O documento descreve o método gráfico para resolver problemas bidimensionais de condução de calor. O método envolve a construção de um gráfico de fluxos com isotermas perpendiculares às linhas de fluxo térmico. Isto permite estimar a distribuição de temperaturas e a taxa de transferência de calor. O documento fornece detalhes sobre como construir o gráfico de fluxos e usar para calcular o fator de forma e a taxa de transferência de calor.

1. 4S.1
O Método Gráfico
O método gráfico pode ser empregado em problemas bidimensionais que envolvam
fronteiras adiabáticas e isotérmicas. Embora tenha sido substituída por soluções
computacionais baseadas em procedimentos numéricos, essa abordagem pode ser
usada para se obter uma primeira estimativa da distribuição de temperaturas e para
desenvolver-se uma percepção da natureza física do campo de temperatura e da taxa
de transferência de calor.
4S.1.1 Metodologia para a Construção de um Gráfico de Fluxos
O método gráfico está embasado no fato de que as curvas de temperatura constante
(isotermas) devem ser perpendiculares às linhas que indicam a direção do fluxo térmico
(ver Figura 4.1). O objetivo do método gráfico é construir de maneira sistemática uma
rede de isotermas e linhas de fluxo. Essa rede, comumente denominada gráfico de
fluxos, é usada para se inferir a distribuição de temperaturas e a taxa de transferência
de calor através do sistema.
Considere um canal bidimensional, quadrado, cujas superfícies interna e externa
são mantidas a T1 e T2, respectivamente. Uma seção transversal do canal é mostrada
na Figura 4S.1a. Um procedimento para a construção do gráfico de fluxos, mostrado
em parte na Figura 4S.1b, é apresentado a seguir.
1. A primeira etapa é a identificação de todas as linhas de simetria relevantes. Tais
linhas são determinadas por condições térmicas, bem como geométricas. Para o
canal quadrado da Figura 4S.1a, tais linhas incluem as linhas verticais, horizon-
tais e diagonais destacadas. Nesse sistema é então possível considerar somente um
oitavo de sua configuração, como mostra a Figura 4.S1b.
2. As linhas de simetria são adiabáticas no sentido de que não pode existir transfe-
rência de calor em uma direção normal a essas linhas. Elas são, portanto, linhas
de fluxo térmico e devem ser assim tratadas. Uma vez que não há fluxo de calor
em uma direção normal a uma linha de fluxo, ela pode ser chamada uma adiá-
bata.
3. Após a identificação de todas as linhas de temperatura constante conhecidas, deve-
se fazer uma tentativa de esboço de linhas de temperatura constante no interior do
sistema. Note que as isotermas devem ser sempre normais às adiábatas.
4. Devem-se então desenhar linhas de fluxo de calor tendo em vista a criação de
uma rede de quadrados curvilíneos. Isto é realizado impondo-se que as linhas
de fluxo de calor e as isotermas se cruzem em ângulos retos e exigindo-se que
todos os lados de cada quadrado tenham aproximadamente o mesmo compri-
mento. Com freqüência é impossível satisfazer essa segunda exigência de forma
exata, e é mais realista objetivar a igualdade entre as somas dos lados opostos,
como mostra a Figura 4S.1c. Atribuindo-se a coordenada x à direção do fluxo
de calor e a coordenada y à direção normal a esse fluxo, pode-se representar a
exigência por
É difícil criar uma rede satisfatória de quadrados curvilíneos na primeira tentativa
e, com freqüência, são necessárias numerosas iterações. Esse processo de tentativa e
erro envolve o ajuste das isotermas e adiábatas até que quadrados curvilíneos satis-
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2. CD-2 Capítulo 4S.1
fatórios sejam obtidos na maior parte da rede.1
Uma vez obtido o gráfico de fluxos,
pode-se usá-lo para inferir a distribuição de temperaturas no meio. Então, a partir de
uma análise simples, a taxa de transferência de calor pode ser obtida.
4S.1.2 Determinação da Taxa de Transferência de Calor
A taxa à qual energia é conduzida através de uma faixa, que é a região entre adiábatas
adjacentes, é designada por qi. Se o gráfico de fluxos for construído de forma correta,
o valor de qi será aproximadamente o mesmo em todas as faixas e a taxa de transfe-
rência de calor total pode ser representada por
em que M é o número de faixas utilizadas no gráfico. Com base no quadrado curvilíneo
da Figura 4S.1c e na aplicação da lei de Fourier, qi pode ser escrita na forma
na qual Tj é a diferença de temperaturas entre isotermas sucessivas, Ai é a área de
transferência de calor para a condução na faixa e l é o comprimento do canal na
direção normal à página. Entretanto, como o incremento de temperatura entre todas
as isotermas adjacentes é aproximadamente o mesmo, a diferença global de tempe-
raturas entre fronteiras, T12, pode ser representada como
sendo N o número total de incrementos de temperatura. Combinando as Equações 4S.2
a 4S.4 e reconhecendo que x  y para os quadrados curvilíneos, obtemos
FIGURA 4S.1 Condução bidimensional em um canal quadrado de comprimento l. (a) Planos de
simetria. (b) Gráfico de fluxos. (c) Quadrado curvilíneo típico.
1
Em certas regiões, tais como vértices, pode ser impossível satisfazer à exigência de quadrados curvilíneos.
Entretanto, tais dificuldades geralmente têm um pequeno efeito na precisão global dos resultados obtidos
a partir do gráfico de fluxos.
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3. O Método Gráfico CD-3
A maneira como o gráfico de fluxos pode ser empregado para se obter a taxa de
transferência de calor em um sistema bidimensional fica evidente na Equação 4S.5.A
razão entre o número de faixas para o escoamento do calor e o número de incrementos
de temperatura (o valor de M/N) pode ser obtida a partir do gráfico. Lembre-se de que
a especificação de N é baseada na etapa 3 do procedimento descrito anteriormente,
e seu valor, que é um número inteiro, pode ser grande ou pequeno, dependendo da
precisão desejada. O valor de M é então uma conseqüência da obediência ao especifi-
cado para a etapa 4. Note que M não é necessariamente um inteiro, uma vez que uma
faixa fracionária pode ser necessária para se atingir uma rede satisfatória de quadrados
curvilíneos. Na rede da Figura 4S.1b, N  6 e M  5. Naturalmente, à medida que a
rede, ou malha, de quadrados curvilíneos é feita mais fina, N e M aumentam e a esti-
mativa de M/N torna-se mais precisa.
4S.1.3 O Fator de Forma da Condução
A Equação 4S.5 pode ser usada para definir o fator de forma, S, de um sistema bidi-
mensional. Ou seja, a taxa de transferência de calor pode ser representada por
em que, para um dado gráfico de fluxos,
A partir da Equação 4S.6, tem-se também que uma resistência térmica condutiva
bidimensional pode ser escrita na forma
Foram obtidos fatores de forma para numerosos sistemas bidimensionais, e os
resultados estão resumidos na Tabela 4.1 para algumas configurações simples.
Nos casos 1 a 9 e no caso 11, presume-se que a condução bidimensional ocorra
entre fronteiras que são mantidas a temperaturas uniformes, com T12 
T1  T2. No caso 10 a condução é entre uma superfície isotérmica (T1) e um meio
semi-infinito de temperatura uniforme (T2) em locais bem distantes da superfície.
Fatores de forma também podem ser definidos para geometrias unidimensionais.
Com base nos resultados da Tabela 3.3, tem-se que para paredes planas, cilín-
dricas e esféricas, respectivamente, os fatores de forma são: A/L, 2L/ln(r2/r1) e
4r1r2/(r2  r1). Resultados para muitas outras configurações estão disponíveis
na literatura [1-4].
EXEMPLO 4S.1
Um orifício com diâmetro D  0,25 m é perfurado no centro de um bloco sólido
com seção transversal quadrada, de lado w  1 m. O orifício é perfurado ao longo
do comprimento,l  2 m, do bloco, que possui uma condutividade térmica k 
150 W/(m  K). Um fluido quente escoando através do orifício mantém uma tempe-
ratura na superfície interna de T1  75°C, enquanto a superfície externa do bloco é
mantida a T2  25°C.
1. Usando o método do gráfico de fluxos, determine o fator de forma para o
sistema.
2. Qual é a taxa de transferência de calor através do bloco?
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4. CD-4 Capítulo 4S.1
SOLUÇÃO
Dados: Dimensões e condutividade térmica de um bloco com um orifício circular
perfurado ao longo do seu comprimento.
Achar:
1. Fator de forma.
2. Taxa de transferência de calor para as temperaturas superficiais especificadas.
Esquema:
Considerações:
1. Condições de regime estacionário.
2. Condução bidimensional.
3. Propriedades constantes.
4. Extremidades do bloco isoladas termicamente.
Análise:
1. O gráfico de fluxos pode ser simplificado pela identificação de linhas de sime-
tria, que permitem a redução do sistema a uma seção que representa um oitavo do
original, como mostra o esquema. Por meio de uma malha relativamente grosseira
envolvendo N  6 incrementos de temperatura, o gráfico de fluxos foi gerado. A
rede de quadrados curvilíneos resultante tem a forma a seguir.
Com o número de faixas para o escoamento do calor na seção analisada corres-
pondendo a M  3, segue-se da Equação 4S.7 que o fator de forma para todo o
bloco é
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5. O Método Gráfico CD-5
em que o fator igual a 8 aparece em função do número de seções simétricas. A
precisão desse resultado pode ser determinada pela comparação com a previsão
fornecida na Tabela 4.1, na qual, para o sistema em análise, caso 6, tem-se que
Assim, o resultado do gráfico de fluxos subestima o fator de forma em aproxima-
damente 7%. Note que, embora a exigência l » w não seja satisfeita neste problema,
o resultado para o fator de forma segundo a Tabela 4.1 permanece válido se a
condução de calor na direção axial do bloco for desprezível. Esta condição é satis-
feita se as extremidades do bloco estiverem isoladas.
2. Usando-se S  8,59 m na Equação 4S.6, a taxa de transferência de calor é de
Comentários: A precisão do gráfico de fluxos pode ser melhorada pela utilização
de uma malha mais fina (aumentando-se o valor de N). Como seriam modificadas
as linhas de simetria e as linhas de fluxo se as laterais verticais do bloco estivessem
isoladas? Se um lado vertical e um horizontal estivessem isolados? Se os lados verti-
cais e um dos horizontais estivessem isolados?
Referências
Problemas
Elaboração de Gráficos de Fluxos
4S.1 Uma longa fornalha, construída com tijolos refra-
tários com uma condutividade térmica de 1,2 W/(m
 K), possui a seção transversal mostrada na figura
com temperaturas nas superfícies interna e externa
iguais a 600 e 60°C, respectivamente. Determine o
fator de forma e a taxa de transferência de calor por
unidade de comprimento, usando o método do gráfico
de fluxos.
4S.2 Um tubo aquecido está inserido excentricamente no
interior de um material cuja condutividade térmica é de
0,5 W/(m  K), conforme mostra a figura. Utilizando o
método do gráfico de fluxos, determine o fator de forma
e a taxa de transferência de calor por unidade de compri-
mento, quando as temperaturas do tubo e da superfície
externa do material são 150 e 35°C, respectivamente.
4S.3 Uma estrutura de suporte, fabricada em um material cuja
condutividade térmica é de 75 W/(m  K), possui a seção
transversal mostrada.As superfícies indicadas encontram-
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6. CD-6 Capítulo 4S.1
se a temperaturas diferentes, T1  100°C e T2  0°C,
enquanto as demais laterais estão termicamente isoladas.
(a) Estime a temperatura na posição P.
(b) Usando o método do gráfico de fluxos, estime o
fator de forma e a taxa de transferência de calor, por
unidade de comprimento, através da estrutura.
(c) Esboce as isotermas para 25, 50 e 75°C.
(d) Considere a mesma geometria, agora com as super-
fícies com 0,1 m de largura isoladas, a superfície
a 45° mantida a uma temperatura T1  100°C e as
superfícies com 0,2 m de largura mantidas a T2 
0°C. Usando o método do gráfico de fluxos, estime
o fator de forma correspondente e a taxa de trans-
ferência de calor por unidade de comprimento.
Esboce as isotermas para 25, 50 e 75°C.
4S.4 Um líquido quente escoa em um canal em V escavado
em um sólido, cujas superfícies laterais e superiores
estão isoladas, enquanto a superfície inferior está em
contato com um refrigerante.
Dessa forma, a superfície do canal em V encontra-se
a uma temperatura T1, superior àquela da superfície
inferior, T2. Construa o gráfico de fluxos apropriado e
determine o fator de forma do sistema.
4S.5 Um fluido quente passa pelo interior de um duto muito
longo que possui seção transversal interna circular e cuja
condutividade térmica é de 1W/(m  K). O fluido mantém
a superfície interna do duto a uma temperatura T1  50°C.
As superfícies externas, de seção transversal quadrada,
estãoisoladasousãomantidasaumatemperaturauniforme
T2  20°C, dependendo da aplicação. Para cada caso, ache
o fator de forma e a taxa de transferência de calor.
4S.6 Uma longa coluna de sustentação, com seção trans-
versal trapezoidal, tem as superfícies laterais isoladas,
enquanto temperaturas de 100 e 0°C são mantidas em
suas superfícies superior e inferior, respectivamente.
A coluna é fabricada em aço AISI 1010 e as larguras
de suas superfícies superior e inferior são 0,3 e 0,6 m,
respectivamente.
(a) Usando o método do gráfico de fluxos, determine
a taxa de transferência de calor por unidade de
comprimento da coluna.
(b) Se a coluna trapezoidal for substituída por uma
barra do mesmo material, mas com seção trans-
versal quadrada de 0,3 m de lado, qual altura H a
barra deve possuir para que ela proporcione uma
resistência térmica equivalente?
4S.7 Barras prismáticas ocas, fabricadas em aço-carbono
não-ligado, têm 1 m de comprimento e as suas superfí-
cies superior e inferior, bem como as duas extremidades,
estão isoladas termicamente. Para cada barra, ache o
fator de forma e a taxa de transferência de calor por
unidade de comprimento da barra quando T1  500 K
e T2  300 K.
4S.8 As formas quadradas bidimensionais mostradas na
figura, com 1 m de aresta, são mantidas a tempera-
turas uniformes, T1  100°C e T2  0°C, em partes de
seus contornos, enquanto o restante se encontra isolado
termicamente.
Use o método do gráfico de fluxos para estimar a taxa
de transferência de calor por unidade de comprimento
normal à página, se a condutividade térmica for 50
W/(m  K).
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