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Sistemas de Numeração
Tecnologias de Informação e
Comunicação
Engenharia Mecânica
1º Ano / 1º Semestre

Filipe Caldeira, 2006

Sistemas de Numeração

Redes de Computadores

Sistema Decimal
No sistema decimal existem dez símbolos numéricos, “algarismos”: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9.
Através das combinações adequadas destes símbolos, constrói-se os números do
Sistema Decimal. A regra de construção consiste na combinação sequencial dos
símbolos, de modo que, o valor do número depende da posição dos “algarismos”.
A análise da figura leva a concluir que um número decimal é um somatório dos seus
“algarismos” multiplicados, cada um, por uma base 10 de expoentes sequenciais.

Formação de um número decimal

2

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Redes de Computadores

Sistemas de Numeração

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Sistemas de Numeração

Redes de Computadores

Sistema Binário
A codificação binária “base 2” é formada apenas por dois símbolos diferentes:
• o símbolo lógico “0”
• o símbolo lógico “1”
Estes “digitos” repetem-se na estrutura da numeração, de acordo com as seguintes
regras:
• o dígito zero “0” significa zero quantidades ou unidades
• o dígito um “1” significa uma quantidades ou uma unidade
• o dígito dois “2” não existe no sistema binário
Se procedermos como no sistema decimal; repetimos o zero “0” na sequência de
contagem, e colocamos um “1” na coluna imediatamente à esquerda.

4

Tecnologias de Informação e Comunicação

4
Sistemas de Numeração

Redes de Computadores

Sistema Binário
Exemplos
O valor decimal 2 é representado em binário por: 1 0 diz-se “um, zero”
O valor decimal 3 é representado em binário por:1 1 diz-se “um, um”
O valor decimal 4 é representado em binário por: 1 0 0 diz-se “um, zero, zero”
O valor decimal 8 é representado em binário por: 1 0 0 0 diz-se “um, zero, zero, Zero”
O valor decimal 10 é representado em binário por: 1 0 1 0 diz-se “um, zero, um, Zero”
O valor decimal 16 é representado em binário por: 1 0 0 0 0 diz-se “um, zero, zero, zero, zero”

5

Tecnologias de Informação e Comunicação

5

Sistemas de Numeração
Sistema Binário

Redes de Computadores

Podemos assim concluir que o valor de cada algarismo binário “digito” varia de
modo análogo ao sistema decimal, com a diferença de que, neste caso, a base
das potências que multiplicam qualquer posição é de valor 2, “base 2”.

MSB – Most Significant Bit – Bit mais significativo
LSB – Lower Significant Bit – Bit menos significativo

6

Tecnologias de Informação e Comunicação

6
Sistemas de Numeração
Sistema Binário

Redes de Computadores

Conversão Binário - Decimal
Para se efectuar a correspondência entre a
numeração binária e a numeração decimal,
deveremos ter em conta as seguintes regras:
1. Multiplicam-se todos os dígitos
binários pelo valor decimal da
potência de 2 correspondente ao
peso de cada dígito.
2. Somam-se os resultados obtidos.
3. O resultado da soma é o
equivalente decimal do número
binário.

7

Tecnologias de Informação e Comunicação

7

Sistemas de Numeração
Sistema Binário

Redes de Computadores

Conversão Binário - Decimal
Vejamos alguns exemplos :

8

Tecnologias de Informação e Comunicação

8
Sistemas de Numeração
Sistema Binário
Conversão Decimal - Binário
Redes de Computadores

A conversão de números decimais para números binários é feita dividindo-se o
número decimal por 2 até que o resultado seja zero. O número binário
correspondente é obtido agrupando-se os “restos” das divisões no sentido da
última divisão para a primeira.

9

Tecnologias de Informação e Comunicação

9

Sistemas de Numeração
Sistema Binário

Redes de Computadores

Conversão Decimal - Binário

10

Tecnologias de Informação e Comunicação

10
Sistemas de Numeração

Redes de Computadores

Sistema Hexadecimal
O Sistema hexadecimal, tal como o nome indica, é formado por 16 símbolos
“dígitos” diferentes. Estes símbolos são os conhecidos dígitos
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 do sistema decimal e as letras A,B,C,D,E,F.
Estas letras, em correspondência com o sistema decimal, equivalem aos valores
10, 11, 12, 13, 14, 15, respectivamente.
Vejamos a correspondência entre os três sistemas de numeração.

11

11

Tecnologias de Informação e Comunicação

Sistemas de Numeração

Redes de Computadores

Sistema Hexadecimal
O sistema de numeração hexadecimal é muito utilizado na programação de
microprocessadores, especialmente nos equipamentos de estudo e sistemas
de desenvolvimento.
Tal como nos sistemas anteriores, podemos desenvolver qualquer número em
potências da sua base, neste caso 16.
Símbolos básicos

Repetição dos símbolos básicos

0123456789ABCDEF

10 … … 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F 20 …

O primeiro símbolo da direita é sempre o menos significativo e o
primeiro símbolo da esquerda é sempre o mais significativo,
idêntico aos outros sistemas de numeração.

12

Tecnologias de Informação e Comunicação

12
Sistemas de Numeração
Sistema Hexadecimal

Redes de Computadores

Conversão hexadecimal - decimal
Para converter um número hexadecimal num número decimal, basta aplicar a
fórmula genérica já conhecida :

13

Tecnologias de Informação e Comunicação

13

Sistemas de Numeração
Sistema Hexadecimal

Redes de Computadores

Conversão decimal - hexadecimal
O processo é idêntico a conversão Decimal - Binário, dividindo-se o número
Decimal pela base 16 até que o resultado seja zero. O número Hexadecimal
correspondente é obtido agrupando-se os “restos” das divisões no sentido da
última para a primeira.

14

Tecnologias de Informação e Comunicação

14
Sistemas de Numeração
Sistema Hexadecimal

Redes de Computadores

Conversão binário - hexadecimal
A conversão Binário - Hexadecimal é feita transformando-se grupos de quarto
dígitos binários, no sentido da direita para a esquerda, directamente em
números hexadecimais.

Caso o último grupo à esquerda não possua
4 dígitos, deve-se completar com zeros.
15

Tecnologias de Informação e Comunicação

15

Sistemas de Numeração
Sistema Hexadecimal

Redes de Computadores

Conversão hexadecimal - binário
A conversão de números Hexadecimais em Binários é feita transformando-se os
símbolos Hexadecimais directamente em números binários de 4 dígitos.

Os zeros à esquerda do último grupo da esquerda podem ser omitidos, pois
não valem nada.
16

Tecnologias de Informação e Comunicação

16
Sistemas de Numeração

Redes de Computadores

Sistema Octal
O Sistema octal, tal como o nome indica, é formado por 8 símbolos “dígitos”
diferentes. Estes símbolos são os conhecidos dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7 do sistema
decimal.
Vejamos a correspondência entre os três sistemas de numeração.
Decimal

Octal

0

000

0

1

001

1

2

010

2

3

011

3

4

100

4

5

101

5

6

110

6

7

17

Binário

111

7

17

Tecnologias de Informação e Comunicação

Sistemas de Numeração

Redes de Computadores

Sistema Octal
Tal como nos sistemas anteriores, podemos desenvolver qualquer número em
potências da sua base, neste caso 8.

Símbolos básicos

Repetição dos símbolos básicos

01234567

0 … 6 7 10 … … 17 20 21 22 23 24 25 26 27 30 …

O primeiro símbolo da direita é sempre o menos significativo e o
primeiro símbolo da esquerda é sempre o mais significativo,
idêntico aos outros sistemas de numeração.

18

Tecnologias de Informação e Comunicação

18
Sistemas de Numeração
Sistema Octal

Redes de Computadores

Conversão decimal - Octal
O processo é idêntico a conversão decimal - binário ou decimal – hexadecimal
dividindo-se o número Decimal pela base 8 até que o resultado seja zero. O
número octal correspondente é obtido agrupando-se os “restos” das divisões
no sentido da última para a primeira.
Converter 9010 para octal.

90|8
2 11|8
3 1|8
10

19

9010 = 1328

Converter 12810 para octal.
128|8
0 16|8
0 2|8
20
12810 = 2008

Tecnologias de Informação e Comunicação

19

Sistemas de Numeração
Sistema Hexadecimal

Redes de Computadores

Conversão octal - decimal
Para converter um número octal num número decimal, basta aplicar a fórmula
genérica já referida anteriormente (ver sistema hexadecimal) utilizando como base o
valor 8.

Converter 3458 em decimal.
–3458 = 3x82 + 4x81 + 5x80
–3458 = 192 + 32 + 5 = 22910
Converter 4778 em decimal.
–4778 = 4x82 + 7x81 + 7x80
–4778 = 256 + 56 + 7 = 31910
20

Tecnologias de Informação e Comunicação

20
Sistemas de Numeração
Sistema Octal

Redes de Computadores

Conversão binário - Octal
A conversão Binário - octal é feita transformando-se grupos de três dígitos
binários, no sentido da directa para a esquerda, directamente em números
octais.

Converter 11100102 em octal -

1 110 010 = 1628
{ { {
1

Converter 100012 em octal -

6

2

10 001 = 218
{ {
2

1

Caso o último grupo à esquerda não possua 3 dígitos, deve-se completar com zeros.
21

Tecnologias de Informação e Comunicação

21

Sistemas de Numeração
Sistema Octal

Redes de Computadores

Conversão octal - binário
A conversão de números octais em Binários é feita transformando-se os símbolos
octais directamente em números binários de 3 dígitos.
Exemplos

7 7 logo 778 = 1111112
{ {

111 111

1 2 3 logo 1238 = 10100112
{ { {

001 010 011

Os zeros à esquerda, do último grupo da esquerda,
podem ser omitidos, pois não valem nada.
22

Tecnologias de Informação e Comunicação

22
Sistemas de Numeração
Sistema Octal

Redes de Computadores

Conversão octal - hexadecimal
A conversão de números octais em hexadecimais (e vice-versa) deve ser feita
transformando-se os símbolos octais (ou hexadecimais) em binários e
posterior transformação em hexadecimal (ou octal).
Exemplo da conversão octal - hexadecimal

7 7 logo 778 = 1111112 = 11 1111 = 3F16
{ {
{ {
3

111 111

F

Exemplo da conversão hexadecimal - octal

1
{

2
{

3 logo12316 = 100100011 = 100 100 011 = 4438
2
{
{ { {

0001 0010 0011
23

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  • 1. Sistemas de Numeração Tecnologias de Informação e Comunicação Engenharia Mecânica 1º Ano / 1º Semestre Filipe Caldeira, 2006 Sistemas de Numeração Redes de Computadores Sistema Decimal No sistema decimal existem dez símbolos numéricos, “algarismos”: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Através das combinações adequadas destes símbolos, constrói-se os números do Sistema Decimal. A regra de construção consiste na combinação sequencial dos símbolos, de modo que, o valor do número depende da posição dos “algarismos”. A análise da figura leva a concluir que um número decimal é um somatório dos seus “algarismos” multiplicados, cada um, por uma base 10 de expoentes sequenciais. Formação de um número decimal 2 Tecnologias de Informação e Comunicação 2
  • 2. Redes de Computadores Sistemas de Numeração 3 Tecnologias de Informação e Comunicação 3 Sistemas de Numeração Redes de Computadores Sistema Binário A codificação binária “base 2” é formada apenas por dois símbolos diferentes: • o símbolo lógico “0” • o símbolo lógico “1” Estes “digitos” repetem-se na estrutura da numeração, de acordo com as seguintes regras: • o dígito zero “0” significa zero quantidades ou unidades • o dígito um “1” significa uma quantidades ou uma unidade • o dígito dois “2” não existe no sistema binário Se procedermos como no sistema decimal; repetimos o zero “0” na sequência de contagem, e colocamos um “1” na coluna imediatamente à esquerda. 4 Tecnologias de Informação e Comunicação 4
  • 3. Sistemas de Numeração Redes de Computadores Sistema Binário Exemplos O valor decimal 2 é representado em binário por: 1 0 diz-se “um, zero” O valor decimal 3 é representado em binário por:1 1 diz-se “um, um” O valor decimal 4 é representado em binário por: 1 0 0 diz-se “um, zero, zero” O valor decimal 8 é representado em binário por: 1 0 0 0 diz-se “um, zero, zero, Zero” O valor decimal 10 é representado em binário por: 1 0 1 0 diz-se “um, zero, um, Zero” O valor decimal 16 é representado em binário por: 1 0 0 0 0 diz-se “um, zero, zero, zero, zero” 5 Tecnologias de Informação e Comunicação 5 Sistemas de Numeração Sistema Binário Redes de Computadores Podemos assim concluir que o valor de cada algarismo binário “digito” varia de modo análogo ao sistema decimal, com a diferença de que, neste caso, a base das potências que multiplicam qualquer posição é de valor 2, “base 2”. MSB – Most Significant Bit – Bit mais significativo LSB – Lower Significant Bit – Bit menos significativo 6 Tecnologias de Informação e Comunicação 6
  • 4. Sistemas de Numeração Sistema Binário Redes de Computadores Conversão Binário - Decimal Para se efectuar a correspondência entre a numeração binária e a numeração decimal, deveremos ter em conta as seguintes regras: 1. Multiplicam-se todos os dígitos binários pelo valor decimal da potência de 2 correspondente ao peso de cada dígito. 2. Somam-se os resultados obtidos. 3. O resultado da soma é o equivalente decimal do número binário. 7 Tecnologias de Informação e Comunicação 7 Sistemas de Numeração Sistema Binário Redes de Computadores Conversão Binário - Decimal Vejamos alguns exemplos : 8 Tecnologias de Informação e Comunicação 8
  • 5. Sistemas de Numeração Sistema Binário Conversão Decimal - Binário Redes de Computadores A conversão de números decimais para números binários é feita dividindo-se o número decimal por 2 até que o resultado seja zero. O número binário correspondente é obtido agrupando-se os “restos” das divisões no sentido da última divisão para a primeira. 9 Tecnologias de Informação e Comunicação 9 Sistemas de Numeração Sistema Binário Redes de Computadores Conversão Decimal - Binário 10 Tecnologias de Informação e Comunicação 10
  • 6. Sistemas de Numeração Redes de Computadores Sistema Hexadecimal O Sistema hexadecimal, tal como o nome indica, é formado por 16 símbolos “dígitos” diferentes. Estes símbolos são os conhecidos dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 do sistema decimal e as letras A,B,C,D,E,F. Estas letras, em correspondência com o sistema decimal, equivalem aos valores 10, 11, 12, 13, 14, 15, respectivamente. Vejamos a correspondência entre os três sistemas de numeração. 11 11 Tecnologias de Informação e Comunicação Sistemas de Numeração Redes de Computadores Sistema Hexadecimal O sistema de numeração hexadecimal é muito utilizado na programação de microprocessadores, especialmente nos equipamentos de estudo e sistemas de desenvolvimento. Tal como nos sistemas anteriores, podemos desenvolver qualquer número em potências da sua base, neste caso 16. Símbolos básicos Repetição dos símbolos básicos 0123456789ABCDEF 10 … … 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F 20 … O primeiro símbolo da direita é sempre o menos significativo e o primeiro símbolo da esquerda é sempre o mais significativo, idêntico aos outros sistemas de numeração. 12 Tecnologias de Informação e Comunicação 12
  • 7. Sistemas de Numeração Sistema Hexadecimal Redes de Computadores Conversão hexadecimal - decimal Para converter um número hexadecimal num número decimal, basta aplicar a fórmula genérica já conhecida : 13 Tecnologias de Informação e Comunicação 13 Sistemas de Numeração Sistema Hexadecimal Redes de Computadores Conversão decimal - hexadecimal O processo é idêntico a conversão Decimal - Binário, dividindo-se o número Decimal pela base 16 até que o resultado seja zero. O número Hexadecimal correspondente é obtido agrupando-se os “restos” das divisões no sentido da última para a primeira. 14 Tecnologias de Informação e Comunicação 14
  • 8. Sistemas de Numeração Sistema Hexadecimal Redes de Computadores Conversão binário - hexadecimal A conversão Binário - Hexadecimal é feita transformando-se grupos de quarto dígitos binários, no sentido da direita para a esquerda, directamente em números hexadecimais. Caso o último grupo à esquerda não possua 4 dígitos, deve-se completar com zeros. 15 Tecnologias de Informação e Comunicação 15 Sistemas de Numeração Sistema Hexadecimal Redes de Computadores Conversão hexadecimal - binário A conversão de números Hexadecimais em Binários é feita transformando-se os símbolos Hexadecimais directamente em números binários de 4 dígitos. Os zeros à esquerda do último grupo da esquerda podem ser omitidos, pois não valem nada. 16 Tecnologias de Informação e Comunicação 16
  • 9. Sistemas de Numeração Redes de Computadores Sistema Octal O Sistema octal, tal como o nome indica, é formado por 8 símbolos “dígitos” diferentes. Estes símbolos são os conhecidos dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7 do sistema decimal. Vejamos a correspondência entre os três sistemas de numeração. Decimal Octal 0 000 0 1 001 1 2 010 2 3 011 3 4 100 4 5 101 5 6 110 6 7 17 Binário 111 7 17 Tecnologias de Informação e Comunicação Sistemas de Numeração Redes de Computadores Sistema Octal Tal como nos sistemas anteriores, podemos desenvolver qualquer número em potências da sua base, neste caso 8. Símbolos básicos Repetição dos símbolos básicos 01234567 0 … 6 7 10 … … 17 20 21 22 23 24 25 26 27 30 … O primeiro símbolo da direita é sempre o menos significativo e o primeiro símbolo da esquerda é sempre o mais significativo, idêntico aos outros sistemas de numeração. 18 Tecnologias de Informação e Comunicação 18
  • 10. Sistemas de Numeração Sistema Octal Redes de Computadores Conversão decimal - Octal O processo é idêntico a conversão decimal - binário ou decimal – hexadecimal dividindo-se o número Decimal pela base 8 até que o resultado seja zero. O número octal correspondente é obtido agrupando-se os “restos” das divisões no sentido da última para a primeira. Converter 9010 para octal. 90|8 2 11|8 3 1|8 10 19 9010 = 1328 Converter 12810 para octal. 128|8 0 16|8 0 2|8 20 12810 = 2008 Tecnologias de Informação e Comunicação 19 Sistemas de Numeração Sistema Hexadecimal Redes de Computadores Conversão octal - decimal Para converter um número octal num número decimal, basta aplicar a fórmula genérica já referida anteriormente (ver sistema hexadecimal) utilizando como base o valor 8. Converter 3458 em decimal. –3458 = 3x82 + 4x81 + 5x80 –3458 = 192 + 32 + 5 = 22910 Converter 4778 em decimal. –4778 = 4x82 + 7x81 + 7x80 –4778 = 256 + 56 + 7 = 31910 20 Tecnologias de Informação e Comunicação 20
  • 11. Sistemas de Numeração Sistema Octal Redes de Computadores Conversão binário - Octal A conversão Binário - octal é feita transformando-se grupos de três dígitos binários, no sentido da directa para a esquerda, directamente em números octais. Converter 11100102 em octal - 1 110 010 = 1628 { { { 1 Converter 100012 em octal - 6 2 10 001 = 218 { { 2 1 Caso o último grupo à esquerda não possua 3 dígitos, deve-se completar com zeros. 21 Tecnologias de Informação e Comunicação 21 Sistemas de Numeração Sistema Octal Redes de Computadores Conversão octal - binário A conversão de números octais em Binários é feita transformando-se os símbolos octais directamente em números binários de 3 dígitos. Exemplos 7 7 logo 778 = 1111112 { { 111 111 1 2 3 logo 1238 = 10100112 { { { 001 010 011 Os zeros à esquerda, do último grupo da esquerda, podem ser omitidos, pois não valem nada. 22 Tecnologias de Informação e Comunicação 22
  • 12. Sistemas de Numeração Sistema Octal Redes de Computadores Conversão octal - hexadecimal A conversão de números octais em hexadecimais (e vice-versa) deve ser feita transformando-se os símbolos octais (ou hexadecimais) em binários e posterior transformação em hexadecimal (ou octal). Exemplo da conversão octal - hexadecimal 7 7 logo 778 = 1111112 = 11 1111 = 3F16 { { { { 3 111 111 F Exemplo da conversão hexadecimal - octal 1 { 2 { 3 logo12316 = 100100011 = 100 100 011 = 4438 2 { { { { 0001 0010 0011 23 Tecnologias de Informação e Comunicação 4 4 3 23