1. O documento apresenta exercícios sobre números reais e intervalos. 2. Aborda conceitos como intervalos bem definidos, quociente de intervalos, conjuntos contidos em outros, interseção e união de intervalos. 3. Inclui questões como justificar se intervalos estão bem definidos, calcular quocientes, indicar conjuntos contidos noutros e verificar propriedades de interseção e união de intervalos.

1. Ficha de Trabalho de Matemática – 9.º Ano
Ano Letivo 2019/2020
Exercícios*Suplementares
Números reais e Intervalos
1. É evidente que, para estar bem definido, o extremo inferior de um intervalo limitado deverá ser numericamente
menor que o extremo superior.
Para que valores de 𝑎 ∈ ℝ, os seguintes intervalos estão bem definidos? Apresenta a tua resposta, usando
notação de intervalos. Justifica.
1.1. ]2𝑎 − 1, 𝑎 + 1[
1.2. ]𝑎3
, 𝑎2[.
1.3. ]2, √𝑎2 + 1[.
2. Dado um intervalo limitado 𝐴 = [𝑎, 𝑏], com 𝑎 ≠ 0, designaremos o número
𝑏
𝑎
por quociente do intervalo e
denotaremos por 𝑄(𝐴). O mesmo se aplica para intervalos com extremos abertos.
2.1. Indica 𝑄(]5, 10]) e 𝑄([2, 15]).
2.2. Se os extremos de um intervalo 𝐴 forem números inteiros, como classificas o número 𝑄(𝐴)? Justifica.
2.3. Justifica que o quociente de um intervalo pode ser qualquer número real, exceto o número 1.
2.4. Se 𝐴 for um intervalo apenas com números positivos, o que podes dizer acerca de 𝑄(𝐴)?
2.5. Como caracterizas um intervalo cujo quociente é nulo?
2.6. Justifica que o número 0 pertence a um intervalo de quociente negativo.
2.7. Sejam 𝐴 e 𝐵 intervalos que se intersetam apenas num elemento. Mostra que 𝑄(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑄(𝐴)𝑄(𝐵).
3. Um conjunto 𝐴 diz-se contido em 𝐵 se todos os elementos de 𝐴 pertencem a 𝐵. Assim, por exemplo, o intervalo
]2, 3[ está contido no intervalo ]1, 4], pois todos os elementos do primeiro intervalo estão compreendidos entre
1 e 4.
Verifica que o intervalo ]−
1
𝑛
,
1
𝑛
[ está contido em ]−1, 1[, para qualquer 𝑛 ∈ ℕ.
4. Sejam 𝐴, 𝐵 e 𝐶 três conjuntos não vazios tais que 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐶 ∪ 𝐵.
Mostra que 𝐵 está contido em 𝐴 e 𝐶 está contido em 𝐵.
5. Sejam 𝐴 e 𝐵 intervalos reais tais que 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴.
Indica 𝐴 ∪ 𝐵.
6. Sejam 𝑥 e 𝑦 números reais tais que 𝑥 > 𝑦 > 0.
Mostra que √
𝑥2+𝑥𝑦+1
2𝑦2
> 1. O que concluis quanto ao número √
2𝑦2
𝑥2+𝑥𝑦+1
?
7. Considera o conjunto não vazio 𝑄 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 ∶ 1 < 𝑥 ≤ 4}, onde 𝐴 e 𝐵 são intervalos reais.
7.1. Justifica que os conjuntos 𝐴 ∩ ]1, 4] e 𝐵 ∩ ]1, 4] são não vazios.
7.2. Dá exemplos de 𝐴 e 𝐵 de forma que:
7.2.1. 𝐴 = 𝐵 e 𝑄 tem apenas um elemento.
7.2.2. 𝐴 ≠ 𝐵 e 𝑄 tem apenas um elemento.
7.3. Justifica que 𝑄 não pode ter apenas dois elementos.
8. Sejam 𝐴 e 𝐵 dois intervalos reais limitados que intersetam ℤ.
Considera que a soma dos números inteiros de 𝐴 coincide com soma dos números inteiros de 𝐵.
Mostra que 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅.
(Sugestão: verifica que não é possível ter-se 𝐴 ∩ 𝐵 vazio).
9. Indica o menor valor de 𝑛 ∈ ℕ para o qual ]−∞, 𝑛2
+ √ 𝑛[ ∪ ]4𝑛, +∞[ = ℝ.