesta definição, podemos inferir facilmente que o ângulo sólido subtendido por
um hemisfério, no seu centro, é 2π (isto é, 2π r2
/r2
) e por toda a esfera no seu centro é 4π
(isto é, 4π r2
/r2
).
Na Eq. (9.3), λbI (T) é a intensidade da radiação do corpo negro, por unidade de
comprimento de onda, em torno do comprimento de onda λ. Entretanto, a radiação é
emitida em todos os comprimentos de onda. Para determinar a intensidade da radiação do
corpo negro λbI (T), emitida à temperatura T, sobre todos os comprimentos de onda,
integramos λbI (T) desde λ = 0 até ∞=λ :
( )∫
∞
=
=
0
bI)(
λ λ λdTTIb W/(m2
.sr) (9.6)
Aqui, Ib( T) é a intensidade da radiação do corpo negro.
9.2.1) Poder emissivo do corpo negro
Há interesse prático em conhecer-se a quantidade de energia radiante emitida por
unidade de área de um corpo negro, a uma temperatura absoluta T, em todas as direções de
um espaço hemisférico. Para calcular esta grandeza, consideremos uma área elementar dA à
temperatura T, como está ilustrado na Fig. 9.4a. Seja n a normal a esta superfície, θ o
ângulo polar medido a partir desta normal, e θ o azimute. A superfície emite radiação de
intensidade espectral λbI (T) em todas as direções. De acordo com esta definição, esta
intensidade, dada pela Eq. (9.3), é independente da direção. A grandeza
λbI (T)dA θcos dw (9.7)
representa a energia radiante espectral emitida pelo elemento de superfície dA, que se
propaga através do ângulo sólido elementar dw, em uma dada direção Ω. Nesta expressão,
o termo dA cosθ é a projeção de dA sobre um plano normal à direção Ω; o emprego da
área projetada é necessário pois λbI (T), por definição, está baseada na área normal à direção
de propagação.
Dividindo a Eq. (9.7) por dA, obtemos
λbI (T) θcos dw (9.8)
que representa a energia radiante espectral do corpo negro, emitida por unidade de área da
superfície, que se propaga através do ângulo sólido elementar dw em qualquer direçãoΩ.
Observe a Fig. 9.4b. Um ângulo sólido elementar dw pode ser relacionado ao ângulo polar
θ e ao azimute φ por
( )( ) θ
θφθ
sen
r
senrdrd
r
dA
dw === 22
1
dθ dφ (9.9)
Então a Eq. (9.8) se torna
λbI (T)cosθ senθ dθ dφ (9.10)

Fig. 9.4 Nomenclatura para (a) emissão de radiação por uma superfície dA; (b) definição do ângulo sólido dw em
termos de φθ , .
A radiação espectral do corpo negro, emitida por unidade de área da superfície, em todas as
direções, dentro do espaço hemisférico, é obtida pela integração da Eq. (9.10) sobre
πφ 20 ≤≤ e 0<θ
2
π
≤ .
Obtemos, λbE (T) = λbI (T) ∫∫ ==
2/
0
2
0
...cos
π
θ
π
φ
φθθθ ddsen
= π2 λbI (T) ∫ =
2/
0
..sen.cos
π
θ
θθθ d
= π2 λbI (T)
2/
0
2
sen
2
1
π
θ 



λbE (T) = π λbI (T) (9.11)
λbI (T) é o poder emissivo espectral do corpo negro. Representa a energia radiante emitida
por um corpo negro, a uma temperatura absoluta T, por unidade de área, por unidade de
tempo, por unidade de comprimento de onda em torno de λ, em todas as direções de um
espaço hemisférico. Representa realmente o fluxo de radiação espectral do corpo negro.
A função de Planck, definida pela Eq. (9.3), entra agora na Eq. (9.11). Obtemos
λbE (T) =
( )[ ]{ }1/exp 2
5
1
−Tc
c
λλ
W/(m2
. µ m) (9.12)
onde c1 = 2π hc2
= 3,743 x 108
W . µ m4
/m2
c2 = hc/k = 1,4387 x 104
µ m.K
T = temperatura absoluta, K
λ = comprimento de onda, µ m

A Eq. (9.12) pode ser usada para calcular λbE (T) para quaisquer λ e T. A Fig. 9.5 mostra o
gráfico de λbE (T) em função de λ em várias T. Notamos, a partir desta figura, que, a um
dado comprimento de onda, a radiação emitida cresce com a elevação de temperatura, e,
para uma dada temperatura, a radiação emitida varia com o comprimento de onda e
apresenta um máximo. Esses máximos tendem a se deslocar para os comprimentos de onda
menores à medida que a temperatura cresce. As posições destes máximos são dadas pela lei
do deslocamento de Wien como
( ) kmT máx ..6,2897 µλ = (9.13)
As posições dos máximos estão mostradas, na Fig. 9.5, pela linha tracejada.
Fig. 9.5 Poder emissivo espectral do corpo negro a diferentes temperaturas.
9.2.2) Lei de Stefan-Boltzmann
A energia radiante emitida por um corpo negro, a uma temperatura absoluta T, em todos os
comprimentos de onda, por unidade de tempo, por unidade de área, é determinada pela
integração da Eq. (9.12) desde λ =0 até ∞=λ :
Eb(T) =
( )[ ]{ }∫
∞
= −0
2
5
1
1/expλ
λ
λλ
d
Tc
c
A variável de integração é modificada de λ para λT ≡x:

Eb(T) =T4
[ ]{ } xd
xcx
c
x
∫
∞
= −0
2
5
1
1)/(exp
(9.14)
Esta integração pode ser realizada e o resultado é expresso como
Eb(T) =σT4
W/m2
(9.15)
onde T está em kelvins e σ é a constante de Stefan-Boltzmann, cujo valor numérico é
σ = 5,67 x 10-8
W/(m2
. K4
) (9.16)
Aqui, Eb(T) é o poder emissivo do corpo negro, e a Eq. (9.15) é a lei de Stefan-Boltzmann.
O significado físico de Eb(T) é representar o fluxo de radiação do corpo negro, emitido por
uma superfície unitária a uma temperatura absoluta T.
Pode-se determinar a relação entre Eb(T) e Ib(T) pela integração da Eq. (9.11), sobre todos
os comprimentos de onda. Obtemos
Eb(T) = π Ib(T) W/m2
(9.17)
e das Eqs. (9.15) e (9.17) escrevemos
Ib(T) = 41
Tσ
π
W/(m2
.sr) (9.18)
9.2.3) Funções de radiação do corpo negro

Tab. 9.1 Funções de radiações do corpo negro
Em numerosas aplicações, o interesse está centrado na emissão de radiação por um corpo
negro no intervalo de comprimento de onda desde λ= 0 até λ, em função da emissão total,
desde λ= 0 até λ= ∞ . Esta grandeza é determinada, conforme sua definição, por
4
0
0
0
)(
)(
)(
)(
T
dTE
dTE
dTE
Tf
b
b
b
o
σ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
∫
∫
∫
== ∞− (9.19)

Entrando com )(TEbλ , da Eq. (9.12), na Eq. (9.19):
( )[ ]∫
Τ
=−
−
=
λ
λ
σ 0
2
5
1
1/exp
)( xo
xcx
dxc
Tf (9.20)
onde a variável de integração foi modificada de λ para λ T = x. A integração na Eq.
(9.20) pode ser efetuada e ( ),0 Tf λ− calculada para um dado λ T. A tabela 9.1 dá a função
de radiação do corpo negro ( ),0 Tf λ− em termos de λ T, originalmente calculada por
Dunkle .Nesta tabela, a primeira e a Segunda coluna dão λ T em µ m . K e µ m . o
R ,
respectivamente. A terceira coluna é útil para computar o poder emissivo espectral do
corpo negro λbE (T) numa temperatura e num comprimento de onda especificados.
Até aqui discutimos a intensidade da radiação do corpo negro e o poder emissivo,
que são úteis para comparação da energia radiante emitida por superfícies reais . Um
corpo negro não existe na realidade; entretanto podemos chegar a situações bastante
próximas dele. Considere, por exemplo, uma esfera oca cuja superfície interna é mantido a
uma temperatura uniforme T, com um pequeno orifício na sua superfície. A radiação que
sai pelo orifício é a melhor aproximação da radiação do corpo negro, à temperatura T.
9.3) PROPRIEDADES RADIANTES DAS SUPERFÍCIES
A radiação emitida por um corpo real, a uma temperatura T e num comprimento de
onda λ , é sempre menor do que do corpo negro. Por isso, a emissão do corpo negro é
escolhida como referência, e se define uma grandeza, a emissividade da superfície, como a
razão entre a energia emitida por uma superfície real e a energia emitida pelo corpo negro,
à mesma temperatura; o valor da emissividade varia de 0 a l. Evidentemente, existem
numerosas possibilidades para fazer tal comparação; por exemplo, a comparação pode ser
feita num dado comprimento de onda, ou em todos os comprimentos de onda, ou entre as
energias emitidas numa direção especificada, ou entre as energias emitidas num espaço
hemisférico. Aqui, consideraremos a comparação somente entre as energias emitidas no
espaço hemisférico, não só num dado comprimento de onda mas também na média sobre
todos os comprimentos de onda. Com esta consideração, empregamos os seguintes
símbolos; ελ = emissividade espectral hemisférica e ε = emissividade hemisférica.
Fig. 9.5 Reflexão pelas superfícies. (a) reflexão especular, (b) reflexão difusa.

Um corpo negro absorve toda a radiação sobre ele incidente, em todos os
comprimentos de onda, enquanto uma superfície real absorve somente parte da radiação e a
fração absorvida varia com o comprimento de onda da radiação e com a temperatura na
qual a radiação é emitida. A grandeza poder de absorção, ou absortividade, de uma
superfície é a fração da radiação incidente absorvida pela superfície. Evidentemente,
existem numerosas possibilidades nesta definição; por exemplo, a absorção pode ser
considerada em um dado comprimento de onda, ou em todos os comprimentos de onda, ou
para a energia incidente em uma dada direção, ou para a energia incidente em todas as
direções de um espaço hemisférico. Aqui, consideraremos somente a situação na qual a
radiação incide sobre a superfície vinda de todas as direções no espaço hemisférico para um
dado comprimento de onda e para a média sobre todos os comprimentos de onda. Com esta
consideração, empregamos os símbolos seguintes: λα = poder de absorção espectral
hemisférico e α = poder de absorção hemisférico.
Quando a radiação incide em uma superfície real, uma fração é refletida pela
superfície. Se a superfície for perfeitamente plana, isto é, se as asperezas da superfície
forem muito menores do que o comprimento de onda da radiação, os raios incidente e
refletido serão simétricos em relação a normal no ponto de incidência, como está ilustrado
na Fig. 9.5a. Esta reflexão, como a dos espelhos, é a reflexão especular. Se a superfície
tiver asperezas, a radiação incidente será espalhada em todas as direções. Uma reflexão
idealizada, nesta situação, é aquela em que a intensidade da radiação refletida é constante
em todos os ângulos de reflexão e independente da direção da radiação incidente: é
chamada reflexão difusa. A Fig. 9.5b ilustra a reflexão difusa em uma superfície. As
superfícies reais encontradas nas aplicações de engenharia não são nem perfeitamente
difusas nem perfeitamente especulares. Entretanto, o conceito é útil para estudar os efeitos
dos dois casos limites na transferência de radiação: A refletividade de uma superfície é
definida como a fração da radiação incidente refletida pela superfície. Existem numerosas
possibilidades para a definição da refletividade; por exemplo, a reflexão pode ser
considerada em um dado comprimento de onda, ou sobre todos os comprimentos de onda,
ou para a energia incidente em uma dada direção, ou para a energia incidente em todas as
direções no espaço hemisférico. Há também a possibilidade de a reflexão ser especular ou
difusa. Aqui consideraremos somente a reflexão difusa nas situações em que a radiação
incide sobre a superfície vinda de todas as direções do espaço hemisférico, tanto para um
dado comprimento de onda como para a média de todos os comprimentos de onda. Com
esta consideração, empregamos os seguintes símbolos λρ = refletividade espectral
hemisférica e ρ = refletividade hemisférica.
Finalmente, se o corpo for opaco à radiação, a soma da refletividade e do poder de absorção
do corpo deve ser igual à unidade:
1=+ λλ ρα (9.20 a)
1=+ ρα (9.20 b)
Se o corpo for semitransparente à radiação, a soma do poder de absorção e da refletividade
é menor do que a unidade, e a diferença é chamada o poder transmissor do corpo. Com esta
consideração, escrevemos
1=++ λλλ τρα (9.21 a)
1=++ τρα (9.21 b)

Fig. 9.6 Reflexão, absorção e transmissão da radiação incidente por um material semi-transparente
onde definimos λτ = poder transmissor espectral e τ = poder transmissor. A Fig. 9.6
mostra que um feixe de radiação incidente sobre um corpo semitransparente, de espessura
finita, uma placa de vidro, por exemplo, é parcialmente refletido, parcialmente absorvido e
o restante é transmitido através do vidro.
9.3.1) Lei de Kirchhoff
O poder de absorção e a emissividade de um corpo podem ser relacionados pela lei de
Kirchhoff da radiação.
Considere um corpo colocado no interior de uma cavidade negra, fechada, cujas paredes
são mantidas à temperatura uniforme T. O corpo acaba por atingir o equilíbrio com as
paredes da cavidade. Seja i
qλ (T) o fluxo de radiação espectral das paredes, à temperatura T,
incidente no corpo. O fluxo de radiação espectral λq (T) absorvido pelo corpo, no
comprimento de onda λ , é
λq (T) = λα (T) i
qλ (T) (9.22)
onde λα (T) é o poder de absorção espectral do corpo. A grandeza λq (T) também
representa o fluxo de radiação espectral emitido pelo corpo, no comprimento de onda λ ,
uma vez que o corpo está em equilíbrio radiante. Notamos que a radiação incidente i
qλ (T)
provém das paredes perfeitamente negras da cavidade, à temperatura T, e que a emissão
pelas paredes não é afetada mesmo que o corpo introduzido na cavidade seja um corpo
negro. Com esta consideração, temos
bq .λ (T) = i
qλ (T) (9.23)
onde bq .λ (T) é o fluxo de radiação espectral emitido pelo corpo negro, à temperatura T. Das
Eqs. (9.22) e (9.23), escrevemos
=
)(
)(
.
.
Tq
Tq
bλ
λ
λα (T) (9.24)

A emissividade espectral λε (T) do corpo, para a radiação à temperatura T, é definida como
a razão entre o fluxo de radiação espectral λq (T) emitido pelo corpo e o fluxo de radiação
espectral emitido pelo corpo negro bq .λ (T), à mesma temperatura, isto é,
=
)(
)(
.
.
Tq
Tq
bλ
λ
λε (T) (9.25)
Das Eqs. (9.24) e (9.25), obtemos
)()( TT λλ εα = (9.26)
que é a lei de Kirchhoff da radiação que afirma ser a emissividade espectral para a emissão
de radiação à temperatura T, igual ao poder de absorção espectral para a radiação
proveniente de um corpo negro, à mesma temperatura T.
Deve-se tomar muito cuidado na generalização da Eq. (9.26) para os valores médios
de α e de ε sobre todos os comprimentos de onda, isto é, para o caso
α (T) = ε (T) (9.27)
A Eq. (9.26) é sempre válida, mas a Eq. (9.27) se aplica quando a radiação incidente e a
radiação emitida tem a mesma distribuição espectral ou quando o corpo é cinzento, isto é,
quando as propriedades radiativas são independentes do comprimento de onda.
A aplicação da Eq. (9.27) simplifica enormemente o cálculo da troca de calor por radiação
entre as superfícies, como ficará claro, mais adiante, neste capítulo.
9.3.2) Corpo cinzento
Para simplificar a análise da transferência radiativa de calor, adota-se freqüentemente, em
muitas aplicações, a hipótese de o corpo ser cinzento; isto é, admite-se que as propriedades
radiativas λλλ ρεα ,, sejam uniformes em todo o espectro de comprimentos de onda. Tais
corpos recebem o nome de corpos cinzentos, e com a hipótese do corpo cinzento o poder de
absorção e a emissividade estão relacionados pela lei de Kirchhoff como α = ε
9.3.3) Emissividade
Se q(T) for o fluxo de radiação espectral emitido por uma superfície real, a uma
temperatura T, e λ.bE (T) for o poder emissivo espectral do corpo negro (isto é, o fluxo) à
mesma temperatura T, então a emissividade espectral hemisférica λε da superfície é
definida como
)(
)(
. TE
Tq
b λ
λ
λε = (9.28)
O valor médio de λε sobre todos os comprimentos de onda, chamado a emissividade
hemisférica e, é definido como

)(
)(
)(
)(
0 .
0 .
0 .
TE
dTE
dTE
dTE
b
b
b
b ∫
∫
∫
∞
∞
∞
==
λε
λ
λε
ε
λλ
λ
λλ
(9.29)
Se λε for conhecida em função do comprimento de onda, a Eq. (9.29) poderá ser utilizada
para calcular ε . Note que, neste processo de calcular a média, o poder emissivo espectral
do corpo negro λ.bE (T) serve como fator de ponderação.
9.3.4) Poder de absorção
Se α for o fluxo de radiação espectral incidente sobre uma superfície e a
qλ (T) for a
quantidade de radiação absorvida pela superfície, então o poder de absorção espectral
hemisférico, λα será definido como
)(
)(
Tq
Tq
i
a
λ
λ
λα = (9.30)
O valor médio de λα sobre todos os comprimentos de onda, o poder de absorção
hemisférico α , é definido como
∫
∫
∞
∞
=
0
0
)(
)(
λ
λα
α
λ
λλ
dTq
dTq
i
i
(9.31)
Dado λα em função do comprimento de onda, a Eq. (9.31) pode ser utilizada para
calcularα .
Observamos que o poder de absorção α depende da distribuição espectral da radiação
incidente i
qλ (T) ,e portanto i
qλ (T) é utilizado como fator de ponderação; mas a
emissividade depende da temperatura da superfície, e por isso o poder emissivo espectral
do corpo negro λ.bE (T), à temperatura da superfície, é utilizado como fator de ponderação
na Eq. (9.29).
9.3.5) Refletividade
Se i
qλ (T) for o fluxo de radiação espectral incidente na superfície e r
qλ (T) for a quantidade
de radiação refletida pela superfície, então a refletividade espectral hemisférica λρ , será
definida por
)(
)(
Tq
Tq
i
r
λ
λ
λρ = (9.32)
O valor médio de λρ sobre todos os comprimentos de onda é a refletividade hemisférica p,
definida como

∫
∫
∞
∞
=
0
0
)(
)(
λ
λρ
ρ
λ
λλ
dTq
dTq
i
i
(9.33)
Dada λρ em função do comprimento de onda, a Eq. (9.33) pode ser empregada para
calcular p. Neste processo de promediação, o fluxo de radiação espectral incidente i
qλ (T)
serve como fator de ponderação.
9.3.6) Poder transmissor
A análise do poder transmissor de um corpo semitransparente é, em geral, assunto
complicado, porque a radiação incidente sobre um corpo semitransparente penetra nas
profundidades do meio, onde é atenuada em virtude da absorção, e, em alguns casos, do
espalhamento pelo material. Por isso, o poder transmissor depende das propriedades
radiantes do material, da sua espessura e das condições nas superfícies externas. Entretanto,
nas aplicações de engenharia, há muitas situações, como a transmissão de radiação através
de uma lâmina de vidro, nas quais o poder transmissor espectral hemisférico λτ é definido
como
)(
)(
Tq
Tq
i
tr
λ
λ
λτ = (9.34)
onde i
qλ (T) tr
qλ (T) são os fluxos de radiação incidente e transmitido, respectivamente.
Dada a distribuição espectral de λτ , o poder transmissor hemisférico τ é determinado a
partir de
∫
∫
∞
∞
=
0
0
)(
)(
λ
λτ
τ
λ
λλ
dTq
dTq
i
i
(9.35)
9.4) RADIAÇÃO SOLAR
A energia do sol provém das regiões internas do sol, em virtude de uma reação de
fusão contínua. Quase 90% desta energia são gerados dentro da região 0,23 vezes o raio do
sol e em seguida transferidos radiativamente até uma distância cerca de 0,7 vezes o raio do
sol. Fora desta região há a zona convectiva, onde a temperatura está na faixa de 6.000 K. A
frieza relativa da superfície externa do sol é indicação de que a energia criada no interior é
dissipada radiativamente pela superfície externa do sol. Portanto, o sol, com seu raio R ~
6,96 x 105
km e massa M ~1,99 x 1030
kg, é uma fonte de energia quase inexaurível para a
terra. Somente uma pequena fração de energia do sol atinge a terra, em virtude da grande
distância entre eles. A intensidade da radiação solar que atinge a atmosfera foi determinada
muito precisamente por uma série de medidas elevadas feitas com o emprego de balões, de
aviões, e de naves espaciais, de 1967 a 1970. A energia resultante conhecida como a
constante solar Gs, vale

Gs = 1.353 W/m2
(9.36)
Fig. 9.7 Constante solar Gs e radiação solar extraterrestre Go
Essa quantidade representa o fluxo de radiação solar incidente sobre um plano normal aos
raios de sol, exatamente no limite da atmosfera da terra, quando esta está à distância média
do sol. À medida que a terra se desloca em torno do sol, em uma órbita ligeiramente
elíptica, a distância entre eles varia de 98,3% da distância média, quando a terra está no
ponto mais próximo do sol, até 101,7% da distância média, quando a terra atinge sua
distância máxima ao sol. Por isso, o valor instantâneo de Gs varia aproximadamente por ±
3,4%, isto é, do máximo 1.399 W/m2
, em 21 de dezembro, ao mínimo 1.310 W/m2
, em 21
de junho. Entretanto, para fins práticos a variação de Gs é desprezada, e retorna a constante
como 1.353 W/m2
. Então a energia solar Go que incide normalmente na superfície externa
da atmosfera terrestre é
Go = Gs cos θ W/m2
(9.37)
onde Go é a radiação solar extraterrestre. A Fig. 9.7 ilustra o significado físico de Gs e de
Go em relação à direção do feixe de raios solares.
O valor de Gs pode ser utilizado na lei da radiação do corpo negro para estabelecer uma
temperatura efetiva Ts da superfície do sol:
4
2
ss T
R
r
G σ





= (9.38)
onde Gs = 1.353 W/m2
r = 6,9598 x lOs m, raio do disco solar
R = 1,496 x 10" m, distância média da terra ao sol
σ = 5,6697 x 10-8
W/(m2
K4
), constante de Stefan-Boltzmann
Então, a temperatura efetiva da superfície do sol é T = 5.762 K.
A radiação solar que atinge a superfície mais elevada da atmosfera terrestre propaga-se
através da atmosfera da terra antes de chegar à superfície. Aproximadamente 99% da
atmosfera estão contidos à distância de cerca de 30 km a partir da superfície da terra. À
medida que a radiação solar atravessa a atmosfera, é absorvida ou é espalhada pelo meio
atmosférico. A fig 9.8 mostra a distribuição espectral da radiação solar G λs , exatamente
fora da atmosfera da terra e no nível do solo, quando a atmosfera está clara. Notamos que a

energia total contida abaixo da curva G λs , representa o fluxo de radiação solar exatamente
acima da atmosfera terrestre, isto é,
20 . 1353
m
w
GdG ss ==∫
∞
λλ (9.39)
A curva da distribuição espectral da radiação solar que chega na superfície da terra fica
abaixo da curva de G λs , e mostra vários mínimos. O motivo disto é a absorção da radiação
solar pelo O3, O2, CO2 e H20 em diversos comprimentos de onda. O ozônio (O3), que está
concentrado em uma camada 10 a 30 km acima da superfície da terra, absorve fortemente a
radiação ultravioleta no intervalo λ = 0,2 a a = 0,29
Fig. 9.8 Efeitos da atenuação atmosférica sobre a distribuição espectral da radiação solar
µ m e bastante no intervalo 0,29 a 0,34 µ m. Por isso, é desprezível a radiação solar com
comprimentos de onda menores do que cerca de 0,3 µ m que atinge a superfície da terra.
Assim, os sistemas biológico na terra estão protegidos da danosa radiação ultravioleta. A
absorção do oxigênio ocorre numa raia muito estreita centrada em λ = 0,76 µ m. As
bandas de absorção devidas ao vapor de água são visíveis distintamente na faixa de 0,7 a
2,2 µ m. O dióxido de carbono e o vapor de água absorvem fortemente a radiação térmica
nos comprimentos de onda maiores do que cerca de 2,2 µ m. Disso resulta que a radiação
solar que atinge a superfície da terra está essencialmente contida nos comprimentos de onda
entre 0,29 e 2,5 µ m. A energia total subtendida pela curva do espectro solar na superfície
da terra, num dia de atmosfera límpida é cerca de 956 W/m2
. Este valor é
consideravelmente menor do que a constante solar 1.353 W/m2
, na fronteira da atmosfera
terrestre.
Além da absorção da radiação solar, há o seu espalhamento pelas moléculas do ar,
pelas gotículas de água nas nuvens e pelos aerossóis ou partículas de poeira, à medida que a
radiação atravessa a atmosfera. As moléculas de ar espalham a radiação solar de
comprimentos de onda muito curtos em relação às dimensões das moléculas, e este
espalhamento é o espalhamento Rayleigh. Gotículas de água, aerossóis e outras sujeiras
atmosféricas espalham a radiação em comprimentos de onda comparáveis ao diâmetro das
partículas.
A parte da radiação solar que não é espalhada nem absorvida pela atmosfera, e que
atinge a superfície da terra como um feixe é a radiação solar direta. A parte espalhada da
radiação que atinge a superfície da terra, vinda de todas as direções do firmamento, é a

radiação solar difusa. Assim, a radiação solar recebida pela superfície da terra é composta
das partes direta e difusa. A componente difusa varia de cerca de 10% do total, num dia
claro, a quase 100%, num dia totalmente nublado.
9.4.1) Radiação solar que chega à terra
A quantidade de energia solar recebida por uma superfície no nível do mar depende da
orientação da superfície em relação ao sol, da hora do dia, do dia do ano, da latitude do
ponto de observação e das condições atmosféricas. Na alvorada ou no crepúsculo, a
radiação solar que atinge a superfície da terra percorre um caminho oblíquo, mais longo,
através da atmosfera; por isso, a atenuação atmosférica é maior e a intensidade se reduz
significativamente.
O fluxo total de energia solar qt, recebido por unidade de área de uma superfície ao
nível do mar consiste nas componentes direta e difusa. Seja qdf (em watts por metro
quadrado) a radiação solar difusa incidente sobre uma superfície horizontal e devida à
radiação proveniente de todo o hemisfério espacial, e seja qD o fluxo da radiação solar
direta, por unidade de área normal à direção do feixe de radiação solar, no nível do mar.
Seja θ o ângulo de incidência, isto é, o ângulo entre o raio do sol e a normal à superfície,
conforme a ilustração da Fig. 9.9 Então, o fluxo de energia solar total qt recebido pela área
unitária da superfície no nível do mar, é
fdDt qqq .cos += θ W/m2
(9.40)
Portanto, para calcular o fluxo total de energia solar recebido por uma superfície, precisa-se
saber o fluxo da radiação solar difusa, o fluxo da radiação solar direita sobre um plano
normal à direção do feixe, e o ângulo de incidência θ .
Fig. 9.9 Radiação solar recebida na superfície terrestre.
O ângulo de incidência θ pode ser relacionado ao ângulo de inclinação (isto é, o ângulo
entre o plano horizontal e a superfície), à latitude (isto é, a distância angular ao equador) e à
declinação (isto é, o ângulo entre o raio do sol e o plano equatorial no meio-dia solar).
A energia solar incidente sobre uma superfície opaca é parcialmente absorvida pela
superfície e o restante é refletido.
9.5) CONCEITO DE FATOR DE FORMA

Até agora discutimos a radiação para uma superfície única ou de uma superfície
única. Entretanto, nas aplicações de engenharia, os problemas de interesse prático
envolvem troca de radiação entre duas ou mais superfícies. Quando as superfícies estiverem
separadas por um meio inerte, que não absorve, nem emite, nem difunde a radiação, a troca
de radiação entre as superfícies não é afetada pelo meio. O vácuo, por exemplo, é um
perfeito meio inerte; entretanto, o ar e muitos gases se aproximam quase exatamente desta
condição. Para quaisquer duas superfícies dadas, a orientação entre elas afeta a fração da
energia radiante emitida por uma superfície e que, incide diretamente na outra superfície.
Por isso, a orientação das superfícies tem papel importante na troca radiativa de calor.
Para formalizar os efeitos da orientação na análise da troca radiativa de calor entre
superfícies, adota-se o conceito de fator de forma. Os termos fator de vista, fator de visada
e fator de configuração também são utilizados na literatura. Deve-se fazer uma distinção
entre o fator de forma difuso e o fator de forma especular. O primeiro se refere à situação
em que as superfícies são refletores difusos e emissores difusos, enquanto o último se refere
à situação em que as superfícies são emissores difusos e refletores especulares. Neste livro
vamos considerar apenas os casos em que as superfícies são emissores difusos e refletores
difusos; por isso, não precisamos fazer a distinção. Vamos empregar simplesmente o termo
fator de forma, e este termo corresponde ao fator de forma difuso.
O significado físico do fator de forma entre duas superfícies é representar a fração
de energia radiante emitida por uma superfície que incide diretamente na outra superfície.
9.5.1) Fator de forma entre duas superfícies elementares
A fim de termos uma visão mais profunda da dedução das relações que definem os fatores
de forma, vamos demonstrar a expressão que define o fator de forma entre duas superfícies
elementares.
Fig 9.10 Coordenadas para a definição do fator de forma
Consideremos duas superfícies elementares dA1 e dA2, como está ilustrado na Fig.
9.10. Seja r a distância entre essas duas superfícies: 1θ o ângulo polar entre a normal n1 ao
elemento de superfície dA1 e a reta r que liga dA1 a dA2; e 2θ , o ângulo polar entre a
normal n2 a elemento de superfície dA2 e a reta r.

Seja 12dw o ângulo sólido sob o qual um observador em dA1 vê o elemento de superfície
dA2, e I1, a intensidade da radiação emitida difusivamente pelo elemento de superfície em
todas as direções do espaço hemisférico. A taxa de energia radiante dQ1 emitida por dA1 e
que incide na superfície dA2 é
dQ1 = dA1I1cos 1θ dw12 (9.41)
onde o ângulo sólido dw12 é dado por
dw12 = (dA2cos 2θ )/r2
(9.42)
A substituição da Eq. (9.42) na Eq. (9.41) leva a
2
221
111
coscos
r
dA
IdAdQ
θθ
= (9.43)
A taxa da energia de radiação Q1 emitida pelo elemento de superfície dA1 em todas as
direções sobre o espaço hemisférico é
∫ ∫= =
=
π
φ
π
θ
φθθθ
2
0
2/
0 111111
1
sencos ddIdAQ (9.44)
onde φ é o azimute. Para uma superfície refletora e emissora difusa de radiação, a
intensidade da radiação emitida pela superfície é independente da direção. Então, com I1,
constante, a Eq. (9.44) é integrada e nos dá
Q1 = 11. dAIπ (9.45)
O fator de forma elementar 21 dAdAdF − , por definição, é a razão entre a energia radiante
emitida por dA1, que incide diretamente sobre dA2, e a energia radiante emitida por dA1,
em todas as direções no espaço hemisférico. Portanto, essa razão é obtida dividindo-se a
Eq. (9.43) pela Eq. (9.45):
21 dAdAdF − 2
221
1
1
.
coscos
r
dA
Q
dQ
π
θθ
== (9.46)
O fator de forma elementar 12 dAdAdF − , de dA2 para dA1 é agora obtido imediatamente da Eq.
(9.46) pela permutação dos índices 1 e 2. Encontramos
12 dAdAdF − = 2
121
.
coscos
r
dA
π
θθ
(9.47)
A relação de reciprocidade entre os fatores de forma 21 dAdAdF − e 12 dAdAdF − , segue-se das Eqs.
(9.46) e (9.47) como
1221 21 dAdA dAdAdAdA dFdF −− = (9.48)
Esta relação implica que, dadas duas superfícies elementares dA1 e dA2, se um dos fatores
de forma for conhecido, o outro é facilmente calculado pela relação de reciprocidade.

9.5.2) Fator de forma de superfícies finitas
Já desenvolvemos o fator de forma entre duas superfícies elementares dA1 e dA2. Esses
resultados são agora generalizados para se obterem os fatores de forma entre um elemento
de superfície dA1 e uma superfície finita A2 ou entre duas superfícies finitas A1 e A2.
O fator de forma 21 AdAF − , de dA1 para A2, é determinado imediatamente integrando-se o
fator de forma elementar, 21 dAdAdF − dado pela Eq. (9.46), sobre a área A2, ou seja,
21 AdAF − = 22
21
.
coscos
2
dA
rA π
θθ
∫ (9.49)
O fator de forma 12 dAAF − , de A2 para dA1 é obtido pela integração da Eq. (9.47) sobre a área
A2 seguida pela divisão por A2:
12 dAAF − = 22
21
2
1
.
coscos
dA
rA
dA
π
θθ
∫ (9.50)
A divisão por A2, no segundo membro, torna a energia incidente em dA1 uma fração da
emitida por A2 em todo o espaço hemisférico. Das Eqs. (9.49) e (9.50) escrevemos a
relação de reciprocidade entre os fatores de forma 21 AdAF − e 12 dAAF − , como
dA1 21 AdAdF − = dA2 12 dAAdF − (9.51)
O fator de forma A2 para A1 é obtido pela integração da Eq. (9.50) sobre A1:
FA1 – A2 = ∫ ∫2 1
212
21
2 .
coscos1
A A
dAdA
rA π
θθ
(9.52)
E o fator de forma de A1 para A2 é obtido pela integração da Eq. (9.49) sobre A1 e
dividindo-se o resultado por A1:
FA1 – A2 = ∫ ∫1 2
122
21
1 .
coscos1
A A
dAdA
rA π
θθ
(9.53)
A divisão por A1 no segundo membro faz da energia incidente na superfície A2 uma fração
da energia emitida por A1 em todo o espaço hemisférico.
Das Eqs. (9.52) e (9.53), a relação de reciprocidade entre os fatores de forma
21 AAF − e 12 AAF − é
1221 21 AAAA FAFA −− = (9.54)

As relações de reciprocidade são úteis para determinar um fator de forma a termos o
conhecimento do outro.
9.5.3) Propriedades dos fatores de forma
Vamos considerar agora uma cavidade fechada consistindo em N zonas, cada uma com a
área superficial ,iA i = 1, 2, ... N, como está ilustrado na Fig. 9.11. Admite-se que cada
zona seja isotérmica, emissor difuso e refletor difuso. A superfície de cada zona pode ser
plana ou convexa ou côncava. Os fatores de forma entre as superfícies Ai e Aj da cavidade
fechada obedecem à seguinte relação de reciprocidade:
Ai ji AAF − = Aj ij AAF − (9.55)
A soma dos fatores de forma de uma superfície da cavidade fechada, digamos A1 para todas
as superfícies da cavidade, inclusive para si mesma, deve ser igual à unidade, pela própria
definição de fator de forma.
Esta é a relação da adição dos fatores de forma de uma cavidade fechada, e é escrita como
1
1
=∑
=
−
N
k
AA ki
F (9.56)
Fig. 9.11 Cavidade fechada com N zonas
onde N é o número de zonas da cavidade fechada. Nesta soma, o termo ii AAF − é o fator de
forma da superfície Ai para si mesma; representa a fração da energia radiante emitida pela
superfície Ai que incide diretamente sobre si própria. Evidentemente, ii AAF − se anulará
quando Ai for plana ou convexa, e será não-nulo se Ai for côncava; esta afirmação se
escreve
0=− ii AAF se Ai for plana ou convexa (9.57a)
0≠− ii AAF se Ai for côncavo (9.57 b)
As regras da reciprocidade e da adição são úteis, pois proporcionam relações simples
adicionais para se calcularem os fatores de forma num espaço fechado a partir do
conhecimento de outros fatores. Isto é, para determinação de todos os possíveis fatores de
forma numa cavidade fechada, não se precisa calcular cada um deles diretamente, mas
deve-se fazer uso das regras de reciprocidade e de adição, sempre que possível. Esta
situação é mais bem visualizada se todos os fatores de forma numa cavidade fechada com
N zonas forem expressos em notação matricial, como

(9.58)
Evidentemente há N2
fatores de forma a serem determinados numa cavidade fechada de N
zonas. Entretanto, a regra da reciprocidade fornece N(N - 1)/2 relações e a regra da adição
fornece N relações adicionais entre os fatores de forma. Então, o número total de fatores de
forma que devem ser calculados, numa cavidade fechada de N zonas, a partir das
expressões do fator de forma, é
N2
– ½ N(N - 1) - N = ½ N(N - 1) (9.59)
Se as superfícies forem convexas ou planas, N desses fatores de forma de uma
superfície para si mesma se anulam e o número total de fatores de forma a serem calculados
diretamente, a partir da disposição geométrica das superfícies, reduz-se a
½ N(N - 1) - N =
2
)3( −NN
(9.60)
Por exemplo, numa cavidade fechada com N = 5 zonas, com superfície plana em cada zona,
de todos os possíveis N2
= 25 fatores de forma, o número de fatores de forma a serem
determinados pela disposição geométrica das superfícies é somente 1/2(N)(N - 3) = 5.
Se a geometria possuir simetria, alguns dos fatores de forma são conhecidos a partir
da condição de simetria, o que reduz mais ainda o número de fatores de forma a serem
calculados.
9.6) MÉTODOS PARA DETERMINAR FATORES DE FORMA
O cálculo do fator de forma entre duas superfícies elementares, definidos pelas Eqs. (9.46)
e (9.47), não apresenta problema, mas a determinação do fator de forma de superfícies
finitas envolve a integração sobre as superfícies, o que é difícil de realizar-se
analiticamente, exceto em geometrias simples. Na Tabela 9.2 apresentamos expressões
analíticas dos fatores de forma em diversas configurações simples. Alguns dos fatores de
forma estão plotados nas Figs. 9.12 a 9.16.

Tab. 9.1 Funções de radiações do corpo negro

Fig. 9.12 Fator de forma
21 AdAF − de uma superfície elementar dA1, para uma superfície retangular A2.

21 AAF − de uma superfície retangular A1, para uma superfície retangular A2 adjacentes e
com planos perpendiculares

Fig 9.14 Fator de forma
21 AAF − de uma superfície retangular A1, para uma superfície retangular A2 paralela e
diretamente em frente da outra.
21 AAF − entre dois discos paralelos coaxiais

12 AAF − para cilindros concêntricos de comprimento finito. (a) Do cilindro externo para o
cilindro interno, (b) do cilindro externo para si mesmo.
9.6.1) Álgebra dos fatores de forma
As cartas-padrão dos fatores de forma encontram-se para um número limitado de
configurações simples. Entretanto, pode ser possível dividir a configuração de uma
disposição geométrica complicada em várias configurações simples, de modo que o fator de
forma possa ser determinado a partir das cartas-padrão. Assim, será possível determinar o
fator de forma da configuração original, complicada, pela soma algébrica dos fatores de
forma das configurações separadas, mais simples. Este método é conhecido como a álgebra
dos fatores de forma. Constitui método poderoso para determinar os fatores de forma de
muitas configurações complicadas.
Não se pode estabelecer um conjunto-padrão de regras deste método, mas o
emprego apropriado das relações de reciprocidade e das regras da adição é a chave do
sucesso da técnica.
Para ilustrar como a regra da adição e a relação de reciprocidade podem ser
aplicadas, consideremos o fator de forma de uma área A1 para uma área A2 que é dividida
em duas áreas A3 e A4 como
A2 = A3 + A4 (9.61)
segundo está ilustrado no esboço seguinte. Então, o fator de forma A1 para A2 pode ser
escrito como
F1- 2 = F1- 3 + F1- 4 (9.62)
que é coerente com a definição do fator de forma. Isto é, a fração da energia total emitida
por A1 que incide em A3 e A4 é igual à fração que incide na superfície A2.

Outras relações adicionais entre estes fatores de forma podem ser escritas. Por
exemplo, os dois membros da Eq. (9.62) são multiplicados por A1:
A1F1 – 2 =A1F1 – 3 + A1F1 – 4
Então, a relação de reciprocidade aplicada a cada parcela dá:
A2F2 – 1 =A3F3 – 1 + A4F4 – 1
ou
F2 – 1 = =
+ −−
2
144133
A
FAFA
43
144133
AA
FAFA
+
+ −−
(9.63)
Suponha que a área A2 seja dividida em mais parcelas como
A2 =A3 + A4 + ....+ AN (9.64)
Então, a forma correspondente da Eq. (9.59) é
F2 – 1 =
N
NN
AAA
FAFAFA
+++
++ −−−
........
.......
43
1144133
(9.65)
Evidentemente, manipulações semelhantes podem ser feitas com a Eq. (9.63), e podem
obter outras relações entre os fatores de forma.

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