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 Matemáticos
em Biologia de
 Populações

R.A. Kraenkel

Epidemias
Histórias...
Modelos
                        Métodos Matemáticos em Biologia de
Glórias e Misérias

Vegetação em
                                   Populações
regiões
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo                           Roberto André Kraenkel
Histerese
Glóris e Misérias
                                  Instituto de Física Teórica-UNESP
                                               São Paulo
                               http://www.ift.unesp.br/users/kraenkel


                                            Aula IV
Métodos
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                                                 A aula de hoje
R.A. Kraenkel

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                        1 Epidemias
Vegetação em                Histórias...
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Semi-áridas                 Modelos
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                        1 Epidemias
Vegetação em                 Histórias...
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Semi-áridas                  Modelos
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áridas                       Glórias e Misérias
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                        2 Vegetação em regiões Semi-áridas
                             Regiões semi-áridas e áridas
                             Modelo
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                                                            Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel
                        Parta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates).
Epidemias
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                                                            A Peste de Atenas.
Glórias e Misérias                                              • A peste de Atenas foi uma
Vegetação em                                                       epidemia que grassou em
regiões                                                            430(AC) em Atenas, durante
Semi-áridas
                                                                   a Guerra do Peloponeso.
Regiões semi-áridas e
áridas
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                                                            Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel
                        Parta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates).
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                                                            A Peste de Atenas.
Glórias e Misérias                                              • A peste de Atenas foi uma
Vegetação em                                                       epidemia que grassou em
regiões                                                            430(AC) em Atenas, durante
Semi-áridas
                                                                   a Guerra do Peloponeso.
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo
                                                                • Foi relatada por Tucídides:
Histerese                                                          calores, sufocamento,
Glóris e Misérias                                                  convulsões , necroses dos
                                                                   dedos, ..morte.
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                                                            Epidemias: histórias
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                        Parta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates).
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                                                            A Peste de Atenas.
Glórias e Misérias                                              • A peste de Atenas foi uma
Vegetação em                                                       epidemia que grassou em
regiões                                                            430(AC) em Atenas, durante
Semi-áridas
                                                                   a Guerra do Peloponeso.
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo
                                                                • Foi relatada por Tucídides:
Histerese                                                          calores, sufocamento,
Glóris e Misérias                                                  convulsões , necroses dos
                                                                   dedos, ..morte.
                                                                • 1/3 da população foi
                                                                   dizimada.
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                                                            Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel
                        Parta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates).
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                                                            A Peste de Atenas.
Glórias e Misérias                                              • A peste de Atenas foi uma
Vegetação em                                                       epidemia que grassou em
regiões                                                            430(AC) em Atenas, durante
Semi-áridas
                                                                   a Guerra do Peloponeso.
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo
                                                                • Foi relatada por Tucídides:
Histerese                                                          calores, sufocamento,
Glóris e Misérias                                                  convulsões , necroses dos
                                                                   dedos, ..morte.
                                                                • 1/3 da população foi
                                                                   dizimada. Pericles, inclusive.
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                                                            Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel
                        Parta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates).
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                                                            A Peste de Atenas.
Glórias e Misérias                                              • A peste de Atenas foi uma
Vegetação em                                                       epidemia que grassou em
regiões                                                            430(AC) em Atenas, durante
Semi-áridas
                                                                   a Guerra do Peloponeso.
Regiões semi-áridas e
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                                                                • Foi relatada por Tucídides:
Histerese                                                          calores, sufocamento,
Glóris e Misérias                                                  convulsões , necroses dos
                                                                   dedos, ..morte.
                                                                • 1/3 da população foi
                                                                   dizimada. Pericles, inclusive.
                                                                • Não se sabe que doença foi a
                                                                   causadora da epidemia.
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                                                            Epidemias: histórias
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                        Parta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates).
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                                                            A Peste de Atenas.
Glórias e Misérias                                              • A peste de Atenas foi uma
Vegetação em                                                       epidemia que grassou em
regiões                                                            430(AC) em Atenas, durante
Semi-áridas
                                                                   a Guerra do Peloponeso.
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo
                                                                • Foi relatada por Tucídides:
Histerese                                                          calores, sufocamento,
Glóris e Misérias                                                  convulsões , necroses dos
                                                                   dedos, ..morte.
                                                                • 1/3 da população foi
                                                                   dizimada. Pericles, inclusive.
                                                                • Não se sabe que doença foi a
                                                                   causadora da epidemia.Tifo
                                                                   epidêmico é a mais provável.
                                                                   transmitida entre animais e o
                                                                   homem por meio de piolhos.
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                                                            Epidemias: histórias
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                        Parta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates).
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                                                            A Peste de Atenas.
Glórias e Misérias                                              • A peste de Atenas foi uma
Vegetação em                                                       epidemia que grassou em
regiões                                                            430(AC) em Atenas, durante
Semi-áridas
                                                                   a Guerra do Peloponeso.
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo
                                                                • Foi relatada por Tucídides:
Histerese                                                          calores, sufocamento,
Glóris e Misérias                                                  convulsões , necroses dos
                                                                   dedos, ..morte.
                                                                • 1/3 da população foi
                                                                   dizimada. Pericles, inclusive.
                                                                • Não se sabe que doença foi a
                                                                   causadora da epidemia.Tifo
                                                                   epidêmico é a mais provável.
                                                                   transmitida entre animais e o
                                                                   homem por meio de piolhos.
                                                                • A epidemia aparentemente
                                                                   veio se alastrando a partir da
                                                                   África.
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 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                            Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel
                        Parta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates).
Epidemias
Histórias...
Modelos
                                                            A Peste de Atenas.
Glórias e Misérias                                              • A peste de Atenas foi uma
Vegetação em                                                       epidemia que grassou em
regiões                                                            430(AC) em Atenas, durante
Semi-áridas
                                                                   a Guerra do Peloponeso.
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo
                                                                • Foi relatada por Tucídides:
Histerese                                                          calores, sufocamento,
Glóris e Misérias                                                  convulsões , necroses dos
                                                                   dedos, ..morte.
                                                                • 1/3 da população foi
                                                                   dizimada. Pericles, inclusive.
                                                                • Não se sabe que doença foi a
                                                                   causadora da epidemia.Tifo
                                                                   epidêmico é a mais provável.
                                                                   transmitida entre animais e o
                                                                   homem por meio de piolhos.
                                                                • A epidemia aparentemente
                                                                   veio se alastrando a partir da
                                                                   África.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                          Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel           Dizem alguns que a única garantia contra os germes é a fuga. (Bocaccio, no
                        Decameron).
Epidemias
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias
                                                              A Peste.
Vegetação em                                                     • A peste é uma doença
regiões
Semi-áridas                                                         infecciosa causada pela
Regiões semi-áridas e
áridas
                                                                    bactéria Yersinia pestis.
Modelo
Histerese
Glóris e Misérias
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                          Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel           Dizem alguns que a única garantia contra os germes é a fuga. (Bocaccio, no
                        Decameron).
Epidemias
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias
                                                              A Peste.
Vegetação em                                                     • A peste é uma doença
regiões
Semi-áridas                                                         infecciosa causada pela
Regiões semi-áridas e
áridas
                                                                    bactéria Yersinia pestis.Há
Modelo
                                                                    três formas;
Histerese
Glóris e Misérias
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                          Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel           Dizem alguns que a única garantia contra os germes é a fuga. (Bocaccio, no
                        Decameron).
Epidemias
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias
                                                              A Peste.
Vegetação em                                                     • A peste é uma doença
regiões
Semi-áridas                                                         infecciosa causada pela
Regiões semi-áridas e
áridas
                                                                    bactéria Yersinia pestis.Há
Modelo
                                                                    três formas;
Histerese
Glóris e Misérias
                                                                       •   pneumônica, afetando os
                                                                           pulmões e sendo
                                                                           transmissível entre humanos.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                          Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel           Dizem alguns que a única garantia contra os germes é a fuga. (Bocaccio, no
                        Decameron).
Epidemias
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias
                                                              A Peste.
Vegetação em                                                     • A peste é uma doença
regiões
Semi-áridas                                                         infecciosa causada pela
Regiões semi-áridas e
áridas
                                                                    bactéria Yersinia pestis.Há
Modelo
                                                                    três formas;
Histerese
Glóris e Misérias
                                                                       •   pneumônica, afetando os
                                                                           pulmões e sendo
                                                                           transmissível entre humanos.
                                                                       •   bubônica, inflamando os
                                                                           gânglios, transmitida por
                                                                           pulgas infectadas a aprtir de
                                                                           ratos.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                          Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel           Dizem alguns que a única garantia contra os germes é a fuga. (Bocaccio, no
                        Decameron).
Epidemias
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias
                                                              A Peste.
Vegetação em                                                     • A peste é uma doença
regiões
Semi-áridas                                                         infecciosa causada pela
Regiões semi-áridas e
áridas
                                                                    bactéria Yersinia pestis.Há
Modelo
                                                                    três formas;
Histerese
Glóris e Misérias
                                                                       •   pneumônica, afetando os
                                                                           pulmões e sendo
                                                                           transmissível entre humanos.
                                                                       •   bubônica, inflamando os
                                                                           gânglios, transmitida por
                                                                           pulgas infectadas a aprtir de
                                                                           ratos.
                                                                       •   septisêmica, espalhando para
                                                                           todos os órgãos pela corrente
                                                                           sangüínea.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                          Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel           Dizem alguns que a única garantia contra os germes é a fuga. (Bocaccio, no
                        Decameron).
Epidemias
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias
                                                              A Peste.
Vegetação em                                                     • A peste é uma doença
regiões
Semi-áridas                                                         infecciosa causada pela
Regiões semi-áridas e
áridas
                                                                    bactéria Yersinia pestis.Há
Modelo
                                                                    três formas;
Histerese
Glóris e Misérias
                                                                        •     pneumônica, afetando os
                                                                              pulmões e sendo
                                                                              transmissível entre humanos.
                                                                        •     bubônica, inflamando os
                                                                              gânglios, transmitida por
                                                                              pulgas infectadas a aprtir de
                                                                              ratos.
                                                                        •     septisêmica, espalhando para
                                                                              todos os órgãos pela corrente
                                                                              sangüínea.

                                                                 • Não tratadas, são
                                                                    fatais.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                          Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel           Dizem alguns que a única garantia contra os germes é a fuga. (Bocaccio, no
                        Decameron).
Epidemias
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias
                                                              A Peste.
Vegetação em                                                     • A peste é uma doença
regiões
Semi-áridas                                                         infecciosa causada pela
Regiões semi-áridas e
áridas
                                                                    bactéria Yersinia pestis.Há
Modelo
                                                                    três formas;
Histerese
Glóris e Misérias
                                                                       •   pneumônica, afetando os
                                                                           pulmões e sendo
                                                                           transmissível entre humanos.
                                                                       •   bubônica, inflamando os
                                                                           gânglios, transmitida por
                                                                           pulgas infectadas a aprtir de
                                                                           ratos.
                                                                       •   septisêmica, espalhando para
                                                                           todos os órgãos pela corrente
                                                                           sangüínea.

                                                                 • Não tratadas, são
                                                                    fatais.Antibióticos são
                                                                    eficientes contra a peste .
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                          Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel           Dizem alguns que a única garantia contra os germes é a fuga. (Bocaccio, no
                        Decameron).
Epidemias
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias
                                                              A Peste.
Vegetação em                                                     • A peste é uma doença
regiões
Semi-áridas                                                         infecciosa causada pela
Regiões semi-áridas e
áridas
                                                                    bactéria Yersinia pestis.Há
Modelo
                                                                    três formas;
Histerese
Glóris e Misérias
                                                                       •   pneumônica, afetando os
                                                                           pulmões e sendo
                                                                           transmissível entre humanos.
                                                                       •   bubônica, inflamando os
                                                                           gânglios, transmitida por
                                                                           pulgas infectadas a aprtir de
                                                                           ratos.
                                                                       •   septisêmica, espalhando para
                                                                           todos os órgãos pela corrente
                                                                           sangüínea.

                                                                 • Não tratadas, são
                                                                    fatais.Antibióticos são
                                                                    eficientes contra a peste .
                                                                       •   Devem ser ministrados em
                                                                           poucas horas...
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                        Epidemias: histórias.
R.A. Kraenkel
                        A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora.
Epidemias               (E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha).
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias                                       A Peste.
Vegetação em
regiões
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo
Histerese
Glóris e Misérias
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                        Epidemias: histórias.
R.A. Kraenkel
                        A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora.
Epidemias               (E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha).
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias                                       A Peste.
Vegetação em
regiões
                                                             • Houve três grandes
Semi-áridas                                                    pandemias de peste;
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo
Histerese
Glóris e Misérias
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                        Epidemias: histórias.
R.A. Kraenkel
                        A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora.
Epidemias               (E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha).
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias                                       A Peste.
Vegetação em
regiões
                                                             • Houve três grandes
Semi-áridas                                                    pandemias de peste;
Regiões semi-áridas e
áridas
                                                                   •   A peste de Justiniano, (541
Modelo
                                                                       D.C.), espalhando-se a partir
Histerese
                                                                       de Constantinopla e matando
Glóris e Misérias
                                                                       25% da população da região
                                                                       mediterrânea.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                        Epidemias: histórias.
R.A. Kraenkel
                        A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora.
Epidemias               (E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha).
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias                                       A Peste.
Vegetação em
regiões
                                                             • Houve três grandes
Semi-áridas                                                    pandemias de peste;
Regiões semi-áridas e
áridas
                                                                   •   A peste de Justiniano, (541
Modelo
                                                                       D.C.), espalhando-se a partir
Histerese
                                                                       de Constantinopla e matando
Glóris e Misérias
                                                                       25% da população da região
                                                                       mediterrânea.
                                                                   •   A peste negra, (1347),
                                                                       entrando pela Sicília, matou
                                                                       1/3 da população européia.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                        Epidemias: histórias.
R.A. Kraenkel
                        A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora.
Epidemias               (E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha).
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias                                       A Peste.
Vegetação em
regiões
                                                             • Houve três grandes
Semi-áridas                                                    pandemias de peste;
Regiões semi-áridas e
áridas
                                                                   •   A peste de Justiniano, (541
Modelo
                                                                       D.C.), espalhando-se a partir
Histerese
                                                                       de Constantinopla e matando
Glóris e Misérias
                                                                       25% da população da região
                                                                       mediterrânea.
                                                                   •   A peste negra, (1347),
                                                                       entrando pela Sicília, matou
                                                                       1/3 da população européia.
                                                                   •   A terceira pandemia,
                                                                       começando na China em 1855
                                                                       e matando 12 milhões de
                                                                       pessoas na China e Índia.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                        Epidemias: histórias.
R.A. Kraenkel
                        A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora.
Epidemias               (E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha).
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias                                       A Peste.
Vegetação em
regiões
                                                             • Houve três grandes
Semi-áridas                                                     pandemias de peste;
Regiões semi-áridas e
áridas
                                                                   •   A peste de Justiniano, (541
Modelo
                                                                       D.C.), espalhando-se a partir
Histerese
                                                                       de Constantinopla e matando
Glóris e Misérias
                                                                       25% da população da região
                                                                       mediterrânea.
                                                                   •   A peste negra, (1347),
                                                                       entrando pela Sicília, matou
                                                                       1/3 da população européia.
                                                                   •   A terceira pandemia,
                                                                       começando na China em 1855
                                                                       e matando 12 milhões de
                                                                       pessoas na China e Índia.
                                                             • Ainda existe a peste hoje em
                                                                dia, mas não de forma
                                                                epidêmica.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                        Epidemias: histórias.
R.A. Kraenkel
                        A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora.
Epidemias               (E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha).
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias                                       A Peste.
Vegetação em
regiões
                                                             • Houve três grandes
Semi-áridas                                                     pandemias de peste;
Regiões semi-áridas e
áridas
                                                                   •   A peste de Justiniano, (541
Modelo
                                                                       D.C.), espalhando-se a partir
Histerese
                                                                       de Constantinopla e matando
Glóris e Misérias
                                                                       25% da população da região
                                                                       mediterrânea.
                                                                   •   A peste negra, (1347),
                                                                       entrando pela Sicília, matou
                                                                       1/3 da população européia.
                                                                   •   A terceira pandemia,
                                                                       começando na China em 1855
                                                                       e matando 12 milhões de
                                                                       pessoas na China e Índia.
                                                             • Ainda existe a peste hoje em
                                                                dia, mas não de forma
                                                                epidêmica. Entre 1987 e
                                                                2001 houve 2847 mortes por
                                                                peste no mundo.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                        Epidemias: histórias.
R.A. Kraenkel
                        A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora.
Epidemias               (E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha).
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias                                       A Peste.
Vegetação em
regiões
                                                             • Houve três grandes
Semi-áridas                                                     pandemias de peste;
Regiões semi-áridas e
áridas
                                                                   •   A peste de Justiniano, (541
Modelo
                                                                       D.C.), espalhando-se a partir
Histerese
                                                                       de Constantinopla e matando
Glóris e Misérias
                                                                       25% da população da região
                                                                       mediterrânea.
                                                                   •   A peste negra, (1347),
                                                                       entrando pela Sicília, matou
                                                                       1/3 da população européia.
                                                                   •   A terceira pandemia,
                                                                       começando na China em 1855
                                                                       e matando 12 milhões de
                                                                       pessoas na China e Índia.
                                                             • Ainda existe a peste hoje em
                                                                dia, mas não de forma
                                                                epidêmica. Entre 1987 e
                                                                2001 houve 2847 mortes por
                                                                peste no mundo.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                       Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel
                        Algumas Grandes Epidemias
Epidemias
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias

Vegetação em
regiões
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo
Histerese
Glóris e Misérias




                        Figure: A peste no Brasil de 1980 a 2005. A maioria dos casos e dá em
                        áreas rurais do Nordeste e de Minas Gerais. Entre 1980 e 2005, houve
                        seis mortes.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                       Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel
                        Algumas Grandes Epidemias
Epidemias
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias

Vegetação em
regiões
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo
Histerese
Glóris e Misérias




                        Figure: A peste no Brasil de 1980 a 2005. A maioria dos casos e dá em
                        áreas rurais do Nordeste e de Minas Gerais. Entre 1980 e 2005, houve
                        seis mortes.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                       Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel
                        Algumas Grandes Epidemias
Epidemias
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias

Vegetação em
regiões
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo
Histerese
Glóris e Misérias




                        Figure: A peste no Brasil de 1980 a 2005.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                       Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel
                        Algumas Grandes Epidemias
Epidemias
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias

Vegetação em
regiões
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo
Histerese
Glóris e Misérias




                        Figure: A peste no Brasil de 1980 a 2005. A maioria dos casos e dá em
                        áreas rurais do Nordeste e de Minas Gerais.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                       Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel
                        Algumas Grandes Epidemias
Epidemias
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias

Vegetação em
regiões
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo
Histerese
Glóris e Misérias




                        Figure: A peste no Brasil de 1980 a 2005. A maioria dos casos e dá em
                        áreas rurais do Nordeste e de Minas Gerais. Entre 1980 e 2005, houve
                        seis mortes.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                          Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel

Epidemias
                        Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro
Histórias...            Dantas).
Modelos
Glórias e Misérias

Vegetação em                                  A Gripe Espanhola.
regiões
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo
Histerese
Glóris e Misérias
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                           Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel

Epidemias
                        Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro
Histórias...            Dantas).
Modelos
Glórias e Misérias

Vegetação em                                  A Gripe Espanhola.
regiões
Semi-áridas
                                                 • A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe
Regiões semi-áridas e
                                                    (influenza A) particularmente severa e mortífera.
áridas
Modelo
Histerese
Glóris e Misérias
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                           Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel

Epidemias
                        Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro
Histórias...            Dantas).
Modelos
Glórias e Misérias

Vegetação em                                  A Gripe Espanhola.
regiões
Semi-áridas
                                                 • A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe
Regiões semi-áridas e
                                                    (influenza A) particularmente severa e mortífera.
áridas
Modelo
                                                 • Ocorreu entre 1918 e 1919.
Histerese
Glóris e Misérias
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                           Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel

Epidemias
                        Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro
Histórias...            Dantas).
Modelos
Glórias e Misérias

Vegetação em                                  A Gripe Espanhola.
regiões
Semi-áridas
                                                 • A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe
Regiões semi-áridas e
                                                    (influenza A) particularmente severa e mortífera.
áridas
Modelo
                                                 • Ocorreu entre 1918 e 1919.
Histerese
                                                 • Atingiu praticamente todas as regiões do mundo.
Glóris e Misérias
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                           Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel

Epidemias
                        Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro
Histórias...            Dantas).
Modelos
Glórias e Misérias

Vegetação em                                  A Gripe Espanhola.
regiões
Semi-áridas
                                                 • A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe
Regiões semi-áridas e
                                                    (influenza A) particularmente severa e mortífera.
áridas
Modelo
                                                 • Ocorreu entre 1918 e 1919.
Histerese
                                                 • Atingiu praticamente todas as regiões do mundo.
Glóris e Misérias
                                                 • Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500
                                                    milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                           Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel

Epidemias
                        Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro
Histórias...            Dantas).
Modelos
Glórias e Misérias

Vegetação em                                  A Gripe Espanhola.
regiões
Semi-áridas
                                                 • A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe
Regiões semi-áridas e
                                                    (influenza A) particularmente severa e mortífera.
áridas
Modelo
                                                 • Ocorreu entre 1918 e 1919.
Histerese
                                                 • Atingiu praticamente todas as regiões do mundo.
Glóris e Misérias
                                                 • Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500
                                                    milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas.
                                                 • A doença se transmite de pessoa para pessoa.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                           Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel

Epidemias
                        Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro
Histórias...            Dantas).
Modelos
Glórias e Misérias

Vegetação em                                  A Gripe Espanhola.
regiões
Semi-áridas
                                                 • A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe
Regiões semi-áridas e
                                                    (influenza A) particularmente severa e mortífera.
áridas
Modelo
                                                 • Ocorreu entre 1918 e 1919.
Histerese
                                                 • Atingiu praticamente todas as regiões do mundo.
Glóris e Misérias
                                                 • Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500
                                                    milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas.
                                                 • A doença se transmite de pessoa para pessoa.
                                                 • Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 de
                                                    outubro de 1918.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                           Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel

Epidemias
                        Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro
Histórias...            Dantas).
Modelos
Glórias e Misérias

Vegetação em                                  A Gripe Espanhola.
regiões
Semi-áridas
                                                 • A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe
Regiões semi-áridas e
                                                    (influenza A) particularmente severa e mortífera.
áridas
Modelo
                                                 • Ocorreu entre 1918 e 1919.
Histerese
                                                 • Atingiu praticamente todas as regiões do mundo.
Glóris e Misérias
                                                 • Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500
                                                    milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas.
                                                 • A doença se transmite de pessoa para pessoa.
                                                 • Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 de
                                                    outubro de 1918.Em final de novembro, a epidemia já
                                                    definhava.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                           Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel

Epidemias
                        Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro
Histórias...            Dantas).
Modelos
Glórias e Misérias

Vegetação em                                  A Gripe Espanhola.
regiões
Semi-áridas
                                                 • A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe
Regiões semi-áridas e
                                                    (influenza A) particularmente severa e mortífera.
áridas
Modelo
                                                 • Ocorreu entre 1918 e 1919.
Histerese
                                                 • Atingiu praticamente todas as regiões do mundo.
Glóris e Misérias
                                                 • Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500
                                                    milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas.
                                                 • A doença se transmite de pessoa para pessoa.
                                                 • Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 de
                                                    outubro de 1918.Em final de novembro, a epidemia já
                                                    definhava.
                                                 • O Carnaval de 1919 ficou famoso pela euforia!
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                           Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel

Epidemias
                        Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro
Histórias...            Dantas).
Modelos
Glórias e Misérias

Vegetação em                                  A Gripe Espanhola.
regiões
Semi-áridas
                                                 • A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe
Regiões semi-áridas e
                                                    (influenza A) particularmente severa e mortífera.
áridas
Modelo
                                                 • Ocorreu entre 1918 e 1919.
Histerese
                                                 • Atingiu praticamente todas as regiões do mundo.
Glóris e Misérias
                                                 • Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500
                                                    milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas.
                                                 • A doença se transmite de pessoa para pessoa.
                                                 • Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 de
                                                    outubro de 1918.Em final de novembro, a epidemia já
                                                    definhava.
                                                 • O Carnaval de 1919 ficou famoso pela euforia!
                                                       •   Fim da gripe espanhola.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                           Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel

Epidemias
                        Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro
Histórias...            Dantas).
Modelos
Glórias e Misérias

Vegetação em                                  A Gripe Espanhola.
regiões
Semi-áridas
                                                 • A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe
Regiões semi-áridas e
                                                    (influenza A) particularmente severa e mortífera.
áridas
Modelo
                                                 • Ocorreu entre 1918 e 1919.
Histerese
                                                 • Atingiu praticamente todas as regiões do mundo.
Glóris e Misérias
                                                 • Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500
                                                    milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas.
                                                 • A doença se transmite de pessoa para pessoa.
                                                 • Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 de
                                                    outubro de 1918.Em final de novembro, a epidemia já
                                                    definhava.
                                                 • O Carnaval de 1919 ficou famoso pela euforia!
                                                       •   Fim da gripe espanhola.
                                                       •   Fim da Grande Guerra.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                           Epidemias: histórias
R.A. Kraenkel

Epidemias
                        Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro
Histórias...            Dantas).
Modelos
Glórias e Misérias

Vegetação em                                  A Gripe Espanhola.
regiões
Semi-áridas
                                                 • A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe
Regiões semi-áridas e
                                                    (influenza A) particularmente severa e mortífera.
áridas
Modelo
                                                 • Ocorreu entre 1918 e 1919.
Histerese
                                                 • Atingiu praticamente todas as regiões do mundo.
Glóris e Misérias
                                                 • Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500
                                                    milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas.
                                                 • A doença se transmite de pessoa para pessoa.
                                                 • Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 de
                                                    outubro de 1918.Em final de novembro, a epidemia já
                                                    definhava.
                                                 • O Carnaval de 1919 ficou famoso pela euforia!
                                                       •   Fim da gripe espanhola.
                                                       •   Fim da Grande Guerra.
                                                       •   Tudo de bom!.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                Modelos Matemáticos
R.A. Kraenkel

Epidemias
Histórias...
                        Modelo Simples: hipóteses
Modelos
Glórias e Misérias
                          • Para constrir um modelo matemático elementar para uma
Vegetação em
regiões                     epidemia vamos começar com algumas simplificações .
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo
Histerese
Glóris e Misérias
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                 Modelos Matemáticos
R.A. Kraenkel

Epidemias
Histórias...
                        Modelo Simples: hipóteses
Modelos
Glórias e Misérias
                          • Para constrir um modelo matemático elementar para uma
Vegetação em
regiões                     epidemia vamos começar com algumas simplificações .
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e         • A população tem um número constante de indivíduos.
áridas
Modelo
Histerese
Glóris e Misérias
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                 Modelos Matemáticos
R.A. Kraenkel

Epidemias
Histórias...
                        Modelo Simples: hipóteses
Modelos
Glórias e Misérias
                          • Para constrir um modelo matemático elementar para uma
Vegetação em
regiões                     epidemia vamos começar com algumas simplificações .
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e         • A população tem um número constante de indivíduos.
áridas
Modelo                        • A população é espacialmente homogênea.
Histerese
Glóris e Misérias
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                 Modelos Matemáticos
R.A. Kraenkel

Epidemias
Histórias...
                        Modelo Simples: hipóteses
Modelos
Glórias e Misérias
                          • Para constrir um modelo matemático elementar para uma
Vegetação em
regiões                     epidemia vamos começar com algumas simplificações .
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e         • A população tem um número constante de indivíduos.
áridas
Modelo                        • A população é espacialmente homogênea.
Histerese
Glóris e Misérias         • Com isto, definimos implicitamente estalas de tempo e de
                            espaço para o nosso modelo.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                 Modelos Matemáticos
R.A. Kraenkel

Epidemias
Histórias...
                        Modelo Simples: hipóteses
Modelos
Glórias e Misérias
                          • Para constrir um modelo matemático elementar para uma
Vegetação em
regiões                     epidemia vamos começar com algumas simplificações .
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e         • A população tem um número constante de indivíduos.
áridas
Modelo                        • A população é espacialmente homogênea.
Histerese
Glóris e Misérias         • Com isto, definimos implicitamente estalas de tempo e de
                            espaço para o nosso modelo.
                          • Dividimos os indivíduos de nossa população em três
                            categorias:
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                  Modelos Matemáticos
R.A. Kraenkel

Epidemias
Histórias...
                        Modelo Simples: hipóteses
Modelos
Glórias e Misérias
                          • Para constrir um modelo matemático elementar para uma
Vegetação em
regiões                     epidemia vamos começar com algumas simplificações .
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e         • A população tem um número constante de indivíduos.
áridas
Modelo                        • A população é espacialmente homogênea.
Histerese
Glóris e Misérias         • Com isto, definimos implicitamente estalas de tempo e de
                            espaço para o nosso modelo.
                          • Dividimos os indivíduos de nossa população em três
                            categorias:
                              • S susceptíveis;
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                  Modelos Matemáticos
R.A. Kraenkel

Epidemias
Histórias...
                        Modelo Simples: hipóteses
Modelos
Glórias e Misérias
                          • Para constrir um modelo matemático elementar para uma
Vegetação em
regiões                     epidemia vamos começar com algumas simplificações .
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e         • A população tem um número constante de indivíduos.
áridas
Modelo                        • A população é espacialmente homogênea.
Histerese
Glóris e Misérias         • Com isto, definimos implicitamente estalas de tempo e de
                            espaço para o nosso modelo.
                          • Dividimos os indivíduos de nossa população em três
                            categorias:
                              • S susceptíveis;
                              • I infectados;
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                  Modelos Matemáticos
R.A. Kraenkel

Epidemias
Histórias...
                        Modelo Simples: hipóteses
Modelos
Glórias e Misérias
                          • Para constrir um modelo matemático elementar para uma
Vegetação em
regiões                     epidemia vamos começar com algumas simplificações .
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e         • A população tem um número constante de indivíduos.
áridas
Modelo                        • A população é espacialmente homogênea.
Histerese
Glóris e Misérias         • Com isto, definimos implicitamente estalas de tempo e de
                            espaço para o nosso modelo.
                          • Dividimos os indivíduos de nossa população em três
                            categorias:
                              • S susceptíveis;
                              • I infectados;
                              • R recuperados (imunes ou falecidos)
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                  Modelos Matemáticos
R.A. Kraenkel

Epidemias
Histórias...
                        Modelo Simples: hipóteses
Modelos
Glórias e Misérias
                          • Para constrir um modelo matemático elementar para uma
Vegetação em
regiões                     epidemia vamos começar com algumas simplificações .
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e         • A população tem um número constante de indivíduos.
áridas
Modelo                        • A população é espacialmente homogênea.
Histerese
Glóris e Misérias         • Com isto, definimos implicitamente estalas de tempo e de
                            espaço para o nosso modelo.
                          • Dividimos os indivíduos de nossa população em três
                            categorias:
                              • S susceptíveis;
                              • I infectados;
                              • R recuperados (imunes ou falecidos)
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                  Modelo de Kermack &
R.A. Kraenkel                                       McKendrick (1927)
Epidemias
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias

Vegetação em
regiões
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e
áridas                  A taxa de variação per capita dos susceptíveis é proporcional ao
Modelo
Histerese               número de infectados:
Glóris e Misérias

                                                   dS
                                                        = −rSI
                                                   dt
                        sendo r a taxa de infecção .
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                  Modelo de Kermack &
R.A. Kraenkel                                       McKendrick (1927)
Epidemias
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias

Vegetação em
regiões                 A taxa de variação per capita dos infectados é proporcional ao
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e
                        número de infectados menos a taxa de remoção (recuperados
áridas
Modelo                  imunes ou mortos).
Histerese
Glóris e Misérias
                                                     dS
                                                          = −rSI
                                                     dt


                                                dI
                                                     = −rSI − aI
                                                dt
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                  Modelo de Kermack &
R.A. Kraenkel                                       McKendrick (1927)
Epidemias
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias

Vegetação em
                        A taxa de variação per capita dos recuperados é constante.
regiões
Semi-áridas
                                                     dS
Regiões semi-áridas e
áridas                                                    = −rSI
Modelo                                               dt
Histerese
Glóris e Misérias



                                                dI
                                                     = −rSI − aI
                                                dt


                                                      dR
                                                           = aI
                                                      dt
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                  Modelo de Kermack &
R.A. Kraenkel                                       McKendrick (1927)
Epidemias
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias
                        Temos portanto três equações para três variáveis:
Vegetação em
regiões
Semi-áridas                                          dS
Regiões semi-áridas e                                     = −rSI
áridas
Modelo
                                                     dt
Histerese
Glóris e Misérias


                                                dI
                                                     = −rSI − aI
                                                dt


                                                      dR
                                                           = aI
                                                      dt

                                              A NALISEMOS - LAS !
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                           Análise do modelo I
R.A. Kraenkel
                        dS            dI                 dR
Epidemias               dt
                             = −rSI   dt
                                           = −rSI − aI   dt
                                                              = aI
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias

Vegetação em
regiões
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo
Histerese
Glóris e Misérias
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                  Análise do modelo I
R.A. Kraenkel
                              dS             dI                   dR
Epidemias                     dt
                                   = −rSI    dt
                                                  = −rSI − aI     dt
                                                                       = aI
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias      • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações
Vegetação em
regiões
                          teremos:
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo
Histerese
Glóris e Misérias
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                  Análise do modelo I
R.A. Kraenkel
                              dS             dI                   dR
Epidemias                     dt
                                   = −rSI    dt
                                                  = −rSI − aI     dt
                                                                       = aI
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias      • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações
Vegetação em
regiões
                          teremos:
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e                 d(S + I + R)
áridas
                                                   =0
Modelo
Histerese
                                           dt
Glóris e Misérias
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                   Análise do modelo I
R.A. Kraenkel
                              dS              dI                   dR
Epidemias                     dt
                                   = −rSI     dt
                                                   = −rSI − aI     dt
                                                                        = aI
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias      • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações
Vegetação em
regiões
                          teremos:
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e                 d(S + I + R)
áridas
                                                   = 0⇒S + I + R = N
Modelo
Histerese
                                           dt
Glóris e Misérias

                          onde N é a população total, constante.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                  Análise do modelo I
R.A. Kraenkel
                              dS             dI                   dR
Epidemias                     dt
                                   = −rSI    dt
                                                  = −rSI − aI     dt
                                                                       = aI
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias      • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações
Vegetação em
regiões
                          teremos:
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e                 d(S + I + R)
áridas
                                                   = 0⇒S + I + R = N
Modelo
Histerese
                                           dt
Glóris e Misérias

                          onde N é a população total, constante.
                        • Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar:
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                    Análise do modelo I
R.A. Kraenkel
                              dS               dI                 dR
Epidemias                     dt
                                   = −rSI      dt
                                                    = −rSI − aI   dt
                                                                       = aI
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias      • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações
Vegetação em
regiões
                          teremos:
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e                 d(S + I + R)
áridas
                                                   = 0⇒S + I + R = N
Modelo
Histerese
                                           dt
Glóris e Misérias

                          onde N é a população total, constante.
                        • Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar:
                            • Inicialmente, em t = 0, temos:
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                    Análise do modelo I
R.A. Kraenkel
                              dS               dI                     dR
Epidemias                     dt
                                   = −rSI      dt
                                                    = −rSI − aI       dt
                                                                           = aI
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias      • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações
Vegetação em
regiões
                          teremos:
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e                 d(S + I + R)
áridas
                                                   = 0⇒S + I + R = N
Modelo
Histerese
                                           dt
Glóris e Misérias

                          onde N é a população total, constante.
                        • Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar:
                            • Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0 ,
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                    Análise do modelo I
R.A. Kraenkel
                              dS               dI                     dR
Epidemias                     dt
                                   = −rSI      dt
                                                    = −rSI − aI       dt
                                                                           = aI
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias      • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações
Vegetação em
regiões
                          teremos:
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e                 d(S + I + R)
áridas
                                                   = 0⇒S + I + R = N
Modelo
Histerese
                                           dt
Glóris e Misérias

                          onde N é a população total, constante.
                        • Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar:
                            • Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0 , I(0) = I0 e
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                     Análise do modelo I
R.A. Kraenkel
                              dS                dI                    dR
Epidemias                     dt
                                   = −rSI       dt
                                                     = −rSI − aI      dt
                                                                           = aI
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias      • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações
Vegetação em
regiões
                          teremos:
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e                  d(S + I + R)
áridas
                                                    = 0⇒S + I + R = N
Modelo
Histerese
                                            dt
Glóris e Misérias

                          onde N é a população total, constante.
                        • Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar:
                            • Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0 , I(0) = I0 e
                                   R(0) = 0 .
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                      Análise do modelo I
R.A. Kraenkel
                              dS                 dI                     dR
Epidemias                     dt
                                   = −rSI        dt
                                                      = −rSI − aI       dt
                                                                             = aI
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias      • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações
Vegetação em
regiões
                          teremos:
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e                  d(S + I + R)
áridas
                                                    = 0⇒S + I + R = N
Modelo
Histerese
                                            dt
Glóris e Misérias

                          onde N é a população total, constante.
                        • Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar:
                            • Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0 , I(0) = I0 e
                                   R(0) = 0 .
                            • Ou seja, temos um certo núero de infectados (I0 ) e de
                              susceptíiveis (S0 ).
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                      Análise do modelo I
R.A. Kraenkel
                              dS                 dI                     dR
Epidemias                     dt
                                   = −rSI        dt
                                                      = −rSI − aI       dt
                                                                             = aI
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias      • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações
Vegetação em
regiões
                          teremos:
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e                  d(S + I + R)
áridas
                                                    = 0⇒S + I + R = N
Modelo
Histerese
                                            dt
Glóris e Misérias

                          onde N é a população total, constante.
                        • Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar:
                            • Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0 , I(0) = I0 e
                                   R(0) = 0 .
                            • Ou seja, temos um certo núero de infectados (I0 ) e de
                              susceptíiveis (S0 ).
                            • Dados r, a, S0 e I0 , queremos saber se haverá ou não uma
                              epidemia.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                      Análise do modelo I
R.A. Kraenkel
                              dS                 dI                     dR
Epidemias                     dt
                                   = −rSI        dt
                                                      = −rSI − aI       dt
                                                                             = aI
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias      • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações
Vegetação em
regiões
                          teremos:
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e                  d(S + I + R)
áridas
                                                    = 0⇒S + I + R = N
Modelo
Histerese
                                            dt
Glóris e Misérias

                          onde N é a população total, constante.
                        • Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar:
                            • Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0 , I(0) = I0 e
                                   R(0) = 0 .
                            • Ou seja, temos um certo núero de infectados (I0 ) e de
                              susceptíiveis (S0 ).
                            • Dados r, a, S0 e I0 , queremos saber se haverá ou não uma
                              epidemia. Ou seja, se I(t) > I0 para algum tempo t.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                      Análise do modelo I
R.A. Kraenkel
                              dS                 dI                     dR
Epidemias                     dt
                                   = −rSI        dt
                                                      = −rSI − aI       dt
                                                                             = aI
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias      • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações
Vegetação em
regiões
                          teremos:
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e                  d(S + I + R)
áridas
                                                    = 0⇒S + I + R = N
Modelo
Histerese
                                            dt
Glóris e Misérias

                          onde N é a população total, constante.
                        • Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar:
                            • Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0 , I(0) = I0 e
                                   R(0) = 0 .
                            • Ou seja, temos um certo núero de infectados (I0 ) e de
                              susceptíiveis (S0 ).
                            • Dados r, a, S0 e I0 , queremos saber se haverá ou não uma
                              epidemia. Ou seja, se I(t) > I0 para algum tempo t.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                           Análise do modelo II
R.A. Kraenkel
                        dS            dI                 dR
                        dt
                             = −rSI   dt
                                           = −rSI − aI   dt
                                                              = aI
Epidemias
Histórias...
Modelos
Glórias e Misérias

Vegetação em
regiões
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo
Histerese
Glóris e Misérias
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                      Análise do modelo II
R.A. Kraenkel
                               dS                dI                 dR
                               dt
                                    = −rSI       dt
                                                      = −rSI − aI   dt
                                                                         = aI
Epidemias
Histórias...
Modelos                 • Notemos inicialmente que em t = 0:
Glórias e Misérias

Vegetação em
regiões
Semi-áridas
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo
Histerese
Glóris e Misérias
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                           Análise do modelo II
R.A. Kraenkel
                               dS                     dI                      dR
                               dt
                                    = −rSI            dt
                                                           = −rSI − aI        dt
                                                                                   = aI
Epidemias
Histórias...
Modelos                 • Notemos inicialmente que em t = 0:
Glórias e Misérias
                                        »        –
Vegetação em                                dI
regiões                                              = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a)
Semi-áridas                                 dt   0
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo
Histerese
Glóris e Misérias
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                           Análise do modelo II
R.A. Kraenkel
                               dS                     dI                      dR
                               dt
                                    = −rSI            dt
                                                           = −rSI − aI        dt
                                                                                   = aI
Epidemias
Histórias...
Modelos                 • Notemos inicialmente que em t = 0:
Glórias e Misérias
                                        »        –
Vegetação em                                dI
regiões                                              = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a)
Semi-áridas                                 dt   0
Regiões semi-áridas e
áridas
Modelo
Histerese
                        • Se S0 < a/r então
Glóris e Misérias
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                                 Análise do modelo II
R.A. Kraenkel
                               dS                           dI                 dR
                               dt
                                    = −rSI                  dt
                                                                 = −rSI − aI   dt
                                                                                    = aI
Epidemias
Histórias...
Modelos                 • Notemos inicialmente que em t = 0:
Glórias e Misérias
                                        »        –
Vegetação em                                dI
regiões                                               = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a)
Semi-áridas                                 dt    0
Regiões semi-áridas e
áridas

                        • Se S0 < a/r então
Modelo
                                                 ˆ dI ˜
Histerese                                            dt 0
                                                            < 0.
Glóris e Misérias
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                                 Análise do modelo II
R.A. Kraenkel
                               dS                           dI                 dR
                               dt
                                    = −rSI                  dt
                                                                 = −rSI − aI   dt
                                                                                    = aI
Epidemias
Histórias...
Modelos                 • Notemos inicialmente que em t = 0:
Glórias e Misérias
                                        »        –
Vegetação em                                dI
regiões                                               = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a)
Semi-áridas                                 dt    0
Regiões semi-áridas e
áridas

                        • Se S0 < a/r então
Modelo
                                                 ˆ dI ˜
Histerese                                            dt 0
                                                            < 0.
Glóris e Misérias
                        • Se S0 > a/r então
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                                 Análise do modelo II
R.A. Kraenkel
                               dS                           dI                 dR
                               dt
                                    = −rSI                  dt
                                                                 = −rSI − aI   dt
                                                                                    = aI
Epidemias
Histórias...
Modelos                 • Notemos inicialmente que em t = 0:
Glórias e Misérias
                                        »        –
Vegetação em                                dI
regiões                                               = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a)
Semi-áridas                                 dt    0
Regiões semi-áridas e
áridas

                        • Se S0 < a/r então
Modelo
                                                 ˆ dI ˜
Histerese                                            dt 0
                                                            < 0.
Glóris e Misérias
                        • Se S0 > a/r então
                                                 ˆ dI ˜
                                                     dt 0
                                                            >0
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                                 Análise do modelo II
R.A. Kraenkel
                               dS                           dI                 dR
                               dt
                                    = −rSI                  dt
                                                                 = −rSI − aI   dt
                                                                                    = aI
Epidemias
Histórias...
Modelos                 • Notemos inicialmente que em t = 0:
Glórias e Misérias
                                        »        –
Vegetação em                                dI
regiões                                               = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a)
Semi-áridas                                 dt    0
Regiões semi-áridas e
áridas

                        • Se S0 < a/r então
Modelo
                                                 ˆ dI ˜
Histerese                                            dt 0
                                                            < 0.
Glóris e Misérias
                        • Se S0 > a/r então
                                                 ˆ dI ˜
                                                     dt 0
                                                            > 0 (Epidemia!)
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                                  Análise do modelo II
R.A. Kraenkel
                                dS                           dI                 dR
                                dt
                                     = −rSI                  dt
                                                                  = −rSI − aI   dt
                                                                                     = aI
Epidemias
Histórias...
Modelos                 • Notemos inicialmente que em t = 0:
Glórias e Misérias
                                         »        –
Vegetação em                                 dI
regiões                                                = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a)
Semi-áridas                                  dt    0
Regiões semi-áridas e
áridas

                        • Se S0 < a/r então
Modelo
                                                  ˆ dI ˜
Histerese                                             dt 0
                                                             < 0.
Glóris e Misérias
                        • Se S0 > a/r então dI 0 > 0 (Epidemia!)
                                                  ˆ ˜
                                              dt
                        • Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0.
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                                  Análise do modelo II
R.A. Kraenkel
                                dS                           dI                 dR
                                dt
                                     = −rSI                  dt
                                                                  = −rSI − aI   dt
                                                                                     = aI
Epidemias
Histórias...
Modelos                 • Notemos inicialmente que em t = 0:
Glórias e Misérias
                                         »        –
Vegetação em                                 dI
regiões                                                = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a)
Semi-áridas                                  dt    0
Regiões semi-áridas e
áridas

                        • Se S0 < a/r então
Modelo
                                                  ˆ dI ˜
Histerese                                             dt 0
                                                             < 0.
Glóris e Misérias
                        • Se S0 > a/r então dI 0 > 0 (Epidemia!)
                                                  ˆ ˜
                                              dt
                        • Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0.
                        • Assim, se S0 < a/r
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                                  Análise do modelo II
R.A. Kraenkel
                                dS                           dI                 dR
                                dt
                                     = −rSI                  dt
                                                                  = −rSI − aI   dt
                                                                                     = aI
Epidemias
Histórias...
Modelos                 • Notemos inicialmente que em t = 0:
Glórias e Misérias
                                         »        –
Vegetação em                                 dI
regiões                                                = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a)
Semi-áridas                                  dt    0
Regiões semi-áridas e
áridas

                        • Se S0 < a/r então
Modelo
                                                  ˆ dI ˜
Histerese                                             dt 0
                                                             < 0.
Glóris e Misérias
                        • Se S0 > a/r então dI 0 > 0 (Epidemia!)
                                                  ˆ ˜
                                              dt
                        • Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0.
                        • Assim, se S0 < a/r então S(t) < a/r para todo t
Métodos
 Matemáticos
em Biologia de
 Populações
                                                                  Análise do modelo II
R.A. Kraenkel
                                dS                           dI                 dR
                                dt
                                     = −rSI                  dt
                                                                  = −rSI − aI   dt
                                                                                     = aI
Epidemias
Histórias...
Modelos                 • Notemos inicialmente que em t = 0:
Glórias e Misérias
                                         »        –
Vegetação em                                 dI
regiões                                                = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a)
Semi-áridas                                  dt    0
Regiões semi-áridas e
áridas

                        • Se S0 < a/r então
Modelo
                                                  ˆ dI ˜
Histerese                                             dt 0
                                                             < 0.
Glóris e Misérias
                        • Se S0 > a/r então dI 0 > 0 (Epidemia!)
                                                  ˆ ˜
                                              dt
                        • Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0.
                        • Assim, se S0 < a/r então S(t) < a/r para todo t
                                              dI
                                                 = −rSI − aI = I(rS − a) < 0
                                              dt
Métodos
 Matemáticos
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                                                                  Análise do modelo II
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                                dS                           dI                 dR
                                dt
                                     = −rSI                  dt
                                                                  = −rSI − aI   dt
                                                                                     = aI
Epidemias
Histórias...
Modelos                 • Notemos inicialmente que em t = 0:
Glórias e Misérias
                                         »        –
Vegetação em                                 dI
regiões                                                = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a)
Semi-áridas                                  dt    0
Regiões semi-áridas e
áridas

                        • Se S0 < a/r então
Modelo
                                                  ˆ dI ˜
Histerese                                             dt 0
                                                             < 0.
Glóris e Misérias
                        • Se S0 > a/r então dI 0 > 0 (Epidemia!)
                                                  ˆ ˜
                                              dt
                        • Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0.
                        • Assim, se S0 < a/r então S(t) < a/r para todo t
                                              dI
                                                 = −rSI − aI = I(rS − a) < 0
                                              dt
                          e portanto I(t) < I0 e não há epidemia.
Métodos
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                                                                  Análise do modelo II
R.A. Kraenkel
                                dS                           dI                 dR
                                dt
                                     = −rSI                  dt
                                                                  = −rSI − aI   dt
                                                                                     = aI
Epidemias
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Modelos                 • Notemos inicialmente que em t = 0:
Glórias e Misérias
                                         »        –
Vegetação em                                 dI
regiões                                                = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a)
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áridas

                        • Se S0 < a/r então
Modelo
                                                  ˆ dI ˜
Histerese                                             dt 0
                                                             < 0.
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                        • Se S0 > a/r então dI 0 > 0 (Epidemia!)
                                                  ˆ ˜
                                              dt
                        • Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0.
                        • Assim, se S0 < a/r então S(t) < a/r para todo t
                                              dI
                                                 = −rSI − aI = I(rS − a) < 0
                                              dt
                          e portanto I(t) < I0 e não há epidemia.
                        • Se S0 > a/r haverá epidemia ( pois dI 0 > 0).
                                                              ˆ ˜
                                                               dt
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  • 1. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Métodos Matemáticos em Biologia de Glórias e Misérias Vegetação em Populações regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Roberto André Kraenkel Histerese Glóris e Misérias Instituto de Física Teórica-UNESP São Paulo http://www.ift.unesp.br/users/kraenkel Aula IV
  • 2. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações A aula de hoje R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias 1 Epidemias Vegetação em Histórias... regiões Semi-áridas Modelos Regiões semi-áridas e áridas Glórias e Misérias Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 3. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações A aula de hoje R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias 1 Epidemias Vegetação em Histórias... regiões Semi-áridas Modelos Regiões semi-áridas e áridas Glórias e Misérias Modelo Histerese Glóris e Misérias 2 Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 4. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Parta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates). Epidemias Histórias... Modelos A Peste de Atenas. Glórias e Misérias • A peste de Atenas foi uma Vegetação em epidemia que grassou em regiões 430(AC) em Atenas, durante Semi-áridas a Guerra do Peloponeso. Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 5. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Parta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates). Epidemias Histórias... Modelos A Peste de Atenas. Glórias e Misérias • A peste de Atenas foi uma Vegetação em epidemia que grassou em regiões 430(AC) em Atenas, durante Semi-áridas a Guerra do Peloponeso. Regiões semi-áridas e áridas Modelo • Foi relatada por Tucídides: Histerese calores, sufocamento, Glóris e Misérias convulsões , necroses dos dedos, ..morte.
  • 6. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Parta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates). Epidemias Histórias... Modelos A Peste de Atenas. Glórias e Misérias • A peste de Atenas foi uma Vegetação em epidemia que grassou em regiões 430(AC) em Atenas, durante Semi-áridas a Guerra do Peloponeso. Regiões semi-áridas e áridas Modelo • Foi relatada por Tucídides: Histerese calores, sufocamento, Glóris e Misérias convulsões , necroses dos dedos, ..morte. • 1/3 da população foi dizimada.
  • 7. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Parta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates). Epidemias Histórias... Modelos A Peste de Atenas. Glórias e Misérias • A peste de Atenas foi uma Vegetação em epidemia que grassou em regiões 430(AC) em Atenas, durante Semi-áridas a Guerra do Peloponeso. Regiões semi-áridas e áridas Modelo • Foi relatada por Tucídides: Histerese calores, sufocamento, Glóris e Misérias convulsões , necroses dos dedos, ..morte. • 1/3 da população foi dizimada. Pericles, inclusive.
  • 8. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Parta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates). Epidemias Histórias... Modelos A Peste de Atenas. Glórias e Misérias • A peste de Atenas foi uma Vegetação em epidemia que grassou em regiões 430(AC) em Atenas, durante Semi-áridas a Guerra do Peloponeso. Regiões semi-áridas e áridas Modelo • Foi relatada por Tucídides: Histerese calores, sufocamento, Glóris e Misérias convulsões , necroses dos dedos, ..morte. • 1/3 da população foi dizimada. Pericles, inclusive. • Não se sabe que doença foi a causadora da epidemia.
  • 9. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Parta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates). Epidemias Histórias... Modelos A Peste de Atenas. Glórias e Misérias • A peste de Atenas foi uma Vegetação em epidemia que grassou em regiões 430(AC) em Atenas, durante Semi-áridas a Guerra do Peloponeso. Regiões semi-áridas e áridas Modelo • Foi relatada por Tucídides: Histerese calores, sufocamento, Glóris e Misérias convulsões , necroses dos dedos, ..morte. • 1/3 da população foi dizimada. Pericles, inclusive. • Não se sabe que doença foi a causadora da epidemia.Tifo epidêmico é a mais provável. transmitida entre animais e o homem por meio de piolhos.
  • 10. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Parta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates). Epidemias Histórias... Modelos A Peste de Atenas. Glórias e Misérias • A peste de Atenas foi uma Vegetação em epidemia que grassou em regiões 430(AC) em Atenas, durante Semi-áridas a Guerra do Peloponeso. Regiões semi-áridas e áridas Modelo • Foi relatada por Tucídides: Histerese calores, sufocamento, Glóris e Misérias convulsões , necroses dos dedos, ..morte. • 1/3 da população foi dizimada. Pericles, inclusive. • Não se sabe que doença foi a causadora da epidemia.Tifo epidêmico é a mais provável. transmitida entre animais e o homem por meio de piolhos. • A epidemia aparentemente veio se alastrando a partir da África.
  • 11. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Parta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates). Epidemias Histórias... Modelos A Peste de Atenas. Glórias e Misérias • A peste de Atenas foi uma Vegetação em epidemia que grassou em regiões 430(AC) em Atenas, durante Semi-áridas a Guerra do Peloponeso. Regiões semi-áridas e áridas Modelo • Foi relatada por Tucídides: Histerese calores, sufocamento, Glóris e Misérias convulsões , necroses dos dedos, ..morte. • 1/3 da população foi dizimada. Pericles, inclusive. • Não se sabe que doença foi a causadora da epidemia.Tifo epidêmico é a mais provável. transmitida entre animais e o homem por meio de piolhos. • A epidemia aparentemente veio se alastrando a partir da África.
  • 12. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Dizem alguns que a única garantia contra os germes é a fuga. (Bocaccio, no Decameron). Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em • A peste é uma doença regiões Semi-áridas infecciosa causada pela Regiões semi-áridas e áridas bactéria Yersinia pestis. Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 13. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Dizem alguns que a única garantia contra os germes é a fuga. (Bocaccio, no Decameron). Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em • A peste é uma doença regiões Semi-áridas infecciosa causada pela Regiões semi-áridas e áridas bactéria Yersinia pestis.Há Modelo três formas; Histerese Glóris e Misérias
  • 14. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Dizem alguns que a única garantia contra os germes é a fuga. (Bocaccio, no Decameron). Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em • A peste é uma doença regiões Semi-áridas infecciosa causada pela Regiões semi-áridas e áridas bactéria Yersinia pestis.Há Modelo três formas; Histerese Glóris e Misérias • pneumônica, afetando os pulmões e sendo transmissível entre humanos.
  • 15. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Dizem alguns que a única garantia contra os germes é a fuga. (Bocaccio, no Decameron). Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em • A peste é uma doença regiões Semi-áridas infecciosa causada pela Regiões semi-áridas e áridas bactéria Yersinia pestis.Há Modelo três formas; Histerese Glóris e Misérias • pneumônica, afetando os pulmões e sendo transmissível entre humanos. • bubônica, inflamando os gânglios, transmitida por pulgas infectadas a aprtir de ratos.
  • 16. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Dizem alguns que a única garantia contra os germes é a fuga. (Bocaccio, no Decameron). Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em • A peste é uma doença regiões Semi-áridas infecciosa causada pela Regiões semi-áridas e áridas bactéria Yersinia pestis.Há Modelo três formas; Histerese Glóris e Misérias • pneumônica, afetando os pulmões e sendo transmissível entre humanos. • bubônica, inflamando os gânglios, transmitida por pulgas infectadas a aprtir de ratos. • septisêmica, espalhando para todos os órgãos pela corrente sangüínea.
  • 17. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Dizem alguns que a única garantia contra os germes é a fuga. (Bocaccio, no Decameron). Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em • A peste é uma doença regiões Semi-áridas infecciosa causada pela Regiões semi-áridas e áridas bactéria Yersinia pestis.Há Modelo três formas; Histerese Glóris e Misérias • pneumônica, afetando os pulmões e sendo transmissível entre humanos. • bubônica, inflamando os gânglios, transmitida por pulgas infectadas a aprtir de ratos. • septisêmica, espalhando para todos os órgãos pela corrente sangüínea. • Não tratadas, são fatais.
  • 18. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Dizem alguns que a única garantia contra os germes é a fuga. (Bocaccio, no Decameron). Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em • A peste é uma doença regiões Semi-áridas infecciosa causada pela Regiões semi-áridas e áridas bactéria Yersinia pestis.Há Modelo três formas; Histerese Glóris e Misérias • pneumônica, afetando os pulmões e sendo transmissível entre humanos. • bubônica, inflamando os gânglios, transmitida por pulgas infectadas a aprtir de ratos. • septisêmica, espalhando para todos os órgãos pela corrente sangüínea. • Não tratadas, são fatais.Antibióticos são eficientes contra a peste .
  • 19. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Dizem alguns que a única garantia contra os germes é a fuga. (Bocaccio, no Decameron). Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em • A peste é uma doença regiões Semi-áridas infecciosa causada pela Regiões semi-áridas e áridas bactéria Yersinia pestis.Há Modelo três formas; Histerese Glóris e Misérias • pneumônica, afetando os pulmões e sendo transmissível entre humanos. • bubônica, inflamando os gânglios, transmitida por pulgas infectadas a aprtir de ratos. • septisêmica, espalhando para todos os órgãos pela corrente sangüínea. • Não tratadas, são fatais.Antibióticos são eficientes contra a peste . • Devem ser ministrados em poucas horas...
  • 20. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias. R.A. Kraenkel A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora. Epidemias (E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha). Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 21. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias. R.A. Kraenkel A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora. Epidemias (E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha). Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em regiões • Houve três grandes Semi-áridas pandemias de peste; Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 22. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias. R.A. Kraenkel A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora. Epidemias (E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha). Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em regiões • Houve três grandes Semi-áridas pandemias de peste; Regiões semi-áridas e áridas • A peste de Justiniano, (541 Modelo D.C.), espalhando-se a partir Histerese de Constantinopla e matando Glóris e Misérias 25% da população da região mediterrânea.
  • 23. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias. R.A. Kraenkel A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora. Epidemias (E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha). Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em regiões • Houve três grandes Semi-áridas pandemias de peste; Regiões semi-áridas e áridas • A peste de Justiniano, (541 Modelo D.C.), espalhando-se a partir Histerese de Constantinopla e matando Glóris e Misérias 25% da população da região mediterrânea. • A peste negra, (1347), entrando pela Sicília, matou 1/3 da população européia.
  • 24. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias. R.A. Kraenkel A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora. Epidemias (E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha). Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em regiões • Houve três grandes Semi-áridas pandemias de peste; Regiões semi-áridas e áridas • A peste de Justiniano, (541 Modelo D.C.), espalhando-se a partir Histerese de Constantinopla e matando Glóris e Misérias 25% da população da região mediterrânea. • A peste negra, (1347), entrando pela Sicília, matou 1/3 da população européia. • A terceira pandemia, começando na China em 1855 e matando 12 milhões de pessoas na China e Índia.
  • 25. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias. R.A. Kraenkel A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora. Epidemias (E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha). Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em regiões • Houve três grandes Semi-áridas pandemias de peste; Regiões semi-áridas e áridas • A peste de Justiniano, (541 Modelo D.C.), espalhando-se a partir Histerese de Constantinopla e matando Glóris e Misérias 25% da população da região mediterrânea. • A peste negra, (1347), entrando pela Sicília, matou 1/3 da população européia. • A terceira pandemia, começando na China em 1855 e matando 12 milhões de pessoas na China e Índia. • Ainda existe a peste hoje em dia, mas não de forma epidêmica.
  • 26. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias. R.A. Kraenkel A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora. Epidemias (E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha). Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em regiões • Houve três grandes Semi-áridas pandemias de peste; Regiões semi-áridas e áridas • A peste de Justiniano, (541 Modelo D.C.), espalhando-se a partir Histerese de Constantinopla e matando Glóris e Misérias 25% da população da região mediterrânea. • A peste negra, (1347), entrando pela Sicília, matou 1/3 da população européia. • A terceira pandemia, começando na China em 1855 e matando 12 milhões de pessoas na China e Índia. • Ainda existe a peste hoje em dia, mas não de forma epidêmica. Entre 1987 e 2001 houve 2847 mortes por peste no mundo.
  • 27. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias. R.A. Kraenkel A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora. Epidemias (E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha). Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em regiões • Houve três grandes Semi-áridas pandemias de peste; Regiões semi-áridas e áridas • A peste de Justiniano, (541 Modelo D.C.), espalhando-se a partir Histerese de Constantinopla e matando Glóris e Misérias 25% da população da região mediterrânea. • A peste negra, (1347), entrando pela Sicília, matou 1/3 da população européia. • A terceira pandemia, começando na China em 1855 e matando 12 milhões de pessoas na China e Índia. • Ainda existe a peste hoje em dia, mas não de forma epidêmica. Entre 1987 e 2001 houve 2847 mortes por peste no mundo.
  • 28. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Algumas Grandes Epidemias Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias Figure: A peste no Brasil de 1980 a 2005. A maioria dos casos e dá em áreas rurais do Nordeste e de Minas Gerais. Entre 1980 e 2005, houve seis mortes.
  • 29. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Algumas Grandes Epidemias Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias Figure: A peste no Brasil de 1980 a 2005. A maioria dos casos e dá em áreas rurais do Nordeste e de Minas Gerais. Entre 1980 e 2005, houve seis mortes.
  • 30. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Algumas Grandes Epidemias Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias Figure: A peste no Brasil de 1980 a 2005.
  • 31. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Algumas Grandes Epidemias Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias Figure: A peste no Brasil de 1980 a 2005. A maioria dos casos e dá em áreas rurais do Nordeste e de Minas Gerais.
  • 32. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Algumas Grandes Epidemias Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias Figure: A peste no Brasil de 1980 a 2005. A maioria dos casos e dá em áreas rurais do Nordeste e de Minas Gerais. Entre 1980 e 2005, houve seis mortes.
  • 33. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Epidemias Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro Histórias... Dantas). Modelos Glórias e Misérias Vegetação em A Gripe Espanhola. regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 34. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Epidemias Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro Histórias... Dantas). Modelos Glórias e Misérias Vegetação em A Gripe Espanhola. regiões Semi-áridas • A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe Regiões semi-áridas e (influenza A) particularmente severa e mortífera. áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 35. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Epidemias Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro Histórias... Dantas). Modelos Glórias e Misérias Vegetação em A Gripe Espanhola. regiões Semi-áridas • A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe Regiões semi-áridas e (influenza A) particularmente severa e mortífera. áridas Modelo • Ocorreu entre 1918 e 1919. Histerese Glóris e Misérias
  • 36. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Epidemias Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro Histórias... Dantas). Modelos Glórias e Misérias Vegetação em A Gripe Espanhola. regiões Semi-áridas • A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe Regiões semi-áridas e (influenza A) particularmente severa e mortífera. áridas Modelo • Ocorreu entre 1918 e 1919. Histerese • Atingiu praticamente todas as regiões do mundo. Glóris e Misérias
  • 37. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Epidemias Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro Histórias... Dantas). Modelos Glórias e Misérias Vegetação em A Gripe Espanhola. regiões Semi-áridas • A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe Regiões semi-áridas e (influenza A) particularmente severa e mortífera. áridas Modelo • Ocorreu entre 1918 e 1919. Histerese • Atingiu praticamente todas as regiões do mundo. Glóris e Misérias • Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500 milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas.
  • 38. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Epidemias Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro Histórias... Dantas). Modelos Glórias e Misérias Vegetação em A Gripe Espanhola. regiões Semi-áridas • A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe Regiões semi-áridas e (influenza A) particularmente severa e mortífera. áridas Modelo • Ocorreu entre 1918 e 1919. Histerese • Atingiu praticamente todas as regiões do mundo. Glóris e Misérias • Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500 milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas. • A doença se transmite de pessoa para pessoa.
  • 39. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Epidemias Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro Histórias... Dantas). Modelos Glórias e Misérias Vegetação em A Gripe Espanhola. regiões Semi-áridas • A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe Regiões semi-áridas e (influenza A) particularmente severa e mortífera. áridas Modelo • Ocorreu entre 1918 e 1919. Histerese • Atingiu praticamente todas as regiões do mundo. Glóris e Misérias • Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500 milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas. • A doença se transmite de pessoa para pessoa. • Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 de outubro de 1918.
  • 40. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Epidemias Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro Histórias... Dantas). Modelos Glórias e Misérias Vegetação em A Gripe Espanhola. regiões Semi-áridas • A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe Regiões semi-áridas e (influenza A) particularmente severa e mortífera. áridas Modelo • Ocorreu entre 1918 e 1919. Histerese • Atingiu praticamente todas as regiões do mundo. Glóris e Misérias • Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500 milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas. • A doença se transmite de pessoa para pessoa. • Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 de outubro de 1918.Em final de novembro, a epidemia já definhava.
  • 41. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Epidemias Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro Histórias... Dantas). Modelos Glórias e Misérias Vegetação em A Gripe Espanhola. regiões Semi-áridas • A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe Regiões semi-áridas e (influenza A) particularmente severa e mortífera. áridas Modelo • Ocorreu entre 1918 e 1919. Histerese • Atingiu praticamente todas as regiões do mundo. Glóris e Misérias • Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500 milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas. • A doença se transmite de pessoa para pessoa. • Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 de outubro de 1918.Em final de novembro, a epidemia já definhava. • O Carnaval de 1919 ficou famoso pela euforia!
  • 42. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Epidemias Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro Histórias... Dantas). Modelos Glórias e Misérias Vegetação em A Gripe Espanhola. regiões Semi-áridas • A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe Regiões semi-áridas e (influenza A) particularmente severa e mortífera. áridas Modelo • Ocorreu entre 1918 e 1919. Histerese • Atingiu praticamente todas as regiões do mundo. Glóris e Misérias • Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500 milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas. • A doença se transmite de pessoa para pessoa. • Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 de outubro de 1918.Em final de novembro, a epidemia já definhava. • O Carnaval de 1919 ficou famoso pela euforia! • Fim da gripe espanhola.
  • 43. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Epidemias Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro Histórias... Dantas). Modelos Glórias e Misérias Vegetação em A Gripe Espanhola. regiões Semi-áridas • A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe Regiões semi-áridas e (influenza A) particularmente severa e mortífera. áridas Modelo • Ocorreu entre 1918 e 1919. Histerese • Atingiu praticamente todas as regiões do mundo. Glóris e Misérias • Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500 milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas. • A doença se transmite de pessoa para pessoa. • Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 de outubro de 1918.Em final de novembro, a epidemia já definhava. • O Carnaval de 1919 ficou famoso pela euforia! • Fim da gripe espanhola. • Fim da Grande Guerra.
  • 44. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Epidemias Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro Histórias... Dantas). Modelos Glórias e Misérias Vegetação em A Gripe Espanhola. regiões Semi-áridas • A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe Regiões semi-áridas e (influenza A) particularmente severa e mortífera. áridas Modelo • Ocorreu entre 1918 e 1919. Histerese • Atingiu praticamente todas as regiões do mundo. Glóris e Misérias • Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500 milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas. • A doença se transmite de pessoa para pessoa. • Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 de outubro de 1918.Em final de novembro, a epidemia já definhava. • O Carnaval de 1919 ficou famoso pela euforia! • Fim da gripe espanhola. • Fim da Grande Guerra. • Tudo de bom!.
  • 45. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelos Matemáticos R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelo Simples: hipóteses Modelos Glórias e Misérias • Para constrir um modelo matemático elementar para uma Vegetação em regiões epidemia vamos começar com algumas simplificações . Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 46. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelos Matemáticos R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelo Simples: hipóteses Modelos Glórias e Misérias • Para constrir um modelo matemático elementar para uma Vegetação em regiões epidemia vamos começar com algumas simplificações . Semi-áridas Regiões semi-áridas e • A população tem um número constante de indivíduos. áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 47. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelos Matemáticos R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelo Simples: hipóteses Modelos Glórias e Misérias • Para constrir um modelo matemático elementar para uma Vegetação em regiões epidemia vamos começar com algumas simplificações . Semi-áridas Regiões semi-áridas e • A população tem um número constante de indivíduos. áridas Modelo • A população é espacialmente homogênea. Histerese Glóris e Misérias
  • 48. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelos Matemáticos R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelo Simples: hipóteses Modelos Glórias e Misérias • Para constrir um modelo matemático elementar para uma Vegetação em regiões epidemia vamos começar com algumas simplificações . Semi-áridas Regiões semi-áridas e • A população tem um número constante de indivíduos. áridas Modelo • A população é espacialmente homogênea. Histerese Glóris e Misérias • Com isto, definimos implicitamente estalas de tempo e de espaço para o nosso modelo.
  • 49. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelos Matemáticos R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelo Simples: hipóteses Modelos Glórias e Misérias • Para constrir um modelo matemático elementar para uma Vegetação em regiões epidemia vamos começar com algumas simplificações . Semi-áridas Regiões semi-áridas e • A população tem um número constante de indivíduos. áridas Modelo • A população é espacialmente homogênea. Histerese Glóris e Misérias • Com isto, definimos implicitamente estalas de tempo e de espaço para o nosso modelo. • Dividimos os indivíduos de nossa população em três categorias:
  • 50. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelos Matemáticos R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelo Simples: hipóteses Modelos Glórias e Misérias • Para constrir um modelo matemático elementar para uma Vegetação em regiões epidemia vamos começar com algumas simplificações . Semi-áridas Regiões semi-áridas e • A população tem um número constante de indivíduos. áridas Modelo • A população é espacialmente homogênea. Histerese Glóris e Misérias • Com isto, definimos implicitamente estalas de tempo e de espaço para o nosso modelo. • Dividimos os indivíduos de nossa população em três categorias: • S susceptíveis;
  • 51. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelos Matemáticos R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelo Simples: hipóteses Modelos Glórias e Misérias • Para constrir um modelo matemático elementar para uma Vegetação em regiões epidemia vamos começar com algumas simplificações . Semi-áridas Regiões semi-áridas e • A população tem um número constante de indivíduos. áridas Modelo • A população é espacialmente homogênea. Histerese Glóris e Misérias • Com isto, definimos implicitamente estalas de tempo e de espaço para o nosso modelo. • Dividimos os indivíduos de nossa população em três categorias: • S susceptíveis; • I infectados;
  • 52. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelos Matemáticos R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelo Simples: hipóteses Modelos Glórias e Misérias • Para constrir um modelo matemático elementar para uma Vegetação em regiões epidemia vamos começar com algumas simplificações . Semi-áridas Regiões semi-áridas e • A população tem um número constante de indivíduos. áridas Modelo • A população é espacialmente homogênea. Histerese Glóris e Misérias • Com isto, definimos implicitamente estalas de tempo e de espaço para o nosso modelo. • Dividimos os indivíduos de nossa população em três categorias: • S susceptíveis; • I infectados; • R recuperados (imunes ou falecidos)
  • 53. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelos Matemáticos R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelo Simples: hipóteses Modelos Glórias e Misérias • Para constrir um modelo matemático elementar para uma Vegetação em regiões epidemia vamos começar com algumas simplificações . Semi-áridas Regiões semi-áridas e • A população tem um número constante de indivíduos. áridas Modelo • A população é espacialmente homogênea. Histerese Glóris e Misérias • Com isto, definimos implicitamente estalas de tempo e de espaço para o nosso modelo. • Dividimos os indivíduos de nossa população em três categorias: • S susceptíveis; • I infectados; • R recuperados (imunes ou falecidos)
  • 54. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelo de Kermack & R.A. Kraenkel McKendrick (1927) Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas A taxa de variação per capita dos susceptíveis é proporcional ao Modelo Histerese número de infectados: Glóris e Misérias dS = −rSI dt sendo r a taxa de infecção .
  • 55. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelo de Kermack & R.A. Kraenkel McKendrick (1927) Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões A taxa de variação per capita dos infectados é proporcional ao Semi-áridas Regiões semi-áridas e número de infectados menos a taxa de remoção (recuperados áridas Modelo imunes ou mortos). Histerese Glóris e Misérias dS = −rSI dt dI = −rSI − aI dt
  • 56. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelo de Kermack & R.A. Kraenkel McKendrick (1927) Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em A taxa de variação per capita dos recuperados é constante. regiões Semi-áridas dS Regiões semi-áridas e áridas = −rSI Modelo dt Histerese Glóris e Misérias dI = −rSI − aI dt dR = aI dt
  • 57. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelo de Kermack & R.A. Kraenkel McKendrick (1927) Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Temos portanto três equações para três variáveis: Vegetação em regiões Semi-áridas dS Regiões semi-áridas e = −rSI áridas Modelo dt Histerese Glóris e Misérias dI = −rSI − aI dt dR = aI dt A NALISEMOS - LAS !
  • 58. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo I R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 59. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo I R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações Vegetação em regiões teremos: Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 60. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo I R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações Vegetação em regiões teremos: Semi-áridas Regiões semi-áridas e d(S + I + R) áridas =0 Modelo Histerese dt Glóris e Misérias
  • 61. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo I R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações Vegetação em regiões teremos: Semi-áridas Regiões semi-áridas e d(S + I + R) áridas = 0⇒S + I + R = N Modelo Histerese dt Glóris e Misérias onde N é a população total, constante.
  • 62. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo I R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações Vegetação em regiões teremos: Semi-áridas Regiões semi-áridas e d(S + I + R) áridas = 0⇒S + I + R = N Modelo Histerese dt Glóris e Misérias onde N é a população total, constante. • Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar:
  • 63. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo I R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações Vegetação em regiões teremos: Semi-áridas Regiões semi-áridas e d(S + I + R) áridas = 0⇒S + I + R = N Modelo Histerese dt Glóris e Misérias onde N é a população total, constante. • Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar: • Inicialmente, em t = 0, temos:
  • 64. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo I R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações Vegetação em regiões teremos: Semi-áridas Regiões semi-áridas e d(S + I + R) áridas = 0⇒S + I + R = N Modelo Histerese dt Glóris e Misérias onde N é a população total, constante. • Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar: • Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0 ,
  • 65. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo I R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações Vegetação em regiões teremos: Semi-áridas Regiões semi-áridas e d(S + I + R) áridas = 0⇒S + I + R = N Modelo Histerese dt Glóris e Misérias onde N é a população total, constante. • Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar: • Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0 , I(0) = I0 e
  • 66. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo I R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações Vegetação em regiões teremos: Semi-áridas Regiões semi-áridas e d(S + I + R) áridas = 0⇒S + I + R = N Modelo Histerese dt Glóris e Misérias onde N é a população total, constante. • Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar: • Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0 , I(0) = I0 e R(0) = 0 .
  • 67. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo I R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações Vegetação em regiões teremos: Semi-áridas Regiões semi-áridas e d(S + I + R) áridas = 0⇒S + I + R = N Modelo Histerese dt Glóris e Misérias onde N é a população total, constante. • Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar: • Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0 , I(0) = I0 e R(0) = 0 . • Ou seja, temos um certo núero de infectados (I0 ) e de susceptíiveis (S0 ).
  • 68. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo I R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações Vegetação em regiões teremos: Semi-áridas Regiões semi-áridas e d(S + I + R) áridas = 0⇒S + I + R = N Modelo Histerese dt Glóris e Misérias onde N é a população total, constante. • Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar: • Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0 , I(0) = I0 e R(0) = 0 . • Ou seja, temos um certo núero de infectados (I0 ) e de susceptíiveis (S0 ). • Dados r, a, S0 e I0 , queremos saber se haverá ou não uma epidemia.
  • 69. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo I R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações Vegetação em regiões teremos: Semi-áridas Regiões semi-áridas e d(S + I + R) áridas = 0⇒S + I + R = N Modelo Histerese dt Glóris e Misérias onde N é a população total, constante. • Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar: • Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0 , I(0) = I0 e R(0) = 0 . • Ou seja, temos um certo núero de infectados (I0 ) e de susceptíiveis (S0 ). • Dados r, a, S0 e I0 , queremos saber se haverá ou não uma epidemia. Ou seja, se I(t) > I0 para algum tempo t.
  • 70. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo I R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações Vegetação em regiões teremos: Semi-áridas Regiões semi-áridas e d(S + I + R) áridas = 0⇒S + I + R = N Modelo Histerese dt Glóris e Misérias onde N é a população total, constante. • Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar: • Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0 , I(0) = I0 e R(0) = 0 . • Ou seja, temos um certo núero de infectados (I0 ) e de susceptíiveis (S0 ). • Dados r, a, S0 e I0 , queremos saber se haverá ou não uma epidemia. Ou seja, se I(t) > I0 para algum tempo t.
  • 71. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo II R.A. Kraenkel dS dI dR dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 72. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo II R.A. Kraenkel dS dI dR dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Epidemias Histórias... Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0: Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 73. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo II R.A. Kraenkel dS dI dR dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Epidemias Histórias... Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0: Glórias e Misérias » – Vegetação em dI regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a) Semi-áridas dt 0 Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 74. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo II R.A. Kraenkel dS dI dR dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Epidemias Histórias... Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0: Glórias e Misérias » – Vegetação em dI regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a) Semi-áridas dt 0 Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese • Se S0 < a/r então Glóris e Misérias
  • 75. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo II R.A. Kraenkel dS dI dR dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Epidemias Histórias... Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0: Glórias e Misérias » – Vegetação em dI regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a) Semi-áridas dt 0 Regiões semi-áridas e áridas • Se S0 < a/r então Modelo ˆ dI ˜ Histerese dt 0 < 0. Glóris e Misérias
  • 76. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo II R.A. Kraenkel dS dI dR dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Epidemias Histórias... Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0: Glórias e Misérias » – Vegetação em dI regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a) Semi-áridas dt 0 Regiões semi-áridas e áridas • Se S0 < a/r então Modelo ˆ dI ˜ Histerese dt 0 < 0. Glóris e Misérias • Se S0 > a/r então
  • 77. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo II R.A. Kraenkel dS dI dR dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Epidemias Histórias... Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0: Glórias e Misérias » – Vegetação em dI regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a) Semi-áridas dt 0 Regiões semi-áridas e áridas • Se S0 < a/r então Modelo ˆ dI ˜ Histerese dt 0 < 0. Glóris e Misérias • Se S0 > a/r então ˆ dI ˜ dt 0 >0
  • 78. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo II R.A. Kraenkel dS dI dR dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Epidemias Histórias... Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0: Glórias e Misérias » – Vegetação em dI regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a) Semi-áridas dt 0 Regiões semi-áridas e áridas • Se S0 < a/r então Modelo ˆ dI ˜ Histerese dt 0 < 0. Glóris e Misérias • Se S0 > a/r então ˆ dI ˜ dt 0 > 0 (Epidemia!)
  • 79. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo II R.A. Kraenkel dS dI dR dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Epidemias Histórias... Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0: Glórias e Misérias » – Vegetação em dI regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a) Semi-áridas dt 0 Regiões semi-áridas e áridas • Se S0 < a/r então Modelo ˆ dI ˜ Histerese dt 0 < 0. Glóris e Misérias • Se S0 > a/r então dI 0 > 0 (Epidemia!) ˆ ˜ dt • Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0.
  • 80. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo II R.A. Kraenkel dS dI dR dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Epidemias Histórias... Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0: Glórias e Misérias » – Vegetação em dI regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a) Semi-áridas dt 0 Regiões semi-áridas e áridas • Se S0 < a/r então Modelo ˆ dI ˜ Histerese dt 0 < 0. Glóris e Misérias • Se S0 > a/r então dI 0 > 0 (Epidemia!) ˆ ˜ dt • Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0. • Assim, se S0 < a/r
  • 81. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo II R.A. Kraenkel dS dI dR dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Epidemias Histórias... Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0: Glórias e Misérias » – Vegetação em dI regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a) Semi-áridas dt 0 Regiões semi-áridas e áridas • Se S0 < a/r então Modelo ˆ dI ˜ Histerese dt 0 < 0. Glóris e Misérias • Se S0 > a/r então dI 0 > 0 (Epidemia!) ˆ ˜ dt • Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0. • Assim, se S0 < a/r então S(t) < a/r para todo t
  • 82. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo II R.A. Kraenkel dS dI dR dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Epidemias Histórias... Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0: Glórias e Misérias » – Vegetação em dI regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a) Semi-áridas dt 0 Regiões semi-áridas e áridas • Se S0 < a/r então Modelo ˆ dI ˜ Histerese dt 0 < 0. Glóris e Misérias • Se S0 > a/r então dI 0 > 0 (Epidemia!) ˆ ˜ dt • Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0. • Assim, se S0 < a/r então S(t) < a/r para todo t dI = −rSI − aI = I(rS − a) < 0 dt
  • 83. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo II R.A. Kraenkel dS dI dR dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Epidemias Histórias... Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0: Glórias e Misérias » – Vegetação em dI regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a) Semi-áridas dt 0 Regiões semi-áridas e áridas • Se S0 < a/r então Modelo ˆ dI ˜ Histerese dt 0 < 0. Glóris e Misérias • Se S0 > a/r então dI 0 > 0 (Epidemia!) ˆ ˜ dt • Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0. • Assim, se S0 < a/r então S(t) < a/r para todo t dI = −rSI − aI = I(rS − a) < 0 dt e portanto I(t) < I0 e não há epidemia.
  • 84. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo II R.A. Kraenkel dS dI dR dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Epidemias Histórias... Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0: Glórias e Misérias » – Vegetação em dI regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a) Semi-áridas dt 0 Regiões semi-áridas e áridas • Se S0 < a/r então Modelo ˆ dI ˜ Histerese dt 0 < 0. Glóris e Misérias • Se S0 > a/r então dI 0 > 0 (Epidemia!) ˆ ˜ dt • Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0. • Assim, se S0 < a/r então S(t) < a/r para todo t dI = −rSI − aI = I(rS − a) < 0 dt e portanto I(t) < I0 e não há epidemia. • Se S0 > a/r haverá epidemia ( pois dI 0 > 0). ˆ ˜ dt