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ANÁLISE COMBINATÓRIA

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ANÁLISE COMBINATÓRIA

  1. 1. Saber Direito www.itbsite.blogspot.com Análise CombinatóriaFatorial de um número: n!=n.(n-1).(n-2)...3.2.1Definições especiais: 0!=1 1!=1 100!+101!1) Calcule o valor da expressão . 99!100!+101! 100.99!+101.100.99! = = 100 + 101.100 = 100 + 10100 = 10200 99! 99! ( x + 1)!2) Resolva a equação = 56. ( x − 1)!( x + 1)! ( x + 1)( x)( x − 1)! = 56 ⇒ = 56 ⇒ ( x + 1)( x) = 56 ⇒ x 2 + x = 56 ⇒( x − 1)! ( x − 1)! − 1 ± 225 − 1 ± 15 x = 7 ⇒ x 2 + x − 56 = 0 ⇒ x = ⇒ x= ⇒ 2 2 x = -8Resposta : x = 7, pois não existe fatorial de um número negativo.3) Quatro times de futebol (Grêmio, Santos, São Paulo e Flamengo) disputam o torneio doscampeões do mundo. Quantas são as possibilidades para os três primeiros lugares?R : Existem 4 possibilidades para o 1º lugar, sobrando 3 possibilidades para o 2º lugar e 2possibilidades para o 3º lugar → 4.3.2 = 24 possibilidades.Arranjo simples: n! An , p = ( n − p )! A6, 2 + A4,3 − A5, 24) Calcule . A9, 2 + A8,1 6! 4! 5! + − A6, 2 + A4,3 − A5, 2 (6 − 2)! ( 4 − 3)! (5 − 2)! 30 + 24 − 20 34 17 = = = = A9, 2 + A8,1 9! 8! 72 + 8 80 40 + (9 − 2)! (8 − 1)!
  2. 2. Saber Direito www.itbsite.blogspot.com5) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com o algarismos dosistema decimal (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) sem os repetir, de modo que :a) COMECEM COM 1. R : O número pode possuir três algarismos, sendo que para o primeiro existe apenas 1possibilidade (1) e para os outros dois ainda existem 9 números disponíveis : 9! 9! 9.8.7! 1. A9, 2 = = = = 9.8 = 72 números. (9 − 2)! 7! 7!b) COMECEM COM 2 E TERMINEM COM 5. R : Para o primeiro algarismo existe apenas 1 possibilidade (2), e para o terceiro tambémexiste apenas 1 possibilidade (5). Para o segundo ainda existem 8 possibilidades : 8! 8! 8.7! 1.1. A8,1 = = = = 8 números. (8 − 1)! 7! 7!c) SEJAM DIVISÍVEIS POR 5. R : Para um número ser divisível 5, ele deve terminar com 0 ou com 5. Primeiramentevamos calcular o número de divisíveis por 5 que terminam com 0 :→ Para o terceiro algarismo existe apenas 1 possibilidade (0), e para os dois primeiros aindaexistem 9 números disponíveis. Portanto o número de divisíveis por 5 que terminam com 0 é : 9! 9! 9.8.7! 1. A9, 2 = = = = 9.8 = 72 números. (9 − 2)! 7! 7!→ Agora calculamos quantos divisíveis por 5 terminam com 5 : para o terceiro algarismoexiste apenas uma possibilidade (5). Para o primeiro algarismo existem ainda 8 possibilidades,pois o número não pode começar com 0 (senão seria um número de 2 algarismos). E para osegundo algarismo também existem 8 possibilidades (o segundo algarismo pode ser 0). 8! 8! 8! 8! 8.7! 8.7! 1. A8,1 . A8,1 = . = . = . = 8.8 = 64 números. (8 − 1)! (8 − 1)! 7! 7! 7! 7!Resposta : O número de divisíveis por 5 é 72 + 64 = 136 números.6) Quantos são os números compreendidos entre 2000 e 3000 formados por algarismosdistintos escolhidos entre 1,2,3,4,5,6,7,8 e 9? R : O número deve ter quatro algarismos (pois está entre 2000 e 3000). Para o primeiroalgarismo existe apenas uma possibilidade (2), e para os outros três ainda existem 8 númerosdisponíveis, então : 8! 8! 8.7.6.5! 1. A8,3 = = = = 8.7.6 = 336 números. (8 − 3)! 5! 5!
  3. 3. Saber Direito www.itbsite.blogspot.comPermutação Simples: É um caso particular de arranjo simples. É o tipo de agrupamentoordenado onde entram todos os elementos. Pn = n!7) Quantos números de 5 algarismos distintos podem ser formados por 1,2,3,5 e 8?P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 números.8) Quantos anagramas da palavra EDITORA :a) COMEÇAM POR A. Para a primeira letra existe apenas uma possibilidade (A), e para as outras 6 letrasexistem 6 possibilidades. Então o total é :1.P6 = 1.6!= 6.5.4.3.2.1 = 720 anagramas.b) COMEÇAM POR A e terminam com E. Para a primeira letra existe 1 possibilidade (A), e para última também só existe 1 (E),e para as outras 5 letras existem 5 possibilidades. Então o total é :1.1.P5 = 1.1.5!= 5.4.3.2.1 = 120 anagramas.8) Calcule de quantas maneiras podem ser dipostas 4 damas e 4 cavalheiros, numa fila, deforma que não fiquem juntos dois cavalheiros e duas damas. R :Existem duas maneiras de fazer isso : C - D - C - D - C - D - C - D ou D - C - D - C - D - C - D - CColocando um cavalheiro na primeira posição temos como número total de maneiras :P4 .P4 = 4!.4!= 24.24 = 576 maneiras.Colocando uma dama na primeira posição temos também :P4 .P4 = 4!.4!= 24.24 = 576 maneiras.Portanto o total é 576 + 576 = 1152 maneiras.Combinação Simples: é o tipo de agrupamento em que um grupo difere do outro apenaspela natureza dos elementos componentes. n! Cn, p = p!(n − p )!
  4. 4. Saber Direito www.itbsite.blogspot.com9) Resolver a equação C m,3 − C m , 2 = 0. m! m! − =03!( m − 3)! 2!(m − 2)!m.(m − 1).(m − 2).(m − 3)! m.(m − 1).(m − 2)! − =0 3!( m − 3)! 2!(m − 2)!m.(m − 1).(m − 2) m.(m − 1) − =0 3! 2!m 3 − 2m 2 − m 2 + 2m m 2 − m − =0 6 2m 3 − 3m 2 + 2m − 3m 2 + 3m = 0 ⇒ m 3 − 6m 2 + 5m = 0 6 6 ± 16 m = 5m 2 − 6m + 5 = 0 ⇒ m = ⇒  2 m = 1Resposta : m = 5.obs : m = 1 não é a resposta porque não pode haver C1,3 .10) Com 10 espécies de frutas, quantos tipos de salada, contendo 6 espécies diferentespodem ser feitas? 10! 10.9.8.7.6! 5040 5040C10,6 = = = = = 210 tipos de saladas. 6!.(10 − 6)! 6!.4! 4! 2411) Numa reunião com 7 rapazes e 6 moças, quantas comissões podemos formar com 3rapazes e 4 moças?RAPAZES - C 7 ,3MOÇAS - C 6, 4O resultado é o produto C 7 ,3 .C 6, 4 . 7! 6! 7.6.5.4! 6.5.4! 210 30 . = . = . = 35.15 = 525 comissões.3!(7 − 3)! 4!(6 − 4)! 3!.4! 4!.2! 3! 2

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