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Modelos Matemáticos para Epidemias

  1. Modelos Matemáticos para Epidemias Roberto André Kraenkel, IFT-UNESP http://www.ift.unesp.br/users/kraenkel São Paulo, 11 de Abril de 2013 IFUSP
  2. Outline 1 Um pouco de história A peste de Atenas Peste A pandemia de influenza de 1918 - gripe espanhola 2 Modelos O modelo SIR 3 Modelos para doenças transmitidas por vetores Malária Modelo de Ross-MacDonald 4 Contribuições Recentes Condicionantes Ecológicos da Malária 5 Comentários Finais
  3. Epidemias históricas A Peste de Atenas A Peste de Atenas foi uma epidemia que atingiu Atenas ∼ 430 AC, durante a guerra do Peloponeso. Foi descrita pro Tucídides: calores na cabeça, tosse forte, bile, espasmos violentos, ... 1/3 da população morreu, inclusive Péricles. Nem os médicos eram capazes de enfren- Não se sabe ao certo que doença tar a doença, já que de início tinham de provocou esta epidemia. Pesquisas tratá-la sem lhe conhecer a natureza e que a mortalidade entre eles era maior por es- recente apontam para tifo tarem mais expostos a ela, nem qualquer epidêmico, cujo agente infeccioso é outro recurso humano era da menor valia. uma bactéria ( Rickettsia prowazekii) As preces feitas nos santuários, ou os ape- transmitida por piolhos. los aos oráculos e atitudes semelhantes, foram todas inúteis e afinal a população Sabe-se que sua origem foi africana. desistiu delas, vencida pelo flagelo.
  4. Epidemias históricas Cito, longe, tarde. Peste A peste é uma doença infecciosa causada pela bactéia Yersinia pestis. Há várias formas de peste: peumônica, afeta os pulmões e é transmissível de humano para humano diretamente. bubônica, ataca os gânglios linfáticos e é transmitida pela pulga Xenopsylla cheopis (a pulga do rato). A pulga adquire a bactéria ao picar um rato. septicêmica, passa à corrente sanguínea e infecta diversos orgãos. Se não tratada, a peste induz alta mortalidade. Antibióticos são eficientes. Se aplicados em algumas horas!
  5. Histórias da Peste. Tamanho medo e pensamentos fantasiosos tomavam conta das pessoas que todos recorriam à mesma atitude, que era de evitar totalmente os doentes e as suas posses. Assim fazendo, pensavam que poderiam salvar a sua vida (Bocaccio, Decameron). A Peste. Três pandemias ; Peste de Justiniano, (541 DC,), Espalhou-se a partir de Constantinopla e provocou a morte de 25 % da população do Mediterrâneo. No entanto, pouco se propagou para dentro do continente. A Peste Negra, (1347), entrando na Europa pela Sicília, matou 1/3 da população européia. A terceira pandemia, começando na China em 1855 matou 12 milhões de pessoas na China e na Índia Paul Louis Simond; "Naquele dia de 2 de junho de 1898, experimentei uma emoção inexprimível ao pensar que havia acabado de desvendar um segredo que angustiava a humanidade desde a aparição da peste no mundo". A peste ainda existe em níveis muito baixos hoje, sobretudo nas regiões áridas dos EUA. Usualmente não leva à morte, devido ao uso de antiobióticos.
  6. Epidemics: history Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro Dantas) A pandemia de influenza de 1918 A pandemia de influenza de 1918 foi devida a uma forma particularmente severa do virus influenza A. Durou de 1918 a 1919. Atingiu praticamente todas as regiões do mundo. Aproximadamente 50 milhões de pessoas morreram devido à doença. 500 milhões (quase 1/3 da população mundial) de pessoas foram atingidas. É transmitida diretamente de pessoa à pessoa. Em São Paulo, a primeira morte aconteceu em 21 de outubro de 1918. No fim de novembro, a epidemia havia passado..
  7. Modelos Matemáticos As bases da epidemiologia matemática Comecemos com algumas simplificações. A população é "bem-misturada", E espacialmente homogênea, O que define implicitamente as escalas de tempo e espaço da validade dos modelos., Vamos classificar indivíduos em três classes: S susceptíveis; I infectantes ( ou infecciosos, ou ainda, infectados); R recuperados (pode incluir imunes e mortos)
  8. Modelos Matemáticos Modelo mais simples Não estamos interessados na dinâmica da população em si. Queremos saber a dinâmica da passagem entre as classes S,I,R. Queremos sobretudo caracterizar uma possível epidemia: condições para que ocorra, sua prevalência, se chegará a um fim ou não. Vamos supor que o tamanho da população é constante, N. É va’lida essa aproximação para doenças cujo tempo característico de infecção é pequeno. Isso vale para muitas doençaa: gripe, rubéola, sarampo, ....
  9. Kermack & McKendrick (1927) A taxa per capita de variação no número de susceptíveis é propocional ao número de infectados: dS = −rSI dt onde r é a taxa de infecção e pode depender de N.
  10. Kermack & McKendrick (1927) A taxa per capita de variação do número de infectados é propocional ao número de susceptíveis menos um fator representando a passagem para a classe dos removidos dS = −rSI dt dI = rSI − aI dt
  11. Kermack & McKendrick (1927) A taxa de variação dos recuperados é proporcional ao número de infectados . dS = rSI dt dI = rSI − aI dt dR = aI dt
  12. Kermack & McKendrick (1927) Três equações, três variáveis. Ótimo!: dS = −rSI dt dI = rSI − aI dt dR = aI dt Vamos agora tirar algumas conclusões a partir destas equações
  13. Modelo SIR dS dI dR dt = −rSI dt = rSI − aI dt = aI Vamos ser mais precisos sobre qual pergunta queremos responder: Digamos que em t = 0, temos: S(0) = S0 , I (0) = I0 and R(0) = 0 . Ou seja, temos um certo número de infectados (I0 ) e de susceptíveis (S0 ). Dados r , a, S0 e I0 , queremos saber se haverá ou não uma epidemia. Caracterizamos uma epidemia por I (t) > I0 durante algum tempo.
  14. Modelo: resultados dS dI dR dt = −rSI dt = rSI − aI dt = aI Se S0 > a/r teremos uma epidemia, e se S0 < a/r , não teremos. Ou: S0 r R0 ≡ >1 a é a condição para que haja uma epidemia R0 é chamado de razão reprodutiva básica. Mesmo em modelos mais complexos define-se essa quantidade .
  15. Modelo SIR Gráficos Vamos olhar para dinâmica no espaço de fase. Como temos três variáveis, mas S + I + R = N, o espaço de fase é na prática bi-dimensional. Note que todas as trajetórias terminam em I = 0 quando t → ∞. A epidemia cessa por si mesma. Veja que S(t → ∞) = 0. Nem todo mundo adquiriu a doença.
  16. Modelos para doenças transmitidas por vetores Malária Muitas doenças não são transmitidas diretamente de pessoa a pessoa. Há um agente transmissor, que é chamdo de vetor da doença. Mosquitos, carrapatos, pulgas... Para muitas situações é preciso levar em conta a dinâmica do vetor. São inúmeras doenças deste tipo: malária, dengue, febre amarela, doença de Lyme, leishmaniose, doença do sono. A doença mais bem estudada neste caso é a malária. Fatos sobre a malária A malária é causada por um protozoário chamado Plasmodium. Plasmodium é transmitido por mosquitos do genus Anopheles.
  17. Modelo de Ross-MacDonald Humanos e mosquitos! Agora consideramos uma população contante de humanos, uma população constante de mosquitos, ambos divididos em duas classes, S e I, sem imunidade.
  18. Modelo de Ross-MacDonald Medidas de Saúde Pública O modelo de Ross-MacDonald também tem um limiar epidêmico caracterizado por uma razão reprodutiva básica R0 . É uma expressão grande que omitimos aqui. Do modelo se conclui que: Diminuir pela metade o número de mosquitos, diminue R0 pela metade; Diminuir pela metade a taxa de picadas, diminue R0 por um fator 4.! Para dimunir o número de mosquitos usam-se larvicidas. Para diminuiro o número de picadas, usam-se redes de proteção sobre as camas.
  19. Malaria: condicionantes ecológicos Malária na Mata Atlântica Os casos de malária na Mata Atlântica são raros. Porém, uma espécie de Anopheles é bastante abundante, A. cruzii. E ele é um vetor da malária. Por que não há malaria na Mata Atlântica? A Ilha do Cardoso Estudamos um caso concreto: a Ilha do Cardoso. Não há caso de malária há 30 anos. Usamos dados de coletas de campo sobre abundância de mosquitos. O modelo de Ross-MacDonald prevê um R0 > 1. Por que não há malaria na Ilha do Cardoso?
  20. Malaria: condicionantes ecológicos A dinâmica populacional dos mosquitos Construímos um novo modelo que leva em conta a competição de Anopheles com outros mosquitos, a existência de outros animais de sangue quente na mata. Os efeitos disso são: a competição diminui a taxa de picadas infectantes, a presença de outros animais, por um lado, aumenta a taxa de reprodução do mosquito, por outro lado, elimina Plasmodium do sistema (o ciclo do patógeno só se completa em humanos). O modelo usa parâmetros reais, medidos ou inferidos de coletas.
  21. Modelo epidemiológico para malária Laporta, G.Z. et alli, PLoS Neglected Tropical Diseases 7(3) e2139 (2013).
  22. Malaria: condicionantes ecológicos A dinâmica populacional dos mosquitos: efeito de competição Figura : A abundância de mosquitos não-vetores abaixa R0 , diminuindo a possibilidade de uma epidemia.
  23. Malaria: condicionantes ecológicos A dinâmica populacional dos mosquitos: efeito dos não-hospedeiros Figura : A abundância de outros animais de sangue tem pouco efeito no caso da Ilha do Cardoso.
  24. Comentários finais Modelos matemáticos simples podem levar ao entendimento de diversas características de epidemias: Existe um limiar para que uma epidemia possa acontecer; Epidemias se esgotam por si mesmas Nem todas a pessoas são afetadas Quais parâmetros são mais importantes para que haja uma epidemia Para modelos em casos reais é necessário um maior refinamento dos modelos básicos. Condicionantes ecológicos e/ou ambientais Sazonalidade Estrutura de contactos entre pessoas Períodos de incubação ....
  25. Muito obrigado pela atenção kraenkel@ift.unesp.br
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