Transferência de calor por condução - Equações e aplicações

Capítulo 8: Transferência de calor
por condução

Condução
• Equação da condução de calor;
• Condução de calor unidimensional e em regime
permanente;
• Aletas;
• Condução de calor bidimensional (Fator de Forma);
• Condução de calor em regime transiente.

Condução
• Um corpo sólido isolado está em equilíbrio térmico se a
sua temperatura for a mesma em qualquer parte do
corpo.
• Se a temperatura no sólido não for uniforme, calor será
transferido por atividade molecular das regiões de
temperaturas elevadas para as de baixas temperaturas.
• Este processo de transferência de calor por condução é
dependente do tempo e continuará ocorrendo até que
um campo uniforme de temperatura exista em todo o
corpo isolado.

Condução
• A transferência de energia ocorre por interação molecular
(associada a energia cinética entre as partículas
individuais ou em grupo, etc...) e não há transporte de
massa (sistema):

– Exemplos: ferro elétrico, moldes de fundição, parede
com isolamento, etc.

• Sua contribuição para o processo global de transferência
de calor pode ser bastante significativa, dependendo do
material usado.

Modelo de condução térmica
• O mecanismo de transferência de calor por condução
térmica consiste de um processo de difusão.

• Temperatura é “transportada” da região de maior
concentração para a de baixa concentração.

• Joseph Fourier modelou a difusão em função do
gradiente de temperatura e de uma constante de
proporcionalidade.

• O taxa de calor por unidade de área, ou fluxo de calor
( ), depende da área em que ele cruza, portanto
possui uma natureza vetorial.

• Fourier postulou que a taxa de
transferência de calor por unidade de
área da superfície é proporcional ao
gradiente de temperatura normal à
superfície (dT/dn). A cte de
proporcionalidade corresponde à
condutibilidade térmica do
material (k):

Perfil de temperatura ao longo
da linha a-a, paralela ao vetor
normal n


• Por que o sinal negativo na
lei de Fourier??
• Por que o fluxo de calor é
positivo quando flui na
direção do decréscimo da
temperatura (segunda lei da
termodinâmica).

Condutibilidade térmica (k)
• É uma propriedade termofísica do material através do
qual o calor flui.

• Usualmente refere-se a um material com comportamento
isotrópico e homogêneo

– Comportamento isotrópico: quando não há variação
de propriedade com a direção.

– Comportamento homogêneo: quando a propriedade é
constante em toda a superfície do material.

Condutibilidade térmica (k)
• Unidades: W/m. oC ou Btu/h.ft. oF.

• Em muitos materiais apresenta
uma grande dependência da
temperatura e uma pequena da
pressão.

• Para o mesmo fluxo de calor,
quanto maior for k menor é a
variação de temperatura ao longo
da superfície.

• O fluxo de calor na superfície diagonal da cunha de
baquelite é de 680 Btu/h.ft2. Determine o fluxo de calor
e o gradiente de temperatura nas direções x e y.

Kbaquelite = 0,8089 Btu/h x ftºF

• Uma lona de freio é pressionada contra um tambor
rotativo de aço. Calor é gerado na superfície de contato
tambor-lona na taxa de 200 W/m2. 90% do calor gerado
passa para o tambor de aço, o restante passa pela
lona. Determine os gradientes térmicos no ponto de
contato tambor-lona.
Kaço = 60,3 W/mºC
Klona = 0,013 W/mºC

• Uma lona de freio é pressionada contra um tambor rotativo de aço.
Calor é gerado na superfície de contato tambor-lona na taxa de
200 W/m2. 90% do calor gerado passa para o tambor de aço, o
restante passa pela lona. Determine os gradientes térmicos no
ponto de contato tambor-lona.

Formulação – Sistema infinitesimal
ou elemento do sólido

• Considerando que a conversão de alguma forma de
energia (elétrica, química) em energia térmica pode
ocorrer dentro do sistema.

Primeira Lei da Termodinâmica
• A taxa de transferência de calor do elemento é a soma
da taxa de transferência de calor através das fronteiras
do elemento e a taxa na qual energia térmica é gerada
internamente

• Aplicando a 1ª lei e considerando que não há realização
de trabalho e nem variação de energia cinética e
potencial, pode-se escrever que:

Taxa de troca de energia interna
• A única forma de energia presente no elemento é a
energia interna do material e pode-se escrever que:

• Admitiu-se que o calor específico é constante, pois as
variações de temperatura na barra é pequena.
• Também foi admitido que o sistema é incompressível.

Taxa líquida de condução
• A lei de Fourier é utilizada para determinar a taxa
líquida de transferência de calor por condução (material)
através das seis superfícies planas do elemento.
• Considerando a condutibilidade térmica do material
constante, a forma diferencial da taxa líquida de
condução:

Taxa de calor gerada internamente

• O calor gerado dentro do elemento é expresso em
termos de volume:

• Ou seja, refere-se à energia interna específica gerada
por unidade de volume.

Equação da condução de calor
• No sistema de coordenadas cartesianas, a equação
da condução de calor é:

• Ou

Equação da condução de calor
• No sistema de coordenadas cilíndricas, a equação da
condução de calor é:

Condições de contorno
• Para determinar a distribuição de temperatura em um
meio é necessário resolver a formulação correta da
equação de calor.

• Esta solução depende das condições físicas existentes
nas fronteiras do meio e, se a situação for dependente
do tempo, das condições existentes no meio em um
determinado instante (t).

• As condições de fronteira são chamadas de
condições de contorno.

: Coordenada perpendicular à superfície através do qual o calor é transferido.

Parede Finas
• Considerando uma camada de material que apresenta
um condutibilidade térmica constante k, espessura L e
temperaturas superficiais impostas T0 e TL.
• A solução deste problema é simples quando as
camadas podem ser consideradas finas, em
consideração as dimensões do corpo que está sendo
isolado.

Condução de calor unidimensional em RP

• Para um elemento unidimensional em que não haja
geração de calor interna e em regime permanente, da
equação da condução de calor pode-se escrever que:

• A solução geral:
Perfil linear de temperatura


• Para o caso em que os dois
lados da placa infinita estão em
temperaturas uniformes as
condições de contorno são:
– Para x = 0 => T = To
– Para x = L => T = TL
• Resolvendo a equação
diferencial com estas condições
de contorno obtém-se:


• O fluxo de calor pode ser calculado através da Lei de
Fourier como:

Fluxo de
Calor

Analogia: transferência de calor (RP)
e fluxo de corrente

Condução de calor unidimensional
em RP
• Caso uma condição de contorno de convecção esteja
presente em x = 0, as condições de contorno são:
– Para x = 0 => h(T∞ – T ) = -k(dT/dx)
– Para x = L => T = T2

em RP
• Para a condição de contorno de convecção:

em RP
• Para a condição de contorno de convecção, a taxa
de transferência de calor através da placa é:

em RP

• A taxa de transferência de
calor também pode ser
determinada na fronteira
com convecção:

em RP
• A taxa de transferência de calor também pode ser
determinada na análise do circuito térmico equivalente:

• A resistência total oferecida pelo sistema é a soma das
resistências oferecidas pela fronteira com convecção e
pelo sólido:

em RP

• A taxa total de transferência de calor pela placa é:

• Uma fita de aquecimento é fixada a uma face de uma grande placa
de liga de alumínio 2024-T6 com 3 cm de espessura. A outra face
da placa é exposta ao meio circunvizinho, que está a uma
temperatura de 20º C. O lado de fora da fita de aquecimento está
completamente isolado. Determinar a taxa de calor que precisa
ser fornecida para manter a superfície da placa que está exposta
ao ar a uma temperatura de 80º C. Determinar também a
temperatura da superfície na qual a fita de aquecimento está
fixada. O coeficiente de transferência de calor entre a superfície da
placa e o ar é de 5 W/m2 ºC.

Tq = ?

em RP
• No caso de parede compostas, o conceito de resistência
térmica pode ser utilizado de forma análoga a circuitos
elétricos série/paralelo

Cilindro oco
• O circuito térmico também pode ser usado para
determinar a taxa de transferência de calor
unidimensional em RP em cilindro oco ou composto.

• Neste caso a direção do fluxo será puramente radial.

• Considere um cilindro com raio interno ri e externo ro ,
comprimento L e temperaturas internas Ti e externa To.

Distribuição de temperatura -
unidimensional
• Considerando que não há geração interna de calor e
que o regime é permanente, a equação diferencial
apropriada para o cilindro oco é:

• As condições de contorno são:
– Para r = ri => T = Ti
– Para r = ro => T = To

• Integrando a equação:

Taxa de transferência de calor
• A expressão para a taxa total de transferência de calor é:

• A resistência equivalente oferecida pelo cilindro à
transferência de calor é:

Um tubo liso de aço carbono com diâmetro interno de 5,25 cm e
espessura de 0,78 cm, é recoberto com seis camadas de papel
corrugado de asbesto com 2 cm de espessura no total. A
temperatura do vapor de água no lado interno do tubo é de 150 °C
e o ar no lado externo é de 25 °C. Estime: i) a temperatura da
superfície do lado externo do isolamento e; ii) a taxa de
transferência de calor por metro de comprimento do tubo. Dados:
hvapor = 1500 W/m2°C ; har = 5 W/m2°C.

Transferência de calor
• É desejável em muitas aplicações industriais aumentar
a taxa de transferência de calor de uma superfície
sólida para um fluido adjacente.

• Para tanto é preciso analisar os parâmetros de projeto e
fazer as alterações necessárias para aumentar esta
transferência de calor.

Aumento de transferência de calor
• Considerando uma placa plana com temperatura da
superfície fixa (uniforme), a taxa de transferência de calor
pode ser elevada:
– Com o aumento da velocidade do fluido, que tem o efeito
de aumentar o coeficiente de transferência de calor (h);
– Com o aumento da diferença de temperaturas da
superfície e do fluido;
– Com o aumento da área da superfície transversal,
através da qual ocorre a convecção.
• As duas primeiras medidas podem, em alguns casos, ser
limitadas e se tornarem insuficientes, dispendiosas e/ou
impraticáveis.
• Uma das opções mais comuns é aumentar a área da
superfície transversal.

Aletas
• São superfícies estendidas, que vão desde a parede da
superfície sólida em direção ao fluido adjacente.
• São utilizadas para o aquecimento e para o
resfriamento de sistemas.
• A condutibilidade térmica do material da aleta tem forte
efeito na distribuição de temperatura ao longo da aleta
e afeta o grau no qual a taxa de transferência de calor é
aumentada ou diminuída.
• O ideal é que a aleta tenha uma condutibilidade térmica
alta para minimizar as variações de temperatura de sua
base para a extremidade. No caso limite
(condutibilidade infinita), toda a aleta estaria à
mesma temperatura da base.

Aletas

• Como a área de contato entre o fluido e a superfície
(área molhada) no caso aletado é superior, o fluxo de
calor total é maior que no caso sem aletas.
• O problema básico no projeto térmico das superfícies
aletadas é determinar uma correlação entre o fluxo de
calor e as grandezas pertinentes ao sistema (∆T, h e k).

Aletas

O calor é transportado da base (ou para a base) por
meio da condução térmica e adicionado (ou removido)
ao ambiente externo pela convecção térmica.

Aletas de seção transversal
constante
• É a aleta mais simples de se analisar.

• A hipótese básica desse tipo de aleta é que a
distribuição de temperatura nela é função unicamente de
x (fluxo de calor unidimensional na aleta): esta
hipótese é uma boa aproximação para certas condições.

Balanço de energia: análise preliminar

• Antes de iniciar o balanço de energia é importante notar
que a área da superfície original (sem aletas) é a soma
da área das bases das aletas com a área não aletada
restante:

• Logo, a transferência de calor total será:

• Onde o índice “ba” refere-se a base das aletas e
“na” a parte não aletada.

Balanço de energia na aleta
• Da hipótese unidimensional, o fluxo de calor na base da
aleta é independente de y e pode ser determinado por:

Equação da aleta
• Substituindo a expressão anterior na 1º Lei:

• Esta equação mostra que a taxa líquida de transferência
de calor por condução na fatia de aleta é igual a taxa
de transferência de calor por convecção do fluido
através da superfície lateral da fatia considerada.

Aleta Longa
• A ponta da aleta está em equilíbrio térmico com o
fluido, impondo neste caso a seguinte condição de
contorno:
T → T∞ quando x →∞

• A outra condição é que a temperatura na base da aleta é
igual a temperatura da superfície onde estão montadas
as aletas:
T = Tb quando x =0

Aleta longa: solução em θ
• Sendo h constante ao longo da aleta, a solução da
equação diferencial é:

• A temperatura decai exponencialmente a partir da
temperatura da base até a do fluido numa posição
remota da base.

Transferência de calor: aleta finita e
ponta isolada

• A taxa de transferência de calor da aleta pode ser
determinado como:

• Onde:

ponta isolada
• Analisando através do circuito térmico, a resistência
térmica da aleta:

onde N é o número de aletas fixadas à
superfície.

Transferência de calor: parte não
aletada

Taxa de transferência de calor total

condição de convecção
• Caso exista uma condição de contorno de convecção
na extremidade da aleta (com transferência de calor
para o ambiente, por exemplo), o comprimento da
aleta precisa ser alterado:

• Este novo comprimento de aleta (Lc) será usado no
cálculo da resistência térmica da aleta:

Aleta cilíndrica
• Para o caso de uma aleta cilíndrica com diâmetro D, a
correção do comprimento da aleta será:

• Água quente a 98°C escoa através de um tubo de bronze comercial com
diâmetro interno de 2 cm. O tubo é extrudado e tem o perfil da seção
transversal mostrado abaixo. O diâmetro externo do tubo aletado é de
2,8 cm e as aletas têm 1 cm de comprimento e 2 mm de espessura. O
coeficiente de calor por convecção do lado da água é de 1200W/ m2°C.
O tubo aletado está exposto ao ar a 15°C e o coeficiente de calor por
convecção é 5 W/ m2°C. Determine a taxa de transferência de calor por
metro de comprimento do tubo.

Condição de
Contorno: convecção
aleta finita e
ponta isolada

aleta finita e
ponta isolada

Condição contorno:
convecção

3,65 vezes
menor

Nova Rexterna
2,275
Rc,e

Condução de calor bidimensional

• Soluções analíticas para condução térmica em casos 2D
requer um esforço muito maior daquelas para casos 1D.
• Há no entanto inúmeras soluções baseadas em técnicas
da Física-Matemática, tais como: séries de Fourier,
séries de Bessel, séries de Legendre, Transformada de
Laplace entre outras.
• Baseado nestas soluções analíticas o Livro Texto propõe
a determinação da taxa de calor para algumas situações
bidimensionais baseado em ”fatores de forma de
condução”.

Fator de forma de condução
• Considerando que a geometria contém somente DUAS
superfícies ISOTÉRMICAS, T1 e T2, e que o material é
homogêneo:

• Onde S é o fator de forma de condução e tem dimensão
de comprimento (m).
• Comparando esta equação com a das placas planas
infinitas (unidimensional) pode-se determinar que o seu
fator de forma de condução é:
Tabela 8-3.
Páginas 312 a 314

Tubos de água quente e fria seguem em paralelo por um trecho
de 5 m (figura). Ambos os tubos têm diâmetro de 5 cm, e a
distância entre suas linhas de centro é de 30 cm. As
temperaturas das superfícies dos tubos são 70°C e 15°C,
respectivamente para o de água quente e fria. Assumindo a
condutibilidade térmica do concreto como 0,75 W/m.°C,
determine a taxa de transferência de calor entre os tubos.

Condução de calor em regime transiente

• Até o momento só foi analisada a transferência de calor
por condução em regime permanente.

• No entanto, na prática a temperatura, e outras
propriedades, pode variar no espaço e no tempo, o
que faz com que as condições de contorno térmicas
sejam dependentes do tempo.

• Neste caso, a transferência de calor ocorre em regime
transiente (ou transitório).

Considere que um corpo possua uma temperatura uniforme Ti e
experimente uma mudança térmica repentina em seu meio
circunvizinho.

• O calor transferido por convecção para o corpo sólido é difundido
por condução em seu interior.

• A taxa com que esta mudança é sentida no interior do corpo irá
depender da resistência à transferência de calor oferecida em suas
superfícies e a oferecida internamente (dentro do material).

Como se calcula
essa distribuição
de Temperatura e
o Fluxo de Calor?

• Na obtenção da distribuição transitória no corpo, técnicas
matemáticas são bastante elaboradas, mesmo para um configuração
geométrica simples.

• Métodos numéricos: auxiliados por softwares. Útil para:
Geometrias compostas complicadas de diferentes materiais.
Propriedades termofísicas variáveis.
Condições de contorno não lineares.

Soluções utilizando expressões
algébricas (com auxílio de grupos
adimensionais) e cartas gráficas.

Método da Análise Concentrada

• ou Capacitância Global.

• Quando um sólido sofre uma rápida
alteração em sua temperatura, por
meio do fluido circunvizinho.

• Distribuição de temperatura no sólido é uniforme (se Resistência
Térmica na Superfície for muito maior que a Resistência Térmica
interna).

• O caso limite será aquele em que a condutibilidade térmica do
material for infinita causando uma resistência interna nula à
transferência de calor.

• A temperatura dependente do tempo pode ser determinada através da
análise concentrada.

Análise concentrada
• A 1ª lei para um corpo irregular, sem geração interna de calor, é:

• Onde V é o volume e A é a área da superfície do corpo.

• A distribuição de temperatura no corpo é obtida pela integração desta
equação.

Modelo concentrado: distribuição de
temperatura

Onde a é a constante de integração.
• A condição inicial pode ser escrita como:

Para: t=0 T = T0

• A expressão final para a temperatura no corpo é:

Quando é válido aplicar a análise concentrada?
• A análise concentrada só é válida quando a temperatura no
interior do corpo varia uniformemente.

• Se Bi ≤ 0,1

Biot (Bi) compara as
resistências interna e externa
ao corpo sólido.
* L é uma dimensão
característica do corpo.

Análise concentrada – grupos adimensionais

Razão entre a taxa de
condução de calor
para a taxa de
armazenamento de
energia térmica

Análise concentrada: taxa de
transferência de calor
• Expressão da temperatura no corpo na forma adimensional:

• A taxa de transferência de calor, em qualquer instante de
tempo, é determinada por:

• O calor total transferido do ou para o corpo sólido será:

Análise concentrada com geração
interna de calor

• Se houver geração interna de calor no corpo que
comece em t = 0, a equação diferencial da energia será:

• Temperatura do corpo com geração interna de calor:

* Constante de tempo:

Se : Variação lenta de Temperatura

Se : Variação rápida de Temperatura

Exemplo: Um esfera sólida de aço, AISI 1010, com 1 cm de
diâmetro, inicialmente a 15 oC é colocada em uma corrente
de ar, T = 60 oC. Estimar a temperatura dessa esfera em
função do tempo depois de ter sido colocada na corrente de
ar quente. Estimar também a taxa de calor transferido para
a esfera. O coeficiente médio de transferência de calor por
convecção é de 20 W/m2 oC.

Tabela A-14

Exemplo: Um esfera sólida de aço, AISI 1010, com 1 cm de diâmetro,
inicialmente a 15 oC é colocada em uma corrente de ar, T = 60 oC.
Estimar a temperatura dessa esfera em função do tempo depois de
ter sido colocada na corrente de ar quente. Estimar também a taxa de
calor transferido para a esfera. O coeficiente médio de transferência de
calor por convecção é de 20 W/m2 oC.

* A resolução do livro não utiliza o
conceito de Constante de Tempo.

Supor Bi < 0,1 para cálculo do diâmetro e aplicar análise concentrada

Hipótese
válida;

Condução Transiente, Bi > 0,1
• Não se considera a temperatura uniforme:

– Não se aplica a análise concentrada.

– Deve-se considerar a variação da temperatura no
tempo e no espaço.

– O distúrbio da fronteira se propaga por “difusão” no
interior do sólido.

Condução transitória unidimensional
Bi > 0,1
• O distúrbio da fronteira se propaga por „difusão‟ no interior do sólido
somente ao longo da direção “x”.
• Na ausência de geração interna de calor, a equação da condução
de calor no sistema de coordenadas cartesianas reduz-se a:

 2T 1 T
 A sua análise
x 2
 t dependerá de
configurações
específicas, nas
• Em coordenadas cilíndricas: quais serão definidas
uma condição
 2T 1 T 1 T inicial (associado ao
  tempo) e duas
r 2
r r  t condições de
contorno.

Sólido semi-infinito: Possui uma face com largura
“infinita”: Qualquer distúrbio na temperatura nessa face NUNCA
atingirá a outra extremidade;

• A: Mudança súbita na temperatura de superfície
T1

T1

Qualquer sólido com dimensões „finitas‟ pode ser
“aproximado” como um sólido semi-infinito desde
T0 que o distúrbio de temperatura da face não
atinja a sua outra fronteira.

Sólido semi-infinito

• B: Mudança súbita no fluxo de calor

qp


T0

Sólido semi-infinito

• C: Mudança súbita na temperatura do fluido

T0

t = (60) (24) (3600) = 5,184 x106 s

Solução Gráfica: Para casos que envolvam condução
unidimensional transiente onde Bi > 0,1
Placa infinita
Cilindro Infinito
Esfera

• Para que a transferência de calor seja unidimensional é
necessário que as dimensões do corpo, normal a direção do
fluxo, sejam muito grandes.

Condução transiente unidimensional

• A solução gráfica é apresentada para corpos sólidos
com espessura 2L submetidos a um fluxo de calor
imposto por um coeficiente de transferência de calor, h,
idêntico em ambas as faces.

• Uma análise do modelo matemático, descrito pela
equação diferencial e as condições inicial e de contorno,
indica que a distribuição da temperatura na placa é uma
função de NOVE variáveis:

Condução transiente unidimensional
• Para reduzir o número de variáveis recorre-se ao uso de grupos
adimensionais.

• A solução gráfica fornece a temperatura na linha de centro e na
superfície (x = L) relacionando Bi2Fo com diferentes curvas Bi.
• A solução gráfica para o calor transferido permite encontrá-lo
através:

1 - Placa Plana infinita

(Fig 8-20, 8-21 e 8-22)

2- Cilindro infinito

(Fig 8-23, 8-24 e 8-25)

• Uma grande parede sólida de tijolo com 15 cm de espessura
atinge uma temperatura uniforme de 0oC durante uma noite
de inverno. Às 9 h da manhã o ar adjacente à parede se
aquece até uma temperatura de 15oC. O ar se mantém nesta
temperatura até as 15 h.
Estimar a temperatura na linha de centro e na superfície
da parede de tijolo às 12 h. Determinar também a
temperatura média do tijolo e a quantidade de calor/m2 que
foi transferida do ar para o tijolo. “h” pode ser considerado
constante e igual a 50W/m2 oC.

Configurações multidimensionais
São restritas aquelas que podem ser
formadas através do uso de um sólido semi-
infinito, placas infinitas, ou um cilindro infinito.
Restrições adicionais:
• Todas as condições de contorno
térmicas precisam experimentar uma
mudança súbita simultânea.
• A distribuição de temperatura inicial no
corpo é uniforme, T0.
• Todas as temperaturas da superfície do
fluido, definidas nas condições de
contorno após a mudança repentina,
precisam ser iguais, T.
• Fluxo de calor uniforme ou condições
de contorno não lineares não podem
estar presentes.

Configurações multidimensionais
• Temperatura adimensional num
paralelepípedo:

• Temperatura adimensional num
cilindro infinito:

Usar Lc = L ; NÃO L/2

Exemplo
Um cilindro de aço inoxidável (AISI 304) de 2 cm de diâmetro e 5 cm
de comprimento é retirado de um forno e colocado sobre uma mesa
como mostrado na figura. O cilindro está a uma temperatura uniforme
de 300°C quando é retirado do forno. A superfície em contato com a
mesa é considerada perfeitamente isolada durante o processo de
resfriamento, e as demais superfícies estão em contato com o ar a
uma temperatura de 15°C. Determinar a temperatura máxima do
cilindro 10 minutos depois de ter sido retirado do forno. O coeficiente
médio de transferência de calor durante o processo de resfriamento é
de 50 W/m2.°C.

Resolução Livro texto

9

Um cilindro de aço inoxidável (AISI 304) de 2 cm de diâmetro e 5 cm de
comprimento é retirado de um forno e colocado sobre uma mesa como
mostrado na figura. O cilindro está a uma temperatura uniforme de
300°C quando é retirado do forno. A superfície em contato com a mesa é
considerada perfeitamente isolada durante o processo de resfriamento,
e as demais superfícies estão em contato com o ar a uma temperatura
de 15°C. Determinar a temperatura máxima do cilindro 10 minutos
depois de ter sido retirado do forno. O coeficiente médio de
transferência de calor durante o processo de resfriamento é de 50
W/m2.°C.

Resumo: Condução Transiente
• Bi <0,1 Análise Concentrada: “Corpo qualquer”

• Unidimensional. Bi>0,1 Sólido semi-infinito: 3
condições de contorno (Mudanças súbitas em: Ts, Q,
T): “Fórmulas erf (X)”

• Unidimensional. Bi>0,1 Placa infinita , Cilindro
Infinito: “Gráficos” Lc = L/2

• Configurações multidimensionais:
“Produto das Tadimensionais” Lc = L

Exercícios propostos

8-7 ; 8-11 ; 8-21 ; 8-25 ; 8-28 ; 8-30 ; 8-38

• O Tijolo da chaminé da figura a seguir, tem 5 m de altura.
Uma estimativa da taxa de transferência de calor total
através da parede da chaminé quando as superfícies
internas estão a uma temperatura uniforme de 100ºC e
as superfícies externas são mantidas a uma temperatura
uniforme de 20º C é requerida.
• Tabela A-15.2 Ktijolo = 0,72 W/mºC

D = 5m
L = 0,1 m

* Solução no livro texto

Parede • 4 planos de
Simetria
Extremidades

Parede

.
• Qc = 27,7 x 0,72 (100-20) = 1,595 kW

Uma condução unidimensional em regime permanente com
geração interna de energia ocorre numa placa plana de 50 mm
de espessura e condutibilidade térmica constante de 5 W/m.K.
Para estas condições, a distribuição de temperatura tem a forma
T(x) = a + bx + cx2. A superfície em x = 0 tem temperatura T(0) =
120°C e experimenta uma convecção com um fluido a 20°C e
h=500 W/m2.K. Já a superfície em x = L está bem isolada.
a) Através do balanço de energia na parede, calcule a taxa de
geração de calor.
b) Determine os coeficientes a, b e c aplicando as condições de
contorno à distribuição de temperatura dada.

Fluido

Componentes eletrônicos estão instalados
no lado anterior de uma placa de circuito
(0,2 cm x 10 cm x 15 cm) que dissipa 15
W uniformemente. A condutibilidade
térmica da placa é 12 W/m.°C. Todo o
Componentes
calor gerado nos componentes é eletrônicos Aletas
conduzido através da placa e dissipado
pelo lado oposto para um meio a 37°C,
com um coeficiente de transferência de
calor de 45 W/m2.°C.
(a) Determine as temperaturas das
superfícies dos dois lados da placa.
(b) Agora, considere que uma placa de
alumínio de 0,1 cm de espessura (com
mesma altura e largura da placa de
circuito), contendo 20 aletas retangulares
(0,2 cm x 2 cm x 15 cm), é colada à parte
posterior da placa de circuito com uma
camada de 0,03 cm de um adesivo (k =
1,8 W/m.°C). Determine as novas
temperaturas nos dois lados da placa de
circuito.

Componentes eletrônicos estão instalados no
lado anterior de uma placa de circuito (0,2
cm x 10 cm x 15 cm) que dissipa 15 W
uniformemente. A condutibilidade térmica da
placa é 12 W/m.°C. Todo o calor gerado nos
componentes é conduzido através da placa e
dissipado pelo lado oposto para um meio a
37°C, com um coeficiente de transferência de
calor de 45 W/m2.°C.
(a) Determine as temperaturas das
superfícies dos dois lados da placa.
(b) Agora, considere que uma placa de
alumínio de 0,1 cm de espessura (com
mesma altura e largura da placa de circuito),
contendo 20 aletas retangulares (0,2 cm x 2
cm x 15 cm), é colada à parte posterior da
placa de circuito com uma camada de 0,03
cm de um adesivo (k = 1,8 W/m.°C).
Determine as novas temperaturas nos dois
lados da placa de circuito.
Componentes
eletrônicos Aletas

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