1) O documento apresenta uma lista de tópicos de geometria Riemanniana que incluem a definição de curvatura escalar, propriedades de geodésicas em variedades completas e não compactas, e relações entre curvatura escalar e métricas conformais.

1. Universidade Federal do Rio de Janeiro
Lista de Geometria Riemanniana
Prof. Alexander Arbieto
1- Se R denota a curvatura escalar ent˜o
a
1
R(p) = Ric(X)(p)dS n−1
cn S n−1
onde cn ´ o volume de S n−1 ⊂ Tp M .
e
2- Seja M completa e n˜o compacta. Dado p existe uma geod´sica γ : [0, ∞) → M tal
a e
que γ(0) = p e γ ´ minimizante entre γ(0) e γ(s), para todo s positivo.
e
3- Se M ´ tal que para todo p e q existe uma isometria (global) que leva p em q ent˜o M
e a
´ completa.
e
j 1
4- Mostre que Rij = 2 i R.
5- Seja (M, g). Se h = e2u g mostre que a curvatura escalar de h ´ e−2u (R − 2(n − 1)∆u −
e
(n − 2)(n − 1)| u|2 ), onde R ´ a curvatura escalar de g.
e
6- Sejam N e P duas subvariaedades de M . Tome γ : [0, t] → M geodesica tal que
γ(0) ∈ N e γ(t) ∈ P . Suponha que γ ´ a menor curva de N a P . Mostre que γ (0) ´
e e
ortogonal a Tγ0 N e γ (t) ´ ortogonal a Tγ(t) P .
e
7- Se p ∈ M e q ∈ N ent˜o o cut locus de (p, q) em M × N ´ (C(p) × N ) ∪ (M × C(q)).
a e
8- Exercicio 2 p. 88 do Manfredo: a metrica de Sasaki.
9- Exercicio 14 p.97 do Manfredo: o teorema de Liouville.
10- Exercicio 14 p. 210 do Manfredo: Espacos localmente simetricos.
11- Exercicio 1 p.260 do Manfredo: O lema de Klingenberg.
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