differential geometry

1. ´
Algebra I
Folhas de Exerc´
ıcios (2006/2007)
• Rela¸˜es bin´rias
co a
1. Em cada um dos seguintes casos, verifique se a rela¸˜o bin´ria R no conjunto A ´ uma
ca a e
rela¸˜o de ordem, parcial ou total, ou uma rela¸˜o de equivalˆncia.
ca ca e
a) A = N, xRy sse x + 1 = y;
b) A = N, xRy sse x + 1 < y;
c) A = Z, xRy sse xy > 0;
d) A = R, xRy sse |x − y| < 5;
e) A = R2 , (x1 , y1 )R(x2 , y2 ) sse x1 < x2 ou (x1 = x2 e y1 ≤ y2 );
f) A = R2 , X1 RX2 sse X2 − X1 ∈ {(x, y) ∈ R2 : 2x − 3y = 0};
g) A = C, zRw sse |z| = |w|;
h) A = C, zRw sse |z| ≤ |w|;
i) A = {fun¸˜es de R em R}, f Rg sse f (1) = g(1);
co
j) A = {fun¸˜es de R em R}, f Rg sse f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ R;
co
k) A um conjunto qualquer de conjuntos, XRY sse |X| = |Y |.
2. Dˆ exemplo de uma rela¸˜o bin´ria no conjunto A = {1, 2, 3} que n˜o seja uma rela¸˜o
e ca a a ca
de equivalˆncia mas que seja
e
a) reflexiva e sim´trica;
e b) sim´trica e transitiva;
e c) reflexiva e transitiva.
3. Represente graficamente a rela¸˜o bin´ria R = {(x, y) ∈ R2 : x−y ´ m´ltiplo inteiro de 3}
ca a e u
e verifique que ´ uma rela¸˜o de equivalˆncia em R.
e ca e
4. Sejam n ∈ N e A = {divisores naturais de n}.
a) Mostre que a rela¸˜o de divisibilidade ´ uma rela¸˜o de ordem parcial em A.
ca e ca
b) No caso n = 12, esboce o diagrama de Hasse correspondente ao conjunto A parcialmente
ordenado por esta rela¸˜o, e verifique que a ordem n˜o ´ total. Nesse conjunto, determine
ca a e
(caso existam) os majorantes, minorantes, supremo, ´ ınfimo, m´ximo e m´
a ınimo, elementos
maximais e elementos minimais do subconjunto B = {2, 4, 6}.
c) Caracterize os valores de n para os quais esta rela¸˜o de ordem em A ´ total.
ca e
5. Justifique que um subconjunto de um conjunto bem ordenado ´ bem ordenado (pela
e
ordem induzida).
6. Conte o n´mero de rela¸˜es de equivalˆncia diferentes que ´ poss´
u co e e ıvel definir num
conjunto com 1, 2, 3 e 4 elementos. (Sugest˜o: considere as parti¸˜es associadas)
a co
7. Sendo ∼ uma rela¸˜o de equivalˆncia num conjunto A, em que casos ´ que a aplica¸˜o
ca e e ca
quociente A → A/ ∼ ´ injectiva?
e
a → [a]

2. 2 ´
Algebra I 2006/7
• Grupos
8. Quantas opera¸˜es bin´rias podem ser definidas num conjunto com n elementos?
co a
Quantas destas i) tˆm elemento neutro? b) s˜o comutativas? c) s˜o comutativas e tˆm
e a a e
elemento neutro?
9. Em cada um dos seguintes casos, verifique se (G, ∗) ´ um grupo.
e
a) G = N, ∗ = adi¸˜o usual;
ca
b) G = Z, ∗ = adi¸˜o usual;
ca
c) G = {inteiros pares}, ∗ = adi¸˜o usual;
ca
d) G = Q, ∗ = multiplica¸˜o usual;
ca
e) G = Q {0}, ∗ = multiplica¸˜o usual;
ca
f) G = {z ∈ C : |z| = 1}, ∗ = multiplica¸˜o usual;
ca
g) G = {z ∈ C : z n = 1}, ∗ = multiplica¸˜o usual (n ∈ N);
ca
h) G = R R , ∗ = adi¸˜o de fun¸˜es;
ca co
i) G = R R , ∗ = composi¸˜o de fun¸˜es;
ca co
j) G = {bijec¸˜es de R em R}, ∗ = composi¸˜o de fun¸˜es;
co ca co
k) G = Z, x ∗ y = m´x{x, y};
a
l) G = Z, x ∗ y = 2x + 2y + xy;
x+y
m) G = R+ , x ∗ y = 1+xy ;
n) G = R+ {1}, x ∗ y = xlog2 y ;
o) G = R, x ∗ y = 3 x3 + y 3 .
10. Considere em G = R {−1} a opera¸˜o ∗ definida por x ∗ y = x + y + xy. Mostre que
ca
(G, ∗) ´ um grupo e resolva em G a equa¸˜o 2 ∗ x ∗ 3 = 7.
e ca
11. Mostre que ({f1 , f2 , f3 , f4 }, ◦) ´ um grupo, onde f1 , f2 , f3 , f4 : R {0} → R {0} s˜o
e a
1 1
definidas respectivamente por f1 (x) = x, f2 (x) = x , f3 (x) = −x e f4 (x) = − x . Construa a
respectiva tabela.
12. a) Construa a tabela do grupo (Z∗ , ·7 ). Determine os inversos de 2 e 4 neste grupo e
7
resolva as equa¸˜es 2 ·7 x = 3 e x ·7 4 = 5.
co
b) Construa a tabela do grupo (Z∗ , ·8 ). Determine os inversos de 3 e 5 neste grupo e
8
resolva as equa¸˜es 3 ·8 x = 7 e x ·8 5 = 3.
co
13. Mostre que um grupo (G, ∗) tem um unico elemento idempotente (i.e., um unico
´ ´
elemento x tal que x ∗ x = x).
14. Mostre que se (G, ∗) ´ um grupo, com elemento neutro e, tal que para todo o x ∈ G,
e
x ∗ x = e, ent˜o G ´ abeliano.
a e

3. ´
Algebra I 2006/7 3
15. Mostre que um grupo (G, ∗) ´ abeliano se e s´ se, para quaisquer a, b ∈ G, a2 ∗ b2 =
e o
(a ∗ b)2.
16. Seja (G, .) um grupo, com elemento neutro e. Mostre que se a, b s˜o elementos de G
a
tais que a2 = e e aba = b3 , ent˜o b8 = e.
a
17. Sejam (G, ∗) um grupo e (S, •) um grup´ide. Mostre que (S, •) ´ um grupo se
o e
a) existe uma bijec¸˜o f : S → G tal que ∀x, y ∈ S, f (x • y) = f (x) ∗ f (y);
ca
b) existe uma fun¸˜o sobrejectiva f : G → S tal que ∀a, b ∈ G, f (a ∗ b) = f (a) • f (b).
ca
18. Considere em N a opera¸˜o definida por x ∗ y = x.
ca
a) Mostre que ∗ ´ associativa.
e
b) Mostre que existe em N elemento neutro ` direita para ∗ (´nico?).
a u
c) Sendo e um elemento neutro a direita, mostre que para cada x ∈ N existe x′ ∈ N tal
`
que x′ ∗ x = e.
d) Justifique que (N, ∗) n˜o ´ um grupo.
a e
19. Considere em R a opera¸˜o definida por x ∗ y = x + y + x2 y.
ca
a) Mostre que existe elemento neutro e que cada elemento tem inverso ` direita.
a
b) Determine os elementos que tˆm inverso ` esquerda e os elementos invert´
e a ıveis.
20. Seja ∗ uma opera¸˜o bin´ria associativa num conjunto G, com um elemento neutro `
ca a a
direita e, tal que para cada x ∈ G existe x′ ∈ G satisfazendo x ∗ x′ = e. Mostre que (G, ∗) ´
e
um grupo. (Sugest˜o: comece por provar que e ´ o unico idempotente de G)
a e ´
21. Sendo X um conjunto, verifique que o conjunto de todas as fun¸˜es sobrejectivas de
co
X em X, munido da opera¸˜o de composi¸˜o, ´ um mon´ide mas n˜o ´ um grupo. Justifique
ca ca e o a e
que este exemplo n˜o contradiz o resultado do exerc´ anterior.
a ıcio
22. Seja ∗ uma opera¸˜o bin´ria associativa num conjunto n˜o vazio G tal que, para
ca a a
quaisquer a, b ∈ G, as equa¸˜es a ∗ x = b e y ∗ a = b tˆm solu¸˜o. Mostre que (G, ∗) ´ um
co e ca e
grupo. (Sugest˜o: tomando um qualquer a ∈ G, considere e ∈ G tal que a ∗ e = a; prove que
a
e ´ elemento neutro ` direita; para cada x ∈ G considere ent˜o x′ ∈ G tal que x ∗ x′ = e e use
e a a
o exerc´ 20)
ıcio
23. Seja G um grupo finito com identidade e. Mostre que, para todo o a ∈ G, existe
n ∈ N tal que an = e.
24. a) Mostre que a rela¸˜o bin´ria ∼ definida num grupo G por
ca a
∀x, y ∈ G, x ∼ y sse (x = y ∨ x = y −1 )

4. 4 ´
Algebra I 2006/7
´ uma rela¸˜o de equivalˆncia e identifique as classes de equivalˆncia.
e ca e e
b) Mostre que num grupo finito de ordem par existem pelo menos dois elementos x tais
que x2 = 1. (Sugest˜o: argumente que, caso contr´rio, a uni˜o das classes de equivalˆncia da
a a a e
rela¸˜o definida na al´
ca ınea anterior teria um n´mero ´
u ımpar de elementos)
25. Em cada um dos seguintes casos, diga se f : R → R ´ uma permuta¸˜o de R: ∀x ∈ R,
e ca
a) f (x) = x − 1; b) f (x) = x2 ; c) f (x) = ex .
26. Determine as ´rbitas de cada uma das seguintes permuta¸˜es  Z: ∀x ∈ Z,
o co de
 x + 1, se 3 ≤ x ≤ 8
a) f (x) = x+2; b) f (x) = x−5; c) f (x) = 3, se x = 9 .
x, se x ≤ 2 ou x > 9

27. Escreva cada uma das seguintes permuta¸˜es como produto de ciclos disjuntos e como
co
produto de transposi¸˜es. Indique a paridade de cada uma das permuta¸˜es.
co co
1 2 3 4 1 2 3 4
a) b)
2 3 4 1 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8
c) d)
5 6 3 4 2 1 7 5 4 3 2 8 1 6
e) 1 2 4 6 4 3 2 5 f) 2 5 8 3 6 5 7 4 3 8
g) 1 2 3 4 5 5 4 3 1 2 h) 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
28. Considere em S6 as permuta¸oes p =
c˜ ,q= ,
3 5 4 1 6 2 2 4 1 3 6 5
1 2 3 4 5 6
r= et= 2 6 .
5 2 4 3 1 6
a) Escreva p, q e r como produto de ciclos disjuntos.
b) Determine a ´rbita de 1 para as permuta¸˜es p, q e r.
o co
c) Calcule pq, pt, tp, p 2 , p3 , tpt1 , p2 r, qp−2 , pqp−1 , p100 , q 36 , pqp−1 q −1 e rtr −1 t−1 .
d) Determine a paridade de p5 , qp−1 e tn , com n ∈ N.
29. Diga, justificando, quais das seguintes afirma¸˜es s˜o verdadeiras.
co a
a) Qualquer fun¸˜o injectiva de um conjunto em si pr´prio ´ uma permuta¸˜o.
ca o e ca
b) Qualquer permuta¸˜o ´ uma fun¸˜o injectiva.
ca e ca
c) O grupo S10 tem ordem 10.
d) Qualquer permuta¸˜o ´ um ciclo.
ca e
e) Qualquer ciclo ´ uma permuta¸˜o.
e ca
f) O produto de dois ciclos ´ sempre um ciclo.
e
g) O produto de dois ciclos pode ser um ciclo.
h) Um ciclo de comprimento par ´ uma permuta¸˜o par.
e ca
i) O produto de duas transposi¸˜es ´ sempre uma transposi¸˜o.
co e ca
j) O produto de duas transposi¸oes pode ser uma transposi¸˜o.
c˜ ca
l) A5 tem ordem 120.

5. ´
Algebra I 2006/7 5
m) A3 ´ abeliano.
e
30. Construa as tabelas dos grupos A3 e A4 .
31. Seja p uma permuta¸˜o ´
ca ımpar em Sn , com n ≥ 2. Mostre que toda a permuta¸˜o
ca
´
ımpar se escreve como produto de p com uma permuta¸˜o de An .
ca
32. Mostre que se n ≥ 3 ent˜o a unica permuta¸˜o p de Sn que satisfaz pq = qp, para
a ´ ca
todo o q ∈ Sn , ´ a identidade. Conclua que Sn n˜o ´ abeliano, se n ≥ 3.
e a e
33. a) Mostre que todo o ciclo em Sn pode ser escrito como produto de k transposi¸˜es,
co
em que k ≤ n − 1.
b) Mostre que toda a permuta¸˜o de Sn que n˜o ´ um ciclo pode ser escrita como produto
ca a e
de k transposi¸˜es, em que k ≤ n − 2.
co
34. A ordem de um elemento a de um grupo G ´ o menor inteiro positivo r tal que ar ´
e e
o elemento neutro de G.
a) Qual ´ a ordem das permuta¸˜es α = 1 8 3 6 5 , β = 4 5
e co 2 3 7 e
γ= 1 4 5 3 5 7 8 do grupo S8 ?
b) Enuncie e demonstre um resultado sugerido pela al´
ınea anterior.
35. a) Sejam p = 1 2 3 4 5 e q = 1 2 3 4 5 6 permuta¸˜es de S6 .
co
Escreva p2 , p3 , p4 , q 2 , q 3 e q 4 como produto de ciclos disjuntos.
b) Seja p ∈ Sn um ciclo de comprimento k. Mostre que:
i) se k ´ par, ent˜o p2 n˜o ´ um ciclo;
e a a e
e ımpar, ent˜o p2 ´ um ciclo;
ii) se k ´ ´ a e
iii) se k n˜o ´ m´ltiplo de 3, ent˜o p3 ´ um ciclo.
a e u a e
iv) se d|k, ent˜o p a e
a d n˜o ´ um ciclo;
v) se (d, k) = 1, ent˜o pd ´ um ciclo.
a e
36. a) Descreva o grupo das isometrias lineares de R, O(1, R).
b) Mostre que se f ´ uma isometria de R e f (0) = 0, ent˜o f ´ linear.
e a e
c) Mostre que as isometrias de R s˜o exactamente as fun¸˜es afins obtidas por composi¸˜o
a co ca
de uma translac¸˜o com uma isometria linear.
ca
d) Descreva o grupo das isometrias de R, E(1, R). Identifique os elementos do grupo que
s˜o inversos de si pr´prios.
a o
e) Descreva o grupo das simetrias de um ponto em R.
f) Descreva o grupo das simetrias de um segmento de recta em R.
37. Justifique que o conjunto das isometrias lineares de Rn com determinante 1 formam

6. 6 ´
Algebra I 2006/7
um grupo relativamente ` composi¸˜o.
a ca
38. Construa a tabela dos grupos D3 , D4 , D5 e grupo de Klein.
39. Considere os grupos G1 = (Z, +), G2 = (9Z, +), G3 = (Q+ , ·), G4 = (R, +), G5 =
({π n : n ∈ Z}, ·), G6 = (R+ , ·), G7 = (3Z, +), G8 = (6Z, +) e G9 = ({4n : n ∈ Z}, ·). Para
cada i, j ∈ {1, . . . , 9}, diga se Gi ´ subgrupo de Gj .
e
40. Sejam G um grupo abeliano com elemento neutro e e n ∈ N. Mostre que {x ∈ G :
xn = e} ´ um subgrupo de G.
e
41. Sendo G um grupo, defina-se o centro de G como C(G) = {a ∈ G : ∀x ∈ G, ax = xa}.
a) Mostre que C(G) ´ um subgrupo abeliano de G.
e
b) Determine o centro do grupo linear geral GL(n, R).
42. Determine o n´mero de elementos de cada um dos seguintes subconjuntos de S5 e
u
verifique se s˜o subgrupos de S5 .
a
a) {p ∈ S5 : p(3) = 3}; b) {p ∈ S5 : p(3) = 4}; c) {p ∈ S5 : p(1) ∈ {1, 2}};
d) {p ∈ S5 : p({1, 2}) = {1, 2}}; e) {p ∈ S5 : p({1, 2}) = {3, 4}}.
43. Determine todos os subgrupos de S3 e a ordem de cada um dos seus elementos.
44. Diga, justificando, quais das seguintes afirma¸˜es s˜o verdadeiras.
co a
a) As permuta¸˜es ´
co ımpares de S8 formam um subgrupo de S8 .
b) Se H ´ um subgrupo n˜o trivial de S9 que cont´m uma permuta¸˜o ´
e a e ca ımpar, ent˜o H
a
cont´m uma transposi¸˜o.
e ca
c) Se H e K s˜o subgrupos de um grupo G, ent˜o H ∪ K ´ um subgrupo de G.
a a e
d) Se H e K s˜o subgrupos de um grupo G, ent˜o H ∩ K ´ um subgrupo de G.
a a e
e) Se todos os subgrupos pr´prios de um grupo G s˜o abelianos, ent˜o G ´ abeliano.
o a a e
45. Mostre que num subgrupo de Sn , ou todas as permuta¸˜es s˜o pares ou metade das
co a
permuta¸˜es s˜o pares.
co a
46. Seja G um grupo. Para cada a ∈ G, considere a aplica¸˜o λa : G → G definida por
ca
λa (g) = ag, ∀g ∈ G.
a) Mostre que, para todo o a ∈ G, λa ´ uma permuta¸˜o de G e determine a sua inversa.
e ca
b) Verifique que H = {λa : a ∈ G} ´ um subgrupo de SG .
e
47. a) Mostre que se H e K subgrupos de um grupo abeliano G, ent˜o HK = {xy : x ∈
a
H ∧ y ∈ K} ´ um subgrupo de G.
e

7. ´
Algebra I 2006/7 7
b) Dˆ exemplo de subgrupos H e K de S3 tais que HK n˜o seja um subgrupo de S3 .
e a
48. Seja H um subgrupo de um grupo G. Mostre que a rela¸˜o ∼ definida por
ca
∀a, b ∈ G, a ∼ b se e s´ se ab−1 ∈ H
o
´ uma rela¸˜o de equivalˆncia em G. Justifique que H ´ uma classe de equivalˆncia.
e ca e e e
49. Seja (G, ∗) um grupo. Mostre que se H ´ um subconjunto finito n˜o vazio de G, ent˜o
e a a
H ´ um subgrupo de G se e s´ se H ´ fechado para ∗.
e o e
50. Mostre que se A e B s˜o subconjuntos de um grupo G, ent˜o:
a a
a) Se A ⊆ B ent˜o A ⊆ B ;
a
b) A ∩ B ⊆ A ∩ B . (Poder´ acontecer A ∩ B = A ∩ B ?).
a
51. Diga, justificando, quais dos seguintes grupos Gi (i ∈ {1, . . . , 6}) s˜o c´
a ıclicos, in-
dicando, nesses casos, todos os seus geradores: G1 = (Z, +), G2 = (Q, +), G3 = (Q+ , ·),
√
G4 = (6Z, +), G5 = ({6n : n ∈ Z}, ·) e G6 = ({a + b 2 : a, b ∈ Z}, +).
52. Determine todos os subgrupos de (Zn , +), para n ∈ {4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 18} e esboce
os respectivos reticulados.
53. Mostre que os geradores de (Zn , +) s˜o os elementos a tais que (a, n) = 1.
a
54. Considere o grupo (G, ·), em que G = {z ∈ C : |z| = 1}.
a) Mostre que, para cada n ∈ N, Cn = {z ∈ C : z n = 1} ´ um subgrupo c´
e ıclico de G.
2π 2π
b) Determine a ordem do subgrupo cos 3 + isen 3 de C6 .
c) Determine a ordem do subgrupo cos 4π + isen 4π de C5 .
5 5
 
0 0 0 1
 0 0 1 0 
55. Determine a ordem do subgrupo de GL(4, R) gerado pela matriz 
 1
.
0 0 0 
0 1 0 0
56. Diga, justificando, se as seguintes afirma¸˜es s˜o verdadeiras ou falsas.
co a
a) Qualquer elemento de um grupo c´ ıclico ´ gerador desse grupo.
e
b) Para cada n ∈ N, existe um grupo abeliano de ordem n.
c) Todo o grupo abeliano ´ c´
e ıclico.
b) O grupo S3 ´ c´
e ıclico.
c) O grupo Sn n˜o ´ c´
a e ıclico para nenhum n ∈ N.
d) Se G ´ um grupo tal que todos os seus subgrupos pr´prios s˜o c´
e o a ıclicos, ent˜o G ´ c´
a e ıclico.
e) Se G ´ um grupo sem nenhum subgrupo pr´prio n˜o trivial, ent˜o G ´ c´
e o a a e ıclico.

8. 8 ´
Algebra I 2006/7
57. Mostre que um grupo c´
ıclico com um unico gerador tem no m´ximo dois elementos.
´ a
58. Seja G um grupo c´ıclico de ordem n e seja d um divisor de n.
a) Mostre que a equa¸˜o xd = e tem d solu¸˜es em G.
ca co
b) Justifique que G tem exactamente um subgrupo de ordem d.
59. Sejam r, s ∈ N.
a) Mostre que {nr + ms : n, m ∈ Z} ´ um subgrupo de Z e determine o seu gerador.
e
b) Mostre que {n ∈ Z : n = pr = qs, para alguns p, q ∈ Z} ´ um subgrupo de Z e
e
determine o seu gerador.
0 −1 0 1
60. Considere os elementos A = eB= do grupo linear GL(2, R).
1 0 −1 1
Mostre que A tem ordem 4, B tem ordem 3 e AB tem ordem infinita.
61. Esboce os grafos de Cayley de Z8 relativamente aos conjuntos de geradores A = {1}
e B = {2, 5}.
62. Para cada uma das seguintes propriedades, v´lidas em qualquer grafo de Cayley
a
Γ(G, A), em que G ´ um grupo e A ´ um conjunto de geradores de G, enuncie a propriedade
e e
correspondente no grupo G.
a) O grafo ´ conexo (i.e., dados quaisquer dois v´rtices v1 e v2 , existe um caminho com
e e
v´rtice inicial v1 e v´rtice final v2 ).
e e
b) Dados quaisquer dois v´rtices v1 e v2 , existe no m´ximo uma aresta com v´rtice inicial
e a e
v1 e v´rtice final v2 .
e
c) Para cada v´rtice V e cada a ∈ A, existe exactamente uma aresta etiquetada por a com
e
v´rtice inicial v.
e
d) Se dois caminhos c1 e c2 com o mesmo v´rtice inicial v tˆm o mesmo v´rtice final, ent˜o,
e e e a
para qualquer v´rtice v
e ′ , dois caminhos c′ e c′ com v´rtice inicial v ′ e cujas sequˆncias das
e e
1 2
etiquetas das arestas s˜o iguais `s de c1 e c2 respectivamente, tamb´m terminam no mesmo
a a e
v´rtice.
e
63. Considere o grupo G, gerado por A = {a, b}, cujo grafo de Cayley est´ representado
a
na figura ao lado.
a) Verifique se G ´ abeliano.
e a
b) Determine todos os elementos de G (expressos
b=b-1
em fun¸˜o dos geradores a e b) e construa a respec-
ca
tiva tabela.
c) Verifique se, em G, s˜o v´lidas as igualdades
a a
a 2 b = b2 a, aba = b, ba3 = ab3 , a−1 b−1 = ba e b−1 a =
ab−1 .

9. ´
Algebra I 2006/7 9
64. a) Mostre que o grupo das simetrias de um quadrado D4 ´ gerado por A = {r, ρ},
e
π
em que r ´ a rota¸˜o de 2 em torno do centro e ρ ´ a reflex˜o num dos eixos de simetria
e ca e a
do quadrado. Esboce o grafo de Cayley de D4 relativamente a este conjunto de geradores e
verifique as rela¸˜es ρ2 = I, r 4 = I e rρ = ρr −1 .
co
b) Mais geralmente, o grupo das simetrias de um pol´ ıgono regular de n lados Dn ´ gerado
e
π
por A = {r, ρ}, em que r ´ a rota¸˜o de n em torno do centro e ρ ´ a reflex˜o num dos eixos
e ca e a
de simetria do pol´
ıgono, verificando-se as rela¸˜es ρ
co 2 = I, r n = I e rρ = ρr −1 . Esboce o grafo
de Cayley de Dn relativamente a este conjunto de geradores.
65. Em cada um dos seguintes casos, determine as classes laterais esquerdas e direitas de
H em G e determine (G : H). Verifique em que casos H ´ um subgrupo normal de G.
e
a) G = Z, H = 5Z b) G = 2Z, H = 4Z
c) G = Z10 , H = 2 d) G = Z10 , H = 5
e) G = (Z∗11 , ·), H = {1, 3, 4, 5, 9} f) G = (Z∗15 , ·), H = 2
2π
g) G = Sn , H = An h) G = Dn , H = r , onde r = rota¸˜o de
ca n .
65. Sejam G um grupo, H um subgrupo de G e a, b ∈ G. Diga, justificando, se as
seguintes afirma¸˜es s˜o sempre verdadeiras.
co a
a) Se aH = bH, ent˜o Ha = Hb;
a b) aH = bH sse b ∈ aH;
c) Se aH = bH, ent˜o Ha−1 = Hb−1 ;
a d) Se aH = bH ent˜o a2 H = b2 H.
a
66. Seja G um grupo e H um subgrupo de G. Mostre que o n´mero de classes laterais
u
esquerdas de H em G ´ igual ao n´mero de classes laterais direitas. (Sugest˜o: Verifique
e u a
que a correspondˆncia aH → Ha
e −1 define uma bijec¸˜o entre o conjunto das classes laterais
ca
esquerdas e o conjunto das classes laterais direitas).
67. Considere o subgrupo H = {p ∈ S8 : p(5) = 5} de S8 .
a) Verifique se H ´ um subgrupo normal.
e
b) Descreva as classes laterais esquerdas e direitas de H que contˆm transposi¸˜es.
e co
68. Dˆ um exemplo (ou mostre que n˜o existe) de
e a
a) um subgrupo de um grupo abeliano G cujas classes laterais esquerdas formem uma
parti¸˜o de G diferente da formada pelas classes laterais direitas;
ca
b) um subgrupo de um grupo G cujas classes laterais esquerdas formem uma parti¸˜o de
ca
G apenas com um elemento;
c) um subgrupo de um grupo de ordem 6 cujas classes laterais esquerdas formem uma
parti¸˜o de G com 6 elementos;
ca

10. 10 ´
Algebra I 2006/7
d) um subgrupo de um grupo de ordem 6 cujas classes laterais esquerdas formem uma
parti¸˜o de G com 4 elementos.
ca
69. Sejam H e K subgrupos de um grupo G tais que K ≤ H ≤ G. Mostre que se (G : H)
e (H : K) s˜o ambos finitos, ent˜o (G : K) = (G : H) · (H : K). (Sugest˜o: Sendo ai H,
a a a
i = 1, . . . , r as diferentes classes esquerdas de H em G e bj H, j = 1, . . . , s as diferentes classes
esquerdas de K em H, mostre que (ai bj )K, i = 1, . . . , r, j = 1, . . . , s s˜o as diferentes classes
a
esquerdas de K em G.)
70. Determine todos os subgrupos dos grupos diedrais D3 e D4 .
71. Use o Teorema de Lagrange para mostrar o Teorema de Euler:
Se a, n ∈ N e (a, n) = 1, ent˜o aϕ(n) ≡ 1(mod m)
a
(em que ϕ(n) ´ o n´mero de inteiros positivos menores que n e primos com n).
e u
72. Em cada um dos casos seguintes, diga se H ´ um subgrupo normal de G:
e
a) G = GL(n, R), H = SL(n, R) = {M ∈ Mn (R) : det(M ) = 1}.
b) G = {isomorfismos lineares de R2 }, H = O(2, R).
73. Mostre que se H ´ um subgrupo de ´
e ındice 2 de um grupo G, ent˜o H ´ normal.
a e
74. Sejam G um grupo e H e N subgrupos de G.
a) Mostre que se H e N s˜o normais, ent˜o H ∩ N tamb´m ´ normal.
a a e e
b) Mostre que se N ´ normal, ent˜o H ∩ N ´ um subgrupo normal de H. Ser´ que H ∩ N
e a e a
´ necessariamente um subgrupo normal de G?
e
c) Mostre que se N ´ normal, ent˜o HN ´ um subgrupo de G. Al´m disso, se H tamb´m
e a e e e
´ normal, ent˜o HN ´ normal.
e a e
75. Diga, justificando, se as seguintes afirma¸˜es s˜o verdadeiras.
co a
a) Qualquer subgrupo de um grupo ´ uma classe lateral de si mesmo.
e
b) Um grupo quociente de um grupo abeliano ´ necessariamente abeliano.
e
c) Um grupo quociente de um grupo n˜o abeliano ´ necessariamente n˜o abeliano.
a e a
d) Se todos os grupos quocientes de um grupo G s˜o abelianos, ent˜o G ´ abeliano.
a a e
e) Se todos os grupos quocientes de um grupo G por subgrupos normais n˜o triviais s˜o
a a
abelianos, ent˜o G ´ abeliano.
a e
f) Qualquer grupo quociente de um grupo finito ´ finito.
e
g) Se todos os quocientes de G por subgrupos normais n˜o triviais s˜o finitos, ent˜o G ´
a a a e
finito.
76. Mostre que se H ´ um subgrupo normal de G e m = (G : H), ent˜o, para qualquer
e a

11. ´
Algebra I 2006/7 11
a ∈ G, am ∈ H.
77. Sejam G um grupo e H ≤ G. O normalizador de H em G ´ N (H) = {a ∈ G :
e
aHa −1 = H}.
a) Mostre que N (H) ´ o maior subgrupo de G do qual H ´ um subgrupo normal.
e e
b) Mostre que (G : N (H)) ´ o n´mero de conjugados (distintos) de H. (Sugest˜o: verifique
e u a
que a correspondˆncia aN (H) → aHa−1 , a ∈ G, define uma bijec¸˜o entre o conjunto das
e ca
classes esquerdas de H e a classe de conjuga¸˜o de H em G.
ca
78. Diga quais das seguintes fun¸˜es s˜o homomorfismos (considere a opera¸˜o de adi¸˜o
co a ca ca
em Z, Zn e R e a opera¸˜o de multiplica¸˜o em R {0} e Cn = {z ∈ C : z
ca ca n = 1}. Determine
o n´cleo e imagem dos homomorfismos.
u
a) f : Z → Z b) f : Z → Z c) f : Z → Z
x → x+2 x → x2 x → −2x
d) f : R → Z e) f : R {0}→ R {0} f) f : Z → C6
1
x → [x] x→ x x → (cis 2π )x
3
g) f : C5 → C5 h) f : C6 → C4 i) f : Z2 → Z4
x → x2 x → 2x x → x
j) f : Z2 → Z4 k) f : Z6 → Z4 l) f : Sn → C2
x → 2x x → x p → sgn p
m) f : Sn → C3 n) f : Sn → C4
0, p par 0, p par
p → p →
2, p ımpar 2, p ımpar
79. Defina uma opera¸˜o ∗ em R de tal modo que f : R → R dada por f (x) = 2x + 3 seja
ca
um homomorfismo de (R, +) em (R, ∗).
80. Mostre que a composta de dois homomorfismos de grupos ainda ´ um homomorfismo.
e
81. Sejam G1 e G2 grupos tais que existe um homomorfismo sobrejectivo f : G1 → G2 .
Mostre que se em G a equa¸˜o x2 = a tem solu¸˜o para qualquer a ∈ G, ent˜o em G′ a
ca ca a
equa¸˜o x
ca 2 = a tem solu¸˜o para qualquer a ∈ G′ .
ca
82. Mostre que um grupo G ´ abeliano se e s´ se a aplica¸˜o f : G → G definida por
e o ca
f (x) = x −1 , ∀x ∈ G, ´ um automorfismo.
e
83. Seja f : G1 → G2 um homomorfismo de grupos.
a) Mostre que se a ∈ G1 tem ordem finita, ent˜o ordf (a) | ord(a). Dˆ um exemplo em que
a e
as ordens de a e f (a) sejam iguais e um exemplo em que sejam diferentes.
b) Justifique que se f ´ um isomorfismo, ent˜o ordf (a) = ord(a).
e a
84. Sejam G1 = a um grupo c´
ıclico, G2 um grupo qualquer e b ∈ G2 . Mostre que:

12. 12 ´
Algebra I 2006/7
a) Se G1 ´ infinito, existe um unico homomorfismo f : G1 → G2 tal que f (a) = b.
e ´
b) Se G1 ´ finito de ordem n, existe um (´nico) homomorfismo f : G1 → G2 tal que
e u
f (a) = b se e s´ se ord b | n.
o
85. Determine todos os homomorfismos:
a) f : Z3 → Z6 b) f : Z4 → Z12 c) f : Z12 → Z20 t.q. f (5) = 5
d) f : Z6 → S4 e) f : Z15 → S5 f) f : Z12 → Z60 t.q. f (6) = (30).
86. Mostre que se (m, n) = 1, o unico homomorfismo de Zn em Zm ´ o homomorfismo
´ e
trivial.
87. Mostre que se f : G1 → G2 ´ um homomorfismo e H = ker f , ent˜o, para qualquer
e a
a ∈ G1 , tem-se f −1 (f ({a})) = aH.
88. Indique quais os grupos isomorfos entre os seguintes: (Z, +), (C6 , ·), (15Z, +), (C4 , ·),
(Q, +), (R, +), (R {0}, ·), (C {0}, ·), (Q {0}, ·), (S3 , ◦).
89. Mostre que (R, +) ´ isomorfo a (R, ∗), onde x ∗ y = x + y − 2, ∀x, y ∈ R.
e
90. Diga, justificando, se as seguintes afirma¸˜es s˜o verdadeiras ou falsas.
co a
a) Quaisquer dois grupos de ordem 3 s˜o isomorfos.
a
b) Quaisquer dois grupos de ordem 4 s˜o isomorfos.
a
c) Quaisquer dois grupos de ordem 6 s˜o isomorfos.
a
d) Quaisquer dois grupos com a mesma ordem s˜o isomorfos.
a
e) Quaisquer dois grupos c´ıclicos com a mesma ordem s˜o isomorfos.
a
f) Um grupo c´ıclico com mais do que dois elementos tem pelo menos dois automorfismos.
91. Seja G um grupo.
a) Mostre que o conjunto dos automorfismos de G, Aut(G), ´ um grupo relativamente `
e a
opera¸˜o de composi¸˜o.
ca ca
b) Mostre que, para cada a ∈ G, a aplica¸˜o φa : G → G
ca ´ um automorfismo de
e
x → axa−1
G. Os automorfismos de G deste tipo chamam-se automorfismos internos de G.
c) Verfifique que o conjunto de todos os automorfismos internos de G, Int(G), ´ um grupo
e
relativamente ` opera¸˜o de composi¸˜o.
a ca ca
d) Prove que a fun¸˜o f : G → Aut(G) ´ um homomorfismo cujo n´ cleo ´ o centro
ca e u e
a → φa
de G.
e) Conclua que G/C(G) ´ isomorfo a Int(G).
e

13. ´
Algebra I 2006/7 13
92. Prove que se G1 e G2 s˜o grupos isomorfos, ent˜o Aut(G1 ) e Aut(G2 ) tamb´m s˜o
a a e a
isomorfos.
93. a) Seja G um grupo de ordem prima. Determine todos os endomorfismos de G.
b) Determine todos os endomorfismos de Z10 e diga quais s˜o automorfismos.
a
∗ , ·).
c) Mostre que Aut(Zn ) ´ isomorfo a (Zn
e
94. Seja G um grupo n˜o abeliano de ordem 6. Mostre que:
a
i) G tem um elemento a de ordem 3 e H = a ´ normal em G;
e
ii) G tem um elemento b de ordem 2 e b ∈ H;
iii) G ´ gerado por {a, b};
e
iv) ba = a2 b.
Conclua que G ´ isomorfo a S3 .
e
95. Dˆ exemplo de um grupo G e de dois subgrupos H1 e H2 tais que H1 e H2 sejam
e
isomorfos, mas G/H1 n˜o seja isomorfo a G/H2 .
a
96. Seja f : G1 → G2 um homomorfismo de grupos. Justifique que:
a) Se G1 tem ordem prima, ent˜o f ´ trivial ou injectivo.
a e
b) Se G1 ´ finito, ent˜o Imf ´ finita e |Im f | divide |G1 |.
e a e
c) Se G2 ´ finito, ent˜o Imf ´ finita e |Im f | divide |G2 |.
e a e
97. Diga, justificando, quais das seguintes afirma¸˜es s˜o verdadeiras.
co a
a) Se f : G1 → G2 ´ um homomorfismo e |G1 | = 6, ent˜o Imf n˜o pode ter 4 elementos.
e a a
b) Se f : G1 → G2 ´ um homomorfismo e |G1 | = 6, ent˜o Imf n˜o pode ter 12 elementos.
e a a
c) Se |G1 | = 6 e |G2 | = 12, ent˜o n˜o existe nenhum homomorfismo de G1 em G2 .
a a
d) Se |G1 | = 6 e |G2 | = 10, ent˜o n˜o existe nenhum homomorfismo de G1 em G2 .
a a
e) N˜o existem homomorfismos n˜o triviais de um grupo infinito num grupo finito.
a a
f) N˜o existem homomorfismos n˜o triviais de um grupo finito num grupo infinito.
a a
g) Existe um homomorfismo n˜o trivial de algum Zn em Z.
a
h) Existe um homomorfismo n˜o trivial de Z12 em Z5 .
a
i) Existe um homomorfismo n˜o trivial de Z3 em S3 .
a
j) Existe um homomorfismo n˜o trivial de S3 em Z3 .
a
k) Existe um homomorfismo n˜o trivial de D4 em S3 .
a
l) Existe um homomorfismo n˜o trivial sobrejectivo de Z6 em Z2 .
a
m) Existe um homomorfismo n˜o trivial injectivo de Z4 em D4 .
a
n) Existe um homomorfismo n˜o trivial injectivo de Z3 em A6 .
a

14. 14 ´
Algebra I 2006/7
98. Sejam G1 e G2 grupos. Mostre que:
a) O produto directo G1 × G2 ´ isomorfo a G2 × G1 .
e
b) G1 × G2 ´ abeliano se e s´ se G1 e G2 s˜o abelianos.
e o a
c) Se H1 ≤ G1 e H2 ≤ G2 ent˜o H1 × H2 ≤ G1 × G2 .
a
d) Um subgrupo H de G1 × G2 n˜o ´ necessariamente da forma H = H1 × H2 , em que
a e
H1 ≤ G1 e H2 ≤ G2 .
99. Determine um produto directo de dois grupos n˜o triviais isomorfo a cada um dos
a
seguintes grupos, indicando um isomorfismo entre eles.
a) Z20 b) Z15 c) Z24 d) Z35 e) Z60
100. Determine as ordens de
a) (2, 6) em Z4 × Z12 b) (2, 3) em Z6 × Z15 c) (8, 10) em Z12 × Z18
d) (3, 10, 9) em Z4 × Z12 × Z15 e) 2, 3, 4, 5, 6 em Z∗
11 f) (2, 3) em Z∗ × Z∗
11 10
g) (6, 9) em Z∗ × Z∗
11 10 h) (cis 4π , −i) em C6 × C4
3 i) (1, cis π ) em C3 × C6
3
101. Determine as ordens
a) dos grupos (Z4 × Z12 )/( 2 × 2 ), (Z4 × Z12 )/ (2, 2) e (Z2 × S3 )/ (1, (12)) ;
b) de (2, 1) + (1, 1) em (Z3 × Z6 )/ (1, 1) , de (3, 1) + (0, 2) em (Z4 × Z8 )/ (0, 2) e de
(3, 3) + (1, 2) em (Z4 × Z8 )/ (1, 2) .
102. Determine todos os subgrupos
a) de Z2 × Z2 , Z3 × Z3 , Z4 × Z5 e Z4 × Z11 ;
b) de Z2 × Z2 × Z2 ;
c) de ordem 4 de Z2 × Z2 × Z4 ;
d) de Klein de Z4 × Z12 × Z15 ;
e) c´
ıclicos de Z2 × Z4 ;
f) c´
ıclicos de ordem m´xima de Z6 × Z8 .
a
103. Determine todos os homomorfismos de Z4 em Z4 × Z8 :
104. a) Sejam G um grupo e h, k ∈ G. Determine uma condi¸˜o necess´ria e suficiente
ca a
sobre h e k para que exista um homomorfismo f : Z × Z → G tal que f (1, 0) = h e f (0, 1) = k.
Justifique que existe quando muito um tal homomorfismo f .
b) Determine uma condi¸˜o necess´ria e suficiente sobre um grupo G para que, quaisquer
ca a
que sejam h, k ∈ G, exista um homomorfismo f : Z × Z → G tal que f (1, 0) = h e f (0, 1) = k.
105. Determine o subgrupo de tors˜o de cada um dos seguintes grupos, indicando os que
a
s˜o de tor¸˜o e os que s˜o livres de tor¸˜o.
a ca a ca

15. ´
Algebra I 2006/7 15
a) Z b) Z3 × Z × Z2 c) Z × Z × Z5 d) Z3 × Z × Z2
e) Z3 × Z × Z2 f) (R, +) g) (Q, +) h) (R∗ , ·)
i) ({z ∈ C : |z| = 1}, ·) j) (C∗ , ·).
106. Determine, a menos de isomorfismo todos os grupos abelianos
a) de ordens 24, 25, 36, 50, 121 e 720;
b) com nmero de Betti 2 e cujo subgrupo de tor¸˜o tem ordem 30;
´ ca
c) com nmero de Betti 3 e cujo subgrupo de tor¸˜o tem ordem 16;
´ ca
d) com nmero de Betti 2 e cujo subgrupo de tor¸˜o tem ordem 20.
´ ca
107. Determine um subgrupo
a) de ordem 14 de Z8 × Z7 b) de ordem 30 de Z4 × Z9 × Z25
c) de ordem 30 de Z2 × Z2 × Z9 × Z5 × Z5 d) de ordem 14 de Z4 × Z4 × Z7
e) de ordem 6 de Z4 × Z9 × Z4 × Z9 f) de ordem 12 de Z6 × Z8 × Z10
108. Diga, justificando, quais das seguintes afirma¸˜es s˜o verdadeiras
co a
a) Z2 × Z4 ´ isomorfo a Z8 .
e
b) Z2 × Z4 ´ isomorfo a S3 .
e
c) Z2 × Z4 ´ isomorfo a D4 .
e
d) Z2 × Z × Z4 tem exactamente 8 elementos de ordem finita.
e) Qualquer grupo abeliano n˜o trivial ´ isomorfo ao produto directo de dois subgrupos
a e
pr´prios n˜o triviais.
o a
f) Existe um grupo n˜o trivial de ordem n˜o prima que n˜o ´ isomorfo ao produto directo
a a a e
de dois subgrupos pr´prios n˜o triviais.
o a
g) Qualquer grupo abeliano cuja ordem ´ potˆncia de um primo ´ c´
e e e ıclico.
h) Qualquer grupo abeliano finito tem n´mero de Betti igual a 0.
u
i) Todos os grupos abelianos de ordem 72 tˆm o mesmo n´mero de subgrupos de ordem
e u
8.
j) Todos os grupos abelianos de ordem 72 tˆm o mesmo n´mero de subgrupos de ordem
e u
4.
l) Qualquer grupo abeliano de ordem p1 · · · pk , em que p1 , . . . , pk s˜o primos, ´ c´
a e ıclico.

16. 16 ´
Algebra I 2006/7
• An´is
e
109. Em cada um dos seguintes casos, verifique se (A, +, ×) ´ um anel; em caso afirmativo,
e
verifique se ´ abeliano, unit´rio, anel de divis˜o e/ou dom´
e a a ınio de integridade.
a) A = R, + a adi¸˜o usual, x × y = 2xy.
ca
b) A = Z 2 , + a adi¸˜o usual, (x, y) × (z, t) = (xz, xt + yz).
ca
c) A = R 2 , + a adi¸˜o usual, (x, y) × (z, t) = (xy, 0).
ca
d) A = R 2 , + a adi¸˜o usual, (x, y) × (z, t) = (xz, yt).
ca
e) A = R 2 , + a adi¸˜o usual, (x, y) × (z, t) = (xz − yt, xt + yz).
ca
f) A = Z[i] = {a + bi ∈ C : a, b ∈ Z}, + e × a adi¸˜o e multiplica¸˜o usuais de complexos.
ca ca
a a
g) A = : a, d ∈ Q , + e × a adi¸˜o e multiplica¸˜o usuais de matrizes.
ca ca
0 d
a b
h) A = : a, b ∈ Q , + e × a adi¸˜o e multiplica¸˜o usuais de matrizes.
ca ca
b a
110. Se (A, +A , ·A ) ´ um anel, defina-se em AA opera¸˜es + e · por: ∀f, g ∈ AA , ∀a ∈ A,
e co
(f + g)(a) = f (a) +A g(a) e (f · g)(a) = f (a) ·A g(a). Mostre que (AA , +, ·) ´ um anel.
e
110. Determine o grupo dos elementos invert´
ıveis de cada um dos seguintes an´is:
e
a) Z b) Z × Z c) Z5 d) Z6 e) Z × Q f) Z5 × Q g) Z[i].
1 2
111. a) Mostre que ´ um divisor de zero em M2 (Z).
e
2 4
b) Mostre que M2 (Z)∗ = {M ∈ M2 (Z) : det M = ±1}. Conclua que M2 (Z)∗ ´ infinito.
e
112. Quais dos seguintes subconjuntos de Q s˜o suban´is de (Q, +, ·)?
a e
p
a) A = { q : p ∈ Z, q ∈ {1, 2, 4}, (p, q) = 1} b) B = { 2p : p ∈ Z, r ∈ N0 , (p, 2) = 1}.
r
113. a) Seja A um anel. Mostre que A ´ abeliano se e s´ se:
e o
i) ∀a, b ∈ A, a 2 − b2 = (a − b)(a + b).
ii) ∀a, b ∈ A, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 .
iii) ∀n ∈ N, ∀a, b ∈ A, (a + b)n = n n k n−k
k=0 k a b .
b) Dˆ exemplo de A, B ∈ M2 (R) tais que (A2 − B 2 ) = (A − B)(A + B).
e
114. Seja A um anel unit´rio e sem divisores de zero. Mostre que se a, b ∈ A s˜o tais que
a a
ab = 1 ent˜o ba = 1.
a
115. Seja A um anel n˜o trivial. Suponha que, para cada a ∈ A {0}, existe um unico
a ´
a′∈ A tal que aa ′ a = a. Mostre que A n˜o tem divisores de zero, ∀a ∈ A, a′ aa′ = a′ , A ´
a e
unit´rio e A ´ um anel de divis˜o.
a e a
116. Mostre que se A ´ um anel finito sem divisores de zero ent˜o A ´ um anel de divis˜o.
e a e a

17. ´
Algebra I 2006/7 17
117. a) Determine os divisores de zero de Zn . Conclua que se p ´ primo, ent˜o Zp ´ um
e a e
corpo.
b) Mostre que 1 e p − 1 s˜o os unicos elementos do corpo Zp que s˜o inversos de si pr´prios.
a ´ a o
(Sugest˜o: Resolva a equa¸˜o x
a ca 2 − 1 = 0)
c) Demonstre o Teorema de Wilson: “p ´ primo se e s´ se (p − 1)! ≡ 1( mod p).
e o
118. Mostre que se A ´ um dom´
e ınio de integridade e B ´ um subanel unit´rio de A, ent˜o
e a a
a identidade de B coincide com a de A. Dˆ um exemplo para mostrar que este resultado n˜o
e a
´ v´lido para qualquer anel.
e a
119. Determine a caracter´
ıstica de cada um dos seguintes an´is:
e
a) 2Z b) Z2 × 3Z c) Z3 × Z4 d) Z × Z
120. Seja A um anel unit´rio abeliano e a, b ∈ A.
a
a) Mostre que se a caracter´ıstica de A ´ 4, ent˜o (a + b)4 = a4 + b4 + 2a2 b2 .
e a
b) Supondo que a caracter´ ıstica de A ´ 3, simplifique a express˜o (a + b)10 .
e a
121. Justifique que todo o anel unit´rio finito tem caracter´
a ıstica n˜o nula.
a
122. Mostre que a caracter´
ıstica de um dom´
ınio de integridade ´ zero ou prima.
e
123. Sejam n, m ∈ N, com n > 1. Verifique que Mn (Zm ) ´ um anel n˜o abeliano, com
e a
2
mn elementos e caracter´
ıstica m.
124. Seja n ∈ N, n > 1. Verifique que o anel das fun¸˜es de Z em Zn ´ um anel infinito
co e
com caracter´
ıstica n.
125. a) Mostre que um anel de divis˜o tem exactamente dois idempotentes.
a
b) Determine todos os idempotentes do anel M2 (Z).
c) Mostre que se n = rs, onde n e r s˜o inteiros maiores que 1 primos entre si, ent˜o Zn
a a
tem pelo menos dois idempotentes diferentes de 0 e 1.
126. Mostre que se A ´ um anel, ent˜o as fun¸˜es p1 : A × A → A , p2 : A × A → A ,
e a co
(x, y) → x (x, y) → y
i1 : A → A × A e i2 : A → A × A s˜o homomorfismos de an´is.
a e
x → (x, 0) x → (0, x)
127. Verifique quais das seguintes fun¸˜es s˜o homomorfismos de an´is de M2 (Z) em Z:
co a e
a b a b a b
a) f : →a b) f : → a+d c) f : → ad−bc.
c d c d c d
128. Sejam n, m ∈ N. Mostre que

18. 18 ´
Algebra I 2006/7
a) Se m divide n, ent˜o f : Zn → Zm est´ bem definida e ´ um homomorfismo sobre-
a a e
x → x
jectivo de an´is. Qual ´ o respectivo n´cleo?
e e u
b) Se (m, n) = 1, ent˜o g : Zmn → Zn × Zm ´ um isomorfismo.
a e
x → (x, x)
129. Mostre que se f : A → B ´ um homomorfismo de an´is e a ´ um idempotente de A,
e e e
ent˜o f (a) ´ um idempotente de B.
a e
130. Determine todos os homomorfismos de an´is e os respectivos n´cleos,
e u
a) de Z em Z; b) de Z × Z em Z; c) de Z4 em Z36
131. Mostre que um homomorfismo de an´is f : A → B, em que A ´ um corpo, ou ´
e e e
injectivo ou ´ constante.
e
132. Seja A um anel abeliano de caracter´
ıstica p, em que p ´ um primo. Mostre que
e
p ´ um homomorfismo de an´is.
f : A → A definida por f (x) = x e e
a b
133. Seja A = : a, b ∈ R . Mostre que:
−b a
a) A ´ um subanel de M2 (R).
e b) f : C → A ´ um isomorfismo de an´is.
e e
a b
a + bi →
−b a
134. Seja d um n´mero natural que n˜o ´ o quadrado de um inteiro.
u a e
√ √ a 2b √
a) Sejam Z[ d] = {a + b d : a, b ∈ Z} e B = : a, b ∈ R . Mostre que Z[ d]
b a
√
´ um subanel de R, B ´ um subanel de M2 (R) e Z[ d] e B s˜o isomorfos.
e e a
√ √
b) Mostre que Q[ d] = {a + b d : a, b ∈ Q} ´ um corpo.
e
√ √
135. Mostre que os an´is Z[ 5] e Z[ 3] n˜o s˜o isomorfos.
e a a
136. Diga, justificando, quais das seguintes afirma¸˜es s˜o verdadeiras.
co a
a) Os grupos 2Z e 3Z s˜o isomorfos.
a
b) Os an´is 2Z e 3Z s˜o isomorfos.
e a
c) Os corpos R e C s˜o isomorfos.
a
d) Os an´is Q × Z e Q × Q s˜o isomorfos.
e a
e) Um subanel de um anel A com identidade pode ter identidade diferente da de A.
f) Um subanel de um corpo K pode ter identidade diferente da de K.
137. Sejam A e B dois an´is unit´rios e seja f : A → B um homomorfismo de an´is n˜o
e a e a
nulo. Mostre que:
a) Se B n˜o tem divisores de zero, ent˜o f (1A ) = 1B ;
a a

19. ´
Algebra I 2006/7 19
b) f (1A ) ´ identidade do subanel Imf de B;
e
c) Se f ´ sobrejectivo, ent˜o f (1A ) = 1B ;
e a
d) g : A → A × A ´ um homomorfismo de an´is n˜o nulo e a identidade do subanel
e e a
x → (x, 0)
Img n˜o ´ a mesma de A × A.
a e
138. Sejam A um anel de divis˜o, B um anel unit´rio com mais do que um elemento e
a a
f : A → B um homomorfismo de an´is tal que f (1A ) = 1B . Mostre que f ´ injectivo.
e e
139. Em cada um dos seguintes casos, verifique se I ´ um ideal do anel A:
e
a) A = Z[i], I = {a + bi : a ∈ 2Z, b ∈ Z} b) A = Z[i], I = {a + bi : a, b ∈ 2Z}
a 0 a b
c) A = M2 (Z), I = : a, b ∈ Z d) A = M2 (Z), I = : a, b, c, d ∈ 3Z
0 b c d
e) A = Z × Z, I = 2Z × 3Z f) A = Z × Z, I = {(m, n) ∈ Z × Z : a = b}
140. Em cada um dos seguintes casos, caracterize o anel quociente A/I:
a) A = Z4 , I = 2Z4 b) A = Z6 , I = 3Z6 c) A = 2Z12 , I = 4Z12 d) A = 2Z, I = 4Z.
141. Em cada um dos seguintes casos, verifique se A e B s˜o an´is isomorfos:
a e
a) A = Z4 /2Z4 , B = Z2 b) A = Z6 /3Z6 , B = Z3 c) A = 2Z12 /4Z12 , B = Z2
d) A = 2Z/4Z, B = Z2 .
a b
142. Considere o subanel T2 (Z) = : a, b, d ∈ Z de M2 (Z).
0 d
0 b
a) Mostre que I = : a, b, d ∈ Z ´ um ideal de T2 (Z) e que T2 (Z)/I ∼ Z.
e
0 d
0 b
b) Mostre que J = : a, b, d ∈ Z ´ um ideal de T2 (Z) e que T2 (Z)/I ∼ Z × Z.
e
0 0
143. Suponha que I ´ um ideal de um anel A.
e
a) Diga se A ´ necessariamente isomorfo a A/I.
e
b) Prove que se A ´ isomorfo a I × J, ent˜o J ´ isomorfo a A/I.
e a e
√
144. Determine o corpo de frac¸˜es:
co a) do anel dos inteiros de Gauss b) de Z[ 2]
145. Diga se ´ verdadeiro ou falso que:
e
a) Se A e B s˜o an´is tais que Frac(A) e Frac(B) s˜o isomorfos, ent˜o A e B s˜o isomorfos.
a e a a a
b) Se A e B s˜o an´is isomorfos, ent˜o Frac(A) e Frac(B) tamb´m s˜o isomorfos.
a e a e a
e
146. Mostre que se A ´ um dom´ a
ınio de integridade, ent˜o a caracter´
ıstica de A ´ igual `
e a
de Frac(A).

20. 20 ´
Algebra I 2006/7
147. Determine a soma e produto dos seguintes polin´mios no anel de polin´mios indicado:
o o
a) p = 4x − 5 e q = 2x 2 − 4x + 2, em Z [x] b) p = x + 1 e q = x + 1, em Z2 [x]
8
c) p = 2x 2 + 3x + 4 e q = 3x2 + 2x + 3, em Z [x].
6
148. Seja A um anel. Mostre que se p, q ∈ A[x], ent˜o
a
a) deg(p + q) ≤ m´x{deg p, deg q} e deg(pq) ≤ deg p + deg q.
a
b) Se A ´ um dom´
e ınio de integridade, ent˜o deg(pq) = deg p + deg q e A[x] ´ um dom´
a e ınio
de integridade.
149. Seja A um dom´ ınio de integridade.
a) Determine A[x]∗. b) Mostre que as caracter´
ısticas de A e A[x] s˜o iguais.
a
150. Mostre que:
a) Se A = Z × Z, ent˜o o polin´mio (1, 0)x ∈ A[x] tem uma infinidade de zeros.
a o
b) Z4 [x] ´ um anel infinito com caracter´
e ıstica 4.
c) Em Z8 [x], 1 + 2x ´ invert´
e ıvel.
d) Em Z8 [x], 4x2 + 2x + 4 ´ um divisor de zero.
e
e) Em Z7 [x], (x + 1)7 = x7 + 1.
f) Se A ´ um anel tal que A[x] tem divisores de zero, ent˜o A tamb´m tem.
e a e
g) Os elementos invert´ ıveis de grau menor ou igual a 1 em Z6 [x] s˜o 1 e 5.
a
h) Em Z15 [x], x 2 − 1 = (x − 1)(x − 14) = (x − 4)(x − 11). Conclua que x2 − 1 tem 4 zeros
em Z15 .
151. Para um quaterni˜o q = a1 + bi + cj + dk, define-se o seu conjugado por q =
a
a1 − bi − cj − dk. Mostre que:
a) A aplica¸˜o f : H → H definida por f (q) = q ´ um automorfismo de (H, +). O que
ca e
pode dizer sobre f (q1 q2 ), para q1 , q2 ∈ H?
√
b) ∀q ∈ H, qq = q 2 , onde q = a2 + b2 + c2 + d2 .
c) O inverso de um quaterni˜o q = 0 ´ q −1 = qq 2 .
a e
152. Descreva todas as solu¸˜es da equa¸˜o x2 = −1 no anel dos quaterni˜es.
co ca o
153. Mostre que o conjunto dos quaterni˜es da forma a1+bi+cj+dk, em que a, b, c, d ∈ Z
o
formam um anel n˜o abeliano, que n˜o ´ de divis˜o, mas onde a lei do corte para o produto
a a e a
´ v´lida.
e a
154.Verifique que o conjunto dos elementos invert´
ıveis do anel referido no exerc´ ante-
ıcio
rior ´ um grupo n˜o abeliano de ordem 8, designado por H8 . Determine todos os subgrupos
e a
de H8 e indique todos os subgrupos normais.