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Ondas de
Choque: Água,
    Luz e
 Condensados
R.A. Kraenkel



                Ondas de Choque: Água, Luz e Condensados

                           Roberto André Kraenkel

                           Institutode Física Teórica-UNESP
                                    São Paulo - Brasil


                          Novembro de 2010 / UFMA
Sumário

  Ondas de
Choque: Água,
    Luz e
 Condensados
R.A. Kraenkel
Ondas simples

  Ondas de
Choque: Água,
    Luz e
 Condensados
                    Comecemos nos ocupando de equações que descrevem
R.A. Kraenkel
                    ondas:
                    A mais simples possível:

                                          ut + ux = 0   .


                    Chama-se equação da onda simples.
                    Descreve ondas na superfície da água na aproximação de
                    pequenas amplitudes, grande profundidade, sem viscosidade,
                    e condiderando o movimento uni-direcional.
                    Olhemos a solução:
Simples demais!!

  Ondas de
Choque: Água,
    Luz e
 Condensados
R.A. Kraenkel       A onda simplesmente se move para direita sem modificar a
                    forma.
                    Óbvio: qualquer função u(x − t) é solução da equação.
                         Portanto, dado u(x, 0) = f (x) a solução da equação será
                         f (x − t).
                    Esta onda é uni-direcional. E considerarmos ondas em dois
                    sentidos...obteremos algo interessante?
                    Não!
                    Considere utt − uxx = 0
                    Veja as suas soluções.
Ondas em Duas direções

  Ondas de
Choque: Água,
    Luz e
 Condensados
R.A. Kraenkel



                    utt − uxx = 0
                    Uma onda para cada lado.
                    Pouco interessante
                    Para simplificar a discussão vamos considerar ondas
                    uni-direcionais.
Ondas Não-lineares

  Ondas de
Choque: Água,
    Luz e
 Condensados
R.A. Kraenkel



                    Coloquemos um poucos de não-linearidade na nossa vida.
                    Considere ut + 6uux = 0
                    Esta equação descreve ondas na superfície d’água em que a
                    amplitude da onda é comparável com a profundidade
                    Eis a solução.
Quebra de Ondas!!

  Ondas de
Choque: Água,
    Luz e
                    A onda se deforma por causa do termo não-linear.
 Condensados
                    Sua frente se torna vertical.
R.A. Kraenkel
                    A onda quebra.A equação é dita equação a quebra de onda
                    Podemos entender isso. Na equação ut + 6uux = 0 tudo se
                    passa como se a velocidade da onda fosse 6u.
                         ou seja, ut + 6u ux = 0.
                                      c=6u
                    Quanto maior u, maior a velocidade local.
                    ⇒ deformação⇒ quebra.
                    A quebra é um efeito não-linear. E se tomarmos uma
                    condição inicial maior? Os efeitos não-lineares deveriam ser
                    mais pronunciados?
                    Seja: ut + 6uux = 0 e amplitude máxima inicial =1.
                    VEJAMOS.
Regularização de choques

  Ondas de
Choque: Água,
    Luz e
 Condensados
R.A. Kraenkel

                    A onda apenas quebrou mais rapidamente.
                    Matematicamente a quebra de uma onda representa a não
                    existência da solução depois de um certo tempo.
                    Mas o que acontece com a solução, fisicamente?
                    Os modelos apresentados são aproximações. Outros efeitos
                    podem entrar em jogo.
                    Os dois principais são: dissipação e dispersão.
Regularização por Dissipação

  Ondas de
Choque: Água,
    Luz e
 Condensados
R.A. Kraenkel       No contexto hidrodinâmico, a dissipação vem da viscosidade
                    não nula do fluido.
                    A equação de propagação de ondas fracamente não-lineares e
                    de pequena dissipação é dada por:

                             ut + 6uux = νuxx    Equação de Burgers


                    Evidentemente, para ν muito pequeno estaremos próximos
                    da equação de quebra de onda.
                    Vamos estuda-la neste limite. Seja então ν = 0.05.
Equação de Burgers

  Ondas de
Choque: Água,
    Luz e
 Condensados
R.A. Kraenkel




                                           ut + 6uux = 0.05uxx

                    A onda não quebrou.
                    O termo dissipativo regularizou a onda. Formou-se um choque.
                    Entendemos (±):perto da frente de onda o termo νuxx é grande porque uxx é grande,
                    apesar de ν ser pequeno.
Ondas de
Choque: Água,
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 Condensados
R.A. Kraenkel




                E se ν for maior?
                Seja por exemplo ut + 6uux = 0.5uxx
                o choque será simplesmente mais suave.
Dispersão

  Ondas de
Choque: Água,
    Luz e
 Condensados
R.A. Kraenkel       Suponha agora que ν seja de fato muito pequeno.
                    Um efeito não considerado antes foi o da dispersão das
                    ondas.
                    As equações obtidas anteriormente supõe que o parâmetro
                    β = h/λ seja muito pequeno, onde
                        h ⇒ é a profundidade ”sem ondas”, e
                        λ ⇒ é o comprimento de onda da perturbação da superfície.
                    A finitude de β gera dispersão das ondas.
                    Diferentes comprimentos de onda viajam com diferentes
                    velocidade.
Regularização por Dispersão

  Ondas de
Choque: Água,
    Luz e
 Condensados
R.A. Kraenkel
                    A equação regendo o movimento uni-direcional da superfície
                    de um fluido sem viscosidade mas com dispersão é:

                    ut +6uux +   β 2 uxxx       =0   Equação de Korteweg de Vries
                             termo dispersivo


                    Queremos estuda-la para β pequeno, afim de estarmos
                    próximos à região de quebra de ondas.
                    Tomemos pois β 2 = 0.005
Regularização por dispersão

  Ondas de
Choque: Água,
    Luz e
 Condensados
R.A. Kraenkel




                    Não. Não é erro numérico.
                    Forma-se um choque.Mas atrás dele se formam ondas.
                    E se β for maior?Por exemplo: 10 vezes maior.
                    Há menos ondas.
KdV: um intermezzo

  Ondas de
Choque: Água,
    Luz e
 Condensados
R.A. Kraenkel


                    A equação de KdV,

                                       ut + 6uux + β 2 uxxx = 0

                    possui propriedades matemáticas interessantes:
                        É integrável. Pode-se resolver o problema de valores iniciais.
                        Tem soluções soliton. Eis um.
                        Aqui tomamos u(x, t = 0) = 2sech2 (x).
KdV: um intermezzo II

  Ondas de
Choque: Água,
    Luz e
 Condensados
R.A. Kraenkel




                    ut + 6uux + β 2 uxxx = 0
                    Há também soluções 2-soliton
                    Neste caso: u(x.0) = 6sech2 (x).
KdV: um intermezzo III

  Ondas de
Choque: Água,
    Luz e
 Condensados
R.A. Kraenkel




                    Uma condição inicial “qualquer” se decompõe em solitons +
                    radiação.
                    Seja: u(x.0) = 4sech2 (x).
KdV: um intermezzo IV

  Ondas de
Choque: Água,
    Luz e
 Condensados
R.A. Kraenkel




                    Uma condição inicial “qualquer” se decompõe em solitons +
                    radiação.
                    Seja: u(x.0) = 40sech2 (x).
KdV: um intermezzo V

  Ondas de
Choque: Água,
    Luz e
 Condensados
R.A. Kraenkel




                    O que vimos no caso de β pequeno é que a condição inicial
                    se decompõe em solitons.
                    O maior vai à frente criando o efeito de uma onda de choque.
Conclusões até aqui.

  Ondas de
Choque: Água,
    Luz e
 Condensados        A equação ut + 6uux = 0 pode ser regularizada de duas
R.A. Kraenkel       formas.
                    Por dissipação ou por dispersão.
Ondas de
Choque: Água,
    Luz e
                Na natureza os dois tipos de ondas de choque
 Condensados
R.A. Kraenkel
                existem.Veja um exemplo de onda de choque
                                dispersiva:




                   Figure: Mascaret ( Dordogne) e Pororoca (Amazonas)
Condensados de Bose-Einstein

  Ondas de
Choque: Água,
    Luz e
 Condensados
R.A. Kraenkel
                    Considere a Equação de Gross-Pitaevskii:

                              ∂Φ(x, t)     2
                          ı            =−    Φ(r, t) + g|Φ(r, t)|2 Φ(r, t)
                                ∂t        2m

                    Ela descreve um condensado de Bose-Eisntein
                    |Φ|2 é a densidade do condensado em um dado ponto (r, t).
                    Condensados podem ser produzidos em 1, 2 ou 3 dimensões.
                    GP contém não-linearidade e dispersão.
Ondas de Choque em BEC

  Ondas de
Choque: Água,      Há ondas de choque em BEC:
    Luz e
 Condensados       Considere um condensado “panqueca” (2D)
R.A. Kraenkel      Uma condição inicial dao por um degrau:




                   Figure: Corte de um BEC em 2D radialmente simétrico, com a condição inicial
                   dada pela linha tracejada na figura da esquerda. Evolução temporal dada pela figura
                   da direita, mostrando a formação de choques dispersivos. Kamchatnov, Gammal
                   and R.A.K, Phys. Rev. A 69, 063605 (2004)
Existe isso?

  Ondas de
Choque: Água,
    Luz e
 Condensados
R.A. Kraenkel




                Figure: Esquerda: imagem de BEC obtida pelo grupo do Jila (Hoefer et al Phys Rev A
                74, 023623 (2006)). Direita: Simulação 2D ( Kamchatnov, Gammal and R.A.K, Phys.
                Rev. A 69, 063605 (2004))
Um último exemplo: ótica não-linear

  Ondas de
Choque: Água,
    Luz e
 Condensados
R.A. Kraenkel       A propagação de um feixe de luz em um meio ótico do tipo
                    Kerr é dada por:

                                           ∂A
                                       ı      +   ⊥A   − |A|2 A = 0
                                           ∂z


                    z é a distância de propagação.
                      ⊥   é o laplaciano em (x, y).
                    A é amplitude da onda: |A|2 é a densidade de energia local.
                    Trata-se da mesma equação que no item anterior.
Existe?

  Ondas de
Choque: Água,
                    Aqui está
    Luz e
 Condensados
R.A. Kraenkel




                          Figure: De Wan, Jia e Fleischer, Nature Physics 3, pg 46 (2007)

                    De fato, a experiência é feita com um material ( fotorefrativo) para o qual vale:

                                                  ∂A                |A|2
                                              ı      +   ⊥A   −            A=0
                                                  ∂z              1 + |A|2

                    A teoria para este caso está em "Theory of optical dispersive shock waves in
                    photorefractive media", PRA 76, 053813 (2007), por El, Gammal, Khamis,
                    Kraenkel & Kamchatnov
Conclusões ou o que devo lembrar deste seminário

  Ondas de
Choque: Água,
    Luz e
                    Ondas de choque se formam a partir de ondas que quebram;
 Condensados
                    Há dois tipos de ondas de choque:dispersivas e dissipativas.
R.A. Kraenkel
                    As dissipativas são mais comuns. Há uma frente de onda e
                    um decaimento.
                    As dispersivas tem oscilações junto da frente de onda
                    O exemplo clássico de ondas de choque dispersivas é a
                    pororoca.
                    Há ondas de choque dispersivas em BEC em 2D.Teoria e
                    experiência estão de acordo.
                    Recentemente, foram vistas ondas de choque dispersivas em
                    meios óticos não-lineares.

                               Obrigado pela atenção
                     Download em http://web.me.com/kraenkel/ufma

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Ondas de Choque: Água, Luz e Condensados

  • 1. Ondas de Choque: Água, Luz e Condensados R.A. Kraenkel Ondas de Choque: Água, Luz e Condensados Roberto André Kraenkel Institutode Física Teórica-UNESP São Paulo - Brasil Novembro de 2010 / UFMA
  • 2. Sumário Ondas de Choque: Água, Luz e Condensados R.A. Kraenkel
  • 3. Ondas simples Ondas de Choque: Água, Luz e Condensados Comecemos nos ocupando de equações que descrevem R.A. Kraenkel ondas: A mais simples possível: ut + ux = 0 . Chama-se equação da onda simples. Descreve ondas na superfície da água na aproximação de pequenas amplitudes, grande profundidade, sem viscosidade, e condiderando o movimento uni-direcional. Olhemos a solução:
  • 4. Simples demais!! Ondas de Choque: Água, Luz e Condensados R.A. Kraenkel A onda simplesmente se move para direita sem modificar a forma. Óbvio: qualquer função u(x − t) é solução da equação. Portanto, dado u(x, 0) = f (x) a solução da equação será f (x − t). Esta onda é uni-direcional. E considerarmos ondas em dois sentidos...obteremos algo interessante? Não! Considere utt − uxx = 0 Veja as suas soluções.
  • 5. Ondas em Duas direções Ondas de Choque: Água, Luz e Condensados R.A. Kraenkel utt − uxx = 0 Uma onda para cada lado. Pouco interessante Para simplificar a discussão vamos considerar ondas uni-direcionais.
  • 6. Ondas Não-lineares Ondas de Choque: Água, Luz e Condensados R.A. Kraenkel Coloquemos um poucos de não-linearidade na nossa vida. Considere ut + 6uux = 0 Esta equação descreve ondas na superfície d’água em que a amplitude da onda é comparável com a profundidade Eis a solução.
  • 7. Quebra de Ondas!! Ondas de Choque: Água, Luz e A onda se deforma por causa do termo não-linear. Condensados Sua frente se torna vertical. R.A. Kraenkel A onda quebra.A equação é dita equação a quebra de onda Podemos entender isso. Na equação ut + 6uux = 0 tudo se passa como se a velocidade da onda fosse 6u. ou seja, ut + 6u ux = 0. c=6u Quanto maior u, maior a velocidade local. ⇒ deformação⇒ quebra. A quebra é um efeito não-linear. E se tomarmos uma condição inicial maior? Os efeitos não-lineares deveriam ser mais pronunciados? Seja: ut + 6uux = 0 e amplitude máxima inicial =1. VEJAMOS.
  • 8. Regularização de choques Ondas de Choque: Água, Luz e Condensados R.A. Kraenkel A onda apenas quebrou mais rapidamente. Matematicamente a quebra de uma onda representa a não existência da solução depois de um certo tempo. Mas o que acontece com a solução, fisicamente? Os modelos apresentados são aproximações. Outros efeitos podem entrar em jogo. Os dois principais são: dissipação e dispersão.
  • 9. Regularização por Dissipação Ondas de Choque: Água, Luz e Condensados R.A. Kraenkel No contexto hidrodinâmico, a dissipação vem da viscosidade não nula do fluido. A equação de propagação de ondas fracamente não-lineares e de pequena dissipação é dada por: ut + 6uux = νuxx Equação de Burgers Evidentemente, para ν muito pequeno estaremos próximos da equação de quebra de onda. Vamos estuda-la neste limite. Seja então ν = 0.05.
  • 10. Equação de Burgers Ondas de Choque: Água, Luz e Condensados R.A. Kraenkel ut + 6uux = 0.05uxx A onda não quebrou. O termo dissipativo regularizou a onda. Formou-se um choque. Entendemos (±):perto da frente de onda o termo νuxx é grande porque uxx é grande, apesar de ν ser pequeno.
  • 11. Ondas de Choque: Água, Luz e Condensados R.A. Kraenkel E se ν for maior? Seja por exemplo ut + 6uux = 0.5uxx o choque será simplesmente mais suave.
  • 12. Dispersão Ondas de Choque: Água, Luz e Condensados R.A. Kraenkel Suponha agora que ν seja de fato muito pequeno. Um efeito não considerado antes foi o da dispersão das ondas. As equações obtidas anteriormente supõe que o parâmetro β = h/λ seja muito pequeno, onde h ⇒ é a profundidade ”sem ondas”, e λ ⇒ é o comprimento de onda da perturbação da superfície. A finitude de β gera dispersão das ondas. Diferentes comprimentos de onda viajam com diferentes velocidade.
  • 13. Regularização por Dispersão Ondas de Choque: Água, Luz e Condensados R.A. Kraenkel A equação regendo o movimento uni-direcional da superfície de um fluido sem viscosidade mas com dispersão é: ut +6uux + β 2 uxxx =0 Equação de Korteweg de Vries termo dispersivo Queremos estuda-la para β pequeno, afim de estarmos próximos à região de quebra de ondas. Tomemos pois β 2 = 0.005
  • 14. Regularização por dispersão Ondas de Choque: Água, Luz e Condensados R.A. Kraenkel Não. Não é erro numérico. Forma-se um choque.Mas atrás dele se formam ondas. E se β for maior?Por exemplo: 10 vezes maior. Há menos ondas.
  • 15. KdV: um intermezzo Ondas de Choque: Água, Luz e Condensados R.A. Kraenkel A equação de KdV, ut + 6uux + β 2 uxxx = 0 possui propriedades matemáticas interessantes: É integrável. Pode-se resolver o problema de valores iniciais. Tem soluções soliton. Eis um. Aqui tomamos u(x, t = 0) = 2sech2 (x).
  • 16. KdV: um intermezzo II Ondas de Choque: Água, Luz e Condensados R.A. Kraenkel ut + 6uux + β 2 uxxx = 0 Há também soluções 2-soliton Neste caso: u(x.0) = 6sech2 (x).
  • 17. KdV: um intermezzo III Ondas de Choque: Água, Luz e Condensados R.A. Kraenkel Uma condição inicial “qualquer” se decompõe em solitons + radiação. Seja: u(x.0) = 4sech2 (x).
  • 18. KdV: um intermezzo IV Ondas de Choque: Água, Luz e Condensados R.A. Kraenkel Uma condição inicial “qualquer” se decompõe em solitons + radiação. Seja: u(x.0) = 40sech2 (x).
  • 19. KdV: um intermezzo V Ondas de Choque: Água, Luz e Condensados R.A. Kraenkel O que vimos no caso de β pequeno é que a condição inicial se decompõe em solitons. O maior vai à frente criando o efeito de uma onda de choque.
  • 20. Conclusões até aqui. Ondas de Choque: Água, Luz e Condensados A equação ut + 6uux = 0 pode ser regularizada de duas R.A. Kraenkel formas. Por dissipação ou por dispersão.
  • 21. Ondas de Choque: Água, Luz e Na natureza os dois tipos de ondas de choque Condensados R.A. Kraenkel existem.Veja um exemplo de onda de choque dispersiva: Figure: Mascaret ( Dordogne) e Pororoca (Amazonas)
  • 22. Condensados de Bose-Einstein Ondas de Choque: Água, Luz e Condensados R.A. Kraenkel Considere a Equação de Gross-Pitaevskii: ∂Φ(x, t) 2 ı =− Φ(r, t) + g|Φ(r, t)|2 Φ(r, t) ∂t 2m Ela descreve um condensado de Bose-Eisntein |Φ|2 é a densidade do condensado em um dado ponto (r, t). Condensados podem ser produzidos em 1, 2 ou 3 dimensões. GP contém não-linearidade e dispersão.
  • 23. Ondas de Choque em BEC Ondas de Choque: Água, Há ondas de choque em BEC: Luz e Condensados Considere um condensado “panqueca” (2D) R.A. Kraenkel Uma condição inicial dao por um degrau: Figure: Corte de um BEC em 2D radialmente simétrico, com a condição inicial dada pela linha tracejada na figura da esquerda. Evolução temporal dada pela figura da direita, mostrando a formação de choques dispersivos. Kamchatnov, Gammal and R.A.K, Phys. Rev. A 69, 063605 (2004)
  • 24. Existe isso? Ondas de Choque: Água, Luz e Condensados R.A. Kraenkel Figure: Esquerda: imagem de BEC obtida pelo grupo do Jila (Hoefer et al Phys Rev A 74, 023623 (2006)). Direita: Simulação 2D ( Kamchatnov, Gammal and R.A.K, Phys. Rev. A 69, 063605 (2004))
  • 25. Um último exemplo: ótica não-linear Ondas de Choque: Água, Luz e Condensados R.A. Kraenkel A propagação de um feixe de luz em um meio ótico do tipo Kerr é dada por: ∂A ı + ⊥A − |A|2 A = 0 ∂z z é a distância de propagação. ⊥ é o laplaciano em (x, y). A é amplitude da onda: |A|2 é a densidade de energia local. Trata-se da mesma equação que no item anterior.
  • 26. Existe? Ondas de Choque: Água, Aqui está Luz e Condensados R.A. Kraenkel Figure: De Wan, Jia e Fleischer, Nature Physics 3, pg 46 (2007) De fato, a experiência é feita com um material ( fotorefrativo) para o qual vale: ∂A |A|2 ı + ⊥A − A=0 ∂z 1 + |A|2 A teoria para este caso está em "Theory of optical dispersive shock waves in photorefractive media", PRA 76, 053813 (2007), por El, Gammal, Khamis, Kraenkel & Kamchatnov
  • 27. Conclusões ou o que devo lembrar deste seminário Ondas de Choque: Água, Luz e Ondas de choque se formam a partir de ondas que quebram; Condensados Há dois tipos de ondas de choque:dispersivas e dissipativas. R.A. Kraenkel As dissipativas são mais comuns. Há uma frente de onda e um decaimento. As dispersivas tem oscilações junto da frente de onda O exemplo clássico de ondas de choque dispersivas é a pororoca. Há ondas de choque dispersivas em BEC em 2D.Teoria e experiência estão de acordo. Recentemente, foram vistas ondas de choque dispersivas em meios óticos não-lineares. Obrigado pela atenção Download em http://web.me.com/kraenkel/ufma