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EFEITO ALLEE IFT – UNESP  Curso de Métodos Matemáticos em Biologia de Populações 18 a 24 de fevereiro de 2008 Aline Alvarenga Taiana Brito Humberto Sanna Adriane Schelin Alexandre Soares
1.  DEFINIÇÃO  2.  EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO   3.  EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESA     EFEITO ALLEE APRESENTAÇÃO EFEITO ALLEE
DEFINIÇÃO EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE DEFINIÇÃO WARDER CLYDE ALLE ( 1885–1955) EFEITO ALLEE
Relação positiva entre qualquer componente de  aptidão   individual  e o  número  ou  densidade  de indivíduos. DEFINIÇÃO EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE DEFINIÇÃO EFEITO ALLEE
EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE
EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EQUAÇÃO LOGÍSTICA:  EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EQUAÇÃO LOGÍSTICA:  EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO PROPRIEDADES DA FUNÇÃO F(N): Seja  Nc  =  número crítico de indivíduos da população N*   =   número de indivíduos na saturação 1.   para  N   <  Nc MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO PROPRIEDADES DA FUNÇÃO F(N): Seja  Nc  =  número crítico de indivíduos da população N*   =   número de indivíduos na saturação 1.   para  N   <  Nc MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO EXTINÇÃO
EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO PROPRIEDADES DA FUNÇÃO F(N): Seja  Nc  =  número crítico de indivíduos da população N*   =   número de indivíduos na saturação 1.   para  N   <  Nc MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO EXTINÇÃO 2. para  Nc  < N <  N*
EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO PROPRIEDADES DA FUNÇÃO F(N): Seja  Nc  =  número crítico de indivíduos da população N*   =   número de indivíduos na saturação 1.   para  N   <  Nc MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO EXTINÇÃO 2. para  Nc  < N <  N* CRESCIMENTO
EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO PROPRIEDADES DA FUNÇÃO F(N): Seja  Nc  =  número crítico de indivíduos da população N*   =   número de indivíduos na saturação 1.   para  N   <  Nc MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO EXTINÇÃO 2. para  Nc  < N <  N* CRESCIMENTO   3. para  N >  N*
EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO PROPRIEDADES DA FUNÇÃO F(N): Seja  Nc  =  número crítico de indivíduos da população N*   =   número de indivíduos na saturação 1.   para  N   <  Nc MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO EXTINÇÃO 2. para  Nc  < N <  N* CRESCIMENTO   3. para  N >  N* DECRESCIMENTO
EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO FUNÇÃO F(N): NOVA EQUAÇÃO PARA POPULAÇÃO: ADIMENSIONALISANDO... MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO GRÁFICO: ANÁLISE QUALITATIVA EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO PONTOS FIXOS ( ESTÁVEIS E INSTÁVEIS) MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO ANÁLISE QUALITATIVA EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO VALORES DE  α  E  β  ONDE É VÁLIDO EFEITO ALLEE: MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO ANÁLISE QUALITATIVA EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO VARIANDO  β  E MANTENDO  α  FIXO : EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO ANÁLISE QUALITATIVA EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO VARIANDO  α   E MANTENDO  β  FIXO : EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO ANÁLISE QUALITATIVA EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO A variação de  α  afeta a ocorrência do efeito Allee. Para valores de  α  < 1, não ocorre o efeito. α   VARIANDO β  VARIANDO EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO ANÁLISE QUALITATIVA EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO EXEMPLOS COM DIFERENTES CONDIÇÕES INICIAIS: EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO SIMULAÇÃO EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESA EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE
CASOS:   -  SIMPLES   -  SIMPLES COM SAZONALIDADE   -  SIMPLES RANDÔMICO   -  COM SATURAÇÃO DO PREDADOR    -  COM SATURAÇÃO DA PRESA EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
SIMPLES EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EQUAÇÃO LOTKA-VOLTERRA : Seja:  P  -  Presa V   -  Predador EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESA NOVO SISTEMA PARA PREDADOR X PRESA: ADIMENSIONALISANDO... α ,   β  e  γ  : novas constantes Presa Predador EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE SIMPLES EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA MODELAGEM
EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESA PONTOS FIXOS ( ESTÁVEIS E INSTÁVEIS) - - - λ1 = 1 –  α  ,  λ2 = -  γ   Re  λ > 0 EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE SIMPLES EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA ANÁLISE QUALITATIVA
EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESA PONTOS FIXOS ( ESTÁVEIS E INSTÁVEIS) α   = 0 γ  = 10 α   = 10 β  = 0.1 γ  = 10 α   = 0.1 β  = 0.1 γ  = 10 α   = 10 β  = 1 γ  = 10 MODELAGEM EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESA SIMPLES EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA ANÁLISE QUALITATIVA
EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESA MODELAGEM EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESA SIMPLES EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA SIMULAÇÃO
EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESA MODELAGEM EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESA SIMPLES EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA ANÁLISE QUALITATIVA
SIMPLES RANDÔMICO EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA SISTEMA PREDADOR-PRESA COM EFEITO ALLEE COM EFEITO ALLEE RANDÔMICO Presa Predador MODELAGEM α = α 0  X, com X entre 0 e 1
EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA MODELAGEM SIMULAÇÃO
SIMPLES COM SAZONALIDADE EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA SISTEMA PREDADOR-PRESA COM EFEITO ALLEE COM EFEITO ALLEE SAZONAL Presa Predador MODELAGEM
EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA MODELAGEM SIMULAÇÃO
EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA MODELAGEM SIMULAÇÃO
EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA MODELAGEM SIMULAÇÃO
EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA MODELAGEM SIMULAÇÃO
COM SATURAÇÃO DO PREDADOR EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA SISTEMA PREDADOR-PRESA COM EFEITO ALLEE COM SATURAÇÃO DO PREDADOR Presa Predador MODELAGEM
EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESA EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE SIMPLES EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA ANÁLISE QUALITATIVA COM SATURAÇÃO DO PREDADOR α  = 10 β = 1  γ  = 10   δ  = 5
COM SATURAÇÃO DA PRESA EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA SISTEMA PREDADOR-PRESA COM EFEITO ALLEE COM SATURAÇÃO DA PRESA Presa Predador MODELAGEM
EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA PONTOS FIXOS ENCONTRADOS ANALITICAMENTE: MODELAGEM ANÁLISE QUALITATIVA ( 0 , 0 ) (  γ  , 1- α  e - βγ 2 - γδ  )
EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA MODELAGEM ANÁLISE QUALITATIVA α = 10 β  = 1 γ  = 10 δ = 0.08  CAMPO VETORIAL DO SISTEMA:
EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA MODELAGEM SIMULAÇÃO
EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA MODELAGEM ANÁLISE QUALITATIVA
CONCLUSÃO EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE
EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE CONCLUSÃO OBTIVEMOS UM TERMO QUE MODELA O EFEITO ALLEE PARA UMA POPULAÇÃO;
EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE CONCLUSÃO OBTIVEMOS UM TERMO QUE MODELA O EFEITO ALLEE PARA UMA POPULAÇÃO; MODELAMOS O EFEITO ALLEE EM UM SISTEMA PRESA-PREDADOR ANÁLOGO A LOTKA-VOLTERRA;
EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE CONCLUSÃO OBTIVEMOS UM TERMO QUE MODELA O EFEITO ALLEE PARA UMA POPULAÇÃO; ENCONTRAMOS DUAS REGIÕES PARA O SISTEMA PRESA-PREDADOR SIMPLES: UMA COM DINÂMICA EM ESPIRAL E OUTRA DECAINDO DIRETAMENTE A ZERO; MODELAMOS O EFEITO ALLEE EM UM SISTEMA PRESA-PREDADOR ANÁLOGO A LOTKA-VOLTERRA;
EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE CONCLUSÃO OBTIVEMOS UM TERMO QUE MODELA O EFEITO ALLEE PARA UMA POPULAÇÃO; ENCONTRAMOS DUAS REGIÕES PARA O SISTEMA PRESA-PREDADOR SIMPLES: UMA COM DINÂMICA EM ESPIRAL E OUTRA DECAINDO DIRETAMENTE A ZERO; MODELAMOS O EFEITO ALLEE EM UM SISTEMA PRESA-PREDADOR ANÁLOGO A LOTKA-VOLTERRA; A VARIAÇÃO RANDÔMICA DO EFEITO ALLEE ADIOU A EXTINÇÃO DAS ESPÉCIES;
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EFEITO  EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE CONCLUSÃO OBTIVEMOS UM TERMO QUE MODELA O EFEITO ALLEE PARA UMA POPULAÇÃO; ENCONTRAMOS UMA REGIÃO PARA O SISTEMA PRESA-PREDADOR SIMPLES COM UMA DINÂMICA EM ESPIRAL E OUTRA DECAINDO DIRETAMENTE A ZERO; MODELAMOS O EFEITO ALLEE EM UM SISTEMA PRESA-PREDADOR ANÁLOGO A LOTKA-VOLTERRA; COM UM TERMO DE SATURAÇÃO PARA AS PRESAS, NOTAMOS UMA REGIÃO ATRAÍDA PARA UM PONTO FIXO, E OUTRA PARA A EXTINÇÃO DE AMBAS AS ESPÉCIES; A VARIAÇÃO RANDÔMICA DO EFEITO ALLEE ADIOU A EXTINÇÃO DAS ESPÉCIES; A VARIAÇÃO SAZONAL DO EFEITO ALLEE TAMBÉM ADIOU A EXTINÇÃO DAS ESPÉCIES. QUANDO ESSA VARIAÇÃO ESTAVA EM FASE COM A DINÂMICA DAS POPULAÇÕES, A POPULAÇÃO NÃO SE EXTINGUIU;

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Efeito Allee

  • 1. EFEITO ALLEE IFT – UNESP Curso de Métodos Matemáticos em Biologia de Populações 18 a 24 de fevereiro de 2008 Aline Alvarenga Taiana Brito Humberto Sanna Adriane Schelin Alexandre Soares
  • 2. 1. DEFINIÇÃO 2. EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO 3. EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESA EFEITO ALLEE APRESENTAÇÃO EFEITO ALLEE
  • 3. DEFINIÇÃO EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE DEFINIÇÃO WARDER CLYDE ALLE ( 1885–1955) EFEITO ALLEE
  • 4. Relação positiva entre qualquer componente de aptidão individual e o número ou densidade de indivíduos. DEFINIÇÃO EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE DEFINIÇÃO EFEITO ALLEE
  • 5. EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE
  • 6. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EQUAÇÃO LOGÍSTICA: EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
  • 7. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EQUAÇÃO LOGÍSTICA: EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
  • 8. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO PROPRIEDADES DA FUNÇÃO F(N): Seja Nc = número crítico de indivíduos da população N* = número de indivíduos na saturação 1. para N < Nc MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
  • 9. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO PROPRIEDADES DA FUNÇÃO F(N): Seja Nc = número crítico de indivíduos da população N* = número de indivíduos na saturação 1. para N < Nc MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO EXTINÇÃO
  • 10. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO PROPRIEDADES DA FUNÇÃO F(N): Seja Nc = número crítico de indivíduos da população N* = número de indivíduos na saturação 1. para N < Nc MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO EXTINÇÃO 2. para Nc < N < N*
  • 11. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO PROPRIEDADES DA FUNÇÃO F(N): Seja Nc = número crítico de indivíduos da população N* = número de indivíduos na saturação 1. para N < Nc MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO EXTINÇÃO 2. para Nc < N < N* CRESCIMENTO
  • 12. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO PROPRIEDADES DA FUNÇÃO F(N): Seja Nc = número crítico de indivíduos da população N* = número de indivíduos na saturação 1. para N < Nc MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO EXTINÇÃO 2. para Nc < N < N* CRESCIMENTO 3. para N > N*
  • 13. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO PROPRIEDADES DA FUNÇÃO F(N): Seja Nc = número crítico de indivíduos da população N* = número de indivíduos na saturação 1. para N < Nc MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO EXTINÇÃO 2. para Nc < N < N* CRESCIMENTO 3. para N > N* DECRESCIMENTO
  • 14. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO FUNÇÃO F(N): NOVA EQUAÇÃO PARA POPULAÇÃO: ADIMENSIONALISANDO... MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
  • 15. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO GRÁFICO: ANÁLISE QUALITATIVA EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
  • 16. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO PONTOS FIXOS ( ESTÁVEIS E INSTÁVEIS) MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO ANÁLISE QUALITATIVA EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
  • 17. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO VALORES DE α E β ONDE É VÁLIDO EFEITO ALLEE: MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO ANÁLISE QUALITATIVA EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
  • 18. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO VARIANDO β E MANTENDO α FIXO : EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO ANÁLISE QUALITATIVA EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
  • 19. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO VARIANDO α E MANTENDO β FIXO : EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO ANÁLISE QUALITATIVA EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
  • 20. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO A variação de α afeta a ocorrência do efeito Allee. Para valores de α < 1, não ocorre o efeito. α VARIANDO β VARIANDO EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO ANÁLISE QUALITATIVA EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
  • 21. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO EXEMPLOS COM DIFERENTES CONDIÇÕES INICIAIS: EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO SIMULAÇÃO EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
  • 22. EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESA EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE
  • 23. CASOS: - SIMPLES - SIMPLES COM SAZONALIDADE - SIMPLES RANDÔMICO - COM SATURAÇÃO DO PREDADOR - COM SATURAÇÃO DA PRESA EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
  • 24. SIMPLES EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
  • 25. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EQUAÇÃO LOTKA-VOLTERRA : Seja: P - Presa V - Predador EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
  • 26. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESA NOVO SISTEMA PARA PREDADOR X PRESA: ADIMENSIONALISANDO... α , β e γ : novas constantes Presa Predador EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE SIMPLES EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA MODELAGEM
  • 27. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESA PONTOS FIXOS ( ESTÁVEIS E INSTÁVEIS) - - - λ1 = 1 – α , λ2 = - γ Re λ > 0 EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE SIMPLES EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA ANÁLISE QUALITATIVA
  • 28. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESA PONTOS FIXOS ( ESTÁVEIS E INSTÁVEIS) α = 0 γ = 10 α = 10 β = 0.1 γ = 10 α = 0.1 β = 0.1 γ = 10 α = 10 β = 1 γ = 10 MODELAGEM EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESA SIMPLES EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA ANÁLISE QUALITATIVA
  • 29. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESA MODELAGEM EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESA SIMPLES EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA SIMULAÇÃO
  • 30. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESA MODELAGEM EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESA SIMPLES EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA ANÁLISE QUALITATIVA
  • 31. SIMPLES RANDÔMICO EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
  • 32. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA SISTEMA PREDADOR-PRESA COM EFEITO ALLEE COM EFEITO ALLEE RANDÔMICO Presa Predador MODELAGEM α = α 0 X, com X entre 0 e 1
  • 33. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA MODELAGEM SIMULAÇÃO
  • 34. SIMPLES COM SAZONALIDADE EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
  • 35. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA SISTEMA PREDADOR-PRESA COM EFEITO ALLEE COM EFEITO ALLEE SAZONAL Presa Predador MODELAGEM
  • 36. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA MODELAGEM SIMULAÇÃO
  • 37. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA MODELAGEM SIMULAÇÃO
  • 38. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA MODELAGEM SIMULAÇÃO
  • 39. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA MODELAGEM SIMULAÇÃO
  • 40. COM SATURAÇÃO DO PREDADOR EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
  • 41. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA SISTEMA PREDADOR-PRESA COM EFEITO ALLEE COM SATURAÇÃO DO PREDADOR Presa Predador MODELAGEM
  • 42. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESA EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE SIMPLES EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA ANÁLISE QUALITATIVA COM SATURAÇÃO DO PREDADOR α = 10 β = 1 γ = 10 δ = 5
  • 43. COM SATURAÇÃO DA PRESA EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
  • 44. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA SISTEMA PREDADOR-PRESA COM EFEITO ALLEE COM SATURAÇÃO DA PRESA Presa Predador MODELAGEM
  • 45. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA PONTOS FIXOS ENCONTRADOS ANALITICAMENTE: MODELAGEM ANÁLISE QUALITATIVA ( 0 , 0 ) ( γ , 1- α e - βγ 2 - γδ )
  • 46. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA MODELAGEM ANÁLISE QUALITATIVA α = 10 β = 1 γ = 10 δ = 0.08 CAMPO VETORIAL DO SISTEMA:
  • 47. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA MODELAGEM SIMULAÇÃO
  • 48. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA MODELAGEM ANÁLISE QUALITATIVA
  • 49. CONCLUSÃO EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE
  • 50. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE CONCLUSÃO OBTIVEMOS UM TERMO QUE MODELA O EFEITO ALLEE PARA UMA POPULAÇÃO;
  • 51. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE CONCLUSÃO OBTIVEMOS UM TERMO QUE MODELA O EFEITO ALLEE PARA UMA POPULAÇÃO; MODELAMOS O EFEITO ALLEE EM UM SISTEMA PRESA-PREDADOR ANÁLOGO A LOTKA-VOLTERRA;
  • 52. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE CONCLUSÃO OBTIVEMOS UM TERMO QUE MODELA O EFEITO ALLEE PARA UMA POPULAÇÃO; ENCONTRAMOS DUAS REGIÕES PARA O SISTEMA PRESA-PREDADOR SIMPLES: UMA COM DINÂMICA EM ESPIRAL E OUTRA DECAINDO DIRETAMENTE A ZERO; MODELAMOS O EFEITO ALLEE EM UM SISTEMA PRESA-PREDADOR ANÁLOGO A LOTKA-VOLTERRA;
  • 53. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE CONCLUSÃO OBTIVEMOS UM TERMO QUE MODELA O EFEITO ALLEE PARA UMA POPULAÇÃO; ENCONTRAMOS DUAS REGIÕES PARA O SISTEMA PRESA-PREDADOR SIMPLES: UMA COM DINÂMICA EM ESPIRAL E OUTRA DECAINDO DIRETAMENTE A ZERO; MODELAMOS O EFEITO ALLEE EM UM SISTEMA PRESA-PREDADOR ANÁLOGO A LOTKA-VOLTERRA; A VARIAÇÃO RANDÔMICA DO EFEITO ALLEE ADIOU A EXTINÇÃO DAS ESPÉCIES;
  • 54. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE CONCLUSÃO OBTIVEMOS UM TERMO QUE MODELA O EFEITO ALLEE PARA UMA POPULAÇÃO; ENCONTRAMOS DUAS REGIÕES PARA O SISTEMA PRESA-PREDADOR SIMPLES: UMA COM DINÂMICA EM ESPIRAL E OUTRA DECAINDO DIRETAMENTE A ZERO; MODELAMOS O EFEITO ALLEE EM UM SISTEMA PRESA-PREDADOR ANÁLOGO A LOTKA-VOLTERRA; A VARIAÇÃO RANDÔMICA DO EFEITO ALLEE ADIOU A EXTINÇÃO DAS ESPÉCIES; A VARIAÇÃO SAZONAL DO EFEITO ALLEE TAMBÉM ADIOU A EXTINÇÃO DAS ESPÉCIES. QUANDO ESSA VARIAÇÃO ESTAVA EM FASE COM A DINÂMINCA DAS POPULAÇÕES, A POPULAÇÃO NÃO SE EXTINGUIU;
  • 55. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE CONCLUSÃO OBTIVEMOS UM TERMO QUE MODELA O EFEITO ALLEE PARA UMA POPULAÇÃO; ENCONTRAMOS UMA REGIÃO PARA O SISTEMA PRESA-PREDADOR SIMPLES COM UMA DINÂMICA EM ESPIRAL E OUTRA DECAINDO DIRETAMENTE A ZERO; MODELAMOS O EFEITO ALLEE EM UM SISTEMA PRESA-PREDADOR ANÁLOGO A LOTKA-VOLTERRA; COM UM TERMO DE SATURAÇÃO PARA AS PRESAS, NOTAMOS UMA REGIÃO ATRAÍDA PARA UM PONTO FIXO, E OUTRA PARA A EXTINÇÃO DE AMBAS AS ESPÉCIES; A VARIAÇÃO RANDÔMICA DO EFEITO ALLEE ADIOU A EXTINÇÃO DAS ESPÉCIES; A VARIAÇÃO SAZONAL DO EFEITO ALLEE TAMBÉM ADIOU A EXTINÇÃO DAS ESPÉCIES. QUANDO ESSA VARIAÇÃO ESTAVA EM FASE COM A DINÂMICA DAS POPULAÇÕES, A POPULAÇÃO NÃO SE EXTINGUIU;