Gestão de armazém

1. Optimização da localização de armazéns de
redistribuição
José Luís Franco Caiado Tenório de Figueiredo
(Licenciado)
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre
em Engenharia e Gestão Industrial
Júri
Presidente: Professor Doutor Acácio Porta Nova
Orientador: Professora Doutora Ana Povoa
Vogal: Professora Doutora Mónica Oliveira
Dezembro 2007

2. 2
Agradecimentos
Com o final desta tese termina uma fabulosa fase da minha vida. Os últimos cinco foram
cheios de esforço e dedicação, mas também cheios de alegria e amizade.
Queria em primeiro lugar agradecer a todos os funcionários, professores, auxiliares e
outro pessoal do Instituto Superior Técnico. Sem eles teria sido impossível fazer todo este
caminho de aprendizagem não só académica mas também pessoal.
No âmbito desta tese queria agradecer à Engª Susana Relvas pela sua paciência, ao Dr.
Hilário Vieira por toda a simpatia e apoio e muito especialmente ao Professora Ana Povoa por
toda amizade, dedicação e competência.
Queria agradecer a todos os amigos e a toda a família, especialmente nas pessoas dos
meus pais e irmãos que sempre me apoiaram imensamente.
Por fim, agradeço a Deus Nosso Senhor a graça de tudo isto me ter dado e hoje puder
olhar para o caminho percorrido e sentir que o esforço valeu a pena.

3. 3
Resumo
Neste trabalho pretende-se desenvolver um modelo que optimize a localização de
armazéns, sendo estes postos intermediários entre a fábrica e o cliente. O trabalho surge na
sequência de uma proposta de um grupo papeleiro português no sentido de se optimizarem as
localizações dos seus portos e armazéns na zona da Europa Central, mais especificamente na
Bélgica, na Holanda, no Luxemburgo e na Alemanha.
Neste sentido é feita uma revisão bibliográfica onde se estuda o que de mais importante
foi escrito sobre o tema nas últimas décadas. Descreve-se também qual a formulação
matemática do modelo e faz-se a análise dos resultados produzidos pelo modelo.
Neste trabalho a partir de um conhecimento completo da situação e dos problemas
envolvidos constrói-se um modelo que cria uma solução óptima que minimiza os diversos custos
de transporte.
Palavras-chave – Localização de armazéns, optimização, transporte
Abstract
The objective of this work is to develop a model that optimizes the location of
warehouses. The warehouses are located between the factory and the client. This work is due to
a request by a pulp & paper portuguese group which aims to optimize the locations of their ports
and warehouses in the Central Europe area, more specifically in Belgium, Holland, Luxemburg
and Germany.
Having this in mind a review of the most important articles and works written in the past
decades is done. It is also described the model’s mathematical formulation. The analysis of
produced results is presented.
From a complete knowledge of the situation and of the existing problems an optimal
solution that minimizes the various transport costs is built.
Keywords – Warehouse location, optimization, transport

4. 4
Índice
1 – Introdução
1.1 - Caso de estudo 7
1.2 - Estrutura e metodologia proposta 9
2 - Descrição do problema
2.1 – Introdução 11
2.2 - Caracterização da operação 12
2.3 - Restrições à operação 15
2.4 - Definição dos objectivos 16
2.5 – Conclusão 18
3 - Revisão Bibliográfica
3.1 – Introdução 19
3.2 - “Facility Location” 20
3.3 – Localização de armazéns 22
3.4 - Métodos de resolução 23
3.4.1 - Métodos exactos 24
3.4.2 - Métodos heurísticos 26
3.4.3 - Métodos meta-heurísticos 27
3.5 – Conclusão 28
4 - Formulação matemática
4.1 – Introdução 30
4.2 – Modelo 30
4.3 - Implementação do Modelo (GAMS) 35
4.4 – MIP e CPLEX 36
5 - Aplicação do modelo
5.1 – Introdução 38
5.2 - Dados iniciais 38
5.3 – Tratamento de dados 41
5.4 - Dados finais 46
6 - Apresentação e discussão dos resultados
6.1 - Introdução 53
6.2 – Resultados 54
6.3 - Resumo e conclusões 68
6.4 – Estatísticas computacionais do modelo 70
7 – Conclusões e desenvolvimentos futuros 71
Bibliografia 72
Anexos

5. 5
Índice de figuras
Figura 1 - Mapa da localização actual de armazéns e portos 13
Figura 2 - Mapa da densidade de procura 43
Figura 3 - Curva de custo do transporte secundário em função da distância 46
Figura 2 - Mapa da densidade de procura 55
Figura 4 - Rotas actuais de transporte secundário 56
Figura 5 - Custos para as localizações actuais com procura de 2006 57
Figura 6 - Localizações de armazéns e portos e rotas de transporte secundário
propostos pelo o modelo para a procura de 2006 58
Figura 7 - Custos para as localizações propostas pelo o modelo com procura de 2006 59
Figura 8 - Comparação de custos entre as localizações propostas pelo o modelo e as
actuais para a procura de 2006 59
Figura 9 - Custos para as localizações actuais com procura de 2008 61
Figura 10 - Localizações de armazéns e portos e rotas de transporte secundário
propostos pelo o modelo para a procura de 2008 62
Figura 11 - Custos para as localizações propostas pelo o modelo com procura de
2008 63
Figura 12 - Comparação de custos entre as localizações propostas pelo o modelo e
as actuais para a procura de 2008 63
Figura 13 - Custos para as localizações actuais com procura de 2010 65
Figura 14 - Localizações de armazéns e portos e rotas de transporte secundário
propostos pelo o modelo para a procura de 2010 66
Figura 15 - Custos para as localizações propostas pelo o modelo para a procura de
2010 67
Figura 16 - Comparação de custos entre as localizações propostas pelo o modelo e
as actuais para a procura de 2010 68
Figura 17 - Poupanças para os diferentes custos ao longo dos anos 69

6. 6
Índice de tabelas
Tabela 1 - Previsão do aumento da procura nos vários países para 2010 12
Tabela 2 - Distribuição da procura nos vários países 14
Tabela 3 – Utilização actual dos armazéns e portos 38
Tabela 4 - Custo do transporte rodoviário para os armazéns e portos utilizados
em 2006 40
Tabela 5 - Custo do transporte rodoviário para os diversos portos 40
Tabela 6 - Custo do transporte secundário para as rotas actuais 41
Tabela 7 - Custo do transporte primário rodoviário 45
Tabela 8 - Previsão do aumento da procura para 2008 59
Tabela 1 - Previsão do aumento da procura nos vários países para 2010 64
Tabela 9 - Tabela de resumo de custos e poupanças 69

7. 7
1. Introdução
1.1 – Caso de estudo
Esta tese debruça-se sobre um problema que nos foi apresentando por um grupo de
produção de papel português e que se caracteriza por ser um problema de localização de
armazéns para redistribuição.
No prazo de quatro anos este grupo vai instalar uma nova máquina de papel junto de
uma já existente. A instalação desta nova máquina está relacionada com a necessidade de se
fazer frente ao aumento de procura que se tem vindo a acentuar em diversos mercados, no que
diz respeito aos produtos deste grupo. Esta nova máquina vai aumentar em muito a produção de
papel, sendo assim e tendo em conta o tal aumento da procura conclui-se que as vendas deste
grupo vão aumentar substancialmente.
Um dos maiores mercados de vendas deste grupo é a Europa Central. Este trabalho vai
focar-se no mercado composto pela Bélgica, Holanda, Luxemburgo e Alemanha. Estes países
representam uma percentagem considerável das exportações desta papeleira.
Para o abastecimento de produtos nestes países actualmente utilizam-se dois meios de
transporte: os transportes rodoviários e marítimos. Transportes estes que respectivamente
entregam os produtos em armazéns e portos. Estas estruturas físicas estão localizadas numa
série de pontos estratégicos que tentam minimizar os custos quer do transporte primário (entre
Portugal e os armazéns e portos) quer do transporte secundário (entre os armazéns e portos e
os clientes).
Hoje em dia os armazéns e portos que este grupo papeleiro utiliza para abastecer estes
países estão localizados em três sítios diferentes: Moerdijk na Holanda, Frankfurt e Nuremberga
na Alemanha. Contudo este grupo está em crer que com o aumento das vendas nestes países,
que se espera acontecer nos próximos 4 anos, as actuais localizações dos armazéns precisam
de ser revistas. Teme-se que mesmo agora não estejam nas posições óptimas. Com o aumento
das vendas esta situação só se agravaria.
O objectivo deste trabalho é descobrir que localizações seriam óptimas para se
posicionarem os armazéns de modo a que os custos do transporte primário e secundário sejam
os mínimos. Para calcular estas localizações terãho que ser analisados todos os meios de

8. 8
transporte, os seus problemas, restrições e custos. Só integrando toda esta informação se
poderá chegar a uma conclusão realista e viável sobre o posicionamento destas infra-estruturas.
Este grupo de produção de papel exporta actualmente para Bélgica, Holanda,
Luxemburgo e Alemanha cerca de 131 000 toneladas de produtos por ano. Segundo as
previsões actuais os aumentos das vendas, nos próximos 4 anos, serão em alguns pontos de
mais de 50%. Todas estas vendas têm que passar em armazéns antes de serem redistribuídas
pelos diversos clientes espalhados pelas diversas cidades destes 4 países. Não será muito difícil
para quem quer que se detenha nestes números, identificar que a localização de um armazém é
absolutamente crucial para que os custos de transporte sejam os mínimos. Só se fala de custos
de transporte pois este grupo não tem quaisquer custos fixos com os armazéns que usa, por
razões que adiante se compreenderão.
Tendo em conta que Portugal está bastante afastado destes países, que a quantidade
de clientes neles existente é muito grande e que eles estão bastante dispersos na área destes
mesmos países, percebe-se que a localização destes armazéns é fundamental para o sucesso
deste grupo papeleiro nesta zona da Europa.
Uma má localização dos armazéns e portos envolvidos na operação de entrega ao
cliente resultaria em milhares de quilómetros percorridos desnecessariamente por centenas de
camiões e barcos transportando milhares de toneladas ao longo dos anos. Para além disto, a
falta de eficiência na entrega e a perda de qualidade no transporte poderiam ser outras
consequências da tentativa de se acelerar o processo com os armazéns em localizações longe
das posições óptimas.
1.2 – Estrutura e metodologia proposta
Esta tese vai ser organizada em sete capítulos: Introdução, Descrição do problema,
Revisão bibliográfica, Formulação matemática do modelo, Aplicação do modelo, Discussão e
análise dos resultados e Conclusões e desenvolvimentos futuros.
No primeiro capítulo, apresenta-se uma breve introdução ao trabalho, descrevendo
sumariamente o caso de estudo e a metodologia proposta para o trabalho.
No capitulo da descrição do problema será descrito pormenorizadamente o problema
que nos foi apresentado. Em primeiro lugar far-se-á uma análise da operação logística que
permite levar os produtos do grupo papeleiro à Europa Central, mencionando os meios de
transporte, as estruturas físicas utilizadas e as diversas restrições. Debruçar-nos-emos depois na
definição dos objectivos técnicos da execução deste trabalho.

9. 9
No capitulo seguinte teremos a revisão bibliográfica. Aqui tentaremos fazer em primeiro
lugar um resumo geral sobre o que se estudou nas ultimas décadas e anos sobre os diversos
problemas de localização. Seguidamente focaremos mais explicitamente os problemas da
localização de armazéns, analisando a evolução das soluções encontradas ao longo dos anos.
Os métodos de resolução dos modelos serão também estudados. Finalmente, concluiremos qual
o melhor tipo de modelo para ser construído e estudaremos de entre toda esta informação o que
é relevante neste caso.
A formulação matemática será apresentada no quarto capítulo. Neste curto capitulo
serão expostos e explicados, os conjuntos, os parâmetros, as variáveis, as restrições e a função
objectivo que definem o modelo. Apresentar-se-á também o programa onde se implementou o
modelo. Por fim, analisaremos que tipo de modelo é o proposto para que melhor possamos
decidir sobre que algoritmo de resolução do modelo usar.
A aplicação do modelo ao nosso caso de estudo, o problema da localização dos
armazéns na Bélgica, Holanda, Luxemburgo e Alemanha, será explicada no sexto capitulo. Aqui
faremos uma exposição sobre os dados que nos foram fornecidos e o seu tratamento. De
seguida, com base na formulação matemática explicaremos passo por passo toda a aplicação do
modelo ao caso em estudo.
Finalmente, no capítulo sete, apresentam-se as conclusões do trabalho e identificam-se
alguns pontos a explorar em desenvolvimentos futuros.

10. 10
2. Descrição do problema
2.1 - Introdução
A distribuição por parte de uma qualquer indústria, dos seus produtos, pelos clientes é
uma parte fundamental de todo o negócio. A distribuição deve ser avaliada essencialmente por
três parâmetros, a qualidade de serviço, a rapidez com que se consegue colocar o produto no
cliente e o custo desta entrega.
A qualidade e a rapidez da entrega determinam a confiança que os clientes depositam
na empresa. Dificilmente um cliente confiará numa empresa que repetidamente não cumpra os
prazos de entrega, que entregue produtos danificados ao longo do processo de transporte, ou
que troque as encomendas dos clientes. Por outro lado, assegurar que o transporte não só é
rápido como seguro, pode significar custos muito elevados para a empresa.
O transporte de papel começa na fábrica onde este é produzido. Tem como destino
centenas de locais espalhados por regiões muitas vezes, distantes do local de produção. Uma
grande fábrica de papel, produz centenas de milhares de toneladas por ano e milhares de
diferentes produtos. A cada cliente é entregue exactamente o produto solicitado, na quantidade
desejada e no prazo contratado.
Para além destas variáveis há ainda outra variável importante, o tempo, ao longo do
qual as quantidades requeridas por cada cliente e os custos associados aos meios de transporte
variam. Sendo assim, todas esta variáveis fazem com que a logística de distribuição seja
complexa.
No caso de uma papeleira em Portugal, os problemas são ainda agravados. Com
efeito o facto de o país se localizar num extremo da Europa faz com que o transporte para
muitos clientes obrigue a grande deslocações. Para se concorrer com outras empresas
localizadas mais próximas dos clientes tem que se ter, entre outras coisas, uma rede de
distribuição muito competitiva.
Optimizar uma rede extensa, exigente e muitas vezes com parâmetros muito variáveis
é uma tarefa complicadíssima. Desde de há algumas décadas que investigadores nos campos
da logística e investigação operacional se empenham a descobrir métodos de optimizar este tipo
de redes ao máximo. Vários métodos que foram já estudados serão passados em revista no
capítulo da revisão bibliográfica.

11. 11
48º49º50º51º52º53º54º55º
3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 12º 13º 14º
2.2 – Caracterização da operação
A operação que vai ser estudada e modelada diz respeito à entrega de produtos
produzidos em Portugal, no norte da Europa. Mais especificamente na Bélgica, Holanda,
Alemanha e Luxemburgo. Com montagem de uma nova máquina de produção de papel,
máquina esta que estará operacional dentro de quatro anos, a produção vai aumentar
consideravelmente. Prevê-se que acompanhando este aumento de produção a procura cresça
nos já referidos mercados do norte da Europa. Associado a este aumento da procura e da
produção, terá que existir também um aumento da capacidade de transporte entre as fábricas e
os clientes.
Prevê-se que o aumento da procura nos próximos quatro anos seja, no mercado acima
indicado, o seguinte:
Tabela 1 - Previsão do aumento da procura nos vários países para 2010
Bélgica 54 %
Holanda 18 %
Alemanha 56 %
Luxemburgo 56 %
Actualmente o grupo papeleiro em causa utiliza três armazéns (quadrados)/portos
(triângulos) localizados nos quatro países já referidos.
Fig. 1 - Mapa da localização actual de armazéns e portos

12. 12
Um dos armazéns situa-se no porto de Moerdijk na Holanda, os outros dois estão
localizados na Alemanha em Frankfurt e em Nuremberga. O grupo em causa admite que a
localização destes armazéns não seja óptima, especialmente tendo em conta o aumento da
procura que deve acontecer pois não reduz ao mínimo os custos de transporte entre Portugal e
estes mercados do norte da Europa.
O nosso trabalho concentrar-se-á em descobrir as localizações óptimas para os
armazéns utilizados na distribuição. Para isto teremos que estimar os diversos custos
envolvidos. Há essencialmente três tipos de custos que devem ser considerados: o custo do
transporte Portugal – armazém, o custo de utilizar o armazém e o custo do transporte armazém –
cliente. O nosso objectivo é a minimização global destes custos.
Para esta região o grupo em causa teve no ano de 2006 mais de 7000 encomendas
num total de 131 000 toneladas no conjunto de todos os seus produtos. A distribuição das
vendas por estes quatro países é a seguinte.
Tabela 2 - Distribuição da procura nos vários países
Para o transporte Portugal – armazéns podem-se utilizar meios rodoviários,
ferroviários ou marítimos. À partida põe-se de lado a hipótese ferroviária por não haver
transportadoras interessadas. Entre outras razões isto acontece por a bitola ibérica ser diferentes
da restante Europa. Resta portanto o transporte marítimo e o rodoviário como soluções a
ponderar.
Actualmente para o transporte rodoviário, este grupo papeleiro utiliza camiões que
vêm do centro, do norte ou leste Europeu com produtos importados. Ao regressarem aos seus
países de origem preferem ir carregados afim de rentabilizarem a viagem de regresso. Como a
nossa balança de comércio é deficitária, ou seja, importamos mais do que exportamos, há
Ton %
Bélgica 20018488 15.3
Alemanha 68884238 52.6
Holanda 41947141 32.0
Luxemburgo 208895 0.2

13. 13
bastante oferta de transporte para a Europa central. Isto faz com que os custos do transporte
rodoviário sejam reduzidos.
O transporte marítimo é feito em contentores. Utiliza-se o porto da Figueira da Foz
para o carregamento e um de cinco portos no norte da Europa (Bremen, Antuérpia, Hamburgo,
Moerdijk ou Roterdão) para a descarga. Apesar deste transporte ser relativamente barato,
demora mais tempo e necessita de uma maior quantidade disponível num determinado momento
para carregar vários contentores. Isto aumenta os custos de stock quer na fábrica quer no
armazém para além de dificultar a gestão dos stocks.
. Na rede de distribuição importa referir que os armazéns não são propriedade do grupo
nem esta pretende que o venham a ser, qualquer seja a localização proposta. Os armazéns são
geridos por outra entidade à qual se paga um determinado preço por tonelada de papel
armazenado. Logo não há custos fixos como uma renda ou uma amortização pela construção de
um destes armazéns.
Por fim, admite-se que o número de armazéns de que se dispõe actualmente não seja
o número óptimo. Por isso se estudará não só qual a melhor localização para os armazéns mas
também qual o seu número óptimo.
2.3 – Restrições à operação
Para a localização dos armazéns temos que ter em linha de conta os diferentes custos
do transporte. É também essencial que se analisem as diferentes restrições que estão inerentes
a esta operação e a condicionam.
A primeira grande restrição está relacionada com a localização dos armazéns. Como
adiante será devidamente explicado e justificado, são propostas, em toda a zona que abrange a
Bélgica, a Holanda o Luxemburgo e a Bélgica, algumas dezenas de localizações possíveis para
os armazéns. A partir destas localizações possíveis o programa parte para uma optimização. O
facto de existirem à partida localizações propostas limita as opções do programa. Estas
localizações estão numa zona definida pelos seguintes limites: os paralelos 47º 15’ N - 54º 15’ N
e os meridianos 3º 00’ E - 15º 00’ E.
Outra restrição é a existência de um mínimo de tonelagem que um armazém impõem
que seja manipulada por si. Isto é, para que seja rentável o seu relacionamento com um
determinado cliente, cada armazém, determina que esse cliente use o armazém um numero
mínimo de toneladas por ano. Abaixo deste valor o armazenista considera que não é

14. 14
interessante trabalhar com um determinado cliente. No nosso caso os armazéns impõem que
pelo menos 25 mil de toneladas por ano sejam manipuladas por cada um.
Tal como com os armazéns, o programa também só analisa, para possível utilização,
alguns portos propostos. Por sugestão do grupo papeleiro, neste trabalho apenas serão
considerados os portos de: Moerdijk, Antuérpia, Roterdão, Hamburgo e Bremen.
A obrigatoriedade de pelo menos um porto ser utilizado é também imposta, pois por
vezes existem limites pontuais na capacidade de transporte rodoviário (greves, estradas
bloqueadas, etc) e então é necessário recorrer-se ao transporte marítimo. Ora para que isso
possa acontecer com um mínimo de custos, é essencial que exista uma ligação a um
determinado porto.
Por último, as encomendas de todos os clientes têm que ser todas satisfeitas. Em
nenhuma situação o grupo põe a hipótese de uma determinada encomenda não ser satisfeita,
pelo menos no que toca ao contexto deste trabalho.
2.4 – Definição dos objectivos
Este trabalho define como grande objectivo a redução de custos no transporte,
mantendo-se a qualidade e a rapidez do serviço.
Os diferentes participantes nesta operação, têm diferentes interesses que permitem
traçar os seus objectivos. As várias entidades presentes são:
- O grupo papeleiro
- O transportador primário (Portugal – armazém)
- Os armazéns
- O transportador secundário (armazém – cliente)
O grupo papeleiro
Do ponto de vista do grupo, os objectivos para a entrega dos seus produtos aos
clientes em função das encomendas feitas são:
- Custos de transporte o mais baixo possível
- Custos de armazenamento o mais baixo possível

15. 15
- Qualidade do serviço
- Cumprimento dos prazos
Os custos de transporte são como foi já referido o somatório dos custos de transporte
primário (Portugal-armazém) com os custos de transporte secundário (armazém-cliente). Do
ponto de vista empresarial estes custos devem ser o mais reduzidos possível. Há que se fazer
aqui um balanço, por um lado quanto mais perto de Portugal estiverem os armazéns mais barato
será o transporte primário, mas por outro lado quanto mais perto os armazéns estiverem dos
clientes mais barato será o transporte secundário.
Quanto ao armazenamento, como foi já dito, para os preços serem razoáveis as
entidades gestoras dos armazéns impõem um mínimo de toneladas de armazenamento por ano.
Neste trabalho não se equacionará o tempo de stock em cada armazém e os seus custos.
Admite-se que cada tonelada que passa num armazém tem um determinado custo e esse custo
é sempre o mesmo.
A qualidade de serviço e o cumprimento de prazos são objectivos que não serão
avaliados no nosso modelo, cujo o único objectivo é determinar a localização óptima dos
armazéns.
O transporte primário
Como já foi dito as empresas de transporte primário tem como objectivo aproveitar o
melhor possível os seus meios de transporte. Por isso a o grupo papeleiro em causa utiliza
camiões de importação para que aproveitem a viagem de volta para os seus países de origem.
Como a oferta de transporte neste tipo de situação é grande os custos tornam-se mais
reduzidos.
Os armazéns
Os armazéns têm como objectivo a melhor taxa de utilização possível. Por isso
impõem aos seus clientes um mínimo de utilização anual. No nosso caso a generalidade dos
armazéns impõem 25 mil de toneladas anuais como mínimo.
O transporte secundário
O transporte secundário tem como objectivo uma boa taxa de utilização. Para isto os
armazéns têm que estar bem colocados em relação aos clientes de maneira tal que se possam

16. 16
construir percursos de entrega rápidos e eficientes. Este trabalho não se debruçará sobre a
questão do planeamento de rotas, tentando apenas minimizar a distância armazém-cliente.
2.5 – Conclusão
Neste capítulo, em primeiro lugar, caracterizamos a operação , explicando a situação
actual e definindo as linhas de análise do problema. Seguidamente apresentaram-se as
restrições a operação. Por fim, avaliou-se os vários objectivos das diversas entidades que
participam nesta operação de modo a se compreender melhor a situação.
No próximo capítulo faremos a revisão bibliográfica, onde serão passadas em revista
uma boa parte dos artigos e trabalhos que foram publicados. O objectivo deste capítulo é a partir
do que já foi escrito por diversos investigadores tentar perceber qual a melhor via para a
resolução deste problema.

17. 17
3. Revisão bibliográfica
3.1- Introdução
A localização de fábricas, armazéns ou pontos de venda é um ponto crítico na estrutura
de muitas empresas, que deste modo são obrigadas a ter uma rede de distribuição alargada.
Muito depende da eficiência da rede logística de entrega do produto ao cliente. Hoje em dia, há
cada vez mais, uma maior pressão sobre estas estruturas. Tal deve-se à exigência do
consumidor no que toca à eficiência e rapidez da entrega.
Na maior parte das vezes, há grandes custos, envolvidos na distribuição de um
determinado produto, custos estes, que importa diminuir e rentabilizar ao máximo. O grande
desafio é tentar poupar, sem perder rapidez e sem perder qualidade.
A localização de uma determinada fábrica ou armazém, determina qual será a distância
a percorrer para se chegar ao cliente, e consequentemente quais serão os custos de transporte.
Nos casos em que há milhares de clientes não é simples minimizar as distâncias dos armazéns
a todos eles, e ao mesmo tempo, minimizar também a distância dos armazéns à fábrica.
Para além disso, a implementação de uma rede logística por ser algo, na maior parte
das vezes, muito complexo, comporta custos muito elevados. Devem por isto evitar-se
alterações frequentes na sua configuração, especialmente no que toca à localização das suas
estruturas físicas. Para que estas alterações aconteçam o menor número de vezes, devem fazer-
se previsões exaustivas ao nível da alteração de procura nas diferentes localizações de
abastecimento.
Diversos investigadores há já alguns anos, estudam modelos e algoritmos para tentar
optimizar ao máximo a localização destas estruturas físicas.
Pelo o facto de muitas vezes existirem centenas ou milhares de clientes, é difícil chegar
a resultados óptimos. Acresce ainda outra dificuldade, os pressupostos em que os modelos
assentam estão em constante mutação, o que conduz a cenários sempre diferentes. Até há
pouco tempo, os problemas que se conseguiam resolver eram estáticos ou determinísticos. Não
se consideravam as alterações existentes na procura, fossem elas meras flutuações ou
evoluções de carácter mais definitivo. A programação dinâmica e estocástica, tem surgido na
última década de uma forma mais consistente, permitindo que os modelos sejam mais realistas e
abarquem um horizonte mais alargado.

18. 18
Na revisão do que foi escrito sobre este tema, vamos começar por fazer uma
aproximação generalista ao problema da “facility location ” evoluindo depois para a questão mais
concreta da “warehouse location”, que é o objecto deste trabalho.
3.2 - “Facility Location”
A localização de fábricas, armazéns ou outras estruturas físicas, dá origem a um
conjunto de problemas. A questão é, onde localizar as diferentes estruturas, em função de uma
carteira de clientes, de modo a que o custo de ligar as estruturas aos diversos clientes seja o
mínimo possível. Para isto deve-se ter em linha conta, que existem para além dos custos de
transporte os custos de construção e/ou de aluguer das instalações.
Weber (1909) iniciou a investigação sobre este tema quando desenvolveu o primeiro
modelo de localização de uma única fábrica. Este modelo apenas minimizava a distância
percorrida entre a fábrica e os vários clientes distribuídos numa determinada área.
Contudo, só quase quatro décadas mais tarde é que os investigadores se voltaram a
debruçar seriamente sobre os problemas de localização. Alguns exemplos são: a localização de
quartéis de bombeiros (Valinsky 1955), de centrais de lixo (Wersan et al. 1962), e de fábricas
(Burstall et al. 1962), entre outros.
O problema conhecido como SPLP (Simple Plant Location Problem), foi formulado por
Kuehn and Hamburger (1963). Este modelo utiliza uma heurística que tem como inputs a
localização dos clientes e os diversos locais possíveis para a implantação da fábrica. Nele,
procuram-se minimizar os custos de transporte entre a fábrica e os clientes e o custo de
construção. Isto faz com que o modelo só indique a construção de uma nova fábrica, no caso do
transporte para um determinado conjunto de clientes ser tão caro, que se justifica construir uma
fábrica junto desses clientes. Como restrições o modelo tem o facto, de obrigar a que todos os
clientes sejam satisfeitos e que cada cliente o seja, recorrendo apenas a uma fábrica.
Soland (1974), analisa a localização de armazéns ou fábricas com custos de operação e
transporte que seguem uma função côncava. Este modelo tem uma resolução exacta.
Um algoritmo exacto branch-and-bound é desenvolvido por Soland (1974) para resolver
o problema de Facility Location with Concave Costs. Este artigo cria um modelo que localiza
zonas óptimas para o posicionamento de fábricas, admitindo que os custos de operação e
construção se definem por uma função côncava.

19. 19
A localização óptima de estruturas físicas em redes é considerado também por Kariv e
Hakimi (1979). A localização é equacionada minimizando-se a soma das distâncias e também as
distâncias máximas das estruturas aos pontos da rede.
Chvatal (1979), formula uma heurística Greedy. Esta heurística é depois utilizada por
Guha and Kuller (1998) alguns anos mais tarde, para resolver o problema UFLP (Uncapacitated
Facility Location Problem), o que implica uma optimização quer dos custos de serviço ao cliente
quer dos custos implantação da estrutura. Sultan and Fazan (1986) utilizam a meta-heurística
tabu search para resolver também o problema UFLP.
Para se resolver o problema SPLP, Goldengorin, Ghosh e Sierksma (2003) voltam a
utilizar o algoritmo branch-and-bound baseado num dual ascend method, tendo obtido resultados
surpreendentes.
O caso do problema CFLP (Capacitated Facility Location Problem), muito semelhante
no geral ao problema UFLP, tem a especificidade de ter as capacidades limitadas. Este
problema oferece grandes dificuldades para o cálculo da sua solução em situações reais. A
maioria dos modelos para este problema foram solucionados com base em algoritmos de
relaxação lagrangeana exemplos de isto são os trabalhos executados por Holmberg et al. (1999)
e Díaz and Fernandez (2001). Para estes modelos também se desenvolveram algoritmos de
decomposição primal e primal–dual como por exemplo Wentges (1996). Com Chudak e
Williamson (2004) desenvolve-se uma heurística de procura local que simplificando um algoritmo
lançado por Korupolu, Plaxton, and Rajaraman (2000) consegue soluções mais próximas do
óptimo em menos tempo.
Outro problema que a certa altura apareceu foi o Connected Facility Location Problem,
neste problema a modelação é feita por um grafo. Swamy e Kumar (2004) utilizam um algoritmo
primal-dual para resolver este problema. Utilizaram depois o mesmo algoritmo para resolver
outros problemas.
3.3 – Localização de armazéns
Facilmente se percebe que a localização de fábricas, pontos de vendas, armazéns ou
outras estruturas físicas tem muito de semelhante. Em todos os casos a localização óptima
implica minimizar os custos do transporte, quer sejam a montante ou a jusante da estrutura,
minimizando-se ao mesmo tempo o custo de construção ou aluguer da mesma. Devido a esta
proximidade, a investigação sobre a localização de armazéns está intimamente ligada com as
investigações que acima se referiram, e que não sendo objectivamente sobre a localização de

20. 20
armazéns, nos dão informações preciosas sobre como desenvolver os modelos para a resolução
este problema.
Como já foi referido, Weber (1909), publicou um trabalho denominado Theory of the
Location of Industries. Trabalho este que lançou as bases para o estudo deste problema. Só
algumas décadas depois surge um novo artigo por Baumol and Wolfe (1958), que desenvolve
um modelo para determinar as localizações óptimas de vários armazéns. Este modelo utiliza um
algoritmo exacto, chegando portanto a uma solução óptima.
Kuehn e Hamburguer (1963), criam uma heurística para a colocação espacial de
armazéns em grande escala. Este modelo apresenta muitas vantagens em relação aos modelos
até então desenvolvidos, essencialmente algoritmos baseados em programação linear e
optimização.
Khumawala (1972) desenvolve um modelo matemático que resolve através do método
exacto branch-and-bound. Propõe uma série de regras de decisão para resolver o problema
UFLP (Uncapacitated Warehouse (Facility) Location Problem). O objectivo é seleccionar locais
onde seriam colocados armazéns, a partir da árvore branch-and-bound.
Brandeau e Chiu (1989) apresentam uma revisão onde identificam como artigos mais
relevantes na Warehouse Location os artigos já mencionados. Só com Perl e Daskin (1992) se
discute de novo o problema propondo-se uma metodologia que integra uma resolução exacta e
uma heurística. Esta metodologia divide o problema em três partes e resolve-os utilizado um
método exacto e heurístico de uma maneira sequencial.
Um novo método, baseado em simulação para resolver o problema UWLP surge com
Hidaka e Okano (1997). Este modelo lida com o problema em larga escala (no artigo simulam
uma situação com mais de 6800 clientes), procurando uma solução próxima do óptimo.
Com Krativa, Filipovie e Tosie (1998) dá-se introdução dos chamados algoritmos
genéticos, com os quais se consegue atingir bons resultados num razoável tempo de
processamento. Para além destes, a meta-heurística tabu-search é aplicada ao UWLP por
Michel e Hentenryck (2003). Os resultados são espantosos chegando-se a um resultado perto do
óptimo, muito rapidamente.
Dupont (2006), analisa a localização de armazéns, admitindo que os custos quer no
transporte quer no armazenamento seguem uma função côncava que os relaciona com a
quantidade transportada. Para isto Dupont (2006) desenvolve uma heurística aproveitando
algumas propriedades dos métodos exactos.

21. 21
Por fim, Ghill e Bhatti (2007) criam um modelo que divide o problema da localização de
armazéns em duas partes. Capaz de resolver problemas de grande dimensão, este modelo
constrói uma matriz binária que descreve as possibilidades de a locação. Num segundo passo
calcula qual a solução óptima dentro do universo destas mesmas possibilidades.
3.4 – Métodos de resolução
Os problemas de localização, são problemas que como foi visto, são estudados há
algumas décadas por diversos investigadores. Para resolver estes problemas foram criados uma
série de métodos. Estes métodos estão essencialmente divididos em três, os métodos exactos,
métodos heurísticos e as meta-heurísticas.
Nos próximos pontos serão passados em revista os diversos métodos, sendo também
exploradas as diversas variantes dos métodos exactos e dos métodos heurísticos.
3.4.1 – Métodos exactos
Os métodos exactos dividem-se, segundo Gomes (2005) em três grandes categorias:
métodos eficientes, métodos de formulação matemática e métodos de enumeração implícita.
Neste trabalho só vamos explorar os métodos de formulação matemática, por serem
aqueles que têm relevância na resolução dos problemas de localização.
Os métodos exactos de formulação matemática podem ser descritos através de
programação linear inteira mista. Porque como veremos à frente dá a possibilidade às variáveis
para serem binárias ou contínuas.
A aplicação da programação linear inteira permite determinar qual a solução óptima para
um problema concreto. É utilizada para optimizar, maximizando ou minimizando um determinado
conjunto de variáveis relacionadas entre si, às quais se chama função objectivo. Associadas à
função objectivo existem um conjunto de restrições que são definidas por equações lineares ou
inequações.
Segundo Smith (1971) todos os problemas em programação linear têm um problema
dual que é o “contrário” do problema primal. Se no problema primal se maximiza no problema
dual minimiza-se e vice-versa. O problema dual é importante essencialmente por três razões:
1ª - Em muitos casos o problema dual é mais fácil de resolver que o primal.

22. 22
2ª -As variáveis do problema dual dão-nos informações sobre como se altera a função
objectivo em resultado de pequenas alterações nas restrições.
3ª- Para além disto o conhecimento dos problemas duais possibilita a construção de
algoritmos para problemas mais complexos.
Jain e Vazirani (1999) e Swamy e Kumar (2004) aplicam a noção de problema dual à
resolução de problemas de localização.
Gomes (2005) refere que a programação linear inteira divide-se em métodos de
resolução exacta e de resolução aproximada. Os métodos de resolução exacta são por sua vez
dois: o método branch-and-bound (método de ramificação e corte) e o método dos planos de
corte. Os métodos de resolução aproximada são essencialmente os métodos de relaxação, de
onde se destacam a relaxação linear e a relaxação lagrangeana.
O método de branch-and-bound é segundo Drezner (1995) um método que resolve
problemas complexos, dividindo o seu domínio em sub-domínios, branching. De seguida analisa
cada um dos sub-domínios, através da função objectivo e do valor das restrições e com isto
limita o problema, ou seja faz o chamado bounding. Este método é bastante utilizado nos
problemas de localização. Alguns exemplos da sua utilização são Efroymson e Ray (1966),
Soland (1971) e Holmberg et al. (1998).
O método de planos de corte funciona partindo da resolução linear do problema e
verificando depois se a solução é inteira. Não sendo, utiliza-se um processo recursivo em que se
cria uma nova restrição que corta solução a solução as soluções não inteiras e força a procura
de uma nova solução inteira. Contudo este método segundo as nossas pesquisas praticamente
não é utilizado nos problemas de localização.
Quanto aos métodos de resolução aproximada temos como foi já dito dois métodos de
relaxação. No primeiro, o método de relaxação linear é simples. Apenas relaxa o problema de
uma forma linear diminuindo o espaço de soluções consecutivamente. No segundo método, os
investigadores debruçaram-se essencialmente no método de relaxação lagrangeana. Segundo
Drezner e Hamacker (2002) este método cria um problema lagrangeano associado ao problema
inicial e cuja a solução óptima vai criar um limite para a função objectivo do problema inicial. Isto
é feito, eliminando restrições do problema inicial e adicionado estas restrições, depois de
multiplicadas por um multiplicador langrageano, à função objectivo. Assim ter-se-á um problema
relaxado que é bastante mais fácil de resolver até ao óptimo do que o problema inicial. Um
exemplo da aplicação deste método é o artigo apresentado por Jain, Vizai e Vazirani (2001).

23. 23
3.4.2 – Métodos heurísticos
Os métodos exactos têm o grande problema de serem por vezes muitos pesados e
extremamente vagarosos na resolução de um problema com elevado nível de complexidade. Foi
no sentido de se aumentar a velocidade da resolução de certos problemas que se criaram os
métodos heurísticos.
Um método heurístico é um algoritmo que nem sempre, mas que na maior parte das
vezes, fornece uma boa solução, próxima da solução óptima. Contudo não se pode garantir que
por vezes a solução fornecida não esteja muito distante da óptima. Estes algoritmos partem de
uma série de regras, que foram definidas pela experiência, e pelo conhecimento da situação que
proporcionam em determinados casos uma solução rápida para o problema.
Nas últimas décadas, para a resolução de problemas de localização, houve muitíssima
investigação no campo dos métodos heurísticos. Todo este esforço levou a que hoje existam
bastantes heurísticas que concorrem entre si em termos de velocidade e proximidade à solução
óptima.
O algoritmo local search é introduzido por Kuehn and Hamburguer (1963) como
ferramenta para a localização de armazéns. A ideia deste algoritmo é partir de uma solução
possível e depois ir avançando consecutivamente para a melhor solução vizinha, somando ou
subtraindo um armazém, ou mudando a sua localização. Este algoritmo foi testado e demonstrou
ter uma boa performance em experiências empíricas.
Guha e Khuller (1998) utilizam o chamado greedy algorithm para posicionar armazéns e
outras estruturas físicas de uma rede de distribuição. O algoritmo greedy funciona detectando
num determinado ponto qual o local óptimo. O processo é repetido até ao fim das iterações,
esperando-se que chegue ao resultado óptimo ou se aproxime dele. Neste artigo Guha e Khuller
(1998) combinam o algoritmo greedy com um algoritmo proposto por Shmoys, Tardos e Aardal
(1997).
Korupolu, Plaxton e Rajaraman (2000) desenvolveram o algoritmo proposto por Kuehn
and Hamburguer (1963), garantindo uma solução satisfatória com um determinado número de
iterações.
Muitas outras heurísticas foram desenvolvidas. Neste sub-capitulo apenas tivemos por
intenção salientar aquelas que nos pareceram mais relevantes.

24. 24
3.4.3 – Métodos meta-heurísticos
Os métodos heurísticos criam-se especificamente para uma determinada situação.
Dificilmente se pode pegar num destes algoritmos e utilizá-lo noutro problema. É exactamente
aqui que estes métodos diferem dos métodos meta-heurísticos. Os métodos meta-heurísticos
são algoritmos desenvolvidos para se poderem utilizar em diversas situações.
Os métodos meta-heurísticos são algoritmos que foram desenvolvidos e que se podem
aplicar em diversos problemas independentemente da estrutura destes. A sua aplicação
necessita apenas de uma adaptação do algoritmo ao problema.
Existem vários tipo de meta-heurísticas. As mais utilizadas nos problemas de
localização, são: tabu search, algoritmos genéticos e simulated annealing.
A meta-heurística tabu-search funciona de um modo semelhante ao clássico sistema de
pesquisa local. A diferença é que com este método se pode avançar para soluções que não
melhorem a função objectivo. O objectivo é fugir aos óptimos locais, para tentar encontrar o
óptimo global mesmo quando ele está distante dos diversos óptimos locais. Para tal cria-se uma
lista tabu que memoriza os diversos movimentos que não se podem repetir, por não trazerem
melhorias à solução final. Sultan e Fawzan (1986) adaptaram esta meta-heurística ao problema
UWLP.
Os algoritmos genéticos, baseiam-se na teoria da evolução de Darwin em que as
espécies evoluem e vão sobrevivendo apenas os indivíduos resistentes. Neste algoritmo há uma
“população” de soluções que se vão combinando duas a duas (tal como progenitores) e que dão
origem a diferentes soluções que combinam características dos progenitores. Por vezes podem
também existir mutações que podem enfraquecer ou fortalecer a espécie. Quanto mais perto do
óptimo estiver uma solução, mais resistente será o individuo que ela representa. Deste modo,
tende-se a chegar à solução óptima. Hosage e Goodchild (1986) escreveram um artigo referente
à aplicação dos algoritmos genéticos aos problemas de localização.
O algoritmo simulated annealing tenta copiar a forma como um determinado material
arrefece. Primeiro a temperatura está muito alta e por isso os átomos estão numa grande
agitação. Nesta altura o algoritmo pesquisa aleatoriamente soluções para se afastar do óptimo
local. Conforme a temperatura vai diminuindo o algoritmo vai tornando-se mais criterioso (tal
como os átomos vibram menos) pesquisando numa zona já mais restrita e mais próxima da
solução óptima. A aplicação deste algoritmo aos problemas de localização foi feita por Aydin,
Yigit e Fogarty (2002).

25. 25
3.5 – Conclusão
O modelo que será desenvolvido e devidamente explicado no capítulo seguinte, assenta
essencialmente no artigo de Ghill e Bhatti (2007). Ambos os modelos assentam na mesma ideia
minimizar custos garantindo que toda a procura é satisfeita. No modelo de Gill e Bhanti (2007)
minimiza-se o numero de armazéns enquanto no nosso modelo se minimizam os custos de
transporte. Aqui percebe-se que no modelo de Gill e Bhanti (2007) se dá uma grande
importância aos custos fixos dos armazéns enquanto no nosso caso estes custos por razões que
à frente serão melhor exploradas não são considerados. Sendo portanto modelos bastante
diferentes têm estruturas de base semelhantes.
Na primeira fase do modelo de Ghill e Bhatti (2007) cria-se também, a partir de uma
restrição de distância máxima entre o armazém e o cliente, uma tabela binária. Que depois é
utilizada para limitar as escolhas do modelo. Essa tabela tem o objectivo de criar as
possibilidades de alocação dos clientes às diversas localizações possíveis para os armazéns.
Tendo estas possibilidades o modelo minimiza o número de armazéns.
O modelo, sendo bastante diferente, segue as mesmas linhas gerais ou seja alocando
armazéns a uma determinada procura num certo cliente, garante-se que as encomendas de
todos clientes são entregues. Optimiza-se ao mesmo tempo uma função objectivo que soma os
vários custos: no nosso caso os custos de transporte e armazenamento, no caso do modelo Ghill
e Bhatti (2007), como já foi dito, os custos fixos dos armazéns.
No próximo capítulo será estudada a formulação matemática do modelo criado para
resolver este problema. Depois de uma breve introdução serão apresentados os conjuntos, os
parâmetros, as variáveis e a função objectivo deste modelo. Nos pontos seguintes far-se-á uma
breve exposição do ambiente em que o modelo foi implementado bem como do tipo de problema
e do algoritmo que foi utilizado para o resolver.

26. 26
4. Formulação matemática
4.1– Introdução
Como foi já descrito procura-se neste trabalho modelar um sistema de distribuição com
duas fases de transporte. Uma primeira até um porto ou armazém (transporte primário) e uma
segunda do porto ou armazém para o cliente (transporte secundário). Existem assim dois meios
de transporte passíveis de serem utilizados, os meios rodoviários e os marítimos.
Depois de modelado o sistema de distribuição podemos então optimizar os custos
diminuindo os custos de transporte primário e secundário. Claro que para isto é necessário
compreender os custos envolvidos e aplicá-los. É por outro lado necessário ter em conta as
várias restrições do problema.
Os objectivos centrais do modelo a desenvolver são: calcular a localização óptima dos
armazéns a utilizar e ao mesmo tempo seleccionar que portos devemos utilizar.
O modelo é composto por conjuntos, parâmetros, variáveis, restrições e função
objectivo.
Neste curto capítulo analisar-se-á a formulação matemática, o ambiente de implantação
deste e o algoritmo de resolução. No próximo capítulo veremos a aplicação deste modelo ao
caso de estudo descrito no Capítulo 2.
4.2 – Modelo
O modelo aqui exposto tem como objectivo traduzir para linguagem matemática o
problema descrito anteriormente. Para este efeito serão explicados todos items que compõem o
modelo.
Os conjuntos
e ={armazéns}
i ={fábricas}
j ={cidades}
p ={portos}
t ={time}

27. 27
Para além destes existem ainda, os conjuntos e1 e p1, que têm exactamente o mesmo
domínio que e e p, respectivamente.
Parâmetros
a0, a1, a2 – coeficientes polinomiais
ai - capacidade disponível na fábrica i
c1i,p- custo do transporte entre a fábrica i e o porto p
c2j,e-custo do transporte do armazém e para a cidade j por quilómetro e por tonelada
c3j,p-custo do transporte do porto p para a cidade j por quilómetro e por tonelada
CExcpj,p-custo (excepcional) por quilometro por tonelada do transporte entre o porto p e
a cidade j
d1i,e- distância entre a fábrica i e o armazém e
d2j,e- distância entre o cliente j e o armazém e
d3j,p- distância entre o cliente j e o porto p
dist2e,e1- tabela binária em que o valor 0 não permite que o armazém e e o armazém e1
sejam utilizados simultaneamente por estarem demasiado próximos (menos de 100 km)
dist3e,p- tabela binária em que o valor 0 não permite que o armazém e e o porto p sejam
utilizados simultaneamente por estarem demasiado próximos (menos de 100 km)
dist4p,p1- tabela binária em que o valor 0 não permite que o porto p e o porto p1 sejam
utilizados simultaneamente por estarem demasiado próximos (menos de 100 km)
Excpj,p- o custo do transporte entre o porto p e a cidade j é uma excepção à formula
geral
g-custo de transporte entre uma fábrica e um armazém por quilómetro e por tonelada
h-custo fixo por armazém por ano
h1-custo de utilização de um armazém por tonelada
MH-utilização mínima de um armazém em toneladas
pj,t- procura na cidade j no tempo t
Cálculo dos parâmetros c2 e c3
Tal como mais à frente se vai explicar detalhadamente os parâmetros c2
e c3 são calculados através das seguintes formulas:

28. 28
2
, , ,
2
, , ,
2 0 2 1 2 2
3 0 3 1 3 2
j e j e j e
j p j p j p
c a d a d a
c a d a d a
= × + × +
= × + × +
Nos casos excepcionais nomeados na tabela Excpj,p , c3 tem o valor definido para cada
par j,p na tabela CExcpj,p.
Variáveis do modelo
Variáveis contínuas positivas
yi,e,t-quantidade transportada entre a fábrica i e o armazém e, no tempo t
xe,j,t-quantidade transportada entre o armazém e e a cidade j, no tempo t
wi,p,t-quantidade transportada entre a fábrica i e o porto p, no tempo t
kp,j,t-quantidade transportada entre o porto p e o cliente j, no tempo t
Variáveis binárias
ne-toma o valor 1 se o armazém e for utilizado e 0 se o armazém e não for utilizado
n1p-toma o valor 1 se o porto p for utilizado e 0 se o porto p não for
Variáveis auxiliares
z1-custo do transporte para o armazéns e para os portos
z2-custo de armazenar mercadoria em armazéns ou portos
z3-custo do transporte de armazéns e portos para cidades
z4-custo fixo de se utilizar um armazém ou um porto
z-custo total em unidades monetárias

29. 29
Restrições
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
As restrições 4.1 e 4.2 definem que um limite mínimo de utilização para cada armazém ou
porto, denominado minimum handling.
Nas restrições 4.3 e 4.4 utiliza-se o Big M para executar a condição de utilização ou não
de um armazém ou porto (relembrar que ne e n1p são variáveis binárias). Deve aqui ter-se em
conta que o valor do Big M é um valor tão grande que nunca possa ser ultrapassado pelo o
somatório de x. Mas basta que o x não seja zero para que ne ou n1p tenham o valor de 1 e ou
seja o armazém/porto ser utilizado.
A restrição 4.6 impõe que toda a procura seja satisfeita através das mercadorias
provenientes dos portos e armazéns.
Na restrição 4.5 limita-se as entregas à capacidade de produção ai. Na condição seguinte
impõem-se que toda a procura pj,t seja satisfeita.
, ,
,
, ,
,
, ,
,
, ,
,
, , , ,
, , , , ,
, , , ,
, , , ,
1
0
1 0
,
0 ,
e j t e
j t
p j t p
j t
e j t e
j t
p j t p
j t
i e t i p t i
e p
e j t p j t j t
e p
e j t i e t
j i
p j t i p t
j i
x MH n e
k MH n p
x n M e
k n M p
y w a i
x k p j t
x y e t
k w
≥ × ∇
≥ × ∇
− × ≤ ∇
− × ≤ ∇
+ = ∇
+ = ∇
− = ∇
−
∑
∑
∑
∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑
e 1 , 1
e ,
p 1 , 1
0 ,
1 1
2 1 , 1
1 3 1 ,
1 1 4 1 , 1
p
p
e e e
p e p
p p p
p t
n
n n dist e e
n n dist e p
n n dist p p
= ∇
≥
+ ≤ + ∇
+ ≤ + ∇
+ ≤ + ∇
∑
∑

30. 30
Em 4.7 e 4.8 temos as restrições que obrigam a que toda a mercadoria que dá entrada
num armazém ou porto seja utilizada na satisfação de procura.
A restrição 4.9 obriga a que pelo menos um porto seja utilizado (esta restrição existe
apenas por razões de carácter prático, o grupo papeleiro em causa exige que pelo menos um
porto seja utilizado).
Por fim, em 4.10, 4.11 e 4.12 limita-se a proximidade dos armazéns e portos, as tabelas
binárias dist inserem no modelo que armazéns/portos não podem ser utilizados ao mesmo
tempo.
Função objectivo
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
Esta função objectivo está dividida em quatro partes para melhor compreensão do
utilizador. Em 4.13 temos o cálculo de z1 ou seja o cálculo do custo do transporte primário. Na
primeira parcela multiplica-se o custo de transportar mercadoria por quilómetro e por tonelada g,
pela distância d1i,e e pela quantidade a transportar yi,e,t entre Portugal e um armazém. Na
segunda parcela calcula-se o custo do transporte entre Portugal e um porto multiplicando o custo
por tonelada c1i,p pela quantidade wi,p,t .
A equação 4.14 é o cálculo dos custos de armazenamento em que se multiplica um
custo fixo h1 pela quantidade de mercadoria armazenada.
O cálculo do custo secundário (armazéns/portos – cidades) é feito em 4.15. Na primeira
parcela multiplicando o custo por quilómetro e por tonelada c2j,e pela distância d2j,e e pela
quantidade de mercadoria xe,j,t , calcula-se o custo de transporte para os clientes a partir dos
armazéns. O custo de transporte para o cliente a partir de um porto calcula-se na 2ª parcela
multiplicando o custo por quilómetro e por tonelada c3j,p pela distância d3j,p e pela quantidade de
mercadoria yp,j,t.
, , , , , ,
, , , ,
, , , ,
, , , ,
, , , , , , , ,
, , , ,
1 1 1
2 1 ( )
3 2 2 3 3
4 ( 1 )
1 2 3 4
i e i e t i p i p t
i e t i p t
e j t p j t
e j t p j t
j e j e e j t j p j p p j t
e j t p j t
e p
e p
z g d y c w
z h x k
z c d x c d k
z h n n
z z z z z
= × × + ×
= × +
= × × + × ×
= × +
= + + +
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑

31. 31
Por fim, em 4.16 calcula-se o custo fixo total de se utilizar um armazém ou um porto,
multiplicam-se o número de armazéns/portos utilizados pelo o custo fixo h.
Em 4.17 calcula-se o custo total somando 4.13, 4.14, 4.15 com 4.16. É exactamente a
variável z que o modelo vai optimizar. Claro que para isso terá que optimizar também todas as
variáveis que se somam para dar origem a z.
4.3 – Implementação do modelo (GAMS)
O GAMS (General Algebraic Modeling System) é uma ferramenta que permite gerar
modelos matemáticos sob variadas bases de utilização, recorrendo a estruturas simples e
generalistas. A linguagem utilizada em GAMS é diferente da linguagem utilizada na programação
comum, dado ser um programa de modelação matemática.
Os seus inputs são conjuntos de equações matemáticas que definem um problema.
Estas equações serão resolvidas sob critérios de optimização representadas numa função
objectivo. O programa disponibiliza uma série de diferentes algoritmos matemáticos (solvers)
aplicáveis aos diferentes tipos de problemas.
O GAMS apresenta uma série de vantagens relativamente a outros programas. A sua
simplicidade de programação, a capacidade de transferências de dados entre diferentes
sistemas e utilizadores, e ainda a facilidade com que se incorporam novas actualizações (quer
novos algoritmos quer novas funções) no programa, são características do GAMS.
O procedimento usual em GAMS consiste: primeiro, em declarar os conjuntos, depois
em fornecer os parâmetros necessários, declarar as variáveis que se vão usar, declarar as
equações e finalmente escrever as equações e a função objectivo.
Existem ainda vários tipos de opções que ajustam o funcionamento do GAMS ao tipo de
modelo. Por fim, será necessário especificar o solver que se pretende que o programa utilize.
No procedimento efectuado, e no que respeita ao caso específico do problema em
estudo, estabeleceram-se inicialmente os conjuntos sobre os quais assenta todo o problema
(fábricas, armazéns, clientes, etc.). Quando se declara um conjunto, indicam-se também os itens
que o constituem e que poderão estar presentes numa determinada categoria (ex fábricas:
Setúbal, Figueira da Foz, etc.).
Na fase seguinte temos a introdução dos dados necessários ao programa, sob a forma
de parâmetros. Os parâmetros podem ser escalares, listagens ou tabelas. Os escalares são

32. 32
valores discretos que se utilizam na descrição do problema (produção máxima – 200000 ton). Os
parâmetros compreendem também informação sob a forma de listagem (ex produção nas
fábricas: Setúbal - 100000 ton, Figueira da Foz – 150000 ton) ou sob a forma de tabelas. As
tabelas incluem informação sistematizada com dois (ou mais) conjuntos e é organizada em
linhas e colunas (o GAMS pode importar tabelas de folhas de cálculo).
As variáveis são declaradas posteriormente, para se poderem utilizar nas equações. A
cada variável é atribuído o conjunto à qual ela é indexada.
Após o estabelecimento e a explicitação das equações, é indicada a função objectivo
sob a qual se pretende optimizar o problema.
Aliada à escolha do solver está implícita a natureza do problema, bem como o ajuste de
opções do próprio algoritmo que permitem melhorar a performance do processo de resolução.
4.4 - MILP e CPLEX
Podem definir-se vários tipos de problemas quando falamos de programação
matemática. As diferenças entre estes problemas assentam no tipo de valores que se pretendem
paras as variáveis:
- Linear programming: os valores das variáveis na solução podem não ser inteiros
- Integer programming: os valores das variáveis na solução só podem ser inteiros
- Mixed integer linear programming: algumas variáveis podem assumir valores não
inteiros e outras têm que obrigatoriamente assumir valores inteiros
O nosso problema é do tipo MILP (Mixed integer linear programming), pois as variáveis n
e n1 são binárias e portanto só podem assumir o valor 0 ou 1 ou seja dois valores inteiros. O
resto das variáveis podem assumir valores não inteiros. É o facto de termos dois tipos de valores
pretendidos na solução que faz com que seja um problema MILP.
Para se resolver os diversos problemas o GAMS disponibiliza vários solvers. Cada
solver tem especificidades próprias de modo a poder lidar com os vários tipos de problemas.
Neste caso precisávamos de um solver que resolvesse o problema MILP mas que ao mesmo
tempo fosse o mais rápido possível e conseguisse lidar com problemas de grande dimensão,
como era o nosso. O solver escolhido foi o CPLEX (ILog®).

33. 33
O solver CPLEX utiliza um algoritmo branch and cut, que resolve uma série de diferentes
problemas lineares, gerados pelo problema inteiro misto. Este algoritmo é muito robusto e rápido
mesmo para problemas muito complexos e de grande dimensão.
A implementação do CPLEX incluí uma série de algoritmos que não serão aqui
estudados e apenas os referimos por acharmos que podem ter eventualmente alguma utilidade
na compreensão do funcionamento do modelo. São utilizados o CPLEX presolve algorithm,
estratégias sofisticadas de cutting-plane como a estratégia de Gomory, o algoritmo clique and
cover, o GUB over and implied bound.
O processo de resolução tem primeiro uma fase em que o modelo relaxado é resolvido,
ou seja, as variáveis binárias que só tomam valores 0 ou 1, passam a poder tomar todos os
valores entre 0 e 1. Depois passa à fase em que só podem tomar valores inteiros, de modo a
que na solução final as variáveis binárias já só assumam os valores 0 ou 1.

34. 34
5. Aplicação do modelo
5.1 – Introdução
Este capítulo tem como objectivo a aplicação do modelo ao caso de estudo. O caso de
estudo é, como já foi devidamente explicado, sobre a optimização das localizações dos
armazéns e portos utilizados na Europa central mais concretamente na Bélgica, Holanda,
Luxemburgo e Alemanha.
Neste capítulo, começaremos por referir os dados iniciais que nos foram fornecidos,
depois explicaremos como fizemos o seu tratamento para poderem ser aplicados no modelo, de
seguida aplicaremos ao modelo os valores dos dados.
5.2 – Dados iniciais
O grupo papeleiro, em causa neste trabalho, quando nos pediu que estudássemos este
caso, forneceu-nos toda a informação necessária para a resolução deste problema.
Em primeiro lugar, foi-nos entregue uma tabela que identifica os três pontos de
armazenamento actualmente utilizados e que indica também a que quantidade de produto que é
transportada via cada armazém ou porto (dados de 2006). As colunas da Tabela 3 identificam os
países de destino das mercadorias. Os totais são apresentados quer por armazém quer por país
de destino.
Tabela 3 - Utilização actual dos armazéns e portos
Numa primeira análise do conteúdo desta tabela, apercebemo-nos de duas informações
muito relevantes. A primeira é que a Alemanha é claramente o maior consumidor dos produtos
do grupo nesta zona da Europa. A segunda é que o porto de Moerdijk é o grande intermediário
entre os transportes primários e secundários com uma percentagem de quase 80% da
mercadoria transportada. Retira-se ainda desta tabela que mesmo para a Alemanha o armazém
Armazéns Bélgica Alemanha Luxemburgo Holanda Total
Moerdijk 20018 41285 209 41947 103460
Frankfurt 19836 19836
Nuremberg 7763 7792
Total 20018 68884 209 41947 131087

35. 35
do porto de Moerdijk (Holanda) é mais utilizado que os de Frankfurt ou Nuremberga. Fica-se
portanto para já, com a ideia, de que o transporte marítimo deverá ser mais económico que o
transporte rodoviário no que toca ao transporte primário de mercadorias para estes países.
Para além desta tabela os dados do problema envolvem ainda uma outra com o registo
de todas as encomendas feitas no ano 2006 (Anexo 1). Estes dados estão organizados em oito
colunas cujos campos relevantes são os seguintes: porto/armazém utilizado, data da
encomenda, país de destino, cidade de destino e quantidade pedida em toneladas. Destes
dados pode-se rapidamente conferir as conclusões anteriores. Moerdijk é claramente o ponto de
armazenagem mais utilizado e a Alemanha o maior importador dos produtos do grupo papeleiro.
Verifica-se nesta tabela que ao longo do ano de 2006 houve mais de 7000 encomendas para
mais de 140 cidades espalhadas nestes 4 países. O total de todas as encomendas ultrapassa as
131000 toneladas.
Em relação ao crescimento da procura, que já referimos, no capítulo da descrição do
problema, foram-nos fornecidas para os próximos 4 anos, as previsões do aumento da procura
nestes países (Tabela 1). Daqui facilmente se concluem que a Alemanha é o país que se prevê
crescer mais, com 56% de crescimento na procura, seguido de perto pela Bélgica com uma
previsão de crescimento de 54%. A Holanda prevê-se que cresça apenas 18%. Para o
Luxemburgo apesar de não haver previsões assume-se que em termos de procura crescerá o
mesmo que a Alemanha.
Quanto aos transportes, era necessário termos acesso aos preços praticados. Foram-
nos fornecidos os valores relativos quer ao transporte primário, quer ao transporte secundário.
No respeitante ao transporte primário (de Portugal para os armazéns e portos), temos a
considerar o transporte marítimo e o rodoviário:
Tabela 4 - Custo do transporte rodoviário para os armazéns e portos utilizados
em 2006
Portos/Armazéns Custo (u.m./ton)
Moerdijk 105
Frankfurt 118
Nuremberg 130

36. 36
Tabela 5 –-Custo do transporte marítimo para os diversos portos
Com estes valores apenas, apercebemo-nos rapidamente que o transporte marítimo,
especialmente para as faixas de consumidores junto de portos, pode ser muito competitivo. Em
relação ao transporte rodoviário, como temos apenas valores para os três armazéns existentes,
teremos que extrapolar estes valores para todas as hipóteses de armazéns que serão fornecidas
ao modelo.
É neste momento necessário dizer que neste trabalho será sempre utilizada a unidade
monetária como moeda de referência.
Aqui temos uma tabela, com os valores relevantes para o transporte secundário
(armazéns – clientes).
Tabela 6 - Custo do transporte secundário para as rotas actuais
Porto/Armazém País de destino Distância media Custo (u.m./ton.km)
Moerdijk Holanda 147 0.1
Moerdijk Bélgica 125 0.09
Moerdijk Alemanha 237 0.16
Frankfurt Alemanha 206 0.13
Nuremberga Alemanha 147 0.1
Ao analisar estes dados e especialmente se estimarmos a distância média às zonas de
destino da mercadoria, pode deduzir-se que, com excepção para o eixo Moerdijk-Alemanha, o
custo vai aumentando com a distância. A razão para que o preço do transporte de Moerdijk para
a Alemanha seja tão baixo é facilmente explicável se pensarmos no movimento de exportação
Porto Custo (u.m./ton)
Antuerpia 100
Moerdijk 100
Roterdão 100
Bremen 115
Hamburgo 110

37. 37
alemã que há para os portos Holandeses. Esta mercadoria é quase na sua totalidade,
transportada por camiões, que depois da entregar nos portos Holandeses ficam disponíveis para
transportar novas cargas para a Alemanha. A oferta de transporte neste sentido é tão grande
que o preço dos transportes se reduz muitíssimo.
Por fim, é importante dizer que para valores de inflação assumiremos 5% para os preços
dos transportes rodoviários e 3% para os marítimos.
5.3 – Tratamento de dados
Para input do modelo, precisávamos dos dados agrupados e estruturados de uma forma
muito específica para que o modelo os conseguisse perceber e analisar. Só assim o output teria
uma solução adequada.
Em primeiro lugar, como o modelo é um modelo dinâmico (variável no tempo), foi
necessário, que a procura, para além de estar agrupada por cidades, estivesse também
organizada ao longo do tempo. Esta informação foi retirada dos registos de encomendas do ano
2006 com a ajuda de alguma ferramentas do Excel. Criou-se depois uma tabela em Excel com
as cidades nas linhas e os meses do ano nas colunas (Anexo 2).
Como nos foram também fornecidas as previsões de crescimento para 2010 nos
diversos países, uma nova tabela foi criada com a procura actualizada segundo estas previsões
(Anexo 3).
Imediatamente, a seguir à procura, o modelo precisa de conhecer a localização dos
diferentes clientes, para que através de cálculos, que serão oportunamente explicitados, se
possa decidir da localização dos armazéns e dos portos, de modo a serem optimizados os
custos do transporte.
Surge agora o seguinte problema a resolver: como conseguir que o modelo tenha a
informação relativa à localização geográfica das diversas cidades? Resolvemos criar um sistema
em que a partir de coordenadas geográficas (vulgarmente conhecidas por coordenadas GPS) o
programa conseguisse calcular as distâncias entre todas as cidades e as hipóteses de
localizações de armazéns e portos.
Para a concretização do acima mencionado, uma a uma, foram retiradas (com a ajuda
do programa Google Earth) as diferentes coordenadas geográficas de todas as cidades. (Anexo
4) Ficámos assim com a latitude e a longitude das centenas de cidades na Holanda, Bélgica,
Alemanha e Luxemburgo que são clientes do grupo papeleiro em causa neste trabalho. Na figura

38. 38
48º49º50º51º52º53º54º55º
3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 12º 13º 14º
que se segue usámos as coordenadas para representar a procura de cada cidade no mapa da
região:
Construímos também uma grelha que tem como limites o ponto mais a sul, do conjunto
deste quatro países, o mais a norte, o mais a oeste e o mais a leste. Desde modo definimos
como limites da nossa grelha, os paralelos 47º15’ Norte e 54º15’ Norte e os meridianos 3º Leste
e 15º Leste. Cada linha tem uma diferença de latitude de 30’ e cada coluna tem 1º de longitude .
Esta grelha apresenta uma utilização importante, a localização dos armazéns. Para a
localização de armazéns há essencialmente duas hipóteses: ou se dão várias alternativas de
localização e o modelo escolhe, uma ou várias, a partir de um determinado conjunto de regras e
pressupostos, ou o modelo admite que se pode colocar um armazém em qualquer ponto do
mapa. Esta segunda hipótese é muito mais difícil de resolver necessitando de uma capacidade
de cálculo muito superior. Pelas razões expostas escolhemos a primeira hipótese, dando como
possibilidades ao modelo para a localização de armazéns o centro de cada célula. Ficamos
assim exactamente com 168 possibilidades de localização.
Como o planeta Terra não é plano o cálculo de distâncias a partir de coordenadas, não é
linear. Com a ajuda de alguns conhecimentos náuticos desenvolvemos um método muito
aproximado de as calcular de acordo com a seguinte fórmula:
> 1000 ton
< 1000 ton
< 100 ton
Fig.2 – Mapa da
densidade de
procura

39. 39
2 2
(( 1 2) 1852) (( . 1 . 2) 1852)
1.2
1000
Latitude Latitude Longitude c Longitude c
Distância
− × + − ×
= ×
Nesta fórmula tivemos que converter todas as coordenadas para minutos. O factor de
1852 que multiplica pelas diferenças das latitudes e longitudes corresponde ao número de
metros por cada minuto de deslocação. Os valores da longitude terão que ser corrigidos pois à
medida que a latitude aumenta um minuto de longitude representa uma distância cada vez
menor. Multiplica-se por 1.2 porque se admite que a distância por estrada é 20% maior à
distância em linha recta. Por fim, divide-se por mil para o resultado aparecer em quilómetros.
Para além deste método de calcular a distância entre as possíveis localizações de
armazéns às cidades (Anexo 5), foi preciso também calcular as distâncias de cada armazém a
Portugal, para depois se poderem calcular os custos do transporte primário rodoviário, Portugal -
armazéns. Considerámos o ponto da fronteira entre Espanha e França, onde a auto-estrada que
é utilizada para a ligação de Portugal para os países em causa neste estudo, a cruza. A partir
das coordenadas desse ponto o modelo calcula (utilizando a fórmula acima apresentada) a
distância entre esse ponto da fronteira e todas as hipóteses de localização de armazéns
enquanto as for analisando uma a uma. A este ponto da fronteira soma-se a distância entre o
ponto e Portugal.
Com todas as distâncias necessárias, impõem-se agora calcular os custos de transporte
primário e secundário para cada hipótese de localização de portos ou armazéns.
No caso do transporte primário temos, como já foi mencionado, duas hipóteses: o
transporte marítimo e o transporte rodoviário. Para o transporte marítimo é nos fornecido logo à
partida (Tabela 5) o custo (u.m./ton) de Portugal para cada porto passível de ser utilizado.
No caso do transporte rodoviário o problema é um pouco mais complexo. Depois dos
cálculos que anteriormente foram referidos ficamos com as distâncias de Portugal aos armazéns
e aos portos por via rodoviária. Contudo apenas foram fornecidos os custos (u.m./ton) para três
locais distintos (tabela 4), e que são os utilizados actualmente. Resolvemos então calcular, para
estes três locais, quais os custos em u.m./ton.km tendo em conta as distâncias entre Portugal e
cada um deles.

40. 40
Tabela 7 - Custo do transporte primário rodoviário - médias por quilómetro
Portos/Armazéns Custo (u.m./ton) Distâncias a Portugal Custo (u.m./ton.km)
Moerdijk 105 2012 0.052
Frankfurt 118 2309 0.051
Nuremberga 130 2315 0.056
Tendo em conta o facto dos valores do custo por tonelada e por quilómetro serem
próximos decidiu-se, que o valor do custo (u.m./ton.km) a considerar seria a média dos três, ou
seja 0.053 u.m./ton.km. Assim passámos a ter possibilidade de calcular o custo do transporte por
via rodoviária para qualquer das localizações possíveis de armazéns ou portos.
Em relação ao transporte secundário como se pode ver na Tabela 6 temos o custo do
transporte em u.m./ton.km para cinco rotas. O problema que se põem, é como extrapolar, destas
cinco rotas, para todas as rotas possíveis entre as 168 localizações a estudar para localização
de armazéns e as cidades. O mesmo se passa para os 5 portos disponíveis e todas as células
que agrupam as cidades clientes por zonas. Utilizando as diversas rotas, com a excepção do
eixo Moerdijk – Alemanha que é especial por razões que já foram explicadas, criou-se um gráfico
para tentar perceber a evolução do custo ao longo da distância.
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0 50 100 150 200 250
Distância (km)
Custos(u.m./ton)
Fig. 3 – Curva de custo do transporte secundário em função da distância
Neste gráfico utiliza-se uma equação de 2º grau, que minimizasse ao máximo a distância
aos quatro pontos, para tentar extrapolar os custos para outras distâncias. A equação que
descreve a linha que se vê no gráfico é a seguinte:

41. 41
2
Custo=a0 distância 1 distância+a2a× + ×
Em que os coeficientes são:
a0 = 3.44573641E-06
a1 = 6.41193383E-04
a2 = 1.17596970E-01
Esta fórmula calcula o custo por quilómetro e por cada tonelada. Por isso se
multiplicarmos o custo que nos é dado por esta fórmula, pela distância, temos o custo total por
tonelada. Portanto, depois de calcular as distâncias entre as localizações possíveis para os
armazéns e as células, podemos com a ajuda desta fórmula saber quanto custa transportar uma
tonelada de um determinado local para outro.
Com estas informações, o modelo já tem os dados suficientes para calcular as
localizações óptimas para os armazéns.
5.4 – Dados finais
O nosso modelo, é como já foi dito anteriormente um modelo desenvolvido em GAMS. O
objectivo do modelo é a partir dos dados que já foram estudados e tendo em conta as restrições
que lhe são impostas, determinar qual a localização óptima dos armazéns.
Como já vimos, no capitulo anterior, o modelo começa com os conjuntos que estão
envolvidos no modelo:
Conjuntos
e ={1*168}
i ={fab1}
j ={cidades/clientes do grupo papeleiro}
p ={portos belgas, holandeses e alemães passíveis de serem utilizados }
t ={1*12}
No primeiro conjunto declara-se ao programa que existem 168 possibilidades de
localização de armazéns. Como já foi explicado existem 168 células com 30’ de latitude e 1º de
longitude. O centro de cada célula é considerado como uma possível localização para um
armazém.
Apesar do grupo papeleiro em causa não ter só uma fábrica, este modelo foi criado com
o pressuposto de que todas as fábricas em Portugal trabalham como se fossem uma só.

42. 42
Especialmente por estarem bastante próximas (umas reduzidas centenas de quilómetros) umas
das outras não fazia sentido estar a especificar qual era as fábrica de que provinha determinada
encomenda.
Por existirem 139 cidades em que há clientes do grupo papeleiro, tivemos que abdicar
de as declarar todas no próprio modelo. O programa irá obtê-las a um ficheiro explicitado (Anexo
6).
Os portos que estão disponíveis para a descarga de mercadoria bem como para o seu
armazenamento são apenas cinco: Antuérpia, Moerdijk, Roterdão, Hamburgo e Bremen.
É o último Set que transforma este modelo num modelo dinâmico ou seja num modelo
que variável com o tempo. Ao longo de cada mês o modelo calcula qual o melhor sistema de
distribuição, isto é que armazéns é que fornecem que cidades. O modelo possibilita também um
sistema de localização dinâmica dos armazéns. Ou seja se um determinado fluxo de
mercadorias se alterar, o modelo têm a capacidade de mudar a localização de um armazém ou
até criar um novo armazém se a sua criação se se justificar. Contudo para o nosso caso que é
dinâmico para apenas 12 meses veremos à frente que estas alterações terão pouca
probabilidade de ocorrer.
Parâmetros
Listas
ai - capacidade disponível na fábrica i
No caso de estudo real não são consideradas restrições à capacidade de produção. Isto
porque as restrições já estavam incluídas na negociação das encomendas e na sua aceitação.
Apesar disso pareceu-nos importante que se mantivesse uma restrição de produção, pois pode
vir a ser útil no futuro. Para já, foi atribuído um valor de produção de 400 000 ton, o que tendo
em conta as encomendas actuais na ordem das 130 000 ton, é um valor que pretende ser
grande o suficiente, de modo a não ser restritivo.
Tabelas
pj,t- procura na cidade j no tempo t
Esta tabela fornece ao modelo, por mês a procura em cada cidade. Mais uma vez, por
ser uma tabela muito grande e por razões de funcionalidade e para a facilidade de alterações

43. 43
posteriores o programa importa uma tabela Excel. A tabela tem duas variáveis j e t que como foi
explicado nos Sets são relativas respectivamente, j às cidades e t ao tempo (Anexo 3).
d1i,e- distância entre a fábrica i e o armazém e
Foi explicado acima o método de calculo da distância entre Portugal (fábrica) e os
armazéns. Este cálculo é feito numa folha de Excel, que depois é importada pelo o GAMS, para
que o modelo passe a ter esta distância entre Portugal e os armazéns como dado.
d2j,e- distância entre o cliente j e o armazém e
A distância entre cada possível localização de um armazém e as células de clientes é
fornecida a este modelo através desta tabela. O calculo foi também feito utilizando uma folha
Excell como se explica na rubrica de “Tratamento de Dados” (Anexo 5).
c1i,p- custo do transporte entre a fábrica i e o porto p
Nesta tabela é fornecido ao modelo o custo (u.m./ton) de transportar mercadorias de
Portugal para os cinco portos que são passíveis de serem utilizados: Antuérpia, Moerdijk,
Roterdão, Bremen e Hamburgo.
d3j,p- distância entre o cliente j e o porto p
Esta tabela de dados fornece ao modelo a distância entre os portos e as diversas
cidades (Anexo 7). Tal como se faz com os armazéns, faz-se com os portos para que o modelo
depois possa seleccionar se numa determinada zona é preferível usar-se um porto ou um
armazém.
Excpj,p- o custo do transporte entre o porto p e o cidade j é uma excepção à formula
geral
Para calcular o custo do transporte vai-se, como foi já explicado, recorrer a uma fórmula
que está em função da distância. Contudo para o caso, já referido, do eixo dos portos de
Moerdijk, Antuérpia e Roterdão para algumas cidades da Alemanha existe esta excepção. A
zona da Alemanha que engloba estas cidades tem como limites os meridianos 9º00’ E e 6º00’ E
e os meridianos 50º15’ N e 52º15’ N (Anexo 8). Esta zona foi definida com base nos códigos
postais, que nesta zona começam por 4 ou 5.
CExcpj,p-custo (excepcional) por quilometro por tonelada do transporte entre o porto p e
a cidade j

44. 44
Esta tabela na continuidade da anterior define para o eixo entre os portos de Moerdijk e
Antuérpia e alguma cidades alemãs o custo de transportar as mercadorias (Anexo 9). Para este
eixo o custo é de 0.06 u.m. /ton.km.
dist2e,e1- tabela binária em que o valor 0 não permite que o armazém e e o armazém e1
sejam utilizados simultaneamente por estarem demasiado próximos.
dist3e,p- tabela binária em que o valor 0 não permite que o armazém e e o porto p sejam
utilizados simultaneamente por estarem demasiado próximos.
dist4p,p1- tabela binária em que o valor 0 não permite que o porto p e o porto p1 sejam
utilizados simultaneamente por estarem demasiado próximos.
As tabelas acima são compostas pelo cruzamento de todas as possibilidades de
localizações de portos e armazéns. Em cada cruzamento pode-se ter 0 ou 1. No caso de ter 0,
os armazéns e/ou portos em causa estão demasiado perto e portanto considera-se que não faz
sentido existirem os dois ao mesmo tempo, logo o modelo fica impedido de os escolher a ambos
(Anexos 10, 11 e 12).
Escalares
g-custo de transporte entre uma fábrica e um armazém por quilometro por tonelada
Aqui fornece-se ao modelo o custo que foi calculado na secção anterior de “Tratamento
de dados”. O custo é 0.053 u.m./ton.km.
h-custo fixo por armazém por ano
No caso da distribuição dos produtos do grupo papeleiro na Bélgica, na Holanda, no
Luxemburgo e na Alemanha. Os armazéns têm por custo um valor fixo por tonelada. Os
armazéns não são comprados nem alugados. Logo à partida não haverá nenhum custo fixo e
este valor escalar não faria sentido. Contudo, aliás como fizemos na restrição de produção,
resolvemos incluir este custo, com valor zero, para no caso de a situação se alterar no futuro o
modelo poder acompanhar essa mesma alteração.
h1-custo de ter uma tonelada num armazém
Este custo é o custo que referimos no paragrafo anterior e cujo valor é 12 u.m./ton. Os
armazéns têm apenas este custo variável que obviamente quando multiplicado pela quantidade
de mercadoria lá depositada num ano é o custo total de armazenamento. Talvez o leitor se

45. 45
questione se se paga o mesmo no caso de um determinado produtor estar armazenado uma
semana ou um dia. Obviamente não. Como este modelo não trabalha com níveis de inventário,
utilizámos um valor que considera o período médio de estadia num armazém.
MH-utilização mínima de um armazém em toneladas
No caso de estudo cada armazém/porto só aceita trabalhar, com um determinado
cliente, se por cada ano houver um armazenamento de mercadorias superior a um determinado
valor. Neste caso concreto a experiência diz que a maioria dos armazéns nesta zona só aceita
fazer o armazenamento para valores superiores a 25000 ton por ano.
Por fim o valor que utilizamos para Big M é de 1 000 000. Este escalar é muito utilizado
neste tipo de problemas. Funciona como um valor quase infinito que possibilita, como se verá
mais à frente, a execução de alguma condições.
Cálculo do custo de transporte armazéns/portos para as
cidades
Tal como referido atrás o custo calcula-se através das seguintes formulas:
2
, , ,
2
, , ,
2 0 2 1 2 2
3 0 3 1 3 2
j e j e j e
j p j p j p
c a d a d a
c a d a d a
= × + × +
= × + × +
Onde:
a0 = 3.44573641E-06
a1 = 6.41193383E-04
a2 = 1.17596970E-01
Esta função cria-se para que seja possível ao modelo minimizar os custos de transporte
entre os armazéns ou portos e os clientes. O custo do transporte secundário é calculado com
base no custo que nos foi fornecido para quatro situações distintas. Criou-se uma função de 2º
grau que estando em função da distância, fornece um custo para cada distância entre o
armazém e a cidade.
A função está divida em duas: uma, c2, para o cálculo do custo do transporte entre os
armazéns e as cidades e outra para o cálculo quando o transporte é a partir de um porto, c3.
A formulação desta função é a de uma equação de 2º grau, com os coeficientes: a0, a1
e a2.

46. 46
A função acima descrita tinha que conter uma excepção, devido existir a excepção já
mencionada no eixo entre os portos de Moerdijk e Antuérpia, e uma determinada zona da
Alemanha.
Para se introduzir esta excepção tem em primeiro lugar que se recorrer à tabela Excpj,p
já mencionada que revela ao modelo que cidades estão dentro do eixo que vem destes portos.
Na tabela é binária, todos os destinos assinalados com um 1 são excepções (Anexo 8).
Quando se faz o calculo de c3, ou seja quando se calcula qual o custo do transporte
entre cada porto e cada cidade. O modelo considera o facto dq que a formula não serve para
alguns destinos.
Depois, é introduzido o valor a aplicar nos casos excepcionais. Este valor, como aliás já
foi referido, é de 0.06 u.m./ ton.km.
Os dados acima referidos constituem todos os dados de entrada referentes ao caso de
estudo em análise e que será resolvido através da optimização do modelo apresentado em 4.

47. 47
6. Apresentação e discussão de
resultados
6.1 – Introdução
Chegámos agora à parte final do nosso trabalho, onde apresentamos os resultados do
nosso modelo, quando aplicados à situação real dos mercados da Bélgica, Holanda,
Luxemburgo e Alemanha.
Os resultados serão analisados da seguinte forma: em primeiro lugar manteremos o
posicionamento actual dos armazéns e portos utilizados pelo o grupo papeleiro e correremos o
modelo com essas localizações pré-seleccionadas, seguidamente deixaremos que o modelo
chegue a solução óptima propondo as localizações dos armazéns e seleccionando portos.
Depois compararemos o custo nas duas situações.
Com estas duas soluções, a solução actual e a óptima, faremos uma comparação das
localizações de armazéns e portos. A partir destas localizações analisaremos que rotas de
transporte primário e secundário são preferidas e preteridas em cada uma das situações. Para
cada uma das soluções estudaremos quais os custos envolvidos e se por ventura a proposta do
nosso modelo melhora a situação existente e se sim, em quanto.
O nosso trabalho centra-se, como já foi explicado, no calculo das localizações óptimas
dos armazéns e portos para o ano 2010, quando a nova máquina começar a produzir.
Contudo para validar o modelo, é necessário que façamos a sua verificação para o
momento actual. Isto é, com a procura actual, analisaremos quais são as diferenças em termos
de custos, de se utilizarem as localizações sugeridas pelo o modelo e de utilizar os portos e
armazéns que são os actualmente existentes. Se esta verificação for positiva, e se portanto o
nosso modelo sugerir localizações que diminuam os custos de transporte, então estaremos pelo
menos, perante um modelo fiável.
De seguida, analisaremos as localizações propostas pelo o modelo para os anos 2008 e
2010. Desta forma analisaremos a situação futura em 2010 e uma situação intermédia em 2008
comparando as alterações. Em ambas as situações teremos em conta o aumento da procura e
também dos preços, consequência da inflação.

48. 48
Por uma questão de metodologia dividiremos este capítulo em períodos temporais. Em
primeiro lugar, como já foi dito avaliaremos a situação actual e analisaremos a proposta do
modelo para a procura actual. Em segundo, faremos a análise da proposta do modelo para o ano
de 2008, bem como a análise do que aconteceria em termos de custos se se mantivessem as
localizações actuais. Far-se-á ainda a mesma análise para o ano de 2010.
Este capítulo terminará com uma breve conclusão sobre a alteração das localizações
dos portos e armazéns e que benefícios é que trará ou não. Teremos o cuidado de quantificar
em todos os casos, os benefícios, especialmente os benefícios ao nível da redução dos custos.
6.2 – Resultados
Análise para o ano de 2006
Nesta análise, faremos em primeiro lugar, como foi já explicado, a análise da localização
actual dos armazéns e portos para a procura actual. A isto se seguirá uma comparação entre as
propostas do modelo e a situação actual.
A seguir na Fig. 1, apresentamos um mapa da procura em 2006. Numa análise muito
breve pode ver-se que a zona onde a concentração da procura é maior, localiza-se a oeste.
Apesar da Alemanha ter a maior quota de vendas, em função da área territorial, a concentração
da procura é menor.

49. 49
48º49º50º51º52º53º54º55º
3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 12º 13º 14º
Fig. 2 - Mapa da densidade de procura
Posicionamento Actual da Procura de 2006
Fixado o porto de Moerdijk e os armazéns de Nuremberga e Frankfurt, corremos o
modelo para que os diversos clientes fossem alocados a cada uma destas estruturas. Desta
forma obtivemos um mapa de deslocação de mercadorias entre o porto e os armazéns, e entre
os armazéns e os clientes (Figura 4). Nesta figura representam-se: a localização do porto
(triangulo) e armazéns (quadrados) e a deslocação de mercadorias (setas).
> 1000 ton
< 1000 ton
< 100 ton

50. 50
48º49º50º51º52º53º54º55º
3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 12º 13º 14º
Fig.4 - Rotas actuais de transporte secundário
Dadas as localizações dos portos e armazéns cada armazém redistribui para os clientes
que estão mais próximos de si. Há contudo uma excepção, como já foi referido, para o eixo entre
os portos Holandeses e a zona oeste Alemã. Aqui, zonas mais perto do armazém de Frankfurt,
do que do porto de Moerdijk são ainda fornecidas por este último.
Também a partir da visualização do mapa, correspondente à Fig. 2, podemos reparar
que eventualmente esta não será a melhor distribuição dos armazéns. Pelo o facto de a Norte
não existir nenhum armazém e logo, para se cobrir as necessidades dessa área, ser necessário
os meios de redistribuição cobrirem centenas de quilómetros a partir de Frankfurt que mesmo
assim é ainda o armazém mais próximo desta área.
O seguinte gráfico seguinte, Fig. 3, descreve os custos de transporte primário, transporte
secundário e de armazenamento:

51. 51
Custos Para as Localizações Actuais - Procura
2006
0.E+00
5.E+06
1.E+07
2.E+07
2.E+07
3.E+07
CustoTransporte
Primário
Custo
Armazenamento
CustoTransporte
Secundário
CustoTotal
Custos(u.m.)
Fig. 5 - Custos para as localizações actuais com procura de 2006
É interessante notar, que o custo do transporte primário (transporte entre Portugal e os
armazéns ou portos) é claramente o custo mais importante. Nesta situação o custo total foi de
20,9 milhões de u.m. .
Vamos ver a seguir que proposta faz o modelo, para esta mesma procura, a procura
actual.
Posicionamento Proposto pelo Modelo para a Procura
em 2006
Corremos o modelo para a procura de 2006 sem fixar as localizações, como fizemos no
ponto anterior. O modelo optimizou portanto os custos do transporte primário e secundário.
As localizações propostas para os armazéns e os portos escolhidos estão representados
no mapa seguinte:

52. 52
48º49º50º51º52º53º54º55º
3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 12º 13º 14º
Fig. 6 - Localizações de armazéns e portos e rotas de transporte secundário propostos
pelo o modelo para a procura de 2006
Sem surpresa, o modelo propõe que se mantenha o porto de Moerdijk e um armazém no
sul da Alemanha. Hamburgo é o porto escolhido no Norte da Alemanha para abastecer a zona
de Berlim, Hannover e Bremen.
Evita-se assim o transporte secundário para grandes distâncias entre o sul da Alemanha
e o norte. Como este tipo de transporte é caro, os custos são minimizados com esta solução.
O armazém escolhido a sul tem as coordenadas: 49º 30’ N 9º 30’ E. Está entre as
cidades de Nuremberga e de Frankfurt.
Nesta hipótese passam pelo porto de Moerdijk mais de 80 mil toneladas e pelo o de
Hamburgo mais de 25 mil. No armazém a Sul são armazenadas exactamente 25 mil toneladas.
A exactidão deste valor resulta do facto de o minimumm handling ser 25 mil toneladas. Há
encomendas em que seria preferível a entrega ser feita através do porto de Moerdijk ou
Hamburgo, todavia são entregues por este armazém apenas para perfazer o mínimo de
tonelagem. Apesar de aparentemente ser uma contradição, faz todo o sentido, este
procedimento pois há outras encomendas que teriam custos de transporte secundário
elevadíssimos se fossem descarregadas num daqueles portos.
No gráfico seguinte mostram-se os custos principais para este conjunto de localizações.
O custo total nesta situação foi de 17.6 milhões de u.m..

53. 53
Custos para as Localizações Porpostas pelo o
Modelo - Procura 2006
0.00E+00
5.00E+06
1.00E+07
1.50E+07
2.00E+07
Custo
Transporte
Primário
Custo
Armazenamento
Custo
Transporte
Secundário
CustoTotal
Custos(u.m.)
Fig. 7 - Custos para as localizações propostas pelo o modelo com procura de 2006
Comparação entre as Localizações Actuais e as
Propostas pelo o Modelo para a Procura de 2006
No gráfico seguinte, Fig. 8, comparam-se os custos do transporte primário, secundário,
de armazenamento e os custos totais para as localizações actuais e para as localizações
propostas pelo o modelo.
Comparação dos Custos para as Localizações
Propostas pelo o Modelo e as Actuais - Procura 2006
0.00E+00
5.00E+06
1.00E+07
1.50E+07
2.00E+07
2.50E+07
CustoTransporte
Primário
Custo
Armazenamento
CustoTransporte
Secundário
CustoTotal
Custos(u.m)
Actual 2006
Modelo 2006
Fig. 8 - Comparação de custos entre as localizações propostas pelo o modelo e as
actuais para a procura de 2006
O custo do transporte primário reduz-se cerca de 400 mil u.m.. Isto deve-se ao facto de
se trocar um dos armazéns do sul da Alemanha pelo o porto de Hamburgo. Como o transporte
marítimo é mais barato que o terrestre, há aqui também uma poupança.

54. 54
Como seria de esperar o custo de armazenamento mantêm-se, visto que a quantidade
de carga armazenada em portos ou armazéns é sempre a mesma. Isto compreende-se bem
tendo em conta que a procura é a mesma e é sempre satisfeita.
O transporte secundário torna-se bastante mais económico, uma vez que existindo um
porto a norte se torna desnecessário abastecer as cidades nessa zona a partir de armazéns
localizados a sul.
O custo total aproximadamente reduz-se 3 300 mil unidades monetárias. Admitindo que
cada unidade monetária é equivalente a 1 € temos uma redução de 3 300 000 € ou seja o
equivalente a 660 000 contos.
Conclui-se portanto, que as localizações propostas pelo o modelo diminuem os custos
do transporte primário e secundário, o que conduz a uma diminuição bastante importante do
custo total de 20,9 milhões para 17.6 milhões de u.m. .
Análise para o ano de 2008
Todo o nosso trabalho se centra na situação em 2010 quando a nova máquina, estiver
em pleno funcionamento. Contudo resolvemos estudar um cenário intermédio para estudar a
evolução das localizações dos armazéns e portos e dos custos de transporte. Assim teremos a
comparação entre as localizações actuais, e as propostas para o modelo no ano de 2008.
Foram-nos também fornecidas previsões da procura em 2008. O seguinte quadro
resume o aumento da procura:
Tabela 8 - Previsão do aumento da procura para 2008
%
Bélgica 27
Holanda 9
Alemanha 28
Luxemburgo 28
Foi-nos também indicado que os valores de inflação anual a serem considerados,
deveriam ser os seguintes: 5% - transportes rodoviários e 3% - transportes marítimos.

55. 55
Posicionamento Actual com Procura de 2008
Fixando de novo as localizações actuais do porto e armazéns, fizemos correr de novo o
modelo, com a procura prevista para 2008, e com os custos actualizados pela infracção.
O gráfico que segue traduz esses custos:
Custos para as Localizações Actuais - Procura
2008
0.00E+00
5.00E+06
1.00E+07
1.50E+07
2.00E+07
2.50E+07
3.00E+07
CustoTransporte
Primário
Custo
Armazenamento
CustoTransporte
Secundário
CustoTotal
Custos(u.m.)
Fig. 9 - Custos para as localizações actuais com procura de 2008
Em relação aos custos com as localizações actuais para a procura de 2006, todos os
custos crescem. O custo que mais cresce é o custo do transporte primário, pois sendo
proporcional à carga transportada, e como é o maior custo por tonelada, também é o que cresce
mais.
Posicionamento Proposto pelo o Modelo para a
Procura de 2008
De novo sem fixar as localizações, para a procura prevista em 2008 e com os preços de
transporte actualizado, corremos o modelo.
As localizações propostas pelo o modelo, para os armazéns e para os portos estão
representadas no mapa seguinte:

56. 56
48º49º50º51º52º53º54º55º
3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 12º 13º 14º
Fig. 10 - Localizações de armazéns e portos e rotas de transporte secundário propostos
pelo o modelo para a procura de 2008
As localizações mantêm-se as mesmas relativamente à proposta para 2006. Não
havendo portanto, neste intervalo de tempo, necessidade de se fazerem nenhumas alterações
nos contratos feitos com as entidades dos portos e armazém.
Pelo porto de Moerdijk passam presentemente cerca de 95 mil toneladas enquanto pelo
o porto de Hamburgo passam mais de 32 mil. No armazém a Sul são armazenadas cerca de 31
mil toneladas.
Os custos envolvidos nesta situação são apresentados no gráfico seguinte:
Custos para as Localizações Propostas pelo o
Modelo - Procura de 2008
0.00E+00
5.00E+06
1.00E+07
1.50E+07
2.00E+07
2.50E+07
CustoTransporte
Primário
Custo
Armazenamento
CustoTransporte
Secundário
CustoTotal
Custos(u.m)
Modelo 2008

57. 57
Fig. 11 - Custos para as localizações propostas pelo o modelo com procura de 2008
Tal como foi já referido todos os custos aumentam. O custo do transporte primário é o
que apresenta o aumento mais significativo.
Comparação entre as Localizações Actuais e as
Propostas pelo Modelo para a Procura de 2008
Comparam-se os diversos custos de transporte e os de armazenamento para as
localizações propostas pelo o modelo e para as existentes actualmente.
Comparação dos Custos para as Localizações
Propostas pelo o Modelo e as Actuais - Procura
de 2008
0.00E+00
5.00E+06
1.00E+07
1.50E+07
2.00E+07
2.50E+07
3.00E+07
Custo
Transporte
Primário
Custo
Armazenament
o
Custo
Transporte
Secundário
CustoTotal
Custos(u.m.)
Actual 2008
Modelo 2008
Fig. 12 - Comparação de custos entre as localizações propostas pelo o modelo e as
actuais para a procura de 2008
A situação é muito semelhante à comparação já feita para 2006. Como a procura é
maior, a carga transportada é também maior, o facto de as localizações serem optimizadas
traduz-se ainda, em maiores poupanças. Senão veja-se: em 2006 a redução no custo do
transporte primário seria de 400 mil u.m. e a redução no transporte secundário de 2 870 mil u.m.
. Já em 2008 a redução, devido ao facto das localizações serem optimizadas, é de 700 mil u.m.
para o transporte primário e de 4 100 mil u.m. para o transporte secundário. As reduções de
custo aumentam assim fortemente.
No ano de 2008 com as actuais localizações de armazéns e portos o custo total seria de
27.8 milhões u.m., com as novas localizações passar-se-ia para 23.0 milhões de u.m.
Daqui concluímos que se a situação se mantiver como está, em 2008, e sendo 1 u.m.
igual a 1€ perder-se-ão só neste ano 4,8 milhões de euros.

58. 58
Análise para o ano de 2010
O ano de 2010 é o ano em que se prevê que a nova máquina da Figueira da Foz esteja
em pleno funcionamento. A análise deste cenário portanto o objectivo principal deste trabalho.
Para o ano de 2010, foram-nos fornecidas as seguintes previsões de aumento da
procura, relativamente a 2006.
Tabela 1 - Previsão do aumento da procura nos vários países para 2010
%
Belgica 54
Holanda 18
Alemanha 56
Luxemburgo 56
A inflação mantém-se a 5 % ao ano para os transportes rodoviários, e a 3% ao ano para
os transportes marítimos.
Posicionamento Actual com Procura de 2010
Mais uma vez, fixámos o porto de Moerdijk e os armazéns de Frankfurt e Nuremberga e
corremos o modelo para a procura de 2010 e a preços também de 2010.
Os custos obtidos foram os seguintes:
Custo para as Localizações Actuais - Procura
2010
0.00E+00
5.00E+06
1.00E+07
1.50E+07
2.00E+07
2.50E+07
3.00E+07
3.50E+07
4.00E+07
CustoTransporte
Primário
Custo
Armazenamento
CustoTransporte
Secundário
CustoTotal
Custos(u.m.)
Fig. 13 - Custos para as localizações actuais com procura de 2010