5ª SéRie MatemáTica 1º Semestre

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5ª SéRie MatemáTica 1º Semestre

  1. 1. COLÉGIO OPÇÃO MATEMÁTICA 1. SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL O nosso sistema de numeração que usamos hoje é o decimal, ou seja, as quantidades são agrupadas de 10 em 10. Os algarismos que usamos têm influência de outros povos que desenvolveram a escrita há muito tempo atrás como os povos hindus e árabes, você já deve ter notado os números ao seu redor em calendários, números de celulares, preços de mercadorias e etc.. O número na nossa historia moderna é tão importante que não viveríamos mais sem ele. Fig1 Números do nosso dia-a-dia Como foi dito antes vários povos desenvolveram a escrita matemática, e lógico, não só a escrita mais todos os seus cálculos. Esses conhecimentos matemáticos eram usados em suas construções como pirâmides, templos, assim como canais de rio usados na agricultura e calculo de áreas de terrenos. Fig2 Algarismos usados pelos egípcios 1.1. OS ALGARISMOS INDO-ARÁBICOS O nosso sistema de numeração, como também de todo o mundo usa os seguintes símbolos : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Esses símbolos foram criados pelos árabes que por sua vez buscaram inspiração na matemática dos hindus ou povos indianos, isto é, habitantes da índia. O grande responsável pela união das duas culturas foi o matemático árabe AL-khowarizmi, foi ele que divulgou para o mundo os primeiros trabalhos matemáticos de escrita matemática. Por isso são conhecidos hoje como algarismos indo- arábicos. Dica do professor: Nunca se esqueça os números são apenas representações de quantidades, diversas culturas de povos utilizavam representações diferentes para a mesma quantidade 96 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  2. 2. COLÉGIO OPÇÃO Texto complementar Contando com os egípcios Há mais ou menos 3.600 anos, o faraó do Egito tinha um súdito chamado Aahmesu, cujo nome significa “Filho da Lua”. Aahmesu ocupava na sociedade egípcia uma posição muito mais humilde que a do faraó: provavelmente era um escriba. Hoje Aahmesu é mais conhecido do que muitos faraós e reis do Antigo Egito. Entre os cientistas, ele é chamado de Ahmes. Foi ele quem escreveu o Papiro Ahmes. O papiro Ahmes é um antigo manual de matemática. Contêm 80 problemas, todos resolvidos. A maioria envolvendo assuntos do dia-a-dia, como o preço do pão, a armazenagem de grãos de trigo, a alimentação do gado. Observando e estudando como eram efetuados os cálculos no. Papiro Ahmes, não foi difícil aos cientistas compreender o sistema de numeração egípcio. Além disso, a decifração dos hieróglifos – inscrições sagradas das tumbas e monumentos do Egito – no século XVIII também foi muito útil. O sistema de numeração egípcio baseava-se em sete números-chave: 1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 Os egípcios usavam símbolos para representar esses números. Um traço vertical representava 1 unidade: Um osso de calcanhar invertido representava o número 10: Um laço valia 100 unidades: Uma flor de lótus valia 1.000: Um dedo dobrado valia 10.000: Com um girino os egípcios representavam 100.000 unidades: Uma figura ajoelhada, talvez representando um deus, valia 1.000.000: Todos os outros números eram escritos combinando os números-chave. Na escrita dos números que usamos atualmente, a ordem dos algarismos é muito importante. Se tomarmos um número, como por exemplo: 256 e trocarmos os algarismos de lugar vamos obter outros números completamente diferentes: 265 526 562 625 652 Ao escrever os números, os egípcios não se preocupavam com a ordem dos símbolos. Observe no desenho que apesar de a ordem dos símbolos não ser a mesma, os três garotos do Antigo Egito estão escrevendo o mesmo número: Atividade investigadora!! 1-escreva em seu caderno dez números de pequenos valores e dez números de valores altos. Vamos corrigi-los!! EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1-represente em seu caderno os seguintes números (A) cento e trinta e quatro (B) seis mil e quarenta e cinco (C) mil setecentos e cinqüenta e dois (D) um milhão (E)150 (F)1000 2-complete o texto com números justificando-os. Na ___ semana de abril, numa ___ feira, cerca de ___ pessoas participaram da reunião da associação de pais e mestres da escola. No encontro, ___ assuntos foram discutidos. Os presentes comeram ___ salgadinhos no total e consumiram ___ garrafas de refrigerante de ___ litros cada. O ponto principal da reunião foi a organização da festa junina. Foi decidido que o evento seria realizado no dia ___ de 97 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  3. 3. COLÉGIO OPÇÃO junho, ou seja, cerca de ___ dias depois do início das aulas e ___ dias antes do início das férias de ju- lho. Estima-se que ___ pessoas comparecerão à festa, bem mais do que os ___ do ano passado. Para - elas haverá ___ barracas de jogos e ___ barracas de comes e bebes. O ponto alto vai ser a quadrilha, com ___ alunos participantes. 1.2 SISTEMA DE NUMERAÇÃO ROMANO Diversas civilizações da antigüidade, além da egípcia, desenvolveram seus próprios sistemas de numeração. Alguns deles deixaram vestígios, apesar de terem sido abandonados. Assim, por exemplo, na contagem do tempo, agrupamos de 60 em 60; sessenta segundos compõem um minuto e sessenta minutos compõem uma hora. Isto é conseqüência da numeração desenvolvida na mesopotâmia, há mais de 4000 anos. Lá era usada a base sessenta Outro vestígio de uma numeração antiga pode ser observado nos mostradores de relógios, na indicação de datas e de capítulos de livros: são os símbolos de numeração romana. Estes são os símbolos usados no sistema de numeração romano: Atividade investigadora! 1-escreva em seu caderno vários números tentando usar a escrita romana Exercícios de fixação 1)observe e complete: 98 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  4. 4. COLÉGIO OPÇÃO 10 32 606 1000 X X X XL CL V 2. Escreve em numeração romana: 1 2 3 5 10 20 30 50 100 200 300 500 1000 2000 III C 3. Faz a correspondência: 7 VII 100 I 1 CCCXXX 20 C 330 XX 4) usando o sistema romano de numeração,você deve escrever os seguintes números: A) 26 e)409 B) 102 f)1050 C) 830 g)91 D) 77 h) 360 1.3 CONJUNTOS DOS NÚMEROS NATURAIS Os números Naturais, historicamente, foram os primeiros números a serem utilizados pelo homem. Reflita um pouco!! (I) Para que os homens de antigamente usavam os números? (II) Como será que eles trabalhavam com contagem quando não sabiam a escrita dos números? (III) E hoje para que serve os números? Os primeiros números de fato eram os números usados para a contagem. Eram usados na caça, na criação de rebanho e etc.. Os números NATURAIS podem se representado por: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,...} 99 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  5. 5. COLÉGIO OPÇÃO Atividade investigadora 1-qual o menor numero natural? 2-quais números naturais possuem sucessores e quais possuem antecessores? Texto complementar Os árabes divulgam ao mundo os números hindus Simbad, o marujo, Aladim e sua lâmpada maravilhosa, Harum al-Raschid são nomes familiares para quem conhece os contos de As mil e uma noites. Mas Simbad e Aladim são apenas personagens do livro, Harum al-Raschid realmente existiu. Foi o califa de Bagdá, do ano 786 até 809. Durante o seu reinado os povos árabes travaram uma séria de guerras de conquista. E como prêmios de guerra, livros de diversos centros científicos foram levados para Bagdá e traduzidos para a língua árabe. Em 809, o califa de Bagdá passou a ser AL-Mamum, filho de Harum al-Rahchid. Al-Mamum era muito vaidoso. Dizia com toda a convicção. "Não há ninguém mais culto em todos os ramos do saber do que eu". Como era um apaixonado da ciência, o califa procurou tornar Bagdá o maior centro científico do mundo, contratando os grandes sábios muçulmanos da época. Entre eles estava o mais brilhante matemático árabe de todos os tempos: AL- khowarizmi. Estudando os livros de Matemática vindos da Índia e traduzidos para a língua árabe, AL-khowarizmi surpreendeu-se a princípio com aqueles estranhos símbolos que incluíam um ovo de ganso! Logo, AL-khowarizmi compreendeu o tesouro que os matemáticos hindus haviam descobertos. Com aquele sistema de numeração, todos os cálculos seriam feitos de um modo mais rápido e seguro. Era impossível imaginar a enorme importância que essa descoberta teria para o desenvolvimento da Matemática. Al-khowarizmi decidiu contar ao mundo as boas nova. Escreveu um livro chamado Sobre a arte hindu de calcular, explicando com detalhes como funcionavam os dez símbolos hindus. Com o livro de AL-khowarizmi, matemáticos do mundo todo tomaram conhecimento do sistema de numeração hindu. Os símbolos - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 - ficaram conhecidos como a notação de al-khowarizmi, de onde se originou o termo latino algorismus. Daí o nome algarismo. São estes números criados pelos matemáticos da Índia e divulgados para outros povos pelo árabe AL-khowarizmi que constituem o nosso sistema de numeração decimal conhecidos como algarismo indo-arábicos. Fonte: educar.sc.usp.br 2.1. OPERAÇÕES COM OS NÚMEROS NATURAIS Atividade investigadora 1-em duplas encontrem soluções para a seguinte questão: Um restaurante comprou 18 caixas de ovos com uma dúzia em cada caixa. Quantos ovos o restaurante comprou? 2 TIPOS DE OPERAÇÕES As operações básicas dos números naturais como visto no exercício proposto acima podem ser classificadas como quatro. São elas 2.1 ADIÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS Investigue: Lucas comprou um salgado de R$ 1,70 e um suco de R$ 0,70. Quanto pagou por tudo?Quem são as parcelas? O que seria a soma? 100 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  6. 6. COLÉGIO OPÇÃO 2.2 SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS Investigue: Professor Marcio devia na cantina R$ 5,20 e hoje pagou 4,70. Quem é o minuendo e quem é o subtraendo dessa operação?Quem seria o resto ou diferença? Como podemos “arma” esse calculo? Exercícios de fixação 1. Uma empresa produziu no primeiro trimestre 6905 peças. No segundo trimestre, a mesma empresa produziu 765 peças a mais que no primeiro trimestre. A) quantas peças a empresa produziu no segundo trimestre? B) quantas peças a empresa produziu no semestre? 2. João comprou um aparelho de som por 635 reais e as caixas de som por 128 reais. Tendo pago 12 reais pela instalação, qual a quantia que ele gastou? 3. Uma indústria, no final de 2007, tinha 10 635 empregados. No inicio de 2008, dispensou 1 880 funcionários essa indústria ficou? 4. Efetue as operações: A. 11 011 – 7 997 c. 7 000 – 1 096 B. 140926 – 78016 d. 2 0620 - 945 2.3 MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS Considere uma adição de quatro parcelas iguais a 2 : 2+2+2+2 =8 essas quatro parcelas são iguais a 2, que também representamos por 4 vezes 2, e escrevemos assim: 4x2 = 8 x , que se lê “ vezes “ Essa operação, chamada multiplicação, representa uma adição de parcelas iguais. Na multiplicação, os elementos são os seguintes: fatores e produto. 4 e 2 são os fatores. Exemplo: 4x2 = 8 8, o resultado, é o produto. Investigue: No seu caderno complete a tabela: Multiplicação Resultado Multiplicação Resultado 2x0 10x10 2x1 12x3 2x8 8+8 5x16 2x14 32x2 32+32 4x15 100x10 Exercícios de fixação 1º. Uma sala de aula tem 6 fileiras de carteiras. Em cada fileira há 8 carteiras. Isto significa que nessa sala de aula 101 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  7. 7. COLÉGIO OPÇÃO 2. O médico receitou a André que andasse 1 250 metros todos os dias para melhorar o seu estado físico. Quantos metros André vai andar em uma semana? Vamos pesquisar: MULTIPLICAÇÃO ÁRABE E MULTIPLICAÇÃO BASE DOIS EGÍPCIA 2.4 DIVISÃO DOS NÚMEROS NATURAIS. Dado um conjunto de 8 elementos, para separá-lo em grupos de 2 elementos são necessários 4 conjuntos. Isto é: : que se lê: “dividido por” Esta operação chama-se divisão exata. É a operação inversa da multiplicação. Numa divisão exata, usamos a seguinte notação: dividendo, divisor e quociente. Exemplo: 8 é o dividendo, 4 é o divisor e 2 é quociente da divisão. Investigue: Isabela precisa dividir 5 doces para suas 3 amigas.nesta operação quem é o dividendo o divisor e o quociente? Existe algo a mais nessa operação? Comente com os seus colegas. Exercícios de fixação 1-uma fruteira das 14 de março comprou 22 caixas de maçãs. Tendo 8 maçãs cada caixa, quantas maçãs no total obteve a fruteira? 2-Sr Araújo comprou para a sua venda 3 caixas de manga rosa e 7 caixas de manga comum com 7 mangas em cada caixa de manga rosa e 5 mangas em cada caixa de manga comum. Quantas mangas no total comprou Sr Araújo? 3-comprei 35 caixas de CD com 60 CDs em cada caixa. Quantos CDs comprei no geral? 4-foram doados para os desabrigados de uma enchente 120 cobertores, 180 pares de sapatos e 240 pares de roupa. Sabendo que o numero de desabrigados era de 60, quanto de cada item doado ficou cada um? 5-uma urna contem 49 bolas amarelas, 21 vermelhas e 343 brancas para serem distribuídas igualmente entre 7 crianças, quantas bolas de cada cor receberá cada criança? 6-tenho 120 selos para distribuir entre meus 22 netinhos. Quanto selo ficará cada um? A divisão será exata? 7-comprei uma camisa do flamengo parcelado em 6 parcelas iguais à R$16,50 cada. Quanto pagarei pela camisa? 8- em uma rua de 400 metros de comprimento serão colocados pôsteres de luz de modo que cada um fique 25 metros de distancia um do outro. Quantos pôsteres serão colocados nesta rua? 9-uma tartaruga anda em media 1 metro a cada hora. Ao final de um dia teria andado quanto? 10-uma aposentadoria de R$ 540,00 rende em 22 anos um valor de? 11- um grupo de 12 estudantes conseguiu arrecadar R$ 264,00. Quanto deu cada estudante? 102 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  8. 8. COLÉGIO OPÇÃO 12-um estacionamento cobra por hora R$3,00. Se em determinada hora o dono arrecadou R$ 693,00, quantos carros havia no estacionamento 13-a helena andou 15 km em 5 horas. Se ela andar sempre à mesma velocidade, quantos km andou por hora? 14-numa fazenda existe 12 porcos e 17vacas que dão um total de quantos pés? 15- para as 5ª series de um colégio foram matriculados 336 alunos. Esses alunos devem ser repartidos igualmente em 8 salas. Quantos alunos haverá em cada sala de 5ª serie? 16- em uma hora há 60 minutos. Quantas horas há em 840 minutos 17-. Uma padaria fabrica 180 tortas por dia e as entrega a cada uma de suas 15 filiais de modo que todas recebam a mesma quantidade de tortas. Quantas tortas cada filial recebem? 18- "num cinema há 250 poltronas. Se há 10 fileiras, quantas poltronas há por fileira? 19. Completa: Numeração Numeração Numeração Numeração Romana Árabe Romana Árabe 6+2 VII III 18-3 LV 39+6 LXI 200+15 CXV 1360-360 DCL É PRECISO FALAR SOBRE... ”As propriedades distributivas e comutativas das operações com números naturais” Voltemos a atividade investigadora da página 100: Um restaurante comprou 18 caixas de ovos com uma dúzia em cada caixa. Quantos ovos o restaurante comprou? Podemos resolver este problema usando a operação de multiplicação 18x12=216, onde 18 é p numero de caixas e 12 o numero de ovos em cada caixa: observe que este problema também pode ser escrito da seguinte forma: Que é a forma “distributiva” da operação ou: Que é a forma “comutativa”, pois se multiplicou as caixas ao invés dos ovos, ou também, 18x12=12x18 103 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  9. 9. COLÉGIO OPÇÃO 2.5 ELEMENTO NEUTRO DA ADIÇÃO E DA MULTIPLICAÇÃO Observe: 5+0=5 ou 0+5=5, 14+0=? 0+21=?Nota- se que o “0” nada ou vazio somado a qualquer numero é sempre igual ao próprio numero. Na multiplicação temos outro elemento neutro observe: 5x1=5, de outra forma 1x5=1+1+1+1+1=5 6x1=? 1x52=?; O numero 1 é o elemento neutro da multiplicação. Exercícios de fixação 1-nas questões seguintes resolva utilizando uma das formas distributivas ou comutativas. A)14x15 b)6x8 C)20x19 d)24x20 E)100x40 f)13x12 2-veja o esquema abaixo 5x1=5 5x2=5+5=10 5x3=5+5+5=15 5x4=5+5+5+5=20..... ....................................... Então 5x0=? 8x0? 1000x0? É igual a quanto? 2.6 A BASE 10 DOS NÚMEROS NATURAIS Os algarismos de um numero são posicionais, ou seja eles representam agrupamentos de dezenas centenas ou milhares como no exemplo: 1250=1x1000+2x100+5x10 (um milhar com 2 centenas e com 5 dezenas) Vamos tentar decompor os números a seguir para base 10. A)5324 B)891 C)981 D)918 E)623189 2.7 EXPRESSÕES NUMÉRICAS NO CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS. Atividade investigadora: Por que se faz uso de sinais como parênteses e colchetes nas operações numéricas? Chamamos de expressão numérica a um conjunto de números reunidos entre si por sinais de operação. A ordem de resolução, para as expressões numéricas que envolvem as quatro operações é: 1º. Potências e raízes; 2º. Multiplicação e divisão; 3º. Adição e subtração. Nos casos onde figuram ( ), [ ] e { }, vale a ordem abaixo: 1º. Parênteses ( ); 2º. Colchetes [ ]; 3º. Chaves { }. 104 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  10. 10. COLÉGIO OPÇÃO Exemplos 1). 40: 8 + 2 x 16 2). 40: ( 8 + 2 x 16 ) 3) ( 40 : 8 + 2 ) 16 5+32 = 37 40 : ( 8 + 32 ) ( 5 + 2 ) x 16 ] 40 : 40 = 1 7 x 16 = 112 EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1) Calcule o valor das expressões a) 30-(5+3) = b) 15+(8+2) = c) 15-(10-1-3) = d) 23-(2+8)-7 = e) (10+5)-(1+6) = f) 7-(8-3)+1= 2) Calcule o valor das expressões a) 25-[10+(7-4)] = b) 32+[10-(9-4)+8] = c) 45-[12-4+(2+1)] = d) 70-{20-[10-(5-1)]} = e) 28+{13-[6-(4+1)+2]-1} = f) 53-{20-[30-(15-1+6)+2]} = g) 62-{16-[7-(6-4)+1]} = h) 20-{8+[3+(8-5)-1]+6} = i) 15+{25-[2-(8-6)]+2} = j) 56-[3+(8-2)+(51-10)-(7-2)] = l){42+[(45-19)-(18-3)+1]-(28-15)-1} = 3)Calcule o valor das expressões: a) 25 + { 12 + [ 2 – ( 8 – 6 ) + 2 ]} = b) { [ ( 18 – 3 ) + ( 7 + 5) – 2 ] + 5 } – 12 = c) 65 – { 30 – [ 20 – ( 10 – 1 + 6) + 1 ]} = d)45 + { 15 – [ ( 10 – 8 ) + ( 7 – 4) – 3 ] – 4 } = e) 40 + { 50 – [35 – ( 25 +5) – 1 ]} + 7 = f)38 – { 20 – [ 22 – ( 5 + 3) + ( 7 – 4 +1)]} = g) 26 + { 12 – [ ( 30 – 18) + ( 4 – 1) – 6 ] – 1 } = 3. DIVISORES E MÚLTIPLOS DIVISÕES EXATAS E NÃO EXATAS Atividade investigadora: Podemos dividir um número por qualquer outro numero? Vamos pensar um pouco: *Mariana tem 8 maças e precisa dividi-las igualmente entre seus 12 primos. *Mário tem 44miniaturas de carro e quer dividi-los em 11 fileiras para expô-los a um amigo. Robson tem R$1,00 e quer dividi-lo em 10 partes? Qual dos problemas apresenta uma solução ”exata” e por que? O que é uma solução exata para você? 105 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  11. 11. COLÉGIO OPÇÃO Complete a tabela abaixo: Divisão Quociente Resto 336 por 13 337 por 13 338 por 13 339 por 13 340 por 13 Qual das divisões teve um resultado exato pelo numero 13? 3.1. Critérios de divisibilidade Vamos estudar algumas regras que permitem verificar, sem efetuar a divisão, se um número é divisível por outro. Essas regras são chamadas critério de divisibilidade. Divisibilidade por 2 Um número é divisível por 2 quando é par , determina um numero par de elementos ou termina em 0,2,4,6, e 8,....: a) 458 é divisível por 2, pois termina em 8. b) 1361 não é divisível por 2, pois não termina em número par. Divisibilidade por 3 Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é um número divisível por 3 Exemplo: A) 627 é divisível por 3, porque a soma: 6 + 2 + 7 = 15 é divisível por 3. B) 4 312 não é divisível por 3, porque a soma: 4 + 3 + 1 + 2 = 10 não é divisível por 3. Atividade investigadora: note que, tanto os números que são divisíveis por 2 e por 3 formam os seguintes conjuntos com a seguinte seqüencia: Números divisíveis por 2 {0,2,4,6,8,..... } Números divisíveis por 3 {0,3,9,12,15,..} Qual o vigésimo numero divisível por 2? Qual é o divisor de numero 50 do numero 3? Como são chamados esse conjunto de números divisíveis poe 2 e por 3? Divisibilidade por 4 Se os dois últimos algarismos de um número forem divisíveis por 4, então o número é divisível por 4.Exemplo 136 termina em 36 que é divisível por 4 Divisibilidade por 5 Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5. Exemplos: a) 125 é divisível por 5, pois termina em 5. b) 3010 é divisível por 5, pois termina em 0. Divisibilidade por 6 Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3. Exemplo: a) 912 é divisível por 6 porque é divisível por 2 e 3. b) 524 não é divisível por 6, pois é divisível por 2, mas não é por 3. Divisibilidade por7 Duplica-se o algarismo das unidades e subtrai-se do resto do número . Se o resultado for divisível por 7 o número é divisível por 7. 106 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  12. 12. COLÉGIO OPÇÃO Por exemplo: 245 - 5 x 2 = 10 e depois 24 - 10 = 14 então é divisível por 7. 1589 - 9 x 2 = 18 e 158 - 18 = 140 então é divisível por 7 . 204568 - 8 x 2 = 16 e 20456 - 16 = 20440 e aplicando novamente 0 x 2 = 0 2044 - 0 = 2044 e novamente 4 x 2 = 8 204 - 8 = 196 e novamente 6 x 2 = 12 19 - 12 = 7 então é divisível por 7. Divisibilidade por 9 Somar os algarismos do número e verificar se a soma é divisível por nove . Por exemplo. 3464514 - 3+4+6+4+5+1+4=27 e 2 + 7 = 9 então é divisível por 9 Divisibilidade por 10 Um número é divisível por 10 quando termina em 0. Exemplo: a) 1240 é divisível por 10, pois termina em 0. b) 1355 não é divisível por 10, pois não termina em 0. Divisibilidade por11 Soma o 1º, o 3º, o 5º, o 7º algarismo... Soma o 2º, o 4º, o 6º, o 8º algarismo... Se a diferença for múltiplo de 11 (incluindo o zero) então o número é divisível por 11. Por exemplo: 94186565 - 9 + 1 + 6 + 6 = 22 4 + 8 + 5 + 5 = 22 e 22 - 22 = 0 então o número é divisível por 11. 4723866862 - 4+2+8+6+6 = 26 7+3+6+8+2 = 26 e 26-26 = 0 então o número é divisível por 11 Divisibilidade por12 Se o número for divisível por 3 e por 4 é divisível por 12. Divisibilidade por13 Multiplica o algarismo das unidades por 9 e subtrai-o do restante número. Se o resultado for múltiplo de 13 então o número inicial é múltiplo de 13. Por exemplo: 1105 - 5 x9=45 e 110 - 45 = 65 (se ainda tiveres dúvidas podes fazer novamente...) que é múltiplo de 13 - 13x5= 65 Exercício de fixação Faça no seu caderno 1. Quais destes números são divisíveis por 10? A) 472 e) 1 520 i) 90 001 B) 560 f) 1 849 j) 16 475 C) 885 g) 8 640 l) 80 300 D) 990 h) 9 080 m) 125 000 2. Quais são as verdadeiras? a) Todo número par é divisível por 10. b) Todo número divisível por 10 é par. c) Todo número divisível por 5 é divisível por 10. Exercícios complementares Faça no seu caderno 1. Considere os números do quadrado e responda: 21 86 124 285 111 1 632 4 050 7 335 107 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  13. 13. COLÉGIO OPÇÃO 58 90 225 341 280 2 700 3 186 9 000 117 242 161 234 121 62029 7280 2255 a) Quais os números divisíveis por 2? b) Quais os números divisíveis por 3? c) Quais os números divisíveis por 4? d) Quais os números divisíveis por 5? e) Quais os números divisíveis por 6? f) Quais os números divisíveis por 7? g) Quais os números divisíveis por 10? h) Quais os números divisíveis por 11? i) Quais os números divisíveis por 13? j) Qual é divisível por 17? 2. O número abaixo é formado de quatro algarismos. O algarismo das dezenas é desconhecido. 8 4---- 7 Responda: a) Este número pode ser divisível por 2? b) Este número pode ser divisível por 3? c) Este número pode ser divisível por 5? d) Este número pode ser divisível por 6? e) Este número pode ser divisível por 10? 3. Copie e coloque um algarismo a direita do número: a) 457 para ser divisível por 2 e 3. D) 654 para ser divisível por 5 e 10 b) 202 para ser divisível por 2 e 3. E) 813 para ser divisível por 3 e 4 c) 189 para ser divisível por 2 e 3. F) 726 para ser divisível por 2, 3, 5 e 10 4-responda a)58 é divisível por 2? b)79 não é divisível por 3? c)54 é divisível por 2? h) 63 é divisível por 6? d) 49 é divisível por 2? i) 45 é divisível por 8? e) 63 é divisível por 3? j) 39 é divisível por 13? f)12 é divisível por 12? g)1 é divisível por 25? 5. Todos os números são divisíveis por 1? 6-Sem efetuar a divisão, assinale com x os números divisíveis por 2: A) 211 ( ) b) 118 ( ) c) 1 113 ( ) d) 250 ( ) e) 22 004 ( ) 7-sem efetuar a divisão assinale com x os números divisíveis por 3: A) 119 ( ) b) 103 ( ) c) 1 002 ( ) d) 405 ( ) e) 240 ( ) 8- Sem efetuar as divisões, verifique se os números 72, 78,44 022,3 103, 517 e 11 402 são divisíveis por 6. 9- Sem efetuar as divisões verifique se os números 138, 183, 315, 381, 813,75 e 44 020 são divisíveis por 5. Exercícios selecionados 1-Faça no seu caderno a) Os números divisíveis por 2. b) Os números divisíveis por 3. c) Os números divisíveis por 5. d) Os números divisíveis por 1 2. Responda: 108 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  14. 14. COLÉGIO OPÇÃO a) Todo número divisível por 4 é divisível por 2? b) Um número divisível por 3 e que termina em 0 é divisível por 6? 3. Estou pensando em um número, maior que 25 menor que 30, que não é divisível nem por 2 nem por 3. Qual é esse número? 4. Estou pensando em um número, compreendido entre 50 e 60, que é divisível por 2 e por 3. Qual é esse número? 5. Um número é formado de três algarismo, sendo o algarismo das unidades desconhecidas. 34a Quais de vem ser os valores de a, de modo que o numero seja divisível. a) Por 2? D) por 5? b) Por 3? E) por 2 e não por 3? c) Por 6? F) por 3 e não por 6? 6. Usando as regras de divisibilidade, escreva: a) O maior número de três algarismo divisível por 2. b) O maior número de três algarismo divisível por 5. c) O menor número de três algarismo divisível por 5. d) O menor número de três algarismo divisível por 3. 3.2. Divisores de um número Divisor de um número O quadro mostra duas frases que tem o mesmo significado. • 15 é divisível por 3 Significa • 3 é divisor de 15 Se a divisão de um número natural por outro (não nulo) é exata, dizemos que o primeiro é divisível pelo segundo, ou que o segundo é divisor do primeiro. Conjunto dos divisores de um número Quais são os divisores de 6? Veja: • 6 é divisível por 1 ou 1 é divisor de 6 • 6 é divisível por 2 ou 2 é divisor de 6 • 6 é divisível por 3 ou 3 é divisor de 6 • 6 é divisível por 6 ou 6 é divisor de 6. Os números 1, 2, 3 e 6 são os divisores de 6 e formam o conjunto indicado por: D6 = {1, 2, 3 , 6} Exercícios de fixação Faça no seu caderno 1. Verdadeira ou falsa? a) 8 é divisor de 72 c) 12 é divisor de 72. b) 6 é divisor de 38 d) 50 é divisor de 240 2. Escreva os conjuntos dos divisores de: a) 8 c) 10 e) 12 g) 16 b) 9 d) 11 f) 15 h) 17 109 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  15. 15. COLÉGIO OPÇÃO 3. Baseado nos resultados dos exercícios anteriores, responda: a) Qual é o menor número divisível de um número? b) Qual é o maior divisor de um número? 4. Determine os elementos dos seguintes conjuntos: a) {divisores de 12 menores que 5} c) {divisores de 70 menores que 15} b) {divisores de 36 menores que 10} d) {divisores de 80 menores que 12} 5. Escreva o conjunto de: a) Todos os divisores de 20 b) Todos os divisores pares de 20 c) Todos os divisores impares de 20 Investigue: encontre 30 números que tenham apenas dois divisores. 3.3 NÚMEROS PRIMOS E COMPOSTOS ATIVIDADE INVESTIGADORA: 3.4 O CRIVO DE ERATOSTENES E OS MÚLTIPLOS DE UM NÚMERO Vamos descobrir números primos Existe um processo para você determinar número primo chamado de crivo de Erastóstenes. Veja como você pode fazer para determinar os números primos de 1 a 100. 1. Faça uma tabela de 1 ate 100. 2. Marque ou pinte o número 1 3. Marque ou pinte todos os números divisíveis por 2, exceto o 2. 4. Marque ou pinte todos os números divisíveis por 3, exceto o 3 5. Marque ou pinte todos os números divisíveis por 5, exceto o 5 6. Marque ou pinte todos os números divisíveis por 7, exceto o 7. Comente com os colegas o resultado dessa experiência. Como se chama os números que sobraram? E os números que marcados como se chamam?Por que o numero 1 também foi marcado? Exercícios de fixação Faça no seu caderno 1. Observe o quadro e responda: 56 78 104 372 774 896 1 002 5 000 6 384 Nesse quadro existem alguns números primos? Por quê? 2. Observe o quadro e responda: 75 105 235 445 665 725 1 005 5 555 8 065 A) quais destes números são primos? B) por que não existe número primo terminado em 5, formado por mais de um algarismo? Quais destes números são primos? a) 69 e) 113 i) 288 b) 83 f) 121 j) 397 c) 93 g) 169 l) 1 029 d) 97 h) 191 m) 6 775 Exercícios complementares 110 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  16. 16. COLÉGIO OPÇÃO Faça no seu caderno 1. Seja a = {2,7,8,9,16,24} a) Identifique os números pares. b) Identifique os números impares c) Identifique os números divisores por 3. d) Identifique os números divisores por 4. e) Identifique os números primos. 2. Quais dos divisores de 18 são primos 3. O número 1 é primo por quê? 4. Verifique se é primo o número natural: A) 71 e) 289 i) 997 B) 127 f) 721 j) 1 001 C) 601 g) 648 l) 1 263 D) 347 h) 707 m) 3 748 Exercícios selecionados Faça no seu caderno 1. O número 0 é primo ou composto? 2. Qual o número natural que não é primo nem composto? 3. Qual o maior número natural de dois algarismos natural que é primo? 4. Quais são os elementos do conjunto a = {x ∈ / x é primo e 2 < x < 20} 3.5. Fatoração completa O que significa fatorar um número? Fatorar um número composto significa decompor esse número em um produto de fatores primos. Exemplo: Vamos decompor o número 90 em fatores primos. 90= 2 X 45 90= 2 X 3 X 15 90= 2 X 3 X 3 X 5 Número composto fatores primos ATIVIDADE INVESTIGADORA: Todo numero pode ser decomposto em números primos?o que você acha? Procure exemplos que comprovem a sua resposta. Na pratica, para decompor um número em fatores primos, você fará assim: 90 2 Quociente 45 3 Divisores primos 15 3 5 5 1 2 x 3 3 x 5 = 2 x 32 x 5 Logo:90= 2 x 32 x 5 Dividimos 90 sucessivamente pelos seus divisores primos. Os divisores são colocados à direita do traço e os quocientes obtidos à esquerda. 111 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  17. 17. COLÉGIO OPÇÃO Exercícios de fixação Faça no seu caderno 1. Decomponha em fatores primos (ou escreva a forma fatorada) dos números abaixo: A) 28 b) 110 c) 42 d) 162 e) 90 f) 200 G) 132 h) 375 i) 288 j) 5 024 l) 3008 m) 16 2. A forma fatorada de um número natural é 23 x 3 x 52. Qual é esse número natural? 3.qual é o número natural cuja forma fatorada é 5 x 7 x 112? Exercícios complementares Faça no seu caderno 1. Decomponha os números em fatores primos: a) 144 g) 507 b) 105 h) 686 c) 180 i) 2 487 d) 500 j) 6 300 e) 156 l) 4 620 f) 340 m) 12 675 2. Qual é o número cuja fatoração dá 22 x 3 x 72? 3. Qual é o número cuja a fatoração dá 2 x 32 x 52 x 7? Exercícios selecionados Faça no seu caderno 1. Decomponha os números em fatores primos: a) 406 c) 8 281 b) 578 d) 1 331 2. Há vários números representados como um produto de fatores primos copie e indique esses números: a) 23 x 11 e) 22 x 3 x 7 b) 23 x 12 f) 32 x 7 x 15 c) 2 x 3 x 5 g) 2 x 32 x 10 d) 2x3x4 h) 32 x 22 x 52 Teste de revisão Indique a página, numere a questão e escreva no caderno a alternativa correta 1. Os fatores primos de 3 000 são: A) 2, 3 e 5 c) 2, 5 e 15 B) 2, 3 e 15 d) 3, 5 e 15 2. A fatoração completa de 1 572 é: A) 2 x 3 x 13 c) 22 3 x 131 B) 2 x 3 x 17 d) 22 32 5 x 17 112 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  18. 18. COLÉGIO OPÇÃO 3. O número 2 040 é igual a: a) 24 x 3 x 5 B) 22 x 3 x17 c) 23 x 3 x 5 x 17 4. Qual o número representado como um produto de fatores primos? A) 2 x 3 x 4 c) 3 x 5 x 10 B) 2 x 3 x 7 d) 2 x 3 x 15 5. Qual é o número cuja formação é 23 x 52 x 72? A) 1 400 c) 1 960 B) 4 900 d) 9 800 6. Os fatores primos de 3 744 são: A) 1, 2, 3 e 7 c) 1, 2, 9 e 13 B) 1, 2, 3 e 13 d) n. d. a. AFINAL PARA QUE SERVEM OS NÚMEROS PRIMOS? O envio e o recebimento de informações sigilosas é uma necessidade antiga, que existe há centenas de anos. o imperador romano Julio césar(100-44 AC)já o utilizava naquela época sistema de códigos foi bastante usado nas grandes guerras. Hoje temos chaves publicas como os e-mails, Orkut, compras on-line e etc.. Com o surgimento da internet e de sua conseqüente facilidade de transmitir dados de maneira precisa e extremamente rápida, a criptografia tornou-se uma ferramenta fundamental para permitir que apenas o emissor e o receptor tenham acesso livre à informação trabalhada. O termo criptografia surgiu da fusão das palavras gregas "kryptós" e "gráphein", que significam "oculto" e "escrever", respectivamente. Trata-se de um conjunto de conceitos e técnicas que visa codificar uma informação de forma que somente o emissor e o receptor possam acessá-la, evitando que um intruso consiga interpretá-la. Para isso, uma série de técnicas são usadas e muitas outras surgem com o passar do tempo. o mais famoso deles e o sistemas RSA O sistema consiste em escolher dois números primos grandes que depois de multiplicados geram um produto. A mensagem, então, é convertida em uma seqüência de números por algum método convencional e a seguir é codificada por uma operação baseada no número gerado. Essa mensagem só poderá ser decodificada por uma segunda operação matemáticas com base nos números primos originais. Mas, se alguém conseguir fatorar o número gerado, a mensagem poderá ser decifrada. Para que isso não ocorra, é imprescindível escolher números primos suficientemente grandes. Em 1977 um código de 125 dígitos - o produto de dois números primos de aproximadamente 63 dígitos - seria seguro, pois levaria cerca de 40 quatrilhões de anos para ser quebrado pelos mais rápidos computadores. Hoje com os computadores modernos não levaria mais de um ano. (superinteresante-1989/emerson alecrim- O Cifrário de Julio Cesar 2005) 113 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  19. 19. COLÉGIO OPÇÃO Atividade investigadora Envie uma mensagem criptografada para alguém da, usando o método baseado no do imperador Julio césar: por exemplo, usemos uma “chave parecido com esta: Alfabeto na ordem normal a b c d e f j k l m n o Alfabeto em ordem normal, mas com o “inicio alterado” A palavra bebê, por exemplo, fica criptografada assim “knkn” Agora é com você uma fonte parecida com esta e crie mensagens. Você seria capaz de obter outra “chave criptográfica? 3.6 O MDC O maior dos divisores comum de dois ou mais números chama-se máximo divisor comum (m.d.c.) Exemplo: Qual é o m d c entre 8 e 12? Temos: • Divisor de 8 = {1, 2, 4, 8} • Divisores de 12 = {1, 2, 4} • Divisores comuns de 8 e 12 {1, 2, 4} O maior desses divisores comuns é 4. Então: m.d.c. (8, 12) = 4 Exercícios de fixação 1. Escreva o conjunto dos divisores de: A) 6 c) 9 e) 12 B) 8 d) 10 f) 15 2. Escreva os conjuntos dos divisores comuns de A) 6 e 12 e) 8 e 12 B) 9 e 12 f) 9 e 15 C) 8 e 20 g) 6, 12 e 15 D) 10 e 15 h) 12, 20 e 24 3. Baseado nos resultado dos exercícios anteriores determine A) m.d.c. (6, 12) e) m.d.c.(8, 12) B) m.d.c.(9,12) f) m.d.c.(9, 1 5 C) m.d.c.(8, 20) g) m.d.c.( 6, 12, 15) D) m.d.c. (10, 15) h) m.d.c. (12, 20, 24) Processos práticos para determinação do m.d.c Existem muitos modos de determinarmos o m.d.c vejamos aprender alguns deles Método 1 Método 2 114 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  20. 20. COLÉGIO OPÇÃO 3.7. Conjunto dos múltiplos de um número natural: Os múltiplos de número natural qualquer são determinados a partir de multiplicações, desse número natural, pela seqüência dos números naturais. Exemplos: m (3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15,...} m (5) = {0, 5, 10, 15, 20, 25,...} 3.8. O MMC Dados dois ou mais números naturais, chamamos de mmc desses números o menor número, diferente de zero, que é múltiplo ao mesmo tempo dos números considerados. Exemplos: Vamos calcular o mmc entre 2 e 3: Inicialmente, determinamos o conjunto dos múltiplos dos números dados. M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18,...} M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ...} Observe que 0, 6, 12, 18 são múltiplos comuns de 2 e 3. Logo, o menor múltiplo comum, diferente de zero de 2 e 3 é 6. Então: m.m.c (2, 3) = 6 Métodos práticos para o cálculo do m.m.c: Metodo1 Método 2 Exercícios 1) calcule o conjunto dos múltiplos de: A) 7 d) 16 g) 4 B) 9 e) 18 h) 23 C) 13 f) 20 i) 30 2) dados os números 5,10 e15, escreva: A) os conjuntos m(5), m(10) e m(15); B) o mmc(5,10,15) 3) calcule o mmc, entre os números abaixo, através do método da decomposição: 115 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  21. 21. COLÉGIO OPÇÃO A) 4 e 18 b) 9 e 24 c) 3, 8 e 12 d) 18, 12 e 30 e) 12, 20 e 36 4) calcule o mmc pelo método da decomposição simultânea: A) 18, 30 e 48 b) 6, 12 e 28 c) 36,120 e 60 d) 8, 24 e 48 5) numa competição, participaram juntos dois ciclistas. O primeiro leva 20 segundos para dar uma volta completa na pista, e o segundo leva 18 segundos. Eles estarão juntos novamente depois de quantos segundos? 6) dois semáforos de transito estão sincronizados da seguinte maneira, o primeiro aponta o sinal verde de 120 em 120 segundos, e o segundo de 50 em 50 segundos. após quanto tempo, os dois sinais estarão apontando, ao mesmo tempo, o sinal verde? Exercícios de fixação Faça no seu caderno 1. Determine o m.d.c dos números, usando qualquer processo estudado: A) m.d.c (35, 10) c) m.d.c (15, 40) B) m.d.c (30, 18) d) m.d.c (46, 22) 2. Determine o m.d.c dos números, usando qualquer processo estudado: A) m.d.c (130, 20) c) m.d.c (110, 82) B) m.d.c (36, 120) d) m.d.c (124, 244) 3. Determine o m.d.c dos números, usando qualquer processo estudado: A) m.d.c (48, 80, 72) m.d.c (84, 162, 210) B) m.d.c (28, 16, 12) m.d.c (520, 650, 720) 4. Qual é o maior número que divide 18, 36 e 27 5. Qual é o maior número que divide 24 ,96, 40, e 100 6. Sejam os números a b e c dados pelas suas fatorações completas: • A = 52 x 7 x 112 • B = 2 x 3 x 72 x 11 • C = 2 x 52 x 7 x 13 Encontre os valores de: A) m.d.c. (a, b) c) m.d.c. (b, c) B) m.d.c. (a, c) c) m.d.c. (a, b, c) 7. Dois rolos de corra de 200 metros e 240 metros de comprimento precisam ser cortados em pedaços iguais e no maior comprimento possível. 200 240 Responda: A) m.d.c. (a, b) c) m.d.c. (b, c) B) m.d.c. (a, c) d) m.d.c. (a, b, c) 116 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  22. 22. COLÉGIO OPÇÃO 8. Três peças de tecidos que medem, respectivamente, 12m, 30m e 54m, devem ser cortadas todos em pedaços de mesmo comprimento e do maior tamanho possível, sem que aja sobra em cada uma delas. Quanto medira cada pedaço? 9. Todos os alunos de uma escola de 2º grau participam de uma gincana. para essa competição, cada equipe será formada por alunos de ema mesma série com o mesmo número de participantes. Veja no quadra a distribuição de alunos por série: Número de Série alunos 1ª 120 2ª 108 3ª 100 Responda: A) qual o número máximo de alunos por equipe? B) quantas serão as equipes da 1ª série? C) quantas serão as equipes da 2ª série? D) quantas serão as equipes da 3ª série? 10. Responda: A) quais são os divisores de 5? B) quais são os divisores de 7? C) qual o único divisor comum de 5 e 8? D) qual o m.d.c. De (5, 8)? 11. Responda: A) quais são os divisores de 4? B) quais são os divisores de 7? C) qual é o único divisor comum de 4 e 7? D) os número 4 e 7 são primos entre si .por quê? 12. Quais números a seguir são primos entre si? A) 4 e 9 d) 12 e 15 g) 17 e 34 B) 8 e 15 e) 13 e 14 h) 21 e 63 C) 6 e 10 f) 20 e 27 i) 33 e 77 4 UMA NOVA OPERAÇÃO:POTENCIAÇÃO 117 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  23. 23. COLÉGIO OPÇÃO ATIVIDADE INVESTIGADORA: Vamos agora aprender uma nova operação com os números naturais, para isso vamos fazer uso de uma calculadora comum e primeiro vamos nos acostumar com ela. Façamos o exercício da pagina 104 novamente agora com a ajuda da calculadora. 4.1 OPERANDO COM POTENCIAS NA CALCULADORA Vamos agora fazer nosso primeiro exemplo:siga os passos Digite na calculadora 3x2 e aperte a tecla de igual repetidas vezes preenchendo a tabela a seguir: T E 3 X 2 = = = = = = = = = = C L A V 3 3 2 6 1 I S 2 O R Agora seguindo o mesmo raciocínio faremos as dez primeiras potencias de 2 para isso digite na calculadora 1x2 e novamente aperte a tecla de igual repetidas vezes completando a tabela T 1 X 2 = = = = = = = = = = E C L A V 1 1 2 2 4 8 I S O R Expoente Potencia Outra maneira de expressar esse problema é usando uma tabela de potência n 2n 1 2 Onde n é chamado de expoente e 2 4 3 8 2n é a potência resultante 4 16 5 32 6 64 7 128 8 256 9 512 10 1024 118 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  24. 24. COLÉGIO OPÇÃO Exercício de fixação 1-Façamos uma tabela de potencias, com a ajuda da calculadora, com as potencias de 3 e de 5 de 1 até 16. 2-Explore outras seqüências de teclas, o que você descobriu? a) 2 + 3 = = = = = = b) 5 + 2 = = = = = = c) 10 x 10 = = = = = = = . . d) 2 x 3 = = = = = = .. e) 3 x 2 = = = = = = .. 3- Qual o valor de uma potência de base 6 e expoente 4? 4- Usando os símbolos < , > ou =, complete as sentenças para que sejam verdadeiras : A) 1001 _______ 1100 b) 5³ _______ 20² c) 2 2 ________ 2³ 5-Uma colônia de bactérias em possui uma quantidade de 50 bactérias inicialmente e começa a se “duplicar” a cada minuto que se passa. Quantas bactérias existiram apos 12 minutos de duplicação? Note que: a potenciação nada mais é que o produto de fatores iguais 41 = 4 42 = 4 X 4 = 16 43 = 4 X 4 X 4 = 64 44 = 4 X 4 X 4 X 4 = 256 TEXTO COMPLEMENTAR COMO NASCE UM PARADIGMA Um grupo de cientistas colocou cinco macacos numa jaula, em cujo centro puseram uma escada e, sobre ela, um cacho de bananas. Quando um macaco subia a escada para apanhar as bananas, os cientistas lançavam um jato de água fria nos que estavam no chão. Depois de certo tempo, quando um macaco ia subir a escada, os outros o enchiam de pancadas. Passado mais algum tempo, nenhum macaco subia mais a escada, apesar da tentação das bananas. Então, os cientistas substituíram um dos cinco macacos. A primeira coisa que ele fez foi subir a escada, dela sendo rapidamente retirado pelos outros, que o surraram. Depois de algumas surras, o novo integrante do grupo não mais subia a escada. Um segundo foi substituído, e o mesmo ocorreu, tendo o primeiro substituto participado, com entusiasmo, da surra ao novato. Um terceiro foi trocado, e repetiu-se o fato. Um quarto e, finalmente, o último dos veteranos foi substituído. Os cientistas ficaram, então, com um grupo de cinco macacos que, mesmo nunca tendo tomado um banho frio, continuavam batendo naquele que tentasse chegar às bananas. Se fosse possível perguntar a algum deles porque batiam em quem tentasse subir a escada, com certeza a resposta seria: "Não sei, as coisas sempre foram assim por aqui..." “É MAIS FÁCIL DESINTEGRAR UM ÁTOMO DO QUE QUEBRAR UM PARADIGMA" Albert Einstein http://diogoalvesfaria.blog.uol.com.br 119 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  25. 25. COLÉGIO OPÇÃO Conhecimento complementar Você sabe calcular área de quadrados? 4.2 A RADIAÇÃO O QUE É UMA RAIZ QUADRADA? Ora alguma vez vida você já deve ter ouvido sobre RAIZ QUADRA não é verdade? Mas o que seria uma raiz quadrada? Por exemplo, o símbolo para a raiz quadrada de 9 é da seguinte forma Mas de onde veio esse símbolo e o que esse cálculo quer dizer?Você poderia dizer? Parece complicado, mas a coisa é bem mais simples isso aconteceu lá no passado, Quando traduziram a matemática do LATIM para o PORTUGUÊS!!! Radix quadratum 9 aequalis 3 Do Latim:O Lado (radix) do Quadrado de área 9 é igual a 3 Quadrado de lado3 120 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  26. 26. COLÉGIO OPÇÃO Ta aí o grande problema. Traduziram radix como raiz daí ela perdeu seu significado. Na verdade raiz quadrada quer dizer LADO DO QUADRADO! Observe agora de onde surge o símbolo (radical) da raiz quadrada. o radical veio da letra r do radix Podemos então pensar da seguinte maneira : Quanto é a raiz quadrada de 25? 25 =5, pois A área do quadrado é 25, pois esta divido em 25 partes iguais. O lado do quadrado é igual a 5. Assim a raiz quadrada de 25 é igual a 5. Quadrado de lado 5 Atividade investigadora √4 + √9 = V13?e √4 x √9 = √36 ? Note que: se 9 =3, isto que dizer que 3x3=9 Da mesma forma 25 =5,pois 5x5=25 logo a radiciação pode ser transformada em potenciação 3 4 Então quanto vale 8 =? e 64 = ? Exercício de fixação 1-usando a calculadora responda a seguinte questão: todas as radiciações são números naturais? Encontre por exemplo 45 e 8. 1 - Escreva na forma de potência: a) 5 . 5. 5. 5 b) 11. 11.11.11..11 c) 10 . 10. 10. 10. 10. 10 2 – Escreva na forma de produto e calcula as potências: a) 43 b) 210 c) 132 3 – Determine o valor de 8 x 2 e de 82. Qual dos dois valores é maior? 4 - Calcule o valor de: a)52 + 22 b) (5 + 2 )2 121 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  27. 27. COLÉGIO OPÇÃO c) 83 – 43 d) (8 – 4)3 5 – Escreva os números seguintes usando potências de 10: a) 1 000 000 000 (b) 2 000 000 (c) 80 000 000 6 – investigue o resultado das potências nas expressões. a) 73. 75 b) 53. 54. 52 c) 105: 105 d) 45: 43 e) (52)5 f) [(56)0]8 g) (7 . 10)3 h) ( 2 . 32 . 52)4 7 – O número 16 é um quadrado perfeito, tem raiz quadrada exata. Quais dos números seguintes são quadrados perfeitos? a) 1 b) 36 c) 40 d) 60 e) 49 f) 81 8- Resolva as expressões abaixo: a) √16 + √36 = 4 + 6 = b) √25 + √9 = 5 + 3 = c) √49 - √4 = 7 - 2 = d) √36- √1 = 6 - 1 = e) √9 + √100 = 3 + 10 = f) √4 x √9 = 2 x 3 = 122 5ª Série – Matemática – 1º Semestre

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