Função trigonometrica

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Função trigonometrica

  1. 1. Circunferência trigonométrica<br /><ul><li>  É uma circunferência de orientada de raio unitário (r = 1), cujo centro coincide com a origem de um sistema cartesiano ortogonal. </li></li></ul><li>Mas para isso devemos juntar a essa estrutura as seguintes convenções.<br /> De forma que poderemos definir como circunferência trigonométrica. <br />1) O ponto A (1, 0) é a origem de todos os arcos a serem medidos na circunferência. 2) Caso um arco for medido no sentido horário, então a essa medida será atribuído o sinal negativo ( - ). 3) Caso um arco for medido no sentido anti-horário, então a essa medida será atribuído o sinal positivo ( + ). 4) Os eixos coordenados dividem o plano cartesiano em quatro regiões denominadas quadrantes; esses quadrantes são contados no sentido anti-horário, a partir do ponto A. <br />
  2. 2. <ul><li>Arcos Côngruos Dois arcos trigonométricos são côngruos quando têm a mesma origem e mesma extremidade. Exemplo:Levando-se em conta a circunferência trigonométrica a seguir:  </li></ul>Partindo do ponto A e girando duas voltas completas no sentido anti-horário, associamos as seguintes medidas aos pontos A, B, A’, B’:   <br />
  3. 3.
  4. 4. Simetria em relação ao eixo OX<br /> Em uma circunferência trigonométrica, se M é um ponto no primeiro quadrante e M' o simétrico de M em relação ao eixo OX, estes pontos M e M' possuem a mesma abscissa e as ordenadas possuem sinais opostos.<br />Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulo correspondente ao arco AM', obtemos:<br />sen(a) = -sen(b)cos(a) = cos(b)tan(a) = -tan(b)<br />
  5. 5. Simetria em relação ao eixo OY <br /><ul><li>Seja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro quadrante, e seja M' simétrico a M em relação ao eixo OY, estes pontos M e M' possuem a mesma ordenada e as abscissa são simétricas.</li></ul>Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulo correspondente ao arco AM'. Desse modo:<br />sen(a) = sen(b)cos(a) = -cos(b)tan(a) = -tan(b)<br />
  6. 6. Simetria em relação à origem <br /><ul><li>Seja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro quadrante, e seja M' simétrico de M em relação a origem, estes pontos M e M' possuem ordenadas e abscissas simétricas.</li></ul>Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulo correspondente ao arco AM'. Desse modo:<br />sen(a) = -sen(b)cos(a) = -cos(b)tan(a) = tan(b)<br />
  7. 7. Senos e cossenos de alguns ângulos notáveis <br />Uma maneira de obter o valor do seno e cosseno de alguns ângulos que aparecem com muita frequência em exercícios e aplicações, sem necessidade de memorização, é através de simples observação no círculo trigonométrico.<br />
  8. 8. Função seno<br />Chamamos de função seno a função f: R -> R que a cada número real x, associa o seno desse número:   <br /> f: R -> R, f(x) = sen x<br />O domínio dessa função é R e a imagem é Im [ -1,1] ; visto que, na circunferência trigonométrica o raio é unitário e, pela definição do seno, –1 ≤ sen x ≤ 1, ou seja:<br />Domínio de f(x) = sen x; D(sen x) = R.<br />Imagem de f(x) = sen x; Im(sen x) = [ -1,1] .<br />Periodicidade: A função é periódica de período 2 . Para todo x em R e para todo k em Z.<br />
  9. 9. Sinal da Função: <br />Como seno x é a ordenada do ponto-extremidade do arco:<br />f(x) = sen x é positiva no 1° e 2° quadrantes (ordenada positiva) <br />f(x) = sen x é negativa no 3° e 4° quadrantes (ordenada negativa) <br />
  10. 10. Gráfico da função seno (senóide). <br />
  11. 11. Exemplos:<br />1) Esboçar o gráfico da função y = 2 senx.<br />
  12. 12. 2) Esboçar o gráfico da função y = 3+2sen x.<br />3) Esboçar o gráfico da função y = sen 2x.<br />4) Esboçar o gráfico da função y = sen (∏/2 – x).<br />
  13. 13. <ul><li>Através de alguns exemplos, mostramos a influência de cada coeficiente nas funções y = a + b.sen (cx + d), concluindo que:
  14. 14. o parâmetro c influencia no período da função que é calculado por ;
  15. 15. o parâmetro b é a amplitude da curva, ou seja, a altura da curva;
  16. 16. o parâmetro a é o responsável pelo deslocamento vertical da curva, enquanto que d provoca translação no sentido horizontal ;
  17. 17. a imagem é o intervalo [a - b , a + b] ;
  18. 18. se d = 0 , então o gráfico da função seno passa pelo ponto (0, a) , enquanto que a função cosseno passa pelo ponto (0, a + b) ou (0, a – b), dependendo do sinal do parâmetro b. </li></li></ul><li>Função cosseno<br />Sinais  da função<br />                       <br />Domínio: R<br />· Im(f) = [-1;1]<br />· A função é par: cosx = cos(-x)<br />· Crescente: 3o e 4o quadrante<br />· Decrescente: 1o e 2o quadrante<br />1Q: cosseno positivo<br />2Q: cosseno negativo<br />3Q: cosseno negativo<br />4Q: cosseno positivo<br />
  19. 19. http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/mundo_trigonometria/funcoes/cosseno/tela_02.html<br />
  20. 20. <ul><li>As alterações na  função cosseno ocorrem quando promovemos operações no valor de cosx antes ou após o cálculo do valor de cosseno. Assim temos:</li></ul> y = acosb (x + cp) + d<br /><ul><li>a = indica aumento na altura das ondas </li></ul>gladiolação, amplitude.<br /><ul><li>b = indica alteração no período da função.</li></ul>se b entre -1 e +1 - função aumenta período;<br />se b > 1 ou  b < -1 - período diminui<br />se b positivo -desenho normal; <br />se b negativo - gráfico rebate como espelho<br /><ul><li>c = provoca deslocamento horizontal da função. </li></ul>se c > 0 _ desloca para esquerda ;<br />se c < 0 _ desloca para a direita<br /><ul><li>d = provoca deslocamento vertical da função.</li></ul>se d > 0 - função sobe, se d < 0 - função desce<br />
  21. 21. Exemplos:<br /><ul><li>y = 2 cos x
  22. 22. y = 3 cos 2x
  23. 23. y = - 2cos x
  24. 24. y = -2 + 3cos x/2</li>

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