Pdf pdf minicurso-geometriabasica-sergiocarvalho-olaamigos

www.olaamigos.com.br Página 1 de 106
Geometria Plana – Prof. Sérgio Carvalho
Olá, Amigos!
Tudo bem com vocês?
É com imensa satisfação que lhes apresento este Minicurso, com o que lhes
presenteio por estarem conosco, aqui no Olá Amigos!
Escolhi como tema destas aulas a Geometria, tal como é cobrada em provas da
ESAF!
Fiz, há poucos dias, um estudo apurado acerca dos diversos assuntos que a ESAF
cobra em seus concursos, e constatei que Geometria é o segundo tema mais exigido
nas provas de Raciocínio Lógico!
Perde somente para Estruturas Lógicas! (E praticamente empata com Probabilidade).
Assim, como eu sei que muita gente tem em mente que Geometria é um assunto
"espinhoso" e "muito difícil", resolvi enfrentar o desafio de lhes provar o contrário!
Provavelmente essa ideia de dificuldade venha lá dos tempos de colégio.
O que vou fazer nestas aulas é conduzi-los de uma forma diferente...
Na verdade, minhas aulas escritas não se parecem nem com aula: são como uma
conversa. A gente vai conversando e, daqui a pouco, você já está entendendo tudo.
(E pode até ficar impressionado com isso!)
Começaremos do zero absoluto! Estou supondo que você realmente não se lembra
mais de nada, nadinha mesmo, de Geometria. Ok?
Portanto, o único pré-requisito para acompanhar este minicurso é este: querer
aprender o assunto!
Então vamos lá?
# Começando do Zero!
Quando falamos em Geometria, seu cérebro o remete imediatamente à lembrança de
figuras, como triângulo, quadrado, hexágono etc.
É verdade! Estas figuras também serão objeto do nosso estudo.
Antes de tratar delas, porém, há um conhecimento prévio que será exigido de nós!
Temos que ter guardados conosco, na memória de eterno prazo, os valores de seno,
cosseno e tangente dos chamados ângulos notáveis: 30º, 45º e 60º.
Mas, professor, o nosso assunto não é Geometria? Por que vamos começar com
lembranças trigonométricas?
Porque este mínimo conhecimento trigonométrico nos acompanhará, diversas vezes,
no estudo da Geometria. Ok?
Assim, vou logo lhes ensinar o primeiro atalho mnemônico do nosso Curso!

Como é que é isso, professor?
Você começa fazendo uma tabelinha, colocando os ângulos notáveis (30º, 45º e 60º)
na linha de cima, e sen, cos e tg na coluna da esquerda. Assim:
30º 45º 60º
sen
cos
tg
E agora vamos aprender um pequeno verso, que diz assim:
Um, dois, três...
três, dois, um...
Dois abaixo de todos
Raiz onde não tem um!
Se você repetir algumas vezes em voz alta este versinho acima, estou certo que vai
memorizá-lo rapidamente!
Já memorizei, professor! E agora?
Agora vamos aprender a preencher a tabela, usando uma linha do verso de cada vez:
Um, dois, três...
(Você coloca esses algarismos nos espaços da primeira linha!)
30º 45º 60º
sen 1 2 3
cos
tg
três, dois, um...
(Você coloca esses algarismos nos espaços da segunda linha!)
30º 45º 60º
sen 1 2 3
cos 3 2 1
tg

Dois abaixo de todos
(Você coloca o algarismo 2 como denominador de todos os que já estão aí!)
30º 45º 60º
sen 1
2
2
2
3
2
cos 3
2
2
2
1
2
tg
Raiz onde não tem um!
(Você coloca a raiz quadrada em todos os numeradores que não são 1)
30º 45º 60º
sen 1
2
2
2
3
2
cos 3
2
2
2
1
2
tg
Olha aí que beleza!
Com isso, preenchemos as duas primeiras linhas da tabela, com os valores de seno e
cosseno dos ângulos notáveis.
Mas falta a terceira linha, professor?
Ora, a terceira linha é a da tangente!
É bem possível que você ainda se lembre de que a tangente de um ângulo é a divisão
entre seno e cosseno deste mesmo ângulo! Lembrava-se disso?
Assim, para construir a terceira linha, basta dividir o primeiro pelo segundo valor de
cada coluna!
Para a primeira coluna, teremos:
30

√
.
√

√
Vocês sabem que não é usual deixar um denominador com sinal de raiz. Assim, para
que ele desapareça, nós racionalizamos.
De que jeito, professor?

Multiplicando o denominador por ele mesmo! Assim, ficaremos com o quadrado de
uma raiz quadrada, e o sinal de raiz desaparece!
Obviamente que, se vamos multiplicar o denominador por um fator qualquer,
devemos repetir isso com o numerador: multiplicá-lo pelo mesmíssimo fator!
Assim, multiplicando todo mundo por √3, teremos:

1
√3
.
√3
√3

√
Ficamos assim:
30º 45º 60º
sen 1
2
2
2
3
2
cos 3
2
2
2
1
2
tg 3
3
Na coluna do meio, do ângulo de 45º, não há o que ser feito! Já que os valores de
sen e cos de 45º são iguais, dividindo um pelo outro, o resultado é 1.
Vejam na tabela:
30º 45º 60º
sen 1
2
2
2
3
2
cos 3
2
2
2
1
2
tg 3
3
1
Finalmente, para a terceira e última coluna, a do ângulo de 60º, fazendo a divisão,
teremos:

! 60
cos 60
√3
2
1
2

√3
2
.
2
1
√

Vocês viram que as duas primeiras linhas da tabela, linhas do seno e do cosseno, são
rapidamente preenchidas pelo verso!
Já a terceira, convém mesmo é você memorizar! Concorda? Na tangente de 45º
(coluna do meio) é só colocar o 1, já que seno e cosseno de 45º são iguais.
E aí ficam só dois espaços restando! É fácil decorar! Não lhes parece? Ambos têm a
raiz de 3, mas a primeira coluna tem também o denominador 3.
Só isso!
E eis a nossa tabela completinha:
30º 45º 60º
sen 1
2
2
2
3
2
cos 3
2
2
2
1
2
tg 3
3
1 3
E se na hora da prova eu não soubesse esta tabela, professor, teria dificuldades com a
questão de Geometria?
É quase certo que sim!
Nesse nosso estudo da Geometria, mais adiante, voltaremos a falar (só um pouquinho
mais!) sobre trigonometria, ok?
Por ora, começaremos a conversar sobre a figura que é campeã de ibope nas provas
da Esaf: o triângulo!
# Triângulos:
Que o triângulo é um polígono de 3 lados, todo mundo sabe!
Talvez a principal informação acerca desta figura, e que é uma lei, válida para todo e
qualquer triângulo que seja traçado, é a seguinte:
A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180º.
Ora, o triângulo tem 3 lados e, portanto, 3 vértices! Daí, se tem 3 vértices, tem 3
ângulos internos! Somando-os, o resultado será sempre 180º. Ok?
Guarde isso!

E esses lados do triângulo podem ser todos iguais (de mesmo tamanho), ou apenas
dois deles serem iguais, ou todos eles serem de tamanho diferentes.
É imprescindível conhecer esta nomenclatura:
# Triângulo Equilátero:
Se os 3 lados do triângulo são iguais, ele será dito Triângulo Equilátero!
(Esse tracinho vermelho que coloquei em cada lado do triângulo indica exatamente
isso: que os lados são todos iguais)!
Falemos sobre o triângulo equilátero!
A principal - e inesquecível - característica de um triângulo equilátero, é que
seus 3 ângulos internos são iguais! Vejam:
É uma informação até visual, concordam?
Daí, se a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180º,
concluiremos que cada ângulo do triângulo equilátero é igual a 60º. Confere? Vejam:
Soma do ângulos internos = α + α + α = 180º
3 α = 180º
α = (180º / 3)
α = 60º
Daí, que tal tentar descobrir como se calcula a altura (h) de um triângulo equilátero?
Vejamos no desenho:
h L
α
αα
αα

Chamamos altura de h e o lado de L.
Vocês concordam que a reta da altura divide o lado de baixo do triângulo em duas
partes iguais, (L/2) e (L/2)? Sim? Claro que sim! Ótimo!
Quanto vale aquele ângulo α? Vale 60º, já sabemos disso!
Agora reparem somente neste triângulo que destaco no desenho abaixo:
L h L
L/2 L/2
Facilmente vemos que se trata de um triângulo retângulo, concordam?
Até concordaria, professor, se eu me lembrasse do que é um triângulo retângulo...
Ora, triângulo retângulo é aquele que apresenta um ângulo de 90º (noventa graus), o
chamado ângulo reto!
No desenho, o ângulo reto costuma vir indicado por um quadradinho no encontro dos
lados que o formam. Vejam:
h L
L/2
Pois bem! Estamos diante de um triângulo retângulo, e lá se vem de novo a boa e
velha trigonometria!
Você se lembra que os dois lados menores do triângulo chamam-se catetos, e que o
lado maior é a hipotenusa, não é mesmo?
Tomando por base o vértice daquele ângulo de 60º, o cateto oposto a ele é a altura
h, a hipotenusa é o lado L, e o cateto que não é o oposto, chamado cateto
adjacente, é, neste caso, (L/2).
Ora, o triângulo retângulo e a trigonometria comunicam-se nas chamadas relações
trigonométricas do triângulo retângulo!
Repetimos esse estudo tantas e tantas vezes em nossa vida estudantil, que é bem
possível que você se recorde de que, em um triângulo retângulo:
αα
60º

- O seno do ângulo α é a medida do cateto oposto, dividido pela medida da
hipotenusa!
'() *
+, ( - '
./- ()0',
- O cosseno do ângulo α é a medida do cateto adjacente, dividido pela medida da
hipotenusa!
+ ' *
+, ( ,12,+() (
./- ()0',
- A tangente do ângulo α é a medida do cateto oposto, dividido pela medida do cateto
adjacente!
*
+, ( - '
+, ( ,12,+() (
Contemos toda a história novamente!
Tínhamos conosco um triângulo equilátero:
L L
L
Traçamos a linha que representa a altura h deste triângulo:
L h L
L
Colocamos um novo triângulo em destaque:
h L
L/2
E aqui está ele:
α
αα
αα
αα

h L
L/2
Como faremos agora para descobrir a altura h deste triângulo acima (que é
exatamente a altura do triângulo equilátero), usando um pouquinho de trigonometria,
e este ângulo de 60º como base?
Ora, tomando por base este ângulo de 60º, conhecemos o seu cateto oposto (h) e a
hipotenusa (L).
E vem a pergunta: qual é a função trigonométrica que envolve, ao mesmo tempo,
cateto oposto e hipotenusa?
É o seno, professor!
Exatamente! Temos que: 345 6
78949: :;:39:
<=;:945>38
Assim, aplicando esta relação ao nosso desenho, teremos que:
h L
L/2
E quanto é mesmo o seno de 60º? Já sabemos! sen 60º =
√
Daí, teremos:
√ ?
@
E, finalmente: .
A.√
B
Professor, por que eu me interessaria em saber calcular a altura do triângulo
equilátero?
Por uma razão muito simples: é preciso conhecer a altura, para se poder calcular a
área de um triângulo!
60º
! 60
C
D60º

Assim, sem delongas, comecemos a falar na área do triângulo. Ok?
Vejam a figura abaixo:
É um retângulo, confere?
Mas, professor, não estamos falando de triângulos?
Calma! A intenção foi apenas fazer você relembrar que, se traçarmos uma diagonal
em um retângulo, criaremos imediatamente dois triângulos. Veja:
A diagonal:
Os 2 triângulos:
Ora, assim ficou facílimo de concluir que a área de um triângulo é a metade da área
de um retângulo!
E o retângulo é a figura geométrica de área mais fácil de ser calculada...
Área do Retângulo = Base x Altura
Daí, meus amigos, encontraremos aqui a forma básica de se calcular a área de um
triângulo! Teremos:
ÁE48 F: GE=â5H>I:
J834 K LI9>E8
B
Voltemos ao nosso assunto: estamos falando no Triângulo Equilátero!
Vejam novamente o seu desenho:
L h L
L
αα

Queremos agora descobrir como se calcula a área do Triângulo Equilátero, ok?
A altura dele nós já sabemos quem é: .
A.√
B
E a base deste triângulo? Quem é a base?
Não seria o próprio lado L, professor?
Exatamente!
Assim, aplicando a fórmula básica para cálculo da área de um triângulo, teremos:
Área
base x altura
2

L x
L√3
2
2

L . √3
4
Guardemos isso: ÁE48 F: GE=â5H>I: YZ>=Iá94E:
B√
]
E vamos em frente!
Aproveito o ensejo, já que falamos há pouco sobre triângulo retângulo, para citar aqui
o mais famoso teorema de toda a Geometria: o Teorema de Pitágoras!
Ah, professor! Aí é covardia! Desse todo mundo se lembra!
Que bom! O Teorema de Pitágoras, aplicável somente aos triângulos retângulos, diz
assim:
O quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos!
Vejam:
Por Pitágoras, temos que: a2
= b2
+ c2
Frisando novamente: Pitágoras só se aplica a triângulos retângulos!
Professor, aquele triângulo que usamos lá em cima para descobrir a altura do
triângulo equilátero era um triângulo retângulo...! Dá para aplicar Pitágoras nele
também?
Vamos tentar?
c
A
CB
b
a

Vejamos novamente aquele triângulo:
h L
L/2
Por Pitágoras, diremos que: L2
= h2
+ (L/2)2
Se desenvolvermos esta equação, teremos:
D C ^ _
D
4
`
4. C ^ D
4
Daí, multiplicando em cruz: 4. D 4. C ^ D
Isolando h2
, teremos: C
.@
a
E finalmente: < b
.@
a
√ .@
√a
.√
B
Mesmíssimo resultado ao qual havíamos chegado lá na página 9.
Isto serve para mostrar, meus amigos, que a Geometria é cheia de caminhos
alternativos! Há quase sempre mais de uma maneira de você conseguir solucionar um
problema!
Às vezes, basta só um pouco de paciência e criatividade!
Em frente!
Neste momento, convém conhecermos um conceito também muito importante, e já
algumas vezes cobrado em questões de prova. Estou falando da Bissetriz!
Bissetriz nada mais é que uma reta (ou segmento de reta, como preferem os
autores) que divide um ângulo em duas partes iguais!
Vejam:
60º

Assim, fica claro que Bissetriz é conceito relativo a ângulo! Nunca se dirá "bissetriz de
um triângulo", ou "bissetriz de um polígono"... Não! Bissetriz do ângulo tal, e apenas
isso, ok?
Você já sabe que um triângulo possui 3 lados e, portanto, 3 vértices. Logo, são
também 3 os seus ângulos internos, e são 3 as bissetrizes internas presentes em um
triângulo.
Ocorre que essas 3 bissetrizes vão se tocar em um único ponto!
Vejam:
Chamamos este ponto de encontro das bissetrizes internas de um triângulo de
incentro.
Convém guardar este nome!
E mais importante ainda que guardar o nome, será lembrar-se que o incentro
corresponde ao centro de um círculo inscrito no triângulo.
Vejam:
Por enquanto, apenas guardem esta informação, ok? Mais adiante, quando formos
falar de círculos inscritos e circunscritos em triângulos e em quadrados, retomaremos
este conceito (de incentro)!
A
BC D

Ah! Quase ia esquecendo! Existe uma relação importante que também decorre do
conceito de Bissetriz! Trata-se de uma relação de proporcionalidade, a qual
chamaremos de Teorema da Bissetriz Interna! Vejamos:
Jc
LJ
dc
Ld
Eventualmente, podemos precisar desta informação! Vamos guardá-la bem!
E já que falamos na Bissetriz, talvez seja mesmo o momento oportuno para
conhecermos também os conceitos de Mediana e Baricentro, e de Mediatriz e
Circuncentro!
Vamos lá!
A Mediana é o segmento de reta que parte de um vértice do triângulo, e segue até o
ponto que divide o lado oposto do triângulo em duas partes iguais (em duas
metades)!
Vejam no desenho abaixo a Mediana que parte do vértice A:
Reparem que o lado oposto ao vértice A ficou dividido exatamente ao meio, pois esse
é o papel da Mediana! Agora tracemos as 3 Medianas deste triângulo:
A
CB S
A
B
CA

Este ponto de encontro das 3 Medianas é o que chamamos de Baricentro!
E há uma informação muito interessante e útil acerca do Baricentro: ele divide cada
Mediana em duas partes, de modo que, em cada Mediana, a parte maior é o dobro da
menor!
Como é que é, professor?
Vejam no desenho, para entender melhor:
Agora todo mundo enxergou, não foi?
Então, vejamos: já falamos sobre bissetrizes e incentro, já falamos sobre medianas e
baricentro!
Falta falar ainda sobre Mediatrizes e Circuncentro! Vamos fazer isso agora!
Mediatriz é uma reta perpendicular ao lado, passando pelo ponto médio deste lado!
No desenho, você entenderá melhor!
Vejamos:
B
CA
y
2y
B
CA
x
2x
B
CA
z
2z

Vejam que a Mediatriz não tem nada a ver com ângulo! Ela é simplesmente uma reta
que passa pelo ponto médio de um lado, formando com este um ângulo reto!
Traçando as 3 Mediatrizes no desenho, teremos:
Este ponto de encontro das Mediatrizes é chamado, por sua vez, de Circuncentro.
Convém saber também que o circuncentro é o centro do círculo circunscrito ao
triângulo! Vejamos isso no desenho abaixo:
A

Convém memorizar bem todos estes conceitos, Ok? E não esqueçam de relacionar o
nome da reta com o ponto de encontro! Ou seja, guardem bem que Incentro é o
encontro das Bissetrizes; que Baricentro é o encontro das Medianas; e que
Circuncentro é o encontro das Mediatrizes!
Já falou tudo, professor?
Ainda não! Esqueci de falar sobre a altura relativa a cada lado do triângulo, e sobre o
ponto de encontro destas alturas!
O conceito de altura é por demais intuitivo!
Altura é a reta (ou segmento de reta, como preferem os autores) que parte de um
vértice e é perpendicular ao lado oposto.
Vejam que, nos exemplos abaixo, o segmento BH é a altura relativa ao vértice B.
Traçando as alturas relativas aos 3 lados de um triângulo, teremos que o ponto de
encontro delas será chamado de ortocentro!
Vejamos no desenho abaixo:
Apenas com esses conceitos de bissetriz (e incentro), de mediana (e baricentro), de
mediatriz (e circuncentro), e de alturas (e ortocentro), a ESAF já seria capaz de criar
questões de prova!
Se ainda não o fez, creiam-me, é só uma questão de tempo!
Vamos ver, na sequência, dois exercícios sobre isso, Ok?
Exercício 1: Calcule o ângulo x na figura abaixo, sabendo que BH e BI
são, respectivamente, a altura e a bissetriz relativas ao vértice B do
triângulo ABC.
A
B
C
H
altura
A
B
C
H
altura

Sol.: Vamos lá! Comecemos observando com mais calma o triângulo ABH. Um de
seus lados é a altura do triângulo maior (ABC), de sorte que o ângulo reto (90o
) está
lá, no encontro de dois de seus lados, concordam?
Vejam no desenho:
Daí, lembrando que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180o
,
calcularemos o ângulo ainda desconhecido, o ângulo efgh:
Teremos: 180o
- 54o
- 90o
= 36o
E nosso novo desenho agora é o seguinte:
Agora vamos passar a enxergar o triângulo maior, o ABC. Olhemos para o vértice de
cima, o B.
Já sabemos quanto valem os ângulos dos vértices A (54o
) e C (30o
).
Assim, para que a soma dos ângulos internos deste triângulo maior seja igual a 180o
,
é preciso que o ângulo efgi seja de 96o
.
Por que mesmo, professor?
Ora, basta fazer a conta: 180º – 54o
– 30o
= 96o
B
CA
H I
x
54º 30º
B
CA
H I
x
54º 30º
B
CA
H I
x
54º 30º
36º
b

Daí, apenas olhando para este ângulo de cima (o ângulo efgi), concluímos
rapidamente o seguinte:
36º + x + b = 96º
Assim:
x + b = 96º – 36º
x + b = 60º
Deixemos esta primeira equação acima guardada para daqui a pouco!
Trabalharemos agora com a informação da bissetriz!
Vejamos o desenho abaixo, que irá nos dizer tudo o que é preciso saber:
Viram?
A bissetriz, conforme já sabemos, divide o ângulo do vértice de onde ela parte em
duas metades!
Assim, podemos afirmar que:
36º + x = b
O valor de b, nesta 2ª equação, será lançado naquela anterior, que estava guardada
esperando.
E teremos:
x + (36º + x) = 60º
2x = 60º – 36º
2x = 24º
x = 12º (Resposta!)
Um bom exercício, não acharam?
Vamos para mais um!
B
CA
H I
x
54º 30º
36º
b

Exercício 2: O triângulo ABC da figura abaixo tem perímetro igual a 35
cm. O segmento AP é a bissetriz de Â e as medidas dos segmentos AB
e PB são, respectivamente, 12 cm e 9 cm. Calcule a medida do
segmento AC.
Sol.: Vamos lá! Comecemos atribuindo nomes aos bois: chamaremos de x a medida
do segmento AC e chamaremos de y a medida do segmento CP.
Vejamos:
O enunciado nos disse que o perímetro (a soma dos lados!) do triângulo maior é 35.
Assim, somando os seus lados, teremos que:
Perímetro = x + y + 12 + 9 = 35.
Daí: x + y = 14.
Se quisermos isolar y, teremos que: y=14-x
Isso fica guardado para já já!
Agora, volte a olhar para o nosso desenho:
E agora precisamos relembrar o Teorema da Bissetriz Interna, do qual falamos lá da
página 13. Você quer ir lá de novo, dar uma olhada?
Aplicando o dito Teorema, teremos que: j/l mB/n
Assim, substituindo nesta equação o valor de y que já havíamos encontrado, teremos:
o/p14 q or 12/9 4/3
12
9
A
BC
P
12
9
A
BC
P
x
y
12
9
A
BC
P
x
y

Donde:
o ∙ 3 p14 q or ∙ 4
7o 56
j w (Resposta!)
E aí? Tudo certinho?
Repito que estes dois exercícios que acabamos de resolver não são da lavra da ESAF,
mas podem vir a ser muitíssimo em breve!
Ademais, tudo o que aprendermos agora poderá nos servir de subsídio para
encontrarmos caminhos de solução para questões das próximas provas que vamos
enfrentar! Concordam?
E vamos em frente!
# Triângulo Isósceles:
Se apenas 2 lados do triângulo são iguais, ele será dito Triângulo Isósceles!
Vejam:
α α
Fica fácil de ver pelo desenho acima que, no triângulo isósceles, os ângulos da
base são iguais! Ou, como preferem os autores, são congruentes!
Esta é talvez a informação crucial acerca deste tipo de triângulo.
Agora vem nova pergunta para vocês: o que é possível descobrir acerca de um
triângulo retângulo que apresenta também um ângulo de 45o
?
Vamos pensar juntos? Se este triângulo é retângulo, já sei que um de seus ângulos é
90o
. E se há outro ângulo nele que é de 45o
, então seu desenho poderia ser assim:
45o α

E agora, professor?
Agora, nos lembramos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a
180o
, certo?
Assim, se você já conhece os valores de dois dos ângulos internos, saberá
imediatamente quanto vale o terceiro.
Faremos: 90o
+ 45o
+ α = 180o
Daí: α = 180o
- 135o
E: α = 45o
Vocês estão reparando, portanto, que esses dois ângulos da base são iguais?
Sim?
Conclusão que tiramos:
- Se um triângulo é retângulo, e possui também um ângulo de 45o
, então o
terceiro ângulo será também de 45o
, e estamos diante de um triângulo
isósceles!
Vamos ver questões da ESAF?
01. (ESAF) Os catetos de um triângulo retângulo medem, respectivamente,
A+X e A+Y, onde A, X e Y são números reais. Sabendo que o ângulo oposto
ao cateto que mede A+X é igual a 45º, segue-se que:
a) Y = -2 X
b) Y = (31/2
)/2 X
c) Y = 31/2
X
d) Y = X
e) Y = 2 X
Sol.: A leitura da questão nos revela, já na primeira linha, que estamos trabalhando
com um triângulo retângulo. E no final do enunciado, diz que um dos outros ângulos
deste triângulo é de 45o
.
Já vimos isso antes?...
Vamos ao desenho da questão:
Ora, já matamos toda a charada!
O ângulo α é também um ângulo de 45o
e estamos diante de um triângulo isósceles!
45o α
A+XA+Y

Daí, os catetos são iguais.
Teremos: A+X=A+Y
E: X = Y (Resposta: Letra D)
Professor, mas que questão mais fácil!
É o que eu sempre digo: nem só de questões difíceis se faz uma prova de concurso!
Também tem as dificílimas e as impossíveis!
Próxima!
02. (ESAF) Os catetos de um triângulo retângulo medem, respectivamente, x
e (y-2). Sabendo que a tangente trigonométrica do ângulo oposto ao cateto
que mede x é igual a 1, então o perímetro do triângulo é igual a
a) 2y (x + 1)
b) y (2 + 2 2 )
c) x (2 + 2 )
d) 2 (x + y)
e) x2
+ y2
Sol.: Novamente o enunciado começa dizendo que estamos trabalhando com um
triângulo retângulo! A novidade dessa vez foi que o elaborador encontrou uma forma
elegante de afirmar que há também neste triângulo um ângulo de 45o
. Ele disse que a
tangente trigonométrica do ângulo (...) é igual a 1.
Ora, só existe um ângulo cuja tangente é igual a 1?
Qual é ele? Isso mesmo: 45o
.
Assim, mais uma vez, sem maiores dificuldades, matamos novamente a charada!
Vamos ao desenho da questão:
Já sabemos, pois, que se trata de um triângulo isósceles, de sorte que os catetos são
exatamente iguais: X=Y-2. Podemos chamá-los apenas de x, concordam?
Mas a questão quer descobrir o perímetro do triângulo!
45o α
xy-2
c

Este conceito já havia aparecido em nossa aula, e decerto que está ainda na
lembrança de todos nós.
Perímetro é simplesmente a soma dos lados do polígono.
Os dois catetos do triângulo medem, ambos, x. Resta-nos, pois, descobrir o valor da
hipotenusa, que está chamada de c no desenho.
Ora, sempre que estivermos diante de um triângulo retângulo, lembraremos
imediatamente do nosso velho amigo Pitágoras! Por ele, é sempre possível descobrir o
lado desconhecido de um triângulo retângulo, desde que conheçamos os outros dois
lados.
Teremos: c2
= x2
+ x2
Daí: c2
= 2.x2
Finalmente: c=x.√B
Somando os lados do triângulo, a fim de encontrar seu perímetro, teremos:
Perímetro = x + x + x.√B = 2x + x.√B = x.(2+ √B) (Reposta: Letra C)
Vamos para mais uma!
03. (ESAF) Em um triângulo retângulo, um dos catetos forma com a
hipotenusa um ângulo de 45º. Sendo a área do triângulo igual a 8 cm2
, então
a soma das medidas dos catetos é igual a:
a) 8 cm2
b)16 cm c)4 cm d) 16 cm2
e) 8 cm
Sol.: Neste enunciado, há revelação expressa de que o triângulo com que
trabalharemos é retângulo, e de que existe também um outro ângulo de 45o
.
Não há segredo: estamos diante de um triângulo isósceles! Concordam?
Passemos ao desenho:
45o α
xx
c
LL
45o
45o
c

Pelo teorema de Pitágoras, calcularemos a hipotenusa c. Inclusive já fizemos isso na
resolução anterior. Lembrados? Aqui estou chamando os lados iguais de L.
Teremos: c2
= L2
+ L2
Daí: c2
= 2.L2
Finalmente: c=L√B
E o que há de novidade nesta questão, professor?
A novidade é que ela vem nos falar em área do triângulo! E nós, lá atrás, aprendemos
a forma básica de se calcular esta área! Foi ou não foi?
Foi sim! Vimos que: Área do Triângulo = (base x altura)/2
Acabamos de calcular a base deste triângulo, que é a própria hipotenusa (L√B).
Falta descobrir a altura do triângulo. Vejam:
(L√B)/2 (L√B)/2
Vamos fazer um truque?
Dá para descobrir a altura h sem fazer nem uma conta sequer! Vamos nos concentrar
só no triângulo em destaque abaixo:
(L√B)/2 (L√B)/2
Olha ele aí de novo:
(L√B)/2
LL
45o
45o
h
LL
45o
45o
h
L
h
45o

Estão todos enxergando que temos aí um triângulo retângulo, que contém ainda um
ângulo de 45o
?
Ótimo! Estamos diante de outro triângulo isósceles!
Assim, a altura h, que é um dos catetos, será igual ao outro cateto, cujo valor já é
nosso conhecido.
Daí: h=(L√B)/2
Voltemos ao triângulo inteiro agora:
(L√B)
Calculando a área deste triângulo, teremos:
Áx y
zy o y{ |xy
2
D√2 .
D√2
2
2

}D√2~
4
2. D
4
D
2
A questão falou que a área é igual a 8 cm2
. Daí, teremos:
D
2
8 ∴ D 16 ∴ D 4 •‚
E a soma das medidas dos catetos será 4+4 = 8 cm (Resposta: Letra E)
Estão acompanhando direitinho? Vamos adiante? Próxima questão!
04. (ESAF) A base de um triângulo isósceles é 2 metros menor do que a
altura relativa à base. Sabendo-se que o perímetro deste triângulo é igual a
36 metros, então a altura e a base medem, respectivamente
a) 8 m e 10 m.
b) 12 m e 10 m.
c) 6 m e 8 m.
d) 14 m e 12 m.
e) 16 m e 14 m.
LL
45o
45o
√B

Sol.: Após a leitura de uma questão de Geometria, é sempre conveniente fazer o
desenho da figura sugerida pelo enunciado, para, dessa forma, conseguir raciocinar
com mais facilidade.
O enunciado nos fala expressamente em um triângulo isósceles, e estabelece uma
relação entre a base a altura dele. É dito que a base é menor que a altura em 2
metros. Se chamarmos a altura de h, a base será, portanto, h-2. Metade da base,
consequentemente, será (h-2)/2.
Vejamos:
Caso o amigo se aventurasse a fazer cálculos com este desenho acima, seguramente
iria desestimular-se em pouco tempo...
Por quê, professor?
Porque cada metade da base ficou expressa em termos de uma fração, e isso
complica deveras no desenvolvimento algébrico da resolução!
Melhor então seria tentar algo diferente! Que tal se chamarmos a altura de 2k?
Fazendo isso, teremos que a base será dada por (2k-2), e cada metade da base
agora deixará de ser uma fração, e passará a ser apenas (k-1).
Perceberam? Nosso desenho, portanto, será:
Trabalharemos com a metade do triângulo isósceles acima, Ok?
Qual metade, professor?
Qualquer uma! São ambas idênticas!
αα
h
pC q 2r
2
pC q 2r
2
αα
2k
(k-1) (k-1)
LL
(2k-2)

Teremos:
Aplicando o Teorema de Pitágoras, teremos que:
D p2ƒr ^ pƒ q 1r
Desenvolvendo esta equação, teremos:
D 4. ƒ ^ ƒ q 2ƒ ^ 1 ∴ D 5. ƒ q 2ƒ ^ 1
Agora vamos dar uma paradinha aí, para olhar uma outra informação trazida pelo
enunciado, acerca do perímetro do triângulo!
Foi dito que o perímetro é igual a 36.
Olhando para o desenho acima, e fazendo a soma dos lados, teremos:
L + L + (2k-2) = 36 ∴ 2L + 2k = 38
Dividindo os dois lados da equação por 2, teremos que: L+K=19
E: L=19-k
Substituindo este resultado no desenvolvimento de Pitágoras que fazíamos lá em
cima, teremos:
D 5. ƒ q 2ƒ ^ 1
p19 q ƒr 5. ƒ q 2ƒ ^ 1 ∴ 361 q 38ƒ ^ ƒ 5. ƒ q 2ƒ ^ 1 ∴ 4ƒ ^ 9„ q 90 0
Chegamos aqui a uma equação do segundo grau, cujas raízes são K=-10 e k=6.
L
K-1
2K
αα
2k
(k-1)

(k-1)
LL

Obviamente que, na geometria, desprezamos resultados negativos, haja vista que não
há comprimento de reta menor que zero!
Assim, concluímos que k=6.
Logo, a altura deste triângulo será 2k=12 e a base 2k-2=10 (Resposta: B)
Professor, será que não dava para fazer essa questão aí por tentativa, com base nas
alternativas de resposta?
Claro que sim!
E olha que você encontrará a resposta até bem mais rapidamente, viu?
Vamos fazer o teste da alternativa A: altura=8 e base=10.
O desenho seria:
Ôôôôôôôôpaaaa, professor!
Não tem alguma coisa errada aí com essa alternativa, não?
Puxa! Pensei que você não fosse reparar...
Claro que tem! O enunciado disse que a base é menor que a altura! E nesse desenho
aí de cima, ocorre o contrário!
Pelo que disse a questão, jamais a altura poderia ser 8 e a base ser 10.
Enxergaram aí?
Com isso, a alternativa A já está sumariamente descartada!
Testando agora a alternativa B: altura=12 e base=10.
αα
8
(5) (5)
LL
αα
12
(5) (5)
LL

Tomando a metade do desenho acima (qualquer metade!), e aplicando Pitágoras,
descobriremos o tamanho do lado L.
Teremos: L2
=122
+52
∴ L2
=144+25 ∴ L=√m n ∴ L=13
Daí, o perímetro será igual a: 13+13+10=36
Exatamente como disse o enunciado!
Logo, alternativa B, resposta da questão!
(Bem melhor assim, não foi? Portanto, na hora da prova, concentração é a palavra
de ordem! Se você estiver bem concentrado, vai conseguir ver soluções alternativas e
caminhos de atalho maravilhosos! E como o tempo das provas é muito reduzido,
levará imensa vantagem quem conseguir permanecer calmo e concentrado!)
Passemos à próxima questão, que vai nos falar em Bissetrizes!
05. (ESAF) Num triângulo ABC, o ângulo interno de vértice A mede 60°. O
maior ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos internos de vértices B e
C mede:
a) 45°
b) 60°
c) 90°
d) 120°
e) 150°
Sol.: Vejam que o enunciado nos fala de um triângulo que possui um dos ângulos
internos medindo 60o
.
Vamos resolver essa questão de duas formas: uma solução genérica e uma específica.
Ok?
De início, desenhemos nosso triângulo, anotando nele, como valor conhecido, apenas
o ângulo de 60o
, que a leitura nos revelou.
Fazendo isso, teremos:
Não há nenhuma dificuldade em constatar que a soma destes 3 ângulos deve ser igual
a 180o
, concordam?
60º
…*
B C
A

Assim, teremos: † + ‡ +60o
= 180o
.
Daí, diremos que: * + … = 120o
Agora, tracemos as bissetrizes dos ângulos † e ‡, como manda o enunciado.
Este conceito de bissetriz apareceu aqui em nosso Curso, lá na página 12.
Lembrados?
Bissetriz nada mais é que uma reta (ou segmento de reta, como preferem os autores) que
divide um ângulo em duas partes iguais!
Teremos:
Este ângulo x é o maior ângulo formado pelas bissetrizes, concordam? Esta
constatação é meramente visual. E é exatamente este x que a questão nos pede!
Se somarmos estes 3 novos ângulos que surgiram no novo desenho, teremos que o
resultado da soma terá novamente que ser igual a 180o
.
Assim:
†
2
^
‡
2
^ o 180
Ora, sabemos que † + ‡ = 120o
, correto? Assim, teremos que
ˆ
^
‰
60o
Substituindo na equação acima, teremos:
60o
+ x = 180o
x = 120o
(Resposta: Letra D)
Percebam, meus amigos, que esta foi uma solução genérica, como disse antes! Ou
seja, ela se aplica para qualquer valor dos ângulos † e ‡.
Professor, mas se eu quisesse, poderia tratar o triângulo dessa questão como sendo
um triângulo equilátero? Já que o enunciado nos diz que um dos ângulos é de 60o
?
Claro que sim!
‡/2†/2
x

Não há nenhum impedimento para isso! Se fizer esta consideração, que se trata de
um triângulo equilátero, você não está contrariando em nada o enunciado!
Ora, nós já sabemos que o triângulo equilátero possui os seus três ângulos internos
exatamente com a mesma medida (60o
).
Assim, vamos resolver esse exercício considerando a figura de um triângulo
equilátero! Vamos lá?
Vejamos:
E agora vamos traçar as bissetrizes internas dos vértices B e C, conforme pede o
enunciado!
Teremos, pois:
Vemos, daí, que se formam dois ângulos no encontro das bissetrizes traçadas: † e ‡,
e que o maior deles é o ângulo †. Concordam?
Assim, olhemos agora apenas para o triângulo BPC, formado pelos vértices B e C e
pelo ponto P (marcado no encontro das duas bissetrizes):
60º
60º60º
B C
A
60º
30º
A
B C
30º
ββββ
P
30º30º
αααα
30o
30o
†

Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180o
,
descobrimos facilmente o valor de †: 30o
+30o
+ † = 180o
Daí: * = 120o
(Resposta: Letra D)
Fácil, né?
Próxima!
06. (ESAF) O ângulo A de um triângulo qualquer ABC mede 76°. Assim, o
menor ângulo formado pelas bissetrizes externas relativas aos vértices B e C
deste triângulo vale:
a) 50°
b) 52°
c) 56°
d) 64°
e) 128°
Sol.: O conceito que aparece nesta questão é ligeiramente diferente do que
trabalhamos na anterior.
Aqui, vamos tratar novamente de bissetrizes, só que, agora, de bissetrizes externas!
Você vai entender o que é uma bissetriz externa, apenas olhando para o desenho!
Ok? Vamos lá!
Comecemos traçando o triângulo que o enunciado nos sugere. Antes, porém, vamos
pensar juntos sobre este triângulo!
Pergunto eu: a questão especificou o tipo de triângulo com que trabalharemos? Ela
disse, por exemplo, que ele deve ser equilátero, ou isósceles, ou retângulo, ou
qualquer outra coisa?
Equilátero ele não pode ser, professor, pois há nele um ângulo de 76o
. E no
equilátero, os 3 ângulos internos medem 60o
cada um...
É verdade! Muito bem observado! Equilátero ele não pode ser!
E perdendo apenas para o equilátero, o outro triângulo mais fácil de ser trabalhado é
o... o... (quem?)... É o triângulo isósceles, cujos ângulos da base são iguais!
Assim, sem mais delongas, trataremos este nosso triângulo como sendo isósceles!
Teremos:
Igualando a soma dos ângulos internos a 180o
, descobriremos quanto vale o †.
A
76º
††
B C

Teremos: 76o
+2 † = 180o
∴ 2 † = 104o
∴ † = 52o
Nosso desenho agora fica assim:

Para desenhar a bissetriz externa de um ângulo, é preciso desenhar primeiramente o
próprio ângulo externo. Vejam os ângulos externos aos ângulos de 52o
:
Apenas visualmente, vemos que y + 52o
= 180o
. Concordam?
Assim, o ângulo externo y (o mesmo nos dois vértices da base) será:
y = 180o
- 52o
E: y = 128o
Esta é a medida do ângulo externo!
E o que é mesmo bissetriz? É a reta que divide o ângulo em duas partes iguais, em
duas metades!
Vamos traçar, pois, estas duas bissetrizes! E vamos verificar que elas se encontram
em um ponto do espaço! Vejamos:
A
76º
52º52º
B C
A
76º
52º52º
B C
yy
76º
52º52º
A
B C
128º
128º
64º
64º
64º64º
64º
64º
αααα
P

Analise com calma o desenho acima, e veja se você consegue compreender todas as
medições dos ângulos que surgiram nele, Ok?
E aí, ficou tudo claro? Não? Então vou mostrar como esses valores surgiram, um por
um:
Agora só precisamos nos concentrar nesse triângulo que surgiu com as bissetrizes, o
triângulo BPC, pois já conhecemos dois de seus ângulos internos!
Aplicando a soma 180o
, teremos: 64o
+ 64o
+ † = 180o
Daí: † = 180o
- 128o
= 52o
(Resposta: Letra B)
Agora que já estamos peritos em bissetrizes, sigamos em frente!
Não sei se vocês observaram, mas quando eu comecei a falar sobre a área de um
triângulo (lá na página 10), foi dito que a forma básica para este cálculo era o
seguinte:
Área do triângulo = (base . altura) / 2
Ocorre que esta não é a única maneira de se calcular a área do triângulo!
Existem outras várias!
E eu preciso conhecer todas elas, professor?
Convém conhecer ao menos as principais! Ok? Pois assim, você terá mais elementos
para matar uma questão de prova em menos tempo!
Passemos a mais uma questão ESAF!
Este 76o
foi fornecido
pela questão!
Este 52o
foi calculado pela soma dos
ângulos internos de um triângulo!
(76o
+52o
+52o
=180o
)
Este 128o
é o quanto falta ao
52o
para completar 180o
!
Este 64o
é a
metade dos
128o
! Surgiu
quando
traçamos a
bissetriz do
ângulo 128o
.
Este é o chamado ângulo oposto pelo
vértice! Exatamente do lado oposto a
este vértice, existe um ângulo já nosso
conhecido (64o
)! Pois bem! Ângulos
opostos pelo vértice são sempre iguais!
76º
52º52º
A
B C
128º
128º
64º
64º
64º64º
64º
64º
αααα
P

07. (ESAF) Em um triângulo ABC qualquer, um dos lados mede √B cm e um
outro mede 2 cm. Se o ângulo formado por esses dois lados mede 45o
, então
a área do triângulo é igual a
a) 3Š ⁄
b) 2 ⁄
c) 2Š ⁄
d)3√2 e) 1
Sol.: Vamos ver aprender agora uma outra forma de calcular a área de um triângulo!
Prestem atenção!
Sempre que você conhecer 2 lados de um triângulo, e o ângulo formado por eles,
você terá como calcular a área desse triângulo usando uma fórmula bem simples!
Vejam: Área do Triângulo =
Œ . + . '() *
B
Onde b e c são lados conhecidos do triângulo e * é o ângulo formado por esses lados.
No caso de nossa questão, conhecemos os valores de 2 lados do triângulo (√2 2) e
sabemos que o ângulo entre eles é de 45o
. Daí, meus amigos, solução imediata!
Teremos:
Áx y
√2. 2. !45
2
√2. 2.
√2
2
2
1
Daí: Área = 1 cm2
(Resposta: Letra E)
E, se na hora da prova, você por acaso esquecer essa fórmula, pode facilmente
chegar a ela, com um rápido raciocínio!
Vejamos:
Aqui temos os lados conhecidos b e c e o ângulo formado por eles, o ângulo †.
Usando o caminho tradicional para calcular a área deste triângulo, diríamos que:
Áx y
zy . y{ |xy
2

• . C
2
Agora, calculemos o seno do ângulo †. Teremos: ! †
?
•
BA
C
h
b
c
†

Daí: h = b . sen *
Substituindo no cálculo da área, teremos:
ÁŽ(,
zy . y{ |xy
2

• . C
2
Œ. +. '() *
B
Portanto, doravante, não esqueça: se conhecemos 2 lados de um triângulo e o ângulo
formado por eles, então temos como calcular a área desse triângulo, num piscar de
olhos!
# Triângulos Inscritos e Circunscritos:
Agora falemos, meus amigos, acerca de um tema que já foi cobrado algumas vezes
em provas feitas pela ESAF.
Certamente vocês já viram em livros de Geometria, ou mesmo em alguma prova
passada, questões que trazem uma figura inserida em outra. Não é verdade?
Pois bem! Uma dessas figuras será, seguramente, um círculo!
Assim, antes de nos adiantarmos no assunto da inscrição ou circunscrição de
triângulos (ou de polígonos em geral), vamos conversar um pouco sobre os círculos,
Ok?
Vocês sabem a diferença entre circunferência e círculo?
Tem diferença, professor?
Tem sim! Circunferência é apenas o contorno, a borda da figura! Já o círculo é o disco
inteiro, reunindo a circunferência e a parte interior.
A bem da verdade, isso não vai lá fazer você errar questão nenhuma de prova... Mas,
às vezes, os elaboradores cometem alguns deslizes, quando dizem área da
circunferência, ou quando dizem comprimento do círculo...
(Quem tem área é o círculo; e quem tem comprimento é a circunferência)!
Mas vamos em frente!
Basicamente, o que você precisa saber sobre uma circunferência é como se calcula o
seu comprimento, e como se calcula a área do círculo correspondente. Ok?
A propósito, você fala francês? Não?
Tudo bem! Dá pra memorizar mesmo assim!
Guarde isso: o círculo é a figura do Pierre!
Na verdade, Pierre nada mais é que um produto: • . Ž
Onde • é a constante 3,14; e r é o raio da circunferência!

Vejamos:
O raio r, portanto, é o segmento de reta que vai do centro do círculo até tocar
qualquer ponto da circunferência!
Também é de conhecimento geral o conceito de diâmetro, que nada mais é senão o
dobro do raio: d=2r.
Como falei, o Pierre aparecerá tanto no comprimento da circunferência quanto na área
do círculo. Teremos:
Comprimento da Circunferência = 2. • . Ž
Área do Círculo = • . ŽB
Por enquanto, você vai ficar somente com essas duas informações! Ok?
Muito em breve voltaremos a elas, e complementaremos o estudo do círculo e da
circunferência! Combinado?
Agora quero que saibam que um triângulo pode estar inscrito numa circunferência,
bem como pode estar circunscrito a ela!
Vejam as duas situações:
Triângulo Inscrito
Triângulo Circunscrito
r

Lembre-se do in do inglês, que dá ideia de dentro. Então inscrito é o que está dentro
da circunferência! O outro, o circunscrito, é o que está fora dela!
Vamos trabalhar agora com um triângulo equilátero, Ok?
Vamos juntar tudo, e desenhar um triângulo equilátero que está, ao mesmo tempo,
inscrito numa circunferência e circunscrito em outra!
Teremos:
Questões de prova já exigiram uma relação entre as áreas dos dois círculos deste
desenho!
Vamos ver?
08. (ESAF) Um círculo está inscrito em um triângulo equilátero que, por sua
vez, está inscrito em outro círculo. Determine a razão entre a área do círculo
maior e a área do círculo menor.
a) √3
b) 2
c) 3
d) √2
e) 4
Sol.: É exatamente a situação da qual falamos! E está expressa pelo mesmo desenho
já traçado, e aqui transcrito:
Já que o elaborador quer a razão entre as áreas dos dois círculos, trabalharemos com
cada um deles isoladamente, Ok?

Antes, porém, vamos apenas relembrar alguns conceitos já estudados por nós
anteriormente! Falamos, lá pelos idos das páginas 12 a 16, em bissetrizes e incentro,
em medianas e baricentro, em mediatrizes e circuncentro, e em alturas e ortocentro.
Pois bem!
Quando estamos trabalhando com um triângulo equilátero, temos que incentro,
baricentro, ortocentro e circuncentro são o mesmo ponto!
Isso mesmo, são coincidentes!
Esta é uma informação importante! Guarde-a consigo!
Vamos trabalhar agora com o triângulo inscrito. Teremos:
Ora, se este é um triângulo equilátero, então sabemos que cada um de seus ângulos
internos vale 60o
, não é verdade? Agora traçaremos a altura desse triângulo inscrito
e a bissetriz de um dos ângulos da base! Nosso desenho será o seguinte:
Criamos com isso um triângulo retângulo, cuja base é metade do lado do triângulo
maior (o equilátero), e cuja hipotenusa é igual ao raio da circunferência! Vejam em
destaque:
30o
30o

E mais destacado ainda:
Em relação ao ângulo de 30o
, temos conhecidos o cateto adjacente (L/2) e a
hipotenusa (r). Com qual função trigonométrica devemos trabalhar?
Seria com o cosseno, professor?
Perfeitamente!
Teremos: cos 30°
‘
’
∴
√ @
’
∴ Ž
A
√
Esta é a medida do raio da circunferência, em função do lado (L) do triângulo inscrito!
Mas a questão nos pede o valor da área deste círculo! Assim, faremos:
Áx y “. x “. ”
D
√3
•
E, finalmente:
ÁŽ(, 1 –íŽ+0˜ –/Ž+0)'+Ž/
•. AB
Onde L é o lado do triângulo equilátero inscrito.
Deixemos este resultado aí guardado, para daqui a pouco!
Vamos agora trabalhar com o triângulo equilátero circunscrito!
Teremos:
Podemos começar traçando as 3 bissetrizes e encontrando o ponto de encontro delas
neste triângulo!
30o
r
L/2

Teremos:
Não há nenhuma dificuldade em enxergar que esse ponto vermelho da figura
corresponde exatamente ao centro do círculo, uma vez que ele é o encontro das
bissetrizes. Ou seja, este é o chamado incentro.
Ocorre que acabamos de aprender que se o triângulo é equilátero, o incentro coincide
com o baricentro!
E daí, professor?
Daí que o conceito de baricentro nos traz uma informação muito útil, que vimos lá na
página 14, segundo a qual o baricentro divide cada Mediana em duas partes, de modo
que, em cada Mediana, a parte maior é o dobro da menor!
E houve até desenhos para explicar melhor isso. Vejamos um deles, que já apareceu
em nosso Curso:
Assim, voltando à nossa questão, vamos tentar estabelecer uma relação entre a altura
do triângulo e o raio da circunferência, Ok? Qual seria esta relação?
B
CA
z
2z
r
2r
h

Assim, conhecendo esta propriedade do baricentro, concluímos que, para o triângulo
equilátero circunscrito: h=3r.
Ora, já era do nosso conhecimento que a altura de um triângulo equilátero é dada
também por: <
.√
B
Isso nós aprendemos lá na página 39 deste Curso.
Daí, igualando estas duas relações, teremos:
E
. √
B

E, finalmente:
E
. √

Assim, calculando a área do triângulo equilátero circunscrito, teremos:
Áx y “. x “. _
D√3
6
`
3. “. D
36
E, finalmente:
ÁŽ(, 1 –íŽ+0˜ ™)'+Ž/
•. AB
mB
Nossa questão, que começou lá na página 38, pede: Determine a razão entre a
área do círculo maior e a área do círculo menor.
Fazendo isso, teremos:
áx y •íx•|{š ‚y›šx
áx y •íx•|{š ‚ !šx
áx y œš •íx•|{š •›x•|! •x› š
áx y œš •íx•|{š ›! •x› š
”
•. AB
3
•
”
•. AB
12 •
] ∴ p•43;:398:49E8 Yr
Vamos para mais uma!
09. (ESAF) Um círculo está inscrito em um triângulo isósceles de base 6 e
altura 4. Calcule o raio desse círculo.
a) 1,50
b) 1,25
c) 1,00
d) 1,75
e) 2,00
Sol.: Comecemos traçando o desenho da questão! Teremos:

Traçando a altura do triângulo isósceles, nascerá um novo, um triângulo retângulo,
em destaque no desenho abaixo:
Aplicando Pitágoras, descobriremos o valor da hipotenusa deste triângulo retângulo,
ou seja, descobriremos o valor do lado L.
Teremos: L2
= 42
+ 32
∴ L2
= 25 ∴ L=5
Até aqui, tudo bem?
Ótimo! Agora vamos aprender algo novo! Atenção!
Existe uma relação que sempre se aplica a este desenho! Ou seja, sempre se aplica
quando temos um círculo inscrito em um triângulo.
Que relação é esta, professor?
É a seguinte: Área do Triângulo Inscrito = Semiperímetro . Raio
Semiperímetro de quem, professor?
Semiperímetro do triângulo! E raio do círculo!
Só para não dizer que não falei das flores, semiperímetro é a metade do perímetro!
E perímetro é a soma dos lados do polígono! (Já sabíamos disso)!
Uma vez que descobrimos que o lado L mede 2, e sabendo que se trata de um
triângulo isósceles, teremos:
Perímetro = 6+5+5 =16
6
4
3
6
4 L

Daí: Semiperímetro = 8
Estão acompanhando o raciocínio? Vamos em frente!
Nós sabemos que a área de qualquer triângulo é dada por (base x altura)/2.
Daí, neste caso, teremos que:
Área = (6 x 4)/2 ∴ Área = 12
Finalmente, aplicando a fórmula que acabamos de aprender, teremos:
Área do Triângulo Inscrito = Semiperímetro . Raio
Daí: 12 = 8.r
Conclusão: r=12/8 ∴ r=1,5 (Resposta: Letra A)
Desta questão, portanto, fica para nós este ensinamento: quando estivermos
diante de um círculo inscrito num triângulo, podemos dizer que a área deste
triângulo será dada por semiperímetro do triângulo multiplicada pelo raio do
círculo! Guarde isso!
Antes de passarmos à próxima questão, vamos aprender um dos mais simples e
fáceis teoremas da Geometria: o Teorema do Bico!
Esse teorema envolve duas retas unidas por um vértice, e que tocam (tangenciam)
uma mesma circunferência.
Vejam no desenho abaixo:
O ponto A é o vértice que une as duas retas, e os pontos B e C são os pontos de
tangência destas retas com a circunferência. Ok? Assim, o Teorema do Bico vem nos
dizer que o segmento AB é de mesma dimensão do segmento AC.
Ou seja:
A
B
C
A
B
C

Passemos à próxima questão!
10. (ESAF) Considere um triângulo ABC cujos lados, AB, AC e BC medem, em
metros, c, b e a, respectivamente. Uma circunferência inscrita neste triângulo
é tangenciada pelos lados BC, AC e AB nos pontos P, Q e R, respectivamente.
Sabe-se que os segmentos AR,BP e CQ medem x, y e z metros,
respectivamente. Sabe-se, também, que o perímetro do triângulo ABC é igual
a 36 metros. Assim, a medida do segmento CQ, em metros, é igual a
a) 18 – c.
b) 18 – x.
c) 36 – a.
d) 36 – c.
e) 36 – x.
Sol.: O que precisamos aqui é apenas de um pouco de atenção para fazer o desenho
de acordo com as muitas informações do enunciado!
Vamos lá! Nosso desenho ficará assim:
No finalzinho do enunciado, é dito que o perímetro do triângulo é igual a 36.
Ora, o perímetro é a soma dos lados, conforme sabemos!
Assim: Perímetro = AB+BC+CA = (x+y)+(y+z)+(x+z)=2x+2y+2z=2(x+y+z)
Daí, perímetro = 2(x+y+z) = 36
Então, dividindo os dois lados da equação acima por 2, teremos: x+y+z=18
Se isolarmos o z, ficaremos assim: z=18-(x+y)
E quem é (x+y)? Basta olhar para o desenho de novo! (x+y)=c.
Conclusão: z=18-c (Resposta: Letra A)
Próxima!
A
B C
R Q
P
x x
z
z
y
y
bc
a

11. (ESAF) Se de um ponto P qualquer forem traçados dois segmentos
tangentes a uma circunferência, então as medidas dos segmentos
determinados pelo ponto P e os respectivos pontos de tangência serão iguais.
Sabe-se que o raio de um círculo inscrito em um triângulo retângulo mede 1
cm. Se a hipotenusa desse triângulo for igual a 20 cm, então seu perímetro
será igual a:
a) 40 cm
b) 35 cm
c) 23 cm
d) 42 cm
e) 45 cm
Sol.: Vejam que a primeira parte do enunciado nada mais é que a explicação do
Teorema do Bico: Se de um ponto P qualquer forem traçados dois segmentos
tangentes a uma circunferência, então as medidas dos segmentos determinados pelo
ponto P e os respectivos pontos de tangência serão iguais.
Perceberam isso? Ótimo! No mais, a questão nos fala sobre um Triângulo Retângulo e
de um círculo inscrito neste triângulo. A solução deste problema é meramente visual!
Comecemos nosso desenho, traçando o triângulo retângulo, a circunferência inscrita,
marcando os pontos de tangência e o centro do círculo. Teremos:
Vamos trabalhar com o Teorema do Bico, Ok? Vejam o segmento em destaque que
chamarei de a no desenho abaixo:
A
B
C
T
P
S
O
A
B
C
T
P
a
O
S

Pelo Teorema do Bico, o segmento BP terá a mesma medida! Vejam:
Pelo Teorema do Bico, chegaremos também às seguintes conclusões:
Agora façamos um exercício visual: vejam que se unirmos os pontos A,T,O e S
formaremos um quadrado de lado igual ao raio da circunferência!
Vejam:
Quer dizer então, professor, que o segmento c é igual ao raio?
Exatamente! Portanto: c=1.
Lembrando apenas que a questão nos disse que a hipotenusa do triângulo retângulo
mede 20 cm, o desenho final, todo explicadinho, fica o seguinte:
A
B
C
T
P
a
a
O
S
b
b
c
c S
O
a
A
B
C
T
Pa
A
B
C
T
P
S
O

Para chegarmos ao perímetro, temos que somar os 3 lados do triângulo.
Teremos: perímetro = AB+AC+BC=(1+a)+(1+b)+(a+b)
Daí: perímetro=2+2a+2b=2+2(a+b)=2+2.(20)=42
perímetro = 42 (Resposta: Letra D)
Falemos agora, meus caros amigos, alguma coisa acerca da Semelhança de
Triângulos! Um assunto dos mais fáceis, e já algumas vezes cobrado em provas da
ESAF, Ok?
Vamos lá!
# Semelhança de Triângulos:
Quando se fala em semelhança de polígonos, trata-se do conceito de
proporcionalidade!
Compare os dois triângulos abaixo:
O que podemos constatar pela mera observação? Duas coisas:
1º) Os ângulos correspondentes (aqueles que ocupam posições correspondentes
nos dois triângulos) são iguais.
(Vocês viram: † e †, ‡ e ‡, Ÿ e Ÿ); e
2º) Os lados correspondentes são proporcionais.
a
A
B
C
T
P
S
20
a
b
1
1 b
†
‡
Ÿ
2a
2b
2c
†
‡
Ÿ
a
b
c

Estas são as duas condições (ou exigências), para que possamos dizer que dois
polígonos são semelhantes!
Guarde isso!
Para haver semelhança: 1) Ângulos correspondentes iguais; e 2) Lados
correspondentes proporcionais.
Vejam que isso não vale apenas para triângulos, e sim para polígonos em geral.
A propósito da proporcionalidade dos triângulos do exemplo acima, já que temos,
como lados correspondentes, a e 2a, b e 2b, c e 2c, diremos que a constante de
proporcionalidade K será igual a 2.
Vejam melhor:
2y
y
2z
z
2•
•
ƒ 2
Entendido isso?
Se fossem a e 3a, b e 3b, c e 3c, então teríamos que k=3, e assim por diante!
Uma vez conhecendo o valor de k, poderemos concluir imediatamente que:
- a razão entre os perímetros é igual k;
- a razão entre as alturas correspondentes é igual a k;
- a razão entre as diagonais correspondentes é igual a k;
Em suma: a razão entre dois elementos lineares correspondentes será igual à
constante de proporcionalidade k.
E quanto às áreas de dois polígonos semelhantes, professor? O que dizer?
Excelente pergunta!
A razão entre as áreas de polígonos semelhantes é igual ao quadrado da
constante de proporcionalidade (K2
).
Vejam que estamos recebendo informações importantíssimas! Convém guardá-las
bem, Ok?
Estamos falando em semelhança de polígonos em geral, mas, nas questões de prova,
é bem mais comum encontrarmos mesmo a semelhança entre triângulos!
E isso é bom para nós, pois já sabemos muita coisa sobre os triângulos, concordam?
Vamos para mais uma dica importante: no caso dos triângulos, para que dois deles
sejam considerados semelhantes, basta apenas que existam dois ângulos em
comum entre eles!
Vejamos o exercício seguinte:
Exercício: Na figura abaixo, o ângulo LdgJ é congruente ao ângulo J¡¢, AB =
16 cm, BC = 12 cm, AC = 16 cm e BP = 6 cm. Calcule as medidas dos
segmentos PQ e QB.

Sol.: Na figura acima, podemos observar dois triângulos: ABC e BPQ, onde o ângulo fg
é comum aos dois triângulos.
Separaremos agora os dois triângulos, anotando as medidas de cada um.
Como há dois ângulos em comum, torna-se evidente que o terceiro ângulo também
será comum. Daí, podemos afirmar que esses triângulos são semelhantes.
Para facilitar nossa visualização, podemos reposicionar o segundo triângulo, de forma
que os ângulos dos dois triângulos se correspondam.
Como são triângulos semelhantes, podemos fazer a proporção entre os lados
correspondentes.
Teremos:
o
10
£
16
6
12
Feito isso, para encontrarmos o valor de x, basta igualarmos a primeira à última
fração. Teremos:
¤ ¥
∴
¤
∴ j ¦
Para o cálculo de y, igualamos a segunda à última fração. Teremos:
A
BC
16
12
10 P
Q
6
A
BC
16
12
10
P
Q B
x
y
6
Q
BP
y
x
6

§
¥
¥
∴
§
¥
∴ l w
Passemos a mais uma questão da ESAF! Vamos a ela!
12. (ESAF) Um triângulo tem lados que medem, respectivamente, 6m, 8m e
10m. Um segundo triângulo, que é um triângulo semelhante ao primeiro, tem
perímetro igual a 12m. A área do segundo triângulo será igual a:
a) 6 m2
b) 12 m2
c) 24 m2
d) 48 m2
e) 60 m2
Sol.: Depois das explicações acima, e de tudo mais que já falamos sobre triângulos,
esta questão vai ficar realmente fácil. Vocês concordam?
Vamos pensar juntos!
O que é possível descobrir acerca do primeiro triângulo descrito pelo enunciado?
Vejam vocês que os lados dele medem 6m, 8m e 10m.
Será que é um triângulo retângulo, professor?
Sim, exatamente! Mas como foi que você descobriu isso?
Descobri por Pitágoras!
O quadrado do lado maior é a soma dos quadrados dos lados menores! (102
=62
+82
).
Muito bem! O que mais podemos dizer sobre ele?
Podemos dizer que seu perímetro é igual a 24, que corresponde à soma dos lados
(6+8+10=24).
Ótimo!
Ótimo por quê, professor?
Porque a questão também nos disse quanto vale o perímetro do segundo triângulo, o
qual, de acordo com o enunciado, é semelhante ao primeiro!
Quanto é mesmo o perímetro do segundo triângulo? É de 12 metros!
Ora, se o perímetro do triângulo maior vale 24 metros, e o perímetro do triângulo
menor vale 12 metros, então já podemos calcular a constante de proporcionalidade
entre eles! Concordam?
Teremos:
„
¨ xí‚ xš œš x›â! |{š ‚y›šx
¨ xí‚ xš œš x›â! |{š ‚ !šx
24
12
2

Para completar, a questão nos pergunta quanto vale a área do triângulo menor!
Ora, se quisermos, podemos até desenhá-lo!
Uma vez que a constante de proporcionalidade entre os triângulos é igual a 2, isso
significa que cada lado do triângulo maior é o dobro do lado correspondente no
triângulo menor!
Assim, os lados do triângulo menor, que também é um triângulo retângulo, valem 3m,
4m e 5m. Teremos:
Podemos calcular a área pela forma básica (base x altura)/2.
Teremos: Área = (4x3)/2 = 6m2
(Resposta: Letra A)
Professor, haveria outro jeito de resolver essa questão?
Claro que sim!
Se você quisesse, encontraria de início a área do primeiro triângulo descrito pelo
enunciado. Faríamos assim:
Área = (base x altura)/2 = (8x6)/2 = 24m2
Somando-se os lados desse triângulo, encontramos o perímetro 24m.
Daí, pela informação do enunciado sobre o perímetro do outro triângulo menor (que é
semelhante a esse primeiro), e que vale 12m, descobrimos que a constante de
proporcionalidade entre os dois triângulos vale k=24/12=2.
Feito isso, teríamos apenas que nos lembrar da informação importante que ficou em
negrito lá na página 49, e que ora reproduzo:
3
4
5
6
8
10

A razão entre as áreas de polígonos semelhantes é igual ao quadrado da
constante de proporcionalidade (K2
).
Assim, teremos:
áx y œš x›â! |{š ‚y›šx
áx y œš x›â! |{š ‚ !šx
ƒ
Daí:
24
o
2 ∴ o
24
4
6 ‚ p© ¨š y!r
De um jeito ou de outro você acerta a questão!
Próxima!
13. (ESAF) A razão de semelhança entre dois triângulos, «m, e «B , é igual a 8.
Sabe-se que a área do triângulo «m é igual a 128 ¬B
. Assim, a área do
triângulo «B é igual a:
a) 4 ‚ .
b) 16 ‚ .
c) 32 ‚ .
d) 64 ‚ .
e) 2 ‚ .
Sol.: Essa daqui foi mais fácil ainda! Foi dito o valor da área do triângulo T1 (128m2
)
e foi dito o valor da constante de proporcionalidade (k=8), aqui chamada pela ESAF
de razão de semelhança. E é questionado o valor da área do outro triângulo.
Não há realmente muito o que perder tempo!
Faremos:
áx y œš x›â! |{š -1
áx y œš x›â! |{š -2
ƒ
Daí:
128
o
8 ∴ o
128
64
∴ o B ®B
∴ •43;:398: 49E8 Y
Vamos em frente, meus amigos!
Não é segredo que a ESAF cria, algumas vezes, questões que exigem simplesmente
um rápido raciocínio para serem solucionadas, sem necessidade da aplicação de
fórmulas ou de teoremas...
Vejamos a questão seguinte!

14. (ESAF) Em uma cidade, às 15 horas, a sombra de um poste de 10 metros
de altura mede 20 metros e, às 16 horas do mesmo dia, a sombra deste
mesmo poste mede 25 m. Por interpolação e extrapolação lineares, calcule
quanto mediria a sombra de um poste de 20 metros, na mesma cidade, às
15h30min do mesmo dia.
a) 45m
b) 35m
c) 20m
d) 50m
e) 65m
Sol.: Tomemos as duas primeiras informações do enunciado, e com elas criemos dois
desenhos representativos. Ok? Teremos:
Com estas informações iniciais, podemos perfeitamente projetar, fazendo uma mera
interpolação, um desenho intermediário, estipulando de quanto seria a sombra para
este mesmo prédio de 10 metros, no horário exatamente intermediário entre 15h e
16h, ou seja, no horário 15h30.
Ora, no horário intermediário, teremos que a sombra terá medição também
intermediária entre 20m e 25m.
Assim, concluímos que a sombra, às 15h30, deve ser de 22,5 metros! Vejamos:
Agora surge a nova situação, qual seja, o nosso poste dobra de tamanho, e passa a
ser de 20 metros!
Ora, se o poste dobrou de tamanho, por interpolação, todas as demais medidas dos
triângulos acima também simplesmente dobrarão suas dimensões.
16h
10 m
25 m
15h
10 m
20 m
15h
10 m
20 m
16h
10 m
25 m
15h30
10 m
22,5 m

E, assim, teremos:
E assim, chegamos à resposta da questão: o prédio de 20 metros de altura, às 15h30,
projetará uma sombra de 45 metros! (Resposta: Letra A).
# Quadriláteros:
Vamos falar um pouco sobre os quadriláteros!
O que são quadriláteros, professor?
Ora, o nome já é bastante sugestivo, não acham? Quadrilátero são polígonos que
apresentam 4 lados!
Assim, você compreende que quadrilátero é um gênero, o qual possui várias espécies.
Os principais tipos de quadrilátero, chamados de quadriláteros notáveis, são o
quadrado, o retângulo, o losango, o paralelogramo e o trapézio.
Falaremos um pouco sobre cada um deles, Ok?
Começando pelo mais famoso de todos!
# Quadrado:
Desnecessário aqui é perder tempo com conceitos, concordam?
Até criança sabe que o quadrado possui os 4 lados iguais!
Vejam:
Basicamente, precisamos saber que a área do quadrado se calcula da mesma forma
que a do retângulo, ou seja, base vezes altura.
Ocorre que, no quadrado, a base e a altura são exatamente iguais, e correspondem
ao lado do quadrado. Assim, teremos:
15h
20 m
40 m
16h
20 m
50 m
15h30
20 m
45 m

Área do Quadrado = lado x lado = lado2
= l2
Tenho certeza que não estou dizendo nenhuma novidade!
Já caiu questão de quadrado em prova da ESAF, professor?
Sim! Vamos ver juntos?
15. (ESAF) Considere um terreno quadrado com área de 1600 m2
e vértices
A, B, C e D, sendo que A e C são vértices não adjacentes. Um ponto está
sobre a diagonal BD a uma distância de 10m da intercessão das diagonais do
quadrado. Qual é o valor mais próximo da distância deste ponto até o vértice
C?
a) 30 m
b) 17,32 m
c) 34,64 m
d) 28,28 m
e) 14,14 m
Sol.: O que precisamos aqui é desenhar a questão da forma correta! Vamos fazer
isso? Comecemos traçando o quadrado. Teremos:
O enunciado nos diz que a área deste quadrado é de 1600 m2
. Com isso, temos como
descobrir o valor do lado. Faremos:
Áx y œš ¯|yœxyœš { 1600 ∴ { √1600 ∴ { 40 ‚
Obviamente que desprezamos a raiz negativa de 1600, haja vista não existir medida
negativa na Geometria. Ok? Agora sabemos que o lado vale 40m. E se traçarmos
uma diagonal neste desenho, como ficará? Vejamos:
l
l
A B
CD
40
40
d
A B
CD

Todo mundo enxerga que nasceram aí dois triângulos retângulos? A diagonal que
traçamos funciona como hipotenusa, tanto do triângulo de cima, como do de baixo.
Por Pitágoras, podemos afirmar, de forma genérica, chamando o valor do lado apenas
de L, que: d2
=L2
+L2
.
Daí: d2
=2.L2
E: d=L.√B
Assim, para nosso caso específico, em que o valor do lado do quadrado é L=40,
teremos que d=40.√B.
Metade desta diagonal será, portanto: (d/2)=20.√B.
Deixemos isso guardado!
A questão nos fala na intercessão das duas diagonais do quadrado. Teremos:
Finalmente, a questão nos fala em um ponto, situado sobre a diagonal BD, e que dista
10 metros do encontro das duas diagonais. Marquemos este ponto:
A questão nos pergunta a distância entre este último ponto marcado no desenho (em
vermelho), e o vértice C do quadrado. Vejam o triângulo retângulo que se formará
agora:
40
40
A B
CD
20.√B
40
40
A B
CD
20.√B
10
10
A B
CD
20.√B
40
40
x

Agora eu já sei o que fazer, professor... Basta aplicar Pitágoras!
Exatamente!
Teremos:
o 10 ^ }20. √2~ ∴ o 100 ^ 400 . 2 ∴ o 900 ∴ K p•43;:398: 49E8 Lr
De quadrado, é só isso que costuma cair, professor?
Não! Na verdade, aquele mesmo estudo que fizemos com triângulos e circunferências,
de figuras com triângulos circunscritos e triângulos inscritos, também já foi cobrado
em provas da ESAF com quadrados!
Vamos falar, pois, de quadrados inscritos e de quadrados circunscritos. Ok?
Eu só posso lhes dizer, de antemão, que é fácil demais!
Vamos trabalhar com dois casos distintos:
1
o
) Um quadrado e dois círculos: um círculo inscrito e outro circunscrito ao mesmo
quadrado;
2o
) Um círculo e dois quadrados: um quadrado inscrito e outro circunscrito ao círculo.
Ok?
Vamos por partes, como dizia... (deixa pra lá!).
Comecemos com o quadrado circunscrito na circunferência.
Nosso objetivo é tentar descobrir a área do círculo, em função do lado do quadrado.
Ok?
Teremos:
É facílimo constatar que o raio deste círculo é igual à metade do lado do quadrado,
concordam?
Assim: r=L/2.
Como é mesmo que se calcula a área de um círculo? Volte lá onde vimos isto e
confira!
Assim:
Área do Círculo inscrito no quadrado = • . ŽB
= • . p
A
B
rB •.AB
]
r

Agora passemos ao desenho do mesmo quadrado, só que agora ele estando inscrito
numa circunferência. Teremos:
Quando você estiver na prova meio sem saber como se sair de uma questão de
geometria, meu conselho é que faça o desenho que estiver sugerido pelo enunciado, e
comece a incrementar esse desenho com todas as retas (ou segmentos de reta) que
você puder.
Fazendo isso, ficará mais fácil surgir alguma ideia salvadora!
No caso do nosso desenho em análise, basta que você trace uma diagonal do
quadrado, e estou certo que já conseguirá pensar em alguma coisa... Vamos tentar
fazer isso?
O que dizer a respeito desta diagonal (pontilhada em azul)?
Eu acho, professor, que essa diagonal é igual ao diâmetro da circunferência!
Exatamente! A diagonal do quadrado inscrito é o dobro do raio da circunferência!
E a diagonal de um quadrado, conforme aprendemos lá na página 57, é dada por
d=L.√B, onde L é o lado do quadrado.
Juntando tudo, meus amigos, teremos: L.√B =2.r
Daí: r = (L.√B)/2
Assim, calculando agora a área deste círculo circunscrito ao quadrado, teremos:
r
r

Área do Círculo circunscrito no quadrado = • . ŽB
= • . p
A√B
B
rB •.AB
B
E aí? Eu não disse que era fácil?
Já estamos prontos para a próxima questão da ESAF!
16. (ESAF) Um quadrado possui um círculo circunscrito e um círculo
inscrito. Qual a razão entre a área do círculo cincurscrito e a área do círculo
inscrito?
a) √2
b) 2 √2
c) 2
d) 4
e) 1
Sol.: O enunciado nos propõe exatamente a situação que acabamos de estudar, com
um único quadrado e dois círculos: um inscrito e outro circunscrito ao quadrado.
Nosso desenho é este:
As áreas dos dois círculos já são nossas conhecidas! Nessas páginas anteriores,
acabamos de determiná-las!
Então, meus amigos, não há mais o que fazer, senão pegar os resultados que já
conhecemos!
Teremos:
áx y œš •íx•|{š •›x•|! •x› š
áx y œš •íx•|{š ›! •x› š
”
“. D
2
•
”
“. D
4
•
4
2
B p•43;:398: 49E8 dr
Agora vamos ver o segundo caso, no qual há um único círculo e dois quadrados! Isso
é o que aparece na próxima questão ESAF. Vamos juntos?

17. (ESAF) Um quadrado de lado unitário está inscrito em um círculo que, por
sua vez, está inscrito em outro quadrado de lado L. Determine o valor mais
próximo de L.
a) 1,732
b) 1,414
c) 2
d) 1,5
e) 1,667
Sol.: Esta nova situação será ilustrada da seguinte maneira:
Professor, será que não podemos usar alguns resultados que já encontramos na
questão passada?
Podemos sim! Justamente no caso do quadrado inscrito. Vejam que se confunde
exatamente com o que já vimos anteriormente.
Vejam de novo o desenho:
A relação que aprendemos lá, e que envolve o lado do quadrado e o raio do círculo foi
a seguinte: L.√B =2.r
Naquela ocasião, descobrimos o raio do círculo em função do lado do quadrado. E
fizemos isso porque só havia um quadrado.
Encontramos, pois, que: r = (L.√B)/2
r

Só que aqui, neste novo caso, nosso interesse é encontrar o lado do quadrado em
função do raio do círculo, pois agora só existe um círculo! Ok?
E teremos: L.√B =2.r
Daí: A
B.Ž
√B
B.Ž.√B
√B.√B
B.Ž.√B
B
E: L=r. √B
Precisamos agora calcular a área do quadrado inscrito!
Daí, sabendo que área do quadrado é o quadrado do lado, diremos que:
Área do quadrado inscrito = L2
= (r. √B)2
= 2.r2
Agora tomemos o mesmo círculo do desenho acima, só que agora com um quadrado
circunscrito a ele. Teremos:
Professor, este é o mesmo desenho que já apareceu lá atrás...
Exatamente! Só que lá, naquele primeiro caso, havia dois círculos (e um só
quadrado), de sorte que buscamos, naquela ocasião, descobrir o valor do raio do
círculo em função do lado do quadrado.
Aqui, buscamos o contrário: o valor do lado do quadrado em função do raio do (único)
círculo!
Ora, se sabemos que r=(L/2), então fica fácil concluir que: L=2.r.
Daí, no cálculo da área do quadrado circunscrito, teremos:
Área do quadrado circunscrito = L2
= (2.r)2
= 4.r2
Vejam que, até aqui, fizemos um estudo genérico.
Precisamos agora nos voltar para o enunciado da questão que estamos resolvendo!
Ela nos disse que um quadrado de lado unitário (portanto, igual a 1) está
inscrito em um círculo!
Ora, sabendo disso, podemos descobrir quanto vale o raio deste círculo! Concordam?
Temos, para este caso, que: r = (L.√B)/2
r

Daí: r =√B/2
Na segunda informação do enunciado, é dito que este mesmo círculo, cujo raio já
descobrimos quanto vale, está, por sua vez, inscrito em outro quadrado de lado L.
A relação que descobrimos entre o raio do círculo inscrito e o lado do quadrado
circunscrito, foi a seguinte:L=2.r.
Assim, teremos que: L=2.(√B/2)
Daí: L=√B , que é aproximadamente igual a 1,414 (Resposta: letra B).
Com isso, eu creio que já aprendemos o bastante acerca dos quadrados!
Lembrem-se que estamos falando sobre quadriláteros, e que o quadrado foi apenas
o primeiro deles!
Passemos aos próximos (retângulo, losango, paralelogramo e trapézio).
Antes, porém, há uma lei que rege todos os quadriláteros, e sobre a qual eu não
havia dito ainda. Vejam:
A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 360º.
°¡ ^ ±¡ ^ –¡ ^ ²¡ = 360º
É bom guardar isso, Ok?
Na verdade, não há nenhuma dificuldade em se memorizar esta lei! Basta que você se
lembre de um quadrado, que tem quatro ângulos retos (90o
). A soma deles dá
quanto? Dá 360o
. Pronto!
Sobre estes demais quadriláteros, falarei aqui somente o essencial, sem muito me
estender.
# Paralelogramo:
Pelo desenho, você guardará a definição!
Paralelogramo é o quadrilátero cujos lados opostos são paralelos.
A B
C
D

As relações que se verificam no paralelogramo, estas sim, são importantes e podem
ser cobradas em prova!
Portanto, não se esqueça de que, em qualquer paralelogramo:
1) Os lados opostos são iguais:
2) Os ângulos opostos são iguais:
3) Os ângulos adjacentes são suplementares, ou seja, sua soma dá igual a 180o
:
Agora quero que vocês me digam como se calcula a área de um paralelogramo.
Alguém sabe? Exatamente da mesma forma que se calcula a área de um retângulo.
Vejamos:
†
†‡
‡ * ^ … mw
a
b
h
Área = base x altura = a x h

Professor, se o paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos,
não poderíamos dizer que um quadrado, um retângulo ou um losango, são
também tipos de paralelogramos?
Perfeitamente!
Vejamos.
O quadrado é o paralelogramo que tem os quatro lados e os quatro ângulos iguais
entre si:
O retângulo é o paralelogramo que possui seus quatro ângulos retos:
O Losango, a exemplo do quadrado, é um tipo de paralelogramo que também
apresenta os quatro lados iguais. A diferença está nos ângulos internos: no
quadrado, todos eles são iguais (90o
), enquanto no losango só os ângulos
opostos são iguais!
O losango apresenta duas diagonais de tamanhos diferentes. Pode parecer
brincadeira, mas são conhecidas como diagonal maior (D) e diagonal menor
(d)...
A diagonal do quadrado é dada por:
d=L.√B
A área é dada por: Área=L2
A diagonal do retângulo é encontrada
por Pitágoras! A área é dada por:
Área=(base . altura)/2
d
D
A área do losango será dada por:
Área = D . d
2

Que tal fazermos algumas questões ESAF sobre esses paralelogramos?
18. (ESAF) A e B são os lados de um retângulo I. Ao se aumentar o lado A
em 20% e reduzir-se o lado B em 20% obtem-se o retângulo II. Se, ao invés
disso, se aumentar o lado B em 20% e diminuir-se o lado A em 20%, tem-se
o retângulo III. Pode-se afirmar que:
a) Os três retângulos tem a mesma área.
b) Os retângulos II e III tem uma área igual, maior que a do retângulo I.
c) O retângulo II tem a maior área.
d) O retângulo III tem a maior área.
e) O retângulo I tem a maior área.
Sol.: Sempre que qualquer questão de prova (e isso vale não apenas para o
raciocínio lógico, mas para qualquer disciplina de exatas) vier falando em
aumentos ou em reduções percentuais, o mais prático a ser feito é trabalhar
com a referência 100 (cem).
Aqui, como se trata de retângulos, podemos estabelecer que o retângulo
padrão terá os lados iguais medindo 100m (lado A) e 10m (lado B).
Isto é apenas um artifício, para nos ajudar a fazer contas mais rápidas!
O retângulo I, portanto, é o seguinte:
Para o retângulo II, aumentando-se o lado A em 20%, e reduzindo-se o lado
B também em 20%, teremos:
Para o retângulo III, a proposta é, tomando como referência o triângulo I,
reduzir o lado A em 20%, e aumentar o lado B em 20%. Teremos:
100
A área deste retângulo será:
100 x 10 = 1000 m210
120
120 x 8 = 960 m28
80

A conclusão é imediata: o retângulo I tem a maior área (Resposta: E)
Próxima!
19. (ESAF) Um quadrilátero convexo circunscrito a uma circunferência
possui os lados a, b, c, e d, medindo (4x – 9), (3x + 3), 3x e 2x,
respectivamente. Sabendo-se que os lados a e b são lados opostos, então o
perímetro do quadrilátero é igual a:
a) 25
b) 30
c) 35
d) 40
e) 50
Sol.: Aqui temos novidades! A questão vem nos falar em quadrilátero
circunscrito a uma circunferência!
Para este tipo de situação, existe uma outra lei que merece toda a nossa
atenção!
Vejamos: para todo quadrilátero circunscrito a uma circunferência, a
soma de dois lados opostos é sempre igual à soma dos outros dois.
Olhem como é nosso desenho:
Conhecendo esta lei, tudo fica fácil, concordam?
Teremos que: AB + CD = AC + BD
Daí: (4x-9)+(3x+3)=2x+3x
E: 2x=6 ∴ x=3
80 x 12 = 960 m212
4x-9 BA
3x2x
C D
3x+3

Sabendo quem é x, saberemos também quanto vale cada lado desse
quadrilátero:
A questão pergunta pelo perímetro! Somando-se os lados, teremos:
Perímetro = 30 (Resposta: Letra B)
Posso fazer uma pergunta, professor?
Claro que sim!
A figura desta questão que acabamos de resolver era um quadrilátero, pois isso foi
dito pelo enunciado. Mas será que se tratava de um paralelogramo?
Excelente pergunta!
Aquela figura era, sim, um quadrilátero, haja vista que tinha 4 lados! Mas não era um
paralelogramo, pois seus lados opostos não eram paralelos entre si!
Neste caso, estamos diante de um trapézio!
O trapézio é o quadrilátero que tem apenas dois lados paralelos entre si!
Vejam no desenho abaixo:
Vemos aí que o lado AB é paralelo a CD.
Temos ainda que AB é a chamada base menor; CD é a nossa base maior; e AH é a
altura do trapézio.
Há uma propriedade do trapézio que convém conhecermos:
3 BA
96
C D
12
D C
BA
H
D C
BA
M N

Sendo M o ponto médio de AD e N o ponto médio de BC, a medida do segmento MN,
chamada de base média do trapézio, é dada por: ³´
µ¶·¸¹
.
Vejam uma coisa muito interessante! Se prolongarmos os lados AD e BC para cima,
até que se encontrem num mesmo ponto, teremos então um triângulo, concordam?
Ora, continua valendo a mesma propriedade da base média! Ocorre que a base lá de
cima deixou de ser base e transformou-se num ponto. Vejam:
Assim, marcando agora os pontos M e N como pontos médios, respectivamente, dos
lados AD e AC, e unindo-os, teremos:
E pela propriedade da base média, diremos que MN=(DC/2).
Vamos treinar esse conhecimento com o próximo exercício!
Exercício: Na figura abaixo, ABCD é um trapézio cujas bases são: AB =
4 cm e CD = 10 cm. Sejam M o ponto médio do lado AD e N o ponto
médio do lado BC. Os pontos P e Q são os pontos de intersecção de MN
com as diagonais AC e BD. Calcule o segmento PQ.
D C
A
D C
A
M N
D C
BA
NM P Q
4 cm
10 cm

Sol.: Questãozinha com a cara da ESAF...
Não foi feita por ela, mas bem que poderia ter sido!
Ou, melhor que isso, poderá vir a ser!!!
Vamos lá!
Vocês veem que a reta MN é a base média do trapézio!
Vejam melhor com o destaque do desenho abaixo:
Daí, pela propriedade da base média, teremos que:
³´
4 ^ 10
2
7 •‚
Voltando nossos olhos para o triângulo ABD, veremos que a reta MP é a base média
deste triângulo.
Vejam em destaque no desenho abaixo:
Daí, pela propriedade da base média (para o triângulo), teremos que:
³º
4
2
2 •‚
Concentrando nossa visão agora no triângulo ABC, veremos que a reta QN é a base
média deste triângulo.
Novamente, vejamos em destaque:
D C
BA
NM
4 cm
10 cm
D C
BA
NM P Q
4 cm
10 cm

E mais uma vez aplicando a propriedade da base média (para o triângulo), teremos
que:
¯´
4
2
2 •‚
Com isso, já podemos descobrir o que nos pede a questão!
Vejam:
Apenas visualmente, constatamos que: PQ=MN-MP-QN
Daí: PQ = 7 - 2 - 2 = 3 (Resposta!)
Gostei! Tem mais questão de trapézio, professor?
Tem sim! E é da ESAF!
Vamos lá!
20. (ESAF) Um trapézio ABCD possui base maior igual a 20 cm, base menor
igual a 8 cm e altura igual a 15 cm. Assim, a altura, em cm, do triângulo
limitado pela base menor e o prolongamento dos lados não paralelos do
trapézio é igual a:
a) 10
b) 5
c) 7
d) 17
e) 12
D C
BA
NM P Q
4 cm
10 cm
D C
BA
NM P Q
4 cm
10 cm

Sol.: Sempre que uma questão de geometria falar sobre um trapézio, sem especificar
maiores detalhes sobre seu formato, devemos adotar a forma mais simples, que é a
seguinte:
A questão sugere que devemos prolongar os lados não paralelos deste trapézio!
Fazendo isso, teremos o seguinte:
Professor, ou eu estou vendo coisas, ou parece que essa questão de trapézio vai virar
uma questão de semelhança de triângulos...
Você não está vendo coisas! É isso mesmo!
A questão nos pede que encontremos a altura h do desenho acima, e é precisamente
pela semelhança de triângulos que a determinaremos!
Vejam os dois triângulos semelhantes que se formaram:
8
15
20
20
8
15
h
20
h+15
8
h

Vocês se lembram que a palavra-chave da semelhança é proporcionalidade?
Assim, teremos que os lados correspondentes destes dois triângulos são
proporcionais:
C
C ^ 15
8
20
Daí: 20h=8h+120 ∴ 12h=120 ∴ h=10 (Resposta: Letra A)
21. (ESAF) Quando se faz alguns lados de um polígono tenderem a zero ele
degenera naturalmente em um polígono de menor número de lados podendo
até eventualmente degenerar em um segmento de reta. Dessa maneira,
considere um quadrilátero com duas diagonais iguais e de comprimento 5√B
cada uma. Sendo A a área desse quadrilátero, então:
a) A = 25. b) 25 ≤ A ≤ 50. c) 5√2 < A ≤ 25. d) 0 ≤ A ≤ 25. e) A ≥ 25.
Sol.: Vamos pensar juntos!
Se você ler com calma a questão, é bem provável que seu cérebro o leve a pensar -
por primeiro - na figura de um quadrado. Acertei?
E lhe digo que você não está errado em pensar assim! Senão, vejamos!
Para um quadrado de lado l=5, a diagonal será exatamente igual a 5√B.
Confere? (Já vimos isso nesta nosso Curso! É só relembrar!).
Assim, nosso quadrado será:
E para este quadrado, a área será de 5x5=25.
Beleza, professor! Já posso marcar a alternativa A?
Ainda não!
Vejam que a questão falou em reduzir alguns lados do polígono, até que fiquem
próximos de zero... Assim, é possível, por exemplo, reduzir a altura deste quadrado,
transformando-o em outra figura - um retângulo, neste caso!
5
5
5√B

E ainda assim, teríamos um quadrilátero, com as mesmas características previstas
pelo enunciado. Imaginemos, só por hipótese, que a altura do retângulo ficasse
reduzida a 1. Como a diagonal precisa valer 5√B, então o desenho agora seria o
seguinte:
Por Pitágoras, faremos: (5√B)2
= b2
+ 12
∴ b2
=49 ∴ b=7
Vejam nosso retângulo já dimensionado:
E a área é quanto? Base vezes altura = 7.
Assim, pelo mero raciocínio, percebemos que esta área, que era máxima na figura do
quadrado (25), pode se reduzir cada vez mais, até quase tender a zero.
A ESAF considerou como gabarito correto, portanto, a letra D.
Minha única ressalva foi que esta opção admite que a área desta figura seja igual a
zero.
Discordo! Ela pode tender a zero. Ou seja, pode aproximar-se muitíssimo de zero. Mas
área igual a zero, eu confesso que nunca vi! (E olha que eu estou perto dos 40...)!
22. (ESAF) Um hexágono é regular quando, unindo-se seu centro a cada um
de seus vértices, obtém-se seis triângulos equiláteros. Desse modo, se o lado
de um dos triângulos assim obtidos é igual a 2/3 m, então a área, em
metros, do hexágono é igual a:
a) 9 3
4
b)
3
7
c) 2 3
d) 3 3
e)
3
3
5√B 1
b
5√B 1
7

Sol.: Esta questão já veio nos ensinando algo! Disse-nos a definição de um hexágono
regular, que nada mais é que a reunião de seis triângulos equiláteros, unidos em um
único vértice!
Ou seja, para acertar esta questão, não era preciso saber nada de hexágono, senão
apenas conhecer o que é um triângulo equilátero!
E isso nós já sabemos!
O desenho da questão é o seguinte:
Já é fato nosso conhecido que a área do triângulo equilátero é dada por:
Área =
4
32
l
, onde l é o lado do triângulo!
Assim, como o enunciado nos disse que este lado vale 2/3 , descobriremos quanto
vale a área de um dos triângulos equiláteros!
Teremos:
Área do triângulo equilátero =
˜B.√
]
» B⁄
B
.√
]
.√
w
E agora, professor?
Agora, basta multiplicar este resultado por 6, e teremos a área do hexágono!
Teremos:
Área do hexágono regular =
.√
w
.6
n.√
]
(Resposta: Letra A)
E vamos em frente!
Lá atrás neste Curso, aprendemos alguma coisa acerca do círculo e da circunferência!
Lembram-se?
Para refrescar nossa memória, vejam as duas informações mais importantes que
temos que guardar conosco sobre esta figura:

Área do Círculo = • . ŽB
Passemos, pois, a algumas questões ESAF que envolvem círculos e circunferências,
Ok?
Vamos lá!
23. (ESAF) Se o raio de uma circunferência tiver um acréscimo de 50%,
então o acréscimo percentual em seu comprimento será igual a:
a) 25%
b) 50%
c) 75%
d) 80%
e) 85%
Sol.: Na hora da prova, tudo é diferente! Seu estado de espírito está alterado. Há
uma grande pressão emocional por conta do tempo, que está correndo muito rápido...
E até questões simples e fáceis podem emperrar...
Para evitar que isso aconteça, devemos buscar sempre o caminho da simplicidade!
Se a questão fala em aumento percentual de algum valor, o melhor é adotar 100 para
ser a referência, ou seja, chamemos o valor base de 100.
O que é que vai aumentar em 50%? É o valor do raio da circunferência. Assim,
adotaremos que o raio original valia 100. Ok?
Assim, originalmente, tínhamos que:
Comprimento = 2.“.r = 200.“
Daí, se o raio original sofrer um aumento de 50%, ele passará a valer 150, confere?
Para isso adotamos a referência r=100. Se o aumento é de 50%, vira 150; se o
aumento fosse de 35%, viraria 135. E assim por diante!
E se houvesse diminuição percentual, professor, em vez de aumento?
Ora, bastaria fazer a conta de subtrair, em vez de somar!
Por exemplo, se tivesse havido uma redução percentual de 20% no raio original, este
passaria de 100 para 80. Só isso!
Pois bem! Com o novo raio de 150, qual será o comprimento da circunferência?
Novo comprimento = 2.“.r = 300.“
Agora, você pode fazer uma rápida regra de três, para saber de quanto foi o aumento
percentual deste comprimento:

Comprimento Percentual
200.“ 100%
300.“ x
Cortamos os dois zeros dos 200 com os dois zeros do 300; cortamos os “,
multiplicamos em cruz, e chegamos a: x=150%.
Em relação ao cumprimento original, que em termos percentuais representava 100%,
houve, portanto, um aumento de 50%. (Resposta: Letra B).
Na verdade, bastaria que olhássemos para a fórmula do comprimento da
circunferência com um pouco de calma...
... para percebermos que ele, o comprimento, é diretamente proporcional ao raio da
circunferência!
Vejam que 2 é uma constante, e “ também é um constante. Assim, sobra na fórmula
apenas o raio r. Qualquer aumento ou redução em seu valor implicará idêntico
aumento ou redução no valor do comprimento da circunferência.
Entendido?
Vamos em frente!
24. (ESAF) As rodas de um automóvel têm 40 cm de raio. Sabendo-se que
cada roda deu 20.000 voltas, então a distância percorrida pelo automóvel,
em quilômetros (Km), foi de:
a) 16 Km
b) 16 π Km
c) 16 π2
Km
d) 1,6 . 103
π Km
e) 1,6 . 103
π2
Km
Sol.: Se a questão diz que a roda do automóvel tem 40 cm de raio, temos condições
imediatas de calcular o valor do comprimento desta circunferência.
Teremos:
Comprimento = 2. “.r = 2. “.40 = (80. •) cm.
A grande questão aqui seria você perceber que, a cada vez que a roda gira, ou seja, a
cada volta completa que ela dá, o carro se desloca exatamente do valor do
comprimento desta roda.
Assim, como ela deu 20 mil voltas, e a cada uma delas o carro se deslocou de
(80. •)cm, vamos descobrir o quanto o carro avançou ao final.

Faremos:
20.000 x 80π cm = 1.600.000π cm = 16ππππ km
Convém ficar atento para esta última transformação de unidade que nós realizamos,
passando a medida de centímetro para quilômetro!
Lembrem-se de que 1km são 1000 metros. E cada metro são 100 centímetros.
Vejam: 1 km = 1000 m e 1m = 100 cm
Daí, saindo da unidade Km, até chegar a cm, quantos zeros apareceram no caminho?
Vamos contar? 1 km = 1000 m e 1m = 100 cm
Foram 5 zeros, professor!
Exatamente!
Assim, para transformar da unidade quilômetro para a unidade centímetro,
acrescentamos 5 zeros.
E se for o contrário, professor? Se quisermos passar de centímetro para quilômetro?
Neste caso, retiraremos 5 zeros!
E assim teremos que: 1.600.000π cm = 16ππππ km (Resposta: Letra B)
Próxima!
25. (ESAF) O raio do círculo A é 30% menor do que o raio do círculo B. Desse
modo, em termos percentuais, a área do círculo A é menor do que a área do
círculo B em:
a) 51%
b) 49%
c) 30%
d) 70%
e) 90%
Sol.: Vamos seguir a dica que passei anteriormente: sempre que a questão nos falar
em aumentos (ou reduções) percentuais, adotaremos o valor de referência 100
(cem)!
Assim, podemos dizer que o raio do círculo A é 100. Logo, o raio do círculo B, por ser
30% menor, valerá 70.
Vamos ver em quanto ficam as áreas desses dois círculos:
Área do Círculo A = • . ŽB
= 1002
. • = 10.000 . •
Área do Círculo B = • . ŽB
= 702
. • = 4900 . •
Agora, para fazermos a comparação entre as duas áreas, podemos usar uma regra de
três simples, a exemplo do que fizemos na resolução da questão 22.

Vejamos:
Área Percentual
10.000 “ 100%
4.900 “ x
Cortamos dois zeros dos 10000 com os dois zeros do 4900; cortamos os “;
multiplicamos em cruz, e chegamos a: x=49%.
Assim, em relação à área original, que em termos percentuais representava 100%,
houve, portanto, uma redução de 51%. (Resposta: Letra A).
Passemos à próxima questão!
26. (ESAF) A área de um círculo localizado no segundo quadrante e cuja
circunferência tangencia os eixos coordenados nos pontos (0,4) e (-4,0) é
dada por
a) 16 π
b) 4 π
c) 8 π
d) 2 π
e) 32 π
Sol.: Esta questão tem uma história em minha vida!
Mesmo, professor?
Sim! Ela esteve presente na segunda prova que eu fiz para a Receita Federal, lá no
ano de 1998.
Eram quase 6 mil inscritos para 10 vagas!
O tempo corria, célere, e eu perdera preciosos minutos na prova de língua
portuguesa... Estava tentando correr atrás do prejuízo. Já havia passado por esta
questão e, num primeiro momento, não conseguira enxergar a solução, por mais fácil
que pudesse ser...
Então, deixei-a para o final da prova, se houvesse tempo!
E houve. Então, voltei a ela, e consegui resolvê-la no último minuto.
Foi marcar o "x" , preencher a bolinha do gabarito, e entregar a prova!
Já se passaram 14 anos, mas o que eu não esqueço, de jeito nenhum, foi a sensação
que tive quando marquei aquela última bolinha no gabarito: uma alegria indescritível!
Alguma coisa me dizia, intimamente, que uma daquelas 10 vagas era minha!
E foi dito e feito!

E a questão era essa, meus amigos! Exatamente essa!
Vamos fazer o desenho:
Fica muito fácil reconhecer que o raio deste círculo é igual a 4.
Assim, teremos que a área do círculo será dada por:
Área = πr2
= π(4)2
= 16ππππ (Resposta: Letra A)
Vamos falar rapidamente agora sobre o número de diagonais de um polígono!
Isso já foi questão de prova, e pode voltar a ser novamente!
Trata-se de um ponto imperdível!
Existe uma fórmula para decorar, professor?
Bem, existe uma fórmula. Se é para decorar ou não, aí são outros quinhentos...
Façamos assim: antes de simplesmente jogar a fórmula, vamos pensar juntos em
como ela seria. Ok?
Depois você decide aí, com seus botões, se prefere decorar ou aprender como ela se
faz...
Pensemos em um quadrado.
A primeira observação que nos interessa é que o número de lados (n) de um
polígono é igual ao número de vértices que ele possui.
Confere?
x
(0,4)
(-4,0)
y

Basta olhar para o desenho de um quadrado para se lembrar disso: são 4 lados, e 4
vértices. O mesmo se aplica ao triângulo (3 lados e 3 vértices), e a todos os demais
polígonos.
Tomemos agora um dos vértices desse quadrado, o vértice A, e vejamos quantas
diagonais partem dele!
Teremos:
Só parte uma diagonal deste vértice, professor?
Ora, se o quadrado possui 4 lados, e se de cada vértice só parte uma diagonal,
podemos - generalizando - concluir que, em um polígono qualquer, o número de
diagonais que partem de cada vértice será dado por:
Número de diagonais que saem de cada vértice = (n-3).
No caso do quadrado: (n-3)=(4-3)=1 (sai uma diagonal de cada vértice)!
Se fosse um hexágono: (n-3)=(6-3)=3 (saem 3 diagonais de cada vértice!)
Faça o desenho aí do hexágono, para ver se isso é verdade...
Pois bem!
Agora pensem comigo: se (n-3) é o número de diagonais que saem de cada vértice
de um polígono, e se n é o número de vértices de um polígono, então, para o polígono
inteiro, diremos que saem (n-3).n diagonais!
Confere?
Confere, professor! É só isso?
Ainda não!
Voltemos nossos olhos novamente para o quadrado:
Se atentarmos bem, veremos que esta diagonal que parte do vértice A e chega ao
vértice oposto (vamos chamá-lo de B) é a mesmíssima diagonal que parte do
vértice B e chega ao vértice A. Estão vendo?
A
A
B

Assim, para que as diagonais não sejam contadas em dobro, temos que dividir aquele
número total de diagonais por 2.
Daí, finalmente diremos, de forma acertadíssima, que o número de diagonais de um
polígono de n lados é dado por:
¼ú¬(Ž 1( ²/, ),/'
p) q r. )
B
No caso de um quadrado (n=4), teremos:
p! q 3r. !
2
p4 q 3r. 4
2
2 œ›y š!y›
No caso de um hexágono (n=6), teremos:
p! q 3r. !
2
p6 q 3r. 6
2
9 œ›y š!y›
E assim por diante!
Vejamos uma questão ESAF sobre esse assunto!
27. (ESAF) Em um polígono de n lados, o número de diagonais determinadas
a partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um
hexágono. Desse modo, n é igual a:
a) 11
b) 12
c) 10
d) 15
e) 18
Sol.: A leitura da questão nos leva a crer que precisamos, por primeiro, descobrir o
número de diagonais de um hexágono!
Acabamos de fazer isso na página passada, professor!
Exatamente! Dissemos que o número de diagonais de um hexágono é:
p! q 3r. !
2
p6 q 3r. 6
2
9 œ›y š!y›
Agora, tomando a primeira parte da leitura desta nossa questão, vemos que há um
polígono de n lados. E que de cada vértice deste polígono saem 9 diagonais!

(Esse finalzinho fomos nós que descobrimos, calculando o número de diagonais do
hexágono)!
Ora, sabemos calcular o número de diagonais que saem de cada vértice de um
polígono:
Número de diagonais que saem de cada vértice = (n-3).
Assim, teremos que: (n-3)=9
E: n=12 (Resposta: Letra B)
E aí? Tudo certinho?
Vamos em frente!
Falemos agora um pouco sobre ângulos internos e ângulos externos de um polígono
regular!
O que é mesmo um polígono regular, professor?
Polígono Regular é aquele que tem todos os lados de mesmo tamanho!
Tomemos o desenho de um hexágono regular (n=6 lados):
Vou pedir que você se concentre só nos dois lados destacados no desenho abaixo:
Quero, com isso, mostrar-lhes exatamente o que é ângulo interno e o que é ângulo
externo.
Vejamos primeiramente o ângulo interno (vamos chamá-lo de †) existente neste
vértice:
*

Para identificar o ângulo externo, temos que traçar um prolongamento do lado.
Teremos:
E eis que surge o ângulo externo, ao qual chamaremos de ‡:
Agora vamos ver tudo o que precisamos saber sobre estes dois ângulos (interno e
externo):
1º) A soma deles é igual a 180o
: * ^ … mw
Essa é fácil de enxergar, concordam? São ditos, portanto, ângulos suplementares!
2º) Para um polígono regular de n lados, o valor de cada ângulo interno será dado
por:
¾̂
p) q Br. mw
)
3º) Para um polígono regular de n lados, o valor de cada ângulo externo será dado
por:
(À
)
Tem uma dica importante que merece comentário neste momento!
Mas, antes, uma pergunta: olhando as duas fórmulas acima, a do ângulo interno e a
do ângulo externo, qual lhes parece a melhor para fazer contas mais rapidamente?
É a do ângulo externo, não é, professor?
*
*
…

Exatamente!
Assim, conhecendo a próxima observação, a de nº 4, vocês verão que é sempre
possível transformar uma relação que envolva ângulos internos de dois polígonos,
reescrevendo-a em função dos respectivos ângulos externos!
Vejam aí!
4º) Afirmar que o ângulo interno de um polígono (Á¤Â) é 5o
maior que o ângulo interno
de outro polígono (Á§Â) é o mesmo que afirmar que o ângulo externo deste último
polígono ( §Ã) é 5o
maior que o ângulo externo do primeiro ( ¤Ã).
Vejam: Se Á¤Â = Á§Â + 5o
( §Ã)= ( ¤Ã)+ 5o
Obviamente que este valor 5o
é meramente ilustrativo. Poderia ser qualquer outro
valor no lugar dele, OK?
Vejam melhor:
Passemos à próxima questão ESAF.
28. (ESAF) Dois polígonos regulares, X e Y, possuem, respectivamente,
(n+1) lados e n lados. Sabe-se que o ângulo interno do polígono X excede o
ângulo interno do polígono Y em 5 (cinco graus). Desse modo, o número de
lados dos polígonos X e Y são, respectivamente, iguais a:
a) 9 e 8
b) 8 e 9
c) 9 e 10
d) 10 e 11
e) 10 e 12
Sol.: Tomando os dois polígonos, X e Y, anotemos as informações que nos passou o
enunciado:
Polígono X: Polígono Y:
Número de lados: (n+1) Número de lados: n
Ângulo interno: (Á¤Â) Ângulo interno: (Á§Â)
120o
125o
60o
55o

A informação que relaciona os ângulos internos desses dois polígonos é a seguinte: Á¤Â
= Á§Â + 5o
Daí, aplicando o que aprendemos na dica 4 da página anterior, podemos afirmar
também que:
((lÃ)= ((jÃ)+ 5o
Por assim dizer, matamos a questão! (Ao menos, matamos o raciocínio necessário)!
Como é que se calcula o ângulo externo de um polígono regular? Assim:
(À
)
Daí, teremos que:
360
!
360
p! ^ 1r
^ 5
Desenvolvendo esta equação, teremos:
360
!
360
p! ^ 1r
^ 5 ∴
360
!
360 ^ 5! ^ 5
p! ^ 1r
∴ 360! ^ 360 360! ^ 5! ^ 5!
E assim, chegamos a uma equação de segundo grau: 5. ! ^ 5! q 360 0
Simplificando (dividindo tudo por 5), teremos: ! ^ ! q 72 0
Finalmente, resolvendo a equação, teremos:
!
q1 Ä »1 q p4r. p1r. pq72r
2
Daí: n=8
Onde n é o número de lados do polígono Y.
E o número de lados do polígono X, que é dado por (n+1), será igual a 9.
Assim: 9 e 8 (Resposta: Letra A)
Agora vamos falar um pouco acerca de outro conhecidíssimo teorema dentro da
Geometria: o Teorema de Tales!
Todos vocês já ouviram falar dele, certamente!
Tem a ver com retas paralelas e retas transversais, não é professor?
Exatamente!
Comecemos traçando um feixe de retas paralelas:

Pdf pdf minicurso-geometriabasica-sergiocarvalho-olaamigos

Pdf pdf minicurso-geometriabasica-sergiocarvalho-olaamigos

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Destaque

Destaque (20)

Semelhante a Pdf pdf minicurso-geometriabasica-sergiocarvalho-olaamigos

Semelhante a Pdf pdf minicurso-geometriabasica-sergiocarvalho-olaamigos (20)

Último

Último (20)

Pdf pdf minicurso-geometriabasica-sergiocarvalho-olaamigos