A aula aborda conceitos de potencial elétrico, campo elétrico e energia potencial elétrica. Explica como calcular o potencial elétrico criado por cargas pontuais e como determinar o campo elétrico a partir do potencial. Apresenta também exemplos numéricos de cálculos envolvendo estas grandezas.

1. Universidade Federal do Paraná
Setor de Ciências Exatas
Departamento de Física
Física Geral B – Prof. Dr. Ricardo Luiz Viana
Aula 7: Potencial Elétrico
Recordação: Energia Potencial na Mecânica
Peso de um corpo de massa m = Força gravitacional = mg
Para erguer o corpo de uma altura h precisamos aplicar uma força (no limite de um
processo quase-estático) igual ao peso do corpo, realizando um trabalho
W = F. d = (mg)(h) cos 180o
= - m g h
A diferença de energia potencial gravitacional entre os dois pontos é definida como o
negativo do trabalho realizado para deslocar o corpo entre dois pontos distantes de h:
Δ U = Uf – Ui = - Wif = + m g h
Energia Potencial Elétrica: deslocamos uma carga de prova qo de um ponto inicial i a um
ponto final f. A diferença de energia potencial é também
Δ U = Uf – Ui = - Wif
onde Wif é o trabalho realizado pela força elétrica sobre a carga de prova F = qo E
A força elétrica (como a gravitacional) é conservativa = o trabalho Wif NÃO depende da
trajetória entre os pontos inicial e final.
- Ponto inicial i: ponto de referência no infinito Ui = 0
- Ponto final f: ponto qualquer Uf = U
U = - Winf: menos o trabalho realizado pela força elétrica para trazer uma carga de prova do
infinito até o ponto em questão
Potencial Elétrico: energia potencial por unidade de carga de prova
0q
U
V =
Unidades no S.I.: [U] = J (Joule), [V] = [U]/[q] = J/C = V (Volt)
Diferença de potencial (ddp)

2. 0q
W
VVV
if
if −=−=∆
Problema resolvido: Um elétron, partindo do repouso, é acelerado por uma ddp de 1 V.
Qual sua energia no final do processo?
Solução: energia = potencial x carga, logo U = Ve = 1 x 1,60 x 10-19
= 1,60 x 10-19
J
Esse valor é chamado “elétron-volt” (eV) e muito usado na prática
Ex.: 1 MeV = 106
eV = 106
x 1,60 x 10-19
= 1,60 x 10-13
J
Problema proposto: Num relâmpago, a ddp entre a nuvem e a Terra é de 1,0 x 109
V, e a
quantidade de carga transferida é igual a 30 C. (a) Qual a variação de energia da carga
transferida? (b) Se toda a energia liberada pudesse ser usada para acelerar um automóvel de
massa 1000 kg a partir do repouso, qual seria sua velocidade final? (c) Que quantidade de
gelo, a 0o
C, derreteria se toda a energia liberada pudesse ser usada para esse fim? Dica:
calor latente de fusão do gelo = 3,3 x 105
J/kg. Respostas: (a) 30 GJ, (b) 7,7 km/s, (c) 91 ton
Curvas de nível: lugares geométricos de pontos com a mesma cota (altitude)
Superfície equipotencial: lugar geométrico dos pontos do espaço com o mesmo valor do
potencial elétrico. São sempre perpendiculares às linhas de campo.

3. Recordação da Mecânica: Trabalho realizado por uma força variável com a posição F(r)
∫=
f
i
dsFW .
onde: r = vetor posição, ds = elemento de deslocamento vetorial
Cálculo do potencial a partir do campo elétrico: Seja F = q0 E a força elétrica num
campo não-uniforme.
∫∫ −=−=−=−=∆
f
i
f
i
if
if dsEdsEq
qq
W
VVV ..
1
0
00

4. Campo elétrico uniforme: sendo o deslocamento ds paralelo às linhas de força E, temos
E. ds = E ds cos 0o
= E ds
∫ ∫ =−=−=−=∆
f
i
f
i
if EddsEdsEVVV .
onde d é a distância ao longo das linhas de força.
Obs.: nova unidade para o campo elétrico [E] = [V]/[d] = V/m
Problema resolvido: Um plano infinito de cargas tem densidade superficial de carga σ =
0,10 μC/m2
. Qual a distância entre as superfícies equipotenciais cuja ddp é igual a 50 V?
Solução: As equipotenciais são planos paralelos ao plano de cargas. O campo elétrico em
cada equipotencial é constante, e igual a E = σ/2ε0. Sendo d a distância entre as
equipotenciais, e sendo E uniforme temos que ΔV = E d
mm
x
xxxV
E
V
d 85,8
1010,0
501085,822
6
12
0
==
∆
=
∆
= −
−
σ
ε
Problema proposto: Um próton (massa = 1,67 x 10-27
kg) está num campo elétrico
uniforme E = 5,0 V/m e é solto a partir do repouso, onde V = 0. Após percorrer uma
distância de 4 cm qual é o potencial, a energia potencial elétrica, a energia cinética e a
velocidade do próton? Respostas: (a) -0,20 V; (b) – 3,2 x 10-20
J; (c) + 3,2 x 10-20
J; (d) 6,19
km/s.
Potencial de uma carga puntiforme: Ponto inicial no infinito: potencial é nulo por
convenção (Vi = 0)
Trazemos uma carga de prova do infinito até um ponto P distante r da carga q ao longo de
uma linha de força ds = - dr´ (a linha em r´ é para não confundir com r, que é constante!)
E. ds = E ds cos 180o
= - E ds = - E(-dr´) = + E dr´

5. ∫∫ ∫∫ ∞∞ ∞∞
−=−=−=−=
rf rr
r
drq
dr
r
q
EdrdsEV 2
0
2
0 ´
´
4
´
´4
1
´.
πεπε
Usamos a fórmula do cálculo integral ∫ +−= −
Cnuduu nn
)1/(1
, com n = 2
∫ +−= C
uu
du 1
2






∞
+−−=





−−=
∞
11
4´
1
4 00 r
q
r
q
V
r
πεπε
r
q
V
04
1
πε
=
Princípio da superposição: o potencial de um sistema de cargas puntiformes é obtido pela
soma algébrica (leva em conta o sinal da carga) dos potenciais de cada carga do sistema






+++=
n
n
r
Q
r
Q
r
Q
V ...
4
1
2
2
1
1
0πε
Problema resolvido: Considere o quadrado de cargas fixas abaixo, onde q = 2,0 nC e a =
10 cm. Determine o potencial elétrico no centro do quadrado.
Solução: A distância de cada carga ao centro do quadrado é r =d√2/2=d/√2=10/√2=7,07 cm

6. 0
22
4
1
0
=








−+−=
r
q
r
q
r
q
r
q
V
πε
Problema proposto: Calcular o potencial elétrico no ponto médio da distância entre as
cargas +q e –q do quadrado acima.
Recordação de Cálculo II: a derivada parcial de uma função de duas ou mais variáveis é
uma derivada “comum” calculada tomando-se as demais variáveis como constantes.
Ex.: V(x,y,z) = x2
y z3
22323
3,,2 zyx
z
V
zx
y
V
xyz
x
V
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
Cálculo do campo elétrico a partir do potencial: considerando a ddp entre dois pontos
afastados de uma distância infinitesimal ds, temos que
dV = - E . ds = - E ds cos θ = - (E cos θ) ds
Mas E cos θ é a projeção do vetor E ao longo da direção do deslocamento ds, portanto
E cos θ = Es. Como V pode depender de várias variáveis temos
s
V
Es
∂
∂
−=
Em particular, as componentes de E são as derivadas parciais do potencial elétrico em
relação às respectivas coordenadas no espaço
z
V
E
y
V
E
x
V
E zyx
∂
∂
−=
∂
∂
−=
∂
∂
−= ,,
Usando o operador gradiente
k
z
V
j
y
V
i
x
V
V
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
temos que VE −∇=
, isto é, o campo é menos o gradiente do potencial.
Problema resolvido: O potencial elétrico numa região do espaço é dado por
V(x) = (100 V) – (25 V/m) x. Determine o campo elétrico.
Solução:
0,0,25 =
∂
∂
−==
∂
∂
−=+=
∂
∂
−=
z
V
E
y
V
E
m
V
x
V
E zyx
logo E = (25 V/m) i.
Problema proposto: Seja V(x,y,z)=V0(x2
+ y2
+ z2
)3/2
, onde V0 = 100 V. Determine o
campo elétrico no ponto x = 2 cm, y = 3 cm, z = 3 cm.
Energia potencial elétrica de um sistema de cargas puntiformes: é igual ao trabalho que
deve ser realizado para reunir o sistema de cargas, trazendo-as desde o infinito até a posição
que ocupam no espaço.

7. Exemplo: sistema de duas cargas positivas q1 e q2. Trazemos q2 desde o infinito até o ponto
P. Como a força entre as cargas é de repulsão, precisamos de um agente externo que realize
o trabalho contra o campo elétrico, portanto W = + q2 V, onde V = k q1/r é o potencial
criado pela carga q1 no ponto P. Logo
r
qq
WU 21
04
1
πε
==
Problema resolvido: Duas cargas q = + 2,0 μC estão fixas e separadas pela distância d =
2,0 cm. (a) Qual o potencial elétrico no vértice C de um triângulo isósceles tendo as duas
cargas na base? (b) Uma terceira carga q = + 2,0 μC é trazida do infinito até o ponto C.
Quanto trabalho foi realizado? (c) Qual é a energia potencial do sistema de três cargas?
Solução: (a) A distância das duas cargas a C é r2
= (d/2)2
+(d/2)2
(Pitágoras), r=d√2
O potencial em C é
VC = k(2q/r)=(9,0x109
x2x2,0x10-6
)/(0,02√2) = 1,8 x 104
V
(b) O trabalho é W = - q VC=-2,0x10-6
x1,8x104
= - 3,6 x 10-2
J
(c) Para um sistema de três cargas somamos a energia aos pares (duas a duas)
Jxxx
dr
kq
d
qq
r
qq
r
qq
U
89,6
02,0
1
02,0
22
)100,2(109
12...
4
1
269
2
0
−=







+=
=





+=





++=
−
πε
Problema proposto: Duas pequenas esferas metálicas A e B de massas mA = 5,00 g e mB =
10,0 g têm cargas positivas iguais a q = + 5,0 μC. As esferas são ligadas por um fio não-
condutor de massa desprezível e comprimento d = 1,0 m. (a) Qual é a energia potencial
elétrica do sistema? (b) Suponha que cortamos o fio. Nesse instante, qual a aceleração de
cada esfera? (c) Muito tempo depois de cortarmos o fio, qual a velocidade de cada esfera?
Respostas: (a) 0,225 J; (b) 45 e 22,5 m/s2
; (c) 7,74 e 3,87 m/s.