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POTENCIAL ELÉTRICO
FÍSICA III
CAPÍTULO XXIV
Aula 4
Prof Agnaldo
Prof Marcelo Felisberto
Campus do Sertão - UFAL – Eixo de Tec
MFL/AJS : Eng Civil - Eng Produção POTENCIAL ELÉTRICO Campus do Sertão - UFAL – Eixo de Tec 1 / 42

Tópicos da Aula
1 Introdução
2 Energia Potencial Elétrica
3 Potencial Elétrico
4 Superfícies Equipotenciais
5 Cálculo do Potencial a Partir do Campo
6 Potencial Produzido por uma Carga Pontual
7 Potencial Produzido por um Dipolo Elétrico
8 Potencial Produzido por uma Distribuição Contínua de Cargas
9 Cálculo do Campo Elétrico a Partir do Potencial
10 Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Cargas Pontuais
11 Potencial de um Condutor Carregado

Introdução
Forças básicas da natureza
Um dos objetos da física é identificar as forças básicas da natureza, como as forças elétricas e
gravitacionais. Determinar se a força é conservativa, ou seja, se ela está associada à variação de alguma
energia potencial, nos permite aplicar o princípio da conservação da energia mecânica a sistemas fechados
que envolvem a força. A conservaçao da energia mecânica é extremamente útil, pois nos permite obter
resultados de experimentos nos quais os cálculos baseados em forças seriam muito difícieis.

Tópicos da Aula
1 Introdução

Energia Potencial Elétrica
Quando uma força elétrostática age entre duas ou mais partículas de um sistema, podemos associar
uma energia potêncial elétrica U ao sistema.
Se a configuração do sistema muda de um estado inicial i para um estado final f, a força
eletrostática exerce um trabalho W sobre as partículas.
∆U = Uf − Ui = −W (1)
Sendo a força eletrostática conservativa, o trabalho realizado é independente da trajetória.
Energia potencial para configuração de referência
Suponha que várias partículas carregadas passem de uma configuração em que a distância entre elas seja
infinita (estado i) para uma configuração em que a ditância é finita (estado f). Sendo Ui = 0 a energia
potencial da configuração inicial, e W∞ o trabalho para trazer o sistema do estado i para a configuração
(estado) final f, a energia potencial final do sistema é dado por
U = −W∞
= q
Z d
∞
⃗
E · d⃗
r (2)
Ou seja, a energia potencial elétrica depende da quantidade de carga da configuração.

Tópicos da Aula
1 Introdução

Potencial Elétrico
Tomando a energia potencial elétrica por unidade de carga, teremos uma grandeza física que possui um
único valor em cada ponto do espaço. Assim, a energia por unidade de carga U/q, não depende da carga q
da partícula e é uma característica apenas do campo elétrico na região do espaço que está sendo
investigado.
A energia potencial por unidade de carga em um ponto do espaço é chamada de potencial elétrico ou
simplemente potencial V. Assim,
V = U/q (3)
A diferença de potencial elétrico ∆V ente dois pontos i e f é igual à diferença entre a energia potencial
eletrica entre esses dois pontos.
∆V = Vf − Vi
=
Uf
q
−
Ui
q
=
∆U
q
(4)

Diferença de Potencial
Diferença de potencial:
Substituindo ∆U por −W, podemos definir a diferença de potencial entre os dois pontos i e f como
∆V = Vf − Vi = −
W
q
(5)
A diferença de potencial entre dois pontos é, portanto, o negativo do trabalho realizado pela força
eletrostática para deslocar uma carga unitária de um ponto para outro.
Potencial Elétrico:
Se tomarmos Ui = 0 no infinito como referência para a energia potencial, o potencial V no infinito também
será nulo Vi = 0. Neste caso, podemos redefinir o potencial em qualquer ponto do espaço,
V = −
W∞
q
(6)

Diferença de Potencial
Potencial Elétrico
É uma propriedade do campo elétrico que não depende da presença de um corpo carregado; é medida em
volts (joules por coulomb).
Energia Potencial Elétrica
É a energia de um objeto carregado na presença de um campo elétrico externo. Ou, mais precisamente, a
energia do sistema formado por um objeto carregado e um campo elétrico externo. É medida em joules.

Trabalho Realizado por uma Força Aplicada
Suponha que uma partícula de carga q seja transportada do ponto i para o ponto f, na presença de um
campos elétrico, através da aplicação de uma força. Durante o deslocamento a força aplicada realiza um
trabalho Wap sobre a carga, enquanto o campo elétrico realiza um trabalho W sobre a mesma carga. De
acordo com o teorema trabalho-energia cinética, a variação de enercia cinética ∆K da partícula é dada por
∆K = Kf − K − i = Wap + W (7)
Suponha que a partícula esteja parada antes a após o deslocamento. Desta forma Ki = Kf = 0, significando
que
Wap = −W (8)
Assim, substituindo na equação [4]
∆U = Uf − Ui = Wap → Wap = q∆V (9)

Tópicos da Aula
1 Introdução

Superfícies Equipotenciais
Pontos vizinhos que possuem o mesmo potencial elétrico formam uma superfície equipotencial. Pode
ser uma superfície real ou imaginária. O campo elétrico não realiza trabalho W sobre uma partícula
carregada que se desloca de um ponto para outro de uma superfície equipotencial.
Temos uma família de superfícies equipoten-
ciais associadas ao campo elétrico produzido
por uma certa distribuição de cargas.
Superfícies I e II
O trabalho realizado pelo campo elétrico sobre
uma partícula carregada quando a partícula
se desloca de uma extremidade à outra
é zero, já que essas trajetórias começam e
terminam na mesma superfície equipontencial.
Superfícies III e IV
O trabalho não é zero, mas tem o mesmo
valor para as duas trajetórias, pois as duas
trajetórias ligam o mesmo par de superfícies
equipotenciais.

Por simetria, as superfícies equipotenciais produzidas por uma carga pontual ou por qualquer distribuição de
cargas com simetria esférica são uma família de esferas concêntricas. No caso de um campo elétrico
uniforme as superfícies são uma família de planos perpendiculares às linhas de campo. As superfícies
equipontenciais são sempre perpendiculares as linhas de campo, e portanto, à ⃗
E, que é sempre tangente às
linhas.

Se ⃗
E não fosse perpendicular a uma superfície equipotencial teria uma componente paralela à superfície, o
que realizaria trabalho sobre uma partícula quado ela se deslocasse nessa superfície. Entretanto, como o
trabalho deve sempre ser nulo numa superfície equipotencial, a única conclusão possível é que o vetor ⃗
E é
sempre perpendicular à uma superfície equipotencial em qualquer ponto do espaço.

Tópicos da Aula
1 Introdução

Cálculo do Potencial a Partir do Campo
É possível calcular a diferença de potencial entre dois pontos i e f em uma região do espaço onde
existe um campo elétrico se o vetor campo elétrico ⃗
E for conhecido em todos os pontos de qualquer
trajetória que ligue esses pontos. Para isso, basta calcular o trabalho realizado pelo campo sobre uma
carga de prova quando a carga se desloca do ponto i até o ponto f.
dW = ⃗
F · d⃗
s
= q0
⃗
E · d⃗
s (10)
W = q0
Z f
i
⃗
E · d⃗
s (11)
Vf − Vi = −q0
Z f
i
⃗
E · d⃗
s (12)

Campo Conservativo
Figura (a):
Mostra dois pontos i e f, separados por uma distâcia
d, na presença de um campo elétrico uniforme ⃗
E.
Determine a diferença de potencial Vf − Vi deslocando
uma carga de prova positiva q0 do ponto i ao ponto f ao
longo da trajetória indicada, paralela à direção do campo.
Figura (b):
Determine a diferença de potencial Vf − Vi deslocando a
carga de prova q0 ao longo da trajetória icf.

Campo Conservativo
Figura (a):i → f
Vf − Vi = −
Z f
i
⃗
E · d⃗
s
=
Z f
i
Eds cos θ
Como o campo é uniforme, E é constante ao longo de toda tra-
jetória,
Vf − Vi = −E
Z f
i
ds
= −Ed (13)

Campo Conservativo
Figura (b): ecf → ic + cf
Vf − Vi = −
Z f
i
⃗
E · d⃗
s
= −
Z c
i
⃗
E · d⃗
s −
Z f
c
⃗
E · d⃗
s
= −
Z c
i
Eds cos 90 −
Z f
c
Eds cos 45
= −
Z f
c
Eds cos 45
= −E(cos 45)
Z f
c
ds
= −E(cos 45)
d
sin 45
= −Ed (14)

Tópicos da Aula
1 Introdução

Potencial Produzido por uma Carga Pontual
Calculando o potencial elétrico V criado no espaço por uma carga pontual, tomando como referência
o potencial zero no infinito. Considere um ponto P situado a uma distância R de uma partícula fixa de
carga positiva q. Imaginemos que uma carga de prova q0 é deslocada do ponto P até o infinito. Como
a trajetória seguida pela partícula é irrelevante, podemos escolher o mais simples (d⃗
s = d⃗
r = dr).
Vf − Vi = −
Z rf →∞
ri =R
⃗
E · d⃗
s
V(∞) − V(R) = −
Z ∞
R
Edr
0 − V = −
q
4πϵ0
Z ∞
R
1
r2
dr
V =
1
4πϵ0
q
R
(15)

Potencial Produzido por um Grupo de Cargas Pontuais
Podemos calcular o potencial produzido em um certo ponto por um grupo de cargas pontuais com a ajuda
do pricípio da superposição. Com a ajuda da equação [15] calculamos separadamente os potenciais
produzidos pelas cargas no ponto dado e somamos os potenciais. No caso de n cargas potuais o potencial
total é dado por
V =
n
∑
i=1
Vi
=
1
4πϵ0
n
∑
i=1
qi
ri
(16)
onde qi é o calor da carga de ordem i e ri é a distância radial entre o ponto dado e a carga de orden i. Esta
é uma vantagem importante do potencial em relação ao campo elétrico, já que é muito mais fácil somar
escalares do que vetores.

Tópicos da Aula
1 Introdução

Potencial Produzido por um Dipolo Elétrico
V =
n=2
∑
i=1
= V(+) + V(−)
=
1
4πϵ0
q
r(+)
+
−q
r(−)
!
=
q
4πϵ0
r(−) − r(+)
r(−)r(+)
=
q
4πϵ0
d cos θ
r2
=
1
4πϵ0
p cos θ
r2
(17)
Onde p = qd é o módulo do momento de dipolo elétrico (⃗
p). O vetor ⃗
p tem a mesma direção do eixo do dipolo e aponta da carga negativa para a positiva. Isso
significa que o ângulo θ é medido em relação a ⃗
p.

Momento Dipolar Induzido
Muitas moléculas, como a da água, pos-
suem um momento dipolar elétrico per-
manente. Em outras moléculas (conheci-
das como moléculas apolares) o momendo
dipolar é zero. Mas, quando um átomo ou
molécula apolar é submetido a um campo
elétrico externo, o campo distorce a órbitas
eletrônicas e separa as cargas positivas e
negativas. Como a carga dos elétrons é
negativa, eles são deslocados no sentido
oposto ao do campo. Esse deslocamento
dá origem a um momento dipolar ⃗
p que
aponda na direção do campo. Neste caso,
dizemos que o momento dipolar é induzido
pelo campo e que o átomo ou molécula é
polarizado pelo campo. Quando o campo é
removido o momento dipolar desaparece.

Tópicos da Aula
1 Introdução

Potencial Produzido por uma Distribuição Contínua de Cargas
Quando uma distribuição de cargas é contínua não podemos usar o somatório da equação [15] para calcular
o potencial V num ponto P. Em vez disso, devemos escolher uma elemento de carga dq, calcular o
potencial dV produzido por dq no ponto P e integrar para toda a distribuição de cargas.
dV =
1
4πϵ0
dq
r
(18)
V =
Z
dV
=
1
4πϵ0
Z
dq
r
(19)

Linha de Cargas
dV =
1
4πϵ0
dq
r
=
1
4πϵ0
λdx
(x2 + d2)1/2
(20)
V =
Z
dV
=
λ
4πϵ0
Z L
0
dx
(x2 + d2)1/2
(21)
(22)
fazendo
x = d tan θ
dx = d sec2 θdθ

Linha de Cargas
x = d tan θ e dx = d sec2 θdθ
V =
λ
4πϵ0
Z L
0
dx
(x2 + d2)1/2
=
λ
4πϵ0
Z
d sec2 θ
d sec θ
dθ
=
λ
4πϵ0
Z
sec θdθ
=
λ
4πϵ0
Z
sec θ
sec θ + tan θ
sec θ + tan θ
!
dθ
fazendo
u = sec θ + tan θ
du = (sec θ tan θ + sec2 θ)dθ

Linha de Cargas
u = sec θ + tan θ e du = (sec θ tan θ + sec2 θ)dθ
V =
λ
4πϵ0
Z
du
u
=
λ
4πϵ0
ln |u|
=
λ
4πϵ0
(
ln
h
x +

x2
+ d2
1/2i
)L
0
=
λ
4πϵ0
ln

L + (L2 + d2)1/2
d
#
(23)

Disco Carregado
dq = σdA
= σ(2πR′
)dR′
(24)
dV =
1
4πϵ0
dq
r
=
1
4πϵ0
σ(2πR′)dR′
√
z2 + R′2
V =
Z
dV =
σ
2ϵ0
Z R
0
R′dR′
√
z2 + R′2
=
σ
2ϵ0
p
z2 + R2 − z

(25)

Tópicos da Aula
1 Introdução

Cálculo do Campo Elétrico a Partir do Potencial
A figura mostra seções retas de uma família de superfícies equipotenciais. A diferença de potencial entre
superfícies adjacentes é dV, suponha que uma carga positiva q0 sofra um deslocamento d⃗
s de uma
superfície equipotencial para a superfície vizinha. O trabalho realizado pelo campo será,
dW = −q0dV (26)
W =
Z
⃗
F · d⃗
s
dW = ⃗
F · d⃗
s
= q0
⃗
E · d⃗
s
= q0(E cos θ)ds (27)
igualando as equações [26] e [27]
E cos θ = −
dV
ds
(28)

Cálculo do Campo Elétrico a Partir do Potencial
Como E cos θ é a componente de ⃗
E na direção de
d⃗
s, se torna
Es = −
∂V
∂s
(29)
Mas, de modo geral
Ex = −
∂V
∂x
(30)
Ey = −
∂V
∂y
(31)
Ez = −
∂V
∂z
(32)
(33)
Ou seja, se conhecemos V como uma função
V(x, y, z) para todos os pontos da sua vizinhança,
podemos calcular ⃗
E.

Tópicos da Aula
1 Introdução

Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Cargas Pontuais
Definição:
O trabalho de um agente externo necessário para aproximar dois corpos fixos carregados corresponde a
energia potencial elétrica desses dois corpos. Começando com as cargas a uma distância infinita umas das
outras até uma distância finita.
No caso da figura acima, quando trazemos q1 do infinito não realizamos nenhum trabalho, porque não existe
nenhuma força eletrostática agindo sobre ela. Quando, porém, trazemos q2 do infinito realizamos trabalho
para colocá-la próxima de q1, já que q1 exerce força eletrostática sobre q2 durante o deslocamento.

Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Cargas Pontuais
O trabalho para aproximar q2 de q1 é q2V, onde V é o potencial que foi criado por q1 no ponto em que
colocamos q2. Este potencial é dado por,
V =
1
4πϵ0
q1
r
(34)
Assim, a energia potencial elétrica do par de cargas pontuais é
U = W = q2V
=
1
4πϵ0
q1q2
r
(35)
Se as cargas têm o mesmo sinal devemos realizar um trabalho postivo para aproximar as partículas, já que
elas se repelem mutuamente. Se as cargas têm sinais opostos, as partículas tendem a se aproximar
espontaneamente e temos que exercer uma força no sentido oposto ao do caso anterior para mantê-las
estacionárias. Neste caso o trabalho é negativo.

Tópicos da Aula
1 Introdução

Potencial de um Condutor Carregado
Uma carga em excesso colocada em um condutor se distribui na superfície do condutor de tal forma que o
potencial é o mesmo em todos os pontos do condutor, tanto na superfície quanto no interior.
Vf − Vi = −
Z f
i
⃗
E · d⃗
s (36)

Centelhamento de um Condutor Carregado
Nos condutores não esféricos, uma carga superfi-
cial não se distribui uniformemente pela supeefície
do condutor. Nos vértices e arestas a densidade
de cargas superficiais podem atingir valores muito
elevados. O ar em torno desses vértices e arestas
pode ionizar, produzindo as centelas. Essas cen-
telhas, como o cabelo em pé, pode ser um sinal
de que um relâmpago está para acontecer.
Quando a umidade é baixa, o corpo pode
acumular até 5kV
Em ambientes secos, descer um escorrega
de plástico pode adquirir até 60kV

Condutor em um Campo Elétrico Externo
Se um condutor é submetido a um campo elétrico externo, o potencial continua a ser o mesmo em todos os
pontos do objeto. Os elétrons de condução se distribuem na superfície de tal forma que o campo elétrico
que produzem no interior do objeto cancela o campo elétrico externo.

Potencial elétricos
Tarefa obrigatória Responder as questões do livro
TAREFA OBRIGATÓRIA:
LEITURA DO CAPÍTULO 24
RESPONDER TODOS OS EXERCÍCIOS DO REFERIDO CAPÍTULO
BONS ESTUDOS!
OBRIGADO!
Até a próxima aula!!

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