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Versão preliminar
10 de setembro de 2002

Notas de Aula de Física
10. COLISÕES ................................................................................................................... 2
O QUE É UMA COLISÃO ........................................................................................................ 2
FORÇA IMPULSIVA, IMPULSO E MOMENTO LINEAR ................................................................... 2
FORÇA IMPULSIVA MÉDIA ..................................................................................................... 3
CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR DURANTE UMA COLISÃO ................................................ 3
COLISÃO ELÁSTICA EM UMA DIMENSÃO ................................................................................. 4
COLISÃO ELÁSTICA EM DUAS DIMENSÕES .............................................................................. 6
SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS ....................................................................................... 8
19 .................................................................................................................................. 8
20 .................................................................................................................................. 8
23 .................................................................................................................................. 9
29 ................................................................................................................................ 10
31 ................................................................................................................................ 11
35 ................................................................................................................................ 12
45 ................................................................................................................................ 13
54 ................................................................................................................................ 14
66 ................................................................................................................................ 15
69 ................................................................................................................................ 16
70 ................................................................................................................................ 16
Prof. Romero Tavares da Silva

10. Colisões
Em um choque, forças relativamente grandes, atuam em cada uma das partículas
que colidem, durante um intervalo de tempo relativamente curto. Um exemplo corriqueiro
seria um esbarrão entre duas pessoas distraídas. Não existe alguma interação significativa entre elas durante a aproximação e até que se choquem. Durante o choque existe uma
forte interação que eventualmente pode causar danos físicos. Depois da colisão volta-se a
situação inicial onde não existia interação significativa.
O que é uma colisão
Podemos analisar com mais detalhes esses eventos se considerarmos a colisão
entre duas bolas de bilhar, onde uma bola rola em direção a uma segunda que está em
repouso.
De maneira equivalente ao esbarrão,
mencionado anteriormente, não existe interação significativa entre as duas bolas de
bilhar enquanto elas se aproximam e quando elas se afastam depois da colisão. A força de interação que descreve a colisão tem
grande intensidade e curta duração, como
descrito no gráfico ao lado.

F(t)

Forças como essa, que atuam durante um intervalo pequeno comparado com
o tempo de observação do sistema, são
chamadas de forças impulsivas.

ti

tf

t

∆t

Força impulsiva, impulso e momento linear
Vamos considerar uma partícula isolada, que se move com momento !v!=!jˆv! . A partir

v v
 v+
de um certo tempo ti até um instante posterior tf , passa a atuar sobre ela uma força
!
F 12 . O momento da partícula vai sofre alteração y =1ydm devido a existência da força atuH

CM

B

∫
M

!! !M
! M
ante e essa variação é também chamada de impulso M+=⇒v=j!−M . A segunda Lei de Newton, tem
vvv ˆ
M=
v
+) 0− 
( ++
MM
M

a forma:
!
! !
dp !
= F (t ) ⇒ dp = F (t )dt
dt
ou seja:
!
p
!
!
 ! !
∆p = p f − p i = !∫ dp 

!
p
p
! t !
! !


dp = ∫ F (t )dt ∴ 
⇒ ∆p = J

∫
!
t !
p
t
!


∫ F (t )dt = J 

t


H H

BH B
BB

HH
B B

f

f

i

i

i

f

f

i

Cap 10

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2
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Força impulsiva média
Algumas vezes é mais interessante considerar o valor médio da força impulsiva
que o seu valor a cada instante. Considerando a situação unidimensional podemos definir
a força impulsiva média F que atua em
F(t)
uma partícula durante a colisão como
tf

J = ∫ F (t )dt = F ∆t
ti

ou seja:
1 t
F =
∫ F (t )dt
∆t t
f

F

i

Estamos considerando que a área
abaixo da curva F(t) é a mesma área abaixo da curva F , daí as integrais terem os
mesmos valores

ti

tf

t

∆t

Conservação do momento linear durante uma colisão
Vamos considerar duas bolas de bilhar com mesma forma e pesos diferentes.
Uma das bolas se movimenta em
direção à segunda que está em repouso.
Depois da colisão as duas bolas se movimentam em sentidos contrários.

!
v 1I
m2

m1

Durante a colisão, entram em ação
as forças impulsivas descritas anteriormen!
te. A bola 1 exerce uma força F12 na bola
2 e de maneira equivalente a bola 2 exer!
ce uma força F21 na bola 1 .
Usando a terceira Lei de Newton, é
!
!
fácil perceber que F12 e F21 são forças de
ação e reação, logo:

!
F21

!
v 1F

!
F12

!
v 2F

!
!
F12 = −F21
Logo

t !
!
 !
∆p1 = ∫ F21 (t )dt = F21 ∆t

t


t !
!
 !
∆p 2 = ∫ F12 (t )dt = F12 ∆t

t

f

i

f

i

Cap 10

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Mas

!
!
F12 = −F21

ou seja:

⇒

!
!
F12 = −F21

!
!
∴ ∆p 2 = −∆p1

!
!
!
∆P = ∆p1 + ∆p 2 = 0

! !
!
Encontramos que o momento linear total P = p1 + p 2 de um sistema isolado composto de duas bolas, se conserva durante uma colisão. Esse resultado é facilmente extensível para colisões múltiplas.
Colisão elástica em uma dimensão
As colisões podem ser divididas em dois tipos, aquelas que conservam a energia
cinéticas - ditas elásticas, e aquelas que não conservam a energia cinética - ditas inelásticas.
Vamos considerar a colisão de duas bolas de massas m1 e m2 descrita a seguir:
!
v 1I

Antes da colisão
Temos que v1I > v2I , pois em caso contrário
não existiria a colisão.

!
v 2I

m2

m1

Depois da colisão
Temos que v1F < v2F , pois em caso contrário existiriam outras colisões depois da primeira.

!
v 1F
m1

!
v 2F
m2

Usando a conservação do momento linear total, temos que:
!
!
!
∆P = ∆p1 + ∆p 2 = 0
ou seja:

!
(p

1F

!
!
!
− p1I ) + (p 2 F − p 2 I ) = 0

⇒

!
!
!
!
p1 I + p 2 I = p1 F + p 2 F

Considerando apenas a situação unidimensional, temos:
m1v 1I + m 2 v 2 I = m1v 1 F + m 2 v 2 F
ou seja:

m1 (v 1I − v 1F ) = m 2 (v 2 F − v 2 I )

(1)

Quando a colisão for elástica, existe a conservação da energia cinética total, logo:
1
1
1
1
2
2
m1v 12I + m 2 v 2 I = m1v 12F + m 2 v 2 F
2
2
2
2
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ou seja:

ou ainda:

2
2
m1 (v 12I − v 12F ) = m 2 (v 2 F − v 2 I )

m1 (v 1I + v 1 F )(v 1I − v 1 F ) = m 2 (v 2 I + v 2 F )(v 2 I − v 2 F )

(2)

Dividindo a equação (2) pela equação (1) , encontramos:
v 1I + v 1 F = v 2 I + v 2 F
ou seja:
v 1I − v 1I = v 2 F − v 1 F

⇒

(3)

(V

Re lativa

)

I

= (VRe lativa )F

onde a validade da última equação se restringe ao caso de colisões elásticas.
Da equação (3) temos que:
v 2 F = v 1I + v 1 F − v 2 I

(4)

e usando esse resultado na equação (1) , temos:
m1 (v 1I − v 1F ) = m 2 (v 1I + v 1F − v 2 I ) − m 2 v 2 I
ou seja:
 m − m2
v 1F =  1
m + m
2
 1


 2m 2
 v 1I + 

m +m
2

 1


v 2I



(5)

Usando esse valor na equação (4) , encontramos:
 2m1
v 2F = 
m +m
2
 1


 m − m1 
 v 1I +  2

 m + m v 2I

2 

 1

(6)

A partir das equações (5) e (6) poderemos analisar diversas situações:
a. As bolas têm mesma massa: m1 = m2 = m . O resultado desse tipo de colisão é que as
bolas trocarão de velocidade:
v 1F = v 2 I

v 2 F = V1I
b. Uma partícula está em repouso:

 m1 − m 2 
v 1F = 
 m + m  v 1I


2 
 1

v =  2m1  v


 2 F  m1 + m 2  1 I



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Nessa situação ainda temos várias possibilidades:
b1. m1 < m2

⇒

v1F < 0

⇒

b2. m1 > m2

⇒

v1F > v1I

⇒

b3. m1 = m2

⇒

v1F = 0
v2F = v1I

⇒

m1 inverte o sentido da sua
velocidade.
m1 diminui a sua velocidade
em relação a situação antes
da colisão.
Uma bola pára e a outra arranca.

Colisão elástica em duas dimensões
!
Vamos considerar uma partícula de massa m1 e velocidade v 1I se deslocando
em direção de uma outra partícula de massa m2 que se encontra em repouso.
y

θ2

m2
!
m1 , v 1I

x

θ1

!
!
Após a colisão as partículas se movem com velocidades v 1F e v 2 F que fazem
ângulos θ1 e θ2 com a direção original da partícula de massa m1 .
!
v 2F

y

θ2

x

θ1

!
v 1F
Usando a conservação da energia cinética total, encontramos que:
KI = KF


1 m v 2 = 1 m v 2 + 1 m v 2
 2 1 1I 2 1 1 F 2 2 2 F

e usando a conservação do momento linear total, encontramos que:
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!
!

PI = PF

em x : m1v 1I = m1v 1F cos θ 1 + m 2 v 2 F cos θ 2
 em y : 0 = −m v senθ + m v senθ
1 1F
1
2 2F
2

Para esse problema conhecemos, em princípio, os parâmetros m1 , m2 , v1I e θ1 .
Temos três equações para calcular os valores das incógnitas v1F , v2F e θ2 .

Cap 10

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Solução de alguns problemas
Capítulo 10 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
19 Uma corrente de água colide contra uma pá de turbina estacionária em forma de
"prato" , conforme a figura a seguir. O módulo da velocidade é v , tanto antes quanto
depois de atingir a superfície curva da pá, e a massa de água atingindo esta por unidade de tempo tem valor µ constante. Encontre a força exercida pela água sobre a
pá.
µ = fluxo de água atingindo a pá.
!
vI

m
µ=
∆t
A segunda Lei de Newton diz que a força
resultante que atua na água tem a forma:
!
!
! ∆p
!
∆v m !
F=
=m
=
∆v = µ ∆v
∆t
∆t
∆t

!
vF

Mas
! !
!
∆v = v F − v I = − iˆv − + iˆv = −2iˆ v

( ) ( )

x

(

)

!
F = µ − 2iˆ v = −2iˆµ v
A força que a água exerce na pá tem mesmo módulo e sentido contrário. ou seja:
!
FPá = 2 iˆµ v
Capítulo 10 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
20 Uma corrente de água de uma mangueira espalha-se sobre uma parede. Se a velocidade da água for de 5m/s e a mangueira espalhar 300cm3/s , qual será a força
média exercida sobre a parede pela corrente de água? Suponha que a água não se
espalhe de volta apreciavelmente. Cada centímetro cúbico de água tem massa de
1g .
v = 5m/s
ν = 300cm3/s = 4x10-4m3/s
!
v
ρ = 1g/cm3 = 103Kg/m3
A densidade ρ de um corpo é definida
como:
m
ρ=
⇒ m = ρV
V
onde m é a sua massa e V o volume
ocupado por esse corpo.
Cap 10

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x
8
Prof. Romero Tavares da Silva
O fluxo volumétrico ν é definido como:

ν =
O fluxo de massa µ é definido como:

µ=

V
∆t

m
V
=ρ
= ρν
∆t
∆t

É suposto que a água se aproxima da parede com velocidade de módulo v , colide
com ela de modo a escorrer suavemente. Desse modo podemos considerar como
nula a sua velocidade final.
! !
!
∆v = v F − v I = 0 − iˆv = −iˆv
A força exercida pela parede sobre a água tem a forma:
!
!
∆v m !
F =m
=
∆v = −iˆ ρ ν v
∆t
∆t
A força que a água exerce na parede tem mesmo módulo e sentido contrário. ou
seja:
!
F = iˆ ρ ν v = î (103Kg/m3)(3x10-4m3/s)(5m/s) = î 1,5N
Capítulo 10 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
23 Uma bola de 300g com uma velocidade v = 6m/s atinge uma parede a uma ângulo
θ = 300 e, então, ricocheteia com mesmo ângulo e velocidade de mesmo módulo.
Ela fica em contato com a parede por 10ms .
a) Qual foi o impulso sobre a bola?
y
m = 300g = 0,3kg
v = 6m/s
θ = 300
∆t = 10ms = 0,01s

12 2
2
mg
m
m
(L⇒L−
)kL∴
mgLL0
h2L+−h
+ 2(h2 =
==)
2k k
k

θ

O momento linear da bola é:
x

!
!
p = mv
onde:
N

y CM = Lim0
∆m →
i

∑ y i ∆m i
i =1
N

∑ ∆m i

=

∫ y dm = 1 y dm
∫
M
∫ dm

!
vI

θ

i =1

!
p F = iˆp Fx + ˆp Fy
j

Cap 10

 p Fx = − p senθ

 p Fy = p cos θ
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2
v 3 = 2g (2d − L ) = g (L − d ) ⇒

d =

3L
5

!
!
J = ∆p = −2 iˆ p sen θ = −iˆ 2 (0,3 x 6 )0,5 = −iˆ1,8 N.s
b) Qual a força média exercida pela bola sobre a parede?
A força que a parede faz na bola é:
2
v3
2
=
P=(F)3 ⇒ mgm ∴ v3 =gr=gL−d)
(
C
r

E como conseqüência, a força que a bola faz na parede é:
!
!
FP = −F = +iˆ 180N

Capítulo 10 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
29 Os dois blocos da figura a seguir deslizam sem atrito.
a) Qual a velocidade do bloco de m1 = 6kg após a colisão?
m1 = 1,6kg
m2 = 2,4kg

v1I = 5,5m/s
v2I = 2,5m/s
v2F = 4,9m/s

v1I

v2I

m1

m2

Como a força externa resultante é nula,
o momento total do sistema se conserva:
PI = PF

v1F

v2F

m1 v1I + m2 v2I = m1 v1F + m2 v2F
ou seja:

v

3

=

(2

2 g

d

− L

)

b) A colisão é elástica?
KI =

1
1
2
m1v 12I + m 2 v 2I = 31,7 J
2
2

mgL =

1
mv
2

2
3

+ mg [2 (L − d )]

Como KI = KF , a colisão é elástica.
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Prof. Romero Tavares da Silva
c) Suponha que a velocidade inicial do bloco m2 = 2,4kg seja oposta a exibida.
Após a colisão, a velocidade v2F pode estar no sentido ilustrado?
Neste caso teremos as seguintes possibilidades:
 iˆm1v 1F + iˆm 2 v 2 F = 14,8 iˆ

ou

− iˆm v + iˆm v = 8,72 iˆ
1 1F
2 2F


iˆm1v 1I − iˆm 2 v 2I = 2,8 iˆ

O movimento inicial considerado resulta num certo valor para o momento linear
total inicial. Quando consideramos as diversas possibilidades para o movimento
dos blocos, o momento linear total final tem valores correspondentes. O que se
observa é que não existe a possibilidade da conservação do momento linear total
caso usemos a hipótese indicada no enunciado desse item. Concluímos então
que a velocidade v2F não pode estar no sentido ilustrado, caso a velocidade
inicial do bloco m2 = 2,4kg seja oposta a exibida.
Capítulo 10 - Halliday e Resnick - Edição antiga
31 As duas massas da figura a seguir estão ligeiramente separadas e inicialmente em
repouso. A massa da esquerda incide sobre as outras duas com velocidade v0 . Supondo que as colisões são frontais e elásticas.
Mostre que se m ≥ M acontecerão duas colisões. Encontre as velocidades finais das
massas.

1
2
mv 2
2

∴ v 2 = 2gL

1
v0

2

3

 2m1
v 2F = 
m +m
2
 1


 m − m1 
 v 1I +  2

 m + m v 2I

2 

 1

m

m

M

mgL =

Primeiro choque: massa 1 e massa 2
N

∑zi ∆mi

zCM = Limi =1
m 0 N
∆ i→

∑∆mi

=

∫ zdm = 1 zdm
∫
∫ dm M

i =1

Segundo choque: massa 2 e massa 3
 V3 I = 0

V = v = v 
 2I
2F
0


 m2 = m 
 m3 = M 


Cap 10

⇒


m−M 
V2 F =  m + M  v 0





 2m 
v0
V3 F = 
m +M 


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V2 F
m −M 1 M 
=
= 1 − 
v 3F
2m
2
m
i.

Quando m ≥ M , as velocidades V2F e V3F têm a mesma direção e sentido,
mas V3F ≥ V2F , logo existirão apenas essas duas colisões mencionadas.

ii.

Quando m < M , as velocidades V2F e V3F têm a mesma direção e sentidos
contrários, ou seja a massa m2 retrocederá e irá se chocar novamente com a
massa 1 .

Capítulo 10 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
35 Uma bola de aço de 0,5kg de massa é presa a uma corda, de 70cm de comprimento e fixa na outra ponta, e é liberada quando a corda está na posição horizontal.
No ponto mais baixo de sua trajetória, a bola atinge um bloco de aço de 2,5kg inicialmente em repouso sobre uma superfície sem atrito. A colisão é elástica.
a) Encontre a velocidade da bola imediatamente após a colisão.
m = 0,5kg
M = 2,5kg
L = 70cm = 0,7m

L
1
m

A energia mecânica desse sistema
quando a bola está na posição 1 é
igual à energia mecânica quando a bola
está na posição 2 porque entre essas
duas situações só atuam forças conservativas. Logo:
mgL =

M

2

1
mv I2 ⇒ v I = 2gL =
2
= 3,47m/s

Vamos considerar a posição 2 inicial (antes da colisão) e a posição 2 final (depois
da colisão). Como a resultante das forças externas que atuam no sistema é nula,
o momento linear total desse sistema se conserva:
!
!
PI = PF

⇒

mv I = mv F + MV

(1)

Como a colisão é elástica, existirá a conservação da energia cinética:
KI = KF

⇒

1
1
1
2
mv I2 = mv F + MV 2
2
2
2

(2)

As equações (1) e (2) compões um sistema de duas equações com duas incógnitas: vF e V , e iremos resolvê-lo da maneira padrão.
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Da equação (1) encontramos que:
m
(v I − v F )
M

V =

e usando esse resultado na equação (2), temos:
m2
mv = mv +
(v I − v F )2
M
2
I

2
F

⇒

2
v I2 − v F = (v I − v F )(v I + v F ) =

m
(v I − v F )2
M

Considerando que vI ≠ vF
vI + vF =

m
(v I − v F ) ⇒
M

m −M 
vF = 
 v I = −2,49m / s
m +M 

O sinal negativo indica que as duas velocidades vI e vF têm sentidos contrários.
b) Encontre a velocidade do bloco imediatamente após a colisão.
V =

m
(v I − v F ) =  2m  v I = 1,24m / s


M
m +M 

Capítulo 10 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
45 Um projétil de 10g de massa atinge um pêndulo balístico de 2kg de massa. O centro de massa do pêndulo eleva-se de uma altura de 12cm . Considerando-se que o
projétil permaneça embutido no pêndulo, calcule a velocidade inicial do projétil.
m1 = 10g = 0,01kg
m2 = 2kg

h = 12cm = 0,12m

Antes da colisão o projétil tem uma velocidade vP , e logo após a colisão a velocidade do conjunto é v .
Considerando a conservação do momento linear do conjunto durante a colisão, temos que:
PI = PF

h

m1 vP = (m1 + m2) v
ou seja:
 m1
v =
m +m
2
 1


vP



O conjunto projétil - pêndulo vai subir uma altura h após a colisão. Considerando a
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conservação da energia mecânica durante o movimento depois da colisão até o conjunto parar, temos que:
1
(m1 + m 2 )v 2 = (m1 + m 2 )gh
2

⇒

v = 2gh

Considerando as duas últimas equações, encontramos que:
 m + m2
vP =  1
 m
1



 m + m2
v =  1

 m
1




 2gh = 308,25m/s



Capítulo 10 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
54 Projeta-se uma bola de massa m com velocidade vI para dentro do cano de um
canhão de mola de massa M , inicialmente em repouso sobre uma superfície sem
atrito, como na figura a seguir. A bola une-se ao cano no ponto de compressão máxima da mola. Não se perde energia por atrito.
a) Qual a velocidade do canhão após a bola entrar em repouso no cano?
Como o momento linear total do sistema se conserva, temos que:

!
vI

 m 
∴ vF = 
vI
m +M 
onde vF é a velocidade final do conjunto quando a bola se gruda ao cano.
mv I = (m + M )v F

b) Que fração de energia cinética inicial da bola é armazenada na mola?
Como não existem perdas por atrito, é sugerido que parte da energia cinética
inicial da bola se transformará em energia potencial U elástica da mola. Logo:
1
1
2
mv I2 = (m + M )v F + U
2
2

⇒

U=

1
1
2
mv I2 − (m + M )v F
2
2

ou seja:
2

 m  
1
1
1
1 m2
U = mv I2 − (m + M )
v I  = mv I2 −
v I2

2
2
2
2 m+M
 m + M  
e finalmente
m 
1

U = mv I2 1 −

2
 m +M

Cap 10

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14
Prof. Romero Tavares da Silva
Capítulo 10 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
66 Um corpo de 20kg está se deslocando no sentido positivo do eixo x com uma velocidade de 200m/s quando devido a uma explosão interna, quebra-se em três partes.
Uma parte, cuja massa é de 10kg , distancia-se do ponto da explosão com uma velocidade de 100m/s ao longo do sentido positivo do eixo y . Um segundo fragmento,
com massa de 4kg , desloca-se ao longo do sentido negativo do eixo x com uma
velocidade de 500m/s .
a) Qual é a velocidade do terceiro fragmento, de 6kg de massa?
y

!
m1, v 1

!
M, V

y

θ

!
m2, v 2

x

m1 = 10kg

 m 2 = 4kg
 m = 6kg
 3

 M = 20kg

V = 200m / s

x
!
m3, v 3

v 1 = 100m / s

v 2 = 500m / s

Considerando a conservação do momento linear total, temos que:
!
!
!
!
MV = m1v 1 + m 2 v 2 + m 3 v 3
A equação vetorial acima se decompõe em duas outras escalares, uma referente
ao eixo x e outra ao eixo y :
MV = - m2 v2 + m3 v3 cosθ

Eixo x:

0 = m1 v1 - m3 v3 senθ

Eixo y:
 m 3 v 3 sen θ = m1v 1


m v cos θ = MV + m v
2 2
 3 3

⇒

tan θ =

m1v 1
1
= = 0,1667
MV + m 2 v 2 6

θ = 9,460
v3 =

m1v 1
= 1014,04m/s
m 3 senθ

b) Quanta energia foi liberada na explosão? Ignore os efeitos devidos à gravidade.
KI =
Cap 10

1
1
MV 2 = 20.200 2 = 400.000Joules
2
2

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15
Prof. Romero Tavares da Silva
KF =

1
1
1
2
2
m1v 12 + m 2 v 2 + m 3 v 3 = 3.612.724,48J
2
2
2

∆K = KF - KI = 3.212.724,48J
Capítulo 10 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
69 Após uma colisão perfeitamente inelástica, descobre-se que dois objetos de mesma
massa e com velocidades iniciais de mesmo módulo deslocam-se juntos com velocidade de módulo igual à metade do módulo de suas velocidades iniciais. Encontre o
ângulo entre as velocidades iniciais dos objetos.
m1 = m2 = m
v1 = v2 = v
v3 = v/2

!
v1

Considerando a conservação do momento linear total, temos que:

y

θ1

!
v3

θ2

!
!
!
m1v 1 + m 2 v 2 = (m1 + m 2 )v 3

!
v2

ou seja:

m1 v1 cosθ1 + m2 v2 cosθ2 = ( m1 + m2 ) v3

Em x:

- m1 v1 senθ1 + m2 v2 senθ2 = 0

Em y:
Ou seja
Em x:

m v cosθ1 + m v cosθ2 = ( m + m ) v /2

Em y:

- m v senθ1 + m v senθ2 = 0

Ou seja:
Em x:
Em y:
senθ 1 = sen θ 2

cosθ1 + cosθ2 = 1
- senθ1 + senθ2 = 0

⇒ θ1 = θ 2 = θ

⇒

2 cos θ = 1 ∴ θ = 60 0

Capítulo 10 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
70 Dois pêndulos, ambos de comprimento L , estão inicialmente posicionados como na
figura a seguir. O pêndulo da esquerda é liberado e atinge o outro. Suponha que a
colisão seja perfeitamente inelástica, despreze as massas das cordas e quaisquer
efeitos de atrito. A que altura se eleva o centro de massa do sistema de pêndulos
após a colisão?
Em uma colisão completamente inelástica, os corpos adquirem a mesma velocidade
final.
Cap 10

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16
Prof. Romero Tavares da Silva
Considerando a conservação da energia
mecânica, o pêndulo da esquerda vai alcançar a posição mais baixa com uma
velocidade v0 :
m1gd =

1
2
m1v 0
2

⇒

v 0 = 2gd

m1

Após a colisão os pêndulos têm mesma
velocidade, e considerando a conservação do momento linear total, teremos:
m1v 0 = (m1 + m 2 )v

⇒

d
m2

 m1
v =
m + m
2
 1


v0



 m1
∴ v =
m +m
2
 1


 2gd



Após a colisão, os dois pêndulos irão subir simultaneamente até uma altura h. Usando, novamente, a conservação da energia mecânica, teremos:
1
(m1 + m 2 )v 2 = (m1 + m 2 )gh
2

⇒

v2
1  m1
h=
=

2g 2g  m1 + m 2


2


 2gd 





ou seja:
 m1
h=
m +m
2
 1

Cap 10

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2


 d

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10. colisões

  • 1. Versão preliminar 10 de setembro de 2002 Notas de Aula de Física 10. COLISÕES ................................................................................................................... 2 O QUE É UMA COLISÃO ........................................................................................................ 2 FORÇA IMPULSIVA, IMPULSO E MOMENTO LINEAR ................................................................... 2 FORÇA IMPULSIVA MÉDIA ..................................................................................................... 3 CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR DURANTE UMA COLISÃO ................................................ 3 COLISÃO ELÁSTICA EM UMA DIMENSÃO ................................................................................. 4 COLISÃO ELÁSTICA EM DUAS DIMENSÕES .............................................................................. 6 SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS ....................................................................................... 8 19 .................................................................................................................................. 8 20 .................................................................................................................................. 8 23 .................................................................................................................................. 9 29 ................................................................................................................................ 10 31 ................................................................................................................................ 11 35 ................................................................................................................................ 12 45 ................................................................................................................................ 13 54 ................................................................................................................................ 14 66 ................................................................................................................................ 15 69 ................................................................................................................................ 16 70 ................................................................................................................................ 16
  • 2. Prof. Romero Tavares da Silva 10. Colisões Em um choque, forças relativamente grandes, atuam em cada uma das partículas que colidem, durante um intervalo de tempo relativamente curto. Um exemplo corriqueiro seria um esbarrão entre duas pessoas distraídas. Não existe alguma interação significativa entre elas durante a aproximação e até que se choquem. Durante o choque existe uma forte interação que eventualmente pode causar danos físicos. Depois da colisão volta-se a situação inicial onde não existia interação significativa. O que é uma colisão Podemos analisar com mais detalhes esses eventos se considerarmos a colisão entre duas bolas de bilhar, onde uma bola rola em direção a uma segunda que está em repouso. De maneira equivalente ao esbarrão, mencionado anteriormente, não existe interação significativa entre as duas bolas de bilhar enquanto elas se aproximam e quando elas se afastam depois da colisão. A força de interação que descreve a colisão tem grande intensidade e curta duração, como descrito no gráfico ao lado. F(t) Forças como essa, que atuam durante um intervalo pequeno comparado com o tempo de observação do sistema, são chamadas de forças impulsivas. ti tf t ∆t Força impulsiva, impulso e momento linear Vamos considerar uma partícula isolada, que se move com momento !v!=!jˆv! . A partir  v v  v+ de um certo tempo ti até um instante posterior tf , passa a atuar sobre ela uma força ! F 12 . O momento da partícula vai sofre alteração y =1ydm devido a existência da força atuH CM B ∫ M !! !M ! M ante e essa variação é também chamada de impulso M+=⇒v=j!−M . A segunda Lei de Newton, tem vvv ˆ M= v +) 0−  ( ++ MM M  a forma: ! ! ! dp ! = F (t ) ⇒ dp = F (t )dt dt ou seja: ! p ! !  ! ! ∆p = p f − p i = !∫ dp   ! p p ! t ! ! !   dp = ∫ F (t )dt ∴  ⇒ ∆p = J  ∫ ! t ! p t !   ∫ F (t )dt = J   t   H H BH B BB HH B B f f i i i f f i Cap 10 romero@fisica.ufpb.br 2
  • 3. Prof. Romero Tavares da Silva Força impulsiva média Algumas vezes é mais interessante considerar o valor médio da força impulsiva que o seu valor a cada instante. Considerando a situação unidimensional podemos definir a força impulsiva média F que atua em F(t) uma partícula durante a colisão como tf J = ∫ F (t )dt = F ∆t ti ou seja: 1 t F = ∫ F (t )dt ∆t t f F i Estamos considerando que a área abaixo da curva F(t) é a mesma área abaixo da curva F , daí as integrais terem os mesmos valores ti tf t ∆t Conservação do momento linear durante uma colisão Vamos considerar duas bolas de bilhar com mesma forma e pesos diferentes. Uma das bolas se movimenta em direção à segunda que está em repouso. Depois da colisão as duas bolas se movimentam em sentidos contrários. ! v 1I m2 m1 Durante a colisão, entram em ação as forças impulsivas descritas anteriormen! te. A bola 1 exerce uma força F12 na bola 2 e de maneira equivalente a bola 2 exer! ce uma força F21 na bola 1 . Usando a terceira Lei de Newton, é ! ! fácil perceber que F12 e F21 são forças de ação e reação, logo: ! F21 ! v 1F ! F12 ! v 2F ! ! F12 = −F21 Logo t ! !  ! ∆p1 = ∫ F21 (t )dt = F21 ∆t  t   t ! !  ! ∆p 2 = ∫ F12 (t )dt = F12 ∆t  t  f i f i Cap 10 romero@fisica.ufpb.br 3
  • 4. Prof. Romero Tavares da Silva Mas ! ! F12 = −F21 ou seja: ⇒ ! ! F12 = −F21 ! ! ∴ ∆p 2 = −∆p1 ! ! ! ∆P = ∆p1 + ∆p 2 = 0 ! ! ! Encontramos que o momento linear total P = p1 + p 2 de um sistema isolado composto de duas bolas, se conserva durante uma colisão. Esse resultado é facilmente extensível para colisões múltiplas. Colisão elástica em uma dimensão As colisões podem ser divididas em dois tipos, aquelas que conservam a energia cinéticas - ditas elásticas, e aquelas que não conservam a energia cinética - ditas inelásticas. Vamos considerar a colisão de duas bolas de massas m1 e m2 descrita a seguir: ! v 1I Antes da colisão Temos que v1I > v2I , pois em caso contrário não existiria a colisão. ! v 2I m2 m1 Depois da colisão Temos que v1F < v2F , pois em caso contrário existiriam outras colisões depois da primeira. ! v 1F m1 ! v 2F m2 Usando a conservação do momento linear total, temos que: ! ! ! ∆P = ∆p1 + ∆p 2 = 0 ou seja: ! (p 1F ! ! ! − p1I ) + (p 2 F − p 2 I ) = 0 ⇒ ! ! ! ! p1 I + p 2 I = p1 F + p 2 F Considerando apenas a situação unidimensional, temos: m1v 1I + m 2 v 2 I = m1v 1 F + m 2 v 2 F ou seja: m1 (v 1I − v 1F ) = m 2 (v 2 F − v 2 I ) (1) Quando a colisão for elástica, existe a conservação da energia cinética total, logo: 1 1 1 1 2 2 m1v 12I + m 2 v 2 I = m1v 12F + m 2 v 2 F 2 2 2 2 Cap 10 romero@fisica.ufpb.br 4
  • 5. Prof. Romero Tavares da Silva ou seja: ou ainda: 2 2 m1 (v 12I − v 12F ) = m 2 (v 2 F − v 2 I ) m1 (v 1I + v 1 F )(v 1I − v 1 F ) = m 2 (v 2 I + v 2 F )(v 2 I − v 2 F ) (2) Dividindo a equação (2) pela equação (1) , encontramos: v 1I + v 1 F = v 2 I + v 2 F ou seja: v 1I − v 1I = v 2 F − v 1 F ⇒ (3) (V Re lativa ) I = (VRe lativa )F onde a validade da última equação se restringe ao caso de colisões elásticas. Da equação (3) temos que: v 2 F = v 1I + v 1 F − v 2 I (4) e usando esse resultado na equação (1) , temos: m1 (v 1I − v 1F ) = m 2 (v 1I + v 1F − v 2 I ) − m 2 v 2 I ou seja:  m − m2 v 1F =  1 m + m 2  1   2m 2  v 1I +   m +m 2   1  v 2I   (5) Usando esse valor na equação (4) , encontramos:  2m1 v 2F =  m +m 2  1   m − m1   v 1I +  2   m + m v 2I  2    1 (6) A partir das equações (5) e (6) poderemos analisar diversas situações: a. As bolas têm mesma massa: m1 = m2 = m . O resultado desse tipo de colisão é que as bolas trocarão de velocidade: v 1F = v 2 I  v 2 F = V1I b. Uma partícula está em repouso:   m1 − m 2  v 1F =   m + m  v 1I   2   1  v =  2m1  v    2 F  m1 + m 2  1 I    Cap 10 romero@fisica.ufpb.br 5
  • 6. Prof. Romero Tavares da Silva Nessa situação ainda temos várias possibilidades: b1. m1 < m2 ⇒ v1F < 0 ⇒ b2. m1 > m2 ⇒ v1F > v1I ⇒ b3. m1 = m2 ⇒ v1F = 0 v2F = v1I ⇒ m1 inverte o sentido da sua velocidade. m1 diminui a sua velocidade em relação a situação antes da colisão. Uma bola pára e a outra arranca. Colisão elástica em duas dimensões ! Vamos considerar uma partícula de massa m1 e velocidade v 1I se deslocando em direção de uma outra partícula de massa m2 que se encontra em repouso. y θ2 m2 ! m1 , v 1I x θ1 ! ! Após a colisão as partículas se movem com velocidades v 1F e v 2 F que fazem ângulos θ1 e θ2 com a direção original da partícula de massa m1 . ! v 2F y θ2 x θ1 ! v 1F Usando a conservação da energia cinética total, encontramos que: KI = KF   1 m v 2 = 1 m v 2 + 1 m v 2  2 1 1I 2 1 1 F 2 2 2 F  e usando a conservação do momento linear total, encontramos que: Cap 10 romero@fisica.ufpb.br 6
  • 7. Prof. Romero Tavares da Silva ! !  PI = PF  em x : m1v 1I = m1v 1F cos θ 1 + m 2 v 2 F cos θ 2  em y : 0 = −m v senθ + m v senθ 1 1F 1 2 2F 2  Para esse problema conhecemos, em princípio, os parâmetros m1 , m2 , v1I e θ1 . Temos três equações para calcular os valores das incógnitas v1F , v2F e θ2 . Cap 10 romero@fisica.ufpb.br 7
  • 8. Prof. Romero Tavares da Silva Solução de alguns problemas Capítulo 10 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 19 Uma corrente de água colide contra uma pá de turbina estacionária em forma de "prato" , conforme a figura a seguir. O módulo da velocidade é v , tanto antes quanto depois de atingir a superfície curva da pá, e a massa de água atingindo esta por unidade de tempo tem valor µ constante. Encontre a força exercida pela água sobre a pá. µ = fluxo de água atingindo a pá. ! vI m µ= ∆t A segunda Lei de Newton diz que a força resultante que atua na água tem a forma: ! ! ! ∆p ! ∆v m ! F= =m = ∆v = µ ∆v ∆t ∆t ∆t ! vF Mas ! ! ! ∆v = v F − v I = − iˆv − + iˆv = −2iˆ v ( ) ( ) x ( ) ! F = µ − 2iˆ v = −2iˆµ v A força que a água exerce na pá tem mesmo módulo e sentido contrário. ou seja: ! FPá = 2 iˆµ v Capítulo 10 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 20 Uma corrente de água de uma mangueira espalha-se sobre uma parede. Se a velocidade da água for de 5m/s e a mangueira espalhar 300cm3/s , qual será a força média exercida sobre a parede pela corrente de água? Suponha que a água não se espalhe de volta apreciavelmente. Cada centímetro cúbico de água tem massa de 1g . v = 5m/s ν = 300cm3/s = 4x10-4m3/s ! v ρ = 1g/cm3 = 103Kg/m3 A densidade ρ de um corpo é definida como: m ρ= ⇒ m = ρV V onde m é a sua massa e V o volume ocupado por esse corpo. Cap 10 romero@fisica.ufpb.br x 8
  • 9. Prof. Romero Tavares da Silva O fluxo volumétrico ν é definido como: ν = O fluxo de massa µ é definido como: µ= V ∆t m V =ρ = ρν ∆t ∆t É suposto que a água se aproxima da parede com velocidade de módulo v , colide com ela de modo a escorrer suavemente. Desse modo podemos considerar como nula a sua velocidade final. ! ! ! ∆v = v F − v I = 0 − iˆv = −iˆv A força exercida pela parede sobre a água tem a forma: ! ! ∆v m ! F =m = ∆v = −iˆ ρ ν v ∆t ∆t A força que a água exerce na parede tem mesmo módulo e sentido contrário. ou seja: ! F = iˆ ρ ν v = î (103Kg/m3)(3x10-4m3/s)(5m/s) = î 1,5N Capítulo 10 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 23 Uma bola de 300g com uma velocidade v = 6m/s atinge uma parede a uma ângulo θ = 300 e, então, ricocheteia com mesmo ângulo e velocidade de mesmo módulo. Ela fica em contato com a parede por 10ms . a) Qual foi o impulso sobre a bola? y m = 300g = 0,3kg v = 6m/s θ = 300 ∆t = 10ms = 0,01s 12 2 2 mg m m (L⇒L− )kL∴ mgLL0 h2L+−h + 2(h2 = ==) 2k k k θ O momento linear da bola é: x ! ! p = mv onde: N y CM = Lim0 ∆m → i ∑ y i ∆m i i =1 N ∑ ∆m i = ∫ y dm = 1 y dm ∫ M ∫ dm ! vI θ i =1 ! p F = iˆp Fx + ˆp Fy j Cap 10  p Fx = − p senθ   p Fy = p cos θ romero@fisica.ufpb.br 9
  • 10. Prof. Romero Tavares da Silva 2 v 3 = 2g (2d − L ) = g (L − d ) ⇒ d = 3L 5 ! ! J = ∆p = −2 iˆ p sen θ = −iˆ 2 (0,3 x 6 )0,5 = −iˆ1,8 N.s b) Qual a força média exercida pela bola sobre a parede? A força que a parede faz na bola é: 2 v3 2 = P=(F)3 ⇒ mgm ∴ v3 =gr=gL−d) ( C r E como conseqüência, a força que a bola faz na parede é: ! ! FP = −F = +iˆ 180N Capítulo 10 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 29 Os dois blocos da figura a seguir deslizam sem atrito. a) Qual a velocidade do bloco de m1 = 6kg após a colisão? m1 = 1,6kg m2 = 2,4kg v1I = 5,5m/s v2I = 2,5m/s v2F = 4,9m/s v1I v2I m1 m2 Como a força externa resultante é nula, o momento total do sistema se conserva: PI = PF v1F v2F m1 v1I + m2 v2I = m1 v1F + m2 v2F ou seja: v 3 = (2 2 g d − L ) b) A colisão é elástica? KI = 1 1 2 m1v 12I + m 2 v 2I = 31,7 J 2 2 mgL = 1 mv 2 2 3 + mg [2 (L − d )] Como KI = KF , a colisão é elástica. Cap 10 romero@fisica.ufpb.br 10
  • 11. Prof. Romero Tavares da Silva c) Suponha que a velocidade inicial do bloco m2 = 2,4kg seja oposta a exibida. Após a colisão, a velocidade v2F pode estar no sentido ilustrado? Neste caso teremos as seguintes possibilidades:  iˆm1v 1F + iˆm 2 v 2 F = 14,8 iˆ  ou  − iˆm v + iˆm v = 8,72 iˆ 1 1F 2 2F  iˆm1v 1I − iˆm 2 v 2I = 2,8 iˆ O movimento inicial considerado resulta num certo valor para o momento linear total inicial. Quando consideramos as diversas possibilidades para o movimento dos blocos, o momento linear total final tem valores correspondentes. O que se observa é que não existe a possibilidade da conservação do momento linear total caso usemos a hipótese indicada no enunciado desse item. Concluímos então que a velocidade v2F não pode estar no sentido ilustrado, caso a velocidade inicial do bloco m2 = 2,4kg seja oposta a exibida. Capítulo 10 - Halliday e Resnick - Edição antiga 31 As duas massas da figura a seguir estão ligeiramente separadas e inicialmente em repouso. A massa da esquerda incide sobre as outras duas com velocidade v0 . Supondo que as colisões são frontais e elásticas. Mostre que se m ≥ M acontecerão duas colisões. Encontre as velocidades finais das massas. 1 2 mv 2 2 ∴ v 2 = 2gL 1 v0 2 3  2m1 v 2F =  m +m 2  1   m − m1   v 1I +  2   m + m v 2I  2    1 m m M mgL = Primeiro choque: massa 1 e massa 2 N ∑zi ∆mi zCM = Limi =1 m 0 N ∆ i→ ∑∆mi = ∫ zdm = 1 zdm ∫ ∫ dm M i =1 Segundo choque: massa 2 e massa 3  V3 I = 0  V = v = v   2I 2F 0    m2 = m   m3 = M    Cap 10 ⇒  m−M  V2 F =  m + M  v 0       2m  v0 V3 F =  m +M   romero@fisica.ufpb.br 11
  • 12. Prof. Romero Tavares da Silva V2 F m −M 1 M  = = 1 −  v 3F 2m 2 m i. Quando m ≥ M , as velocidades V2F e V3F têm a mesma direção e sentido, mas V3F ≥ V2F , logo existirão apenas essas duas colisões mencionadas. ii. Quando m < M , as velocidades V2F e V3F têm a mesma direção e sentidos contrários, ou seja a massa m2 retrocederá e irá se chocar novamente com a massa 1 . Capítulo 10 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 35 Uma bola de aço de 0,5kg de massa é presa a uma corda, de 70cm de comprimento e fixa na outra ponta, e é liberada quando a corda está na posição horizontal. No ponto mais baixo de sua trajetória, a bola atinge um bloco de aço de 2,5kg inicialmente em repouso sobre uma superfície sem atrito. A colisão é elástica. a) Encontre a velocidade da bola imediatamente após a colisão. m = 0,5kg M = 2,5kg L = 70cm = 0,7m L 1 m A energia mecânica desse sistema quando a bola está na posição 1 é igual à energia mecânica quando a bola está na posição 2 porque entre essas duas situações só atuam forças conservativas. Logo: mgL = M 2 1 mv I2 ⇒ v I = 2gL = 2 = 3,47m/s Vamos considerar a posição 2 inicial (antes da colisão) e a posição 2 final (depois da colisão). Como a resultante das forças externas que atuam no sistema é nula, o momento linear total desse sistema se conserva: ! ! PI = PF ⇒ mv I = mv F + MV (1) Como a colisão é elástica, existirá a conservação da energia cinética: KI = KF ⇒ 1 1 1 2 mv I2 = mv F + MV 2 2 2 2 (2) As equações (1) e (2) compões um sistema de duas equações com duas incógnitas: vF e V , e iremos resolvê-lo da maneira padrão. Cap 10 romero@fisica.ufpb.br 12
  • 13. Prof. Romero Tavares da Silva Da equação (1) encontramos que: m (v I − v F ) M V = e usando esse resultado na equação (2), temos: m2 mv = mv + (v I − v F )2 M 2 I 2 F ⇒ 2 v I2 − v F = (v I − v F )(v I + v F ) = m (v I − v F )2 M Considerando que vI ≠ vF vI + vF = m (v I − v F ) ⇒ M m −M  vF =   v I = −2,49m / s m +M  O sinal negativo indica que as duas velocidades vI e vF têm sentidos contrários. b) Encontre a velocidade do bloco imediatamente após a colisão. V = m (v I − v F ) =  2m  v I = 1,24m / s   M m +M  Capítulo 10 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 45 Um projétil de 10g de massa atinge um pêndulo balístico de 2kg de massa. O centro de massa do pêndulo eleva-se de uma altura de 12cm . Considerando-se que o projétil permaneça embutido no pêndulo, calcule a velocidade inicial do projétil. m1 = 10g = 0,01kg m2 = 2kg h = 12cm = 0,12m Antes da colisão o projétil tem uma velocidade vP , e logo após a colisão a velocidade do conjunto é v . Considerando a conservação do momento linear do conjunto durante a colisão, temos que: PI = PF h m1 vP = (m1 + m2) v ou seja:  m1 v = m +m 2  1  vP   O conjunto projétil - pêndulo vai subir uma altura h após a colisão. Considerando a Cap 10 romero@fisica.ufpb.br 13
  • 14. Prof. Romero Tavares da Silva conservação da energia mecânica durante o movimento depois da colisão até o conjunto parar, temos que: 1 (m1 + m 2 )v 2 = (m1 + m 2 )gh 2 ⇒ v = 2gh Considerando as duas últimas equações, encontramos que:  m + m2 vP =  1  m 1    m + m2 v =  1   m 1     2gh = 308,25m/s   Capítulo 10 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 54 Projeta-se uma bola de massa m com velocidade vI para dentro do cano de um canhão de mola de massa M , inicialmente em repouso sobre uma superfície sem atrito, como na figura a seguir. A bola une-se ao cano no ponto de compressão máxima da mola. Não se perde energia por atrito. a) Qual a velocidade do canhão após a bola entrar em repouso no cano? Como o momento linear total do sistema se conserva, temos que: ! vI  m  ∴ vF =  vI m +M  onde vF é a velocidade final do conjunto quando a bola se gruda ao cano. mv I = (m + M )v F b) Que fração de energia cinética inicial da bola é armazenada na mola? Como não existem perdas por atrito, é sugerido que parte da energia cinética inicial da bola se transformará em energia potencial U elástica da mola. Logo: 1 1 2 mv I2 = (m + M )v F + U 2 2 ⇒ U= 1 1 2 mv I2 − (m + M )v F 2 2 ou seja: 2  m   1 1 1 1 m2 U = mv I2 − (m + M ) v I  = mv I2 − v I2  2 2 2 2 m+M  m + M   e finalmente m  1  U = mv I2 1 −  2  m +M Cap 10 romero@fisica.ufpb.br 14
  • 15. Prof. Romero Tavares da Silva Capítulo 10 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 66 Um corpo de 20kg está se deslocando no sentido positivo do eixo x com uma velocidade de 200m/s quando devido a uma explosão interna, quebra-se em três partes. Uma parte, cuja massa é de 10kg , distancia-se do ponto da explosão com uma velocidade de 100m/s ao longo do sentido positivo do eixo y . Um segundo fragmento, com massa de 4kg , desloca-se ao longo do sentido negativo do eixo x com uma velocidade de 500m/s . a) Qual é a velocidade do terceiro fragmento, de 6kg de massa? y ! m1, v 1 ! M, V y θ ! m2, v 2 x m1 = 10kg   m 2 = 4kg  m = 6kg  3  M = 20kg  V = 200m / s x ! m3, v 3 v 1 = 100m / s  v 2 = 500m / s Considerando a conservação do momento linear total, temos que: ! ! ! ! MV = m1v 1 + m 2 v 2 + m 3 v 3 A equação vetorial acima se decompõe em duas outras escalares, uma referente ao eixo x e outra ao eixo y : MV = - m2 v2 + m3 v3 cosθ Eixo x: 0 = m1 v1 - m3 v3 senθ Eixo y:  m 3 v 3 sen θ = m1v 1   m v cos θ = MV + m v 2 2  3 3 ⇒ tan θ = m1v 1 1 = = 0,1667 MV + m 2 v 2 6 θ = 9,460 v3 = m1v 1 = 1014,04m/s m 3 senθ b) Quanta energia foi liberada na explosão? Ignore os efeitos devidos à gravidade. KI = Cap 10 1 1 MV 2 = 20.200 2 = 400.000Joules 2 2 romero@fisica.ufpb.br 15
  • 16. Prof. Romero Tavares da Silva KF = 1 1 1 2 2 m1v 12 + m 2 v 2 + m 3 v 3 = 3.612.724,48J 2 2 2 ∆K = KF - KI = 3.212.724,48J Capítulo 10 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 69 Após uma colisão perfeitamente inelástica, descobre-se que dois objetos de mesma massa e com velocidades iniciais de mesmo módulo deslocam-se juntos com velocidade de módulo igual à metade do módulo de suas velocidades iniciais. Encontre o ângulo entre as velocidades iniciais dos objetos. m1 = m2 = m v1 = v2 = v v3 = v/2 ! v1 Considerando a conservação do momento linear total, temos que: y θ1 ! v3 θ2 ! ! ! m1v 1 + m 2 v 2 = (m1 + m 2 )v 3 ! v2 ou seja: m1 v1 cosθ1 + m2 v2 cosθ2 = ( m1 + m2 ) v3 Em x: - m1 v1 senθ1 + m2 v2 senθ2 = 0 Em y: Ou seja Em x: m v cosθ1 + m v cosθ2 = ( m + m ) v /2 Em y: - m v senθ1 + m v senθ2 = 0 Ou seja: Em x: Em y: senθ 1 = sen θ 2 cosθ1 + cosθ2 = 1 - senθ1 + senθ2 = 0 ⇒ θ1 = θ 2 = θ ⇒ 2 cos θ = 1 ∴ θ = 60 0 Capítulo 10 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 70 Dois pêndulos, ambos de comprimento L , estão inicialmente posicionados como na figura a seguir. O pêndulo da esquerda é liberado e atinge o outro. Suponha que a colisão seja perfeitamente inelástica, despreze as massas das cordas e quaisquer efeitos de atrito. A que altura se eleva o centro de massa do sistema de pêndulos após a colisão? Em uma colisão completamente inelástica, os corpos adquirem a mesma velocidade final. Cap 10 romero@fisica.ufpb.br 16
  • 17. Prof. Romero Tavares da Silva Considerando a conservação da energia mecânica, o pêndulo da esquerda vai alcançar a posição mais baixa com uma velocidade v0 : m1gd = 1 2 m1v 0 2 ⇒ v 0 = 2gd m1 Após a colisão os pêndulos têm mesma velocidade, e considerando a conservação do momento linear total, teremos: m1v 0 = (m1 + m 2 )v ⇒ d m2  m1 v = m + m 2  1  v0    m1 ∴ v = m +m 2  1   2gd   Após a colisão, os dois pêndulos irão subir simultaneamente até uma altura h. Usando, novamente, a conservação da energia mecânica, teremos: 1 (m1 + m 2 )v 2 = (m1 + m 2 )gh 2 ⇒ v2 1  m1 h= =  2g 2g  m1 + m 2  2    2gd      ou seja:  m1 h= m +m 2  1 Cap 10 romero@fisica.ufpb.br 2   d   17