Sistemas de Numeração e Conversão de BasesLeandro Costa
Slides sobre sistemas de numeração e conversão de bases numéricas, criado para o projeto de Ensino à Distância proposta na matéria de Tópicos Avançados, no Instituto Superior de Tecnologia em Ciências da Computação - IST-RIO / FAETEC ( http://www.faetec.rj.gov.br/ist-rio )
Sistemas de Numeração e Conversão de BasesLeandro Costa
Slides sobre sistemas de numeração e conversão de bases numéricas, criado para o projeto de Ensino à Distância proposta na matéria de Tópicos Avançados, no Instituto Superior de Tecnologia em Ciências da Computação - IST-RIO / FAETEC ( http://www.faetec.rj.gov.br/ist-rio )
Material de apoio aos alunos do curso de Office do Projeto Função. Apostila de Excel desenvolvida por Cibele Kanegae.
O Projeto Função é realizado na Comunidade da Vila Prudente. Nasceu da motivação de levar cultura e educação social/profissional para dentro da comunidade.
Referências:site da Microsoft Office
Durante um dos ciclos de seminários no Instituto Federal de Mato Grosso do Sul (IFMS), fomos encarregados de apresentar sobre os sistemas operacionais para servidores. Para tanto, criamos um texto que condensaria algumas ideias sobre o assunto com o intuito de compor uma base que não abrangesse somente alguns sistemas, mas mostra-se de forma clara e sucinta o objetivo principal de um sistema operacional, ou seja, abastração e gerência. Para a pesquisa, utilizamos alguns renomados pesquisados de sistemas operacionais como Maziero e Tanembaum, para dar maior credibilidade e sustento às ideias que queríamos expor.
Para ter acesso ao material completo, por favor, acesse meu site. www.luizpicolo.com.br
Material de apoio aos alunos do curso de Office do Projeto Função. Apostila de Excel desenvolvida por Cibele Kanegae.
O Projeto Função é realizado na Comunidade da Vila Prudente. Nasceu da motivação de levar cultura e educação social/profissional para dentro da comunidade.
Referências:site da Microsoft Office
Durante um dos ciclos de seminários no Instituto Federal de Mato Grosso do Sul (IFMS), fomos encarregados de apresentar sobre os sistemas operacionais para servidores. Para tanto, criamos um texto que condensaria algumas ideias sobre o assunto com o intuito de compor uma base que não abrangesse somente alguns sistemas, mas mostra-se de forma clara e sucinta o objetivo principal de um sistema operacional, ou seja, abastração e gerência. Para a pesquisa, utilizamos alguns renomados pesquisados de sistemas operacionais como Maziero e Tanembaum, para dar maior credibilidade e sustento às ideias que queríamos expor.
Para ter acesso ao material completo, por favor, acesse meu site. www.luizpicolo.com.br
Sistema de numeración - Conversion entre sistemasJose Diaz Silva
Presentación sobre conversión entre sistemas numéricos, presenta mediante ejemplos los métodos empleados para las transformaciones entre hexadecimal, binario, octal y decimal. Ilustra los procedimientos y emplea tablas para reflejar los elementos que se deben tener en cuenta al realizar estas operaciones. Se considera un compendio de conversiones útil para aquellos estudiantes que se están aproximando al empleo de estos sistemas. Hace parte de una serie de presentaciones asociadas al trabajo con arquitectura de computadores.
Síntese elaborada por Celeste Duque, onde se procuram as origens do conceito de número e contagem. Apresentam-se alguns dos sistemas numéricos da antiguidade, tais como: Babilónia, Maia, Egípcio, Romanos, Hindu/Árabe. Sistemas de contagem: o Ábaco...
5. SISTEMA DE NUMERAÇÃO
1. INTRODUÇÃO
O homem, através dos tempos, sentiu a necessidade da utilização de
sistemas numéricos.
Existem vários sistemas numéricos, dentre os quais se destacam:
O sistema decimal;
O sistema binário;
O sistema octal;
E o sistema hexadecimal.
6. SISTEMA DE NUMERAÇÃO
1. INTRODUÇÃO
O sistema decimal é utilizado por nós no dia-a-dia e é, sem dúvida, o mais
importante dos sistemas numéricos. Trata-se de um sistema que possui 10
(dez) algarismos, com os quais podemos formar qualquer número através da
lei da formação.
Os outros sistemas (binário, octal e hexadecimal) são importantes nas áreas
de técnicas digitais e informática.
8. SISTEMA DE NUMERAÇÃO
2. SISTEMA BINÁRIO DE NUMERACÃO
No sistema binário de numeração, existem apenas dois (02) algarismos. São
eles:
O algarismos “0” (zero) e
O algarismo “1” (um)
9. SISTEMA DE NUMERAÇÃO
2. SISTEMA BINÁRIO DE NUMERACÃO
Informação Importante. Se não possuímos o algarismo 2 nesse sistema,
como devemos representá-lo?
No sistema decimal, não possuímos o algarismo “dez”, e representamos a
quantidade de uma dezena utilizando o algarismo “1”, seguido do algarismo
“0”. Neste caso, significará que temos um grupo de uma dezena e o
algarismo “0” nenhuma unidade, o que significa “dez”.
No sistema binário é a mesma coisa. Agimos da mesma forma. Para
representarmos a quantidade “dois”, utilizamos o algarismo “1” seguido do
algarismo “0”. O algarismo 1 significará que temos um grupo de “dois”
elementos e o “0” o grupo de nenhuma unidade, representando assim o
número “dois”.
11. SISTEMA DE NUMERAÇÃO
2. SISTEMA BINÁRIO DE NUMERACÃO
Cada dígito binário recebe a denominação de bit (binary digit). O conjunto de
4 bits é denominado de nibble e um conjunto de 8 bits corresponde a um
byte ou octeto (Binary Term – muito utilizado para especificar o tamanho ou
a quantidade de memória e a capacidade de armazenamento de um
determinado dispositivo). Termo bastante utilizado na área de informática.
12. SISTEMA DE NUMERAÇÃO
2.1 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA DECIMAL
Para explicar a conversão, vamos utilizar como exemplo, o número decimal
594.
Este número significa o seguinte:
(5 x 100) + (9 x 10) + (4 x 1) = 594
Esquematicamente, temos:
dezena
101)
100)
1
9
4
unidade
102)
10
5
centena
100
(5 x
+ (9 x
+ (4 x
= 594
102
5
101 100
9
4
Utilizando o conceito básico de formação de um número, podemos obter a
mesma equivalência, convertendo assim o número binário para o sistema
decimal.
13. SISTEMA DE NUMERAÇÃO
2.1 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA DECIMAL
Para explicar a conversão do sistema binário para o sistema decimal,
vamos utilizar como exemplo, o número binário 1012.
22
21
20
1
0
1
=
(1 x 22) + (0 x 21) + (1 x 20) = 5
Portanto, o número 101 na base 2 é igual ao número 5 na base 10.
Para melhor identificação do número, colocaremos como índice, a
base do sistema ao qual o número pertence. Para o nosso exemplo,
podemos escrever: 510 = 1012
14. SISTEMA DE NUMERAÇÃO
2.1 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA DECIMAL
Exemplo:
22
21
20
1
0
1
=
(1 x 22) + (0 x 21) + (1 x 20) = 5
Seguindo o exemplo acima, façam a conversão do sistema binário para o
sistema decimal:
a)
10012
b)
011102
c)
10102
d)
11001100012
e)
10112
f)
111112
15. SISTEMA DE NUMERAÇÃO
2.1 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA DECIMAL
a)
10012
(1 x 23) + (0 x 22) + (0 x 21) (1 x 20) = 910
b)
011102
(1 x 23) + (1 x 22) + (1 x 21) (0 x 20) = 1410
c)
10102
(1 x 23) + (0 x 22) + (1 x 21) + (0 x 20) = 1010
d)
11001100012
(1 x 29) + (1 x 28) + (1 x 25) + (1 x 24) + (1 x 20) = 512+256+32+16+1 = 81710
e)
10112
(1 x 23) + (0 x 22) + (1 x 21) + (1 x 20) = 1110
f)
111112
(1 x 24) + (1 x 23) + (1 x 22) + (1 x 21) + (1 x 20) = 3110
16. SISTEMA DE NUMERAÇÃO
2.2 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA BINÁRIO
Veremos agora a conversão do Sistema Decimal para o Sistema Binário.
Para este tipo de conversão, basta você dividir o número decimal por 2,
conforme demonstrado no exemplo a seguir, com o número decimal 47.
47
1º resto
2
1
23
1
2º resto
3º resto
4º resto
5º resto
6º resto
4710 = 1011112
2
11
2
1
5
1
2
2
2
0
1
17. SISTEMA DE NUMERAÇÃO
2.2 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA BINÁRIO
(LSB)
(MSB)
O último quociente será o algarismo mais
significativo e ficará colocado à esquerda.
Os outros algarismos seguem na ordem até
o 1° resto.
4710
=
1011112
O bit menos significativo de um número
binário recebe a notação de LSB (Least
Significant Bit) e o bit mais significativo de
MSB (Most Significant Bit)
18. SISTEMA DE NUMERAÇÃO
2.2 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA BINÁRIO
Façam as conversões dos números decimais mencionados abaixo, para o
para o sistema binário, utilizando o método das divisões sucessivas.
a)
400
b)
21
c)
552
d)
715
e)
27
f)
45
g)
28
19. SISTEMA DE NUMERAÇÃO
2.3 CONVERSÃO NÚMEROS BINÁRIO FRACIONÁRIOS EM DECIMAIS
Seguindo o mesmo método apresentado anteriormente, só que agora, utilizando um
número decimal fracionário qualquer, por exemplo, o número 10,5 e, aplicando a regra
básica de formação de um número, temos:
101 100 10-1
1
0
5
=
(1 x 101) + (0 x 100) + (5 x 10-1) = 10,5
Para números binários, agimos da mesma forma. Vamos transformar em decimal o
número 101,1012.
22 21 20
2-1 2-2 2-3
1
0
1
1
0
1
=
(1 x 22) + (0 x 21) + (1 x 20) + (1 x 2-1) + (0 x 2-2) + (1 x 2-3) =
= x 1/8) = 5,625
4 + 0 + 1 + 0,5 + (0 x ¼) + (1
10
=
101,1012
20. SISTEMA DE NUMERAÇÃO
2.3 CONVERSÃO NÚMEROS BINÁRIO FRACIONÁRIOS EM DECIMAIS
Façam a conversão dos números binários mencionados abaixo, para o
sistema decimal.
a) 1010,11012
b) 111,0012
c) 100,110012
21. SISTEMA DE NUMERAÇÃO
2.4 CONVERSÃO NÚMEROS DECIMAIS FRACIONÁRIOS EM BINÁRIOS
Vamos tomar como exemplo, o número decimal fracionário 8,375 e convertêlo para binário.
Este número significa: 8 + 0,375 = 8,375
1º Passo: Transformar a parte inteira do número, como já vimos
anteriormente:
8
LSB
2
0
4
2
0
2
2
0
1
MSB
810 = 10002
22. SISTEMA DE NUMERAÇÃO
2.4 CONVERSÃO NÚMEROS DECIMAIS FRACIONÁRIOS EM BINÁRIOS
2º Passo: Transformar a parte fracionária, que consiste na multiplicação
sucessiva das partes fracionárias resultantes pela base, até atingir zero. O
número fracionário convertido será composto pelos algarismos inteiros
resultantes tomados na ordem das multiplicações. Teremos então:
1° algarismo
2° algarismo
3° algarismo
0,375
x2
------0,75
x2
------1,5
0,5
x2
------1
Parte fracionária
Base do sistema
Quando atingirmos o número 1, e a parte após a virgula não for nula,
separamos esta última e reiniciamos o processo:
O processo para aqui, pois a parte do número depois da vírgula é nula.
23. SISTEMA DE NUMERAÇÃO
2.4 CONVERSÃO NÚMEROS DECIMAIS FRACIONÁRIOS EM BINÁRIOS
Para finalizar a conversão, efetuamos a composição da parte inteira com a fracionária,
ficando da seguinte forma:
8,37510 = 1000,0112
Exercícios
Façam a conversão dos números decimais fracionários abaixo para o sistema
binário:
a) 4,810
b) 0,62510
c) 3,38010
24. SISTEMA DE NUMERAÇÃO
Faça a conversão do número decimal fracionário 4,810, para o sistema binário.
1. Passo: Transformar a parte inteira do número 410
410 = 1002
2. Passo: Converter a parte fracionária utilizando a regra já aplicada.
a)
b)
c)
d)
0,8 x 2 = 1,6
0,6 x 2 = 1,2
0,2 x 2 = 0,4
0,4 x 2 = 0,8
0,810 = (0,1100 1100 1100...)2
Sequência
calculada
Repetições
Podemos notar que o número 0,8 tornou a aparecer. Se continuarmos o processo,
teremos a mesma sequência já vista até aqui. Um caso equivalente a uma dízima. Temos
então:
Logo: 4,810 = (100,1100110011001100...)2
25. SISTEMA DE NUMERAÇÃO
Faça a conversão do número decimal fracionário 0,62510, para o sistema binário.
a) 0,625 x 2 = 1,250
b) 0,250 x 2 = 0,5
c) 0,5 x 2 = 1 (verdadeiro)
Logo, dizemos que (0,625)10 = (0,101)2
26. SISTEMA DE NUMERAÇÃO
Faça a conversão do número decimal fracionário 3,38010, para o sistema binário.
1. Passo: Transformar a parte inteira do número 310
310 = 112
2. Passo: Converter a parte fracionária utilizando a regra já aplicada.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
0,38 x 2 = 0,76
0,76 x 2 = 1,52
0,52 x 2 = 1,04
0,04 x 2 = 0,08
0,08 x 2 = 0,16
0,16 x 2 = 0,32
0,32 x 2 = 0,64
0,64 x 2 = 1,28
0,28 x 2 = 0,56
Neste caso, temos:
0,0110000102 = 1 x 2-2 + 1 x 2-3 + 1 x 2-8 = 0,3789062510
Observação: Se aproximarmos o número decimal em duas casas,
teremos 0,38, logo, para uma precisão de duas casas decimais é
suficiente que tenhamos seguido o método até aí.
0,3810 = 0,011000012 .: 3,3810 = 11,0110000102
28. SISTEMA DE NUMERAÇÃO
3.1 O SISTEMA OCTAL DE NUMERAÇÃO
O sistema octal de numeração é um sistema de base 8 no qual existem 8 algarismos
assim enumerados:
0, 1, 2, 3, 4 ,5 6 e 7
29. SISTEMA DE NUMERAÇÃO
3.2 CONVERSÃO DO SISTEMA OCTAL PARA O SISTEMA DECIMAL
Para convertermos um número octal em decimal, utilizamos o conceito básico de
formação de um número, conforme já visto.
Vamos converter o número 1448 em decimal:
82
81
80
1
4
4
=
(1 x 82) + (4 x 81) + (4 x 80) = 64 + 32 + 4 = 10010
.: 1448 = 10010
30. SISTEMA DE NUMERAÇÃO
3.2 CONVERSÃO DO SISTEMA OCTAL PARA O SISTEMA DECIMAL
Converta os números abaixo em decimal.
a) 778
b) 1008
c) 4768
d) 218
e) 358
31. SISTEMA DE NUMERAÇÃO
3.3 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA OCTAL
O processo é análogo do sistema decimal do sistema binário. Só que neste
caso utilizaremos a divisão por 8, por ser o sistema octal, sua base é igual a
8.
Exemplo: Convertendo o número 9210 para o sistema octal.
92
4
8
11
8
3
1
9210 = 1348
32. SISTEMA DE NUMERAÇÃO
3.3 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA OCTAL
Converta os números decimais abaixo para o sistema octal.
a) 7410
b) 51210
c) 71910
33. SISTEMA DE NUMERAÇÃO
3.2 CONVERSÃO DO SISTEMA OCTAL PARA O SISTEMA BINÁRIO
Trata-se de uma conversão extremamente simples, podendo-se utilizar a
regra prática descrita abaixo.
Tomemos como exemplo o número octal 278. A regra consiste em transformar
cada algarismo diretamente no seu correspondente em binário, respeitando o
número padrão de bits do sistema, sendo para o octal igual a três (23 = 8.
Desta forma, teremos:
2
010
7
111
34. SISTEMA DE NUMERAÇÃO
3.2 CONVERSÃO DO SISTEMA OCTAL PARA O SISTEMA BINÁRIO
Trata-se de uma conversão extremamente simples, podendo-se utilizar a regra prática
descrita abaixo.
Tomemos como exemplo o número octal 278. A regra consiste em transformar cada
algarismo diretamente no seu correspondente em binário, respeitando o número
padrão de bits do sistema, sendo para o octal igual a três (23 = 8. Desta forma,
teremos:
2
010
7
111
35. SISTEMA DE NUMERAÇÃO
3.2 CONVERSÃO DO SISTEMA OCTAL PARA O SISTEMA BINÁRIO
Converta os números octais em binários:
a) 348
b) 5368
c) 446758
d) 578
e) 258
f)
118
g) 728
37. SISTEMA DE NUMERAÇÃO
4.1 O SISTEMA HEXADECIMAL DE NUMERAÇÃO
O Sistema hexadecimal possui 16 algarismos, sendo sua base igual a 16. Os
algarismos são assim enumerados:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F
Notamos que a letra “A” por sua vez representa a quantidade dez. A letra “B”
que representa a quantidade onze, e assim sucede até a letra F, que
representa a quantidade quinze.
Este sistema é muito usado na área de microprocessadores e também no
mapeamento de memoria em sistemas digitais, sendo aplicado em projetos
de software e hardware.
38. SISTEMA DE NUMERAÇÃO
4.1 CONVERSÃO DO SISTEMA HEXADECIMAL PARA O SISTEMA
DECIMAL
A regra de conversão é análoga à de outros sistemas, somente que neste
caso a base é 16.
Exemplo: Converta o número 3F16 em decimal.
161 160
3
F
=
(3 x 161)+ (15 x 160) = 6310
Sendo F16 = 1510
39. SISTEMA DE NUMERAÇÃO
4.1 CONVERSÃO DO SISTEMA HEXADECIMAL PARA O SISTEMA
DECIMAL
Converta os números hexadecimal para decimal:
a) 1C316
b) 23816
c) 1FC916
40. SISTEMA DE NUMERAÇÃO
4.3 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA
HEXADECIMAL
Da mesma forma como nos casos anteriores, esta conversão se faz através
de divisões sucessivas pela base do sistema a ser convertido.
Exemplo: transformar o número 100010 em hexadecimal.
1000
16
8
62
14
16
3
Sendo 1410 = E16
100010 = 3E816
41. SISTEMA DE NUMERAÇÃO
4.3 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA
HEXADECIMAL
Convertam os números decimais abaixo para o sistema hexadecimal.
a) 13410
b) 38410
c) 388210
42. SISTEMA DE NUMERAÇÃO
4.4 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA
HEXADECIMAL
É análoga à conversão do sistema binário para octal, só que neste caso,
agrupamos de 4 em 4 bits para a esquerda.
Exemplo: Transforme o número 100110002 em hexadecimal.
1001 1000
9
8
.: 100110002 = 9816
43. SISTEMA DE NUMERAÇÃO
4.4 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA
HEXADECIMAL
Converta para o sistema hexadecimal os números binários:
a) 11000112
b) 110001111000111002
44. SISTEMA DE NUMERAÇÃO
4.5 CONVERSÃO DO SISTEMA HEXA PARA O SISTEMA BINÁRIO
É análoga à conversão do sistema octal para binário, só que neste caso,
necessita-se de 4 bits para representar cada hexadecimal
Exemplo: Converter o número C1316 para o sistema binário:
C C16 = 1210
C = 1100
1 = 0001
3 = 0011
C1316 = 1100000100112
45. SISTEMA DE NUMERAÇÃO
4.5 CONVERSÃO DO SISTEMA HEXA PARA O SISTEMA BINÁRIO
Exercícios: Convertam os números abaixo para o sistema decima:
a) 1ED16
b) 6CF916