Potencial elétrico e trabalho

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POTENCIAL ELÉTRICO
A cada ponto de um campo elétrico associa-se a grandeza escalar potencial elétrico. Por meio
desta grandeza pode-se calcular o trabalho da força elétrica, a energia potencial elétrica, assim como analisar
o comportamento de cargas elétricas abandonadas num campo elétrico. O potencial elétrico é a grandeza que
avalia, quanta energia potencial elétrica é armazenada por unidade de carga elétrica. Assim podemos
equacionar o potencial elétrico num ponto A como:
V – potencial elétrico
E pot A – energia potencial no A
q – carga elétrica
No SI a unidade de potencial é o volt, de símbolo V.
Se fizermos q = 1 coulomb e Epot = 1 joule, teremos:
V = 1 joule = 1 J = 1 J/C = 1 V
1 coulomb 1 C
O volt é uma homenagem ao físico italiano Alessandro Volta (1745 – 1827), que se distinguiu em
diversos ramos da Física, tendo-se notabilizado pelos estudos aprofundados que desenvolveu em eletricidade.
ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA
Vamos inicialmente fazer algumas analogias. Quando você ergue um livro para colocá-lo numa
estante, a energia que você despende não é perdida. Ela fica armazenada no livro e, como advém de uma
posição dentro do campo gravitacional, recebe o nome de energia potencial gravitacional (EP).
Em relação a um referencial no solo a energia potencial gravitacional é dada por: EP = m.g.h, sendo m
a massa do livro, g a aceleração da gravidade e h a altura do livro em relação ao solo.
Da mesma maneira, quando você comprime ou distende uma mola, diminuindo ou aumentando seu
comprimento, ela armazena energia potencial elástica (EP), dada por EP = K.x
2
/2, onde K é a constante
elástica e x a deformação da mola. O referencial para o cálculo da energia potencial EP é a mola não
deformada.
Considere, agora, o campo elétrico
gerado por uma carga elétrica puntiforme Q,
por exemplo, positiva, fixa num ponto O. Seja
P um ponto do campo. Um operador desloca
uma carga elétrica puntiforme q, também
positiva de um ponto bem afastado de O até o
ponto P.
A energia despendida pelo operador
(veja que Q > 0 repele q > 0) não é perdida.
Fica armazenada na carga q e recebe o nome
de energia potencial elétrica. A energia
potencial elétrica Ep que q adquire ao ser
colocada em P, situado a uma distância d de
O, em relação a um referencial muito distante da carga Q (dizemos, referencial no infinito) é dada por:
No Sistema Internacional (SI) a unidade de energia é o Joule – J.

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POTENCIAL DE UMA CARGA PUNTIFORME
Uma carga pontual Q gera, nos pontos ao seu redor, um campo elétrico que varia com a distância d
entre o ponto e a carga. Se colocarmos em um ponto P uma carga puntiforme q ela adquire energia potencial
elétrica (Epot) dada por:
Epot = k . Q . q
d
Por definição, o potencial elétrico em P é dado pelo quociente:
V = Epot
q
Substituindo a energia potencial teremos:
kQq
V = d →
q
PROPRIEDADES DO POTENCIAL ELÉTRICO
I. O potencial elétrico é uma grandeza escalar, pois foi definido a partir de razão entre duas outras
grandezas escalares: a energia e a carga elétrica;
II. O potencial elétrico é uma grandeza de ponto, pois trata-se de uma grandeza associada a cada um
dos pontos da região do campo elétrico;
III. O potencial elétrico associado a um ponto P do campo elétrico não depende da eventual carga
elétrica que esteja nesse ponto;
IV. O potencial elétrico depende do valor da carga geradora (Q) do campo elétrico;
V. O potencial elétrico é decrescente no sentido da linha de força
VI. O valor algébrico do potencial elétrico gerado por uma carga puntiforme Q tem o mesmo sinal dessa
carga (supondo o referencial no infinito);
Q > 0 →→→→ V > 0 Q < 0 →→→→ V < 0
GRÁFICO V X d
Os gráficos são ramos de hipérbole, já que as grandezas V e d são inversamente proporcionais.
Representam os potenciais de uma carga positiva e negativa.

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POTENCIAL DE VÁRIAS CARGAS PUNTIFORMES
DIFERENÇA DE POTENCIAL
Também chamada de Voltagem ou Tensão,
que é uma das grandezas importantes da
eletricidade. É utilizada para explicar o movimento
das cargas elétricas. A diferença de potencial que na
maior parte das vezes representada por Um pode ser
também representada por V ou pelas iniciais d.d.p.
Então teremos que sua tensão ou d.d.p. é
calculada por:
DIFERENÇA DE POTENCIAL EM CAMPO ELÉTRICO UNIFORME
Num campo uniforme, produzido na região entre duas placas
condutoras paralelas de cargas opostas, a ddp entre dois pontos é
proporcional à distância entre as superfícies equipotenciais que passam
por esses pontos.
Observe que a força elétrica é conservativa, isto é, o trabalho
entre dois pontos independe da trajetória usada para realizar o trabalho.
CARGA ELÉTRICA ABANDONADA NO CAMPO ELÉTRICO
Abandonando-se, em repouso, uma carga elétrica q, puntiforme, numa região onde existe um campo
elétrico isolado, ela fica sujeita a uma força elétrica resultante F e desloca-se espontaneamente na direção e
sentido desta força. Nestas condições, o trabalho realizado por F é sempre positivo.
Com relação à forma da trajetória descrita pela carga q nada se pode prever. Pois a direção da força F
é variável (tangente a uma linha de força em cada ponto). Não se deve afirmar que a trajetória da partícula
coincide com uma linha de força, a menos que esta seja retilínea.
Quando as linhas de força são curvilíneas a trajetória
da partícula abandonada em repouso em A é
imprevisível.
Quando as linhas de força são retilíneas a trajetória
da partícula abandonada em repouso no ponto A
coincide com a linha de força.
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
A B
UAB
dAB
E
A
q > 0
F
F1
F2
Linhas de
força
Trajetória
aleatória
F
q > 0
E
A

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Durante o movimento espontâneo da partícula q verificam-se algumas propriedades que se seguem:
I. Em todo movimento espontâneo de carga elétrica, num
campo elétrico, a energia potencial elétrica da mesma
II. Cargas elétricas positivas, abandonadas em repouso no
campo elétrico e sujeitas apenas à ação da força
elétrica, deslocam-se espontaneamente para pontos de
menor potencial elétrico.
III. Cargas elétricas negativas abandonadas em repouso
num campo elétrico e sujeitas apenas à ação deste,
deslocam-se espontaneamente para ponto de maior
potencial
SUPERFÍCIES EQUIPOTENCIAIS
Denomina-se superfície equipotencial ou superfície de nível ao lugar geométrico dos ponto que
apresentam um mesmo potencial elétrico
No campo elétrico gerado por uma carga puntiforme as linhas de força são semi-retas radiais e as
superfícies equipotenciais formam uma família de superfícies esféricas com centro na carga geradora do
campo.
Em um campo elétrico uniforme em que as linhas de força formam um feixe de retas paralelas, as
superfícies equipotenciais são planos perpendiculares a elas.
VA < VB
Linhas de
força
Superfície
equipotencial
A B
-
F
q < 0
E
D C
F
q > 0
E
A B
A
Bq
F
A B
Linhas de
força
Superfície
equipotencial
VA > VB
+
VA VB VC
Superfície
equipotencial Linha de força
VA > VB >VC

29
As figuras que se seguem ilustram diversos exemplos de campos elétricos gerados por duas cargas
puntiformes ou outros corpos eletrizados. Observemos em cada uma delas que, em cada intersecção, a linha
de força é perpendicular à superfície equipotencial.
PROPRIEDADES DAS SUPERFÍCIES EQUIPOTENCIAIS
I. O trabalho da força elétrica durante o deslocamento de uma carga elétrica puntiforme sobre uma
superfície equipotencial é nulo.
II. As superfícies equipotenciais são ortogonais às linhas de força que representam o campo elétrico e,
consequentemente, ortogonais ao vetor campo elétrico.
TRABALHO DA FORÇA ELÉTRICA
No estudo da mecânica, vimos que a energia potencial está associada às forças conservativas da
seguinte forma:
• O trabalho realizado para vencer uma força conservativa, assim como a força da gravidade, não é
perdido, mas recuperável na forma de energia potencial.
• O trabalho realizado pela força conservativa não depende da trajetória, apenas das posições inicial e
final.
Sendo a força elétrica conservativa, o seu comportamento é semelhante ao da força da gravidade
(força peso).
Uma carga elétrica Q fixa, cria um campo elétrico. Se abandonarmos uma carga de prova q dentro
desse campo, a carga q irá sofrer influência da força elétrica F, que irá mover esta carga de prova q na mesma
direção e no mesmo sentido em que esteja se movendo essa força.
Se a força elétrica F que atua
na carga de prova q sendo
conservativa, o trabalho realizado é
dado pela expressão geral:
τ = F . d
Lembrando que F = q . E, temos que:
O trabalho realizado pela força elétrica para deslocar uma carga q de um ponto A a um ponto B desse
campo é igual à diferença da energia potencial elétrica entre A e B.
τ = ∆Epot → τ = Epot A – Epot B
A BFq
dAB
Q

30
Como a Epot A = qVA e Epot B = qVB temos que:
τ = qVA - qVB →
Como já vimos o termo (VA – VB) é chamado de diferença de potencia (ddp) entre os pontos A e B ou
tensão elétrica entre os pontos A e B. Ficamos com:
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. No campo elétrico produzido por uma carga pontual Q = 3.10
-2
C, qual é a energia potencial elétrica de uma
carga q = 3.10
-7
C, colocada a 12.10
-2
m de Q? Considere as cargas no vácuo.
02. No campo produzido por uma carga pontual Q = 5.10
-3
C, qual é a energia potencial elétrica de uma carga
q = - 4.10
-8
C, situada a 9.10
-2
m de Q? Considere as cargas no vácuo.
03. A energia potencial elétrica de uma carga q, situada no ponto P de um campo elétrico, vale 40 J. Calcule o
potencial elétrico no ponto P, quando q = 5 µC.
04. A energia potencial elétrica de uma carga q, situada no ponto P de um campo elétrico vale -20 J. Calcule o
potencial elétrico no ponto P, quando q = 0,05 C.
05. Uma carga Q tem um potencial de 12 V em um ponto P. Qual é a energia potencial elétrica de uma carga q
= 5µC, colocada no ponto P?
06. No campo elétrico produzido por uma carga pontual Q = 4.10
-7
C, calcule o potencial elétrico em um ponto
P, situado a 2m de Q. O meio é o vácuo.
07. Determine a energia potencial elétrica que uma carga de 5 µC adquire a 0,1m de uma carga de 0,2 µC,
localizada no vácuo.
08. No campo elétrico criado por uma carga elétrica Q= 3 µC, determine:
a) o potencial elétrico num ponto P situado a 0,3 m da carga Q;
b) a energia potencial elétrica que uma carga q= 2 µC adquire no ponto P. O meio é o vácuo.
09. Calcule o potencial do ponto P da figura abaixo.
Dados: Q1 = 10 . 10
-6
C; Q2 = - 30 . 10
-6
C; Q3 = 5 . 10
-6
C. O meio é o vácuo ko = 9 . 10
9
N.m
2
/C
2
.
10. As cargas da figura abaixo estão alinhadas sobre uma reta. Determine o potencial elétrico do ponto P.
Dados: Q1 = 2 . 10
-3
C; Q2 = - 5 . 10
-3
C; Q3 = 6 . 10
-3
C.

31
11. Determinar o trabalho realizado pela força elétrica para transportar uma carga q = 6.10
-6
C de um ponto A
até um ponto B, cujos potenciais são, respectivamente, 60V e 40V.
12. Uma partícula eletrizada com carga q = 7,5µC encontra-se num campo elétrico. A partícula é deslocada de
um ponto A (VA = 30 V) até um ponto B (VB = 18 V). Qual o trabalho da força elétrica?
13. Num campo elétrico, transporta-se uma carga q de 2 . 10
-6
C de ponto X até um ponto Y. O trabalho da
força elétrica é de – 6 . 10
-5
J. Determine a ddp entre os pontos X e Y.
14. No campo elétrico de carga Q = 3 µC são dados dois pontos, A e B, conforme a figura abaixo. Determine:
a) os potenciais elétricos de A e de B;
b) o trabalho da força elétrica que atua sobre uma carga elétrica q = 1 µC, no deslocamento de A para B. O
meio é o vácuo.

32
Gabarito
01. EP = K.Q.q = 9 . 10
9
. 3 . 10
-2
. 3 . 10
-7
= 81 = 6,75 . 10
2
J = 675 J
d 12 . 10
-2
12 . 10
-2
02. EP = K.Q.q = 9 . 10
9
. 5 . 10
-3
.(- 4 . 10
—8
) = - 180 . 10
-2
= - 20 J
d 9 . 10
-2
9 . 10
-2
03. V = E = 40 = 8 . 10
6
V
q 5 . 10
-6
04. V = E = - 20 = - 4 . 10
2
V
q 5 . 10
-2
05. 12 = E → E = 12 . 5 . 10
-6
= 60 . 10
-6
= 6 . 10
-5
J
5 . 10
-6
06. V = k.Q = 9 . 10
9
. 4 . 10
-7
= 36 . 10
2
= 18 . 10
2
= 1,8 10
3
V = 1800 V
d 2 2
07. EP = K.Q.q = 9 . 10
9
. 5 . 10
-6
. 0,2 . 10
-6
= 9 . 10
-3
= 9 . 10
-2
J = 0,09 J
d 1 . 10
-1
1 . 10
-1
08. a) V = 9 . 10
9
. 3 . 10
-6
= 27 . 10
3
= 9 . 10
4
V
3 . 10
-1
3 . 10
-1
b) V = E → 9 . 10
4
= E → E = 9 . 10
4
. 2 . 10
-6
= 18 . 10
-2
= 1,8 . 10
-1
= 0,18 J
q 2 . 10
-6
09.
V1 = 9 . 10
9
. 10 . 10
-6
= 9 . 10
4
V
1
V2 = 9 . 10
9
. (- 30 . 10
-6
) = - 270 . 10
3
= - 135 . 10
3
= - 13,5 . 10
4
V
2 2
V3 = 9 . 10
9
. 5 . 10
-6
= 45 . 10
4
V
1
VP = V1 + V2 + V3 = 9 . 10
4
+ (- 13,5 . 10
4
) + 45 . 10
4
= 40,5 . 10
4
= 4,05 . 10
5
V
10.
V1 = 9 . 10
9
. 2 . 10
-3
= 18 . 10
6
V
1
V2 = 9 . 10
9
. (- 5 . 10
-3
) = - 45 . 10
6
V
1
V3 = 9 . 10
9
. 6 . 10
-3
= 27 . 10
6
V
2
VP = V1 + V2 + V3 = 18 . 10
6
+ (- 45 . 10
6
) + 27 . 10
6
= 0 V
11. T = q . U = 6 . 10
-6
. (60 – 40) = 6 . 10
-6
. 20 = 120 . 10
-6
= 1,2 . 10
-4
J
12. T = 7,5 . 10
-6
. (30 – 18) = 7,5 . 10
-6
12 = 90 . 10
-6
= 9 . 10
-5
J
13. T = q . U → - 6 . 10
-5
= 2 . 10
-6
. U → U = - 6 . 10
-5
= - 3 . 10 = - 30 V
2 . 10
-6

33
14.
a) VA = 9 . 10
9
. 3 . 10
-6
= 9 . 10
4
V
3 . 10
-1
VA = 9 . 10
9
. 3 . 10
-6
= 4,5 . 10
4
V
6 . 10
-1
b) T = q . (VA – VB) = 1 . 10
-6
. (9 . 10
4
– 4,5 . 10
4
) = 1 . 10
-6
. 4,5 . 10
4
= 4,5 . 10
-2
J

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