1. Exercícios Mat A – Geometria

17. 1. Considere, num referencial o.n. 𝑶𝒙𝒚𝒛 do espaço, os pontos A(1, –1,2), B(2, –3,4 )e C(–1,2, –2).
1.1. Mostre que os pontos A, B e C definem um plano.
1.2. Mostre que a reta r , de equação vetorial (𝑥, 𝑦, 𝑧)=(2,1,–3)+ k(2,0,–1),k∈IR, é perpendicular ao plano
ABC.
1.3. Determine uma equação cartesiana do plano ABC.
1.4. Indique dois pontos pertencentes ao plano ABC, diferentes de A, de B e de C.
1.5. Indique um vetor de norma 3 que seja normal ao plano ABC.
2. Determine uma equação cartesiana do plano que passa pelo ponto (–2, 1, 3) e é normal ao vetor 𝒖
⃗
⃗ de
coordenadas:
a) (1, − 1, 4) b)(2,0, 1) c)(0,1, 2)
3. Determine uma equação do planoABC em que, num determinado referencial o.n. 𝑶𝒙𝒚𝒛, os pontos A, B
e C têm coordenadas, respetivamente, (1,3,2),(–2, –1,4)e(0,2, –1).

18. 4. No referencial o.n. 𝑶𝒙𝒚𝒛 da figura, está representado um prisma quadrangular regular reto, em que um
dos seus vértices é a origem do referencial e as suas faces são paralelas aos planos coordenados. O
vértice B tem coordenadas (4, 4, 6).
4.1. Indique as coordenadas de K, ponto de interseção das diagonais
espaciais do prisma.
4.2. Determine (𝐾𝐸
⃗⃗⃗⃗⃗ ̂ 𝐾𝐹
⃗⃗⃗⃗⃗ )
4.3. Determine uma equação cartesiana do plano DEF.
4.4. Considere a reta r perpendicular ao plano DEF e que passa no ponto K.
Determine:
a) uma equação vetorial da reta r.
4.5. as coordenadas dos pontos de interseção da reta r com as faces do prisma. Considere o plano 𝛃,
paralelo ao plano DEF e que contém o ponto B. Determine:
a) uma equação cartesiana de β
b) as coordenadas do ponto de interseção de β com o eixo 𝑂𝑧.
5. Considere, num referencial o.n. 𝑶𝒙𝒚𝒛, os pontos A, B e C, de coordenadas (6, 0, 0), (0, 4, 0) e (2, 2, 4),
respetivamente, e as retas AC e BC.
5.1. Justifique que as retas AC e BC são complanares.
5.2. Mostre que o plano definido pelas retas AC e BC admite como equação 4𝑥 + 6𝑦 + 𝑧 = 24.
5.3. Calcule o volume da pirâmide [OABC].
6. Na figura estão representados, em referencial o.n. 𝑶𝒙𝒚𝒛, a superfície
esférica definida pela equação (𝐱 − 𝟐)𝟐 + (𝐲 − 𝟏)𝟐 + (𝐳 − 𝟏)𝟐 = 𝟒 e o plano tangente à superfície
esférica no ponto
A(1,0,z), z∈IR.
6.1. Determine a cota do ponto A, sabendo que esta é superior à do centro da superfície esférica.
6.2. Escreva uma equação do plano tangente à
superfície esférica no ponto A.

19. 7. Na figura está representado, em referencial o.n. 𝑶𝒙𝒚𝒛, com unidade medida em centímetros, o prisma
quadrangular regular [ABCDEFGH].
Sabe-se que:
 o plano ABC é definido por 𝟐𝒙 − 𝟐𝒚− 𝒛 = 𝟖;
 a face [ABCD] tem de área 8 cm2
;
 A tem coordenadas (1, –3, 0);
 H tem coordenadas (–1, 3, 2);
7.1. Defina por meio de uma equação cartesiana o plano EFG.
7.2. Determine as coordenadas do ponto de interseção do plano
EFG com o eixo 𝑂𝑦.
7.3. Escreva uma condição que defina a reta r, perpendicular ao
plano EFG e que passa no ponto de coordenadas (–1, 3, 0).
7.4. Defina por meio de uma condição o plano CDF.
7.5. Mostre que a reta r é paralela ao plano CDF.
7.6. Determine as coordenadas do ponto, K, de interseção do plano CDF com o eixo 𝑂𝑧.
7.7. Determine as coordenadas do ponto, I, de interseção das diagonais espaciais do prisma.
7.8. Determine a razão entre o volume da pirâmide [ABHEI] e o volume do prisma.
8. Na figura está representado, em referencial o.n. 𝑶𝒙𝒚𝒛, um
cone de revolução.
Sabe-se que:
 o vértice V tem coordenadas (4, 2, 3);
 o plano da base do cone, α, é definido pela equação 𝒙 + 𝒛 = 𝟑;
 C é o centro da base do cone.
8.1. Escreva um sistema de equações paramétricas do
plano α.
8.2. Escreva uma equação cartesiana do plano paralelo a α
e que passa no vértice V.
8.3. Determine o volume do cone, sabendo que o raio da base é 1.
9. O plano  que contém o ponto A( ; ; )
1 0 2
 e é perpendicular à intersecção dos planos : 2 1
x y
  e
: x z
 
2 3 tem equação:
[A] 2 0
x y z
   [ B] x y z
  
2 5
[C] 2 4 0
x y z
   [D] x y z
  
2 2

20. 10. Se o vetor

u é perpendicular aos vetores

v  ( ; ; )
10 2 e

w   
( ; ; )
2 3 1 , então

u pertence à família de
vetores definida por:
[A] (a ; 3a ; -2a), com a  0 [B] (2a ; a ; -a), com a  0
[C] (a ; -1 ; 0), com a R [D] nenhuma das soluções anteriores.
11. Considere num referencial o.n. do espaço, os pontos A(0;0;1), B(5;0;2) e C(3;1;-3). Qual das
afirmações seguintes é verdadeira?
[A] Os pontos A, B e C são colineares.
[B] O ponto (1;2;3) pertence à reta definida por B e C.
[C] O ângulo formado pelos vetores AC e BC é agudo.
[D] Os vetores AC e BC são perpendiculares.
12. Sendo 8
3
2
: 

 z
y
x
 e 



 k
k
z
y
x
r ),
1
;
1
;
1
.(
)
2
;
2
;
2
(
)
;
;
(
: as equações de um plano e de
uma reta, respetivamente, podemos afirmar que:
[A]  e r são estritamente paralelos. [B] 

r
[C]  e r são perpendiculares. [D] r intersecta  em apenas um ponto.
13. Na figura estão representados os planos 1
: 

 z
y
x
 , 10
: 

 z
y
x
 e
0
3
2
: 


 z
y
x
 . Então, no espaço, o sistema















0
3
2
10
1
z
y
x
z
y
x
z
y
x
define:
[A] um ponto [B] duas reto estritamente paralelo
[C] uma reta [D] o conjunto vazio
14. Sendo 2
3
2
: 

 z
y
x
 e  
: , , (2, 1,1) ( 3,2,0),
r x y z k k
     as equações de um plano e de
uma reta, respetivamente, podemos afirmar que a reta, relativamente ao plano é
[A] aposta.
[B] estritamente paralela.
[C] perpendicular.
[D] secante não perpendicular
15. Num referencial o.n. Oxyz, considere os pontos (0;0;4)
P e (0;4;0)
Q .
Qual dos seguintes pontos pertence ao plano mediador do segmento de reta [PQ]?
[A] (1;0;0)
A [B] (1;2;0)
B [C] (2;1;0)
C [D] (1;0;2)
D

21. 16. Considera, num referencial o.n. Oxyz, um plano α , de equação 2 2
x y z
   . Seja β o plano que é
paralelo a α e que contém o ponto (0;1; 2) .
Qual das condições seguintes é uma equação do pano β ?
[A] 2 1
x y z
   [B] 2
x z
 
[C] 2 0
x y z
    [D] 1
x y z
  
17. Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um paralelepípedo retângulo.
O vértice O é a origem do referencial.
O vértice P pertence ao eixo Ox.
O vértice R pertence ao eixo Oy.
O vértice S pertence ao eixo Oz.
O vértice U tem coordenadas (2; 4; 2) .
Seja r a reta de equação ( ; ; ) (2;0;2) (0;0;1) ,
x y z k k IR
   .
Qual é o ponto de intersecção da reta r com o plano OUV.
[A] O ponto P [B] O ponto T [C] O ponto U [D] O ponto V
18. A intersecção do plano  com o 1º octante de um referencial o. n. Oxyz é o triângulo ABC
representado na figura.
18.1.Verifique se o ponto T( ; ; )
35 3
 pertence ao
plano , paralelo a  e que contém o ponto P( ; ; )
 
1 11 .
18.2.Determine o ponto simétrico de M( ; ; )
0 3 9

relativamente a .
19. Defina por uma condição o conjunto dos pontos P (x;y;z) cujas distâncias a O não são inferiores a 2
nem superiores a 3. Desses pontos, identifique o lugar geométrico dos que pertencem ao plano x = 0.
20. Relativamente a um referencial o. n. do espaço  
O i j k
;( , , )
  
, conhecem-se os pontos A( ; ; )
115 ,
B( ; ; )
3 14
 e C( ; ; )
12 5 .
20.1.Determine, pelas suas coordenadas, o vetor colinear com AB , de sentido oposto e de norma 6.
20.2.Determine uma equação cartesiana do plano ortogonal a AB que contém o ponto C.
20.3.Prove que os pontos A, B e C definem um plano e determine uma equação cartesiana desse plano.
20.4.Determine o seno do ângulo das retas AB e BC.
3
2
1
z
x
y
C
B
A

22. 21. A figura representa, no referencial o. n. O x y z, um paralelepípedo em que as bases são losangos. Os
pontos 21. A( ; ; )
3 0 0 , B( ; ; )
0 2 0 , C , D( ; ; )
3 0 8 e E são vértices do
paralelepípedo.
4.1. Determine as coordenadas dos pontos C e E.
4.2. Mostre que 2 3 6 0
x y
   define o plano ABC.
4.3. Escreva uma equação do plano da face oposta à face ABCD.
4.4. Determine uma equação da reta AC.
4.5. Considere afamíliade planosdefinidospor
0 5 2
, ,
k x ky x com k
   .
Determine para que valores de k se obtêm planos desta família
perpendiculares ao plano ABC.
22. Considera, num referencial o.n. Oxyz, um cilindro de revolução como o representado na figura junta.
A base inferior do cilindro tem centro na origem O do referencial e está contida no plano xOy.
[BC] é um diâmetro da base inferior, contido no eixo Oy. O ponto C tem coordenadas (0; 5;0)
 .
O ponto A pertence à circunferência que limita a base inferior do cilindro e tem
coordenadas (4;3;0) .
A reta r passa no ponto B e é paralela ao eixo Oz.
O ponto D pertence à reta r e à circunferência que limita a base superior do cilindro.
22.1. Justifica que a reta AC é perpendicular à reta AB.
22.2. Escreve uma equação vetorial da reta r.
22.3. Justifica que AC é um vetor perpendicular ao plano ABD. Determina uma
equação desse plano.
22.4. Designando por α a amplitude, em radianos, do ângulo BOD, mostra que o volume do cilindro é dado
por   125
V tg
  
 , com 0;
2


 
 
 
.
C
z
y
x
B
A
D
E

23. 23. Na figura abaixo está representada em referencial o.n. Oxyz, uma pirâmide quadrangular regular.
O vértice O é a origem do referencial.
O vértice P pertence ao eixo Oz.
O vértice R pertence ao plano xOy.
O vértice V tem coordenadas ( 2;11;5)
 .
Uma equação da reta que contém a altura da pirâmide é
( ; ; ) (7; 1;5) (6; 8;0) ,
x y z k k IR
    
23.1. Mostra que a base da pirâmide está contida no plano de equação 3 4 0
x y
  .
23.2. Justifica que o centro da base da pirâmide é o ponto de coordenadas (4;3;5).
23.3. Determina o volume da pirâmide.
24. Sendo u e v vetores tais que 3
u  e 4
v  e  
5
;
6
ˆ
u v

  .
Determine o valor de    
3 12
u v
 
25. Na figuraestárepresentado,emreferencial o.n. Oxyz, um cone de revolução.
Sabe-se que:
- A base do cone está contida no plano xOy e tem o seu centro na origem do
referencial;
- [AC] e [BD] são diâmetros da base;
- O ponto A pertence ao semieixo positivo Ox;
- O ponto B pertence ao semieixo positivo Oy;
- O vértice V pertence ao semieixo positivo Oz.
25.1. Sabendo que uma equação do plano ABV é 4 4 3 12
x y z
   , mostra que o comprimento do raio
da base é 3 e a altura do cone é 4.
25.2. Determina uma condição que defina a esfera cujo centro é o ponto V cuja intersecção com o plano
xOy é a base do cone.
25.3. Designando por α a amplitude do anglo BVD, determina o valor de sen  .

24. 26. Na figuraestárepresentadaumacaixacoma formade prismahexagonal regular.
Em relação a um determinado referencial o.n. Oxyz, sabe-se que:
 o plano ABC é definido pela equação 3 2 5 7 0
x y z
    ;
 o vértice G tem coordenadas  
1, 4, 3
 ;
 a medida da área do hexágono [ABCDEF] é 80.
26.1. Escreva umaequação reduzida do plano que contém a base do prisma que contém o ponto G.
26.2. Determine o volume do prisma, começando por determinar as coordenadas do ponto F. Apresenta o
resultado arredondado às décimas.
27. Num referencial o.n. do espaço as equações 𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 + 3 = 0 e 2𝑥 + 5𝑦 + 1𝑧 + 2 = 0,
definem:
(A) duas retasperpendiculares. (B) doisplanosperpendiculares.
(C) o mesmoplano. (D) doisplanosestritamenteparalelos.
28. Fixadoumreferencial ortonormadonoespaço,considere ocilindrode revoluçãorepresentadonafigura. Admita
que:
 uma das basesdocilindroestácontidanoplano 𝐴𝐵𝐶e este é definido por 𝑦 − 𝑧 =
0;
 [𝐴𝐶]é um diâmetro dessa base;
 o ponto 𝐴 tem coordenadas (1,√2, √2);
 o ponto 𝐵 pertence à circunferência que limita essa base do cilindro e tem
coordenadas
(1 + √2, 1,1);
 [𝐶𝐷] é uma geratriz do cilindro.
28.1. Determine uma equação cartesiana do plano 𝐵𝐶𝐷.
28.2. Sabendo que a outra base do cilindro está contida no plano de equação 𝑦 − 𝑧 + 6 = 0, determine a altura
do cilindro.