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Modelos de Previsão
Exercício 10 – Enunciado

Modelos de previsão para séries com tendência e sazonalidade

Gestão e Teoria da Decisão

Na tabela seguinte apresenta-se o número de ofertas de emprego no sector hoteleiro numa conhecida
região balnear sul americana para cada trimestre dos últimos anos.
Há 4
Há 3
Há 2
Ano
anos
anos
anos
passado
2º Tr. 3º Tr. 4º Tr. 1º Tr. 2º Tr. 3º Tr. 4º Tr. 1º Tr. 2º Tr. 3º Tr. 4º Tr. 1º Tr. 2º Tr. 3º Tr. 4º Tr.
349 336 330 397 355 345 338 420 329 348 340 431 360 357 351

Este ano
1º Tr.
442

a) Represente gráficamente a série anterior e procure caracterizá-la.
b) Identifique e calibre um modelo de previsão adequado às características da série.
c) Preveja o número de ofertas de emprego no sector hoteleiro nessa região balnear para cada trimestre
do próximo ano.

1
Modelos de Previsão
Exercício 10 – Resolução

Modelos de previsão para séries com tendência e sazonalidade

a) Represente gráficamente esta série cronológica e procure caracterizá-la.

L

L

440

L

420

Yt (Nº Empregos)

Gestão e Teoria da Decisão

460

400
380
360
340

L

L

L

320
300
0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

t (trimestre)

Figura 6 – Cronograma da sucessão cronológica (série temporal)
2
Modelos de Previsão
Exercício 10 – Resolução

Modelos de previsão para séries com tendência e sazonalidade

a) Represente gráficamente esta série cronológica e procure caracterizá-la.

Gestão e Teoria da Decisão

Caracterização qualitativa da série temporal:
Condicionada ao número escasso de observações da variável em estudo, a série temporal pode ser
caracterizada por:
i) aparentar variação da amplitude das oscilações em torno do nível médio;
(série não estacionária em variância);
ii) Aparentar nível médio crescente (componente sistemática de crescimento) em toda a extensão
observada da série (série não estacionária em média).
iii) Exibir um padrão periódico sazonal de período, L, constante e bem definido (L = 4 trimestres)
(série não estacionária em média)..

3
Modelos de Previsão
Exercício 10 – Resolução

Modelos de previsão para séries com tendência e sazonalidade

b) Identifique e calibre um modelo de previsão adequado às características da série.

Modelos possíveis

Gestão e Teoria da Decisão

1) Decomposição ( clássica ) aditiva
Yt = mt + St + et ,

2) Decomposição ( clássica ) multiplicativa

t = 1, 2,...

Yt = mt × St × et ,

t = 1, 2,...

( mt = a + bt , p. ex.)

( mt = a + bt , p. ex.)

mt − tendência no instante t

mt − tendência no instante t

t+L
t+L




St − componente sazonal no instante t  St = St − L , ∑ S j = 0  St − componente sazonal no instante t  St = St − L , ∑ S j = L 
j =t
j =t




et − componente aleatória/errática no instante t
et − componente aleatória/errática no instante t

ˆ ˆ
Previsão: Yt = mt + St + et ,

t = 1, 2,...

3) Modelo de Holt - Winters ( aditivo )
Equações de amortecimento

ˆ ˆ
Previsão: Yt = mt × St × et ,

4) Modelo de Holt - Winters (multiplicativo)
Equações de amortecimento

Nível:
Tendência:

nt = α (Yt − ft − L ) + (1 − α ) ( nt −1 + bt −1 )
bt = β ( nt − nt −1 ) + (1 − β ) bt −1

Nível:

Factores sazonais:

ft = γ (Yt − nt ) + (1 − γ ) f t − L

Tendência:

0 ≤ α ≤ 1, 0 ≤ β ≤ 1, 0 ≤ γ ≤ 1

Previsão
ˆ
Yt + h = nt + h × bt + ft − L + ( h −1) mod L +1 ,




h = 1, 2,..., H p

t = 1, 2,...

 Y 
nt = α  t  + (1 − α ) ( nt −1 + bt −1 )
 ft −L 
bt = β ( nt − nt −1 ) + (1 − β ) bt −1

Y 
ft = γ  t  + (1 − γ ) f t − L
 nt 
0 ≤ α ≤ 1, 0 ≤ β ≤ 1, 0 ≤ γ ≤ 1

Factores sazonais:

Previsão
ˆ
Yt + h = ( nt + h × bt ) × ft − L + ( h −1) mod L  +1 ,




h = 1, 2,..., H p 4
Modelos de Previsão
Exercício 10 – Resolução

Modelos de previsão para séries com tendência e sazonalidade

b) Identifique e calibre um modelo de previsão adequado às características da série.

Decomposição (clássica) aditiva

Gestão e Teoria da Decisão

Ciclo/Ano Est./Trim.j t (trimestre)
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
5

2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4

Yt

Mt

349
336
330
397
355
345
338
420
329
348
340
431
360
357
351
442

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19

Xt=Yt-Mt

353.8
355.6
357.8
361.6
361.3
358.4
359.0
360.6
365.9
370.9
373.4
376.1

-23.8
41.4
-2.8
-16.6
-23.3
61.6
-30.0
-12.6
-25.9
60.1
-13.4
-19.1

St

Yt-St

-15.6
-14.4
-23.4
53.5
-15.6
-14.4
-23.4
53.5
-15.6
-14.4
-23.4
53.5
-15.6
-14.4
-23.4
53.5
-15.6
-14.4
-23.4

364.6
350.4
353.4
343.5
370.6
359.4
361.4
366.5
344.6
362.4
363.4
377.5
375.6
371.4
374.4
388.5

3

4
-23.8
-23.3
-25.9
-19.1
-23.0
23.0
-23.39

nt=a+bt
350.94
352.72
354.49
356.27
358.04
359.81
361.59
363.36
365.14
366.91
368.69
370.46
372.23
374.01
375.78
377.56
379.33
381.11
382.88

Ŷt=nt+St
335.31
338.27
331.11
409.73
342.41
345.37
338.20
416.83
349.50
352.47
345.30
423.92
356.60
359.56
352.40
431.02
363.70
366.66
359.50

et=Yt-Ŷt
13.69
-2.27
-1.11
-12.73
12.59
-0.37
-0.20
3.17
-20.50
-4.47
-5.30
7.08
3.40
-2.56
-1.40
10.98

Notas
1) Média móvel centrada de comprimento L
(Filtra/remove componente sazonal de período
L bem definido)
q

∑wY

j t+ j

j =− q

, q =  L / 2


L
1, j = − q, − q + 1,..., q ( L ímpar)

w j = 0.5, j = − q e j = q
( L par)
1, j = − q + 1,..., q − 1 ( L par)

Mt =

q

∑w

j

=L

j =− q

2) Facores sazonais corrigidos S c
j
dados factores sazonais médios S j
L

Trimestre->
1
Ano i
2
3
4
Factores sazonais Sj (Médias)
|Sj|
Factores sazonais Sj (Corrigidos)

1
41.4
61.6
60.1
54.4
54.4
53.46

2
-2.8
-30.0
-13.4
-15.4
15.4
-15.63

-16.6
-12.6
-13.4
-14.2
14.2
-14.45

∑S
Sc = Sj −
j

j

j =1
L

∑S

S j , j = 1, 2..., L
j

j =1

ΣSj
1.8

NB :

107.0
0.0

Σ|Sj|

 L / 2  maior inteiro menor ou igual a L / 2


5
Modelos de Previsão
Exercício 10 – Resolução

Modelos de previsão para séries com tendência e sazonalidade

b) Identifique e calibre um modelo de previsão adequado às características da série.

Decomposição (clássica) multiplicativa

Gestão e Teoria da Decisão

Ciclo/Ano Est./Trim.j t (trimestre)
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
5

2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19

Yt
349
336
330
397
355
345
338
420
329
348
340
431
360
357
351
442

Trimestre->
1
Ano i
2
3
4
Factores sazonais Sj (Médias)
Factores sazonais Sj (Corrigidos)

Xt=Yt/Mt

Mt

353.8
355.6
357.8
361.6
361.3
358.4
359.0
360.6
365.9
370.9
373.4
376.1

1
1.12
1.17
1.16
1.15
1.15

St

0.93
1.12
0.99
0.95
0.94
1.17
0.92
0.96
0.93
1.16
0.96
0.95

Yt/St

0.96
0.96
0.94
1.15
0.96
0.96
0.94
1.15
0.96
0.96
0.94
1.15
0.96
0.96
0.94
1.15
0.96
0.96
0.94

2

364.9
350.1
352.8
345.7
371.2
359.5
361.3
365.7
344.0
362.6
363.5
375.3
376.4
372.0
375.2
384.8

3
0.99
0.92
0.96
0.96
0.96

0.95
0.96
0.96
0.96
0.96

nt=a+bt
351.45
353.13
354.81
356.50
358.18
359.86
361.54
363.22
364.91
366.59
368.27
369.95
371.64
373.32
375.00
376.68
378.36
380.05
381.73

4
0.93
0.94
0.93
0.95
0.94
0.94

Ŷt=nt*St
336.09
338.91
331.90
409.45
342.53
345.37
338.20
417.18
348.96
351.83
344.49
424.90
355.40
358.28
350.78
432.63
361.83
364.74
357.08

et=Yt/Ŷt
1.04
0.99
0.99
0.97
1.04
1.00
1.00
1.01
0.94
0.99
0.99
1.01
1.01
1.00
1.00
1.02

Notas
1) Média móvel centrada de comprimento L
(Filtra/remove componente sazonal de período
L bem definido)
q

∑wY

j t+ j

j =− q

, q =  L / 2


L
1, j = − q, − q + 1,..., q ( L ímpar)

w j = 0.5, j = − q e j = q
( L par)
1, j = − q + 1,..., q − 1 ( L par)


Mt =

q

∑w

j

=L

j =− q

2) Facores sazonais corrigidos S c
j
dados factores sazonais médios S j
Sc = Sj ×
j

L

, j = 1, 2..., L

L

∑S

j

j =1

NB :

ΣSj
4.01
4.00

 L / 2  maior inteiro menor ou igual a L / 2



6
Modelos de Previsão
Exercício 10 – Resolução

Modelos de previsão para séries com tendência e sazonalidade

b) Identifique e calibre um modelo de previsão adequado às características da série.

Gestão e Teoria da Decisão

Modelo de Holt-Winters (aditivo)
Ciclo/Ano Est./Trim.j t (trimestre)

Yt

nt

bt

ft

Ŷt

et=Yt-Ŷt

1

2

1

349

349.11

1.24

-0.11

349.00

0.00

1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
5

3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1

2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

336
330
397
355
345
338
420
329
348
340
431
360
357
351
442

350.35
351.59
352.84
354.25
356.16
357.87
362.05
358.13
359.52
360.65
365.48
366.73
368.67
370.63
375.67

1.24
1.24
1.24
1.27
1.38
1.43
1.88
0.93
1.00
1.02
1.65
1.59
1.64
1.70
2.25

-14.35
-21.59
44.16
0.03
-13.83
-21.31
46.42
-4.75
-13.45
-21.20
49.55
-5.07
-13.16
-20.95
52.31

336.00
330.00
397.00
353.97
341.17
335.94
403.47
363.96
345.23
339.21
408.10
362.38
354.87
349.11
421.88

0.00
0.00
0.00
1.03
3.83
2.06
16.53
-34.96
2.77
0.79
22.90
-2.38
2.13
1.89
20.12

Constantes de amortecimento

Factor (Efeito) sazonal

Valor inicial

Notas (Procedimento de inicialização)
1. Ajustar modelo de regressão linear
Yt = a0 + b0t às (10) primeiras
observações: t = 1, 2,...,10
ˆ
ˆ
Resultado: estimativas a0 e b0 de a0 e b0
2. Calcular valores iniciais dos factores
(efeitos) sazonais, f j , para as estações
j de 1 a L (Período do ciclo L = 4)

(

)

ˆ ˆ
f( j +1) mod L = Y j − a0 + b0 j , j = 1, 2,..., L
ˆ
ˆ ˆ
3. Fazer n1 = a0 + b0 + f 2 e b1 = b0
NB : a mod b resto da divisão de a por b

Inicialização

α=

0.17

f1

44.16

a0

347.87

β=

0.16

f2

-0.11

b0

1.24

γ=

0.16

f3
f4

-14.35
-21.59

nL

354.70
7
Modelos de Previsão
Exercício 10 – Resolução

Modelos de previsão para séries com tendência e sazonalidade

b) Identifique e calibre um modelo de previsão adequado às características da série.

Gestão e Teoria da Decisão

Modelo de Holt-Winters (multiplicativo)
Ciclo/Ano Est./Trim.j t (timestre)

Yt

nt

bt

ft

et=Yt-Ŷt

Ŷt

1

2

1

349

349.11

1.24

1.00

349.00

0.00

1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
5

3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1

2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

336
330
397
355
345
338
420
329
348
340
431
360
357
351
442

350.35
351.59
352.84
354.25
356.24
358.05
361.85
357.82
359.29
360.53
364.85
366.16
368.27
370.48
374.86

1.24
1.24
1.24
1.27
1.39
1.46
1.86
0.86
0.97
1.01
1.57
1.53
1.62
1.72
2.17

0.96
0.94
1.13
1.00
0.96
0.94
1.13
0.99
0.96
0.94
1.14
0.99
0.96
0.94
1.15

336.00
330.00
397.00
353.97
340.96
335.67
404.52
363.74
344.55
338.46
408.95
361.51
353.70
347.73
424.14

0.00
0.00
0.00
1.03
4.04
2.33
15.48
-34.74
3.45
1.54
22.05
-1.51
3.30
3.27
17.86

Constantes de amortecimento

Factor (ìndice) sazonal

Valor inicial

Notas (Procedimento de inicialização)
1. Ajustar modelo de regressão linear
Yt = a0 + b0t às (10) primeiras
observações: t = 1, 2,...,10
ˆ
ˆ
Resultado: estimativas a0 e b0 de a0 e b0
2. Calcular valores iniciais dos factores
(índices) sazonais, f j , para as estações
j de 1 a L (Período do ciclo L = 4)
Yj
f( j +1) mod L =
, j = 1, 2,..., L
ˆ ˆ
a +b j

(
ˆ
n = (a
0

3. Fazer

1

0

)
ˆ
+b ) f
0

0

2

ˆ
e b1 = b0

NB : a mod b − resto da divisão de a por b
Inicialização

α=

0.17

f1

1.13

a0

347.87

β=

0.17

f2

1.00

b0

1.24

γ=

0.17

f3
f4

0.96
0.94

nL

353.00
8
Modelos de Previsão
Exercício 10 – Resolução

Modelos de previsão para séries com tendência e sazonalidade

c) Preveja o número de ofertas de emprego no sector hoteleiro nessa região balnear para cada trimestre do próximo ano.

Gestão e Teoria da Decisão

Decomposição (clássica) aditiva

9
Modelos de Previsão
Exercício 10 – Resolução

Modelos de previsão para séries com tendência e sazonalidade

c) Preveja o número de ofertas de emprego no sector hoteleiro nessa região balnear para cada trimestre do próximo ano.

Gestão e Teoria da Decisão

Decomposição (clássica) multiplicativa

10
Modelos de Previsão
Exercício 10 – Resolução

Modelos de previsão para séries com tendência e sazonalidade

c) Preveja o número de ofertas de emprego no sector hoteleiro nessa região balnear para cada trimestre do próximo ano.

Gestão e Teoria da Decisão

Modelo de Holt-Winters (aditivo)

11
Modelos de Previsão
Exercício 10 – Resolução

Modelos de previsão para séries com tendência e sazonalidade

c) Preveja o número de ofertas de emprego no sector hoteleiro nessa região balnear para cada trimestre do próximo ano.

Gestão e Teoria da Decisão

Modelo de Holt-Winters (multiplicativo)

12
Modelos de Previsão
ANEXO: Regressão Linear Simples

Gestão e Teoria da Decisão

Yi = βο + β1 X i + ei ,

i = 1,2,..., n

com

Yi − resposta ( variável dependente ) no i -ésimo “ensaio/experiência/observação”
X i − “nível” conhecido da variável independente no i -ésimo “ensaio/experiência/observação”

β

0

,β

1

− c o e fic ie n te s d e re g re s s ã o d e s c o n h e c id o s

ei − variáveis residuais (i = 1, 2,..., n).
Variáveis aleatórias i.i.d ., com distribuição Normal de média 0 e variância σ 2 , isto é,
ei ∼ N (0,σ 2 ), i = 1, 2,..., n

13
Modelos de Previsão
ANEXO: Regressão Linear Simples

Gestão e Teoria da Decisão

Estimação pelo Método de Mínimos Quadrados dos
coeficientes (parâmetros) do modelo de regressão linear simples
⌢
⌢
Estimadores, β 0 e β1 , de β 0 e β1 , respectivamente
n
n

X i ∑ Yi
∑
n

 ⌢ ∑ X iYi − i =1 i=1
n
 β = i=1
2
 1
 n


 ∑ Xi 
n

2

∑ X i −  i=1 n 
i =1
 ⌢
⌢
 β 0 = Y − β1 X


Estimações pontuais (Estimativas) , b0 e b1
n
n

xi ∑ yi
∑ i=1
n


∑ xi yi − i=1 n
b = i =1
2
1
 n 

 ∑ xi 
n

2

∑ xi −  i=1n 
i =1

b0 = y − b1 x


1 n
1 n 

x = ∑ xi , y = ∑ yi 

n i=1
n i =1 


14
Modelos de Previsão
Valores previstos das respostas
⌢
yi = bo + b1 xi ,

ANEXO: Regressão Linear Simples
i = 1,2,..., n

Soma dos Quadrados dos Resíduos ( SQR )
n
⌢ 2
SQR = ∑ ( yi − yi )

Gestão e Teoria da Decisão

i =1

Estimação / estimativa, s 2 , de σ 2 (Variância das variáveis residuais)
SQR
s2 =
n−2
Médias, variâncias estimadas e distribuições de probabilidade Intervalos de confiança a 100(1- α )%
⌢
⌢
para β 0 e β1
dos estimadores β 0 e β1
⌢
µ β⌢0 = E β 0 = β 0

( )

ˆ
β0

)

({

⌢

2
sβ⌢0 = E β 0 − β 0

})
2



2
1

X

= s2  + n
2 
n
∑( Xi − X ) 


i =1


b0 − tn−2,1−α sb0 ≤ β 0 ≤ b0 + tn−2,1−α sb0

⌢

T=

β0 − β0
sβ⌢0

∼ t (n − 2)

⌢

µ β⌢ = E ( β1 ) = β1
1

ˆ
β1

)

({

⌢
2
sβ⌢1 = E β1 − β1

})
2





1

= s2  n
2 

 ∑( Xi − X ) 
 i =1


b1 − tn−2,1−α sb1 ≤ β1 ≤ b1 + tn−2,1−α sb1

⌢

T=

β1 − β1
sβ⌢1

∼ t (n − 2)

15
Modelos de Previsão
Testes de Hipótese: modelo de regressão linear simples ANEXO: Regressão Linear Simples

Gestão e Teoria da Decisão

Testes de Hipóteses sobre β 0 e β1 ( βi , i = 0,1)
Hipóteses
ou

ou

H 0 : βi = 0

H 0 : βi ≤ 0

H 0 : βi ≥ 0

H1 : β i ≠ 0

H1 : β i > 0

H1 : β i < 0

Nível de significância : α
⌢

βi − βi

Estatística teste:

T=

t (n − 2) :

Distribuição t de Student com n − 2 graus de liberdade

Valores críticos de T :

tn−2,1−α /2

| tobs |> tn−2,1−α /2

∼ t (n − 2)

tn−2,1−α
tobs =

Valor calculado de T
Critérios de rejeição :

sβ⌢i

− tn−2,1−α

bi
sβ⌢i

tobs > tn−2,1−α

tobs < −tn−2,1−α

16
Modelos de Previsão
Adequação do modelo de regressão linear
Análise da variância (Tabela básica)
SQ

Fonte de Variação

ANEXO: Regressão Linear Simples

df

MQ

Estatística

n

∑(y

Gestão e Teoria da Decisão

⌢

i

n

Regressão

⌢
SQR = ∑ ( yi − y )2

1

MQR =

− y )2

i =1

F=

1

i =1

MQR
∼ F (1, n − 2)
MQE

n

∑( y − y )
⌢

i

n

Erro

⌢
SQE = ∑ ( yi − yi ) 2

n − 2 MQE =

i =1

2

i

i =1

n−2

n

Total

SQT = ∑ ( yi − y ) 2

n −1

i =1

df − graus de liberdade
Coeficiente de determinação
SQR
SQE
r2 =
=1−
SQT
SQT

(0 ≤ r 2 ≤ 1)

Previsão, variância do erro de previsão e intervalo de confiança da previsão a 100(1- α )%
⌢
y0 = b0 + b1 x0


2
1
(x − x) 
⌢

s 2 ( y0 ) = s 2  + n 0
2 
n
∑ ( xi − x ) 



i =1
⌢
⌢
⌢
⌢
y0 − tn−2,1−α /2 s ( y0 ) ≤ Y0 ≤ y0 + tn−2,1−α /2 s ( y0 )

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  • 1. Modelos de Previsão Exercício 10 – Enunciado Modelos de previsão para séries com tendência e sazonalidade Gestão e Teoria da Decisão Na tabela seguinte apresenta-se o número de ofertas de emprego no sector hoteleiro numa conhecida região balnear sul americana para cada trimestre dos últimos anos. Há 4 Há 3 Há 2 Ano anos anos anos passado 2º Tr. 3º Tr. 4º Tr. 1º Tr. 2º Tr. 3º Tr. 4º Tr. 1º Tr. 2º Tr. 3º Tr. 4º Tr. 1º Tr. 2º Tr. 3º Tr. 4º Tr. 349 336 330 397 355 345 338 420 329 348 340 431 360 357 351 Este ano 1º Tr. 442 a) Represente gráficamente a série anterior e procure caracterizá-la. b) Identifique e calibre um modelo de previsão adequado às características da série. c) Preveja o número de ofertas de emprego no sector hoteleiro nessa região balnear para cada trimestre do próximo ano. 1
  • 2. Modelos de Previsão Exercício 10 – Resolução Modelos de previsão para séries com tendência e sazonalidade a) Represente gráficamente esta série cronológica e procure caracterizá-la. L L 440 L 420 Yt (Nº Empregos) Gestão e Teoria da Decisão 460 400 380 360 340 L L L 320 300 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 t (trimestre) Figura 6 – Cronograma da sucessão cronológica (série temporal) 2
  • 3. Modelos de Previsão Exercício 10 – Resolução Modelos de previsão para séries com tendência e sazonalidade a) Represente gráficamente esta série cronológica e procure caracterizá-la. Gestão e Teoria da Decisão Caracterização qualitativa da série temporal: Condicionada ao número escasso de observações da variável em estudo, a série temporal pode ser caracterizada por: i) aparentar variação da amplitude das oscilações em torno do nível médio; (série não estacionária em variância); ii) Aparentar nível médio crescente (componente sistemática de crescimento) em toda a extensão observada da série (série não estacionária em média). iii) Exibir um padrão periódico sazonal de período, L, constante e bem definido (L = 4 trimestres) (série não estacionária em média).. 3
  • 4. Modelos de Previsão Exercício 10 – Resolução Modelos de previsão para séries com tendência e sazonalidade b) Identifique e calibre um modelo de previsão adequado às características da série. Modelos possíveis Gestão e Teoria da Decisão 1) Decomposição ( clássica ) aditiva Yt = mt + St + et , 2) Decomposição ( clássica ) multiplicativa t = 1, 2,... Yt = mt × St × et , t = 1, 2,... ( mt = a + bt , p. ex.) ( mt = a + bt , p. ex.) mt − tendência no instante t mt − tendência no instante t t+L t+L     St − componente sazonal no instante t  St = St − L , ∑ S j = 0  St − componente sazonal no instante t  St = St − L , ∑ S j = L  j =t j =t     et − componente aleatória/errática no instante t et − componente aleatória/errática no instante t ˆ ˆ Previsão: Yt = mt + St + et , t = 1, 2,... 3) Modelo de Holt - Winters ( aditivo ) Equações de amortecimento ˆ ˆ Previsão: Yt = mt × St × et , 4) Modelo de Holt - Winters (multiplicativo) Equações de amortecimento Nível: Tendência: nt = α (Yt − ft − L ) + (1 − α ) ( nt −1 + bt −1 ) bt = β ( nt − nt −1 ) + (1 − β ) bt −1 Nível: Factores sazonais: ft = γ (Yt − nt ) + (1 − γ ) f t − L Tendência: 0 ≤ α ≤ 1, 0 ≤ β ≤ 1, 0 ≤ γ ≤ 1 Previsão ˆ Yt + h = nt + h × bt + ft − L + ( h −1) mod L +1 ,   h = 1, 2,..., H p t = 1, 2,...  Y  nt = α  t  + (1 − α ) ( nt −1 + bt −1 )  ft −L  bt = β ( nt − nt −1 ) + (1 − β ) bt −1 Y  ft = γ  t  + (1 − γ ) f t − L  nt  0 ≤ α ≤ 1, 0 ≤ β ≤ 1, 0 ≤ γ ≤ 1 Factores sazonais: Previsão ˆ Yt + h = ( nt + h × bt ) × ft − L + ( h −1) mod L  +1 ,   h = 1, 2,..., H p 4
  • 5. Modelos de Previsão Exercício 10 – Resolução Modelos de previsão para séries com tendência e sazonalidade b) Identifique e calibre um modelo de previsão adequado às características da série. Decomposição (clássica) aditiva Gestão e Teoria da Decisão Ciclo/Ano Est./Trim.j t (trimestre) 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 Yt Mt 349 336 330 397 355 345 338 420 329 348 340 431 360 357 351 442 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Xt=Yt-Mt 353.8 355.6 357.8 361.6 361.3 358.4 359.0 360.6 365.9 370.9 373.4 376.1 -23.8 41.4 -2.8 -16.6 -23.3 61.6 -30.0 -12.6 -25.9 60.1 -13.4 -19.1 St Yt-St -15.6 -14.4 -23.4 53.5 -15.6 -14.4 -23.4 53.5 -15.6 -14.4 -23.4 53.5 -15.6 -14.4 -23.4 53.5 -15.6 -14.4 -23.4 364.6 350.4 353.4 343.5 370.6 359.4 361.4 366.5 344.6 362.4 363.4 377.5 375.6 371.4 374.4 388.5 3 4 -23.8 -23.3 -25.9 -19.1 -23.0 23.0 -23.39 nt=a+bt 350.94 352.72 354.49 356.27 358.04 359.81 361.59 363.36 365.14 366.91 368.69 370.46 372.23 374.01 375.78 377.56 379.33 381.11 382.88 Ŷt=nt+St 335.31 338.27 331.11 409.73 342.41 345.37 338.20 416.83 349.50 352.47 345.30 423.92 356.60 359.56 352.40 431.02 363.70 366.66 359.50 et=Yt-Ŷt 13.69 -2.27 -1.11 -12.73 12.59 -0.37 -0.20 3.17 -20.50 -4.47 -5.30 7.08 3.40 -2.56 -1.40 10.98 Notas 1) Média móvel centrada de comprimento L (Filtra/remove componente sazonal de período L bem definido) q ∑wY j t+ j j =− q , q =  L / 2   L 1, j = − q, − q + 1,..., q ( L ímpar)  w j = 0.5, j = − q e j = q ( L par) 1, j = − q + 1,..., q − 1 ( L par)  Mt = q ∑w j =L j =− q 2) Facores sazonais corrigidos S c j dados factores sazonais médios S j L Trimestre-> 1 Ano i 2 3 4 Factores sazonais Sj (Médias) |Sj| Factores sazonais Sj (Corrigidos) 1 41.4 61.6 60.1 54.4 54.4 53.46 2 -2.8 -30.0 -13.4 -15.4 15.4 -15.63 -16.6 -12.6 -13.4 -14.2 14.2 -14.45 ∑S Sc = Sj − j j j =1 L ∑S S j , j = 1, 2..., L j j =1 ΣSj 1.8 NB : 107.0 0.0 Σ|Sj|  L / 2  maior inteiro menor ou igual a L / 2   5
  • 6. Modelos de Previsão Exercício 10 – Resolução Modelos de previsão para séries com tendência e sazonalidade b) Identifique e calibre um modelo de previsão adequado às características da série. Decomposição (clássica) multiplicativa Gestão e Teoria da Decisão Ciclo/Ano Est./Trim.j t (trimestre) 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Yt 349 336 330 397 355 345 338 420 329 348 340 431 360 357 351 442 Trimestre-> 1 Ano i 2 3 4 Factores sazonais Sj (Médias) Factores sazonais Sj (Corrigidos) Xt=Yt/Mt Mt 353.8 355.6 357.8 361.6 361.3 358.4 359.0 360.6 365.9 370.9 373.4 376.1 1 1.12 1.17 1.16 1.15 1.15 St 0.93 1.12 0.99 0.95 0.94 1.17 0.92 0.96 0.93 1.16 0.96 0.95 Yt/St 0.96 0.96 0.94 1.15 0.96 0.96 0.94 1.15 0.96 0.96 0.94 1.15 0.96 0.96 0.94 1.15 0.96 0.96 0.94 2 364.9 350.1 352.8 345.7 371.2 359.5 361.3 365.7 344.0 362.6 363.5 375.3 376.4 372.0 375.2 384.8 3 0.99 0.92 0.96 0.96 0.96 0.95 0.96 0.96 0.96 0.96 nt=a+bt 351.45 353.13 354.81 356.50 358.18 359.86 361.54 363.22 364.91 366.59 368.27 369.95 371.64 373.32 375.00 376.68 378.36 380.05 381.73 4 0.93 0.94 0.93 0.95 0.94 0.94 Ŷt=nt*St 336.09 338.91 331.90 409.45 342.53 345.37 338.20 417.18 348.96 351.83 344.49 424.90 355.40 358.28 350.78 432.63 361.83 364.74 357.08 et=Yt/Ŷt 1.04 0.99 0.99 0.97 1.04 1.00 1.00 1.01 0.94 0.99 0.99 1.01 1.01 1.00 1.00 1.02 Notas 1) Média móvel centrada de comprimento L (Filtra/remove componente sazonal de período L bem definido) q ∑wY j t+ j j =− q , q =  L / 2   L 1, j = − q, − q + 1,..., q ( L ímpar)  w j = 0.5, j = − q e j = q ( L par) 1, j = − q + 1,..., q − 1 ( L par)  Mt = q ∑w j =L j =− q 2) Facores sazonais corrigidos S c j dados factores sazonais médios S j Sc = Sj × j L , j = 1, 2..., L L ∑S j j =1 NB : ΣSj 4.01 4.00  L / 2  maior inteiro menor ou igual a L / 2   6
  • 7. Modelos de Previsão Exercício 10 – Resolução Modelos de previsão para séries com tendência e sazonalidade b) Identifique e calibre um modelo de previsão adequado às características da série. Gestão e Teoria da Decisão Modelo de Holt-Winters (aditivo) Ciclo/Ano Est./Trim.j t (trimestre) Yt nt bt ft Ŷt et=Yt-Ŷt 1 2 1 349 349.11 1.24 -0.11 349.00 0.00 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 336 330 397 355 345 338 420 329 348 340 431 360 357 351 442 350.35 351.59 352.84 354.25 356.16 357.87 362.05 358.13 359.52 360.65 365.48 366.73 368.67 370.63 375.67 1.24 1.24 1.24 1.27 1.38 1.43 1.88 0.93 1.00 1.02 1.65 1.59 1.64 1.70 2.25 -14.35 -21.59 44.16 0.03 -13.83 -21.31 46.42 -4.75 -13.45 -21.20 49.55 -5.07 -13.16 -20.95 52.31 336.00 330.00 397.00 353.97 341.17 335.94 403.47 363.96 345.23 339.21 408.10 362.38 354.87 349.11 421.88 0.00 0.00 0.00 1.03 3.83 2.06 16.53 -34.96 2.77 0.79 22.90 -2.38 2.13 1.89 20.12 Constantes de amortecimento Factor (Efeito) sazonal Valor inicial Notas (Procedimento de inicialização) 1. Ajustar modelo de regressão linear Yt = a0 + b0t às (10) primeiras observações: t = 1, 2,...,10 ˆ ˆ Resultado: estimativas a0 e b0 de a0 e b0 2. Calcular valores iniciais dos factores (efeitos) sazonais, f j , para as estações j de 1 a L (Período do ciclo L = 4) ( ) ˆ ˆ f( j +1) mod L = Y j − a0 + b0 j , j = 1, 2,..., L ˆ ˆ ˆ 3. Fazer n1 = a0 + b0 + f 2 e b1 = b0 NB : a mod b resto da divisão de a por b Inicialização α= 0.17 f1 44.16 a0 347.87 β= 0.16 f2 -0.11 b0 1.24 γ= 0.16 f3 f4 -14.35 -21.59 nL 354.70 7
  • 8. Modelos de Previsão Exercício 10 – Resolução Modelos de previsão para séries com tendência e sazonalidade b) Identifique e calibre um modelo de previsão adequado às características da série. Gestão e Teoria da Decisão Modelo de Holt-Winters (multiplicativo) Ciclo/Ano Est./Trim.j t (timestre) Yt nt bt ft et=Yt-Ŷt Ŷt 1 2 1 349 349.11 1.24 1.00 349.00 0.00 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 336 330 397 355 345 338 420 329 348 340 431 360 357 351 442 350.35 351.59 352.84 354.25 356.24 358.05 361.85 357.82 359.29 360.53 364.85 366.16 368.27 370.48 374.86 1.24 1.24 1.24 1.27 1.39 1.46 1.86 0.86 0.97 1.01 1.57 1.53 1.62 1.72 2.17 0.96 0.94 1.13 1.00 0.96 0.94 1.13 0.99 0.96 0.94 1.14 0.99 0.96 0.94 1.15 336.00 330.00 397.00 353.97 340.96 335.67 404.52 363.74 344.55 338.46 408.95 361.51 353.70 347.73 424.14 0.00 0.00 0.00 1.03 4.04 2.33 15.48 -34.74 3.45 1.54 22.05 -1.51 3.30 3.27 17.86 Constantes de amortecimento Factor (ìndice) sazonal Valor inicial Notas (Procedimento de inicialização) 1. Ajustar modelo de regressão linear Yt = a0 + b0t às (10) primeiras observações: t = 1, 2,...,10 ˆ ˆ Resultado: estimativas a0 e b0 de a0 e b0 2. Calcular valores iniciais dos factores (índices) sazonais, f j , para as estações j de 1 a L (Período do ciclo L = 4) Yj f( j +1) mod L = , j = 1, 2,..., L ˆ ˆ a +b j ( ˆ n = (a 0 3. Fazer 1 0 ) ˆ +b ) f 0 0 2 ˆ e b1 = b0 NB : a mod b − resto da divisão de a por b Inicialização α= 0.17 f1 1.13 a0 347.87 β= 0.17 f2 1.00 b0 1.24 γ= 0.17 f3 f4 0.96 0.94 nL 353.00 8
  • 9. Modelos de Previsão Exercício 10 – Resolução Modelos de previsão para séries com tendência e sazonalidade c) Preveja o número de ofertas de emprego no sector hoteleiro nessa região balnear para cada trimestre do próximo ano. Gestão e Teoria da Decisão Decomposição (clássica) aditiva 9
  • 10. Modelos de Previsão Exercício 10 – Resolução Modelos de previsão para séries com tendência e sazonalidade c) Preveja o número de ofertas de emprego no sector hoteleiro nessa região balnear para cada trimestre do próximo ano. Gestão e Teoria da Decisão Decomposição (clássica) multiplicativa 10
  • 11. Modelos de Previsão Exercício 10 – Resolução Modelos de previsão para séries com tendência e sazonalidade c) Preveja o número de ofertas de emprego no sector hoteleiro nessa região balnear para cada trimestre do próximo ano. Gestão e Teoria da Decisão Modelo de Holt-Winters (aditivo) 11
  • 12. Modelos de Previsão Exercício 10 – Resolução Modelos de previsão para séries com tendência e sazonalidade c) Preveja o número de ofertas de emprego no sector hoteleiro nessa região balnear para cada trimestre do próximo ano. Gestão e Teoria da Decisão Modelo de Holt-Winters (multiplicativo) 12
  • 13. Modelos de Previsão ANEXO: Regressão Linear Simples Gestão e Teoria da Decisão Yi = βο + β1 X i + ei , i = 1,2,..., n com Yi − resposta ( variável dependente ) no i -ésimo “ensaio/experiência/observação” X i − “nível” conhecido da variável independente no i -ésimo “ensaio/experiência/observação” β 0 ,β 1 − c o e fic ie n te s d e re g re s s ã o d e s c o n h e c id o s ei − variáveis residuais (i = 1, 2,..., n). Variáveis aleatórias i.i.d ., com distribuição Normal de média 0 e variância σ 2 , isto é, ei ∼ N (0,σ 2 ), i = 1, 2,..., n 13
  • 14. Modelos de Previsão ANEXO: Regressão Linear Simples Gestão e Teoria da Decisão Estimação pelo Método de Mínimos Quadrados dos coeficientes (parâmetros) do modelo de regressão linear simples ⌢ ⌢ Estimadores, β 0 e β1 , de β 0 e β1 , respectivamente n n  X i ∑ Yi ∑ n   ⌢ ∑ X iYi − i =1 i=1 n  β = i=1 2  1  n    ∑ Xi  n  2  ∑ X i −  i=1 n  i =1  ⌢ ⌢  β 0 = Y − β1 X  Estimações pontuais (Estimativas) , b0 e b1 n n  xi ∑ yi ∑ i=1 n   ∑ xi yi − i=1 n b = i =1 2 1  n    ∑ xi  n  2  ∑ xi −  i=1n  i =1  b0 = y − b1 x  1 n 1 n   x = ∑ xi , y = ∑ yi   n i=1 n i =1   14
  • 15. Modelos de Previsão Valores previstos das respostas ⌢ yi = bo + b1 xi , ANEXO: Regressão Linear Simples i = 1,2,..., n Soma dos Quadrados dos Resíduos ( SQR ) n ⌢ 2 SQR = ∑ ( yi − yi ) Gestão e Teoria da Decisão i =1 Estimação / estimativa, s 2 , de σ 2 (Variância das variáveis residuais) SQR s2 = n−2 Médias, variâncias estimadas e distribuições de probabilidade Intervalos de confiança a 100(1- α )% ⌢ ⌢ para β 0 e β1 dos estimadores β 0 e β1 ⌢ µ β⌢0 = E β 0 = β 0 ( ) ˆ β0 ) ({ ⌢ 2 sβ⌢0 = E β 0 − β 0 }) 2   2 1  X  = s2  + n 2  n ∑( Xi − X )    i =1  b0 − tn−2,1−α sb0 ≤ β 0 ≤ b0 + tn−2,1−α sb0 ⌢ T= β0 − β0 sβ⌢0 ∼ t (n − 2) ⌢ µ β⌢ = E ( β1 ) = β1 1 ˆ β1 ) ({ ⌢ 2 sβ⌢1 = E β1 − β1 }) 2     1  = s2  n 2    ∑( Xi − X )   i =1  b1 − tn−2,1−α sb1 ≤ β1 ≤ b1 + tn−2,1−α sb1 ⌢ T= β1 − β1 sβ⌢1 ∼ t (n − 2) 15
  • 16. Modelos de Previsão Testes de Hipótese: modelo de regressão linear simples ANEXO: Regressão Linear Simples Gestão e Teoria da Decisão Testes de Hipóteses sobre β 0 e β1 ( βi , i = 0,1) Hipóteses ou ou H 0 : βi = 0 H 0 : βi ≤ 0 H 0 : βi ≥ 0 H1 : β i ≠ 0 H1 : β i > 0 H1 : β i < 0 Nível de significância : α ⌢ βi − βi Estatística teste: T= t (n − 2) : Distribuição t de Student com n − 2 graus de liberdade Valores críticos de T : tn−2,1−α /2 | tobs |> tn−2,1−α /2 ∼ t (n − 2) tn−2,1−α tobs = Valor calculado de T Critérios de rejeição : sβ⌢i − tn−2,1−α bi sβ⌢i tobs > tn−2,1−α tobs < −tn−2,1−α 16
  • 17. Modelos de Previsão Adequação do modelo de regressão linear Análise da variância (Tabela básica) SQ Fonte de Variação ANEXO: Regressão Linear Simples df MQ Estatística n ∑(y Gestão e Teoria da Decisão ⌢ i n Regressão ⌢ SQR = ∑ ( yi − y )2 1 MQR = − y )2 i =1 F= 1 i =1 MQR ∼ F (1, n − 2) MQE n ∑( y − y ) ⌢ i n Erro ⌢ SQE = ∑ ( yi − yi ) 2 n − 2 MQE = i =1 2 i i =1 n−2 n Total SQT = ∑ ( yi − y ) 2 n −1 i =1 df − graus de liberdade Coeficiente de determinação SQR SQE r2 = =1− SQT SQT (0 ≤ r 2 ≤ 1) Previsão, variância do erro de previsão e intervalo de confiança da previsão a 100(1- α )% ⌢ y0 = b0 + b1 x0   2 1 (x − x)  ⌢  s 2 ( y0 ) = s 2  + n 0 2  n ∑ ( xi − x )     i =1 ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ y0 − tn−2,1−α /2 s ( y0 ) ≤ Y0 ≤ y0 + tn−2,1−α /2 s ( y0 ) 17