1. O documento apresenta o currículo do Professor Dester, com sua formação acadêmica em engenharia elétrica e experiência como professor. 2. Ele atua como professor de engenharia elétrica, controle e automação e ciência da computação há mais de dez anos. 3. Informações de contato do professor como site, aulas particulares e canal no YouTube são fornecidas no final.

2. Mini currículo do Professor Dester
Formação acadêmica
Doutor em Planejamento Energético (tese)
Mestre em Engenharia Elétrica (dissertação)
Graduação em Engenharia Elétrica
Atuação como professor
Engenharia Elétrica
Engenharia de Controle e Automação
Ciência da Computação
Experiência profissional
Mais de dez anos como professor universitário e mais
de trinta anos no setor de Energia Elétrica.

3. Atuação do Professor Dester
Site
www.professordester.com.br
Aulas particulares
https://is.gd/destersuperprof1
YouTube
www.bit.ly/youtubeprofdester

4. https://youtu.be/wviKLoscGVg

5. • Implementação dos métodos iterativos de
Jacobi (Gauss) e de Gauss-Siedel no
Matlab e Octave

7. De forma análoga a solução de uma equação algébrica do primeiro grau os métodos iterativos
buscam resolver equações matriciais.
Para que seja possível utilizar um processo iterativo é necessário rearranjar a equação
matricial, ou seja, é preciso transformar:
bax 

8. Em linhas gerais, os métodos iterativos consistem em encontrar uma sequência de estimativas
xi
k (dada uma estimativa inicial xi
0) que após um número suficientemente de iterações convirja
para a solução do sistema de equações.
nnnn xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
210
4
2
4
1
4
0
4
3
2
3
1
3
0
3
2
2
2
1
2
0
2
1
2
1
1
1
0
1



9. Vantagem
Não são tão suscetíveis ao acúmulo de erros de arredondamento como, por exemplo, o
método de Eliminação de Gauss.
Desvantagens
É importante lembrar que, como todo processo iterativo, estes métodos sempre apresentarão
um resultado aproximado, que será tão próximo do resultado real quanto se deseje, a custo de
mais tempo e processamento (no caso de ser utilizado recurso computacional).
A convergência de um processo iterativo para a solução exata não é garantida para qualquer
sistema. Falaremos um pouco mais sobre convergência a seguir.

10. Seja o seguinte sistema de equações:
nnnnnnnnnn
nnnn
nnnn
nnnn
bxaxaxaxaxa
bxaxaxaxaxa
bxaxaxaxaxa
bxaxaxaxaxa
........
........
........
........








11321
313113333232131
212112323222121
111111313212111
1321


11. Isolando xi a partir da linha i, tem-se:
 
 
 
 1121
31132322313
33
3
21123231212
22
2
11113132121
11
1
21
1
1
1
1








nnnnnn
nn
n
nnnn
nnnn
nnnn
xaxaxab
a
x
xaxaxaxab
a
x
xaxaxaxab
a
x
xaxaxaxab
a
x
......
....
....
....
,
,
,
,


12. O processo iterativo é obtido a partir das equações, fazendo:
 
 
 
 k
nnn
k
n
k
nn
nn
k
n
k
nn
k
nn
kkk
k
nn
k
nn
kkk
k
nn
k
nn
kkk
xaxaxab
a
x
xaxaxaxab
a
x
xaxaxaxab
a
x
xaxaxaxab
a
x
11,2211
1
311,32321313
33
1
3
211,23231212
22
1
2
111,13132121
11
1
1
......
1
.......
1
.......
1
.......
1













13. Critério de Parada: diferença relativa entre duas iterações consecutivas, tal que esta diferença
seja menor que a tolerância definida. Define-se por diferença relativa a expressão:


























0
0
se1
00
0.
1
1
1
1
1
1
1
k
i
k
i
k
i
k
i
k
ik
i
k
i
k
i
x
x
xxse
xse
x
xx
Máx
ni
M k
R
.,1
convergiuprocessooentãotolerânciaMSe k
R 

14. Resumo do Método
1. Estipular um valor para  (tolerância ou precisão);
2. Isolar cada uma das variáveis resultando em três equações com as variáveis x1, x2, x3, ...,
xn isoladas;
3. Estimar uma solução inicial para as variáveis isoladas;
4. Substituir a solução nas equações com as variáveis isoladas;
5. Encontrar a nova solução;
6. Verificar se a precisão desejada (critério de parada) foi atingida. Caso a precisão não
tenha sido alcançada voltar ao passo 4.
7. A solução final é definida como a solução da última iteração realizada.

15. Dado o sistema de equações abaixo vamos resolvê-lo utilizando o Método de Jacobi.
Neste exemplo vamos usar  = 0.05.
61032
85
7210
321
321
321



xxx
xxx
xxx

16. 1. Estipular um valor para  (tolerância ou precisão);
2. Isolar cada uma das variáveis resultando em três equações com as variáveis x1,
x2, x3, ..., xn isoladas;

17. 61032
85
7210
321
321
321



xxx
xxx
xxx
10
326
5
8
10
27
21
3
31
2
32
1
xx
x
xx
x
xx
x








18. 3. Estimar uma solução inicial para as variáveis isoladas;
4. Substituir a solução nas equações com as variáveis isoladas;
5. Encontrar a nova solução;
6. Verificar se a precisão desejada (critério de parada) foi atingida. Caso a precisão
não tenha sido alcançada voltar ao passo 4.

19. 










0
0
0
)0(
x
 











6e19
206.1
197
1
e
e
d
 
   
 
   
 
   
600000.0
10
326
60000.1
5
8
700000.0
10
27
00
1
00
1
00
1
21
3
31
2
32
1









xx
x
xx
x
xx
x

  
  1
max d

20. 4. Substituir a solução nas equações com as variáveis isoladas;
5. Encontrar a nova solução;
6. Verificar se a precisão desejada (critério de parada) foi atingida. Caso a precisão
não tenha sido alcançada voltar ao passo 4.

21. 










700000.0
600000.1
700000.0
)1(
x
 











0.566667
0.162500
0.371429
2
d
 
   
 
   
 
   
940000.0
10
326
860000.1
5
8
960000.0
10
27
11
2
11
2
11
2
21
3
31
2
32
1









xx
x
xx
x
xx
x

  
  2
max d

22. 4. Substituir a solução nas equações com as variáveis isoladas;
5. Encontrar a nova solução;
6. Verificar se a precisão desejada (critério de parada) foi atingida. Caso a precisão não
tenha sido alcançada voltar ao passo 4.

23. 










940000.0
860000.1
960000.0
)2(
x
 
   
 
   
 
   
966000.0
10
326
988800.1
5
8
978000.0
10
27
22
3
22
3
22
3
21
3
31
2
32
1









xx
x
xx
x
xx
x

 











0.027660
0.064516
0.018750
3
d
  
  3
max d

24. 4. Substituir a solução nas equações com as variáveis isoladas;
5. Encontrar a nova solução;
6. Verificar se a precisão desejada (critério de parada) foi atingida. Caso a precisão não
tenha sido alcançada voltar ao passo 4.

25. 










966000.0
980000.1
978000.0
)3(
x
 
   
 
   
 
   
998400.0
10
326
988800.1
5
8
999400.0
10
27
33
4
33
4
33
4
21
3
31
2
32
1









xx
x
xx
x
xx
x

  
  4
max d
 











0.033540
0.004444
0.021881
4
d

26. 










998400.0
988800.1
999400.0
x
Portanto a solução para o sistema abaixo, utilizando o método de Jacobi.
Adotando um  = 0.05, é:
61032
85
7210
321
321
321



xxx
xxx
xxx

29. O processo iterativo é obtido a partir das equações, fazendo:
 
 
 
 1
11,
1
22
1
11
1
311,3
1
232
1
1313
33
1
3
211,2323
1
1212
22
1
2
111,13132121
11
1
1
......
1
.......
1
.......
1
.......
1













k
nnn
k
n
k
nn
nn
k
n
k
nn
k
nn
kkk
k
nn
k
nn
kkk
k
nn
k
nn
kkk
xaxaxab
a
x
xaxaxaxab
a
x
xaxaxaxab
a
x
xaxaxaxab
a
x

30. Jacobi (Gauss)
Gauss-Siedel

33. Entre em contato com o Professor Dester
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www.professordester.com.br
Aulas particulares
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YouTube
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