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Laboratório 2
Verificação Experimental do
Theorema de Thevenin
(Circuitos DC)
Referência Bibliográfica
Pearson Education do Brasil,
12ª edição - 2012
e-books temporariamente abertos
30 Março 2020
A pedido do pró-reitor de graduação da
USP, professor Edmund Chada Baracat, a
Comissão de Graduação da Escola de
Engenharia de São Carlos (EESC) da USP
informa a liberação temporária do acesso
a plataformas e-books da Person e da
Elsevier - Science Direct. Seguem os dados
para acesso:
E-books da Person
Site: plataforma.bvirtual.com.br
Usuário: BV_USP@pearson.com
Senha: @Pearson123
ATENÇÃO
Referência Bibliográfica
Pearson Education do Brasil, 2012
Capítulo 9 – Teoremas para
Análise de Circuitos (pg. 302)
9.3 Theorema de Thevenin (pgs.
309 – 319)
Fundamentos Teóricos
Teorema de Thevenin
Teorema de Thevenin
(Circuitos DC)
O circuito elétrico entre dois terminais de um
circuito pode ser substituído por um circuito
equivalente contendo uma fonte em série com
um resistor.
Teorema de Thevenin
(Circuitos DC)
Exemplo 2
Exemplo 1
Circuito A Circuito de Thevenin
equivalente de A
Circuito B Circuito de Thevenin
equivalente de B
Uma carga RL , conectada
entre os terminais a e b
no circuito B, terá a
corrente, tensão e
potência neste circuito e
no seu circuito
equivalente de Thevenin.
Uma carga RL , conectada
entre os terminais a e b
no circuito A, terá a
corrente, tensão e
potência neste circuito e
no seu circuito
equivalente de Thevenin.
Teorema de Thevenin
(Circuitos DC)
Procedimento de
Cálculo de ETH e RTH
Exemplo 1 : Determinar o circuito equivalente de Thevenin do circuito abaixo.
Procedimento 1: Identificar os terminais ab de interesse e remover a carga RL do
circuito .
Circuito com fonte
de tensão e sem
fonte de corrente.
fonte de tensão
Procedimento 2: Substituir as fontes de tensão do circuito por curto circuitos e as
fontes de corrente por circuitos abertos. A resistência Rth é a resistência calculada entre
os terminais do a e b do circuito.
Rth = R1  R2 = [(3) (6) / (3 + 6)] = 2 
(curto circuito)
Procedimento 3: Determinar Eth retornando todas as fontes de tensão e corrente do
circuito e calculando a tensão nos terminais ab sem carga.
Eth é a tensão no resistor de 6. A corrente no resitor é:
I = E1 / (R1 + R2) = 9V / (6 + 3) = 1A
Portanto Eth = 1A x 6 = 6V.
O circuito original pode ser substituído pelo seu equivalente utilizando-se Eth em série
com Rth . A corrente, tensão e potência em uma carga RL no circuito equivalente serão
as mesmas da configuração inicial do circuito.
Circuito original Circuito equivalente de Thevenin
Exemplo 2: Determinar o circuito equivalente de Thevenin do circuito abaixo.
Procedimento 1: Identificar os terminais ab de interesse e remover a carga RL do
circuito .
Circuito com fonte
de corrente e sem
fonte de tensão.
fonte de
corrente
Procedimento 2: Substituir as fontes de tensão do circuito por curto circuitos e as
fontes de corrente por circuitos abertos. A resistência Rth é a resistência calculada entre
os terminais do circuito.
Rth = R1 + R2 = 6Ω
(curto aberto)
Procedimento 3: Determinar Eth retornando todas as fontes de tensão e corrente do
circuito e calculando a tensão nos terminais ab sem carga.
V
R
R
I
V 0
)
)(
0
(
)
)(
( 2
2
2
2 


𝐸𝑡ℎ= V1= I1R1=(12A)(4Ω)=48V
O circuito original pode ser substituído pelo seu equivalente utilizando-se Eth em série
com Rth . A corrente, tensão e potência em uma carga RL no circuito equivalente serão
as mesmas da configuração inicial do circuito.
Exemplo 3 : Determinar o circuito equivalente de Thevenin do circuito abaixo.
Procedimento 1: Identificar os terminais ab de interesse e remover a carga RL do
circuito .
Circuito com fonte
de tensão e sem
fonte de corrente.
Procedimento 2: Substituir as fontes de tensão do circuito por curto circuitos e as
fontes de corrente por circuitos abertos. A resistência Rth é a resistência calculada entre
os terminais do circuito.
Rth = (R1  R3 ) + (R2  R4 ) = 5Ω
(curto circuito)
Procedimento 3: Determinar Eth retornando todas as fontes de tensão e corrente do
circuito e calculando a tensão nos terminais ab sem carga.
As tensões nos pontos “a” e “b” podem ser determinadas usando os divisores de tensão:
V
48
)
6
(
3
6
V
72
)
R
)(
R
R
E
(
)
R
)(
I
(
V 1
3
1
1
1
1 








V
54
)
12
(
4
12
V
72
)
R
)(
R
R
E
(
)
R
)(
I
(
V 2
4
2
2
2
2 








A tensão entre os terminais ab é Eth = V2 – V1 = 6V
Circuito original
Circuito equivalente de Thevenin
O circuito original pode ser substituído pelo seu equivalente utilizando-se Eth em série
com Rth . A corrente, tensão e potência em uma carga RL no circuito equivalente serão
as mesmas da configuração inicial do circuito.
Procedimento da
medida de ETH e RTH
Teorema de Thevenin
(Circuitos DC)
Método 1
Procedimento 1: Medir a tensão nos terminais do circuito sem carga (circuito aberto).
A tensão medida por um voltímetro nos terminais a e b no circuito equivalente é a
tensão em circuito aberto (ou sem carga) VOC = Eth. Logo tensão medida na network
nestes mesmos terminais tem que ser a mesma pois os circuitos são equivalentes.
Circuito (Network) cuja configuração
(fontes de tensão, fontes de corrente,
resistores e conexão entre eles) é
desconhecida
Circuito equivalente da network
segundo o Teorema de Thevenin
Procedimento 2:
Medir a resistência nos terminais do
potenciomêtro cuja valor é igual à Rth .
Conectar um resistor variável
(potenciomêtro) nos terminais a e b do
circuito. Variar a resistência até que a
tensão medida nos terminais do
potenciomêtro seja igual à Eth/2. Medir
a resistência nos terminais do
potenciomêtro cuja valor é igual à Rth
No circuito equivalente observa-se que
para se medir uma tensão Eth/2 nos
terminais a e b deve-se ter RL = Rth e
portanto a resistência medida com o
ohmímetro é Rth .
ohmimetro
Procedimento 1: Medir a tensão nos terminais do circuito a e b, como mostrado no
Método 1. A tensão media em circuito aberto (VOC) é igual a Eth .
Procedimento 2:
Rth = Eth / Isc
Método 2
Medir a corrente que passa no terminais a e b com um amperímetro. Como os
amperímetros tem resistência muito baixa é como se fosse um curto circuito nos
terminais a e b e a corrente é denominada de curto circuito (Isc).
No circuito equivalente observa-se
que Isc = Eth / Rth . Logo,
Exemplo (Método 1)
Procedimento 1: Medir a tensão nos terminais ab sem carga do circuito (Voc). A tensão
Eth é igual a tensão em circuito aberto .
Determine o circuito equivalente do circuito abaixo.
Circuito com fonte
de corrente e com
fonte de tensão.
Procedimento 2: Conectar um resistor variável (potenciomêtro) nos terminais do
circuito. Variar a resistência até que a tensão medida nos terminais do potenciomêtro
seja igual à Eth/2. Medir a resistência nos terminais do potenciomêtro cuja valor é igual
à Rth =1,875Ω.
Eth/2
Rth
O circuito original pode ser substituído pelo seu equivalente utilizando-se Eth em série
com Rth . A corrente, tensão e potência em uma carga RL no circuito equivalente serão
as mesmas da configuração inicial do circuito.
Procedimento 1: Medir a tensão nos terminais ab sem carga do circuito (Voc). A tensão
Eth é igual a tensão em circuito aberto .
Exemplo (Método 2)
Eth
Determine o circuito equivalente do circuito abaixo.
Circuito com fonte
de corrente e com
fonte de tensão.
Procedimento 2: Curto circuitar os terminais do circuito e medir a corrente de curto
circuito (Isc) com um multímetro.
Isc
Rth = Eth / Isc = 4.5/2.4 = 1,875Ω
O circuito original pode ser substituído pelo seu equivalente utilizando-se Eth em série
com Rth . A corrente, tensão e potência em uma carga RL no circuito equivalente serão
as mesmas da configuração inicial do circuito.
Roteiro
Experimental
Implementar em um protoboard o seguinte circuito
Medir com um multímetro a corrente no resistor R para os seguintes valores de R:
100, 1k8 e 6k8.
Determinar experimentalmente o circuito equivalente de Thevenin entre os
pontos a e b do circuito medindo os valores de Eth e Rth (Método 1 ou 2).
1
2
3
Implementar em um protoboard o circuito equivalente de Thevenin do circuito
anterior, conforme mostrado abaixo.
4
No circuito equivalente de Thevenin medir com um multímetro a corrente no
resistor R para os seguintes valores de R: 100, 1k8 e 6k8.
Comparar os valores de corrente medidos no resitor R nos dois circuitos anteriores.
Comparar os valores teóricos e experimentais de Eth e Rth.
5
6
7
Implementação
Experimental
Na figura abaixo observa-se a montagem do circuito em um protoboard. Resistores
com os valores 100, 1k8 e 6k8 são inseridos no circuito, entre os nós A e B, e a
corrente em cada um deles é medida com um amperímetro, conforme figura abaixo
(observe que o amperímetro está em série com o resistor R). O circuito é alimentado
por uma fonte de tensão externa de 20 V conectada aos bornes verde e preto do
protoboard.
1
Na figura abaixo observa-se a montagem do circuito equivalente em um protoboard.
Resistores com os valores 100, 1k8 e 6k8 são inseridos no circuito entre os nós a
e b e a corrente em cada um deles é medida com um amperímetro (observe que o
amperímetro está em série com o resistor R). O circuito é alimentado por uma fonte
de tensão externa Eth conectada aos bornes verde e preto do protoboard.
2
resistor variável
resistor variável
No slide seguinte observa-se a montagem do circuito abaixo no setor C e do seu
equivalente no setor D de um protoboard. Resistores com os valores 100, 1k8 e
6k8 são inseridos no circuito, entre os nós a e b, e a corrente em cada um deles é
medida com um amperímetro, conforme figura abaixo (observe que o amperimetro
está em série com o resistor R). O circuito é alimentado por uma fonte de tensão
externa de 20 V conectada aos bornes verde e preto do protoboard.
3
Circuito
Carga R
6k8Ω
3k3Ω
12kΩ
3k9Ω
R=
100Ω
1k8Ω
6k8Ω
Circuito
Equivalente
de Thevenin
Carga R
RTH
C
D
a b
A determinação do circuito equivalente de Thevenin pelo Método 2, descrito nos
slides 28 e 29 é o mais rápido de ser implementado porque envolve uma medida de
tensão para se terminar VTH e uma de corrente para se determinar Isc sendo Rth = VTH
/ Isc .
A figura A abaixo, sem a carga R, mostra a medida de tensão entre os pontos a e b
que é VTH . A figura B, sem a carga R, mostra a medida de ISC para de determinar RTH .
VTH ISC
Figura A Figura B
5
No slide 33 observa-se a montagem do circuito equivalente no setor D de um
protoboard.
Uma fonte de tensão conectada nos bornes azul e vermelho fornece uma tensão VTH
no circuito.
Um resistor variável é ajustado para obter RTH através de um ohmímetro (Figura C).
Resistores (R) com os valores 100, 1k8 e 6k8  são inseridos no circuito, entre os
nós a e b, e a corrente em cada um deles é medida com um amperímetro, conforme
figura abaixo (observe que o amperimetro está em série com o resistor R).
Rth
Figura C Figura D
6
Os valores de corrente em cada resistor R medidos nos dois circuitos devem ser iguais
porque pelo Teorema de Thevenin os circuitos são equivalentes. Experimentalmente
obtém-se valores muito próximos devido a tolerância dos resistores utilizados, da
precisão valores de tensão fornecidos pelas fontes e da precisão dos valores de
corrente medidos pelos amperímetros.
Utilizando os slides 17 à 19 pode-se determinar os valores teóricos de VTH e RTH.

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  • 1. Laboratório 2 Verificação Experimental do Theorema de Thevenin (Circuitos DC)
  • 2. Referência Bibliográfica Pearson Education do Brasil, 12ª edição - 2012 e-books temporariamente abertos 30 Março 2020 A pedido do pró-reitor de graduação da USP, professor Edmund Chada Baracat, a Comissão de Graduação da Escola de Engenharia de São Carlos (EESC) da USP informa a liberação temporária do acesso a plataformas e-books da Person e da Elsevier - Science Direct. Seguem os dados para acesso: E-books da Person Site: plataforma.bvirtual.com.br Usuário: BV_USP@pearson.com Senha: @Pearson123 ATENÇÃO
  • 3. Referência Bibliográfica Pearson Education do Brasil, 2012 Capítulo 9 – Teoremas para Análise de Circuitos (pg. 302) 9.3 Theorema de Thevenin (pgs. 309 – 319)
  • 6. Teorema de Thevenin (Circuitos DC) O circuito elétrico entre dois terminais de um circuito pode ser substituído por um circuito equivalente contendo uma fonte em série com um resistor.
  • 7. Teorema de Thevenin (Circuitos DC) Exemplo 2 Exemplo 1 Circuito A Circuito de Thevenin equivalente de A Circuito B Circuito de Thevenin equivalente de B Uma carga RL , conectada entre os terminais a e b no circuito B, terá a corrente, tensão e potência neste circuito e no seu circuito equivalente de Thevenin. Uma carga RL , conectada entre os terminais a e b no circuito A, terá a corrente, tensão e potência neste circuito e no seu circuito equivalente de Thevenin.
  • 8. Teorema de Thevenin (Circuitos DC) Procedimento de Cálculo de ETH e RTH
  • 9. Exemplo 1 : Determinar o circuito equivalente de Thevenin do circuito abaixo. Procedimento 1: Identificar os terminais ab de interesse e remover a carga RL do circuito . Circuito com fonte de tensão e sem fonte de corrente. fonte de tensão
  • 10. Procedimento 2: Substituir as fontes de tensão do circuito por curto circuitos e as fontes de corrente por circuitos abertos. A resistência Rth é a resistência calculada entre os terminais do a e b do circuito. Rth = R1  R2 = [(3) (6) / (3 + 6)] = 2  (curto circuito)
  • 11. Procedimento 3: Determinar Eth retornando todas as fontes de tensão e corrente do circuito e calculando a tensão nos terminais ab sem carga. Eth é a tensão no resistor de 6. A corrente no resitor é: I = E1 / (R1 + R2) = 9V / (6 + 3) = 1A Portanto Eth = 1A x 6 = 6V.
  • 12. O circuito original pode ser substituído pelo seu equivalente utilizando-se Eth em série com Rth . A corrente, tensão e potência em uma carga RL no circuito equivalente serão as mesmas da configuração inicial do circuito. Circuito original Circuito equivalente de Thevenin
  • 13. Exemplo 2: Determinar o circuito equivalente de Thevenin do circuito abaixo. Procedimento 1: Identificar os terminais ab de interesse e remover a carga RL do circuito . Circuito com fonte de corrente e sem fonte de tensão. fonte de corrente
  • 14. Procedimento 2: Substituir as fontes de tensão do circuito por curto circuitos e as fontes de corrente por circuitos abertos. A resistência Rth é a resistência calculada entre os terminais do circuito. Rth = R1 + R2 = 6Ω (curto aberto)
  • 15. Procedimento 3: Determinar Eth retornando todas as fontes de tensão e corrente do circuito e calculando a tensão nos terminais ab sem carga. V R R I V 0 ) )( 0 ( ) )( ( 2 2 2 2    𝐸𝑡ℎ= V1= I1R1=(12A)(4Ω)=48V
  • 16. O circuito original pode ser substituído pelo seu equivalente utilizando-se Eth em série com Rth . A corrente, tensão e potência em uma carga RL no circuito equivalente serão as mesmas da configuração inicial do circuito.
  • 17. Exemplo 3 : Determinar o circuito equivalente de Thevenin do circuito abaixo. Procedimento 1: Identificar os terminais ab de interesse e remover a carga RL do circuito . Circuito com fonte de tensão e sem fonte de corrente.
  • 18. Procedimento 2: Substituir as fontes de tensão do circuito por curto circuitos e as fontes de corrente por circuitos abertos. A resistência Rth é a resistência calculada entre os terminais do circuito. Rth = (R1  R3 ) + (R2  R4 ) = 5Ω (curto circuito)
  • 19. Procedimento 3: Determinar Eth retornando todas as fontes de tensão e corrente do circuito e calculando a tensão nos terminais ab sem carga. As tensões nos pontos “a” e “b” podem ser determinadas usando os divisores de tensão: V 48 ) 6 ( 3 6 V 72 ) R )( R R E ( ) R )( I ( V 1 3 1 1 1 1          V 54 ) 12 ( 4 12 V 72 ) R )( R R E ( ) R )( I ( V 2 4 2 2 2 2          A tensão entre os terminais ab é Eth = V2 – V1 = 6V
  • 20. Circuito original Circuito equivalente de Thevenin O circuito original pode ser substituído pelo seu equivalente utilizando-se Eth em série com Rth . A corrente, tensão e potência em uma carga RL no circuito equivalente serão as mesmas da configuração inicial do circuito.
  • 21. Procedimento da medida de ETH e RTH Teorema de Thevenin (Circuitos DC)
  • 22. Método 1 Procedimento 1: Medir a tensão nos terminais do circuito sem carga (circuito aberto). A tensão medida por um voltímetro nos terminais a e b no circuito equivalente é a tensão em circuito aberto (ou sem carga) VOC = Eth. Logo tensão medida na network nestes mesmos terminais tem que ser a mesma pois os circuitos são equivalentes. Circuito (Network) cuja configuração (fontes de tensão, fontes de corrente, resistores e conexão entre eles) é desconhecida Circuito equivalente da network segundo o Teorema de Thevenin
  • 23. Procedimento 2: Medir a resistência nos terminais do potenciomêtro cuja valor é igual à Rth . Conectar um resistor variável (potenciomêtro) nos terminais a e b do circuito. Variar a resistência até que a tensão medida nos terminais do potenciomêtro seja igual à Eth/2. Medir a resistência nos terminais do potenciomêtro cuja valor é igual à Rth No circuito equivalente observa-se que para se medir uma tensão Eth/2 nos terminais a e b deve-se ter RL = Rth e portanto a resistência medida com o ohmímetro é Rth . ohmimetro
  • 24. Procedimento 1: Medir a tensão nos terminais do circuito a e b, como mostrado no Método 1. A tensão media em circuito aberto (VOC) é igual a Eth . Procedimento 2: Rth = Eth / Isc Método 2 Medir a corrente que passa no terminais a e b com um amperímetro. Como os amperímetros tem resistência muito baixa é como se fosse um curto circuito nos terminais a e b e a corrente é denominada de curto circuito (Isc). No circuito equivalente observa-se que Isc = Eth / Rth . Logo,
  • 25. Exemplo (Método 1) Procedimento 1: Medir a tensão nos terminais ab sem carga do circuito (Voc). A tensão Eth é igual a tensão em circuito aberto . Determine o circuito equivalente do circuito abaixo. Circuito com fonte de corrente e com fonte de tensão.
  • 26. Procedimento 2: Conectar um resistor variável (potenciomêtro) nos terminais do circuito. Variar a resistência até que a tensão medida nos terminais do potenciomêtro seja igual à Eth/2. Medir a resistência nos terminais do potenciomêtro cuja valor é igual à Rth =1,875Ω. Eth/2 Rth
  • 27. O circuito original pode ser substituído pelo seu equivalente utilizando-se Eth em série com Rth . A corrente, tensão e potência em uma carga RL no circuito equivalente serão as mesmas da configuração inicial do circuito.
  • 28. Procedimento 1: Medir a tensão nos terminais ab sem carga do circuito (Voc). A tensão Eth é igual a tensão em circuito aberto . Exemplo (Método 2) Eth Determine o circuito equivalente do circuito abaixo. Circuito com fonte de corrente e com fonte de tensão.
  • 29. Procedimento 2: Curto circuitar os terminais do circuito e medir a corrente de curto circuito (Isc) com um multímetro. Isc Rth = Eth / Isc = 4.5/2.4 = 1,875Ω
  • 30. O circuito original pode ser substituído pelo seu equivalente utilizando-se Eth em série com Rth . A corrente, tensão e potência em uma carga RL no circuito equivalente serão as mesmas da configuração inicial do circuito.
  • 32. Implementar em um protoboard o seguinte circuito Medir com um multímetro a corrente no resistor R para os seguintes valores de R: 100, 1k8 e 6k8. Determinar experimentalmente o circuito equivalente de Thevenin entre os pontos a e b do circuito medindo os valores de Eth e Rth (Método 1 ou 2). 1 2 3
  • 33. Implementar em um protoboard o circuito equivalente de Thevenin do circuito anterior, conforme mostrado abaixo. 4 No circuito equivalente de Thevenin medir com um multímetro a corrente no resistor R para os seguintes valores de R: 100, 1k8 e 6k8. Comparar os valores de corrente medidos no resitor R nos dois circuitos anteriores. Comparar os valores teóricos e experimentais de Eth e Rth. 5 6 7
  • 35. Na figura abaixo observa-se a montagem do circuito em um protoboard. Resistores com os valores 100, 1k8 e 6k8 são inseridos no circuito, entre os nós A e B, e a corrente em cada um deles é medida com um amperímetro, conforme figura abaixo (observe que o amperímetro está em série com o resistor R). O circuito é alimentado por uma fonte de tensão externa de 20 V conectada aos bornes verde e preto do protoboard. 1
  • 36. Na figura abaixo observa-se a montagem do circuito equivalente em um protoboard. Resistores com os valores 100, 1k8 e 6k8 são inseridos no circuito entre os nós a e b e a corrente em cada um deles é medida com um amperímetro (observe que o amperímetro está em série com o resistor R). O circuito é alimentado por uma fonte de tensão externa Eth conectada aos bornes verde e preto do protoboard. 2 resistor variável resistor variável
  • 37. No slide seguinte observa-se a montagem do circuito abaixo no setor C e do seu equivalente no setor D de um protoboard. Resistores com os valores 100, 1k8 e 6k8 são inseridos no circuito, entre os nós a e b, e a corrente em cada um deles é medida com um amperímetro, conforme figura abaixo (observe que o amperimetro está em série com o resistor R). O circuito é alimentado por uma fonte de tensão externa de 20 V conectada aos bornes verde e preto do protoboard. 3
  • 39. A determinação do circuito equivalente de Thevenin pelo Método 2, descrito nos slides 28 e 29 é o mais rápido de ser implementado porque envolve uma medida de tensão para se terminar VTH e uma de corrente para se determinar Isc sendo Rth = VTH / Isc . A figura A abaixo, sem a carga R, mostra a medida de tensão entre os pontos a e b que é VTH . A figura B, sem a carga R, mostra a medida de ISC para de determinar RTH . VTH ISC Figura A Figura B 5
  • 40. No slide 33 observa-se a montagem do circuito equivalente no setor D de um protoboard. Uma fonte de tensão conectada nos bornes azul e vermelho fornece uma tensão VTH no circuito. Um resistor variável é ajustado para obter RTH através de um ohmímetro (Figura C). Resistores (R) com os valores 100, 1k8 e 6k8  são inseridos no circuito, entre os nós a e b, e a corrente em cada um deles é medida com um amperímetro, conforme figura abaixo (observe que o amperimetro está em série com o resistor R). Rth Figura C Figura D 6
  • 41. Os valores de corrente em cada resistor R medidos nos dois circuitos devem ser iguais porque pelo Teorema de Thevenin os circuitos são equivalentes. Experimentalmente obtém-se valores muito próximos devido a tolerância dos resistores utilizados, da precisão valores de tensão fornecidos pelas fontes e da precisão dos valores de corrente medidos pelos amperímetros. Utilizando os slides 17 à 19 pode-se determinar os valores teóricos de VTH e RTH.