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DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO DE CONDUÇÃO
COORDENADAS RETANGULARES
Consideremos agora a maneira na qual a distribuição de temperatura pode ser
determinada. Essa distribuição de temperatura pode ser determinada pela aplicação da
conservação da energia. Nesse caso, definimos um volume de controle diferencial,
identificamos os processos relevantes de transferência de energia e introduzimos as
equações das taxas de transferência de calor apropriadas. O resultado é uma equação
diferencial cuja solução, para condições de contorno descritas, fornece a distribuição de
temperatura no meio.
Figura 1 – Volume de controle diferencial, ,.. dzdydx para a análise da condução de
calor em coordenadas cartesianas.
Considere um meio homogêneo dentro do qual não existe movimento global e a
distribuição de temperatura ( )zyxT ,, é expressa em coordenadas cartesianas.
Inicialmente definimos um pequeno volume de controle infinitesimal (diferencial),
,.. dzdydx conforme mostrado na figura 1. Usando a primeira lei da termodinâmica para
formular o problema num dado instante de tempo, a segunda etapa é considerar os
processos de energia que são relevantes para esse volume de controle. Se existirem
gradientes de temperatura, haverá transferência de calor por condução através de cada
uma das superfícies de controle.
As taxas de calor por condução perpendiculares a cada uma das superfícies de
controle nos pontos com coodenadas x, y e z são indicadas pelos termos ,xq yq e ,zq
respectivamente. As taxas de transferência de calor por condução nas superfícies
opostas podem ser então expressas como uma expansão da série de Taylor, onde,
desprezando os termos de ordem superiores:
dx
x
q
qq x
xdxx
∂
∂
+=+ (1)
dy
y
q
qq y
ydyy
∂
∂
+=+ (2)
dz
z
q
qq z
zdzz
∂
∂
+=+ (3)
Em palavras, a equação 1 afirma simplesmente que a componente x da taxa de
transferência de calor na direção do eixo x, na posição ,dxx + é igual ao valor dessa
componente em x somado à quantidade pela qual ela varia em relação a x multiplicado
por dx. No interior do meio pode haver também um termo para representar uma fonte de
energia, que está associado à taxa de geração de energia térmica. Esse termo é
representado por
dxdydzqEg
&& = (4)
em que q& é a taxa na qual a energia é gerada por unidade de volume do meio (W/m3
).
Além disso, podem ocorrer variações na quantidade de energia térmica armazenada pelo
material no volume de controle. Se o material não sofre mudança de fase, não há o
efeito de energia latente, e a energia armazenada pode ser dada por:
dxdydz
t
T
cE par
∂
∂
= ρ& (5)
em que tTcp ∂∂ρ é a taxa de variação com o tempo da energia sensível (térmica) do
meio por unidade de volume.
Mais uma vez, é importante observar que os termos gE& e arE& representam
processos físicos diferentes. O termo referente a geração de energia gE& é uma
manifestação de algum processo de conversão de energia que envolve de um lado
energia térmica e do outro a energia química, elétrica e/ou nuclear. Esse termo é
positivo (uma fonte) se a energia térmica está sendo gerada no material à custa de uma
outra forma de energia, e negativo (sumidouro) se a energia térmica estiver sendo
consumida. Por outro lado, o termo relativo ao armazenamento ou acúmulo de energia
arE& refere-se à taxa de variação da energia térmica armazenada pela matéria.
A última etapa consiste em representar a conservação da energia utilizando as
equações de taxas previamente apresentadas. Com base nas taxas, a forma geral da
exigência de conservação de energia é
arsge EEEE &&&& =−+
Logo, reconhecendo as taxas de condução que entram, ,eE& e as taxas de
condução que saem, ,sE& e substituindo as equações 4 e 5, obtemos
dxdydz
t
T
cqqqdxdydzqqqq pdzzdyydxxzyx
∂
∂
=−−−+++ +++ ρ& (6)
Substituindo as equações 1, 2 e 3, segue que
dxdydz
t
T
cdxdydzqdz
z
q
dy
y
q
dx
x
q
p
zyx
∂
∂
=+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
− ρ& (7)
As taxas de calor por condução podem ser avaliadas a partir da lei de Fourier:
x
T
kdydzqx
∂
∂
−= (8)
y
T
kdxdzqy
∂
∂
−= (9)
z
T
kdxdyqz
∂
∂
−= (10)
em que cada componente do fluxo de calor das equações 8, 9 e 10 foram multiplicados
pela área da superfície (diferencial) de controle apropriada, a fim de se obter a taxa de
transferência de calor. Substituindo as derivadas das equações 8, 9 e 10 na equação 7 e
dividindo todos os termos pelas dimensões do volume de controle ( ),.. dzdydx obtemos:
t
T
cq
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
x
p
∂
∂
=+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
ρ& (11)
A equação 11 é a forma geral da equação de difusão de calor em coordenadas
cartesianas. Essa equação, conhecida como equação do calor, é a ferramenta básica para
a análise da condução de calor. A partir de sua solução, obtemos a distribuição de
temperatura ( )zyxT ,, como uma função do tempo. A aparente complexidade dessa
expressão não deve obscurecer o fato de que ela descreve uma condição física
importante, ou seja, a conservação de energia. Devemos ter um entendimento claro do
significado físico de cada um dos termos que aparecem nessa equação. Por exemplo, o
termo ( ) xxTk ∂∂∂∂ está relacionado ao fluxo líquido de calor por condução para o
interior do volume de controle na direção da coordenada do eixo x. Dessa forma,
multiplicando essa parcela por dx, tem-se:
""
dxxx qqdx
x
T
k
x
+−=





∂
∂
∂
∂
(12)
com expressões similares aplicadas aos fluxos nas direções y e z. Portanto, em palavras,
a equação do calor, equação 11, estabelece que, em qualquer ponto do meio, a taxa de
energia líquida transferida por condução para o interior de um volume unitário somado
à taxa volumétrica de geração de energia térmica deve ser igual à taxa de variação da
energia térmica armazenada no interior desse volume.
Com frequência, é possível trabalhar com versões simplificadas da equação 11.
Por exemplo, se a condutividade térmica for constante, a equação do calor é:
t
T
k
q
y
T
y
T
x
T
∂
∂
=+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
α
1
2
2
2
2
2
2
&
(13)
em que pck ρα = é a difusividade térmica do meio. Simplificações adicionais da
forma geral da equação do calor são frequentemente possíveis. Por exemplo, sob
condições de regime estacionário, não há variação na quantidade da energia
armazenada; então, a equação 11 se reduz a
0=+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
q
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
x
& (14)
Além disso, se a transferência de calor for unidimensional (por exemplo, na
direção do eixo x) e se não houver geração de energia, a equação 11 se reduz a
0=





dx
dT
k
dx
d
(15)
A importante consequência desse resultado é que, sob estado estacionário,
unidimensional, sem geração se energia, o fluxo de calor é uma constante na direção da
transferência ( ).0"
=dxdqx A equação do calor também pode ser escrita em coordenadas
cilíndricas e esféricas. Os volumes de controle diferenciais para esses dois sistemas são
mostrados nas figuras 3 e 4.
COORDENADAS CILÍNDRICAS
Quando o operador ( )∇ é representado em coordenadas cilíndricas, a forma
geral do vetor fluxo de calor, e, portanto, a lei de Fourier, é






∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=∇−=
z
T
k
T
r
j
r
T
ikTkq
φ
1"
(16)
em que
z
T
kq
T
r
k
q
r
T
kq zr
∂
∂
−=
∂
∂
−=
∂
∂
−= """
φφ (17)
são as componentes do fluxo de calor nas direções radial, circunferencial e axial,
respectivamente. É importante observar que o gradiente de temperatura na lei de Fourier
deve possuir unidades de K/m. Por esse motivo, ao avaliar o gradiente para uma
coordenada angular, ele deve estar expresso em termos de uma variação diferencial do
comprimento de arco. Por exemplo, a componente do fluxo de calor na direção
circunferencial no sistema de coordenadas cilíndricas é ( )( )φφ ∂∂−= Trkq e não
( ).φφ ∂∂−= Tkq Isso pode ser visto mais facilmente pela figura 2:
Figura 2 – Esquema utilizado para calcular o fluxo de calor na direção circunferencial
de um sistema de coordenadas cilíndricas.
Considerando um volume de controle diferencial da figura 3, de volume
,.. dzrddrdV φ= e aplicando o princípio da conservação da energia em forma de taxa
obtém-se:
argdzzzddrrr EEqqqqqq && =+−+−+− +++ φφφ (18)
O termo de geração de energia é calculado como:
( )dzrddrqdVqEg .. φ&&& == (19)
Figura 3 – Volume de controle diferencial ,.. dzrddr φ para a análise da condução de
calor em coordenadas cilíndricas ( ).,, zr φ
O termo de armazenamento pode ser calculado como:
( )
t
T
cdzrddr
t
T
dVcE ppar
∂
∂
=
∂
∂
= .. φρρ& (20)
As taxas de calor por condução perpendiculares a cada uma das superfícies de
controle nos pontos com coodenadas φ,r e z são indicadas pelos termos ,rq φq e ,zq
respectivamente. As taxas de transferência de calor por condução nas superfícies
opostas podem ser então expressas como uma expansão da série de Taylor, onde,
desprezando os termos de ordem superiores:
dr
r
q
qq r
rdrr
∂
∂
+=+ (21)
φ
φ
φ
φφφ d
q
qq d
∂
∂
+=+ (22)
dz
z
q
qq z
zdzz
∂
∂
+=+ (23)
Utilizando a lei de Fourier, as expressões para as taxas de transferência de calor
por condução são:
( )
r
T
dzrdk
r
T
kAq rr
∂
∂
−=
∂
∂
−= φ (24)
( )
φφ
φφ
∂
∂
−=
∂
∂
−=
r
T
drdzk
r
T
kAq (25)
( )
z
T
rddrk
z
T
kAq zz
∂
∂
−=
∂
∂
−= φ. (26)
Substituindo as equações 19, 20, 21, 22 e 23 na equação 18 obtém-se:
( ) ( )
t
T
cdzrddrdzrddrq
z
qq
r
q
p
zr
∂
∂
=+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
− .... φρφ
φ
φ
& (27)
Substituindo as equações 24, 25 e 26 na equação 27 obtém-se:
( ) ( ) ( ) dz
z
T
rddrk
z
d
r
T
drdzkdr
r
T
dzrdk
r 





∂
∂
−
∂
∂
−





∂
∂
−
∂
∂
−





∂
∂
−
∂
∂
− φφ
φφ
φ .
( ) ( )
t
T
cdzrddrdzrddrq p
∂
∂
=+ .... φρφ&
(28)
Dividindo a equação 28 por dzrddr .. φ e rearranjando obtém-se:
t
T
cq
z
T
k
z
T
k
rr
T
kr
rr
p
∂
∂
=+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
ρ
φφ
&2
11
(29)
 Equação da difusão em coordenadas esféricas
Para analisar a transferência de calor em um esfera, faz-se um processo
análogo aos anteriores. Pega-se um volume de controle como mostrado na figura
a seguir:
Tem-se que as dimensões deste volume de controle são:
Logo, o volume do volume de controle é:
𝑉 = 𝑟2
∆𝑟∆𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃∆𝜑
Além disso, como faremos uma análise unidimensional, temos fluxo
apenas no sentido radial, como mostrado abaixo.
Aplicando, neste volume de controle, o balanço de energia tem-se:
𝐸𝑒̇ − 𝐸𝑠̇ + 𝐸𝑔̇ = 𝐸𝑎𝑐̇
Onde:
𝐸𝑒̇ = 𝑞𝑟
𝐸𝑠̇ = 𝑞𝑟 +
𝑑𝑞𝑟
𝑑𝑟
𝐸𝑔̇ = 𝑞̇ 𝑉
𝐸𝑎𝑐̇ = 𝜌𝐶𝑝𝑉
𝜕𝑇
𝜕𝑡
Substituindo as equações acima na equação do balanço de energia, tem-
se:
(𝑞𝑟) − ( 𝑞𝑟 +
𝑑𝑞𝑟
𝑑𝑟
∆𝑟) + 𝑞̇ 𝑉 = 𝜌𝐶𝑝𝑉
𝜕𝑇
𝜕𝑡
Simplificando os termos possíveis, tem-se:
− (
𝑑𝑞𝑟
𝑑𝑟
∆𝑟) + 𝑞̇ 𝑉 = 𝜌𝐶𝑝𝑉
𝜕𝑇
𝜕𝑡
Sabemos pela lei de Fourier, que:
𝑞𝑟 = −𝑘𝐴
𝜕𝑇
𝜕𝑟
Então, substituindo na equação 1, tem-se:
𝜕
𝜕𝑟
(𝑘𝐴
𝜕𝑇
𝜕𝑟
∆𝑟) + 𝑞̇ 𝑉 = 𝜌𝐶𝑝𝑉
𝜕𝑇
𝜕𝑡
Sabe-se que A é a área da seção transversal normal ao fluxo térmico que
no caso está na direçao radial. Observando-se a terceira figura, nota-se que:
𝐴 = 𝑟2
∆𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃∆𝜑
Logo:
𝜕
𝜕𝑟
(𝑘𝑟2
∆𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃∆𝜑
𝜕𝑇
𝜕𝑟
∆𝑟) + 𝑞̇ 𝑉 = 𝜌𝐶𝑝𝑉
𝜕𝑇
𝜕𝑡
Observando-se os termos na primeira derivada parcial, pode-se perceber
q vários termos não dependem do raio, e portanto podem ser retirados da
derivada como constantes. É importante lembrar também que ∆𝑟 representa um
pedacinho fixo de r, portanto também é constante . Temos então:
𝑘∆𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃∆𝜑∆𝑟
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟2
𝜕𝑇
𝜕𝑟
) + 𝑞̇ 𝑉 = 𝜌𝐶𝑝𝑉
𝜕𝑇
𝜕𝑡
Pode-se reparar também que o volume aparece em dois dos 3 termos da
equação, e representa boa parte do que multiplica a equação diferencial, logo é
interessante dividir toda a equação pelo volume (cuja equação foi apresentada
no início) para simplificá-la. Obtém-se então o resultado final para a equação
geral da difusão em coordenadas esféricas unidimensional:
𝑘
𝑟2
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟2
𝜕𝑇
𝜕𝑟
) + 𝑞̇ = 𝜌𝐶𝑝
𝜕𝑇
𝜕𝑡
L
x
Condições de Contorno
 Condição de Dirichlet ou de 1ª espécie:
- Temperatura prescrita.
( )
 Condição de Neumann ou de 2ª espécie:
a) Fluxo térmico constante
|
b) Superfície termicamente isolada ou adiabática:
|
 Condição de 3ª espécie:
- Convecção.
| ( )
Exemplo de aplicação das condições de contorno a uma placa plana
unidimensional:
x
Equação da difusão:
̇
Assumindo regime permanente e sem geração de calor: ̇
Portanto a equação resultante é:
Integrando-a duas vezes, obtemos:
( )
Aplicando agora as condições de contorno.
 Em , temos um fluxo térmico constante:
| |
 Em , temos uma convecção:
| ( ) ( )
( )
Dessa forma, a equação final será:
( ) ( )
CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL COM REGIME PERMANENTE NUMA PAREDE
PLANA E RESISTENCIA
Em uma condução unidimensional em uma parede plana, considerando
condições num estado estável e regime permanente, a temperatura é uma função
só da coordenada “x” e o calor nesta é transmitida só nessa coordenada também.
Considerando a distribuição da temperatura dentro da parede, é importante
considerar o seguinte:
PRIMEIRO SEGUNDO
Achar distribuição de temperaturaà A partir dela achar a taxa de transferência
de calor
3.1.1- DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA NUMA PAREDE PLANA
Isto pode ser determinado ao resolver a
equação de calor utilizando as condições de
contorno corretas:
• Começa considerando:
	
	
																																																																													(1)	
	
• Para isto se considera:	
o Unidimensional 	
o Regime permanente	
o Sem geração de calor	
o Fluxo de calor constante	
o Fluxo só na coordenada “x”	
Se procede a integrar duas vezes a equação (1), obtendo:
(2)
Se escolhem as condições de contorno:
(3)
Agora se acham as constantes, com a primeira condição,
Porque C2 não depende de “x” ou neste caso “L”, então
Achando C1,
Substituindo C1 em T(x),
Podemos perceber que T(x) varia linearmente em “x”. Utilizando a Lei de Fourier
achamos a condução da taxa de transferência de calor,
Nota-se que “A” é a área da normal da parede em relação à direção da
transferência de calor, então o fluxo de calor se expressa:
Onde se mostra que qx e qx
”
são constantes e independentes de “x”.
3.1.2 RESISTENCIA TERMICA
Considerando de novo que o fluxo de calor é unidimensional, sem geração
interna de energia e com propriedade de regime permanente pode-se fazer a
analogia entre difusão de calor e carga elétrica.
É importante saber que:
• Resistencia Elétrica--- tem condução de eletricidade
• Resistencia Térmica---tem condução de calor
Em uma parede plana, temos que a Resistencia Termica por condução é
definida por
associando esta equação com a Lei de OHM para resistência elétrica, temos
e que pela Lei de Newton de Resfriamento, obtém-se
conclui-se na expressa de Resistencia Térmica por Convecção,
FIGURA 2
É interessante entender o analise que pode-se obter através da montagem
de uma resistência como a da FIGURA 2. Por meio desta obtém-se uma
representação que ajuda contextualizar e quantificar os problemas de
transferência de calor. É possível determinar as propriedades de um circuito
térmico, através da separação de cada elemento no circuito e a consideração de
qx constante ao longo de todo o sistema.
Em termo de um diferencial de temperaturas, tal como T¥,1-T¥,2 e o
somatório das Resistências Térmicas, pode- se expressar a Transferência de
calor como,
sabendo que as resistências em condução e convecção estão em serie e
podem ser somadas, segue que
É importante saber que a troca de radiação entre superfícies e redores é
possível, só se o coeficiente de transferência de calor por convecção é pequeno
(costuma ser em gases). Sendo expressado da seguinte forma
3.1.3- PAREDE COMPOSITA
Assim como nos circuitos térmicos, as paredes compósitas podem ser
utilizadas para sistemas complexos. Estas paredes apresentam diferentes
quantidades de resistências térmicas em serie e em paralelo devido a suas
diferentes capas de diferentes materiais.
Neste caso, a taxa de transferência de calor (também unidimensional) para
a FIGURA 3 pode ser expressada por,
Também expressada como,
ou pelo método de separação de cada diferencial de temperatura com sua
resistência associada a cada elemento,
Em sistemas compósitos, existe uma expressão análoga à Lei de Newton
de resfriamento, antes mencionada, expressada como
e em geral , tem uma expressão que mostra a equivalência de circuitos térmicos
em serie ou paralelo numa parede compósita,
É importante sabe que numa parede compósita, o fluxo do calor pode ser
considerado com multidimensional, mas as vezes se assume como
unidimensional. Devido a isto, pode se considerar o seguinte:
• Se a superfície for normal a direção x, ela é assumida como
ISOTERMICA
• Se a superfície for paralela ao x, é assumida como ADIABATICA
3.1.4 RESISTENCIA POR CONTATO
Neste caso, é essencial reconhecer que, em sistemas de matéria
compósitos, a queda de temperatura cai através dos pequenos espaços que
existe entre as superfícies é evidente. Esta queda de temperatura é conhecida
como Resistencia térmica por contato.
onde esta resistência é expressada como
• Superfície em contato---Condução
• Espaços vazios entra superfícies---- Condução no vazio
Por ultimo e não menos importante, para melhorar esta condução é
necessário incrementar a área de contato melhorando a qualidade da superfície
ou incrementando a pressão nas superfícies para elas ficarem em maior contato.
Análise Alternativa de Condução
Vimos que pelo Procedimento Padrão, a equação do calor é resolvida através da
obtenção da distribuição de temperaturas.
Em seguida, com a Lei de Fourier é determinada a taxa de transferência de calor.
Entretanto, existe um procedimento alternativo, que nos permite chegar ao resultado
desejado diretamente através da Lei de Fourier, mesmo sem se conhecer a taxa de
transferência e a distribuição de temperatura.
Para a aplicação da Análise Alternativa, devemos contar com as seguintes
considerações:
• Regime Estacionário;
• Transferência Unidimensional;
• Sem geração de Calor;
Ou seja:
!
Placa Plana
Forma Integrada de Fourier:
Sendo ! a taxa de transferência de calor por condução, e a área da seção
transversal, que pode ser uma função conhecida de x.
Temos:
Sendo assim, para se calcular a taxa, basta isolar ! .
qx = qx+dx
qx
qx
Cilindro
A situação para o cilindro é análoga, entretanto existe uma consideração a mais a
se fazer:
- Superfícies interna e externa se encontram opostas a fluidos a diferentes
temperaturas;
- Unidimensional no sentido radial.
Desenvolvendo-se a equação temos que a taxa será:
Esfera
A mesma linha de raciocínio é utilizada para o cálculo em esferas. Portanto, temos
a equação integrada:
A taxa será:
Desenvolvimento a partir da Taxa
Uma vez que a taxa já tenha sido calculada a partir da analise alternativa, para
descobrir os outros parâmetros do sistema, devemos trabalhar a equação integrada e a
equação da taxa de forma que obtenhamos a forma necessária para aquisição do
resultado.
- Para calcular Equação de Transferência
Deve-se integrar novamente a equação de Fourier, utilizando de limites genéricos
! ou ! , de forma que, ao final da integração seja possível isolar o termo
! ou ! descobrindo-se a forma da Equação de Transferencia.
Após a integração em termos gerais, uma nova integração com os reais limites
pode ser feita pra que se descubra os parâmetros faltantes.
- Para calcular Resistência
Para a aquisição da resistência, após o cálculo da equação da taxa, deve-se
isolar o ! , e em seguida manipular a equação para que se obtenha a igualdade
! , que representa a Resistência.
T(x), x T(r), r
T(x) T(r)
ΔT
ΔT/q
Condução com geração de Energia Térmica
Na seção anterior, analisamos problemas de condução nos quais a distribuição
de temperaturas em um meio foi determinada somente pelas condições nas suas
fronteiras.
Desejamos analisar situações nas quais energia térmica está sendo gerada
decido à conversão de uma outra form de energia.
Processo comum: conversão de energia elétrica em energia térmica em um meio
que conduz corrente elétrica.
A taxa na qual a energia é gerada em função da passagem de uma corrente I
através de uma resistência Re:
𝐸̇ = 𝐼2
𝑅 𝑒 (1)
Se esta taxa de energia gerada (ou geração de potência) em [W] ocorre
uniformemente ao longo de todo o meio com volume V, então a taxa volumétrica
de geração (W/m³) é, então:
𝑞̇ =
𝐸 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎̇
𝑉
(2), caso a fonte seja de netureza elétrica, temos:
𝑞̇ =
𝐼2 𝑅 𝑒
𝑉
(3).
A parede plana
- Para um 𝑞̇ constante
- Para uma condutividade térmica K constante
Forma geral, em coordenadas cartesianas, da equação da difusão de calor:
Neste caso, adotaremos que a geração de energia não terá variação da taxa de
transferência de calor na coordenada y e nem na z, apenas terá fluxo térmico na
coordenada x.
A partir da equação (2.17), temos:
A solução geral é:
Com as condições de contorno:
T(-L) = Ts1 e T(+L) = Ts2 , temos:
A equação completa de distribuição de temperatura é:
Portanto, nota-se que com geração de energia, o fluxo e a tava são dependentes
de x.
Voltando novamente para a equação completa da distribuiçã de temperatura, há
uma simplificação quando as superfícies são mantidas constantes, ou seja,
Ts1=Ts2=Ts.
Dessa forma, a equação se resume em:
Por isso, conseguimos demonstrar que a temperatura máxima está no plano
central, para x=0.
Uma situação comum é aquela na qual T∞ é conhecido. Nesse caso, torna-se
necessário relacionar Ts com T∞. Para isso, faremos o seguinte equacoinamento:
Com a equação da distribuição de temperatura quando as superfícies são
isotérmicas, então podemos expressar a distribuição de temperaturas em termos
de grandezas conhecidas (𝑞̇, 𝐿, 𝐾, ℎ 𝑒 𝑇∞).
Sistemas radiais
Considere o cilindro sólido que pode representar um fio condutor de corrente
elétrica em regime estacionário então a taxa na qual o calor é gerado deve ser
igual à taxa na qual o calor é transferido por convecção, assim a temperatura da
superfície se mantenha fixo e igual a Ts.
Determinar a distribuição de temperaturas no cilindro, condutividade térmica K
constante:
Esta é a equação geral do calor em coordenadas cilíndricas.
Neste caso, adotaremos que a geração de energia não terá variação da taxa de
transferência de calor na coordenada ∅ e nem na z, apenas terá fluxo térmico no
sentido radial (coordenada r).
Para a condutividade térmica constante, a euqação completa se reduz a:
Consequentemente, a distribuição de temperatura é:
Para relacionar Ts (superfície) com T∞ ( fluifo frio), um balanço de energia global
pode ser usado.
Esféricas
De modo análogo ao que foi feito anteriormente:
Condições de contorno:
- Para r=0, temos que
𝑑𝑇
𝑑𝑟
= 0
- Para r=r0, temos que T(r0) = Ts.
Portanto, temos a seguinte distribuição de temperaturas:

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Resumo final (grupo g)

  • 1. DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO DE CONDUÇÃO COORDENADAS RETANGULARES Consideremos agora a maneira na qual a distribuição de temperatura pode ser determinada. Essa distribuição de temperatura pode ser determinada pela aplicação da conservação da energia. Nesse caso, definimos um volume de controle diferencial, identificamos os processos relevantes de transferência de energia e introduzimos as equações das taxas de transferência de calor apropriadas. O resultado é uma equação diferencial cuja solução, para condições de contorno descritas, fornece a distribuição de temperatura no meio. Figura 1 – Volume de controle diferencial, ,.. dzdydx para a análise da condução de calor em coordenadas cartesianas. Considere um meio homogêneo dentro do qual não existe movimento global e a distribuição de temperatura ( )zyxT ,, é expressa em coordenadas cartesianas. Inicialmente definimos um pequeno volume de controle infinitesimal (diferencial), ,.. dzdydx conforme mostrado na figura 1. Usando a primeira lei da termodinâmica para formular o problema num dado instante de tempo, a segunda etapa é considerar os processos de energia que são relevantes para esse volume de controle. Se existirem gradientes de temperatura, haverá transferência de calor por condução através de cada uma das superfícies de controle.
  • 2. As taxas de calor por condução perpendiculares a cada uma das superfícies de controle nos pontos com coodenadas x, y e z são indicadas pelos termos ,xq yq e ,zq respectivamente. As taxas de transferência de calor por condução nas superfícies opostas podem ser então expressas como uma expansão da série de Taylor, onde, desprezando os termos de ordem superiores: dx x q qq x xdxx ∂ ∂ +=+ (1) dy y q qq y ydyy ∂ ∂ +=+ (2) dz z q qq z zdzz ∂ ∂ +=+ (3) Em palavras, a equação 1 afirma simplesmente que a componente x da taxa de transferência de calor na direção do eixo x, na posição ,dxx + é igual ao valor dessa componente em x somado à quantidade pela qual ela varia em relação a x multiplicado por dx. No interior do meio pode haver também um termo para representar uma fonte de energia, que está associado à taxa de geração de energia térmica. Esse termo é representado por dxdydzqEg && = (4) em que q& é a taxa na qual a energia é gerada por unidade de volume do meio (W/m3 ). Além disso, podem ocorrer variações na quantidade de energia térmica armazenada pelo material no volume de controle. Se o material não sofre mudança de fase, não há o efeito de energia latente, e a energia armazenada pode ser dada por: dxdydz t T cE par ∂ ∂ = ρ& (5)
  • 3. em que tTcp ∂∂ρ é a taxa de variação com o tempo da energia sensível (térmica) do meio por unidade de volume. Mais uma vez, é importante observar que os termos gE& e arE& representam processos físicos diferentes. O termo referente a geração de energia gE& é uma manifestação de algum processo de conversão de energia que envolve de um lado energia térmica e do outro a energia química, elétrica e/ou nuclear. Esse termo é positivo (uma fonte) se a energia térmica está sendo gerada no material à custa de uma outra forma de energia, e negativo (sumidouro) se a energia térmica estiver sendo consumida. Por outro lado, o termo relativo ao armazenamento ou acúmulo de energia arE& refere-se à taxa de variação da energia térmica armazenada pela matéria. A última etapa consiste em representar a conservação da energia utilizando as equações de taxas previamente apresentadas. Com base nas taxas, a forma geral da exigência de conservação de energia é arsge EEEE &&&& =−+ Logo, reconhecendo as taxas de condução que entram, ,eE& e as taxas de condução que saem, ,sE& e substituindo as equações 4 e 5, obtemos dxdydz t T cqqqdxdydzqqqq pdzzdyydxxzyx ∂ ∂ =−−−+++ +++ ρ& (6) Substituindo as equações 1, 2 e 3, segue que dxdydz t T cdxdydzqdz z q dy y q dx x q p zyx ∂ ∂ =+ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ρ& (7) As taxas de calor por condução podem ser avaliadas a partir da lei de Fourier: x T kdydzqx ∂ ∂ −= (8)
  • 4. y T kdxdzqy ∂ ∂ −= (9) z T kdxdyqz ∂ ∂ −= (10) em que cada componente do fluxo de calor das equações 8, 9 e 10 foram multiplicados pela área da superfície (diferencial) de controle apropriada, a fim de se obter a taxa de transferência de calor. Substituindo as derivadas das equações 8, 9 e 10 na equação 7 e dividindo todos os termos pelas dimensões do volume de controle ( ),.. dzdydx obtemos: t T cq z T k zy T k yx T k x p ∂ ∂ =+      ∂ ∂ ∂ ∂ +      ∂ ∂ ∂ ∂ +      ∂ ∂ ∂ ∂ ρ& (11) A equação 11 é a forma geral da equação de difusão de calor em coordenadas cartesianas. Essa equação, conhecida como equação do calor, é a ferramenta básica para a análise da condução de calor. A partir de sua solução, obtemos a distribuição de temperatura ( )zyxT ,, como uma função do tempo. A aparente complexidade dessa expressão não deve obscurecer o fato de que ela descreve uma condição física importante, ou seja, a conservação de energia. Devemos ter um entendimento claro do significado físico de cada um dos termos que aparecem nessa equação. Por exemplo, o termo ( ) xxTk ∂∂∂∂ está relacionado ao fluxo líquido de calor por condução para o interior do volume de controle na direção da coordenada do eixo x. Dessa forma, multiplicando essa parcela por dx, tem-se: "" dxxx qqdx x T k x +−=      ∂ ∂ ∂ ∂ (12) com expressões similares aplicadas aos fluxos nas direções y e z. Portanto, em palavras, a equação do calor, equação 11, estabelece que, em qualquer ponto do meio, a taxa de energia líquida transferida por condução para o interior de um volume unitário somado
  • 5. à taxa volumétrica de geração de energia térmica deve ser igual à taxa de variação da energia térmica armazenada no interior desse volume. Com frequência, é possível trabalhar com versões simplificadas da equação 11. Por exemplo, se a condutividade térmica for constante, a equação do calor é: t T k q y T y T x T ∂ ∂ =+ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ α 1 2 2 2 2 2 2 & (13) em que pck ρα = é a difusividade térmica do meio. Simplificações adicionais da forma geral da equação do calor são frequentemente possíveis. Por exemplo, sob condições de regime estacionário, não há variação na quantidade da energia armazenada; então, a equação 11 se reduz a 0=+      ∂ ∂ ∂ ∂ +      ∂ ∂ ∂ ∂ +      ∂ ∂ ∂ ∂ q z T k zy T k yx T k x & (14) Além disso, se a transferência de calor for unidimensional (por exemplo, na direção do eixo x) e se não houver geração de energia, a equação 11 se reduz a 0=      dx dT k dx d (15) A importante consequência desse resultado é que, sob estado estacionário, unidimensional, sem geração se energia, o fluxo de calor é uma constante na direção da transferência ( ).0" =dxdqx A equação do calor também pode ser escrita em coordenadas cilíndricas e esféricas. Os volumes de controle diferenciais para esses dois sistemas são mostrados nas figuras 3 e 4. COORDENADAS CILÍNDRICAS Quando o operador ( )∇ é representado em coordenadas cilíndricas, a forma geral do vetor fluxo de calor, e, portanto, a lei de Fourier, é
  • 6.       ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ −=∇−= z T k T r j r T ikTkq φ 1" (16) em que z T kq T r k q r T kq zr ∂ ∂ −= ∂ ∂ −= ∂ ∂ −= """ φφ (17) são as componentes do fluxo de calor nas direções radial, circunferencial e axial, respectivamente. É importante observar que o gradiente de temperatura na lei de Fourier deve possuir unidades de K/m. Por esse motivo, ao avaliar o gradiente para uma coordenada angular, ele deve estar expresso em termos de uma variação diferencial do comprimento de arco. Por exemplo, a componente do fluxo de calor na direção circunferencial no sistema de coordenadas cilíndricas é ( )( )φφ ∂∂−= Trkq e não ( ).φφ ∂∂−= Tkq Isso pode ser visto mais facilmente pela figura 2: Figura 2 – Esquema utilizado para calcular o fluxo de calor na direção circunferencial de um sistema de coordenadas cilíndricas. Considerando um volume de controle diferencial da figura 3, de volume ,.. dzrddrdV φ= e aplicando o princípio da conservação da energia em forma de taxa obtém-se: argdzzzddrrr EEqqqqqq && =+−+−+− +++ φφφ (18) O termo de geração de energia é calculado como: ( )dzrddrqdVqEg .. φ&&& == (19)
  • 7. Figura 3 – Volume de controle diferencial ,.. dzrddr φ para a análise da condução de calor em coordenadas cilíndricas ( ).,, zr φ O termo de armazenamento pode ser calculado como: ( ) t T cdzrddr t T dVcE ppar ∂ ∂ = ∂ ∂ = .. φρρ& (20) As taxas de calor por condução perpendiculares a cada uma das superfícies de controle nos pontos com coodenadas φ,r e z são indicadas pelos termos ,rq φq e ,zq respectivamente. As taxas de transferência de calor por condução nas superfícies opostas podem ser então expressas como uma expansão da série de Taylor, onde, desprezando os termos de ordem superiores: dr r q qq r rdrr ∂ ∂ +=+ (21) φ φ φ φφφ d q qq d ∂ ∂ +=+ (22) dz z q qq z zdzz ∂ ∂ +=+ (23)
  • 8. Utilizando a lei de Fourier, as expressões para as taxas de transferência de calor por condução são: ( ) r T dzrdk r T kAq rr ∂ ∂ −= ∂ ∂ −= φ (24) ( ) φφ φφ ∂ ∂ −= ∂ ∂ −= r T drdzk r T kAq (25) ( ) z T rddrk z T kAq zz ∂ ∂ −= ∂ ∂ −= φ. (26) Substituindo as equações 19, 20, 21, 22 e 23 na equação 18 obtém-se: ( ) ( ) t T cdzrddrdzrddrq z qq r q p zr ∂ ∂ =+ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − .... φρφ φ φ & (27) Substituindo as equações 24, 25 e 26 na equação 27 obtém-se: ( ) ( ) ( ) dz z T rddrk z d r T drdzkdr r T dzrdk r       ∂ ∂ − ∂ ∂ −      ∂ ∂ − ∂ ∂ −      ∂ ∂ − ∂ ∂ − φφ φφ φ . ( ) ( ) t T cdzrddrdzrddrq p ∂ ∂ =+ .... φρφ& (28) Dividindo a equação 28 por dzrddr .. φ e rearranjando obtém-se: t T cq z T k z T k rr T kr rr p ∂ ∂ =+      ∂ ∂ ∂ ∂ +      ∂ ∂ ∂ ∂ +      ∂ ∂ ∂ ∂ ρ φφ &2 11 (29)
  • 9.  Equação da difusão em coordenadas esféricas Para analisar a transferência de calor em um esfera, faz-se um processo análogo aos anteriores. Pega-se um volume de controle como mostrado na figura a seguir: Tem-se que as dimensões deste volume de controle são: Logo, o volume do volume de controle é: 𝑉 = 𝑟2 ∆𝑟∆𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃∆𝜑 Além disso, como faremos uma análise unidimensional, temos fluxo apenas no sentido radial, como mostrado abaixo.
  • 10. Aplicando, neste volume de controle, o balanço de energia tem-se: 𝐸𝑒̇ − 𝐸𝑠̇ + 𝐸𝑔̇ = 𝐸𝑎𝑐̇ Onde: 𝐸𝑒̇ = 𝑞𝑟 𝐸𝑠̇ = 𝑞𝑟 + 𝑑𝑞𝑟 𝑑𝑟 𝐸𝑔̇ = 𝑞̇ 𝑉 𝐸𝑎𝑐̇ = 𝜌𝐶𝑝𝑉 𝜕𝑇 𝜕𝑡 Substituindo as equações acima na equação do balanço de energia, tem- se: (𝑞𝑟) − ( 𝑞𝑟 + 𝑑𝑞𝑟 𝑑𝑟 ∆𝑟) + 𝑞̇ 𝑉 = 𝜌𝐶𝑝𝑉 𝜕𝑇 𝜕𝑡 Simplificando os termos possíveis, tem-se: − ( 𝑑𝑞𝑟 𝑑𝑟 ∆𝑟) + 𝑞̇ 𝑉 = 𝜌𝐶𝑝𝑉 𝜕𝑇 𝜕𝑡 Sabemos pela lei de Fourier, que: 𝑞𝑟 = −𝑘𝐴 𝜕𝑇 𝜕𝑟 Então, substituindo na equação 1, tem-se: 𝜕 𝜕𝑟 (𝑘𝐴 𝜕𝑇 𝜕𝑟 ∆𝑟) + 𝑞̇ 𝑉 = 𝜌𝐶𝑝𝑉 𝜕𝑇 𝜕𝑡
  • 11. Sabe-se que A é a área da seção transversal normal ao fluxo térmico que no caso está na direçao radial. Observando-se a terceira figura, nota-se que: 𝐴 = 𝑟2 ∆𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃∆𝜑 Logo: 𝜕 𝜕𝑟 (𝑘𝑟2 ∆𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃∆𝜑 𝜕𝑇 𝜕𝑟 ∆𝑟) + 𝑞̇ 𝑉 = 𝜌𝐶𝑝𝑉 𝜕𝑇 𝜕𝑡 Observando-se os termos na primeira derivada parcial, pode-se perceber q vários termos não dependem do raio, e portanto podem ser retirados da derivada como constantes. É importante lembrar também que ∆𝑟 representa um pedacinho fixo de r, portanto também é constante . Temos então: 𝑘∆𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃∆𝜑∆𝑟 𝜕 𝜕𝑟 (𝑟2 𝜕𝑇 𝜕𝑟 ) + 𝑞̇ 𝑉 = 𝜌𝐶𝑝𝑉 𝜕𝑇 𝜕𝑡 Pode-se reparar também que o volume aparece em dois dos 3 termos da equação, e representa boa parte do que multiplica a equação diferencial, logo é interessante dividir toda a equação pelo volume (cuja equação foi apresentada no início) para simplificá-la. Obtém-se então o resultado final para a equação geral da difusão em coordenadas esféricas unidimensional: 𝑘 𝑟2 𝜕 𝜕𝑟 (𝑟2 𝜕𝑇 𝜕𝑟 ) + 𝑞̇ = 𝜌𝐶𝑝 𝜕𝑇 𝜕𝑡
  • 12. L x Condições de Contorno  Condição de Dirichlet ou de 1ª espécie: - Temperatura prescrita. ( )  Condição de Neumann ou de 2ª espécie: a) Fluxo térmico constante | b) Superfície termicamente isolada ou adiabática: |  Condição de 3ª espécie: - Convecção. | ( ) Exemplo de aplicação das condições de contorno a uma placa plana unidimensional: x Equação da difusão: ̇ Assumindo regime permanente e sem geração de calor: ̇ Portanto a equação resultante é:
  • 13. Integrando-a duas vezes, obtemos: ( ) Aplicando agora as condições de contorno.  Em , temos um fluxo térmico constante: | |  Em , temos uma convecção: | ( ) ( ) ( ) Dessa forma, a equação final será: ( ) ( )
  • 14. CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL COM REGIME PERMANENTE NUMA PAREDE PLANA E RESISTENCIA Em uma condução unidimensional em uma parede plana, considerando condições num estado estável e regime permanente, a temperatura é uma função só da coordenada “x” e o calor nesta é transmitida só nessa coordenada também. Considerando a distribuição da temperatura dentro da parede, é importante considerar o seguinte: PRIMEIRO SEGUNDO Achar distribuição de temperaturaà A partir dela achar a taxa de transferência de calor 3.1.1- DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA NUMA PAREDE PLANA Isto pode ser determinado ao resolver a equação de calor utilizando as condições de contorno corretas: • Começa considerando: (1) • Para isto se considera: o Unidimensional o Regime permanente o Sem geração de calor o Fluxo de calor constante o Fluxo só na coordenada “x” Se procede a integrar duas vezes a equação (1), obtendo: (2) Se escolhem as condições de contorno: (3)
  • 15. Agora se acham as constantes, com a primeira condição, Porque C2 não depende de “x” ou neste caso “L”, então Achando C1, Substituindo C1 em T(x), Podemos perceber que T(x) varia linearmente em “x”. Utilizando a Lei de Fourier achamos a condução da taxa de transferência de calor, Nota-se que “A” é a área da normal da parede em relação à direção da transferência de calor, então o fluxo de calor se expressa: Onde se mostra que qx e qx ” são constantes e independentes de “x”. 3.1.2 RESISTENCIA TERMICA Considerando de novo que o fluxo de calor é unidimensional, sem geração interna de energia e com propriedade de regime permanente pode-se fazer a analogia entre difusão de calor e carga elétrica.
  • 16. É importante saber que: • Resistencia Elétrica--- tem condução de eletricidade • Resistencia Térmica---tem condução de calor Em uma parede plana, temos que a Resistencia Termica por condução é definida por associando esta equação com a Lei de OHM para resistência elétrica, temos e que pela Lei de Newton de Resfriamento, obtém-se conclui-se na expressa de Resistencia Térmica por Convecção, FIGURA 2 É interessante entender o analise que pode-se obter através da montagem de uma resistência como a da FIGURA 2. Por meio desta obtém-se uma representação que ajuda contextualizar e quantificar os problemas de transferência de calor. É possível determinar as propriedades de um circuito térmico, através da separação de cada elemento no circuito e a consideração de qx constante ao longo de todo o sistema.
  • 17. Em termo de um diferencial de temperaturas, tal como T¥,1-T¥,2 e o somatório das Resistências Térmicas, pode- se expressar a Transferência de calor como, sabendo que as resistências em condução e convecção estão em serie e podem ser somadas, segue que É importante saber que a troca de radiação entre superfícies e redores é possível, só se o coeficiente de transferência de calor por convecção é pequeno (costuma ser em gases). Sendo expressado da seguinte forma 3.1.3- PAREDE COMPOSITA Assim como nos circuitos térmicos, as paredes compósitas podem ser utilizadas para sistemas complexos. Estas paredes apresentam diferentes quantidades de resistências térmicas em serie e em paralelo devido a suas diferentes capas de diferentes materiais.
  • 18. Neste caso, a taxa de transferência de calor (também unidimensional) para a FIGURA 3 pode ser expressada por, Também expressada como, ou pelo método de separação de cada diferencial de temperatura com sua resistência associada a cada elemento, Em sistemas compósitos, existe uma expressão análoga à Lei de Newton de resfriamento, antes mencionada, expressada como e em geral , tem uma expressão que mostra a equivalência de circuitos térmicos em serie ou paralelo numa parede compósita, É importante sabe que numa parede compósita, o fluxo do calor pode ser considerado com multidimensional, mas as vezes se assume como unidimensional. Devido a isto, pode se considerar o seguinte: • Se a superfície for normal a direção x, ela é assumida como ISOTERMICA • Se a superfície for paralela ao x, é assumida como ADIABATICA
  • 19. 3.1.4 RESISTENCIA POR CONTATO Neste caso, é essencial reconhecer que, em sistemas de matéria compósitos, a queda de temperatura cai através dos pequenos espaços que existe entre as superfícies é evidente. Esta queda de temperatura é conhecida como Resistencia térmica por contato. onde esta resistência é expressada como • Superfície em contato---Condução • Espaços vazios entra superfícies---- Condução no vazio Por ultimo e não menos importante, para melhorar esta condução é necessário incrementar a área de contato melhorando a qualidade da superfície ou incrementando a pressão nas superfícies para elas ficarem em maior contato.
  • 20.
  • 21. Análise Alternativa de Condução Vimos que pelo Procedimento Padrão, a equação do calor é resolvida através da obtenção da distribuição de temperaturas. Em seguida, com a Lei de Fourier é determinada a taxa de transferência de calor. Entretanto, existe um procedimento alternativo, que nos permite chegar ao resultado desejado diretamente através da Lei de Fourier, mesmo sem se conhecer a taxa de transferência e a distribuição de temperatura. Para a aplicação da Análise Alternativa, devemos contar com as seguintes considerações: • Regime Estacionário; • Transferência Unidimensional; • Sem geração de Calor; Ou seja: ! Placa Plana Forma Integrada de Fourier: Sendo ! a taxa de transferência de calor por condução, e a área da seção transversal, que pode ser uma função conhecida de x. Temos: Sendo assim, para se calcular a taxa, basta isolar ! . qx = qx+dx qx qx
  • 22. Cilindro A situação para o cilindro é análoga, entretanto existe uma consideração a mais a se fazer: - Superfícies interna e externa se encontram opostas a fluidos a diferentes temperaturas; - Unidimensional no sentido radial. Desenvolvendo-se a equação temos que a taxa será: Esfera A mesma linha de raciocínio é utilizada para o cálculo em esferas. Portanto, temos a equação integrada: A taxa será: Desenvolvimento a partir da Taxa Uma vez que a taxa já tenha sido calculada a partir da analise alternativa, para descobrir os outros parâmetros do sistema, devemos trabalhar a equação integrada e a equação da taxa de forma que obtenhamos a forma necessária para aquisição do resultado.
  • 23. - Para calcular Equação de Transferência Deve-se integrar novamente a equação de Fourier, utilizando de limites genéricos ! ou ! , de forma que, ao final da integração seja possível isolar o termo ! ou ! descobrindo-se a forma da Equação de Transferencia. Após a integração em termos gerais, uma nova integração com os reais limites pode ser feita pra que se descubra os parâmetros faltantes. - Para calcular Resistência Para a aquisição da resistência, após o cálculo da equação da taxa, deve-se isolar o ! , e em seguida manipular a equação para que se obtenha a igualdade ! , que representa a Resistência. T(x), x T(r), r T(x) T(r) ΔT ΔT/q
  • 24. Condução com geração de Energia Térmica Na seção anterior, analisamos problemas de condução nos quais a distribuição de temperaturas em um meio foi determinada somente pelas condições nas suas fronteiras. Desejamos analisar situações nas quais energia térmica está sendo gerada decido à conversão de uma outra form de energia. Processo comum: conversão de energia elétrica em energia térmica em um meio que conduz corrente elétrica. A taxa na qual a energia é gerada em função da passagem de uma corrente I através de uma resistência Re: 𝐸̇ = 𝐼2 𝑅 𝑒 (1) Se esta taxa de energia gerada (ou geração de potência) em [W] ocorre uniformemente ao longo de todo o meio com volume V, então a taxa volumétrica de geração (W/m³) é, então: 𝑞̇ = 𝐸 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎̇ 𝑉 (2), caso a fonte seja de netureza elétrica, temos: 𝑞̇ = 𝐼2 𝑅 𝑒 𝑉 (3).
  • 25. A parede plana - Para um 𝑞̇ constante - Para uma condutividade térmica K constante Forma geral, em coordenadas cartesianas, da equação da difusão de calor: Neste caso, adotaremos que a geração de energia não terá variação da taxa de transferência de calor na coordenada y e nem na z, apenas terá fluxo térmico na coordenada x. A partir da equação (2.17), temos: A solução geral é: Com as condições de contorno: T(-L) = Ts1 e T(+L) = Ts2 , temos:
  • 26. A equação completa de distribuição de temperatura é: Portanto, nota-se que com geração de energia, o fluxo e a tava são dependentes de x. Voltando novamente para a equação completa da distribuiçã de temperatura, há uma simplificação quando as superfícies são mantidas constantes, ou seja, Ts1=Ts2=Ts. Dessa forma, a equação se resume em: Por isso, conseguimos demonstrar que a temperatura máxima está no plano central, para x=0. Uma situação comum é aquela na qual T∞ é conhecido. Nesse caso, torna-se necessário relacionar Ts com T∞. Para isso, faremos o seguinte equacoinamento: Com a equação da distribuição de temperatura quando as superfícies são isotérmicas, então podemos expressar a distribuição de temperaturas em termos de grandezas conhecidas (𝑞̇, 𝐿, 𝐾, ℎ 𝑒 𝑇∞). Sistemas radiais Considere o cilindro sólido que pode representar um fio condutor de corrente elétrica em regime estacionário então a taxa na qual o calor é gerado deve ser igual à taxa na qual o calor é transferido por convecção, assim a temperatura da superfície se mantenha fixo e igual a Ts.
  • 27. Determinar a distribuição de temperaturas no cilindro, condutividade térmica K constante: Esta é a equação geral do calor em coordenadas cilíndricas. Neste caso, adotaremos que a geração de energia não terá variação da taxa de transferência de calor na coordenada ∅ e nem na z, apenas terá fluxo térmico no sentido radial (coordenada r). Para a condutividade térmica constante, a euqação completa se reduz a: Consequentemente, a distribuição de temperatura é: Para relacionar Ts (superfície) com T∞ ( fluifo frio), um balanço de energia global pode ser usado. Esféricas De modo análogo ao que foi feito anteriormente:
  • 28. Condições de contorno: - Para r=0, temos que 𝑑𝑇 𝑑𝑟 = 0 - Para r=r0, temos que T(r0) = Ts. Portanto, temos a seguinte distribuição de temperaturas: