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Autovalores e Autovetores
Maria Luísa B. de Oliveira
SME0300 – Cálculo Numérico
24 de novembro de 2010
Introdução
Objetivo: Dada matriz A, n × n, determinar todos os
vetores v que sejam paralelos a Av.
Introdução
Objetivo: Dada matriz A, n × n, determinar todos os
vetores v que sejam paralelos a Av.
Sendo A uma matriz de ordem n × n, definimos um
autovalor de A como um escalar λ ∈ C se existe um
vetor v (n × 1) não-nulo tal que
Av = λv.
Todo vetor v que satisfaz essa relação é denominado
um autovetor de A correspondente ao autovalor λ.
Introdução
Objetivo: Dada matriz A, n × n, determinar todos os
vetores v que sejam paralelos a Av.
Sendo A uma matriz de ordem n × n, definimos um
autovalor de A como um escalar λ ∈ C se existe um
vetor v (n × 1) não-nulo tal que
Av = λv.
Todo vetor v que satisfaz essa relação é denominado
um autovetor de A correspondente ao autovalor λ.
Para determinar λ, como
Av = λv ⇔ (A − λIn)v = 0,
então devemos resolver a equação
det(A − λIn) = 0.
Para cada valor de λ devemos determinar (pelo menos)
um v correspondente.
Introdução
Exemplo: Determinar os autovalores e autovetores de
A =
3 4
2 1
.
Solução: Vamos calcular primeiro det(A − λIn) = 0.
(3 − λ) 4
2 (1 − λ)
= 0 ⇒ (3 − λ)(1 − λ) − 8 = 0
⇒ λ2
− 4λ − 5 = 0 ⇒ (λ − 5)(λ + 1) = 0.
Então λ é autovalor de A se e somente se λ = 5 ou
λ = −1.
Para calcular v = [v1, v2]T correspondentes, resolver
(3 − λ) 4
2 (1 − λ)
v1
v2
=
0
0
.
Introdução
λ = 5 :
−2 4
2 −4
v1
v2
=
0
0
⇒
−2v1 + 4v2 = 0
2v1 − 4v2 = 0
⇒ v1 = 2v2 ⇒ v = v2
2
1
, ∀v2 ∈ R.
λ = −1 :
4 4
2 2
v1
v2
=
0
0
⇒
4v1 + 4v2 = 0
2v1 + 2v2 = 0
⇒ v1 = −v2 ⇒ v = v2
−1
1
, ∀v2 ∈ R.
Métodos Numéricos – Introdução
Métodos numéricos para determinar os autovalores e
autovetores correspondentes de uma matriz A de
ordem n, sem calcular o determinante.
Três grupos:
i) métodos que determinam polinômio
característico;
ii) métodos que determinam alguns
autovalores:
iii) métodos que determinam todos os
autovalores:
Métodos Numéricos – Introdução
Métodos numéricos para determinar os autovalores e
autovetores correspondentes de uma matriz A de
ordem n, sem calcular o determinante.
Três grupos:
i) métodos que determinam polinômio
característico;
ii) métodos que determinam alguns
autovalores: método das potências e da
potência inversa;
iii) métodos que determinam todos os
autovalores: método de Jacobi.
Método das Potências
Objetivo: Determinar o autovalor de maior valor
absoluto λ1 de uma matriz A e seu autovetor v
correspondente.
Suponha que, para a matriz A de ordem n,
|λ1| > |λ2| ≥ . . . ≥ |λn|,
isto é, λ1 é o autovalor de maior valor absoluto de A.
Também suponha que os autovetores são linearmente
independentes.
Se há uma sequência de vetores yk definida por
yk+1 = Ayk, k = 0, 1, . . .
com y0 arbitrário, então
λ1 = lim
k→∞
(yk+1)r
(yk)r
e v = lim
k→∞
(yk).
Método das Potências
Para determinar λ1, seguimos o seguinte algoritmo:
Dado um vetor y0 qualquer, não nulo, construímos
zk+1 = Ayk; yk+1 =
1
αk+1
zk+1; k = 0, 1, 2, . . . ,
com αk = max1≤r≤n |(zk+1)r|.
A cada k = 0, 1, . . . determinar o vetor λ
(k)
1 =
(zk+1)r
(yk)r
.
Se, para qualquer componente r,
λ
(k)
1 − λ
(k−1)
1
r
λ
(k)
1
r
< ϵ,
então λ1 = (λ
(k)
1 )r e v = yk.
Método das Potências
Exemplo: Determinar o maior autovalor (em valor
absoluto) λ1 e o autovetor correspondente v1 de
A =
3 4
2 1
.
Tomemos y0 = [1, 1]T
. Então
Método das Potências
Exemplo: Determinar o maior autovalor (em valor
absoluto) λ1 e o autovetor correspondente v1 de
A =
3 4
2 1
.
Tomemos y0 = [1, 1]T
. Então
k = 0 : z1 = Ay0 = [7, 3]T
; α1 = max(|7|, |3|) = 7.
λ
(0)
1 = (z1)r/(y0)r = [7, 3]T
; y1 = z1/α1 = 1, 3
7
T
.
Método das Potências
Exemplo: Determinar o maior autovalor (em valor
absoluto) λ1 e o autovetor correspondente v1 de
A =
3 4
2 1
.
Tomemos y0 = [1, 1]T
. Então
k = 0 : z1 = Ay0 = [7, 3]T
; α1 = max(|7|, |3|) = 7.
λ
(0)
1 = (z1)r/(y0)r = [7, 3]T
; y1 = z1/α1 = 1, 3
7
T
.
k = 1 : z2 = Ay1 = 33
7
, 17
7
T
; α2 = max 33
7
, 17
7
= 33
7
.
λ
(1)
1 = (z2)r/(y1)r = 33
7
, 17
3
T
; y2 = z2/α2 = 1, 17
33
T
.
Método das Potências
Exemplo: Determinar o maior autovalor (em valor
absoluto) λ1 e o autovetor correspondente v1 de
A =
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2 1
.
Tomemos y0 = [1, 1]T
. Então
k = 0 : z1 = Ay0 = [7, 3]T
; α1 = max(|7|, |3|) = 7.
λ
(0)
1 = (z1)r/(y0)r = [7, 3]T
; y1 = z1/α1 = 1, 3
7
T
.
k = 1 : z2 = Ay1 = 33
7
, 17
7
T
; α2 = max 33
7
, 17
7
= 33
7
.
λ
(1)
1 = (z2)r/(y1)r = 33
7
, 17
3
T
; y2 = z2/α2 = 1, 17
33
T
.
λ
(1)
1 − λ
(0)
1
r
λ
(1)
1
r
≈
0,485
0,471
; . . .
Método da Potência
Como determinar o menor autovalor λn (e respectivo
autovetor v) de A?
Método da Potência Inversa
Como determinar o menor autovalor λn (e respectivo
autovetor v) de A?
Determinar maior autovalor de A−1 (e respectivo
autovetor).
Método da Potência Inversa
Como determinar o menor autovalor λn (e respectivo
autovetor v) de A?
Determinar maior autovalor de A−1 (e respectivo
autovetor).
Dado y0, resolver
Azk+1 = yk
para zk+1 e
yk+1 =
1
αk+1
zk+1
para determinar 1
λn
= limk→∞
(zk+1)r
(yk)r
e v = limk→∞(yk).
Método de Jacobi
Objetivo: Determinar todos os autovalores e
autovetores de uma matriz simétrica A.
Seja
Uk =



upp = uqq = cos φ
upq = −uqp = sen φ
uii = 1, i = p, i = q
uij = 0, no resto
,
i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , n
uma matriz de rotação de um ângulo φ no plano dos
eixos p e q, tal que U−1
k = UT
k
.
Método de Jacobi
Se D = diag(λ1, . . . , λn) = V−1AV e λ1, . . . , λn são
autovalores de A, então as colunas de V são
autovetores vi de A correspondentes aos autovalores
λi.
O Método de Jacobi utiliza as matrizes Uk para, a cada
passo k, zerar um par de elementos fora da diagonal da
matriz A, com Ak+1 = UT
k
AkUk, A1 = A e assim obter
uma matriz equivalente diagonal.
Então,
D =






λ1
λ2
...
λn






≈ Am+1 = UT
m
· · · UT
1
AU1 · · · Um.
Método de Jacobi
Algoritmo:
Para cada k, até que Ak+1 seja diagonal:
1) Determinar o elemento de maior módulo de
Ak fora da diagonal. Esse elemento tem
coordenadas linha p e coluna q.
2) Calcular:
i) ϕ =
aqq−app
2apq
;
ii) t =
1
ϕ+sinal(ϕ) ϕ2+1
, ϕ = 0;
1, ϕ = 0
;
iii) cos φ = 1
1+t2
;
iv) sen φ = t
1+t2
;
3) Calcular Ak+1 = UT
k
AkUk, com A1 = A e Uk
sendo a matriz de rotação de ângulo φ no
plano p, q.
Método de Jacobi
Exemplo: Determinar os autovalores e autovetores de
A =
4 2
2 1
.
Seja A1 = A.
Como a12 = 2 é o elemento de maior módulo de A1,
então p = 1 e q = 2. Assim: ϕ = a22−a11
2a12
= 1−4
4
= −3
4
;
t = 1
− 3
4
− 25
16
= 1
−2
= −1
2
; cos φ = 1
1+1
4
= 2
5
; senφ = − 1
5
.
Então,
U1 =


2
5
− 1
5
1
5
2
5

 ; UT
1
=


2
5
1
5
− 1
5
2
5

 ;
A2 = UT
1
A1U1 =
5 0
0 0
(diagonal).
⇒ λ1 = 5, v1 = 2
5
, 1
5
T
; λ2 = 0, v2 = − 1
5
, 2
5
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Autovalor autovetor

  • 1. Autovalores e Autovetores Maria Luísa B. de Oliveira SME0300 – Cálculo Numérico 24 de novembro de 2010
  • 2. Introdução Objetivo: Dada matriz A, n × n, determinar todos os vetores v que sejam paralelos a Av.
  • 3. Introdução Objetivo: Dada matriz A, n × n, determinar todos os vetores v que sejam paralelos a Av. Sendo A uma matriz de ordem n × n, definimos um autovalor de A como um escalar λ ∈ C se existe um vetor v (n × 1) não-nulo tal que Av = λv. Todo vetor v que satisfaz essa relação é denominado um autovetor de A correspondente ao autovalor λ.
  • 4. Introdução Objetivo: Dada matriz A, n × n, determinar todos os vetores v que sejam paralelos a Av. Sendo A uma matriz de ordem n × n, definimos um autovalor de A como um escalar λ ∈ C se existe um vetor v (n × 1) não-nulo tal que Av = λv. Todo vetor v que satisfaz essa relação é denominado um autovetor de A correspondente ao autovalor λ. Para determinar λ, como Av = λv ⇔ (A − λIn)v = 0, então devemos resolver a equação det(A − λIn) = 0. Para cada valor de λ devemos determinar (pelo menos) um v correspondente.
  • 5. Introdução Exemplo: Determinar os autovalores e autovetores de A = 3 4 2 1 . Solução: Vamos calcular primeiro det(A − λIn) = 0. (3 − λ) 4 2 (1 − λ) = 0 ⇒ (3 − λ)(1 − λ) − 8 = 0 ⇒ λ2 − 4λ − 5 = 0 ⇒ (λ − 5)(λ + 1) = 0. Então λ é autovalor de A se e somente se λ = 5 ou λ = −1. Para calcular v = [v1, v2]T correspondentes, resolver (3 − λ) 4 2 (1 − λ) v1 v2 = 0 0 .
  • 6. Introdução λ = 5 : −2 4 2 −4 v1 v2 = 0 0 ⇒ −2v1 + 4v2 = 0 2v1 − 4v2 = 0 ⇒ v1 = 2v2 ⇒ v = v2 2 1 , ∀v2 ∈ R. λ = −1 : 4 4 2 2 v1 v2 = 0 0 ⇒ 4v1 + 4v2 = 0 2v1 + 2v2 = 0 ⇒ v1 = −v2 ⇒ v = v2 −1 1 , ∀v2 ∈ R.
  • 7. Métodos Numéricos – Introdução Métodos numéricos para determinar os autovalores e autovetores correspondentes de uma matriz A de ordem n, sem calcular o determinante. Três grupos: i) métodos que determinam polinômio característico; ii) métodos que determinam alguns autovalores: iii) métodos que determinam todos os autovalores:
  • 8. Métodos Numéricos – Introdução Métodos numéricos para determinar os autovalores e autovetores correspondentes de uma matriz A de ordem n, sem calcular o determinante. Três grupos: i) métodos que determinam polinômio característico; ii) métodos que determinam alguns autovalores: método das potências e da potência inversa; iii) métodos que determinam todos os autovalores: método de Jacobi.
  • 9. Método das Potências Objetivo: Determinar o autovalor de maior valor absoluto λ1 de uma matriz A e seu autovetor v correspondente. Suponha que, para a matriz A de ordem n, |λ1| > |λ2| ≥ . . . ≥ |λn|, isto é, λ1 é o autovalor de maior valor absoluto de A. Também suponha que os autovetores são linearmente independentes. Se há uma sequência de vetores yk definida por yk+1 = Ayk, k = 0, 1, . . . com y0 arbitrário, então λ1 = lim k→∞ (yk+1)r (yk)r e v = lim k→∞ (yk).
  • 10. Método das Potências Para determinar λ1, seguimos o seguinte algoritmo: Dado um vetor y0 qualquer, não nulo, construímos zk+1 = Ayk; yk+1 = 1 αk+1 zk+1; k = 0, 1, 2, . . . , com αk = max1≤r≤n |(zk+1)r|. A cada k = 0, 1, . . . determinar o vetor λ (k) 1 = (zk+1)r (yk)r . Se, para qualquer componente r, λ (k) 1 − λ (k−1) 1 r λ (k) 1 r < ϵ, então λ1 = (λ (k) 1 )r e v = yk.
  • 11. Método das Potências Exemplo: Determinar o maior autovalor (em valor absoluto) λ1 e o autovetor correspondente v1 de A = 3 4 2 1 . Tomemos y0 = [1, 1]T . Então
  • 12. Método das Potências Exemplo: Determinar o maior autovalor (em valor absoluto) λ1 e o autovetor correspondente v1 de A = 3 4 2 1 . Tomemos y0 = [1, 1]T . Então k = 0 : z1 = Ay0 = [7, 3]T ; α1 = max(|7|, |3|) = 7. λ (0) 1 = (z1)r/(y0)r = [7, 3]T ; y1 = z1/α1 = 1, 3 7 T .
  • 13. Método das Potências Exemplo: Determinar o maior autovalor (em valor absoluto) λ1 e o autovetor correspondente v1 de A = 3 4 2 1 . Tomemos y0 = [1, 1]T . Então k = 0 : z1 = Ay0 = [7, 3]T ; α1 = max(|7|, |3|) = 7. λ (0) 1 = (z1)r/(y0)r = [7, 3]T ; y1 = z1/α1 = 1, 3 7 T . k = 1 : z2 = Ay1 = 33 7 , 17 7 T ; α2 = max 33 7 , 17 7 = 33 7 . λ (1) 1 = (z2)r/(y1)r = 33 7 , 17 3 T ; y2 = z2/α2 = 1, 17 33 T .
  • 14. Método das Potências Exemplo: Determinar o maior autovalor (em valor absoluto) λ1 e o autovetor correspondente v1 de A = 3 4 2 1 . Tomemos y0 = [1, 1]T . Então k = 0 : z1 = Ay0 = [7, 3]T ; α1 = max(|7|, |3|) = 7. λ (0) 1 = (z1)r/(y0)r = [7, 3]T ; y1 = z1/α1 = 1, 3 7 T . k = 1 : z2 = Ay1 = 33 7 , 17 7 T ; α2 = max 33 7 , 17 7 = 33 7 . λ (1) 1 = (z2)r/(y1)r = 33 7 , 17 3 T ; y2 = z2/α2 = 1, 17 33 T . λ (1) 1 − λ (0) 1 r λ (1) 1 r ≈ 0,485 0,471 ; . . .
  • 15. Método da Potência Como determinar o menor autovalor λn (e respectivo autovetor v) de A?
  • 16. Método da Potência Inversa Como determinar o menor autovalor λn (e respectivo autovetor v) de A? Determinar maior autovalor de A−1 (e respectivo autovetor).
  • 17. Método da Potência Inversa Como determinar o menor autovalor λn (e respectivo autovetor v) de A? Determinar maior autovalor de A−1 (e respectivo autovetor). Dado y0, resolver Azk+1 = yk para zk+1 e yk+1 = 1 αk+1 zk+1 para determinar 1 λn = limk→∞ (zk+1)r (yk)r e v = limk→∞(yk).
  • 18. Método de Jacobi Objetivo: Determinar todos os autovalores e autovetores de uma matriz simétrica A. Seja Uk =    upp = uqq = cos φ upq = −uqp = sen φ uii = 1, i = p, i = q uij = 0, no resto , i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , n uma matriz de rotação de um ângulo φ no plano dos eixos p e q, tal que U−1 k = UT k .
  • 19. Método de Jacobi Se D = diag(λ1, . . . , λn) = V−1AV e λ1, . . . , λn são autovalores de A, então as colunas de V são autovetores vi de A correspondentes aos autovalores λi. O Método de Jacobi utiliza as matrizes Uk para, a cada passo k, zerar um par de elementos fora da diagonal da matriz A, com Ak+1 = UT k AkUk, A1 = A e assim obter uma matriz equivalente diagonal. Então, D =       λ1 λ2 ... λn       ≈ Am+1 = UT m · · · UT 1 AU1 · · · Um.
  • 20. Método de Jacobi Algoritmo: Para cada k, até que Ak+1 seja diagonal: 1) Determinar o elemento de maior módulo de Ak fora da diagonal. Esse elemento tem coordenadas linha p e coluna q. 2) Calcular: i) ϕ = aqq−app 2apq ; ii) t = 1 ϕ+sinal(ϕ) ϕ2+1 , ϕ = 0; 1, ϕ = 0 ; iii) cos φ = 1 1+t2 ; iv) sen φ = t 1+t2 ; 3) Calcular Ak+1 = UT k AkUk, com A1 = A e Uk sendo a matriz de rotação de ângulo φ no plano p, q.
  • 21. Método de Jacobi Exemplo: Determinar os autovalores e autovetores de A = 4 2 2 1 . Seja A1 = A. Como a12 = 2 é o elemento de maior módulo de A1, então p = 1 e q = 2. Assim: ϕ = a22−a11 2a12 = 1−4 4 = −3 4 ; t = 1 − 3 4 − 25 16 = 1 −2 = −1 2 ; cos φ = 1 1+1 4 = 2 5 ; senφ = − 1 5 . Então, U1 =   2 5 − 1 5 1 5 2 5   ; UT 1 =   2 5 1 5 − 1 5 2 5   ; A2 = UT 1 A1U1 = 5 0 0 0 (diagonal). ⇒ λ1 = 5, v1 = 2 5 , 1 5 T ; λ2 = 0, v2 = − 1 5 , 2 5 T