CADERNO DO FUTURO - MAT - 7° ANO.pdf

• NOMerOS
interns_.
•
NOmeros racionais
•
Equacoes e inequaqbes
• •
Sistemas equaciies_
0
• tialOes e wpm-6es
• • Bella de trey
•
Porcentagem eluro
• Geornetsia
•

•
•
•
•
•
•
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•
•
31P14,WA,
Colecao Caderno do Futuro
Matematica
IBEP, 2013
Diretor superintendente Jorge Yunes
Gerente editorial Celia de Assis
Editor Mizue Jyo
Assistente editorial Edson Rodrigues
Revisit, Maria Inez de Souza
Coordenadora de arte Karina Monteiro
Assistente de arte Manilla Vilela
Nane Carvalho
Carla Almeida Freire
Coordenadora de iconografia Maria do Ceu Pires Passuello
Assistente de iconografia Adriana Neves
Wilson de Castilho
Producio grafica Jose Ant6nio Ferraz
Assistente de producio grafica Eliane M. M. Ferreira
Projeto grafico Departamento de Arte Ibep
Capa Departamento de Arte Ibep
Editorasio eletronica N-PublicacOes
CIP-BRASIL. CATALOGAcAO-NA-FONTE
SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ
S58m
3. ed
Silva, Jorge Daniel
Matematica, 7° ano / Jorge Daniel da Silva, Valter dos Santos
Fernandes, Orlando Donisete Mabelini. - 3. ed. - Sao Paulo : IBEP,
2013.
; 28 cm (Caderno do futuro)
ISBN 978-85-342-3585-3 (aluno) - 978-85-342-3589-1 (professor)
I. Matematica (Ensino fundamental) - Estudo e ensino.
I. Fernandes, Valter dos Santos. II. Mabelini, Orlando Donisete.
III. Titulo. IV. Serie.
12-8692. CDD: 372.72
CDU: 373.3.016:510
27.11.12 03.12.12 041086
Reimpressao — 2013
34 edicao — Sao Paulo — 2013
Todos os direitos reservados.
IBEP
Av. Alexandre Mackenzie, 619 — Jaguare
Sao Paulo — SP — 05322-000 — Brasil — Tel.: (II) 2799-7799
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CTP, lmpressao e Acabamento IBEP Grafica
43125

SUMARIO
0 CAPITULO 1 - CONJUNTO DOS NUMEROS INTEIROS Z
*
00 CAPITULO 3 - NUMEROS RACIONAIS
0 CAPITULO 4 - EQUACOES ALGEBRICAS
•••
•
••
•
••••
••
••
••••••
•
•••••••••••••
••
1. 0 conjunto dos numeros inteiros (Z) 4
2. Sucessor e antecessor
de urn nCimero inteiro 8
3. Numeros opostos ou simetricos 9
4. Nikneros consecutivos 10
5. Valor absoluto ou modulo 10
CAPITULO 2 - OPERACOES EM Z
1. Adicao de dois numeros inteiros
de mesmo sinal 12
2. Adicao de dois numeros inteiros
de sinais diferentes 13
3. Subtracao de dois numeros inteiros 14
4. Resolucao de expressoes numericas 15
5. Multiplicagao de dois numeros inteiros 16
6. Divisao de dois numeros inteiros 19
7. Expressoes numericas 20
8. Potenciacao de numeros inteiros 21
9. Raiz quadrada de urn nOrnero inteiro 24
1. 0 conjunto dos numeros racionais 25
2. Adicao e subtragao corn fragOes 25
3. Adicao e subtracao de
numeros decimais 27
4. Multiplicacao e divisao de fragOes 28
5. Multiplicacao e divisao
de numeros decimais 30
6. Express"
cies numericas
corn numeros racionais 31
7. Potenciacao de numeros racionais 33
8. Raiz quadrada de urn numero racional 36
9. Expressoes numericas
corn numeros racionais 36
1. Equagoes 39
2. Equagao de 1 2 grau 48
3. Problemas corn equagOes de 1 2 grau 49
0 CAPITULO 5 - INEQUACOES
1. Inequagao 56
2. Resolugao de uma
inequagao de 1° grau 57
CAPITULO 6 - SISTEMAS DE Mgt-1ES
1. Tecnicas operatorias para
resolugao de sistemas 62
2. Sistema de equagOes corn
numeros fracionarios 69
3. Problemas corn equacOes de
1° grau corn duas variaveis 71
CAPITULO 7 - RAZOES E PROPOKOES
1. Razao entre duas grandezas 74
2. Velocidade media 74
3. Densidade demografica 75
4. Escala 75
5. Proporgao 76
0 CAPITULO 8 - GRANDEZAS PROPORCIONAIS
0
1. Regra de tits 79
2. Regra de tits simples 79
3. Regra de tits composta 82
CAPITULO 9 - PORCENTAGEM E JURO
1. Porcentagem 85
2. Juro simples 88
1. Angulos 91
2. Conversao das unidades
de medida de angulos 92
3. Operagoes corn medidas de angulos 93
4. Angulo reto, angulo agudo
e angulo obtuso 96
5. Angulos congruentes 97
6. Angulos complementares
e angulos suplementares 97
7. Triangulos 101
8. Quadrilateros 103
9. Circunferencia 105
10. Arco, corda e diametro 105
11. Solidos geornetricos 111
12. Corpos redondos 113

el
oe
No conjunto dos numeros naturais
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}, as subtracoes
em que o minuendo é menor que o
subtraendo sao impossiveis, pois o
resultado nao pertence a esse conjunto.
Exemplo: 4 - 7 = ?
No conjunto dos numeros inteiros (Z)
essa operacao é possivel.
0 conjunto Z é formado pet° conjunto
dos numeros naturais corn seus
respectivos opostos (negativos).
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
reta numerica
I I I I
...-3 -2 -1 0 1 2 3...
inteiros negativos inteiros positivos
origem
• 0 ntInnero -8 Le-se oito negativo.
• 0 numero +3 le-se tres positivo.
0_
e) 1 - 0 =
f )__7 - 7
possivel, 1
possivel, 0
C
b) +5
c) -9
cinco positivo
nove negativo
- 9 = impossivel
AD-
O
crevaromo se la_estes numeros
seis negativo
zero
•
3. Comumente, os valores de temperaturas
negativas sä indicados pela expressacT-e-
"abaixo de zero" e as positives pela
expressao "acima de zero". Entao, "5°C
abaixo de 7Ar0" norresponde a -5°C e
"20°C acima_deiera" norresponde a
411
Fscreva os numeros que representam
+20°C.
1. Conjunto tlosnimeros
inteiros (Z)
CAPITULO 1 - CONJUNTO DOS NOMEROS INTEIROS Z
1. Considerando o conjunto dos_ntimeros
naturais_N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 4,
classifiqi JR as operagOes em possivel ou
impossivel. Quando possivel, calcule o
resultado.
possivel, 3
a) 4 -1
impossivel
b) 7-11 =
c) 8 + 12 =
0
possivel, 20
estas temperaturas.
-8°C
al 3°C ahaixo de zero
h) 37°C anima de zero +37°C
c) 32°C abaixo de zero -32°C
+5°C
d)___510acima de zero
1

apresentadas
a) credito de R$ 2 000,00 +2 000,00
h) debit° rip R$500,00_ —
500,00
—
1 000,00
c) dehito de. RSA. 000,00
d) arAdito de R$ 10,00 +10,00
—200 m
nivel_ do mar.
desse predio aparecerno zero, numeros
positivos e_negativos
5. 0 quadro a seguir apresenta o extrato da
movimentacio
data
+800 (saldo)
+300 (depOsito)
- 500 (retirada)
06/03
09/03
10/03
6. aaitimetrae
' um aparelhaquaregistra___
altitudes. sao positivas as altitudes
acima do nivel do mar e negativas as
que estao abaixo_Indique corn a nbrnero
as altitudes positivas ou negativas
apresentaclas_
0 numero zero.
b) 0 primeiro subsolo e indicado por -1 no
painel dos elevadores._Qual a indicagao
do segundo subsolo?
a
a
•
•
a
a
a
a
a
4. Fm igna conta hancAria as saldos
If •
positivos, "creditos" Assim,_um debito_
de R$ 600,00 indica-se por -600 e urn
credit° de R$ 800,00, por +800, par
exemplo
Fscreva as niimeras que representa avido esta,_aproximariamente,
saldos positivos ou negativos das contas 1 800 m acima do nivel do mar
+800,0(1 + 300,0(1 =
+1 100,00 - 500,00 = +600,00
_BaspostaL0_saldo del riz m 1_01113 é de
R
+1 800 m
h) Urn submarino estA 200 m ahaixo do
7. 0 edificio Brisamar tem_19_andares e
2 subsolos_Nonel dos elevadores

A Halanda b urn pals da Europa que
_9.
7wi
Ti
8. 0 quadro mostra os resultados de uma
rodada_de um_carnpeonato_envolvendo apresenta parte de seu territorio_abaixo
os times_Palmeiras, Flamengo e GrAmio. do nivel do mar. Ynaro visitou uma cidade
Desi
Palmeiras 3 x 1 Flamengo
5 m abaixo do nivel do mar e foi, em
12 jogo
seguida, visitar outra 245 m acima do
Gremio 1 x 2 Flamengo
2° jogo nivel domar._ ID
Palmeiras 2 x 3 Gremio
a) Represente as altitudes rigs dues cidades
3° jogo s
corn nOmeros positivos e negativos.
0 regulamento estabelece_que, em naso
1a cidade: I m
de de
empate no niimero vitories, a
2a cidade: _71 ,- m
campe:o sera o time que obtiver o major
saldo de gols_(diferenca entre o niimero. h) Qual a_diferenca de altitude entre essas
0--
de gols marcados e 0 nOrnero de gols dues cidades? 0
+245 — (-5) = +245 +_(+5) = 245 + 5 = 250 m
sofridos). Responda:
ED
lit
ID
a) Qua' o saldo de cada time ern_cada jog°
II
II
e o saldo final? ______10.Emrieterminaclarnanhiide_ inverno_ da
1° 2°
jogo
39 saldo
final
cidade de Gramado, a temperature
jogo jogo
foi de °C Drente tarde
verificada -2 a
Palmeiras
•
CIPSCP mesmo dia, a temperatur. •
Flamengo -1
________
4 °C e, durante a noite, caiu 7 °C. Que
+1 0
Gremio temperature marnava o termOrnetm na 11
manila se.gilinte?
ID
h) OHM o time campeao?
Pali, luil d., Tarcie : —2 °C + 4 °C = +2 °C
ID
Nolte . +2 '0 — 7 °C, = —500
:- •• . - .
II
O
"I

a) N
h) N
7
[0,1,2,3,4,...
{1, 2, 3, 4, 5,...)
-2,-1 ,O, 1 , 2,...)
d) 7* {-2, -1,1, 2,3...
11. Escreva cada conjunto numeric° corn
no minim° 5 Mementos
S
AV-
•
{1, 2, 3, 4, 5,...)
0 > -2
h) -5 < -16
) -82 < -45
(1) -36 > -76
pl) -100 < -200
f) -1000 > -100
*(
CO
Os numeros 0, -1, -2, -3, -4, ...
chamam -se inteiros nao- positivos e sao
representados por:
Z_ = {..., -4, -3, -2, -1, 0}.
Os numeros 0, 1, 2, 3, ..., que tambem
sao escritos 0, +1, +2, +3, ..., chamam-
se inteiros nao- negativos e sao
representados por:
Z = {0, 1, 2, 3, ...}, que é o proprio
conjunto dos numeros naturais, ou seja,
Z
+
= N.
Observe:
a) Z_ U Z+ = Z
b) Z_ U Z+ = {0}
c) Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...} é o
conjunto dos numeros inteiros nao-nulos
(sem o zero).
verciadeiras, (V) ou falsas, (F)
a) 0 E Z
I)) -5 E N F
c) 8 E Z*+
d) - 1 E Z
) -1 F 7*
13.,Naretanumerica,uninumero
localizacio A direita de outro é major
que o que esta Iocalizado a sua
esqiiercia Assim, > -8, pois -6 esta
a direita de -8 Escreva nos oarAnteses
V ou F.

14. 0 esquema a seguir mnstra uma reta 2. Sucessor e antecessor de
ntimArica, em que as tetras A, B, e D,
representam numeros inteiros. Observe a
localizacao do.zero, responda e justifique
c) 0 numero B e positivo?
Sim, pois esta A direita do zero.
d) C > D?
Sim, pois C esta ci direita de D.
e) A < B?
um numero inteiro
0 sucessor de um numero inteiro e o
inteiro que esta imediatamente a sua
direita. E o numero que vem depois.
Exemplo: o sucessor de -10 é -9 e o
sucessor de 5 é 6.
0 antecessor de urn numero inteiro e o
inteiro que esta imediatamente a sua
esquerda. E o numero que vem antes.
Exemplo: o antecessor de -8 é -9 e o
antecessor de 10 é 9.
15. Fscreva estes numeros inteiros em
ordem crescente utilizando os sinais
-15, 8 , 3 ,-11 , 10 e-6
de < e >.
—15 < —11 < —6 < 3 < 8 < 1 n
16. Responda.
pois A esta a esquerda de B. 15
a) Qual é o si icessor de 14 9
f) Qual o maior desses numeros?
b) Qual é o sucessor de -11?
B, pois esta a direita de todos Os outros
g) o menor desses numeros? c -4 sucessor de qua' numero?
os itens que segt JAM.
D C A B
0
'meraik_e_negathto9
pois esta a direita do zero.
Sim, pois esta a esquerda do zero.
_Qual e o sucessorde -1? 0
D, pois esta a esquerda de todos os outros.
S
ID
411
•
ID
S
ID
S
ID
S
41
ID
•
ID
ID
411
ID
S
ID_
e Todo numero inteiro tern sucessor?

a) Qual é o antecessor de -1571 —16
b) Qual é ü sucessor de -100? -99
c) Qual é o numero que tem simetrico igual
ao antecessor de 1371
sucessor de._11?
d) Qual é o numero que tern oposto igual ao
e) Qual e o oposto do antenessor de -20?
15
g) Qual é o oposto do simetrico de 15?
h) Qual é o sucessor do antecessor de 5?
Numeros opostos ou simetricos sac)
aqueles que estao localizados na reta
numerica a mesma distancia do zero.
Exemplo: o numero 3 e o numero -3 sao
opostos.
3 unidades 3 unidades
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
• 17. Responda.
a) Qual antecessor de 12?
• _b)QuaLOoantecessor_de -15?
IV—
c) Qual P o oposto do oposto de 10?
10
d) Qua! P n simetrico DU oposto de zero?
11
-
c) -2 é antecessor de qual numero?
d) Qtial 6 o antecessor de 1?
L
igual ao sucessor de -6? 5
•
•
4111
Sim
SO
18. Fliane maim! 1 errwmareta numerics_
1111
•
a partirdo_ntimern -9. Qual numero ao antecessor de 8?
urn numero 8 unidades para a direita Qual Q n numero que tern oposto iguaL
e) Todo numero inteiralem antecessor? _20. Qual e o numero que tenisimetrico
•
•
•
• —1. —Wirneros opostos ou
smieticos
S
•
•
•
•
•
•
• 19. Responda.
110 a) Qual é o simetrico de 10? —10
410
Eli
b) Qual e o simetrico ou oposto de -1?
•
Diane marcoli?
Resposta: Diane marcou o numero -
_22. Resolva._

eros consecuEvos_____ 25, Escreva urn trio cla_nOmeros
consecutivos dalorma que•
a)._os tres sejam positives.
sposta soal
b) os tres sejam_negativos.
Resposta pessoal
sponda._
Qual é o consecutivo de -5 9 L _ c) somente urn dos tres_sejanegativa_
- 1, 0, 1
b) Qua' e o consecutivo de -10 9
d) snmente um dos tres seja positivo.
- 1, 0, 1
c) Qual é o consecutivo de 0?
—2 sao consecutivos? Sim
vaum par de numeros
consecutivos de forma clue:
. 11 • • " . 11 • •
0 valor absoluto ou modulo de urn
numero e o valor desse numero sem
considerar seu sinal.
I —3 I = 3 (le-se: o modulo ou valor
absoluto de tres negativo é igual a tres
I +7 I = 7 (le-se: o modulo ou valor
absoluto de sete positivo e sete).
Resposta pessoal
termine o valor de:—
. 11 • • .11 " •
Nao existe
111
Urn numero e seu antecessor, ou um
numero e seu sucessor formam pares de
numeros consecutivos.
Exemplo: 5 e 6 sac) numeros
consecutivos.

•
•
•
e) 1.6-
f) 1= 0
+(-9
r) = 2
27. Determine se as sentengas a seguir saw___- 4 = 4
verdadeiras (V) ou falsas (F).. _
=
-H3 4= 8
• b) 101=0
a 1 7-1 =
d) 0 oposto de -10 6 10.
e) 0 oposto de 6 é -6. V
Aosimetriccute -4 é 4
9. Determine se_as sentengas._sao
verdadeiras (V) nu falsas (F).
) -(-3) é o oposto de -3.
42)_6 o_oposto de 2.
-9 indica o oposto de 9.
'mine os parentese
expressoes.
a) -(+8) =_ -8
•
0 sinal +, antes de urn numero, pode ser
dispensado, pois +5 = 5.
Ja o sinal - indica que esse numero é o
oposto de outro.
• - (+5) indica o oposto de +5, que é -5,
ou seja, - (+5) = -5
Exemplos:
+(-3) = -3
+(+7) = +7 = 7
-(-3) = +3 = 3
-(+7) = -7

1. Efetue as adigOes.
e) (-3) + (-2)=
-2
0
1_,Adicao de dois mimeros inteiros de mesmo sinal
0CAPITULO 2 - OPERAcOES EM Z
•
111
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
1) Vamos calcular (+3) + (+5).
Na reta numerica, partindo do zero (origem), deslocamos 3 unidades para a direita e, desse
ponto, deslocamos mais 5 unidades tambern para a direita, uma vez que os nilmeros sao
positivos.
+3 +5
►1 ► I
I- I I I I I ►
...-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9...
+8
Entao: (+3) + (+5) = +8 = 8
2) Vamos calcular (-3) + (-5).
Na reta numerica, partindo do zero (origem), deslocamos 3 unidades para a esquerda e, desse
ponto, deslocamos mais 5 unidades tambem para a esquerda, uma vez que os numeros sao
negativos.
1
-5
14
-3
4
I I I I I I I ►
...-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4...
I.
Entao: (-3) + (-5) = -8
• Na adicao de nilmeros inteiros de mesmo sinal, adicionamos os valores absolutos e
conservamos o sinal comum.
-8

...-5 -4 -3
Entao: (-3) + (+7) = +4 = 4
-2 -1 0 1 2 3 4 5...
► 1
+4
I
1 2 4
1 1 1 I
-4 -3 -2 -1 0
= 1 (+7) =
•
• 2. icao e ols numeros inteiros de sinais diferentes
+1) + (-4) + (+10) =
=(- 3) -0+101= 7_ __
• + (+3)__=
•
•
•
•
•
•
i) (-8) + (+8) =
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
a) (+8) + _(-5) =
._b) (+15) +_(=3)_=
c) (+10) + (-4) =
d) + (+20) =
e) (-30) + (±10) =
-f)—(+-1) + (-8) =
g) (+3) ± (-10)
h) (-4) + (+1) =
2. Calcule as adigoes.
—3
3
0
—20
Efetue estas adigoes.
•
1) Vamos calcular (-3) + (+7).
Na reta numerica, partindo do zero (origem), deslocamos 3 unidades para a esquerda e, desse
ponto, deslocamos mais 7 unidades para a direita; uma vez que o primeiro numero é negativo e o
segundo, positivo:
-3
2) Vamos calcular (+3) + (-7).
Na reta numerica, partindo do zero (origem), deslocamos 3 unidades para a direita e, desse
ponto, deslocamos 7 unidades para a esquerda, uma vez que o primeiro numero é positivo e o
segundo, negativo.
+3
-4
Entao: (+3) + (-7) = -4
• Na adicao de numeros inteiros de sinais diferentes, calculamos a diferenca entre o numero
maior e o menor, e atribuimos o sinal do numero maior ao resultado.
6.0
A adicao de mais de dois nitmeros
inteiros de sinais diferentes deve ser
feita por agrupamento. Exemplo:
(+3) + (-5) + (-7 ) =
= (-2) + (-7) = -9
+8) + (-3) + (+7) =

ego
• Para eliminar os parenteses que vem
depois do sinal negativo (—) trocamos
o sinal do nUmero de dentro dos
parenteses. Exemplo:
(+8) — (+2) = +8 — 2 = +8 —2 = +6 = 6
• Para obter a diferenca entre dois
numeros inteiros, adicionamos ao
primeiro o oposto do segundo.
Exemplos:
a) (+5) — (-3) = +5 + 3 = +8 = 8
b) (-4) — (+1) = —4 —1 = —5
c) (+3) — (-2) + (+7) =
= +3 + 2 + 7 = 5 + 7 = 12
(-5) + (-3) =
—5-3=-8
b) (+7) + (+2) + (-8) =
c) (+15) + (-1) + (-7) =
= -Ei - -7 =
= ±14 - 7 = 7
d) (+8) + (+3) + (-10) =
=+8+3-10=
= -L. 3_ =
f) (+5) + (0) — (-5) =
=-E5+5=10
g) (-12) — (+3) — (-20) =
h) (-5) + (-.8) - (+ 5) =
- 5 - 8 - 5 =
_ -13 - 5 = - 18
,) (+2) + (-8) = .) (-5) - (+R) =
= (- 7) + (- 8) = - 15 = - 5 - 8 = - 13
d) (-5) + (-2) + (+3) = d) (+10) — (-20) =
= (-7)-
±-(±4 = +10 + 20 = 30
e) (- 12) + (-9) + (+1) = e) (+18) — (+15) =
,-J,721) + (+1) = —20 =18-15=3
f) +8). +4+10) +. (- 15) + (-20) =
= (+2) + (-35) = —33
3. SubbsaVao de dois
numeros intairos
f) (-1)— (-2) =
= —1+2= 1
5. Ffetue as_operagOes
4. Ffetue as subtragOes
a) (+3) - (+5) =
= +3 = —2_
b) (+10) — (-9) =
= TIU J = 1:3
0

4:1Resolii00 de expressoes
numeiricas
•
•
•
•
•
Na resolucao de expressties numericas
em que aparecem parenteses, colchetes
e chaves, efetuamos as operacaes na
seguinte ordem:
12: resolvemos o que esta nos parenteses,
eliminando-os.
22: resolvemos o que esta nos colchetes,
eliminando-os.
32: resolvemos o que esta nas Chaves.
Exemplos:
a) 7 =
= 7 + 8 =
= 15
b) — [4 + (3 8) — 9] =
= —[4 -F(-5) — 9] =
= —[4 — 5 — 9] =
= -[-10] =
= +10 = 10
c) {-5 + [7 — (3 + 1) — 10] + 2} =
= {-5 + [7 T
4+4) — 10] + 2} =
= {-5 + [7 — 4 — 10] + 2} =
= {-5 +47] + 2} =
={-5 — 7 + 2} =
= {-10} = -10
•
•
•
•
•
•
•
av--
a-
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• -
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
b) (13 — 4)— 8 =
6. Resolva as expressbes.
a) 5 + (3 — 1) =
c) 12 - (7 - 3) =
d) (20 - 3) 7 + 5
e) 5 - 3 +(2 - 5)1=
f 3 — [5 — (4 — 6)1=
3 - [5 - (-2)] =
[5 + 2]
= _3 = -4
g) 2 + [8 - (7 - 5) + 3] =
+ 3] =
= 2 +
h) -8 + [4 - (7 - 13)- 1] + 5
-844 ±6) - 1] + 5. =
-8 +44 + 6 - 1] + 5 =
-8 + 9 + 5_ = 6
1 — [5 + (1 — 9)] =
— r-j)] =

•
=13 -_(7 + 5)]
—13 — [10 — 12] =
= —13 — [-21
= —13 + —11
I•c) — [32 — (50 — 20)]1 =
{5 — [32 — 30])
= {5 — 2) =
I) {16 — [12 + (20 — 25)]} =
-(-5)il =
= q
•
5. MultiphcacWdedois
numeros inteiros
GOO
• Quando os dois numeros tern sinais
iguais: o produto é sempre urn nCimero
positivo. Seu valor absoluto é igual
ao produto dos numeros dados sem o
sinal. Exemplos:
• (+5) x (+2) = 5 • 2 = 10
• (-1) x (-4) = + (1 x 4) = +4
• Quando os dois numeros tern sinais
diferentes: o produto é sempre urn
riner° negativo. Seu valor absoluto
e igual ao produto dos numeros dados
sem o sinal. Exemplos:
• (-3) • (+2) = — (3 • 2) = —6
• (+2) • (-4) = — (2 • 4) = —8 , r
•
m) 10 — [30 + [4 — (5 + 2)]} =
10 — 1 [4
= 10 — {30 + [-3 )
= 1_0_-7421)
— 27 = —17
7. Efetue as multiplicagoes.
a) (+3) • (+2) = +6 = 6
ADY (+8) • (+3) +?4 = 24
n) (+7) • (+1) = +7 = 7
n) -2 - {5 - [3 - (-3 - 1)])
- 2 - (5 - [3 - (-4)]) =
= -2 -[5 -[7])
= - 2 -[5- 7)
— -
-[-2)
_= + 2
ii) (+8) • (-4) -32
e) (+1) • (-A) = -q
f) (-8) • (+ 1)--
--=8
•
g) (+10) • (+9) =
h) (-F1). (+15) = +15 = 15
-41

•
• m) (+2) • (+35) =
•
=14
•
•
•
•
(-4) • (+12) = -48 8. Ffett le as mtiltiplinacnes.
a) A-4) • (-5) • (+2) =
it (+3) • (+74,
, -E21 -
-- 21 = (+20) • (+2) =
• =
• k) (+3) • (-2) =
•
• b) (-7) • (+2) • (-1) =
-4) (+7) = - 28
= (-14) • (-1) ,
• n) (+21) • (-12) = -252 c) (+9) • (-2) • (+5) =
• =_H 74+4=
• Multiplicacio com mais de 2 fatores = - 90
•
• Na multiplicagdo de mais de dois numeros
•
inteiros, multiplicamos por agrupamento.
Exemplos:
•
d) (-5) • (+3) • (-2) =
• • (-3) • (-5) •
(4) .
• =
- (1k. j_178) • (-5) =
• =(-120) • (-5) =
• _
= 600
0E-
•
•
•
= (-F6) • (-1 ) • (-2) • (-1) =
•
•
• f) (-1) • (-4) • (+3) • (-2) =
= -24
•
•
•
•
•
(+2) • (+3) • (-1) • (-2) • (-1) =
= (-6) • (-2) • (-1) =
= (+12) • (-1) =
= -12
= 30
(-10) • (+2) • ( 3
= -60
•
• (-)• (-5) • (+4) • (-2) • (-1) =
= (+15) - (+4) • (-2) • (-1) =
(+60) • (-2) • (-1) =
= (-120) (-1)
= +120 = 120
1
= (+4) • (-6) =

g) (-5) • (-3) =
= (+15) • (-24) =
--,-- - 360
= -240
j) (-1) • (+1) • ) •
-32
h) (+10) • (-2) • (+1)• (-3) • (+2.) =
= (_-2O) • (-3) • (+-2)-=
= (-20), (-6) =
= 121
i) (- 3) • (+2) • (-1) • (+4) • (-10) =
Propriedade distributive da multipticacio
Exemplos:
a) (-2) • (5 ® 3) =
= (-2) • (+5) ® (-2) • (+3) =
= -10 + (-6) = -10 - 6 = -10 + (-6) =
= -16
b) (-3) • (789) =
= (-3) • (+7) O+• (-9) =
= -21 + (+27) = -21 + 27 = -F6 = 6
9. Aplique a propriedade distributiva e
efetue as operactjes.
a) (-3)48 + 4) =
=1-b) • (-44 4=1-i-j)=
=4-6) • (40) =
= (±8) + (-3) • (±4)-
-
--
= (-24) + (-12) = -36
b)_ _(±5) (10+3)=
=-(-1 ) • (-1) • (7-
-1)-=
, (+1) • (-1),
(+5) • (on) + (+5) (+3) -
k) (-2) • (-9) • (-2) • (-2) • (-2) =
(+-
4)-• (44)-• (-2) -
_ • (=1)•(-1) • (-1_)_•_ (-1)2
= (+1) • (+ 1) • (+1) =
= (+50) + (+15) = +65 = 65
- • (5 +1_) =
(+5) +
0)_+4,2) - 12
d) (-3) • (-2 - 5) =
= (-3) • (-2) + (-3) • (-5) =
= 1

(-10) ÷ (+2)
- 5
h) (-4) + 1
- 4
(-4) (-4) =
+1 = 1
n) (+18)÷ +9 =
Para a divisao de inteiros, valem as
mesmas regras de sinais da multiplicacao.
• Sinais iguais: o quociente é urn
marnero positivo. Seu valor absoluto é
igual ao quociente dos numeros dados
• (+10) + (+2) = +5
• (-4) (-2) = +2
• Sinais diferentes: o quociente é urn
numero negativo. Seu valor absoluto é
igual ao quociente dos mjrneros dados
• (+4) + (-2) = —2
• (-8) + (+8) = —1
k) (+24).
10. Efetue as divisdes.
I) (-18) +(=1)_=
m) (+15) -L (+1) =
+15 = 15
d) (-20) ÷ (-10) =
o) (-32) + (+2) =
-16
4,2)J-40)(+20) =
- 2
•
•
•
• Dansaa_dellois
ninneros inteiros
•
•
•
•
•
•
a
•
•
•
•
ar-
o
•
•
•
•
•
• a) (+8) - (+2) =
•
_
•
h) (+30) + (+1 0) =
• +3 = 3
•
• c)(-12)-(-3)=
•
•
•
•
•
•
• e)(+5)-(-1
•
•
•
•
t)—(+---1-5)-÷+5) =
- 3
+2 = 2

11. Ffptt IP as operacOes
a) - 7 x 3 =
3 - 21 = - 18
=
5 + 16 = 21
c) 50 — 25 x 2 =
50 - 50 =
_..e) 15 = 5 — 10 =
3
h) {2 + [3 ÷ (10 — 11) + 1] =
- 1" • ' '
= {2 + [-3 + 1] ÷ =
={2 +(-2) = 2}
=
5 x [(8 - 5) x (2 + 7)] =
•••
••
•
•••
•
••
••
•
•••
•
••
•
•
•••
•••
••
••
••
•
•••
•
•••
5 x [3 x 9] = 5 x 27 = 135
j) {[(A + 4) -- 3] x (3 — 1)1 =
= 4 x 2 = 8
k) ([(50 x 3) + (2 x 25) ÷ 4 =
= ÷ 4 =
= 200 ÷ 4 = 5
1:-Expressties numeticas _d) 30 + ÷ (-2)
30 — 4 = 26
3 + 6 x 2 — 15 ÷ (-3) =
IL
4 — [2 x (8 — 12)] ÷ 2} =
=(r — (-4)1 - 4 ±8.] ÷ 2
= {4 — (-4)} = 4 4 = 8
Na resolucao de expressoes numericas
em que aparecem parenteses, colchetes
e chaves, resolvemos primeiro o que
esta nos parenteses, depois o que esta
nos colchetes, e por fim, o que esta
nas chaves.
Quanto as operacoes, resolvemos primeiro
as multiplicacoes e divisoes, depois as
adicoes e subtracoes.
Exemplos.
—3 + 7 • (-2) =
= —3 + (-14) =
= —3 —
V
14 = —17
20 ÷ (-2 — 8) + 3 =
= 20 ÷ (-10) + 3 =
= —2 + 3 = 1
[18 — (3 + 10 ÷ (-2) + 5)] =
= [18 — (3 — 5 + 5)] =
= [18 —(+)] =
= [18 — 3] = 15

•
•
b) (+12)2 + 72 — 3 =
f) (-1)5 =
g) (Q)10 =
h) (-2)3 =
_Expressoes numericas corn potencias
13. Resolva as expressaes numericas.
a) (+3)2 ÷ 3 + 5 =
= 9 + 3 + 5 =
3+5=8
•
•
•
S
•
•
•
•
•
•
S
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
8. Potenciacao de
niimeros inteiros
a) (+2)2 = 4
b) (+3)2 =
c) (-2)2 =
d) (-5)2 =
e)(-3)3 =
12. Calcule as potencias.
(
t•
• Quando a base é positiva: sendo
expoente par ou impar, o valor da
potencia é sempre positivo. Exemplo:
expoente par
• (+3) 2 = (+3) • (+3) = +9
base potencia
expoente impar
• (+4) 3 = (+4)
base
(+4) • (+4) = +64
potencia
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Quando a base é negativa: se o
expoente for par, a potencia é positiva.
Se o expoente for impar, a potencia é
negativa. Exemplos:
expoente par
• (1 2 = ( -3 ) • ( -3 ) =
base potencia
expoente impar
• (-4) 3 = (-4)
base
(-4) • (-4) = -64
potencia
Nas expressoes numericas em que
aparecem as quatro operacoes, mais a
potenciacao, resolvemos primeiro as
potencias, seguido das multiplicacoes
e divisoes, e por fim as adicoes e
subtracoes.
(-10) 2 + 20 + 4 =
= (+100) + 20 + 4 =
= +5 + 4 = +9
(-2)4 + (-4) 2 - 3 =
= (+16) ÷ (+16) - 3 =
(+1) - 3 =
= +1 - 3 = -2

d) (-1)1 - (-4) 3 + (+2)3 =
- -1 - (-64) ± 8 =-
= -1 - (-8) =
Propriedades da potenciacia_
a
(-8)3 (-8)3 =
(-81° = 1
a
nl (A-1 112 + (+1 112 =
,01
(+111° = 1
(-1 (1)1_
-MI
6.0
MultipLica*: Conserva-se a base e
somam-se os expoentes.
(_3)2 . (_3)3 = (_3)2 + 3 = (_3)5
Divisao: Conserva-se a base e subtraem-
se os expoentes.
(-5 )5 (-5 )3 = (_ 5) 5 3
= (_5)2
Potencia de uma potencia: Conserva - se
a base e multiplicam-se os expoentes.
[(+2)12 = (+2)3 x 2 = (+2)6 = 26
Potencia corn expoente zero, e base
nao-nula: é sempre igual a 1.
9° = 1
(-412x
(+711°
h ft-4121x =
_110
a
c) ( 1)4 - (+8)2 ÷ (-2)4 = I C) (-a)3 • -a 2 =
-64= 1 6
el (-1 019 + -1 012 =
14. Corn base nas propriedades da
potenciagdo, resolva.
a) (-5)2 • (-5)3 =
(-515
hl (-413 • I-41 • (-414 =
(-4)
it (+1:14 - (+1:13 =
(+1 3)'
[(_5)14 =
(-5) 8
kl (471512 =
d) (+3)" • (+3)m =
(+-311---
' ' 11

[(-2)
Para efetuar a potencia
basta elevar cada fator
produto. Exemplos:
a) [(-2) (+3)] 2 =
= [(-2) • (+3)]
= (-2) 2 • (+3) 2
c) [(-2) 3 • (+3)1 2 =
= R-2 )3E • [(+3)4] 2 = (-2 )6 •
(+3)8
) [(+5) • (2)]5 =
15. Desenvolva as potOncias.
(+5)5 • (- r
bl f(---1) • 16)1:7
_ =
(--2)7 • (-6) 7
•••
••e
••
•••
••
••
•••
••
•••
••
•
I
I
I
I
Potencia de urn produto [5x2Y]
5
=
m (-3r =
21
b) (-3)3
16. Resolva as expressOes.
c) (+3)2 • (+3) =
• x' • y5
(+3)3 = 27
d) e_Fiy (-S)2 =
e) (+2)6 ÷ (+2)3 =
1(-2)12 =
) [(2)3 • (+3)12 =
•
• d) 11+41 • (-5)313 =
a) [(2)2 .
(+2)4 • (+3)2 = 16 • 9 = 144
256
•
•
41,
•
•
•
S
) [(-2a3f_=
4413 . (_5)9
/ - 1
(-2)2 • a'
(-8)2 =
1-11 (-15)2 =
255
9,o
b) [(-5) • (-8)] 3 =
= (-5) 3 • (-8) 3
(+3)] =
de urn produto,
ao expoente do
-27
(+2)3 =
(-2)6 • (+3)8
i) (4-1R12 =
(-2)4 = 16

•
•
•
•
1) (-12)2 =
169
k) (-2) (-2)2 =
•
SO
= 6
cl) 36 =
e) V-64 = nao
•
•
f) —181 = —9
m) ) =
gat 1s
27a6
(3a2)3 =
(- 2), = 64
•
= nao existe
•
=
•
18._Resoiva ou simplifique as expresstie& •
A.) 43 - 34 = •
•
64 - 8.1 —17 ID
h) 7°— 1
n) ( 5)
— 32±5)—=
1 —1 =0
( - 5)
2 = 7F
9. Raiz quadrada de um
numero inteiro
Raiz quadrada de numeros inteiros
positivos
Ain = V(±5)2 = 1±51 = 5
Assim, Ain = 5, pois 52 = 5 x 5 = 25
Atencao! WPM
Nao ha raiz quadrada de numeros inteiros
negativos, pois nao existe urn numero
inteiro que, multiplicado por ele mesmo,
resulte urn numero negativo.
17. Determine as raizes quadradas dos
ros inteiros a seguir.
= 1
b) —J4= —2
•
(24 —3 — 2 =
f) (3a2b2)2 =
9a4b2 •
_x_ • x =
•
(-9)3 — 9 =
•
-13_7E3 = -5
m (-1)4 - V8T
1 — 9 = —8
+ 1/64. =
—7 + = 1
—5
e) a5 a5 =

•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
0 conjunto dos numeros inteiros Z e formado pelo conjunto dos numeros naturais N e seus
simetricos (opostos), como mostra a reta nunnerica.
I I I I I I I I I I I
- 5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Entre dois numeros inteiros existem infinitos outros numeros.
Exemplos: entre o numero 0 e o 1 existe a fracao
2
; entre o 2 e o 3, ha o numero 2,5.
0 conjunto dos numeros racionais é formado pelo conjunto dos numeros inteiros e os
numeros que podem ser representados como o quociente de dois numeros inteiros
(corn divisor diferente de zero), como mostra a reta numerica.
1
2
2
3
5
r I
4
—3,1
I
5
- 5 -4 -3 -2 -1 0
T 1
I
5 1
2 2
0 0CAPITULO 3 - NOMEROS RACIONAIS
0
1. 0 conjunto dos mimeros racionait
Adicaoe subtr ascorn fracties
Na adicao e subtracao de numeros fracionarios, procedemos da seguinte maneira:
• se as fracoes tiverem denominadores iguais, adicionamos ou subtraimos os numeradores
e conservamos o denominador comum.
• se as fracoes tiverem denominadores diferentes, reduzimos as fracoes ao mesmo
denominador e efetuamos as operacoes.
Exempla:
1
6
1
-
35
-F 2
--
3 5
+
4 2
- 9 + 30
=
1 9
+
30
=
6
2
12
23
12 12
12 12
Atencao: o denominador comum 12 é o mmc (6, 4, 2).

5
a 7
± 5
= + 7 _ 12 _ 4
3 3 3 3
4 1 2
± _ - +
h)
5 5 5 - 5 5
3
1 1
7 = -
0
6 6 2
6 6 6
L
1 7- -4 + 1 - 7 10
10 10 10 10
,-1
ci) 3 2 1 18-20- 15 17
5 3 2 30 30
e) 6 1+ 3 = 12 - 1 + 3 _ 14 _
5 10 10 10 10
9-16 __19
2 4 3 12 12
at
1. Efetue as adicaes e simplifique o
resultado quando possivel
**
m
e
m
o
4 1 2
3
= 4 - 1 - 2 1
3 3 3 3
8 10 1 = 8 - 10 + 1 1
5 5 5 5 = 5
2 17 1 + 2 - 17 -14 _2
7 7 7 7 7
0
g)
S
•
•
•
•
•
S
•
•
2. Efetue as adic:Oes e,sempre qua
possivel, simplifique o resultado.
a) 2 2 -8 - 3+ 4 7
3 4 6 12 12
i) 3 + 2 +
8
=
-3 + 2 + 8 7
5 5 5 5 5

19
35
b) 1,4 - 1,3
1 2
7
-
5
2,1
c) 3,8 - 1,5 - 0,2 =
2,3
- 1,5 - 0,2
1,255
d) 0,05 + 1,25 =
0,005
-125
1,255
1
2
3. Adicao e subtracao de 5,029
e) 5,025 + 0,004
1,8
rest iltado quando possfvet
a) 0,5 + 1,3 =
0, 5
+ 1 3
18
2
± 1
+ _ 6+0- 17
3 4 12
1 7 9-6-14 = 11
12
2 6 12
2,3 2, 1
••
•••
•••
••
•
••
••
••
•••
••0
•••$
0•••••
••••••••••
4 1 2 = 140 + 21 + 30 191
+ +
3 5 7 105 105
0,1
I)
4
m:irneros decimais 0,U 04
5 Q29
±)__2,56 - 1,05 - 0,09 =
2,.36 1 ,51
1.51 1.42
1,42
3. Efetue as adigoes e simplifique o
ego
Na adicao e subtracao de numeros
decimais, colocamos virgula sob virgula e
efetuamos as operacoes.
Exemplo: Vamos determinar o valor de
0,25 + 0,36 + 1,05 - 0,2.
0,25
0,36 1,66
+ 1,05 - 0,2
1,66 1,46

5 2 • 10
14
4. Observe o quadro dos sinais e, em 5. Calcule o resultado das expressOes e
seguida, calcule o resultado das sempre que passive! simplifique-o.
Quadro de sinais multiplicacao/divisao
2
15
(-3)
5 8 40
1 (-4) 4
7 21
4. Multiplicagao e divisao 3 r 1 (-1) 3
4/ 5 • 4 20
de fracties
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
2 ( 3
expressoes simplificando-as sempre que a)
3 • 5 )
passive!.
b) 1 1 -1 (-1)
2 5, 2.5 10
2 1 _
3 5
7 —1 •
4 , 2 •
e) 2
3 3 )
2 • (-3) 6
5 15
Para o conjunto dos nUmeros racionais
valem as propriedades da multiplicacao e
divisao dos nameros inteiros. Exemplos:
(-1) 4
5 15
3 • (-5)
4 • 2
15
8
a)J.— • (-
3
3
b)
1
5
5
=
=
4 •
3
3
—
4
4 (:)

(-1) • (-2) • (-3)
3 • 4 • 5 •
9
• (-7) • ( )
• 3 • 1
112
48 16
•
•
9
6 2
420 140
8 6

Na multiplicacao de numeros decimais
adotamos o seguinte procedimento:
ignoramos as virgulas e efetuamos a
operacao. 0 resultado tera a quantidade
total de casas decimais dos fatores.
Exemplo: Vamos efetuar 1,25 3,84
1,25 < 4 casas
2 casas decimais
x 3,84 2 decimais
casas decimais
5 00
1000
375
4,8000 4 casas decimais
Reposta: 4,8
Exemplo: Vamos efetuar a divisao
0,60 ÷ 0,02.
0,60 0,02
— 60 30
00
5. Multiplicacao e
nufrieros decimals
151,6789
82,3_
5529
3686
14744
151,6_7_89_
30
0.
d) 0,036 0,012 =
0;0361 0,012
—36 3
0
c) 0,9 ÷ 0,03
[6,0-3
—90 30
3
60
6. Desenvolva as operacoes seguintes.
e) 0,12 x 5 =
13,12
x5
60
f) 2,8 ÷ 0,2= 14
—28 14
0
a) 12,2 x 4,$3_=
12,2
x 4,83
366_
97_6
5B,926
0

II corn
numeros radon=
E. 2
3 ) (_ -1
2
1 2 1
= - 3 - 3 2
expressbes.
•
•
•
s ( 4 ) ( 3
1 )±( 5
143
84
( 3
2
2
_ +
5 3 2
3 4
140 - 21 + 24
84
25,005
-7
7. Observe_o exempt° e resolva as 18,005
18,005
d) 25,005 - 7 =
2,73
0,3 0,2_
- 0,1 + 2 53
0,2 2,73
j4
) 2
1 ) (+ 5
1 ) 3
_ - 1 1 2
- -
4 2 5 3
+ 1 2
4 3 5 -45 + 30 + 12 - 40 43
60 60
-45 + 20 -24 49
ID 60 60
111
b) ( 3
5 - i+ 1
4
+/+ 2 )
=
• ) ) 7
5 1 2
=
3 2 3
5 1
-18 + 20 - 5 13
30 30
0,53
c) _0,03 + 0,5_=
• 0,03
n rn
• -1 (-1) • ( 1
2' • 2 • 2 4
•
S
•

-1 • (-2) • (-2) 4
3 5 • 1 15
( 1 2 ) ( 1 )
3/ k. 5) 2)
k) 0,3 x 0, = 0,09
I) 0,5 x 0,8 = 0,40
2
=
2 3
1 I). _ 1 .2
2 6 7. 3 z • 0
_ _ _ _ _
3 /1 1
7
— •
4 6 /
( • 1 _371 1—a-3
3
7 4 f —
•
7 6, • 4 7 • ,V3 28
1 3 1 3 - 2 1
7 • 2 28 14 28 28
= _7, 1 + 7 . 3 =
14 15
21 =
14 15
= _1
2
+ 7
15
= -5 + 14
10
•
S
•
S
•
•
O-
s
S
S
02
x 0,3
n ng
m) 0,18 x 2 x 5=
=_0,18x10=18
1,8
0.5
x 0,8
ma.
Exemplo:
3 ( 2
+
1 )
5 7 4 )
= 3
5 ( 2 ) 3
7 ) 5
6 3 4
35 20
-24-21
5
9
- 140 = 5= 28
• (-6) + 7 (-3)
140
8. Ffetue as operacaes.
a) 2 ( 3
+
f =
5 7 )
5 7 35 35
• 7
2 • 1
-+
2 1
5 1 7
c) 2
1 6
1 )
X14 15,
= 9
10
2 42 + 10 _52
1 4 - 1 „3-° 1
12 12 ., 4
1
3 ( 2
5 5 ± 21 =
3 2 3 1 3 2 3 • 1
5 5 5 2 5 • 5
-+
5 • 2
6
-
3
+
12 + 15 27
25 10 50 50

a)(-3)2 = (-3 ) • (-3) = 9
3 3 9
5 5
-
25
16
25
• 7. Potenciacio de numeros facionais
•
•
•
•
•
•
Valero as mesmas regras da potenciacao de nilmeros inteiros.
• Base positiva ---> potencia positiva
• Base negativa e expoente par -) potencia positiva
• Base negativa e expoente impar -> potencia negativa
f)(_ 1 V =
8 )
g)(_
1
3
2 )
e)(
d)(-
3 )2= (- 3 )
5
3 ) 9 9
5 =
25
•
25
2
3
h) (0,5) 2 = 0,25
i) (0,3) 2 = 0,9
j) (0,0 3) 2 = 0,0009
k) (1,5)3 = 3,375
•
•
•
•
S
S
•
S
•
9. Calcule as seguintes potencies.
2
1
2 2 4
(
2 2
3
2 3 9
c) 0,72 =
ri) 0,92 =
0,9 x 0,9 =0,B1
e) 1,22 =
2 2-
2 2
3/ 3j
25
0,7 = 0,49
t2 x 1,2 = 1,44

q) Q,23
3 3 9
4 ) ( 4 ) 16
__ _ . _
..
3 7 3 9
_
4 4 16
_ _ k) 1 )3 __s) (251,2514)°_ =
4
02h
/ 3 =
2 )
0-
4)
3 3 9
4 4 16
1
2)
(---1) +) (-
H) Er=
3 3 3 27
a
( 1 1 =
-8-
2
1 111)
2 ) 2/ 2 ) 8
(7)3 _
= (-7) • (-7) • '(-7) = 343
o)
3
.,_, .1
_____ _ ... 4 y_ _.. __ 4
(
10)_(=floV =
0
( 7 = 1
12 )'=. 5
8
)
lb
_

S
S
•
Potencias corn expoentes negatives
2
)
-2 3 2 32
2 / -
22
•
S
S
Sabemos que 85 ÷ 87 = 85-7= 8-2.
Representando essa operacao por meio de
fracoes:
85 = = 1
87 • ,V•g:r • ,V• ,8'• 8 • 8 82
Assim: 8-2 = 1
82
Qualquer niimero nao nulo elevado a
um expoente inteiro negativo é igual ao
inverso desse nitmero elevado ao oposto
do expoente. Exemplos:
• 5-3 = —
1 . 1
53 125
1
g) 4-1 = 1
- ( 53 =53 =125
1 ;
1
• ( 1
2
)-4 = 2
1 =
24
=
16
• ( 2 )-3 _ ( 3 ) 3 = 33 = 27
3 ) 2)
23 8
• (0,5 )_2 = 1
0,5
2 0,25
• (0,3)- 3 1 = 1
0,33 0,027
10. Calcule as potancias
a) 3- = 1 1
o 32 9
S
S
• jp) 5_2 = 1
52 25
S
o 0) 7 2 = 1 = 1
• 72 49
S
S
S
hy 7-1 = =__
71 7
i) 1
(0,2)-2 = 1
0,22 0,4
j) (n,5)- = 1 1
X0,9)-1
= 1 = 1
0 91 0,9
053 0.125
1441,47-?-=-
1,2' 1,44

9
4
Exennplos:
a) Vamos determinar o valor de
9 = V14 = 3
4
V4 2
I) V0,49 =07
4 Ei
5 ,/25
25 = 16
9-28 19
12 12
hl 3
__
RativrwaiihriaraLikufn_
numero racional
_g) 4 ji — 2
25 ■125 5
n) Nia,01.69A
= ,13
111. Determine_d_vator das ralzes seguintes.
4 _ -Upressiies numericas com
9
mimeros racionais
1 VT 1
100 JOU 10
i) _11 1
64 V.64
D 9 lig 3
169 13
k) V0,25 = 0,5
Aplicamos a raiz quadrada no numerador e
no denominador da fracao.
b) Vamos determinar o oposto de
9 = _ _ 3
4 V4 2
c)V0,09 = 0,3
d)V0,0144 = 0,12
9
4 .

j) (564,1258)° =
Iv-
1 ■ 4
4+18+12+
36
43
36
•
S
•
13. Calcule o valor das expresseies,
-1 •
simplificando-o sempre clue passive'.
A,s2
2
-7+3
X 2 2
14 42 21 3 +22 =a+_4=7
= 3 +
•
•
•
•
•
•
•
1)--8) 1125
36
-V36
V25
f) 1 2 = 1
v7)
g) (0 + 1,5) 1,3 = x 1,3 = 2,21
,7
h) (2,6 — 1,5) 1,8 = x1,8=1,98
,1
i) (5.8_+_2.8)° 1 8 = 1 x 1 8=1 8
23 =
0 3-2 +2-1 3-1+
, 1
32-+
1
21+
1
31 +
1
22
1 1 1 1
9 2
9-2 =
k) 1 22 = 144
= 4 _2 • 1 = 4 _ 2 = 12 - 10 = 2
3 • 1 5 3 15 15
71 2 • 3 2 • 7 1
•
•
S
•
•
•
S
1' 1 5 1 5 6 5
12 2 12 12 12
=4 8=32
S
• c) 4
• 3
• 2 L 2'• 5 3 •,2',2.

j) J64
25
16
49 p) (0,8 - 0,3) 1 x V0,25 = 0,5 x 0,5 = 0,25
h) I 1 .4_
V 9 3
2 3 1
nl x 0.2 = 0.5 x 0.2 = 0.1
_3
25 5 5 5
VT4T4 x0.23 2 x 0.04 = 0 048
Arig _ 8 4 56 - 20 36
VAT 5 7 35 35
1/621
V25
9 27 9 - 54 45
32 16 32 32
j 3 3
•
•
•
-e-
•
•
•
S
•
e_
•-
•
•
•
S
0_
0-
11E
_411_
0-
0-
0_
0-
0-
•
•
•
•
S
e) (0,056)° + 2,8 = k) ( 1 -2 _
-1
3
1 -2
2 3 )
( 2
1 )2
‘2
= 22 + 3 ± 32_
=4+9+9-16_
-f)-(1,2)-7-÷. 2...=
= 1 2_ 1 : 2 = 1 x1 _
1 3 ) 5
1,22 1 44 1,44 2 2,88 ( 3 ' 1 4 9
2/ 5 7/ -TA
9 1 9 (
4 5 + 4' 7 )
9. 1 9 9 9 63 -180 117
4 . 5 X-7 20 7 140 140
I 1 4
g) (0,3)-3 x 2,8 =
1 x_24_ 1 x 2,8 _ 2,8
0,33 0,027 0,027

2
x_= —4_
•
41.
•
S
S
•
S
•
S
S
S
•
0
0
CAPiTULO 4 - EOUAPOES ALGEBRICAS
a) 2x = - 8
x = 12 —8
x = 1 (1+9
g) x + 3 = 10
x_=10 3_
x = 7
h) x - 3 = -1
= -E 3
x = 2
b) x — 5 = 15
x=5+15
b) 3y = 18
18
3
x=8-4
x= 4_
x =
2
1. Resolva as equagbes.
a) x - 2 = 10
x +F3 = 10
k=10-8
x= 2
Observe os exemplos e resolva
equagbes.
5x = 30 -6x = -12
30 x -12
=
X = —
5 -6
x = 6 x - 2
c) 2x = 0_
0
-3x_=__6
6
x + 3 = 1
—3
x = —2
cto
Sentencas que exprimem uma igualdade
entre expressoes maternaticas sac
chamadas de equacoes.
x — 4 = 12
membro membro
a) x — 4 = 12
x = 12 + 4
x = 16 --> S = {16}
b) x + 5 = 3
x = 3 — 5
x = —2 --> S = {-2}

F--
2y = 3 • 3
2y = -9
= 4
v = 32
x= 1
x = 3 • (-3)
x = -9
e) 2x+4=6
2x = 6 - 4 3
x
2x =2
2
2
3 2
•
•
•
e) x 7
3
x = 21
f) Y = 8
4
y = 0
h) 3y + 1 =10
3y = 10 - 1
3Y = 9
9
Y=
3
v = 3
x=
-16
4
x = -4
g) -2Y= 0
ril Y 3
Y =
-2
x = 5
2
x = 2 • 5
x = 10
2
3 5
5x = 3 • (-2)
5x = - 6
x = 6
5
•
3. Observe os exemplos e resolva as_
equacaes.
Y _-1
2
x = 2 -4-1)
x = -2
g) x = 1
2 3
3x = 2 . 1
3x = 2
•
h) Y = 1
5 3 -1111-
ay = 5 ..1
_ay_= _5_
5 ,
3
•
•
3

•
0
e) 7x + 5 =_68=2x_
7x + ?x 68 - 5
9x = 63
So - • - .-lis • iesolva as
Sr equagnes.
63
9
5x - 4 = 8 + 2x
5x - 2x = 8 + 4
3x = 12
x= 12
3
x= 4
5 • (2x +3) = 24 + x
10x + 15 = 24 +-X
10x - x = 24 - 15
9x = 9
x=
9
9
x= 1
f) - 3x = 2x +- 29
- 3x- 2x = 29 - 14
- 5x = 15
15
8x - 2x = 11 +9
6x = 20
•
x + 9 = 18
x 8= 9
-0--
-0 b) x - 1 = - 8
x= - 8 + 1 X- =
10
- 3
c) 3y - _8 = 13
aY=13 + 8
3Y__= 21
h) 10 - 4x = 9 -2x
- 4x + - 10
- 2x = -1
-0
y
21
=
3
Y=
S
•
-0
d) 12x - 10 = 5x + 11
1
=
2
1.2x - 5x_=. 11 +
7x = 21
x
21 A 2 . (7x + 2)± 12 • (x..+ I) =2
0
=
7 14x +_4__+ 12x_+_12 = a
14X_±..12X= 2 - 4 - 12
26x = -1_4_
142 7
262 13
x = 3
•
S

j) 2 • (x - = p) a - 3a__+ 5a = 12
12
-2
x =
q) 3•(x-1)=6 It
3x-3= 6
k) 4 (x — 1) —2 (3x + 4) = 6
- - 6
4x — 6x = fi +_4± 8_
=
2x 1.8
18
x =
—2
x = —9
I) 3 • (2x — 5) = g 2x
6x — = — 2x
6x + 2x = 9 + 15
___8x_= 24
24
8
x =3
m) y+4=-15
y19
2x + 10 = —4 •
2x = —4 — 10
2x = —14
s) 3 • (2y — 5) = 9
6y - = 9
-1111r
24
-
n) 3x + 9 = 1 2
Y
6
3x = 12 — 9 y = 4
3x=
3
3
x = 1 t) 5 • (y - 3) = 2y + 3
`-3
5y — 2y = 3 + 15
y = 6
- 1 1
x
-
x
- 6 6
•
3y =18
o) 10 - 4x = _9 + 2x
- 4x -2x = 9 -10 18
=
- 6x = -1 Y 3
3x=6 + 3
3x =9
9
3
x 3 EP
S
r) 2 (x + 5) = -4 GP
—14
x—
2
x = —7
a = 4

4 •
8x- 12 =5x+15
3x =- 27
- 27
x =
3
= 9
Exemplo 2:
3x-5 _ - 2 _ 7
2 - 5
m.m.c. (2, 5) = 10
5 (3x - 5) - 2 • (x - 2) 70
1ff
5 • (3x - 5) - 2 • (x - 2) = 70
15x - 25 -2x + 4 = 70
15x - 2x = 70 + 25 - 4
13x = 91
_ 91
x _ 13
x = 7
-1-0"
ID- Observe os exemplos e resolva as 1)?,
3a - 20 =
equacaes. 3a =1 + 20
3a = 21
a-= 21
Exemplo 1:
x _ 7 x
3 8 = 4 -
m.m.c. (3, 8, 4) = 24
8x - 21 6x - 24
8x - 21 = 6x - 24
8x - 6x - -24 + 21
2x = -3
bi " 3 _-1
5
x + 3 -5
x + 3 = -5
x = - 5 -3
x = - 8
3
a = 7
c) y-2_ 3
2
S
u.)..=8 • (x - 1)_ = -16
__-8x + 8 =
_ Ax= -16 -.8
S. x_.= -24
- - x =
-24
-8
a ) a _ 5 1
4 3 12
3a - 20 1
2y - 4
2y - 4 = 3
2y = 7
Y.=
2
•

•
•
•
5x - 3 3x + 8 6x - 3
4 2 3 2
d) 27 + _ 7
- I
3
6z+ 9 3z+ 2 3 (5x -3) -6 (3x + ) 4 (6x - 3) + 6x 0
3, 'h2 'h2
-110-
6L+ 9 = 37 + 2 15x -2=18x=48= 24x=12+6x______
6z - 3z = 2 - 9 15x - 18x=241=6 =L:=12+1+AL_
3z = -7 -33x = 45 -AD-
-7 , 45 :3
_ 15
z
—.-
3 -33 :3
1 1
_ _ 7
3
w-
-
x + 3 5
8 4 -40-
P)_ x+5 = 8+2x x + 3 _ 10
2 5 '8. '8,
x+3=10
5 (x + 5) , 2 (8 + 2x) x = 10 - 3
111 x = 7
5x+ 25 , 16+4x
5x - 4x = 16 - 25 •
x = -9
2 2
+ 2 = 3 + x
-{) 5x - 10 _ 10 5x - 5
2 3 3x+4 = 3+2x
3 (5x -10) 60 - 2 (5x -5)
15x - 30 =__60=10x_±_10
15x+ 10x= 60 + 10 + 30
25x = 100
100
25
3x - 2x = 3 - 4
x 5 =_x_f_ 3
2 4
4
28x - (2x -3) _ 12 (x - 8)
2B.x2x___+ 3 = 12x - 96
28x - 2x - 12x = -96 - 3
14x = -99
99
x–
14
2x - 20 _ 4x + 3

4.
2x - 4x = 3 + 20
-2x = -23
3
_ 2
-2
_ 23
2

—
1 (x — 1) , 2x
Ic
—x + 1 =2x
3x + 2 24
3x.= 24 — 2
3x= 22
22
3
—
1
>
O-
S
2 - 3
S 2 1 —
q
3
—2 (1 — 3— 3x
"3, 'S.
— x— Lx
'6.
—5x = 4
4
—5
_4
—
2 + 2x = 3 —
2x + 3x = 3 + 2
5x = 5
= 1
r) x — x -1 =x
2 2
x— (x— 1) 2 (x— 2)
•
4 • (x + 1) 3 • (x -
3 2
8 (x —1) — 9(x — ) _ 3
Ne.
8x-8-9x+ 9=3
Rx-9x=3 +8-9
-x = 2
x = —2 x — x + 1 = 2x — 4
x — x — 2x = —4 — 1
—
2x = —5
o) 2 (x - 1) 3 (x + 1)
3 2
—
5
110
4(x-1) — 9(x+1)
)S.
4x-4=9x+9
4x-9x =9+4
ID
—5x = 13
13 6,Besaiva as equacoes.
-5
x =
13 a) 8x - 1 6 = 6x - 1 0
8x-6x=-10+16
2x = 6
x 1 4
=
2 3

h) 2y+ 5 = 12-y g) 3x _ 5 _ x 3
3y+y=12-5 7 - 7
4y = 7
7
c) 9x - 92 = 7x - 5
2x — 7x = — 5 +22
—5y = 17
17
14 x -10 - 2x - 3x ±_6
6 - 3
17
y 4
3x —35 _— 7x — 3
`7
3x —/x = —3 + 35
9x= 32
32
x =
—4
—8
—5
•
5 x —42 60 —4x — 1 8x + 36
x + 4x + 18x = 60 + 36 + 42
23x=138
1
x--
38
23
x = 6
ri) 12x - ex + 5) = 10
12x — 2x — = 10
12x — 2x = 10 + 5
0x =. 15
X = a5
0 x - 1 _ x 1
3 3 4 12
—IV
2
4 (x — 1) 3x — 1 0
4x — 4 = 3x — 1
--AD-
O 5 - 3 - (a - 4) = 29 4x — 3x = —1 + 4
5 — 3a + 12 = 29 x = 3 0
0—
•
a
a = —4 it 3x + 7 5x + 1 17 _ 3x
3 6 2
0
2 (3x + 7) — (5x + 1) 51 —18x
0
'6, '6,
f) 13 . (x -_-_1.). -_4_=-- 6x - 17 6x + 14 — 5x=.1 =_51=18x. ____..._ 0
13x-13-4=6x-17 6x —5x+ 18x = 51 —14+1 di
13x=6x-17 +13 +4 19x = 38
lb-
7x = 0
0 38 —IV
ID
X._7 2_
—32 = 29 — 5 —12
=3,a =12
12
e=--
—3
0 •

3 (6x - 7) - 2 (5 + 2x)
18x-21 - =
a+3 4 1 4-3a _o
3
(x + 1) +
4
3 - 4x) = 1
2 5 3
15 (a + 3) - 24 + 10 (4 - 3a) =
4Ib 15a + 45 - 24 + 40 -30a = 8I+ = 12
i5a -3Oa --45 ±24 - 40_ ___8x__12x_:= 12 - 8=2
-15a = -61 -4x = -5
8 (x + 1) + 3 (3 - 4x) 12
0 -61 61
.., _
0
41 I 5 - 3) -4 . (5 -_2y)_ =
5y-15-20+8y=3
5y + By = 3 +_1_5_+ 20
_13y = 38_
38
13
•
011- ) 6x - 5+2x_o
2 3
18x - 4x =21 + 1G.
.14x= 31
31
-41/k =
-4
5
x
4
q) 6x - 1 0 = 5
3
18x - 30 = 5
'3. '3.
18x - 30 =
18x +_.3f1
18x = 35
35
A- -
18
x+(x+8)=10
x+x_+8 = 10
2x = 10 - 8
2x 2
•
•
•
14
2
•
n) 3 - x 2x - 3 x - 8
111, 5 4 4
4 (3 - x) + 5 (2x - 3) 5 (x - 8)
410
- 12 - 41+.1.0x. - 15 =5x - 40_
-4x + 10x - 5x = -40 - 1 2 + 15
2
X_=
x + 3 = 8
3 5
- A 120
•
5x 4- 9 = 120.
5x = 12O=9_
111- o) 3x - 2 (x - 1) = 1 a . 5x = 111
3x = 0
_3x7_2x._=_14 - 2 _
5
X =
111
•
•

Chamamos de incognita o valor
desconhecido da equacao, em geral
representado por uma tetra.
Chamamos de raiz da equacao o valor
numeric° da incognita que torna a
equacao verdadeira, ou seja, a sua
solucao.
Exemplos:
a) x + 3 = 5
x = 5 -3 x = 2
x é a incognita dessa equacao.
A raiz dessa equacao é 2.
b) 3a + 10 = 25
3a = 25 - 10
3a = 15
a= 15 > a = 5
3
a 6 a incognita dessa equacao.
A raiz dessa equacao é 5.
E,..10000"
sp
•
2. Equagao deVIrau
7. Rao,olva as aqi 'Vie&
a) 2x -4 = 8
2x= 8 + 4
15
5
d) 10 + ex=50
.8x =_50 - 10
_8x , 40
4
x.
0
8
x=5
1111
4x+8=24
4x=
116
x =
4
x=4
_1). 4-12 =
y_= .8_+ 12
y = 20_
li-
g) 3k - 2 = 25
3k = 25 + 2
3k. 27
2
k =
7
3
k = 9 411Ir
h) 3x+8—x=10
A+8.10 4111
2x = 10 -
2x = 2 •
2
2
110-
3a - 12 +a= 12
41b
12
4a . 12 + 12 410_
2x=12
12
h) 5a + 5 = 20
52=20-5
5a . 15
a
a
a
S
x = 1
II)
4a = 24
24
a=
4
a= 6
a=3
c) m+8=10
10 - 8
m =2
48

•
•
•
•
lb
•
3. Probiemas corn equagoes 11. Dimintlindo 23 de turn numero, n
de 1°- grau rest iltado 6 40 alai 6 esse ntimero?
GO
Um numero mais 8 unidades é igual a 20
unidades. Qual é esse numero?
Resolucao
- Na linguagem matematica, em forma de
equacao: x + 8 = 20
x -23 = 40
x = 40 + 22 —4 x = 63
I
I
I
Resposta . 0 numero e 63
— GO
0 dobro de um numero menos o propdo
numero é igual a 5. Qual é esse numero?
Resolucao
Na linguagem matematica, em forma de
equacao: 2x - x = 5
2x - x = 5 —> x = 5
Resolvendo a equacao:
x + 8 = 20
x = 20 - 8 -p x = 12
0 numero é 12.
Resposta: 0 numero procurado é 5.
S 1
0
Jsando ling ragem matematica, resolva
os problemas.
•
12. C) dobro de urn numero mais 0 proprio
fa
8. llm numero adininnado a 20 é igual a 37. numero e igual a 24. Qual 6 esse
QualkessenumeraT numera9_
x + 20 = 37 2x + x = 24
x = 37 — 20 --> x — 17 2x = 24 x =
Etesposta: 0 numero 6 17 Resposta. 0 numero a 8
13. 0 triplo de urn numero mais o seu
d• • • - • . . I • . - - -
9. Subtraindo 32 de urn numero, o
resulted° 6 18 0 la' 6 esse Mmero9
numero?
x — 32 = 18
x = 18 + 32 x = 50 'Ix + 2x = 20
Respostamero A 50 5x = 20 x =
Resposta . 0 numero 6 4.
10. Qual A o numero clue aumentado em
14. C) dohro de tim Mr-nem mais 10 6 igual
15 reslilta 29?
a 20 ()Hal 6 esse numero?
II
x + 15 = 29
x=29-15 x=14 2x + 10 = 20
2x = 20 -10 = 10 ---> x = 5
Resposta: 0 numero é 14.
Resposta: 0 numero é 5.
I
-
•
•

••
••
•••••
••
•
••
••••
•
••••
•
•
•
•••
••
•••
••
•
••
•••
1
1
16. Determine dois numeros naturais
15. Determine urn numero cujo triplo 17. Determine tres numeros naturais
menos 18 resulta nele proprio. consecutivos, sabendo que sua soma é
__3x =
3x x = 18
2x = 18 --> x = 9
Resnasta,D .numero 6
consecutivos, sabendo que sua soma e_
25.
flumems..consecutios..1..11nbrnem =_.x.
2,_nbmaro =_.x_+_. 1.
I ngo.
x +_x__+ 1 = 25
2x = 25 — 1
2x_=_2 x _ 24
2
x=12 x+1 =13
Respostal Ds_nbmaos sal 12 e_13
Resposta: Os nbmeros sao 7, 8 a .9
24.
1
_1 9_ribrnero = x
Tres °boleros consacutivos_ 2ntimero = x + 1
3L-Lmkoero =I ,
x i x ±. 1 + x +.___2 = 24_
x±xt x= 24 — 1 —2
3x = 21
2
x _ 1
3
1 (-)._nboaero = _7_
2_
) minim = 7± 1 = 8
(i_niiimer_o_ 7 + 2 =
Resolucao
A soma de dois numeros naturais
consecutivos é 39. Qual é esse numero?
Numeros consecutivos 11Q numero = x
2Q numero = x + 1
2x = 38 —> x =
38
x = 19
x + 1 = 20
Resposta: Os numeros sac) 19 e 20.
1
numero numero
"T"T x 1= 39
x + x = 39 - 1
2
Exemplos:
a) Divida 48 em duas partes, de modo que
uma tenha 8 unidades a mais do que a outra.
Resolucao
{ 1 , parte = x
48
2, parte = x + 8
x + x + 8 = 48
x + x = 48 - 8
2x = 40 —> x = 40 x = 20
2
x + 8 = 28
Resposta: As partes sao 20 e 28.
b) 0 quociente de urn numero dividido por 7
é 6, e o resto, 3. Determine esse numero.
Resolugao
xl 7
3 6
dividendo = quociente x divisor + resto
x= 6 x 7 + 3
x = 42 + 8
x = 45
Resposta: 0 numero procurado é 45.

•
•
fra 18. Divida 104 em dual partes, de modo 20. C) quociente de um ntimero dividido
que Lima tenha 4 unidades a mail do por 8 e 3, e o recto A 5. Dial A else
que _a outra. nCirnero?
X 8
53
Ingo: x=8 3 + 5
_ x + =_104 + 5_
2x = 11)4-4
2x = 100
a
• x+ 4 = 50 + 4 = 54
•
Respnsta• Os numerns sn'o_50 P 54
•
Respnsta• 0 rilimero e 29
21. Qual é o. nOmero clue multiplicado por .4
e subtraido de 5 resulta errLat?_
100
▪ 2
x = 50
•
4 • x — 5 = 31
4x=31+5
fib 4x = 3_6
9. Distribua 580 laranfas_ern dual caixas, 36
x =
4
•
• de modo aue umastelassiontenhal 40
•
•
22„unnUmeraacoonacio
a9 A igual a
21. Qi e_esse nOmero?
III x _720 x+9=21
2 x-21 9
0 x = 360 _____x . 12
• X - 140 = 360 —140 = 220
II Resposta: 0.niimero e .12
Respostal Uma_casixa.de.va_ter_3601aranialeanutra,
II 220 laranjas
laranjas a menos do que a outra. RespostaL0 numero é 9
a
•
caixa_=_x_----.___
12caixa =x-140
I ago .
14.0 7- 580
_ .. _
2x = 720
co
a
•
•
a
a

23. Subtraindo12thum nUmero resulta de_dois nOmeros naturals
18 ()Hal é esse ntimero9 impares consecutivos_e_32_Quais sao
x 12 =18 esses numeros?
x = 18 + 12
x DoianiimeroLimpares nOmero =x
consecutivos ._22 °Omer° = x + 2
I' se .• I l'ie• •
x+x+ 2= 32
2x=32-2
x
24. 0 dohro claumnilmero_mais3 é 'gin! a_
=
30
Qual é esse nUmero?
2x + 3 = 17
2x — 17 —1
2
x__= 15 rithero =15
22 nilmem = 15 + 2 = 17
0
2x = 14 Resposta•fls nnmeros sao 15 e 17.
14
2
x =2_
27. A soma das idades de urn pai e de
Resposta: 0 nnmero e 7.
seu filho A 55 anos. Determine esses
25. A soma de dois ntimeros naturals
consecutivos é 41. Quaffs sac) esses
ntimems9
Dois nurneros consecutivos 1 2 numero = x
22 fluffier° = x + 1
idades, sabendo que a do pai P o
quadruplo da do filho.
Idades do filho = x
do pai = 4x
x + 4.x_= 55
5x = 55
55
x+x+1= 41
2x = 41 —1
2x = 40
5
x = 11 idade do Mho = 11 anos
idacie do pai = 4 11 = 44 anos
O-
W
4
x = 0
2
x = 20 0
2g- nilmero = 20 + 1 = 21
Resposta: Os nilmeros sao 20 e 21.
Res o
pt As idades sao L1_anos e 44 anos.
a
a
e
a

'Vida 100 em dins partes, de mod() 30. nistrihila 40 hales entre trAsmeninos.
que ilma tenha 14 t unidades a mais do de modo que o segi Ind° reneha 8
ida taaem di ias partes, de modo_
balas_amenos que o primeiro e o
terceiro,_3_balas amais que o primpim.
1 2 menino: x
22 menino: x —
menino. x + 3
x+x-2 +x+ 3=40
x + x + x = 40 + 8 —1
3x = 45
45 x = 15
1 2. menino. 15 halas
22 menino: 15 — 8 = 7 halas
32 menino: 15 + 3 =18 halas
...
31. Urn numero_excede a outro em 5
•
0•
••
•
•
•••
1
1
1••
••
•O
•
•
•
I II
180 - 12_31artez__)
=
2!_part x
unidades, e a soma deles é 25. Quais
sao ASSAS nOmeros9
x — 60
3
1 a parte = 60
— 2 . 60 = 120
a
180
1 2 ntimero• 10
22mirnerm_10_+__5 =15
8espostaLOs_nimieros_sda_15__e 10 _
x+x+ 5=25
2x= 25 —5
2x = 20
2
x — 0
2
x = 10
22: x +
= 43 1 2 parte =
22 parte = 43 + 14 = 57
sta: As panes s'ao 43 e 57
due uma seja o dobro da outra,
•
e•
que aDutra
a_parte = x
patle = x + 14
x+x+ 14=100
4_
2x = 86
86
2

a
a
12. Determine umnumero que somata a 35. A area de_urnretangulo 6 de 40 cm2..
_
sua metade é igual a 12 Determine sua altura, sabendo que a
x + x = 12 basarnieth,arm_
It
2x + x 24 SugestaoLarea = base x.altura.
----
24 dir
3 -40
x
x=R 5
x=
40 = 5 x
x= 3
Resposta: 0 rulmero é 8
33. Urn n merd_excede a outro em 5
4. Deu 20. Qual é esse nOmero?
3x-4 =
4i
nrimeros 1 4: x 3x = 20 + 4
2°:x+5 3x = 24
sao esses numeros?
unidades, e_a_soma_deles é 25. Quais
Resposta: A altura e 8 cm. O-
a
16-1,4uftiplicitlei urn nOmero por 3 e stibtraf
41)
x + 5 = 25
2x = 25 - 5
2x = 20 a
x = 10 Resposta• 0 nthero et 8
x =
20 .
it
2
2
x =
4
3
x=_$____ a
ru'imero: 1a
riumaroLl 0_+ 5 = 15_
Resposta . Os rilimeros sao 15 e 10.
34. 0 rit toniente de urn ntimero dividido
por 4a e o resto,_3. Determine PSSA
37. 0 dobro de um nUrnero menos os seus
trPS tos 6 igual a 7. Qual a esse
n6mero?
2x- 3 x = 7
5
10x - 3x = 35
a-
0-
nilmera N5, '5,
7x = 35
35
7 a
x 4
35
x=4.5+3
x = 20 + 3
x = 23
spogaLc) nijmero A 23
x =5
Resposta: 0 n6mero A 5 a
111
a-
a
a
•

x —
_ 72
--> x = 18
4
S
somasle dois_numeros_ 24. 0
menor é a terra parte do maior Dials
sao esses numer_os2
3x + x 72
‘3.
ni)rnero major...AL
_fluille10. m.enor: 18 , 6_
3
Resposta• Os rulmeros sae 6 e 18
39. Urn numero é triplo do outro e a soma
entre des P PO. Determine esses
_antintemaL]La3-5=15
•
•
•
•
x + 3x = 2_
4x = 20
20
x=
4
x
Rpsnnsta . Os ntimerns san 9 e 15
x ±2L.-24
3
4x = 72
ntimeros.
lo nrimprn• x = 5

eee
Chamamos de U (conjunto universo) o conjunto de todos os valores que a incognita pode
assumir. Chamamos de S (conjunto-solucao) o conjunto dos valores de U que satisfazem a
inequacao. Exemplo:
Vamos determinar o conjunto-solucao das inequacoes nos seguintes casos.
c) U = R
2x - 5 < 5x + 7
2x - 5x < 7 + 5
-3x < 12
Quando o coeficiente da incognita a negativo, multipticamos ambos os membros por -1 e
invertemos o sentido da desigualdade.
-3x < 12 (Multiplicamos os dois membros por -1...)
3x > -12 (...e invertemos o sinal da desigualdade.)
x > - —
1
1
2
---> x > -4
S = {x -E R I x > -4}
Atencio!
No item c, se o conjunto U fosse o conjunto N, o conjunto-solucao seria S = {x E N / x > 0}
pois -4 nao pertence a N.
b) U = Z
2x - 3 > 5 + x
2x - x > 5 + 3
x > 8
S= {x EZIx> 8}
a) U=N
x - 4 > 3
x > 3 + 4
x > 7
S= {x ENIx> 7}
[ 0 0 CAPiTULO 5 - INEQUAcOES
0
Mill • qua*
Inequacao a uma sentenca aberta que exprime uma desigualdade entre expressoes.
Exemplos:
• x > 5 (16-se: x maior que cinco)
• x - 3 < 7 (le-se: x menos tres menor que sete)
• x 2 (re-se: x maior ou igual a dois)
• x 6 (16-se: x menor ou igual a seis)
2. Resolugao de uma tnequagao de l gran

•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
s=txeNix<9)
•
•
•
inequagbes.__
S=fx N I x 5)
3x -4..
S=tx F NIx <7)
S= tx E N I x>
h) 2x+ 1.2 < 30
2x_<...1-8
2x< 30 -V
Sendo U = N, determine o conjunto
verdade das inequagoes.
terming, n conjunto solugAo das Px > 10

1,1_ 5x - 2. Dado U = Z, determine o conjunto
5x - 2x_L=12±-9_ solugao das inequagbes
2x - .9> 17
2x> 17+9
2x_>_2E
26
x->
2
- 3 > 11x + 5 c) 5x - 8 < 12
•

2x + 16 < 18
30 _ _ _ _ 5 --_3x_7_24_< 11_
7_3x < -11 +24 - 5
x_< -7 -4x < 8
S = {x E 71_x < -7} > -8
x > -2
9x - 3x > 4 +2
6x L 6
x > 1 3 • (x - + 5 > 24x - 1)_
S=fx_EZEx_ 11_ 3x - 27 +
2x - 3 5
5 6
h) 2•(x+8)<18
31- 2x > -2 + 27 - 5
- x<13-5
4x > -8
x 1 5
3 2 6
_x.> -2
E_Z I x > 7_21_
2x < 8
x < 4
S= jx E Z I x<
•
•
•
S
S
S
S
•
S
S
•
S
S
•
S
S
S
S
•
S
S
e) 6x + 30_s_x- 5 5 - 3 • (x.+144x=11___

a
•
5x -Ak_.-E - x
4
18
3. Sendo U = Q, determine o conjunto
solugdo das inequagaes.
a 4x - 73(x- 4)
4x > -18
0-
4 •
e-
11-
it-
d) 17x_ 2 < 0
3
51x - 2 0
3 3
- Or
2
51
CQIx>
•
a
S =(xF0Ix>-4)
•
a

S- xeOlx> 33
- 14
h) 7 • (x - 9) + 5 - 9x) > 4 • (3 - x)
7x- 14 + 15 -10x> 12- 4x
7x-10x+ 4x> 12 + 14-15
[x E I x > 11)
80x < -3
3
80
•
•
P) 2x 9 _>_10x_ 3
5 2
5x - 12x + 12 30 - 3x
3 3
fl 5x - 3 3x - 4
2 3
15x - 9 6x + 8
i)
x 1 > 3 - 2x
3
•
6 6
8x - 24 9 - 6x
24 - 24
8x+ 6x> 9 +24
15x-6x<8+ 9
S
S
•
S
S
S
S
•
S
S
S
S
S
S
S
14x> 33
9x < 17
17
9
g) 2x 5 3
+ x >
3 4 5
40x - 75 + 60x 36
60 < 60
100x> 111
111
X>
111
S-{xEQ1x>
100 }
S - EQI x
100
33
x>_
14
x<
17
9
S
S
S
S
0

0 0 CAPITULO 6 - SISTEMAS DE EOLJAPOES
0
1-:-Tecnicas operat6rias para reuelio de sistemas
o da substituicao
o.
Exemplo 1
No sitio de Luzia, ha patos e ovelhas num total de 17 animais. Ao todo sao 48 pes.
Quantos patos e quantas ovelhas ha nesse sitio?
Res°lucao
Na 1a equacao vamos representar a quantidade de animais: patos e ovelhas.
equacao:
x + y = 17
1> total de animais
> numero de ovelhas
numero de patos
Na 2a equacao vamos representar quantidade total de pes: dos patos e das ovelhas.
equacao:
2x + 4y = 48
1---> total de pes
> 4 pes por ovelha
2 pes por pato
0 sistema formado pelas duas equacoes é:
x + y = 17
2x + 4y = 48
No metodo da substituicao, isolamos uma das variaveis em uma das equacoes e
substituimos na outra equacao. Vamos isolar x.
x + y = 17 x = 17 — y
Substituindo esse valor de x na 2a equacao:
2x + 4y = 48 2 (17 — y) + 4y = 48
Desenvolvendo-a, encontramos:
34 — 2y + 4y = 48
2y = 14 --> y = 7
Substituindo o valor de y na equacao x = 17 — y:
x = 17 — y --> x = 17 — 7 --> x = 10
Resposta: No sitio ha 10 ovelhas e 7 patos.
Exempt° 2
Em uma sala de aula havia 40 alunos. Quando 7 meninas sairam, o numero de meninos
passou a ser o dobro do numero de meninas. Quantos meninos estavam na sala?
Resolucao
Vamos chamar de x a quantidade de meninas e de y a quantidades de meninos.
f x + y= 40
y = 2(x — 7)
Agora, vamos resolve-lo. Como a incognita y esta isolada na segunda equacao, podemos
usar o metodo da substituicao. Temos, entao:
x + y = 40
x + 2(x — 7) = 40
x + 2x — 14 = 40
3x = 40 + 14
3x = 54
3x _ 54
3 3
x = 18
Substituindo esse valor na primeira equacao, temos:
18 + y = 40
y = 40 — 18
y = 22
Logo, havia 22 meninos na sala de aula.
__1. Em urn estacionamento havia carros e motocicletas no total de 44_velculos e 152 rodas.
Calcule o numero de carros e de motocicletas estacionados.
Carron x x y = 44 Jouantidade. de _v_einulos).
Moths y 4x. + 2y = 152 (quantidade de _rodas)
{ =
x + y = 44 y = 44 —..x
4x +2y 152
4x + 2y -4 152
4x+ 2 (44 — x) = 152
4x + 88 —2x_=. 152 Resposta . 32 carros e_12_ mots
2x + 88 = 152
2x_= 152 — 88
2x = 64
x 64
2
_ x = 32 _
Como x + y. _
= 44 e x = temos:_
32 + y = 44 _
y 44 — 32
y_= 12 _ _
S
S
•
•
•
•
•
•
S
S
•
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
•
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S

5 - 2y + 3y =10
4=10-5
Y.= 5_
x = 5 - 2 5
x = 5 - 10
x = 2 + y
2 ±_y_+ y = 6
2y = 4______
y = 2
x = 2 +
=4
={(4,2)}
=
= Y-5,5))
y=3-5 (-1)
= {(-1,8)}
y=3+x
x+y=5
y=3+5
y = 8
y=3 +x
x + 3 + x = 5
2x = 2
x = 1
y =3 + 1
y = 4
S =1(1,4))
y = 3- 5x
x + 2y = 1 5
y = 3 - 5x
x + 2 (3 - 5x) = 15
x+6-10x=15
9
x = -1
2. Resolva Os sistemas_
a) {
x + y = 5
x -
x = 5 - y_
y - y = 1
2y = 1 - 5-
-2y = -4
Y = 2
x = 5 - 2 x=
S = ((3,2))
- y =1
1
-
MC+ y = 9
x = 1 + y
2y =_8_
y = 4
x=1+4 > x=5
=1(5,4)1
x+y=6
•
e) x - y =_2_
x + y = 1 2
x= 2+y
2 +y+y=12
2y = 10
Y = 5 -4111
x = 2+ 5
_x = 7
x + y = 9
x - y = 3
x = - y
- = 3
-2y = -
-2y.=
Y---=-3-
x = 9 - 3
x = 6
S = [(6,3))
AD-
{
x = 5 - 2y
x+3y=10
•
x = - 2y
•
= ( 7 5
•

1 + y = 2
y = 1
Metodo da adicao
3. Resolva os sistemas. {3x + 5y =_11
5x — 5y=5
3x +_,5y_= 11
8x = 16
S = {(2,1)}
2y=2
y = 1
S =1(6,1))
00
11O
O
M
O
O
S
O
O
M
O
O
OO
O
SO
O
M
OO
O
OMS
OOMO
SO
S = {(5,2)}
b) x + y = 2
2x - y = 1
= 2
2x - Af= 1
3x = 3
X = 1
x = 2
3 ._2 + 5y= 11
= 5
y = 1
x + 1 =7
x = 6
a) I
x+y=7
x—y=3
x +fit=7
x=it = 3
2x = 10
x = 5
y= 2
Y-= 7
- x+y_= -5
X+ y = 7
-x-y=-5
0 metodo da adicao e utilizado para eliminar uma das incognitas na resolucao de urn
sistema.
1° caso: quando os coeficientes de uma incognita sao simetricos.
{
2x - 5/ = 2 (D
3x + 5y= 28
5x = 30
x= 30 x = 6
5
Substituindo o valor de x em uma das equacoes, temos:
1
Solucao: x = 6 e y = 2.
(Somam-se as equacoes membro a membro.)
3x + 5y = 28
3 • 6 + 5y = 28
18 + 5y = 28
5y = 28 - 18 = 10
10
y= -› y = 2

a)
{
2x + y = 5
2x + 8y = 12
{
4. Resnlva os sistemas o) 3x + 7y = 38_
_x_Ar_ly_= 26_
up
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
41,
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
ao
•
•
•
3x +,7 = 38
—x — pf = —36
—?Af —5 2x =2 1
+_.8y = 1 2
_7y = 7 = 1 _3x__± 7y =38
3 • 1 + 7y = 38
7y = 35 y = 5
S = ,5)}
b) 5x - 4y = 15 d) { 6x + y = 25
6x - 4y = 18 6x - 2y = 10
-5x+41=-15 pl+y=2:-)
6x — = 18 2y=-10_
x =3, 3y = 15
y = 5
5x — 4y = 15
5 • 3 — 4y = 15 6x+5=25
15-4y=15 6x
4y = x 20
y-= Q- 6
S = {(3,0)} 10 _s - { 64
3
0C)
2° caso: quando os coeficientes de uma das incognitas sao iguais.
{
2x - 3y = 1
4x - 3y = 11
Multiplicamos uma das equacoes por -1, de modo a obter coeficientes simetricos.
-2x + 3y = -1
4x - 3y = 11
2x = 10
1
x = 2
0
> x = 5
Substituindo o valor de x em uma das equacoes:
2x - 3y = 1
2 • 5 - 3y = 1
10 - 3y = 1
- 3y = 1 - 10
- 3y = - 9 -> y = 3 S = {(5,3)}
2x+y=5
2x + 1 =5
_2x =-.-4 > x.= 2_
S =4(2,1)}

3° caso: quando os coeficientes das incognitas sao diferentes e nao simetricos.
{
3x + 2y = 8
4x + 5y = 13
Multiplicamos uma das equacoes por -1, de modo a obter coeficientes simetricos.
2x + 2y = 8 • (4) ---> + 8y = 32
4x + 5y = 13 • (- 3) -1.2* - 15y = -39
- 7y = -7
y = 1
Depois substituimos o valor de y em uma das equacoes.
3x + 2y = 8
3x + 2 • 1 = 8
3x + 2 = 8
3x = 8 - 2
3x = 6
x = 2
Solucao: x = 2 e y = 1.
+y=9
x+3y= 23
• -x +,XL:= 7
5x —51=. 5
12
x =3
-
/x/- --9
,X_±.3y_= 23
2y = 14
y = 7
x+y= 9 x -5y = -7
x+ 7 =9 --> x=2
S = {(2 7)}_
3 —5y = —7
—
5y = —10 > y — 2
S = {(3,2)}
x-5y=-7
5x-5y= 5
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• Rx — 2y = 10
_13x 2y=10
—
8x +_4= —10
1_3x
5x=0
x = 0
fl = 3
x+3y = 11
7:3
_X+ 3y = 11
4y =R
y =
Rx — 2y = 10
0 —2y = 10
—
2y =10 _= —5_
S__-
-- f(0,-75))
•
•
•
•
•
•
•
•
•
x — y = 3
mac_- = 3 x 5
S = 0,2)1_
•
•
•
•
S
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•

1:
•
1 3
x + y = 2
6x + 2y = 10
5. Resolva os sistemas.
-2x - ?.y (multiplicando por - 2)
a) 2x 61_±_?4 =10
• 6 3
4 2
2x
___L+3y = 24-4 ____>._=2x=_6y = -4,
=_8y = 32 -(1) 2x - 8y = 32 x+y=2 > 3 +y=2
•
:
_x_8
1_4_= 28 3 + 2y = 4
.---
y= -2 2 2
=2 >
2y = 1 —›
2
>_y= 1
2
ft
3 1
2 2
_6x -10y =16 •(3) - 90y 1_08
60y = 0
Y--=0 fl 9x + 4y = 6
2x= 15 (0) =18 3x - 2y =
x =_18_=> .x= 6_
- =
2y._=_12
•
• .
x+ 3y = 9
=9
-1 Lx = -102
x = 6
- = > 2x - 4y = 6
•
x - 2y = 3
.•• •
3 - 2
- 2y = 0 y = 0
S = {(3,0)}
68
• flx=_15y = 18
=36 1
1
1
1
1
•
•
0
001
0•
040
0
00
0•
40
•
01,
0
0*.
0
0s
es
si
ess
x + 3y = 9
6 + 3y = 9
y = 1 S = {(6,1))
+ 4y = 6
_ 9.8 - 2
3x = -5
21x = 7 > x= 7 1
21 3
9x+y=6
A'. 1 4.v=6
2'
3+y=6 y=3

2x + 3y = 42
6 6
ou 2x + 3y = 42
5)L_
-_
- 2y = 40
3x + y = 35 •(2) ---> 6x + 2y = 70
-6
3 • 10+y=35
y = 35 - 30 y=5
= {(10, 5)}
3x+y=35
x-3y=-6
• - 3y =-6
• -3y = -12
S = {(6,4)}
4111
fib
11111
3x + 2y 18
6
ci) =
2x + y 16 3
3x - 2y = 6
12
4 12
Resolva os sistemas
Y x -3y
6 2 6
4x + 2,9 = 36
x = -6 - = 40
5x = 30 6x_+2 =70
x = 6 11x=110 > x=10
x y
2 5
3x + y = 35
5x + 2y 40
10 10
•
•
•
•
•
•
•
•
S
o
•
AD-
•
•
•
SOSos
s000
s
2. Sistema de equagOes com ntimeros fracionarios
- y = 2
_1(_+_21 = 18_
3x=4_= 6
> _x_F 4_
•
fli 2x +X7--_16
-0111— x -)f= 2
3x = 18
•
x = 6
2x + y = 16
3x - 2y = 6
3 • 4 - 2y = 6
-2y = 6 - 12
-2y = -6 --> y = 3
S = {(4, 3)}
2 • 6+y=16
y=16-12 --> y=4
S = [(6,4)}
x - y = 1
Determine a saki* do sistema: x + y = 7
3 2
Resolucao
1° passo: simplificar a 2 4 equacao.
Podemos escrever o sistema da seguinte forma:
x - y = 1
2x + 3y = 42
Resolvendo-o, encontramos a seguinte solucao: x = 9 e y = 8.

7. Resolva os sistemas• x - y = -5
3 (x + y) = 27
x + y = 6
Wig
M1641
3x + 2y 16 • =42 > y = 7
6 6
=15 +.3y_+ 3y =_27
= _+5_+3
Wig
= —2 —.3 y =2
S = {(4, 2)}
x = 4_±_y
x +
5 = 2
2
5 3y = —3
5x + 2y = 20 — = —
10 10 _x_= 5 — 3 •
+4)_+_2y-20
+ 2y = 20
= x - 2
x y _ 13
5 2 10
y = 2x — 1
x + 5y 8,
5 5
2x + 5y , 13
10 10
y = 2x — 1
2x + 5 (2x — 1) = 13
2x+ 10x-5 = 13
12x = 18
x 18 ou x= 3
12 2
y = 2 3 —1
2
y = 3 —1
y = 2 > 5—

36
2
x = 18
x + y = 30
x - y = 6
2x =36 -> x=
x + y = 64
x = 3y
}
x: idade do pai
y: idade do filho
3. Froblemas corn equagiies de to—
grau cam &las variameis
•
•
•
•
•
411
al
•
•
6
ce
Problema 1
A soma de dois numeros naturais é 30, e a diferenca entre eles é 6. Quais sao esses
numeros?
ResoLuca°
Vamos chamar de x o primeiro numero e de y o segundo.
• a soma: x + y = 30
• a diferenca: x - y = 6
Resolvendo o sistema pelo metodo da adicao:
Substituindo o valor de x na primeira equacao:
x + y = 30
18 + y = 30
y = 30 - 18 y = 12
Resposta: Os numeros sao 18 e 12.
Problema 2
A soma das idades de urn pai e de seu filho e 64 anos. A idade do pai é o triplo da idade
do filho. Determine quantos anos tern cada urn.
Resolucao
Substituindo x = 3y na primeira equacao:
3y + y = 64 --> 4y = 64 y =
4
4
y = 16
x = 3y x = 3 • 16 —) x = 48
Resposta: 0 pai tem 48 anos e o filho tern 16.

S
Resolve os seguintes4rotilemas. d) netermine dois numeros, sendo a soma
Determine dois numeros cuja somas 45 60 a dif xena 16
deles e o dobro do outro. x +.y= 60
x
2x = 76
x = 38
38 + y = 60 > y = 22
_Reposta Os numeros sac] 38 a 22
e) netermine_dois humerus cula_soma_e22
b) Determine dois numeros cuja diferenca
10 e tim cieles_e_o triplo do outro
e a diferenca_entre_o_dobro do primeiro
o triplo do segundo -O-
x + y = 22 ff
2x - 3y = 9
x = 22 - y
2 (22 - y)- 3T=
-fiy = -35 > y = 7
x = 22 - y > x = 22 - 7 ---> x = 15
Reposta: Os numeros sao 15 e 7.
_Reposta: Osiatiraeros sap] 5_e__5
c) Duas familias tern juntas 18 filhos. Uma f) A soma de dois numeros é 20 0
delas possuLo dobro quantidade de_ quintuplo de um deles menos o triplo do —410-
filhos da outra. Quantos filhos tern cada outro é 4, Calcule esses numeros. Ai-
x _y = 20
x y
5 (20 — y) — 3y = 4 > 100 — — 3.y.:= 4 --> S
= —96 y = 12
3y= 18 > y =fi _x y > x = 8 •
= 2 . _ _ _
Reposta. Os numeros sac) 8 e 12 fib
fibs e a oda:1211ns_
4.

• II . • . ades de duas pessoas é 42
e-se que uma delas tern 18 anos
a mais que a outra. Calcule essas idades.
+18+y=42
2y =24 v= 12
___x=v+
12 + 18 x = 30
des_sao 30 anns e 12 anos
y _
120
2
y = 90 —
x=y+30
Y— 45
x 45 + 30
x = 75
Repostalimapessoaraceb_ei.t11$75,00_e a outra+13$.45,00,
x = 27 — y
2-_(27 — y) 3y = 6_9
54 — 2v + 3v = 69
=
= 97 - 1 = 1 9
Repo_sta.—Sao_20_porcos e 25 galinhas.
11) Foram distribuidos R$ 120,00 entre duas
pessoas. Sabe-se_que_umarecebeu
• R$ 30,00 a mais que outra. Quanto
veiculos_ Quantas sao as bicicletas e
recebeu calla uma?
quantos sao os triciclos?
x y = 27
Numa loja ha bicicletas e triciclos Ores
rodas), num total de 69 rodas e 27
IP
410
• motocicletas, num total de la veiculos e
4111
• ,, _ as motocicletas?
11)-
fib x = 1R - v
411 4 (18 — y) + 2y = 56
72 — 4y + y =_8
• -2y = —16 y = 8
• x= 18—y x=18-8 x=10
• Reposta: Sao 10 automoveis e 8 motocicletas.
S
411
i) Emma oficina ha automoveis e.
x+ y = 18
fix_
+_2y =_56
Fleposta:„Sao 12 iileicletas .e 151riciclos_
x+v= 120
lx = y +._30_
j) _Eniumalazendalad. porcos e galinhas,
num total de 45 cabecas e 130 Ns_
Quantos sao_os animals de cada especie?
x ±_y = 45
4x + 2y = 130
=A5
4 (45 — y)_+ 2y_= 1 ao
180 - 4y ± 2y = 130_
—2y = —50 > y = 25
x = 45 — y > x = 45 —25_. > x = 20
56 rodas. Quantos_sao os automoveis e

•
CAPiTULO 7 - RAZOES E PROPOKOES
1. Rub entre-&tas grandezas
O
Razao entre duas grandezas corresponde
ao quociente entre seus valores.
Observe o quadro.
Reptit
Tamanho
maximo
Jacare do Pantanal 2,5 m
Jacare-acu, da AmazOnia 6 m
Crocodilo que vive na Asia
e na Australia (maior reptil
do planeta)
7 m
a)Qual é a razao entre o comprimento:
do maior reptil do planeta e do
jacare do Pantanal?
7m _ 7
2,5 m 2,5
Resposta: A razao é de 7 para 2,5.
• do jacare-acu e do jacare do
Pantanal.?
6 m 6
2,5 m 2,5
Resposta: A razao é de 6 para 2,5.
• do jacare-acu e do maior reptil do
planeta?
6 m 6
7 m
-
7
Resposta: A razao é de 6 para 7.
1:1)Qual é a razao entre 1 m e 200 cm?
1 m1 m 1
____
200 cm 2 m 2
Resposta: A razao a de 1 para 2.
0
2. Velocidade Media
of
E a razao entre a distancia percorrida por
urn movel e o tempo gasto para percorrer
essa distancia.
Exemplo:
A velocidade media de urn trem-bala que
percorre 800 km em 2 horas é dada pela
razao 800 . Ou seja, a velocidade media
2h
desse trem é de 400 km/h.
1. Determine a velocidade media
desenvolvida por um trem ao percorrer
uma distancia de 250 km em 5 horas.
_ 250 km = 50 km/h
5h
liesposta . 50_km/11
Urn motorista percorre uma distancia de
220 km —
4h
Resposta: 55_km/h
220 km em 4 horas. Qual a velocidade
media desenvolvida?
.11
.s.
.
se
s
ss
s.

4m
DentMade demografica
qCY
E a razao entre o rulmero de habitantes
(populacao) de uma regiao e a area dessa
regiao.
Exemplos:
Segundo IBGE (Instituto Brasileiro de
Geografia e Estatistica), a cidade de
FlorianOpolis tern 421 240 habitantes, em
uma area aproximada de 675 km 2 .
Fonte: http://www.ibge.gov.br/cidadesat/painet/painel .
php?codmun=420540 em 11/01/2013.
Sua densidade demografica é dada pela
razao:
d = 421 240 hab
675 km2
d = 624 hab/km 2
A cidade de Rio Branco, capital do
Acre, tern aproximadamente 336 038
habitantes em uma area de 8 836 km 2 .
Sua densidade demografica é de:
d = 336 038 hab — 37 hab/km 2
8836km'
3. Urn pals tern 100 004 000 de habitantes
densidade riemografica dense pals?
_ 100 000 000 hab = 20 hab/kaL__
5 000 000 km'
Respastal 20J:tab/km'
Determine a densidade demografica de
uma cidade COM 20 000 habitantes.e
Alma area de 400 km2.
d _ 20 000 hab 50 hab/km2
—400 km'
Resposta: 50 hab/km2
Escala é a razao entre a medida do
comprimento de urn desenho e a medida
do comprimento real do objeto. Exemplo:
A planta deste dormitorio foi desenhada
na escala de
100
(1 : 100), o que
significa dizer que cada 1 cm no desenho
corresponde a 100 cm ou 1 metro do
comprimento real.
Sabendo que o desenho tern 4cm de
comprimento e 3cm de largura, vamos •
calcular o comprimento real do quarto.
4cm x 100 = 400 cm = 4 m
(comprimento real do quarto)
3 cm x 100 = 300 cm = 3 m
(largura real do quarto)
Logo, as dinnensOes reais do quarto sao
4m e 3m.
Indicamos por 4m x 3m
(le-se: 4 m por 3 m).
5. EmArnclasenha,urn com primenta de
0 mastasepresentado por 5 cm_ Qual a
escala utili7aria4Dara_fa7er_esse desenho?
5cm 5cm
10m 1000cm 200
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
e uma area de 5 000 000 km 2. Qual a

Dizer que a ma° entre o nUmero de
meninas e o numero de meninos de urn
colegio é 2 , significa:
3
• para cada 2 meninas existem 3
meninos, ou
meninos, ou
meninos etc.
2 6
Lembre-se que as fracoes 3
4
9 sao
6
equivalentes. Simplificando as fracoes
4
6
e 6
2
chegaremos na fracao .
9 3
Chamamos a igualdade entre razoes de
proporcao.
A proporcao —
4 6
= — le-se "4 esta para
6 9
6 assim como 6 esta para 9".
Para resolver urn problema que envolve
proporcao, Basta multipticar em cruz,
como mostra o exemplo:
3x
= 4 • x = 3 • 8 -->
4 8
-->
-->4x=24 x = 6
endo que 1nom P.m urn desenho
norrespondenarealidacia,
determine a escala medal:lame
desenho.
10cm 10cm
5cm 500cm 50
Respnsta• 1
7. A miniature de um carro fni con,struicia
na escala de 1 : 50. Determine o
comprimento e a largura desse carro
1 4cm
50
x= 4 .50 = 200cm =
5. Proporcao
1 10cm A. Determine o valor de x nas proporgbes
50 y
a) 15 _ 30
Resposta. comprimento 4 x
15 .x. 4 .30
15x = 120
Calcule a razdaeniquilome
— tros por hora x _ 120
15
de urn carro que percorre_500 km em
5 horas.
500krramm
5h
Resposta: 100 km/h
b)
5 10
10_
5.x=
x _ 30
5
x = 6

•
•
•
•
•
•
3 t = 2
x 9 9 7
3 x = 1 9 7 t=
3x=9 it = 1_8
9 t_ 18
3 7
x_= 3
•
• J) 10 _ 1
x = 1 m 3
15 5 m 1 = 3
•
• •
•
•
•
fb-
41D
•
•
-4110-
•
•
•
•
5 • x = 1 • 15 m = 20
5x = 15
_= 15
5
x = 3
f) y = 15 5•x=11 -10
2 — 10 _5x=i10_
10 • y =2_15 x _ 110
10y_,- 30_
y_— 30 _ x = 22
10
= a
m) 45 = 15
9 x
g) 5 = 3 x = 15 9
y 6 45x =185
3 .y__= a. 6 x =135
3y = 30 45
30
Y x = 3
3
y = 10
n ) z 216
100 600
h) 7 = 14 6C10, •_z_=__216•109
8 a 6_00z = 21600_
7 • a = • _14 z__ 21600
_la = 112 600
a _ 112 z = 36_
7
a = 16
e) x = 3
9 1
x • 1 =3
_x = 27
ic) 1 = x
7 8
7 x = 1 • 8_
7x =8
x= 8
7

U. Determine o valor de x nas oroborcOes
I 2
s seat iir.
a) 2 = 1
x + 1 5
= 10 — 1
= 9
b) 5 _
x - 3 8
2• (x - = 5 . 8
2x - 6 = 40
2x = 40 + 6
2x = 46
_x = 6
i)
x - 2 2 a
3 • (x - 2) = 2 • (x - 1)
Allk
3x - 6 =- 2x - 2
3x - 2x = - 2 + 6 110
x = 4 41,
x - 2 2
5x - 4x = 5
x = 5
2 • (2x - 11 = 1 •(x - 21
S
_3x + 3 = 2x..± 4
3x - 7_ 3
x = 1
fit
(-1) X +
1-1)52cL-1. 1
14 2
10x-6 = 14
10x = 14 + 6
10x = 20
x _ 20
0
fit
•
3x+2=fl
3x = 8 - 2
3x = 6
x _ 6
3
3x x + 3
•
411
x = 2
4 2
2 • :Ix = 4 • (x + 3)
6x = 4x + 1?
6x - 4x = 1?
2x =_12
x:7
_ 12
a
- 41
(x_+ ,
9x + = 36
9x = 36 - 9
cly = 27
27
Outro exemplo de proporgdo:
1 x + 3 1 _ (x + 3)
4 20 4 20
(sempre coloque parenteses nas expressdes)
4 • (x + 3) = 1 • 20 7 4x + 12 = 20
4x = 20— 12 4x = 8
x= —
8
x = 2
4
, r 1) = 5
x+i =10
x _ 46
2
x =
i) 5 4
x x - 1
5 -(x-1)=4 •x
5x - = 4x
x = 0
X + 2 3
3 •(x +1) =2•(x +2)
10
X = 9
X = 2

•
•
•
•
• 0
•
•
•
•
•
•
•
•
•
CAPITULO 8 - GRANDEZAS PROPORCIONAIS
Regra de tres
0;0
Regra de tres e o processo utilizado para resolver problemas de proporcionalidade,
em que sac) conhecidos tres termos e se procura o valor do 4'2 termo.
Uma regra de tres e simples quando ha apenas duas grandezas envolvidas, e é
composta quando ha mais de duas.
• 2. Regradetre
•
•
•
•
•
a
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• O
Problema 1
Uma costureira gasta 18 metros de tecido para fazer 12 camisas. Quanto tecido ela gasta
para fazer 16 camisas?
Resolucio
camisas tecido Observe: "Quanto mais camisas, mais tecido."
(metros) Entao essas grandezas sac) diretamente proporcionais,
12 18 e desenhamos as setas no mesmo sentido. Resolvendo a
16 x proporcao:
1218 288
= 12 • x = 18 • 16 12x = 288 x = --> x = 24
16 x 12
Resposta: Gastara 24 metros.
Problema 2
Seis homens constroem um muro em 12 dias. Quantos dias serao necessarios para 9 homens
construirem o mesmo muro?
Resolucao
homens dias
6t 12
9 x
Observe: "Quanto mais homens menos dias."
Entao essas grandezas sao inversamente proporcionais, e desenhamos as setas em
sentidos contrarios.
Montamos a proporcao invertendo os termos da razao que nao possui o x.
9 12 72
9x = 6 • 12 9x = 72 x = x = 8
6 x 9
Resposta: Serao necessarios 8 dias.

quantas pecas serao produzidas por 15 _
dessas macwinas?
1. Urn automdvel corn a velocidade de_
x_=-6_. 12_
9x-72 >x= 72 >x=8
9
metros custo
4 18
12 x 15 30
velnririarie tempo
60 t 12
90 . J
90 _ 12
60 x
10 800
15 x
y 12 non
Resposta: Gastara 8 horas
R$ 18,00, quanto custarao 12 metros
_desse tecido?
amesmoirahalho?
operarios_ dies
6 30 1
15 x
4. Se 6 operanos fazem urn trabalho em 30
dias,emquantos dias 15operanos farao
x
15 x = 30 . 6
15 x=180
180
15
18
1
x = 54
Resposta: Custardo R$ 54,00.
Resposta• Fara° em 12 dias
x = 1 200
Resposta:_Serao produ7idas 1200 pecas.
2. Se 4 metros de urn tecido oustarn
Resolva os problemas. 3. Se 10 maquinas produzem 8Q0 pegas,

5. t Jm autornovel corn a velocidade de 40
• km/h faz uma viagem em 5 horas. Qual
•
•
:._4Q
a
•
•
•
•
•
•
7. Um_ automovel percorre 120 km corn 15
litros de gasolina. Quantos litros serao
necessarios para percorrer 200 km?
ciistancia tiff-Qs
120
200
120 15
200 x
120 • x = 200 15
./ A -
A -
120
Resposta: .Serao aecessarlos..25
120x = 3 000
3 000
• 6. Urn operario ganha R$ 600,00 em 20
a _
fli
_ dias. Quanto recebera se trabalhar
• apenas 6 dias?
4111 ganho _dias
• _600_ 20
Si x 6 i
•
• 600 20
• x 6
•
• 3 600
Gan
41
= 20
9n . Y = Rnn
2x . 200
9v —.
8. Se em 200 litros de gasolina ha 50 litros
de alcool, quantos litros de alcool havera
em 300 litros dessa gasolina?
alcool gasolina
50 200
x 300
50 200 50
x 300 x
2
devera ser sua velocidade para fazer a
mesma viagem em 2 horas2
tiaras
5 •
•
• velocidade
40
40
x 5
Resposta: Devera ser 100 km/h
= nn
= 150
• x=180
4i Resposta: Recebera R$ 180,00.
•
•
•
•
•
Resposta. Havera 75 litros.
= 75

3. Regra de ties composta
•
11
0
11
60
00
•11
••
0
0•
•
•11
•
•
0••
••
••
•
•
••
•
•
11/•
0
•••
•
••
•
Exemplo 1
Sabendo que 9 mulheres fazem 200 camisas em 10 dias, quantas camisas 18 mulheres -Fara()
em 15 dias?
Resolucao
mulheres camisas dias
9 200 10
18 x 15
Por convencao, adotamos a seta para baixo na razao que possui o x, e a comparamos corn
cada uma das grandezas. Observe.
• Quanto mais mulheres, mais camisas. Entao, a quantidade de mulheres e de camisas
sao diretamente proporcionais. Logo, adotamos seta para baixo na razao "mutheres".
• Quanto mais dias, mais camisas. Entao, dias e camisas sao diretamente proporcionais.
Logo, na razao "dias" tambern adotamos seta para baixo.
9 200 101
18+ x 15
Por fim, escrevemos a razao que contem x igual ao produto das outras raz6es.
200 9 10 200 90
x 18 15 x 270
90x = 54 000 x =
54 000
90
Resposta: Fara° 600 camisas.
x = 600
Exempt° 2
Dez operarios fazem uma casa em 8 dias, trabalhando 6 horas por dia. Quantos operarios
sao necessarios para fazer uma casa igual em 12 dias, trabalhando 2 horas por dia?
Resolucao
operarios dias horas/dia
10 8 t 6 t Na razao que possui o x, por convencao, adotamos
x 12 a seta para baixo.
• Quanto mais operarios, menos dias sao necessarios para construir o muro. Entao, a
quantidade de operarios e de dias sacs inversamente proporcionais. Assim, na razao
"dias" adotamos a seta para circa.
• Quanto mais operarios, menos horas por dia sao necessarias para construir o muro.
Entao, a quantidade de operarios e de horas/dia sac) inversamente proporcionais. Logo,
na razao "horas" adotamos seta para circa.
Por fim escrevemos a razao que contern x igual ao produto das outras razoes. Assim:
1012 2 10 24 480
_ • _ 24 • x = 48 • 10 ---> 24x = 480 x = ---> x = 20
x 8 6 x 48 24
Resposta: Sera() necessarios 20 operarios.
90 • x = 200 • 270

761
9. Se 12 maquinas produzem 1 200 pegas, 11. Se 10 kg de arroz alimentam 36 pessoas
trabalhando 8 horas por dia, quantas durante 30 dias, quantos quilogramas
pegas serao produzidas por 6 dessas serao necessarios para alimentar a
maquinas, trabalhando 10 horas por dia? metade dessas pessoas durante 45 dias?
pficas_ _borastdia kg de arro7 pessoas_ dias
10 8* 45*
1_211 10_ .36
•
•
a
S
• 12
6
10 3-6 2 30 2
x.
4 x = 3 -10 4x = 30
a
•
a
S
S
a
1 200
—
2 4 1 200 8
— >
x 1 5 x 5
10
_ >
2 2 0
x 1 3 x 3
8 • x_=1 20a 5 8x=_6.000
)( 6 000 7.5.0
8
Rasposta. Serao.produzidas 750 pacas _Resposta:_Serao neressadas_7,5_kg__
10. Se 8 operarios, trabalhando 7 horas par
dia, constroem uma ponte em 15 dias,
quantos operarios sera° necessarios
30 x -75
4
8 84
x 105
84 = 8 . 1.0.5
B4.1-7.840 _
= 840
84
x = 10
13spostz,Serdo necess6r[Ds 10 operarios_
a
•
a
S
•
S
para construir essa mesma ponte em
14 dias, trabalhando 6 horas por dia?
operarios_ dins
8 14
x
7 15
1 200 R' 2 4
41 X

A A
maquinas metros dias_
t 20
4 I 80r x v
13. Lima maquina escava urn tbnel de 20
metros em 12 dias, trabalhando 4 horas
por dia. Em quantos dias 4 dessas
maquinas escavarao urn tilinel de 80
metros, trabalhando 6 horas por dia?
12 4 20 6
x 1 80 4
12 480
x 320
480 x = 12 320
480 x = 3 840
x _ 3 840
480
Resposta: Em 8 dias.
x = 270
84
12. Os 2500 operarios de uma industria
Resposta: Serao necessados 45 dias.
= 270
45_
6
•
•
•
•
•
•
a
ID
— 111-
1111
a
a-
*
a
S
a-
- 1110
-a
•
S
111,-
_or
S
S
automobilistica produzem 500 veiculos
operAnos veiciilos 11ias horas/dia_
2500
1200
500....
450
304 _a A
x__ 10_
30 12Q0 590•'0 IX/ 5
x 2 59X1 450 9 X i
30 12 10 5
x 25 9 4
30 61X1
x 9Q.0
= 30 . 9
em 30 dias, trabalhando 8 horas por dia.
Quantos dias serao necessarios para
1200 desses operarios produzirem 450
veiculos, trabalhando 10 horas por dia? horas/dia

•
•
S
S
o.
Converta a fracao 3 para uma razao
4
centesimal e apresente-a como uma
porcentagem.
3 x
4 100
(multiplicamos ern cruz)
-
4x = 3 • 100
00
4x = 300 x =
3
-
4
x = 75
Entao: 375 75%
4 - 100 -
41) b) 15 100 100%
=
fl
0 _ join
411 100 100
• 100 100 -
90 90%
0
0 0CAPITULO 9 — PORCENTAGEM E JURO
Porcentagem
S
S
•
•
1. Observe_o_exempin A nsc:reva as frames
GOO
Observe: 3
100
Como essa razao tern denominador 100,
a chamamos de razao centesimal ou
porcentual.
Podemos representar a razao 3 por 3%.
(le-se tres por cento).
100
•
•
•
•
nomo porcentagens.
= 5%
100
lb
it a) 8
• 100
•
41 2,0bserve o exemplo e escreva as
•
• porcentagens como razaes centesimais,
8% =
100
• -
_a) 7%= 7 d) 10%= 10
100 100
b) 13% = 10 20%_= 20
100 100
c) 1,5% = 1,5 f) _0,5% = oT5
100 100
3. Converts as frames em razaes
centesimais, e as apresente como
porcentagens
a) 2
5
2 x
5 100
5
240
-
100
_10%
8
-
b)
4
8
4
8
=.5.0
8x =
50%
100
= X
100
d) 1
100
•
•
•
S
•
•
11
•
•
IP

25°/G
_40 100%
7 x .,.
4x=700 x=175
4 100
_ 175%
5 100
_c) 3
10
x = 300 x = 30
10
10 100
d) 5
20
20 100
4._Agora, deterrninaa solugao das
problemas que seguem.
a) Em uma urns ha 40 bolas das quais 30°
_sao verdes._Quantas sao as bolas verdes?
x 30%
inn v = an v qn
10n x ,1200
100
Resposta: 12. bolas_saa verdes_
h) Em uma cidade ha 20 000 hahitantes
dos quais 60% sao mulheres. Quantas
sao as mulheres nessa_cidade?
20 000 100%
100 x x 20 000 x 60
_ 1 200 000 -2G00
•••••
••
••
•
••
••
•
•
••
•
•
•
•••
•
•
••
•
•
••
•
•
••
••
•••
••
Exemplo:
Em uma testa ha 60 laranjas das quais
20% estao estragadas. Quantas laranjas
estao estragadas?
60 — 100% (60 laranjas correspondem a 100%)
X 20% (x laranjas correspondem a 20 0/0)
60 100
x 20
Resolvendo a regra de tres simples:
100 • x = 20 • 60 (multiplicamos em cruz)
100 x = 1 200
1200
x = > x = 12
100
Logo, 12 laranjas estao estragadas.
3 x
10 100
3 30 200/i,
---> 20x 500 X = 25
el
x 1200 x = 12
100 x = 1 200 000
100
Resnosta. SAn 12000 millheres

•
•
•
• c) Numa classe de 40 alunos,15% foram e) Urn radio que custava RS_400,00 sofreu
•
illb
•
•
•
• 15% 12%
100x = 600
.•• . II 1 .11 'I S AO
• d) Uma televisan R$ 900,00 a pram.
• a vista tem um desconto de 20%.
•
• ___1_09_xx=40.x 15
•
•
• 100
•
• Re
•
•
•
•
100 xx= 400 x 12
600
x x_ 6
_400 - 48 = 352
Laga,a radiaLostara as 352,Q0.
•
•
•
•
•
•
dio
40 100% 400 ma_
reprovados Quantos alunos foram
reprovados?
urn desconto de 12%. Quanto pagarei
por ele?
100 x = 4 800
x = 4 800 x = 48
100

A) Qual é a taxa que deve ser aplicada para
que o capital de R$ 20 000,00, em 3 anos,
renda urn juro de R$1 200,00?
c = 20 000
t = 3
j = 1 200
= ?
• • .
Substituindo em j — c i t
100
1 200 =
20 000 • i • 3
100
1 200 = 60 000 i
100
1200 100 _ 110 000
60 000 60 000
= 12 = 2 2
6
Resposta: A taxa é 2% a.a.
= i
B) Qual o capital que devo ter para ganhar
R$50,00 de juro a 2% a.a., durante 5 anos?
j = 50
i = 2
t = 5
c = ?
• .
Substituindo em j =
c i t
100
50 —
c • 2 • 5
100
50 • 100 = 5 000
—
10 10
c = 500
Resposta: 0 capital é R$500,00.
C) Durante quanto tempo devo empregar
R$ 200,00, a 6% a.a., para ganhar
R$ 36,00?
j = 36
i = 6
c = 200
t = ?
36
Substituindo em j =
200 6 • t
=
• i •
t
c
•
•
100
1200 • t
36 =
100
30 • 100
t
= 3
100
1 200 1
600
t
=
200
3
t= 6
= 3 --->t= 3
12
Resposta: 0 tempo é 3 anos.
2. Ju_ro simples
Observe a situacao.
Depositei R$ 2 000,00 em um banco,
taxa de 10 0/0 ao ano, e recebi ap6s 1 ano
R$ 200,00 de renda.
Chamamos: c = capital. inicial (dep6sito)
c = R$ 2 000,00
i = taxa percentual ou razao
centesimal
i = 10% a.a. (ao ano)
t = tempo (periodo da
aplicacao) t = 1 ano
j = juro (renda obtida)
R$ 200,00
Assim, chegamos a seguinte formula para
determinar o valor do juro obtido: *pm
j = c•i•t
100
Substituindo os valores fornecidos na
situacao descrita, temos:
j = 2 000 • 10 • 1 _ 20 000 = 200
111
100 100
Assim, j = R$ 200,00.
Agora, acompanhe os exercicios resolvidos
5. Depositei em um banco R$ 300,00 a
6% a.a., durante 5 anos. Quanta ganhei
de juro?
300 • 6 •
100
j = 9_0.
Resposta:._j = R$ 90,00
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
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•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•

ftespostal_Devo aplicar par_5_anos, =10 m_esea
Resposta: c = R$ 600,00
= 2 anos = 24 meses
600 • 5 • 24 720_
100
=R$ 720,00
0 capital de R$ 16000,00, durante 10. Qual o juro produzido por R$ 5 000,00,
Resposta . R$ 50,00
11. Durante quanto tempo devo aplicar um
capital de R$ 5000,00, a 20% a.m.,
para obter de juro uma importancia
igual ao dobro do capital aplicado?
= 2c --> = 2 = 10 000
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
41)
•
•
•
•
•
•
•
•
•
8. Durante quanto tempo devo aplicar urn
capital de R$ 40000,00, a 20% a.a., para
obter de juro uma importancia igual ao
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
60 = c • 5 •
100
6 000
10
64 000 .
> L=2
32 000
i = 2% a.a.
Respnsta. Maxa_deduro_foi 2%_ a a
2 anos, rendeu R$ 640,00. Qual foi a
taxa de juro anual?
640 _ d 000 • i • 2
100
em 15 dias, a taxa de 2% a.m.?
t =_15_dias = 1 mas
2
5 000. 2 .
2 _50_
100
40 000 _ 40 000 • 20 • t
100
4 000 000
>1
=5
800 000
10 000 _ 5000 • 20 • t
100
10 000 _.> t=10
1 000
89
'iesposta: 0 iuro_produzido foi.R$ 720,00.
• 11

•
•
•
_As unidades de medida devem ser
compativeis
A taxa percentual e tempo devem ser
compativeis, isto é:
• Quando a taxa for anual temos que
trabalhar corn o tempo em anos;
• Quando a taxa for mensal. temos que
trabalhar corn o tempo em meses;
• Quando tivermos taxa diaria temos
que trabalhar corn tempo em dias.
Porem, nem sempre isso acontece. Entao,
é necessario fazer as devidas conversoes
antes da resolucao do problema.
Exemplo:
c = R$ 500,00
i = 2% a.m. (ao mes)
t = 1 ano = 12 meses
j = ?
Primeiro convertemos a unidade de
medida do tempo, de ano para meses, de
modo que fique compativel corn o tempo
da taxa percentual. Depois, efetuamos os
calculos para determinar o valor de j.
= 500 • 2 • 12 = 12 000 = 120
100 100
j = R$ 120,00
12. Calcule o juro que urn capital de
R$ 18600,00 produz ern 12 meses a
taxa de 30% a.a.
t = 12_ mesas = 1 anD
18 600 • 30 • 5 580
100
Respnsta• j = R$ 5 580,00
13. Qual o capital que devo empregar
durante 18 meses, a taxa de 24%
ao ano, Para obter urn iuro de
7 WC) nn?
i =..24% = 2% am
Egon c • • 18
100
100 • 7 920 _ 22 000
2 • 18
= ti$ 2200.0,00
•
•
S
•
S
S
•
•
•
S
S
•
S
•
•
S
•
S
•
S
•
S
S
•
S
•
S
•
•
•

sentencas seguintes
segundos_ 1° 25' 03"
a) 15° 12' correspondem a 912
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
38°
a) trinta e oito gratis.
20° 08'
c) vinte graus_eoitominutos_
3 600 segundos.
d) 5' correspondem a 300 segundos.
e) 1° corresponde a
f) 10° correspondem a 360001
6
4
g) 120' correspondem a L
h) 360' correspondem
dem a
1. Represente o angulo cuja medida é:
b) sessenta_erlois graus e quinze minutos._
62° 15'
(1) cio7e graus, treze minutos e quarenta
______segundos.
segundos.
minutos.
j) 3 600" correspondem a 1 ' grau.
12° 13' 40"
grat is
gratis.
(
1*
Adotamos o grau como unidade de
medida de angulos.
Vamos determinar a medida do Angulo
AOB corn auxilio de urn transferidor.
Os submultiplos do grau sao o minuto
(1° = 60') e o segundo (1' = 60").
Exemplo: Represente numericamente o
Angulo de medida vinte e seis graus,
quinze minutos e nove segundos.
Resposta: 26° 15' 9"
Exemplos:
a) 40° 15' correspondem a quantos minutos?
40° correspondem a 40 x 60' = 2 400'.
2 400' + 15' = 2 415'
Resposta: 2 415'
b) 20° 12' 18" correspondem a quantos
segundos?
20° correspondem a 20 x 60' = 1 200'.
1 200' + 12' = 1 212'
1 212' correspondem a 1 212 x 60"
1 212' — 72 720"
72 720" + 18" = 72 738"
Resposta: 72 738"
e) 11M grau, vinte e cinco_minutos e Wes
ra, complete as lacunas das
2. Complete corn o valor correspondente: minutos.
15° = 15 • 60' — 900'
a) 1° corresponde a 60 minutos. 900' + 12' = 912'
b) 3° correspondem a 180 minutos.
0 0CAPITULO 10 - GEOMETRIA
Angulos
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
c) 1 ' corresponde a 60 segundos.
•
• 0

•
335
h) 5° 35' correspondem a
650
c) 10° 50' correspondem a
graus e
6
73 graus
b) 72° 80' correspondem a
minutos.
100 =Ali • 6.0' =_600'
600' + 50' = 650'
ri) 30° 15' corresponde
_segundos.
30° = 30 60' = 1 800!
1 800' + 15' = 1 815'
1 815' = 1 815 • 60" = 108 900"
de medida de angulos
complete as lanunas, fazendo as
e) 20° 20' 20" correspondem_a
conversOes necessarias.
a) 5° 65' correspondem a
5 minutos.
73 220
mini dos.
5° = 5 • 60' = 300'
300' + 35' = 335'
segundos,
1 200'
1 220' = 1 220 • 60" = 73 200"
73 200" + 20" = 73 220"
5° 65' = 6° 05'
65'1 60
05' 1°
•
2. ethiversao das unitad-
6-
k
ID
•
•
•
S
S
Rik
Os minutos e segundos, quando expressos
por nOmeros maiores ou iguais a 60,
devem ser convertidos para a unidade de
medida imediatamente superior.
Exemplo: 20° 12' 82"
Como os segundos sao expressos por
urn numero maior do que 60, temos que
converte-los para minutos.
82" 60 80" = 1' 22"
22" 1'
20° 12' + 1' 22" = 20° 13' 22"

segundos.
2° 02' 75"
rni5"
75"1 60
15" 1'
Exemplo:
12° 35' 18" + 5° 45' 12"
+ 12° 35' 18"
5° 45' 12"
17° 80' 30"
Como 80' > 60', devemos converter 80'
para graus:
80' 60
20' 1°
Assim: 12° 35' 18" + 5° 45' 12" =
= 18° 20' 30"
a) 25° 12'_+ asa 20'
25° 12'
35° 20'
60° 32'
b)_8° 18' 10" + 10° 15' 20"
8° 18' 10"
10° 15' 30"
18° 33' 40"
00
11801190
2
c) 2° 02' 75" corresponderna
3 15
minutos...e
graus,
2° 03' 15"
17
10
graus, 30
segundos.
minutos e
11. Operagoes corn
medidas de angulos
Adicao e subtracao
d) 16° 70Thorrespondem
16° 89'70"
'1)10"
10"
16° 90' 70"
60'
30"
30'
70"
60"
17° 30' 10"
•
5. Agora, efettla as seguintes operagoes.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
25° 10' — 12° 09'
25 IL)
12° 05'
13° 05'

urn numero natural
f) 51° 20' — 10° 30'
51° 20' 50'80'
10° 30' 10° 30'
40° 50'
h) 32° 20' 40" + 17° 50' 12"
32' 2U 40 70' 60
17° 50' 12" 10' 1°
91°
ri) 58° 20' 45" — 18° 12' 15"
58° 20' 45
18° 12' 15"
40° 08' 30"
e) 12° 50' + 18° 20'
12" 50 70' 60
18° 20' 10' 1°
30° 70'
Para multiplicar a medida de urn angulo
por um numero natural, basta multiplicar
os graus, minutos e segundos por esse
numero e, quando necessario, fazer
as devidas conversoes de unidades de
medida.
Efetue as multiplicacbes.
a) 5°12' 10" x 3
5° 12 10"
x 3
15° 36' 30"
hl 190 Y ri
12° 08'
x 5
•
S
•
15° 32'
_ctL 10" —
5°— 31 - /0"
20' 30" 4° 20' 30"
11° 11' 40"
60° 40'
c) 15°10' x 6
60' 60
x 6 00' 1°
90° 60'
150 10'

Para dividir a medida de urn 'Angulo por
urn numero natural, dividimos os graus
pelo numero dado. Se houver resto ern
graus, os convertemos para minutos,
somando aos minutos do Angulo; e
dividimos o valor obtido pelo numero
dado. Se houver resto em minutos, basta
converte-lo para segundos, adicionar aos
segundos do Angulo, e dividir essa soma
pelo numero dado.
Exemplo:
25° 13' 20" 2
24° 12° 36'40"
1° 13' 20"
60' + 13' 20"
73' 20"
72'
,1' 20",
60"+20"
80"
8
-
0"
0
ri) 15° 18' 32" x 2
64" 160
04' 1'
•
•
•
•
•
15° 18' 32"
x 2
30° 36.
_30° 37' 04" 2
•
•
•
•
•
•
50° 12' 30" x 4
50° 12 3u" 120"1 60
4 901_2L
200° 48' 120"
e)
•
•
•
290° 50'
• f) 3° 02' 06" x 10
•
•
•
3° 02' 06" 60"160
10' 00" -1
7. Agora, _efetue as divisOes.
5° 04" x 3
5° 31 04" 93'160 25.°_0Q 5
ra)_ 25° 30' + 5
3 33' 1° 0 30' 5L06'
° 93' 12" 0
16° .33'
b) 27° 12' ÷ 2
2L 12:4 2
— 07° 130 36
_69' ±
72'
12'
0
•
•
•
•
Divisan da medida de um Angulo par um
amen) natural

r
• Angulos agudos sac) angulos que
medem menos de 90°.
4
• Angulos obtusos medem mais de
90° e menos de 180°.
I I
.1
_A) 17° 13' 20"_+__5.
17° 13' 201
120'
que PO° IV
c) 50° 16' 40"_÷.2
50° 16' 40" 12
tooA 25° Q8' 2T_
ngu o rttiVailgulo agudo e
angulo obttiso
d) 7° 15' 12" ÷ 9
7° 15' 12"
37' 36"
12"
0
79'
15'
-41
a) Os kigulos retos medem 90°. -41
h) A medida de urn angulo agt idn P maior
que 90°. !, F
c) Dois angulosreto_s sao congruentes_
d) A medidadaitarangulo °lotus() é m1310E_
e) Dois angulos obtusos sao sempre
congruentes.
f) A medida de urn angulo obtuso e major
due a de urn angulo agudo. V
•
•
•
•
°
40"
00
° 02' 06" 8. Classifique as sentengss Pm verdadeim
(V) ou falso (F).
133'
33'
= 180"
200"
e) 16° 08' 24" 4
• I:
0 08'
0 24"
(
te• Urn angulo reto mede 90°.

a=b e c=d
5. oscongruentet
•
•
•
•
e-
s
_9_,Calcule 0 valor de x nos itens abaixo_
x = 50°
500
x20° = 4D°
x___= 20°
40° x + 20°
bissetriz
6. Angulos complemmtares e
angulos supf—
ementares_
• Dois angulos sao complementaresi
quando a soma de suas medidas é
igual a 90°.
• Dois angulos sao suplementares
quando a soma de suas medidas
igual a 180°.
Fie
0
x + 20° = 180°
X
20°
Exemplo 1
Calcule o complemento de 25° 20'.
90°
2
-
5° 20'
89° 60'
2
-
5° 20'
64° 40'
0 complemento de 25° 20' é 64° 40'.
Exemplo 2
Calcule o suplemento de 100° 12' 40".
180°
100° 12' 40"
179° 59' 60"
180° =
Assim:
179°
100°
179°
59'
12'
60' =
60"
40"
79° 47' 20"
0 suplemento de 100° 12' 40" 6 79° 47' 20".
GO
Dois angulos opostos por urn vertice sao
congruentes, pois tem a mesma medida.
a
A bissetriz de um Angulo divide-o em
dois outros angulos congruentes.

89° 59' 60:'
3
-
8° 02'
S
•
10,Deterrnine_ocomptemento dos _____11._Datermineosuplemento dos seguintes
—111-
--------
U
a) 100°
180°
nn.
Anal ilos
seguintes angulos
a) 40°
j00
_400
50°
hl 125°
- 125°
55°
S
• 12no ;fin'
p..) no 15' :vy
AIL
c) 10° 12'
89,2_110 , t7.95, 60' S
-
10° 12' 120° 30'
5P° 30'
89° 6.0"
5° 1.0' 20"
a4°__ 49: 40"
fl 220 02' 20"
51° 57' 3Q'
98
d) 118° 12'
179° 60'
118° 12'
61° 40'
29° 44' 30"
0 130° 10' 10"
119° 59' 60"
_
-
130° 10' 11Y'
49° 49' 50"
RI 5° in' 2n"
h) 250
goo
- 25°
650
89" 60'
15° 40'
74? 20:
dl 15° 40'
19° A8!.
aL)
- 613"
(-)0 1 r,'
_80°

x
• g) 0 complemento de urn angulo
906 - x
• h) 0 suplemento de um angulo.
•
• 180° - x
•
•
•
12. Chamando da x a medicia de um Resolve os seguintes problemas
anguhqualquer, escreva,
linguagem matematica, as seguintes
sentengas:
0 dobro da medida de um angulo.
0 triplo da medida de urn angulo 3x
c) A mptarie da medida de uniangulo_
•
• d) A terga parte da medida de urn angulo.
13. A medida de urn angulo mail o seu
dobro igual a 120°. Determine esse
—
angulo. _
x + 2x = 120° > 3x = 120° --> x = 40°
sa'o complementares e
a medida de urn deles é o dobro da
medida do outro. Determine esses
angiilos
x
• 3
• e) 0 guadruplo da medida de urn angulo.
• [x
•
• lc) A quinta parte da medida de urn angulo.
x + 2x = qn. x
2x = 60°
5. Determine o angulo cujo dobro de sua
medida mais 10° é igual a 140°.
2x + 10° = 140° --> 2x = 130° > x = 65'
16. 0 triplo da medida de urn angulo
menos a medida desse angulo é igual a
90°_ iletermine esse angulo.
3x - x = 90° > 2x _ > x = 45°
____.17..A_medida de urn angulo mais sua terga
Q.-dobro do complement° de um angulo. parte é igual a 40°. Determine_ esse
•
2 (90° - x) angulo.
) A terra parte do suplemento de urn
x1 x = 4Q 3x + x _ 120°
3
4x = 120° x = 30°
•
•
•
angulo_. 180 - x
3

mesmo angulo e igual a 2400
2x + 90° - x = 1_30° x = 40° •
2x = 100° + 180°
2x = 280° x = 140°
Logo: x = 140°
180° - x = 40°
- 1111-
GO
esse angulo.
x - (90° - x) = 50° x - 90° + x 50°
= 140° x = 70°
18. C) dobro_damedida de um_Angulo 23. nois anguioasao suplementares
mais sua quinta parte e igual a 22°. a medida de urn deles e o triplo da
Determine esse angulo._ medida do outro. Determine esses
2x X 220 10x + x = 110° >
5
11x = 110° x = 10°
Angulos.
3x ±_x_= 180° 4x = lay
= 135°
19. C) dnbro da medidade um_angulainais_
.
SPIlcomplemento e igual a 130° Qua! 6 24. 0 dobro do complemento de urn VD
esse angulo? angulo mais o suplemento desse
11
20. 0 suplemento de urn angulo menos o 2(90° - x) + (180L- x) = 240° AI-
180° - 2x + 1811° - x = 240°
dohro _da medida desse angulo A igual -3x = -120°
x = 40°
a30° Qual é esse angulo?
1$0° - x - 2x = 30° -.3x = -150° 25. A medida de urn angulo menos seu
x = 50°
igual a 80° Qual P esse •
21. Urn angulo mais a metade do sell arigt tln9
complemento é igual a 75°. Determine
esse angulo.
j18E=4=B0o___
x - 180° + x = 80°
2x = 260° --) x = 130° S
x + 90° - x = 75° 2x + 90° - x = 150°
2
x = 60°
22.Araedidade urn 'Angulo menos_seu_
complementsP
igual a 50°. Determine
x - (180° - x) = 100° x - 18_01+___x = 1_00° Aga
diferenca entre st ias medidas é 100°-
Determine_essasAngulos_
-411-

8 cm
70° aculangulo
esoaleno
1.20°
isosceles
3 cm
4 cm
•
•
•
• -
W
O
•
•
•
•
•
7. Trialgtil0.5
•
•
Classificacao quanto aos Lagos:
• equilatero: tern tres lados
congruentes.
• isosceles: tern dois lados
congruentes.
• escaleno: seus lados nao sacs
congruentes.
Classificacao quanto aos angulos:
• acutangulo: tern tres angulos
agudos.
• retangulo: tern urn angulo reto.
• obtusangulo: tem um angulo
obtuso.
e) isosceles
I II j egraleno
•
27. Classifique as triangulos quanta aos
•
•
•
•
larios.
8 cm
A equilatera
28. Classifique os triangulos quanta aos
_angulos
a)
a)
•
•
•
obtusdogub
6
•
•

.1 0
29. 15. Associe a coluna da esquerda a da
.tetangulo
90°
1
3x + + 30° = 180°
direita.
dois lados
.congruentes
urn angulo reto 50° 50°
tres lados _x + 10° + 50° + 50.° = 18,0°
congruentes x = 70°
f) acutangulo _tress lados
nao-congruentes
a) equilatem
1D)_retangulo
c) isosceles_
d) obttisangtilo
e) escaleno
triangulo
A soma dos angulos internos de urn
triangulo é igual a 180°
30. Calcille o valor do Angulo x nos
2x - 10° + 20° + 20° = 180°
2x = 140° —› x = 702
Soma dos angulos internos de um
triangulos a seguir. 2x + x - 10° + x ao° = 180°
4x .= 160° x = 40°
3x „
2
+ 70° = 180° 6x + 2x + x = 360°
x = 60°
C
9x = 360° —› x = 40°

retangulos trapezios
1. _Observe o. diagrama e escreva_V__ouE____
nas afirmativas a s_eguir
quadrilateros losangos paralelogramos
a) Tod° quadrado é paralelogramo
b)Todo paralelogramo é quadrado
c)Todo quadrado é losango.
d) Tocin_losango e quadrado.
e)Todo quadrado é losango .e retangulo ao
mesrno tempo.
f)Todo quadrilatera é paralelogramo.
g) 0 trapezia isosc_eles possui os lados nao
paralelos congruentes.
h.) 0 trapAgio retangulo possui quatro
anguins retos.
i)0 trapezio escaleno possuios quatro lados
nao-congruentes.
j) Paralelogramo A o qtladrilatera_que possui
os lados opostos paralelos.
V
V
V
V
Paralelogramos
Sao os quadrilateros que possuem os
lados opostos paralelos.
paralelogramo quadrado
retangulo Losango
Trapezios
Sao os quadrilateros que possuem
somente dois lados paraleLos.
trapezia trapezio
isosceles retangulo
trapezio
escaleno
I
Quadriliteros
Ciassificacao
•
•
•
•
•
•
4111
•
•
•
•
ID
•
•
•
•
•
•
•
S
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
411111---
•
•

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